автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование пластического деформирования материала с учетом анизотропии и разносопротивляемости

На правах рукописи

Красновский Евгений Ефимович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА С УЧЁТОМ АНИЗОТРОПИИ И РАЗНОСОПРОТИВЛЯЕМОСТИ

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Зарубин Владимир Степанович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Данилов Владимир Львович.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Головин Николай Николаевич.

Ведущая организация: ФГУП «Центральный институт

авиационного моторостроения им. П.И. Баранова», Государственный научный центр Российской Федерации

Защита состоится « Т » UtWH Л 2005 года в 4Г часов на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им Н.Э Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, учёному секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

'Члг Х№<о\1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многие современные конструкционные материалы имеют анизотропные пластические свойства. Отдельным из них свойственны и различные пределы текучести при растяжении и сжатии. К подобным материалам относятся мет аллокомпозиты и некоторые из таких традиционных конструкционных материалов, как металлы и сплавы.

Поскольку конструкции из указанных материалов рабо1ают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий, то в расчётах необходимо учитывать неравномерный нагрев и зависимость механических характеристик материала от его температуры. Следовательно, разработка эффективных численных алгоритмов меюда конечных элементов (МКЭ) для математического моделирования пластического течения материалов с учётом указанных эффектов является актуальной проблемой Её решение, в частности, позволит оценить несущую способность элементов конструкций и подобрать рациональную схему армирования композиционных материалов.

В настоящее время помимо теории течения в расчётах используется и деформационная теория пластичности. В работе рассмотрен вопрос оценки погрешности приближённого решения задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред, который также является актуальным. Одним из методов получения апостериорных оценок погрешности является решение такой задачи в двойственной вариационной постановке, суть которой заключается в построении двух функционалов (прямого в перемещениях и встречного в напряжениях), которые достигают альтернативных, но равных по значению экстремумов на точном решении задачи. В работе построена двойственная вариационная формулировка для задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Разработка методики нахождения значения встречного функционала представляет практический интерес. Указанный подход требует решения нетривиальной задачи по построению допустимого поля напряжений, удовлетворяющего как уравнениям равновесия, так и силовым граничным условиям.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов МКЭ для математического моделирования пластического деформирования ортотропного материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию, и определении оценки погрешности полученного приближённого решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• построение алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» и касательной матрицы, обеспечивающей квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ, в случае неравномерного нагрева материала с критерием текучести Хоффмана;

• исследование особенностей работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор», используемого для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения, в случае упругой анизотропии гптгп-тшлч г гртттгриш ТТь~утт<'|''х''г Хоффма-

на:

•»ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

¿чреда \

Те

• построение двойственной вариационной формулировки задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред;

• разработка методики нахождения значения функционала в напряжениях, входящего в двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Научная новизна. Методами математического моделирования изучено влияние упругой анизотропии на численные алгоритмы МКЭ по расчёту пластического течения материала с критерием текучести Хоффмана. Разработан алгоритм поиска начального приближения с целью получения физически достоверных результатов при решении нелинейного уравнения методом Ньютона на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор». Проанализировано влияние упругой анизотропии материала на точность этого алгоритма.

Разработан алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и получена касательная матрица в случае неравномерного нагрева.

Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических подходов механики сплошных сред, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных результатов с известными решениями для предельных случаев.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках ПИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчётов, анализа работоспособности и применения конструкций, материал которых проявляет свойства анизотропии и разносопротивлясмости при пластическом деформировании.

На защиту выносятся следующие положения:

• алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона решения нелинейного уравнения, решаемого на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• анализ влияния упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана на точность алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случая неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана;

• двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред;

• методика нахождения значения встречного функционала, составляющего двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Апробация. Основные положения й результаты диссертационной работы были представлены и, обсуждень} на Всероссийской конференции молодых

учёных «Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века» в 2000 г.; XI Международной конференции по вычислительной математике и современным прикладным программным системам в 2001 г.; втором Международном конгрессе студентов, молодых учёных и специалистов «Молодёжь и наука - третье тысячелетие»/У8ТМ'02 в 2002 г.; Международном симпозиуме по двойственным вариационным принципам в нелинейной механике в 2002 г.; Первой международной научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея в 2004 г.; Научно-методической конференции, посвященной 40-летию ПУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 ь; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000-2005 г.г.

Публикации. Основное содержание работы изложено в 3 статьях и 3 тезисах выступлений на конференциях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов. Работа изложена на 190 страницах, содержит 58 иллюстраций и 53 таблицы. Библиография включает 167 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, указаны основные положения, выносимые на защиту, структура и объём диссертационной работы.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации. Описаны предельные поверхности для материалов, обладающих свойствами анизотропии и разносопротивляемости Представлена двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности изотропных сред. Приведён обзор методов приближённого решения краевых задач теории пластичности. Проанализированы методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала. Показана необходимость учёта пластического деформирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов.

Во второй главе описана модель Хоффмана ортотропных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию. Поверхность текучести проверена на соответствие постулату Друккера. Приведены основные матричные соотношения МКЭ. Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред и предложена методика нахождения значения встречного функционала.

Модель материала с критерием текучести Хоффмана

При математическом моделировании пластического течения ортотропных материалов с различными пределами текучести при растяжении и сжатии целесообразно использовать критерий Хоффмана, являющийся модификацией критерия Хилла путем включения в функцию текучести слагаемых, линейных относительно напряжений.

В работе рассмотрены случаи плоского деформированного и осесиммет-ричного состояний при малых деформациях. Нагружение принято квазистатическим и предполагалось, что трещинообразования или расслоения не происходит. Учтены как неравномерный нагрев (температура рассматривается как параметр), так и зависимость механических характеристик материала от его температуры. Упрочнение материала предполагается изотропным, то есть пределы текучести в различных направлениях увеличивакнея в равной степени. Разиосопротивляемость материала учитывается параметрами и формой поверхности текучести, представляющей собой эллиптический параболоид.

С учётом указанных предположений математическая модель Хоффмана пластического течения принимает вид (в декартовой прямоугольной системе координат 0х,х2х3; координата х, соответствует X, х2 - У, а х3 - г):

е = е'+ер+ет, (1)

ет = АГА(Г), (2)

«г-С (Г) (3)

1С4(Г)<7?2 н с,(Т)*п 1 с6(Т)<тп 4 С,(г)сг33 - с^(ё",т),

(5)

дР(<т,е",Т) (6)

¿,?=Я—У ---->-, 1, ; = 1,2,3

Эсг,

ЛР[<т,ёр,Т) = О, (7)

где е - тензор полной деформации; е' - тензор упругой деформации; ер -тензор пластической деформации; ет - тензор температурной деформации; Г - температура материала; й - тензор коэффициентов линейного расширения материала; дГ = Г - г0 - заданное изменение температуры; <т - тензор напряжений Коши; С - тензор упругих постоянных; ср - накопленная пластическая деформация; I - параметр нагружения; ,ер,т) - функция текучести; и у - базовый предел текучести; е" - тензор скоростей пластической деформации; с,, с7 — независимые параметры текучести материала; Л — пластический множитель.

Выражение (1) является разложением тензора деформации на упругую и пластическую составляющие, равенство (2) задаст температурную деформацию, а (3) - закон Гука Соотношение (4) определяет функцию текучести; выражение (5) задаёт параметр упрочнения - накопленную нласшческую деформацию, а соошошение (6) - ассоциированный закон пластического течения. Равенство (7) выражает условие разгрузки / нагрузки: при Р'{гт,ер,т) < 0 и Л - 0 происходит упругая разгрузка; при /г(ст,ё'',7,) = 0 и Л -0 - нейтральное

нагружение; а при F(cr,ep,T) = 0 и i > О - активное нагружение.

