автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование некоторых задач системного анализа с применением градиентных структур и дифференциальных преобразований

• (

ЕРЕВАНСКИЙ СКЗЯЧЕСКИЯ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

АДАМЯН ГАГИК ВАРДАНОВИЧ

^ТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СКПТЕШЮГО АНАЛИЗА С ПРИМЕНЕНИЕМ ГРАДИЕНТНЫХ СТРУКТУР I! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Специальность СБ. 13.16 - Пршэнениэ вычислительной техники, математического моделирования и математических катодов в научных исследованиях (по отраслям наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

"Л

Е р э в а н

1991

* !

Работа выполнена в Ереванском политехническом институте

Научный руководитель - кандидат технических наук, дрцзнт

СИМОЕЯН С. О. (ЕрПИ)

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

ГРЕЗДОВ Г. И. (ШЮ АН УССР)

Офинустльша оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор НЕРСИСЯН А.Б. (ИМ АН Р/ кандидат технических наук» с.н.с. СКОРИК В.Н. (ИПЭ АН УССР)

Ведпцая организация! ЕРЕИШМ (г. Ереван)

Защита состоится щ _ ин?£Я. _ 1931 г. в ч,

на заседании специализированного совета К 034.03.01 щи Ереванском Физическом институте по адресу: 375036, Ереван-3 ул. Братьев Алиханянов, 2.

С диссерггациаа можно ознакомиться в библиотека Ереванского Физического института.

Автореферат разослав _ ____1991

Учшшя секретарь слзцкзлв-яировянваго совета, кавдвдэт

фвамсц-шгмиапяасис наук Бабаян Г.

, ' - 3 -

- ■ 5

;г'| оещля ХАРлкгЕИ'сгша работы

Актуальность тэиы. Нзобходцсгость быстрого ошзааэнпп экономией страны трэбуот разработки и ксаздования нсеых средств ПрСЭКПфОВЗНИЯ ,УПр31к13Ш1Я, принятая рзгезшй, разработки новых технологии и т. п., что невозмоято бзз постановки и опэратив-вого рзЕзння ойппряого крута паучсо-тсхнххтасяш: лробЛзм.свод-{щагся к рззлнчша задачам системного анализа. В настояг^з зрзмя досп::гзшг) отоз цэ-О швокгсето бэз широкого р.полрзшш я эффэнтгтзого использования рззлггчплх срэдств Е-лислтшльиоЯ пэхникп. При ото:.! на нзрнуз яхзя гыда-чггэтся.пробхэнз совэр-ззнствования езезстных и разработки новых, бо-г^з эффзгспшных л универсальных катодов математического кодолирования, а так-::э соответствующих алгоритмов и машинных програ'"л, базирующихся на достткзкиях науки и тахншш. Позтоглу разработка та-шх средств, в частности, дая рзсэния систем конечных уравно-пгз (СКУ), задач математического програгсщрования <3'{П) и ди~ гакнчэскиз зкстрэма-льных задач (ДЭЗ), встрэтаздияся в самых зззличпых областях пародзого хозшстаа, ягш:зтсл актуальной гаучно-тзхничвской проб.гз:;оз.

Цэлко Д'ссзртацгдииоз работа яайязтся разработка и ис-

^дрвангэ 'еоечя срэдств рггзнпя ску, Е'Ш я ДЭЗ, основанных я градгзнтпнх стругптрзз и дг^зрзкцст-шшх { тоадзровских ) ¡рзсбрзссЕанпях. Дэстпгзппз отоз цшг прэдпагагаэт рэкзнкз иэдундих вопросов!

- разрабопса пошя п алгоргтплоз рзтания СКУ,

н ДЭЗ с кспогкзокшпза градошти структур;

- разрабопса пог^х ггодхгзз п алгорсзтазв рсгзгпм СКУ, ЗШ и ДЭЗ, основанных на дпф^рзшЕяш^ЕЫз: преобразованиях;

- состав^зягэ менянных прогрел па оспоео разргботанных алгоротков!

- эксЕэрггзпташюэ ггогэдзпгдгэ зга алгоритмов с цэльэ еыяшэння их осяоешх гз^аттгагьшгг характеристик.

Аппарат псслщзаажгз Спсгр:*отся на 1радазнтных струет^- •

ах, на катодах Лаграипа,рздущфОЕашюго фазового простргзст-а, птрафньн функща, дф^эрэшщалышх уравнении, щпацша аясгаума Поитрягкна, на глггодэ дсЯэрэнциальных преобразована Духова, на чнсгзнпыз: ^зтодах л на теории алгоригнов.

