автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование проблемыопределения флюидонасыщенности пластовпо данным нейтронно-активационного каротажа

НгИфавах рукописи УДК: [519.615.54-517.15]:Б50.832.5

МИНБАЕВ Муктар Турарович

V-

Математическое моделирование проблемы определения флюидонасьпценности пластов по данным нейтронно-активационного каротажа

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1995

Работа, выполнена, в Новосибирском государственном университете им. Ленинского комсомола.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Хисамутдинов Официальные оппоненты: член-корр. РАН, профессор C.B. Гольдин

кандидат фяз.-мат. наук B.C. Антюфеев Ведущая организация: Новосибирский государственный

педагогический университет

Защита состоится " " 1995г. в 15.00 часов на засе-

дании диссертационного совета К 002.23.04 по присуждению ученой степени кандидата физнко-матеметических наук в Институте Математики СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, Университетский пр.4, Институт Математики СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан марта 1995г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, д.ф.-м.н. З^^^Т? Демиденко Г.В,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы.

Прямые и, как следствие, обратные задачи интерпретация для кинети-хих уравнений высокой размерности являются по ряду известных причин гдноразрешимыми (как численными, так и аналитическими методами и комбинациями). В этих условиях, естественно, возможны и существу-яриближенные подходы к обратным проблемам. Активно используется усачах переноса нейтронов и гамма-квантов подход, когда уравнение пе-оса аппроксимируется более простыми уравнениями диффузионного типа ээффициенты последних ("время жизни", "длина замедления" и др.) под-сат восстановлению по данным измерений. Снободные параметры отно-•ельно простых аналитических выражений подбираются (вычисляются) :ии образом, чтобы как можно точнее аппроксимировать имеющиеся экс-иментальные зависимости. Далее эксперты, основываясь на этих резуль-:ах делают заключение об интересующих параметрах среды, причем соб-енпый практический опыт специалиста играет зачастую но последнюю [ь. В ряде случаев встречается подход, при котором показания метода счи-зтся пропорциональными концентрациям некоторых химических элемеп-при этом коэффициенты пропорциональности определяются по резуль-:ам калибровочных измерений на искусственных моделях или породах потного состава» Каждый подход может быть реализован различными спо-амнс, в зависимости от условий и постановки задачи, и имеет как сильные : и слабые стороны. Несомненно здесь то, что разнообразие способов реше-I не гарантирует конструктивного решения задач интерпретации. Более •о, в ядерной геофизике существует ряд нерешенных и очень актуальных >блем. К ним, в частности относятся проблема определения характера на-цения коллекторов для слабоминерализованных пластовых вод, пробле-количественного определения водо-нефтепасыщенности в условиях пород жяого минерального состава ж ряд других.

В работах А.И. Хисамутдинова предложен новый в ядерной геофизи-гсодход к решению задач интерпретации данных измерений, основанный применении теории уравнений переноса к данным задачам. В середи-60-х Г.И. Марчуком был поставлен ряд обратных задач для уравнения еноса, ориентироваяных, в-основном, на проблемы атмосферной опти-Требовалось определять набор параметров по данным измерений сово-[пости линейных функционалов от фазовой плотности частиц. Решение -внений идентификации предлагалось проводить методом Ньютона, Важ-и моментом явлилось использование формул теории возмущений. При

распространении этого подхода на "более многомерные" задачи возникали трудности, связанные с вычислением производных. В диссертации рассматривается поставленная: А.И. Хисамутдиновым задача интерпретации, строится математическая модель проблемы, исследуется численный метод ее решения, не требующий вычисления производных. Проведенный анализ показал некорректность задачи, поэтому ее решение проводится с применением регуляризации.

Далее, нейтронно-активационный каротаж (HAK) широко применяется в современном комплексе геофизических исследований. Для непрерывного HAK, когда прибор, содержащий источник нейтронов и детектор гамма-квантов, равномерно движется вдоль скважины, в работах Ю.П. Булаше-вича л С.А. Шультяева на основе диффузионного приближении уравнения переноса были получены ставшие уже классическими в теории непрерывного HAK результаты. Так было показано, что при активации породы тепловыми нейтронами существует оптимальная скорость движения прибора, на котором показания метода достигают максимума, и найдено ее приближенное значение. Вопрос о характере убывания показаний метода при скоростях больших оптимальной оставался открытым. В работе получена дающая ответ асимптотическая формула. Результаты численного моделирования показывают ее высокую порядка 1-2% точность.