При заданной температуре Т параметры с,,...с, учитывают разносопро-тивляемость материала и определяются следующим образом:

с, (Г) =-Ä^-TT. С2(Г) =-гМ^-г-ч. с3 (Г) = С1(Г) + С2 (г)— fY;(rL

* \ / = 2 /-.Л. 5 \ ) ~ \ \ ) _ /-ч /?Л '

22Т0 22Си (' ) ЗЗТ0 (7) <^330, (7 )

где индексы «Т», «С» и «S» обозначают пределы текучести при растяжении, сжатии и сдвиге соответственно, а индекс «О» - обозначает пределы текучести в недеформированном состоянии. Модель анизотропного материала Хил-ла может быть получена из модели Хоффмана при с3 = с6 = с7 = 0, а модель изотропного материала Мизеса при с, = с2 = с3 = 1, с4 = 3 и с5 = с6 = с7 = 0.

Поверхность (4) соответствует постулату Друккера при выполнении условия 4с, (Г) с2 (Т) - с, (Г)2 ä 0.

Матричные соотношения метода конечных элемен гов Для проведения численных расчетов в рамках теории течения в работе использован МТСЭ в сочетании с методом последовательных нагружений. Для решения системы уравнений МКЭ применён метод Ньютона.

Рассмотрена следующая задача механики деформируемого твёрдого тела в объёме С! с границей S-dCl. Пусть в каждой точке МеО известны ep(M,t0) в начальный момент /0 и история нахружения тела в промежутке ге[r0,F]. Необходимо найти функции <j{M,i), e"(M,t), u(M,t) и e(M,t), которые помимо соотношений (1)47) удовлетворяют следующим уравнениям в каждой точке Meß:

da(M.t) , , (8)

>+b,{M,t) = 0, i,j = 1,2,3,

(9)

' 2 \ дх, дх,

и граничным условиям

аи(Р,1)^(Р) = м11(Р,1) на Рев, ев, (10)

и, (Р,г) = й,(Р,() на РеЭ, = 8\8,, (11)

где и1 — компоненты вектора перемещений; 6, - заданные компоненты векш-ра объёмной нагрузки Б; и-, - заданные компоненты поверхностной нагрузки #; и, - заданные компоненты вектора перемещений; и, - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности тела 5 = 5й.

Процесс конечно-элементной дискретизации при решении задачи (1)-(11) состоит из двух этапов:

1) дискретизация по параметру нагружения г;

2) стандартная конечно-элементная дискретизация выражения для принципа виртуальной работы.

После применения таких дискретизаций задача (1)-(11) трансформируется в набор систем нелинейных уравнений, каждая из которых соответствует концу некоторого промежутка [?„,?,„,]. Предположим, что в момент ¡п известны внутренние параметры состояния а„, а в момент /„,> - тензор деформации ег1п1. Тогда напряжения в момент гл|1 могут быть записаны в виде

=й(а„,Е„,), (12)

где й„„ =((ТИ <у21 а12 о-зз)^, £22 ■ Внутренние параметры

состояния определяются из соотношения ап,, = а(ал,Ея+1) совместно с (12).

Таким способом соотношение для принципа виртуальной работы превращается в уравнение относительно вектора узловых перемещений йг яЧ

о; (и)

где Гм (йГл.,)= |(в8) б(а„,и, „^¿У - вектор внутренних сил; а

Г™ - Ь^ёУ + |(г*'8)Т \у„,с18 - вектор внешних сил;

а 5,

1Чг - матрица глобальных (определённых во всей области) функций формы; В8 - матрица дифференциального оператора перехода от перемещений, определённых с помощью глобальных функций формы, к деформациям. Алгоритм решения (13) методом Ньютона описан в 3 главе работы.

Двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред При практическом использовании деформационной теории пластичности возникает необходимость решения нелинейных задач, точные решения которых получить, как правило, невозможно. При этом возникают проблемы как по созданию методов их численного решения, так и по оценке погрешности полученных приближенных результатов. Существенный вклад в решение указанных проблем внесло развитие вариационных методов, суть которых заключается в том, что вместо исходной краевой задачи решается задача о нахождении стационарной точки некоторого функционала. Преимуществом вариационного подхода является не только возможность поиска решения с помощью прямых методов (например, МКЭ), но и возможность оценки его погрешности. Для получения такой оценки необходимо построить два функционала - прямой и встречный, достигающих на точном решении задачи альтернативных, но равных по значению экстремумов.

Значение прямого функционала в перемещениях, достигающего минимума на точном решении задачи, можно трактовать как качественную оценку погрешности - из двух приближенных решений следует отдать предпочтение тому из них, на котором значение функционала меньше. Построенный в напряжениях встречный функционал используется для количественной оценки

погрешности полученного приближенного решения задачи Он двойственный к исходному прямому и достигает на точном решении задачи максимума В построении двух таких функционалов и заключается двойственная вариационная формулировка задачи механики сплошной среды. По разности их значений на приближенных решениях можно найти оценку погрешности приближённого решения в энергетической норме.

В работе использованы следующие гипотезы деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

1. Аналог объёмной деформации ё = е р и аналог объёмного напряжения а = <т(;а9 связаны соотношением

гг-з к-{ё-£т), (14)

где К' = С11иаиач/3 - аналог модуля всестороннего сжатия; Д, =С^,ак,^'ЗК'у, ая - компоненты такого симметричного тензора, что аца^ = 1; ет= ет9Рч.

2. При введении аналогов девиаторов и шаровых тензоров напряжений и деформации ^, а), е], е," с помощью равенств ¡>\ = - аI, а] = стД,, е* = е0 - еа,

е'у - ёач обобщённые интенсивности напряжений аи = 3К С'^ - а аи ^ <т аы и

деформации ёи = ^Сук1е]е'и/?,К' связаны зависимостью

(15)

¿К еи

3. Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, постулируется существование экспериментально определяемой зависимости, которая инвариантна к виду напряжённого состояния

=°и(ёц,т)- (16)

При заданной температуре переход материала из упругого состояния в пластическое происходит при аи = аИл.

При построении принципа минимума полной энергии для задачи (8)-(11), (14)—(16) использован принцип виртуальной работы и найдена такая

функция П, что 5П = |сг1;&!;с/[/. Принцип минимума полной энергии прини-£1

мает вид

/з г \ (17)

Э(и,)= | -К'{ё-ёт) + \&и(еи)с1ги Ш - \ъ,и,с1У - 5\ гЛ^ 0 у п в.

Функционал (17) может рассматриваться только на непрерывных полях перемещений, удовлетворяющих граничным условиям на перемещения на участках Я,. Первый член в подынтегральном выражении объёмного интеграла в (17) связан с работой деформации при изменении объёма элементарного прямоугольного параллелепипеда, а второй - с изменением его формы.

Для определения характера стационарной точки функционала (17) най-дёна разность его значений, соответствующих допустимым ы, (М) = и' (М) + 6и1 (М) и действительным и'{М) перемещениям. Она равна

ДЭ = Л - К' (Зё) + -(<®я) \<1У Так как для устойчиво деформируемых ма-

аV 2 и )

териалов при монотонной зависимости аи от си справедливо неравенство

^>0, то ДЭ>0 и (17) на действительном распределении перемещений

деи

достигает минимума.

При построении принципа минимума дополнительной работы для задачи (8)—(11), (15)—(17) использован принцип дополнительной виртуальной работы, получена такая функция Я, что 8 Л = ^е^За^У. Принцип минимума доп

полнительной работы принимает вид:

/(а)7 1 08)

°Ы = ) + М-К",«,«®.