Научная новизна - работы заклзчгзтся в слэдущз:,;:

- развиты отода рэсзния СКУ, ЕШ и ДЭЗ, которыэ основаны на градсзотшк структурах и обосшчиваэт получашз рошнкп этих задач в роальнон и ускоренно:.; врзг/знн;

- прэдогошны ПрШЩЕПИаЛЬНО НОВЬЮ еэтода РЭЕЭННЯ СКУ, КД и ДЭЗ, основанию на одномерных даффорэнцдалкЕых пра-сбразованияк: и слуиащЕэ основой для организации! эффективных паралсэльных: вычислительных працэссов;

- нз основе этих кэтодов разработаны численные алгориткы росзнин СКУ, &"Ш и ДЭЗ, обоснована их сгодаглость при простои способа выбора рада параметров этих алгаритков а таквэ показана их высокая вычислительная эффективность;

- выявлэвы возглкаыз вычислительные трудности применения лрэдаиззнных средств, и даны общиэ практические, рзко-кзндации с целью преодоления этих трудностей при организации численных процедур.

Практическая цэнность работа. ПрздаюЕеннке и исследованные в диссертационное работе средства, базирующиеся на градиентных структурах, ш слухами основой для разработки бортовых специализированных пйридных вычислительных устройств с хорошими весогабарэтныш показателями, предназначенными дая оперативного решения указанных классов задач. Средства, базирующиеся на дифференциальных преобразованиях, основаны на едином подхода, используют идзи максимальной декошозицки и агрегирования юрзшнных, ввиду чего могут быть успешно пршззнены при организации параллельных вычислений.

Реализация результатов исследований. Результаты исследований, полученные при выполнении хоздоговорных НИР в рамках темы "Грздознт" - "Разработать тсарко алигативного моделирования, и катодов синтеза на ео основа гибридных вычислительных систем сверхвысокого быстродействия", выполненное по Постановлению Президиума АН УССР от 27.12.85 г., используются в Отдела гибридного нодедкрованкя Института проблем моделирования в энергетике АН УССР-(акт внедрения от 18 октября 1990 г. от ИПМЭ АН УССР, г. Киев), а также при обучении студентов по стадиальности АСУ (специализация "Автоматизированные системы научных Исследования и комплексных испытаний" ) на кафёдрэ

Информатики и управления" Ереванского политехнического инс-игута ( справка от 7 марта 1991 г. от ЕрПИ, г. Ереван ).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной

аботы докладавались и обсуждались на Всесопзной конференции Моделирований - 85" (г. Киев, 1985 г.), на второй Всесоюзной онференции по актуальным проблемам информатики и вычисли-ельной техники "Информатика-87" (г. Ереван, 1987 г.),на вто-ой республиканской научно-технической конференции "Совреквн-ые системы автоматического управления и га злвшитпая база" г. Ереван, 1986 г.) ,на третьей республиканской научно-тохни-ескоа конференции "Новые достижения в области пргйорострое-ия" (г. Ереван, 1987 г.),на республиканской научно-тозничес-ой конференции "Приборы и системы упр^дэния" ( г. Ереван, 989 г.), на школах-семинарах по дифференциальный прзобразо-аниям { г. Киев, 1988 г.; г. Житомир, 1987 г. ), на научных юнфэрзнциях профессорско-преподавательского состава ЕрПИ, а , ■анже на научных семинарах кафедр "Автоматизированных систем правления" и "Информатики и управления" ЕрПИ.

Публикации. Основные результаты диссерггащошгаз работы

¡публикованы в 9 работах, а также отрэкены в 2-х отчетах НИР ю хоздоговорным темам.

Диссертационная работа состоит из введения, 5-и глав,

»аключвния, списка литературы в количестве 105 наименования, ¡одернет 136 страниц машинописного текста, а тагаяэ 23 рисун-са и 8 таблиц.

Во введении обоснован а актуальность рассмотренных в дис-

:ертавдонной работе вопросов, сформулирована цель исслвдова-шй, откачена научная новизна и практическая ценность работы, а также приведено ее краткое содержание.

Первая глава содержит обзор ряда катодов решения СКУ,

ЗМП и ДЭЗ. Здесь приведены такие постановки этих задач: 1. Система конечных уравнений!

/<Х> = В, (1)

где г = - вектор нелинейных функций; х = <х1,..

..,хп>г- вектор неизвестных шременных, подлежащих определению. Найти решениэ этой, системы, предполагая, что оно сушрст-

вует, означает определить такие значения вектора х, при ко торых уравнение <i> превращается в тождество. 2. Задача математического программирования:

L(X) -» min , <2

X € X

при условиях

С. (X) < 0; i = I7F , (3

(Х> =0; i = г + 1,л, (4

где l<х> - скалярный критерий качества; i = ITm -функции

задающие ограничивающую область г <= е"; х = <xt,... ,хп>т-век-

тор искомых переменных. Допустимый вектор неизвестных пврв менных, одновременно доставляющий глобальный минимум кригери

качества <2>, является оптимальным решением задачи (2)-<4). 3. Динамическая экстремальная задача:

L(X,U> -► min , (5

U

при условиях

С(Х,и> < в, <6

X - f (X,U) = 0, 17

X<t > = X , (S

о о

где L(x,u> - скалярный критерий качества; x<t> = <x4<t>,.

