автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оптических слоистых структур с учетом шероховатости границ слоев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Тихонравов Андрей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ГРАНИЦ СЛОЕВ

Специальность 05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Тихонравов Андрей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ГРАНИЦ СЛОЕВ

Специальность 05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Свешников.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Ильинский, доктор физико-математических наук, профессор А.И.Чуличков.

Ведущая организация:

Институт прикладной математики РАН.

Защита состоится «¿Си 2005 г. на заседании диссертационного

совета К501.001.17 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова в мин. по адресу: Москва, Ленинские горы,

МГУ. физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К501.001.17 доктор физико-математических наук

П. А. Поляков

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Математическое моделирование является основой исследования большинства современных физических проблем и развития многих современных инновационных технологий. Важным объектом исследования, требующим применения методов математического моделирования, являются оптические слоистые структуры. Такие структуры, создаваемые путем напыления тонких диэлектрических слоев, находят самое широкое применение в современных физических исследованиях, связанных с изучением и формированием оптического излучения, а также в таких областях высоких технологий, как лазерная техника, оптоэлектроника, телекоммуникации.

Оптические слоистые структуры варьируются от однослойных до многослойных структур с десятками и даже сотнями слоев. При этом поперечные размеры слоев многократно превышают их полную толщину. В силу этого для исследования оптических слоистых структур с успехом применяются модели слоистых сред с неограниченными по двум координатным осям размерами слоев. Другим модельным предположением, на котором до самого последнего времени базировалось исследование оптических слоистых структур, является предположение об идеальных плоскопараллельных границах раздела слоев Такая идеализация была оправдана как уровнем технологий, используемых для производства элементов слоистой оптики, так и точностью экспериментальных средств, используемых для контроля параметров этих элементов.

В последние годы был достигнут значительный прогресс в области технологий нанесения многослойных оптических покрытий. Соответственно этому возрастают требования к точности моделей, используемых для анализа свойств слоистых структур. Существенно возросло также качество экспериментального оборудования, используемого для исследования параметров отдельных тонких слоев. В связи с этим имеется реальная возможность повышения точности определения оптических параметров слоев, что также требует использования более совершенных, чем ранее математических моделей. Такие модели должны принимать во внимание неидеальносгь границ оптических тонких слоев. Еще одним стимулом к учету шероховатости границ слоев оптических слоистых структур является расширение спектральной области их применения в сторону коротких длин волн, где, как известно,

влияние шероховатостей границ слоев резко возрастает. Такое расширение связано, в частности, с планируемым переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета, что в свою очередь, позволит перейти в ближайшие годы к еще более компактным технологиям в микроэлектронике. Указанные обстоятельства делают крайне актуальной задачу расчета спектральных характеристик оптических слоистых структур, в первую очередь их спектральных коэффициентов отражения и пропускания, с учетом шероховатости границ слоев. Не менее важной проблемой является решение обратной задачи определения оптических параметров тонких слоев на основе моделей, адекватно учитывающих неидеальность границ слоев.

Математическому моделированию эффектов, связанных с шероховатостью границ раздела сред, посвящены десятки тысяч работ, начиная с известных работ Релея, Мандельштама и многих других ученых начала и середины двадцатого века. Эти работы связаны с различными областями физики, прежде всего с оптикой, акустикой, радиофизикой, электродинамикой. Большой вклад в эти области внесли работы А.С.Ильинского, Б.З.Каценеленбаума, Е.И.Нефедова. А.Н.Сивова и многих других отечественных и зарубежных ученых. Всякое новое исследование по моделированию шероховатостей мотивируется новыми применениями разрабатываемых математических моделей. С точки зрения современных приложений оптических слоистых структур наиболее важным является моделирование шероховатостей на границах диэлектрических слоев и обрамляющих их диэлектрических сред, направленное на исследование влияния шероховатостей на энергетические коэффициенты пропускания и отражения этих струхтур. При этом разрабатываемые модели должны обеспечивать возможность построения эффективных алгоритмов, предназначенных для численного анализа данного влияния.

Наиболее эффективным экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких слоев являются методы спектральной фотометрии и эллипсометрии. Достигнутая к настоящему времени точность спектрофотометров и спектральных эллипсометров позволяет ставить вопрос о повышении точности решения обратных задач определения параметров тонких слоев по соответствующим экспериментальным данным. В связи с этим разрабатываемые модели тонких слоев с учетом шероховатости их границ должны служить основой для построения не только эффективных с численной точки зрения, но и устойчивых алгоритмов решения данных обратных задач.

Указанные обстоятельства определяют актуальность основной цели диссертационной работы.

Целью диссертации является моделирование эффектов, связанных с шероховатостью границ диэлектрических сред с различными оптическими свойствами, и построение моделей, обеспечивающих решение обратных задач определения параметров тонких диэлектрических слоев и построение эффективных алгоритмов численного анализа спектральных коэффициентов оптических слоистых систем.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. В приближении малых по высоте возмущений границы раздела двух диэлектрических сред получены формулы, отражающие во втором порядке малости влияние шероховатости на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания этой границы. Полученные формулы позволили проанализировать переход между предельными случаями крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей и предложить количественные оценки для отнесения различных пространственных гармоник шероховатой поверхности к крупномасштабному или мелкомасштабному типу. Для моделирования эффектов, связанных с влиянием шероховатостей на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания границ сред с различными оптическими параметрами, предложено использовать два новых параметра: крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости. На основе анализа данных атомной силовой микроскопии получены оценки этих параметров для типичных образцов оптических покрытий.

2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.

3. Проведен детальный анализ обратной задачи определения параметров тонких слоев по эллипсометрическим данным с учетом шероховатости границ слоев. При этом получены простые, но достаточно точные формулы для вариаций эллипсометрических углов, связанных с наличием поверхностного оверслоя, моделирующего мелкомасштабную шероховатость. С помощью полученных формул в различных спектральных зонах проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов к толщине поверхностного оверслоя. Показано, что

эллипсометрический угол Д существенно более чувствителен к мелкомасштабной поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол ¥. Введена базовая шестипараметрическая модель для решения обратной задачи эллипсометрии тонких диэлектрических пленок. На основе этой модели построен численный алгоритм решения обратной задачи, на реальных экспериментальных данных продемонстрирована его эффективность и показано, что учет в модели пленки мелкомасштабной шероховатости необходим для повышения точности определения ее параметров. Проведено сравнение результатов решения обратной задачи эллипсометрии с данными атомной силовой микроскопии и подтверждено, что спектральная эллипсометрия может использоваться для изучения мелкомасштабной поверхностной шероховатости.

4. Проведен сравнительный анализ влияния крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на фотометрические данные (энергетические коэффициенты отражения и пропускания). На основе этого анализа показано, что при решении обратной задачи фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным моментом может явиться учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости в модели оптической тонкой пленки. Выполнен анализ реальных экспериментальных данных, требующих использования соответствующих моделей, и показано, что учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости приводит к существенному увеличению точности решения обратной задачи фотометрии.

5. Построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев. Продемонстрировано, что влияние крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на спектральные коэффициенты отражения и пропускания многослойных оптических структур различно. В то же время обнаружено, что рассеяние на границах слоев многослойных диэлектрических зеркал и наличие мелкомасштабных шероховатостей на границах их слоев может приводить к сходным эффектам в зоне высокого отражения.

Практическая ценность работы. Проведенное аналитическое исследование влияния шероховатостей на френелевские коэффициенты отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред позволило ввести в рассмотрение два новых параметра - крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости, и предложить способ их численной оценки. Это открывает путь к построению моделей и численных алгоритмов, необходимых для изучения

практически важных объектов, как тех, которые уже рассмотрены в данной работе, так, возможно, и ряда других в будущем.

Разработанные в диссертации модели и численные алгоритмы позволяют эффективно анализировать влияние шероховатостей на спектральные характеристики оптических слоистых структур, реально использующихся на практике. Разделение эффектов, связанных с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, и возможность численного моделирования этих эффектов позволяют более надежно интерпретировать реальные экспериментальные данные, получаемые как при исследовании отдельных тонких слоев, так и в процессе разработки сложных многослойных элементов современной оптики.

Использование полученных в работе результатов для построения моделей тонких пленок позволяет существенно повысить точность решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии, являющихся в настоящее время двумя основными экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких пленок.

Проведенное в работе сравнение с результатами атомной силовой микроскопии показывает, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости. Практическая значимость этого вывода определяется тем, что экспериментальные исследования на основе спектральной эллипсометрии является существенно менее трудоемкими и более дешевыми, чем исследования, проводимые с помощью атомной силовой микроскопии.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Введены в рассмотрение два новых параметра, характеризующие шероховатость границы раздела двух диэлектрических сред, - крупномасштабная и мелкомасштабная среднеквадратичные шероховатости и предложен способ их количественной оценки.

2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.

3. Для решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии тонких диэлектрических слоев предложена шестипараметрическая модель, учитывающая поверхностную мелкомасштабную шероховатость, предложены приближенные

алгоритмы решения прямой и обратной задач эллипсометрии, и показано, что использование модели, учитывающей мелкомасштабную шероховатость, позволяет существенно повысить точность определения параметров тонких слоев.

4. Разработан эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов многослойных структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, проведен сравнительный анализ этих эффектов и на его основе установлено, что основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Граничные задачи электродинамики" под руководством профессоров А.Г.Свешникова и А.С.Ильинского, Международной конференции "Оптические интерференционные покрытия - 1998" (США, Тусон, 1998 г.), Международной конференции "Оптические интерференционные покрытия - 2001" (Канада, Банф, 2001 г.), Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2002" (МГУ, 2002 г.), V международной конференции "Прикладная оптика" (Россия, Санкт-Петербург, 2002 г.) и Международной конференции "Оптические интерференционные покрытия - 2004" (США, Тусон, 2004 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах, список которых указан в конце автореферата.

