автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса переноса органического загрязнителя в зоне аэрации

На правах рукоиис и

А

Бардина Марина Николаев!

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА ОРГАНИЧЕСКОГО ЗАГРЯЗНИТЕЛЯ В ЗОНЕ АЭРАЦИИ

Специальность 05 13 18 - Матемаги четкое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матемашческих наук

003158Т4О

Саранск - 2007

Рлбоы выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского их удареIвенного универстета имени Н П Огарева

Научный руководитель доктор фшико-мак'машческих наук

профессор Ю Н Дерюгин

Официальные оппоненты доктор физико-маюматичсс ких наук,

профессор М Г Храм чен ков

кандидат физико-математических наук, ст научный сотрудник В В Горев

Ведущая ор! ани ¡ация Санкт-Петербур! (кое отделение

Инсгшута Гео-жоло[ии РАН

Защита сос юикя 31 октября 2007 г в 14 ч 00 мин на ¡аседании дисссртаци-онною совета КМ 212 117 07 по присуждению ученых С1Сиеней кандидата физико-матсматичес ких наук в Мордовском 1 осударст венном универешете им НП Огарева по адресу 430000, г Саранск ул Большевис 1Ская, 68 I кор , 225 ауд

С диссертацией можно ознакомщ ьСя в Научной библио^ке Мордовс кою государе гвенного уни вере ит ет а

Авюреферат разослан 27 сентября 2007 1

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат фибико-матемашческих наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В настоящей работе изучаются вопросы первичного проникновения жидких негодных jai ря ¡кителей в зону аэрации почвы Задачей исследования является развитие математических моделей таких процессов

В последние годы проблемы загря ¡нения грунтовых вод органическими жидкостями привлекают внимание специалистов rio подземной тидромеханике и маю-магическому моделированию При этом сравнительно разработанными являкмея методики пред* касания пассивного переноса продуктов растворения первичного sai рязни геля потоком Как отмечается в работах Ентова В М , значительно хуже обстоит дело с анализом гидродинамической стадии процесса, первичного проникновения органической жидкости в ненасыщенную зону и грунтовые воды и растекания их по поверхности воды или вдоль водоупора При этом остаются нерешенными многие принципиальные вопросы, относящиеся к учету тех или иных факторов и выбору тех материальных функций и числовых значений, которые следует использовать в модели Все это делает адеква! нос описание процессов в зоне аэрации одним из наиболее важных элементов ма^ема1Ического моделирования экологии грунтовых вод

Вместе с тем, -это и наиболее сложный и трудно поддающийся описанию и анализу элемент Главной причиной тому является неоднофазность течения, присутствие в поровом пространство двух, а иногда и трех фаз и, как следствие, существенная, а иногда и доминирующая, роль капиллярных сил При прочих равных условиях капиллярные силы проявляются тем сильнее, чем меньше размер пор грунта и его проницаемость Поэтому эффекты капиллярности наиболее значительны в мелкозернистых i рунтах и, особенно, - в неоднородных грунтах с сочетанием высоко- и низкопроницаемых компонент Примерами могут служить 1рунты с переслаиванием высоко- и малопроницаемых слоев, или трещиновато-пористые породы, у которых блоки и трещины на порядки отличаются по емкости, гидравлической проводимости и величине капиллярного давления

В получивших широкое распространение гидродинамических моделях, как правило, используется весьма укрупненное балансовое описание, оперирующее с интегральными характеристиками зоны аэрации, определяемыми из "калибровки" моделей С определенностью можно сказать, что такое представление во многих важных случаях является недостаточным и в значительной мере обесценивает моделирование Это в особенности относится к прогнозированию последствий локального за1рязнения грунтовых вод поверхностными ис гочниками, особенно, не смешивающимися с водой жидкостями Такие сценарии загрязнения типичны для загрязнений, вызванных химическими производс 1вами, добычей нефти, утечками и аварийными ситуациями при хранении и транспорте нефтепродуктов и тп В виду сложности и многофакторности эти процессы не могут быть полностью охарактеризованы эмпирически или описаны простыми соотношениями

з

В настоящее время для описания переноса растворимых примесей и несмеши-ватощихся с водой органических жидкостей физические модели и созданы расчетные методики и иро[раммные комплексы однако, только в некоторых программах реализована возможность моделирования распространения загрязнения в зоне аэрации Причем в созданных моделях в основном, рассматривается перенос растворимых примесей

В изучении явления первичного проникновения жидких ?агрязнителей весьма важным является построение точных решений, на основе коюрых изучаются основные зависимос!и процессов фильтрации и которые являются тестами при отработке расчетной модели В основном такие решения построены для линейных задач Процессы мно1 офазной филы рации описываются существенно нелинейными уравнениями В общем случае для таких уравнений нет точных решений В этой связи в настоящей рабохе построены некоторые классы точных решений многофазной фильтрации для нелинейных и линейных задач и создания расчетных моделей для описания распространения органического загрязнителя в зоне аэрации

Трехмерная модель реализована программно на языке С-Н и является составной частью пакета программ Нимфа, в ко юрой она используется для моделирования сценариев первичных загрязнений Расчетные модели проверены на задачах, имеющих точное решение С использованием трехмерной меюдики было проведено исследование сценария загрязнения 1 рунта при постоянном сливе органической жидкости

Цели и задачи диссертационной работы Целью настоящей работы является развитие аналитических и численных методов исследования задач -теории фильтрации

В соответствии с целью поставлены задачи

1 Построение аналитических решений одномерной фильтрационной задачи

2 Исследование одномерной задачи Баренблатта-Ентова и определение параметров, влияние которых на процесс распространения несменшвающегося с водой органического загрязнителя оказывается наиболее существенным в рамках указанной модели

3 Разработка расчетной методики одномерной задачи миграции не смешивающейся с водой органической жидкости в зоне аэрации

4 Разработка методики решения трехмерного уравнения рас пространсния несме-шивающейся с водой органической жидкости в зоне аэрации

Методология исследования. Для выявления наиболее существенного влияния тех или иных параметров на протекание процесса было исследовано модельное уравнение численно и аналитически Для построения точных решений

