автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света

На правах рукописи

УДК 519.8

ЛОГИНОВ ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ -

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 МД'^ 2000

Саранск - 2009

003469131

Работа выполнена на кафедре технологий программирования Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева»

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, доцент

Шамров Николай Иванович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Аветисян Юрий Арташесович

Кандидат физико-математических наук, доцент

Бояркин Дмитрий Иванович

Ведущая организация:

ГОУВПО «Саратовский государственный технический университет»

Защита состоится 28 мая 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, Саранск, ул. Большевистская, 68, корп. 1., ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева»

Автореферат разослан «Юу> апреля 2009 г. Ученый секретарь

диссертационного совета, к. ф.-м. н.

Л.А.Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одним из важных оптических эффектов является вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) света, открытое Вудбери и Нгом в 1962 г. Оно наблюдается при облучении лазерным излучением различных ВКР-сред, каковыми могут выступать жидкости, газы, кристаллы. В зависимости от параметров излучения и характеристик среды возможны различные виды или режимы ВКР. Когда длительность импульса накачки значительно превосходит время релаксации макроскопического дипольного момента, то реализуется так называемое стационарное ВКР, свойства которого в значительной степени установлены.

Менее исследованным является так называемое переходное или нестационарное ВКР. Оно имеет место, если взаимодействие излучения со средой происходит за очень малый промежуток времени, так что наведенная макроскопическая поляризованность отстает по времени от пиковых значений полей возбуждающего излучения. В общем случае нестационарное ВКР описывается системой укороченных волновых уравнений для амплитуд электрических полей, число которых зависит от параметров задачи, и эволюционных уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы, моделирующей молекулу ВКР-среды. При самых общих предположениях это система нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными для величин комплексной природы, зависящих от пространственных и временных переменных. Неизвестные функции входят в правую часть уравнений в квадратичной либо кубической форме. Таким образом, масштабы и степень трудности решения задачи определяются числом уравнений и степенью их нелинейности.

Если длина системы меньше определенной, а мощность лазерного излучения не столь высока, то реализуется ситуация, когда изменением насе-ленностей уровней и амплитуды возбуждающего поля можно пренебречь. В этом случае задача становится линейной. В пренебрежении антистоксовым

излучением система оставшихся нестационарных уравнений для амплитуды стоксового поля и недиагонального элемента матрицы плотности эффективной двухуровневой системы имеет аналитическое решение. При учете антистоксовой компоненты соответствующая задача решена аналитически лишь в частном случае импульса накачки ступенчатой формы в существенно нестационарном приближении и при строгом фазовом согласовании взаимодействующих волн. При общих предположениях относительно формы возбуждающего импульса и соотношения между его длительностью и временем фазовой памяти ВКР-молекул аналогичная линейная задача решалась только численно. Если учесть истощение накачки в процессе ВКР, т.е. при условии слабой нелинейности, то в этом случае, даже в отсутствии антистоксовой составляющей задача имеет лишь численное решение.

При больших длинах системы и высокой мощности накачки задача становится существенно нелинейной. ВКР приобретает ряд принципиально новых черт. В частности, возможно существование уединенных устойчивых волн на стоксовой частоте, так называемых солитонов ВКР. Различные виды солитонных решений получены ранее другими авторами. Кроме того, интенсивность рассеянного света начинает зависеть от числа рассеивающих центров нелинейным образом. Соответствующий тип рассеяния называют кооперативным ВКР. Уравнения кооперативного ВКР могут быть решены только численно, либо путем сведения к более простой системе уравнений, либо применением методов прямого решения к непреобразованным уравнениям. Такая нелинейная задача решена лишь в трехволновом приближении в условиях строгого фазового согласования возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн.

Актуальность темы. Исследование нестационарных оптических явлений - интенсивно развивающаяся область нелинейной оптики. Одно из направлений таких исследований - определение условий генерации и усиления мощных ультракоротких импульсов электромагнитного излучения с перестраиваемой частотой в процессе нестационарного ВКР. Поскольку в общем

случае инспирируется большое число компонент ВКР, то для более корректного описания этого явления актуальным, прежде всего, является создание модели, учитывающей многоволновой характер процесса. Первая модель такого рода была предложена Хикманом Х.П., Пейзнером Д.Н. и Бишелем В.К. в конце 80-х годов 20 века. Однако эта модель не учитывает всех факторов, влияющих на процессы генерации и усиления излучения в процессе ВКР.

Еще более сложной задачей является решение предложенных уравнений. Здесь, как правило, используются либо двухволновое (волны накачки и Стокса), либо трехволновое (волны накачки, Стокса и анти-Стокса) приближение. Основные результаты при таком подходе получены численным путем. Аналитические решения в ряде случаев получены Ахматовым С.А., Драбо-вичем К.Н., Сухоруковым А.П., Чиркиным A.C. и Карманом Р.Л., Шимизу Ф., Вангом К.С. Поэтому актуальной является разработка новых аналитических методов решения уравнений нестационарного ВКР.

При постановке проблемы получения наиболее интенсивных и коротких импульсов на смещенной частоте приобретает актуальность исследование нестационарного ВКР при больших длинах усиливающей среды и высоких мощностях накачивающего излучения. В этом случае процессы в неста-цио-нарном ВКР становятся существенно нелинейными с участием большего числа волн. При этом аналитические подходы практически неприменимы, и актуальным становится разработка численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными большого порядка. Поскольку нужные эффекты обнаруживают себя по достижении большого числа итераций, то для решения поставленной задачи требуется метод с абсолютной устойчивостью и высокой точностью аппроксимации исходных уравнений. Не менее важным является также разработка интегральных критериев точности решения рассматриваемых уравнений.

Целью диссертационной работы является исследование различными методами математической модели нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния. Она достигается решением следующих задач:

1. Обобщение модели попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния.

2. Численное решение уравнений линейного взаимодействия основной, стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и слабых полей, когда истощением основной волны и изменением насе-ленностей уровней можно пренебречь.

3. Аналитическое решение линейной задачи в условиях полного фазового согласования взаимодействующих волн и неравных поляризуемостей молекул ВКР-среды, а также в условиях фазового пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостях молекул ВКР-среды.

4. Разработка метода численного решения системы нелинейных укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Оценка точности соответствующей аппроксимации и поиск условий устойчивости предложенной вычислительной схемы.

5. Исследование численными методами нелинейного усиления ВКР-компонент различного порядка.

Методы исследования. При проведении исследований использовались методы математической физики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также вычислительный эксперимент. Использовались как аналитические методы (метод Римана-Вольтерра, метод рядов со специальными функциями), так и численные методы с применением косоугольной сетки.

