автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование обтекания профиля и исследование его устойчивости в потоке по Ляпунову

На правах рукописи

МАРЧЕВСКИЙ Илья Константинович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕГО УСТОЙЧИВОСТИ В ПОТОКЕ ПО ЛЯПУНОВУ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Я О СЕН 2

Москва — 2008

Л

003447363

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Ванько Вячеслав Иванович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент Щеглов Георгий Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Феоктистов Владимир Васильевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Дынникова Галина Яковлевна

Ведущая организация: Институт машиноведения им. А.А. Бла-

гонравова РАН

Защита состоится 2008 года в 45 час. ¿^£?мин.

на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан е^/у^су*? 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

А.В. Аттетков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. При проектировании строительных конструкций, подверженных ветровым нагрузкам, прямолинейных участков трубопроводов, находящихся в поперечном потоке жидкости или газа, трубчатых элементов систем охлаждения и теплообменников энергетических установок, отдельных проводов и расщепленных фаз линий электропередачи важно обеспечить устойчивость равновесия указанных элементов конструкций в потоке. Во многих случаях рассматриваемые элементы конструкций имеют значительное удлинение, поэтому возможно рассмотрение двумерной задачи об устойчивости положения равновесия профиля исследуемой конструкции в плоскопараллельном потоке. Известны случаи, когда недостаточно полное исследование данного вопроса приводило к выходу конструкций из строя.

В настоящее время анализ устойчивости профиля в потоке сводится, как правило, к проверке условия Глауэрта-Ден-Гартога, которое внесено в нормы проектирования и подтверждено в многочисленных экспериментальных исследованиях. Следует отметить, что указанное условие получено для систем с одной степенью свободы и имеет характер необходимого условия аэродинамической неустойчивости — явления, при котором наблюдается резкий рост амплитуды колебаний профиля в потоке. Актуальной задачей является получение необходимых и достаточных условий (критериев) устойчивости по Ляпунову положений равновесия в потоке для профиля с двумя и тремя степенями свободы.

Для исследования устойчивости широкого класса профилей необходимо иметь эффективный способ определения аэродинамических характеристик. Они могут быть получены путем проведения экспериментов по продувке профилей в аэродинамических трубах, а также путем численного моделирования обтекания. Проведение экспериментов сопряжено со значительными затратами, поэтому использование методов вычислительной гидродинамики (СГБ) повышает эффективность процесса проектирования конструкций. Однако расчеты с использованием известных пакетов программ СРБ часто требуют привлечения значительных вычислительных ресурсов. Поэтому актуальной задачей является создание программного комплекса, позволяющего моделировать обтекание профиля потоком и определять его аэродинамические характеристики с приемлемой точностью и сравнительно низкими затратами машинного времени.

Совместное использование разработанного программного комплекса и аналитически полученных условий устойчивости позволяет совершенствовать методики исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке, что делает настоящую работу актуальной.

Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в получении условий устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке и определении неустойчивых положений равновесия профиля в потоке путем совместного использования аналитических условий устойчивости и численного метода определения аэродинамических характеристик профиля. Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Построение математической модели движения профиля с тремя степенями свободы. На профиль наложены идеально упругие или вязко-упругие связи с линейной диссипацией.

2. Исследование устойчивости по Ляпунову и получение условий устойчивости положений равновесия профиля в потоке.

3. Разработка и программная реализация модификации метода вихревых элементов для численного моделирования обтекания профилей и определения аэродинамических нагрузок.

4. Построение и верификация численно-аналитического метода исследования устойчивости то Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

Методы исследования. Для решения задач, поставленных в диссертационной работе, использованы следующие методы исследования: анализ устойчивости по Ляпунову положений равновесия динамической системы по первому приближению; вихревых элементов и подход Пранд-тля для моделирования обтекания профиля.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена строгостью используемого математического аппарата и подтверждена сравнением результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами в частных случаях.

Научная новизна. В диссертации получены новые критерии устойчивости по Ляпунову положений равновесия плохообтекаемого профиля в потоке с одной, двумя и тремя степенями свободы с идеально упругими и вязкоупругими связями с линейной диссипацией.

Разработана новая модификация метода вихревых элементов, основанная на использовании подхода Прандтля, позволяющая моделировать обтекание профилей и определять стационарные и нестационарные аэродинамические нагрузки при минимальных требованиях к вычислительным ресурсам.

На базе полученных результатов разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости положений равновесия профиля, основанный на численном определении стационарных аэродинамических коэффициентов профиля и нахождении неустойчивых положений равновесия при помощи аналитически выведенных условий неустойчивости.

Практическая и теоретическая ценность полученных в диссертации критериев устойчивости и построенного численно-аналитического метода исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке состоит в возможности проведения эффективного анализа на этапе эскизного проектирования конструкции и организации экспериментов. Рассмотренный метод численного моделирования обтекания позволяет с достаточной точностью определять аэродинамические нагрузки и выполнять расчеты со сравнительно небольшими временными затратами.

На защиту выносятся следующие положения:

• модель движения профиля с тремя степенями свободы в потоке среды;

• условия устойчивости положений равновесия профиля по Ляпунову при наличии идеально упругих либо вязкоупругих связей с линейной диссипацией, обобщающие известные в литературе результаты;

• достаточные условия неустойчивости положений равновесия профиля, инвариантные относительно механических и геометрических характеристик профиля;

• модификация метода вихревых элементов, использующая подход Прандтля для численного моделирования обтекания профиля, и ее программная реализация;

• метод исследования устойчивости положений равновесия профиля по Ляпунову, основанный на численном определении стационарных аэродинамических коэффициентов профиля и нахождении неустойчивых положений равновесия при помощи аналитически выведенных условий неустойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XII и XIII Международных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Херсон, 2005 и 2007), VII и VIII Крымских Международных математических школах "Метод функций Ляпунова и его приложения" (г. Алушта, 2004 и 2006), VII и VIII Международных конференциях по математическому моделированию (г. Феодосия, 2005 и 2006), III и IV Всероссийских конференциях "Необратимые процессы в природе и технике" (г. Москва, 2005 и 2007), научной конференции "Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы" (г. Москва, 2005), XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), Международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation. Modelling & Stability" (г. Киев, 2005), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006), XVI школе-семинаре "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" под рук. акад. РАН А.И. Леонтьева (г. Санкт-Петербург, 2007),

Всероссийском семинаре "Динамика конструкций гидроупругих систем. Численные методы" (г. Москва, 2008) и др.

Результаты исследований неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах: Научный семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" им. проф. В.В. Трофимова под рук. проф. Д.В. Георгиевского, М.В. Шамолина, С.А. Агафонова (МГУ им. М.В. Ломоносова), Семинар по механике сплошной среды им. Л.А. Галина под рук. проф.

