автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса вспенивания окисленного графита

На правах рукописи

МИХАЙЛОВ Владимир Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВСПЕНИВАНИЯ ОКИСЛЕННОГО ГРАФИТА

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов-2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ольшанский Владимир Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Клинаев Юрий Васильевич

Защита состоится «15» декабря 2006 г. в 15е2 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан «1^» ноября 2006 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Чернов Игорь Алексеевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет»

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А.Большаков

А

гбзЭ?-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Исследования в области технологий и методов получения новых соединений на основе графита и разработка новых углеродных материалов с уникальным набором физико-механических характеристик были начата в 70-х годах в МГУ им. М.В. Ломоносова в лаборатории химии и технологии углеродных материалов. Особое внимание было уделено практическому использованию в различных отраслях промышленности нового класса неорганических соединений -интеркалированных соединений графита, которые путем термической обработки могут быть преобразованы в пенографит (или терморасширенный графит). Одним из представителей этого класса является окисленный графит.

Было установлено, что терморасширенный графит обладает рядом уникальных физико-химических свойств, делающих его чрезвычайно привлекательным для практического применения в качестве нового конструкционного материала. Со временем изделия из терморасширенного графита стали использоваться в различных областях промышленности. Главным образом, терморасширенный графит стал незаменим как уплотнительный материал для оборудования, работающего в условиях высоких температур и агрессивных коррозийных сред. Использование порошкообразного терморасширенного графита, представляющего собой частицы углерода с высокоразвитой поверхностью, для изготовления изделий и введения в состав композитов является сложной технологической задачей. Одним из перспективных способов получения изделий из терморасширенного графита является терморасширение интеркалировайного графита в газопроницаемой форме (химическое прессование); технология процесса разрабатывается в Энгельсском филиале ЗАО «Унихимтек» под руководством профессора А.И. Финаенова. При этом появляется возможность получения изделий сложной геометрии с заданной плотностью, область применения которых быстро расширяется.

Для получения материала с заданными характеристиками необходимо создание математической модели процесса

терморасширения графита. Если пренебречь влиянием на процесс

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ 20р£зкЛйУ\

теплопередачи испаряющихся паров кислоты, то математической моделью процесса нагрева слоя графита является один из вариантов многофазной задачи Стефана. При моделировании процесса терморасширения графита также необходимо учитывать еще и движение частиц самого вещества как сыпучей среды, что еще более усложняет задачу. Существует (в простейших случаях) лишь небольшое число аналитических решений уравнения теплопроводности, удовлетворяющих указанным условиям. Первой была решена задача о промерзании Стефаном, а также Ляме и Клапейроном. Существенный вклад в развитие численных методов для решения подобных задач внесли Б.М. Будак, A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич.

В вычислительном отношении основная сложность решения задач типа Стефана заключается в том, что при изменении размеров подобластей, занимаемых разными фазами вещества, положение подвижной границы не известно и должно определяться в ходе расчетов. Для преодоления данной проблемы был выбран так называемый метод выпрямления фронтов, который описан достаточно подробно в работах A.B. Успенского и Б.М. Будака.

Целью работы является построение математической модели процесса химического прессования окисленного графита. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построение математической модели процесса терморасширения предварительно окисленного графита, учитывающей тепломассоперенос.

2. Создание методов расчета характеристик процесса при существенном различии теплофизических параметров агрегатных состояний.

3. Разработка программного обеспечения расчета различных характеристик рассматриваемого процесса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена математическая модель процесса вспенивания окисленного графита с условиями нагрева в виде граничных условий первого рода, состоящего из двух стадий, и процесса с условиями нагрева в виде граничных условий третьего рода, состоящего из

трех стадий, отличающаяся учетом сжимаемости

термораспшренного графита,

2. Найдена зависимость плотности терморасширенного графита от положения границ раздела, что позволяет при разработке численного метода решения поставленной задачи учитывать изменение плотности и зависимость коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от плотности.

3. Разработан численный метод решения задачи с граничными условиями первого рода, который отличается аналитическим выделением особенностей. Это дало возможность при построении численного алгоритма уйти от моментов времени зарождения границ раздела фаз.

4. Разработан численный метод решения задачи, отличающийся принятием во внимание сжимаемости терморасширенного графита, что дает основу для учета зависимости коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от его плотности.

5. Разработан метод решения задачи, отличающийся учетом зависимости коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от его плотности.

6. На основе проведенного вычислительного эксперимента обнаружено, что градиенты температур во всех областях почти постоянны, а в области, занятой окисленным графитом, температура всюду близка к температуре фазового перехода. Это позволяет построить приближенное асимптотическое разложение решения на последней стадии процесса.

7. В численном эксперименте выявлена зависимость полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, что позволяет оценить максимальную толщину получаемого изделия по предельно допустимому времени нагрева.

Научная ценность работы состоит в построении методов математического моделирования процесса химического прессования окисленного графита, развитии и апробации методов решения возникающих 1фаевых задач с подвижной границей раздела областей (задач типа Стефана).

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. Предложенная в диссертационной работе математическая модель рассматриваемого процесса, а также разработанные численные методы решения поставленной задачи позволяют определить параметры процесса терморасширения окисленного графита.

2. На основе построенной математической модели создано программное обеспечение, благодаря которому можно следить за различными характеристиками рассматриваемого процесса, такими как распределение температуры в слое окисленного графита и терморасширенного графита, положение границ раздела фаз и свободной поверхности окисленного графита.

