автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней

□озовтз ю

На правах рукописи

Гинзгеймер Сергей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В СИСТЕМАХ КОНТАКТИРУЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2006

003067310

Работа выполнена на кафедре программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики Калужского филиала Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Толоконников Лев Алексеевич доктор физико-математических наук, доцент Стрижов Валерий Федорович

Ведущая организация: Обнинский государственный технический

Защита состоится « » января 2007 г. в мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.271.05 при Тульском государственном университете (300600, г. Тула, пр. Ленина, 92).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

университет атомной энергетики (ИАТЭ)

Автореферат разослан « » декабря 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В практике часто встречаются конструкции, отдельные детали которых состоят из элементов, которые можно достаточно точно считать при изучении теплопередачи стержнями. Это могут быть элементы систем охлаждения, компоненты микроэлектронной техники, проводные системы коммуникаций, антенны, фермы строительных конструкций, просто системы труб и т.д.

Задачи о распространении тепла в системах контактирующих стержней с внешней теплоотдачей особо остро возникают при эксплуатации систем охлаждения энергетических установок. Инженеров интересует процесс остывания разветвленной системы трубок охлаждения при плановом или экстренном отключении подачи теплоносителя в системы охлаждения при условии, что трубки имеют различную форму, имеют различные оболочки и находятся в различных температурных условиях внешней среды.

Если установки эксплуатируются в сложных климатических условиях, то, например, достижение пороговых низких температур и, как следствие, образование наледи на трубках изменяют параметры теплоотдачи системы и могут служить причинами аварий.

Экспериментальное исследование сложных систем охлаждения является трудоемким и дорогим. Численное исследование систем стержней осложнено тем, что при изменении параметров любого стержня, изменении конфигурации системы, изменении внешних условий необходимо перестраивать программное обеспечение и делать полный перерасчет, несмотря на то, что элементы конструкций являются типовыми.

Поэтому, на сегодняшний день, требуются такие математические модели, которые были бы достаточно общими по спектру учитываемых физических и геометрических параметров системы, учитывали бы возможность использования типовых элементов и упрощенных алгоритмов изменения конфигурации системы для проведения численных или аналитических исследований.

Многие используемые в работе модели рассматривались с некоторыми упрощениями в классической литературе по теплообмену и математической физике. Однако некоторые особенности моделей являются продолжением исследований процессов переноса в криволинейных слоях, начатых

О.В. Голубевой и продолжающихся до сих пор в работах Ю.А. Гладышева, В.А. Толпаева и В.И Ледовского. В этих работах рассматривается двумерная модель переноса жидкости в слое, ограниченном по одной из координат. При этом Ю.А. Гладышевым1 был обобщен метод решения параболических уравнений с использованием обобщенных степеней Берса применительно к двумерным гидродинамическим моделям и некоторым видам уравнения теплопроводности.

Над решением задачи Штурма-Лиувилля для нестационарных задач переноса на геометрических графах ведутся работы Ю.В. Покорным и его учениками, однако в этих работах уравнение теплопроводности не является приоритетным, поэтому исследуются достаточно ограниченный ряд моделей. В частности не рассматриваются задачи с внешним теплообменом, не рассматриваются оболочки для ребер графа и не рассматриваются задачи с адиабатической изоляцией вершин.

Поиск алгебраических методов решения уравнения теплопроводности на графе также является актуальным направлением научных исследований. Использование понятия сопротивления для изучения теплопроводности в системах стержней предлагалось Л.А.Коздобой.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что исследования процессов переноса на графах востребованы в практике. В современной науке им уделяется большое внимание, и несовершенство имеющихся моделей требует новых исследований, каковым и является предлагаемая работа.

Цель работы

Построить математическую модель, позволяющую описывать и определять тепловые потоки и температурные поля стационарных и нестационарных тепловых процессов, происходящих в системах криволинейных неоднородных контактирующих стержней.

Для реализации поставленной цели были поставлены следующие задачи:

1. Определить математическую модель, описывающую процессы теплопередачи в криволинейном неоднородном одиночном стержне и системе контактирующих стержней и указать условия применимости этой модели.

1 Автор выражает свою глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., доценту Гладышеву Ю.А. за многократные консультации и большую методическую помощь при выполнении и написании данной работы.

2. Адаптировать понятие матрицы теплопроводимости для определения тепловых потоков стационарных и нестационарных процессов теплопередачи в криволинейном неоднородном стержне.

3. Построить решения стационарных и нестационарных уравнений теплопроводности, определенных на простейших планарных и пространственных системах контактирующих стержней с краевыми условиями I, II, и III родов методом Фурье с использованием формализма Бельт-рами-Берса.

4. Разработать методы построения матрицы теплопроводимости для произвольной системы стержней.

Научная новизна и теоретическое значение работы

1. Получено аналитическое решение задач стационарной и нестационарной теплопроводности для основных систем криволинейных неоднородных стержней при наличии внешней теплоотдачи на основе использования формализма Бельтрами-Берса.

2. Введена матрица теплопроводимости для произвольных систем контактирующих стержней. Тем самым введены алгебраические, в принципе, бескоординатные методы решения задач теплопередачи, удобные для практического использования.

3. Предложены методы для построения матрицы теплопроводимости для произвольных планарных и пространственных систем стержней. Найдены матрицы типовых систем.

Практическая значимость работы

Результаты работы использованы в учебном процессе КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Подготовлены методические рекомендации для студентов кафедры программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Результаты исследований использовались в работе по гранту РФФИ и правительства Калужской области №04-03-97210.

Результаты работы могут быть использованы при тестировании программных комплексов, разрабатываемых для промышленных нужд.

Результаты работы могут быть использованы при проектировании микросхем, сетей коммуникаций и т.д..

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается следующим:

1. Корректностью применения апробированного математического аппарата (уравнения математической физики, теория аналитических функций, дифференциальная геометрия, теория матриц, теория графов, численные методы).

