автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование спиновой динамики массивных нейтральных дираковских частиц в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда

Тверской государственный университет

на правах рукописи

РГВ од

АВГ 2000

Кумпяк Дмитрий Евгеньевич

Математическое моделирование спиновой динамики массивных нейтральных дираковских частиц в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда

Специальность: 05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь - 2000

Работа выполнена в Тверском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Цветков В.П. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Саврин В.И., кандидат физико-математических наук, доцент Шуклов А.Д.

Ведущая организация:

Лаборатория вычислительной техники и автоматизации (Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна).

Защита состоится -А-- 2000 г. в /^""часов на заседа-

нии диссертационного совета Д.063.97.01 при Тверском государственном университете по адресу: 170013, Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан "3.12." 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.063.97.01 кандидат физико-математических наук, доцент

В.А. Хижняк

ВЗ/Г. 03

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В настоящее время не вызывает сомнения значительная роль математического моделирования при изучении астрофизических процессов, получение экспериментальной информации о которых весьма затруднительно.

Особую роль в реальных астрофизических явлениях играют нейтринные процессы в сильных гравитационных полях. Известно, например, что мощные потоки нейтрино генерируются при гравитационном коллапсе звездного ядра, унося с собой большую часть энергии гравитационной связи 1053 эрг), при вспышках Сверхновых и пр. С нейтрино также связывают одно из решений проблемы т.н. скрытой массы Вселенной. Предполагают, что нейтринными скоплениями определяется общее поле тяготения космической среды. Наблюдаемый дефицит солнечных нейтрино поставил вопрос о пересмотре представлений о характере термоядерных процессов, происходящих на солнце, роль которого в эволюции земных процессов является определяющей.

Трудности в получении подробной экспериментальной информации о нейтринных астрофизических процессах, проходящих в экстремальных физических условиях, требуют построения математических моделей, адекватно описывающих эти процессы. Тогда даже скудная экспериментальная информация позволит сделать важные заключения о характере поведения материи в этих условиях.

На ускорителях и в астрофизических условиях генерируются только левые нейтрино и правые антинейтрино (и^ и йц), спин которых направлен против и по направлению движения соответственно. Только они взаимодействуют с веществом и, следовательно, наблюдаются. Правые нейтрино и левые антинейтрино (иц и 57/,) с веществом практически не взаимодействуют, и оно для них прозрачно. Если у нейтрино нет массы, то их спиральность в течении жизни частицы не меняется, даже при наличии внешнего гравитационного поля. Но если они массивны (хотя и с очень малым значением массы), на что указывает ряд экспериментальных наблюдений (т„ ~ 17 эВ), то возможны переходы VI <—> 1/ц и VI <—> Рд в сильных гравитационных полях. Построение и исследование свойств математической модели упомянутых спиновых переходов и является предметом данного исследования.

Характерной чертой астрофизических процессов, в которых

существенную роль играют нейтрино, является то обстоятельство, что эти процессы происходят в сильных гравитационных полях. Поэтому, для адекватного описания в подобных ситуациях влияния гравитационного поля на нейтрино необходимо учитывать эффекты ОТО, т.е. учитывать заметную искривленность пространства-времени. Следовательно, возникает необходимость в построении и исследовании математических моделей описывающих нейтринные процессы в искривленном пространстве-времени.

Поскольку нейтрино — объекты квантовой природы, то построение адекватной математической модели поведения спина нейтрино возможно лишь на основе квантового релятивистского волнового уравнения Дирака.

Уравнение, описывающее влияние релятивистского гравитационного поля на нейтрино было предложено Д.Д. Иваненко и В.А. Фоком в 1929 г. Данное уравнение представляет собой обобщение классического лоренц-ковариантного уравнения Дирака на случай искривленного пространства-времени.

Построение моделей астрофизических процессов на основе общеко-вариантного обобщения уравнения Дирака — давно разрабатываемое направление математической физики. Однако, малоизученным остается такое явление как спиновая динамика массивных нейтральных дираковских частиц, движущихся в сильных гравитационных полях. Впервые математические модели поведения спиральности массивных нейтрино в релятивистском гравитационном поле изучались в работах В.П. Цветкова (Цветков В.П., 1985; Цветков В.П., 1998), а представленная диссертация является дальнейшим развитием этих работ. Целью работы является построение математической модели, описывающей спиновую динамику массивной нейтральной дираковской частицы (нейтрино), движущейся в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, а также разработка математических методов для исследования этой модели.

Особый интерес для нас представляет изучение роли массового члена общековариантного уравнения Дирака в спиновой динамике нейтрино.

Научная новизна.

В диссертации впервые исследована математическая модель спиновой динамики массивной нейтральной дираковской частицы в гравитационном поле Керра, в основу которой положено общековариант-ное уравнение Дирака, а также моделирование частицы распростра-

няющимся волновым пакетом. Впервые при исследовании моделей данного типа использована техника мультипликативного интеграла и разработаны вычислительные схемы для численных расчетов.

Впервые разработан метод оценки влияния на решение уравнения Дирака эффекта расплывания волнового пакета для случая искривленного пространства-времени. Установлены границы применимости найденного в работе приближения нерасплывающегося волнового пакета.

Впервые получена система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая спиновые переходы массивной нейтральной дираковской частицы, движущейся в гравитационном поле Керра-Шилда. В первом по массе приближении получены аналитические формулы для вероятностей спиновых состояний массивной нейтральной дираковской частицы. Показано, что вклад в изменение вероятностей дают члены порядка скорости изменения метрики q направлении движения пакета. Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в универсальности подхода к постановке задачи и общности математических подходов к ее решению.