Личный вклад автора состоит в разработке представленных в диссертации моделей, численных алгоритмов и программ, использовавшихся для численного анализа многослойных оптических структур и решения обратной задачи эллипсометрии. Автором выполнены представленные в работе аналитические выкладки, численные расчеты и анализ экспериментальных данных.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 94 наименования. Объем диссертации составляет 124 страницы, включая 43 рисунка и 1 таблицу.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность математического моделирования шероховатости границ слоев оптических слоистых структур, формулируется цель исследования и приводится краткое содержание работы.

Основной задачей первой главы является получение простых расчетных формул, которые, в то же время отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью границы раздела двух диэлектрических сред. Вместо того чтобы использовать один параметр (среднеквадратичную шероховатость) предлагается учитывать два параметра, а именно, среднеквадратичную шероховатость связанную с крупномасштабной шероховатостью, и среднеквадратичную шероховатость <Г<, связанную с мелкомасштабной шероховатостью. Относительно используемых в работе понятий "крупномасштабная" и "мелкомасштабная" шероховатость даются разъяснения последовательно по ходу изложения материала первой главы работы.

В параграфе 1.1 дается обзор литературы, наиболее близко соответствующей тематике данной работы. Здесь же анализируются наиболее широко используемые экспериментальные подходы к исследованию поверхностной шероховатости.

В параграфе 12 рассмотрен случай нормального падения плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на цилиндрическую поверхность с произвольным профилем шероховатости. Основная задача параграфа - получение формул, описывающих изменения коэффициентов отражения и пропускания при наличии шероховатости.

Рис.1 К постановке задачи: нормальное падение плоской волны на шероховатую границу.

Рассматриваются две среды с диэлектрическими проницаемостями е, и ег. Эти среды являются непоглощающими. Предполагается, что возмущение границы раздела двух сред описывается функцией одной переменной И(х) (см. Рис. 1), и при этом эта функция является периодической с периодом 2а: к(х+2а)=Ых)

Из условия периодичности следует, что функция И(х) разлагается в ряд Фурье. Предполагается, что число гармоник этого ряда конечно и не превосходит N. Тогда 1

Ул-Л

И(х + 2а) = й(х) =

(1)

где = т/а, /|„ = 0 (невозмущенная граница совпадает с плоскостью у=0).

Из уравнений Максвелла следует, что в верхней среде амплитуда электрического поля Е удовлетворяет уравнению

дгЕ д\Е дх2+ ду

а в нижней среде - уравнению

где к - волновое число в вакууме.

На границе раздела должны быть непрерывны тангенциальные составляющие

(2)

(3)

электрического и магнитного полей.

дп 1 Г " дп 1 г

! =Е1\ г' "¿Ч г = ~7Т| г (4)

Поля в верхней и нижней средах ишутся, соответственно, в виде Е,(х,у) = е""^ +Уипе'л-'е'Г-'г (у>0), (5)

Е,{х,у) = ¿V

(у<0).

(6)

Подстановка выражений (5), (6) в уравнения для поля (2), (3) дает выражения для постоянных распространения И уй2. Система уравнений для определения

амплитуд рассеянных мод получается из требования удовлетворения выражений

для поля граничным условиям (4), для чего эти условия записываются в приближенном виде.

Малым параметром при приближенном рассмотрении является величина И, представляющая собой норму вектора (Йл}, где Ип - коэффициенты разложения в ряд (1) граничной функции к(х) Фактически к есть не что иное, как величина среднеквадратичной поверхностной шероховатости

Запись граничных условий в первом приближении по к позволяет найти амплитуды рассеянных мод в первом порядке приближения по к

Величины М0 И V,, в (5) и (6) представляют собой амплитудные коэффициенты отражения и пропускания для шероховатой границы раздела двух сред В нулевом порядке приближения по они совпадают с известными френелевскими коэффициентами отражения и пропускания для плоской границы раздела диэлектрических сред Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания в случае возмущенной границы не имеют поправок порядка малости к С точки зрения современных приложений именно поправки к амплитудным коэффициентам, связанные с наличием шероховатости границ диэлектрических сред, представляют наибольший интерес Поэтому для нахождения этих поправок необходимо производить исследования с точностью порядка И1 При этом треб>ется использовать выражения для граничных условий, полученные из условий (4) также во втором порядке приближения по что делает все выкладки чрезвычайно громоздкими В работе показано, что для получения выражений для с точностью до членов

порядка /г2 достаточно использовать выражения для остальных амплитуд в (5) и (6), записанные с точностью до членов порядка А Эти соображения позволяют существенно упростить решение системы линейных алгебраических уравнений для амплитуд полей в верхней и нижней областях, изображенных на рис 1 В результате работы получены следующие выражения для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания шероховатой границы раздела двух диэлектрических сред

где - амплитудные коэффициенты отражения и пропускания невозмущенной

границы (френелевские коэффициенты)

В параграфе 1.3 рассматриваются предельные случаи крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Показано, что в случае крупномасштабной шероховатости с корреляционным размером, много большим длины волны, полученные в предыдущем параграфе формулы (7), (8) переходят в пределе в известные формулы скалярной теории дифракции:

г = [ 1-2*2«У]Л

Г = [1 -1к\П1-П2Уа2Г

(9) (10)

где величина среднеквадратичной поверхностной шероховатости, показатели преломления верхней и нижней сред, связанные с диэлектрическими проницаемостями равенствами

В другом предельном случае, характеризуемым тем, что для всех формулах (7) и (8) пространственные периоды шероховатости много меньше длины

волны Л. все рассеянные моды являются затухающими и формулы (7), (8) в пределе

принимают вид: /• = [1-2А2п,И,<Т2]Г\

Г = [1 +

(11) (12)

где формально, как и ранее, величина среднеквадратичной поверхностной

шероховатости.

Хотя выражения для а в формулах (9), (10) и (11), (12) - формально одинаковые, их физический смысл принципиально различен. В случае формул (9), (10) величина а2 является суммой квадратов модулей амплитуд пространственных гармоник шероховатости, у которой все пространственные периоды а в случае формул

(11), (12) эта величина рассчитывается для шероховатости, у которой все Тт 3> Я.

В работе показано, что физические эффекты, связанные с затухающими модами и описываемые формулами (11) и (12), могут быть промоделированы путем замены шероховатой границы на тонкий поверхностный оверслой с толщиной и с показателем преломления определяемым выражением

И2 А*2

2 _Я| + Ъ

Следует отметить, что этот результат хорошо коррелирует с выводом, полученным ранее А.С.Ильинским и Г.Я.Слепяном на основе анализа экспериментальных данных. Ими в книге "Колебания в волны в электродинамических системах с потерями" (Москва, Изд-во МГУ, 1983) было высказано предположение о том, что влияние шероховатости можно учесть за счет увеличения импеданса ровной поверхности. Модель с оверслоем в случае, когда первой средой является воздух, дает показатель преломления оверслоя, меньший, чем у второй среды, т.е. дает на качественном уровне уменьшение показателя преломления второй среды вблизи ее границы. А, как известно, показатель преломления однородной среды есть величина, обратно пропорциональная ее импедансу.

Дальнейшее содержание §1.3 связано с определением пределов применимости приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Для того чтобы ввести количественные оценки того, какие гармоники можно отнести к крупномасштабной, а какие - к мелкомасштабной шероховатости, используются выражения (7) и (8). Они представляются в следующем виде:

Если опустить индекс выразить постоянные распространения через периоды пространственных гармоник шероховатости, то выражения в квадратных скобках в формулах (14) и (15) определяются безразмерными функциями:

переход от предельного случая крупномасштабной шероховатости к предельному случаю мелкомасштабной шероховатости.

Кривые на рисунках 2 и 3 представляют действительные и мнимые части функций в зависимости от

(14)

(15)

гдя/г)=-«2-(К-(Д/Г)2Г-к2-(А/Г)2]"2}, g, (Я/Т) = я,-п, -2{[и,2-(Я/Г)2]"2 -К2 -(Л/Г)2]"2},

исследование поведения которых в зависимости от

позволяет проанализировать

Рис. 2 Реальная (сплошная кривая) и мнимая (прерывистая кривая) части функции £Г(Д/Г), описывающей изменение амплитудного коэффициента отражения при переходе от предельного случая крупномасштабной шероховатости к предельному случаю мелкомасштабной шероховатости: и,=1, Л,=1 49

На основе численных оценок в работе предложено относить к крупномасштабной шероховатости все пространственные гармоники с периодами удовлетворяющими неравенству

1п(Я/Г„)<-1пл2> (16)

а к мелкомасштабной шероховатости - все пространственные гармоники с периодами удовлетворяющими неравенству

1п(Д/Гя)>1пя2. (17)

В работе вводятся понятия крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей по аналогии с обычной среднеквадратичной шероховатостью, но с тем отличием, что в первом случае суммирование ведется по всем пространственным гармоникам, удовлетворяющим соотношению (16), а во втором - по всем гармоникам, удовлетворяющим соотношению (17).

■3 1п</ Т)

-2-1012

Рис 3 Реальная (сплошная кривая) и мнимая (прерывистая кривая) части функцииgt(Я/Г), описывающей изменение амплитудного коэффициента пропускания при переходе от предельного случая крупномасштабной шероховатости к предельному случаю мелкомасштабной шероховатости' Я|=1.

В параграфе 1 4 анализируются результаты экспериментов атомной силовой микроскопии (АСМ) для нескольких типичных образцов оптических поверхностей. Среди этих образцов - две чистые подложки- Zerodur 665 и плавленый кварц (SQ1), а также - один образец с однослойным покрытием из фторида магния на подложке из плавленого кварца. На основе проведенного анализа получены оценки значений крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей для различных образцов.

Результатами экспериментов АСМ для различных образцов является функция спектральной плотности мощности (PSD функция) для этих образцов в интервале пространственных частот, границы которого определяются размерами области сканирования и минимальным пробным расстоянием АСМ установки. Пространственная частота определяется как величина, обратная пространственному периоду гармоник поверхностной шероховатости Вид PSD-функции для одного из образцов представлен на рис 4 Среднеквадратичная шероховатость связана с PSD-функцией уравнением

a1 =2xJ PSD(f)fdf, (18)

fm

где (/„,1,/н^) - интервал пространственных частот, в котором определена функция PSD.