2. Сравнением полученных частных результатов с известными ранее результатами, а также с расчетами, полученными посредством применения теории разностных схем.

Личный вклад автора состоит в применении понятия матрицы теплопро-водимости к исследованию процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней, в решении стационарных и нестационарных задач теплопроводности для простейших систем стержней с использованием формализма Бельтрами-Берса, в разработке методов получения матрицы теплопрово-димости для произвольных систем стержней, в составлении необходимого для исследований программного обеспечения.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

2-я Российская научно-практическая конференция «Математика в современном мире» - Калуга, 2004 г.

2-я международная конференция «Физика электронных материалов» -Калуга, 2005 г.

Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. - Калуга, 2005 год.

Микроэлектроника и информатика - 2006, 13-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов. - Москва, 2006.

Конференция, посвященная 75-летию Орловского государственного университета. - Орел, 2006.

IV Российская национальная конференция по теплообмену - Москва, 2006.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» - Тула, 2006 г.

Работа была представлена на «Конкурс научных работ молодых ученых 2006», проводимого Министерством экономического развития Калужской

области, по результатам которого автор награжден дипломом лауреата конкурса.

Также результаты докладывались на кафедрах:

Программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Математического анализа механико-математического факультета Тульского государственного университета.

Вычислительной механики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Публикации.

Опубликовано 10 статей, из них 2 статьи опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем работы.

Общий объем диссертации составляет 163 с. и состоит из введения, трех глав, содержащих 13 пунктов, заключения, списка литературы из 109 наименований и двух приложений. Диссертация содержит 83 графика и рисунка. Положения, выносимые на защиту.

1. Модель процесса теплопроводности в системе тонких контактирующих стержней.

2. Методы получения решений для произвольных систем стержней с использованием понятия матрицы теплопроводимости и аналитического аппарата Берса.

3. Моделирование процесса теплопроводности в простейших геометрических структурах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, приведен краткий обзор литературы по теме исследований, формулируются цели и задачи исследования, научная новизна, научная и практическая значимость, указываются выносимые на защиту основные положения работы и кратко перечисляются основные результаты.

Первая глава состоит из четырех разделов, посвященных математическому определению задачи. В п. 1.1 получено двумерное уравнение теплопередачи для криволинейного неоднородного слоя (основного слоя), ограниченного слоями (ограничивающие слои) для различных случаев: с конвективным переносом, с наличием внутренних источников тепла, для различных

свойств ограничивающих слоев, для различных способов теплообмена с ограничивающими слоями. Указаны ограничения применимости данной модели в практике. Приводится решение задачи с использованием обобщенных степеней Берса с двумя нуль-точками. Указаны области применения полученных уравнений.

В п.1.2, на основе уравнений, полученных в п. 1.1, указываются способы получения уравнения теплопроводности для одиночного неоднородного криволинейного стержня (рис. 1). Приводится полный вывод уравнения описывающего нестационарные процессы теплопередачи в одиночном неоднородном криволинейном стержне по длине стержня /.

Рис. 1. Криволинейный неоднородный стержень с теплоизолирующей

оболочкой.

Это уравнение имеет вид

Здесь Т-координата вдоль контура сечения, V-скорость движения вещества в стержне, кх - теплопроводность материала стержня, к2 -теплопроводность материала слоя покрытия, р -плотность материала стержня, с-удельная теплоемкость материала стержня, 5-площадь сечения

плотность тепловых источников в стержне - плотность тепловых источников в слое покрытия, к - толщина оболочки.

стержня, Те - средняя по периметру сечения внешняя температура, д1 -

Указываются основные частные случаи уравнения по форме сечения и однородности/неоднородности материала. Для приведения к декартовой системе координат приводятся примеры получения параметра Ламэ Я для наиболее распространенных форм стержней. Это необходимо для того, чтобы использовать аппарат формализма Бельтрами-Берса при решении конкретных задач. Здесь также рассматриваются частные случаи, касающиеся тепловых характеристик покрытия, геометрии сечения стержня.

П. 1.3 посвящен установлению условий сопряжения для контактирующих стержней и оболочек. Ввиду сложности математического описания систем контактирующих стержней, здесь в качестве модели системы предлагается использовать связный граф, ребра которого заменят при описании стержни, а вершины графа - концы стержней. Условия сопряжения вводятся на основе закона сохранения внутренней(тепловой) энергии. Рассматриваются случаи идеального и неидеального контакта стержней.

В п.1.4 для определения математических моделей теплопередачи между стержнем и ограничивающими его слоями (рис. 2) рассматриваются основные уравнения теплопроводности в системах оболочек, контактирующих по простиранию.

Здесь же, на основе результатов, полученных в предыдущем параграфе, рассматриваются случай слияния оболочек (объединения двух слоев в один) и случай расположения нескольких стержней внутри одной оболочки (рис. 3) (как модель многофазных кабелей).

О

теплоизолирующие слои

Рис. 2. Стержень, заключенный в слои оболочки.

Рис. 3. Три неоднородных стержня в оболочке.

Этот случай может стать основанием для построения математических моделей процессов переноса тепла, происходящих в пучках стержней (например, проводников, заключенных в одну оболочку) или в многослойных средах.

Вторая глава состоит из пяти разделов и посвящена изучению стационарных процессов теплопередачи, как неотъемлемой части изучения нестационарных процессов.

В п.2.1 рассматривается стационарная задача теплопроводности, описанная уравнением

учитывающим конвекцию, внешний теплообмен, внутренние и внешние тепловые источники. Здесь %— коэффициент внешнего теплообмена, д- суммарная плотность внутренних и внешних тепловых источников.

Приведено решение краевой задачи с граничными условиями третьего типа:

где через Т1: Т2 обозначены внешние температуры на границах хь х2 стержня.

Искомое решение в формализме Бельтрами-Берса может быть представлено выражением

где $ЪаХ(х,х1), 5ЪаХ(х,х2) - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения , ъ. у?- частное решение неоднородного уравнения.

