автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование обратных задач оптики

На правах рукописи

ЧЕРНЯВСКИЙ Сергей Меерович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ОПТИКИ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Казань 2004

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

Геннадий Лукич Дегтярев

Официальные оппоненты:

-доктор физико-математических наук, с.н.с. Владимир Петрович Лукин

-доктор технических наук, с.н.с. Владимир Петрович Иванов

-доктор физико-математических наук, с.н.с. Игорь Николаевич Сидоров

Ведущая организация Институт космических исследований РАН

Защита состоится " 9 " апреля 2004г. в 14™ часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан "_"._2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-математ. наук,профессорП.Г. Данилаев

Общая характеристика работы

Актуальность. В работе рассматриваются большей частью проблемы, связанные с измерением фазы света в оптических системах с управляемой фазой. В то же время развиваемые методы решения фазовой задачи являются достаточно общими и применимы для решения других обратных задач оптики. Этим обусловлено рассмотрение еще одной проблемы - восстановление изображения по его неполным и зашумленным данным.

Роль фазовой составляющей световой волны в плане информативности общеизвестна. Оптические методы контроля поверхностей, измерения деформаций и перемещений, изучение свойств фазовых объектов основаны на измерении фазы.

Другой аспект, хорошо знакомый астрономам, это атмосферные искажения волнового фронта (ВФ), формирующего в телескопе изображения небесных объектов. Эти искажения существенно снижают разрешение телескопа.

Смелая идея активно в реальном времени исправлять атмосферные искажения ВФ оказалась революционной в плане создания и применения оптических систем (ОС). Реализацией этой идеи является новое поколение ОС способных управлять фазой, придавать световому пучку заданные свойства. Эти ОС получили название адаптивные (АОС).

Лазерное излучение с управляемой фазой имеет широкие перспективы использования в области связи, в медицине и технологиях.

Специфика АОС среди оптико -электронных систем в том, что и ней присутствуют два дополнительных элемента: датчик ВФ и адаптивным элемент (АЭ). Первый измеряет фазу волны, а второй управлет ею.

Проблема создания датчика ВФ является одной из центральных. Наиболее просты датчики ВФ, основанные на анализе изображения сфокусированною и «лучения. Изображение, соответствующее искаженному ВФ, содержит

рос^нлиионлльнли

БИБЛИОТЕКА

информацию об искажении ВФ и задача науки дать метод, позволяющий извлекать )ту информацию из изображения.

Если источник точечный, то информация о ВФ извлекается из распределения интенсивности в его изображении или числовых характеристик этого распределения. Если источник протяженный и неизвестный, то его изображение зависит от распределения интенсивности по нему и искажении ВФ, формирующего это изображение. Наметились два подхода образования данных для извлечения информации о ВФ, не зависящие от распределения интенсивности по источнику. Первый основан на анализе ВФ, формирующего изображение естественного или искусственного достаточно яркого опорного точечного источника в поле зрения протяженного источника. При наблюдении произвольного участка неба вероятность найти естественный» опорный источник весьма мала, поэтому активно ведутся исследования по применению лазерных опорных звезд для измерения ВФ.

При втором подходе информация об ВФ извлекается из распределений интенсивности в нескольких изображениях одного и того же неизвестного источника, полученных при введении различных контролируемых предискажений волны. Возможности данного подхода для восстановления ВФ еще мало изучены.

В ЛОС контролируемыми изменениями ВФ можно изменять изображение источника и извлекать из последнего дополнительную информацию о неизвестном искажении ВФ. Поэтому при адаптивном формировании изображения больше возможностей в плане восстановления ВФ по изображениям, чем при пассивном формировании изображения.

Существенный вклад в решение проблемы восстановления ВФ по изображению внесли R.A. Muller, A. Southwell, R.W. Gerchberg, W.O. Saxton, l).C\ Youla. R.A. Gonsalves, M.A. Ficldy, J.R. Fienup, H. Stark, M.A. Воронцов, В.И. Шмши.гаучеи, М.В. Лопатников.

Цель работы заключается в разработке методов восстановления аберраций, ВФ по адаптивно формируемым изображениям неизвестного произвольного монохроматического некогерентного источника и восстановления этого источника по его неполному и зашумленному изображению.

- Задачи исследования. Нахождение зависимостей числовых характеристик изображения от аберраций ВФ оптической системы.

- Разработка оптимизационного метода нахождения общей точки заданных множеств, легко учитывающего ограничения на решения обратных задач.

- Разработка итерационных алгоритмов восстановления аберраций ВФ с учетом возможной компенсации аберраций ВФ на каждой итерации

- Разработка методов восстановления источника по его неполному и зашумленному изображению.

- Аналитическое и численное исследование задач восстановления - ВФ и источника.

- Получение методики определения вероятности существования фазового экрана с заданным интервалом времени по киноленте Гартмана.

Методы исследования. Теоретическое исследование математических моделей формирования изображения и численное моделирование разрабатываемых методов решения обратных задач оптики.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается строгостью доказательства теоретических положений, адекватностью математических моделей формирования изображения, сопоставлением с результатами работ других ученых и численным моделированием.

Положения, выносимые на защиту Развитая теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для описания влияния аберраций ВФ на изображение и обоснования возможности восстановления ВФ по распределению интенсивности в пространстве изображения.

- Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

- Оптимизационный метод нахождения общей точки заданных множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек-представителей этих множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

- Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения по адаптивно формируемым изображениям.

- Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства, имеющий максимум на решениях задачи восстановления ВФ по амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области.

- Метол восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренного изображения, априорных свойств шума и источника как ограничений на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

- Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода

лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Научная новизна Работа включает нижеследующие новые результаты.

- Теорема о возможности восстановления функции зрачка ОС по распределению интенсивности в пространстве изображения.

- Моментные равенства, устанавливающие квадратичную зависимость от градиента аберраций ВФ моментов (8 + д)-го порядка производной (8 + д-2)-го порядка от интенсивности в изображении по осевой координате ОС г в точке 2=0. Приращения этих моментов при контролируемых вариациях аберраций ВФ являются линейными функционалами от градиента неизвестных аберраций ВФ.

- Геометрическая теория плоскостных моментов.

- Модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1 -го и 2-го порядков.

- Методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана.

- Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

- Метод увеличения размерности (МУР-метод) нахождения общей точки заданных множеств, исходя из стратегии сближения точек-представителей

этих множеств. В методе сочетается многообразие выбора итерационных алгоритмов нахождения решения с простотой их реализации.

- Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения по адаптивно формируемым изображениям.

- Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства, имеющий максимум на решениях задачи восстановления ВФ по амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области.

Метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ на основе МУР-метода.. Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ на основе леммы Рисса.

Практическая значимость

Данное направление исследований стимулировалось и разрабатывалось в связи с творческим и договорным сотрудничеством в 1982-1990 годах с ЦКБ "Фотон" и Государственным оптическим институтом им. С.И.Вавилова по теме "Создание датчика ВФ для АОС". В дальнейшем это направление развивалось в рамках госбюджетной темы КГТУ им А.Н.Туполева и личных научных интересов автора.

Предлагаемые методы решения обратных задач оптики имеют более широкую область применения, включая аналитическое проектирование конструкций и систем, управление динамическими системами.

Личный вклад автора

Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором. В совместных публикациях автору принадлежат новые постановки обратных задач оптики и методы их решения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на нижеследующих конференциях и симпозиумах.

- Всесоюзная конференция "Атмосферная нестабильность и адаптивный телескоп"(Крымская АО, 1986.).

- Межреспупликанских и Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1994-2000годы)

- Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы."(Иркутск, 2001.; Томск, 2002-2003.).

- VIII Четаевская международная конференция. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": (Казань, 2002.).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в виде 11 статей в отечественных журналах и 6 статей в сборниках трудов SPIE.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту проф. Дегтяреву Г.Л. за внимание и поддержку на всех этапах написания работы, проф. Гараеву К.Г. за поддержку, способствующую завершению работы, а также соавторам и коллегам группы «адаптивная оптика» КГТУ за полезные дискуссии и помощь при оформлении диссертационной работы

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 335 страницах, включая 47 рисунков, 3 таблицы и 204 литературные ссылки.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, описание математической модели формирования изображения и основные обозначения. Приведены примеры обратных задач оптики с указанием проблем, связанных с их решением, для решения которых могут быть использованы методы работы. Дан обзор темы исследования.

При постановке и решении обратных задач оптики использовались оюлующис понятия. Функция зрачка

С(^л)=А(^л)ехр02тсФ(^л))

с носителем на апертуре выходного зрачка П, где Ф(^,Т)) - функция аберраций ВФ. отнесенная к длине волны X; А(^,Т))- относительная амплитуда на зрачке, интеграл на П от ее квадрата равен единице. Распределение интенсивности монохроматического некогерентного источника в предметной

плоскости и распределение интенсивности в плоскости

регистрации оху, определяемой координатой 2, отсчитываемой вдоль оси ОС от фокальной плоскости (г = 0). Они связаны интегралом свертки

1(2)=ь(2)*10,

с ядром, называемым функцией рассеивания точки (ФРТ).

6Координаты взяты в относительных единицах, при которых ФРТ есть квадрат модуля волновой функции равной при фиксированном

двумерному преобразованию Фурье от произведения функции зрачка и фазового множителя

СоЙ.Л.г) = ехр(- ¡2р2 /2) р2 = %2 + п2:8(2) = Р(СО0(2)).

При фиксированном Ъ обратное двумерное преобразование Фурье функций 1(г),Ь(г)|, обозначается соответственно ,)(г),Н(2), ^. Функция Н называется оптической передаточной функцией (ОПФ).

Глава 1. МЕТОД МОМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА

Развивается теория плоскостных моментов изображения для описания влияния аберраций ВФ на изображение и дается ее приложение к задаче восстановления мод ВФ. Описывается методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гаргмана.

1.1. Восстановление волнового поля по объемному изображению 1.1.1. Плоскостные моменты изображения. Задание распределения интенсивности 1(х,у,г) в пространстве изображения может быть осуществлено заданием его моментов

М5Ч(1(г))= | |1(х>У,2)х5учсМу,

где -неотрицательные целые числа. Существование несобственных интегралов зависит от того, как быстро убывает интенсивность на бесконечности.

1.1.2. Дифференциальные свойства функций I- Изучены

дифференциальные свойства данных функций и их производных О^ к-го порядка по переменной г, а также получены два представления производной ^Ь (лемма 1.1.1. и ее следствия, теорема 1.1.1.), необходимые для доказательства теоремы о моментных соотношениях.

1.13. Моменты изображения ОС с гладкой функцией зрачка. Пусть 8 множество комплекснозначных функций, заданных и бесконечно дифференцируемых в действительном пространстве, убывающих при

вместе со всеми частными производными быстрее любой степени При

условии показывается, что существуют плоскостные моменты от

производных Э^г).

1.1.4. Основные моментные соотношения изображения ОС с гладкой функцией зрачка. Введем функцию /(-2 кТ.

относительные величины функцию

зависящую только от амплитуды на зрачке. Доказана

Теорема 1.1.2. Для гладкой функции зрачка справедливы моментные равенства

= 1/2Л^кчП),Ф^л))А2(^^^С!Л + Е^А), 8+Ч>2 ,

в которых символы момента и производной можно менять местами.

Эта теорема обобщает результат Лопатникова (1987), который получил два первых моментных равенства.

