автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса распространения активной примеси в свободной и облачной атмосфере

На правах рукописи

Ионисян Андрей Сергеевич

Математическое моделирование процесса распространения активной примеси в свободной и облачной атмосфере

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2003

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич

доктор физико-математических наук, снс Каплан Лев Григорьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Тол паев Владимир Александрович

Кубанский государственный

технологический университет, г. Краснодар

Защита состоится 19 декабря 2003 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д212.256.05 в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан «_>> ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Копыткова Л.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Воздух — это один из самых главных человеческих ресурсов. Ежедневно все мы дышим этой смесью газов, и от того, насколько сильно она загрязнена, зависит наша жизнь. Практически все современное производство связано с использованием воздушной среды. Входящий в состав воздуха кислород используется как мощный окислитель при сжигании топлива на тепловых электростанциях и в двигателях машин и самолетов. Без использования воздуха немыслимо существование химической промышленности и металлургии. Однако любое производство, использующее воздух, так или иначе загрязняет его, и в результате в атмосферу попадают различные окислы, сажа, дым. В своем большинстве это вредные для здоровья человека и окружающей его среды вещества. Попав в атмосферу, примесь подхватывается ветром и мощными турбулентными потоками может быть перенесена на огромные расстояния — сотни и тысячи километров от источника. В зависимости от химического состава примеси и от состояния атмосферы примесь может принести огромный вред: отравить людей и животных, погубить растительность, вызвать необратимые процессы разрушения неживых объектов. Из-за загрязнения атмосферы только за последние полвека число заболевших раком легких людей увеличилось в десятки раз, резко увеличилось число глазных заболеваний. Ущерб, вызванный воздействием загрязняющих веществ на постройки вблизи фабрик, заводов и электростанций в промышлен-но развитых странах — таких, как Россия, США, Япония, Великобритания, Италия, Канада, — составляет сотни миллионов и даже миллиарды долларов ежегодно.

Целью исследования является создание модели рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере, которая бы дополняла и развивала существующие модели рассеяния реагентов в атмосфере, а также ее численная реализация на основе современных достижений в области прикладной математики, физики и информационных технологий.

Объектом исследования является процесс рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере.

Под активной примесью понимается такая примесь, которая вследствие химических или радиоактивных реакций может выводиться из облачной атмосферы. Под облачной атмосферой понимается атмосфера, содержащая большое количество паров воды с концентрацией порядка Ю-2 -Ь 10~3 кг/'м3.

Гипотеза исследования. При моделировании процесса рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере была выдвинута следующая гипотеза: можно создать и численно реализовать математическую модель рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере, в которой для определения мгновенной скорости частиц примеси используются линеаризованные уравнения движения Навье-Стокса, а для описания процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, используется полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.

Исходя из цели и гипотезы исследования, можно выделить следующие подзадачи:

— построить модель рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанную на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса;

— создать модель рассеяния активной примеси внутри облака, основанную на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеяния реагента внутри облака;

— предложить способ численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанный на применении разностных схем высокого порядка точности;

— найти способ численного решения задачи распространения активной примеси внутри облака;

— провести сравнительный анализ численного решения задачи рассеяния примеси в атмосфере и экспериментальных данных.

Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использованы: методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы математического моделирования, методы наблюдения и анализа работы предприятий, производящих выброс активных примесей в атмосферу, методы статистического анализа и обработки данных численного эксперимента.

Научная новизна. Предложена математическая модель рассеяния активной примеси в атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса. Основное отличие данной модели от других моделей рассеяния примесей в атмосфере состоит в том, что, используя данную модель, можно найти значения мгновенной концентрации активной примеси в любой точке облачной атмосферы, основываясь на простых для определения физических параметрах: поля давления, поля температуры, поля плотности, векторного поля скорости атмосферного воздуха. Коэффициенты турбулентной диффузии в предлагаемой модели используются только при моделировании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако.

Практическая значимость. Предложенные модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере, а также методики их численного решения могут быть использованы для анализа численных решений задачи рассеяния активных веществ в атмосфере, при преподавании дисциплин по прикладной математике, информатике и экологии в высших учебных заведениях и при проведении расчетов по определению значений концентрации реагентов в атмосфере.

Положения, выносимые на защиту

1. Модель рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса, позволяющая найти значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.

2. Модель рассеяния реагента внутри облака, основанная на применении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии при описании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при описании процесса рассеяния реагента внутри облака.

3. Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.

4. Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси внутри облака, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке облака и определить значения осредненной по времени концентрации паров воды, образующих облако.

Публикации и апробация результатов исследования

По теме диссертационного исследования автором опубликовано 11 работ, 5 из которых — в центральной печати.

Основные результаты диссертационного исследования были доложены с 2000 по 2003 гг. на следующих научных конференциях Всероссийского и регионального уровня: "Математическое моделирование в научных исследованиях" (Ставрополь, СГУ, 2000), "Университетская наука — региону"(Ставрополь, СГУ, 2000, 2003), "XXI век — век образования"(Ставрополь, СГУ, 2001), "Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование"(Ставрополь, СИУ, 2000, 2001).

Исследование проводилось на кафедре прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета.

Результаты диссертационного исследования были внедрены в учебный процесс Ставропольского государственного университета в 2000-2003 уч. годах в рамках спецкурса "Методы математического моделирования экосистем", читаемого на естественно-географическом факультете для специальности "Экология и природопользование", и

в учебный процесс филиала Московского государственного открытого педагогического университета им. М.А. Шолохова в г. Ставрополе в рамках спецкурса "Математические модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере "географического факультета для специальности "География".

Структура диссертационного исследования

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, содержащего 107 наименований, приложений. Основная часть работы содержит 121 страницу машинописного текста. Диссертация содержит 59 рисунков и б таблиц.