Введенные в §1.3 крупномасштабная и мелкомасштабная среднеквадратичные шероховатости (Г, И <Tt вычисляются по аналогичным (18) формулам, в диапазонах

пространственных частот соответственно от где граничные

пространственные частоты для крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей ftH ft вычисляется в соответствии с выражениями (16) и (17).

Очевидно, что оценки для величин С, И <TS зависят от выбора длины волны Я. В работе для этих оценок берется длина волны, равная 193 нм (длина волны эксимерного лазера, предполагаемого к использованию в полупроводниковой литографии ближайшего будущего). При П = 1.55 (величина показателя преломления подложки из плавленого кварца на длине волны 193 нм) значение определяется как 3.3 а

значение /, - как 8 мкм. Границы пространственных частот крупномасштабных и мелкомасштабных шероховатостей отмечены вертикальными пунктирными линиями на Рис.4.

0.1 1 10 100 Прсктранстгенная частота. мкм 1

Рис. 4 Функция спектральной плотности мощности для чистой подложки из плавленого кварца в интервале пространственных частот от 0.1 до 256 днем"'.

Таблица 1 представляет рассчитанные значения различных среднеквадратичных шероховатостей для трех указанных выше образцов.

Образец <т;(нм2) <г,2(клг) а2 (им1) сг^нм1)

Плавленый кварц 0.349 0.046 0.061 0.456

2егоёш 665 0.707 0.064 0.029 0.800

Плавленый кварц со слоем MgF1 0.011 0.411 0.029 0.451

Таблица 1 Значения среднеквадратичных шероховатостей <т/, сг2,07 и ~<т , рассчитанные для трех различных образцов.

Таблица 1 показывает, что в случае чистых подложек крупномасштабная поверхностная шероховатость играет доминирующую роль. В случае третьего образца наиболее существенный параметр - мелкомасштабная среднеквадратичная шероховатость О,. Наличие мелкомасштабной шероховатости в третьем случае (образец с тонкой пленкой связано с особенностями роста пленок,

приводящими к образованию рельефа на внешней границе пленки с характерными размерами в несколько десятков нанометров.

Вторая глава посвящена исследованию параметров тонких пленок с учетом шероховатости их границ. Определение параметров пленок с высокой точностью является определяющим для надежного проектирования и изготовления современных высококачественных оптических покрытий. Наиболее распространенными экспериментальными подходами к такому определению в настоящее время являются спектральная фотометрия и спектральная эллипсометрия.

Первые три параграфа главы связаны с исследованием параметров тонких пленок на основе данных спектральной эллипсометрии. При использовании метода спектральной эллисометрии производится измерение амплитудных коэффициентов отражения для 5- и р- поляризованных волн. Точнее измеряются так называемые эллипсометрические углы связанные с отношением амплитудных

коэффициентов отражения при помощи основного уравнения эллипсометрии

^Уехр(/Д).

В параграфе 2.1 выводятся простые, но достаточно точные формулы для расчета вариаций эллипсометрических углов, связанных с учетом поверхностного оверслоя, моделирующего мелкомасштабную поверхностную шероховатость внешней границы

тонкой пленки, для которой проводятся эллипсометрические измерения Эти формулы имеют вид

где - эллипсометрические углы, - волновое число, соответствующее длине

волны эллипсометрических измерений, - угол при котором проводятся эти

измерения, - показатели преломления внешней среды и тонкой пленки,

амплитудный коэффициент отражения от пленки без оверслоя для (ТМ поляризованного) света Параметр а в формулах (19), (20) равен половине толщины оверслоя и в соответствии с результатами главы 1 интерпретируется как величина мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости

Сравнение с результатами точных расчетов демонстрирует высокую точность формул (19) (20) и обосновывает возможность их использования для решения как прямых, так и обратных задач эллипсометрии

В параграфе 2 2 формулы (19), (20) используются для обоснования выбора модели пленки при решении обратной задачи эллипсометрии, а также для разработки алгоритма решения данной задачи в рамках выбранной модели С их помощью проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов к толщине поверхностного оверслоя в различных областях спектра При этом показано что эллипсометрический угол существенно более чувствитетен к поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол Выявлены спектральные области, в которых измерительная информация о наличии поверхностного оверслоя наиболее надежна

На рисунках 5 и 6 приводятся типичные кривые вариаций элипсометрических углов при различных углах падения света На рис 5 видно, что при углах

падения 55° и 75° существуют спектральные области, в которых чувствительность угла Д к поверхностной шероховатости очень высока Однако, эти области являются одновременно и областями максимальных экспериментальных погрешностей в определении угла Но рис 5 показывает, что чувствительность эллипсометрического угла к мелкомасштабной поверхностной шероховатости достаточна и в других, более

(19)

(20)

надежных областях спектра Вариации Д, соответствующие ff - 1 нм, находятся в диапазоне 0 3-1 5° для большей части спектральной области, изображенной на рис 5

Рис 1 Спектральные кривые вариаций элипсометрического угла Д рассчитанные при углах падения света 55° 65° и 75° При этом о = 1 нм па=I п, = I 46, п = 2 35 д. 400 нм

1 I

Рис 6 Спектральные кривые вариаций элипсометрического угла Ч", рассчитанные при углах падения света 55°, 65° и 75° Приэтомо = 1нм па = I п =146 п =7 35 с/=400нм

Погрешности измерения угла в наиболее надежных спектральных областях не превышают На основании этих оценок в работе делается вывод о том, что

достигнутая к настоящему времени точность измерения эллипсометрических углов позволяет учитывать мелкомасштабную шероховатость поверхности пленки в ее модели, используемой для решения обратной задачи эллипсометрии.

Корректная постановка обратной задачи эллипсометрии, т.е. задачи определения параметров пленки по эллипсометрическим данным, требует введения модели, описываемой конечным числом неизвестных параметров. Параметры модели определяются затем из условия минимума функционала невязки, сравнивающего экспериментальные и модельные эллипсометрические данные. Введенная в работе модель пленки представляет собой шестипараметрическую модель, описываемую вектором

(21)

в котором первая координата представляет собой толщину основной части пленки, следующие три координаты описывают дисперсионную зависимость ее показателя

преломления с помощью дисперсионной модели Коши

пятая

а2 • /я4

координата характеризует степень объемной неоднородности основной части пленки, шестая координата является толщиной поверхностного оверслоя.

Пусть

измеренные значения эллипсометрических углов на

некоторой сетке длин волн, а - модельные значения

эллипсометрических углов на той же сетке, соответствующие вектору параметров X. Функционал невязки вводится следующим образом:

'■ч

А,

(22)

Здесь 8¥ ] И SAJ - среднеквадратичные отклонения экспериментальных данных в

различных спектральных точках измерения (они оцениваются современными приборами).

В случае, когда эллипсометрические измерения проводятся при нескольких углах падения света, в выражении (22) появляется еще одно суммирование по индексу, соответствующему этим углам.

Пусть А - оператор прямой задачи, ставящий в соответствие вектору параметров Xпару эллипсометрических углов {¥, Д}:

{"Р, Д )-АХ.

Расчет оператора А в рамках выбранной модели пленки с любой наперед заданной точностью не представляет принципиальных трудностей. Однако, поскольку при решении обратных задач саму прямую задачу приходится решать многократно, появляется требование максимальной скорости решения прямой задачи. В работе для этих целей вводится приближенное, но весьма точное представление для оператора А. Оно основывается на приближенном описании основной части пленки с объемной неоднородностью, неоднократно использовавшемся ранее другими авторами, которое дополнено нами приближенным описанием поверхностного оверслоя с использованием формул (19), (20).

В параграфе 2.3 приводится пример решения обратной задачи эллипсометрии с использованием предложенной в предыдущем параграфе модели и разработанного нами алгоритма. Параллельной задачей является проверка адекватности предложенной модели и получаемых на ее основе результатов по поверхностной мелкомасштабной шероховатости пленки. В связи с этим в данном параграфе наряду с решением обратной задачи эллипсометрии проводится также обработка данных атомной силовой микроскопии для того же образца тонкой пленки, для которого проводились и эллипсометрические измерения. Результаты данного параграфа получены совместно с группами д-ра Энрико Масетти из Центра новейших исследований и технологий в г. Рим, Италия и д-ра Анжелы Дюпарре из Фраунгоферовского института оптики и точной механики в г. Йена, Германия. Сотрудниками этих групп проводились экспериментальные исследования по спектральной эллипсометрии (в г. Рим) и по атомной силовой микроскопии (в г. Йена). Автором диссертации предложена математическая модель исследуемой задачи, выполнена численная обработка экспериментальных данных, проведены их анализ и сравнение, сформулированы соответствующие результаты и выводы.

В качестве образца для исследований использовалась пленка двуокиси кварца, нанесенная на хорошо отполированную подложку из стекла марки К01000. Образец был изготовлен во Фраунгоферовском институте в г. Йена. Эллипсометрические измерения проводились на спектральном эллипсометре, разработанном группой д-ра Масетти, в диапазоне длин волн от 260 нм до 850 нм для четырех углов падения света от 60° до 75° с шагом, равным 5°. Наиболее надежным интервалом

эллипсометрических измерений является интервал от 320 нм до 850 нм Поэтому в дальнейшем именно он был взят как базовый интервал для исследований

В работе наглядно продемонстрирована неполнота модели, не учитывающей поверхностную шероховатость Показано, что использование шестипараметрической модели, учитывающей поверхностную шероховатость пленки, позволяет существенно уменьшить невязку между экспериментальными и модельными данными

При решении обратной задачи эллипсометрии на основе данных в спектральном диапазоне от 320 нм до 850 нм толщина поверхностного оверслоя была найдена равной 134 нм В соответствии с §13 этот оверслой моделирует мелкомасштабную поверхностную шероховатость с величиной

Веденное в работе определение мелкомасштабной поверхностной шероховатости связано с длиной волны падающего излучения Поскольку эллипсометрические измерения производятся не при одной длине волны, а в диапазоне длин волн, представление мелкомасштабной шероховатости поверхностным оверсчоем, характеризуемым одним параметром - толщиной, является, естественно, некоторым дополнительным модельным упрощением В работе показано, что используемая упрощенная модель не противоречит основным физическим соображениям, использованным при ее введении С этой целью проводится решение обратной задачи для более узкого и более широкого спектральных интервалов измерений, чем тот, который рассмотрен выше.