нелинейных уравнений математической физики разработан ряд методов, основанных на переходе к новым переменным (зависимым и независимым) Наиболее распространенными классами точных решений, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, являются решения типа бегущей волны и автомодельные решения Существование этих решений обычно (но не всегда) обусловлено инвариантностью рассматриваемых уравнений относительно преобразований сдвига и рас1яжения-сжатия

Для исследования трехмерною уравнения филы рации был применен метод конечных элементов, который позволяет разбив тело сеткой, практически повторяющей неправильную форму тела, другими словами, этот метод с большей степенью точности аппроксимирует форму тела, а значит и при решении задачи дает меньшую погрешность В данной работе рассматривается вычислительный алгоритм меюдя конечных элементов в формулировке, основанной на процедуре минимизации функционала, соответствующею решаемой непрерывной задаче В результате выполнения указанной процедуры происходит замещение уравнений в частных производных системой недифференциальных уравнений, имеющих в качестве коэффициентов аппроксимирующие функции, кох'орые фактически являются значениями искомой функции в вершинах разбиения Научная новизна работы заключается в следующем

1 Построены точные решения линейных и нелинейных уравнений двухфазной фильтрации

2 Созданы расчетные модели описания основных сценариев распространения органических жидкостей в зоне аэрации

Практическая значимость работы состоит в создании программного инструмента для исследования различных сценариев распространения органических загрязнителей в зоне аэрации

Апробация основных положений и результатов проведенного исследования. Полученные результаты докладывались на заседаниях научного семинара Средневолжского математического общества (г Саранск), на ХХХШ-ХХХУ научных конференциях "Огареве кис чтения" (г Саранск), на 1Х-Х11 научных конференциях молодых ученых аспирантов и студенгов(г Саранск), на И-Ш Международных научных школах "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Саранск), на VII Международной научной конференции "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (г Саранск), на I Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (1 Пенза), на IX Международном семинаре ''Сунсрвычисления и математическое моделирование" (гСаров) Все основные результаты исследования опубликованы в ряде статей и тезисов

Публикации Основные результаты рабо[ы опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата

Основные положения, выносимые на защиту

1 Томные решения линейных и нелинейных уравнений двухфазной фильтрации Решения построены в виде берущей волны, автомодельных решений и других

2 Одномерная расчсчная модель распространения органической жидкости в зоне аэрации Модель основана на следующих положениях

(a) одномерном уравнении трехфазной фильтрации с учоюм процессов сорбции и набухания почвы,

(b) раешеплении по физическим процессам решение уравнения для сорбции и набухания почвы и решение уравнения трехфазной фильтрации

(c) неявной разнос!ной схемы ( весами для аппроксимации уравнения фильтрации

3 Трехмерная расчетная модель переноса органической жидкости в зоне аэрации Трехмерная модель основана на следующих положениях

(a) трехмерном уравнении фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы,

(b) метода расщепления по физическим процессам решения уравнений сорбции и набухания почвы, решения уравнения фильтрации,

(c) метода конечных элементов аппроксимации уравнений фильтрации,

(с1) решения разноелных уравнений с использованием решателей для СЛАУ с разреженными матрицами а также с использованием факторизации магрицы и методом скалярных проюнок

4 Результаты численных исследований распространения органической жидкости в зоне аэрации

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и списка цитируемой литературы Общий объем диссертации — 141 машинописных страницы включая 44 рисунка Список лите-рагуры содержит 135 наименований

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Бардииа М Н Магемашческое моделирование проникновения жидких неводных загрязнителей в зону аэрации //' Труды СВМО, т7 2005 N 1 - Саранск изд-во СВМО, 2005, С 405-400

2 Бардина М Н Методика решения трехмерною уравнения фильтрации /'/ Материалы научной конференции XXXIV СЬаревские чтения Секция "Прикладная магемашка и ин-форма1ика" — Саранск изд-во СВМО, 2005, С 32-35

3 Бардина М Н Построение решений в случае одномерной двухфазной фильтрации Эффек-1Ы перавновесносги // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов — Саранск изд-во СВМО, 2006, С 11-16

4 Бардина MHO задаче формирования зоны первичною загрязнения // Труды СВМО, г8, 2006, N 1 - Саранск изд-во СВМО, 2000, С 159-169

5 Бардина М Н Построение аналитических решений задач формирования зоны первичного за1рязнепия //Аналшические и численные мегоды моделирования естестешю-научных и социальных пробей сборник статей I Международной научно-технической конференции — Пенза, 2006, С 203-20С

6 Бардина М Н , Деркнип Ю Н Одномерная расчетная модель распространения песмеши-вающихся с водой opi эпических загрязнении в зоне аэрации // Тезисы Международною семинара "Супервычислеиия и математическое моделирование' — Саров, 2006, С 19

7 Бардина М Н К вопросу о точных решениях одномерных фильтрационных задач // Материалы научной конференции XXXV Огаревские чтения Секция «Прикладная магемагика и информатика» - Саранск изд-во СВМО, 200С, С 3-7

8 Бардипа М Н Метод конечных элементов в трехмерной задаче теории фильтрации // Материалы XII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов — Саранск изд-во СВМО, 2007, С 7-9

9 Бардипа М Н Одномерная модель распространения несмешивающихся с водой органических зафязпепий в зоне аэрации// Вссшик Самарского юсз'дарствеппого университета Естественно научная серия N2(52) — Самара Изд-во СамГУ, 2007 С 46-56

10 Бардина М Н Одномерная модель распрос гранения не смешивающихся с водой органических загрязнителей в зоне аэрации // Труды СВМО, т 9, 2007,1 — Саранск изд-во СВМО, 2007, С 89-99

11 Бардина М Н Методики расчета процесса переноса органического за1рязнителя в зоне аэрации — Саранск изд-во СВМО, 2007, препринт N 108

12 Дерюгин Ю Н , Бардина М Н Построение точных решений одномерной фильтрационной задачи // Тезисы Международного семинара "Супервычислеиия и математическое моделирование" - Саров, 2006, С 53-55

13 Дерюгин Ю Н , Бардина MHO некоторых точных решениях задачи одномерных вертикальных потоков // Труды СВМО, г 8, 2006, N 2 — Саранск изд-во СВМО, 2006, С 77-81

Подписано в печать 21 09 07 Объем 1,0 п л Тираж 100 экз Заказ № 1695 Типография Издательства Мордовского университета 430000, г Саранск, ул Советская, 24

Введение

1 Построение точных решений одномерной фильтрационной задачи

1.1 Уравнение многофазной фильтрации в зоне аэрации.

