автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование случайных точечных распределений с крупномасштабными корреляциями фрактального типа

РГ6 од

1 * АПР 1398

на дразах рукописи

Гусаров Георгий Геннадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

П ТГГИ ГТТТТ «"41 Т » 1*1ТТТГЛ 1 ПТТТ Т1 ГТГ ТГ А Г"»ТГ4П Гт «ТТТТТ «-Г-» К гт

о лг^ дпимд^'ш 1 дйпшлш л-игглллцилми ФРАКТАЛЬНОГО ТИПА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности

05.13.18 - теоретические основы математического

моделирования, численные методы и комплексы программ

Ульяновск - 1998

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор, действительны член РАЕН В.В.Учайкин

Официальные оппоненты

____.___л______ _ _ ______________ —^ - -1- - - Т^—------.

ДилДОр Ч'УЮ У1 Л) Ч С I. VI (11 Н1Г1.Г.11Л ПйуК, 1 * р V ' . .. I . 'Л1 и1\ 1.Н1

доктор физико-математических наук, профессор В.К. Горбунов

Ведущая организация

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится '4-й " апреля 1998 г. в / чахл—на заседаш диссертационного совета К 053.37.06 по защите кандидатских диссерт ций в Ульяновском государственном университете (432700, г. Ульянове: ул. Л.Толстого, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан марта 1998 г. Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, УлГУ, научная часть.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Е.П.Чирк«

Общая характеристика работы

Актуальность темы работы.

Математическая модель пространственного случайного точечного расселения лежит в основе статистической механики и находит ншро-с применение во многих разделах современной теоретической физики. тбодее простой является пуассоновская модель, в которой точки рас-»еделены в пространстве независимо друг от друга. Однако вблизи азовых переходов, в состоянии турбулентности в пористых струк-грах 2 возникают корреляции степенного типа. К такому типу от->сятся и корреляции в пространственном распределении галактик во деленной ((г) ос г_3+аг (фрактальный тип), для моделирования кото->тх Б.Мандельброт предложил использовать модель блужданий с расселением пробегов степенного типа р{т) ос т~", а — В - фрактальная шмерность. В его модели положения галактик получались как узлы

'СТИС11 СТСЛхСХЮПСГПш) СДИЯСТиСпПОЛ ОССКОаСт'ЫОК ТраСлТСрИ«< СО^/уци

lio определённые проблемы, как с моделированием (невозможность мо-

yrupnnauTjCT 6sCZ'OÏÏSHFOÎÎ Tp2-SKTCpiïîï ÏI3» jjpjj^'jwvûj^ T3.ÏC ïï С ОПрбДбЛС"

кем плотности галактик в пространстве 3. Более того, как показано работе 4 любой (даже стохастический) обрыв траектории ведёт к из-екению асимптотического поведения функции плотности числа частиц ■алактик) с r~3+a па r~z~a, на что ранее не обращалось внимания.

сзяэч с зк^узльной представляется задзчэ. более подробного кс-гедования свойств случайных точечных распределений, основанных на семе случайных блужданий, с целью разрешения указанных трудностей проблеме моделирования структур фрактального типа, характеризуются далёкими степенными корреляциями вида £(r) ос г~3+°. Целью настоящей работы является; а) изучение свойств распределения 1учайных точек в трёхмерном евклидовом пространстве, получаемого в езультате процесса случайных блужданий; б) построение алгоритма мо-елирования трехмерных распределений фрактального типа; в) модели-ование точечных распределений с далёкими корреляциями степенного ипа и исследование возможности применения модели для статистиче-ïoro описания крупномасштабного распределения галактик во Вселен-ой.

1 H.Takayosu, Prog.Theor.Phys., 72, No.3, 471 (1984).

'M.B.Isichcnbo, Rev. Mod. Phys., 64 (1992).

•B.B.Mandelbrot, Fractals: Form, Chance and Dimension (San Francisco, 1977).

'В.А.С^ободевюк & В.В.Учайкин. В сб.; Теоретичесха» и экспериментальная фпзпка: Утеяые записки льжновского государственного университета. Вып.2 / Под ред. С.В.Ву.мрского. Улькгоаск: Пэд-во ВНЦ, С.70 (1990).

Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней

• Построена модель пространственного точечного распределения с и; вестными корреляционными функциями всех порядков.

• Табулированы плотности трёхмерных сферически симметричны устойчивых распределений и разработан алгоритм статистическот моделирования трёхмерных векторов.

