автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование смешивания дисперсных материалов в вибросмесителях лоткового типа

На правах рукописи

ШТЕФАН РУДОЛЬФ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СМЕШИВАНИЯ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ВИБРОСМЕСИТЕЛЯХ ЛОТКОВОГО ТИПА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Р^С-

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2004 г.

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (техническом университете)

Научный руководитель -

Доктор технических наук, профессор Веригин Александр Николаевич. Официальные оппоненты -

Доктор технических наук, профессор Холодное Владислав Алексеевич Кандидат технических наук, доцент, Ишутин Алексей Георгиевич

Ведущая организация -

ФГУЛ «ФНПЦ «НИИ прикладной химии» (г. Сергиев-Посад Московской обл.).

седании диссертационного совета Д 212.230.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (техническом университете) по адресу: 190013, г. Санкт-Петербург, Московский пр.,26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 190013, Санкт-Петербург, Московский пр.,26, СПбГТИ(ТУ), Ученый Совет.

П /О

Ав гореферат разослан « »------------2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета ^ у"

к.т.н., доцент ' В.И. Халимон

2004 г. в

часов на за-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Композиции, приготавливаемые путем смешивания дисперсных материалов, имеющих различные размеры и физические свойства, находят самое широкое применение. Они служат основой для получения новых материалов со свойствами, отличными от свойств исходных. Несмотря на то, что дисперсные материалы перерабатываются в промышленности уже долгие годы, их смешивание и в настоящее время остается одним из самых малоизученных физических процессов.

С, точки зрения постановки задачи исследования имеем смесь дисперсных частиц, которые могут отличаться размером, плотностью, цветом.и т.д. Смесь приводятся во взвешенное состояние под действием колебаний, интенсивность которых постоянна по ее объему. Необходимо описать динамику перераспределения частиц ключевого компонента по объему смеси, с целью оценки ее качества. Поскольку качество такой смеси не остается постоянным даже после достижения ее равновесного состояния, то нас интересует, изменение числа частиц ключевого компонента в некотором конечном объеме (пробе ячейке), где их число конечно и соизмеримо, с размерами ячейки. В реальном дисперсном материале частицы в определенной степени связаны между собой и воздействуют друг на друга, поэтому на характер протекания процесса их смешивания оказывают влияние множество различных факторов, носящих случайный характер, а переход частиц из одной ячейки в другую имеет вероятностную природу и возможен только при их совместном встречном движении. На эти вопросы до настоящего времени не существует однозначного ответа и при всем многообразии известных моделей ни одна из них не претендует на полноту и окончательность описания изучаемого процесса. Это является одной из основных причин актуальности подобных исследований.

Цель работы. Целью настоящего исследования является разработка универсальной математической модели динамики смешивания дисперсных материалов, исследование закономерностей процесса на основе численного эксперимента и выработка рекомендаций по его соверше

Научная новизна работы. Предложена модель динамики смешивания дисперсных материалов, позволяющая прогнозировать изменение количества частиц ключевого компонента в пробе, в зависимости от ее объема, свойств сыпучих материалов и их концентраций, а также интенсивности воздействия на смесь в смесителе лоткового типа Получена возможность определения времени достижения равновесного состояния, и предсказания качества смеси дисперсных материалов

Разработан комплекс алгоритмов и программных средств, осуществляющих численный расчет по предложенным моделям смешивания дисперсных материалов, который может быть использован при моделировании изучаемого процесса в аппаратах различного назначения.

Практическая значимость. Разработана методика прогнозирования качества смешения - величины отклонения содержания ключевого компонента в смеси от заданного, в зависимости от времени проведения процесса Впервые предложено использовать фазовый портрет для описания поведения смеси во времени Даны рекомендации по улучшению качества и уменьшению времени смешивания сыпучих компонентов в производстве окрашиваемых полимерных композиций Предложен к применению смеситель лоткового типа с вибратором, который обеспечивает равномерное распределение порошкообразных компонентов среди гранул полимера. Выданы рекомендации по модернизации узла смешивания сыпучих материалов в производстве окрашиваемых полимерных композиций для ООО «Ситекс»

Апробация работы. Основные положения диссертации обсуждались на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Кострома, 2004 г, и на научных семинарах кафедры «Машины и аппараты химических производств» в Санкт-Петербургском Технологическом институте (Техническом университете), Санкт-Петербург, 2003,2004г

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

глав, оснрв^ы^де^дьзгд-^од рвб^ты и списка литературы Материал диссертации

I ч'^етпО-» I ..I Шí

в* " .

изложен на 127 страницах, содержит 26 рисунков, 13 страниц приложений и список литературы из 83 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава. Задача получения высококачественных смесей различного спектра дисперсных материалов, в том числе и с незначительными добавками жидких составляющих в качестве связующего, требует применения соответствующего универсального оборудования В процессе эксплуатации такой аппарат должен отвечать предъявляемым требованиям по качеству продукта и обеспечивать проведение процесса с высокой степенью эффективности и надежности Анализируя различные конструкции и область применения смесителей, следует отметить, что большинство из них пригодны только для переработки определен-HOI о класса материалов Одним из достаточно универсальных в этом смысле аппаратов может стать вибрационный смеситель лоткового типа. За счет вибрационного движения лотка дисперсный материал интенсивно перераспределяется по всему объему аппарата, а его наклон способствует перемещению материала снизу вверх, предотвращая сегрегацию частиц. В случае переработки влажных материалов или с добавками жидкой составляющей, вибрация способствует разрушению образующихся агломератов

Вторая глава посвящена анализу известных методов описания изучаемого процесса Поэтому мерой качества смеси выбираются параметры, характеризующие распределения случайных величин, такие как дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации Условимся, качество смеси оценивать величиной относительной дисперсии распределения по ее объему ключевого компонента

Возможен подход к решению задачи прогнозирования качества смеси, основанный на определении предельной величины относительной дисперсии ставится задача вычислить возможное отклонение концентрации ключевого компр-нента в пробе от ее среднего значения без учета времени смешивания и интенсивности воздействия на смесь Проведенные исследования показали, что нет достаточно надежных, а главное универсальных подходов к моделированию ди-

намики смешивания дисперсных материалов даже из частиц одного размера. Это потребовало создания модели способной ответить на поставленный вопрос.