..,xn(t))T - вектор переменных состояния; u(t) = (u^tt),..

..,ur<t>>r - вектор управляющих переменных ; с = ...с^1

- вектор ограничивающих условий; * - (/t,...,/n)T - векго] правых частей системы дифференциальных уравнений; x(to> » <Xi<tQ), — ,x^<tQ) >т - вектор начальных значений шременны: состояния. Рвшэниэм задачи является функция оптимального уг ргашния u^^.tt) при траектории xopt <t> из поля экстремалей

УДОВЛЭТВ0РЯЮШИ1 УСЛОВИЯМ <5) - (8).

В зтоя главе рассмотрены тайне некоторые особенности ор ганизациа вычислительных процессов при решении приведешь задач,в частности, вопросы выбора шага в градизнтных метода! вопросы сходимости, иасштабирования, учета ограниченна, вь бора кригериэв останова итерационных процедур. Обоснована це лесообразность разработки быстрых градиентных дифференциал! ных моделей, а такав соответствупщих аналогов, основанных i ди|фэренциальных преобразованиях и лредгааначвнныг для оаврг тивногЬ решения указанных задач. Представлены некоторые прг

вша и формулы тейлоровского исчисления, используемые при разработке и исследовании тейлоровских моделей (Т-моделвй).

Вторая глава посвящена разработке градиентных моделей

решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ.

Для решения СКУ используя метод штрафных функция, кусочно-плоскую аппроксимацию векторных функция нвскоаыох переменных и кэтод дифференциальных уравнений подучены однопзра-мэтрическиэ зависимости вида

д Xk(t> = дХ(дХк<0>,t> (9)

где дхк - приращение переменных задачи. С учетом <9) система и) на к-ом шаге итерационных процедур представляется полностью расщепленной, эквивалентной с точностью до линейной аппроксимации системой конечных уравнений с единственным агрегирующим параштрон t:

f<X. <t>> = *ЧХ. + дХ. (t)) = f.tt) = 0, CIO)

К K~1 K"1 К

где xk_i - координаты <k-i) - ой игеранты ретанна. Ввиду того, что эта система обычно несовнестна при произвольно выбранной начальной точка поиска решений, с далью нахоздения ее наалучЕзго приближенного репэния, далее,на основе кетодэ наи-каныпих квадратов, составляется одаопаракотричвская, в обгцрм случае шогозкстрекальная, квадратичная форма от ее суммарных невязок, которая в дальнеазом кинетизируется по неизвестному параметру t. в итоге выполнения этой процедуры спродзляяггся значения t*, обесгочиващш достижение экстремумов отмеченной формы, а при использовании этих значений - пэрвыэ пркбли-нззния к корню системы til. Повтореяга вычислительного процэс-са с найденными начальными приближениями приводит к новым приближениям и.т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока не получаются некоторые решения задачи с необходимой точностью.

Применяя метод редуцированного фазового пространства, квадратичные штрафные функции и метод быстрого дифференциального градиентного спуска (БГДС) разработаны также непрерывная, квазилинейная и разностная модели решения ЗМП.

Основная идея разработки этих моделей заключается в следующем.

Используя призм сведения ограничивающих неравенств к эквивалентной системе негладких равенств

S<C<X>) = С(Х) + |С(Х)| « tE +■ SIGN С(Х)3 С(Х) = 0, (11)

а также катод штрафных.функций, исходная задача условной оп-

ткиизацин прообразуется в задачу безусловная оппшизацни I шире нна2 фушгщш

ßiX) « L(X) + ST<C<X)) KtS<CCX)), (

где В(С<Х>) - (st(ci<x>), ... ,sm<cBi(X)))T -редуцирован

вектор ограничивающих условий, а к4- диагональная M3TJ

штрафных коэффициентов k.., j = i,m, с достаточно большими личинами.

В дальнейшем, ввиду недифференцируемости условна cid некоторых точках границы редуцированной допустимой облас используются обобщенные частные производные функций s.c

j = I7m , по шреыенвым *i, i = 1 ,n, определяемые мношсте

а (X) е СИ; 2с. <Х)Э, j = TTm, i - l7n, (

где c.x (X) - частная производная j-ой компоненты вект(

с<х> по i —ой компоненте вектора х- При этом необходимые ус вия экстремума критерия <12) приводят к системе уравнений

ае<х) = <jLIX) + 23stoc> k^six) = 0, С

где а»(Х) = от (X),эа <x>>THvt-<x> = (l

* xn in

обобщенный и обычный градиенты (n х i - мерные векторы) фу циа (12> и (2) соответственно; as<x> - обобщенный якоб ( т х п - матрица ), кзидай злвнент которого может приним значения в зависимости огг расположения текущей точки фазо траектории относительно границы редуцированной допустимой ласти. При этом,если текущая точка фазовой траектории прин левит границе этой области и в этой точке градиент функ

с.<х>, j = Т~я не определяется однозначно, то одарируем нек тары« его значением в соответствии с аз»; если текущая то принадаэжиг границе редуцированной области и в этой то градиент функции c.tx>, j = TT® , определяется однозначно х точка расположена вне редуцированной допустимой области, огорируем обычными частными производными; если ш теку] точка расположена внутри допустимой области, то соответств; щив обобщенные производные равны нулю.