• Показано, что для длинных (но конечных) траекторий существуе достаточно оодьшои диапазон расстоянии', на которых каодюдастс промежуточная фрактальная асимптотика £(г) <х г~3+°, что решае проблему моделирования фрактального паспределения по Вандея! броту.

« Установлено, что предельным случаем системы с набором незаы симых случайных траекторий является спаренная траектория Лев! Маилельброта (стохастический фрактал), все точки которой стат! стически эквивалентны.

• Установлено, что для стохастичеслод и фрактала флуктуации вед? чины £ = N(11)/(N(11)) ^ - число частиц внутри сферы радиуса 1 проведённой вокруг произвольной точки фрактала) не убывают с ув< личенисм Л как в случае нуассоновского распиедедеккд^ а стрсмятс к конечной величине, найдено предельное распределение

Положения, выносимые на защиту.

1) Построена точно разрешимая модель случайного распределения тс чек в трёхмерном евклидовом пространстве: получены общие выра жения для корреляционных функций всех порядков, что позволяв полностью характеризовать статистические свойства данного рас пределения. Модель основана на процессе случайных блужданий ча стиц в трёхмерном пространстве и зависит от свободного параметр п0 (концентрации первичных частиц, распределённых в пространств по закону Пуассона, которые являются стартовыми для процесса слу чайных блужданий), от распределения числа узлов на траектории 1 плотдости вероятности перехода на каждом этапе блужданий р(г] где г - расстояние между двумя соседними узлами траектории.

2) Показано, что в случае, когда число узлов на траектории лодчиня ется геометрическому распределению, все корреляционные функщп высших порядков выражаются через двухточечные корреляционные

функции независимо от остальных характеристик модели. Таким свойством обладает трёхточечная корреляционная функция наблюдаемого распределения галактик.

5) Использование в качестве переходных вероятностей устойчивых распределений полностью решает проблему вычисления корреляционных функций с заданной фрактальной размерностью.

1) Вычислены и табулированы плотности трёхмерных сферически симметричных устойчивых распределений с показателем устойчивого распределения си=0.2(0.1)1.8.

5) Разработан алгоритм статистического моделирования векторов из трёхмерных сферически симметричных устойчивых распределений с характеристическим показателем «=0.2(0.1)1.8 и погрешностью в плотности распределения менее одного процента при всех значениях а яз указанного диапазона, за исключением граничные значений, гдр погрешность превышает два процента только в области малых г, на которую при^сод!1тся °ероягря'гчгггь ^^^ 0.09-.

6) Для случая геометрического распределения числа узлов на отдельной траектории и плотности переходной вероятности в виде устойчивого закона показано, что предлагаемая модель в некотором диапазоне масштабов обладает фрактальными свойствами.

7) Показано, что в предельном случае (вероятность выживания блуждающей частицы о —1, концентрация затравочных частиц По 0| предлагаемая модель соответствует стохастическому монофракталу, порождаемому парой независимых траекторий Мандельброта с общим началом. Для такого фрактала найдена плотность распределения величины С = АГ(Л)/(ЛГ(Л)), имеющая вид гамма-распределения.

Практическая значимость работы заключается в том, что в разрабо-■анной модели точечного распределения корреляционные функции всех юрядков получены в общем виде, что позволяет полностью охаракте-»изовать статистические свойства среды, обладающей длинными сте-генными корреляциями, подобными наблюдаемым в крупномасштабном определении галактик. Данная модель в совокупности с алгоритмом годелирования трёхмерных сферически симметричных устойчивых рас-гределений позволяет моделировать среду, характеризуемую наличием фрактальных свойств в некотором диапазоне масштабов^ зависящем от

параметров модели, с выходом на однородное (пуассоновское) распреде дение на больших расстояниях, что может послужить основой для исполь зования предлагаемой модели при анализе процессов распространен!!, излучений (света, гамма-квантов, нейтрино и т.д.) в Метагалактике, также может найти применение в области теории аномального перенос (аномальной диффузии), интенсивно развивающейся в последние годы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 9 и Российской гравитацирнной конференции (Новгород-96), на Между народной койф^рёкцик по келинёинои динамике к хаосу (Оаратов-96; на Международной конференции "Ренормгруппа - 96" (Дубна-96), н Меж дун ар о дном семинаре по проблемам стабильности стохастически моделей (Дебрецен, Венгрия-97), на Международной щколе-семинар "Сильно коррелированные системы и критические явления" (Дубна-97 на Международной, школе- семинаре "Проблемы теоретической космам гии" (Ульяновск-97), на Третьей международной конференции "Геом< тризация физики" (Казан ь-УУ], а также на ежегодных конференция студентов и аспирантов Ульяновского государственного университет (1995-1597 гг.), на семинарах Лаборатории фундаментальных исслед< ваний физико-технического факультета УлГУ и кафедры теоретическо и математической физики УлГУ.