Результаты диссертации могут быть использованы для интерпретации экспериментов и астрофизических наблюдений с целью получения новых данных о влиянии сильного гравитационного поля на поведение спина массивных фермионов.

Разработанные вычислительные схемы могут быть применены для решения широкого класса эволюционных матричных уравнений. Достоверность и обоснованность полученных соискателем результатов базируется на фундаментальных физических концепциях положенных в основу постановки задачи и применении строгих математических методов для решения уравнений и численных расчетов. Апробация работы.

Основные результаты представленной диссертации докладывались на международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный Институт Ядерных Исследований, 1998 год), на I конференции-семинаре "Математические модели сложных систем" (г. Тверь, ТвГУ, 1999 год), а также на научных семинарах кафедры общей математики и математической физики ТвГУ и лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ (1997, 1998, 1999, 2000 гг.).

Публикации.

В процессе работы над диссертацией опубликовано 6 печатных работ, 2 работы находятся в печати. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 124 листах, содержит 1 рисунок и список литературы, включающий 99 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, в частности, характеризуется круг астрофизических явлений, значительную роль в которых играют нейтринные процессы; формулируются цели исследования.

В первой главе излагается теория общековариантного волнового уравнения Дирака. Дается обзор используемого в диссертации математического аппарата (геометрические методы в ОТО, метрика в форме Керра-Шилда, тетрадный формализм, спинорная группа и оператор Дирака, волновые пакеты и пр.). Общековариантное уравнение Дирака, представляющее собой уравнение на спинорном расслоении к пространственно-временному многообразию, в проекциях на произвольную тетраду удобно представить в виде

} (е<°) 7° Оё - \ъьс^ 7° =т ф' (1)

где ф — четырехкомпонентная спинорная волновая функция, е^ — компоненты тетрадных векторов в произвольных координатах на пространственно-временном многообразии (о, ц 6 {0,..., 3}), 7° — матрицы Дирака, %ъс = е(Ь)е(с) — коэффициенты вращения Риччи, т — масса частицы. В работе используется следующее представление 7-матриц Дирака:

Чо-0,)- »")•

I — единичная 2 х 2-матрица, а0 — спиновые матрицы Паули:

"'=(::)■ »ч?о).

Во второй главе приводится обзор общей теории спиновых явлений и теории спиновых явлений в искривленном пространстве-времени на

основе уравнения Дирака. Приводится вероятностная интерпретация локализованных в ограниченном пространственном объеме решений уравнения Дирака. Для того, чтобы построить эту интерпретацию, на пространстве спиноров вводится линейный оператор киралъности 75, который обладает свойством (75)2 = 1 (через 1 обозначен тождественный оператор), и при указанном выборе представления для 7-матриц Дирака имеет вид

(I — единичная 2 х 2-матрица). Оператор киральности порождает

проекционные операторы Р± = - (1 ± 75). Относительно действия этих операторов пространство спиноров разлагается в прямую сумму подпространств комплексной размерности 2, элементы которых называются спинорами Вейля или полуспинорами. Для произвольного спинора Ф его представление в виде суммы полуспиноров имеет вид Ф = Ф*, + Фд, где Ф£1Й = Р± Ф.

Вероятности Wr и Wl соответственно правого и левого спинового состояния частицы определяются как

WR = J е°а)7aiPR^d3x, WL= J i>L e\a)1ai>L^d3x,

что требует выполнения условия нормировки

f^e\a)1aTp^tfx = WL + WR = \, (2)

которое может быть удовлетворено благодаря закону сохранения векторного тока.

Далее для метрики в форме Керра-Шилда нами строится действительная ортогональная тетрада и для построенной тетрады вычисляются коэффициенты Фока-Иваненко (слагаемые 1аЬс 1°7° 1Ь в операторе Дирака). Метрика в форме Керра-Шилда характеризуется следующим свойством. В подходящих (т.н. асимптотически декартовых) координатах (x°,xl,x2,x3) = (t,x,y,z) на пространственно-временном многообразии компоненты g контравариантного метрического тензора могут быть представлены в виде

дГ^гГ + ГС, /i^G {0,1,2,3}, (3)

где т) = diag(+l, —1, —1, —1) — матрица Минковского, a f — компоненты изотропного относительно метрики Минковского лоренц-вектора: vtwt»t" = 0.

Примером метрики класса (3) может служить аксиально симметричная стационарная метрика Керра, описывающая гравитационное поле вращающейся массы. Для этой метрики

где г = (x,y,z), Я2 = i ((г2 - а2) + у/(г* - а»)» + 4(га)2), £ = £ = (£\£2>£3)> а = const — отношение момента импульса гравитирующего тела к его массе, гд — шварцшильдовский гравитационный радиус.

Для метрики класса (3) легко построить действительную ортогональную тетраду, т.е. четыре векторных поля на пространственно-временном многообразии е(0),а G {0,1,2,3}, связанных с метрическим тензором тождеством ej^ е^ = 1]аь- Компоненты тетрадных векторов выражаются через компоненты метрического тензора следующим образом:

<а) + = (5)

Коэффициенты вращения Риччи %ьс для тетрады (5) записываются в виде

п, -ЧЁкс .Wee Wее,

7аЬс ~ 2 \dx> 4с + дх» io дх° дх"

а свертка коэффициентов Фока-Иваненко 70ic7c 7° 76 — в виде

7atc7c 7° 7& = - (£2) + V(e • о) 7° + | (f • 7i)+

+(V70-€ + (V0-7C- (7)

Третья глава посвящена теории мультипликативного интеграла, техника которого далее существенно используется при исследовании математической модели спиновой динамики нейтрино в гравитационном поле Керра-Шилда. Помимо общей теории в главе излагаются результаты автора, посвященные разработке вычислительных схем для приближенного построения мультипликативного интеграла.