В первом случае интервал измерений был сокращен до области 350 - 850 нм, а во втором случае была добавлена часть выкинутых ранее экспериментальных данных, и интервал измерений был расширен до области 300 - 850 нм Очевидно, что с увеличением нижней границы спектральной области должно увеличиваться число пространственных гармоник, которые можно отнести к мелкомасштабным, а при уменьшении нижней границы спектрального диапазона число таких гармоник должно уменьшаться При решении обратной задачи эллипсометрии в области 350 - 850 нм толщина поверхностного оверслоя была получена равной 1 56 нм, а при решении обратной задачи в области 300 - 850 нм - равной 1 23 нм Сравнение этих значений с полученной ранее толщиной оверслоя 1 34 нм, показывает, что используемая модель дает результаты качественно адекватные основным физическим представлениям В заключение параграфа проводится сравнение полученного значения толщины оверслоя

с величиной мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости найденной на основе экспериментов атомной силовой микроскопии

Рис 7 представляет 10 измерений PSD функции выпотненных для 10 различных областей сканирования с размером lxl МКМ2 Чисто регистрируемых точек для всех областей сканирования было равно 512x512 Таким образом, минимальный интервал между точками был равен 1/512 мкм Удвоенная величина этого интервала определяет максимальную пространственную частоту измерений равную 256 мкм ' Нижняя граница области мелкомасштабной шероховатости в шкале пространственных частот определяется в соответствии с §1 3 выражением

где п - показатель преломления пленки SlO, длина волны падающего света

На рис 7 отмечена граница области мелкомасштабной шероховатости, рассчитанная для длины волны 300 нм При увеличении длины волны эта граница будет сдвигаться влево Очевидно, что значение 0"t, рассчитанное по значениям PSD функции в отмеченной на рис 7 области будет давать нижнюю оценку величины мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости для всей спектральной области от 300 нм до 850 нм Базируясь на результатах десяти измерений, в работе получена следующая оценка для величины

сг, =0 5310 05 (нм)

Удвоенная величина равна 1 06 нм и находится в хорошем соответствии с толщиной оверслоя 123 нм, найденной ранее при решении обратной задачи эллипсометрии в области 300 - 850 нм Данное соответствие свидетельствует об адекватности результатов решения обратной задачи эллипсометрии данным, полученным из непосредственного эксперимента, в том числе и на количественном уровне

Еще одним важным выводом по результатам §2 3 является то, что для исследования среднеквадратичной шероховатости может использоваться спектральная эллипсометрия Этот вывод важен потому, что проведение спектральных эллипсометрических измерений значительно более просто, чем проведение экспериментов атомной силовой микроскопии

Параграф 2 4 связан с определением параметров тонких пленок в области вакуумного ультрафиолета по данным спектральной фотометрии Спектральная

фотометрия является широко используемым методом исследования тонких пленок. Это исследование базируется на измерении энергетических коэффициентов пропускания и/или отражения для тонкой пленки, нанесенной на подложку, параметры которой хорошо известны. Измерения проводятся, как правило, при нормальном падении света или при углах падения, близких к нормальному. 1Е+05 1 Е-Ю4 I Е+03

, 1 е+ог

X

^ 1Е*0'

V:

* 1 Е*00 1Е-01

1Е-02

1 Е-03

1 Ш 100 1000

Пространственная частота. МКМ '1

Рис. 7 Результаты десяти измерений функции спектральной плотности мощности для слоя из материала 5¡02, полученные для десяти различных областей сканирования с размерами 1x1 мкм.

Как было показано в главе 1, коэффициенты отражения и пропускания света зависят от поверхностной шероховатости только во втором порядке малости. Поэтому в большинстве случаев модели пленок, используемые для обработки данных спектральной фотометрии, не требуют учета шероховатости ее границ. Однако продвижение современной многослойной оптики в область вакуумного ультрафиолета может потребовать учета шероховатости в моделях тонкой пленки. Действительно, поправки к коэффициентам отражения и пропускания, связанные как с мелкомасштабной, так и с крупномасштабной шероховатостью, имеют порядок Отсюда следует, что при одной и той же величине влияние шероховатости на коэффициенты отражения и пропускания на длине волны 193 нм будет на порядок больше, чем в видимой области спектра.

В работе проводится детальное исследование, связанное с определением основных параметров пленки из фторида лантана в области вакуумного

ультрафиолета. Следует отметить, что ЬаР} - один из двух основных материалов,

используемых для создания оптики, применяемой в лазерной литографии на длинах волн 193 нм и 157 нм

Эксперимент по определению параметров пленки ¿а^ в области 130 - 230 нм проводился совместно с сотрудниками лазерного центра г Ганновер, Германия (группа д-ра Детлева Ристау) и сотрудниками НИВЦ МГУ (к ф м н Т Амочкина) Измерение энергетических коэффициентов отражения в указанной области может производиться только в вакууме и в связи с этим требует использования уникальной аппаратуры Такой прибор был разработан в лазерном центре Ганновера и на нем были получены все использованные в работе экспериментальные данные Для решения обратной задачи фотометрии использовалась применяемая в НИВЦ стандартная программа OptiChaг Автором выполнен анализ экспериментальных данных, проведено обоснование необходимости использования модели, учитывающей поверхностную шероховатость, а также получены численные результаты, характеризующие параметры пленки 1мРу

В работе показано, что использование введенной в §2 2 шестипараметрической модели слоя, учитывающей мелкомасштабную шероховатость, необходимо не только для оценки самой мелкомасштабной шероховатости, но, в первую очередь для повышения точности определения основных параметров пленки, т е ее толщины и показателя преломления Найденная в ходе исследования толщина поверхностного оверслоя хорошо согласуется с данными о микроструктуре исследуемой пленки, полученными с помощью электронной микроскопии Полученное в результате решения обратной задачи прекрасное совпадение экспериментально измеренного и модельного коэффициентов отражения подтверждает адекватность предложенной в работе модели тонкой пленки

Третья глава посвящена разработке методов моделирования эффектов в многослойных структурах связанных с наличием шероховатости границ слоев, а также непосредственному исследованию этих эффектов для ряда многослойных структур, находящих применение в новейших технологиях

В параграфе 3 1 построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов многослойных покрытий, позволяющий учесть эффекты, связанные с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостями границ слоев Этот алгоритм основывается на понятии матриц передачи, используемом при решении многих задач радиофизики, электродинамики и оптики

Матрица передачи покрытия связана с амплитудными коэффициентами отражения и пропускания следующим соотношением:

где г, I - коэффициенты отражения и пропускания для волны, падающей со стороны внешней среды, а г' ,1 ' - коэффициенты отражения и пропускания для волны, падающей со стороны подложки.

Если многослойное покрытие состоит из т слоев, то его матрица передачи может быть записана в виде:

С = В0СДСг...СЛ, (24)

где - матрицы передачи для границ раздела слоев, а - матрицы передачи для внутренних областей слоев. Матрицы В1 описывают скачки амплитуд волн на границах слоев, а матрицы - набеги фаз внутри слоев.

При наличии шероховатости границ слоев многослойного покрытия матрицы имеют тот же вид, что и в случае слоев с идеальными границами слоев, а именно

(25)

где - показатели преломления и толщины слоев.

Элементы матрицы В/ выражаются через амплитудные коэффициенты

отражения и пропускания для границ раздела слоев:

(26)

'1/г, /г,

где - коэффициенты отражения и пропускания для границы раздела двух сред

при падении волны с правой границы, а - аналогичные коэффициенты при

падении волны с левой стороны границы.

В случае крупномасштабной шероховатости эти коэффициенты находятся по формулам, аналогичным (9), (10), а в случае мелкомасштабной шероховатости - по формулам, аналогичным (11), (12).

Подстановка матриц (25), (26) в правую часть выражения (24) позволяет вычислить матрицу передачи всего покрытия С и, тем самым, в соответствии с

представлением (23) найти амплитудные коэффициенты для многослойного

покрытия с шероховатыми границами. На основе описанного алгоритма была составлена программа для расчета амплитудных и энергетических коэффициентов отражения и пропускания многослойного покрытия с учетом крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей границ слоев.

В следующем параграфе третьей главы результаты расчетов по разработанной программе используются при исследовании эффектов в многослойных структурах, связанных с шероховатостью их границ.

В параграфе 3 2 на основе модельных расчетов показано, что в случае многослойных диэлектрических зеркал эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев зеркала, близки в зоне высокого отражения. Оба типа шероховатости вызывают заметное сужение этой зоны и приводят к небольшому увеличению коэффициента пропускания в районе центральной длины волны зеркала. В то же самое время, воздействие крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на коэффициент пропускания вне зоны высокого отражения принципиально различно.

Моделирование эффектов, связанных с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями, необходимо для правильной интерпретации реальных экспериментальных данных, которой посвящена значительная часть §3.2.

В работе проведено исследование реальных многослойных зеркал для длины волны 193 нм. экспериментальные результаты для которых получены в Лазерном центре г. Ганновер группой д-ра Детлева Ристау.

Одним из наиболее существенных отличий экспериментально измеренных кривых отражения и пропускания от расчетных кривых является существенное сужение области высокого отражения зеркала по сравнению с расчетными данными (примерно на 20%). В работе установлено, что основной причиной сужения области высокого отражения многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является наличие мелкомасштабной шероховатости границ слоев зеркала. Этот вывод имеет существенное значение для совершенствования технологий, поскольку указывает конкретные причины, приводящие к деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета.