0 ) 5,

Определим характер стационарной точки функционала (18), оценивая разность его значений, соответствующих статически возможным (М) = (М) + (М) и действительным <т' (М) напряжениям. Поскольку

1 air пп'.Л ">

v 6К 0а'и

dV > 0, то (18) на действительном распределении

напряжений достигает минимума, а функционал

fía)2 '» ] О9)

£Н

на таком распределении достигает максимума.

Функционал (19) может рассматриваться только на полях напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым граничным условиям на участках S,.

Поскольку справедлива цепочка неравенств э(и,) > "Э(У) = > Q(&,j)> то построенные функционалы (17) и (19) образуют двойственную вариационную формулировку задачи (8)-(11)> (14)416) деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Методика нахождения значения встречно!о функционала для задачи деформационной теории пластичности

Методика излагается на примере цилиндрической трубы. Необходимо отметить, что рассмотрение задачи в полярных координатах не снижает ценности методики, так как предложенный подход может быть легко распространён на задачи, поставленные в декартовой прямоугольной системе координат.

Построены распределения напряжений, обеспечивающие выполнение уравнений равновесия внутри прямоугольного конечного элемента (КЭ):

<Т,

ОйЬИ О^ía<.f

= £ а

О <<г5/

где со4, с!р ,е1 - коэффициенты полиномов.

Распределения (20) обеспечивают выполнение уравнений равновесия внутри КЭ. Кроме того, необходимо обеспечить и непрерывность нормальных и касательных напряжений при переходе через границу элемента, а также выполнение силовых граничных условий. Условия непрерывности нормальных и касательных напряжений и граничные условия записываются в точках стороны КЭ, а не в его углах, что существенно облегчает учет силовых граничных условий. Число таких точек на одну больше порядка аппроксимирующего полинома.

Необходимо подчеркнуть, что нашей целью является не получение решения в напряжениях, а лишь нахождение его некоторой интегральной характеристики - значения встречного функционала. Из вышеприведённого способа построения поля напряжений следует, что можно построить и такое допустимое поле напряжений, которое в заданных точках совпадает с полем напряжений, полученным из решения задачи в перемещениях. Для этого необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов полиномов. Она состоит из трех типов уравнений:

1) условия непрерывности нормальных и касательных напряжений при переходе через границу элемента;

2) граничные условия на напряжения;

3) соотношения, в заданных точках обеспечивающие совпадение значений допустимого поля напряжений и поля напряжений, полученного из решения задачи в перемещениях.

Так как при подсчёте значения встречного функционала методом численного интегрирования используются напряжения лишь в конечном числе точек, то строить всё поле напряжений нет необходимости. Предположим, что допустимое поле напряжений уже построено и при этом напряжения в точках интегрирования равны значениям напряжений, полученным из решения в перемещениях. Тогда для нахождения значения встречного функционала можно провести численное интегрирование решения задачи в перемещениях на той же самой сетке КЭ. Таким образом, решать описанную СЛАУ нет необходимости.

Необходимо также отметить, что соотношения (20) определяют только радиальные, окружные и касательные напряжения. Соответственно, осевые напряжения из них найти нельзя. Особенностью нелинейной задачи является то, чго в отличие от линейного случая осевые напряжения нельзя получить из радиальных и окружных. Таким образом, встаёт проблема построения поля осевого напряжения. Предлагаемая методика позволяет избежать её решения.

В третьей главе описан алгоритм численной реализации основных матричных соотношений МКЭ. Приведены алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случаев равномерного и неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана.

Ниже приведён алгоритм решения уравнения (13) методом Ньютона. Для получения решения й',*^, = ûf*^', + Лй[*' на к -ой итерации, соответствующей промежутку ['„/„J, необходимо найти поправку Ди(/' из системы линейных алгебраических уравнений ktaùJ4) = -if1"1 (ufj, j- f"), где Кт - глобальная матрица жёс1косш. Она получена ансамблированием матриц жёсткости К(т" = J (в* )Т DB'dV каждого КЭ, где В' - дифференциальный оператор пере-

п<->

хода от перемещений, определённых с помощью функций формы КЭ, к деформациям, a D - касательная матрица.

Итак, алгоритм метода Ньютона решения уравнения (13) имеет вид.

1. к 0. Задать начальное приближение ur „, невязку

г = Г"(й,.)- с;, допустимую погрешность toi.

2. к = к +1 _ Найти касательную матрицу D в каждой точке интегрирования Гаусса и вычислить матрицу жёсткости каждого КЭ.

3. Ансамблировать глобальную матрицу жёсткости и решить систему

ктдй«-(г'(йГ„:,1)-с;).

4. Добавить поправку Дй<*> : - й'Д,!1, + Ли'/1.

5. Скорректировать деформации ё^ = B'uf^,.

6. Скорректировать напряжения и внутренние параметры состояния

7. Вычислив вектор внутренних сил каждого КЭ, найти глобальный вектор внутренних сил flnl ) и невязку ? = f'm )- .

8. Проверить сходимость. Если ||г[|/||С[|| <,tol, то - к п 9, иначе - к п. 2.

9. Скорректировать решение ( )„+I = OL!.

Далее рассмотрим пункты 2 (расчёт касательной матрицы) и 6 (процедура коррекции параметров напряженного состояния) алгоритма более подробно, так как только в них проявляется специфика модели материала. Остальные пункты алгоритма являются стандартными.

Входными данными для процедуры коррекции параметров напряженного состояния являются деформации, найденные в п. 5 алгоритма решения (13), и внутренние параметры состояния материала в точке интегрирования Гаусса. Результат - скорректированные напряжения и внутренние параметры состояния в конце шага нагружения - используются в п. 7 алгоритма.

Для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса применен метод разделения операторов и основанный на нём

алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор», который также позволяет оценить погрешность на шаге нагружения. Сутью алгоритма является то, что исходная упруго-пластическая задача делится на две - «упругий предиктор» и «пластический корректор».

На стадии «упругий предиктор» предполагается, что величина приращения тензора деформации соответствующая итерации с номером к на промежутке является упругой. Тогда упругая деформация равна clT' = с'„(t) + At'il и соответствующее скорректированное состояние можно получить непосредственно (оно обозначено с применением надстрочных индексов «(£)» и «trial», а также подстрочного индекса «я +1»):

„«-<4 = ,'M + AeWf (21)

(22)

(23)

(24)

р Ш (*)

-р ты (*) _ — р tn+1 _ ьп

,rtal (t)

Если справедливо ^{о'""' '^^/Д') ^ 0, то скорректированное состояние описывается соотношениями (21)—(24). Если же ^(о-™' > 0, то необхо-

димо применить стадию «пластический корректор», на которой происходит возврат на поверхность нагружения (ту же самую, если упрочнение отсутствует, или скорректированную при его наличии). Если применяется ассоциированный закон пластического течения, то возврат на поверхность нагружения происходит по нормали к ней. В связи с тем, что метод разделения оператора требует, чтобы каждая подзадача решалась бы с помощью алгоритма не менее чем первого порядка точности, то для дискретизации уравнений модели материала выбран неявный метод Эйлера первого порядка. В результате получена нелинейная система с неизвестными с,''/'1, <г{*\, Д^'' и д:

. (*) _ . ты (t) '■lt+1 —

Ле;

,р М

dF(<T,s",T)

W

да,.

(25)

■Л!».