Мультипликативный интеграл впервые ввел В. Вольтерра в 1887 году. Мультипликативный интеграл

/

'(1 + Р(г)с!г) = П{в (Р)

от матричной функции Р(г) = Н^'МН*^!» т € (а, 6) С К, по отрезку [«о,«] С (а,Ь) определяется как оператор фазового потока хо н* (Р) • Хо следующей системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений

где « = (*\...,х')т, ■' (8)

(П|0 (Р) •х0 — значение в момент времени $ решения задачи Коши для системы (8) с начальным условием х(Ьо) = го), или, что равносильно, как предел интегральных произведений

I

' (I + Р(т) dr) = lim il + Р(тп) At„} ■... • [I + Р(г.) Д«,],

<о Д|*~>0

где (¿0)*] = и [^-11^]- Функции Рц, вообще говоря комплексно-*=1

значные, определены и непрерывны на интервале (а, Ь).

Развитый в работе подход к построению вычислительных схем для приближенного вычисления мультипликативного интеграла основан на разложении мультипликативного интеграла в ряд Пеано, абсолютно и равномерно сходящийся на любом отрезке С (а, Ь):

00

П{0(Р) = ][ + £*Ю(М, (9)

*=1

t

где обозначено Х^Ц^г) = ! Р{т) Х(к~х){10,т)Ат, к = 1,2,3,...,

<0

= I- Чтобы получить приближенное значение П{0 (Р) покроем отрезок [¿о, равномерной сеткой с шагом Л:

[М = И [**-!.*']. tk = to + k-h, h = -——, neN.

^ Г)

i=l

Представим мультипликативный интеграл по отрезку [¿о^] в виде произведения мультипликативных интегралов по частичным отрезкам

[tk-iM-

К (Р) = Ofc (Р) = (П ' (Р) ■ • ■ ■ ■ (Р) • (Р) ■

Заменив в последнем равенстве каждый сомножитель его приближенным значением, вычисленным тем или иным способом с точностью до 0(hm+i) при h -» 0, те N,

(Р) = (Р) = I + y(ra)(i4-i,it-i + Л) -bZ^itk-uh-i + Л),

-1, tk-i+h) = 0(hm+1), приходим к приближенному равенству для мультипликативного интеграла по отрезку [i0,i]

/Ы

п{.(П«П[1+у(т)(4*-».«*)] • (Ю)

к—п

Как показано в работе, указанную точность можно обеспечить заменив iij|+A (Р) (£« — какой-либо узел сетки) первыми т+1 членами разложения Пеано

т

ntt:+h{P) = I+'£X{l){t„t, + h) + 0(hrn+l), при Л -4 0. (11) <=1

На вопрос о порядке ошибки в приближенном равенстве (10) отвечает доказанная в работе

Теорема. Предположим, что каков бы ни был отрезок [i,,i» + Л] С (¿О)*]» мы можем вычислить мультипликативный интеграл от матричной функции Р по этому отрезку с точностью до h) = 0(hm+l):

nJ:+fc (P) = I + y(m)(i.,i. + h) + Z{m+l){t„ t, + h).

Если при этом оказываются выполненными следующие два условия

1. существует постоянная К > 0 такая, что для всех f, 6 [¿о,?1) и для всех достаточно малых положительных h

|<£у"+1)(*.Л + А)| < К ■ hm+1, i,j € {1,..., S};

2. существует постоянная М > 0 такая, что для всех t, Е [f0, Т) и для всех достаточно малых положительных h

^т)(*.А + Л)|<М-Л, i,j € {1,... ,s}; ю

то

"¡0 (р) = П + +0(лга), Л 0.

к—п

Как показано в работе, условия данной теоремы вьтолняются в случае, если мультипликативные интегралы по частичным отрезкам приближенно заменяются частными суммами ряда Пеано.

Описанный метод построения вычислительных схем предполагает возможность точного вычисления повторных интегралов в разложении Пеано (9). Порядок апроксимации схем тем выше, чем больше членов ряда Пеано удается получить в аналитическом виде — в этом смысле наш метод является полуаналитическим. Для тех случаев, когда точно вычислить эти интегралы довольно сложно, в работе предложены две вычислительные схемы второго порядка апроксимации, которые построены с помощью квадратурных формул прямоугольников и трапеций. В дополнение к этому, в работе построена одна вычислительная схема третьего порядка апроксимации без использования разложения Пеано.

В четвертой главе разрабатывается и изучается математическая модель спиновой динамики массивной нейтральной дираковской частицы в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Кер-ра-Шилда с точки зрения распространения локализованного волнового пакета. Уравнение Дирака (1) в проекциях на построенную во второй главе тетраду (5) удобно представить в форме уравнения Шре-дингера

'1-Я* (.2,

с гамильтонианом вида Н = Н^, уа,т, V).

Мы ищем решение уравнения (12) в форме волнового пакета, локализованного в пространственной области ширины <1~х 71, где И, — характерный масштаб изменения метрики (И ~ (тах |)-1). Практически, 11 — величина порядка размеров источника гравитационного поля, с?-1 — величина порядка комптоновской длины волны частицы. Условие с/-1 «С И вполне естественно: ширина пакета в конфигурационном пространстве значительно меньше размеров источника гравитационного поля.