Постоянные А, В найдены из граничных условий, и в результате получено

(1)

Т = Л8ЬаХ(х, х,) + В%\мхХ{х, х2) 4- м>,

+

Т

+

где

А = sha Х(х2, xl) ^a2/1/2shaX(jí;1, x2) - alxn2c\iaX(xx ,x2)-

+al2n1chaX(xl,x2)-nln2shaX(x1,x2)].

Здесь a - некоторая постоянная, введенная для удобства дальнейшего использования результатов, w -частное решение уравнения (1).

Функции и = shaX(xx,x2),chaX(xx,x2) удовлетворяющие уравнению

dU

-a2U = О,

dx\ ' dx

определены в работах Ю.А. Гладышева.

Переменные коэффициенты а, и а2 определены в п. 1.1 как

= kS_ 1

01 Н' °г НХ

Далее рассматриваются частные случаи задачи теплопроводности с краевыми условиями I, II, III и смешанного типов, вытекающие из полученного решения. Особое внимание уделяется случаю однородных прямолинейных стержней, для которых все формулы в решении получены в явном виде через вычисление функций от обобщенных степеней.

На основе полученного решения для одиночного стержня, используя формулы дифференцирования для обобщенных степеней, вычислен тепловой поток в стержне

dw^

n{w+mx

dx

+

+

am.

—shaX(x,xx) - n^chaX (x,xx)

T2 —| n2w+m2

dw dx

•~<h (x)

dw dx

Такой вид выражения для теплового потока дает возможность представить потоке на концах стержня в виде линейной комбинации, связывающей тепловые потоки с температурами на концах стержней

*=1

где величины Рл составляют матрицу, которая названа матрицей теплопро-водимости стержня. Слагаемые @1Г<Э2 названы дополнительными потоками

тепла. Они не зависят от температур Тх, Тг, а определены внешними условиями теплообмена по длине стержня.

А А

Р21 = —8Ьа(х,, х2) ^а/^Ьа^х,, х,) - и,сЬаЛ>(х2, х,)],

где А определено по (2).

Используя матрицу Р, выражения для дополнительных потоков тепла запишем

а =-(/.а Ч Ч К Ч2 +«2 Ч2 К - а Ч' а=-(АА Ч, +Н, -(ад Ч2 +«2 Ч •

Элементы матрицы теплопроводимости Р являются функциями точек х,, хг, аналогичное замечание относится и к дополнительным потокам тепла

а. а-

На основе полученных формул приводится вид матрицы теплопроводимости для задач Дирихле (Б) и Неймана ( N), снова выделяя отдельно случай однородного стержня.

Проводится краткий анализ значений коэффициентов матрицы теплопроводимости и самой матрицы.

Для нахождения частного решения н> задачи (1) приводятся три способа. Первый основан на применении функции точечного источника (функции Грина), которая в формализме Бельтрами-Берса для точки х0 имеет вид

вЬаЛ^х,), х2 )$\\аХ{х, х,)

Т =

/0 ~"———.—— ^ ^ X — XQ }

авЬаЛХх^х,)

. 8ЬаХ(х„,х|)8Ьа;Аг(х,х,)

-10--—, х0 < х < х2.

а5ЪаХ(х1,х1)

В качестве второго способа указан метод основанный на формализме Бельтрами-Берса. Если правая часть представлена в виде многочлена формальных степеней, что может быть при аппроксимации В многочленами,

то решение имеет вид:

ы

м> = ±Х^к\х,х,)а„_к.

м

Коэффициенты ап_к можно найти из соотношений:

а,-к-2 = - -'к - - ], * = о,..., и - 2 .

В третьем методе предполагается, что независящая от Т часть уравнения (1) может быть представлена в виде разложения по системе ортогональных функций

00

м '

где функции н = 8таД(х,1,) удовлетворяют уравнению

Д^м + а^и = 0,

тогда решение имеет вид

V/ '■

С,

4 = -

2 2 а +а<

Далее приводятся частные случаи решения уравнения (1) в случаях линейного и экспоненциального закона изменения среднего радиуса сечения, коэффициента теплопроводности и коэффициента внешней теплоотдачи. Полученная далее формула получения матрицы теплопроводимости последовательно соединенных стержней и результаты данного параграфа позволяют говорить о возможности аппроксимации сложных законов изменения параметров стержня линейными и экспоненциальными функциями.

В п.2.2 рассмотрен случай кольцевого стержня (рис. 4), так как путём деформации краевая задача для произвольного криволинейного стержня при

сохранении распределения внешней температуры может быть сведена к задаче кольцевого стержня при сохранении распределения внешней температуры Т и параметров относительно стержня.

I

>х

Рис. 4. Замкнутый стержень, приведенный к кольцевому виду. Уравнение стационарного теплопереноса рассматривается в полярной

системе координат Л-гай(р,Н =г0,х = (р и имеет вид

Ц-

г0 ¿<р

К 'о

й(р

+ Ж -Л+9 = 0.

Решение дается с использованием метода точечного источника мощностью ^ в виде

Т -—\ь\1аХ{<р,2л)сШХ((р,^) - (вИаЛЧ^О)] + Те аД

при

Д = 2 - сЪаХ(0,2я) - сЪаХ(2л,0) .

Далее рассматриваются случаи однородного кольца, и оговаривается метод применения полученной формулы для теплоизолированного кольца, рассматриваются разрывные кольца.

Для однородного кольца выводится формула для функции Грина и дается интегральное представление решения.

Как альтернативу интегральному решению задачи приводится метод решения с использованием матрицы теплопроводимости.

В п.2.3 выведены формулы для получения матрицы теплопроводимости системы двух последовательно (рис. 5) или параллельно (рис. 6) соединенных стержней.