= о,

Система (25) преобразована в нелинейное уравнение относительно Д путём перехода к матричным обозначениям, выражения <т<*] и через

Д/.'*] и их подстановки в функцию текучести

-с1, (V + J2/3 • aX^(s{T)^\ + q(r))T z(S(r)S« + q(r)).Tj = 0, где 5« (ДА«, Г) = (i + (Г) S (Г)) ' (ст™'(t) (Г) - (Г) q (Г)).

P =

' 2с, ~сз 0

2с2 0

0 0 с4

ч-2с, + с3 -2с2 + с3 0

f 2С' ~сз 0

-с. 2с2 0

0 0 2С4

-2c,

-2c, + c3

-trial (t) .

'll

W

22

inal (*) 12

fx 0 0 сг

0 1 0 0

; z =

0 0 2 0

.0 0 0 к

-2c, + c, -2c2 + c3

0

2c, + 2c,

-2c,

I - единичная матрица четвёртого порядка; D - матрица упругих констант, такая, что ct~De .

Для решения (26) применён метод Ньютона. Особенностью работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» является то, что радиус сходимости метода Ньютона решения (26) зависит от отношения модулей Юнга материала по различным направлениям ортотропии. При больших значениях указанного отношения может возникнуть такая ситуация, когда начальное приближение - 0 находится за пределами радиуса сходимости, что может привести к не имеющим физического смысла решениям вида ДА,'*} < 0. С целью получения физически достоверного состояния разработан алгоритм поиска начального приближения.

На первом этапе алгоритма поиска начального приближения происходит локализация корня уравнения (26) - определяется значение АХ, при котором Ч>(аХ)< О. Выберем шаговое значение step, а затем найдём значение функции (26) в точках АЛ" = step, АХ =2*step, АХ = 3*step и так далее до тех пор, пока не будет найдено такое значение аХ , для которого т(дя')<0. Так как АХ

деформации ~ -

имеет порядок ———-—, то шаговое значение было выбрано равным

напряжения

(\„lnal\ , 1 i I „'rial , I _lrlal |\ 1{\ —Irlal I . trial] . \ atrial \ \—tnal1\

step = [|/?„ | + |f2J | + |£33 | + |e12 |JД|<тп | + |(TJ2 | + |<т33 | + |<г12 .

На втором этапе алгоритма улучшенное начальное приближение находится методом деления найденного отрезка [о, ДЯ *] пополам.

Второй особенностью работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» является влияние упругой анизотропии материала на его точность. Из анализа карт изо-ошибок найдено, что чем больше отношение модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии, тем больше погрешность алгоритма коррекции параметров напряженного состояния и тем меньше должны быть шаги нагружения при расчёте напряжённо-

деформированного состояния (НДС) конструкции В таком случае рекомендуется проверять сходимость при уменьшении тагов нагружения

Полученные карты изо-ошибок для анизотропных разносопротивляю-щихся материалов совпали с результатами других авторов, что подтверждает правильность алгоритма коррекции параметров напряженного состояния.

Касательная матрица 6 строится в п 2 алгоритма решения (13). Она необходима для получения матрицы жёсткости КЭ и последующего ансамбли-рования системы линейных уравнений МКЭ Если матрица 6 согласована с алгоритмом коррекции параметров напряженного состояния, то метод Ньютона решения уравнения (13) будет иметь квадратичную скорость сходимости Поэтому для получения такой матрицы должна быть использована система (25). Матрица б является матричной формой тензора с компонентами

де

РЯ

-(4-0 '

9 = 1,2,3.

(27)

Выражение (27) содержит частные производные, вообще говоря, неявной функции (12), определяемой алгоритмом коррекции параметров напряженного состояния в процессе нагружения. Так как в пределах промежутка [(„,?„,] изменяется только , то <т„+1 является функцией только . Таким образом, ири фиксированном значении ап функция (12) является аналогом закона нелинейной упругости. Так как входными данными в процедуру коррекции параметров напряженного состояния является деформация «упругий предиктор» е'.'"'"(1), то на (4-1) -ой итерации, соответствующей промежутку *„,,],

функцию (12) можно переписать в виде а'*',1' = а{а„,е'п'["" ''"''(е,1^'1))- Посколь-

ку Дг = = (ь,), то (27) принимает вид =

с1а„

Ле' ""* и

1)'

Касательная матрица принимает вид (индекс «(¿-1)» опущен)

В(Т)

где

(ЦА, ¿2 А М, А

А^ ^ Д} 2 А^ ^

1 + ДЯ,

5 = 2.

В8)"' О]

85„„ +Я-АЛ^,2.-<х,

&

(¡сгу

(1е.

г (1Ё'

■Ч)

+ я)Т

-ч)

чД

В четвёртой главе приведены результаты применения разработанных методик и алгоритмов для математического моделирования пластического деформирования конструкций, испытывающих как механические (длинная цилиндрическая труба, нагруженная внутренним давлением), так и термоме-ханичсскис воздействия (камера сгорания жидкостного ракетного двигателя)

Материал трубы моделировался как анизотропный и разносопротив-ляющийся, а материал камеры - как изотропный и разносопротивляюхцийся Для оценки влияния эффекта разносопротивляемости проведено сравнение результатов расчётов НДС цилиндрической трубы, полученных при применении критериев текучести Хилла и Хоффмана, и НДС камеры сгорания, найденных при использовании критериев текучести Мизеса и Хоффмана.

Показано, что пластическое деформирование разносопротивляющихся конструкционных материалов не всегда может быть адекватно описано с помощью простейших математических моделей, так как при этом могут быть выявлены не все эффекты, оказывающие существенное влияние на работу конструкции. Следовательно, в случае аварии диагностика её причин будет затруднена.

Так, уровень остаточных напряжений (в том числе и наиболее опасных окружных) в трубе из материала, описываемого моделью Хоффмана, существенно ниже, чем в трубе из материала, описываемого моделью Хилла. Кроме того, труба из материала Хоффмана является более жёсткой, а опасность расслоения сс материала меньше. Таким образом, при одинаковой нагрузке труба из материала Хоффмана может иметь меньшее поперечное сечение по сравнению с трубой из материала Хилла. Следовательно, учёт эффекта разносопротивляемости материала при расчёте НДС трубы может привести к экономии материала и снижению веса конструкции.

При расчёте НДС камеры сгорания жидкостного ракетного двигателя различие в радиальных перемещениях, полученных при использовании моделей Мизеса и Хоффмана, составляет около 10%, причем в камере из разносо-прогивляющихся материалов они больше. Таким образом, учёт эффекта разносопротивляемости при расчёте НДС камеры позволяет точнее оценить жёсткость конструкции. После снятия нагрузки в оболочке камеры, изготовленной из материалов Мизеса, связи между медной и стальной стенками оболочки камеры останутся растянутыми, а в оболочке камеры, изготовленной из материалов Хоффмана - сжатыми. Радиальные напряжения в шве, соединяющем медную и стальную стенки оболочки, отличаются в 4,5 раза (для модели материала Мизеса они больше).

Полученные результаты хорошо согласуются с известными результатами для предельных случаев (когда модель Хоффмана совпадает с моделью Мизеса), что подтверждает правильность разработанных алгоритмов.

При расчёте НДС одной и той же трубы, нагруженной одним и тем же

внутренним давлением, решения плоской и осесимметричной -задач вдоль радиуса трубы совпали, что также свидетельствует о правильности разработанных алгоритмов. Такое совпадение наблюдалось и в случае анизотропного разносопротивляющегося материала.

Показана квадратичная скорость сходимости решения - метод Ньютона решения системы уравнений МКЭ сходился за 4—5 итераций на каждом шаге нагружения, что показывает правильность полученных касательных матриц как в изотермическом случае, так и при неравномерном нагреве.