3. Сравнение определяемого в численном эксперименте полного времени процесса терморасширения с известным из экспериментов допустимым временем выбранного температурного режима позволяет делать прогноз о принципиальной возможности получения по технологии химического прессования изделий заданной толщины и плотности.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью и строгостью применяемых математических методов, проверкой применяемых методов расчета на тестовых задачах, порождаемых точными аналитическими решениями, соответствием основных теоретических результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процесса получения терморасширенного графита и совпадением численных расчетов с результатами, полученными на основе асимптотического разложения.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Создание математической модели трех стадий процесса терморасширения окисленного графита при учете найденной зависимости плотности терморасширенного графита от положения границ раздела.

2. Разработка численного метода определения параметров процесса с аналитическим выделением особых точек, соответствующим моментам отделения границ раздела фаз от внешних границ области.

3. Установление в вычислительном эксперименте постоянства градиентов температур в областях окисленного и терморасширенного графита на заключительной стадии процесса и близости температуры в области окисленного графита температуре фазового перехода.

4. Определение влияния теплофизических параметров терморасширенного графита на характеристики процесса, такие как время протекания процесса, распространение с течением времени границ раздела фаз, а также выявление зависимости полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы. Апробация работы. Основные результаты диссертации

докладывались на: семинаре кафедры «Высшая математика и механика» СГТУ (2003 - 2006 гг.), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» механико-математического факультета СГУ (2004 - 2005 гг.), VII Международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем» (Саратов, 2004), 1П Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005), ХЫП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них I - в журнале, включенном в перечень ведущих рецензируемых журналов и научных изданий, утвержденный президиумом ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержит 101 страницу машинописного текста, в том числе 20 рисунков, 2 таблицы и 2 фотографии. В списке литературы 71 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Цель работы, актуальность заявленной темы и ее научная новизна описываются во введении предлагаемой работы. Также во введении описана практическая значимость проделанной работы и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрена физико-химическая и математическая модели рассматриваемого процесса.

В параграфе 1.1. кратко рассмотрены методы получения терморасширенного графита, способы переработки и описана область применения изделий на его основе.

В параграфе 1.2 дается физическая постановка задачи в целом, обосновывается возможность перехода к одномерной модели.

В параграфе 1.3 приведено построение математической модели рассматриваемого процесса. Этой моделью является задача типа Стефана, которая состоит из уравнения теплопроводности,, а также начальных, граничных условий и условий типа Стефана на подвижных границах раздела фаз. Одной из особенностей рассматриваемого процесса является переменная плотность терморасширенного графита. Вследствие этого в отдельный пункт вынесены рассуждения, касающиеся получения зависимости плотности от положения границ раздела. После этого описан ввод безразмерных переменных.

Во второй главе приведены рассуждения и результаты, касающиеся математического моделирования процесса вспенивания окисленного графита, когда нагрев осуществляется с постоянной внешней температурой. В рамках предложенной модели процесс термического расщепления разделяется на две стадии.

В параграфе 2.1 осуществляется обзор существующих методов решения поставленной задачи. Основная сложность решения задачи типа Стефана заключается в наличии подвижных границ раздела фаз, положение которых заранее неизвестно. К тому же теплофизические параметры (теплоемкость, плотность и т.д.) являются функциями, терпящими разрыв на межфазной границе. Существующие методы численного решения данной задачи можно условно разбить на два класса: с явным выделением подвижной границы и сквозного счета. К первой группе методов относятся методы, в которых положение свободной границы отслеживается на каждом временном слое фронта. Идея же методов сквозного счета состоит в отказе от непосредственного поиска неизвестной фазовой границы и замене его процедурой сглаживания по температуре теплофизических параметров.

Для решения задачи Стефана использовался численный метод с явным выделением границы - метод выпрямления фронтов, описание которого дается в параграфе 2.2. Суть метода состоит в нормировании пространственной переменной, а также в определении в ходе расчётов положения границ раздела фаз. Для этого в каждой из областей производится переход к новым переменным, в которых подобласти являются стандартными для использования сеточных методов прямолинейными полосами.

Параграф 2.3 посвящен первой из двух стадий процесса. При нагреве на нижней границе, моделируемом граничными условиями первого рода, происходит мгновенное образование терморасширенного графита из окисленного графита. Далее эта стадия характерна нагревом пакета слоев окисленный графит - терморасширенный графит через нижнее основание, причём при переходе окисленного графита в терморасширенный графит происходит объёмное расширение последнего.

Распределение температуры на этой стадии описывается следующей краевой задачей для уравнений теплопроводности:

й,(х,О)=н0(4 05Х5ЙО, (3)

^-=0 при *=<»(0, (4)

«2=м„прих=0, (5)

«.(Ш'Ь (б)

(ей, кг аО (</$, 4. «И /т»

Здесь индекс /=1 соответствует фазе окисленного графита, »'=2 - фазе терморасширенного графита. = - число Фурье, Л = ^ '1—

/с, -и. -г.

о

безразмерный комплекс, I - характерное значение пространственной

переменной, t0 - характерное значение переменной по времени, и, -характерное значение температуры, оно выбрано как температура термического расщепления окисленного графита, и, - температура вещества, и„ - температура внешней среды, v(- скорость движения вещества, р„с„к, - соответственно плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности вещества, Л - энтальпия фазового

перехода, отнесённая к единице массы, - скорость движения слоя

окисленного графита. Координаты £„(/), <p(t) соответственно определяют положение поверхности фазового перехода и свободной поверхности графита. Движение свободной поверхности связано с изменением объема графита при термическом расширении. Имеет место зависимость

<p(t) -■- А,+(1 - —) • L (f), где к = const, к > 1 - относительное изменение объёма к

окисленного графита при его переходе в терморасширенный графит, й0 -начальная толщина слоя графита. Условие теплоизоляции на свободной поверхности окисленного графита записано, исходя из сравнительно малой величины теплообмена с воздухом.