1.2 Модельное уравнение

1.3 Построение решения в виде бегущей волны.

Л = 0, п = 2.

Л = п = 2.

А = 1, п = 2. а0 = 0.

1.4 Построение автомодельных решений.

Л = 0,п = 2.

A = i п = 2.

А = 1, п = 2. а0 = 0.

1.5 Построение аналитических решений в случае постоянной относительной фазовой проницаемости и линейном давлении

Бегущая волна.

Автомодельные решения вида Sw = SW (£), £ = zatb.

Автомодельные решения вида Sw = zatbip (т/), rj = zctd.

Автомодельные решения вида Sw = tau (£), £ = ztb.

Мультипиликативное разделение переменных.

Аддитивное разделение переменных.

1.6 Построение аналитических решений в случае линейной относительной фазовой проницаемости и линейном давлении

Бегущая волна.

Автомодельные решения вида Sw = Sw (£)> £ = ^.

Автомодельные решения вида Sw = zatbip (т]),г] = zctd.

Автомодельные решения вида Sw = taip (£), £ = ztb.

Аддитивное разделение переменных.

1.7 Численное решение модельного уравнения и параметрическая зависимость от коэффициентов.

1.8 Выводы.

2 Одномерная расчетная модель

2.1 Одномерная расчетная модель многофазной фильтрации

2.2 Сравнение с точными решениями.

2.3 Результаты расчета трехфазной фильтрации.

2.4 Сравнение с экспериментом.

2.5 Выводы.

3 Методика решения трехмерного уравнения фильтрации

3.1 Постановка задачи.

3.2 Общее описание вычислительного алгоритма.

Разностные формулы первого шага

Формулы второго шага

3.3 Общий случай решения задачи распространения органического загрязнителя.

3.4 Изопараметрический элемент.

Тетраэдр.

3.5 Формирование системы алгебраических уравнений

3.6 Решение системы алгебраических уравнений.

3.7 Программная реализация.

3.8 Результаты расчетов.

3.9 Выводы.

Актуальность темы

В настоящей работе изучаются вопросы первичного проникновения жидких неводных загрязнителей в зону аэрации почвы. Задачей исследования является развитие расчетных моделей таких процессов.

Зона аэрации — слой грунта между дневной поверхностью и зеркалом грунтовых вод, — играет особую роль в проблемах поддержания качества подземных вод. Именно через нее проникают в грунтовые воды основные растворимые или жидкофазиые загрязнения, именно здесь наиболее интенсивно идут массообменные процессы, именно здесь, благодаря деятельности бактериальных биоценозов и обменным процессам, происходит основная самоочистка воды. Наконец, именно воздействие на зону аэрации и прилегающий к ней слой грунтовых вод чаще всего используется при очистке грунтов от загрязнений и их ремедиации.

В последние годы проблемы загрязнения грунтовых вод органическими жидкостями привлекают внимание специалистов по подземной гидромеханике и математическому моделированию[2, 41, 57, 58, 59, 73, 78, 79, 80, 81, 82, 93, 106, 107, 108, 111, 112, 126]. При этом сравнительно разработанными являются методики предсказания пассивного переноса продуктов растворения первичного загрязнителя потоком. Как отмечается в работах В.М. Ентова[16, 17, 38, 44, 45, 46, 47], значительно хуже обстоит дело с анализом гидродинамической стадии процесса, первичного проникновения органической жидкости в ненасыщенную зону и грунтовые воды и растекания их по поверхности воды или вдоль водоупора. При этом остаются нерешенными многие принципиальные вопросы, относящиеся к учету тех или иных факторов и выбору тех материальных функций и числовых значений, которые следует использовать в модели. Все это делает адекватное описание процессов в зоне аэрации одним из наиболее важных элементов математического моделирования экологии грунтовых вод[22, 24, 25, 29, 32, 61, 62, 63, 66, 74, 101, 109, 116, 130].

Вместе с тем, это и наиболее сложный и трудно поддающийся описанию и анализу элемент. Главной причиной тому является неоднофазность течения, присутствие в поровом пространстве двух, а иногда и трех фаз, и, как следствие, существенная, а иногда и доминирующая, роль капиллярных сил. При прочих равных условиях капиллярные силы проявляются тем сильнее, чем меньше размер пор грунта и его проницаемость. Поэтому эффекты капиллярности наиболее значительны в мелкозернистых грунтах и, особенно, — в неоднородных грунтах с сочетанием высоко- и низкопроницаемых компонент. Примерами могут служить грунты с переслаиванием высоко- и малопроницаемых слоев, или трещиновато-пористые породы, у которых блоки и трещины на порядки отличаются по емкости, гидравлической проводимости и величине капиллярного давления[52, 79, 80, 81, 82, 88, 92].

Особое место в зоне аэрации занимает область капиллярной каймы на контакте насыщенной и ненасыщенной зоны, в которой накапливаются загрязняющие углеводородные жидкости, происходит многократное изменение направления эволюции водонасыщенности, сопровождаемое гистерезисными явлениями. Хотя качественно определяющая роль капиллярных явлений в зоне аэрации неоднородных грунтов не вызывает сомнений, количественно эти эффекты изучены явно недостаточно. В получивших широкое распространение гидродинамических моделях, как правило, используется весьма укрупненное балансовое описание, оперирующее с интегральными характеристиками зоны аэрации, определяемыми из "калибровки" моделей. С определенностью можно сказать, что такое представление во многих важных случаях является недостаточным и в значительной мере обесценивает моделирование. Это в особенности относится к прогнозированию последствий локального загрязнения грунтовых вод поверхностными источниками, особенно, не смешивающимися с водой жидкостями. Такие сценарии загрязнения типичны для загрязнений, вызванных химическими производствами, добычей нефти, утечками и аварийными ситуациями при хранении и транспорте нефтепродуктов и т.п. В виду сложности и многофакторности эти процессы не могут быть полностью охарактеризованы эмпирически или описаны простыми соотношениями.