Научная новизна. Впервые построена математическая модель попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, учитывающая компонент, ответственный за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющийся при изменении населенностей уровней. Эта модель

была исследована в линейном и нелинейном случаях в условиях как фазового синхронизма, так и рассогласования фаз. Разработан и апробирован метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Произведена оценка точности соответствующей аппроксимации и найдены условия устойчивости предложенной вычислительной схемы. Проведена программная реализация разработанной вычислительной схемы.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для теоретических и экспериментальных исследований по нелинейной оптике. В частности, они могут быть использованы для выяснения оптимальных условий получения сверхкоротких импульсов большой мощности с варьируемой несущей частотой, оценки стабильности параметров излучения однопроходных комбинационных лазеров, определения констант поперечной релаксации, дипольных моментов и сечений комбинационного рассеяния атомных и молекулярных систем. Кроме того, возможно использование программного комплекса в научных исследованиях и учебном процессе в высшей школе при подготовке студентов различных специальностей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Восьмой международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008 г.), на Международном оптическом конгрессе «Оптика - XXI век» (Санкт-Петербург, 2008 г.), на научной конференции «Огаревские чтения» (Саранск, 2007 г.), на научном семинаре Сред-неволжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в семи публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и состав диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, библиографического списка и приложения.

Во введении к диссертационной работе обосновывается актуальность темы, определяются цели проводимых исследований, формулируется научная новизна, приводится структура диссертации.

В Главе 1 строится математическая модель нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света в протяженной среде.

В разделах 1,1 и 1.2 рассмотрены основные понятия, приближения и допущения модели, выводятся уравнения для амплитуд С, и С2 когерентных состояний эффективной двухуровневой системы и амплитуд электрических полей Е) компонент ВКР:

Э Е ■ 1 Э Е . 2 и по г .12 . ¡2

"а=I-^ «„(«,)£#'■ -')+«22С2 +ап(^)ЕнX

ог ь] д(

хехр[/(кИ -к,)г]с2с; -ехр[/(к)+1 -к,)г]] (1)

О' = 0,±1,±2,...),

яг •' (2)

Здесь Ё] = £7ехр(|'к;г), ку - волновой вектор волны Е1, атп ) - поляризуемость молекулы, г}1 - линейная часть показателя преломления, и/ - фазовая скорость света в среде на частоте а>1 = й>0 + ]соЕ, где 0)к - частота рама-новского перехода (т,п = 1,2, у = 0,±1,±2,...), п- концентрация молекул, г - продольная координата, ? - время. Число возможных полевых составляющих зависит от интенсивности накачки, длины системы, состояния среды до начала облучения и т.д.

В разделе 1.3 приведены уравнения нестационарного ВКР с использованием матрицы плотности вероятностей. Поставлены одномерные краевые задачи о нестационарном ВКР импульсного лазерного излучения:

ЭЕ} 1 Э£\ _ . 2тща1 дг ЭI иуг?;

Эб=_1 Ъг П

Щ) (Ш -1) - а12(со^ЕнО ■ ехр (-/Л,г) +

а21 •ехр(/А^,г)], (] = 0, ±1, ±2,...)

<

-IX ) I |2 2+¿а21(а>,)£>+1 • ехр (гА,+1г)

0_ V

Эг

А.

£/0,0 = 0 (у*0,-1), £.,(0,О = £1Л(О, £„(0,О = £р,о(О. «2(0, г) = О,

(3)

(4)

(5)

(6)

или В.

£;(0,г) = 0 и* 0), £0(О,г) = ЕрЯ{1),

е(0,г) = б0(г)^0, (7)

Щ0,г) = ВД

где (2 _ амплитуда недиагонального элемента матрицы плотности, \¥ - разность населенностей рамановских уровней, = - разность поляризуемостей молекулы в основном и рамановском состояниях, Т2 - время поперечной релаксации, или время сохранения фазовой памяти молекулярной системы, 7] - время продольной релаксации молекулярной системы, А .+| = ку+, - к, + ку_, - к0.

Краевые условия (6) соответствуют режиму генерации, в котором на вход образца наряду с первичным излучением на частоте (О0 подается «зародышевое» излучение на смещенных частотах. Обычно таким излучением является излучение на частоте (первая стоксова компонента). Начальное

значение недиагонального элемента матрицы плотности в этом случае можно положить нулевым.

Краевые условия (7) соответствуют режиму усиления, в котором излучение на смещенных частотах возникает из «шума» в среде как следствие спонтанных процессов переизлучения фотонов накачки. В этом случае все поля на входе в образец, кроме поля на частоте со0, полагаются нулевыми, а недиагональный элемент матрицы плотности в начальный момент времени задают ненулевым.

Раздел 1.4 содержит уравнения нестационарного ВКР в безразмерном

виде:

^ = •ехр(-/«5,.£) + 2й;1£,.+,0' -ехр(^)},

"ь (8)

У = 0,±1,±2,...

(9)

Здесь

Е1 ' е г

безразмерные напряженность электрического поля, время и координата, %-х-^ - безразмерное запаздывающее время,

фмщ 772 =

Е* г, ' ««чН* - масштабы соответствующих величин; ц0 = а12(й)0), 5;=ДУ ггя т, =7',/гЛ,

Краевые условия (6) и (7) в безразмерных величинах принимают соответственно вид

£/0,т) = 0 и*0), е0(0,т) = е(,,0(г), 10

и

е/0,т) = 0 и*0,-1), £.1(0,т) = е,0(т), е0(О,т) = £),0(г), С(0,£) = 0,

(12)

В Главе 2 рассматривается ВКР-усиление света при линейном взаимодействии основной, стоксовой и антистоксовой волн.

Линейное приближение оправдано при следующих допущениях: длина образца I < Ц,г (Раутиан, Черноброд, 1980), мощность лазерного излучения

1р <107 Вт/см2 (Ахманов, Драбович, Сухорукое, Чиркин, 1970).

Раздел 2.1 содержит соответствующее упрощение системы (8)-(12). В разделе 2.2 линейная система уравнений решается в приближении близких рамановских поляризуемостей. Преобразованием амплитуд полей

£ £ # А = а,— -ехр(г^), А, = а0 — , В = А+А (<? = 5,), соответствующую лил с

нейную краевую задачу в режиме усиления можно поставить следующим образом:

Раздел 2.3 посвящен построению решения задачи (13) методом последовательных приближений с применением аппарата числовых рядов со сферическими функциями Бесселя. Решение уравнений (13) ищется в виде разложений по степеням д:

(13)

Д,(0,н) = 0, В(0, и) = А; (0, и) = А, (0, и) = 0, (0 «1).

Л, = 14.9",

п=0

где

£5 (п + й + 1)!(Л + 1)!

(п + £ + 1)!(* + 1)! х = ри£,

, В0 =0, и = 0,1,...,

аС'- биномиальные коэффициенты.

Полученные решения позволяют записать формулы для интенсивно-стей стоксовой и антистоксовой компонент:

„21+1 Х_

(2к)\(2к + \)\

ЛДу)

„21+2

й (2& + 1)!(2£ + 2)!