Заключительная часть §3.2 посвящена исследованию влияния мелкомасштабной шероховатости на свойства чирп-зеркал, являющихся одним из важнейших элементов, используемых при разработке лазеров со сверхкороткими длительностями импульсов

Наряду с условием достижения высокого отражения в рабочей области чирп-зеркала, важнейшим требованием к нему является получение определенной спектральной зависимости дисперсии групповой задержки чирп-зеркала. Именно выполнение этого требования обеспечивает надлежащее сжатие импульса лазерного излучения.

Дисперсия групповой задержки, выражаемая через вторую производную фазового сдвига при отражении по частоте, является чрезвычайно чувствительной к производственным погрешностям. В работе исследовано влияние поверхностной шероховатости на спектральные свойства дисперсии групповой задержки. При этом рассматривалось только влияние мелкомасштабной шероховатости, как наиболее вероятной причины деградации свойств чирп-зеркала. Результаты проведенного исследования свидетельствуют о том, что при современном уровне технологий наличие шероховатостей границ слоев не является основным препятствием к их практической реализации.

Основные выводы по результатам диссертации

1. Предложены приближенные математические модели, учитывающие с заданной точностью влияние шероховатости границы раздела двух диэлектрических сред на характеристики рассеянного излучения, и разработан подход, позволяющий получить простые расчетные формулы, которые в полной мере отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью этой границы. В предельном случае крупномасштабной шероховатости полученные формулы переходят в формулы скалярной теории дифракции.

2. Введены понятия крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей. Проведена оценка областей применения приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. На основании этой оценки получены значения крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатостей для реальных покрытий на основе экспериментов атомной силовой микроскопии.

3. Показано, что изменения коэффициентов отражения и пропускания, вызванные наличием мелкомасштабной шероховатости на границе раздела двух сред, могут быть учтены путем введения тонкого поверхностного слоя с показателем преломления, определяемым показателем преломления этих двух сред.

4 Разработан необходимый для решения обратной задачи эллипсометрии эффективный алгоритм расчета эллипсометрических углов для многопараметрической модели тонкой пленки с поверхностным оверслоем, моделирующем мелкомасштабную шероховатость Проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов по отношению к толщине поверхностного оверслоя в различных областях спектра Показано, что эллипсометрический угол существенно более чувствителен к поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол ¥ Выявлены спектральные области, в которых измерительная информация о наличии поверхностного оверслоя наиболее надежна

5 Проведено экспериментальное исследование тонких пленок методом спектральной эллипсометрии. Путем сравнения данных спектральной эллипсометрии с результатами атомной силовой микроскопии экспериментально подтверждено, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости Показано, что учет в модели пленки поверхностного оверслоя необходим для более точного определения ее параметров.

6 Показано, что при обработке данных спектральной фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным является учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонкой пленки Введение в модель пленки дополнительного параметра - толщины поверхностного оверслоя, позволяет повысить точность определения показателя преломления пленки в этой области спектра.

7 Построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых покрытий, позволяющий учесть эффекты, связанные с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостями границ слоев Показано, что как рассеяние на границах пленок, так и наличие мелкомасштабной шероховатости, может приводить к существенному сужению области высокого отражения многослойных диэлектрических зеркал На основе анализа экспериментальных данных установлено, что наряду с потерями на поглощение основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1) Alexander V Tikhonravov Michael К Trubetskov Andrei A Tikhonravov, To the design and theory of chirped mirrors // Optical interference coatings, Vol 9, OSA Technical Digest Senes, OSA, pp 293-295,1998

2) A V Tikhonravov ¥ К Trubetskov A A Tikhonravov and A Duparre Impact of surface roughness on spectral properties of thin films and multilayers // Optical Interference Coatings, OSA Technical Digest Senes, pp ThB5-l-ThB5-3, Banff, Canada, 2001

3) A HБоголюбов А А Тихонравов, Влияние шероховатостей различных масштабов на коэффициент отражения от границы раздела двух сред // Вестник МГУ, Серия 3, Физика, N3, стр 27-30, 2002

4) А А Тихонравов В таяние шероховатостей различных масштабов на оптические свойства слоистых сред // Материалы Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2002", Издательство МГУ, 2002

5) А.В Тихонравов М.К Трубецков МА.Кокарев А А Тихонравов, Новые методы синтеза многослойных покрытий для диапазонов от ВУФ до ИК // Сборник трудов, V международная конференция "Прикладная оптика", том 2, Оптические Технологии и Материалы, С-Пб, Россия, стр 173-177, 2002

6) А V Tikhonravov М К Trubetskov A A Tikhonravov and A Duparre Effects of interface roughness on the spectral properties of thin films and multilayers // Appl Opt 42, pp 5140-5148,2003

7) Alexander Tikhonravov Michael Trubetskov Tatiana Amotchkina Andrei Tikhonravov Detlev Ristau and Stefan Gunster, Reliable determination of wavelength dependence of thin film refractive index // Proceedings of SPIE, Vol 5188, pp 331-343, 2003

8) A V Tikhonravov MК Trubetskov A A Tikhonravov, Accurate formulas for estimating the effect of surface micro-roughness on elhpsometnc angles of dielectric thin films // Optical Interference Coatings on CD-ROM, Optical Society of America, Washington DC, WE4, 2004

9) А А Тихонравов Исследование параметров тонких пленок с учетом шероховатости границ // МГУ им М В Ломоносова, Физический факультет, Препринт N3/2004, Москва, 2004, 16с

Подписано в печать 03 03 2005 г Формат 60 х 84/16 Объем 2,0 п л Тираж 100 экз Заказ № 7

Участок оперативной печати НИВЦ МГУ 119992, ГСП-2, Москва, НИВЦ МГУ им М В Ломоносова

OS. ft

919

Введение.

1. Моделирование эффектов, связанных с шероховатостью границ раздела сред с различными оптическими свойствами.

1.1 Методы учета рассеяния на шероховатой поверхности.

1.2 Учет рассеяния на шероховатой поверхности с точностью до членов второго порядка малости.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Сведение задачи рассеяния к системе линейных алгебраических уравнений.

1.2.3 Подход к решению системы линейных алгебраических уравнений.

1.2.4 Выражения для амплитуд рассеянных мод.

1.2.5 Поправки к амплитудным коэффициентам отражения и пропускания, связанные с возмущением границы раздела сред.

1.3 Крупномасштабная и мелкомасштабная шероховатости.

Ъ 1.3.1 Сравнение с результатами скалярной теории дифракции.

1.3.2 Физические эффекты, связанные с затухающими модами.

1.3.3 Применимость приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей.

1.4 Оценки крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей на основе экспериментов атомной силовой

4* микроскопии.

Выводы к главе 1.

2. Исследование параметров тонких пленок с учетом шероховатости границ.

2.1 Вариации элипсометрических углов tn Д при наличии мелкомасштабной поверхностной шероховатости слоя.

2.2 Выбор модели пленки для решения обратной задачи спектральной эллипсометрии.

2.3 Сравнение результатов спектральной элипсометрии и атомной силовой микроскопии.

2.4 Определение параметров пленок в области вакуумного ультрафиолета по спектральным фотометрическим данным.

Выводы к главе 2.

3. Учет шероховатости границ в многослойных структурах.

3.1 Расчет спектральных характеристик многослойных покрытий с учетом шероховатости границ слоев.

3.2 Эффекты в многослойных структурах, связанные с наличием шероховатости границ слоев.

3.2.1 Эффекты, вызванные крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостью.

3.2.2 Исследование реальных многослойных зеркал для длины волны 193 нм.

3.2.3 Влияние мелкомасштабной шероховатости на свойства чирп-зеркал.

Выводы к главе 3.

Математическое моделирование является основой исследования большинства современных физических проблем и развития многих современных инновационных технологий. Важным объектом исследования, требующим применения методов математического моделирования, являются оптические слоистые структуры. Такие структуры, создаваемые путем напыления тонких диэлектрических слоев, находят самое широкое применение в современных физических исследованиях, связанных с изучением и формированием оптического излучения, а также в таких областях высоких технологий, как лазерная техника, оптоэлектроника, телекоммуникации.

Оптические слоистые структуры варьируются от однослойных до многослойных структур с десятками и даже сотнями слоев. При этом поперечные размеры слоев многократно превышают их полную толщину. В силу этого для исследования оптических слоистых структур с успехом применяются модели слоистых сред с неограниченными по двум координатным осям размерами слоев. Другим модельным предположением, на котором до самого последнего времени базировалось исследование оптических слоистых структур, является предположение об идеальных плоскопараллельных границах раздела слоев. Такая идеализация была оправдана как уровнем технологий, используемых для производства элементов слоистой оптики, так и точностью экспериментальных средств, используемых для контроля параметров этих элементов.

В последние годы был достигнут значительный прогресс в области технологий нанесения многослойных оптических покрытий. Соответственно этому возрастают требования к точности моделей, используемых для анализа свойств слоистых структур. Существенно возросло также качество экспериментального оборудования, используемого для исследования параметров отдельных тонких слоев. В связи с этим имеется реальная возможность повышения точности определения оптических параметров слоев, что также требует использования более совершенных чем ранее математических моделей. Такие модели должны принимать во внимание неидеальность границ оптических тонких слоев. Еще одним стимулом к учету шероховатости границ слоев оптических слоистых структур является расширение спектральной области их применения в сторону коротких длин волн, где, как известно, влияние шероховатостей границ слоев резко возрастает. Такое расширение связано, в частности, с планируемым переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета, что в свою очередь, позволит перейти в ближайшие годы к еще более компактным технологиям в микроэлектронике. Указанные обстоятельства делают крайне актуальной задачу расчета спектральных характеристик оптических слоистых структур, в первую очередь их спектральных коэффициентов отражения и пропускания, с учетом шероховатости границ слоев. Не менее важной проблемой является решение обратной задачи определения оптических параметров тонких слоев на основе моделей, адекватно учитывающих неидеальность границ слоев.