Подобные сценарии загрязнения нуждаются в новых подходах и более глубоком изучении, и математическое моделирование на основе структурных моделей представляется наиболее адекватным методом такого изучения. Под "структурными" здесь понимаются модели, в которых явным образом учитываются строение грунта ("слоистый", "трещиноватый", и так далее), основные гидродинамические и физико-химические процессы в нем. Предполагается, что такая детальная структурная модель будет использована двояко, как средство математического эксперимента для детального анализа и интегрального описания с одной стороны, и как элемент будущей комбинированной модели гидроэкологического моделирования с отдельным детализированным описанием зоны аэрации и специфических сценариев поверхностного загрязнения — с другой. Иными словами, речь идет о создании прототипа следующего поколения математических моделей процессов переноса загрязнений в грунтовых водах.

Основные теоретические и экспериментальные данные по трехфазному равновесию и течению накоплены в нефтяной промышленности[1, 16, 17, 19, 36, 53, 65, 68, 109, 110]; особенно существенным был прогресс недавних лет, связанный с открытием эффектов капиллярного растекания.

Распространение органической жидкости через ненасыщенную и водонасыщенную (для тяжелых органических жидкостей) зону грунта представляет собой задачу многофазной фильтрации. Поэтому для описания его важны такие свойства органической жидкости как плотность, вязкость, межфазное натяжение на границах с водой и воздухом и характеристики смачивания скелета грунта, а также растворимость в воде и давление насыщенного пара[69, 70, 71, 83, 84, 98, 103, 120, 121].

При описании распространения органической жидкости (в данном случае обеих ее разновидностей) через ненасыщенную зону грунта мы неизбежно сталкиваемся с необходимостью анализа трехфазного течения в пористой среде. Хотя структура уравнений такого движения известна (уравнения сохранения + уравнения обобщенного закона А. Дарси + соотношения между фазовыми давлениями, диктуемые условиями локального термодинамичеко-го равновесия), задание материальных функций, входящих в эти уравнения, оказывается весьма нетривиальным[26, 27, 50, 72, 82, 117, 118, 119].

Расчетные модели в гидрогеологии призваны, в первую очередь, оценить (проиграть) возможные сценарии антропогенного воздействия на окружающую среду.

В настоящее время для описания переноса растворимых примесей и несме-шивающихся с водой органических жидкостей разработаны физические модели[16, 41, 44, 45,122, 124] и созданы расчетные методики и программные комплексы[125, 127, 129, 131, 134, 135], однако, только в некоторых программах реализована возможность моделирования распространения загрязнения в зоне аэрации. Причем в созданных моделях, в основном, рассматривается перенос растворимых примесей.

Многофазная фильтрация характеризуется наличием нескольких подвижных фаз жидкостей и газа в пористой среде. Обычно рассматривают двухфазную (вода-газ, вода-органическая жидкость, вода-рассол) фильтрацию в задачах экологии и трехфазную фильтрацию (вода, углеводороды и газ) в задачах экологии и разработки нефтяных и газоконденсатных месторождений.

При многофазной фильтрации течения могут происходить как несмешива-ющихся флюидов так и при растворении одного флюида в другом. Критерии перехода от несмешивающихся режимов течения к режиму с растворением зависит от многих факторов: от давления и температуры в фильтрационном потоке, от гидродинамической дисперсии и молекулярной диффузии, от капиллярных эффектов и так далее. Так, органические жидкости и газ при низких пластовых давлениях мигрируют как несмешивающиеся с водой жидкости, хотя некоторая их доля может поступать и в растворенном в воде или парообразном состоянии. При высоких пластовых давлениях происходит растворение газа в органической жидкости и в воде[28, 34, 35, 54, 67, 86, 87, 94, 95, 96].

В случае многофазной фильтрации на контакте различных фаз действует поверхностное натяжение, величина которого меняется от нуля (для полностью растворимых соединений) до поверхностного натяжения в данной фазе. Для внедрения в водонасыщенную пористую среду органическая жидкость или газ должны преодолеть некоторое пороговое давление, следовательно, слои слабопроницаемых пород могут служить капиллярными барьерами для них.

Миграция органической жидкости и газа в водоносном пласте существенно зависит от их плотности. Большинство органических жидкостей легче воды. Они тяготеют к понижениям депрессионной поверхности (зеркала грунтовых вод). Органические жидкости тяжелее воды погружаются вглубь пластов и образуют скопления у подошвы водоносного пласта и на промежуточных во-доупорах (капиллярных барьерах).

Важную роль в распространении многофазной среды играет структура и макро-неоднородность пористой среды. Так, в слоистых пластах распределение фаз очень чувствительно к малым различиям в проницаемости отдельных прослоев: имеет место резко избирательная послойная миграция более подвижных фаз. Так при фильтрации воды и газа в трещиновато-пористом пласте, вода как наиболее смачивающий и менее флюид будет заполнять поры в блоке, а наиболее подвижный газ распространяться по трещинам.

В зоне аэрации имеет место сильное горизонтальное растекание органической жидкости на локальных водоупорах и капиллярных барьерах. В результате их вертикальное внедрение идет в виде отдельных языков, которые развиваются в стороны и смыкаются друг с другом. Аналогичный характер имеет миграция органической жидкости по трещиноватым породам зоны аэрации. Таким образом, загрязнение органическими жидкостям распространяются па гораздо большую, чем исходный участок, площадь, а по отдельным трещинам оно может далеко опережать основной фронт загрязнения.

Возможны три основных сценария первичного загрязнения. Согласно первому из них известный объем жидких загрязнений попадает в почву в течении длительного времени, так что в первом приближении можно говорить о квазистационарном процессе. В этом случае жидкий загрязнения просачивается по зоне аэрации через сравнительно узкий "канал оседания", возможно, с последующим растеканием по водоупору.

Второй случай отвечает быстрому разливу, когда в зависимости от локального рельефа образуется первичная зона жидкого загрязнения значительной площади. Затем разлитая жидкость опускается через зону аэрации, оставляя "след". При этом загрязнение далеко не всегда достигает зеркала грунтовых вод.