Во введении показана актуальность темы исследования, приведены основные задачи исследования, обоснованы научная новизна, практическая значимость, а также сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационного исследования посвящена обзору основных существующих математических моделей рассеяния активной примеси в турбулентной атмосфере.

Сначала рассматривается модель, основанная на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии

— + V. — - V — + а = di х дх " dz

r, dq д г, dq д г, dq , /1Ч

я л^т- + — + — Аг — + / i, ш j, z , (I)

ОХ ОХ оу ду OZ OZ

с начальным

и граничными

q(t0,x,y,z) = ip(x,y,z) (2)

Oz

-{«*<?} U„ = о, (3)

q{t,x,y,z)-)■ 0, Г + у'+ Г-ЮО, г > г0 (4)

условиями, где — функция, характеризующая значения

концентрации примеси в точке (ш, у, г) £ Е3 в момент времени t^,

Ух — коэффициент, характеризующий среднюю скорость перемещения примеси вдоль оси ОХ; Уг — коэффициент, характеризующий скорость осаждения примеси; <р(х,у,г) — значение концентрации примеси при < = 0 в точке (х,у,г) £ Е3 (фоновая концентрация); а — коэффициент, характеризующий скорость вывода примеси из атмосферы; х, у, г) — функция, характеризующая источник примеси; Кх,Ку,Кг — коэффициенты турбулентной диффузии вдоль осей ОХ, ОУ, 02 соответственно; — скорость сухого осаждения примеси.

Модель (1)—(4) отличается простотой, наглядностью и хорошим согласованием расчетных и экспериментальных данных. Однако до сих пор остается открытым вопрос об определении полуэмпирических коэффициентов турбулентной диффузии, существенно влияющих на процесс распространения активного вещества в атмосфере. Даже в простейших случаях определение этих коэффициентов сопряжено с трудностями, носящими принципиальный характер — они сильно зависят от текущего состояния атмосферы: температуры, давления, наличия или отсутствия других реагентов и т.д. Аналитическое решение модели рассеяния активной примеси (1)—(4) в общем виде также представляется чрезвычайно трудной задачей. Поэтому для решения практических задач чаще используются модели, основанные на применении хорошо известных статистических формул при анализе эмпирических наблюдений. В частности, широко распространены модели, основанные на использовании так называемой гауссовой модели распространения примеси. Согласно этой модели, изменения концентрации примеси от мгновенного точечного источника примеси подчиняются нормальному закону распределения:

, (У-уо)2 , («—о/

-X" -I-

де ("У)2*

4{г,х,у,г) = —- -, (5)

(л/ ¿■к1)л(Тх(Ту(Т2

где хо, уо, го — координаты источника примеси; () — мощность источника; ах, Чу, (Т2 — средние квадратические отклонения частиц примеси в момент времени t соответственно вдоль координатных осей ОХ, ОУ, 02.

Заметим, что гауссова модель рассеяния примеси была получена

эмпирическим путем и теоретически обоснована только для наземных источников. Однако позднее она была перенесена без должного обоснования и для случая высотных источников, где ее применение дает результаты, значительно отличающиеся от экспериментальных.

От подобных недостатков свободна замкнутая модель пограничного слоя атмосферы, приведенная в конце первой главы в обзорном порядке.

Вторая глава посвящена построению предлагаемой автором модели рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, численному решению данной модели и сравнению рассчитанных с ее помощью данных с результатами, полученными при численном решении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями и гауссовой модели рассеяния примеси.

Показано, что компоненты Vx, Vy, Vz вектора мгновенной скорости V частиц примеси удовлетворяют уравнению

и линеаризованным уравнениям движения Навье-Стокса, которые в векторной форме имеют вид:

dV 1 п

-— = F--grad Р + -AV, (7)

от р р

где F — вектор напряженности поля массовых сил, Р — давление жидкости или газа, р — плотность жидкости или газа, г/ — коэффициент внутреннего трения, А — оператор Лапласа.

В работе показано, что давление P(t,x,y,z) в точке (x,y,z) в момент времени t можно определить по формуле

/со

q(t,x,y,z*)dz* + Рф(г), (8)

где д — ускорение свободного падения. Заметим, что в формуле (8) не учитывается давление столбов воздуха, соседних с данным столбом, проходящим через точку (ш, у, z) £ параллельно оси 0Z.

Фоновое давление можно рассчитать по барометрической формуле:

Рф{х) =ц -exp , (9)

где М — молярная масса воздуха, R — универсальная газовая постоянная, fi — давление воздуха при z = 0, Тф = const — фоновая температура. Однако формула (9) была выведена из предположения о постоянстве температуры на рассматриваемом интервале высот, что не соответствует действительности. Распределение температуры в моделируемой атмосфере подчиняется закону

Тф{г) = т + уг, (10)

где 7 — сухоадиабатический градиент, т — температура воздуха при z=0.

Показано, что в этом случае функция распределения фонового давления имеет вид:

Плотность p(t, x,y,z) можно представить в виде:

p(t, х, у, z) = q(t, х, у, z) + рф{х, у, z), (12)

Рф(х,у, z) ■ тфа

k ■ Тф(z) ' (13)

где шq — средняя масса молекулы воздуха, к — постоянная Больц-мана.

Если из массовых сил на примесь воздействует только сила тяжести, направленная вертикально вниз, то:

Fx = 0, Fy = 0, Fz=-g, (14)

где д — ускорение свободного падения.

В качестве начальных условий для (6), (7) естественно положить

q(Q,x,y,z) = ip(x,y,z), (15)

Ух(0,х,у,х) = УХо(х), Уу(0, х, у, х) = УУо{х), ^4(0, х, у, х) = Уго(х).