Глава третья посвящена описанию поведения дисперсной системы, содержащей частицы одного размера, когда имеет.место равновесное динамическое состояние. Эволюция состояния системы определяется совокупностью внешних и внутренних параметров Внешние - энергетические параметры определяют характерный временной интервал процесса т.е. частоту происходящих изменений в системе, а внутренние- функцию интенсивности перехода из одного состояния в другое.

Модель эволюции динамической дисперсной системы построена с использованием двух допущений обрабатываемый материал может, быть представлен как совокупность элементарных групп частиц, сохраняющих определенную пространственную связность; подводимая к материалу энергия равномерно распределяется по объему системы Пусть - функция состояния микроканонического ансамбля, или пакета частиц, характеризует значение контролируемых параметров, изменяющихся при перемешивании. Переход к микроканоническому ансамблю частиц приводит к потере информации о макромасштабных флуктуациях функции состояния . Основные уравнения модели имеют следующий вид

Согласно выражения (1) перемешивание представляет собой обмен частицами между соседними пакетами. Изменение функции состояния во времени описывается разностным уравнением эволюции динамической системы, которое представляет собой модифицированное уравнение Колмогорова. При этом в аппарате содержится компонентов, а его объем разделен на М пакетов (ячейке)

из А частиц, и функция состояния Н{1,],п) соответствует числу ] частиц компонента, находящихся в и-ом пакете.

Функция D, (выражение (2)) является аналогом коэффициента диффузии и имеет смысл условной вероятности перехода частиц из пакета в пакет. Разность значений функции состояния в соседних пакетах частиц в момент времени характеризует движущую силу перемешивания. Интенсивность перехода .системы из одного; состояния в другое связана ср. случайным перемещением частиц внутри элементарных объемов. Она зависеть от величины вероятности одновременного перехода q частиц /-го компонента между элементарными объемами смеси (выражение (3)). Вид функции Бх(1} п) может быть определен из условия встречного движение потоков частиц между пакетами (см. рис. 1), и Б(1,],п) имеет смысл условной вероятности перехода частиц из пакета в пакет и заданная в виде (2), позволяет определить потоки частиц даже при достижении системой равновесного, состояния.

Выражение (4) задает закон распределения для вероятности перехода одиночной частицы. В качестве такого закона было принято распределение Вейбул-ла, которое охватывает большинство из применяемых на практике законов распределения. Распределение Вейбулла имеет параметр масштаба и числовой параметр А = 5,00, который был определен на основе экспериментальных данных.

Любая модель является замкнутой, если определены ее основные параметры. В нашем случае это реальное время перехода частицы и характерный временной интервал процесса (см. выражение (4)).

Реальное время перехода частицы может быть рассчитано исходя из основного уравнения диффузии {Дт) = ДI2 Юпер. Эффективный коэффициент перемешивания может быть определен исходя из следующего выражения . Линейный масштаб перемешиваемой области может быть принят равным высоте слоя материала на лотке аппарата Скорость может быть принята пропорциональной средней скорости движения дисперсного материала на лотке

С изменением интенсивности вибрации изменяется величина диссипируе-мой в объеме смеси энергии Энергия затрачивается на преодоление сил трения между отдельными частицами и между дисперсным материалом и лотком, и, в конечном счете, переходит в тепло. Коэффициент К* представляет собой отношение минимальной мощности, которую необходимо затратить на поддержание дисперсных частиц во взвешенном (подвижном) состоянии, к истинной скорости диссипации энергии в системе. Для лоткового смесителя величина К* будет постоянной по объему смеси.

Характерный временной интервал процесса Ат определяется величиной энергии Е, подводимой к системе. За малый промежуток времени Дт, находящиеся в одном из пакетов J, частиц ключевого компонента, могут либо перейти в соседний пакет, либо остаться на месте. Аналогично ведут себя частицы ключевого компонента J2 в смежном пакете. Величина Дг должна быть такой, что частица могла перейти в соседний пакет, но не имела бы возможности перескочить через него в следующий. С учетом скорости диссипации энергии в единице объема смеси и объема дисперсной частицы получим

Дх чд/'рдгад"5.

Впервые предложена модель процесса перемешивания дисперсных материалов, которая учитывает физические свойства материала, размер частиц и раз-

мер пробы, а также интенсивность перемешивания Согласно общей поставленной задачи практическое применение модели предполагало решение двух частных задач оценку равновесного состояния смеси (ее качества) и времени достижения равновесного состояния при заданной интенсивности ее перемешивания

Для оценки равновесного состояния смеси достаточно рассмотреть обмен между двумя пакетами (ячейками) Модель процесса в этом случае будет иметь следующий вид

В рамках данной задачи перемешивание представляется в виде обмена частицами между находящимися в контакте пакетами 1 и 2 Согласно модели можно определить число / частиц I е (0,к) ключевого компонента (частиц другого цвета), находящихся в каждом из двух пакетов с общим числом частиц к, в момент времени если известно их содержание в момент времени

Рис 2. Схема смешивания дисперсного материала по высоте вибирающего слоя

Для оценки времени достижения смесью ее равновесного состояния необходимо рассмотреть динамику перераспределения частиц по сечению слоя материала на лотке (см. рис 2) В этом случае модель примет следующий вид ^ + Ах) = Л(т)-<Л/, 2(т))+<Д/2 ,(т)>,

У(т + Дт) = У(т)-<Д/„ , (т)) - (А/,^, (т)> + [(Л/, „(т)> + <Д/М100>],

Л(т+Дт)=- <л/„ „_,«>+< д/„ ,.„«>

]

Модель позволяет определить время достижения смесью равновесного состояния, которое оценивается по характеру изменения дисперсии распределения ключевого компонента по отдельным пакетам При достижении равновесного состояния наблюдается ее незначительное колебания вокруг некоторого постоянного значения

Четвертая глава посвящена непосредственно теоретическим и экспериментальным исследованиям изучаемого процесса В качестве пакета удобно рассмотреть отбираемую из смесителя пробу. Общее число частиц к в каждой пробе объемом зависит от масса одной частицы сыпучего материала та и должно быть цело Положим, что исследуемая смесь состоит из частиц со