Личное участие автора. Основные теоретические положения разраб( таны совместно с профессором Учайкиным В.В. Проведение конкретны расчётов, анализ результатов и выводы из них сделаны автором сам* стоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в ] печатных работах.

Структура работы Работа состоит из введения, четырёх глав, прил женкя, заключения, 31 рисунка и списка цитируемой литературы 99 н именований, содержит 144 страницы текста, включая оглавление и спксс литературы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работ] показана научная новизна и значимость, сформулированы цель работы положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертации.

Глава 1 содержит изложение необходимых сведений из общей теор! ветвящихся процессов, касающихся случайных точечных распределен]

заданной на них случайной мерой. Особое внимание уделяется случай-ым мерам, производящим функционалам (ПФ), заданным на точечных аспределениях (ж], хг,.,., хп) ~ (1,2,... ,п), и корреляциям в точечных аспределениях.

В Главе 2 на основе метода производящих функционалов проводится нализ свойств случайного трёхмерного точечного распределения, обра-ованного пуассоновским набором независимых траекторий, каждая из оторых является результатом неветвящегося марковского процесса слу-айных блужданий. В разделе 2Л. рассматривается единичная случайная траектория в об-1,е;,1 случае в ¿'-мерном евклидовом пространстве ИЕ, начинающаяся из екоторой точки х € 11г я имеющая случайное число шагов V. Случайная еализация траектория может быть представлена как случайное множе-тво точек {л\,.... л,,}. где А',-,г = 1..... I/ — 1, - поворотные точки тра-ктории (точки рассеяния некоторой частицы) и1„- точка остановки

хл а .--ггЧ«ТГх.Т ТТ/1 ТГГГм'Т*** "Г^О л' - — , 7" • V ^ 1 Г' —

..-.ы^«..«*^ ^ --------- - —--I --»—А - ( > - I Г /

заимно независимые случайные вектора в распределённые с одной Г ФП» же ЯЯЛТНПГТЫП ЯРПГ11ГТНГ>ГГГИ п(г\ =: п(я',: —У з;.-!,^. котовая уяовле-

' - ----- ~----'--^ --Х---.--------~ £ \ / х \ . '1**1 ~ < '

:воряет условию нормировки

I р(г)ё,ЕГ = ( р(х: Х;+1ЫЕХ.;+1 = 1.

йр ЙЕ

Гогда, обозначая проюводящий функционал (ПФ) случайного распреде-[ения {Хи • ■ ■ через 0{х —> "(-)),

в(х ы(-)) = мги(Х!)... и(Х„) -

ОО , .

= £™х{Лхх..,1(1хпр(х->х1)...р(хп-.1-->хг>)и(х1)...и(х„), (1) п=1

-де гУ]у = р{и = Л"}, /V = 1,2,..., - вероятность-того, что траектория :остоит ровно из N частиц и не зависит от местоположения точки рас-:еяния, получаем среднюю пространственную плотность числа частиц

= ®0 = Ф), г — Х\ — х. (2)

Рассматриваются следующие случаи:

1) Произвольное распределение числа шагов N на одной траектории. Выражение для ПФ можно получить из (1) в следующем виде:

С(х „(•)) = £ «(■))- (3)

лг=1

Соответственно средняя плотность

оо

9(Т)= Е (4)

Л:=1

с нормировкой

. ос

/ д(г)аг = Е -^«.'л' = ми. -1 ■ ЛЬ1

2) Детерминированное число шагов ЛГ на траектории. Тогда = ¿л-<л-и для (1) получаем уравнение

« V» - / ДГ = 1 , ^ 1 ~ I I ¿х'ф х'^х^-Щх1, «(•)), N = 2.....