(16)

В предположении, что концентрация примеси убывает до бесконечно малой величины на границе Е+ и что частицы примеси могут изменить скорость своего движения по некоторому закону после взаимодействия с подстилающей поверхностью, граничные условия для (6) можно задать следующим образом:

(¡{1, х, у, х) —)• 0 при х2 + у2 + х2 —)• оо; (17)

если примесь полностью поглощается подстилающей поверхностью, то

V =< 0, 0, 0 >, д^,х,р,г) = 0 при фЦ, х, у, х) < 0; (18)

если примесь полностью отражается подстилающей поверхностью, то

V =<Ух,Уу,-У2 > приф^,х,у,х)<0; (19)

где х, у, х) = 0 — уравнение подстилающей поверхности.

Так как аналитическое решение модели (6)—(19) в общем случае не представляется возможным (из-за сложности задачи), то автором было предложено решить ее численно.

Для этого предполагается, что приращение времени At, в течение которого производится расчет, выбрано настолько малым, что скорость частиц примеси в узловой точке (ш,-, у,-п хк) равномерной сетки, покрывающей (г, j,k ^ Z), в момент времени t равна скорости частиц примеси в точке {хвУяу, ) в момент времени t + At — 6, где 3 — достаточно малая величина.

хя:с = XI + Ях, уЯу = Уз + хя„ = хк + 5г. (20)

Тогда

Ях = УХА1, Яу = УуМ, Яг = (21)

Показано, что справедлива следующая разностная схема: I

q(t+At, = Xiv,Уjv,Zkv){í-aAt)+At■f(t, х{и,у1и}хки)

И = 1

где V = 1 ... I — номера узловых точек сетки (не обязательно соседних), из которых примесь попала в точку (хвх,Уяу,

Так как имеет смысл искать решение задачи переноса примеси только в узловых точках сетки, то координаты точки , , ) должны удовлетворять соотношениям:

= х1 + Дг • Ах, = у- I Д./ • А у. = гк + Ак ■ Аг, (23) где Аг, АЗ, Ак — целые числа. Отсюда

Дг'

Ах

АУ

Уяу ~ Уз

Ак

¿я, ~ гк Аг

(24)

Поэтому

q(t + At,Xi+Ai,yj+Aj,zk+Ak) = ~ аА{) +

+Ai ■ (25)

Заметим, что при проведении по схеме (25) конкретных расчетов возникает дополнительная погрешность, связанная с округлением величин Аг, Д^, Ак. Для устранения этой погрешности, автором предлагается менять значение концентрации не в одной точке сетки а сразу в восьми точках сетки, окружающих точку (ш5ш , у я, , ), пропорционально их удаленности от точки

После нахождения значений концентрации примеси в каждой точке сетки {xi,yj,zk) £ Е+ производится корректировка вектора скорости частиц примеси согласно закона сохранения импульса.

Далее в главе описан способ эффективного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, основанный на поэтапном решении задач движения, диффузии и распада примеси в турбулентной атмосфере.

В конце главы проведен сравнительный анализ результатов, полученных при решении задачи рассеяния активной примеси в атмосфере различными способами. Рассмотрены результаты численного решения полу эмпирического уравнения турбулентной диффузии,

гауссовой модели рассеяния примеси и модели, основанной на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса к движению активной примеси в свободной атмосфере. В качестве эталонных были взяты значения концентрации, полученные при численном решении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями. Анализ показал соответствие полученных результатов (см. табл. 1).

Таблица 1

Значения средней ошибки аппроксимации для модели

рассеяния примеси, основанной на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса

Цс) слой (к) абсолютная погрешность (кг/м") относительная погрешность (%)

2 0.00000096 5.54

1 3 4 5 0.00000109 0.00000133 0.00000142 6.33 7.67 8.22

по всему объему 0.00000120 6.94

2 0.00000633 12.78

10 3 4 5 0.00000759 0.00000855 0.00001010 15.09 17.13 20.52

по всему объему 0.00000814 16.38

2 0.00000793 13.85

150 3 4 5 0.00000959 0.00000941 0.00001168 16.69 17.17 21.66

по всему объему 0.00000965 17.34

Третья глава диссертационного исследования посвящена созданию и численному решению модели рассеяния активной примеси внутри облака.

Предполагалось, что облако вместе с содержащейся в нем примесью движется со скоростью V* вдоль оси ОХ и скоростью V* вдоль оси 02. Само облако подвержено диффузионным процессам, характеризующимся коэффициентами турбулентной диффузии Кх{г),

Ку(г), К-¿{г) вдоль осей ОХ, ОУ, О ¿Г соответственно. Частицы водяного пара, образующего облако, могут участвовать в химических реакциях и выводиться из облака с некоторой скоростью, характеризуемой коэффициентом а*. В экологически значимой зоне могут быть участки, выполняющие роль источников водяного пара, математическим эквивалентом которых служит функция /*(^,х,у,г), значения которой в момент времени t в точке (х,у,г) £ совпадают с средним значением мощности источника водяного пара в данной точке. Было сделано предположение, что основной причиной движения частиц примеси внутри облака является градиент давления Р. Примесь может участвовать в химических и радиоактивных превращениях, характеризующихся коэффициентом а. Внутри облака могут находиться источники примеси, для описания которых используется функция х,у,г), значения которой в момент времени t совпадают с численным значением мощности источника примеси в данной точке. При описании атмосферы, внутри которой движется облако с примесью, предполагалось, что на атмосферный воздух воздействует сила тяжести и сила Кориолиса, а температура воздуха уменьшается с высотой пропорционально сухоадиабатическому градиенту 7.

В качестве математической модели облака предложено использовать полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии

дч* , тдч* дч* ау ау а дч*

с начальным

д*(0 ,х,у,г) = 1р*(х,у,г) (27)

и граничными условиями

q*(i, х, у, г) = О при х2 + у2 + х2 —)• оо, г > 0, (28)

д*^,х,у,0) = 0, (29)

при q*(t,x,y, г) < е, ->• q*(t,x,y,z) = 0, (30)

где — функция, значение которой в момент времени t в

точке (х,у,г) £ совпадает с средним значением концентрации

водяных паров облака в данной точке, tp*(x,y,z) — фоновая концентрация водяного пара облака при t = 0, £ — достаточно малая величина, характеризующая границу облака.