Осуществим следующую замену переменных:

в области окисленного и терморасширенного графита соответственно. Уравнения (1) и (2) приводятся соответственно к виду

&.,*{а О^Л (Ш)

Условие (7) на поверхности фазового перехода принимает вид

1 8ц,

f„0 4 v{r) Щ

кг

*. Ш К

7.0 2-г [dv dr) '

Условия (3)-(6) преобразуются соответственно. 4

Отрезок времени [о,т(1)] разбивается на шаги по времени. Полагая £„(г)=г-а(г) и используя линейную аппроксимацию

а{т)=а,{т)=ам{г1)+ р,

при

для £„(() получаем кусочно-гладкую аппроксимацию дугами парабол. Для определения коэффициентов Р, используется условие на границе раздела фаз (7).

Получив зависимость |„(')=£»(г2) ПРИ г е[г,,г,+1] находим распределения и,(т],т), и2 (£, г) численно с помощью неявной двухслойной конечно-разностной схемы, которая приводится в параграфе 2.3. Для

моментов времени, близких к нулю, коэффициент при производной — в

8т

уравнении теплопроводности для терморасширенного графита (10) становится малой величиной. Чтобы исключить эту особенность, была использована замена вида в = 1пт, которая удаляет особенность из уравнения (10). Однако начальный момент времени г = 0 соответствует значению в--т. Численные эксперименты показали, что достаточно начинать вычисления при в ~ (-4). Для моментов времени, близких к нулю, начальное распределение температуры было получено аналитически. Для этого использовалось следующее асимптотическое разложение для температуры

щ=±ии(х).1"> +±щ,(.х).(>, к2=|>2,(*И"2 (12)

1-0 (»0 I-о

и представление для положения границы раздела фаз в виде

Ш = ■ (13)

/я0

Подставив разложения (12) и (13) в уравнения теплопроводности, получим ряд обыкновенных дифференциальных уравнений для функций-коэффициентов. Далее в решении сохранялись слагаемые, соответствующие г=0. Полученное начальное распределение температур также использовалось для определения значения а0(т).

Эта стадия длится до тех пор, пока свободная поверхность окисленного графита не достигнет верхней пластины.

Во второй стадии, рассмотренной в параграфе 2.4, происходит нагрев пакета слоев нижний терморасширенный графит - окисленный

графит - верхним терморасширенныи графит с поверхностями раздела *=£,(') и дг=1-£,(/) через обе пластины, на которых заданы граничные условия первого рода.

При этом объём между пластинами полностью занят окисленным графитом и терморасширенным графитом, и переход из окисленного графита в терморасширенный графит сопровождается изменением плотности терморасширенного графита:

Рг=Рг=Р\-

(\__\zJll

(14)

А'ьту

Здесь рг,р%,рх- плотности в слоях пакета.

Решение задачи на этой стадии ведется также методом выпрямления фронтов. Замены переменных

(15)

17 =

.у - £„ (/) _ х _ 1-х

соответственно в слое окисленного графита, нижнем слое терморасширенного графита и верхнем слое терморасширенного графита приводят к уравнениям теплопроводности

+ Л )

1

...........

ы М.-О'

1-5.-1.

За,

С

2 ди,

9/

а»3 ~зГ

1 д\

ду2

г.

с/Г 3

9?'

при соответствующих краевых и начальных условиях. Условия на границе раздела фаз запишутся следующим образом:

к2 1

ди,

к3 1 ди2

'К'Т."^

1

3«,

1 Эи,

Л

VI

(М'

I ^ <*>>

Здесь индекс /=1 соответствует фазе окисленного графита, 1=1 - фазе нижнего терморасширенного графата, /=3 - фазе верхнего

терморасширенного графита, причем Рот = и изменяются со временем вследствие изменения плотности согласно (14). Начальное распределение температуры для верхнего слоя терморасширенного графита было получено аналитически с использованием асимптотического разложения для температуры аналогично выражениям (12).

Вторая стадия и вместе с ней весь процесс завершаются в момент времени, когда весь объем окисленного графита переходит в терморасширенный графит.

Третья глава посвящена математическому моделированию процесса вспенивания окисленного графита, когда учитывается конвективный теплообмен на внешней поверхности технологической формы. Это приводит к граничным условиям третьего рода. Вследствие этого процесс термического расширения разделяется на начальную, первую и вторую стадии.

В параграфе 3.1 рассматривается предварительная стадия процесса, на которой происходит нагрев слоя окисленного графита через нижнее основание до достижения на нем температуры вспенивания. На пластине задаются граничные условия третьего рода в виде

^ =» Л® •(»!-«.) при * в 0. (16)

ох

Здесь В1т ■ число Био окисленного графита, а - коэффициент

теплообмена с окружающей средой.

На первой стадии, рассматриваемой в параграфе 3.2, происходит нагрев через нижнее основание пакета слоёв терморасширенный графит -окисленный графит. Граничное условие на нижней пластине на этой стадии записывается аналогично (16), только для слоя терморасширенного графита.