Исгользоваяиэ ЕГДС для решения системы уравнений с приводит к следующей непрерывной математической модели, о] ентированной на примврениэ средств аналоговой вычислители

Т9ХННКИ>

1_(Х> = пип 1_(Х> ,

X

I ^

- к с^с<х) + дз <ю

2 К в{Х), 1

(15)

(16) (17)

где кг - диагональная матрица кооффлщкзнтов усигзпиа отрзба-таваотцх усилиголзз с достаточно большими вэличтатят к.., 1 =

= 1 ,п. обэспэчкващшш быстрое установлэнЕз пзрзлодаьп процессов при выбранных начальных точках х . Это обстоятольстео обуславлтзазт вог^онзость использования продгаетпноа модели в системах реального и ускоренного еозпзни,

Используя кусочно-плоскую аппроксимацию нелинейных фушс-цет при пр'лг.'знзнш обобщенного ряда ГеЕлгора, разработана также квазилинейная модель ЗМП, имеющая вид,;

l(x, ) = 1_<х, ) + ^<-(х, )дх, , к к к

(18)

ж- = - кгс^(хк) + 35' (хк) (13, ЛХа = хо = ?,(19)

[1=2. К1СБ(Хк> + &3(Хк>лХ!<3, (20)

к+1

= *к + А*,,.

(21)

Модель обесточивает упроцзпкэ сычкслительпых процедур, сохра-шэ при этом оснопш.-о гаратхфистшм гарэходных пропрссов. Она сретнтирозааа на прглоношт? срэдств пйридноя вычислительной тохшяет с гналогоЕ'гя прзобладанкзм.

Да^э, на осноЕ'Э 1"зтодз Эилзра из последней глодали получен слэдущиэ правый конечно-разностный згагивалзпт рэшония КШ:

к+1 к к

дХ, - СЕ к+1

21"|, к к 03 (X, )53(Х, > ЗдХ, -к 1 г к к !<

К к > + 2к 03 (X, ) 3 X, >3,

к г к 1 к !<

к+1

дХ,.

(22)

(23)

(24)

где > а, Ук » а,оо - шаг Еврзвнге/зрзоа сетки по приращениям пэрз:?энных задачи. Модель обладает простотой реализации и ориентирована на пр-^-энанЕэ сродств щ^ровоа вычислительной техники.

Прздюшнныэ иодавд для решения 2!Ш обладает высокой

X

ствтньа горостраквзашстн структуры и обеспечивает* опзратк воо поду^зао ра^энна этих задач независимо от расположен: тсцугрл точка траектории поиска относительно границы допуст коа области.

Кстльзуя катода редуцированного фазового пространства щмццми максимума Понтрягина для эквивалентной к (5>-(8> ДЭ!

1_(Х«:>,1И1>> -» «йл , С2!

ШО

хю = /<х(ы,ши), х^ ) = х , 12*

о о*

S(C(X(t) ,U<t) ) = О, (21

прп гашльтониане

Н = р0а>1_(Х(1>,1Ш:>> + ^Т<И)/(Х<1:) ,и(Ы ) +

+ ЦТтЭ(С(Х(Ы ,Ш«:>>) -► шах (2£

получены необходимые условия экстремума критерия качесп <25). Применение ЕГДС к соответствующим уравнениям Эйлерг Лаграша приводит к следующей непрерывной модели ДЭЗ (с цвл!

упрощения записи аргумент t опувдэн):

Ь(Х,и) -► пйп , (2«

и

X = Г(Х,Ш , Х(Ь ) = X , <3< о о'

= а, = ?, (35

V ■= ~ ч>\1-х - ч> - ц, у(^) = ?, (з:

и - - + чг* V * ¡а, и<^) = ?, (з:

(I - К 3(С(Х,и)), (3^

где 9°- скалярный множитель, соответствующая критерию хачест ва <25>, (сопряженная парвиенная, обычно принимаемая равно - 1)1 - пх1-мерный вектор сопряженных переменных, соот ввтствугщий пэреаэнныа состояния, задаваемым сиотекай <26) ¡1<ь> - «ах1—нерньо вектор ннозетаюй Лагранжа, соответствущи редуцированным, ограничениям (27>.

Модель ориентирована на использование средств аналогсво вычислительной техники в системах реального и ускоренног вревзни.