Для описания процесса рассеяния примеси внутри облака предложено использовать модифицированную модель (6)—(19), в которой усовершенствованы формулы для расчета полей давления, плотности атмосферы и вектора напряженности поля массовых сил:

/со

(.q(t,x,y,z*) + q*(t,x,y, z*))dz* + Рф(г) (31)

p{t,x,y,z) = рф{г) + q{i,x,y,z) + q*{i,x,y,z), (32)

Fx = -2{üjxVz-üjzVy), Fy = -2(ojzVx-ojxVz), Fz = -2(ojxVy-ojyVx)-g,

(33)

соответственно добавились следующие начальные и граничное условия:

I I • I I 2тг

uir = \ш cosd cos в, üj„ = \üj cosd sini?, w, = w sind, w = -,

I I v , - I I v, i I gg400

(34)

q(t,x,y,z) = Q при q*(t,x,y,z) < e, (35)

где ф — широта местности, в — угол, характеризующий направление вектора скорости ветра, ш — вектор угловой скорости вращения Земли.

После построения модели рассеяния активной примеси внутри облака приведено ее численное решение, основанное на методиках, использовавшихся при численном решении задачи рассеяния активной примеси в свободной атмосфере.

Сравнительный анализ результатов численного эксперимента позволяет сделать вывод о соответствии данных, полученных при численном решении модели рассеяния активной примеси, с экспериментальными данными, полученными при проведении натурных измерений концентрации активной примеси под факелом выбросов ОАО "Ставропольская ГРЭС"(см. табл. 2).

В приложениях приведены распечатки исходных текстов программ, реализующих описанные в исследовании методики расчета концентрации реагентов, а также рисунки, наглядно отображающие результаты работы этих программ.

Таблица 2

Значения абсолютной и относительной ошибок расчетов по сравнению с экспериментальными данными

расстояние (м) 1500 4500 6500

среднее значение эксперименталь- 0,004417 0,009750 0,014542

ных данных (мг/'м3)

среднее квадратическое отклонение 0,007600 0,013659 0,015284

экспериментальных данных (мг/'м3)

среднее линейное отклонение экспе- 0,006000 0,009400 0,012500

риментальных данных (мг/'м3)

расчетные данные (мг/'м3) 0,000281 0,005171 0,015826

абсолютная погрешность (мг/'м3) 0,004136 0,004579 0,001284

относительная погрешность (%) 93,64 46,96 8,83

Заключение

При построении и численном решении модели рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере были решены следующие задачи:

— построена модель рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса;

— создана модель рассеяния активной примеси внутри облака, основанная на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеяния реагента внутри облака;

— найден способ численного решения предложенной автором модели рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере;

— предложен способ численного решения задачи распространения активной примеси внутри облака;

— проведен сравнительный анализ численного решения задачи рассеяния примеси в атмосфере и экспериментальных данных.

Результаты численного эксперимента дают основание сделать следующие выводы:

— при моделировании процесса рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере для определения мгновенных скоростей частиц примеси целесообразно использовать линеаризованные уравнения движения Навье-Стокса;

— для описания модели облака, внутри которого происходит процесс рассеяния активной примеси, в рамках темы данного исследования можно использовать полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Ионисян A.C. О целесообразности использования метода Зей-деля при численном решении уравнения диффузии примеси в атмосфере/'/Проблемы физико-математических наук: Материалы 48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов "Университетская наука — региону". — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. - С.76-78.

2. Ионисян A.C., Тоторкулов Х.А. О гауссовой модели распространения примеси в атмосфере/'/Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского государственного университета,—Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002,—С.118-120.

3. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. О распространении активной примеси в атмосфере/'/Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование,—Ставрополь: Изд-во СИУ, 2001. — С.135-137.

4. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об одном способе численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диф-фузии/'/Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.10. - М.: ОПиПМ, 2003. - С.216-217.

5. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об одном способе численного решения уравнения переноса частиц примеси в атмосфе-ре/'/Успехи современного естествознания. — М.: Изд-во "Академия Естествознания", 2003. — №3. — С.77.

6. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об оптимизации мощности мгновенного точечного источника примеси, действующего в экологически значимой зоне/'/Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование. — Ставрополь: Изд-во СИУ, 2000. — С.73-75.

7. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об оценке мощности мгновенного точечного источника примеси//М атематическое моделирование в научных исследованиях. Материалы Всероссийской научной конференции. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. — С.74-76.

8. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об распространении активной примеси в облаках/'/Проблемы физико-математических наук: Материалы 46-й научно-методической конференции преподавателей и студентов "XXI век — век образования". — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. - С.73-74.

9. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Об уточнении математической модели рассеяния примеси в атмосфере/'/Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.9,выпуск 2 — М.: ОПиПМ, 2002. - С.444-445.

10. Семенчин Е. А., Ионисян А .С. Определение границы облака, содержащего активную примесь/'/ЭКО. — Ставрополь: РИО СФ MI Ol IV им Шолохова, 2002. - С.53-55.

11. Семенчин Е.А., Ионисян A.C. Оценка мощности источника примеси, действующего в экологически значимой зоне// Проблемы физико-математических наук: Материалы XLV научно-методической конференции преподавателей и студентов "Университетская наука — региону". — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. - С.113-115.

Изготовлено в РИО филиала МГОПУ им. М.А. Шолохова в г. Ставрополе 355037, г. Ставрополь, ул. Шпаковская, 85, тел. 74-16-87 Лицензия на издательскую деятельность код 221, серия ИД №06353 выдана МГОПУ им. М.А. Шолохова

Подписано в печать 10.11.2003 г. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,125. Тираж 100 экз.

Основные обозначения и сокращения.

Введение .•. . . б

Глава 1. Обзор существующих математических моделей распространения примесей в атмосфере.

1.1. Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии 16 щ 1.2. Гауссова модель распространения примеси.

1.3. Обзор основных аналитических решений полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии.