Пусть г = го(£) есть уравнение траектории, вдоль которой движется центр тяжести волнового пакета (г = (х,у,г), го(£) = (яоМ>2/о(0>2о(£)))- Разложим функцию £м(г,г) по степеням

(**-4(0),* €{1,2,3}:

е(г, () = £"(г0(*),0 + ^гв€"(го(«), 0 (г - го(0) + • • • •

Очевидно, что в области локализации волнового пакета второй член разложения имеет порядок <С 1. Поэтому с точностью до членов указанного порядка мы можем положить в уравнении (12) С =

Решение уравнения (12) ищем в виде разложения по спиральным состояниям: Ф = Фь + Фя, где Фь,я = ¿(1 Волновая функция

ф должна удовлетворять условию нормировки (2), которое в нашем случае принимает вид

/^ + 7 + =

Функции фь и фи ищем в виде:

Фьд{г,г) = "

(13)

1 (Я — Ро)2

= ЙIй3<! 6ХР 'íЕ<<4, ~ ^ ~

2<Р

о

ШАч,*),

здесь Ро — начальный импульс частицы, 1//,^ — спинорные амплитуды частицы, иь = (Р,-Г)т, [/я = (Я,Я)т', {(«) = €(г0(0.*). Е~ энергия. Вид функции Е уточняется далее, пока на Е не накладывается никаких ограничений кроме единственного: Е{чЛ) —> Е0{я) = \/У + ™2> при £->0.

Подстановка (13) в уравнение (12) приводит к следующей системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию спинорных амплитуд с точностью до членов порядка

где обозначено V = ук =

" 4(1 + £2) ' С 4(1+^)

12

Физический смысл имеют решения системы (14), удовлетворяющие асимптотическому при £ -* +оо условию

¡ырт - -. ад

где (?о(А) = (зт(А), соз(А))г, А — произвольный вещественный параметр. Очевидно, что Н^ есть нормированное на единицу, бо(А)Со(А) = 1, стационарное решение системы (14) для случая ^ = 0, т.е. для случая свободной частицы. Решения, удовлетворяющие этому асимптотическому условию, численно получить очень сложно, и, поэтому, необходимо найти подход к приближенному построению решений с указанной спецификой.

Как показано в работе, система уравнений (14) может быть сведена к следующей системе интегро-дифференциальных уравнений

Р.(Н+) = Р_(Н.) ±1Н2 Н+(Р_) - ¡н^ - ш2я_(П),

(16)

(П(«),Я_(*))Т = -\U-\t) ■ +1 У пк-^)А[?/-1(т).в(г)-(Г.(г),Я+(г))т]аг, (17)

+оо

где

^(Я4) = |(1±«гп)Г(Я), Г = П + Я = Я+ + Я_, п — единичный вектор вдоль волнового вектора д,

уЫ-Ё О \(п I гм + х I Л(1+£2/2)

и, -Е-дп-1(о + «„)± 8(1 + ^2) +1 4(1 + а , н> -1т 2(гта ± ± т 1 4(1+а ^ •

П-Ё + О На СП «Л т0

П-Е + Яп Ца «и) 1 4(1+^2) 8(1 + а 7+ 2(1 + п ,

в = _ ■1 С"» , ¡Л~о * _ 1 + €(€-€и)/2 о

Ь 42(1 + ^) '8(1+а ^ 1 4(1+

+ 1 + £2 V 2 2 / индексами "||" и "±" у векторов отмечены соответственно продольные и поперечные по п составляющие.

Далее в работе предлагается итерационная процедура построения решения системы (16), (17) в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра, равного отношению дебройлевской длины волны частицы к характерному масштабу изменения метрики. Интегрируя по частям, представим (17) в виде

(П(0,я_(4))т = (П„(0,я_„(*))т + МО. (18)

где

= ¿(-¡^-'(О • тгЧо] 1 да • (F-(t),H+(t))T},

М<) = t N

= iNJ tlk-i«)^-«-1^)] {B(r).(F.(r),H+(r))T}dr.

(19)

-t-OO

Равенство (19) выражает N-oe приближение к F+ и H_ через и Я+лг- Подстановка (19) в (16) позволяет получить дифференциальные уравнения для iV-oro приближения к F. и Я+.

Для оценки остаточного члена Rjv потребуем выполнения следующих условий относительно характера поведения метрики и ее производных при г —> +оо (г = у/х2 + у2 + z2):

К (i"nL=0 (да) -г +0°- i^i=2- ■ • • (2°)

D0r =, Р = (PuthM № = А + А +А, и оценка (20)

выполняется равномерно по i € [0, +оо];

го(«) = |го(01~М-»+°°- (21)

Тогда, очевидно, |(£)n (¿"(f) )|max = « +оо, n =

0,1,2,... Условию (20) очевидно удовлетворяет метрика Керра.

В этом случае для Ядг справедлива оценка

„2

шах 1<*<4

Во втором приближении указанной процедуры получена система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая спиновые переходы массивного нейтрино, движущегося в гравитационном поле Керра-Шилда:

где Л(«)(я+(«)) = ехр( - /ю(т)бт) ■ (Н+(ф, ю ~

П ~В уравнениях (22) функция Е уже не произвольна, а определена из дополнительного условия, которое фактически является условием наиболее медленного (по сравнению с членом 1

ехр(1 / £(г))с!г)) изменения функций Р и Я со временем. Точ-о

ное выражение для Е:

Ц(£д) + у/д* + тЧ[$х д\* + 1 + [£ х п]?/4)

Ем =-^-■

Численные расчеты были проведены на примере одной из самых интересных для астрофизических приложений метрик — аксиально симметричной стационарной метрики Керра (4). Изучался случай движения частицы в экваториальной плоскости, т.е. плоскости ортогональной оси вращения гравитирующей массы и проходящей через центр симметрии гравитационного поля. При этом в качестве параметра вдоль интегральных кривых системы (22) удобнее взять не время, а радиальную координату г. Выбранный нами численный метод заключается в приближенном построении оператора фазового потока системы (22) с помощью одной из вычислительных схем, полученных в третьей главе. На рис. 1 представлены некоторые результаты численного расчета: зависимость вероятностей ЪУ^ и IVц от г 2т ро гд . . .