Ль, (У)

[(2&)!]

+ (-1/[(2 к + 1)]и(у)-у]гы(у)]

[(2Л + 1)!Г

^ к 2кп

Л . ..I . / ч Л

В разделе 2.4 показано, что уравнения из раздела 2.1 в случае, когда фазовым рассогласованием волн, участвующих в ВКР, можно пренебречь (т.е. при А, = к1г +к_и-2к0г = 0), могут быть сведены к уравнениям гиперболического типа:

Э26'

дид$

э2д

ЭиЭ£

-£&=0,

-еА = 0.

(14)

(15)

Раздел 2.5 содержит результаты решения уравнений (14), (15) методом Римана-Вольтерра:

г

е'(^г) = -м0/Ер (г ')£, „ (г') • схр[-у(г - г')] X

о

х/0 [«(г) - м(т')]

£.,(<^) = £,0(г) + 2г,|я0|2 М£/,(т)-1ер(т%,0(г')х

'£ о

хехр[-у(т -т ')][и(т) - И(г ')Г5 • /, [«(г) - н(т ')])</т

< (£ .г) = -2г,а;0о Л£/, (Т) ■} е, (г ')£,.0 (г') х ' £ о

хехр[-у(т -т ')][«(т) - «(г ')Г5 •/, (%/4е^[«(г)-«(г,)])йгт'.

В разделе 2.6 рассмотрен случай, когда длительность импульса накачки гораздо меньше времени поперечной релаксации в рамановском переходе. Получен явный вид решения уравнений взаимодействия света с ВКР-средой:

4г.г. а.

М„(€<т)= '"Г' ^

В разделе 2.7 численным путем установлено оптимальное значение угла вт антистоксовой параметрической генерации. Найдена область изменения параметров задачи, когда угол вт совпадает с углом полного фазового согласования в0. Также установлена область изменения параметров задачи, в которой угол вт отличен от в0 и определяется выражением (¡т - #/2, где g - безразмерный коэффициент усиления интенсивности стоксовой компоненты.

Глава 3 посвящена рассмотрению различных методов численного решения уравнений нестационарного ВКР в условиях нелинейного взаимодействия волн. Схема численного решения уравнений нестационарного ВКР приводится для случая нелинейного взаимодействия стоксовой, антистоксовой и основной волн:

де,

(16)

(17)

(18)

^Г = -¿ЗД + ш.'Ф^Х + 1айг/у/ - 0-ОХ

2

(19)

(20)

£,(0,Г) = £,0(г),

£„(0,г) = 0, ер(0,т)=ерЛ(г),

(21)

В разделе 3.1 описана неявная схема численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР с двухслойной сеткой. Исследована устойчивость схемы. Непрерывные переменные £, т и х заменяются дискретными наборами к, ] и к- ], так что г = % = т-1; = (]-к)к, где к - це-

лочисленный индекс по координате (к = 0,1,2,...,п; п - 1/И), / - целочисленный индекс по времени (] = 0,1,2,...,«; т = трг(М./Л, г - безразмерное

время процесса), 1г - шаг интегрирования. Первый слой - совокупность узловых точек, в которых определяются значения искомых функций в момент времени = уй (диагональ ] на рис. 1). Второй слой - совокупность узловых точек, в которых определяются значения искомых функций в момент времени т +1 = (j + l)h (диагональ ] + \ на рис. 1).

поляризованность и населенность - по вертикали (£ = const).

Производится приближенное интегрирование уравнений на целых отрезках длиной Л, связывающих узловые точки на соседних диагоналях. При использовании для такого интегрирования формулы трапеций имеем:

ер(к + 1]-к) = Ер(к,]-к)+~1{ьа[м(к,]-к)-\\-

(22)

-2а0е!(к,]-к№к,]-к) + 2а{Ф{к)-еа(к,]-к)О,\к,)-к) + < +Ь0 И* +1,}- к) -1] - 2а,е, (к + 1]-к)()(к+и-к) + +2а;Ф(к + 1)Еа(к + \,]-к)-0\к + и-к)},

еД + и-к) = е,(к,] - к) + , [УУ (к,} - *) -1] +

+2 а'0£р (к,]-к)а\к,]-к) + Ь_^(к + и-к)-1]+ (23)

+2а0ер(к + и-к)О\к + и-к)},

+2а<Ь\к)ер(к,]-кЖк,]-к) + Ь№{к + Ц-к)-\}+ (24)

+2а,Ф*(к + 1)£р (к + 1,у-к)в(к+1,у-к)},

<2(к + и-к) = <2(к + и-к-1) + ^{-1$(к + и-к-1)(2(к + и-к-1) + +1а^Ф(к + 1)еа (к + и-к-1 )£р(к + и-к-1)\У(к + и~к-1) +

+Ш0£р(к +1 ,]-к-1 )£,'(* +1,; - * - Щ{к + \,]-к-1)~

-(2{к + и-к-1)/т2-18(к + 1,]-к)<2(к + и-к) + +1а\Ф{к + 1)еа(к + 1,]-к)е'р(к + и-т(к + и~к) + +1а'0£0(к +1, ]- к)£\(к +1, у - £)1У(£ +1, у - *)},

]¥(к + и-к) = \У(к + 1,]-к-1)-2Н1т{а(1£,(к + и-к~1)-■Е'р(к + и-к-1)0(к+и-к-1)+а1Ф'(к + 1)£р(к + и~к-1)-■Е](к + \,}-к-т{к+\,)-к-\)+ааЕ1{к + \,}~к)Ер{к + \,]~к)-

т + и-к) + я,ф*(* + 1)ер(к +1,] - к)£](к +1,/- к)й(к +1,У- к)}.

где /(к, у) означает значение функции в узловой точке с аргументами 4 = кИ, ту = ])х. Краевые условия:

(25)

(26)

£, (0, ;) = £,„(;), £„(0,т) = 0,

е,(О.Л = ерЛ(Л, (27)

(2 (*.-*) = &(*).

\У(к,-к) = Ш0(к),

где/(*) = /(£).

При фиксированных к и принимающих значения £ =0,1,2,...,п; 7 = 0,1,2,...,/я, уравнения (22) — (27) образуют систему неоднородных нелинейных алгебраических уравнений, связывающих значения поля, поляризо-ванности и населенности в различных точках косоугольной сетки с координатами узловых точек (к,]-к). Неизвестные значения для функций еД,]-к), £„(к,]-к), ер(к,]'-к), й(к,]-к), \VikJ~k) образуют супервектор длиной 9 х т х и.

При общих предположениях относительно этих величин точное решение рассматриваемой системы уравнений затруднительно. Показано, что вычислительная схема, задаваемая формулами (22) - (26), устойчива для любого значения шага /г, т.е. абсолютно устойчива.