1.4. Численные методы решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии.

1.5. Замкнутая модель пограничного слоя атмосферы . 43 Выводы по главе 1.

Глава 2. Распространение активной примеси в свободной от облаков атмосфере.

2.1. Уточненная постановка задачи рассеяния активной примеси для случая свободной от облаков атмосферы

2.2. Модель распространения активной примеси в свободной атмосфере

2.3. Уточнение вида функции источника и схемы распада примеси.'.'.

2.4. Методика численного решения задачи движения активной примеси, основанная на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса

2.5. Численное решение гауссовой модели рассеяния примеси в атмосфере.

2.6. Численное решение полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями

2.7. Сравнительная характеристика различных методов ре шения задачи рассеяния примеси в атмосфере

Выводы по главе 2.

Глава 3. Распространение активной примеси в облаке.

3.1. Уточненная постановка задачи распространения примеси внутри облака.■

3.2. Распространение активной примеси внутри облака

3.3. Методика численного решения задачи распространения примеси в облаке

Выводы по главе 3.

Актуальность темы исследования.

Воздух — это один из самых главных человеческих ресурсов. Ежедневно все мы дышим этой смесью газов и от того, насколько сильно она загрязнена, зависит вся нашаС жизнь. Практически все современное производство связано с использованием воздушной среды. Входящий в состав воздуха кислород используется как мощнейший окислитель при сжигании топлива на тепловых электростанциях и в двигателях машин и самолетов. Без использования воздуха немыслимо существование химической промышленности и металлургии. Однако любое производство, использующее воздух, так или иначе загрязняет его и в результате в атмосферу попадают различные окислы, сажа, дым. В своем большинстве — это вредные для здоровья человека и окружающей его среды вещества. Попав в атмосферу, примесь подхватывается ветром и мощными турбулентными потоками может быть перенесена на огромные расстояния — сотни и тысячи километров от источника. В зависимости от химического состава примеси и от состояния атмосферы примесь может принести огромный вред: отравить людей и животных, погубить растительность, вызвать необратимые процессы разрушения неживых объектов. Согласно JI.M. Шабаду [100], из-за загрязнения атмосферы только за последние полвека число заболевших раком легких людей увеличилось в десятки раз, резко увеличилось число глазных заболеваний. Ущерб, вызванный воздействием загрязняющих веществ на постройки вблизи фабрик, заводов и электростанций в промышленно развитых странах — таких, как США, Япония, Великобритания, Италия, Канада, составляет сотни миллионов и даже миллиардов долларов ежегодно [10]. Аналогичные данные приводятся в работах Ю.А. Израэля [27], JI.P. Орленко [65], A.M. Владимирова, Ю.И. Ляхина, JI.T. Матвеева, В.Г. Орлова [66], JI.A. Рихтера [70].

Согласно данным Госкомстата России [90] за периоде 1996 по 2000 гг., даже в экологически благополучном Ставропольском крае удается уловить и обезвредить только половину вредных веществ, загрязняющих атмосферу.

В целях сокращения ущерба, а также защиты окружающей среды от воздействия загрязняющих веществ, большинство промышленно развитых стран мира приняло ряд соглашений относительно сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу и установления предельно допустимых концентраций этих веществ [1, 2, 3, 31, 53, 67]. Наиболее известное из этих соглашений — Киотское соглашение, принятое в декабре 1997 г. [31].

Работа по изучению процесса рассеяния вредных веществ в атмосфере была начата в 20-30-х годах XX века и тесно связана с работами по изучению атмосферной диффузии, тепло- и массопереноса. В работах А.Н. Колмогорова [33, 32, 34, 35], A.M. Обухова [63, 56], J1.B. Келлера [10], М.И. Юдина [103, 102] впервые было предложено для описания атмосферной диффузии использовать дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа. Аналогичные р'аботы проводились А.С. Мониным [56, 57] и Е.С. Ляпиным [43], которые показали, что в некоторых случаях имеет смысл использовать дифференциальные уравнения гиперболического типа, описывающие процесс распространения примеси с конечной скоростью. Зарубежным ученым О.Г. Сеттоном [87] было показано, что распределение концентрации примеси от точечного источника подчиняется нормальному или гауссовскому закону [10]. Данная модель была доказана для случая наземного источника, однако впоследствии применялась и для высотных источников, что приводило к значительным погрешностям при определении концентрации примеси [10].

Большая работа по изучению процесса рассеяния активных примесей в атмосфере была выполнена М.Е. Берляндом [10, 8, 9], С.С. Зилитин-кевичем [25, 26], которые с середины 40-х годов прошлого века изучали практически все вопросы, связанные с загрязнением атмосферы и водной среды. Описание статистических закономерностей рассеяния примеси в атмосфере, а также большая экспериментальная работа были проделаны H.JI. Бызовой [14, 15, 16], Е.К. Гаргер [15, 16], А.С. Мониным [55, 57, 58], A.M. Ягломом [57, 58]. Численное решение основных уравнений диффузии и переноса примеси в атмосфере связаны с работами Г.И. Мар-чука [46, 47, 48, 49, 50], где проводится тщательный анализ и сравнение различных численных методов решения проблемы рассеяния примеси в атмосфере.

В настоящее время работы по исследованию рассеяния примеси в атмосфере ведутся также Е.А. Семенчиным [75, 76, 86] и И.Э. Наацем [60], которыми проведен анализ существующих моделей рассеяния примеси, а также предложена новая замкнутая модель пограничного слоя атмосферы, исследуются стохастические дифференциальные уравнения, которые позволяют учесть фактор случайности при описании процессов переноса и диффузии примеси в атмосфере.

Практически все вышеуказанные авторы при описании процесса рассеяния примеси в качестве основы используют уравнение Фикка [4, 18, 92, 95, 104], которое включает в себя трудноопределяемый диффузионный коэффициент. С другой стороны в работах П. Жермена [23], Л.Г. Лой-цянского [42], Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица [41] описаны уравнения движения вязкой жидкости и газа — уравнения Навье-Стокса, использование которых может привести к отказу от нахождения трудноопределяемых коэффициентов турбулентной диффузии.