Для последовательного соединения было предположено наличие теплового сопротивления и/или источника тепла в точке контакта, поэтому условия сопряжения были предложены в следующем виде

тхТ™ + тгТх{2} + + т^[Г) + /и5 = О,

и^'4 +п2Т™ +и5 = О,

где от,, (/ = 1,2,3,4,5) - действительные константы.

т(1) ТГ) т<2)

11 ■ 2 I 1 >2

О О.........................-......................-..........-.................................................о

^ -^сч ^ ^

Рис. 5. Схема последовательного соединения проводников тепла. Считая матрицы теплопроводимости Р(>) и Р(2) и дополнительные потоки Qx и ()2 обоих стержней известными, для матрицы последовательно соединенной системы имеем

р(") _ р(1) , рО)р(1) р(")_1 р0)р(2) 1! — М1 "г . ■'и'и 21 ' 12 ~ . л\г'\2 12 >

д д

р(1)р(2) р(») _ Р(1> , 1 р(2)р(2) '21 ~ . •'зиг! Г21 > '22 ~ '22 ^ . л22'21 ' \2 '

д д

Здесь

5П = {тъп2 -т2п}) + (т}п4 -т4п})Р^\ $12 = тъп2 -т2п4, $21 = тЛ ~тЬП\' '^22 = {,П\ПА -да4И, )+(/И,И4 -ОТ4И3)Р2(21), Г, = (от5и2 - ОТ2«5 ) + (ш5И4 - «4«5 ) ,

г2 = (/и,и, -т5п,) + (т}п5 ~т5п})Р^, Д =(/и2я, -от1и2) + (ти4«1 — т,«4+

+ (т2п}- тъп2) Р^ + (от4«з - т3и4) Д',"/?',2'. Далее был рассмотрен вопрос о решении обратной задачи, т.е. о применении формул последовательного соединения для нахождения температуры в произвольной точке стержня. Например если в такой точке считать контакт идеальным, то

при Д = Р,<2) - Р22 и не зависящем от х .

Затем рассматриваются алгебраические и физические свойства операции последовательного соединения на множестве матриц теплопроводности.

Для параллельного соединения двух стержней получены следующие результаты.

т(1) т-(1)

I 1 I 2

О-О

, (1) , (1) и 1 0 2

т'2'О—О-оют!21

■ (2) . (2) , (2) , (2) 0 1е О 1 ^ 2 Л 2е

Рис. 6. Схема последовательного соединения проводников тепла.

В случае идеального контакта матрица теплопроводимости двух параллельно соединенных стержней находится путем сложения матриц отдельного стержня

/>(») _ рО) +/><2),

Дополнительные потоки тепла также складываются. На малых участках могут быть источники тепла, поэтому необходимо положить

/(2) _ /(2) , г(2) г(2) _ ,(2) т(2) 1с — *М > и2е 02 '

где У01, У02 - заданные потоки тепла, поступающие в участки соединения. Эти потоки могут также зависеть от температур 7](1), 7|(2), 7]°', 7"2(2). Поэтому общие условия на внешних границах второго стержня запишем как щТ™ + т2Т1(2) +т}•/<?> + т^\2) +т5 = О, иД«4 +«27;(2) +«3 У,(е2) +«4У,<2) +и5 = О, +Р27,2<2) +Р5 = О,

+ +дЛ2) +д5 = 0. Приведенные условия содержат случай неидеального контакта

т^-т^ =-ю\2\ Т!2)=Т2(,),

'2

/(2) _ /(2) /(2) _ г(2) •Лс _ •'1 ' °2е ~ 2

и соответствуют выбору постоянных:

от, = 1 ,т2= -1, тъ = т4 = = О, и, = л2 = и5 = 0, «з = 1, и4 = -1, А = 1. Л = -1, Ръ = Р4 = Ръ = °> Ч\ =Ъ=Ъ=°> <7з =1> Ъ =-!■

В этом случае

С^'+^+лС)"1'

С = рп + Рп - ЛРиРп (1 + Щ? Г >

р* = Р22 + Н? - №£]Рп (1+^)"' •

В п.2.4 на основании полученных в пп.2.1-2.3 гл. II результатов решаются стационарные задачи для простейших планарных и пространственных систем стержней.

Для удобства описания и визуализации систем стержней вводится терминология теории графов. Граф, описывающий систему стержней с введенной на нем системой координат будем называть геометрическим, согласно предложению Ю.В. Покорного. Для этого требуется выполнение следующих условий:

1. Нет ребер перпендикулярных оси Ох.

2. Все вершины графа имеют различные координаты х.

Введение системы координат позволяет учитывать направление тепловых потоков на ребрах графа, поэтому можно считать граф ориентированным, причем ориентация задается положительным направлением оси Ох.

Это позволяет ввести удобную при расчетах нумерацию ребер, вершин, и величин, связанных с ребрами и вершинами.

Далее рассматривается одна из важнейших для дальнейшего применения задач - случай соединения трех стержней. Сначала рассматривается ее координатное решения, основанное на применении обобщенных степеней Берса, затем, более простое, решение с использованием матрицы теплопроводимо-сти.

Обобщая полученные решения, приводится общая схема решения задачи Дирихле для произвольной пространственной системы N стержней как координатным методом, так и с помощью матрицы теплопроводимости.

Принимая условия сопряжения в / -й закрытой (с неизвестной температурой) вершине в виде

к к

где индексом / занумерованы ребра графа, подходящие к этой вершине слева, а г - справа, получим систему уравнений для определения температур Tt в закрытых вершинах

T,[t*£" -I ^H+IVr =

К к к ) к>п к>п

=-Ъл*-ter

к<п kin к к

В качестве примеров приведены решения задачи Дирихле для простейших систем, тетраэдра и куба.

П.2.5 полностью посвящен методам соединения систем стержней при краевых условиях первого типа и получению матриц теплопроводимости объединенных систем.

В качестве примеров приведены решения задачи Дирихле для тетраэдра и куба предложенным методом.