В условиях, когда время, затрачиваемое на каротаж скважины, может составлять десятки часов и зачастую становится уже экономическим показателем, методы повышения экспрессности проводимого алалиэа всегда представляют интерес. На основе теоретического исследования предложен способ скоростной модификации нейтронно-активациокного метода.

2. Цель работы.

Основной целью работы является развитие отличного от упоминавшихся двух подхода к решению задач интерпретации данных измерений HAK и исследование вопросов оптимальности и асимптотики показаний непрерывного HAK.

3. Основные задачи работы.

Основными задачами работы являются

1. исследование вопросов корректности обратной задачи идентификации параметров нефте - водожасыщенных полимиктовых коллекторов по данным измерений нейтрокно - активационного каротажа;

л

2. построение численного метода решения задачи, включающий специальный способ регуляризации для случаен, когда проявляется плохая обусловленность системы уравнений идентификации;

3. моделирование процесса непрерывного неггроино - активациоппого каротажа в скважинной конфигурации, исследование вопросов оптимальности (в смысле максимума показаний метода) и асимптотики показаний HAK при скорости прибора большей оптимальной.

4. Научная новизна.

Построен и реализован численный метод решения задачи идентификации, включающий специальный способ регуляризации. Показана некорректность обратной задачи идентификации для кварц - полевошпатовой модели минерального скелета пласта и для полимиктовых коллекторов в целом. Применен Sn-ueтод решения краевых задач уравяения переноса для проблем ядерной геофизики. Приводятся результаты численного решения прямых задач уравнения переноса ранее не применявшимся в ядерной геофизике методом. Исследуется формула, выражающая показания нейтронного акти-ванионного метода при равномерно движущемся приборе для аксиально -однородных сред, при использовании больших зондов. Доказали существование и единственность оптимальной скорости при каротаже на "больших" зондах, найдена ее верхняя грань. Выводится а-симптотика показаний при скоростях, больших оптимальной. Предлагается способ скоростной модификации метода.

5. Практическая ценность.

Основными направлениями практического использования результатов диссертации являются

1. применение новых в ядерной геофизике вычислительных алгоритмов решения задач интерпретации данных измерений;

2. применение результатов статистического анализа химических составов полимиктовых коллекторов при интерпретации данных измерений;

3. развитие более экономичных скоростных модификаций нейтронно -активационного каротажа.

Применяемый в диссертации подход позволяет, в принципе, решать как задачу определения характера насыщения коллекторов для слабомяяерали-эованных пластовых вод, так и задачу количественного определения водо -

с

нефтенасыщенности в условиях пород сложного минерального состава. Также возможно его распространение на аналогичные задачи переноса излучений двух типов, например, нейтрон - гамма каротажа.

Далее, зная: характер убывания показаний: непрерывного НАК при скорости больших оптимальной, легко соотнести показания: метода при произвольной скорости с показаниями при оптимальной, что позволяет проводить эффективный высокоскоростной каротаж, снижая издержки геофизического исследования' скважин.

6. Апробация работы.

Отдельные результаты диссертадкн докладывалсь на V Всесоюзном Симпозиуме по вычислительно* томографа:» (г.Звенигород, 4-6 шэяеи* 1991г.), на Международном Симпозиуме "Численные методы в теории переноса" (г.Москва, 26-29 им 1992г.), на Международной конференции по вычислительной томографии (г.Новосибирск, 9-13 августа 1993г.), на международной конференции по индустриальной и прикладной математике памяти Л.В. Канторовича (25-29 июля 1994г.), на семинарах лабораторий Института Математики СО РАН и НГУ. Основные положения диссертации опубликованы в пяти научных статьях.

7. Структура и содержание диссертации.

Диссертадия состоит из введения, трех частей и заключения, содержит 58 страниц, И рисунков к 8 таблиц. Библиографии включает 40 наименований.

В первой части диссертации рассматривается обратная задача идентификации параметров сред но дояным измерений комплекса, измерений НАК в кварц-полевошпатовой модели полимиктовых коллекторов. Проводится параметризация пда/гга, в качестве неизвестных параметров вводятся объемные доли воды, нефти, кварца и т.д., обозначаемые как а,-, которые затем определяются как решение сформулированных уравнений идентификации.