средним размером 1 мм Рассмотрим различные величины заданной концентрации ключевого компонента 10%, 20%, 30%, 40% Моделирование динамики процесса будем проводить для проб различного объема. 0,5, 1 мл, 2 мл, 5 мл -соответственно а = У„/У =0,0005, 0,001, 0,002 и 0,005 Исходные данные для расчета мощность, затрачиваемая на перемешивание , плотность дисперсных частиц , число частиц в пакете, заданное (равновесное) число частиц ключевого компонента в пакете ]0 На рис 3 представлены результаты расчетов По прошествии определенного времени значения концентрации (числа частиц ключевого компонента) уже близко к заданным и в дальнейшем наблюдаются их колебания с незначительной амплитудой

При расчете относительной дисперсии распределения ключевого компонента в дисперсной системе проводится усреднение по времени с использованием значений числа частиц в пробе только для равновесного состояния

и

Число шагов п при моделировании должно быть значительно больше, чем это необходимо для достижения равновесного состояния Результаты вычислений показали, что разброс дисперсии в зависимости от объема пробы не превышает общей погрешности вычислений. Следовательно, необходимо использовать еще некоторую характеристику, в качестве которой может использоваться фазовый портрет и параметр его подобия - фрактальная размерность.

[201-1-;-]-,-г-1-1-1-1-1-1-i-1-"I-1-1-1-1-1-

\

I '

100 1

. м .. , . .

80 -| ' " J '

v у

40 - - , ' > , ""

20 -

01_I_1_I_1_I_1_I_I_I_I_I_I_I_1-1-1-1-1-1-

0 35 7 105 14 175 21 245 28 31 5 35 385 42 45 5 49 525 56 595 63 665 70

Рис. 3. Изменение количества частиц ключевого компонента в пробе объемом 1 мл при различной его концентрации, концентрация ключевого компонента 10%.

Построим псевдофазовый портрет процесса смешивания как график зависимости относительного числа перешедших в данный момент времени частиц ключевого компонента у, от их относительного содержания в этот момент времени в пакете (пробе) X . Определим величину как относительное число частиц ключевого компонента в последующий моменты времени Y¡ =/|(т + Дт)/ ]„. Если частицы ключевого компонента покидают ячейку, то эта величина меньше единицы, а если они приходят в нее - больше единицы

Величину X, определим, как относительное число частиц ключевого компонента в ячейке в данный момент времени . Если концентрация частиц ключевого компонента в ячейке в данный момент времени меньше равновесной , то величина В противном случае, когда концентрация частиц

ключевого компонента в ячейке в данный момент времени больше равновесной } 0, величина X, > 1 Графики позволяют найти новую характеристику изучаемого процесса, поскольку сохраняют свой вид не зависимо от его параметров

Для достижения максимальной полноты картины имеющих место переходов частиц рассмотрим большее, чем при построении графиков на рис 1 число шагов и положим «=4000. На рис. 2 приведены точечные графики У„ == /(Х„) для концентрации ключевого компонента 40% и различного объема пробы, который может рассматриваться как аналог фазового портрета процесса перемешивания Анализ показывает, что точки на рис. 4 расположены не хаотично, а покрывают строго определенные области, симметричные относительно У, = 1 и X, = 1 При этом с увеличением объема пробы и концентрации ключевого компонента общая симметрия фазового портрета нарушается - более вероятными становятся переходы при X, > 1, и сама доступная область переходов вытягивается строго по диагонали под углом 45°

16,-,-,-,-

л

л-

081-Л-1---1_

08 1 12 14 16

Рис. 4. Фазовые портреты процесса смешивания бинарных композиций из частиц одного размера при различном объеме пробы и концентрации ключевого компонента: объем пробы 0.005, концентрация целевого компонента 40%, дисперсия с=0,04807.

Можно сделать вывод о том, что для определенной равновесной концентрации и определенного объема пробы существует некогорая область так называемых «разрешенных» переходов, в которой сконцентрировано основное число точек графика Если наблюдается недостаток частиц ключевого компонента от-

носительно равновесной концентрации X, < 1, то наиболее вероятен и возможен переход дополнительных частиц в ячейку У < 1. Менее вероятно, что этого не произойдет, и еще какое-то количество частиц ключевого компонента покинет ячейку на следующем шаге У >1. Причем при определенных значениях X, <1 вероятность того, что новые частицы покинут ячейку, вообще равна нулю. В случае избытка по отношению к равновесной концентрации частиц ключевого компонента X, > 1, существуют определенные значения, при которых становится невозможным еще большее увеличение этого избытка. Помимо зоны «разрешенных» переходов, существует и зона «запрещенных» переходов, характеризующаяся отсутствием точек на фазовом портрете. При более крупном увеличении рис. 2 проявляется внутренняя структура фазового портрета (рис. 5), и мы видим отдельные точки.

Для каждого конкретного случая конфигурация «разрешенной» зоны строго определенная (см. рис 5). При этом предельные значения и аргумента, и функции практически не различаются.' Величина X, и У, колеблется в пределах от 0,8 до 1,6. Чем больше объем анализируемой ячейки (пробы) и чем больше заданная концентрация ключевого компонента, тем более насыщенным является график точек на нем больше и они сконцентрированы вдоль «разрешенной» зоны. Соответственно имеет место большее число различных вариантов перехода частиц.

Рис. 5. Увеличенный фазовые портреты процесса смешивания бинарных композиций из частиц одного размера (рис. 2), объем пробы 0.005, концешрация целевого компонента 40%,дисперсия: а- а=0,06511, при четырех кратномувеличений>;=вг,06322, общее число точек 10000 при восьми кратном увеличении

Основной численной характеристикой фазового портрета является его фрактальная размерность Предположим, что мы знаем о существовании некоторого распределения амплитуды колебания у хаотической системы в двухмерном фазовом пространстве с физическими переменными {У„,Х„}. В случае смешивания мы предположили, что У ~ относительное число перешедших в данный момент времени частиц ключевого компонента из ячейки в ячейку, и X - от их относительного содержания в этот момент времени в ячейке (пробе).