Заметим также, что в большинстве вышеуказанных работ не рассматривается активная примесь, т.е. такая примесь, которая вследствие химических или радиоактивных реакций может выводиться из атмосферы. Практически не изучен вопрос рассеяния примеси в атмосфере, содержащей большое количество паров воды, — облачной атмосфере.

Цель исследования — создание модели рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере, которая бы дополняла и развивала существующие модели рассеяния реагентов в атмосфере, а также ее численная реализация на основе современных достижений в области прикладной математики, физики и информационных технологий.

Объект исследования — процесс рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере.

Гипотеза исследования. При моделировании процесса рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере была выдвинута следующая гипотеза: можно создать и численно реализовать математическую модель рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере, в которой используются для определения мгновенной скорости частиц примеси линеаризованные уравнения движения Навье-Стокса, а для описания процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, используется полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.

Исходя из цели и гипотезы исследования, можно выделить следующие подзадачи: построить модель рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанную на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса; построить модель рассеяния активной примеси внутри облака, основанную на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеяния реагента внутри облака; найти способ численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанный на применении разностных схем высокого порядка точности; найти способ численного решения задачи распространения активной примеси внутри облака; провести сравнительный анализ численного решения задачи рассеяния примеси в атмосфере и экспериментальных данных.

Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использованы: методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы математического моделирования, методы наблюдения и анализа работы предприятий, производящих выброс активных примесей в атмосферу, методы статистического анализа и обработки данных численного эксперимента.

Научная новизна. Предложена математическая модель рассеяния активной примеси в атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса. Основное отличие данной модели от других моделей рассеяния примесей в атмосфере состоит в том, что используя данную модель, можно найти значения мгновенной концентрации активной примеси в любой точке облачной атмосферы, основываясь на простых для определения физических параметрах: поле давления, поле температуры, поле плотности, векторное поле скорости атмосферного воздуха. Коэффициенты турбулентной диффузии в предлагаемой модели используются только при моделировании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако.

Практическая значимость. Предложенные модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере, а также методики их численного решения могут быть использованы для анализа численных решений задачи рассеяния активных веществ в атмосфере, при преподавании дисциплин по прикладной математике, информатике и экологии в высших учебных заведениях и при проведении расчетов по определению значений концентрации реагентов в атмосфере.

Положения, выносимые на защиту.

1. Модель рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса, позволяющая найти значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.

2. Модель рассеяния реагента внутри облака, основанная на применении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии при описании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при описании процесса рассеяния реагента внутри облака.

3. Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.

4. Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси внутри облака, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке облака и определить значения осредненной по времени концентрации паров воды, образующих облако.

Публикации и апробация результатов исследования.

По теме диссертационного исследования автором опубликовано 11 работ, 5 из которых — в центральной печати.

Основные результаты диссертационного исследования были доложены с 2000 по 2003 гг. на следующих научных конференциях Всероссийского и регионального уровня: "Математическое моделирование в научных исследованиях"(Ставрополь, СГУ, 2000), "Университетская наука — региону"(Ставрополь, СГУ, 2000, 2003), "XXI век — век образования" (Ставрополь, СГУ, 2001), "Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование" (Ставрополь, СИУ, 2000, 2001).

Исследование проводилось на кафедре прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета.

Результаты диссертационного исследования были внедрены в учебный процесс Ставропольского государственного университета в 2000-2003 уч. годах в рамках спецкурса "Методы математического моделирования экосистем", читаемого на естественно-географическом факультете для специальности "Экология и природопользование'^ в учебный процесс филиала Московского государственного открытого педагогического университета им. М.А. Шолохова в г. Ставрополе в рамках спецкурса "Математические модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной ат-мосфере"географического факультета для специальности "География".

Структура диссертационного исследования.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений.

Выводы по главе 3

Третья глава данного диссертационного исследования была посвящена созданию и численному решению модели рассеяния активной примеси внутри облака.

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

1. Автором создана и численно решена математическая модель рассеяния активной примеси в облачной атмосфере.

2. Для описания модели облака автор использовал полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.

3. Для определения границы облака имеет смысл использовать параметр £, характеризующий минимально учитываемую концентрацию водяного пара, образующего облако.

4. При моделировании процесса рассеяния активной примеси внутри облака рекомендуется использовать модель, основанную на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса.

5. Сравнительный анализ результатов численного эксперимента позволяет сделать вывод о соответствии данных, полученных при численном решении модели рассеяния активной примеси, с экспериментальными данными, полученными при проведении натурных измерений концентрации активной примеси под факелом выбросов ОАО "Ставропольская ГРЭС".

6. Созданная автором модель рассеяния активной примеси в облачной атмосфере рекомендуется для проведения практических расчетов по определению мгновенных значений концентрации реагента внутри облачной атмосферы.

Заключение

Современная эпоха характеризуется глобальными изменениями в общественном сознании, обусловленными повышением роли человеческого фактора в воздействии на окружающую среду. В этой связи по-новому встает вопрос о взаимосвязи экологических, физических и математических проблем, а также адекватном уровне их решения.

Согласно результатам, приведенным в диссертационном исследовании, можно утверждать, что применение современных методов прикладной математики и информатики для решения физических и экологических задач позволяет улучшить современную экологическую ситуацию, связанную с загрязнением атмосферы, осознать огромную ответственность человека перед природой и другими людьми.

Особое значение в задачах охраны атмосферного воздуха имеет задача рассеяния активной примеси, т.е. такой примеси, которая может участвовать в химических реакциях с другими реагентами, содержащимися в атмосфере, либо вследствие радиоактивных реакций превращаться в другие вещества. Немаловажен и факт присутствия облаков в атмосфере, так как попав в облако, примесь может увеличить свою химическую активность, а само облако может выступить в роли контейнера для перемещения примеси на огромные расстояния.