B.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, A.B. Манжирова (Институт проблем механики РАН), Семинар по аэромеханике под рук. акад. РАН Г.Г. Черного (Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова), Международный авиационно-космический научно-гуманитарный семинар им.

C.М. Белоцерковского под рук. проф. М.И. Ништа, А.И. Желанникова, В.В. Вышинского (ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского), Московский ежемесячный семинар молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Институт машиноведения им. А А. Благонравова РАН) и др.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 научных статьях [1,4,5,6,11,12] и 6 тезисах докладов [2,3,7,8,9,10].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, общих выводов, списка литературы и приложения. Диссертация изложена на 119 страницах, содержит 39 иллюстраций. Библиография включает 68 наименований.

Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава посвящена исследованию уравнений движения профиля в потоке жидкости или газа и получению необходимых и достаточ-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ных условий устойчивости положений равновесия профиля.

В диссертации рассмотрена модель движения профиля с тремя степенями свободы, расчетная схема которой приведе-

I» Vv на на рис. 1.

О

Рис. 1

Набегающий поток считается горизонтальным и имеет постоянную скорость Уоо. Положение точки закрепления про-

филя определяется координатами х, у, а поворот вокруг точки закрепления — углом V, т -а. 3 — масса и момент инерции профиля; /х, /у, /т и Ух-, Щ, Ут — упругие и вязкие характеристики связей соответственно.

В предположении о стационарности аэродинамических коэффициентов получена система дифференциальных уравнений 6-го порядка, описывающая движение профиля в потоке, которая имеет вид:

тх + ух± + /Хх = -х)2 + у2 (сха{а) - х) + Суа(а) у),

ту + ууу + /Уу = \р (Уоо - х)2 + у2 (сха{а) (-у) + Суа(а) (V« - ¿)),

Зц> + итф + !тЧ> = \Ста{а)р 52 ((У«, - х)2 + г/2) .

У

Здесь а = 1р — аг^ —-т — угол атаки, вычисляемый с учетом дви-

00 ~ х

жения профиля, р — плотность среды, 5 — характерный размер (хорда) профиля.

Доказано, что при любой скорости набегающего потока существует положение равновесия профиля (яо, Уо, <£>о)) и поставлена задача об исследовании устойчивости равновесия по Ляпунову.

Для решения задачи используется метод исследования устойчивости положений равновесия по первому приближению. Зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов профиля от угла атаки считаем дифференцируемыми; это позволяет линеаризовать уравнения движения в окрестности положений равновесия. Линеаризованная система дифференциальных уравнений возмущенного движения после приведения к безразмерным переменным имеет вид

0 + = £ ■ (С« + цх) § + \ {Суа - С„) ^ + ,

^ +'^=- (~Суа| - + С. + + \С'а1) ,

#1.2 ( Ста 1 , £¿77 1 , £¿7^

—2 + = е • (-—Тт - -ста- + -ста7 - j ,

Здесь £ = 7] = 1 — — Щ — безразмерные координаты профиля; т = ^ — безразмерное время; шх, шу, ыт — безразмерные частоты, определяемые жесткостями связей; рх, ру, — безразмерные вязкости связей; а — параметр, определяемый формой и положением точки закрепления профиля.

Безразмерный параметр е = ^ • | является малым, е 1, если профиль является тпяжелым плохообтекаемым, т.е. если плотность материала профиля ро много больше плотности набегающего потока р, а два

его характерных размера близки. Например, для типичного сталеалю-миниевого провода воздушной линии электропередачи е = Ю-3... Ю-4. Далее исследуется устойчивость именно таких профилей, что позволяет в окончательных результатах учитывать лишь слагаемые, содержащие младшие степени е.

Исследование устойчивости положений равновесия основано на анализе знаков действительных частей корней характеристического уравнения системы при помощи теоремы Гурвица. Отдельно рассматриваются случаи идеально упругих связей (т.е. при цх = цу = = 0) и вязко-упругих связей (при е < (1Х, //„, (1т < I).

Помимо общего случая системы с тремя степенями свободы рассмотрены также частные случаи, соответствующие движению системы, изображенной на рис. 1, с меньшим числом степеней свободы.

При наличии у системы "горизонтальной" и "вертикальной" степеней свободы проводится отдельное исследование для систем с одинаковыми и различными частотами (т.е. при шх = и>у и при о¡х ф шу).

В результате для всех случаев получены необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости положений равновесия профиля в потоке, которые представлены в таблице 1.

Таблица 1

Обобщенные Критерии устойчивости

координаты Для идеально Для вязко-

упругих связей упругих связей

Движение с 1 степенью свободы

X Положение равновесия всегда асимптотически устойчиво

У б>0 См>0

V ^>0 0

Движение с 2 степенями свободы

Х—ф ¡Рх>0 \Р>0 ^>0

Г С > 0 \Р>0

У~Ч> \Ру> 0

х -у Шх = Шу \М> 0 \М„> 0

в>0 б^Х)

Движение с 3 степенями свободы

шх = Шу (М > 0 1 Р>0 }1У> 0 (Х> о

х-у-ц>

шх фШу 1 Р>0 > о

В таблице 1 приняты следующие обозначения:

С = Сха + С'уа, = 0 + М = С + 2Сха, Мц = С„ + 2{Сха + 11х),

№ — Сха (Сха + С'уа) + Суа (Суа - Сха),

ж,, = (Сха + (Сха + С'уа + 2¡1У) + Суа(Суа - С'ха),

Таким образом, для каждого случая движения профиля с 1, 2 и 3 степенями свободы получены неравенство или система неравенств, при выполнении которых положение равновесия профиля является устойчивым по Ляпунову. В то же время, если хотя бы одно неравенство меняет смысл на противоположный, положение равновесия становится неустойчивым.

Во всех случаях при наличии у системы "вращательной" степени свободы для устойчивости по Ляпунову положения равновесия необходимо выполнение условия F > 0, или

Соответственно, положение равновесия станет неустойчивым при условии

где Укр обозначает критическую скорость набегающую потока, выше которой положение равновесия теряет устойчивость. Полученное выражение для Т/кр аналогично известной в литературе формуле, определяющей критическую скорость флаттера.

В случае идеально упругих связей из полученных результатов следуют достаточные условия неустойчивости С < О, М < О, IV < 0, которые зависят лишь от безразмерных стационарных аэродинамических коэффициентов профиля Сха и Суа и инвариантны по отношению к выбору точки закрепления профиля, его массе и моменту инерции, жестко-стям связей. Следовательно, изменение этих параметров конструкции не влияет на характер устойчивости положения равновесия профиля.