Числа А^ и являются моментами функций А2 и Ф относительно базисных функций «р^. Последнее моментное равенство нелинейное

относительно Ф и это затрудняет непосредственное использование его для определения функции зрачка. Однако; если в оптической системе возможно введение контролируемого изменения функции зрачка на (например, в АОС), то по двум измерениям, соответствующим функциям аберраций Ф и можно найти изменение момента и прийти к линейному

||Фзч.Ф')А2с1^Л = Ф15£,,

где обозначили

Числа есть моменты функции аберраций Ф относительно функций

Полученное линейное равенство может быть эффективно использовано в

ДОС, так как позволяет получить достаточное число линейных относительно Ф равенств для моментов низкого порядка э + ц > 2 при различных ДФ. Если

ДФ взять в виде сф, где ф есть заданная функция, и вместо изменения ДФ2М|

взять производную по с (по моде) в точке с=0, то последнее равенство преобразуется к виду

Ц^чФ'.ф'К

ф

(1)

п

1.1.5. Предельные моментные соотношения

Пусть реальная функция зрачка рассматриваются как функции, заданная на на плоскости R. Амплитуда А предполагается измеримой и существенно ограниченной функцией. Так как вне О амплитуда А = 0, то функцию аберраций можно считать заданной на R и имеющей хорошие свойства вне П. Будем Ф считать финитной функцией. Ее носитель содержит некоторую окрестность зрачка На R функция Ф является элементом пространства

Соболева \\4(я). Пусть А£и Фе усреднения по Соболеву функций А и Ф с помощью дельтаобразной функции <ре,тогда из теоремы 1.1.2. следует

Следствие. При указанных функциональных ограничения на амплитуду А и функцию аберраций Ф имеют место предельные моментные соотношения:

где А^.Ф^ и Ф^ -левые части моментных соотношений теоремы 1.1.2, соответствующие гладкой функции зрачка С помощью следствия доказана

Теорема 1.1.3. При выполнении условий Ат|п >0 почти всюду на Пи

первые два моментных равенства следствия однозначно определяют функцию зрачка с точностью до

постоянного комплексного множителя.

Из теоремы 1.1.3. следует, что имеется принципиальная возможность определения функции зрачка по распределению интенсивности в пространственной области, содержащей фокальную плоскость.

1.1.6. Регуляризация функции зрачка. Допустим, что можно распределение интенсивности , соответствующее реальной в общем случае негладкой функции зрачка преобразовать в интенсивность

которая соответствует гладкой функции зрачка зависящей

от параметра причем Такое преобразование

исходной задачи формирования изображения назовем ее регуляризацией.

Моментные соотношения для регуляризованной задачи можно использовать двояко. Во-первых, моментными соотношениями можно воспользоваться для нахождения О, полагая 0Е«С в этих соотношениях. Во-вторых, из моментных соотношений можно найти а затем найти если известна связь между ними.

Пусть ф = Р(фе). Рассуждения этого пункта позволяют сформулировать практическое правило сведения уравнения формирования изображения с реальной функцией зрачка О к уравнению с

регуляризованнойной функцией зрачка правило

состоит в задании уравнения: связи между интенсивностями !е=Фе1» где Е достаточно малое число..

1.1.7. Компенсации мод ВФ, воспроизводимых ДОС. Представим реальное искажение ВФ, в виде суммы

Ф = Ф + ДФ,

где ф определяет составляющую, которую адаптивный элемент может скорректировать, а ДФ - остаточное искажение, которое не изменяемся адаптивным элементом. Поэтому достаточно измерить составляющую <р

Предполагается, что функция ф является элементом конечномерною подпространства X, базисом которого являются отклики приводов АЭ, ют да ДФ является элементом ортогонального дополнения к X. Если базис в X {ф|<}

ортогонализировать и ранжировать в базис то задача

компенсации мод ВФ сводится к определению коэффициентов Фурье (мод) Ск составляющих и их коррекции в порядке ранжирования. Решение этой задачи возможно на основе моментных равенств (1). Если в качестве числовой характеристики изображения взять функционал

М = (М2О + МО2)/2МОО, а ортогональность определить условием

и^шА2с1Ул = 5кт,

тогда из (1) для гладкой функции зрачка коэффициент определяется равенством

1.1.8.Регуляризация моментов 2-го порядка на основе аппроксимации степеней от х и у. Предложено получить приближение к предельным моментным соотношениям при регуляризацией

моментов путем аппроксимации выражениями

Выполнено численное моделирование решение задачи пункта 1.1.7. на основе данной регуляризации.

1.1.9. Геометрическая теория моментных соотношений. Показано, что методами геометрической оптики также можно прийти к полученным моментным соотношениям.

1.2. Модальный датчик

1.2.1. Постановка задачи. Предлагается описание ВФ оптической системы отрезком ряда Фурье по одной координате с коэффициентами (модами), зависящими от второй переменной. Моды находятся по числовым характеристикам изображения методом, напоминающим метод Гартмана. В методе Гартмана каждому отверстию (субапертуре) соответствует два измерения — локальные наклоны ВФ. Чем больше мод в разложении ВФ, тем больше должно быть измерений. Альтернативный подход состоит в том, что при меньшем числе субапертур и большем их размере измеряется большее число характеристик изображения.

Предполагается, что амплитуда на зрачке постоянна, а функция аберраций задается конечным отрезком ряда Фурье

с неизвестными коэффициентами Предлагается принципиальная схема

устройства (датчика волнового фронта), определяющего эти коэффициенты.

1.2.2. Описание общей схемы. Световой пучок направляется на амплитудный модулятор, затем фокусируется линзой на экран, расположенный в фокальной плоскости линзы ^ = 0). Полупрозрачное зеркало делит

сходящийся пучок и позволяет производить измерения интенсивности одновременно в другой паралльльной плоскости

Амплитудный модулятор поочередно пропускает свет через субапертуру в виде центрального круга с радиусом субапертур в виде круговых

секторов с номерами

N

Допускается несколько колец разбитых на круговые сектора. Вместо круговых секторов допускаются субапертуры любой формы, однотипно расположенные в круговых секторах данного кольца.

Амплитудный модулятор позволяет раздельно измерять распределения интенсивности сфокусированного света, прошедшего через каждую субапертуру пучка. Это обстоятельство принципиально отличает данную схему от схемы, рассмотренной Масси , и приводит к возможности определять моды более высокого порядка.

По измерениям в двух плоскостях можно оценить производную интенсивности <П(0)/с1г в каждой точке (х,у) фокальной плоскости.

1.2.3. Измеряемые величины и алгоритм их обработки. Измеряемыми величинами являются: полная энергия Моо» моменты 1-го порядка распределения интенсивности в фокальной плоскости Мю и Мц], моменты 2-го порядка производной по от распределения интенсивности в фокальной плоскости М5д,5 + я==2. Второе моментное соотношение теоремы 1.1.2.

позволяет записать три равенства

¡Ф10-Ф01==А2|СЭД, £ = £ +

- 2фм + ¡(Ф20 - Фог)=-А2 / л >

-2 Цфс14с1п+ |фр2сЮ ,

п

Л

Ф20 + Ф02 =-А /я

справедливые для любой субапертуры О с границей Ь. Из этих равенств, записанных для всех субапертур, образованы системы линейных равенств для

раздельного оценивания коэффициентов

На двух примерах показана возможность применения определяющих систем уравнений для восстановления коэффициентов Фурье. В частности, доказано, что по измерениям локальных наклонов ВФ в четырех круглых субапертурах, расположенных в вершинах квадрата, можно оценивать ВФ не только по пяти (Лукин), но и по семи модам Цернике: расфокусировка, два общих наклона, две комы и два астигматизма 2-го порядка:

1.3. Статистический анализ атмосферных искажений волнового фронта по киноленте Гартмана

Время "замороженности" атмосферы является важной характеристикой. Можно допустить ещё ситуацию, когда атмосфера рассматривается как некий фазовый экран (или пакет экранов), который как единое целое перемещается относительно оптической системы.

Если гипотеза фазового экрана правомерна, то при наличии информации об его движении относительно апертуры можно по известной фазе в

точке апертуры в момент времени определить фазу в точке М апертуры в момент времени 1 вдоль траектории точки N0 экрана, которая совпадала с Мо в момент времени

Предлагается методика определения вероятности существования гироиезы фазового экрана по киноленте Гартмана. Конкретно, речь идёт о кинолете Гартмана, снятой (Витриченко Э.А. и Войцеховичем В.В) с частотой 48 кадров/с на телескопе Цейсс-600 Симеизкой Научной базы бывшего Асгросовета АН СССР.

Обработка киноленты по данной методике дает оценку вероятности существования фазового экрана 0.011-0.013.

Глава 2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ МОД ВОЛНОВОГО ФРОНТА В АДАПТИВНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Вводятся функционалы от распределения интенсивности в изображении, которые в первом приближении дают оценку мод ВФ. Дается итерационный метод раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ, в котором на каждой итерации выполняется компенсация мод на величину их оценки.

2.1. Постановка задачи (случай точечного источника) Пусть источником излучения является светящаяся точка с единицчной "силой" и его изображение формируется АОС. Тогда интенсивность есть зашумленный вариант ФРТ: I = Ь + е.

Допустим, реально реализованному ВФ соответствует функция аберраций Ф(£,Т|). Адаптивный элемент вносит компенсирующее воздействие Ф, поэтому суммарное искажение ВФ равно Ф-Ф и ему соответствует интенсивность в изображении Так как конечной целью является

полная компенсация искажений ВФ, то воздействие адаптивного элемента должно быть выбрано из определяющего уравнения

ь(х,у,г,ф-ф)=ь(х,у,2,0), (х,у)ес1>,

где левая часть известна с точностью до е на множестве измерения

интенсивности Если допустить, что можно описать конечным

отрезком ряда по некоторой системе базисных функций:

ЕелЫ.

то исходная задача сводится к определению вектора коэффициент on из определяющего уравнения, записанного в виде ь(х,у, г,£ - £) = И(х, у, г,О), (х,у)ем.

Коэффициенты ^ и вектор С, называются соответственно модами и вектором мод. Число неизвестных мод в уравнении конечное, поэтому предложено их определять из системы уравнений

где - непрерывные линейные функционалы, действующие на функцию

как функцию переменных (х,у) на множестве при

заданных г и С,. Левая часть системы заменяется ее зашумленным вариантом

и в таком виде система решается итерационным

методом, напоминающим метод Ньютона. Задача состоит в том, чтобы выбором функционалов и координаты расфокусировки обеспечить эффективность этого метода. Необходимые факты, касающиеся метода Ньютона, изложены в параграфе 2.2.

2.3. Итерационный метод восстановления мод волнового фронта по функционалам изображения

Предложена итерационная схема нахождения вектора мод из определяющей

системы: ^0 = 0,

На к-м шаге измеряется интенсивность и по ней величина из

итерационных равенств находится разность и на величину этой

разности осуществляется компенсация вектора мод ВФ. В таком виде метод восстановления ВФ назван адаптивным.

Начальное приближение выбрано не случайно. Во-первых, по

условию задачи часто моды не могут быть большими. Во-вторых, при упрощается анализ вектора частных производных В -третьих, так как

речь идет об адаптивной системе, то осуществление коррекции ВФ ведет к тому, что С, —> 0.

Предложены методы выбора функционалов ^. Если их. взять к виде

биортогональной системы функционалов, соответствующих системе производных то итерационные равенства

существенно упрощаются: и их

левые части задают в первом приближении суммарный вектор мод.

2.4. Применение фазовой модуляции волны для раздельного восстановления четной и нечетной составляющих мод ВФ

Предположим, что имеется возможность вносить фиксированное контролируемое воздействие на функцию зрачка, которое сводится к

умножению ее на фазовый множитель где действительная

функция определяет характер фазового воздействия, а действительный

коэффициент определяет величину этого воздействия. Например, измерение интенсивности Ь(х,у) не в фокальной, плоскости, а ей параллельной с координатой равносильно введению фазовой модуляции, определяемой-

функцией ф(!;,т)) = р2/2.

Пусть является интенсивностью с учетом фазовой модуляции

функции зрачка и восстановление ВФ осуществляется адаптивным методом на основе итерационного равенства

Ь(х,у,а,ф)-Ь(х,у,а,0)=8Ь(0),

где 5Ь(0)= Ь'(х,у,а,0)5Ф.

Представим рассматриваемые функции в виде суммы ее нечетной и четной составляющих, которые отметим верхним индексом 1 или 2, например

Показано, что при итерационное равенство

распадается на два для раздельного определения При алгоритм

восстанавливает только нечётную составляющую ВФ.

Применение фазовой модуляции и использование адаптивного метода позволяет разделить задачи восстановления мод четных и нечетных составляющих искажений ВФ. В составном зеркале сегменты создают локальную фазу с линейным законом. Показано, как для такого зеркала ввести базис из четных и нечетных функций.

2.5. Функционалы изображения мод Цернике и мод сегментного зеркала

2.5.1. Пусть функция аберраций имеет разложение по круговым полиномам Цернике

2яФ(р,е)= 2 ^(c™cosm8 + S¡i>inme)l™(p)

и амплитуда на выходном зрачке постоянная. Будем считать, что для восстановления мод Цернике методом Ньютона осуществлена фазовая модуляция волны на выходгном зрачке путем введения расфокусировки Показано, что частные производные 3h(x,y,z,0)/сС™ и dh(x,y,z,0)/dS¡í\ z#0 повторяют структуру круговых полиномов Цернике, поэтому линейные интегральные функционалы изображения в итерационном методе восстановления мод Цернике определяются функциями F™ (о, у) = (cos m\|/,sin my )f ™ (и) на круге (о = {(у, v): v ¿ v}.