Для решения используется метод выпрямления фронтов с заменой переменных (8). Начальное положение границы раздела фаз определяется из предположения, что в течение некоторого малого промежутка времени все тепло, поступившее через нижнюю пластину, затрачивается на превращение окисленного графита в терморасширенный графит, и граница раздела х = £„(0 движется в течение этого промежутка времени с постоянной скоростью.

Начальное распределение температуры в слое терморасширенного графита задавалось в виде линейного закона со значениями на концах, полученными из граничных условий.

Решение ведется шагат,га по времени. Определяя скорость — из

dt

условия на границе раздела фаз, и полагая, что ее значение не меняется на некотором промежутке времени, решается задача нестационарной теплопроводности для u¡(T},t), м2(?,/)• При этом используется неявная, двухслойная конечно-разностная схема, для которой уравнение

теплопроводности ——^ + —<=[(),Дг, áfáf2 и граничные dt ах ах

ди

условия —

дх

1=0 ох

=/(?) при начальном условии u(x,tl)=u0(x)

Xa¡

записываются соответственно в виде

„я „П+1 п «."+» . „л+1 «.л+1 .,и+1 _ _

У-^Л.)-"'" * +"м / = 1,^,-1, „-0.Ц-1,

при начальном условии и,0 = щ, г = 0,М,.

Здесь х = —— шаг по пространственной равномерной сетке,

Т = ———- шаг по временной равномерной сетке. Индекс и - номер

временного слоя, » - пространственного.

После решения задачи теплопроводности на промежутке времени снова происходит обращение к условию на границе раздела фаз и повторяется вычисление для следующего промежутка времени. Эта стадия завершается, когда свободная поверхность окисленного графита касается верхней пластины.

В параграфе 3.3 рассматривается вторая, заключительная стадия, во время которой происходит нагрев пакета слоев нижний терморасширенный графит - окисленный графит - Л верхний терморасширенный графит с поверхностями раздела *=£„(') и В

этом случае на пластинах заданы граничные условия третьего рода. При

этом зависимость температуры от пространственной переменной близка к кусочно-линейной. Вследствие этого происходит мгновенное вспенивание окисленного графита на верхней пластине.

Вычисления для определения начального распределения температуры в слое верхнего терморасширенного графита и начального положения границы раздела фаз окисленного графита и верхнего терморасширенного графита осуществляются аналогично предыдущему этапу, описанному в параграфе 2.3.

Переход из окисленного графита в терморасширенный графит сопровождается изменением плотности терморасширенного графита (14), а следовательно, и чисел Фурье. Решение задачи ведется методом выпрямления фронтов с заменой переменных (15) шагами по времени.

Эта стадия и вместе с ней весь процесс завершаются, когда весь объем окисленного графита переходит в терморасширенный графит.

Четвертая глава посвящена анализу расчетов для численных методов, построенных во второй и третьей главах. Также приводится сравнение с существующим аналитическим (автомодельное) и численным решениями.

В параграфе 4.1 анализируются результаты численных экспериментов при решении задач Стефана для случая постоянной внешней температуры. Механизм превращения окисленного графита в терморасширенный графит, а также теплофизические свойства терморасширенного графита еще достаточно мало изучены. Вследствие этого анализ посвящен влиянию теплофизических параметров, характеризующих терморасширенный графит, на различные показатели рассматриваемого процесса, такие как время протекания процесса, распространение с течением времени свободной поверхности окисленного графита и поверхностей раздела окисленный графит - терморасширенный графит. Зависимость коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от его плотности задавалась в кусочно-линейном виде. Вследствие этого на заключительной стадии коэффициент Био терморасширенного графита становился переменным во времени.

В параграфе 4.2 производится анализ расчетов, которые были получены численным методом из третьей главы. В численном

эксперименте выявлено, что при завершении первого этапа температура по всему слою окисленного графита практически одинакова и равна температуре вспенивания. Также анализируется влияние числа Био для терморасширенного графита на распространение с течением времени свободной поверхности окисленного графита и поверхностей раздела окисленный графит - терморасширенный графит. В этом параграфе приводится влияние поперечного размера технологической формы на полное время протекания процесса (рис. 1). Это позволяет делать прогноз о возможности получения изделий из терморасширенного графита заданной толщины при выбранной плотности получаемого терморасширенного графита.

пластинами 1: и„ =1.67,2: «„=2.00,3: и„=2.33, 4: и„ = 2.67,5: «„=3.00

В параграфе 4.3 показана достоверность полученных результатов на основе сравнения с существующими аналитическими решениями, такими

как автомодельное. Также полученные результаты находят подтверждение при их сопоставлении с результатами, полученными В.Ю. Ольшанским и Ю.Н. Нагар, что показано на рис. 2. Здесь изображено распространение границы раздела фаз и свободной поверхности окисленного графита с течением времени при условиях нагрева, моделируемых граничными условиями третьего рода. Отмечается согласование между собой результатов, полученных во второй и третьей главах.

Рис. 2. Сравнение численных расчетов с результатами, полученными на основе асимптотического разложения (- - расчёты автора, + -расчёты, полученные В.Ю. Ольшанским и Ю.Н. Нагар )

В заключении перечислены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена математическая модель процесса терморасширения окисленного графита методом химического прессования, учитывающая сжимаемость терморасширенного графита при вспенивании в ограниченном объеме. Для этого получено уравнение движения слоя окисленного графита и найдена зависимость плотности терморасширенного графита от положения границ раздела

фаз. Модель, учитывающая конвективные члены в уравнениях теплопроводности, построена для двух вариантов процесса: с заданной внешней температурой и при конвективном теплообмене с внешней средой.