Полученные критерии являются обобщениями известных результатов: для системы с одной "вертикальной" степенью свободы условие < 0 (условие Глауэрта-Ден-Гартога) является необходимым и достаточным условием неустойчивости при идеально упругих связях, а условие < О (условие В.И. Ванько) является достаточным условием неустойчивости для системы с тремя степенями свободы при одинаковых жесткостях связей.

Р = РУ + 2РХ, Г =

2/т

При наличии вязкоупругих связей с линейной диссипацией все полученные условия устойчивости (за исключением обсуждавшегося выше условия F > 0) зависят только от коэффициентов Сха и Суа и коэффициентов демпфирования р,х и цу.

Во второй главе диссертации обсуждаются вопросы математического моделирования обтекания профиля и определения аэродинамических нагрузок, действующих на профиль.

Рассматривается двумерная задача о моделировании обтекания жесткого неподвижного профиля потоком вязкой несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const. Область течения S является безграничной и возмущается только профилем. Движение среды описывается уравнениями неразрывности и Навье-Стокса:

ЛТГ ✓ \

v-v = o, _+ (v.v)v = -v

at \p J

Здесь V — скорость, p —■ давление, v — коэффициент кинематической вязкости, V — оператор Гамильтона. Граничные условия имеют вид:

— граничное условие "на бесконечности"

V(r,i)-»V00 и р (т*,t) ► Pqq при |г| —> оо;

— граничное условие "на профиле" (условие прилипания)

V (г, i) = 0 при г G К,

где К — контур обтекаемого профиля.

Использование модели несжимаемой среды оправдано, поскольку рассматриваются течения, характеризуемые числами Маха М < 0,4, при этом сжимаемость проявляется слабо и практически не влияет на аэродинамические нагрузки, действующие на профиль.

При решении задачи вихревыми методами исследуется эволюция поля завихренности Г2 = rotV, которая описывается уравнением

— = rot((V + W)xn),

rot х

где W = v——5--диффузная скорость, вызванная влиянием вязкости. Известен аналог теоремы Томсона для вязкой жидкости: циркуляция поля скоростей, вычисляемая по контуру, каждая точка которого движется со скоростью V+W, сохраняется. Это означает, что в области течения S не происходит генерации "новой" завихренности, а имеющаяся движется со скоростью V + W. Генерация завихренности происходит только на контуре К обтекаемого профиля.

По известному полю завихренности 17 с использованием закона Био-Савара находится поле скоростей среды V:

У(г) = + ± Л = + Ц д(г - €) П(€) (И€.

5 5

Здесь Л — проекция вектора Г2 на нормаль к плоскости течения.

Аналог интеграла Коши-Лагранжа, полученный в работах Г.Я. Дын-никовой, позволяет определить давление в области течения по формуле

р 2 р 2

где /п — слагаемое, учитывающее движение имеющейся завихренности, /7 — слагаемое, связанное с генерацией завихренности на контуре.

Аэродинамические нагрузки, действующие на профиль, определяются путем интегрирования давления по контуру.

При моделировании обтекания вихревыми методами уравнение неразрывности и граничное условие "на бесконечности" выполняются автоматически. Граничное условие "на профиле" сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно неизвестного распределения поверхностной завихренности 7(г) на контуре (при г £ К)

п (г) • £ я (г - €) 7(0 <й€ = п (г) ■ (Уоо - Л Я (г - о ,

Я 5

где п(г) — вектор единичной нормали к контуру К. Для выделения единственного решения задается суммарная величина генерируемой на профиле

завихренности, которая находится по теореме Томсона: § у ¿1 = — Jf П ¿5".

к в

В расчетах непрерывное распределение завихренности моделируется при помощи N вихревых элементов — вихревых нитей, перпендикулярных плоскости течения, расположенных в точках с радиус-векторами гг и имеющих интенсивности Гг, г = 1,..., N. При вычислении скоростей по формуле Био-Савара они рассматриваются как круглые вихри Рэнкина с достаточно малым радиусом е, что позволяет избежать неограниченного роста скоростей вблизи центров вихрей.

Генерируемая завихренность моделируется дискретными вихревыми элементами (вихревыми нитями), интенсивности которых определяются путем решения системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих интегральное уравнение и условие выделения единственного решения. Описание и обоснование метода решения интегрального уравнения имеется в работах И.К. Лифанова.

В диссертации рассматривается обтекание профилей средой с малой вязкостью (воздух, вода), поэтому в данной диссертации используется классический подход Прандтля, в соответствии с которым вся область течения разделяется на тонкую пристеночную область (пограничный слой), где существенно влияние вязкости, и область внешнего течения, где среда считается идеальной. При такой модификации метода вихревых элементов моделируется генерация завихренности на контуре, а в дальнейшем вихревые элементы считаются движущимися в идеальной жидкости по траекториям жидких частиц.

Это позволяет не вычислять диффузную скорость IV, что существенно снижает общую трудоемкость задачи и требования к вычислительным ресурсам.

Следовательно, движение вихревых элементов описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая решается численно явным методом Эйлера.

Таким образом, алгоритм решения задачи методом вихревых элементов на каждом временном шаге состоит из следующих операций.

1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения вихревых элементов.

2. Решение интегрального уравнения, описывающего генерацию завихренности на контуре.

3 Расчет давления на контуре.

Разработан программный комплекс МБУ20, реализующий данный алгоритм. Структурная схема программного комплекса представлена на рис. 2, назначение основных блоков описано в таблице 2.

Для верификации метода вихревых элементов проведена серия тестовых расчетов:

• обтекание кругового профиля — определялись стационарные аэродинамические коэффициенты и частота схода вихрей;

• обтекание полукруглого профиля — определялись зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов от угла атаки,

• обтекание профиля крыла ЦАГИ РИ-18 — определялись зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов от угла атаки;

• обтекание профиля крыла ЦАГИ В-12 — определялось распределение давления по поверхности профиля при угле атаки 5°.

Рис. 2

Таблица 2

Блок Основное назначение

1 Блок исходных данных Содержит информацию для всех этапов расчета

2 Блок расчетной схемы Построение расчетной схемы на профиле

3 Блок эволюции завихренности Интегрирование уравнений движения вихревых элементов, объединение близкорасположенных вихревых элементов в один

4 Блок генерации завихренности Определение интенсивностей генерируемых вихревых элементов путем решения СЛАУ

5 Блок вычисления нагрузок Расчет давления, определение главного вектора и главного момента аэродинамических сил, действующих на профиль

6 Блок динамики профиля Расчет движения профиля то заданному заранее закону либо под действием аэродинамических сил и сил реакции связей (для возможности прямого численного моделирования в связанных задачах аэроупругости)

7 Блок пополнения вихревой пелены Пополнение вихревой пелены сгенерированными на текущем шаге вихревыми элементами

8. Постпроцессор Сохранение и обработка промежуточных результат тов расчета, визуализация, индикация параметров расчета.