При построении модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере были решены следующие задачи, имеющие большое прикладное значение: построена модель рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса; создана модель рассеяния активной примеси внутри облака, основанная на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеяния реагента внутри облака; найден способ численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанный на применении специально построенной разностной схемы бесконечного порядка аппроксимации; найден способ численного решения задачи распространения активной примеси внутри облака; проведен сравнительный анализ различных способов решения задачи рассеяния активной примеси в атмосфере и экспериментальных данных.

Кроме того: получен новый способ численного решения уравнения движения примеси в атмосфере; создан эффективный способ численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями, основанный на использовании итерационного метода Зейделя для решения систем линейных уравнений; найден способ определения границы облака, содержащего активную примесь.

Результаты численного эксперимента дают основание сделать следующие выводы.

1. При моделировании процесса рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере для определения мгновенных скоростей частиц примеси целесообразно использовать линеаризованные уравнения движения Навье-Стокса.

2. Для описания модели облака, внутри которого происходит процесс рассеяния активной примеси, в рамках темы данного исследования можно использовать полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.

3. Созданная автором модель рассеяния активной примеси в облачной атмосфере рекомендуется для проведения практических расчетов по определению мгновенных концентраций реагентов в любой точке экологически значимой зоны.

Таким образом, в результате проведенного исследования поставленная цель достигнута, а гипотеза исследования подтверждена.

1. Закон Российской Федерации об охране окружающей среды. Утвержден 19.12.1991, №2060-1.

2. ГОСТ 17.2.3.02-78. Охрана природы. Атмосфера. Правила установления допустимых выбросов вредных веществ промышленными предприятиями. — М.: Изд-во стандартов, 1981.

3. ГОСТ 17.2.1.03-84. Охрана природы. Атмосфера. Термины и определения контроля загрязнения. — М.: Изд-во стандартов, 1985.

4. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. — М.: Наука, 1966. 368 с.

5. Базаров И.П. Термодинамика. — М.: Высшая школа, 1991. 375 с.

6. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1986. 309 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Наука, 1973. 632 с.

8. Берлянд М.Е. Предсказание и регулирование теплового режима приземного слоя атмосферы. — JI.: Гидрометеоиздат, 1956. 436 с.

9. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1985. 272 с.

10. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1975. 448 с.

11. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. 296 с.

12. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. — М.: Высшая школа, 1990. 544 с.

13. Будыко М.И. Испарение в естественных условиях. — JL: Гидроме-теоиздат, 1948. 136 с.

14. Вызова H.JI. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы. — JI.: Гидрометеоиздат, 1974. 191 с. /

15. Вызова H.JL, Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. — JL: Гидрометеоиздат, 1989. 280 с.

16. Вызова H.JI., Иванов В.Н., Гаргер Е.К. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1991. 264 с.

17. Бэтчелор Дж. Введение в термодинамику жидкости. — М.: Мир, 1973. 758 с.

18. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 1972. 872 с.

19. Гельфонд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Государственное издательство физ.-матем. литературы, 1958. 493 с.

20. Гил А. Динамика атмосферы : В 2 т./Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. 415 с.

21. Гинзбург Э.И., Гуляев В.Г. Динамические модели свободной атмосферы. — Новосибирск. : Наука, 1987. 290 с.

22. Демидович В.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М.: Наука, 1967. 368 с.

23. Жермен П. Механика сплошных сред. — М.: Мир, 1965. 479 с.

24. Заварыкин В.М. и др. Численные методы. — М.: Просвещение, 1990. 176 с.

25. Зилитинкевич С.С. Динамика пограничного слоя атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1970. 292 с.

26. Зилитинкевич С.С., Лайхтман Д.Л. Турбулентный режим в приземном слое атмосферы. — Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана- №2 1965. С.150-156.

27. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояний природной среды. — JL: Гидрометеоиздат, 1984. 560 с.

28. Ионисян А.С., Тоторкулов Х.А. О гауссовой модели распространения примеси в атмосфере//Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского государственного университета. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. С.118-120.

29. Каплан Л.Г. Локальные процессы в сплошной жидкой среде и атмосфере — Ставрополь: АСОК, 1993. 246 с.

30. Киотский протокол к рамочной конвенции Организации Объединенных Наций об изменении климата. Киото, 1-10 декабря 1997 г.

31. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. ДАН СССР, 30, №, 1941. С.299-303.

32. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей.

33. Успехи математических наук, 1938, вып. 5. С.5-41.

34. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности. ДАН СССР, 32, т, 1941. С.19-21.

35. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер.физ., 6, №1-2, 1942. С.56-58.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1977. 832 с.

37. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 710 с.

38. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнения математической физики и интегральным уравнениям. — Казань, Изд-во Казанского университета, 1970. 210 с.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука, 1977. 304 с.

40. Лайхтман Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы. — Л.: Гидро-метеоиздат, 1970. 252 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика.- М.: Наука, 1998. 736 с.

42. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. 840 с.

43. Ляпин Е.С. О турбулентном перемешивании воздуха в атмосфере. — "Метеорология и гидрология", №8. С.40-47.

44. Мазин И.П., Хргиан А.Х. Облака и облачная атмосфера. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1989. 648 с.

45. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака: строение и физика образования.

46. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 280 с.

47. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. — М.: Наука, 1982. 320 с.

48. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. 456 с.

49. Марчук Г.И. Методы расщепления. — М.: Наука, 1988. 264 с.

50. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. — Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 304 с.

51. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 296 с.

52. Матвеев JI.T. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1984. 751 с.

53. Метеорология и атомная энергия/Под редакцией Д.Х. Слейда. — JL: Гидрометеоиздат, 1971. 648 с.

54. Методика расчета концентраций в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий. ОНД-86. Госкомгид-ромет. — JI.: Гидрометеоиздат, 1987. 94 с.