Используя кусочно-плоскую аппроксимацию дои векторны функциа нескольких переменных , <за>, <31> далее раграбо тана квазилинейная модель дхя решения ДЭЗ:

1-(Х,и> «= I.,, + дхк + V«-,. ди к

"ик к

тт

и

к к = 0, > = ?,

р = - - V ~ 83Тх }I, ?.(1о> =

к к к

к к к и<ь ) = ?, ¿ись ) " ди = ?,

а о а

Ц = К..<3. + 23 дХ. + СЗ ди.», и к х к и к

г к к

(37)

(38)

(39) (Ю)

(с целью упрощения зашей, здесь принты слздухщсз обозначения» ^ - 1_схк,ик), Гк = /<хк,ик), - 3(С(Хк,ик)). Модель обладает простотой реализации н ориентирована на прггэнэшэ срэдств пйрщщоа вычислшшьной техника так:э с аналоговна прзобладанкзм.

1фавая коЕвчно-рззностагя аппроксЕзацдя йырзхзнкз <зб>, «за), (39) порождает слэдукщув пгщетауз рэпуррзнтнуа процэ-цуру:

ИХ,и) = + дХк + ди,

и. к к

и

Г Е + Ь, к х, дх к О И. к и, дх к

^к+1 - -ь. озт к.,ее «V хк р хк ф к -+1. евт к„сз к„ х. Ц и >У к " к

к+1 -нк ди к " к -Ь, К к и* и, ди к Е-Ь. К £3 ТК,.03 кии. и и. ди к ' к

(41)

ДХ

к и и. и к у и; ди к " к

, Х(1 >«Х , дХ(1 )» дХ - 7, (42) * о о о о *

7, 7 -сопа!- 7, (43)

, 1т >» 7, ди«. )- ДЦ •» 7, (44) .о о о

де ь > и, и > о, и > £3, V к ■ о,со - аагл нераввоггзр-

дх ди

ых сеток по прнращэвиям соотсэтствонно основных, сопряженных управляющих пэрекенных. Эта кодэль оркэнтнрована на щжзэ-эниэ срэдств цифровой вычислительной техники.

Разработанные непрерывная,квазилинейная и разностная но-

дели дм решения ДЭЗ имеют юре страиваемую структуру и позволяют в три этапа реализовать вычислительные процедуры нахождения решения этих задач. На первом и втором этапах определяются соответственно координаты начальной <хо,и*> (хо- задана, см. условие <8>) и конечной <х*,и*) точек оптимальной фазовой траектории хор<.<Ь). а на третьем эташ строится сама оптимальная фазовая траектория, проходящая через эти точки. При этом организуются многовариантные эксперименты с целью выбора соответствующего вектора начальных значений сопряженных дарекенных , обеспечивающего оптимальность закона управления иор4 <*:>.

Третья глава посвящена разработке 1-моделей решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ.

При решении СКУ с использованием дифференциальных преобразований, во избежание громоздких аналитических подготовительных операций, исходная система (1) с помощью введения дополнительных переменных и уравнений сводится к эквивалентной системе с левыми частями, состоящими из некоторых квадратичных функций со свободными членами а. Решенив полученной при этом эквивалентной системы конечных уравнений

* <х> - а = 0 (45)

с помощыа дифференциальных преобразований осуществляется в несколько этапов. На первом из них эта система переводится в область Т-изображений, что позволяет представить ее в следующем виде:

2к

т . .

4 <Х<0> ,Х(к = - Г «1. . Ъ**1 +

к

т

+ Т <0. . ха+ч») - а. .» + (Р - а»<10 = и, . . V*! чд о, о

1*1 = 1

где величины , i + j = 1,2кт задаются соотношениями

с1. =0, еСЛИ =

к

т

и. . = - г . = а. . (х<0>,х<1>,- •

,Х(1 + j - 1)), если 1+3 = 2,к

№

т

а. . « - г г. . « в. . (х<1 + л - к «з .71« м «л «

* ,Х (к )), если 1 + Л ■ к +1,2 к

л а я

а матрицы + г+з = 1,ки, с размерностью пхп образуются согласно Еыраяянзгям

О. .= И . Р. . = О. <Х(0) ,Х (1+3) ) , = 1, к , (50)

1.-м Ол<] 1.+.).0 \--tj (II

где р = Р(хи),х<_»>>; ж.,^ = и,кп , - однотипные операторы, зависящие от соответствующих дискрет и сохраняющие все свойства оператора * систеш (45); (х(3)т,х(1)т,•••,х(кт)т> -составной веетор дискрет; к - максимальный щэлочислэяный аргумент, выбираемый из определенных сообра::кзшга (обычно кт= з-г-4). Далее, в результате этих преобразования рэиешзэ исходной задачи сводится к решению некоторой цепочки линейных систем алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов, инвариантной относительно номера вектора дискрет. Использование найденного вектора дискрет при обратных дифференциальных преобразованиях дает возможность представить все компоненты вектора неизвестных переменных в виде, зависящего от единственного агрегирующего параметра ^ Последнее, в свою очередь, позволяет исходную систему конечных уравнений свести к полностью расщепленной эквивалентной системе уравнения с единственным ноизЬост-ным агрегирующим параметром t, т.е. к системе вида

= о.