Объектами, подлежащими: измерению, являются некоторые заданные линейные функционалы от плотности дифференциальных потоков гамма-квантов Ф(.) вида

(X)

где фугкцгя е(х) характеризует "регистрирующие" свойства, детектора. Обозначим Ф+(х) - функция "ценности" гамма-кванта по отношению к

функционалу /, т.е. решение сопряженного уравнения: переноса, гамма-квантов с <г(.) в качестве свободного члена.. В силу известной теоремы взаимности и линейности уравнений переноса, имеем

или, если измерений несколько, для i-го функционала

j

здесь Х\ — ча.сть фазового пространства, соответствующая пласту; п} — концентрация /-го изотопа; функция ç](x) описывает распределение гамма-квантов, рождающихся на j-ом изотопе; а величина 1° описывает вклад в I от гамма-квантов, рожденных вне пласта (излучение скважины).

Набор измерений в совокупности с уравнениями линейной связи fi = La между а,- и nj образует нелинейную систему уравнений. Если число измерений достаточно, чтобы система была полна относительно указанных переменных — то говорим, что эти уравнения образуют систему уравнений идентификации.

Также приводятся результаты статистического анализа данных химических составов представительной выборки коллекторов на основании которых обосновывается выбор подобной модели. На их основе конструируется линейная функция отражающая важнейшее свойство пласта, заключат ющаяся в "почти постоянстве" доли атомов кислорода, в породообразующих минералах. А именно, обозначив ( = nit,c/n,c — отношение числа атомов кислорода в скелете породы к числу атомов скелета породы, мы получили но результатам статистической обработки Ç и 0.6246 (с дисперсией а ю 0.0024), что практически совпадает с целочисленным отношением 5:8.

Условие С = 5/8 налагает линейную связь ф(а) : Y2 = 0 на компонеткг

i

а. Близость 'ф(З) к нулю отражает дополнительную информацию о свойствах среды и использовалась далее при построении регуляризирующего алгоритма как критерий "отбора" на множестве получаемых приближенных решений.

Для наиболее важной с практической точки зрения величины — доли норового объема, занимаемого водой — получена оценка неопределенности в получаемом значении водонасыщепности флюида

|Даг| <

Кр

где & = /(¿I -7°), ОД - относительная: погрешность измерения величины Г{. Из нее следует, что однопроцентной погрешности (неопределенности) измерений соответствует неопределенность нефте- водосодержанкя в 10 ч- 20 процентов норового объема.

Далее, в работе показана некорректность обратной задачи идентификации для кварц - полевошпатовой модели минерального скелета пласта и для полимиктовых коллекторов в целом. Строится итерационный метод решения обратной задачи, включающий специальный способ регуляризации для случаев, когда проявляется плохая обусловленность системы уравнений п — Ьа.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений Аг = у; ъ 6 где 2 - ограниченное и замкнутое подмножество Ят. Пусть вместо точной правой части данной системы у имеется "возмущенное" значение у = у + Ду и соответствующее ему г — А-1у. При этом известно, что II Ду; ||< Ам где А{ — некоторые заданные оценки погрешностей определения правой части. Регуляризирующий процесс состоит в нахождении такого решения Дг системы

-Д; < (ЛДг); < Д; (¿ = 1,2,...,т)

что г, ='2 + Аг минимизирует некоторую неотрицательную выпуклую па 2 функцию <р(г). Значение г, мы и будем считать приближенным решением данной системы уравнений. Заметим, что алгоритм реализует вариационный принцип отбора, в соответствии с которым, из множества решений, "неразличимых с точностью до погрешностей измерений Д;", выделяется решение, оптимальное по отношению к <р(и).

Во второй части диссертации рассматриваются вычислительные аспекты решения обратной задачи и связанные с этим вопросы моделирова.ния процесса и метода решения прямых задач УП нейтронов и гамма-квантов.

На каждом шаге итерационного процесса, необходимо вычислять величины Ку и , т.е. решать соответствующие прямые задачи для рассматриваемой системы уравнений переноса. Это - специфика и особенность изучаемой обратной проблемы. Основная трудность в решении этих задач состоит в конструировании численного метода, требующего "малого" объема вычислительной работы для достижения заданной точности.

Вычисление К^ и может быть проведено различными методами, в том числе, в наиболее общих случаях — методами Монте-Карло. Характерным для последних является резкий рост объема работы с увеличением геометрических размеров исследуемого процесса. Задачи, в которых

.рактерные размеры превышают примерно 0.6м, относят в настоящее вре-с к категории "трудных" для методов Монте-Карло; особенно трудными ляются нейтронные задачи. В рассматриваемом комплексе НАК возмож-I длины зондов до полутора-двух метров. При наличии цилиндрической :мметрии для этого типа прямых задач в настоящее время более эффектными оказываются конечно-разностные методы.