Необходимо провести дискретизацию изучаемого процесса Речь идет о выборке, временных значений через интервал, который должен быть

меньше времени установления равновесного состояния в системе В нашем случае временной интервал задается условиями задачи. Каждому интервалу времени соответствует точка на фазовом портрете

Для вычисления усредненной поточечной размерности выбирают случайным образом несколько точек . Для каждой выбранной точки вычисляют раст стояние до ближайших окружающих точек . Речь идет о точках, ближайших во времени, а не в пространстве Тогда число частиц перешедших одновременно на некотором шаге по времени будет равно среднему за два шага

Подсчитаем, сколько раз одновременно переходило не более чем частиц, и найдем искомую вероятность 1 *

= как функцию параметра ] , где — общее число точек в

выборке, Я - функция Хевисайда (Я = 1 при О-■£„„,)>0, # = 0 при (/-О<0)

Усредненная поточечная фрактальная размерность по определению есть величина (¡п = 11т[1о§^,(е)/1с^Е], при условии, что предел для </„ существует. Под Б понимается разность между числом частиц в ячейке и их равновесным значением

С использованием графика зависимости Р„ от / величина фрактальной размерности может быть рассчитана следующим образом Выбор

' »М - Л (т - Лт)! + (х) - У, (т + Лт)|)

требует известной осмотрительности. Верхний предел значений ) гораздо меньше максимальной величины числа частиц в ячейке, но достаточно велик, чтобы ухватить крупномасштабную структуру в t окрестности точки г„. Наименьшее значение у должно быть таким, чтобы наблюдалось хоть один раз. Рас четы показывают, что минимальное значение ] может быть принято равным 1.

Результаты расчета фрактальной размерности фазового портрета в зависи мости от объемного содержания ключевого компонента в смеси и объема пробы могут быть аппроксимированы следующим уравнением В

отличие от дисперсии, фрактальная размерность фазового портрета зависит от объема пробы, что делает ее более универсальной характеристикой смеси. Ее можно трактовать как коэффициент подобия фазовых портретов для смесей, которые отличаются объемным содержанием ключевого компонента. При этом важно знать объем пробы, которая используется для анализа качества смеси.

При проведении экспериментальных исследований ставились две основные задачи: проверка эффективности работы предложенного смесителя лоткового типа и обоснование предложенной методики описания динамики процесса смешивания. Экспериментальные исследования, которые включали две серии экспериментов, проводились на лабораторном смесителе (аналог промышленного аппарата) лоткового типа с электромагнитным вибратором (рис. 6). Его основные характеристики: объем лотка - 3 л.; коэффициент загрузки - 0,5, частота колебаний 50 Гц; амплитуда 0,25 - 1,5 мм; мощность электропривода-15 Вт.

В первой серии экспериментов, с целью исключения влияния на процесс физико-химических эффектов и сегрегации, смешивались частицы полистирола со средним размером 1 мм, которые различались друг от друга только цветом. Приготавливались смеси различных концентраций: 40%; 30%; 20% ключевого компонента. Смешивание проводилось в течение 5 мин. Через равные промежутки времени (Дт„_„ = 10 с) специально изготовленным пробоотборником отбирались пробы объемом 1; 2 и 5 мл. За счет нанесенных на пробоотборники рисок обеспечивался отбор проб каждого из указанных объемов с различной высоты от днища аппарата (5 мм; 10 мм; 50 мм) и из различных участков смеси от центра

аппарата к периферии Счетным методом определялось количество меченых частиц в каждой из трех проб одного объема, после этого результаты анализа усреднялись Затем по выражению (8), с учетом величины (число шагов, за которое смесь достигает равновесного состояния), рассчитывалась величина относительной дисперсии распределения ключевого компонента в смеси для каждой концентрации и каждого размера проанализированных проб

Р. 6. Схема экспериментальной установки: / - корпус, 2 - лоток, 3 - рессоры; 4 - электромагнит, 5 - крышка, 6 - кожух.

На рис 7 представлен график зависимости концентрации ключевого компонента (числа меченых частиц) от времени для объема пробы 5 мл и указанных концентраций ключевого компонента Как видим, характер теоретической и экспериментальной кривых совпадает Первоначально наблюдается значительное отличие концентраций ключевого компонента от равновесной По истечении определенного числа шагов щ~Ъ или 6, когда ключевой компонент уже распределен по всему объему смеси, наблюдаются колебания значений этих концентраций вблизи равновесного Смешивание идет на уровне микрообъемов, и колебания носят случайный характер Как видно из рис 1, экспериментальные точки попадают строго в область «разрешенных» переходов Следовательно, предложенный нами механизм описания случайных колебаний при помощи коэффициента , характеризующего подвижность частиц ключевого компонента, удовлетворительно моделирует ход реального процесса, что является подтверждением адекватности разработанной модели

J.

п

800

400

200

600

<

о

50 100 150 , 200 250 т

Рис. 7. Экспериментальная зависимость числа частиц ключевого компонента от времени смешения: объем пробы 5 мл при различных концентрациях: 1 - 20%, 2 - 30%, 3 - 40%.

Вторая серия. Во второй серии экспериментов ставилась цель проследить, как объем анализируемой пробы и заданная равновесная концентрация ключевого компонента влияют на величину относительной дисперсии смеси и как с этой точки зрения результаты эксперимента согласуются с теорией. При рассмотрении полученных результатов можно наблюдать ту же тенденцию изменения величины относительной дисперсии, что и при теоретическом моделировании: она уменьшается по мере роста заданной концентрации ключевого компонента и объема анализируемой пробы. Теоретические значения мало отличаются от экспериментальных для проанализированных проб и заданных концентраций, погрешность расчетов не превышает 15%, что может служить подтверждением адекватности предложенной динамической модели.

В четвертой главе даны рекомендации по оформлению узла смешивания сыпучих компонентов в производстве окрашиваемых полимерных композиций. В результате экспериментальных исследований было установлено, что при использовании смесителя лоткового типа (рис. 6) удается достичь хорошего качества продукта. По результатам экспериментальных исследований можно сделать вывод о целесообразности применения изучаемого аппарата для получения смеси сыпучих компонентов в производстве полимерных композиций.

В выводах подводятся итоги диссертационной работы.

В приложении содержится пример программы расчета по предложенной модели в среде МаШсаё и акт об использовании результатов диссертационного исследования

ВЫВОДЫ

В результате анализа литературы научного поиска и проведенных теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты

1. Перемещение частиц в аппарате носит случайный характер, и конечное качество смеси не зависит от начального распределения в ней компонентов, то при моделировании динамики процесса смешивания для более точного предсказания качества и времени смешивания необходимо учитывать изменение числа частиц в конкретном объеме (пробе) и использовать математический аппарат цепей Маркова

2. Разработанная модель динамики смешивания дисперсных материалов, позволяет прогнозировать- характер изменения концентрации ключевого компонента и вычислять

ее значения в любой момент времени, а также определять время достижения смесью равновесного состояния в зависимости от свойств смешиваемых материалов, их заданных концентраций, объема анализируемой пробы и количества подводимой к смеси энергии.