Оптимальные значения агрегирующего параметра t в этой системе находятся в результате нишпакзации некоторой квадратичной формы от суммарных невязок в уравнениях расщепленной систеш. Далве, организуется итерационный процесс последовательного уточнения полученных приближений к решениям задачи. Здесь характерно, что этот процзсс ид срывается даже при вырожденных функциональных матрицах о1 + , 1+1 = 1,кт, коэффициентов выше-отмеченных линейных алгебраических систем. Кроме того, появляется возможность регулярного выбора координат начальной точки поиска решений. Эти обстоятельства выгодно отличают предложенный метод от существующих и дают принципиально новые возможности для одновременного нахождения нескольких резаний задачи в одной и той же итерационной процедуре. Подобная архитектура метода хорошо приспособлена дяя параллельного нахождения множества решений рассматриваемой задачи, что может служить основой дяя построения специализированных вычислительных устройств, а также позволяет эффективно использовать возможности параллельного программирования.

Используя дифференциальные преобразования, а таккэ результаты, полученные во второй главе, здесь разработаны также Г-шдзли решения ЗМП и ДЭЗ. Показано, что хотя применение од-ношрных дифференциальных Т-прзобразования позволяет наиболее проста алгебраизовать решение ЗШ и ДЭЗ, однако, как правило, при этом I пишется необходимость выполнения обычно громоздкой аналитической подготовительной рзботы, связанной с использованием прямого и обратного 1-прзобразований.К тому ни, требуется определенного порядка гладкость функций, входящих в шдели рассматриваемых задач. Однако, эти затруднения легко преодолевается при использовании соответствующих линеаризованных эквивалентов, при котором, естественно, требуется лишь существовал® первых частных производных функций, входящих в модели. Но использование линеаризованных шделзй с цзлко получения наиболее просто реализуегяых Т-аналогов аш и ДЭЗ 'цааэ-сообразно особенно дая оперативного нахождения прйЗлккенных решений этих задач из-за отсутствия возшдаости практического использования бесконечных рядов Тейлора при обратных преобразованиях.

Т-модзль решения ЗЫП ишет следующий; видг

1*«к+1> = 1ЛХк> + уЫХ^дХ^!), Р + 1-дХ. <Р+1) = - К К 93Т(Х. )§3<Х. >дХ.(Р> -

- К2СК133Т(«1{)Б<Хк) + уЫХ^ЗЫР) ,

Х<0> = X , дХ, <0>= дХ , о к о

*к+1 = Хк +

где ь(Р> - тейлоровская единица; р - параметр, указывающий на номер дискрет.

Г-модель решения ДЭЗ кеэет вид;

|_(х,ш = 1_к дх^а) + у[_ц дик(1).

к к

р + 1 дХ.<Р+1) = АХ. (Р) + ДО,,<Р> + Л, Ь(Р),

Н "к * х " к * и" к к

к к

X СЬ ) я и , дХ > » дХ ,

о о о оо о

р ц 1 ди, <р+1> = - к Гк,.6зт вз дх. (р) + к 8зт 83 ди. <р>

и к ц к ^ ик °к к

+ <7^Т <Р>1 - К Гк.,93Т Б, + V«- 1'ЫР),

у в,тк -I и ь и и. к ■»

V " к к

U (t ) = и , ли <0> = ди ,

о о о о о1

Р + 1 _ __- Гос,Т

'к

- К ~ <кц*ч®к * > ъ<р)' ?0<в> - re«to»,

к г 1с к

- - К psj ввх ДХк<Р) - 8Bu лик(Р)] -

г к 1с к к

и, _ <t> = и. et) + ДО, <t) , к+1 к к

Xk+l(t) " XkCt> + ДХк<Ь>'

Эти модели таюаз обладает возггогяностью распараллалпшшйя и организации эффективных вычислительных процэссов.

В четвертой глава, используя результаты предыдущих двух

глав, предяояены числзнные алгоритмы, а таюяэ доказана иг локальная сходимость при простом способе выбора рабочих градиентных шагов. На основе этих алгоритмов составлены блок-схвмы программ решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ и приведены их описания.

В петой главе представлены результаты экспериментальных

исследований с помощью предложенных алгоритмов и машинных программ, написанных на языке "ФОРТРАН-4". При этом, с' целью выявлвния качественных характеристик,а также задания рекомендуемых интервалов изменения значения некоторых численных па-ракетров этих алгоритмов здесь рассмотрен ряд модельных примеров, шдгверадазщих эффективность использования разработанных средств. В частности, показано,, 'что геоггэтрия весьма различных классов задач, являщахся отдельными подзадачами обгдей динамической задачи нелинейного программирования, особой роли не играет при использовании разработанных моделей, основанных на градиентных структурах (си. рис. 1, соответствующий задаче! Их ,х ) = (х + 4)2 * (х - 7>* -» min } с (* ,х ) »

1* j i г х ,х Iii

1 i

= хг - 3,5х <0; с (X ,х ) » х - <х - 3>z + 2,2 < 0; 12 Ii i i z *

С (х ,х ) = - х - 6 < Oj с (* ) = * - 2х + 1,5 < в

J l' 1 1 Г ' 4 l' I 1 2 '

С пттямалтяым репениэй х* — -1,5; х* = 4,5; L*(x*,x*> >* « 12,5; а такие рис. 2, соотавтствущий задаче: l<x,u) = <х -

- 4)* + (и - 3)* -» min; С ix.u» — х* — и < В; с 1х,и) » и -

и 1 I .