параметра х = — , Ь = -^ , и от параметра А € 1 я/8,..., 7г V,

Ь 7Н(£о + Ро) определяющего асимптотику значений И^.л при х оо.

12 14

рис. 1 сплошная линия -пунктирная линия - И'я(х)

В данной главе установлены границы применимости изучаемой модели. Характерное время то расплывания волнового пакета определяется условием

3 ,2 Ч (1 + кет.х) . 2 ЯоЫ ~ '

К — положительная постоянная, а время Д£, за которое пакет существенно не изменит свою форму, и расстояние Дг, на котором можно пренебречь расплыванием волнового пакета, соответственно условиями

2Д0(Ро) 2Ео(р0)

Д* <

Дг <

3^(1 + щи ' 3^(1 + '

Глава заканчивается построением аналогичной модели для случая слабоискривленного пространства-времени с геометрией достаточно общего вида. Для этого случая удается провести аналогичный анализ и получить систему уравнений, описывающую спиновые переходы.

Заключение.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Получено новое представление общековариантного уравнения Дирака для случая искривленного пространства-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, коэффициенты которого записаны в виде билинейной комбинации компонент изотропного лоренц-вектора, определяющего метрику, и их производных.

2. Решение уравнения Дирака, имеющее вид волнового пакета, с точностью до членов порядка отношения характерной ширины пакета к

характерному масштабу изменения метрики, сведено к решению системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для спинорных амплитуд.

3. Разработан метод оценки влияния на решение уравнения Дирака эффекта расплывания волнового пакета в искривленном пространстве-времени. Установлены границы применимости изучаемой найденного в работе приближения нерасплывающегося волнового пакета.

4. Предложена итерационная процедура построения решения указанной системы уравнений в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра, равного отношению дебройлевской длйны волны частицы к характерному масштабу изменения метрики.

5. Во втором приближении указанной процедуры получена система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая спиновые переходы массивной нейтральной дираков-ской частицы.

6. В первом по массе приближении получены аналитические формулы для вероятностей спиновых состояний массивной нейтральной дираковской частицы. Доказано, что вклад в изменение вероятностей дают члены порядка скорости изменения метрики в направлении движения пакета.

7. На основе разложения Пеано разработаны вычислительные схемы для приближенного построения оператора эволюции линейной дифференциальной системы и изучено их применение для численного решения системы описывающей спиновые переходы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Kumpjak D.E., Tsvetkov V.P. A solution of the Dirac equation in the slightly curved space-time in the form of the wave package.// 1-st Int. Conf. "Modern Trends in Computational Physics", Dubna, 1998. P. 108.

[2] Кумпяк Д. E., Цветков В. П. Решение уравнения Дирака типа волнового пакета в слабоискривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.// Моделирование сложных систем: сб. науч. тр. Вып. 1, Тверь, 1998. С. 24-28.

[3] Кумпяк Д.Е. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для частицы, движущейся в гравитационном поле Керра.//

Моделирование сложных систем: сб. науч. тр. Вып. 1, Тверь, 1998.

[4] Кумпяк Д.Е. Асимптотические методы решения системы уравнений для спинорных амплитуд в метрике Керра-Шилда.// Ученые записки ТвГУ. Т. 5, Тверь, 1999. С. 33-37.

[5] Кумпяк Д.Е., Цветков В.П. Решение уравнения Дирака типа волнового пакета в слабоискривленном пространстве-времени с произвольной метрикой.// Моделирование сложных систем: сб. науч. тр. Вып. 2, Тверь, 1999. С. 131-135.

[6] Кумпяк Д.Е., Цветков В.П. Асимптотика решения системы уравнений для спинорных амплитуд нейтрино, движущегося в слабоискривленном простанстве-времени.// Моделирование сложных систем: сб. науч. тр. Вып. 2, Тверь, 1999. С. 136-140.

[7] Цветков В.П., Кумпяк Д.Е. Массивная нейтральная дираковс-кая частица в, искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.// Теоретическая и математическая физика, (в печати), 2000.

[8] Цветков В.П., Кумпяк Д.Е. Спиновая динамика массивного нейтрино, движущегося в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.// Математическое моделирование, (в печати), 2000.

С. 29-33.

Введение.

Глава 1. Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени.

§1.1 Основные геометрические аспекты общей теории относительности.

1.1.1 Ковариантное дифференцирование и тензор кривизны

1.1.2 Метрическая связность без кручения.

1.1.3 Геометрическая формулировка основных постулатов ОТО.

1.1.4 Тетрадный формализм.

Коэффициенты вращения Риччи.

1.1.5 Метрика в форме Керра-Шилда.

1.1.6 Аксиально симметричная стационарная метрика Керра как пример мерики в форме Керра-Шилда.

§1.2 Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени.

1.2.1 Алгебры Клиффорда.

1.2.2 Спинорная группа.

1.2.3 Спиноры и оператор Дирака.

Уравнение Дирака в проекциях на произвольную тетраду.

§1.3 Волновые пакеты.

Глава 2. Общая теория спиновых явлений в искривленном пространстве-времени.

§2.1 Общая теория спина.

§2.2 Теория спина на основе уравнения Дирака.