у.......(5)

откуда после применения формулы (2) имеем интегральное уравнение 5(Л")(Г) = р(г) + у ¿г'р(Рул'-1)(г _ 5(1)(Г) = р(г)> (6)

решение которого выражается через миотрцжйЫе свёртки плотности переходной вероятности р(г) = рд(г),

' = р(г) *рк(г) = / Р\г')Рк(г - г')<1г':

с очевидным нормировочным соотношением

_/ д{т(г )(&■'= .V. (8)

3) Строго бесконечное число шагов на траектории N = оо. ПФ согласно (1) имеет вид

£(оо>(* «(•)) = /¿»'К® г')и(х')(?(оо)(х',и(-)),. (9)

что даёт после дифференцирования

д(°°\т) = р(т) + У ¿г'р(г')д(о°>(г - г'). (10)

Аналогично (6) решение уравнения (10) выражается через многократные свертки плотности вероятности перехода

00

= (11) к=1

с нормировочным соотношением

У д^{г)йг = оо (12)

1) Полное число шагов на траектории имеет геометрическое распределение

= д""х(1 ~ 9). О < д < 1, (13)

с вероятностью "выживания" частицы на каждом шаге блуждания q. Тогда интегральное уравнение для ПФ имеет вид;

0\ч\Х «(.)) = (1 _ д) / йх'р(х -» «')«(*')+

-м/Лв'р(® »0«(*')СМ(«',«(•))■ (14)

После дифференцирования последнего уравнения мы получаем интегральное соотношение для средней плотности числа частиц в виде

= р(г) г?/ &'р{г')дЩг - г'). (15)

Ряд Неймана для уравнения (15) имеет вид

ЛаЬ' .Л ^ .'.Л /т «Л

= ч Ук\< '^о;

. к-1

а нормировочное соотношение для плотности

/ аЩтЫг = . (17)

.1 " - ' 1-д

В разделе 2.2 получены мпогочастичные плотности (плотности факто-шальных моментов) д/.(х —)■ 1,..., к) для одной траектории в перечислен-1ых выше случаях. Для их получения необходимо вычислять функцио-гальные производные высоких порядков от ПФ;

, / чч «(•))

.....

я затем положив и(х) = 1:

дк(х 1 ,...,&) = (^(ж 1,...,*г;1).

Рассмотрение описанных выше случаев приводит к следующим результатам:

1) В общем случае произвольного распределения го^г имеем:

00 / Л7\

дк(х->1,...,к) = £ V -+ 1,.. ■, *)■ (18)

2) В случае детерминированного числа шагов N на траектории получаем следующие интегральные соотношения для многочастичных плотностей

9к

m

(s 1,..., к) = / dx'p(х st'JSt^V 1,..., fe)+

+ кр(х —> —> 2,..., fe), (19)

где равенство = обозначает смметриэацию стоящего справа от него выражен] решение

выоажения (Функции) по к переменным. Последняя система имеет

Л. \ Д. ~ / -

<г, v

gl' >(х 1,.. .,«•) = к\ Ё Р*ЛХ 1 *)> k<N,

S/lN)(x 1,..., к) = 0, к > /V, Sk = ij + • • • + ife. (20)

ijiiTJïinnn и M i"> ïï о гни глвг •

9 k

(ж 1,. . . , fe) = / dx'p(x «OsÎ^V 41,..,,*)+

+ l)gr[^i(l 2,..., fe), (21)

(a 1,...,fe) = kg^Xx 1)^(1 2,..., fe) = — v*^ ' m ' v • ™)' >

4) В случае геометрического распределения:

1,. ..,&) = / dv'p(x x')gf{x' 1,..., fe)+

+ 9M®-+l)#i(l-»2,...,fc). (23)

Я

и

Ы

9k

(x -4 1,.,., fe) = k\qk~lgd{x -f 1)^(1 2)... _ 1 fe). (24)

В разделе 2.3 рассматривается бесконечный набор независимых случайных траекторий, начинающихся из разных случайных точек, распределённых в пространстве по закону Пуассона с концентрацией п0. В этом случае производящий функционал принимает вид

*•(«(•)) = ехр {п0 /[G(x -> u(0) - 1]<Ц , (25)

а многочастичные неприводимые корреляционные функции имеют вид:

ю

♦ в случае детерминированного числа шагов

Хй,(142),.,Р;и(ЬМ4), (26)

* в случае геометрического распределения

^(1,... ,к) = 2) • ■ • 4>¥{к - 1, к), (27)

^(1,2) = 2^(1-* 2), п =

1 - ?