- качество смеси дисперсных материалов с учетом свойств частиц дисперсного материала и их взаимодействия между собой.

3. Предложен способ наглядного представления поведения смеси во вре-мени,позволяющий

- показать характер изменения числа частиц ключевого компонента в пробе заданного объема, в зависимости от того, насколько их количество в данный момент времени отличается от равновесного,

- выявить допустимую область изменения концентрации целевого компонента в пробе при смешивании.

4. Разработан комплекс алгоритмов и программных средств, осуществляющих численный расчет по предложенным моделям смешивания дисперсных материалов, который может быть использован при моделировании изучаемого процесса в аппаратах различного назначения.

5. Проведенные исследования по смешиванию дисперсных материалов в вибрационном смесителе лоткового типа позволили:

- выявить закономерности изменения концентрации ключевого компонента в зависимости от объема анализируемой пробы и рецептуры состава. Численные значения дисперсии распределения частиц ключевого компонента в смеси и тенденции ее изменения удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования;

- выдать рекомендации по модернизации узла смешивания сыпучих материалов в производстве окрашиваемых полимерных композиций.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Тур А.В., Веригин А.Н., Штефан Р.В. Концепция построения модели смешивания дисперсных материалов. Сб. Экология энергетика экономика выпуск VIII Безопасные экологические и экономические технологии. СПб.: Изд-во «Менделеев» 2003. С. 9-14.

2. Веригин А.Н., Штефан Р.В. Модель перемешивания частиц дисперсного материала в аппаратах лоткового типа. Сб. Экология энергетика экономика выпуск VIII Безопасные экологические и экономические технологии. СПб.: Изд-во «Менделеев» 2003. С. 43-54.

3. Веригин А. Н., Джангирян В. Г., Щупляк И. А., Штефан Р.В. Техника смешивания дисперсных материалов//Хим. пром. СПб.: 2004. №2. С. 84-89.

4. Штефан Р.В., Веригин А.Н. Методы описания динамики смешивания дисперсных материалов //Вестник Санкт-Петербургского института государственной противопожарной службы МЧС России. СПб.: 2004. № 1 [4]. С. 77-82.

5. Веригин А.Н., Штефан Р. Качество смешивания дисперсных материалов в аппаратах с вибрирующим слоем //Вестник Санкт-Петербургского института госу-

# 1 9 8 4 7

дарственной противопожарной службы МЧС России. СПб.: 2004. № 2 [5]. С. 124-131.

6. Веригин А.Н., Штефан Р., Зобнин В.В. Модель переноса частиц ключевого компонента по высоте вибрирующего слоя. Сб. трудов XVII Международной науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях-ММТТ-17» Кострома: Изд-во Костромского гос. технол. ун-та, 2004. С. 110-112.

7. Веригин А.Н., Штефан Р., Джангирян В.Г. Математическое моделирование динамики смешивания дисперсных материалов. Сб. трудов XXVII Международной науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях-ММТТ-17» Кострома: Изд-во Костромского гос. технол. ун-та, 2004. С. 137-142.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. - объем анализируемой пробы; - общее число частиц дисперсного материала в ячейке (пробе); - число частиц ключевого компонента в ячейке (пробе);

- характерный временной интервал процесса при моделировании; число контактирующих ячеек; <./(т + Дт)> - число частиц ключевого компонента, покидающее ячейку за время - число частиц ключевого компонента в ячейке соответственно в предыдущий и последующий момент времени; - вероятности перехода одиночной частицы ключевого компонента из контактирующих ячеек; Р1 - вероятность перехода группы из } частиц ключевого компонента; - мощность, приходящаяся на одну ячейку при смешивании; - величина относительной дисперсии распределения ключевого компонента в смеси;

- величина, равная отношению объема анализируемой пробы к общему объему смеси; п - число проанализированных проб, Р^ - вероятность перехода группы из q частиц ключевого компонента; Р^ - вероятность не перехода группы из j-q частиц; - плотность частиц ключевого компонента. - масса частицы ключевого компонента; - средняя пульсационная составляющая скорости движения материала на лотке; (5 — угол вибрации.

30.09.04 г. Зак. 178-65 РТП ИК «Синтез» Московский пр., 26

Введение

1. ПРИГОТОВЛЕНИЕ СОСТАВОВ НА ОСНОВЕ

ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Особенности вибрационного смешивания дисперсных материалов

1.2. Вибрационные аппараты для смешивания дисперсных материалов

1.3. Лотковые вибрационные смесители

1.4. Постановка задачи исследования

2. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ СМЕШИВАНИЯ

ДИСПЕСНЫХ МАТЕРИАЛОВ

2.1. Эмпирические методы исследования смешивания

2.2. Анализ структуры потоков с помощью функции распределения времени пребывания частиц потока внутри аппарата

2.3. Методы механики сплошных сред

2.4. Энтропийно-информационный подход

2.5. Статистический подход

2.6. Стохастический подход на основе уравнения

Колмогорова — Фоккера - Планка

3. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СМЕШИВАНИЯ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ В АППАРАТАХ ЛОТКОВОГО ТИПА

3.1. Структура и описание модели перемешивание

3.2. Модели перемешивания

3.3. Вероятностная модель переноса дисперсных частиц

3.4. Диффузионная модель переноса дисперсных частиц

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

4.1. Качество смешивания в аппаратах с вибрирующим слоем

4.2. Перенос частиц ключевого компонента по высоте вибрирующего слоя. Время смешивания.

4.3. Экспериментальная проверка адекватности модели.

Композиции, приготавливаемые путем смешивания дисперсных материалов, имеющих различные размеры, физико-механические и химические свойства, находят самое широкое применение. Они могут служить основой для получения новых материалов (керамики, металлокерамики, стекол, полимеров, резинотехнических изделий) со свойствами, отличными от свойств исходных материалов, что особенно ценно. Также они могут использоваться в качестве компонентов, вступающих в химическое взаимодействие или образовывать препарат, применяющийся в медицине или сельском хозяйстве.

Несмотря на то, что дисперсные материалы перерабатываются в промышленности уже долгие годы, их смешивание и в настоящее время остается одним из самых малоизученных физических процессов.