Раздел 3.2 содержит описание приближенной явной схемы численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР с двухслойной сеткой. Реализуется метод «прогноз-коррекция». На первом шаге значения неизвестных величин определяются на основе формулы прямоугольников. При этом допускается ошибка 0{к2) на каждом шаге интегрирования. Затем найденные приближенные значения подставляем в правую часть уравнений. Легко видеть, что такая явная схема имеет точность аппроксимации 0(И3) на каждом шаге интегрирования.

В разделе 3.3 исследуются свойства нелинейного члена, пропорционального разности поляризуемостей молекулы.

Раздел 3.4 посвящен переходу от случая линейного взаимодействия к нелинейному при строгом фазовом согласовании. Приведены некоторые результаты проведенных численных экспериментов в графическом виде.

Рассмотрена ситуация, когда в уравнениях главы 1 слагаемыми, пропорциональными параметрам (_/ = 0,±1,±2,...), можно пренебречь. Как

показано в разделе 3.3, учет этих членов приводит лишь к смещениям в спектре компонент ВКР, но не влияет на динамику интенсивности излучения и заселения уровней. Рассматривается наиболее простой случай: <5; =0 О' = 0,±1,±2,...). При этих условиях между волнами по мере прохождения ими среды дополнительной разности фаз не возникает. Следовательно, если волны £; синхронизированы на входе в образец, то они остаются такими же и по мере их распространения через ВКР-среду.

В разделе 3.5 рассмотрено нелинейное ВКР в условиях фазового рассогласования. Приведены некоторые результаты проведенных численных экспериментов в графическом виде.

При наличии фазового рассогласования по мере распространения волн фазовые соотношения между ними меняются. Даже если на входе в образец амплитуды волн е0 и £_, были вещественными, то в среде они становятся комплексными величинами. Таковыми являются и амплитуды £, и £±2. Комплексность проявляется в том, что в зависимостях /^(т)~|е7(/,т)2| функция

не достигает нуля. Это не единственное отличие по сравнению со случаем 5,. =0 (] = 0,±1,±2,...). Оказывается, что интенсивность ВКР-компонент в

максимумах при (У = ±1,±2) гораздо меньше. И что самое главное,

нарушается синхронность испускания импульсов на различных частотах WJ и = ±1,±2,...). Компоненты ВКР с ] = 1,±2 запаздывают по сравнению с компонентой с ; = Кроме того, по другому ведет себя ВКР-среда. При испускании очередного импульса разность населенностей < У/ > обнаруживает колебания: часть молекул периодически переходит с первого уровня на

второй и обратно. Это показывает, что наряду с генерацией антистоксового излучения за счет параметрического взаимодействия с волнами Стокса и накачки действует другой механизм его образования и усиления, обусловленный переходом молекул из возбужденного состояния в основное. В целом, по сравнению со случаем 8] = 0 развитие процесса происходит более медленными темпами. Как и ранее, увеличение длины образца при нелинейном режиме первого рода приводит к росту интенсивности и сжатию импульсов.

При переходе к системам с длиной £ = 101, (/ = 10) имеет место нелинейный режим второго рода, когда интенсивности *»/_,,/,, а /2 «. Однако при наличии фазового рассогласования при больших длинах возникает разупорядоченность в испускании импульсов и нарушение ранее наблюдавшейся структуры, когда интенсивность каждого последующего импульса была ниже, чем предыдущего. Имеет место сильное истощение накачки (в некоторые моменты /0 обращается в нуль). Разность населенностей < IV > близка к нулю, но не переходит через него.

Таким образом, при наличии фазового рассогласования между волнами ВКР условия для их генерации и усиления менее благоприятны.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.

В приложении приводится фрагмент текста программы для проведения вычислительных экспериментов на базе математической модели нелинейного попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния.

Заключение. Исследования, приведенные при выполнении диссертационной работы, позволяют считать возможным применение разработанных методов для решения задачи математического моделирования и анализа вынужденного комбинационного рассеяния. При этом получены следующие основные результаты:

1. Предложено обобщение модели попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, заключающееся в учете компо-

нента, ответственного за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющегося при изменении интенсивностей уровней.

2. Проведено численное решение уравнений линейного взаимодействия основной, стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и слабых полей, когда истощением основной волны и изменением населенностей уровней можно пренебречь. Найден оптимальный угол антистоксовой параметрической генерации.

3. При полном фазовом согласовании взаимодействующих волн и неравных поляризуемостей молекул ВКР-среды линейная задача решена также методом Римана-Вольтерра. Решение в квадратурах представляет собой свертку амплитуд стоксова и антистоксова полей на границе и модифицированных функций Бесселя. В случае сильной нестационарности и подобности форм импульса накачки и Стокса на входе в образец найденное решение допускает явный вид.

4. В условиях фазового пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостях молекул ВКР-среды линейная задача решена также методом последовательных приближений. Для подобных входных импульсов она имеет вид разложений по сферическим функциям Бесселя и в предельном случае переходит в известные решения.

5. Предложен метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Оценена точность соответствующей аппроксимации и найдены условия устойчивости предложенной вычислительной схемы.

6. Численными методами исследовано нелинейное усиление ВКР-компонент различного порядка. Усиленное излучение формируется в виде цуга импульсов различной структуры в зависимости от величины фазового рассогласования взаимодействующих волн, длины системы и мощности накачки.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Логинов Д.В. Модель нестационарного попутного вынужденного комбинационного рассеяния света - Саранск: Средневолжское матем. Общество, 2008, препринт №110.

2. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Модель взаимодействия световых волн в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании // Вестник Ижевского гос. техн. ун-та. - 2008. - №4, с. 216-219.

3. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Моделирование нестационарного ВКР-усиления в газах // Известия ВУЗов: Поволжский регион. - 2008. - №3, с. 147-153.

4. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Метод Римана-Вольтерра в задаче о когерентном ВКР-усилении света при полном фазовом согласовании // Труды Средневолжского математического общества. — 2008. - Т. 10. — №1, с. 329335.

5. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Моделирование квазистационарного ВКР-усиления в кристаллах // V Международный оптический конгресс «Оптика -XXI век»: материалы науч. конф. - СПб: «Скиф», 2008, - с. 260-261.

6. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Нестационарное линейное ВКР-усиление света при учете зависимости рамановской поляризуемости от частоты // Труды Средневолжского математического общества. - 2008. - Т.10. - №2, с. 191-195.

7. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Решение задачи об усилении света в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2008. - №6, с. 108-113.

8. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Модель нестационарного сопутствующего вынужденного комбинационного рассеяния света II XXXVI Огаревские чтения: материалы науч. конф.: в 3 ч. Ч. 2. Естественные науки. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2008. - с. 168-169.

Подписано в печать 13.04.09. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 546.

Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Введение

Глава 1. Модель нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света в протяженной среде

1.1. Модель ВКР-активной среды. Эволюционные уравнения для амплитуд когерентных состояний.

1.2. Поляризованность среды. Уравнение для амплитуд падающего и рассеянного полей.

1.3. Уравнения нестационарного ВКР с использованием матрицы плотности. Постановка задачи.

1.4. Масштабы времени, длины, напряженности электрического поля, энергии. Уравнения нестационарного ВКР в безразмерном виде.

Глава 2. ВКР-усиление света при линейном взаимодействии основной, стоксовой и антистоксовой волн

2.1. Уравнения линейного взаимодействия волн накачки, Стокса и анти-Стокса.

2.2. Близкие рамановские поляризуемости. Сведение к упрощенной системе уравнений

2.3. Близкие рамановские поляризуемости. Построение решения методом последовательных приближений.

2.4. Неравные рамановские поляризуемости. Сведение задачи к уравнениям гиперболического типа при q = 0.

2.5. Неравные рамановские поляризуемости. Решение уравнений методом Римана-Вольтерра при q = 0.

2.6. Неравные рамановские поляризуемости. Явный вид решения при сильной нестационарности взаимодействия света с ВКР-средой. Случай q = 0.

2.7. Неравные рамановские поляризуемости. Результаты численного решения при q Ф 0.

Глава 3. Методы численного решения уравнений нестационарного

ВКР. Нелинейное взаимодействие волн

3.1. Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: неявная схема.

3.2. Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: приближенная явная схема.

3.3. Проявления нелинейного члена, пропорционального разности поляризуемостей молекулы.!.

3.4. Переход от линейного взаимодействия к нелинейному. Нелинейное ВКР при строгом фазовом согласовании.

3.5. Нелинейное ВКР при фазовом рассогласовании.

J Одним из важных оптических эффектов является вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) света, открытое Вудбери и Нгом в 1962 г. Оно наблюдается при облучении различных ВКР-сред [6, 39, 40, 47, 87, 88, 92, 94, 98, 103] лазерным излучением. В зависимости от параметров излучения и характеристик среды возможны различные виды или режимы ВКР. Когда длительность импульса накачки значительно превосходит время релаксации макроскопического дипольного момента, то реализуется так называемое стационарное ВКР, свойства которого в значительной степени установлены [55].

Менее исследованным является так называемое переходное или нестационарное ВКР [5, 14, 19, 20, 30, 40, 41, 46-48, 55, 56, 65-73, 75, 76, 85, 86/93, 95, 96, 97, 99, 106, 107, 108, 109, 112, 117-121]. Оно имеет место, если взаимодействие излучения со средой происходит за очень малый промежуток времени, так что наведенная макроскопическая поляризованность отстает по времени от пиковых значений полей возбуждающего излучения. В общем случае нестационарное ВКР описывается системой укороченных волновых уравнений для амплитуд электрических полей, число которых зависит от параметров задачи, и эволюционных уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы, моделирующей молекулу ВКР-среды [85, 105-107].* Йри самых общих предположениях это система нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными для величин комплексной природы, зависящих от пространственных и временных переменных. Неизвестные функции входят в правую часть уравнений в квадратичной либо кубической форме. Таким образом, масштабы и степень трудности решения задачи определяются числом уравнений и степенью их нелинейности.

Если длина системы меньше определенной [65, 72], а мощность лазерного излучения не столь высока [4, 85], то реализуется ситуация, когда изменением населенностей уровней и амплитуды возбуждающего поля можно пренебречь. В этом случае задача становится линейной [5, 14, 21, 30, 41, 64, 74, 85, 86, 93, 95, 96, 98, 99, 106-109, 112, 115, 116, 121]. В пренебрежении антистоксовым излучением система оставшихся нестационарных уравнений для амплитуды стоксового поля и недиагонального элемента матрицы плотности эффективной двухуровневой системы имеет аналитическое решение [4, 85, 92, 93, 110, 122]. При учете антистоксовой компоненты соответствующая задача решена аналитически лишь в частном случае импульса накачки ступенчатой формы в существенно нестационарном приближении и при строгом фазовом согласовании взаимодействующих волн [105-108]. При общих предположениях относительно формы возбуждающего импульса и соотношения между его длительностью и временем фазовой памяти ВКР молекул аналогичная линейная задача решалась только численно [28, 74]. Если учесть истощение накачки в процессе ВКР, т.е. при условии слабой нелинейности, то в этом случае, даже в отсутствии антистоксовой составляющей задача имеет лишь численное решение [86, 97, 99, 108, 109, 112].

При больших длинах системы и высокой мощности накачки задача становится существенно нелинейной. ВКР приобретает ряд принципиально новых черт. В частности, возможно существование уединенных устойчивых волн' на" стоксовой частоте, так называемых солитонов ВКР. Различные виды солитонных решений получены в [116-120]. Кроме того, интенсивность рассеянного света начинает зависеть от числа рассеивающих центров нелинейным образом. Соответствующий тип рассеяния называют кооперативным ВКР [19, 20, 40, 46-48, 55, 56, 65-73, 75,76]. Уравнения кооперативного ВКР могут быть решены только численно, либо путем сведения к более простой системе уравнений [19, 20, 40, 47, 48, 65], либо применением методов прямого решения к непреобразованным уравнениям [66-74]. Такая нелинейная задача решена лишь в трехволновом приближении в условиях строгого фазового согласования возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн [66-74].

Актуальность темы. Исследование нестационарных оптических явлений представляет собой интенсивно развивающуюся область нелинейной оптики. Одно из направлений таких исследований — определение условий генерации и усиления мощных ультракоротких импульсов электромагнитного излучения с перестраиваемой частотой в процессе нестационарного ВКР. Поскольку в об-щем случае инспирируется большое число компонент ВКР, то для более кор-ректного описания этого явления актуальным, прежде всего, является создание модели, учитывающей многоволновой характер процесса. Первая модель такого рода была предложена Хикманом Х.П., Пейзнером Д.Н. и Бишелем В.К. в конце 80-х годов 20 века. Однако эта модель не учитывает всех факторов,' влияющих на процессы генерации и усиления излучения в процессе ВКР.

Еще более сложной задачей является решение предложенных уравнений. Здесь, как правило, используются либо двухволновое (волны накачки и Стокса), либо трехволновое (волны накачки, Стокса и анти-Стокса) приближение. Основные результаты при таком подходе получены численным путем. Аналитические решения в ряде случаев получены Ахманбвым С.А., Драбовичем К.Н., Сухоруковым А.П., Чиркиным А.С. и Карманом Р.Л., Шимизу Ф., Вангом К.С. Поэтому актуальной является разработка новых аналитических методов решения уравнений нестационарного ВКР.