Оператор киральности.

§2.3 Построение действительной ортогональной тетрады и вычисление коэффициентов Фока-Иваненко для метрики в форме Керра-Шилда.

2.3.1 Построение действительной ортогональной тетрады для метрики в форме Керра-Шилда.

2.3.2 Вычисление коэффициентов Фока-Иваненко для построенной в предыдущем пункте тетрады.

Глава 3. Теория мультипликативного интеграла.

§3.1 Мультипликативный интеграл. Ряд Пеано.

§3.2 Вычислительные схемы на основе разложения Пеано для приближенного построения мультипликативного интеграла.

3.2.1 Асимптотическое разложение мультипликативного интеграла на отрезке + Н] "малой" длины к.

3.2.2 Оценка глобальной погрешности.

3.2.3 Вычислительные схемы для построения мультипликативного интеграла в случае, когда члены ряда Пеано вычисляются приближенно.

3.2.4 Вычислительная схема, построенная без использования разложения Пеано.

Глава 4. Решение уравнения Дирака в форме волнового пакета в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

§4.1 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для точечной массы, движущейся в гравитационном поле Керра.

4.1.1 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

4.1.2 Движение в экваториальной плоскости и радиальное движение.

§4.2 Решение уравнения Дирака в форме волнового пакета для случая метрики в форме Керра-Шилда.

Границы применимости изучаемой модели.

4.2.1 Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

4.2.2 Построение волнового пакета.

4.2.3 Оценка скорости расплывания волнового пакета.

§4.3 Система уравнений, описывающая эволюцию спинорных амплитуд массивной нейтральной дираковской частицы, движущейся в пространстве-времени Керра-Шилда.

4.3.1 Итерационная процедура построения решения.

4.3.2 Система уравнений, описывающая спиновые переходы

§4.4 Результаты численных расчетов.

§4.5 Случай слабоискривленного пространства-времени с геометрией достаточно общего вида.

4.5.1 Выбор тетрады.

4.5.2 Решение в виде волнового пакета. Система уравнений, описывающая эволюцию спинорных амплитуд.

4.5.3 Итерационная процедура построения решения.

Значение математического моделирования при изучении тех астрофизических процессов, получение экспериментальной информации о которых весьма затруднительно, чрезвычайно велико.

Особую роль в реальных астрофизических явлениях играют нейтринные процессы в сильных гравитационных полях. Вместе с тем, остается малоизученной спиновая динамика массивных нейтрино, движущихся в искривленном пространстве-времени. Существенной чертой подобных процессов является то обстоятельство, что проведение экспериментальных исследований крайне затруднено, либо в настоящее время технически невыполнимо. Следовательно, не вызывает сомнения необходимость применения математического моделирования для изучения поведения спиральности массивных нейтральных дираковских частиц с учетом заметной искривленности пространства-времени.

Настоящая диссертация посвящена разработке и исследованию математической модели, описывающей спиновую динамику массивного нейтрино, движущегося в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

Нейтрино — электрически нейтральная элементарная частица со спином 1/2 (в единицах постоянной Планка К). В настоящее время известно, что нейтрино не совпадает со своей античастицей и что существуют электронные и мюонные нейтрино (и антинейтрино). Нейтрино относятся к группе лёгких элементарных частиц — лептонов и участвуют в характерных для этой группы процессах слабого взаимодействия [1, 2]. Существует несколько типов нейтрино, каждый из которых соответствует определенному заряженному лептону и имеет с ним одинаковые, сохраняющиеся во взаимодействиях лептонные заряды: электронное нейтрино (ре) соответствует электрону (е~~) и имеет электронный лептонный заряд Ье = 1 и мюонный лептонный заряд Ь^ = 0; мюонное нейтрино (уу) соответствует мюону (//") и имеет Ье = 0, Ь^ — 1; предполагают существование нейтрино (Уг), соответствующего тяжелому лептону (т~). Каждый тип нейтрино имеет свою античастицу (антинейтрино) с противоположным по знаку лептонным зарядом и спиральностью.

Гипотеза о существовании нейтрино была высказана В. Паули в 1931 г., но только в середине 50-ых годов нейтрино удалось зарегистрировать вблизи ядерных реакторов. Экспериментальные данные подтверждают представление о нейтрино как о стабильной частице, имеющей определенную спиралъностъ (А) — проекцию спина на направление импульса [3, 4, 5, 6]. Вопрос о наличии у нейтрино массы покоя в настоящее время большинство исследователей решает в положительную сторону, экспериментальные данные указывают на наличие у нейтрино массы ти < 30 эВ [7, 8, 9, 10].

Нейтрино, как и всякая частица со спином 1/2 описывается релятивистским волновым уравнением Дирака [11, 12, 3, 13, 14, 15, 16], решением которого является четырехкомпонентая спинорная волновая функция [17, 18], и имеет четыре состояния, соответствующие четырем линейно независимым решениям: два со спиральностью Л — —1/2 — "левое" ("левовинтовое") нейтрино и "левое" антинейтрино VI и два с Л = +1/2 — "правое" ("право-винтовое") нейтрино и "правое" антинейтрино Т7ц. Экспериментально наблюдались только "левовинтовые" нейтрино. В 1957 году Л.Д. Ландау и независимо от него А. Салам [19, 20, 21] построили двухкомпонентную теорию спирального нейтрино, в которой нейтрино имеет только два состояния: либо г/£ и либо vr и vl, т.е. нейтрино и антинейтрино имеют противоположные значения спиральности. Для спирального двухкомпонент-ного нейтрино операция пространственной инверсии (изменение ориентации системы координат) и операция зарядового сопряжения (переход от частицы к античастице) каждая в отдельности не имеет физического смысла, т.к. переводит реальное нейтрино в нефизическое состояние с неправильной спиральностью. Физический смысл имеет только произведение этих операций — т.н. комбинированная инверсия, превращающая реальное нейтрино ui (vr) в реальное антинейтрино 77й (vl) с противоположной спиральностью. Еще в 1929 г. Г. Вейль предложил уравнение, описывающее двухкомпонентный безмассовый фермион с определенной спиральностью. Идея Вейля в то время была отвергнута из-за противоречия с требованием сохранения зеркальной симметрии (четности), а уравнение Вейля было забыто.