2.5.2. В АОС с сегментным АЭ выходной зрачок соответственно сегментирован. Рассмотрен случай, когда зрачок не содержит центральный сегмент и сегменты образуют пояса: первый пояс состоит из б-ти гексагональных сегментов, второй - из 12-ти, 3-й - из 18-ти и так далее. Показано, что из симметрии геометрии сегментов следует свойство симметрии функционалов изображения, которое упрощает нахождение последних.

2.6. Восстановление мод волнового фронта по изображению протяженного источника

Интенсивность 1(х,у,а,Ф) в изображении в этом случае зависит не только от искажений ВФ, формирующего изображение, но и от распределения интенсивности 1()(хО>Уо) по неизвестному источнику. Поэтому одного измерения распределения интенсивности даже при фазовой модуляции волны недостаточно для нахождения ВФ. Если имеется два изображения одного и того же источника при различных фазовых модуляциях с то из

них можно исключить 1()(хО>Уо) и прийти к равенству

1(^,0,Ф-Ф) Н&пАФ-Ф)'

из которого следует, что отношение двух ОПФ может быть измерено по двум изображениям. Последнее равенство позволяет записать уравнение для определения компенсирующего воздействия адаптивным элементом на ВФ:

;(5,Л,а,Ф-ф)__Н(5,т|,а,0) 1(4,ЛДФ-Ф) Н(^,т],0,0)

На основе этого уравнения предложен адаптивный метод раздельного восстановления мод четных и нечетных составляющих ВФ.

2.7. Итерационный метод восстановления ВФ с дополнительным измерением, инвариантный к малым амплитудным искажениям волны

Обобщается адаптивный метод восстановления ВФ предыдущего параграфа на случай, когда волна на выходном зрачке имеет небольшие неизвестные амплитудные искажения, определяемые величиной

Представим в произведении множители в виде: и

О0 = Ае~'с"р, где А,ф - известные четные функции. Чтобы подчеркнуть, что амплитуда переменная, ее будем включать в список переменных

рассматриваемых функций.

Метод восстановления ВФ по изображениям точечного источника строится на основе системы итерационных уравнений

Н(4,т1;а|,5А)Ф)-Н(^11;а!Д0) = бН(^Г1;а;,О,О)) а, =а,а2 =-а,

где 8Н - вариация ОПФ в точке 5А = 0 и Ф = 0 за счет 5А И 5Ф. Из этой системы получены две комбинации:

1т[Н (5, г]; а, 5А, Фп ) + Н(£, г];-а,бА, Ф)]=8тс Ле <30 (а)5ф], * »<Зо (а), 11е[н(4,г1;а,8А,Фп)-Н(^т1;-а,5А)ф)]=-8я1ш00(а)5Ф^**Со(а),

которые не зависят от и являются итерационными уравнениями для ра адельного восстановления четных и нечетных составляющих ВФ.

Аналогичный подход предложен для восстановления ВФ по изображениям неизвестного протяженного источника на основе системы из трех итерационных уравнений, соответствующих

2.8. Численное моделирование.

Приводятся описание и результаты моделирования задачи раздельного восстановления нечетных и четных мод ВФ по адаптивно формируемым изображениям неизвестного протяженного источника на основе метода Ньютона. Рассмотрены два адаптивных зеркала: гибкое и сегментное.

Глава 3. МЕТОД УВЕЛИЧЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ В ЗАДАЧЕ НАХОЖДЕНИЯ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

В третьей главе дается оптимизационный метод нахождения общей точки заданнных множеств, названный метод увеличения размерности. Рассматриваются итерационные алгоритмы его реализации; исследуются вопросы сходимости и регуляризации этих алгоритмов.

3.1. Описание метода Рассматриваемые в данной работе обратные задачи оптики могут быть сформулированы как геометрическая задача нахождения общей точки заданных множеств:

х е

ш

Б=1

Метод нахождения точки из Уд зависит от выбранной стратегии. 13 публикациях по данной теме используется стратегия, заключающаяся в построении последовательности точек приближающихся к В данной работе развивается другая стратегия, заключающаяся в построении последовательности т точек Х5П еУ5> 8 = 1,Ш , сближающихся между собой с возрастанием П. За меру сближения берется функционал }. Любая его сходящаяся минимизирующая последовательность задает

предельную точку к которой сходятся все т последовательностей.

Функционал вила

л(х-х,,х-х2.....X —хт),

где обладающий свойством

при

может служить мерой сближения точек

Мерой сближения яв;

■11(х1-х2,...,х1-хт)

с такими же свойствами, что и функционал I, который достигает минимума при

Будем предполагать, что все У5 есть замкнутые выпуклые множества гильбертова пространства Н. Построение минимизирующих последовательностей функционалов сближения и исследование их сходимости

будет опираться на свойства проекций Р5х точки х на множества V,., Перечень этих свойств приведен в параграфе 3.2.

3.3. Функционал сближения I 3.3.1 Метод покоординатного спуска. Функционал сближения

где

Минимизирующая последовательность строится методом

покоординатного спуска по исходя из равенства

тщ Дх,х)=ттпипДх,х][ хеН,х€У хеНхеУ

Пусть хп — п-е приближение для х. Тогда П-е приближение для X

определяется однозначно

хп =(Р|Хп,Р2Хп,...,Ртхп).

(п + 1)-е приближение х задаётся из условия

гп

Дхп+1,хп)=шт Дх.хп) и равно хп+1 = ]Га5Р5хп .

хеН

в=1

Отправляясь от произвольного нулевого приближения получаем

минимизирующую последовательность функционала I.

Формулы покоординатного спуска задают на Н оператор

Рх = ][]а5Р5х

с помощью которого последовательность {хп}задаётся соотношением

хп+1=Рх„=Рпх,

где х - произвольная точка Н. Показано, что приближение х,1+| можно задать оператором более общего вида, совпадающего с Р при А. = 1: хп+1 =Тх„ =хп+Х(Рх„-хп) при 0<А.<2.

3.3.2. Свойства итерационных операторов покоординатного спуска

Оператор Р имеет свойства, аналогичные свойствам оператора проекции точки на замкнутое выпуклое множество. Они сформулированы и доказаны в виде лемм.

Лемма 3.3.1. Если ХбН,то для любого уеУд имеет место неравенство Лемма3.3.2. Для любой пары элементов х и у в Н

Лемма 33.3. Для хеН и любо гуок^р аведливо неравенство

Лемма 3.3.4. Множество неподвижных точек оператора Т равно Уд. ЛеммаЗ. 3.5. Для любого хеН сумма ряда

¿|тп+1х-Т"х|2<+оо. п=0

Следствие. Если множество Уд не пусто, то для любого хеН минимизирующая последовательность =Тпх, х5П = Р3хП( 1,п| слабо

сходится к точке некоторая точка множества

3.3.3. Регуляризация функционала сближения. Для повышения скорости сходимости минимизирующей последовательности введено регуляризирующее слагаемое в функционал сближения:

Hl

J(x,x1,x2,...,xm) = a0|x|2 + ^as||x-xi,||2,

в=1

где «()" малое положительное число. Метод покоординатного спуска видоизменяется только в части определения хп+| :

Оператор Р, определяемый итерационным равенством, обладает свойством сжатия, поэтому имеет единственную неподвижную точку х *, к которой последовательность |рПх| стремится, Значением ctg осуществляется компромисс между точностью сближения точек xs между собой и величиной нормы элемента х , к которому стягиваются xs, s = i,m.

Из равенства Рх =Х , записанного в виде Рх = (l + ag)x видно, что

чем меньше ад, тем точнее X определяет неподвижную точку оператора Р.

Теорема 3.3.1. При ад—>0 неподвижная точка х (ctg) оператора Р

стремится по норме к точке то есть к точке множества

имеющей минимальную норму, если это множество не пусто.

Теорема остается справедливой и тогда, когда приближения по х определяются равенством

3.3.4. Условия сильной сходимости. Пусть d(x,V) - расстояние точки х до множества V. Минимизирующая последовательность функционала сближения удовлетворяет условию d(xn,Vs)—»0, s = l,m. Это условие еще не

гарантирует сильную сходимость последовательности к точке Требуются дополнительные условия на множества Один тип таких условий предложен Л.Г Губиным. и его соавторами, другой -Д. Юлой. В данном разделе показано, что указанные дополнительные условия также обеспечивают

сильную, сходимость минимизирующей последовательности функционала сближения к точке множества vq .

3.3.5. Модификация итерационной схемы. В итерационной схеме минимизации функционала сближения пункта 3,3.1 на основе покоординатного спуска требуется выполнить на каждой итерации два одинаковых действия:: проектирование на множества Vs и усреднение проекций. В некоторых случаях для спуска к минимуму столь регулярным методом, не учитывающим данные, имеющиеся на каждом шаге, может потребоваться большое число итераций. Поскольку цель приблизиться к минимуму функционала не вносит ограничений в наши действия, то можно на каждом шаге итераций внести некоторые коррективы, пожертвовав несколько простотой метода. Предложена модификация итераций; сводящаяся к тому, что на каждой итерации делается два шага к минимуму функционала как и ранее методом покоординатного спуска, по которым задается возможное направление для х и выбирается шаг по этому направлению из условия минимума функционала по всем переменным.

3.4. Функционал сближения Jj

Особенность функционала в том, что х = Хт+] принадлежит выпуклому замкнутому множеству Vm+i С Н. Функционал J является частным случаем функционала Jj при Vm+] = Н. В этом параграфе обобщаются результаты пунктов 3.3.1-.3.3.4 для функционала J применительно к функционалу J|.

3.5. Задача нахождения общей точки бесконечного числа выпуклых

множеств.

3.5.1. Постановка задачи. Пусть задано {V(s)}-семейство замкнутых выпуклых множеств в Н, s е Е. Множество индексов Е является пространством с положительной мерой |л(В) > 0; определенной на борелевской алгебре множеств с единицей Е. Каждый элемент хеН определяет па К векторную функцию P(s)x = Py(s)X -проекция х на множество V(s). Обозначим

через V0 -множество элементов X В Н, которые принадлежат пересечению какого -либо подсемейства {v(s)}, seE\Eo, ц(Ер)=0 и пусть V*-

выделенное замкнутое выпуклое множество (V может совпадать с Н).

Задача нахождения общей точки выпуклых множеств V и V(s), s s Е, заключается в определении точки

Решение данной задачи сведено к задаче на минимум функционала сближения в виде интеграла

J1(x,x(s))= Jx-x(s)fd|i(s), х е v\ x(s)e V(s).

Функционал сближения равен квадрату нормы разности двух векторных функций, одна из которых постоянна xj(s)=X, а другая X2(s)= x(s).

Если мера ц дискретная и сосредоточена в конечном числе точек, то мы придем к уже известному функционалу пункта (3,4.1). В точке минимума функционала почти всюду, следовательно,

Рассмотрен регуляризованный функционал сближения 1,(х,х(8))=ао||х12 + |х-х(512с1ц(з).

В пунктах 3.5.2 и 3.5.3 предлагается итерационная схема построения минимизирующей последовательности на основе покоординатного спуска для функционала J| и его регуляризованного варианта, а также доказываются свойства операторов итерационных схем, обобщающие аналогичные свойства в случае конечного множества индексов, рассмотренные в пунктах 3.4.2,3.4.4.

Глава 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ОПТИКИ НА ОСНОВЕ МУР-МЕТОДА

В четвертой главе даются методы решения задачи росстановления ВФ по адаптивно формируемым изображениям неизвестного протяженного источника

и задача восстановления источника по его неполному зашумленному изображению в геометрической трактовке, как задача нахождения общей точки заданных множеств. В одном параграфе рассматривается функционал изображения для задачи восстановления ВФ.

4.1. Итерационные методы восстановления ВФ по изображениям некогерентного источника

4.1.1. Введение. Отмечается целесообразность и новизна предлагаемых подходов к решению задачи восстановления ВФ по изображениям источника, формализованной в задачу нахождения общей точки множеств.