оотношение (27) отражает очень важное свойство рассматриваемого астного случал: все корреляционные функции выражаются через произ-гдения только двухчастичных независимо ни от размерности простран-гва Е, ни от конкретного вида плотности вероятности р(х —> г'). Сдана 3 посвяшена разработке алгоритма моделирования трёхмерных рерически симметричных векторов, распределённых по устойчивому за-ону. Необходимость разработки подобного алгоритма обусловлена сле-ующими двумя причинами: во-первых, устойчизые распределения обла-ают тем важным свойством, что все п-кратные свертки устойчивых рас-ределений являются вновь устойчивыми распределениями (происходит ишь изменение некоторых параметров распределения, при этом форма аспределения сохраняется), что значительно упрощает аналитические ычигления и позволяет полностью (как аналитически, так и при помощи татистического моделирования) проанализировать свойства предлагае-юй модели; во-вторых, асимптотическое поведение устойчивых распре-елений характеризуется наличием степенных хвостов, что позволяет это будет показано в Главе 4) моделировать неоднородное распределе-ие, в котором присутствуют длинные корреляции фрактального типа. В аз деле 3.1 приводятся различные представления устойчивых распреде-ений как в интегральной форме, так и в виде рядов (сходящихся и асим-тотических разложений). Характеристические функции для £7-мерных имметричных устойчивых законов в евклидовом пространстве опреде-яются формулой 5

р%>(к) = е~°П\ к 6 Л®, (28)

■ак что соответствующая плотность распределения имеет вид

= г €11* (29)

'Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределении, М,:Наука, 1083, 304 с.

где а и с - два параметра, характеризующие данное распределение. Па раметр а - это показатель устойчивого закона, а с - пространственны]' масштабный параметр, который мы полагаем равным 1 (с определяв' единицу шкалы процесса, которая всегда может быть изменена). Сдедуе' отметить, что существует всего два случая, когда выражение (29) може' быть представлено в элементарных функциях: распределение Гаусса (пс казатель устойчивого закона а — 2) и закон Коши (а = 1).

В разделе 3.2 используя подход, в котором моделирование переменно: Я с заданным распределением Р(г) основано на преобразовании стандар тизованной (равномерно распределённой [0,1]) случайной величины V е п формуле

К = г(17),

где г(х) = есть обратная функция распределения, получены ат

проксимационные выражения для функции т(х) в виде:

. . [ (х/А)Ч3 4- хШ((1 - х\]У°Р1аЧх). а < 1,

«и» | У ^ ' / ** »» V / - ' :

\(е/А)1/3 + (5/9)(С/А)2(®/А)6/3 + в(в)-аРМ(«), а > 1,

Д = 2Г(3/а)/(Затг), В = Г(а + 2)ип(атг/2)/(а1г/2), С = 8Г(5/а)/(5!<иг), В = Г(2а + 2)| вш(в1г)|/(вда),

д(х) = ^(В/ЛУТ2(1 -хУ/л - В!1)\4а ~ [¡Щ'Щ*Щ5 -

ХГ^ — ЩА т. цл - т ... -г «-И*-

В разделе 3.3 описан алгоритм моделирования трёхмерных векторе И = ЯП, распределённых по устойчивому закону. Здесь О ~ единичнь изотропно распределённый вектор. Приведены также явные выражею р(а,(х) для моделирования устойчивых распределений с показателем а 0.2(0,1)1.8.

Погрешность приведённой аппроксимации не превышает 1% в пло ности распределения Л при всех значениях а кроме 0.2, 0.4 0.5 и 1. где она превышает 2% только для малых значений г (г < г0, ^о 0.0014,0.045,0.0901 и 0.574 соответственно), величина вероятности д. которых 0.02. Характер поведения относительной погрешности 8(г) п казан на рисунке 1.

В Главе 4 на основе результатов, полученных в Главе 2 исследуется вс можность применения данной модели к моделированию крущюмасшта ного распределения видимой материи во Вселенной, изучаются так;

'Сободь И.м. Численные методы Монте-Карло. - М.:Науха, 1973.

зйстаа предельного случал предлагаемой модели - стохастического )актала.