Согласно современным космологическим представлениям нейтрино — одна из самых распространенных частиц во Вселенной. Теория горячей Вселенной предсказывает [22, 23, 24] наличие в современной Вселенной фона реликтовых нейтрино со средней плотностью Nv = 150см-3, где Nv — число сортов нейтрино. По распространенности нейтрино лишь немного уступают фотонам, но их приблизительно в миллиард раз больше, чем протонов и электронов [25, 8].

Отличительное свойство нейтрино, определяющее их роль в природе, — крайне высокая проникающая способность. Звёзды и другие космические объекты прозрачны для нейтрино [26, 27]. Поэтому нейтрино, рождающиеся внутри звёзд даже в малом количестве по сравнению с фотонами, могут уносить наружу много энергии. При звёздных взрывах типа вспышек Сверхновых звёзд и космических взрывах ещё большего масштаба нейтрино могут уносить уже значительную долю выделившейся энергии. Выяснение условий, при которых звезда становится непрозрачной для нейтрино и вспыхивает как Сверхновая, принадлежит к важным задачам нейтринной астрономии [25].

В природе существуют нейтрино со значениями энергий (Ev) в огромном интервале [1, 2]: от реликтовых нейтрино с Ev ~ Ю-4 эВ, заполняющих, согласно модели горячей Вселенной, все космическое пространство, до нейтрино, рождаемых в соударениях космических лучей с ядрами межзвездной среды и имеющих энергию вплоть до Ю20 эВ. В лабораторных условиях интенсивными источниками нейтрино (точнее, антинейтрино) низких энергий являются ядерные реакторы; потоки нейтрино более высоких энергий — до сотен ГэВ генерируются с помощью ускорителей заряженных частиц.

Предположение о наличии у нейтрино массы покоя проливает новый свет на давно изучаемую проблему формирования космических тел из однородного вещества ранней Вселенной [28, 29, 8, 30]. Подавляющее большинство космических нейтрино — космологического происхождения [26, 23, 22, 31, 32]. Они не испущены звездами или другими телами, а возникли вместе с протонами, электронами, нейтронами и другими частицами 15-18 миллиардов лет назад. При той массе покоя, которую сообщают экспериментаторы, и ввиду огромного преобладания по числу, нейтрино оказываются преобладающими приблизительно в десять раз и по полной массе над всеми другими частицами Вселенной. Ими определяется общее поле тяготения космической среды, их собственное взаимное притяжение заставляет нейтрино собираться в огромные по размеру и массе сгущения, а все остальные частицы (за исключением фотонов) следуют за нейтрино, увлекаемые гравитационным полем этих сгущений. Нейтрино принадлежит, таким образом, очень важная роль в космогонии галактик и скоплений.

Согласно теории, разработанной группой Я.Б. Зельдовича [23, 28, 24], последовательность событий в эпоху формирования галактик такова. Сначала формируются нейтринные сгущения с массой самых крупных скоплений или сверхскоплений галактик. Газ других частиц, захваченный этими сгущениями, сжимается и разогревается, потом наступает его охлаждение, а вслед за тем фрагментация наиболее плотных слоев на протоскопления и про-тогалактики. Сами же сверхскопления (т.е. системы, содержащие много галактик и целых скоплений) при этом не исчезают, а продолжают существовать, хотя они могут и не быть столь связанными и стационарными, как галактики и скопления. В ходе общей фрагментации среды нейтрино тоже испытывают скучива-ние, образуя нейтринные короны массивных галактик. В этой картине не все пока что разработано одинаково подробно. Наиболее хорошо изучена сейчас начальная стадия процесса, когда исходные неоднородности, охватывающие массы сверхскоплений, представляли собой слабые возмущения, усиливаемые гравитационной неустойчивостью.

В соответствии с данными о реликтовом излучении и сведениями о массе покоя нейтрино теоретики выделяют [33, 34] три различные эпохи в эволюции первичных догалактических возмущений. В первую, самую раннюю из них, длившуюся не более долей секунды от начала космологического расширения, нейтрино испытывали столкновения между собой и с другими частицами, обмениваясь энергией и импульсом благодаря слабому взаимодействию, и все частицы составляли вместе единую среду, находившуюся в термодинамическом равновесии; температура среды была так велика, что тепловые скорости всех частиц приближались к скорости света. Во вторую эпоху, длившуюся приблизительно сто тысяч лет, слабое взаимодействие уже несущественно из-за существенного снижения плотности и температуры среды в ходе ее общего расширения, нейтрино перестают сталкиваться и взаимодействовать между собой и с другими частицами, но остаются еще релятивистскими в том смысле, что скорости их тепловых движений сравнимы со скоростью света. Космическая среда в эту эпоху состоит из двух компонент, взаимодействующих только гравитационно, — из несталкивающихся нейтрино и смеси вещества с фотонами. В третью эпоху, длящуюся до сих пор, нейтринная компонента является уже нерелятивистской.