4.1.2. Восстановление ВФ по изображениям точечного источника и амплитуде на выходном зрачке

Фазовая задача: найти функцию С по её модулю и модулям

Вводится гильбертово пространство на множестве комплекснозначных

^(х,у,г5)|2, 3 = 1,8.

функций 3-х переменных §(х, у,2) с суммируемым квадратом по переменным х,у на плоскости оху и нормой

8

о +СО-

Б=1

э=1 -00

и два множества на нем:

V, ={8:ё = Р(СС0(2)Х = АЫна П, и¡С&ц] = 0 внеП}

и

Между функциями g(x,y,z) и С(^,Т|) имеет место непрерывное взаимнооднозначное соответствие в = И где "*" - символ комплексного сопряжения. Эквивалентная формулировка фазовой задачи: найти функцию

Получены операторы проектирования на множества У1 и У2, необходимые в МУР-методе.

4.1.3. Восстановление ВФ по изображениям неизвестного протяженного источника и амплитуде на выходном зрачке

Фазовая задача: найти функцию О по её модулю и интенсивностям

в изображениях неизвестного источника Вводятся операторные множители

к(4^,28)=р-1(1(х,у,г5))/р-1(1(х,у,21))) з =

которые вычисляются по измеренным интенсивностям, и линейные операторы

преобразующие ФРТ ь(х,у,2}) в фрт ь(х,у,73). Удобно также ввести операторный множитель и оператор при 8 = 1 по правилу: к(^,Т|,г])= 1 И -тождественный оператор. Таким образом, 8 измерений приводят к 8 уравнениям

не содержащих

В гильбертовом пространстве пункта 4.1.2 задаются известное уже множество и множество

Фазовая задача становится эквивалентной задаче нахождения токи = Показано, множествами V1и V функция Ф определяется с

точностью до линейных членов. Поэтому вводится еще одно множество

в котором моменты ХдУо могут быть оценены по интенсивностям изображений- С учетом ограничения V фазовая задача сводится к нахождению общей точки g множеств У(,У2 И Уд. В пунктах 4.1.4 и 4.1.5 получены приближения к операторам проектирования на множества V и

4.1.6. Численное моделирование

Методами пунктов 4.1.2 — 4.1.5 моделировалась задача восстановления мод ВФ. Функция аберраций представлялась конечным отрезком ряда по полиномам Цернике. По найденной общей точке множеств в(х,у,з\),

вычислялись функция аберраций ф = а^оф^^ ' ))}/271 и

соответствующие ей моды При нахождении общей точки множество

использовались итерационные алгоритмы на основе метода Герхберга-Закс юна (ГЗ) и МУР-метода. Рассматривались два метода решения фазовой задачи - без адаптации и с адаптацией. В методе без адаптации выполнялось п итераций

приближения к множеству Уд и осуществлялось сравнение мод ,

полученных на п-ой итерации, с исходными модами С,^. По соответствию мод

и ^ оценивалась эффективность метода. В методе с адаптацией исходные

моды корректировались на величину , для скорректированных мод вычислялись измерения и все повторялось. Эффективность метода оценивалась по максимальному значению ФРТ в фокальной плоскости. Численный анализ показывает: Восстановление мод ВФ по изображениям точечного источника

решается эффективно рассматриваемыми алгоритми без и с адаптацией. Восстановление мод ВФ по изображениям неизвестного протяженного источника можно получить указанными алгоритмами только в сочетании с адаптацией ВФ.

Метод решения фазовой задачи пункта 4.1.2 обобщается на более общий случай, когда амплитуда функции зрачка не известна, а область задания интенсивности в плоскостях регистрации не совпадает с плоскостью

оху. Метод восстановления ВФ по изображениям неизвестного протяженного источника в такой общей постановке дается в пункте 4.1.8.

4.2. Об одном функционале для задачи восстановления ВФ по известной функции рассеивания точки в заданной области

4.2.1.Постановка задачи. Формулируетя ортимизационный метод решения фазовой задачи и обсуждаются желаемые свойства функционала данного метода.

4.2.2. Построение оптимизируемого функционала. Предлагается функционал зависящий от скалярного параметра 0<р<2, который представляет норму рефлексивного пространства и на решениях фазовой задачи достигает максимума:

4.1.7. Восстановление ВФ по неполным изображениям точечного источника

где полунормы

Функционал удовлетворяет неравенству

+00

\i2j_.J__ „ ,2/

J |g(x,y)j2dxdy<J2(g,p),

обращающееся в равенство на решениях фазовой задачи. Доказаны две леммы о свойствах функционала. На основе этих свойств предложены в пункте 4.2.3 численные методы построения максимизирующей последовательности функционала.

4.2.4. Обобщение. Метод решения фазовой задачи на основе максимизации функционала р) обобщен на случай, когда измерение интенсивности осуществляется в нескольких плоскостях.

4 3 . Восстановление некогерентного источника по известной функции рассеивания точки и зашумленному неполному изображению *

43.1. Математические модели задачи восстановления некогерентного источника

Уравнение для восстановления источника по зашумленному и неполному изображению записывается в виде

+00

l(x)= J Jh(x,x0)o(x0)dx0 + n(x),

(I)

где известными являются интенсивность l(x) на области измерения со, соответственно suppn(x) = 0 и нос и эирф^ь©дЮШ,я ю щ е й на интенсивность l(x). Поскольку шум п(х) не известен как и 1о(х)> то, естественно, под решением (регуляризованным) уравнения понимать пару функций (lg,n), которые удовлетворяют уравнению и ограничениям

I0eU, ne

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПепрбгРГ ОЭ 100 ut

]

где множествами U и V задаются известные априорные свойства и ограничения решения. Модели различаются видом ядра и видом множества oj,

4.3.2. Восстановление источника по его изображению в изопланатической области

Постановка задачи. В гильбертовом пространстве h=l2(r)xl2(r), r-плоскость, найти пару (х, у), удовлетворяющую уравнению свертки

и ограничениям: x(t)= lg(t)ä 0, supp x(t)=(Ogi

у(t) = l(t) - n(t), t g to; sup p n(t) = со, |n|| < 5.

В пространстве Н уравнение свертки задает множество V, а ограничения множество V]. Искомая пара является точкой пересечения. VVj. Доказано,

что точка минимума ^Х (ciß^y (cto)) регуляризованного функционала сближения J|, соответствующего множествам V и V непрерывно зависит от 1 и в соответствии с теоремой 3.4.1 (аналог теоремы 3.3.1) эта точка сходится по норме к точке пересечения VV1, имеющей минимальную норму.

43.3. Регуляризация задачи восстановления источника на основе леммы Рисса

Уравнение (1) рассматривается на дискретном множестве

Решение уравнения с ограничениями предлагается свести

с помощью леммы Рисса к конечномерной проблеме моментов с

ограничениями в подходящем пространстве H1 x H2 со скалярным

произведением:

Uxk) = (Vk»'o)H| + (Фк'п)нг* loeU.neV, к=».К.

где функции и векторы однозначно определяются функциями

переменной Х() и векторам е^ = (0,...,0,1,0,...,0)е R^ ,у которых к-я координата равна единице, а остальные координаты равны нулю. Вид пространства определяется требованиями к решению. В качестве требования рассмотрены

вид гладкости решения и его принадлежность к определенному статистическому ансамблю.

Основные результаты и выводы Предложены развитая теория плоскостных моментов изображения для описания влияния аберраций ВФ на изображение и вытекающая из нее теорема 1.1.3. о возможности однозначного восстановления с точностью до несущественного постоянного слагаемого аберраций ВФ по распределению интенсивности в пространственной области; функционалы изображения, задающие в первом приближении моды ВФ; и метод увеличения размерности для нахождения общей точки множеств, который прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

На основе этих результатов получены новые методы решения рассматриваемых в работе обратных задач оптики:

- метод восстановления мод ВФ, воспроизводимых АОС;

- модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана, в котором полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них;

- итерационный метод Ньютона раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ в АОС по двум изображениям протяженного неизвестного источника в фокальной и параллельной к ней плоскостях, в котором на каждой итерации в качестве оценки мод используются значения функционалов изображения;

- восстановление ВФ по адаптивно формируемым изображениям протяженного неизвестного источника методом увеличения размерности.

- восстановление некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и функции рассеивания точки методом увеличения размерности.

Основное содержание работы отражено в публикациях:

1 Чернявский СМ. К задаче о восстановлении волнового поля по объемному изображению. // Оптика атмосферы и океана. -1996. -Т.9.- № 1. -С.85-91.

2. Чернявский С.М, Юнусов Н.К., Лопатников М.В. К задаче компенсации искажений изображения в адаптивной оптической системе.//Атмосферная нестабильность и адаптивный телескоп. -Л.: Наука, 1988. -С.67-70.

3 Chernyavskii S.M- Wave front modes correction processed by an adaptive optical system. //Proc. SPIE. 2000. V. 434L P. 116-125.

4 Дегтярев ГЛ., Маханько А.В., Чернявский СМ.., Чернявский А.С. Модальный датчик. // Оптика атмосферы и океана. -2002. Т. 15 -№. 12. С.

5. Витриченко Э.А., Попова Г.Е., Юнусов Н.К., Чернявский СМ. Статистический анализ атмосферных искажений волнового фронта по киноленте Гартмана. // Оптика атмосферы и океана. -1995. -Т.8. -№.3.. -С. 405-408.

6. Чернявский С.М. Восстановление мод волнового фронта по функционалам изображения.//Оптика атмосферы и океана.-1997. -Т.10.-№12.-С.

7. Чернявский С.М. Модифицированный метод Ньютона в задаче восстановления мод волнового фронта. //Вестник Казан, гос. техн. унив-та.. -1997..- №1. -С.91-94.

8. Дегтярев Г.Л, Маханько А.В., Чернявский С.М, Чернявский А.С. Итерационный метод юстировки сегментного зеркала. по функционалам изображения, протяженного источника.. //Оптика атмосферы и океана. -1998. -Т.11. -№11. -С. 123 8-1240

9. Чернявский С.М. Применение фазовой модуляции волны для восстановления ее фазы по амплитудным данным. . //Оптика атмосферы и океана. -1998 -Т.11. -№11. -С.1187-1192.

10. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chemyavskii S.M., Chernyavskii A.C On the problem ofphase distortion correction by the Newton modified method in the adapive optical system. //Proc. SPIE. 2000. V. 4341. P. 161-172.

11. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii A.C. Segmented mirror alignment in the adaptive optical system by the unknown source image. //Proc. SPIE. 1998. V.3583.P.307-311.

12. Chemyavskii S.M. Dimensional method for solving inverse optical problems: //Proc. SPIE. 1998. V. 3583. P. 282-287.

13. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii A.C. Size extended method to solve phaze retrieval problem///Proc. SPIE. 2002. V. 5026 P. 144-153.

14. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii A.C. Iterative algorithms to solve phase retrieval problem by noncoherent source image. //Proc. SPIE. 2001. V. 4678. P. 144-153.

15. Чернявский С.М. Восстановление оптического сигнала методами выпуклого анализа. //Оптика атмосферы и океана. -1996. -Т.9.- №3. -С 332-338.

16 Чернявский СМ, Восстановление источника по его зашумленному и неполному изображению. // Оптика атмосферы и океана. -2002. -Т.15. -№4. -С.1-5.

17 Чернявский СМ., Методы регуляризации задачи восстановления оптического ешмала. Регуляризация на основе леммы Рисса. //Оптика атмосферы и океана, -1996. -Т.9.-№11.-С 1539-1545.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л.2,25. Усл. печ. л.2,09. Усл. кр.-отг. 2,14. Уч.-изд. л.2,0. _Тираж! 00._Заказ» г*.

Типография Издательства Казанского государственного технического университет 420111, Казань, К. Маркса, 10

3 92ff

Введение стр

В.1. Общая характеристика работы.

В.2. Математическая модель формирования изображения.

В.2.1. Описание оптической системы.

В.2.2. Функции пропускания оптической системы.

В.2.3. Изображение некогерентного протяженного источника.

В.З. Задачи и проблемы восстановления оптических сигналов.

В.4. Обзор по методам восстановления волнового фронта.

Глава 1 Метод моментов в задаче восстановления волнового фронта.

Введение.

1.1. Восстановление волнового поля по объемному изображению.