На рис. 3 приведена структура вихревого следа, образующегося за круговым профилем, и построены линии тока; точками отмечены положения отдельных вихревых элементов. На рис. 4 представлены полученные зависимости нестационарных аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъемной силы от времени.

Рис. 3

Рис. 4

Из экспериментов известно, что для кругового профиля стационарный коэффициент лобового сопротивления Сха ~ 1,2, стационарный ко-

эффициент подъемной силы Сг

уа ■

0.

На рис. 5 и 6 представлены результаты вычисления стационарных аэродинамических коэффициентов для крылового профиля ЦАГИ РП-18 в сравнении с экспериментальными данными.

Рис. 5

Рис. 6

В остальных случаях также наблюдается хорошее качественное и удовлетворительное количественное согласие результатов.

Таким образом, модификация метода вихревых элементов, основанная на использовании подход Прандтля, может использоваться в качестве приближенного инженерного метода для исследования поведения конструкций, находящихся в дозвуковом потоке жидкости или газа. Главное преимущество такой модификации состоит в сравнительно низких требованиях к производительности ЭВМ, на которых выполняются расчеты, и, следовательно, возможности проведения большого количества расчетов при малых временных затратах.

В третьей главе на базе выведенных условий устойчивости и разработанной модификации метода вихревых элементов предложен следующий метод исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

Для определения углов атаки профиля, соответствующих неустойчивым положениям профиля в потоке, используются инвариантные относительно механических и геометрических параметров профиля достаточные условия неустойчивости б (а) < 0 и \¥{а) < 0, зависящие только от стационарных аэродинамических коэффициентов профиля и их производных по углу атаки.

Предложенный численно-аналитический метод исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке предполагает последовательное выполнение следующих этапов:

1. С использованием метода вихревых элементов моделируется обтекание и определяются стационарные аэродинамические коэффициенты профиля для различных углов атаки.

2. По найденным значениям строятся гладкие зависимости Сха(а), Суа(а) стационарных коэффициентов от угла атаки. Для аппроксимации используются полиномы Чебышева первого рода, коэффициенты в линейных комбинациях находятся методом наименьших квадратов.

3. Вычисляются производные аэродинамических коэффициентов С'ха(а), Суа(а) по углу атаки и находятся значения функций С(а) и I¥{а) В соответствии с результатами главы 1, положения равновесия профиля будут неустойчивыми при углах атаки, для которых выполняются условия (7(а) < 0, \¥(а) < 0.

Для проверки работоспособности данного численно-аналитического метода и оценки его адекватности и эффективности проведен ряд тестовых расчетов, в которых исследовалась устойчивость положений равновесия профилей, имеющих форму ромба и квадрата. Для них в литературе известны результаты эксперимента по исследованию устойчивости, проведенного в Лаборатории промышленной аэродинамики ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского. В эксперименте упругозакрепленный профиль мог совершать колебания поперек потока, и для различных углов атаки измерялась амплитуда колебаний профиля.

Графики функций С (а) и XV (а) и области неустойчивости, полученные в результате применения разработанного численно-аналитического метода, представлены на рис. 7 и 8 для профилей в форме ромба и квадрата соответственно. На них же указаны экспериментально определенные зависимости безразмерных амплитуд колебаний профилей от улов атаки.

Полученные в результате применения численно-аналитического метода исследования устойчивости интервалы углов атаки, соответствующих неустойчивым положениям профиля, хорошо согласуются с интервалами углов атаки, при которых в эксперименте возбуждались колебания профилей с большой амплитудой (что является проявлением неустойчивости).

С, ¡V в, ж

50 60 70 80 90

Рис. 7

5 20 25 30 35 40 45

Рис. 8

В диссертации проведено исследование устойчивости профиля, имеющего характерную форму обледенелого провода ЛЭП, рис. 9.

Полученные зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов от угла атаки представлены на рис. 10, а графики построенных зависимостей <?(а) и У/{а) при а £ (—10°; 20°) приведены на рис. 11. При остальных значениях а функции С(а) и ]¥(а) принимают положительные значения.

Сха, Суа б,

С Обледенение

Провод

Рис. 9

А 25

у \ 20

/ \ 15

о(а) \

• /

* сУт 1Л-* ■ /

¿180 -1204 -60( У 60 \120 л80

V-05 /

А 2 Ща)---Л Л

у. Область неустойчивости !/ V//////////////////!

5 /10 15

\ ~2 од л

-4

Рис. 10

Рис. 11

Положения равновесия, соответствующие углам атаки профиля —6° < а < 9°, будут являться неустойчивыми; нулевой угол атаки, соответствующий естественному равновесному положению провода ЛЭП, лежит внутри области неустойчивости. Полученный результат согласуется с известным из экспериментальных исследований фактом о том, что для обледенелых проводов характерно явление галопирования (пляски).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В предположении о стационарности аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, помещенный в поток и имеющий 1, 2 или 3 степени свободы, выведены необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля при наличии идеально упругих и вязкоупругих связей.

2. Для моделирования обтекания профиля и вычисления стационарных аэродинамических коэффициентов разработана модификация метода вихревых элементов и создан комплекс программ, ее реализующий.

Модификация состоит в использовании подхода Прандтля. Предложенный метод позволяет снизить требования к вычислительным ресурсам и существенно уменьшить затраты машинного времени на проведение расчетов.

3. Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

Рассмотрены примеры определения интервалов углов атаки, соответствующих неустойчивым положениям равновесия различных профилей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Ванько В.И., Щеглов Г.А., Марчевский И.К. Аэродинамическая неустойчивость системы профилей // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. — М.: Логос, 200-5.

— С. 423-436.

2. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Исследование устойчивости обледенелого провода ЛЭП в плоскопараллельном штоке // Образование через науку: Тез. докл. Международной конференции. — М., 2005.

— С. 575-576.

3. Ванько В.И., Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Неустойчивость по Ляпунову равновесия плохообтекаемых профилей в потоке идеальной жидкости // Dynamical System Modelling and Stability Investigation. Modelling & Stability: Thesis of conference reports. — Kyiv, 2005.

— P. 253.

4. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к моделированию обтекания профилей идеальной жидкостью методом дискретных вихрей // Методи дискретних особливостей в задачах математично! ф1зики: Прац1 XII М1жнародного симшшуму. — Харшв-Херсон, 2005. — С. 222-225.

5. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к расчету аэродинамических характеристик профиля в идеальной жидкости методом дискретных вихрей / / ЕИсник Харювського нацюнального ушверси-тету. Сердя М. — 2005. — № 661, вып.4. — С. 182-191.

6. Ванько В.И., Марчевский И.К., Щеглов Г.А. О неустойчивости положения равновесия произвольного профиля в потоке идеальной жидкости // Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. — СПб., 2005. — С. 15-19.

7. Ванько В.И., Марчевский И.К. Механика проводов воздушных линий электропередачи //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. — Нижний Новгород, 2006.

— Т.З. — С. 53-54.

8 Ванько В.И., Марчевский И.К. Колебания и аэродинамическая неустойчивость проводов расщепленной фазы высоковольтных линий электропередачи // Метод функций Ляпунова и его приложения: Тез. докл. VIII Крымской Международной математической школы.

— Алушта, 2006. — С. 39.

9. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Вычисление гидродинамических наг грузок, действующих на колеблющийся профиль, методом вихревых элементов // Необратимые процессы в природе и технике: Труды IV Всероссийской конференции. — М., 2007. — С. 288-290.

10. Марчевский И.К. Об устойчивости по Ляпунову положения равновесия профиля в потоке // ПОЛ1Т: Матерхали VII М1жнародно1 науково! конференции студентв та молодих учених. — Киев, 2007. — С. 91.

11. Марчевский И.К. Исследование устойчивости положений равновесия труб теплообменника при их наружном поперечном обтекании теплоносителем // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева.

— Т.2. — М., 2007. — С. 162-165.

12. Марчевский И.К. Об условиях устойчивости положения равновесия профиля в потоке // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2007. — № 4. — С. 29-36.

Подписано к печати 4.09 08. Заказ № 484 Объем 1,0 псч л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им Н Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 263-62-01

j стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ.

1.1. Необходимое условие неустойчивости для систем с одной степенью свободы.

1.2. Достаточные условия потери устойчивости для моделей с одной и тремя степенями свободы.

1.3. Расчетная схема и вывод уравнений движения профиля в потоке с тремя степенями свободы. Наличие положений равновесия.

1.4. Линеаризация уравнений движения профиля. Критическая скорость потока.

1.5. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с идеально упругими связями.

1.6. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с вяз-коупругими связями.

1.7. Анализ полученных критериев устойчивости.

1.8. Выводы '.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК МЕТОДОМ ВИХРЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Краткое описание метода вихревых элементов

2.3. Расчетная схема метода вихревых элементов.

2.4. Программная реализация метода вихревых элементов

2.5. Верификация метода вихревых элементов.

2.5.1. Обтекание кругового профиля.

2.5.2. Обтекание полукруглого профиля.

2.5.3. Обтекание крылового профиля.

2.5.4. Определение распределения давления по поверхности профиля

2.6. Выводы

3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ.

3.1. Алгоритм численно-аналитического метода исследования устойчивости.

3.2. Примеры применения численно-аналитического метода

3.2.1. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме ромба.

3.2.2. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме квадрата.

3.2.3. Исследование устойчивости профиля обледенелого провода ЛЭП

3.3. Выводы.

Настоящая работа посвящена исследованию поведения элементов конструкций, помещенных в дозвуковой поток жидкости или газа. Особенность таких задач заключается в необходимости учета взаимодействия движущегося элемента конструкции со средой. Движение тела в потоке вызывает изменение характера его обтекания и, следовательно, изменение аэродинамических сил, действующих со стороны потока. В свою очередь, изменившиеся нагрузки определяют движение тела. Таким образом, для полного решения задачи о моделировании движения элемента конструкции, находящегося в потоке среды, необходимо решать связанную задачу аэроупругости, рассчитывая как параметры движения тела, так и течение вокруг него. Во многих случаях рассматриваемые элементы конструкций имеют значительное удлинение, поэтому возможно рассмотрение двумерной задачи об обтекании профиля исследуемой конструкции плоскопараллельным потоком. Постановка задачи позволяет перейти к приближенным моделям среды и рассматривать обтекание профиля несжимаемым потоком с постоянной плотностью. На правомерность такого упрощения указано в монографии Г.Г. Черного [51].

Выделяют два основных класса задач аэроупругости [3,5,48,50]: задачи статической аэроупругости и задачи динамической аэроупругости. К последним относят задачи исследования устойчивости конструкций в потоке, а также задачи расчета движения элементов конструкций под действием нестационарных аэродинамических нагрузок.

Исследование устойчивости положений равновесия профиля в потоке актуально при проектировании элементов строительных конструкций, подверженных ветровым нагрузкам [36,37,42,44], прямолинейных участков трубопроводов, находящихся в поперечном потоке жидкости или газа [18,40], трубчатых элементов систем охлаждения и теплообменников энергетических установок [16], отдельных проводов и расщепленных фаз линий электропередачи [56].

Первые исследования в области устойчивости положения равновесия профиля в потоке связаны с бурным развитием авиации в начале XX века, когда перед исследователями встала задача анализа устойчивости горизонтального полета аэроплана. В экспериментальной работе [67] исследовалась устойчивость положения равновесия модели аэроплана в потоке воздуха и было отмечено наличие интервала углов атаки, при которых наблюдалось явление авторотации — вращение модели вокруг продольной оси с большими углами поворота. В результате обработки этих экспериментальных данных Глауэртом [57] было получено необходимое условие больших крутильных колебаний (авторотации) профиля.

С развитием средств передачи электроэнергии на большие расстояния на линиях электропередачи (ЛЭП) стали отмечаться явления больших (с амплитудой до 10 м) колебаний проводов между опорами. Такие колебания были названы галопированием ^пляской) проводов. Ден-Гартог [55], изучая поведение плохообтекаемого профиля в форме полукруга с одной степенью свободы (колебания поперек потока), вывел необходимое условие галопирования, которое имеет тот же вид, что и условие Глауэрта.

В монографии К.К. Федяевского и JI.X. Блюминой [47] исследована авторотация уголкового профиля, и в качестве необходимого условия неустойчивости получено довольно сложное неравенство, включающее моментный аэродинамический коэффициент. Однако на основании экспериментального материала авторы пришли к выводу, что условие, полученное Ден-Гартогом, может быть использовано и при исследовании крутильных колебаний, т.е. подтвердили вывод Глауэрта.

Таким образом, условие Глауэрта-Ден-Гартога есть необходимое условие возбуждения больших колебаний профиля с одной степенью свободы.