При постановке проблемы получения наиболее интенсивных и коротких импульсов на смещенной частоте приобретает актуальность исследование нестационарного ВКР при больших длинах усиливающей среды" и высоких мощностях накачивающего излучения. В этом случае процессы в нестацио-нарном ВКР становятся существенно нелинейными с участием большего числа волн. При этом аналитические подходы практически неприменимы, и актуальным становится разработка численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными большого порядка. Поскольку нужные эффекты обнаруживают себя по достижении большого числа итераций, то для решения поставленной задачи требуется метод с абсолютной устойчивостью и высокой точностью аппроксимации исходных уравнений. Не менее важным является также разработка интегральных критериев точности решения рассматриваемых уравнений.

- • Целью 'диссертационной работы является исследование различными методами математической модели нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния. Она достигается решением следующих задач:

1. Обобщение модели попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния.

2. Численное решение уравнений линейного взаимодействия основной, ■ стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и слабых полей, когда истощением основной волны и изменением населенностей уровней можно пренебречь.

3. Аналитическое решение линейной задачи в условиях полного ' 11 фазового согласования взаимодействующих волн и . неравных * поляризуемостей молекул ВКР-среды, а также в условиях фазового пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостей молекул ВКР-среды.

4. Разработка метода численного решения системы нелинейных укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Оценка точности соответствующей аппроксимации и поиск условий устойчивости предложенной вычислительной схемы.

5. Исследование численными методами нелинейного усиления ВКРкомпонент различного порядка.

Методы исследования. При проведении исследований использовались методы математической физики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также вычислительный эксперимент. Использовались как аналитические методы (метод Римана-Вольтерра, метод рядов со специальными функциями), так и численные методы с применением косоугольной сетки.

Научная новизна. Впервые построена математическая модель попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, учитывающая компонент, ответственный за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющийся при изменении населенностей уровней. Эта модель была исследована в линейном и нелинейном случаях в условиях как фазового синхронизма, так и рассогласования фаз. Разработан и° апробирован метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Произведена 'оценка точности соответствующей аппроксимации и найдены условия' устойчивости предложенной вычислительной схемы. Проведена программная реализация разработанной вычислительной схемы.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для теоретических и экспериментальных исследований по нелинейной оптике. В частности, они могут быть использованы для выяснения оптимальных условий получения сверхкоротких импульсов большой мощности с варьируемой несущей частотой, оценки стабильности параметров излучения однопроходных комбинационных лазеров, определения констант поперечной релаксации, дипольных моментов и сечений комбинационного рассеяния атомных и молекулярных систем. Кроме того, возможно использование г разработанного программного комплекса в научных исследованиях и в учебном процессе в высшей школе при подготовке студентов различных специальностей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Восьмой международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008 г.), на Международном оптическом конгрессе «Оптика - XXI век» (Санкт-Петербург, 2008 г.), на научной конференции «Огаревские чтения» (Саранск, 2007 г.), на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск, 2008 г.).

Личный вклад автора. Предложенные в работе новые математические модели и их программная реализация в виде алгоритма и компьютерного кода принадлежат автору.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в работах [77],[78],[79],[80],[81],[82],[83].

• Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, библиографического списка и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача математического моделирования нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света. Получены следующие результаты:

1. Предложено обобщение модели попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, заключающееся в учете компонента, ответственного за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющегося при изменении интенсивностей уровней.

2. Проведено численное решение уравнений линейного взаимодействия основной, стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и слабых полей, когда истощением основной волны и изменением населенностей уровней можно пренебречь. Найден оптимальный угол антистоксовой параметрической генерации.

3. При полном фазовом согласовании взаимодействующих волн и неравных поляризуемостей молекул ВКР-среды линейная задача решена также методом Римана-Вольтерра. Решение в квадратурах представляет собой свертку амплитуд стоксова и антистоксова полей на границе и модифицированных функций Бесселя. В случае сильной нестационарности и подобности форм импульса накачки и Стокса на входе в образец найденное решение допускает явный вид.

4. В условиях фазового пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостях молекул ВКР-среды линейная задача решена также методом последовательных приближений. Для подобных входных импульсов она имеет вид разложений по сферическим функциям Бесселя и в предельном случае переходит в известные решения.

5. Предложен метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы.

Оценена точность соответствующей аппроксимации и найдены условия устойчивости предложенной вычислительной схемы.

6. Численными методами исследовано нелинейное усиление ВКРкомпонент различного порядка. Усиленное излучение формируется в виде цуга импульсов различной структуры в зависимости от величины фазового рассогласования взаимодействующих волн, длины системы и мощности накачки.

Проведенные методом вычислительного эксперимента исследования позволяют сделать следующие выводы.

Разработанные вычислительные алгоритмы и созданный на их основе программный комплекс (см. Приложение) можно использовать для компьютерного моделирования линейного и нелинейного вынужденного комбинационного рассеяния стоксовой, антистоксовой и волны накачки в условиях как фазового согласования, так и фазового рассогласования. Использование программного комплекса позволяет заменять непосредственные измерения высокочастотных электромагнитных полей и световых импульсов (физический эксперимент) компьютерным моделированием без потери точности и достоверности результата.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность профессору Е.В. Воскресенскому за интерес, проявленный к работе, а также научному руководителю Н.И. Шамрову за постановку задачи, организацию работы и помощь в проведенных исследованиях.

1. Абрамович А., Стиган И. Справочник по специальным функциям М.: , Наука, 1979.-832 с.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. - 240 с.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

4. Ахманов С.А., Драбович К.Н., Сухоруков А.П., Чиркин А.С. О * вынужденном комбинационном рассеянии в поле сверхкоротких световыхимпульсов // ЖЭТФ. 1970. - Т.59. - С.485-499.

5. Ахманов С.А., Драбович К.Н., Сухоруков А.П., Щеднова А.К. • Комбинированные эффекты молекулярной релаксации и дисперсии средыпри' вынужденном комбинационном рассеянии сверхкоротких световых импульсов // ЖЭТФ. 1972. - Т.62. - С.525-540.

6. Басиев Т.Т., Зверев П.Г., Карасик А .Я. и др. Пикосекундное вынужденное комбинационное рассеяние в кристаллах // ЖЭТФ. 2004. - Т. 126. - С. 1073-1083.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-600 с.

8. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 1. М.: Наука, 1966. — ' 632 с.

9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

10. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. - JL: Гостехиздат, 1952.-480 с.

11. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М., Наука, 1968.

12. Горбунов В.А. О ВКР в поле сверхкоротких световых импульсов // Квант, электрон.- 1982.- Т.9.- С. 152-155.4

13. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

15. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970. 664 с.

16. Демидович Б. П., Марон И. А, Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М:: Наука, 1967. 368 с.

17. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. - 576 с.

18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных 1 порядка. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. -416с.

19. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.- 192 с.

20. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

21. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. - 474 с.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

23. Корниенко Н.Е., Стеба A.M., Стрижевский B.JI. Теория генерации и усиления стоксовой и антистоксовой волн в газообразных средах // Квант.электр. 1982. - Т.9. - С.2271-2280.

24. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — М., Высшая школа, 1970 710 с.

25. Кулагин И.А., Усманов Т. К анализу самоиндуцированной амплитудно-фазовой модуляции волн в процессе нестационарного усиления стоксовой компоненты //Опт. и спектр. 1996. - Т.80. - С.944-947.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. - 504 с.

27. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

28. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. — М.: Гостехиздат, 1953.-380 с.

29. Леонтович М.А. Избранные труды. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1985.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: ' Мир, 1972.

31. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977 г.37.0ртега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейныхсистем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.i

32. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных ' уравнений. М.: Наука, 1964. - 272 с.

33. Пивцов B.C., Раутиан С.Г., Сафонов В.П., Фолин К.Г., Черноброд Б.М. Наблюдение кооперативного эффекта в комбинационном рассеянии // Письма в ЖЭТФ. 1979. - Т.ЗО. - С.342-345.

34. Пивцов B.C., Раутиан С.Г., Сафонов В.П., Фолин К.Г., Черноброд Б.М. Исследование кооперативного комбинационного рассеяния света // ЖЭТФ. 1981. - Т.81. - С.468-479.

35. Полуэктов И.А., Попов Ю.М., Ройтберг B.C. Когерентное распространение мощных импульсов света через среду в условиях двухквантового взаимодействия // Письма в ЖЭТФ. — 1974. — Т.20.1. С.533-537.

36. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

37. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: На' ука, 1982. - 332 с.

38. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 797 с.

39. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и, ряды. ( Специальные функции.-М.: Наука, 1983. 750 с.

40. Раутиан С.Г., Черноброд Б.М. Резонансное кооперативное рассеяние света при полевом расщеплении атомных уровней // ЖЭТФ. 1980. - Т.78. — С.1365-1375.

41. Раутиан С.Г., Сафонов В.П., Черноброд Б.М. Теоретическое и экспериментальное исследование кооперативного комбинационного рассеяния // Изв. Акад. Наук СССР. 1986. - Т.50. - С. 1513-1519.

42. Раутиан С.Г., Черноброд Б.М. Кооперативный эффект в комбинационном рассеянии света // ЖЭТФ. 1977. - Т.72. - С. 1342-1348.

43. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М., Наука, 1977 — 232 с.

44. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука, 430 с.

45. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -. М.: Наука, 1978 г., 592 с.

46. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. — 312 с.

47. Справочник по атомной и молекулярной физике / Под ред. А.А. Радцига, Б.М. Смирнова. М.: Атомиздат, 1980. - 240 с.

48. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. — 468 с.

49. Сущинский М.М. Нелинейное комбинационное рассеяние света. — М., РИИС ФИАН, 2004. 218 с.

50. Трифонов Е.Д., Трошин А.С., Шамров Н.И. Кооперативное комбинационное рассеяние // Опт. и спектр.- 1980.- Т.48. С.1036-1039.

51. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. - Л.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

52. Фаронов В.В. Turbo Pascal 7.0. Практика программирования. Минск.: Нолидж, 2004.-416 с.

53. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. М.: Наука, 1969. - 607 с.

54. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2 ч. 4.1. — СПб., . Лань, 2006. 440 с.

55. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2 ч. 4.2. — СПб., Лань, 2006. 440 с.

56. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. -М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

57. Хаусхолдер А. Основы численного анализа. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.-320 с.

58. Херрман И. Антистоксово излучение при вынужденном комбинационном рассеянии ультракоротких импульсов // Квант, электр. — 1975. — Т.2. -С.364-369.

59. Черноброд Б.М. Влияние процесса распространения света на кооперативное комбинационное рассеяние света. // Опт. и спектр. 1980. - Т.49. - С.692-698.

60. Шамров Н.И. Антистоксово излучение при кооперативном комбинационном рассеянии света //ЖПС- 1996.- Т.63.- С. 725-730.

61. Шамров Н.И. Поперечные эффекты в когерентном комбинационном рассеянии при числах Френеля F>1 II Опт. и спектр.- 1992.- Т.52.- С. 591597.

62. Шамров Н.И. Поперечные эффекты в когерентном комбинационном рассеянии при числах Френеля F<1 II Опт. и спектр.- 1994.- Т.76.- С. 413415.

63. Шамров Н.И. Поперечные эффекты в нерезонансном кооперативном КР // Журн. приклад, спектр. 2000.- Т.67.- С. 715-720.

64. Шамров Н.И. Дифракционные эффекты в нерезонансном кооперативном комбинационном рассеянии//Опт. и спектр.- 1997.-Т.83.- С.449-456.

65. Шамров Н.И. Дифракционные эффекты в резонансном кооперативном комбинационном рассеянии // Опт. и спектр.- 1998.- Т.85. С.586-591.

66. Шамров Н.И. Нерезонансное кооперативное комбинационное рассеяние в протяженной системе //Опт. и спектр.- 1984.- Т.57.- С.43-49.

67. Шамров Н.И. Нестационарное вынужденное комбинационное рассеяние: трехмерная модель и метод численного решения // Мат. модел.- 2000.-Т.12.- С. 3-12.

68. Шамров Н.И. Эффективность антистоксовой генерации в нестационарном вынужденном комбинационном рассеянии //Квант, электрон. 2001.-Т.31.- С.987-992.

69. Шамров Н.И. Эффекты насыщения при нерезонансном вынужденном комбинационном рассеянии //Журн. приклад, спектр.- 1988.- Т.49.- С. 102-107.

70. Шамров Н.И. Эффекты фазовой релаксации в нерезонансном кооперативном комбинационном рассеянии //Опт. и спектр.- 1984.- Т.57.-С.627-623.

71. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Решение задачи об усилении света в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. — 2008. — №6, с. 108-113.

72. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Метод Римана-Вольтерра в задаче о когерентном ВКР-усилении света при полном фазовом согласовании //

73. Труды Средневолжского математического общества. — 2008. — Т.10. №1, с. 329-335.

74. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Моделирование квазистационарного ВКР-усиления в кристаллах // V Международный оптический конгресс «Оптика XXI век»: материалы науч. конф. - СПб: «Скиф», 2008, — с. 260-261.

75. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Нестационарное линейное ВКР-усиление света при учете зависимости рамановской поляризуемости от частоты // Труды Средневолжского математического общества. 2008. - Т.10. - №2; с. 191-195.

76. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Модель взаимодействия световых волн в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании // Вестник Ижевского гос. техн. ун-та. 2008. -№4, с. 216-219.

77. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Моделирование нестационарного ВКР-усиления в газах // Известия ВУЗов: Поволжский регион. 2008. — №3, с. 147-153.