1.1.1. Плоскостные моменты изображения.

1.1.2. Дифференциальные свойства функций g,h,1.

1.1.3. Моменты изображения оптической системы с гладкой функцией зрачка.

1.1.4. Основные моментные соотношения изображения 52 оптической системы с гладкой функцией зрачка.

1.1.5. Предельные моментные соотношения.

1.1.6. Регуляризация функции зрачка.

1.1.7. Компенсация мод волнового фронта, воспроизводимых адаптивной оптической системой.

1.1.8. Регуляризация моментов 2-го порядка на основе аппроксимации степеней от л: и у.

1.1.9. Геометрическая теория моментных соотношений.

1.1.10. Определение производных от моментов методом временной модуляции.

1.2. Модальный датчик.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Описание общей схемы.

1.2.3. Измеряемые величины и алгоритм их обработки.

1.3. Статистический анализ атмосферных искажений волнового фронта по киноленте Гартмана.

Выводы по главе.

Глава 2. Восстановление мод волнового фронта в адап-тивной оптической системе модифицированным методом

Ньютона.

2.1. Постановка задачи (случай точечного источника).

2.2. Модифицированный метод Ньютона.

2.3. Итерационный метод восстановления мод волнового фронта по функционалам изображения.

2.4. Применение фазовой модуляции волны для раздельного восстановления четной и нечетной составляющих искажений волнового фронта.

2.5. Функционалы изображения мод Цернике и мод сегментного зеркала.

2.6. Восстановление мод волнового фронта по изображению протяженного источника.

2.7. Итерационный метод с дополнительным измерением, инвариантный к малым амплитудным искажениям волны.

2.8. Численное моделирование.

Выводы по главе.

Глава 3. Метод увеличения размерности в задаче нахождения общей точки выпуклых множеств.

3.1. Описание метода.

3.2. Свойства проекционного оператора.

3.3. Функционал сближения J.

3.3.1. Метод покоординатного спуска.

3.3.2. Свойства итерационных операторов покоординатного спуска.

3.3.3. Регуляризация функционала сближения.

3.3.4. Условия сильной сходимости.

3.3.5. Модификация итерационной схемы.

3.4. Функционал сближения J\.

3.4.1. Метод покоординатного спуска функционала J\.

3.4.2. Свойства итерационных операторов.

3.4.3. Вопросы сходимости последовательности метода покоординатного спуска.

3.4.4. Регуляризация функционала сближения.

3.5. Задача нахождения общей точки бесконечного числа выпуклых множеств.

3.5.1. Постановка задачи.

3.5.2. Метод покоординатного спуска.

3.5.3. Свойства итерационных операторов.

Выводы по главе.

Глава 4. Методы решения обратных задач оптики на основе МУРметода

4.1. Итерационные методы восстановления волнового фронта по изображениям некогерентного источника.

4.1.1. Введение.

4.1.2. Восстановление волнового фронта по изображениям точечного источника и амплитуде на выходном зрачке.

4.1.3. Восстановление волнового фронта по изображениям неизвестного протяженного источника и амплитуде на выходном зрачке.

4.1.4. Приближение к проекционному оператору множества F

4.1.5. Приближение к проекционному оператору множества F3.

4.1.6. Численное моделирование.

4.1.7 Восстановление ВФ по неполным изображениям точечного источника.

4.1.8 Восстановление ВФ по неполным и зашумленным изображениям неизвестного протяженного источника.

4.2. Об одном функционале для задачи восстановления волнового фронта по известной функции рассеивания точки в заданной области.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Построение оптимизируемого функционала.

4.2.3. Численные методы.

4.2.4. Обобщение.:.

4.3. Восстановление некогерентного источника по известной функции рассеивания точки и зашумленному неполному изображению.

4.3.1. Математические модели задачи восстановления некогерентного источника.

4.3.2. Восстановление источника по его изображению в изопланатической области.

4.3.3. Регуляризация задачи восстановления источника на основе леммы Рисса.

Выводы по главе.

ВГ. Общая характеристика работы

Объект исследования. В работе рассматриваются большей частью проблемы, связанные с измерением фазы света в оптических системах с управляемой фазой. В то же время развиваемые в работе методы решения фазовой задачи являются достаточно общими и применимы для решения других обратных задач оптики. Этим обусловлено рассмотрение еще одной проблемы -восстановление изображения по его неполным и зашумленным данным.

Актуальность. Роль фазовой составляющей световой волны в плане информативности общеизвестна. Оптические методы контроля [1, 2, 3] поверхностей, измерения деформаций и перемещений, изучение свойств фазовых объектов и др. основаны на измерении фазы.

Другой аспект, хорошо знакомый астрономам, это атмосферные искажения волнового фронта (ВФ), формирующего в телескопе изображения небесных объектов. Эти искажения существенно снижают разрешение телескопа.

Смелая идея [4,5] активно в реальном времени исправлять атмосферные искажения ВФ оказалась революционной в плане создания и применения оптических систем (ОС). Реализацией этой идеи является новое поколение ОС [614] способных управлять фазой, придавать световому пучку заданные свойства. Эти ОС получили название адаптивные (АОС) [15,16].

Широкие перспективы в области связи открывает использование излучения лазера. Информативность такого излучения определяется не только интенсивностью, но и фазой, которой можно управлять.

-6В медицине для диагностики, лечения и хирургии широко применяют лазеры и оптические методы [17- 24]. В хирургии глаза фокусировка луча должна быть близкой к дифракционной, а при получении высокого качества изображения глазного дна требуется коррекция аберраций глаза, что достигается средствами адаптивной оптики [19, 24].

Изменение фазы волны ведет при последующем распространении к перераспределению амплитуды волны. Это позволяет использовать АОС в качестве технических средств (фокусары) [25- 30] для управления распределением энергии излучения, которые могут найти широкое применение в лазерных технологиях.

Об актуальности проблем применения современных адаптивных систем [33] свидетельствуют ежегодные международные конференции по адаптивной оптике, проводимые The International Society for Optical Engineering, и присутствие секций по адаптивной оптике в программах других конференций, тематика которых связана с оптикой атмосферы. В 1998 году вышел специальный выпуск журнала Американского оптического общества (Applied Optics. 1998 V. 37. N21), посвященный проблемам адаптивной коррекции атмосферных искажений. Ежегодно выходит специальный выпуск журнала "'Оптика атмосферы и океана". Отечественные журналы регулярно публикуются статьи по АОС.

Научная задача. Специфика АОС среди оптико -электронных систем в том, что в ней присутствуют два дополнительных элемента: датчик волнового фронта (ВФ) и адаптивный элемент (АЭ). Первый измеряет фазу волны, а второй управлет ею.

Проблема создания датчика ВФ является одной из центральных [15,16, 30,34] и заключается в построении таких датчиков ВФ или информационных систем для АОС различного назначения, которые были бы просты в реализации, надежны в работе, обеспечивали достаточную точность измерения фазы в реальном времени.

Наиболее просты датчики ВФ, основанные на анализе изображения сфокусированного излучения. Изображение, соответствующее искаженному ВФ, содержит информацию об искажении ВФ и задача науки дать метод, позволяющий извлекать эту информацию из изображения.

В АОС контролируемыми изменениями ВФ можно изменять изображение источника и извлекать из последнего дополнительную информацию о неизвестном искажении ВФ. Поэтому при адаптивном формировании изображения больше возможностей в плане восстановления ВФ по изображениям, чем при пассивном формировании изображения.

Существенный вклад в решение проблемы восстановления ВФ по изображению внесли R.A. Muller, A. Southwell, R.W. Gerchberg, W.O. Saxton; D.C. Youla, R:A. Gonsalves, M.A. Fiddy, J.R. Fienup, M.A. Воронцов, В Mi Шмальгау-зен, M.B. Лопатников. Решение этой проблемы далеко еще от своего завершения.

Цель работы заключается в разработке методов восстановления аберраций волнового фронта (ВФ) по адаптивно формируемым изображениям неизвестного произвольного монохроматического некогерентного источника и восстановления этого источника по его неполному и зашумленному изображению.

Задачи исследования. На выбор метода измерения ВФ существенно влияет ряд факторов. Ниже обсуждаются те из них, по которым автор получил новые результаты и их исследование составляет содержание работы.

1. Полнота статистических данных об атмосфере. Эти данные в том числе определяют потенциальные возможности АОС.

2. Тип источника излучения. Если источник точечный, то информация о ВФ извлекается из распределения интенсивности в его изображении или числовых характеристик этого распределения, либо из измерений волновых полей, создаваемых источником. Если источник протяженный , то его изображение зависит от распределения интенсивности по нему и искажений ВФ, формирующего это изображение. Наметились два подхода образования данных для извлечения информации о ВФ, не зависящие от распределения интенсивности по источнику. Первый основан на анализе ВФ, формирующего изображение естественного или искусственного достаточно яркого опорного точечного источника в поле зрения протяженного источника [33,38,39]. При наблюдении произвольного участка неба вероятность найти естественный опорный источник весьма мала и как следует из работ [40, 41] имеет порядок Ю-6. Поэтому активно ведутся исследования- [33,38,39] .по применению лазерных опорных звезд для измерения ВФ.

При втором подходе информация об ВФ извлекается из распределений интенсивности в нескольких изображениях одного и того же неизвестного источника, полученных при введении различных контролируемых предискажений волны. Коротко этот подход будем называть методом восстановления ВФ по изображениям источника.

3. По степени использования АЭ в задаче восстановления ВФ. В простейшем варианте функции датчика ВФ и АЭ полностью разделены и АЭ только компенсирует полностью или частично искажения ВФ по измерениям датчика ВФ. Другой крайний случай?АЭ делаются последовательные пробные шаги-и выбираются те из них, которые ведут к максимизации критерия качества изображения, представляющий собой некоторый функционал от интенсивности в изображении. Существенным фактором здесь является свойства функционала.

Возможен более гибкий промежуточный случай, когда на основе измерения изображения и теории формирования изображения задается нужное частично компенсирующее изменение ВФ , затем вновь осуществляется измерение изображение и т. д. В результате итерационным путем осуществляется компенсация ВФ. Промежуточный случай позволяет привлечь известные в математике или создавать новые итерационные методы решения задачи восстановления и компенсации ВФ.

4. Развитие теории формирования изображения. Большую пользу могут дать всевозможные зависимости, связывающие характеристики ВФ с характеристиками изображения. В ВФ можно выделить две составляющие. Одна, которая может корректироваться АЭ и вторая, которая не изменяется АЭ Важно по изображению восстанавливать первую составляющую. Эту составляющую часто представляют разложением по некоторому базису с неизвестными коэффициентами (модами). Идеальным было бы каждую моду определять с помощью некоторого функционала от изображения.

5. Задача восстановления ВФ по изображениям является одной из задач бурно развивающегося научного направления, называемого обработка изображения. Сюда относятся задачи обработки аэрофотоснимков и снимков при наблюдении неба через атмосферу наземными телескопами, обработка разного вида диагностических изображений и т. д. Изображение содержит информацию» об его источнике и характеристиках среды распространения. Методы нахождения этих неизвестных по изображению составляют содержание обратных задач (ОЗ) оптики. Проблемы, связанные с решением ОЗ , побуждают к новым постановкам ОЗ и методам их решения.

Для решения 03 применяют различные итерационные методы: градиентные, проекционные, Ньютона и другие. Некорректность ОЗ побуждает для нахождения приемлемого решения привлекать дополнительные измерения, априорные статистические характеристики шума и свойства решения. Поэтому методы решения ОЗ должны обладать определенной гибкостью, чтобы учитывать эти ограничения.

Многие ОЗ допускают геометрическую трактовку [42-44] и формулируются как задача нахождения общей точки заданных множеств. Метод Герхбер-га-Закстона, метод чередующегося ортогонального проектирования (ЧОП) успешно применяются для решения обратных задач оптики в их геометрической трактовке. Несомненное достоинство метода ЧОП состоит в том, что в задаче со многими ограничениями уточнение приближенного решения осуществляется поочередно для ограничения. Метод ЧОП прост в реализации и сводится к поочередному ортогональному проектированию на каждое множество и возможно :: v-.iTiniuri * к вариации релаксационных параметров метода[45]. Столь регулярный выбор очередного приближения приводит в ряде случаев к уменьшению скорости сходимости метода. Это обстоятельство было замечено уже в ранних работах [47] по методу ЧОП и уже для случая множеств предлагался более рациональный выбор очередного приближения. Поэтому вопросы развития и модификации методов нахождения общей точки заданных множеств остаются актуальными.