С использованием разработанной методики подсчёта значения встречного функционала на основе полученной двойственной вариационной постановки задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред проведена оценка погрешности приближенного решения задачи теории течения, полученного для случая простого нагружения. Найденное НДС трубы, изготовленной из материала с критерием текучести Хилла, попало в достаточно узкую «вилку» вариационных оценок - разница значений прямого и встречного функционалов составила 1,385%. Этот факт свидетельствует как о достоверности найденного НДС трубы, так и о возможности применения предложенной методики подсчета значений встречного функционала для задач деформационной теории пластичности анизотропных сред.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построены алгоритмы МКЭ для расчёта пластического состояния орто-тропного разносопротивляющегося материала с критерием текучести Хоффмана в случаях равномерного и неравномерного нагрева. Для коррекции параметров напряжённого состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор». Для получения физически достоверного скорректированного состояния в случае больших отношений модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии разработан алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона, используемого на стадии «пластический корректор» алгоритма. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ - метод сходился за 4—5 итераций на каждом шаге нагружения.

2. Показано, что чем больше отношение модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии, тем меньше должны быть шаги нагружения при расчёте НДС конструкции. В таком случае рекомендуется проверять сходимость при уменьшении шагов нагружения.

3. Достоверность разработанных алгоритмов подтверждается хорошим совпадением полученных результатов с известными, в том числе и для предельных случаев - при совпадении моделей Хоффмана и Мизеса.

4. Путём математического моделирования пластического деформирования элементов конструкций, испытывающих как механические, так и термомеханические воздействия, показано, что пластическое состояние разносо-

противляющихся конструкционных материалов не всегда может быть адекватно описано с помощью простейших математических моделей, так как при этом могут быть выявлены не все эффекты, оказывающие существенное влияние на работу конструкции.

5. На случай анизотропных сред обобщена известная двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности изотропных сред. Построены обладающие экстремальными свойствами функционалы в перемещениях и напряжениях, по разности значений которых можно найти оценку погрешности приближённого решения в энергетической норме. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях, которая не требует решения дополнительной системы уравнений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТАХ

1. Зарубин B.C., Красновский Е.Е. Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2005. - № 1(16). -С. 41-54.

2. Красновский Е.Е. Математическое моделирование пластического течения анизотропного разносопротивляющегося материала // Известия вузов. Машиностроение. - 2005 - № 5

3. Красновский Е.Е. Построение допустимого поля напряжений для встречного функционала в теории упругости // Математическое моделирование. — 2002. - Т. 14, № 8. - С. 124-127.

4. Красновский Е.Е. Построение допустимого поля напряжений для встречного функционала // Тезисы докладов XI Международной конференции по вычислительной математике и современным прикладным программным системам, г. Истра, 2-6 июля 2001 г - М , 2001. - С. 235-236.

5. Красновский Е.Е. Применение метода конечных элементов к расчёту пластического течения разносопротивляющихся оршгропных композитов с критерием текучести Хоффмана // Материалы Первой международной научно-технической конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея. - М., 2004. - С. 99-103.

6. Красновский Е.Е. Расчёт пластического течения ортотропных композитов с критерием текучести Хоффмана методом конечных элементов // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов научно-методической конференции, посвящённой 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана. - М., 2005. - С. 545-553.

Подписано к печати «4-2- » апреля 2005 г. Зак. 105. Объём 1 п.л. Тир. 100. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.

РНБ Русский фонд

2006-4 4826

основные сокращения и обозначения.

1. состояние вопроса. постановка задачи.

1.1. Особенности учёта пластического деформирования конструкционных материалов.

1.2. Необходимость учёта пластического деформирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов.

1.3. Математическая постановка задачи.

1.4. Методы решения краевых задач теории пластичности.

1.5. Вариационные принципы в термомеханике.

1.6. Методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала.

1.7. Выводы.

2. особенности математического описания неупругого деформирования.

2.1. Упруго-пластическая модель материалаХоффмана.

2.2. Основные матричные соотношения метода конечных элементов в перемещениях для решения задач теории течения.

2.3. Двойственная вариационная формулировка задачи деформационной .теории . термопластичности анизотропных тел.

2.4. Методика нахождения значения для встречного функционала для задачи деформационной теории пластичности.

2.5. Выводы.

3. построение численных алгоритмов решения задач с учётом пластического деформирования материала.

3.1. Численная реализация метода конечных элементов.

3.2. Алгоритм коррекции параметров напряжённого состояния при постоянной температуре.

3.3. Касательная матрица при постоянной температуре.

3.4. Алгоритмы коррекции параметров напряжённого состояния и построения касательной матрицы в случае неравномерного нагрева материалаХоффмана.

3.5. Выводы.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА С УЧЁТОМ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ.

4.1. Расчёты напряжённо-деформированного состояния конструкций, изготовленных из изотропного материала с критерием текучести Мизеса.

4.2. Расчёты напряжённо-деформированного состояния конструкций с учётом анизотропии и разносопротивляемости материала.

4.3. Выводы. выводы.

Практическая реализация возможностей математического моделирования и вычислительного эксперимента существенно повышает эффективность инженерных 'разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук» [39].

Вычислительный эксперимент позволяет оптимизировать ранние стадии проектных разработок, снизить стоимость продукции, сократить цикл разработки, состоящий в изготовлении образцов-прототипов, их испытаниях и повторном изготовлении образцов, а также свести к минимуму дорогостоящий процесс доработки изделия. Таким образом, «математическое (шире -информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса» [102].

Использование математического моделирования обеспечивает современным инженерам конкурентное преимущество ещё и потому, что позволяет улучшать существующие конструкции, в.том числе и за счет учёта, существенных особенностей свойств конструкционных материалов.

Актуальность работы. Многие современные конструкционные материалы имеют анизотропные пластические свойства. Отдельным из них свойственны и различные пределы текучести при растяжении и сжатии. К подобным материалам относятся металлокомпозиты (МКМ) и некоторые из таких традиционных конструкционных материалов, как металлы и сплавы.

Поскольку конструкции из указанных материалов работают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий, то в расчётах необходимо учитывать как неравномерный нагрев, так и зависимость механических характеристик материала от его температуры. Следовательно, разработка эффективных численных алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) для математического моделирования пластического течения материалов с учётом « указанных эффектов является актуальной проблемой. Её решение, в частности, позволит оценить несущую способность элементов конструкций и подобрать рациональную схему армирования композиционных материалов.

Диссертационная работа посвящена разработке численных алгоритмов для расчёта пластического течения ортотропного материала с критерием текучести Хоффмана [145] при квазистатическом нагружении. Критерий применяется для учёта различных пределов текучести при растяжении и сжатии и представляет собой квадратичную форму относительно компонентов тензора напряжений, которая содержит и линейные члены.

Для проведения численных расчетов в настоящей работе использован МКЭ в сочетании с методом последовательных нагружений. Система уравнений МКЭ решена методом Ньютона. Для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён метод разделения операторов и использован алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор», который позволяет оценить погрешность на шаге Л нагружения. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона. Поскольку композиционным " материалам " свойственна и упругая анизотропия, в работе исследованы особенности численной реализации этого алгоритма для анизотропно упругого материала.

В настоящее время помимо теории течения в расчётах используется и деформационная теория пластичности. В работе рассмотрен вопрос оценки погрешности приближённого решения задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред, который также является актуальным. Одним из методов получения апостериорных оценок погрешности является решение такой задачи в двойственной вариационной постановке, суть которой заключается в построении двух функционалов (прямого в перемещениях и встречного в напряжениях), которые достигают альтернативных, но равных по значению экстремумов на точном решении задачи [40, 43]. В работе построена двойственная вариационная формулировка для задачи деформационной теории • термопластичности анизотропных сред.