Третья глава состоит из 4 разделов и посвящена исследованию нестационарных процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней, опирающемуся на результатах, полученных во второй главе. Основным методом решения задач в этой главе является метод Фурье с использованием формализма Бельтрами-Берса. Решаются задачи Штурма-Лиувилля для систем стержней. Находятся собственные значения задач. Приводятся ортогональные системы функций с указанием соответствующего им скалярного произведения, доказательством ортогональности на основе тождества Грина и условий сопряжения. Вычисляются нормировочные множители и коэффициенты разложения Фурье. Для вырожденных случаев проведена процедура Грама-Шмидта по снятию вырождения. Особенностью решения задач методом Фурье на графах является тот факт, что собственные значения задачи и коэффициенты разложения Фурье для решений на всех ребрах системы являются общими. Проводится анализ результатов.

В п.3.1 рассматривается основное уравнение теплопроводности в стержне при наличии внешнего теплообмена, которое имеет вид:

2дх{ 1 дх) Р Kt > dt

где

Для краевых задач I, II и смешанного типов приводятся решения задачи координатным методом Фурье в функциях £/„, построенных с использованием обобщенных степеней Берса. Доказывается ортогональность этих функ-

ваются формулы для нормировочного множителя и коэффициентов разложения Фурье для каждой из рассмотренных задач. Указываются условия для нахождения собственных значений задачи.

значением температуры, показывается, что при решении нестационарных задач теплопроводности можно использовать понятие матрицы теплопрово-димости для работы с координатной частью решения, т.е. с амплитудной температурой. Причем все полученные во II главе соотношения имеют силу. Нестационарность процессов накладывает на матрицу теплопроводимости единственное условие - она становится зависимой от собственных значений. Приводятся примеры демонстрирующие эту преемственность.

П.3.2 посвящен решению задачи Коши об остывании простейших систем стержней, рассмотренных во II главе: 2 контактирующих в одной точке стержня, 3 контактирующих в одной точке стержня, и системы, содержащие внутри себя замкнутые циклы (кольца). Приводятся скалярные произведения, относительно которых выполняется условие ортогональности решений, формулы для нормировочных множителей и коэффициентов разложения Фурье, условия для нахождения собственных значений.

В п.3.3 рассматривается общий метод решения задачи Коши для произвольной системы стержней.

В п.3.4 Показаны примеры применения принципа симметрии при решении задач Коши с краевыми условиями Неймана (то есть все вершины конструкции закрыты), определенных на пространственных графах в виде тетраэдра и куба. Использование симметрии позволяет упростить модель фигуры и воспользоваться шаблонным решением задачи для трех контактирующих стержней с длинами /,,/,,/3, где /, =2/2 =2/3 =1, =2Ь2. Построены графики

ций относительно скалярного произведения

Представляя решение в виде Т(х,1) = Та{х)е ' и назвав Та амплитудным

зависимости величины первых собственных значений от длин ребер этих фигур (рис. 7-8).

4 ,.8

5 "

С< 0,8

1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Ь„м

Рис. 7. Зависимость первых собственных значений от

ч: '

о « с; 30

Ц, м

Рис. 8. Зависимость первых собственных значений от Ь2. В заключении кратко приводятся основные результаты научного исследования по теме диссертации.

В приложении I приведены основные сведения о формализме Берса и обобщенных степенях. В приложении II приведены примерные графики зависимостей коэффициентов матрицы теплопроводимости однородного прямолинейного стержня с круговым сечением для стационарной задачи теплопроводности с краевыми условиями первого типа, иллюстрирующие физический характер коэффициентов матрицы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ 1. Определена модель процесса теплопроводности для системы контактирующих стержней с внешней теплоотдачей.

2. Получен аналитический метод решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности для систем криволинейных неоднородных стержней при наличии внешней теплоотдачи на основе использования формализма Бельтрами-Берса.

3. Предложено описание процесса теплопроводности в системе контактирующих стержней в виде графа и соответствующей ему матрицы тепло-проводимости и дополнительных токов, позволяющее проводить бескоординатное решение задач теплопроводности на графе.

4. Получены формулы для нахождения матрицы теплопроводимости последовательного и параллельного соединения двух стержней.

5. Предложены методы для построения матрицы теплопроводимости для произвольных систем стержней.

6. Проведено сравнение координатного и бескоординатного (метод матрицы теплопроводимости) методов решения задач теплопроводности на графе.

7. Решена задача Штурма-Лиувилля для системы уравнений теплопроводности, определенных на системе трех стержней при различных граничных условиях.

8. Приведены примеры применения принципа симметрии для решения задач теплопроводности на пространственных графах.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. Функция Грина задачи нестационарной теплопроводности для системы N контактирующих стержней // Сборник трудов кафедры общей физики по результатам научно-исследовательской работы за 2003 г. - Калуга, КГПУ,2003. - с. 30-33.

2. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. О некоторых нестационарных задачах теплопередачи для системы криволинейных стержней //Математика в современном мире: материалы 2-й Российской научно-практической конференции. - Калуга, КГПУ, 2004. - с. 199-211.

3. Ginzgeymer S.A. Calculation of process of transfer in the nonuniform solid stratum of substance at presence of an exterior heat exchange//Physics of electronic materials: 2nd International Conference Proceedings. - Kaluga, 2005, Vol.2, s.266-269.

4. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. О процессе установления стационарного процесса теплопередачи в некоторых стержневых системах

//Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: труды XV школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева, М: Изд-во МЭИ, 2005, с. 235238.

5. Гинзгеймер С.А. О процессе выравнивания температуры в простейших стержневых системах. //Сб.Научные труды КГПУ им. К.Э. Циолковского. Серия «Естественные науки», Калуга, КГПУ, 2006, С. 37-42.

6. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А., Дворянчикова Ю.В., Сначев A.B., Хомутский В.А.О расчете характеристик процесса выравнивания температуры в простейших пространственных стержневых системах//.Научные труды КГПУ им. К.Э. Циолковского. Серия «Естественные науки», Калуга, 2006, С. 43-47.

7. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. К вопросу об использовании метода Фурье на геометрическом графе //Сб. трудов междунар. конф. «Современные методы физико-математических наук», Т.1., Орел, ОГУ, 2006 г., -С.21-25

8. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. Нестационарные задачи теплопередачи в стержневых конструкциях //Сб. трудов IV Российской национальной конференции по теплообмену, М:МЭИ, С.187-191.

9. Гинзгеймер С.А. Об одном методе решения стационарных задач теплопроводности для систем контактирующих стержней. //Известия Тульского государственного университета. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи, В.1, Тула, ТулГУ, 2006, - С.15-19.

10. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. К вопросу об использовании метода Фурье для решения нестационарного уравнения теплопроводности на геометрическом графе //Известия Тульского государственного университета. Дифференциальные уравк икладные задачи. В.1, Тула, ТулГУ, 2006, - С.76-91.

Гинзгепмер Сергей Александрович

Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.12.2006. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,75. Тираж 100 экз. Зак. № 115/42.

Отпечатано АП «Полиграфия», г.Калуга, ул.Тульская 13а. Лиц. ПЛД № 42-29 от 23.12.99.

Введение.

Глава I. Основные уравнения теплопередачи в криволинейных неоднородных слоях и стержнях. Условия сопряжения при контакте стержней и оболочек.

1.1 Основное уравнение теплопередачи в криволинейном слое.

1.2 Основные уравнения теплопередачи в криволинейном стержне при наличии внешней теплоотдачи.

1.3 Системы стержней и оболочек. Условия сопряжения.

1.4. Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию.

Глава II. Стационарные процессы теплообмена в системе стержней.

2.1 Построение решения основных краевых задач для стержня с внешним теплообменом.

2.2. Процесс теплопередачи в криволинейном замкнутом стержне.

2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников тепла с внешней теплоотдачей.

2.4. Системы стержней и их моделирование геометрическими графами.

Основные краевые задачи.

Глава III. Нестационарные процессы теплопередачи в системах контактирующих стержней.

3.1. Основные краевые задачи для одного стержня без внешнего теплообмена.

3.2 Процесс выравнивания температуры в простейших стержневых системах121 3.3. Задача Коши для произвольной системы стержней.

3.4 Нестационарные процессы теплопередачи в простейших пространственных конструкциях.

В практике часто встречаются конструкции, отдельные детали которых состоят из элементов, которые можно достаточно точно считать при изучении теплопередачи стержнями. Это могут быть элементы систем охлаждения, компоненты микроэлектронной техники, проводные системы коммуникаций, антенны, фермы строительных конструкций, просто системы труб, и т.д.

Задачи о распространении тепла в системах контактирующих стержней с внешней теплоотдачей особо остро возникают при эксплуатации систем охлаждения энергетических установок. Инженеров интересует процесс остывания разветвленной системы трубок охлаждения при плановом или экстренном отключении подачи теплоносителя в системы охлаждения при условии, что трубки имеют различную форму, имеют различные оболочки и находятся в различных температурных условиях внешней среды.

Если установки эксплуатируются в сложных климатических условиях, то, например, достижение пороговых низких температур и, как следствие, образование наледи на трубках изменяют параметры теплоотдачи системы и могут служить причинами аварий.

Исходя из этого, необходимо оценивать не только температурные поля стержней и время остывания до некоторой температуры, но и величину и направление тепловых потоков в системе, для определения потенциально слабых мест, которым требуется дополнительное обслуживание при эксплуатации действующих установок или особое внимание конструкторов при проектировании новых.

При моделировании процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней можно выделить три направления исследования. Первое должно обеспечивать построение достаточно полной модели, то есть ее соответствие возможностям протекания физического процесса теплопередачи, а значит учитывать: а) теплопередачу внутри стержня, б) наличие теплопроводящих оболочек, в) теплопередача в окружающую среду, г) наличие источников/стоков тепла внутри стержней и оболочек, д) особенности теплообмена в точках соединения стержней, е) опосредованное взаимодействие находящихся рядом стержней (через окружающую среду), ж) геометрическую и физическую структуру стержней.

Учет всех вышеперечисленных возможностей в практике является очень трудоемким. Экспериментальное исследование сложных систем охлаждения является трудоемким и дорогим. Численное исследование систем стержней осложнено тем, что при изменении параметров любого стержня, изменении конфигурации системы, изменении внешних условий необходимо перестраивать программное обеспечение и делать полный перерасчет, несмотря на то, что элементы конструкций являются типовыми.

Поэтому, на сегодняшний день, требуются такие математические модели, которые были бы достаточно общими по спектру учитываемых физических и геометрических параметров системы, учитывали бы возможность использования типовых элементов и упрощенных алгоритмов изменения конфигурации системы для проведения численных или аналитических исследований.

Второе направление исследований - поиск, разработка и адаптация математического аппарата, позволяющего решать задачи, описываемые полученной моделью.

Третье направление - разработка качественных примеров использования модели для изучения определенных систем стержней при определенных внешних и внутренних условиях. Ценность таких примеров заключается в том, что они позволяют проводить проверку работоспособности других методов расчета тепловых процессов в системах контактирующих стержней, а также проверку качества разрабатываемых численных методов и соответствующего программного обеспечения.

Многие используемые в работе модели рассматривались с некоторыми упрощениями в классической литературе по теплообмену и математической физике ([9],[42],[46],[55],[60],[78]). Однако некоторые особенности моделей являются продолжением исследований процессов переноса в криволинейных слоях, начатых О.В. Голубевой и продолжающихся до сих пор в работах Ю.А. Гладышева [18], В.А. Толпаева и В.И Дедовского [79-80]. В этих работах рассматривается двумерная модель переноса жидкости в фильтрационном слое, ограниченном по одной из координат, аналогичная процессу переноса тепла. При этом Ю.А. Гладышевым1 в монографии [20] был обобщен метод решения параболических уравнений с использованием обобщенных степеней Берса ([92] и др.) применительно к двумерным моделям переноса.