В краткой форме задачи исследования состоят в следующем.

- Нахождение зависимостей числовых характеристик изображения от аберраций ВФ оптической системы (ОС).

- Разработка оптимизационного метода для нахождения общей точки заданных множеств, легко учитывающего ограничения на решения обратных задач.

- Разработка итерационных алгоритмов восстановления аберраций ВФ с учетом возможной компенсации аберраций ВФ на каждой итерации.(ири адаптивном формировании изображения).

- Разработка методов восстановления источника по его неполному и зашум-ленному изображению.

- Аналитическое и численное исследование задач восстановления ВФ и источника.

- Получение методики определения вероятности существования фазового экрана с заданным интервалом времени по имеющейся у автора уникальной киноленте Гартмана.

Методы исследования. Теоретическое исследование математических моделей формирования изображения и численное моделирование разрабатываемых методов решения обратных задач оптики.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается строгостью доказательства теоретических положений, адекватностью математических моделей формирования изображения, сопоставлением с результатами работ других ученых и численным моделированием.

Положения, выносимые на защиту Развитая теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для* описания влияния аберраций ВФ на изображение и обоснования возможности восстановления ВФ по изображению в\ пространственной области.

Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

Оптимизационный метод нахождения общей точки заданных множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек-представителей этих множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения по адаптивно формируемым изображениям.

Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и

ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи.

- Метод восстановления некогерентного источника по его неполному и за-шумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренного изображения, априорных свойств шума и источника как ограничений на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится" к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

- Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению» на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения < этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Научная новизна Работа включает нижеследующие новые результаты.

- Теорема о возможности восстановления функции зрачка ОС по изображению в пространственной области.

- Моментные равенства, устанавливающие квадратичную зависимость от градиента аберраций ВФ» моментов (s + q)-ro- порядка производной (s + q - 2) - го порядка от интенсивности в изображении по осевой координате ОС z в точке z=0. Приращения этих производных при контролируемых вариациях аберраций ВФ являются линейными функционалами от неизвестных аберраций ВФ.

- Геометрическая теория плоскостных моментов.

- 13- Модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков.

- Методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана.

- Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и. нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

- Метод увеличения размерности (МУР-метод) нахождения общей точки заданных множеств, исходя из стратегии сближения точек-представителей этих множеств. В методе сочетается многообразие выбора итерационных алгоритмов нахождения решения с простотой их реализации.

- Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения-по адаптивно формируемым изображениям.

- Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи.

- Метод восстановления некогерентного источника по его неполному и за-шумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренного изображения, априорных свойств шума и источника как ограничений на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму. - Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства'пар задаются типом» гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления. источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Практическая значимость

Данное направление исследований стимулировалось и разрабатывалось в связи с творческим и договорным сотрудничеством в 1982-1990годах с ЦКБ "Фотон" и Государственным оптическим институтом им. С.И.Вавилова по теме "Создание датчика ВФ для АОС". В дальнейшем это направление развивалось в рамках госбюджетной темы КГТУ им А.Н.Туполева и личных научных интересов автора.

Предлагаемые методы решения * обратных задач оптики имеют более широкую область применения, включая аналитическое проектирование конструкций и систем, управление динамическими системами.

Личный вклад автора

Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором. В совместных публикациях автору принадлежат новые постановки обратных задач оптики и методы их решения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на нижеследующих конференциях и симпозиумах.

- 15- Всесоюзная конференция "Атмосферная нестабильность и адаптивный те-лескоп"(Крымская АО, 1986.).

- Межреспупликанских и Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1994-2000годы)

- Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана. Физика ат-мосферы."(Иркутск, 2001.; Томск, 2002.).

- VIII Четаевская международная конференция. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": (Казань, 2002.).

По теме диссертации опубликовано 45 работ, из которых 33 имеются в списке литературы, из них 9 статей опубликованы в академических журналах.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту проф. Дегтяреву Г.Л. за внимание и поддержку на всех этапах написания работы, а также соавторам и коллегам группы «адаптивная оптика» КГТУ за полезные дискуссии и помощь при оформлении диссертационной работы

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и и списка литературы. Работа изложена на 326 страницах, включая 47 рисунков, 3 таблицы и 204 литературные ссылки.

Выводы к главе 4

1) Задача восстановления функции зрачка по ее амплитуде и ФРТ в плоскостях, параллельных фокальной плоскости формализована как задача нахождения точки пересечения двух множеств.

2) Предложен итерационный метод восстановления и компенсации ВФ в АОС по ФРТ в плоскостях, параллельных фокальной плоскости. В отличии от метода главы 2 здесь на каждой итерации оценка ВФ получается из решения фазовой задачи в ее геометрической трактовке методом ГЗ или МУР-методом. Численное моделирование показывает, что без компенсации на каждой итерации алгоритм восстановления ВФ на "неудобных" ВФ не приводит к решению фазовой задачи.

3) Формализована задача восстановления ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. Регистрация всего изображения приводит к тому, что формализованные задачи для протяженного и точечного источников одинаковые с точностью до вида множеств.

4) Формализована задача восстановления ВФ по неполным изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств.

5) Разработан итерационный алгоритм компенсации аберраций ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника. На каждой итерации осуществляется измерение интенсивности в изображениях. Выполняется конечное число спусков к минимуму функционала сближения. Фаза функции зрачка на последнем спуске определяет величину корректировки ВФ.

6) Предложен функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи. На основе этого функционала можно конструировать новые алгоритмы решения фазовой задачи.

7) Разработан метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит новое представление о равенстве, определяющее изображение источника, как линейного однородного уравнения относительно пар ( источник, изображение ). Это позволяет распределить ограничения на две переменные. Такими ограничениями являются измеренное изображение с априорными свойствами шума и априорные свойства источника. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

8) Разработан метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Заключение по диссертации

В диссертации получены следующие основные результаты.

1) Развита теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для описания влияния аберраций ВФ на изображение.

2) Доказана теорема о возможности однозначного восстановления с точностью до несущественного постоянного слагаемого аберраций ВФ по распределению интенсивности в пространственной области, содержащей фокальную плоскость.

3) Получена расширенная система моментных соотношений, устанавливающих зависимость плоскостных моментов от градиента функции аберраций. На их основе можно конструировать датчики ВФ.

4) Разработан модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков.

5) Предложена методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана. Конкретно по киноленте, снятой на телескопе Цейсс-600 в Симеизе, получена оценка этой вероятности, равная 0.11; 0.13 для времени существования соответственно 0.6; 0.75сек.

6) Введены функционалы изображения, которые в первом приближении численно равны соответствующим модам ВФ. Предложен итерационный метод, похожий на модифицированный метод Ньютона, восстановления и компенсации мод ВФ в АОС по двум изображениям протяженного неизвестного источника в фокальной и параллельной к ней плоскостях, в котором на каждой итерации в качестве оценки мод используются значения этих функционалов. Метод позволяет раздельно восстанавливать четные и нечетные моды ВФ по функционалам изображения.

7) Разработан оптимизационный метод нахождения общей точки выпуклых множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек из разных множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

8) Получены итерационные алгоритмы сближения точек выпуклых множеств. Установлены свойства операторов итерационных алгоритмов сближения точек выпуклых множеств, которые во многом повторяют свойства проекции точки на выпуклое замкнутое множество.

9) Доказаны теоремы сходимости регуляризованных итерационных алгоритмов сближения точек выпуклых множеств. Теоремами устанавливается, что предельные точки этих алгоритмов имеют предел при стремлении к нулю параметра регуляризации и этот предел является общей точкой выпуклых множеств с минимальной нормой.

10) Формализована задача восстановления ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. Регистрация всего изображения приводит к тому, что формализованные задачи для протяженного и точечного источников одинаковые с точностью до вида множеств.

11) Формализована задача восстановления ВФ по неполным изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств.

-31912) Разработан итерационный алгоритм компенсации аберраций ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника. На каждой итерации осуществляется измерение интенсивности в изображениях. Выполняется конечное число спусков к минимуму функционала сближения. Фаза функции зрачка на последнем спуске определяет величину корректировки ВФ.

13) Предложен функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи.

14) Предложен метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренное изображение, априорные свойства шума и источника определяют ограничения на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

15) Предложен метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

1. Малакара Д. Оптический производственный контроль. Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1985.-400с.

2. Витриченко Э.А., Лукин В.П., Пушной Л.А., Тартаковский В.А. Проблемы оптического контроля. -Новосибирск: Наука, 1990. -346с.

3. Витриченко Э.А. Методы исследования астрономической оптики. -М.: Наука, 1980. -152с.

4. Линник В.П. О принципиальной возможности уменьшения влияния атмосферы на изображения звезды./Юптика и спектроскопия.-1957.-N4. -С.401-402.

5. Babcock H.W. The Possibility of compensating astronomical seeing. // Bubl. Astron. Soc. Рас. -1953. -V.65. -P. 229-236.

6. Ган M.A., Ермаков Б.А., Еськов Д.Н. и др. Проблемы фазирования крупногабаритного составного адаптивного зеркала космического телескопа для астрономии. // Тр. Гос. оптического ин-та им. С. И. Вавилова, 1989. -Т.74. вып. 208.

7. Рябова Н.В., Захаренков В.Ф. Активная и адаптивная оптика в крупногабаритных телескопах. //Оптико-механическая промышленность. — 1992.-№6.

8. Клейменов В.В., Новиков Е.В. Наземные и космические адаптивные оптические телескопы. // Оптический журнал. -1989. -Т. 65. -№ 6.

9. Tang, Guomao, Rao, Changhui, Sheng, Feng, Zhang, Xuejun, Jiang, Wenhan. Performance and test results of a 61-element adaptive optics system on the 1.2-m escope of Yunnan Observatory. // Proc. SPIE. 2002. V. 4926. P. 13-19.

10. Ragazzoni, Roberto. Adaptive optics for 100-m-class telescopes: new challenges require new solutions. // Proc. SPIE. 2002. V. 4007. P. 1076-1087

11. De La Rue, Imelda A., Multiconjugate adaptive optics with hybrid laser beacon systems. Proc. SPIE. 2002. V. 4494, p. 290-301

12. Иванов П.В., Корябин Ф.В., Шмальгаузен В.И. Сдвиговый интерферометр в адаптивной системе с оптической обратной связью. //Квантовая электрон. -1999,.-Т. 27. -№ 1, -С. 78-80.

13. Харди Дж.У. Адаптивная оптика: Новая техника управления световым пучком.// ТИИЭР -1978. -Т. 66. -№ 6, -С.31-85.

14. Адаптивная оптика. Пер. с англ. / Под ред. Д. Фрида. М.: Мир, 1980.456с.

15. Антипенко А.Г., Артемьев Н.В., Бетин А.А. и др. Исследование ИАГ: Er-лазера с халькогенидны волоконным световодом в лазерной хирургии. // Квантовая электроника. -1995. -Т. 22. -№5. -С.523-525.

16. Walch J,Т. Jr., Flobte Т.J., Deutsch T.T. Lasers in Surgary end Medicine. 9. 314(1989).

17. Rukosuev A., Kudrayshov A. Closed Loop adaptive system with bimorph corrector and shack-hartmann wavefront sensor. //Proc. SPIE. 2002

18. Weidner, Frank, Schroeder, Eckhard. Shack-Hartmann-sensor-based aberrometer for ophthalmic diagnostics. // Proc. SPIE. 2001. V. 4434. P. 119-127.

19. Ларичев A.B., Иванов П.В., Ирошников Н.Ф., Шмальгаузен В.И. Определение аберраций глаза в присутствие спекл-поля. //Квантовая электрон. -2001,.-Т. 31. -№ 12,-С. 1108-1112.

20. Приезжев А.В. Лазеры и биомедицинская диагностика. //Квантовая электрон. -2002,.-Т. 32. -№ 10, -С. 847-848.

21. Зимняков Д.А., Тучин В.В., Оптическая томография тканей (Обзор). //Квантовая электрон. -2002,.-Т. 32. -№ 10, -С. 849-867.

22. Ларичев А.В., Иванов П.В., Ирошников Н.Ф., Шмальгаузен В.И., Оттен Л. Дж. Адаптивная система для регистрации изображения глазного дна. //Квантовая электрон. -2002,.-Т. 32. -№ 10, -С. 902-908.