2. Разработан численный метод решения задач, возникающих в рамках построенных моделей на основе метода выпрямления фронтов. Метод использует аналитическое выделение особенностей, связанных с моментами зарождения границ раздела фаз. Метод учитывает изменение плотности терморасширенного графита с течением времени при терморасширении в замкнутом объеме и зависимость коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от его плотности.

3. На основе проведенных численных экспериментов выявлено, что в начале заключительной стадии процесса температура в фазе терморасширенного графита имеет линейное распределение, а в фазе окисленного графита она всюду практически равна температуре вспенивания, что позволяет исключить из рассмотрения одну из промежуточных стадий процесса. Установлено, что в ходе развития заключительной стадии градиенты температур во всех фазах практически постоянны.

4. В численных экспериментах показано влияние теплофизических параметров терморасширенного графита, на характеристики процесса вспенивания, такие как время протекания процесса и распространение с течением времени поверхностей раздела.

5. Выявлена зависимость полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, то есть толщины изготавливаемого изделия. Показано, что увеличение этого размера влечет за собой существенный рост времени протекания процесса.

6. Создано программное обеспечение, благодаря которому можно следить за различными характеристиками рассматриваемого процесса, такими как распределение температуры в фазах окисленного графита и терморасширенного графита, движение границ раздела.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михайлов В.Ю. Решение задачи Стефана методом выпрямления фронтов для расчета процесса термического расщепления графита /

B.Ю. Михайлов, В.Ю. Ольшанский, A.B. Серебряков // Математика. Механика: сб.науч.тр. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2004. - Вып. 6. -С. 202-205.

2. Михайлов В.Ю. Метод выпрямления фронтов при численном моделировании термического расщепления графита / В.Ю. Михайлов, В.Ю. Ольшанский, A.B. Серебряков // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз.науч.сб. - Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 2004-

C.72-76.

3. Михайлов В.Ю. Метод выпрямления фронтов в задаче Стефана при моделировании термического расщепления графита / B.IO. Ольшанский, A.B. Серебряков, В.Ю. Михайлов // Динамика технологических систем 2004: сб.тр. VII Межд. науч.-техн. конф. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2004.- С. 290-292.

4. Михайлов В.Ю. Применение метода выпрямления фронтов для моделирования термического расщепления графита / В.Ю. Ольшанский, В.Ю. Михайлов, A.B. Серебряков // Математические модели и методы в прикладных задачах науки и техники: сб. тр. междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». Ульяновск: Изд-во Ульяновск, гос. техн. ун-та, 2005.- С. 193-197.

5. Михайлов В.Ю. Численное решение задачи Стефана при моделировании термического расщепления предварительно окисленного графита / В.Ю. Михайлов // Студент и научно-технический прогресс: Математика: материалы XLIII междунар. науч. студ. конф. / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005.- С. 22-23.

6. Михайлов В.Ю. Расчет движения границ раздела компонент в одной модели тепломассопереноса при термическом расщеплении графита / В.Ю. Ольшанский, В.Ю. Михайлов, A.B. Серебряков // Математика. Механика: сб.науч.тр. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2005.-Вып. 7.-С. 189-191.

ёое&А

32 85 9 У

7. Михайлов В.Ю. Результаты применения метода выпрямления фронтов при моделировании термического расщепления графита / В.Ю. Ольшанский, В.Ю. Михайлов, А.В. Серебряков // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006. -№2(12).-С. 19-24.

8. Михайлов В.Ю. Метод выпрямления фронтов: программа / В.Ю. Ольшанский, В.Ю. Михайлов, А.В. Серебряков; Регистрация программы в фонде ОФАП Госкоорцентра РФ, № 50200601943, 10 ноября 2006.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 07.11.06 Формат 60x841/16

Бум. тип. Усл. печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 468 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ.

1.1. История получения и области применения терморасширенного графита.

1.2. Физическая постановка задачи.

1.3. Математическая постановка задачи.

1.3.1. Закон изменения плотности терморасширенного графита.

1.3.2. Математическая модель.

1.3.3. Случай постоянной внешней температуры.

1.3.4. Случай конвективного теплообмена с окружающей средой.

1.3.5. Безразмерные переменные.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ПРИ

ЗАДАННОЙ ВНЕШНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЕ.

2.1. Существующие методы решения.

2.2. Описание метода выпрямления фронтов.

2.3. Стадия с одной границей раздела фаз.

2.4. Стадия с двумя границами раздела фаз.

ГЛАВА 3. СЛУЧАЙ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА.

3.1. Предварительный нагрев окисленного графита.

3.2. Нагрев пакета слоев окисленный графиттерморасширенный графит

3.3. Нагрев пакета слоев нижний терморасширенный графит-окисленный графит - верхний терморасширенный графит.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

4.1. Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями первою рода.

4.2. Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями третьего рода.

4.3. Сравнительный анализ результатов.

Актуальноеib ieivibi. Исследования в области технологий и методов получения новых соединений на основе графита и разработка новых углеродных материалов с уникальным набором физико-механических характеристик были начаты в 70-х юдах в МГУ им. М.В. Ломоносова в лаборатории химии и технологии углеродных материалов. Особое внимание было уделено практическому использованию в различных отраслях промышленности нового класса неорганических соединений - ИСГ, которые путем термической обработки могут быть преобразованы в ПГ (или ТРГ). Одним из представителей этого класса является ОГ.