В разделе 4.1 находится связь между неприводимыми корреляцион-гми функциями ipk( 1,2) = fk(r) и корреляционными функциями, при-тыми в наблюдательной космологии ' приводятся также дан-

№ о двухточечных корреляционных функциях £з(г) галактик и скопле-:й галактик. Установлено, что &(г) = (рк(г)/пк. Таким образом, для •ёхточечной корреляционной функции

#(1,2,3) = + Ыгз + —

= Qsitiibs + cyd.(3 terms)} (31)

2,3,4) = Qi{tMniu + cyci.(12 terms)} (32)

так далее, где = j), Q3 = 1/2, <?4 = 1/4, Qu = (l/2)'*-2>. . Выражение (31) полностью совпадает с полученным эмпирическим раз-жением 8 по форме, отличаясь лишь значением численного коэффици-lx» Gз « 1. Разложение для чстьгрсхтсчсчпсй корреляционной функции, даденное из наблюдений имеет вид9:

if (1,2,3,4) = О^иЫЫ + cycl.(i2 terms)}-f + 4.3{iuiuiH + cycl.(4 terms)}, Q4 » 2.5. (33)

ледует отметить, что зта функция "чрезвычайно плохо определена" 10, а 1титочечная "почти полностью тонет в статистических шумах". Разли-te между коэффициентом Q3, найденным из наблюдений и полученным предлагаемой модели имеет три возможных объяснения: 1) во-первых, элучение точной оценки £3 из наблюдательных данных затруднено, по-сольку необходимо проводить усреднение по различным треугольным энфигурациям, при этом "теряется значительная доля информации"10; I во-вторых, хотя значение коэффициента Qз лежит в окрестности 1 ).8 < (?з < 1.3), но может оказаться еще меньше7, что связано с особен-эстями обработки данных наблюдений в направлении плоскости нашей тактики; 2) и, наконец, третьей причиной различия может служить воз-ожное отсутствие в настоящее время репрезентативной выборки, обу-ювленное несовершенством инструментов и методов астрономических аблюдений 11.

'Пиблс Ф.Дж.Э. Структура Вселенной: в больших масштабах: Пер. с англ.- М.:Мяр, 1983: 403 с. 'РЛ.Е.РееЪ1ез к E.J.Groth, Ар Л, 196, 1 (1975). 'J.NJVy & РЛ.Е .Peebles, ApJ, 2S8, L5 (1978).

lQP.Coles. In: Statistical Challengej in Modern Comology, E.Fejgelson aral G.J.Batm, eds., Springer-Newark Inc., pp. 57-81 (1992).

"F.H.Coleman and l.Pietronero, Phys.Rep. 213, 313(1992). E.Bertschinger, in: Lecture Notes in Physics, )8, New Insights into the Universe, V .J. Martinez, M.Portille, D.Saei (Eds.), Springer-Veriag, BerHn, Heidel-;rg, 1992, p.88.

ад

ОЛЯ

а=М

о.ссе о

-о.осг -о.ая

Рис. 1. Относительная погрешяогть л(г) дляа=1.4 [5].

-5

1ии д(г!

-3

Рве. 2. Структурная функция д!,'{г) ддя а-1.5 в 1 - 9=0 (сплошная кровав 1), Ю-1 (5), Ю-2, 1СГ3, Ю-4 (омоенкс кризые 3, 4, о соответственно). Штрпхепьлиые дя>ьы соответствуют глазным ■адшаи асимптотических разложешщ функции Д^ приведенных эначьнии [7].

В разделе Л .2 рассматривается поведение структурной функции д(г) для одной траектории в случае, когда число шагов имеет геометрическое распределение и вероятность перехода описывается устойчивым распределением. Показано, что такая траектория обладает фрактальными свойствами в широком диапазоне масштабов: структурная функция д(г) обладает промежуточной фрактальной асимптотикой, область применимости которой тем больше, чем ближе вероятность "выживания" к 1, то есть, чем длиннее траектория. Этот факт разрешает проблему моделирования фрактальных распределений по Мандельброту, заключавшуюся в том, что фрактальная асимптотика существует только для бесконечно длинной траектории, любое ограничение длины которой меняет асимптотику (с ~ г~3+с до ~ для условной плотности 4). Поведение структурной функции показано на Рис.2.

В разделе 4.3 на основе модели распределения, построенного из пуас-

......... -—г

: ч; ф 1 "XV

I ■V \

— —

-0.5 0 0.5 1 1.5 1 2.5 1 ОГ1 г

0.00 10.00 20.00 г (Мрс)

ас. 3. Структура* фугаявм д(г). Светлые круаасв и аяеэдотап - результат обработка выборке S65 гталога СТА12. пунктир - скеялпнговое представление сплошная кривая - распет до формуле (34) с = 1.16 я Ъ = 17.6 р].