23. Капцов JI.H., Кудряшов А.В., Самарнин В.В., Селивестров А.В. Управление параметрами излучения излучения твердотельного технологического лазера ИАГ: Nd-лазера методами адаптивной оптики. Квантовая электрон., 1992,.т.19, N 6, с. 579-583.

24. Гончаровский А.,В., Морозова Г.Н., Шемков О.З. Об одной задаче фокусировки лазерного излучения. //Квантовая электрон. -1992,.-Т. 19. -№ 6, -С. 584-586.

25. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. -М.: Наука, 1985. -269с.

26. Воронцов М.А. и др. Управляемые оптические системы. / Воронцов М.А., Корябин А.В., Шмальгаузен В.И. -М.: Наука, 1988. -268с.

27. Krishnaprasad P. S. Adaptive optics with advanced phase-contrast techniques. II. High-resolution wave-front control. JOSA A. 2001, Volume 18, Issue 6, 1300-1311

28. Лукин В.П., Фортес Б.В. Адаптивное формирование пучков. -Новосибирск.изд-во РАН, 1999. -212с.

29. Тараненко В.Г., Шанин О.И. Адаптивная оптика. -М.:Радио и связь, 1990.-110с.

30. Vorontsov М. A., Carhart G. W., Ricklin J. С. Adaptive phase-distortioncorrection based on parallel gradient-descent optimization Optics Letters, V.22, Issue 12,907-909.

31. Fugare R. Lazer beacon adaptive optics // Optics & Photonics News. -1993. -P.14-19.

32. Ragazzoni R. Absolute tip-tiln determination with laser beacons. //Astron. Astrophys. -1996. V. 305. P. L13-L16.

33. Parenti R.R. Adaptive Optics for Astronomy //The Lincoln Laboratory. 1992. V.5.N1.P. 93.

34. Бакут П.А., Киракосянц B.E. //Оптика атмосферы и океана. -1998. -Т. 11. -N11.-C.1193-1198.

35. Dante С. Youla. Generalized image restorationby the method of alternating projections. IEEE Transactions on Circuits and Systems CAS-25 (9) (1978).

36. H. Stark, D. Cahana and H. Webb. Restoration of arbitrery finite enerdgy optical objects from limited spetial and spectral informatoin.-J. Optical Society of America 71 (6) (1981).

37. Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988. -156с.

38. Реконструкция изображений. Пер. с англ. /Под ред. Г. Старка. -М.: Мир, 1992. -635с.

39. Брэгман Л.М.Нахождение общей точки выпуклых множеств методом последовательного проектирования.// Докл. АН СССР. -1965. -Т. 162, -№3. -С. 487-490.

40. Турин Л.Г., Поляк Б.Т., Райк Э.В. Метод проекций для нахождения общих точек выпуклых множеств. //ЖВМ и МФ. -1967. -В.7. -С. 1213-1228.

41. Борн М., Вольф Э. Пер. с англ. Основы оптики. -М.: Наука, 1973. -719с.

42. Бейтс Р., Мак-Доннел М. Восстановление и реконструкция изображений. Пер. с англ. -М. Мир, 1989. -334с.

43. Гудмен Дж. Статистическая оптика. Пер. с англ. -М.:Мир, 1988. -527с.

44. Токовин А.А. Звездные интерферометры. -М.: Наука, 1988. -160с.-32452. Верлань, А.Ф. Сизиков В.С.Интегральные уравнения. -Киев: Наук, думка,. 1986. -542с.

45. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1968. -496с.

46. Hounsfield G.N. J. //Of Computer -Assisted Tomography, 1980, v. 4, P.665.

47. Пшеничный . Б.Н. Необходимые условия экстремума. -М. Наука, 1969. -152с.

48. Пузырев В.А., Данилевич А.Б. Системы автоматической коррекции волнового фронта.Обзор. //Зарубежная радиоэлектроника. -1980. -№6 . -С. 45.

49. Матвеев И.Н., Сафронов А.Н., Троицкий И.Н., Устинов Н.Д. Адаптация в информационных оптических системах. М.: Радио и связь. 1984.

50. Обратные задачи в оптике. Пер. с англ. /Под. ред. Болтса Г.П. -М. .'Машиностроение, 1984.- 200с.

51. Дегтярев Г.Л., Чернявский С.М. Адаптивная оптика(обзор).//Межвуз. сб. Адаптивная оптика. Каз. авиац. ин-т. -1987. -С. 1-7.

52. Gardner S. Some effects of atmospheric turbulence on optical heterodyne communications. // IEEE Convent Record,-1967/-Vol. 6. -P.337.

53. Тартаковский B.A. Определение фазы оптической волны и многомерный оптический сигнал.// Оптика атмосферы и океана. -1997. -Т10. -№3.-С. 301-315.

54. Тартаковский В.А. Дисперсионные соотношения и существование минимальной фазы при распространении и интерференции световой волны.

55. Aksenov V.P., Izmailov I.V., Poizntr D.N., Tikhomirova O.V. Spatial ray dynamics at forming of optical spekle-field// Proc. SPIE. 2001. V. 4403. P. 109-115.

56. Aksenov V.P., Tikhomirova O.V. Theory of singular-phase reconstructionfor optical speckle field in the turbulent atmosphere // J. Opt. Soc. Am. A. 2002. V. 19. № 2. P. 345-355.

57. В.П. Аксенов. В.П., Измайлов И.В., Пойзнер B.H., Тихомирова О.В. Волновая и лучевая пространственная динамика светового поля при рождении,эволюции аннигиляции фазовых дислокаций.// Оптика и спектроскопия. -2002. -Т.92. № 3. -С.465-474

58. В13. Майоров С.А., Очин Е.Ф., Романов Ю.Ф. Оптические аналоговые вычислительные машины. -JI: Энергоатомиздат, 1983. -118с.

59. Применение методов фурье-оптики. Пер. с англ. / Под ред. Г. Старка. -М.: Радио и связь, 1988. -535с.

60. Васильев JI.A. Теневые методы. -М.: Наука, 1968. -400с

61. Костометов Г.П., Кузьмина Н.В., Розанов Н.Н. О восстановлении фазового фронта световой волны методом Фурье-оптики. .// Оптика и спектроскопия. -1986. -Т. 19. -.№1.

62. Каули Дж. Физика дифракции. Пер. с англ. -М.: Мир, 1979. -310с

63. Демин А.А., Носков С.О. Приближенное восстановление фазовой информации по двум распределениям интенсивности.// Изв. АН СССР. Сер. Радиотехника и радиоэлектроника. -1986. -Т. 31. -№10. -С. 2099-2104.

64. Аблеков В.К., Зубков П.И., Фролов А.В. Оптическая и опто электронная обработка информации. -М.: Машиностроение, 1976. -250с.

65. Аблеков В.К., Зубков П.И., Фролов А.В. Высокоразрешающие оптические системы. -М.: Машиностроение, 1985.-271с

66. Hartmann J. Objektivuntersuchungen.//Z. Instram. 1904. № 1. S. 1,33. 97.

67. Балакший В.И., Парыгин В.Н., Чирков JI.E. Физические основы акустооптики. -М.: Радио и связь, 1985.-280с.

68. Shack R.B., Piatt B.C. Production and use of lenticular Hartmann screen. // J. Opt. Soc.Am. A. 1971.V. 61.P. 1586.

69. Acton D.S., Smithson R.C. Solar imaging with a segmented adaptive mirror. //Appl. Opt. 1992. V. 31. №16. P. 3161-3169.

70. Rhoadarmer, Troy A Wave front reconstruction using a second-order model for Shack-Hartmann wavefront sensor measurements. // Proc. SPIE. 2002. V. 4724. P. 17-29.

71. West Steven C. Interferometric Hartmann Wave-Front Sensing for Active Optics at the 6.5-m conversion of the Multiple Mirror Telescope. Applied Optics-OT, Volume 41, Issue 19, 3781-3789. July 2002

72. Безуглов Д.А., Мищенко Е.И., Мищенко C.E. Адаптивные оптические системы. Методы восстановления фазового фронта. Разработка структур систем и новой элементной базы. (Обзор) // Оптика атмосферы и океана. -1995. -ТЗ -№8. -С. 364-380.

73. Gerchberg R.W., Sakton W.O. Optik: 34,275 (1971).

74. Gerchberg R.W., Sakton W.O. Optik: 35,237 (1972).

75. Демин А.А., Носков С.О. Исследование неоднозначности восстановления оптического изображения по его автокорреляции.// Радиоэлектроника. -1985. -Т. XXX. -вып. 10. -С 10-15.

76. Greenaway А.Н. Proposol for phase recoveri from a singl intensity distrilution. Opt. lett, V 1. 1977. P. 10-12.

77. Drenth A.J.J., Huiser A.M.J., Ferverda H.A. The problem of phase refrieval in light and elektron mikroscopi of strong objects. Optika Acta, V 22, №7, 1975. P. 615-628.

78. Бакалов B.H., Кириенко O.B., МартюшевЮ.Ю., Матвелов О.И. Восстановление многомерных сигналов по амплитудному спектру.// Зарубежная радиоэлектроника. -1987.- №4. С. 38-43.

79. Youla D.C. Generalized Image Restoration by the Metod of Alternating or thogonal Projections IEEE Trans on Ciruits and systems CAS 25(9) 1978 P.694-702.-32791. Fienup J.R. Phase Retrivel algoritms: A comparison. Appl.Opt. 21. 27582769. 1982.

80. Hiroaki Takajo, Tohru Takahashi, Takao Shizuma. Further study on the convergence property of the hybrid inputoutput algorithm used for phase retrieval. JOSA A, 1999.Volume 16, Issue 9, 2163-2168.

81. Guo-zhen Yang, Bi-zhen Dong, Ben-yuan Gu, Jie-Yao Zhuang, Okan K. Ersoy.Gerchberg-Saxton and Yang-Gu algorithms for phase retrieval in an nonunitary transform system: a comparison. Applied Optics-IP, 1994. Volume 33, Issue 2, 209-.

82. Саутвэл В. Анализатор волнового фронта, основанный на методе максимального правдоподобия. // Адаптивная оптика. / Под ред. Д. Фрида. -М.: Мир, 1980. -456с.

83. Чернявский С.М., Юнусов Н.К. К задаче адаптации по волновому фронту в оптических системах.// Всесоюзн. конф. Т еория адаптивных систем и ее применение. Тез. докл. и сообщ. -Л., 1983. -С.367.

84. Сивоконь В.П. Формирование световых пучков заданной структуры для задач лазерной технологии. Дис. канд. физ. -мат. наук. -М.,1986. -207с.

85. Ivanov V. Yu., Sivokon V. P., Vorontsov M. A. Phase retrieval from a set of intensity measurements: theory and experiment. // JOSA A, 1992. Volume 9, Issue 9, 151598. Cong Wen-Xiang, Chen Nan-Xian, Gu Ben-yuan Phase retrieval in the

86. Fresnel transform system:a recursive algorithm. JOSA A, 1999. Volume 16, Issue 7, 1827-1830.

87. В18. Кон А.И. О фокусировке света в турбулентной атмосфере. //Изв. вузов. Радиофизика. -1970. -Т. 13. -№1. -С. 61-70.

88. Масси Н.А. Модальный датчик. Пат. США, №4344707.

89. Лукин В.П. Атмосферная адаптивная оптика. -Новосибирск.: Наука, 1986. -248с.

90. Rhodes W.T. and Goodmen J.W. Interferowebric tecnigue for recordin and restoring images digraded by unknown abberations. J. Opt. Soc. Am. 1973. 63. 1973. P. 647-657.

91. Чернявский C.M., Методы регуляризации задачи восстановления оптического сигнала. Регуляризация на основе леммы Рисса. //Оптика атмосферы и океана, -1996. -Т.9.- №11. -С. 1539-1545.

92. Димов Н.А. Апертурный синтез астрономических телескопов. ОМП, -1985.-№12.-С. 32.

93. Rogstad D.H. A technique for measurementof visibility phase an optikalinterferometerin presenc jf atmospheric seeing. Appl. Opt/ -1968. -№7. — p/585-588.