- 4 < в; х - и; хо = 1,5, на котором показаны« а) результаты реализация горвого и второго этапов вычислений (и* - зц х* ■»

= 3,559; и* = 1,886); б) ив) результаты реализации третьего этапа вычисленка, причем б) - огтггсдальная фазовая траектория; в) - оптимальные врекенвые характеристики). Это обуславливазт довольно высокую степень универсальности предложенных средств. При использовании моделей,основанных на дифференциальных преобразованиях, обеспечивается эффективное распараллеливание вычислительных процессов {см. таблицы, соответствующие задаче.- х + х * х - Ь = 0; к X + X X - 5 = Ё; к х + х -л -

2 3 12 13 12 23

- В = О, С рЭЕЗШШЩ: (1,2,3), (1,4,1), (5,2,-1) И (5,4,-3)).

В заключении сфорцулзярованы основные результаты, подученные в диссертационной работе. К диссертации приложены такте акт и справгса об их внэдрэнш.

Рис. 1. Допустимая область, линии равного уровня цзлввс:: функцвд и траектории поиска решния для задачи невыпунлого програг-аафования

а)

N1 I

б)

а)

Рис.2. Решение задачи экстремального управления: а) результаты первого и второго зтапов; б) оптимальная фазовая траектория; в) оптимальные временные характеристики.

X, (О) = Х2«0) - х3 (О) , ро - 3,1622 Таблица 1

N х4 <0) Х2(0) х3 (0) Х1<1)" Х,<1)" 1 X - (1 ..... ; 3 *1 х2 .. 01 р 1

! 2 3 1 0 3,16221

1 2 3 1 0 1 1.-1 2 4 0 3 1 3 1

1 2 2 2 -1 3 1

2 4 0 0,5 0,5 : -1 1 3 2 1 -2 1 1

1 2,0432 2,0432 1,8738 О,1262 3,0033!

2 2 2 2 О,3421 0,34211 -1 1,1675 1,1875 4,3749 3 -2,3749 2,25491

! 2,8889 2,3889 -0,5994 2,5994 2,28051

' ' — 1 1 3 2 0 1 1

3 1 3 2 0 1 ! -1 1 2 3 3 -1 0 I

1 1 4 1 1 0 !

Х<<0) = х2(0) + Х3 (0) , Д ш Таблица 2.

N Х4 <0) Х2 (0) V0' X, <1)° х2 <1)° ;х3 <1>° *г х3 ш 1 Р !

! 3 2 1 о : 4 I

1 3 2 1 -1 1 0 ! 1 1 2 3 3 2 1 О 1

1 5 2 -1 -2 0 1

. *

р - эвклидоеа норма невязок системы, га — число значений параметра I

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работа, на основе использования методов квадратичных штрафных функций, редуцированного фазового пространства, принципа максимума Понтрягина, метода быстрого дифференциального 1радазйтного спуска и одномерных дифференциальных Т-преобразований Пухова проведены теоретическиэ и эксперикоягальныэ исследования в области развития и разработки новых методов математического моделирования ряда задач системного анализа - систем конечных уравнений (СКУ), задач математического програ«гмирования (ЗМП) и динамических экстремальных задач (ДЭЗ).

Основные результаты исследований сводятся к следуюадвмуг

1. Предложены новые математические модели для оперативного решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ, использующие простые градиентные схемы. Непрерывные и квазилинейные модели ориентированы преимущественно на использование АВМ и ГВМ, а разностные модели -на использование ЦВМ, хотя при применении последних успешно могут быть использованы такие непрерывные и квазилинейные модели. Они легко-реализуемы, ногут бьггь использованы для получения решений рассматриваемых задач как в реальном, так и в ускоренном масштабах времени, что может обеспечивать повышение эффективности автоматизации экспериментальных исследований в различных областях знаний.

2. На основе предтазенных математических моделвй разработаны алгоритмы и составлены программы для машинного моделирования указанных задач. Теоретически доказаны и экспериментально .^подтверждены локальная сходимость и устойчивость алгоритмов при простом способе выбора значений рабочих градиентных шагов. Выделены также рекомендуемые пределы изменения ряда численных параметров этих алгоритмов.

3. Полученные теоретическив и экспериментальные результаты послужили основой для конструирования бортовых специализированных аналоговых и гибридных вычислительных устройств, обеспечивающих достаточную скорость и точность вычислений, а также обладающих эффективными весогабаригными характеристиками.