Разработка методики нахождения значения встречного функционала представляет практический интерес. Указанный подход требует решения нетривиальной задачи по- построению допустимого поля напряжений, удовлетворяющего как уравнениям равновесия, так и силовым граничным условиям.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов МКЭ для математического моделирования пластического состояния ортотропного материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию, и получении оценки погрешности полученного приближённого решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• построение алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» и касательной матрицы, обеспечивающей квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ, в случае неравномерного нагрева материала с критерием текучести Хоффмана; л • исследование особенностей работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор», используемого для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения, в случае упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана;

• построение двойственной вариационной формулировки задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред;

• разработка методики нахождения значения функционала в напряжениях, входящего в двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Научная новизна. Методами математического моделирования изучено влияние упругой анизотропии на численные алгоритмы МКЭ по расчёту пластического течения материала с критерием текучести Хоффмана. Разработан алгоритм поиска начального приближения с целью получения физически достоверных результатов при решении нелинейного уравнения

• методом Ньютона на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор». Проанализировано влияние упругой анизотропии материала на точность этого алгоритма.

Разработан алгоритм «упругий- предиктор / пластический корректор» и -получена касательная матрица в случае неравномерного нагрева.

Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических подходов механики сплошных сред, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных результатов с известными решениями для предельных случаев.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчётов, анализа работоспособности и применения конструкций, материал которых проявляет свойства анизотропии и разносопротивляемости при пластическом деформировании. . .

На защиту выносятся следующие положения:

• алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона решения нелинейного уравнения, решаемого на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• анализ влияния упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана на точность алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случая неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана;

• двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред; • методика нахождения значения встречного функционала, составляющего двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Всероссийской конференции молодых учёных «Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века» в 2000 г.; XI Международной конференции по вычислительной математике и современным прикладным программным системам в 2001 г.; втором Международном конгрессе студентов, молодых учёных и специалистов «Молодёжь и наука - третье тысячелетие»/У8ТМ'02 в 2002 г.; Международном симпозиуме по двойственным вариационным принципам в нелинейной механике в 2002 г.; Первой международной научно-технической конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея в 2004 г.; Научно-методической конференции, посвящённой 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000-2005 г.г.

Публикации. Основное содержание работы изложено в статьях [41, 67, 72] и тезисах выступлений на конференциях [68, 69, 70].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов. Работа изложена на 190 страницах, содержит 58 иллюстраций и 53 таблицы. Библиография включает 167 наименований.

Выводы

1. Построены алгоритмы МКЭ для расчёта пластического состояния ортотропного разносопротивляющегося материала с критерием текучести Хоффмана в случаях равномерного и неравномерного нагрева. Для коррекции параметров напряжённого состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор». Для получения физически достоверного скорректированного состояния в случае больших отношений модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии разработан алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона, используемого на стадии «пластический корректор» алгоритма. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ - метод сходился за 4-6 итераций на каждом шаге нагружения.

2. Показано, что чем больше отношение модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии, тем меньше должны быть шаги нагружения при расчёте НДС конструкции. В таком случае рекомендуется проверять сходимость при уменьшении шагов нагружения. .

3. Достоверность разработанных алгоритмов подтверждается хорошим совпадением полученных результатов с известными, в том числе и для предельных случаев - при совпадении моделей Хоффмана и Мизеса.

4. Путём математического моделирования пластического деформирования элементов конструкций, испытывающих как механические, так и термомеханические воздействия, показано, что пластическое состояние разносопротивляющихся конструкционных материалов не всегда может быть адекватно описано с помощью простейших математических моделей, так как при этом могут быть выявлены не все эффекты, оказывающие существенное влияние на работу конструкции.

5. На случай анизотропных сред обобщена известная двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности изотропных сред. Построены обладающие экстремальными свойствами функционалы в перемещениях и напряжениях, по разности значений которых можно найти оценку погрешности приближённого решения в энергетической норме. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях, которая не требует решения дополнительной системы уравнений.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Альтенбах X., Туштев' К. Новый критерий статической прочности изотропных полимеров // Механика композитных материалов. 2001. -Т. 37, №5/6.-С. 731-742.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. Д.: Машиностроение, 1980. -248 с.

4. Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. - 391 с.

5. Бастуй В.Н., Коляков М.И., Семко М.И. К условию прочности материалов с разным сопротивлением растяжению и сжатию // Проблемы прочности. 1996.-№ 5.-С. 31-37.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Физматлит, Лаборатория базовых знаний, 2000. 622 с.

7. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им Н.Э. Баумана, 1998. 344 с. . . . . ,

8. Белянкин Ф.П., Яценко В.Ф., Марголин Г.Г. Прочность и деформативность стеклопластиков при двухосном сжатии. Киев: Наукова думка, 1971. - 151 с.

9. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

10. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. - 150 с.

11. Бирюков Д.Б., Постоев П.С. Метод конечных элементов в напряжениях. -СПб.: АООТ «НПО ЦИТИ» 1999. 187 с.

12. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во ХГУ, 1964. - 428 с.

13. Братухин А.Г. Современные авиационные материалы: технологические и функциональные особенности / Учебное пособие для авиационных и технических направлений и специальностей. М.: АвиаТехИнформ XXI век, 2001.-420 с.

14. Братухин А.Г., Сироткин О.С., Сабодаш П.Ф., Егоров В.Н. Материалы будущего и их удивительные свойства М.: Машиностроение, 1995. -128 с.

15. Буланов И.М., Воробей В.В. Технология ракетных и аэрокосмических конструкций из композиционных материалов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им Н.Э. Баумана, 2001. - 516 с.

16. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И. Бурман, О.М. Аксенов, В.И. Лукашенко, М.Т. Тимофеев. М.: Машиностроение, 1982.-256 с.

17. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. -256 с.

18. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1999. 488 с.

19. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

20. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближённые методы математической физики / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 2001. 700 с.

21. Воробей В.В., Логинов В.Е. Технология производства жидкостных ракетных двигателей. М.: Изд-во МАИ, 2001. - 496 с.

22. By Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. С. 401-491. / В кн.: Механика композиционных материалов. Том 2. / Под ред Дж. Сендецки. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 568 с.

23. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчёта элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991. - 160 с.

24. Геогджаев В.О. К вопросу о теории упругопластической деформации анизотропных материалов // Изв. вузов. Машиностроение. 1956. - № 3-4.-С. 9-13.

25. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. Вариант эндохронной теории пластичности анизотропных материалов // Труды МГТУ. Термомеханика. 1990. -№ 542. - С. 49-58.

26. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Обобщенная теория пластического течения анизотропных сред // Строит, механика. М.: Стройиздат, 1966. -С. 307-319.

27. Данилов В.Л. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести •'•"-'// Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ. ред.

28. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1 - С. 8893.

29. Данилов B.JI. Исследование деформационной пластической анизотропии: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 1972. 144 с.

30. Деформирование и разрушение бороалюминия при сложном напряженном состоянии / С.В. Цветков, П.А. Зиновьев, А.Н. Ерёмичев и др. // Проблемы прочности. 1991. -№ 12. - С.29-35.

31. Димитриенко Ю.И. Анизотропная теория конечных упруго-пластических деформаций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. -2003.-№2.-С. 47-59.

32. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. - 368 с.