Природа дисперсные материалов не позволяет отнести их ни к твердым телам, ни к жидкостям. Способность дисперсные материалов принимать форму сосуда и возможность двигаться потоком роднит их с жидкостями. В то же время, каждая отдельно взятая частица обладает всеми свойствами твердого тела. Дисперсные материалы, состоящие из совокупности таких частиц, способны воспринимать внешние сжимающие нагрузки, что делает их похожими на твердые тела. Однако, в комплексе поведение дисперсные материалов в значительной степени отличается и от твердых тел и от каких бы то ни было жидкостей. Этим и объясняется то, что дисперсные материалы являются значительно более трудным объектом для исследования, чем твердые тела, а также жидкие и газообразные вещества.

В реальном дисперсном материале частицы в определенной степени связаны между собой и воздействуют друг на друга, поэтому на характер протекания процесса их смешивания может оказывать влияние множество различных факторов, в ТОхМ числе и носящих случайный характер.

Научно обоснованный выбор конструкции смесителя, предназначенного для смешивания конкретных дисперсных материалов, должен начинаться с изучения свойств этих материалов, т. к. они существенным образом влияют на конструктивные особенности аппарата и режимы его работы. Процесс смешивания протекает во времени и его ход, а также скорость зависят от правильности подбора аппарата, причем во многих случаях при правильном подходе может быть использовано уже существующее оборудование, что исключит необходимость разработки нового.

Если с учетом свойств смешиваемых материалов данный аппарат пригоден для их переработки, то основной величиной, влияющей на окончательный его выбор, служит необходимая степень однородности смеси.

В настоящее время нет согласованного мнения о том, что понимать под термином «однородная смесь», а следовательно нет и единой модели однородной смеси. Разработка математической модели процесса смешивания, включающей в себя описание однородного состояния смеси, позволит значительно упростить оценку эффективности применения того или иного аппарата в каждом конкретном случае. При этом отпадает необходимость проведения длительных эксперименг тальных исследований, что особенно важно при разработке нового смесителя.

Вообще, принято считать, что если ключевой компонент случайным образом распределен по всему объему смеси, то такая смесь является однородной. Это положение подчеркивает тот факт, что в основе процесса смешивания дисперсных материалов лежат явления, вероятностные по своей природе. Стохастический характер этого процесса проявляется прежде всего в случайном распределении потоков частиц по рабочему объему аппарата.

Можно ли «запрограммировать» эти случайные колебания? Вероятно, да, если при построении модели прибегнуть к некоторым упрощениям и рассматривать не весь объем аппарата, а отдельные его ячейки, являющиеся с точки зрения макрообмена стационарными, а для описания процессов, проходящих внутри ячеек воспользоваться методами, применяющимися при описании случайных процессов.

Важно выяснить, насколько в равновесном состоянии концентрация ключевого компонента будет отличаться от идеальной. Также понять, что же главным образом влияет на характер и амплитуду случайных колебаний значений концентраций. Также необходимо знать время, по истечении которого смесь достигает равновесного состояния.

Как уже отмечалось, на эти вопросы до настоящего времени не существует однозначного ответа и при всем многообразии существующих моделей ни одна из них не претендует на полноту и окончательность описания процесса смешивания дисперсных материалов. Это является одной из основных причин актуальности подобных исследований.

Итак, данная работа посвящена исследованиям закономерностей процесса смешивания сыпучих материалов и ставит конечной целью разработку вероятностной модели равновесного состояния смеси при ее приготовлении в вибросмесителях лоткового типа.

Цель работы. Целью настоящего исследования является разработка универсальной математической модели динамики смешивания дисперсных материалов, исследование закономерностей процесса на основе численного эксперимента и выработка рекомендаций по его совершенствованию.

Научная новизна работы. Предложена модель динамики смешивания дисперсных материалов, позволяющая прогнозировать изменение количества частиц ключевого компонента в пробе, в зависимости от ее объема, свойств сыпучих материалов и их концентраций, а также интенсивности воздействия на смесь в смесителе лоткового типа. Получена возможность определения времени достижения равновесного состояния, и предсказания качества смеси дисперсных материалов.

Разработан комплекс алгоритмов и программных средств, осуществляющих численный расчет по предложенным моделям смешивания дисперсных материа-' лов, который может быть использован при моделировании изучаемого процесса в аппаратах различного назначения.

Практическая значимость. Разработана методика прогнозирования качества смешения — величины отклонения содержания ключевого компонента в смеси от заданного, в зависимости от времени проведения процесса. Впервые предложено использовать фазовый портрет для описания поведения смеси во времени.

Даны рекомендации по улучшению качества (отсутствие комков и порошкообразных компонентов в свободном виде) и уменьшению времени смешивания сыпучих компонентов в производстве окрашиваемых полимерных композиций. Предложен к применению смеситель лоткового типа с вибратором, который обеспечивает равномерное распределение порошкообразных компонентов среди гранул полимера.

Апробация работы. Основные положения диссертации обсуждались на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Кострома, 2004 г., и на научных семинарах кафедры «Машины и аппараты химических производств» в Санкт-Петербургском Технологическом институте (Техническом университете), Санкт-Петербург, 2003, 2004г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов работы и списка литературы. Материал диссертации изложен на 127 страницах, содержит 26 рисунков, 13 страниц приложений и список литературы из 68 наименований.

ВЫВОДЫ

В результате анализа литературы, научного поиска и проведенных теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты:

1. Перемещение частиц в аппарате носит случайный характер, и конечное качество смеси не зависит от начального распределения в ней компонентов, то при моделировании динамики процесса смешивания для более точного предсказания качества и времени смешивания необходимо учитывать изменение числа частиц в конкретном объеме (пробе) и использовать математический аппарат цепей Маркова.

2. Разработанная модель динамики смешивания дисперсных материалов, позволяет прогнозировать:

- характер изменения концентрации ключевого компонента и вычислять ее значения в любой момент времени, а также определять время достижения смесью равновесного состояния в зависимости от свойств смешиваемых материалов, их заданных концентраций, объема анализируемой пробы и количества подводимой к смеси энергии. качество смеси дисперсных материалов с учетом свойств частиц дисперсного материала и их взаимодействия между собой.