Объяснение механической причины галопирования на основе условия Глауэрта-Ден-Гартога является в настоящее время общепринятым, его приложению к исследованию устойчивости различных конструкций посвящено большое количество работ, например, [33,35-37,42,47,62,63]. Особое внимание обеспечению устойчивости профиля в потоке уделяется при проектировании линий электропередачи, поскольку возбуждение колебаний проводов ЛЭП под действием ветра вызывает существенное увеличение нагрузок на опоры и может приводить к обрыву проводов и разрушению опор. В настоящее время теоретическое объяснение неустойчивости положений равновесия проводов ЛЭП связывается лишь с выполнением условия Глауэрта-Ден-Гартога [56,61], при этом не учитывается, что реальная конструкция имеет 3 степени свободы.

В ряде работ рассматриваются и другие причины потери устойчивости положения равновесия профиля в потоке, в частности, в работе [17] предпринята попытка связать развитие неустойчивости провода ЛЭП с переменной по высоте скоростью ветра, в работах [64, 65] исследуется влияние турбулентности потока на аэродинамическую неустойчивость профиля. Возможно также развитие колебаний типа дивергенции либо флаттера [33,42,48,50], проявление которых связано с тем, что при возрастании скорости набегающего потока действующие на профиль аэродинамические силы быстро увеличиваются, в то время как жесткость конструкции при ее фиксированном положении относительно потока остается неизменной. Поэтому может существовать критическая скорость набегающего потока, при которой конструкция теряет устойчивость [13,20].

В работе В.И. Ванько [8] рассмотрена модель движения профиля с тремя степенями свободы (движения в направлении набегающего потока и поперек потока, а также вращение вокруг центра масс профиля) под действием аэродинамических сил и сил со стороны упругих либо вязкоупругих связей. В ней доказано существование положения равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В результате получено достаточное условие неустойчивости положения равновесия профиля с тремя степенями свободы.

Условия неустойчивости Глауэрта-Ден-Гартога и условие В.И. Вань-ко зависят только от стационарных аэродинамических характеристик профиля, что делает их удобными для практического использования. Такие условия далее будем называть инвариантными относительно механических и геометрических характеристик профиля.

Следует отметить, что применение инвариантных условий неустойчивости при практических расчетах может быть затруднительным, поскольку требуется знать зависимости стационарных аэродинамических характеристик профиля от угла атаки.

Определение этих зависимостей для произвольного профиля возможно либо экспериментальным, либо расчетным путем. Экспериментальное определение аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, сопряжено со значительными материальными затратами и не всегда возможно, поэтому важно использовать эффективный метод численного моделирования обтекания профиля потоком, позволяющий с достаточной точностью определять стационарные значения сил, действующих на профиль со стороны потока. Применяемые численные методы делятся на два класса: конечно-разностные (конечно-элементные) методы, и бессеточные вихревые методы, подробные обзоры которых имеются в работах Т. Сарпкайи [39] и А. Леонарда [58]. Вихревые методы основаны на лагранжевом описании эволюции завихренности в области течения и позволяют получить приемлемые для инженерных расчетов результаты при минимальных требованиях к мощности компьютеров и затратах машинного времени. Эффективность вихревых методов основана на том, что завихренность в области течения обычно локализована в достаточно компактной области вблизи и позади обтекаемого профиля, что позволяет сосредоточить вычислительные ресурсы на исследовании именно этой области.

Метод вихревых элементов в различных модификациях получил широкое развитие в последнее время как в работах отечественных, так и зарубежных исследователей [1,59,60]. Его можно рассматривать как значительное развитие и обобщение идей метода дискретных вихрей, предложенного и развитого в трудах, прежде всего, научной школы С.М. Бе-лоцерковского [4,7,29,30].

Метод дискретных вихрей позволяет моделировать отрывное обтекание профиля, имеющего угловые точки, потоком идеальной несжимаемой среды. В основу метода положена гипотеза Чаплыгина-Жуковского о сходе вихревой пелены с острых кромок и угловых точек на профиле. Это позволяет моделировать- обтекание таких профилей с минимальными вычислительными затратами. К недостаткам "классического" метода дискретных вихрей следует отнести невозможность моделирования обтекания гладких профилей, а также отрыва потока с гладких участков профилей.

Предложенные модификации метода дискретных вихрей, основанные на нахождении точек отрыва потока с профиля исходя из анализа уравнений пограничного слоя [46] или вариационных принципов [14], сложны в реализации и не обладают универсальностью.

Иной подход предложен в работах А. Чорина [54], а также Г. А. Пав-ловца и А.С. Петрова [31,32]. В рамках такой модификации можно проводить моделирование обтекания гладких профилей, однако для этого требуется привлечение значительных вычислительных ресурсов. Аналогичный подход получил развитие и обоснование в работах [1,66], в которых показано, что вихревые методы могут эффективно применяться для моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой, среды, описываемых уравнениями Навье-Стокса.

Существует несколько способов определения нагрузок, действующих на профиль [1,29,68]. Наиболее удобным для применения в расчетах является аналог интеграла Коши-Лагранжа [1], полученный в работе Г.Я. Дынниковой [15], который позволяет по известному распределению завихренности определить давление в любой точке области течения. По известному распределению давления на профиле определяются нагрузки, действующие на профиль. Эти нагрузки являются нестационарными. Для получения стационарных аэродинамических нагрузок производится расчет обтекания в течение длительного промежутка времени, пока обтекание не станет квазистационарным, а нагрузки — близкими к периодическим. Стационарные аэродинамические нагрузки получаются ч в результате осреднения нестационарных по большому количеству временных шагов.

В экспериментах с плохообтекаемыми профилями и в расчетах наблюдается периодический срыв вихрей с циркуляциями разных знаков, что вызывает периодическое изменение сил, действующих на профиль. Если собственная частота колебаний конструкции близка к частоте схода вихрей, могут возникать резонансные колебания профиля [48].

Использование для решения такого класса задач сеточных методов вычислительной гидродинамики затруднительно, поскольку изменение положения профиля на каждом шаге расчета требует перестроения сетки.

Метод вихревых элементов позволяет проводить прямое численное моделирование для исследования подобных явлений, при этом расчет обтекания движущегося профиля лишь незначительно сложнее по сравнению со случаем неподвижного профиля. Общий метод решения таких задач описан в [1].

Целью настоящей работы является получение условий устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке и определение неустойчивых положений равновесия профиля путем совместного использования аналитических условий устойчивости и численного метода определения аэродинамических характеристик профиля.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

10 S

1. Построение математической модели движения профиля с тремя степенями свободы. На профиль наложены идеально упругие или вяз-коупругие связи с линейной диссипацией.