Было установлено, что ТРГ обладает рядом уникальных физико-химических свойств, делающих его чрезвычайно привлекательным для практическою применения в качестве нового конструкционного материала. Со временем изделия из ТРГ стали использоваться в различных областях промышленности. Главным образом, ТРГ стал незаменим как уплотнительный материал для оборудования, работающего в условиях высоких температур и агрессивных коррозийных сред. Использование порошкообразного ТРГ, представляющею собой частицы углерода с высокоразвитой поверхностью, для изготовления изделий и введения в состав композитов является сложной технологической задачей. Одним из перспективных способов получения изделий из ТРГ является терморасширение ИСГ в газопроницаемой форме (ХП); технология процесса разрабатывается в Энгельсском филиале ЗЛО «Унихимтек» под руководством профессора А.И. Финаенова. При этом появляется возможность получения изделий сложной геометрии с заданной плотностью, область применения которых быстро расширяется.

Для получения материала с заданными характеристиками необходимо создание математической модели процесса терморасширения графита. Модель процесса распространения тепла в теплозащитных материалах рассматривается в работах И.Ф. Жеребятьева [9], [19], [20], [21]. Если пренебречь влиянием на процесс теплопередачи испаряющихся паров кислоты, то математической моделью процесса нагрева слоя графита является один из вариантов многофазной задачи Стефана. При моделировании процесса терморасширения графита также необходимо учитывать еще и движение частиц самою вещества как сыпучей среды, что еще более усложняет задачу. Существует (в простейших случаях) лишь небольшое число аналитических решений уравнения теплопроводности, удовлетворяющих указанным условиям. Первой была решена одномерная задача о промерзании Стефаном, а также Ляме и Клапейроном. В [30] найдено решение двумерной задачи с радиальной симметрией. Существенный вклад в развитие численных методов для решения подобных задач внесли Б.М. Будак, Л.Л. Самарский, П.Н. Вабищевич [12], [16], [56], [57], [58].

В вычислительном отношении основная сложность решения задач типа Стефана заключается в том, что при изменении размеров подобластей, занимаемых разными фазами вещества, положение подвижной границы не известно и должно определяться в ходе расчетов, Для преодоления данной проблемы был выбран так называемый метод выпрямления фронтов, который описан достаточно подробно в работах А.Б. Успенского и Б.М. Будака [11], [13].

Целью работы является построение математической модели процесса ХП ОГ. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построение математической модели процесса терморасширения предварительно окисленного графита, учитывающей тепломассоперенос.

2. Создание методов расчета характеристик процесса при существенном различии теплофизических параметров агрегатных состояний.

3. Разработка программного обеспечения расчета различных характеристик рассматриваемого процесса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена математическая модель для процесса вспенивания ОГ с условиями нагрева в виде граничных условий первого рода, состоящего из двух стадий, и процесса с условиями нагрева в виде граничных условий третьего рода, состоящего из трех стадий, отличающаяся учетом сжимаемости ТРГ.

2. Найдена зависимость плотности ТРГ от положения границ раздела, что позволяет при разработке численного метода решения поставленной задачи учитывать изменение плотности и зависимость коэффициента теплопроводности ТРГ от плотности.

3. Разработан численный метод решения задачи с граничными условиями первого рода, который отличается аналитическим выделением особенностей. Это дало возможность при построении численного алгоритма уйти от моментов времени зарождения границ раздела фаз.

4. Разработан численный метод решения задачи, отличающийся принятием во внимание сжимаемости ТРГ, что дает основу для учега зависимости коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности.

5. Разработан метод решения задачи, отличающийся учетом зависимости коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности. Это позволяет приблизиться к условиям реально протекающего процесса.

6. На основе проведенною вычислительного эксперимента обнаружено, что градиенты температур во всех областях почти постоянны, а в области, занятой ОГ, температура всюду близка к температуре фазовою перехода.

7. В численном эксперименте выявлена зависимость полною времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, что позволяет оценить максимальную толщину получаемого изделия но предельно допустимому времени нагрева.

Научная ценность работы состоит в построении методов математическою моделирования процесса XII ОГ, развитии и апробации методов решения возникающих краевых задач с подвижной границей раздела областей (задач типа Стефана).

Прашичсская значимость работы заключается в следующем:

1. Предложенная в диссертационной работе математическая модель рассматриваемою процесса, а также разработанные численные методы решения поставленной задачи позволяют определить параметры процесса терморасширения ОГ.

2. На основе построенной математической модели создано программное обеспечение, благодаря которому можно следить за различными характеристиками рассматриваемого процесса, такими как распределение температуры в слое ОГ и ТРГ, положение границ раздела фаз и свободной поверхности ОГ.

3. Сравнение определяемого в численном эксперименте полного времени процесса терморасширения с известным из экспериментов допустимым временем выбранного температурного режима позволяет делать прогноз о принципиальной возможности получения по технологии ХП изделий заданной толщины и плотности.

Досюверпость полученных результатов обеспечивается корректностью и строгостью применяемых математических методов, проверкой применяемых методов расчета на тестовых задачах, порождаемых точными аналитическими решениями, соответствием основных теоретических результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процесса получения ТРГ и совпадением численных расчетов с результатами, полученными на основе асимптотического разложения.

На защиту выносяicn следующие результаты и положения:

1. Создание математической модели трех стадий процесса терморасширения окисленного графита при учете найденной зависимости плотности терморасширенного графита от положения границ раздела.