33. Димитриенко Ю.И., Димитриенко И.П. Длительная прочность армированных композитов // Механика композитных материалов. 1989. - № 1. - СЛ6-22.

34. Ерёмина Н.А., Барях А.А. Упругопластическое деформирование многослойного композита // Механика композитных материалов. 1994. -Т. 30, №6.-С. 723-729.

35. Жужжалкин Г.В. Композиционные материалы в авиаракетостроении. -Тула: Изд-во Тульского государственного ун-та, 1998. 64 с.

36. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. -М.: Физматлит, 2002. 168 с.

37. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

38. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: учебник для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 2001. - 496 с.

39. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. -М.: Машиностроение, 1985. -296 с.

40. Зарубин B.C., Красновский Е.Е. Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел //Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2005. -№ 1(16).-С. 41-54.

41. Зарубин B.C., Красновский Е.Е. Теплопрочностной расчет оболочки камеры сгорания ЖРД // Тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 170-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана 21-23 ноября 2000г., г. Москва. М., 2000. - 4.2 - С. 12.

42. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана, 1993.-360 с.

43. Захаров К.В. Критерий прочности для слоистых пластмасс // Пластические массы. 1961. - № 8. - С.59-62.

44. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

45. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

46. Иванов-Дятлов В.И. Решение задач теории упругости по МКЭ при использовании равновесных и совместных моделей: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.: Московский автомобильно-дорожный ин-т, 1998. 200 с.

47. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

48. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // ПММ. 1943. - Т.7, вып. 4. - С .245-272.

49. Исупов Л.П. Теория пластического деформирования структурно неоднородных композитных сред: Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. М.: МГУ, 1995. - 226 с.

50. Исупов Л.П., Хлебалина Е.А. Жесткопластическая модель волокнистого композита // Механика композитных материалов. 1994. - Т. 30, № 6. -С. 730-736. •

51. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во Московского госуд. техн. унта им. Н.Э. Баумана, 2001. - 336 с.

52. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

53. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1967. - 420 с.

54. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.-208 с.

55. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. - 147 с.

56. Ковальчук Б.И. О критерии предельного состояния некоторых корпусных сталей в условиях сложного напряженного состояния при комнатной и повышенных температурах // Проблемы прочности. 1981. - № 5. -С. 10-15.

57. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1987.-280 с.

58. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред / Перев. с болгарского. -М.: Мир. 302 с.

59. Композиционные материалы: Справочник; В 8 т. / Под ред. Л. Браунтмана, Р. Крока. Применение композиционных материалов в технике. - М.: Машиностроение, 1978. - Том 3. - 512 с.

60. Композиционные материалы: Справочник; В 8 т. / Под ред. Л. Браунтмана, Р. Крока. Композиционные материалы с металлической матрицей - М.: Машиностроение, 1978. - Том 4. - 504 с.

61. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. - 510 с.

62. Кондаков С.Ф., Милейко С.Т. Композит металл металлическое волокно при сложном напряженном состоянии // Машиноведение. - 1974. -№ 3. - ^ С. 73-77.

63. Конструкционные материалы: Справочник / Б.Н. Арзамасов, В.А. Брострем, Н.А. Буше и др.; Под общ. ред. Б.Н. Арзамасова. -М.: Машиностроение, 1990. 688 с.

64. Косарчук В.В., Ковальчук Б.П., Лебедев А.А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщ. 1. Определяющие соотношения // Проблемы прочности. 1982. - № 4. - С. 50-57.

65. Костиков В.И., Варенков А.Н. Композиционные материалы на основе алюминевых сплавов, армированных углеродными волокнами. -М.: Интермет-инжиниринг, 2000. -446 с.

66. Красновский Е.Е. Построение допустимого поля напряжений для встречного функционала в теории упругости // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 8. - С. 124-127.

67. Красновский Е.Е. Математическое моделирование пластического течения анизотропного разносопротивляющегося материала // Известия вузов. Машиностроение. 2005. - № 5.

68. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

69. Кувыркин Г.Н., Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ.ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1С. 226-227.

70. Кузнецов Е.Е. Вариант построения теории пластичности ортотропных сред: квадратичная функция предельного состояния: Диссертация насоискание учёной степени кандидата физико-математических наук. -Тула: Тульский госуд. ун-т, 2001. 100 с.

71. Лагздинь А., Зилауц А. Построение выпуклых предельных поверхностей в механике материалов // Механика композитных материалов. 1996. -Т32, № 3. - С. 339-349.

72. Лалин В.В. Постановки в усилиях задач статики упругих систем для решения методами конечных и граничных элементов: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. СПб.: 1993. -384 с.

73. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряжённом состоянии / А.А. Лебедев, Ю.И. Ковальчук, Ф.Ф. Гигиняк, В.П. Ломашевский. Киев: Наукова думка, 1983. - 366 с.

74. Ломакин В. А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностроение. -I960. -№4.-С. 60-64.

75. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968. -400 с.

76. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров. -1966.-№ 4.-С. 519-534.

77. Малмейстер А.К., Тамуж В.Д., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

78. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

79. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. -485 с.

80. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. -М.: Едиториал УРСС, 2004. 192 с.

81. Никольский М.Д. Встречные формы МКЭ в теории упругости: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. -СПб.:'Морской технический ун-т, 1992. 297 с.

82. Норенков И.П. Разработка систем автоматизированного проектирования. Учебник для вузов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1994.-207 с.

83. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

84. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

85. Павилайнен Г.В. Задача изгиба пластин из пластически анизотропных конструкционных материалов // Тезисы докладов. Международная конференция по строительной механике корабля, посвящённая памяти акад. Ю.А. Шиманского. СПб., 2001. - С. 90-91.

86. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряжённом состоянии. Киев: Наукова Думка, 1976. -416 с.

87. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1981.-496 с.

88. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Московского ун-та, 1979.-214 с.

89. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Московского ун-та, 1984. - 386 с.

90. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. -Ташкент: ФАН, 1988. 197 с.

91. Попов Б.Г. Расчёт многослойных конструкций вариационно-матричными методами. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1993.-294 с.

92. Проценко A.M. Теория упруго-идеальнопластических систем. -М.: Наука, 1982.-288 с.

93. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

94. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др.; Под. ред. В.И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. -520 с.

95. Расчёты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарёв, B.JI. Бидерман, К.К. Лихарев и др.; Под общ. ред. С.Д. Пономарева. -М.: Машгиз, 1958. Т. 2. - 974 с.

96. Рыбакина О.Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом SD // Проблемы механики деформируемого твёрдого тела: Межвузовский сборник / Под ред. Н.Ф. Морозова. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982. - № 4. - С. 132-142.

97. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-320 с.

98. Сарбаев Б.С. Феноменологические модели пластического деформирования волокнистых композитов: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 1996. - 284 с.

99. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский и др.; Под общ. ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982. - 480 с.

100. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

101. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. - Т. 1. - 492 с.

102. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. - Т. 2. - 584 с.

103. Селиванов В.В. Механика разрушения деформируемого тела: Учебник для втузов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана, 1999. - 420 с. (Прикладная механика сплошных сред; Т. 2).

104. Селиванов В.В., Зарубин B.C., Ионов В.Н. Аналитические методы механики сплошной среды. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1994. - 384 с.

105. Справочник металлиста; В 5 томах / Под ред. А.Г. Рахштадта, В.А. Бростема. М.: Машиностроение, 1976. - Т. 2. - 717 с.

106. Станкевич И.В. Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 2001.-359 с.

107. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1977.-349 с.

108. ИЗ. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.-512 с.

109. Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести //Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ. ред. К.С. Колесникова. М: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1- С. 226236; 255-269.