94. Dyson F.J. Journ. Opt. Amer/,65, 551, (1975).

95. Gonsalves R.A. Phase retrieval and diversity in adaptive optics. Opt. End. 21. 829-832(1982).

96. Дегтярев Г. Л., Маханько А.В., Чернявский А.С. Алгоритм автоюстировки сегментного зеркала по произвольному источнику излучения.// Оптика атмосферы и океана. 1995. Т.8. №3. С. 388-392.

97. Чернявский С.М. К задаче о восстановлении волнового поля по объемному изображению. // Оптика атмосферы и океана. -1996. -Т.9.- №1. -С.85-91.

98. Чернявский С.М, Юнусов Н.К., Лопатников М.В. К задаче компенсации искажений изображения в адаптивной оптической системе.//Атмосферная нестабильность и адаптивный телескоп. -Л.: Наука, 1988. -С.67-70.

99. Чернявский С.М, Юнусов Н.К. Идентификация первичных аберраций в адаптивной оптической системе. ).// Межвуз. сб. Адаптивная оптика.Уфим. авиац. ин-т. -1988. -С.65-68

100. Шварц Л. Анализ т.1 -М: Мир,1972.-824с.-329115. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1967. -336с.

101. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1977. -455с.

102. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Учеб. пособие для студентов университетов. -6- изд. перераб. Т.4. Ч. 1. -М.: Наука, 1974. -Т.4. -Ч. 1. -336с.

103. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учебник для студентов вузов. Т.2. -М.: Высш. школа, 1981. -584с.

104. Chernyavskii S.M. Wave front modes correction processed by an adaptive optical system. //Proc. SPIE. 2000. V. 4341. P. 116-125.

105. Чернявский С.М. Компенсация мод в волновом фронте, воспроизводимых адаптивной оптической системой. //7-й Международный симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. —Томск, 2000. -С. 59.

106. Muller R.A., Buffington A. Real-time correction of atmospherically degradent telescope images through image sharpening JOSA. 1974. У. 64. №9. P.1200-1210.

107. Дегтярев Г.Л., Маханько А.В., Чернявский С.М., Чернявский А.С. Модальный датчик. // Оптика атмосферы и океана. -2002. Т. 15 -№.12. С.

108. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii А.С Modal sensor of wavefront. //Proc. SPIE. 2002. V. 5026. P. 140-145.

109. Чернявский С.М, Дегтярев Г.Л, Маханько А.В., Чернявский А.С. Модальный датчик волнового фронта. //9-й Международный симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 2002. -С. 72.

110. Витриченко Э.А., Попова Г.Е., Юнусов Н.К., Чернявский С.М. Статистический анализ атмосферных искажений волнового фронта по киноленте Гартмана. // Оптика атмосферы и океана. -1995. -Т.8. -№.3. -С. 405408.

111. Чернявский С.М. Модифицированный метод Ньютона в задаче восстановления мод волнового фронта. //Вестник Казан, гос. техн. унив-та. — 1997. .-№1. -С.91-94.

112. Чернявский С.М., Восстановление мод волнового фронта по функционалам изображения. // 4-й Симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 1997. -С. 187-188.

113. Треногин В.А. Галеркина метод.// Математическая энциклопедия. М.: 1977. Т. 1.-С.842-843.

114. Дегтярев Г.Л, Маханько А.В., Чернявский С.М, Чернявский А.С. Итерационный метод юстировки и фазировки сегментного зеркала по изображению, протяженного источника. // 4-й Симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 1997. -С. 190.

115. Дегтярев Г.Л, Маханько А.В., Чернявский С.М, Чернявский А.С. Итерационный метод юстировки сегментного зеркала по функционалам изображения, протяженного источника. . //Оптика атмосферы и океана. -1998. -Т.Н. -№11. -С.1238-1240

116. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977.-741с.

117. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512с.

118. Чернявский С.М. Применение фазовой модуляции волны для восстановления ее фазы по амплитудным данным. . //Оптика атмосферы и океана. -1998 -Т. 11 .-№ 11. -С. 1187- 1192.

119. Велфорд В.Т. Методы контроля по звезде. //Оптический производственный контроль. Под ред. Малакара Д. М.: Машиностроение. -1985. -400с.

120. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа. 1965. 272с

121. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii А.С. On the problem of phase distortion correction by the Newton modified method in the adapive optical system. //Proc. SPIE. 2000. V. 4341. P. 161-172.

122. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii A.C. Segmented mirror alignment in the adaptive optical system by the unknown source image. //Proc. SPIE. 1998. V. 3583. P.307-311.

123. Дегтярев Г.Л, Маханько A.B., Чернявский C.M, Чернявский A.C. Итерационный метод компенсации фазовых искажений в адаптивной оптической системе. //6-й Международный симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 1999. -С. 58.

124. Кандидов В.П., Ларионова И.В. Попов В.П. Модальный корректор низших аберраций фазы.// Оптика атмосферы -1989. Т. 2. -№8. -С. 836-842.

125. Kudryashov A.V., Shmalhauzen V.I. Opt. Eng., 35,3064(1996).

126. Dainty J.C., Koryabin A.V., Kudryashov A.V. Appl. Opt. LP. 37,4663(1998).

127. Fried D.L. Statistics of a geometric representation of wavefront distortion.// J. Opr. Soc.Am. 1965.V.55. №11. P. 1426-1435.

128. Hogge C.B., Butts R.R., Frequency spectra for the geometric representation of wavefront distortion due to atmospheric turbulence // IEEE Trans. Ant/ Prop. 1976/V. AP-24. P. 144-154.

129. Valley G.C., Wandzura S.M., Spatial correlation of phase-expansion coefficients for propagation through atmospheric turbulence.// J. Opt. Soc.Am. 1979.V.69.№5. P. 712-717.

130. Шишаков K.B., Шмальгаузен В.И. полимиальное разложение атмосферных аберраций.// Оптика атмосферы -1990. Т. 3. -№12. -С. 12441248.

131. Nool R.J. Zernire polinjmials and atmospheric turbulence. //I bid.-1979. vol. 66. № 3. -P.207-211.

132. Winocur J. Modal compensation of atmospheric turbulence induced wave front aberratoins.// Apll. Opt. 1982. V.21. №3. P. 433-438.

133. Churnside J.H., Tavis M.T., Yura H.T. Zernike-polinomial expantion of turbulence induced anisoplanation. Opt. Lett. 1985. V. 10. P. 258-260.

134. Hu R.H., Stone J., Stanley T. Application Zernike polinomials to atmospheric propagation problems.//J. Opt. Soc.Am. 1989.V.6. №10. P. 1595-1608.

135. Лукин В.П. Квазимодовая коррекция изображения , прошедшего через случано-неоднородную среду. // Квантовая электроника. 1983. Т.10. №5. С. 9931001.

136. Витриченко Э.А., Войцехович В.В., Мищенко М.И. Модальная компенсация турбулентных атмосферных искажений и изопланатизм. М: 1984. 22с. (Препринт/ ИКИ АН ССС. №790).

137. Bucci О. М., Capozzoli A., DElia G. New technique for wave-front reconstruction in optical telescopes JOSA A, Volume 14, Issue 12, 3394-3401 December 1997

138. Schwiegerling Jim. Scaling Zernike expansion coefficients to different pupil sizes. JOSA A, Volume 19, Issue 10, 1937- October 2002 1945

139. Guirao A., Porter J., Williams D.R., Cox I.G. J. Opt. Soc. Am. A, 19,1 (2002).

140. Chernyavskii S.M. Dimensional method for solving inverse optical problems: //Proc. SPIE. 1998. V. 3583. P. 282-287.

141. Chernyavskii S.M.,. Size extended method to solve phaze retrieval problem/ //Proc. SPIE. 2002. V. 5026 P. 112-116.

142. Чернявский C.M. Метод увеличения размерности в обратных задачах оптики. //9-й Международный симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 2002. -С. 66.

143. Поляк Б.Т. Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей для задач на экстремум при наличии ограничений. //ДАН СССР. 1966. Т. 166. №2. С.287-290.

144. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-Харьков.: Вища школа, 1977.-316с.

145. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ.-М: Мир, 1977.-357с.

146. Gerchberg R.W. Super resolution through error energy reduction. Opt. Acta.21, 709-720 (1974).

147. Papoulis A. A new algorithm in spectral analysis and band limited extrapolation. IEEE Trans. On С ircuits and Systems CAS - 22, 735-742 (1975).

148. Hayes M.H., Lim J.S. and Oppenheim A.V., Signal reconstruction from phase or magnitude. IEEE Trans. Acoust Speech and signal Process. ASSP —28, 672-680(1980).

149. Tom V.T., Ouatieri T.F., Hayes M.H. and McClellan J.H. Convergence of iterative nonexpansive signal reconstruction algorithms. IEEE Trans. Acoust Speech and signal Process. ASSP -29, 1052-1058 (1981).

150. Hayes M.H. The reconstruction of a multidimensional sequence from the phase or magnitude of its Fourier transform. . IEEE Trans. Acoust Speech and signal Process. ASSP-30, 140-154 (1982).

151. Levi A. And Stark H. Image restoration by the method of generalized projections with application to restoration from magnitude. J. Opt. Soc. Am. 1(2), 932-943 (1984).

152. Levi A. And Stark H. Signal restoration from phase by projections onto convex sets. J. Opt. Soc. Am. 73, 810-822 (1983).

153. Fienup J.R. Phase retrieval algorithms: A comparison. Appl. Opt. 21, 2758-2769(1982).

154. Fienup J.R. Phase retrieval in astronomy. Technical Digest of the Opt. Soc. Am. ThA8-1 (1983).

155. Fienup J.R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform. Opt. Letters 3, 27-29 (1978).

156. ISaleh B.E.A. and Nashold K.M., Image construction: Optimum amplitude and phase masks in photolithography. Applied Optics 24, 1432-1437.

157. Degtyarev G.L., Makhan'ko A.V., Chernyavskii S.M., Chernyavskii A.C. Iterative algorithms to solve phase retrieval problem by noncoherent source image. //Proc. SPIE. 2001. V. 4678. P. 144-153.

158. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М: Наука, 1988.-550с.

159. Чернявский С.М. Восстановление оптического сигнала методами выпуклого анализа. //Оптика атмосферы и океана. -1996. -Т.9.- №3. -С. 332-338.

160. Чернявский С.М. Восстановление оптического сигнала методами выпуклого анализа. // 2-й Межреспубликанский симпозиум "Оптика атмосферы и океана": Тез. докл. -Томск, 1995. -С.385-386.

161. Чернявский С.М. К задаче идентификации волнового фронта по изображению. .//Межвуз. сб. Адаптивная оптика. Казан, авиац. ин-т. -1991. -С.91-96.

162. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur significatio physigue Bull. Univ. Princeton, 1902, 13, p. 40-52.

163. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некоррекных задач. . -М: Наука, 1974.-222с.

164. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.-488с.

165. К. Рашфорт. Восстановление сигналов, функциональный анализ и интегральные уравнения Фредгольма первого рода.// Реконструкция изображений: Пер. с англ./ Под ред. Г. Старка.-М.: Мир, 1992.-С. 15-46.

166. Отнес Р., Эноксон П. Прикладной анализ временных рядов. -М: Мир, 1982.-430с.

167. Претт У. Цифровая обработка изображений. -М: Мир, 1982.-Т.1-310с.

168. Nashed M.Z. On moment -discretisation and least-squares solutions of linear integral equations of the first kind Journal of Mathematical Analysis and Application 53, 359-366 (1976).

169. Чернявский С.М. Восстановление источника по его зашумленному и неполному изображению. // Оптика атмосферы и океана. -2002. -Т.15. —№4. -С.1-5.

170. Коллац Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М: Мир, 1969.-447С.

171. Herman G.T. and Lent A. A computer implemention of a Bayesian analysis of image reconstruction. Inform. Contr. 31, 364-384 (1976).

172. Hant B.R. Bayesian methods in nonlinear digital image restoration. -IEEE Trans. Comput. C-26, 219-229 (1977).

173. Frieden B.R. Resloring with maximum likelihood and maximum entropy. -J. Opt. Soc. Amer. G2, 511 -518 (1972).

174. Burch S.F. , Gull S.F. and Skiling J.K. Image restoration by a powerful maximum entropy method. — Computer Vision, Graphics, and Image Processing 23, 113-128 (1983).

175. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М: Высшая школа, 1977. -430с.

176. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М: Наука, 1973.-576с.