В диссертации применяется метод для решения краевых задач урав-яия переноса нейтронов и гамма-квантов в проблемах ядерной: геофизики, риводятся результаты решения некоторых краевых задач переноса нейтро->в. Численные решения обнаруживают ряд хотя и известных, но, вообще |Воря, довольно тонких геофизических эффектов.

Представлены квадратурные формулы вычисления произвольного плотного элемента^.), при этом заметим, что вычисление величин ана->гичио вычислению Приводятся результаты численных эксперимен-

та решения задачи интерпретации для реалистичных условий НАК, под-зерждающих действенность предлагаемого численного метода решения.

Основные результаты третьей части диссертации могут быть сформу-хрованы в виде последовательности утверждений.

Обозначим — показания неподвижного прибора в единицу времени ри "поточечном" каротаже для зонда длины 5, /(«) — показания прибора в гиницу времени на скорости V. В силу непрерывности решения уравнения зреноса и однородности среды вдоль оси 02 следует, что Р(з) непрерыв-зя симметричная и положительная функция. Обозначим = АЬ, ь»ор< — -сорость при которой I достигает максимума. Если Р(а) кроме того есть ункция, стремящаяся к нулю при з—»со быстрее, чем при 7 > О,

а равная тождественно пулю, тогда уда-егся показать, что

1. существует такое значение ¿о» что при любом Ь > Ь0 существует единственное значение ь0рГ,

2. ьо = 8пр{иор<} при Ь—>оо;

3. для ¡1~> 1 — ехр(1 — /А-1)/(у0)| -+ 0, при Ь-+ оо;

4. предыдущие пункты выполняются также, если Р(з) - симметричная ограниченная функция с конечным носителем;

5. при £-+оо отношение величины 1(кьор^Ь)) х Т(ьор^кЬ)) стремиться к величине

Полученные результаты подтверждаются вычислительными экспери-:ентами моделирования показаний непрерывного НАК на атомах кислорода реалистичных скважинных условиях, причем расхождение теоретических

п

значений с полученными из расчетов не превосходит 1-3 процентов и со гла-суется аналитическими оценками расхождений.

На основании асимптотических выражений пп.3,5 предлагается способ скоростной модификации непрерывного НАК. При этом выводится формула, выражающая показания нейтронного активационного метода при равномерно движущемся приборе для аксиально - однородных сред.

В заключение автору хотелось бы отметить, что постановка задач, их решение и обсуждение полученных результатов проводилось под руководством проф. А.И. Хисамутдинова при участии к.т.н. Е.Б. Бланкова и к.т.н. В.М. Иванова. Автор выражает им свою искреннюю благодарность и признательность.

8. Список публикаций.

1. Хисамутдинов А.И., Минбаев М.Т. О сходимости итерационного процесса в задаче восстановления типа флюида при нейтронно-актива-ционном каротаже. //Методы решения обратных задач, под ред.акад. М.М.Лаврентьева, Новосибирск, ИМ СОАН СССР, 1990г., 276с.

2. Хисамутдинов А.И., Минбаев М.Т. Регуляризация задачи восстановления типа флюида в кварц-полевошпатовых коллекторах при нейтронно-активгь-ционном каротаже, //в сб. тез. V Всесоюзного Симпозиума по вычислительной томографии, г.Звенигород, 4-6 ноября 1991г, с.106-107.

3. Khisamutdinov A.I., Minbaev М.Т. Water-oil coefficient determination in quartz-spar collectors by neutron activating log.// Numerical Transport Theory, Intend. Syrup., abstracts, May 26-29, 1992, Moscow, p.105-108.

4. Khisamutdinov A.I., Minbaev M.T. Porosity and fluid content reconstruction by neutron activating log.// Ш Posdness Problems and Applications. Utrecht, Netherlands, VSP/TVP, 1993, p.205-207.

5. Khisamutdinov A.I., Minbaev M.T. Mathematical model for media parameters identification by the neutron-gamma-ray transfer processing. Intern. Symp. on Computat. Tomography, Novosibirsk, Aug. 9-14, 1993, p.74.

6. A.I.Khisamutdinov, Minbaev M.T. Mathematical Model and Numerical Method of the Identification of Parameters of Oil-Water Saturated Collectors on the Data of a Neutron Activating Log.//Inverse Problems in Engineering Sciences, 1994, Osaka, Japan, pp.C18-C20.