автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование методом Годунова передачи наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях

7Г

Трофимов Сергей Николаевич

Математическое моделирование методом Годунова передачи наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Я 6 СЕ И 2010

Томск 2010

004608046

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете на кафедре ЮНЕСКО по Новым Информационным Технологиям

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Афанасьев Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бубенчиков Алексей Михайлович

доктор технических наук, профессор Кашкин Валентин Борисович

Ведущая организация: Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники, г. Томск

Защита состоится 23 сентября 2010 г. в 12.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 102.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 10 августа 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность

Основной тенденцией развития высокоскоростной радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) является повышение скорости обработки информации. С повышением быстродействия РЭА преобладающими становятся проблемы, связанные с переходом в наносекундиый диапазон работы устройств и обусловленные возникновением помех в межсоединениях, из-за эффекта отражения в результате несогласованных нагрузок и неоднородностей, перекрестных паводок между линиями, искажений формы сигнала и паводок от внешних электромагнитных полей, которые являются наиболее значимыми в большинстве приложений.

Теоретическим основам и вычислительным моделям расчета помех отражения и перекрестных наводок посвящено большое количество работ. Среди зарубежных исследователей можно выделить работы 1980-90х годов под руководством: O.A. Palusinski (1989), R. Mittra (1989), К. Tripathi

(1992), F.-Y. Chang (1980,1992), A. R. Djordjevic (1987,1989), R. F. Harrington (1987, 1989), Т. K. Sarkar (1986, 1987), F. M. Tesche (1997), С. R. Paul (1994) и современные работы F. Cañavero (1998, 1999), S. Grivet-Talocia (1998, 2000), R. Archar (2000, 2006), M. Nakhla(2000, 2001). Среди отечественных ученых можно выделить работы A. JI. Фельдштейна (1971, 1980), С. К. Савина (1969,1973), Л. Н. Кечиева (1989, 2000), С. Ф. Чермошенцева (2000, 2006), Н. Д. Малютина (1990), И. Н. Салия (2006), Т. Р. Газизова (2003).

При этом основной массив публикаций по тематике диссертационного исследования можно разделить па два направления: задачи с параллельной конфигурацией проводников и задачи с частотно-зависимыми параметрами проводников. В большинстве работ координатная зависимость параметров линии, как правило, не учитывается или рассматривается простая конфигурация, тем не менее, в реальных схемах нерегулярные линии встречаются достаточно часто. Замена нерегулярной линии передач каскадным соединением однородных линий с различными, но постоянными в пределах каждого сегмента, волновыми сопротивлениями для дальнейшего численного анализа представлено в работах как зарубежных авторов (C.-W. Hsue (1989, 1992), S.C. Burkhart (1990), J.-F. Мао (1992, 1994), Z.-F. Li (1996), E. Schutt-Aine

(1993)), так и отечественных (И. Н. Салий, Т. Р. Газизов).

Расчет нерегулярных связанных линий сопряжен с громоздкими выкладками, что затрудняет решение практических задач, особенно если параметры изменяются по произвольному закону, а поведение оконечных устройств, вольтамперные характеристики (DAX) которых имеют довольно сложный вид, не может быть описано стандартными аналитическими функциями. Для элементов, у которых ВАХ нелинейная, графическая зависимость

тока от напряжения обычно известна из справочника или эксперимента. Поэтому при расчете электрических цепей с заданными нелинейными характеристиками элементов возникает задача приближенного воспроизведения этих характеристик. Одним из способов аппроксимации ВАХ, заданных таблично, является использование сплайнов. В ряде случаев поведение интерполяционных сплайнов не согласуется с качественными характеристиками исходных данных (появляются нежелательные изгибы или всплески). Данный недостаток устраняется в обобщенных кубических сплайнах - сплайнах с натяжением и их модификациях (гиперболические, экспоненциальные, рациональные и др.). Для аппроксимации вольтамперных характеристик нелинейных элементов в данной работе используется экспоненциальный сплайн с натяжением, описанные в работах Дж. Маккартина (1984,1990) и К. де Бора (1985).

Разработанные в настоящее время модели широко используются как для инженерного анализа, так и в специализированных пакетах различных фирм разработчиков. Однако результаты воздействия на структуры комбинированного типа, содержащих нерегулярные связанные линии передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты и нелинейными нагружающими элементами исследованы недостаточно полно, что, не позволяет на этапе проектирования проводить эффективную оценку искажений сигналов в таких линиях, чтобы принять меры для их уменьшения.