Третий случай соответствует утечке (выбросу) жидких загрязнений или газа в водоносный пласт из полости или скважины.

Дальнейшая динамика распространения флюидов определяется процессами растворения и переноса растворенной примеси. Этот процесс описывается уравнениями конвективной диффузии с учетом сорбции и разложениями. При этом рассеяние (дисперсия) примеси в пористой среде определяется не только молекулярной диффузией, но и микроструктурой несущих потоков жидкости.

В изучении явления первичного проникновения жидких загрязнителей весьма важным является построение точных решений, на основе которых изучаются основные зависимости процессов фильтрации и которые являются тестами при отработке расчетной модели. В основном такие решения построены для линейных задач. Процессы многофазной фильтрации описываются существенно нелинейными уравнениями. В общем случае для таких уравнений нет точных решений. В этой связи в настоящей работе построены некоторые классы точных решений многофазной фильтрации для нелинейных и линейных задач. Основное внимание уделяется построению расчетных моделей для описания распространения органических загрязнений в зоне аэрации. Созданные методики реализованы программно на языке С++. Трехмерная модель является составной частью пакета программ Нимфа[3], в которой она используется для моделирования сценариев первичных загрязнений. Методика проверена на задачах, имеющих точное решение. С использованием трехмерной методики было проведено исследование сценария загрязнения грунта при постоянном сливе органической жидкости.

Основные результаты, имеющиеся по рассматриваемому вопросу

Начало развитию подземной гидромеханики было положено А. Дарси, получившим экспериментальный закон, в соответствии с которым скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления. Ж. Дюпюи впервые изложил гидравлическую теорию движения грунтовых вод, вывел формулы для расчета дебитов колодцев и дрен, решил другие фильтрационные задачи. Существенный вклад в развитие теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод внесли также Ж. Буссинеск и Ф. Форхгеймер. Ч. Слихтером предложены модели идеального и фиктивного грунта и показано, что пористость и просветность фиктивного грунта зависят не от диаметра частиц, а лишь от плотности их укладки.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются профессор Н.Е. Жуковский, академики Н.Н. Павловский, JI.C. Лейбензон. Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоносных пластах внесли академик С.А. Христианович, профессоры Б.Б. Лапук, И.А. Чар-ный, В.Н. Щелкачев.

В послевоенные годы теория фильтрации нефти, газа и воды развивается трудами советских ученых, среди которых следует отметить работы М.Т. Абасова, М.Г. Алишаева, И.М. Аметова, Е.Ф. Афанасьева, Г.И. Ба-ренблатта, Ю.П. Борисова, С.Н. Бузинова, В.Я. Булыгина, Г.Г. Вахитова, М.М. Глоговского, Г.Л. Говоровой, А.Т. Горбунова, М.А. Гусейн-Заде, В.Л. Данилова, Ю.В. Желтова, Ю.П. Желтова, С.Н. Закирова, Г.А. Зотова, В.М. Ентова, Р.Г. Исаева, Ю.П. Коротаева, А.К. Курбанова, Е.М. Минского, Ю.М. Молоковича, А.Х. Мирзаджанзаде, Н.Н. Непримерова, М.Д. Ро-зенберга, Е.С. Ромма, Э.В. Соколовского, М.Л. Сургучева, М.М. Саттарова, Ф.А. Требина, Э.Б. Чекалюка, М.В. Филинова, М.И. Швидлера, И.Д. Умри-хина, М.М. Хасанова, А.Л. Хейна, Д.А. Эфроса др. Работы этих ученых и их учеников обеспечили успешное развитие подземной гидромеханики — теоретической основы теории и практики разработки нефтяных месторождений, что способствовало ускоренному развитию нефтегазодобывающей промышленности нашей страны.

Фундаментальные исследования в области подземной гидромеханики проведены М. Маскетом, С. Бакли, М. Левереттом, Р. Коллинза, А.Э. Шейдег-гера, X. Азиза, Э. Сеттари, Н. Кристеа и другими[1, 48, 65, 68, 76, 97, ИЗ, 114, 115, 120].

Расчетные модели многофазной фильтрации создавались в различных научных центрах — Институте проблем механики РАН (Москва), Российском государственном университет нефти и газа им. И.М. Губкина, Всероссийском научно-исследовательском институте геологии и минеральных ресурсов Мирового океана Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург), Научно-исследовательском Институте Математики и Механики им. Н.Г. Чеботарева при Казанском Государственном Университете (Казань), Санкт-Петербургском отделении Института Геоэкологии РАН (Санкт-Петербург) и др.

Цели и задачи диссертационной работы

Целыо настоящей работы является развитие аналитических и численных методов исследования задач теории фильтрации. В соответствии с целью поставлены задачи:

1. Построение аналитических решений одномерной фильтрационной задачи.

2. Исследование одномерной задачи Баренблатта-Ентова и определение параметров, влияние которых на процесс распространения несмешиваю-щегося с водой органического загрязнителя оказывается наиболее существенным в рамках указанной модели.

3. Разработка расчетной методики одномерной задачи миграции не смешивающейся с водой органической жидкости п зоне аэрации.

4. Разработка методики решения трехмерного уравнения распространения несмешивающейся с водой органической жидкости в зоне аэрации. Методология исследования

Для выявления наиболее существенного влияния тех или иных параметров на протекание процесса было исследовано модельное уравнение численно и аналитически. Для построения точных решений нелинейных уравнений математической физики разработан ряд методов, основанных на переходе к новым переменным (зависимым и независимым). При этом обычно ставится цель: найти новые переменные, число которых меньше, чем число исходных переменных. Переход к таким переменным приводит к более простым уравнениям. В частности, поиск точных решений с частными производными с двумя независимыми переменными сводится к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений (или систем таких уравнений). Естественно, при указанной редукции решения обыкновенных дифференциальных уравнений дают не все решения исходного уравнения с частными производными, а лишь класс решений, обладающих некоторыми специальными свойствами.

Наиболее распространенными классами точных решений, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, являются решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Существование этих решений обычно (но не всегда) обусловлено инвариантностью рассматриваемых уравнений относительно преобразований сдвига и растяжения-сжатия.