оновского набора траекторий, каждая из которых имеет детерминиро-

аннее число шагов N и с использованием предельного перехода Л' оо,

о -4 0, но тг = no(JV + 1) = const, выведена структурная функция

аспределения галактик' во Всеяенцой, удовлетворительно описывающая

кейяинговые свойства (фрактальность) распределения на малых рассто-

ниях и нарушение скейлинга на больших в согласии с данными CfA ка______12 /-п... <>\.

ЧШХЛЧ {j. tU..\)J.

g(r) ~ 1 + А{г!Ъу-\ (34)

■де

А = QC1 ~ а)

2тгГ(1+«)cosf' • b = (паа)з=з.

В разделе 4.4 на основе модели пуассоновского набора траекторий с 'еометрическим распределением числа узлов проводится сравнение с на-шодательными данными для распределения галактик. На рисунке 4 по-сазан спектр мощности 13, представляющий Фурье-преобразование двухточечной корреляционной функции и аппроксимация спектра в модели

"V.J.Martincz i- B.J.TJones, Mcm.Not.RAstr.Soc., 242, 517 (1930). »J.N.Fry, Phys.flevXett., 73, No.2, 215-219 (1994).

1.Q0E-2 g—-,-г—г-г^тту

1.00Е-3

Р < к) 1.Q0E-4

1.0ÛE-S

1.Q0E-6

Ю.ОО к

Рис. 4. Спектр мощности i'(k) (тотзаг). Сплошной кривой показан спектр мощности в модели случайных

случайных блужданий

где с - масштабный параметр устойчивого закона. В разделе 4.5 проводится сравнение результатов, получаемых в модели случайных блужданий с данными каталога IRAS 14. На рисунке 5 представлена функция плотности числа соседей тг(т) полученная в результате обработки данных каталога IRA.S и в модели случайных блужданий.

В разделе 4.4 исследован предельный случай модели - стохастический фрактал, представляющий собой спаренную траекторию Леви-Мандельброта, отличающуюся от обычной траектории стохастической эквивалентностью всех случайных точек и удовлетворяющую условию

"М.ПоиадЛоЫгйои et al., Mon.Not.R.Astr.Soc., 24?, 1-18 (1990).

iOO.OD Г (Мрс)

10000 00

Рис, 5. Фуныщя плотности числа соседей гг(г) а модели случайных блуждании; (сшюшвай кривая) а сравнении с результатами каталога IRAS; а — 1.5, q = 0.99, п = 1.2 10~6, с = 0.5.

1С

О - 8

Ч> < 2 )

о . 2

О . 5

3 3 . 5 4

с. 6. Фуию^Е растзредй^г^гя стуч^лкод зелпчьпш Гистограмма - результат модедттровютая методом ?нт*-Кпрдо д ™ 1000 пгп тттчлгт'^' V. г* ~ 1.5. Сплошная кривая - гамзт-расщтдатеняе.

^(.й)} ~ й = а€ (0,2). Здесь ./У(й) - число частиц, содержащихся сфере радиуса Л, проведённой вокруг произвольной точки фрактала, 1 - фрактальная размерность. Распределение пробегов между после->вателькымк столкновениями блуждающей частицы подчиняется сте-гнному закону. В этом случае установлено, что флуктуации величины ~ Д'(у (() пе убывают с увеличением как в случар тгуясг.о-эвекого распределения, а стремятся к конечной величине. Подобное введение согласуется с принципом самоподобия фракталов, поскольку гсутствие у фрактальных структур выделенных масштабов должно распространяться также на их стохастические свойства. Для такого стоха-гического фрактала вычислены моменты распределения С и на основе х. анализа найден вид плотности распределения (гамма-распределение):

Ф

4">(г) = [Лл/Г(А)3^А-1)е-А% (35)

це единственный параметр Л = 1 /<т^(а), зависящий от фрактальной раз-ерности В = а, аппроксимируется выражением .

д/ , _I_

-- 0.539 - 0.263а + 0.091а2

относительной погрешностью меньшей 1%. Плотность функции рас-ределения полученная в результате моделирования Монте-Карло

редставлена на Рис. 4 в виде гистограммы, а соответствующее гамма-аспределение изображено сплошной кривой.

Выводы

I диссертационной работе изучены свойства случайного точечного рас-ределения, получаемого в результате марковского процесса случайных

блужданий в трёхмерном евклидовом пространстве. В результате щ ведённых исследований получены следующие результаты:

1) Построена точно разрешимая модель случайного распределения ч чек в трёхмерном евклидовом пространстве: получены общие вы| зкепия для корреляционных функций всех порядков, что нозволя полностью характеризовать статистические свойства данного р< пределения.