55. Милн-Томпсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. 656 с.

56. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. — «Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 424 с.

57. Монин А.С., Обухов A.M. Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. — Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, №24, 1954. С.55-69.

58. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. 4.1 — М.: Наука, 1965. 640 с.

59. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. 4.2 — М.: Наука, 1967. 719 с.

60. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MATLAB.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2001. 720 с.

61. Наац И.Э., Семенчин Е.А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 1995. 196 с.

62. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1978. 320 с.

63. О вертикальных движениях облачных объемов при исскуственном увеличении осадков. Каплан Л.Г., Экба Я.А. Труды СФ ВГИ, 1993, вып. 1. С.71-83.

64. Обухов A.M. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере. — Тр. Ин-та теор. геофиз. АН СССР, вып. 1. С.95-115.

65. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. — JL: Гидрометеоиздат, 1988. 414 с.

66. Орленко JI.P. Строение планетарного пограничного слоя атмосферы. — JI.: Гидрометеоиздат, 1979. 270 с.

67. Охрана окружающей среды/А.М. Владимиров, Ю.И. Ляхин, Л.Т. Матвеев, В.Г. Орлов — Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 424 с.

68. Предельно допустимые концентрации (ПДК) загрязняющих веществ в атмосферном воздухе населенных пунктов. Список №3086-84 от 27.08.84 Минздрав СССР, М.: 1984. 35 с.

69. Проект нормативов предельно допустимых выбросов (ПДВ) для АО "Ставропольская ГРЭС". — п.Солнечнодольск, 1997. 57 с.

70. Проект предельно допустимых выбросов загрязняющих веществ в атмосферу ОАО "Ставропольская ГРЭС". Ставрополь, 2001. 76 с.

71. Рихтер JI.A. Тепловые электрические станции и защита атмосферы. М.: Энергия, 1975. 312 с.

72. Роджерс P.P. Краткий курс физики облаков/Пер. с англ. под ред. И.П. Мазина. — JL: Гидрометеоиздат, 1979. 232 с.

73. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. — М.: Наука, 1977. 416 с.

74. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 432 с.

75. Самнер Г. Математика для географов. — М.: Прогресс, 1981. 296 с.

76. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. — Ставрополь: Изд-во СКИ-УУ, 1993. 141 с.

77. Семенчин Е.А. О преобразовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии/Вероятностные методы и управление: межвуз. сб./Кубанский государственный университет. — Краснодар: изд-во университета, 1977. С.59-64.

78. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. О распространении активной примеси в атмосфере//Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование. — Ставрополь: Изд-во СИУ, 2001. С.135-137.

79. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об одном способе численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии//Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.10. — М.: ОПиПМ, 2003. С.216-217.

80. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об одном способе численного решения уравнения переноса частиц примеси в атмосфере//Успехи современного естествознания. — М.: Изд-во "Академия Естествознания", 2003. т. С.77.

81. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об оценке мощности мгновенного точечного источника примеси//Математическое моделирование в научных исследованиях. Материалы Всероссийской научной конференции. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. С.74-76.

82. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об уточнении математической модели рассеяния примеси в атмосфере//Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.9,выпуск 2 М.: ОПиПМ, 2002. С.444-445.

83. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Определение границы облака, содержащего активную примесь//ЭКО. — Ставрополь: РИО СФ МГОПУ им Шолохова, 2002. С.53-55.

84. Семенчин Е.А., Стебенько Н.А. Об одной замкнутой математической модели пограничного слоя атмосферы/Тез. докладов XXV научно-технической конф. по результатам НИР ППС за 1994 г. Т.З. — Ставрополь: Изд-во СтГТУ, 1995. С.45.

85. Сеттон О.Г. Микрометеорология/Пер. с англ. — Л.: Гидрометеоиз-дат, 1958. 384 с.

86. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. 444 с.

87. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973. 312 с.

88. Ставропольский край в цифрах: Статистический сборник/Ставропольский краевой комитет государственной статистики, — Ставрополь, 2001 г. 188 с.

89. Теория статистики: Учебник/Под ред. Р.А. Шмойловой. — 2-е изд., доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 1998. 576 с.

90. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

91. Турбулентность в свободной атмосфере/Н.К. Виниченко, Н.З. Пи-нус, С.М. Шметер, Г.Н. Шур. — Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 228 с.

92. Указания по расчету рассеивания в атмосфере вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий. СН 369-74. — М.: Стройиздат, 1975. 41 с.

93. Фихтенгольц Г.Е. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1969. 608 с.

94. Фихтенгольц Г.Е. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука, 1969. 800 с.

95. Фихтенгольц Г.Е. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. М.: Наука, 1969. 656 с.

96. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и и инженеров/Пер. с англ. — М.: Наука, 1972. 400 с.

97. Хинце И.О. Турбулентность, ее механизм и теория. — М.: Наука, 1963. 680 с.

98. Шабад JI.M. О циркуляции канцерогенов в окружающей среде. — М.: Медицина, 1973.

99. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. 344 с.

100. Юдин М.И. Новые методы и проблемы краткосрочного прогноза погоды. — JL: Гидрометеоиздат, 1963. 404 с.

101. Юдин М.И., Швец М.И. Стационарная модель распределения ветра с высотой в турбулентной атмосфере. — Тр. ГГО, вып.31, 1940. С.11-15.

102. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1968. 940 с.

103. Яглом A.M. Диффузия примеси от мгновенного точечного источника в турбулентном пограничном слое//Турбулентные течения. — М.: Наука, 1974. С.62-64.

104. Яглом A.M. О турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы. — Изв. АН СССР Физика атмосферы и океана, 1972, №6. С.580-593.

105. Яглом A.M. Об уравнениях с зависящими от времени коэффициентами, описывающими диффузию в стационарном приземном слое воздуха. — Изв. АН СССР Физика атмосферы и океана, 1975, №11. С.1120-1128.