Для исследования трехмерного уравнения фильтрации был применен метод конечных элементов, который позволяет разбить тело сеткой, практически повторяющей неправильную форму тела, другими словами, этот метод с большей степенью точности аппроксимирует форму тела, а значит и при решении задачи дает меньшую погрешность. В данной работе рассматривается вычислительный алгоритм метода конечных элементов в формулировке, основанной на процедуре минимизации функционала, соответствующего решаемой непрерывной задаче. В результате выполнения указанной процедуры происходит замещение уравнений в частных производных системой недифференциальных уравнений, имеющих в качестве коэффициентов аппроксимирующие функции, которые фактически являются значениями искомой функции в вершинах разбиения.

Исследовались некоторые сценарии распространения органических загрязнений в зоне аэрации с помощью численных экспериментов. Для численных исследований были созданы одномерные и трехмерные расчетные модели, по которым были проведены расчеты задач, имеющих точное решение и задач, имеющих экспериментальные данные. С помощью трехмерного численного эксперимента проводилось исследование одного сценария распространения жидкого загрязнителя в зоне аэрации.

Содержание работы

Настоящая диссертационной работа включает в себя три главы, разбитые на пункты, введение, заключение и список литературы.

3.9 Выводы

Третья глава посвящена разработке трехмерной расчетной модели переноса органической жидкости в зоне аэрации. Трехмерная модель основана на следующих соотношениях:

1. трехмерном уравнении фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы;

2. метода расщепления по физическим процессам: решения уравнений сорбции и набухания почвы, решения уравнения фильтрации;

3. метода конечных элементов аппроксимации уравнений фильтрации;

4. решения разностных уравнений с использованием решателей для СЛАУ с разреженными матрицами, а также с использованием факторизации матрицы и методом скалярных прогонок.

Трехмерная методика проверена на задачах, имеющих точное решение. С использованием трехмерной методики проведены расчеты одного сценария распространения органики в зоне аэрации.

Исследовалось несколько процессов по распространению органической жидкости при наличии воды в грунте, в пустой пористой и трещиновато-пористой породе. Оказалось, что при наличии воды в грунте, органическая жидкость растекается по поверхности грунтовых вод, практически не опускаясь. В пустой породе органика движется под действием гравитационных сил и распространяется по х и у направлениям до остаточной насыщенности. В трещиновато-пористой породе более быстрое распространение органики идет по плоскости расположения трещин.

Исследовался вопрос о влиянии наличия плохо проводимого пропластка в грунте. При наличии плохо проводимого пропластка органическая жидкость начинает растекаться по пропластку, медленно просачиваясь.

Изучался вопрос о движении органической жидкости с учетом сорбции и набухания. Численно получено, что адсорбция органики приводит к капиллярному защемлению в результате чего органическая жидкость не распространяется дальше по грунту.

Заключение

В результате выполнения работы получены следующие результаты:

1. Построен ряд точных решений для задачи двухфазной фильтрации методами бегущей волны, подобия, разделения переменных.

2. Проведено параметрическое исследование точных решений.

3. Разработана одномерная расчетная модель, которая основана на следующих положениях: a) одномерном уравнении трехфазной фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы; b) расщеплении по физическим процессам: решение уравнения для сорбции и набухания почвы и решение уравнения трехфазной фильтрации; c) неявной разностной схемы с весами для аппроксимации уравнения фильтрации.

4. Разработана трехмерная расчетная модель, которая основана на следующих положениях: a) трехмерном уравнении фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы; b) метода расщепления по физическим процессам: решения уравнений сорбции и набухания почвы, решения уравнения фильтрации; c) метода конечных элементов аппроксимации уравнений фильтрации; d) решения разностных уравнений с использованием решателей для СЛАУ с разреженными матрицами, а также с использованием факторизации матрицы и методом скалярных прогонок.

5. Создана программа на языке С-Н-, в которой реализована расчетная методика. Трехмерная модель программы используется как расчетная часть программы Нимфа[3].

6. Проведены одномерные, трехмерные численные исследования распространения органики в зоне аэрации.

Практическая значимость работы состоит в создании программного инструмента для исследования различных сценариев распространения органических загрязнителей в зоне аэрации.

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

2. Бардина М.Н. Математическое моделирование проникновения жидких неводных загрязнителей в зону аэрации // Труды СВМО, т.7, 2005, N 1 -Саранск: изд-во СВМО, 2005, С.405-406

3. Бардина М.Н. Методика решения трехмерного уравнения фильтрации // Материалы научной конференции XXXIV Огаревские чтения. Секция «Прикладная математика и информатика» Саранск: изд-во СВМО, 2005, С.32-35

4. Бардина М.Н. Построение решений в случае одномерной двухфазной фильтрации. Эффекты неравновесности // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Саранск: изд-во СВМО, 2006, С.11-16

5. Бардина М.Н. О задаче формирования зоны первичного загрязнения // Труды СВМО, т.8, 2006, N 1 Саранск: изд-во СВМО, 2006, С.159-169

6. Бардина М.Н., Дерюгин Ю.Н. Одномерная расчетная модель распространения несмешивающихся с водой органических загрязнений в зоне аэрации // Тезисы Международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование» Саров, 2006, С.19

7. Бардина М.Н. К вопросу о точных решениях одномерных фильтрационных задач // Материалы научной конференции XXXV Огаревские чтения. Секция «Прикладная математика и информатика» Саранск: изд-во СВМО, 2006, С.3-7

8. Бардина М.Н. Метод конечных элементов в трехмерной задаче теории фильтрации // Материалы XII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Саранск: изд-во СВМО, 2007, С.7-9

9. Бардина М.Н. Одномерная модель распространения несмешивающихся с водой органических загрязнений в зоне аэрации// Вестник Самарского государственного университета. Естественно научная серия. N 2 (52). — Самара, Изд-во СамГУ, 2007. С.46-56

10. Бардина М.Н. Одномерная модель распространения не смешивающихся с водой органических загрязнителей в зоне аэрации // Труды СВМО, т.9, 2007, N 1 Саранск: изд-во СВМО, 2007, С.89-99

11. Бардина М.Н. Методики расчета процесса переноса органического загрязнителя в зоне аэрации. — Саранск: изд-во СВМО, 2007, препринт N 108. 38 с.