2) Показано, что н случае, когда число узлов на траектории подчш: ется геометрическому распределению, все корреляционные функц высших порядков выражаются через двухточечные корреляциовн? функции независимо от остальных характеристик модели.

3) Использование в качестве переходных вероятностей устойчивых рг пределений полностью решает проблему вычисления корреляционш футтктткй точечных распределений с заданной фрактальной размера стью о 6 (0,2].

4) Вычислены и табулированы плотности трёхмерных сферически ск метричных устойчивых распределений с показателем устойчиво распределения а=0.2{0.1)1.8, а также разработан алгоритм статист ческсго моделирования векторов из трёхмерных сферически с им л: тричных устойчивых распределений с характеристическим показа?

______л л/л ^ \ < л

5} Показана возможность использования предлагаемой модели для м делирования крупномасштабного распределения видимого вещеста для моделирования структур с длинными корреляциями в простра ственном распределении, стохастических фракталов.

Основные результаты диссертации изложены в работах 1-12:

1. Гусаров Г.Г. Уравнение пространственного распределения г ал акта во фрактальной модели Вселенной. //Тезисы докладов студентов аспирантов на 1У-ой ежегодной научно-практической конференци Ульяновск, 1995г., с.41.

2. Учайкин В.В., Гусаров Г.Г. Анализ структурной функции простра] ственного распределения галактик в модели случайных блуждани: //9 Российская гравитационная конференция, Новгород, 24-30 июн 1996, Тезисы докладов, с.127.

3. Учайкии В.В., Гусаров Г.Г. Точно разрешимая модель случайной среды с далёкими корреляциями степенного типа. // Теоретическая и экспериментальная физика: Учёные записки Ульяновского государственного университета. Вьгп.2 / Под ред. С.В.Будярского. Ульяновск: Изд-во СВНЦ, 1996, с.101-115.

4. V.V Uehaikin, G.G. Gusarov, Exactly Resolvable Model of Random Medium Based on the Stable Law Theory,// The International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96), Saratov, Russia, July 8-14. 1996, Book of Abstracts, p.179.

5. V.V Uehaikin, G.G. Gusarov, T.T.Idiatullov. Simulation of random vectors from three-dimensional spherically symmetric stable distributions // XVIII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models, January 26 - February 1, Debrecen - Hajdiiszoboszlo, Hungary, 1997, Book of Abstracts, p.107.

6. V.V Uehaikin, G.G. Gusarov. The exactly resolved nonlattice model of random media based on Markov walks with a stable law for jumps // J. Math. Sci., Vol.83, N3, 1997, pp. 95-102.

7. V.V Uehaikin, G.G. Gusarov. Levy flight applied to random media problems.// J. Math. Phys., Vol.38, N5, 1997, pp. 2453-2464.

8. Учайкин В.В., Гусаров Г.Г. Анализ структурной функции пространственного распределения галактик в модели случайных блужданий //

тг Лл_____ ЛТП 1 ПП^ _ о

.изв. вузов, •i'liaiift.a,, ачр, ivai, С.ч-t).

9. V.V.Uchaikin, G.G.Gusarov, D.A.Korobko, Criticality and fractality in the model of random medium with long power-type correlations // International School "Strongly Correlated Systems and Critical Phenomena", August 26 - September 5, Dubna, Russia, 1997? Book of Abstracts, p.35.

10. V.Uchaikin, G.Gusarov, D.Korobko, Statistical properties of the fractal universe as a basis for fractal cosmology //International School-Seminar "Problems of Theoretical Cosmology", Ulyanovsk, Russia, September 1-7, 1997, Abstracts, p. 29.

11. Г.Г.Гусаров, Если Вселенная - фрактал ... // Тезисы международной конференции "Геометризация физики III", 1-5 октября 1997 г., Казань, с.35.

12. V.V Uehaikin, G.G. Gusarov, Exactly Resolvable Model of Random Medium Based on the Stable Law Theory.// Proc. of the 3 Int. Symp. on the Renorm. Group, Дубна: Изд-во ОИЯИ, 1997, с. 417-427.

Подписано в печать 25.03.98. Формат 84x108/32-Бумага книжно-журнальная. Гарнитура ТнпехЕТ. Усл.печ.л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №24//3%

Опечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42