Предложенные ранее модели, как правило, ограничены рассмотрением конкретных систем стержней ([9],[42]) или введением в решаемое уравнение лишь малой части факторов влияющих на процесс теплопередачи в системах стержней, например не рассматривается возможность внешнего теплообмена ([46],[67] и др.).

При физической постановке задачи можно считать, что в начальный и в последующие моменты времени трубки нагреты по сечению одинаково в силу их тонкости и однородности окружающей среды. В связи с этим, можно рассматривать одномерные модели распространения тепла в стержнях, принимая за температуру в точке стержня ее усредненное значение по сечению. Оценка этого подхода дана в предлагаемой работе (см. п. 1.2).

Широкое представление аналитических методов решения уравнений теплопроводности представлено в классических работах Г. Карслоу, Д. Егера, Н.М. Беляева, А.А. Рядно, Лыкова А.В. ([9],[42],[55]). Однако в настоящее время разрабатываются алгебраические методы, позволяющие в ряде случаев проводить безкоординатное решение задач теплопроводности. При построении решений

1 Автор выражает свою глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., доценту Гладышеву Ю.А. за многократные консультации и большую методическую помощь при выполнении и написании данной работы. нестационарного уравнения теплопроводности, определенного на системах стержней в работах Л.А.Коздобы ([46] и др.) предлагается алгебраический метод, основанный на представлении проводников тепла, входящих в систему, в виде сопротивлений и использующий методы аналогичные методам электротехники. В работах Ю.А. Гладышева ([18],[20],[23] и др.) предлагается модель процессов теплопередачи в системах контактирующих оболочек и тел вращения, где тепловые потоки определяются матрицей теплопроводимости системы, описывающей характер входящих в систему и исходящих из нее тепловых потоков. Этот подход и был взят за основу при моделировании тепловых потоков в системах контактирующих стержней в данной работе.

При построении решений нестационарных задач теплопроводности методом Фурье на геометрическом графе, возникает проблема собственных значений. Теоретическим обоснованием решения этой проблемы посвящены работы Ю.В. Покорного и др. ([66], [27-29], [64], [67-69], [85-86], [97-100]). Однако изучение уравнения теплопроводности в этих работах не является приоритетным, поэтому оно исследуется при значительных ограничениях: не рассматривается внешний теплообмен, не рассматриваются оболочки для ребер графа и не рассматриваются задачи с адиабатической изоляцией вершин.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что исследования процессов переноса на графах и связанных с ними математических проблем актуальны и в современной науке им уделяется большое внимание. Предлагаемая работа является продолжением исследований в данном направлении. Приведенные в данной работе модели также не являются полными, однако позволяют учитывать возможности протекания процесса а)-д), ж) (стр. 3-4). Кроме того, предлагается использование терминов и понятий теории графов, позволяющих проводить удобное словесное и графическое описание модели. Поэтому можно сформулировать

Цель работы

Построить математическую модель, позволяющую описывать и определять тепловые потоки и температурные поля стационарных и нестационарных тепловых процессов, происходящих в системах криволинейных неоднородных контактирующих стержней.

Задачи работы:

1. Определить математическую модель, описывающую процессы теплопередачи в криволинейном неоднородном одиночном стержне и системе контактирующих стержней и указать условия применимости этой модели.

2. Адаптировать понятие матрицы теплопроводимости для определения тепловых потоков стационарных и нестационарных процессов теплопередачи в криволинейном неоднородном стержне.

3. Построить решения стационарных и нестационарных уравнений теплопроводности, определенных на простейших планарных и пространственных геометрических графах с краевыми условиями I, II, и III типа методом Фурье с использованием формализма Бельтрами-Берса.

4. Разработать методы построения матрицы теплопроводимости для произвольной системы стержней.

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

2-я Российская научно-практическая конференция «Математика в современном мире» - Калуга, 2004 г.

2-я международная конференция «Физика электронных материалов» - Калуга, 2005 г.

Седьмой всероссийский семинар «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики - Москва, ФГУП «Орион», 2005 г.

XIV Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел» - Черноголовка, 2005 г.

Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. - Калуга, 2005 год.

Микроэлектроника и информатика - 2006, 13-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов. - Москва, 2006.

Международная конференция «Современные проблемы математики», -Орел, 2006.

IV Российская национальная конференция по теплообмену - Москва, 2006.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», - Тула, 2006 г.

Также результаты докладывались на кафедрах:

Программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Математического анализа механико-математического факультета ТулГУ.

Вычислительной механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации.

Опубликовано 10 статей, из них 2 работы опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Заключение

Научная новизна и теоретическое значение работы

1. Получено аналитическое решение задач стационарной и нестационарной теплопроводности для основных систем криволинейных неоднородных стержней при наличии внешней теплоотдачи на основе использования формализма Бельтрами-Берса.

2.Введена матрица теплопроводимости для произвольных систем контактирующих стержней. Тем самым введены алгебраические, в принципе, бескоординатные методы решения задач теплорередачи, удобные для практического использования.

3.Предложены методы для построения матрицы теплопроводимости для произвольных планарных и пространственных систем стержней. Найдены матрицы типовых систем.

Практическая значимость работы

1. Абрамовщ М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.-832 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман КМ. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

3. Басакер Р., Саати Т. Конечные сети и графы. М.: Наука, 1974. - 368 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 624 С.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. М.: Наука,

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. М.: Наука,

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 3. М.: Наука, 1967.-300 с.

8. Белов В. В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. М.: 1976. -392 с.

9. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М: Высшая школа, 1978. - 328 с.

10. Ю.Борзых А. А., Черепанов Г. П. Плоская задача теории конвективной теплопередачи и массообмена. // Прикл. матем. и механика, 1978, т. 42, №5, с. 848-855.

11. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. -214 с.

12. Вере JI., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1966.-352 с.