2. Исследование устойчивости по Ляпунову и получение условий устойчивости положений равновесия профиля в потоке.

3. Разработка и программная реализация модификации метода вихревых элементов для численного моделирования обтекания профилей и определения аэродинамических нагрузок.

4. Построение и верификация численно-аналитического метода исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

В главе 1 настоящей диссертации исследована устойчивость по Ляпунову положений равновесия профиля с тремя степенями свободы, находящегося в потоке среды, при наличии упругих либо вязкоупругих связей. Аэродинамические силы считаются стационарными и зависящими только от положения профиля в потоке и его скорости. Показано, что при любой скорости потока существует положение равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В частных случаях рассмотрены задачи об исследовании устойчивости профиля с одной и двумя степенями свободы.

Для анализа нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение профиля в потоке, используется метод исследования устойчивости по первому приближению [52]. Предположение о том, что профиль является достаточно тяжелым (средняя плотность профиля много больше плотности набегающего потока), позволяет ввести в уравнения малый параметр. Это предположение во многих случаях является естественным, поскольку такая ситуация характерна для большинства рассматриваемых на практике задач. Введение малого параметра упрощает аналитические выкладки, а учет в окончательных результатах лишь слагаемых с младшими степенями малого параметра позволяет получить достаточно простые и пригодные для практического применения условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия профиля.

Полученные автором критерии устойчивости [27] обобщают ранее известные результаты, поскольку из них следуют в качестве достаточных условий неустойчивости как условие Глауэрта-Ден-Гартога, так и условие В.И. Ванько. Из найденных критериев следует также условие существования критической скорости набегающего потока, т.е. скорости, способной вызвать потерю устойчивости равновесия типа флаттера.

В главе 2 диссертации описана модификация метода вихревых элементов [28] и представлена общая схема его программной реализации. Рассматривается обтекание профилей потоком среды с малой вязкостью, что позволяет применить упрощенную модификацию вихревого метода [1], I основанную на использовании подхода Прандтля [26]: течение разделяется на тонкий пристеночный слой вблизи профиля, в котором влияние вязкости учитывается путем генерации завихренности, и область внешнего течения, в которой жидкость считается идеальной. Это позволяет существенно снизить вычислительные ресурсы, необходимые для проведения расчетов. Такой подход позволяет с достаточной точностью определять нагрузки, действующие на профиль.

Приведенные в диссертации результаты расчетов стационарных и нестационарных аэродинамических коэффициентов и сравнение их с экспериментальными данными позволяют сделать вывод об адекватности применяемых подходов.

В главе 3 настоящей диссертации описывается численно-аналитический метод исследования устойчивости положения равновесия профиля в потоке. Отличительной особенностью рассматриваемого подхода является то, что стационарные аэродинамические коэффициенты профиля определяются численно в результате расчетов методом вихревых элементов, а неустойчивые положения равновесия профиля находятся с использованием полученных аналитически достаточных условий неустойчивости [27]. Адекватность предложенного численно-аналитического метода подтверждена путем сравнения результатов расчета с результатами экспериментальных исследований устойчивости положений равновесия некоторых профилей, описанными в [10,11,47].

Для примера проведено исследование устойчивости положения равновесия профиля обледенелого провода ЛЭП численно-аналитическим методом и показано, что естественное равновесное положение такого профиля находится в области неустойчивости.

Практическая ценность полученных в диссертации критериев устойчивости и построенного численно-аналитического метода исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке состоит в возможности проведения эффективного анализа на этапе эскизного проектирования конструкции и организации экспериментов. Рассмотренный метод численного моделирования обтекания позволяет с достаточной точностью определять аэродинамические нагрузки и выполнять расчеты со сравнительно небольшими временными затратами.

Применение для исследования устойчивости профиля аналитически выведенных достаточных условий неустойчивости позволяет уйти от необходимости решения связанной задачи аэроупругости, ограничившись решением более простой задачи определения стационарных аэродинамических коэффициентов неподвижного профиля.

К важным практическим результатам работы следует отнести разработанное автором программное обеспечение, которое может использоваться при исследовании реальных конструкций, взаимодействующих с дозвуковым потоком жидкости или газа.

Общие выводы

Проведенное в диссертации исследование позволяет сформулировать основные результаты, полученные автором.

1. В предположении о стационарности аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, помещенный в поток и имеющий 1, 2 или 3 степени свободы, выведены необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля при наличии идеально упругих и вязкоупругих связей.

2. Для моделирования обтекания профиля и вычисления стационарных аэродинамических коэффициентов разработаны модификация метода вихревых элементов и комплекс программ, ее реализующий. Модификация состоит в использовании подхода Прандтля. Предложенный метод позволяет снизить требования к вычислительным ресурсам и существенно снизить затраты машинного времени на проведение расчетов.

3. Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

Рассмотрены примеры определения интервалов углов атаки, соответствующих неустойчивым положениям равновесия различных профилей.

1. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. — 184 с.

2. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев / Б.А. Ушаков, П.П. Красильщиков, А.К. Волков, А.Н. Грегоржевский.

3. М.: Изд. БНТ НКАП при ЦАГИ, 1940. — 340 с.

4. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. — М.: Физматлит, 2000. — 592 с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 с.

6. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость. — М.: Изд-во иностр. литер., 1958. — 799 с.

7. Бучинский В.Е. Атлас обледенения проводов. — Л.: Гидрометеоиз-дат, 1966. — 114 с.

8. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения.

9. М.: Янус-К, 2001. — 508 с.

10. Ванъко В.И. Математическая модель пляски провода ЛЭП // Изв. вузов. Энергетика. — 1991. — № 11. — С. 36-42.

11. Ванъко В.И., Щеглов Г.А., Марчевский И.К. Аэродинамическая неустойчивость системы профилей // Современные естественнонаучные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. — М.: Логос, 2005. — С. 423-436.

12. Ванъко В.И., Соловьева Е.В. Об условиях аэродинамической неустойчивости положений равновесия профилей // Прикладная механика и техническая физика. — 1996. — Т. 37, № 5. — С. 29-34.

13. Ванъко В.И., Соловьева Е.В., Феоктистов В.В. Аэродинамические характеристики расщепленных проводов для воздушных линий электропередачи // Изв. РАН. Энергетика. — 1994. — № 4. — С. 104-111.

14. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 424 с.

15. Гроссман Е.П. Флаттер // Тр. ЦАГИ. — 1937. — Вып. 284. — 246 с.

16. Дмитриев M.JI. Математическое моделирование отрыва потока с гладкой поверхности тел в рамках теории идеальной жидкости: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — М., 1998. — 116 с.

17. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2003. — № 5.1. С. 11-19.