Математическому моделированию эффектов, связанных с шероховатостью границ раздела сред, посвящены десятки тысяч работ, начиная с известных работ Релея, Мандельштама и многих других ученых начала и середины двадцатого века. Эти работы связаны с различными областями физики, прежде всего с оптикой, акустикой, радиофизикой, электродинамикой. Всякое новое исследование по моделированию шероховатостей мотивируется новыми применениями разрабатываемых математических моделей. С точки зрения современных приложений оптических слоистых структур наиболее важным является моделирование шероховатостей на границах диэлектрических слоев и обрамляющих их диэлектрических сред, направленное на исследование влияния шероховатостей на энергетические коэффициенты пропускания и отражения этих структур. При этом разрабатываемые модели должны обеспечивать возможность построения эффективных алгоритмов, предназначенных для численного анализа данного влияния.

Наиболее эффективным экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких слоев являются методы спектральной фотометрии и эллипсометрии. Достигнутая к настоящему времени точность спектрофотометров и спектральных эллипсометров позволяет ставить вопрос о повышении точности решения обратных задач определения параметров тонких слоев по соответствующим экспериментальным данным. В связи с этим разрабатываемые модели тонких слоев с учетом шероховатости их границ должны служить основой для построения не только эффективных с численной точки зрения, но и устойчивых алгоритмов решения данных обратных задач.

Указанные обстоятельства определяют актуальность основной цели диссертационной работы.

Целью диссертации является моделирование эффектов, связанных с шероховатостью границ диэлектрических сред с различными оптическими свойствами, и построение моделей, обеспечивающих решение обратных задач определения параметров тонких диэлектрических слоев и построение эффективных алгоритмов численного анализа спектральных коэффициентов оптических слоистых систем.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. В приближении малых по высоте возмущений границы раздела двух диэлектрических сред получены формулы, отражающие во втором порядке малости влияние шероховатости на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания этой границы. Полученные формулы позволили проанализировать переход между предельными случаями крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей и предложить количественные оценки для отнесения различных пространственных гармоник шероховатой поверхности к крупномасштабному или мелкомасштабному типу. Для моделирования эффектов, связанных с влиянием шероховатостей на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания границ сред с различными оптическими параметрами, предложено использовать два новых параметра: крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости. На основе анализа данных атомной силовой микроскопии получены оценки этих параметров для типичных образцов оптических покрытий.

2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.

3. Проведен детальный анализ обратной задачи определения параметров тонких слоев по эллипсометрическим данным с учетом шероховатости границ слоев. При этом получены простые, но достаточно точные формулы для вариаций эллипсометрических углов, связанных с наличием поверхностного оверслоя, моделирующего мелкомасштабную шероховатость. С помощью полученных формул в различных спектральных зонах проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов к толщине поверхностного оверслоя. Показано, что эллипсометрический угол Д существенно более чувствителен к мелкомасштабной поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол Введена базовая шестипараметрическая модель для решения обратной задачи эллипсометрии тонких диэлектрических пленок. На основе этой модели построен численный алгоритм решения обратной задачи, на реальных экспериментальных данных продемонстрирована его эффективность и показано, что учет в модели пленки мелкомасштабной шероховатости необходим для повышения точности определения ее параметров. Проведено сравнение результатов решения обратной задачи эллипсометрии с данными атомной силовой микроскопии и подтверждено, что спектральная эллипсометрия может использоваться для изучения мелкомасштабной поверхностной шероховатости.

4. Проведен сравнительный анализ влияния крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на фотометрические данные (энергетические коэффициенты отражения и пропускания). На основе этого анализа показано, что при решении обратной задачи фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным моментом может явиться учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости в модели оптической тонкой пленки. Выполнен анализ реальных экспериментальных данных, требующих использования соответствующих моделей, и показано, что учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости приводит к существенному увеличению точности решения обратной задачи фотометрии.

5. Построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев. Продемонстрировано, что влияние крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на спектральные коэффициенты отражения и пропускания многослойных оптических структур различно. В то же время обнаружено, что рассеяние на границах слоев многослойных диэлектрических зеркал и наличие мелкомасштабных шероховатостей на границах их слоев может приводить к сходным эффектам в зоне высокого отражения.

Перейдем теперь к практической ценности проведенных исследований. Проведенное аналитическое исследование влияния шероховатостей на френелевские коэффициенты отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред позволило ввести в рассмотрение два новых параметра - крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости, и предложить способ их численной оценки. Это открывает путь к построению моделей и численных алгоритмов, необходимых для изучения практически важных объектов, как тех, которые уже рассмотрены в данной работе, так, возможно, и ряда других в будущем.

Разработанные в диссертации модели и численные алгоритмы позволяют эффективно анализировать влияние шероховатостей на спектральные характеристики оптических слоистых структур, реально использующихся на практике. Разделение эффектов, связанных с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, и возможность численного моделирования этих эффектов позволяют более надежно интерпретировать реальные экспериментальные данные, получаемые как при исследовании отдельных тонких слоев, так и в процессе разработки сложных многослойных элементов современной оптики.

Использование полученных в работе результатов для построения моделей тонких пленок позволяет существенно повысить точность решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии, являющихся в настоящее время двумя основными экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких пленок.

Проведенное в работе сравнение с результатами атомной силовой микроскопии показывает, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости. Практическая значимость этого вывода определяется тем, что экспериментальные исследования на основе спектральной эллипсометрии является существенно менее трудоемкими и более дешевыми, чем исследования, проводимые с помощью атомной силовой микроскопии.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Введены в рассмотрение два новых параметра, характеризующие шероховатость границы раздела двух диэлектрических сред, - крупномасштабная и мелкомасштабная среднеквадратичные шероховатости и предложен способ их количественной оценки.

2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.

3. Для решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии тонких диэлектрических слоев предложена шестипараметрическая модель, учитывающая поверхностную мелкомасштабную шероховатость, предложены приближенные алгоритмы решения прямой и обратной задач эллипсометрии, и показано, что использование модели, учитывающей мелкомасштабную шероховатость, позволяет существенно повысить точность определения параметров тонких слоев.

4. Разработан эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов многослойных структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, проведен сравнительный анализ этих эффектов и на его основе установлено, что основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал.

Содержание работы.

Основной задачей первой главы является получение простых расчетных формул, которые, в то же время отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью границы раздела двух диэлектрических сред. В работе основное внимание уделено учету воздействия шероховатости поверхности на коэффициенты отражения и пропускания тонких пленок и многослойных оптических покрытий. Вместо того, чтобы использовать один параметр (среднеквадратичную шероховатость), предлагается учитывать два параметра, а именно, среднеквадратичную шероховатость сг,, связанную с крупномасштабной шероховатостью, и среднеквадратичную шероховатость crs, связанную с мелкомасштабной шероховатостью. Относительно оценок "крупномасштабная" либо "мелкомасштабная" шероховатость даются разъяснения последовательно по ходу изложения материала первой главы работы.

В параграфе 1.1 дается обзор литературы, наиболее близко соответствующей тематике данной работы. Здесь же анализируются наиболее широко используемые экспериментальные подходы к исследованию поверхностной шероховатости.

В параграфе 1.2 рассмотрен случай нормального падения плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на цилиндрическую поверхность с произвольным профилем шероховатости. Как уже было отмечено выше, основная задача этой главы - получение формул, описывающих изменения коэффициентов отражения и пропускания при наличии шероховатости. Имея в виду основные цели работы, такая упрощенная постановка вполне оправдана. Следует отметить, что и реальные практические исследования шероховатости фактически сводятся к исследованию одномерных профилей [8].

В параграфе 1.3 работы рассматриваются предельные случаи широкомасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Показано, что в случае крупномасштабных шероховатостей, полученные в параграфе 1.2 расчетные формулы переходят в пределе в известные формулы скалярной теории дифракции [16, 17].

Также показано, что предельный случай мелкомасштабной шероховатости может быть эффективно учтен путем введения тонкого поверхностного слоя с толщиной, равной удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости, и с показателем преломления, связанным простой формулой с показателем преломления сред, разделенных шероховатой поверхностью. В этом же параграфе предложены количественные оценки для отнесения различных пространственных гармоник шероховатостей к крупномасштабному или мелкомасштабному типу.

В параграфе 1.4 анализируются результаты атомной силовой микроскопии (АСМ) для нескольких типичных образцов оптических поверхностей. На основе этого анализа получены оценки значений крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей для этих образцов.

Вторая глава посвящена исследованию параметров тонких пленок с учетом шероховатости их границ. Определение параметров пленок с высокой точностью является определяющим для надежного проектирования и изготовления современных высококачественных оптических покрытий. Наиболее распространенными экспериментальными подходами к такому определению в настоящее время являются спектральная фотометрия и спектральная эллипсометрия. Основные параграфы главы связаны с исследованием параметров тонких пленок на основе данных спектральной эллипсометрии.

В параграфе 2.1 выводятся простые, но достаточно точные, формулы для учета вариаций эллипсометрических углов при наличии поверхностной неоднородности пленки, связанной с мелкомасштабной шероховатостью ее внешней границы, моделируемой поверхностным оверслоем. Эти формулы дают в первом приближении по толщине оверслоя явные выражения для вариаций эллипсометрических углов, связанных с наличием мелкомасштабной шероховатости на внешней границе тонкой пленки.

В параграфе 2.2 формулы, полученные в предыдущем параграфе, используются для обоснования выбора модели пленки, используемой для решения обратной задачи эллипсометрии, а также разрабатывается алгоритм решения данной задачи в рамках выбранной модели. В этом параграфе проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов по отношению к толщине поверхностного оверслоя в различных областях спектра. Показано, что эллипсометрический угол А существенно более чувствителен к поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол

Выявлены спектральные области, в которых измерительная информация о наличии поверхностного оверслоя наиболее надежна.

В параграфе 2.3 приводится пример решения обратной задачи эллипсометрии с использованием разработанного в предыдущем параграфе алгоритма. На основе сравнения результатов, полученных путем обработки данных спектральной эллипсометрии и атомной силовой микроскопии, экспериментально подтверждается адекватность построенной модели пленки и возможность использования спектральной эллипсометрии для исследования мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонких пленок. Проведенное экспериментальное исследование тонких пленок методом спектральной эллипсометрии показывает, что учет в модели пленки поверхностного оверслоя необходим для более точного определения ее параметров. Путем сравнения данных спектральной эллипсометрии с результатами атомной силовой микроскопии экспериментально подтверждено, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости.