Если нейтрино имеют массу покоя, то они не могут быть равномерно распределены по Вселенной, а подобно всем частицам с массой покоя, должны сгущаться в образования того или иного масштаба под влиянием их взаимного гравитационного притяжения. Такие нейтринные скопления способны создать вокруг галактики обширное облако — т.н. нейтринную корону. В конце 70-ых годов астрономы получили довольно убедительные наблюдательные указания на то, что наша Галактика и другие крупные галактики обладают обширными коронами (пока не ясно — являются ли эти короны нейтринными), простирающимися далеко за пределы видимой звездной системы. Короны не излучают света, но заключенная в них масса превосходит, как полагают, полную массу звезд. Природа этой т.н. скрытой массы представляет собой одну из самых трудных загадок астрономии. Кроме того, предполагают, что стационарность и связанность в гипергалактиках, в скоплениях галактик достигаются также благодаря наличию в них скрытой массы. Одно из возможных решений этой проблемы — галактические короны это именно нейтринные скопления [23]. Нейтрино является замечательным кандидатом на роль носителя скрытой массы Вселенной, поскольку реликтовые нейтрино весьма обильны во Вселенной.

Ядерные процессы, приводящие к образованию нейтрино, происходят в недрах Земли и ее атмосфере, внутри Солнца и в звездах. Предполагается, что мощные потоки нейтрино генерируются при гравитационном коллапсе звездного ядра [34, 27] — катастрофически быстром сжатии звезды под действием сил тяготения после прекращения в ее ядре термоядерных реакций, поддерживающих гидростатическое и тепловое равновесие звезды. При коллапсе большая часть энергии гравитационной связи 1053 эрг) выделяется в конечном итоге в виде потока мюонных и электронных нейтрино, образующихся во время коллапса в результате ней-тронизации и теплового излучения [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 27, 49, 50, 51]. Расчёты по проверке гипотезы универсального слабого взаимодействия в приминении к теории вспышек Сверхновых показывают [44, 45, 46, 47, 48], что на определённом этапе после вспышки должен включаться процесс быстрого охлаждения звезды. Этим процессом мог бы быть унос энергии нейтрино, рождёнными при аннигиляции элекгронно-позитронных пар. Это связано с тем, что испускание нейтрино происходит из самых горячих, внутренних областей звезды, обладая большими свободными пробегами, нейтрино могли бы ускорить потерю энергии такими звёздами [52]. Расчёты показали, что достаточно сильный поток нейтрино может получаться даже за счёт сочетания обычных/^-процессов распада ядер (т.н. урка-процесс [34]). Плазменный процесс испускания нейтрино заключающийся в распаде квантов электромагнитного излучения на пары нейтрино-антинейтрино даёт заметный поток нейтрино уже при сравнительно умеренных температурах. Существует гипотеза [27], по которой плазменный процесс испускания нейтрино играет существенную роль в конечных стадиях эволюции звёзд малой массы при переходе от красного гиганта к белому карлику: из расчётов эволюции, следует, что достаточная скорость превращения центральной звезды в белого карлика может быть достигнута только за счёт плазменного процесса испускания нейтрино.

Трудности в получении подробной экспериментальной информации о нейтринных астрофизических процессах проходящих в экстремальных физических условиях требуют построения математических моделей адекватно описывающих эти процессы. Тогда даже скудная экспериментальная информация позволит сделать важные заключения о характере поведения материи в этих условиях.

Характерной чертой описанных процессов является то обстоятельство, что они происходят в сильных гравитационных полях. Поэтому, для адекватного описания в подобных ситуациях влияния гравитационного поля на нейтрино необходимо учитывать эффекты ОТО, т.е. учитывать заметную искривленность пространства-времени. Следовательно, возникает необходимость в построении и исследовании математических моделей описывающих нейтринные процессы в искривленном пространстве-времени.

Поскольку нейтрино — объекты квантовой природы, то их точное описание возможно лишь на основе квантового релятивистского волнового уравнения Дирака [13]. В дополнение к этому, необходимо учитывать влияние на нейтрино внешнего гравитационного поля.

Впервые, уравнение, описывающее влияние гравитационного поля на нейтрино было предложено Д.Д. Иваненко и В.А. Фоком в 1929 г. [53]. Данное уравнение представляет собой обобщение классического лоренц-ковариантного уравнения Дирака на случай искривленного простраиства-времени.

Построение моделей астрофизических процессов на основе общековариантного обобщения уравнения Дирака — давно разработанное направление математической физики [14, 59, 99]. Однако, малоизученным остается такое явление как спиновая динамика массивных нейтральных дираковских частиц, движущихся в сильных гравитационных полях. Впервые математические модели поведения спиральности массивных нейтрино в релятивистском гравитационном поле были построены и изучались в работах В.П. Цветкова [97, 98]. Дальнейшее изучение указанной проблематики отражено в данной работе.

Целью настоящего диссертационного исследования является изучение роли массового члена общековариантного уравнения Дирака в спиновой динамике нейтрино. Заметим, что при классическом (т.е. не квантовом) описании спина [14] масса частицы явно не входит в уравнения, описывающие динамику спина: + = О, где 5м — компоненты вектора спина, ии — компоненты 4-скорости частицы, — коэффициенты римановой связности.

В данной работе мы ограничиваемся изучением движения массивного нейтрино в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, поскольку структура релятивистского гравитационного поля вдали от источника поля наиболее просто описывается метрикой данного вида. Несмотря на специальный вид этой метрики, основные черты решения сохраняются и в достаточно общем случае [90, 91].

В диссертации используется система единиц, в которой с = Гг — 1. Нумерация формул — двойная, первая цифра указывает номер главы.