78. Шамров Н.И., Логинов Д.В. Модель нестационарного сопутствующего вынужденного комбинационного рассеяния света // XXXVI Огаревские чтения: материалы науч. конф. : в 3 ч. Ч. 2. Естественные науки. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2008. — 264 с.

79. Эллиот Б.Коффман. Turbo Pascal 5-е изд. М.: Вильяме, 2005. - 896 с.

80. Achmanov С.A. Transient effects in stimulated Raman scattering // Mater. Res. Bull.- 1969.- V.4.- P.445-462.

81. Ackerhalt J.R., Kurnit N.A. Phase-pulling effects in forward Raman scattering //JOSA. 1986. - V.B3. - P. 1352-1362.

82. Ben-Amotz D., George S.M., Harris C.B. Transient stimulated Raman scattering in high laser depletion and its effects on vibrational dynamics experiments // Chem. Phys. Lett.- 1983.- V.97.- P.533-537.

83. Bobbs В., Warner С. Raman-resonant four-wave mixing and energy transfer // ' JOSA- 1990.- V.B7.- P.234-238.

84. Bolshov L.A., Likhanskii V.V., Persiantsev M.I., Yolkin N.N. Capture of the Stokes wave under coherent stimulated Raman scattering // Opt. Commun.-1984.- V.51.- P.201-206.

85. Brink D.J., Proch D. Angular distribution of high-order anti-Stokes stimulated Raman scattering in hydrogen // JOSA- 1983.- V.73.- P.479-482.

86. Brink D.J., Proch D. Efficient tunable ultraviolet source based on stimulated Raman scattering of an excimer-pumped dye-laser // Opt. Lett. 1982. - V.7 . -P.494-496.

87. Carman R.L., Mack M.E. Experimental investigation of transient stimulated Raman scattering in a lineary dispersionless medium // Phys. Rev.- 1972.-V.A5.- P.341-348.

88. Carman R.L., Mack M.E., Shimizu F., Bloembergen N. Forward picosecond ' Stokes-pulse generation in transient stimulated Raman scattering // Phys. Rev.1.tt.- 1969.- V.23.- P.1327-1329.

89. Carman R.L., Shimizu F., Wang C.S., Bloembergen N. Theory of Stokes pulse shapes in transient stimulated Raman scattering // Phys. Rev.- 1970.- V.2.-P.60-72.

90. Chiinaev D.S., Karasik A.Ya. Temporal Characteristics of Picosecond Stimulated Raman Scattering in Oxide Crystals // Laser Physics, 2006, Vol. 16, No. 12, pp. 1668-1671.

91. Cotter D., Wayatt R. Transient stimulated Raman scattering in lossy media // J. Phys.- 1980.- V.B13.- P.3035-3042.

92. Daree K., Kaizer W. Transient stimulated scattering with high conversion of laser into scaterred light //Opt. Commun.- 1974.- V. 10.- P.63-67.

93. Duncan M.D., Mahon R., Tankersley L.L., Reintjes J. Rotational Raman gain suppression in H2// Opt. Commun.- 1987.- V.64.- P.467-473.

94. Duncan M.D., Mahon R., Tankersley L.L., Reintjes J. Transient stimulated Raman scattering in hydrogen// JOSA.- 1988.- V.B5.-P.37-52.

95. Elgin J.M., O'Hare T.B. Saturation effects in transient stimulated Raman scattering//J. Phys.- 1979,- B12.-P.159-168.

96. Fenner W.R., Hyatt H.A., Kellam J.M., Porto S.P.S. Raman cross section of some simple gases // J. Opt. Soc. Am.- 1973.- V.63.- P.73-77.

97. Frey R. Suppresion of the medium excitation nonlinear optics //Opt. Commun.- 1992,- V.89.- P.441-446.

98. Hagenlocker E.E., Minck R.V., Rado W.G. Effects of phonon lifetime on stimulated optical scattering in gases // Phys. Rev.- 1967.- V.154.- P.226-233.

99. Herrmann I., Wienecke J. Zur Theorie der Stimulirten Rezonanz Raman -Streung // Ann. Phys., Leipzig.- 1974.- B.31.- S.247-262.

100. Hickman H.P., Bishell W.K. Theory of Stokes and anti-Stokes generation by Raman frequency conversion in the transient limit //Phys. Rev. 1988.-V.A37.- P.2516-2563.

101. Hickman H.P., Bishell W.K. Stokes-anti-Stokes gain suppression in the transient regime //Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng.- 1988.- V.874.- P. 151158.

102. Hickman H.P., Paisner J.A., Bishell W.K. Theory of multiwave propagation and frequency conversion in Raman medium //Phys. Rev. 1986.- V.A33.-P.1788-1797.

103. Hilfer G., Menyak C.R. Stimulated Raman scattering in the transient limit // JOSA.- 1990.- V.B7.- P.739-749.

104. Kachen G.I., Lowdermilk W.H. Self-induced gain and loss modulation in coherent transient Raman pulse propagation //Phys. Rev.- 1976.- V.A14.-P. 1472-1474.

105. Mack M.E., Carman R.L., Reintjes J., Bloembergen N. Transient stimulated rotational and vibrational Raman scattering in gases // Appl. Phys. Lett.- 1970.-V.16.- P.209-211.

106. Marchand R, Fedosejevs R., Tomov I. V. Queching of the forward Stokes by phase matching // Can. J. Phys.- 1986.- V.64 .- P.743-745.

107. Menyak C.R., Hilfer G. Asimptotic evolution of transient pulses undergoing stimulated Raman scattering // Opt. Lett.- 1990.- V.B7.- P.739-749.

108. Murray J.R., Javan A. Effects of collisions on Raman line profiles of ' hydrogen and deuterium gas // Molec. Spectr.- 1972.- V.42.- P. 1-26.

109. Woodbery E.I., Ng W.K. Ruby laser operation in the near IR //Pros IRE.-1962.- V.50.- P.2367.

110. Reizer C., Raymond T.D., Michie R.B. et. al. Efficient anti-Stokes Raman conversion in collimated beams //JOSA.- 1989.- V.B6.- P. 1959-1869.

111. Shimoda K. Molecular coherent effects in stimulated Raman scattering // Z. Phys.- 1970.- B.234.- S.293-306.

112. Steudel H. Stimulierte Ramanstreung mit ultrakurzen Lichtimppulsen // Exp. Tech. Phys.- 1972.- B.20.- S.409-415.

113. Tan-no N., Shiranata Т., Yokoto K., Inaba H. Analysis of coherent Raman propagation effect // Phys. Lett.- 1974.- V.A47.- P.241-242.121: Tan-no N., Shiranata Т., Yokoto K., Inaba H. Coherent transient effect in

114. Raman pulse propagation Phys. Rev.- 1975.-V.A12.-P.159-168. 122. Wang C.S. Theory of stimulated Raman scattering // Phys. Rev.- 1969.-V.182.- P.482-494.