Энергетические коэффициенты отражения и пропускания при нормальном падении света мало чувствительны к шероховатости границ тонкой пленки. В силу этого при обработке спектральных фотометрических данных, как правило, можно пренебречь этой шероховатостью. Однако, в самое последнее время в связи с продвижением оптических покрытий в область вакуумного ультрафиолета, возникают задачи, требующие использования моделей, учитывающих поверхностную шероховатость и в случае обработки фотометрических данных. С этими задачами связано содержание параграфа 2.4. Показано, что при обработке данных спектральной фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным является учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонкой пленки. Введение в модель пленки дополнительного параметра - толщины поверхностного оверслоя, позволяет повысить точность определения показателя преломления пленки в этой области спектра.

Третья глава посвящена разработке методов моделирования эффектов в многослойных структурах, связанных с наличием шероховатости границ слоев, а также непосредственному исследованию этих эффектов для ряда многослойных структур, находящих применение в новейших технологиях.

В параграфе 3.1 построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых покрытий, позволяющий учесть эффекты, связанные с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостями границ слоев. Ряд рекуррентных алгоритмов расчета спектральных характеристик многослойных покрытий использует в явном виде френелевские коэффициенты для границ раздела слоев покрытия. Поэтому влияние шероховатостей границ слоев на спектральные характеристики покрытия в целом можно учесть, модифицировав необходимым образом один из этих алгоритмов. В параграфе 3.1 для этих целей используется алгоритм, основанный на понятии матрицы передачи. С использованием данного алгоритма составлена программа для расчета амплитудных и энергетических коэффициентов многослойного покрытия с учетом крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей границ слоев покрытия.

В параграфе 3.2 продемонстрировано, что влияние мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостей на коэффициенты отражения и пропускания многослойных систем различно. Показано, что и рассеяние на границах пленок и наличие мелкомасштабной шероховатости, связанной с колончатой структурой пленок, может приводить к существенному сужению области высокого отражения диэлектрических зеркал. На основе анализа экспериментальных данных установлено, что наряду с потерями на поглощение энергии основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал. В этом же параграфе анализируется влияние мелкомасштабной шероховатости на свойства чирп-зеркал, являющихся важнейшими элементами для разработки лазеров со сверхкороткими длительностями импульсов.

В заключении даются окончательные выводы диссертационной работы.

Основные выводы по результатам работы состоят в следующем.

1. Предложены приближенные математические модели, учитывающие с заданной точностью влияние шероховатости границы раздела двух диэлектрических сред на характеристики рассеянного излучения, и разработан подход, позволяющий получить простые расчетные формулы, которые в полной мере отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью этой границы. В предельном случае крупномасштабной шероховатости полученные формулы переходят в формулы скалярной теории дифракции.

2. Введены понятия крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей. Проведена оценка областей применения приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. На основании этой оценки получены значения крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатостей для реальных покрытий на основе экспериментов атомной силовой микроскопии.

3. Показано, что изменения коэффициентов отражения и пропускания, вызванные наличием мелкомасштабной шероховатости на границе раздела двух сред, могут быть учтены путем введения тонкого поверхностного слоя с показателем преломления, определяемым показателем преломления этих двух сред.

4. Разработан необходимый для решения обратной задачи эллипсометрии эффективный алгоритм расчета эллипсометрических углов для многопараметрической модели тонкой пленки с поверхностным оверслоем, моделирующим мелкомасштабную шероховатость. Проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов по отношению к толщине поверхностного оверслоя в различных областях спектра. Показано, что эллипсометрический угол Д существенно более чувствителен к поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол Выявлены спектральные области, в которых измерительная информация о наличии поверхностного оверслоя наиболее надежна.

5. Проведено экспериментальное исследование тонких пленок методом спектральной эллипсометрии. Путем сравнения данных спектральной эллипсометрии с результатами атомной силовой микроскопии экспериментально подтверждено, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости. Показано, что учет в модели пленки поверхностного оверслоя необходим для более точного определения ее параметров.

6. Показано, что при обработке данных спектральной фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным является учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонкой пленки. Введение в модель пленки дополнительного параметра - толщины поверхностного оверслоя, позволяет повысить точность определения показателя преломления пленки в этой области спектра.

7. Построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых покрытий, позволяющий учесть эффекты, связанные с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостями границ слоев. Показано, что как рассеяние на границах пленок, так и наличие мелкомасштабной шероховатости, может приводить к существенному сужению области высокого отражения многослойных диэлектрических зеркал. На основе анализа экспериментальных данных установлено, что наряду с потерями на поглощение основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал.

В заключение автор хотел бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Алексею Георгиевичу Свешникову за постоянное внимание к работе и помощь. Автор также благодарен профессору А.Н.Боголюбову, доктору физико-математических наук М.К.Трубецкову и кандидату физико-математических наук Т.Амочкиной за многочисленные полезные советы и замечания.

1.А. Тонкослойные оптические покрытия. - издательство Машиностроение, 1977.2.4 H.MMacleodThin film optical filters Adam Hilger, 1987.

2. A. Thelen Design of optical interference filters New-York, 1989.

3. Sh.A.Furman and A. V. Tikhonravov Basics of optics of multilayer systems. 1992.

4. Свешников А.Г., Тихонравов A.B., Трубецков M.K., Нелокальный метод оптимизации многослойных оптических систем // Математическое моделирование -7, с. 105 — 127, 1995.

5. Свешников А.Г., Тихонравов А.В., Трубецков М.К., Современные методы синтеза многослойных оптических покрытий // Радиотехника и электроника, 2000.7. http://w\vw.lzh.de/tmr сайт международного проекта "Training and mobility of researches (TMR)".

6. Джин M. Беннетт и Ларе Маттсон, Шероховатость поверхности и рассеяние — Оптическое Общество Америки, 1993.

7. SJ.Gourley and P.H.Lissberger, Optical scattering in multilayer thin films Department of Pure and Applied Physics, U.K., 1978.

8. Elson J.M., Rahn J.P., and Bennett J.M., Light scattering from multilayer optics: comparisson of theory and experiment // Appl. Opt. 19, 1980.

9. James M. Zavislan, Angular scattering from optical interfernce coatings: scalar scattering predictions and measurements // Appl. Opt. 30, 1991.

10. Ezekiel Bahar and Robert D. Kubik, Computations of Mueller matrix elements for scattering from layered structures with rough surfaces, with applications to optical detection // Appl. Opt. 36, 1997.

11. J.M.Elson, H.E.Bennett, and J.M.Bennett Scattering from optical surfaces // Applied Optics and Optical Ingineering, Vol. VIII, 1979.

12. C.K.Carniglia, Scalar scattering theory for multilayer optical coatings // Opt. Eng. 18, 1979.

13. J.M.Elson, J.P.Rahn, and J.M.Bennett Relatinship of the total intgrated scattering from multilayer-coated optics to angle of incidence, polarization, correlation length, and rougness cross-correlation properties // Appl. Opt. 22, 1983.

14. P.Beckmann and A.Spizzichino, The scattering of electromagnetic waves from rough surfaces Pergamon Press, London, 1963.

15. H.E.Bennett and J.O.Porteus, Relation between surface roughness and specular reflectance at normal incidence // J. Opt. Soc. Am. 51, 1961.

16. IanJ.Hodgkinson, Qi hong Wu, Birefringent thin films polarizing elements World scientific, 1997.

17. М.Борн, Э.Вольф, Основы оптики Наука, 1973.

18. J.A.Ogilvy, Theory of Wave Scattering from Random Rough Surfaces Adam Hilger, Bristol, NY, 1991.21 )C.K. Carniglia, D.G. Jensen, Single-layer model for surface roughness // Appl. Opt. 41, 3167-3171,2002.

19. F. Abeles, Recherches sur la propagation des ondes electromagnetique sinusoidales dans les milieux stratifies //Ann. de Physique 5, 596-640, 706-782, 1950.

20. H.Schroder, Bemerkung zur Theorie des Lightdurchgangs durch inhomogene durchsichtige Schichten // Annalen der Physik, 5th series, Vol. 39, pp. 55-58, 1941.

21. C.K. Carniglia, Ellipsometric calculations for non-absorbing thin films with linear refractive-index gradients //J.Opt.Soc.Am. A 7, pp.848-856, 1990.

22. A.V.Tikhonravov, M.K.Trubetskov, A.A.Tikhonravov, and A.Duparre. Impact of surface roughness on spectral properties of thin films and multilayers. // Optical Interference Coatings, OSA Technical Digest Series, pp. ThB5-l-ThB5-3, Banff, Canada, 2001.

23. J. Ferre-Borrull, A. Duparre, and E. Quesnel, Procedure to characterize microroughness of optical thin films: application to ion-beam-sputtered vacuum-ultraviolet coatings // Appl. Opt. 40, 2190—2199, 2001.

24. A. Duparre, J. Ferre-Borrull, S. Gliech, G. Notni, J. Steinert, and J.M. Bennett, Surface characterization techniques for determining the root-mean-square roughness and power spectral densities of optical components//Appl. Opt. 41, 154—171, 2002.

25. J.M Bennett and L. Mattsson, Introduction to Surface Roughness and Scattering // 2nd ed., Optical Society of America, Washington D.C., 1999.

26. A. V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, A.V. Krasilnikova, E. Masetti, A. Duparre, E. Quesnel, D.Ristau, Investigation of the surface micro-roughness of fluoride films be spectroscopic ellipsometry // Thin Solid Films, Vol. 397, pp. 229-237, 2001.

27. Alexander Tikhonravov, Michael Trubetskov, Tatiana Amotchkina, Andrei Tikhonravov, Detlev Ristau and Stefan Gunster, Reliable determination of wavelength dependence of thin film refractive index//Proceedings of SPIE, Vol. 5188, pp. 331-343, 2003.