4. Предложены принципиально новые математические Г-модели для решения указанных классов задач, основанные на одно-

{¿зряых дайеренцаальных Г-преобразованиях. Эти преобразования позволяет каксЕыально агрэгировать входящие в рассматриваеше задачи искомые горевенные, свести их к некоторым задачам од-нопаравзтрической оптимизации и максимально распараллеливать вычкслетвльные процессы. Модели могут слуквп*ь основой для разработки и широкого использования специализированных аппаратных вычислительных средств параллельного действия, а также дагот возможность эффективного использования различных методов параллельного программирования.

5. На основа предаоаенных математических Т-модэлей разработаны локально-сходящиеся и устойчивые алгоритмы и составлены программы дая машинного моделирования указанных задач. Подучены достаточные условия сходимости итерационных процедур при рвавши СКУ и обоснован регулярный способ выбора начальных прлЗликэниг, обзспвчиващкх одновременное получение нескольких резаний таких задач < конечно, если они существуют ). Приведены также ряд практических рекокендадий по эффективному использовании этих алгоритмов.

6. Результаты исследований, полученные в диссертации, внедрены в ИПМЭ АН УССР (г. Киев),ориентировочный экономический эффект от внедрения которых составляет 14,7 тыс. рублей. Они использовались тага® в учебном процессе при подготовка студентов по специальности "АСУ" на кафедре "Информатики и управления" ЕрПИ.

ОСНОВНЫЕ ПСНШЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СВЕДУЩИХ РАБОТАХ:

1. Склоняй С.О., Дцамян Г.В. Приближенное решение задач нелинейного программирования применением Т-формализма // Всесоюзная конфэренцкя "Моделирование - 85". Теория, средства, прккзнонкз: Тез. докл. - Киев, 1985. - С. 47.

2. Сиконян С.О., Адзиян Г.В. К одному способу решения го-лономных задач при автоматизации проектирования систем // 2 Республиканская научно-техническая конференция "Современные системы автоматического управления и их элементная база": Тез. докл. - Ереван, 1986. - С. 34.

3. Сиконян С.О., Ддамян Г.В. К некоторым вопросам автоматизации проектирования систеи управления с использованием Т-преобразования // 3 Взсцубликанская научно-техническая

конференция "Новые доспггеппя в области пргйорострсешш": Тез. дом. - Ереван, 1S37. - С. 5.

4. Спглонян G.O., Адаглян Г.В., Чплингарян М.Г. К построена ушпзэрсальных вычпслггголышх структур доя рзсзштя задач математического праграгглированют // 2 Всосозэзяая конференция по актуальны:,! проблемам иЕфорг.татпнл и вычислительной тохшго! "Инфорглатшса-87": Тез. докл. - Ерзвзп, 1987. - С. 158-159.

5. Склоняй G.O., Адамян Г.В., Чилингарян М.Г. Коглбкнирован-ний глотод рзпетш систем коночных урзвнешй. - Ереван, 1980, -Бс.- доп. в АргйСЗШШ, £ 73 - Ар 88.

6. Разработка алгоритмов и реализация программ решения енотом конечных неравенств и задач математического программирования на основ© фрагментов фкшщия-граднзнт. (Отчет), EpIUÎî Руководитель теш Скглонян С.О. Кнв. № 02870049802.

- Ерзван, 1SS3. - 88 с.

?. Разработка моделей и малинное моделирование задач систем управления: Разработка кодагэз и машинное кодэлировашэ дапагличзекпх зкстрзмалыых задач. (Отчет), Часть 1=ЕрШ'5 Руксеодхголь теглы Сгслонян С. 0. Кзв n¿8SGG5'¿34o.

- Ереван, 1939. - 49 с.

8. Склонял G.O., Адаглян Г.В. Сб одггем подгодз к роташлз ди-нагллчзсклх экстремальных задач на основа дпф^зрзнцлаль-ны2 прзоиразезалп^ // Республиканская пяучтто-тахтгчзская конфзрзнцкя "ПрлЗорЫ и спстсглы управлзжш"-- Тез. доги. -Ереван, 1SS3. - С. 15-16.

Э. Снглонян С.0.,Адаглян Г.В. О регулярных алгоритмах рэсэния систем конечных уравнения, основанных на одггсглзряых дглф— ферзнщлальных преобразованиях //Электронное моделирование.- 1SS9. - т. 11. - Ks 5. - С. 8-14.

10. Грзздрв Г.II., Слглонлн С.О., Адгглян Г.В., Чплппгарян Н.Г. к по строе ист некоторых алгоргптлов регэния одного класса задач патоглатпчрского программирования //Элзхпрошюэ но-делпроваппз.- 1SS0. - т. 12. - С 4. - С. 16-20.

11. Адзмян Г. В., Склонял С.О. К построении одетого алгоритма оптимального управления голонокными системами па осесеэ дифференциальных преобразований: Меявузовский сборник трудов. - Ереван, 1990. - 76 с.