13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512 с.

14. Вольперт А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем. сборник. 1972. - Т. 88, № 4. - С. 578-588.

15. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. О некоторых нестационарных задачах теплопередачи для системы криволинейных стержней //Математика в современном мире: материалы 2-й Российской научно-практической конференции. Калуга, 2004. - с. 199-211.

16. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. Функция Грина задачи нестационарной теплопроводности для системы N контактирующих стержней // Сборник трудов кафедры общей физики по результатам научно-исследовательской работы за 2003 г. Калуга, 2003. - с. 30-33.

17. Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в системах тонких стержней и оболочек. 2002 г., М., 3-я нац. конференция по теплообмену, т. 7. стр. 86-89.

18. Гладышев Ю.А. О методе расчёта тепловых потоков в сложных системах. //Тр. Всероссийской научно-технической конфер. прогрессив. технологии. Т 1. 2001 М. С. 128-135.

19. Ю.Гладышев Ю.А. Формализм Бельтрами-Берса и его приложения в математической физике. Калуга, 1997. - 261 с.

20. Гласно В.Б. Обратные задачи математической физики, М: МГУ, 1984.

21. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М: Наука, 1977. - 440 с.

22. Голубева М.С. К вопросу о расчете тепловых потоков в системах контактирующих оболочек. Тр. шк. сем. Физические основы математического моделирования процессов тепломассобмена. С. Петербург. 2001. т.2. стр. 198.

23. Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1974. -328 с.

24. Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962. - 895 с.

25. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, №6, с. 1393-1400.

26. Завгородний М.Г, Покорный Ю.В. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях //Успехи мат. наук. 1989. Т.44, №4. -С. 220-221.

27. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах // Успехи мат.наук. 1991. Т.46 №6. - С. 199-200.

28. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады РАН. 1994. - Т. 335, №3. - С. 281-283.

29. Зайцев В. Ф, Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993.-464 с.

30. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Международная программа образования, 1996-512 с.

31. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. - 304 с.

32. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. - 512 с.

33. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Наука, 1995. - 560 с.

34. Исаев С. И., Кожинов И А., Кофанов В. И, Леонтьев А. И и др. Теория тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1979. - 495 с.38 .Калафати П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 26, № 6. - С. 535-539.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы. М: Наука, 1978. - 512 с.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М: Наука, 1976,-576 с.

37. Карелина И Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на графе // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 1. - С. 41-47.

38. М.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -488 с.43 .Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

39. Климов Д. М., Руденко В. М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. - 215 с.45 .Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1958.

40. А6.Л.А. Коздоба Вычислительная теплофизика, Киев: Наукова думка, 1992 г. -224 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984. - 832 с.

42. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М: Высшая школа, 1970. - 712 с.

43. Кристофидес Н. Теория графов, М.: Мир, 1978, 431 с.

44. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.-736 с.51 .Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.: Гос-техиздат, 1933.

45. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.:Наука, 1984, 843 с.

46. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. -416 с.

47. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

48. Лыков А. В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

49. Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.-336 с.

50. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: «Наука». 1977.

51. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса.-М.: Наука, 1987. 352 с.

52. Математическая энциклопедия, М:«Болыпая советская энциклопедия», 1998, 692 с.

53. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1976. - 392 с.

54. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

55. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. - 352 с.

56. Пежин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 4. - С. 701-703.

57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. -400 с.

58. Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах, М: Физматлит, 2004 272с.6^.Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи мат. наук.- 1987. Т. 42, №- 4. - С. 128-129.

59. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на пространственных сетях // Успехи матем. наук. 1994. - Т. 49, вып. 4. -С. 140.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.:

61. Наука, 1981.-799 с. 1Ъ.Розенфельд А. С, Яхинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенныефункции. М.: Наука, 1966. - 448 с. 1 А.Романовский ИИ. Ряды Фурье. - М: ФИЗМАТГИЗ, 1961. 15.Сакс С. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

62. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1963, т. 3, № 4, с. 702719.

63. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988, 336 с.

64. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-736 с.

65. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Математическое моделирование фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривленных пластах конечной толщины // Обозрение прикладной и промышленной математики.- Т. 12. В. 2. - М. - 2005. С. 524-527.

66. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир». -1968.83Харари Ф. Теория графов. М., 1973. - 304 с.84Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М., 1977. - 328 с.

67. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.8e.Ali-Mehmeti F. A characterization of a generalized cr -notion on nets // Integral Equations and Operator Theory. 1986. - V. 9, № 6. - P. 753-766.

68. Ali-Mehmeti F., Dekoninck B. Transient vibrations of planar networks of beams: interaction of flexion, transversal and longitudal waves // Lect. Notes Pure Appl. Math. V. 219. Berlin: Springer, 2001. - P. 1-18.

69. Bers L. and Gelbart A. On class of functions defined by partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 56. N1 (1944). P.67-93

70. Burgan J. R-, Munier A., Feix M. R., Fijalkow E. Homology and the nonlinear heat diffusion equation. // SIAM J. Appl. Math., 1984, v. 44, No. 1, p. 11.

71. Munier A., Burgan J. R., Gutierres J., Fijalkow E., Feix M. R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation. // SIAM J. Appl. Math., 1981, v. 40, No. 2, p. 191.

72. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve im-puls transmission // Lect. Notes Math. №1771. Berlin: Springer-Verlag, 1985.-P. 532-541.

73. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1983. - 280 p.

74. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Boca Raton - New York: CRC Press, 1995. - 720 p.

75. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. I: Functional Analysis, Academic Press , 1980, 208 p.

76. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. II: Fourier Analysis, Self Adjointness, Academic Press , 1980, 108 p.

77. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics.

78. Vol. Ill: Scattering Theory, Academic Press , 1980, 468 p.

79. Reed M. and Simon B. Methods of modem mathematical physics.

80. Vol. IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1980, 404 p.

81. Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. Academic Press: San Diego, 1989. -673 p.