12. Баренблат Г.И., Винниченко А.П. Неравновесная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Успехи механики. 1980, N 3, С.52-58

13. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — М.: Недра, 1984. — 211 с.

14. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972. — 288 с.

15. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. — JL: Гидрометеоиздат, 1982. — 256 с.

16. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 544 с.

17. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Каневская Р.Д., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 496 с.

18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1975. 632 с.

19. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. — М.: Наука, 2004. 200 с.

20. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

21. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 с.

22. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1973. — 216 с.

23. Бочевер Ф.М., Гармонов И.В., Лебедев А.В., Шестаков В.М. Основы гидрогеологических расчетов. — М.: Недра, 1965. — 308 с.

24. Бочевер Ф.М., Лапшин Н.Н., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. — М.: Недра, 1979. — 254 с.

25. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. — 792 с.

26. Валладнер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.- 296 с.

27. Вержбицкий В.М. Численные методы. — М.: Оникс 21 век, 2005. — 400 с.

28. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

29. Гавич И.К. Гидрогеодинамика: Учебник для вузов. — М.: Недра, 1988.- 349 с.

30. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

31. Гармонов И.В., Лебедев А.В. Основные задачи по динамике подземных вод. — М.: Государственное изд-во геологической литературы, 1952. — 244 с.

32. Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 82 с.

33. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного и газового пласта. — М.: Недра, 1971. 312 с.

34. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: — Мир, 1999. — 548 с.

35. Гольдештейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1989. — 224 с.

36. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математичские формулы. — С.-Пб.: Изд-во и типография АО ВНИИГ им. Веденееева Б.В., 1995. — 176 с.

37. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966. 644 с.

38. Дерюгин Ю.Н., Костерин А.В. Математическое моделирование загрязнения грунтовых и подземных вод// Вопросы Атомной Науки и Техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1998. Вып 4. с. 26 30.

39. Дерюгин Ю.Н., Бардина М.Н. Построение точных решений одномерной фильтрационной задачи // Тезисы Международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование» Саров, 2006, С.53-55

40. Дерюгин Ю.Н., Бардина М.Н. О некоторых точных решениях задачи одномерных вертикальных потоков // Труды СВМО, т.8, 2006, N 2 -Саранск: изд-во СВМО, 2006, С.77-81

41. Ентов В.М. Микромеханика течений в пористых средах // Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 1992, N 6, С. 90-102

42. Ентов В.М. О проникновении жидких загрязнителей в водоносные пласты. // ПММ Том 63. Вып. 2. 1999. С. 276-288

43. Ентов В.М. Теория фильтрации// Соросовский образовательный журнал, N 2. 1998. с. 121-128

44. Ентов В.М. К задаче о динамике тонкой оторочки в физико-химической подземной гидромеханике. ПММ

45. Жуковский Н.Е. Гидродинамика. Собрание сочинений, т.2. — М.: М., Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1949. — 765 с.

46. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 543 с.

47. Зецкер И.С. и др. Основы гидрогеологии. Гидрогеодинамика. Новосибирск: — Наука, 1983. — 241 с.

48. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

49. Каменский Г.Н., Корчебков Н.А., Разин К.И. Движение подземных вод в неоднородных пластах. — М., Л.: Объединенное научно-техническое издательство, 1935. — 168 с.

50. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 128 с.

51. Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд. АН СССР, 1962. - 404 с.

52. Климентов И.П. Общая гидрогеология. М.: Высшая школа, 1971. 224 с.

53. Коинор Дж.Дж., Бреббиа К.А. Метод конечных элементов в механике жидкости. — Л.: Судостроение, 1979. — 264 с.

54. Конюхов В.М, Храмченков М.Г., Чекалин А.Н. Моделирование распространения тяжелых жидких загрязнителей в слоистом водоносном пласте // Вопросы Атомной Науки и Техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1998. Вып 4. С.36-43

55. Конюхов В.М., Чекалин А.Н. Тестовые аналитические решения одномерного уравнения переноса рассола в водоносном пласте // Вопросыатомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2005. Вып. 4. С.86-97

56. Конюхов В.М., Чекалин А.Н. Численно-аналитический метод решения задач переноса рассола в водоносном пласте // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2006. Вып. 1. С.61-76

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 832 с.

58. Кочина П.Я., Кочина Н.Н. Гидромеханика подземных вод и вопросы орошения. — М.: Физматлит, 1994. — 240 с.

59. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретичекая гидромеханика, часть 1. — М.: Физматгиз, 1963. — 584 с.

60. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретичекая гидромеханика, часть 2. М.: Физматгиз, 1963. - 728 с.

61. Кравцов В.В. Шарай С.Я. Волкова О.Г. Якубцов А.В. Применение метода конечных элементов в нестационароной задаче теплопроводности. Режим доступа http://www.uran.donetsk.ua/ masters /2004/ fizmet / yakubtsov/images / dok. htm

62. Крылов А.П., Глоговский M.M., Мирчинк М.Ф., Николаевский Н.М., Чарный И.А. Научные основы разработки нефтяных месторождений.

63. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

64. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973. — 416 с.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика, т.6.- М.: Наука, 1986. 736 с.

66. Лейбензон Л.С. Движения природных жидкостей в пористой среде. — М., Л.: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. — 214 с.

67. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М., Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950. — 676 с.

68. Ломизе Г.М. Фильтрация в трещиноватых породах. — М., Л.: Государственное энергетическое издательство, 1951. — 127 с.

69. Лотов К.В. Физика сплошных сред. —М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 144 с.

70. Лункер Л., Шестаков В.М. Моделирование миграции подземных вод. — М.: Недра, 1986. 208 с.

71. Лыгина Т.З., Храмченков М.Г., Храмченкова Р.Х. Моделирование подвижности ионов в почвах и глинистых грунтах // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2005. Вып. 3. С.80-85

72. Марсден Дж.Е., Чорин А. Математические основы механики жидкости.- М., Ижевск: НИЦ "РХД", 2004. 204 с.

73. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977.- 456 с.

74. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 628 с.

75. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 660 с.

76. Мироненко В.А., Петров Н.С. Загрязнение подземными углеводородами// Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология. 1995. Вып. 1, с. 3- 27.