18. Жукаускас А., Улинскас Р., Катинас В. Гидродинамика и вибрации обтекаемых пучков труб. — Вильнюс: Мокслас, 1984. — 312 с.

19. Зьыев В.Б. Переменная по высоте скорость ветра и галопирование проводов // Строительная механика и расчет сооружений. — 1987.6. — С. 37-41.

20. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. — М.: Недра, 1977. — 200 с.

21. Кашафутдинов С. Т., Лушин В.Н. Атлас аэродинамических характеристик крыловых профилей. — Новосибирск: СО РАН, 1994. — 78 с.

22. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. — М.: Наука, 1985.576 с.

23. Колебания проводов воздушных линий под воздействием ветра: Учебно-методическое пособие / Под ред. А.А. Виноградова. — М.: Электросетьстройпроект, 2005. — 195 с.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973. — 832 с.

25. Копии Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.1. М.: Наука, 1965. — 424 с.- 24. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.

26. М.: Физматгиз, 1963. — Ч. 2. — 728 с.

27. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. 4.1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла. — М.: Высшая школа, 1976. — 384 с.

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003.840 с.

29. Марчевский И. К. Об условиях устойчивости положения равновесия профиля в потоке // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2007. — № 4. — С. 29-36.

30. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к расчету аэродинамических характеристик профиля в идеальной жидкости методом дискретных вихрей // В1сник Харювського нацюнального ушверси-тету. Сер1я М. — 2005. — № 661, вып.4. — С. 182-191.

31. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

32. Нелинейная теория крыла и ее приложения / Т.О. Аубакиров, С.М. Белоцерковский, А.И. Желанников, М.И. Ништ. — Алматы: Гылым, 1997. — 448 с.

33. Петров А. С. Расчет отрывного обтекания эллиптических цилиндров // Тр. ЦАГИ. — 1978. — Вып. 1930. — 12 с.

34. Полевой А.И. Условия возникновения пляски проводов ЛЭП // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1988. — № 4. — С. 168-174.

35. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: Физматлит, 2003. — 608 с.

36. Пустылъников Л.Д., Шкапцов В.А. Аэродинамически неустойчивые колебания проводов воздушных ЛЭП с гололедными отложениями // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1991. — № 2. — С. 103106.

37. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра.

38. М.: Стройиздат, 1978. — 216 с.

39. Савицкий Г.А. Ветровая нагрузка на сооружения. — М.: Стройиздат, 1972. — 110 с.

40. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.432 с.

41. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Сер. А. — 1989. — № 10.1. С. 1-60.

42. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. — М.: Машиностроение, 1982. — 279 с.

43. Симиу Э., Сканлан Р. Воздействия ветра на здания и сооружения.

44. М.: Стройиздат, 1984. — 360 с.

45. Случановская З.П. Распределение давления на поверхности прямоугольного, трехгранного и полукруглого цилиндров и их аэродинамические коэффициенты // Тр. Ин-та механики МГУ. — 1973. — № 24.1. С. 52-60.

46. Строительные нормы и правила: нагрузки и воздействия: СНиП 2.01.07-85* / Госстрой СССР; введ. 01.01.87. — М.: ГП ЦПП, 2005.44 с.

47. Сэффмен Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. —■ 375 с.

48. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы / С.М. Бе-лоцерковский, М.И. Ништ, В.Н. Котовский, P.M. Федоров. — М.: Изд-во ЦАГИ, 2000. — 266 с.

49. Федяевский К.К., Блюмина JI.X. Гидроаэродинамика отрывного обтекания тел. — М.: Машиностроение, 1977. — 198 с.

50. Фершинг Г. Основы аэроупругости. — М.: Машиностроение, 1984.600 с.

51. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т.2. — 800 с.

52. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. — М.: Физматгиз, 1959.523 с.

53. Черный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.

54. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965. — 208 с.

55. Щеглов Г.А. Об одном способе распараллеливания вычислений в методе дискретных вихрей // Информационные технологии и программирование. — 2005. — Вып. 1. — С. 47-54.

56. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow //J. Fluid. Mech.1973. — V.57. — P. 785-796.

57. Den-Hartog J. P. Transmission line's vibrations due to sleet 11 Transactions AIEE. — 1932. — Vol. 51. — P. 1074-1076.см. также Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. — М.: Физматгиз, 1960. — 580 с.)

58. ЕРШ. Transmission Line Reference Book, Wind Induced Conductor Motion. Palo Alto (California): Electrical Power Research Institute, 1979. — 255 p.

59. Glauert H. The rotation of an aerofoil about a fixed axis // Reports & Memoranda / Great Britain Advisory Committee for Aeronautics (GBACA). — 1919. — N 595. — 8 p.

60. Leonard A. Vortex Methods for Flow Simulation //J. Comput. Phys.1980. — N 37. — P. 289-335.

61. Lewis R.I. Vortex Element Methods for Fluid Dynamic Analysis of Engineering Systems. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005.588 p.

62. Morgenthal G. Aerodynamic Analysis of Structures Using High-resolution Vortex Particle Methods: PhD thesis. — Cambridge: University of Cambridge, Department of Engineering, 2002. — 209 p.

63. Nigol O., Buchan P. Conductors galloping — Den Hartog Mechanism // IEEE Trans, on Power Apparatus and Systems. — 1981. — Vol. PAS-100, N 2. — P. 699-720.

64. Novak M. Aeroelastic Galloping of Prismatic Bodies // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1969. — Vol. 95, No. EMI.1. P. 115-142.

65. Novak M. Galloping Oscillations of Prismatic Structures // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1972. — Vol. 98, No. EMI.1. P. 27-46.

66. Novak M., Davenport A.G. Aeroelastic Instability of Prisms in Turbulent Flow // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1970.

67. Vol. 96, No. EMI. — P. 17-39.

68. Novak M., Tanaka H. Effect of Turbulence on Galloping Instability // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1974.

69. Vol. 100, No. EMI. — P. 27-47.

70. Ogami Y., Akamatsu T. Viscous flow simulation using the discrete vortex model — the diffusion velocity method // Comput. and Fluids. — 1991.

71. Vol. 19, N 3/4. — P. 433-441.

72. Relf Е.И., Lavender T. The auto-rotation of stalled aerofoils and its relation to the spinning speed of'aeroplanes / / Reports & Memoranda / Great Britain Advisory Committee for Aeronautics (GBACA). — 1918.1. N 549. — 9 p.

73. Uhlman J.S. An integral Equation Formulation of the Equation of Motion of an Incompressible Fluid. — Newport, 1992. — 38 p. (Naval Undersea Warfare Center. Technical rept. N 10)