3. Предложен способ наглядного представления поведения смеси во времени, позволяющий: показать характер изменения числа частиц ключевого компонента в пробе заданного объема, в зависимости от того, насколько их количество в данный момент времени отличается от равновесного, выявить допустимую область изменения концентрации целевого компонента в пробе при смешивании.

4. Разработан комплекс алгоритмов и программных средств, осуществляющих численный расчет по предложенным моделям смешивания дисперсных материалов, который может быть использован при моделировании изучаемого процесса в аппаратах различного назначения.

5. Проведенные исследования по смешиванию дисперсных материалов в вибрационном смесителе лоткового типа позволили:

- выявить закономерности изменения концентрации ключевого компонента в зависимости от объема анализируемой пробы и рецептуры состава. Численные значения дисперсии распределения частиц ключевого компонента в смеси и тенденции ее изменения удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования;

- выдать рекомендации по модернизации узла смешивания сыпучих материалов в производстве окрашиваемых полимерных композиций.

108

1. Штефан Р., Веригин А. Н., Джангирян В. Г., Щугшяк И. А. Техника смешивания дисперсных материалов//Хим. пром. СПб.: 2004. №2. С. 84-89.

2. Варсанофьев В.Д. Кольман-Иванов Э.Э. Вибрационная техника в химической промышленности. М.: Химия - 240 с.

3. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 216 с.

4. Филин В.Я. Современные конструкции смесителей для сыпучих и пастообразных материалов в СССР и за рубежом. М.: ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, 1972, 50 с.

5. Смесители для сыпучих и пастообразных материалов. Каталог. М.: ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, 1985, 64 с.

6. Моисеенко В.И. Классификация, изучение, разработка и конструирование смесительного оборудования для порошкообразных и зернистых материалов. В кн.: Проблемы химического машиностроения: М.: 1968 с. 42-50.

7. Членов В.А., Михайлов Н.В. Виброкипящий слой. М.: Наука, 1972. - 343 с.

8. Карамзин В.Д. Техника и применение вибрирующего слоя. Киев: Наукова думка, 1977.-239 с.

9. Макаров Ю.И., Зайцев А.И. Новые типы машин и аппаратов для переработки сыпучих материалов. М.: Моск. ин-т машиностроения, 1982, 85 с.

10. Бахтюков В.М. Бипланетарные смесители. Серия ХМ-1. Экспресс-информация. М.: ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, 1984, №11.

11. Кафаров В. В., Дорохов Н. Н., Арурюнов С. Ю. Системный анализ процессов химической технологии. Процессы измельчения и смешения сыпучих материалов. М.: Наука, 1985. v

12. Штефан P.B, Тур A.B., Веригин А.Н. Концепция построения модели смешивания дисперсных материалов. Сб. Экология энергетика экономика выпуск VIII Безопасные экологические и экономические технологии. СПб.: Изд-во «Менделеев» 2003. С. 9-14.

13. Холпанов Jl.П., Ибятов Р.И. Метод расчета динамики дисперсных частиц. Сб. трудов XVII Международной науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях-ММТТ-17» Кострома: Изд-во Костромского гос. технол. ун-та, 2004. Т. 1 С. 56-58.

14. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. Л., Химия, 1975. 524 с.

15. Макаров Ю. И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 248 с.

16. Александровский A.A. Исследование процесса приготовления многокомпонентных композиций из порошковых материалов. Диссертация. Казань: КХТИ, 1977, С. 297.

17. Богданов В.В., Торнер Р.В., Красовский В.Н., Регер Э.О. Смешение полимеров. Л.: Химия, 1979. 192 с.

18. Кафаров В. В., Дорохов И. Н. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Наука, 1976.428 с.

19. Макаров Ю. И. В кн.: Процессы и аппараты химической техники. Системно-информационный подход. М.: МИХМ, 1977, С 143-148.

20. Лысенко К. В. и др. Оценка качества смеси при смешивании многокомпонентных составов. Изв. высш. учеб. заведений. Химия и хим. технол., 1977, т. 20, № 2, С 279-282.

21. Непомнящий Е. А. Кинетика некоторых процессов переработки дисперсных материалов. Теорет. основы хим. технол., 1973, т. 7, № 5, С 754-763.

22. Ахмадиев Ф. Г. Моделирование кинетики процессов смешения композиций, содержащих твёрдую фазу. Изв. высш. учеб. заведений. Химия и хим. технол., 1984, т. 27, № 9, С 1096-1099.

23. Брагинский JI. Н., Бегачев В. И., Барабаш В. М. Перемешивание в жидких средах. Л.: Химия, 1984. 378 с.

24. Штефан Р., Веригин А.Н. Методы описания динамики смешивания дисперсных материалов //Вестник Санкт-Петербургского института государственной противопожарной службы МЧС России. СПб.: 2004. № 1 4. С. 77-82.

25. Веригин А.Н., Штефан Р.В. Качество смешивания дисперсных материалов в аппаратах с вибрирующим слоем //Вестник Санкт-Петербургского института государственной противопожарной службы МЧС России. СПб.: 2004. № 2 5. С. 124-131.

26. Raghav Rao К., S., М., S., Joshi J., В. Luqid-phas mixing and power cjnsumption in mechenically agitated solid-liquid cjntactors. // Chem. Eng. J. 1988. - V. 39. - № 2. -P. 111-124.

27. Тне effect of micromixing on parallel reac tions. / Baldyga J., Baurne J.R.//Chem. Eng. Sei 1990. - V. 45. - №4. -P. 907-916.

28. Nobholz U. Gut. verteilen: zweirotorig gebauter Merstromfluidmischer vereint Pulver mit Flüssigkeiten. // Maschinenmarkt. 1989. - V. 95 - № 40. - P. 36-37.

29. Liquid-liquid dispersion in turbulent Couette flow. / Leonard R.A., Bernstein G.J., Pelte R.H., Zeigler A.A. // "AIChE Journal". 1981. - V.27. - № 3. - P. 495-503.

30. Kipke Klausdieter. Einzelprobleme verbessern. // Chem. Ind. 1991. - V. 144. - № 6 . - P.58-60.

31. Генералов М.Б. Теоретические проблемы механики сыпучих сред. Всесоюзная конференция по технологии сыпучих материалов.: Тезисы докладов, Ярославль, 1989, Т.2, С. 178.

32. Geisler R., Mersmann А., Voit Н. Makro and Mikromischen im Runrkessel // Chem. - Ing, -Techn. - 1988. - 60, № 12. - P. 947-952.