110. Темис Ю.М. Применение метода Ньютона-Канторовича при решении задач деформационной теории пластичности // Труды ЦИАМ. 1988. -№ 1256.-С. 1-21.

111. Темис Ю.М. Самокорректирующийся шаговый метод решения нелинейных задач упругости и пластичности // Труды ЦИАМ. 1980. -№918.-С. 1-24.

112. Темис Ю.М. Сходимость метода Ньютона-Канторовича в задачах деформационной теории пластичности // Труды ЦИАМ. 1988. - № 1256. - С. 22-40.

113. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. -М.Машиностроение, 1975. -455 с.

114. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: ОНТИ, 1937. -451 с.

115. Феодосьев В.И. Основы техники ракетного полёта. М.: Наука, 1981. -496 с.

116. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 374 с.

117. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. -407 с.

118. Ху Л.В., Марин Д. Анизотропные функции нагружения для сложных напряженных состояний в пластической области // Механика: Сборник переводов ИЛ. 1960. - Т. 61. - С. 37-45.

119. Чарин А.В. Пластическое течение анизотропного упрочняющегося разносопротивляющегося материала: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1998.- 175 с.

120. Черняев А.В. Волочение труб из анизотропного упрочняющегося материала: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1998. - 214 с.

121. Шамбина С.Л. Критерии прочности в расчётах элементов конструкций из анизотропных материалов: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. М.: Российский ун-т дружбы народов, 1996.- 185 с.

122. Шипьянов Е.К. Пластическое деформирование анизотропного материала с учётом поворота главных осей анизотропии: Диссертация на соисканиеучёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1997.-186 с.

123. Ягн Ю.И. Новые методы расчетов на прочность // Вестник инженеров и техников. 1931. -№ 6. - С. 237-244.1:30. ANSYS 6.1 Theory Reference. Copyright 1971, 1978, 1982, 1985, 1987, 1989, 1992-2002 by SAS IP.

124. Argyris J.H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engng. 1955. -Vol. 26.-P. 132-148.

125. Azzi V.D., Tsai S.W. Anisotropic strength of composites // Exp. Mech. 1965. -Vol. 5.-P. 211-219.

126. Bathe K.J. Finite element procedures. New Jersey: Prentice Hall, 1996. -1037 p.

127. Belytschko Т., Liu W.K., Moran B. Nonlinear finite elements for continua and structures. Chichester: John Wiley & Sons, 2001. - 650 p.

128. Bussamra F.L.S., Pimenta P.M. Freitas J.A.T. Hybrid-Trefftz stress elements for three-dimensional elastoplasticity // Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. 2001. - Vol. 8., Nos 2/3. - P. 235-246.

129. Desai C.S. A general basis for yield, failure and potential functions in plasticity // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1980. - Vol. 4, № 4. - P. 361375.

130. An experimental study of elastic-plastic behavior of a fibrous boron-aluminum composite / G.J. Dvorak, Y.A. Bahei-El-Din, Y. Macheret, C.H. Liu // J. Mech. Phys. Solids. 1988. - Vol. 36, № 6. - P. 655-687.

131. Fischer L. How to predict structural behaviour of R.P. laminates // Modern & Plastics.-1960.-№ 10.-P. 23-31.

132. Frederking R.M.W., Sidebottom O.M. An experimental evaluation of plasticity theories for anisotropic metals // Pap. Amer. Soc. Mech. Eng. 1970. - № 17. -P. 3-8.

133. Hashagen F., de Borst R. Enhancement of the Hoffman yield criterion with an anisotropic hardening model // Computers & Structures. 2001. - № 79. -P. 637-651.

134. Hirsch M.W., Smale S. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York: Academic Press, 1974. - 374 p.

135. Hoffman O. The brittle strength of orthotropic materials // J. Composite materials. 1967. -№ 1. - P. 200-206.

136. Hrenikof A. Solutions of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. 1941. -№ 8. - P. 169-175.

137. Kaw A.K. Mechanics of composite materials. Boca Raton: CRC Press, 1997. -329 p.

138. Koh C.G., Owen D.R.J., Peric D. Explicit dynamic analysis of elasto-plastic laminated composite shells: implementation of non-iterative stress update schemes for the Hoffman yield criterion // Computational mechanic. 1995. -№ 16.-P. 307-314.

139. Krieg R.D., Krieg D.B. Accuracies of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model // J. Pressure Vessel Tech. 1977. - № 11. -P. 510-515.

140. Marin J. Theories of strength for combined stresses and anisotropic materials //J. of Aerospace Sciences. 1957. - Vol.24. - P. 235-268.

141. McHenry D.A Lattice analogy for the solution of plane stress problems analysis // J. Inst. Civ. Eng. 1943. - № 21. - P 59-82.

142. Mises R. Mechanik der plastischen formanderung von kristallen // Z. Angew. Math, und Mech. 1928.- Bd. 8, H. 3.-S. 161-185.

143. Mulhern J.P., Rogers T.G., Spencer A.J.M. A continuum model for fibre-reinforced plastic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1967. -Vol. 301, № 1467.-P. 473-492.

144. Newmark N.M. Numerical methods of analysis in bars, plates and elastic bodies / In Numerical methods in Analysis in Engineering / Ed. L.E. Grinter. -London: Macmillan. 1949.

145. Norris C.B. Strength of orthotropic materials subjected to combined stresses //Forest Products Laboratory Report. -1950. -№ 1816. P. 97-109.

146. Ota Т., Shindo A., Fukuoka H. A consideration on anisotropic yield criterion // Proc. 9. Jap. nat. congr. appl. mech. Tokyo, 1959. - P. 117-120.

147. Puppo A.N., Evensen H.A. Strength of anisotropic materials under combined stresses // AIAA Journal. 1972. - Vol. 10, № 4. - P. 468-474.

148. Schellekens J.C.J., de Borst R. The use of the Hoffman yield criterion in finite element analysis of anisotropic composites // Computers & Structures. 1990. -№37(6).-P. 1087-1096.

149. Shih C.F., Lee D. Further developments in anisotropic plasticity // J. of Engineering Materials and Technology. 1978. - Vol. 100, July. - P. 294-302.

150. Simo J.C., Hughes T.J.R. General return mapping algorithms for rate-independent plasticity // Desai C.S. et al. (ed). Constitutive laws for engineering materials: Theory and applications. New York: Elsevier, 1987. -P. 221-231.

151. Simo J.C., Taylor R.L. Consistent tangent operators for rate independent elastoplasticity // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. 1985. - № 48. - P. 101118.

152. Sobotka Z. Second order plastic flow of isotropic partially compressible media //ACTATechnicaCSAV. 1975. -№ 3.-P. 301-321.

153. Sobotka Z. The plastic flow of orthotropic materials with different mechanical properties in tension and compression // ACTA Technica CSAV. 1971. -Vol. 16, №6.-P. 772-776.

154. Tsai S.W., Wu E.M. A general theory of strength for anisotropic materials // J. Composite Materials. 1971. - Vol. 5. - P. 58-80.

155. Werren F. Mechanical properties of glass-cloth plastic laminates as related to direction of stress and construction of laminate // Trans. ASME. 1953. - № 4. -P. 317-323.

156. Wilkins M.L. Calculation of elastic-plastic flow // Methods of Computational Physics / Ed. B. Alder, S. Fernback, M. Rotenberg. New York: Academic Press, 1964. - Vol. 3. - P. 211-263.

157. Xikui L., Duxbury P.G., Lyons P. 1994. Considerations for the application and numerical implementation of strain hardening with the Hoffman yield criterion // Computers & Structures. 1994. - № 52 (4). - P. 633-634.