77. Мироненко В.А., Румынии В.Г. Проблемы гидрогеоэкологии. Монография в 3-х томах. Т.1. Теоретическое изучение и моделирование геомиграционных исследований. — М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 1998. — 611 с.

78. Мироненко В.А., Румынии В.Г. Проблемы гидрогеоэкологии. Монография в 3-х томах. Т.2. Опытно-миграционные исследования. — М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 2002. — 394 с.

79. Мироненко В.А. Динамика подземных вод. — М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 2001. — 519 с.

80. Мироненко В.А., Шестаков В.М. Основы гидрогеомеханики. — М.: Недра, 1974. 296 с.

81. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. — М.: Недра, 1996. 447 с.

82. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. — М.: Недра, 1970. — 339 с.

83. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981. 304 с.

84. Овсянников JI.B. Введение в механику сплошных сред. Часть 1. Общее введение. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976. — 75 с.

85. Овсянников JI.B. Введение в механику сплошных сред. Часть 2. Классические можели механики сплошных сред. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977. 69 с.

86. Овчинников A.M. Общая гидрогеология. — М.: Государственное научно-техническое издательство литературы по геологии и охране недр, 1955.- 384 с.

87. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

88. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решеиия нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.- 256 с.

89. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики и механики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002. 432 с.

90. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика. — М.: Издательство МГТУ имени Баумана Н.Э., 2002. — 384 с.

91. Прандтль JI. Гидроаэродинамеханика. — Ижевск: НИЦ "РХД", 2000. — 576 с.

92. Прандтль JL, Титьенс О. Гидро- и аэромеханика, т.1. — М., J1.: Гос. изд. технико-теоретической литературы , 1933. — 224 с.

93. Прандтль JL, Титьенс О. Гидро- и аэромеханика, т.2. — М., JL: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 312 с.

94. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. — М.: Недра, 1972. — 360 с.

95. Рауз X. Механика жидкости. — М.: Изд. литературы по строительству, 1967. 392 с.

96. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1983. — 272 с.

97. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.- 392 с.

98. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости.

99. М.: Изд. иностранной литературы, 1963. — 256 с.

100. Синдаловский JI.H. Справочник аналитических решений для интерпретации опытно-фильтрационных опробований. — С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. университета, 2006. — 769 с.

101. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1955. 520 с.

102. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. 351 с.

103. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. 742 с.

104. Фабер Т.Е. Гидроаэродинамика. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с.

105. Фахрутдинова А.Н., Храмченков М.Г., Храмченкова Р.Х., Чекалин А.Н. Гидрофизические свойства и атмосферная функция почв // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2006. Вып. 2. С.58-64.

106. Федорин Р.П., Храмченков М.Г. Моделирование массопереноса в пористых средах с нелинейными сорбционными свойствами // Вопросыатомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2006. Выи. 2. С.65-69.

107. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 288 с.

108. Хасанов М.М., Мирзаджанзаде А.Х., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 368 с.

109. Храмченков М.Г. Элементы физико-химической механики природных пористых сред. — Казань: Издательство казанского математического общества, 2003. 178 с.

110. Храмченков М.Г., Храмченкова Р.Х., Чекалин А.Н. Математическая модель усадки набухающего почвенного слоя // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2004. Вып. 3. С.72-75

111. Христианович С.А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика. М.: Наука, МФТИ, 1998. — 336 с.

112. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. — М.: Государственное научно-техническое издательство нефтяной и горно-топливной литературы, 1963. 396 с.

113. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. — М., JI.: ОГИЗ Государственное издательтво технико-теоретической литературы, 1948. — 196 с.

114. Численные методы в газовой динамике/ Под ред. Рослякова Г.С., Чудова JI.A. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — 240 с.

115. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. — М.: Издательство московского университета, 1979. — 368 с.

116. Шестаков В.М. Гидрогеодинамика. — М.: Издательство московского университета, 1995. — 368 с.

117. Шестаков В.М. Гидрогеомеханика. — М.: Издательство московского университета, 1998. — 72 с.

118. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. — Ижевск: НИЦ "РХД", 2001. 736 с.

119. Эмих В.Н. Гидродинамика фильтрационных течений с дренажем. — Новосибирск: Наука, 1993. — 213 с.

120. Barenblatt G.I, Entov V.M., Ryzhik V.M. Theory of Fluid Flows in Natural Rocks. Kluwer, 1990, 400 p

121. Breus I., Mishchenko A., Neklyudov S., Breus V., Gorbachuk V. Eurasian Soil Science, 36 (2003). 291

122. Bogdanov 1.1., Galamay O.V., Entov V.M. On Penetration of Liquid Pollutants into Water Bearing Stratum. Izv. RAN, Mekhanika Zhidk. I Gaza, 1998, N 3. (Fluid Dynamics, 1998, N 3)

123. Donald C. Mangold, Chi Fu Tsang. A summary of subsurface hydrological and hidrochemical models// Reviews of Geophysics, 29, 1/ February 1991

124. Mc. Donald, M.G., and Harbaugh, A.W., 1988, A modular three-dimensional finite-difference ground-water flow model: U.S. Geological

125. Survey Techniques of Water-Resources Investigations, book 6, chap. AI, 586 p

126. Felmy A., Girvin D., Jenne E. MINTEQ: A computer program for calculating aqueous geochemical equilibria EPA. Rept. 1983

127. Kharaka Y., Barnes J. SQLMNEQ: Solution mineral equilibrium computation. 1973, National Tech. Infor. Serv., Tech. Rept. PB 214-899, 82 p

128. Muskat M. The flow of homogeneous fluids througth porous media. — London, New York: McCraw-Hill book Company, inc, 1937. — 763 c.

129. Stone H. Estimation of three-phase relative permeability and residual oil data. Journal Can. Petro. Technol. 12(4), 1973. 53-61

130. Van Genuchten M.T. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil.Sci.Soc.Am. J., v.44, 1980, 892-898

131. Wolery T. EQ 3NR: Calculation of chemical equilibrium between aqueous solutions and minerals: The EQ 3/6 software package. Livermore, California UCRL 62568, 1979, 41 pp