33. Полянский В.П., Китаев Г.И. Новый подход к математическому моделированию одного класса процесса смешения гетерогенных систем //Тезисы докладов всесоюзной конференции "Технология сыпучих материалов", Ярославль, 18-21 сентября, 1989, Т. 2, С. 95.

34. Ахмадиев Ф. Г., Александровский А. А. В О целесообразности осуществления процесса смешения в полунепрерывном режиме, сб.: Современные аппараты для обработки гетерогенных сред. Межвузовский сборник. Л.: ЛТИ, 1984, С 76 -79.

35. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 468с.

36. Ахмадиев Ф. Г., Александровский А. А., Семенов И. П. Теоретическое исследование процесса смешения композиций, содержащих твёрдую фазу, в непрерывно действующим смесителе. Теор. основы хим. технол., 1978, т. 12, № 2, С 256261.

37. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 542 с.

38. Мальцев Н. Е. Об одной модификации метода ВКБ. Докл. АН СССР, 1983, т. 271, №5, С 1108-1111.

39. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1979.

40. Ахмадиев Ф.Г., Александровский A.A. Моделирование и реализация способовприготовления смесей. \ Журнал всесоюзного химического общества им. Д.И. Менделеева, 1988, №4, т.38, С. 448-453.

41. Макаров Ю. И., Зайцев А. И. Новые типы машин и аппаратов для переработки сыпучих материалов. М.: МИХМ, 1982.

42. Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 562 с.

43. Шервуд Г. Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. М.: Химия, 1982. 684 с.

44. Нигматулин Р. И. Введение в механику гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 486 с.

45. Кутепов А. М., Непомнящий Е. А. Результаты расчёта и закономерности уноса твёрдой фазы из гидроциклона. Теор. основы хим. технол., 1976, т. 10, № 3, С. 433.

46. Марков А. А. Исчисление вероятностей. М.: ГИЗ, 1924. 202 с.

47. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: ОНТИ, 1936. 350 с.

48. Колмогоров А.Н. О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении. Докл. АН СССР, 1941, т. 31, № 2, С. 99-101.

49. Хинчин, А. Я. Основные законы теории вероятностей. М.: ГИЗ 1932. 450 с.

50. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 225 с.

51. Непомнящий Е.А. Некоторые результаты изучения кинетики сепарирования и смешивания дисперсных материалов. Инж.-физ. журн., 1967, т. 12, № 5, С. 583591.

52. Непомнящий Е.А. Кинетика некоторых процессов переработки дисперсных материалов. Теор. основы хим. технологии, 1973, т. 7, № 5, С. 754-763.

53. Веригин А.Н.,. Ермаков А.С, Шашихин Е.Ю. Методика оценки состояния гетерогенных сред// ЖПХ. 1994. Том 67. №9. С. 1561-1562.

54. Веригин А.Н., Федоров B.C., Малютин М. С. Химико-технологические агрегаты конденсационного улавливания пыли. СПб.: Изд-во СпбГУ, 2000. 386 с.

55. Веригин А.Н., Федоров В.Н., Данильчук B.C. Химико-технологические агрегаты: Имитационное моделирование. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1998. 298 с.

56. Дорохов И.Н., Кольцова Э.М., Кафаров В.В. К теории расчёта процессов массовой кристаллизации из растворов в турбулентном потоке. // ДАН СССР. 1980. Т. 251. №3. С. 659-664.

57. Кардашев Г.А. Синергетические технологии //Тезисы докладов IV всероссийской научной конференции «Динамика процессов и аппаратов химической технологии» 18-19 октября, Ярославль, 1994, Т. 1,с. 197-198.

58. Бытев Д.О. Стохастическое моделирование процессов смешения сыпучих ма-, териалов // Вс. конф. по технологии сыпучих материалов: Тез. докл. Ярославль, 1989. т. 2. С. 74-77.

59. Штефан Р.В., Веригин А.Н. Модель перемешивания частиц дисперсного материала в аппаратах лоткового типа. Сб. Экология энергетика экономика выпуск VIII Безопасные экологические и экономические технологии. СПб.: Изд-во «Менделеев» 2003. С. 43-54.

60. Хейфец Л.И., Неймарк A.B. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982. 320 с.

61. Вареных Н.М., Веригин А.Н., Джангирян В.Г. Химико-технологические агрегаты смешивания дисперсных материалов. СПб.: Изд-во СпбГУ, 2001.408 с.

62. Першин В. Ф, Селиванов Ю. Т. Моделирование процесса смешивания сыпучих материалов в циркуляционных смесителях непрерывного действия. Теор. Основы хим. технол., 2003, т. 37, №6, С. 629-636.

63. Мизонов В.Е., Пономарёв Д. А. и др. Математическая модель смешения сыпучих материалов в циклическом поворотном смесителе. Изв. высш. учеб. заведений. Химия и хим. технол., 2004, т. 47, №4, С Л 61-164.

64. Мун Ф. Хаотические колебания: Водный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. 245 с.73.0лемский А.И., Флат А .Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды мультифракталы. // УФН. 1993. Т. 163. № 12. С. 1-50.

65. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. 196 с.

66. Михайлов Е.Ф., Власенко С.С. Образование фрактальных структур в газовой фазе // УФН. 1995. Т. 165. № 3. С. 263-283.76.3осимов В.В., Лямшев JI.M. Фракталы в волновых процессах // УФН. 1995. Т. 165. №4. С. 361-401.

67. Поликарпов М.И. Фракталы, Топологические дефекты и не вылет в решеточных калибровочных теориях//УФН. 1995. Т. 165. № 6. С.627-647.

68. Батунин A.B. Фрактальный анализ и универсальность Фейтенбаума в физике адронов II УФН. 1995. Т. 165. № 4. С.645-660.

69. Романов О.М. Наглядное моделирование фрактальных структур // УФН. 1995. Т. 165. №9. С. 1095-1098.

70. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть вторая. М.: Мир, 1990.400 с.

71. Холоднов В.А., Дьяконов В.П., Иванова E.H., Кирьянова JI.C. Математическоемоделирование и оптимизация химико-технологических процессов. СПб.: AHO НПО «Профессионал», 2003. 480 с.

72. Дьяконов В.П. MathCAD 2000: Учебный курс. СПб.: Питер, 2000. 1996. 586 с.