28. C.K.Carniglia, Ellipsometric calculations for non-absorbing thin films with linear refractive-index gradients // J.Opt.Soc.Am. A 7, pp.848-856, 1990.

29. Standard Test Method for Measuring the Effective Surface Roughness of Optical Components by Total Integrated Scattering ASTM Doc. F1048-87, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, Pa, 1987.

30. J.A.Detrio and S.M.Miner, Standardized total integrated scatter measurements of optical surfaces // Opt. Eng. 24, 419-422, 1985.

31. Standard Practice for Angle Resolved Optical Scattering Measurements on Specular or Defuse Surfaces ASTM Doc. El392-90 American Society for Testing and Materials, Philadelphia, Pa, 1990.

32. T.A.Leonard and M.Pantoliano, BRDF round robin // Stray Light and Contamination in Optical Systems, R.P. Breault, ed., Proc SPIE 967, 226-235, 1989.

33. T.A.Leonard, Standardization of Optical Scatter Measurements // Stray Radiation in Optical Systems, R.P. Breault, ed., Proc SPIE 1331, 188-194, 1990.

34. J.C.Stover, ed., Optical Scattering: Measurements and Analysis, 2nd ed., // Vol. PM24 of the Press Monographs, SPIE, Bellingham, Wash., 1995.

35. E.LChurch and P.Z.Takacs, The optimal estimation of finish parameters // Optical Scatter: Applications, Measurements, and Theory, J.C.Stover, ed., Proc. SPIE 1530, 7178,1991.

36. J.M.Elson, J.M.Bennet, and J.C.Stover, Wavelength and angular dependence of light scattering from beryllium: comparison of theory and experiment // Appl. Opt. 32, 33623376, 1993.

37. E.LChurch, Fractal surface finish//Appl. Opt. 27, 1518-1526, 1988.

38. E.Marx, I.J.Malik, Y.E.Strausser, T.Bristow, N.Poduje, and J.C.Stover, Power spectral densities: a multiple technique study of different Si wafer surfaces // J.Vac.Sci. Technol. 20, Jan./Feb. 2002.

39. T.Abe, E.F.Steigmeier, W.Hagleiter, and A.J.Pidduck, Microroughness measurements on polished silicon wafers //Jpn. J. Appl. Phys. 31, Part 1, 721-728, 1992.

40. A.Duparre and S.Jakobs, Combination of surface characterization techniques for investigating optical thin-film components // Appl. Opt. 35, 5052-5058, 1996.

41. J.A.Dobrovolski, F.C.Ho and A.Waldolf, Determination of optical constants of thin film coating materials based on inverse synthesis // Appl. Opt. 22, 3191-3200, 1983.

42. D.P.Arndt et al. Multiple determination of the optical constants of thin-film coating materials // Appl. Opt. 23, 3571-3596, 1984.

43. RM.Bueno, J.F.Trigo, J.M.Martinez-Duart, E.Elizalde and J.M.Sanz, Study of the optical constants determination of thin films: dependence on theoretical assumptions // J.Vac.Sci.Technol.A 13,2378-2383, 1995.

44. J.P.Borgogno and P.Bousquet and F.Flory and B.Lazarides and E.Pelletier and P.Roche, Inhomogeneity in films: limitation of the accuracy of optical monitoring of thin films // Appl. Opt. 20, 90-94, 1981.

45. J.P. Borgogno and B.Lazarides and E.Pelletier, Automatic determination of optical constants of inhomogeneous thin films // Appl. Opt. 21, 4020-4029, 1982.

46. J.P.Borgogno and F.Flory and B.Lazarides and E.Pelletier and P.Roche and b.Schmitt and G.Albrand and H.A.Macleod, Refractive index and inhomogeneity of thin films // Appl. Opt., 23, 3567-3570, 1984.

47. А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, Методы решения некорректных задач Наука, Москва, 1986.

48. J.C.Charmet and P.G. de Gennes, Ellipsometric formulas for an inhomogeneous layer with arbitrary refractive-index profile // J. Opt. Soc. Am. 73, 1777-1784, 1983.

49. G.Perjadas de Lariviere, J.M. Frigerio, J.Rivory, and F.Abeles, Estimation of the degree of inhomogeneity of the refractive index of dielectric films from spectroscopic ellipsometry // Appl. Opt. 31, 6056-6061, 1992.

50. V.A.Shvets, Profiles fo optical constants of inhomogeneous layers determined by ellipsometric measurements in situ // Optoelectron. Instrum. Data Process. 6, 25-32, 1993.

51. S.Y.Kim, Numerical calculation of ellipsometric spectra of layer with arbitrary refractive index profiles// Opt. Eng. 32, 88-93, 1993.

52. M.Kildemo, O.Hundery, and B.Drevillon, Approximation of refractive coefficients for rapid real-time calculation of inhomogeneous films // J. Opt. Soc. Am. A 14, 931-939, 1997.

53. КVedam, S.Y.Kim, L.D'Aries, andA.H.Guenther, Non-destructive depth profiling ofZnS and MgO films by spectroscopic ellipsometry // Opt. Lett. 12, 456-458, 1987.

54. S.Y.Kim and KVedam, Simultaneous determination of dispersion relation and depth profile of thorium fluoride thin films by spectroscopic ellipsometry // Thin Solid Films 166, 325-334, 1988.

55. KVedam and S.Y.Kim, Simultaneous determination of refractive index, its dispersion and depth profile thorium fluoride thin films by spectroscopic ellipsometry // Appl. Opt. 28, 2691-2694, 1989.

56. S.Y.Kim, Simultaneous determination of refractive index, extinction coefficient, and void distribution of titanium dioxide thin films by optical methods // Appl. Opt. 35, 67036707, 1996.

57. J.H.Kaiser, Regularization in ellipsometry // Appl. Phys. В 45, 1-5, 1988.

58. B.Dugnoille and O.Virlet, Optical profile of surface layers on a float glass determined by ellipsometry//Appl. Opt. 33, 5853-5858, 1994.

59. D.Tonova and A.Konova, Damage depth profiles determination by ellipsometry: a new numerical algorithm // Surf. Ski. 293, 195-201, 1993.

60. A. V.Tikhonravov, M.KTrubetskov, A.A.Tikhonravov, and A.Duparre. Effects of interface roughness on the spectral properties of thin films and multilayers // Appl. Opt. 42, pp. 5140-5148, 2003.

61. R.Szipocs, K.Ferencz, C.Spielmann, and F.Krausz, Chirped multilayer coatings for broadband dispersion control in femtosecond lazers // Opt. Lett. 19, N 3, 201-203, 1994.

62. A.StingI, C.Spielmann, F.Krausz, and R.Szipocs, Generation of 11-fs pulses of a Tirsapphire laser without the use of prisms // Opt. Lett. 19, N 3, 204-206, 1994.

63. N.Matuschek, F.Kartner, and U.Keller, Exact coupled-mode theories for multilayer interference coatings with arbitrary strong index modulations // IEEE J. Quantum Electron. 33, N3, 1-8, 1997.

64. F.Kartner, N.Matuschek, T.Schibli, U.Keller, H.Haus, C.Heine, R.Morf, V.Scheuer, M.Tilsh, and T.Tschudi, Design and fabrication of double chirped mirrors // Opt. Lett. 22, N 11,831-833, 1997.

65. A.V.Tikhonravov, M.K.Trubetskov, and G.Debell, Application of needle optimization technique to the design of optical coating // Appl. Opt. 35, 5493-5508, 1996.

66. Alexander V. Tikhonravov, Michael К Trubetskov, Andrei A. Tikhonravov, To the design and theory of chirped mirrors // Optical interference coatings, Vol. 9, OSA Technical Digest Series, OSA, pp. 293-295, 1998.

67. Боголюбов A.H., Тихонравов A.A., Влияние шероховатостей различных масштабов на коэффициент отражения от границы раздела двух сред // Вестник МГУ, Серия 3, Физика, N3, стр. 27-30, 2002.

68. Тихонравов А.А. Влияние шероховатостей различных масштабов на оптические свойства слоистых сред // Материалы Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2002", Издательство МГУ, 2002.

69. Ильинский А.С., Галышникова Т.Н., Математическое моделирование процесса отражения плоской электромагнитной волны от волнистой поверхности // Радиотехника и электроника, том 44, N7, 773-786, 1999.

70. Нефедов Е.И., Сивов А.Н., Электродинамика периодических структур М., Наука, 1977.

71. Дж\ У.Релей, Теория звука М.: Гостехтеориздат, 1955.

72. P.Giacomo, Les couches reflechissantes multidielectriques appliques a l'enterferomtrie de Fabry-Perot. Etude theorique et experimentale des couches reelles // Rev. Opt. Theor. Instrum 35 , 317-354, 442-467, 1956.

73. J.M.Elson Infrared light scattering from surfaces covered with multiple dielectric overlayers // Appl. Opt. 16,2872-2882, 1977.

74. C.K. Carniglia, Scalar scattering theory for multilayer optical coatings // Opt. Eng. 18, 104-115, 1979.

75. S.J.Gourley and P.H.Lissberger, Optical scattering in multilayer thin films // Opt. Acta 26, 117-143, 1979.

76. J.M.Elson, J.P.Rahn, and J.M.Bennet, Light scattering from multilayer optics: comparison of theory and experiment // Appl. Opt. 19, 669-679, 1980.

77. P.Bousquet, F.Flory, and P.Roche, Scattering from multilayer thin films: theory and experiment //J.Opt.Soc.Am., Vol. 71, No. 9, 1115-1123, 1981.

78. J.M.Zavislan, Angular scattering from optical interference coatings: scalar scattering predictions and measurements // Appl. Opt., Vol. 30, No. 16, 2224-2244, 1991.

79. H.E.Bennett and J.O.Porteus, Relation between surface rougness and specular reflectance at normal incidence // J.Opt.Soc.Am. 51, 123-129, 1961.

80. R.Schiffer, Reflectivity of a slightly rough surface // Appl. Opt., Vol. 25, No. 4, 704-712, 1987.

81. Илинский A.C. и Слепян Г.Я., Колебания в волны в электродинамических системах с потерями М: Изд-во МГУ, 1983.