2. Разработка численною метода определения параметров процесса с аналитическим выделением особых точек, соответствующим моментам отделения границ раздела фаз от внешних границ области

3. Установление в вычислительном эксперименте постоянства градиентов температур в областях окисленного и терморасширенного графита на заключительной стадии процесса и близости температуры в области окисленного графита температуре фазового перехода.

4. Определение влияния теилофизических параметров терморасширенного графита на характеристики процесса такие, как время протекания процесса, распространение с течением времени границ раздела фаз, а также выявление зависимости полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы.

Апробация работ. Основные результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры «Высшая математика и механика» СГТУ (2003 - 2006 гг.), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» механико-математического факультета СГУ (2004 - 2005 гг.), VII Международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем» (Саратов, 2004), III Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005), XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 1 - в журнале, включенном в перечень ведущих рецензируемых журналов и научных изданий, утвержденный президиумом ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержит 101 страницу машинописного текста, в том числе 20 рисунков, 2 таблицы и 2 фотографии. В списке литературы 71 наименование.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена математическая модель процесса терморасширения окисленного графита методом химического прессования, учитывающая сжимаемость терморасширенного графита при вспенивании в ограниченном объеме. Для этого получено уравнение движения слоя окисленного графита и найдена зависимость плотности терморасширенного графита от положения границ раздела фаз. Модель, учитывающая конвективные члены в уравнениях теплопроводности, построена для двух вариантов процесса: с заданной внешней температурой и при конвективном теплообмене с внешней средой.

2. Разработан численный метод решения задач, возникающих в рамках построенных моделей на основе метода выпрямления фронтов. Метод использует аналитическое выделение особенностей, связанных с моментами зарождения границ раздела фаз. Метод учитывает изменение плотности терморасширенного графита с течением времени при терморасширении в замкнутом объеме и зависимость коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от ею плотности.

3. На основе проведенных численных экспериментов выявлено, что в начале заключительной стадии процесса температура в фазе терморасширенною графита имеет линейное распределение, а в фазе окисленного графита она всюду практически равна температуре вспенивания, что позволяет исключить из рассмотрения одну из промежуточных стадий процесса. Установлено, что в ходе развития заключительной стадии градиенты температур во всех фазах практически постоянны.

4. В численных экспериментах показано влияние теплофизических параметров терморасширенного графита, на характеристики процесса вспенивания, такие как время протекания процесса и распространение с течением времени поверхностей раздела.

5. Выявлена зависимость полною времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, то есть толщины изготавливаемого изделия. Показано, что увеличение этого размера влечет за собой существенный рост времени протекания процесса.

6. Создано программное обеспечение, благодаря которому можно следить за различными характеристиками рассматриваемого процесса такими, как распределение температуры в фазах окисленного графита и терморасширенного графита, движение границ раздела.

1. Авдеев 13.В., Никольская И.В., Монякина Л.А., Козлов А.В., Мандреа А.Г., Геодакян К.В., Савельев В.Б., Ионов С.Г. Гибкая графитовая фольга и способ ее получения // Пат. РФ №2038337, С 04 В 35/52 от 27.06.95.

2. Авдеев В.В., Финаенов А.И., Яковлев А.В. и др. Пат. RU 2233794 С1 7 С01В31/04, С 25 В 1/00. Заявл. 14.07.2003г.; Опубл. 08.10.2004г. Способ полу-чения пенографита и пенографит, полученный данным способом.

3. Аттетков А.В., Волков И.К. Аналитические методы исследования теплового состояния области с движущейся границей в условиях нестационарною теплообмена с внешней средой шара // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т.73, № 1. - С. 125-130.

4. Бахвалов Н.С., Жидков II.II., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.:Бином, 2006.-636 с

5. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г., Шляйфер Д.Б. Решение задачи типа Стефана методом прямых // Инженерно-физический журнал. 1969. - Т.9, №3. - С. 585-594.

6. Бражников A.M., Карпычев В.А., Пелеев А.И. Аналитические методы исследования процессов термической обработки мясопродуктов. М., 1974

7. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана. В сб. «Численные методы в газовой динамике». Вып. 4. М., Изд-во МГУ, 1965, 139-183.

8. И. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Докл. АН СССР 1966, 167, №4, 735-738.

9. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. - Т.5, № 5. -С. 828-840.

10. Будак Б.М., Успенский А.Б. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969.-Т.9, №6.-С. 1299-1315.

11. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ, 1987.

12. Вабищевич П.Н. Вабищевич Т.Н. // Вестн. Моск. Гос. ун-та. Вычисл. Мат. и кибернетика. 1983, №4, С. 17-22.

13. Вабищевич П.П., Есикова Н.Б. Численное исследование тепловых полей при непрерывной разливке стали // Инженерно-физический журнал. 1987. -Т.52, №2. - С. 305-309.

14. Васильев Ф.П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболическою уравнения с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР 1964, 157, №6, 1280-1283.

15. Годунов И. А. Терморасширяющиеся огнезащитные материалы «ОГРАКС» //Пожарная безопасность. 2001. №3. с. 199-201.

16. Жеребятьев И.Ф. Численное решение задач типа Стефана. Алма-Ата, 1987.37 с.

17. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Математическое моделирование процессов тепло- и массообмена с подвижными границами Алма-Ата: Гылым, 1992.-264 с.

18. Жерновый Ю.В., Сайчук М.Т. О численном решении задач Стефана с использованием метода функций Грина // Инженерно-физический журнал. -1998. -Т.71,№3.- С. 564-570.

19. Жерновый Ю.В., Сайчук М.Т. Об использовании метода функций Грина для численною решения многомерных задач Стефана // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т.71, №5. - С. 910-916.

20. Ионос Л.Г., Наумов В.А„ Эрлихман В.II. Математическое моделирование процесса охлаждения и замораживания тел с переменными теилофизическими характеристиками // Инженерно-физический журнал. -2000. Т.73, №3. - С. 645-649.

21. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -487 с.

22. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001.

23. Карташов Э.М., Партон В.Э. // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердою тела. М,. 1991. Т. 22 С. 55-127

24. Киршнек Р. Уплотнительные системы на основе графита // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2000. №8. с. 31-33.

25. Клингер А.В, Столанд Д.М. Приближенный расчет процессов теплопроводности при наличии фазовых превращений // Теоретические основы химической технологии. 1982. - Т. 16, №6. - С. 764-771.

26. Комаров С.М. Путь к упругому графиту // Химия и жизнь. №7. 2001.

27. Комаров С.М. Путь к упругому графиту // Химия и жизнь. №8. 2001.

28. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Г.2. М.: Паука, 1977.-400 с.

29. Лебейзон JI.C. Руководство по нефтепромысловой механике. М.-Л., ОНТИ НКТГ1 СССР, 1934.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Едиториал УРСС, 2002. 588 с.

31. Любов Б.Я. Расчет скорости затвердевания слитка с учетом температурной зависимости теплофизических параметров металла. ДАН СССР, 1953, т.22, №4.

32. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепломассопереноса. М.: Высшая школа, 1963.

33. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.

34. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука СО АН СССР, 1986.-239 с.

35. Михайлов В.Ю. Программа Метод выпрямления фронтов / Ольшанский В.Ю., Михайлов В.Ю., Серебряков А.В. // Регистрация программы в фонде ОФАП Госкоорцентра РФ, № 50200601943 , 10 ноября 2006.

36. Михайлов В.Ю. Численное решение задачи Стефана при моделировании термическою расщепления предварительно окисленного графита / Михайлов

37. B.IO. // Материалы XLIII МНСК «Студент и научно-технический прогресс»: Математика /Новосб. гос. ун-т. 11овосибирск, 2005- С. 22-23.

38. Ольшанский В.Ю. Математическое моделирование процесса терморасширения графита с учетом фазовых переходов // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Н.-Новгород, 23-28 августа 2006 г. Сборник аннотац. докладов: 11.-Новгород, 2006.

39. Пузырева Е.В., Комарова Т.В., Федосеева С.Д. Влияние различных факюров на процесс получения вспученного графита // Хим. тВ. топлива.-1982.- №2.- С. 119-121.

40. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайзгне, 1967. 457 с.

41. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. Ж. вычисл. Матем. Матем. Физ., 1963, 3, № 3, 431466.

42. Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. Ж. вычисл. Магем. Матем. Физ., 1962, 2, № 5, 787-81 1.

43. Самарский А.А., Вабищевич II.H. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: 11аука, 2001. - 319 с.

44. Самарский А.А, Вабищевич П.II. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

45. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозною счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. - Т.5, № 5. - С. 816-827.

46. Темкин Д.Е. Температурное поле в кристаллизующемся слитке цилиндрической формы // Инженерно-физический журнал. 1962. - Т.5, №4. -С. 89-92.

47. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-воМГУ, 1999.-798 с.

48. Тишина Е.А., Курневич Г.И., Вечер А.А. Теплофизические характеристики термически расщепленного графита // Журнал прикладной химии.- 1992.- Т.65, №11.- С. 2517-2522.

49. Финаенов А.И., Трифонов А.И., Журавлев A.M., Яковлев А.В. Области применения и получение терморасширенного графита // Вестник СГТУ: Изв-во Сарат. гос. тех. ун-та, 2003. № 1(2). - С. 75-85.

50. Фролов С.В. О продолжительности промерзания цилиндра и шара // Инженерно-физический журнал. 1997. - Т.70, №2. - С. 308-313.

51. Чалых Е.Ф., Житов Б.Н., Королев Ю.Г. Технология углеграфитовых материалов. М.: Наука, 1981.-44с.

52. Чоу, Сандерлэнд. Задачи теплопроводности с плавлением или застыванием //Теплопередача. 1969. № 3. - С. 144-148.

53. Яковлева Е.В., Яковлев А.В., Финаенов А.И., Финаенова Э.В. Применение терморасширенного графита в процессах водоочистки и водоподготовки // Журнал прикладной химии. 2004. - 1.11, 11. - С. 18331835.

54. Ярошенко А.П., Савоськин М.В. Высококачественные вспучивающиеся соединения интеркалированного графита новые подходы к химии и технологии//ЖПХ.- 1995.-Т.68.-№8.-с. 1302-1306.

55. Crank J. How to Deal with Moving Boundaries in Thermal. Problems // Numerical Methods in Heat Transfer. N. Y., 1981. P. 177-200.

56. Dowell M.B. // Ext. Abstr. Programm. 12th Bienn. Conf. Carbon, 1975. P.35.

57. Mikhailov M.D. Exact Solution for Freezing of Humid Porous Half Space // Int. Journal Heat Mass Transfer. 1976. - Vol. 19. P. 651-653.

58. Ruoff A.L. An Alternate Solution of Stefan's Problems // Quarterly of Applied Math. 1958. - Vol.16. P. 197-202.