Цель работы - разработка метода расчета перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Модифицировать метод Годунова для расчета перекрестных наводок и помех отражения с учетом неоднородности межсоединений и нелинейности нагружающих элементов, в силу особенностей задания граничных условий, отличающихся от граничных условий задач газовой динамики.

2. Построить на основе экспоненциального сплайна алгоритм аппроксимации параметров нерегулярных связанных линий и вольтамперных характеристик нелинейных нагружающих элементов, с итерационным подбором параметра натяжения участков кривых, заданных таблично.

3. Реализовать программный комплекс для расчета перекрестных наводок и помех отражения с учетом неоднородности межсоединений и нелинейности нагружающих элементов в наносекуццном диапазоне.

4. Выполнить тестовые расчеты для сравнения полученных результатов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

5. Провести расчеты перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

Научная новизна работы:

1. Впервые на основе метода Годунова предложен алгоритм, позволяющий проводить расчеты во временной области в нерегулярных связанных линиях передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты и с нелинейными нагружающими элементами, для проведения оценки возникающих помех и принятия мер для их уменьшения.

2. Впервые предложен итерационный алгоритм восстановления параметров нерегулярных связанных линий и нелинейных вольтамперных характеристик нагружающих элементов, использующий экспоненциальный сплайн с натяжением, что позволяет проводить исследование в нерегулярных связанных линиях передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты, и повысить точность восстановления вольт-амперных характеристик нелинейных нагружающих элементов.

3. Реализован программный комплекс, основанный на предложенных алгоритмах. Выполнены тестовые расчеты, совпадающие с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов. Проведены расчеты перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

На защиту выносятся:

1. Созданный на основе метода Годунова алгоритм, позволяющий проводить расчеты во временной области в нерегулярных связанных линиях передачи, с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты, с нелинейными нагружающими элементами.

2. Созданный на основе экспоненциального сплайна с натяжением итерационный алгоритм восстановления параметров нерегулярных связанных лииий.

3. Комплекс программ для численного решения во временной области задачи распространения наносекундного импульса в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагружающими элементами.

Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предложенный подход для расчета перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками, основанный на методе Годунова и экспоненциальном сплайне с натяжением, дает новые возможности в

»

применении моделирования к решению задач электромагнитной совместимости узлов радиоэлектронных устройств.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предложенный на основе метода Годунова алгоритм позволяет проводить анализ помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярных связанных линиях передачи с учетом нелинейных нагрузок и многократных отражений сигнала, получать значения тока и напряжения на каждом временном слое на всем протяжении линии, что выгодно отличает его от известных подходов. Разработанный алгоритм реализойш в виде программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования представлялись на следующих конференциях: III Всероссийской научно - практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2004); Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005); Всероссийской научно-практической конференции «Недра Кузбасса. Инновации» (Кемерово, 2006); VI Международной научно-практической конференции «Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии» (Кемерово, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); VII Всероссийской научно-практической конференции "Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии" (Кемерово, 2008), Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия^УСУР (Томск, 2008), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники» (Красноярск, 2$)9), XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-15, Кемерово - Томск, 2009), а также объединенном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика Ю. И. Шокина, профессора В. М. Ковени (Новосибирск, октябрь 2008) и научндм семинаре «Информационные технологии и математическое моделирование» под руководством профессора К. Е. Афанасьева (Кемерово, 2004 - 2010).

Методика, предложенная в диссертационном 'исследовании, использовалась при выполнении проекта № 4828 «Разработка и апробирование математических и информационных моделей, используемых при построении ин-фо-коммуникационной образовательной среды вуза» (2005 год) по ведомст-

венной научной программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы» для вычисления параметров компьютерной сети (ВНТИЦ (Всероссийский научно-технический информационный центр), Регистрационная карта 01200.0 503295, раздел 3,4).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации.

Личный вклад. Все результаты работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

Структура н объём работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 128 страниц машинописного текста, библиографический список состоит из 142 литературных источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение ^освящено обзору методов вычисления помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагружающими элементами.

В первой главе описываются физическая и математическая постановки задачи исследования, кратко описывается метод Годунова и рассматриваются способы повышения порядка точности метода Годунова с помощью построения ТУТ)-схем.

В первом параграфе описываются физическая и математическая постановки задачи.

Физическая постановка задачи

При движении волны в многопроводной линии возникают взаимные влияния между линиями, обусловленные воздействием электромагнитного поля, создаваемого влияющей линией на другие линии. Связанность многопроводных линий передачи обусловлена размещением их в пространстве таким образом, что электромагнитные поля, переносимые этими линиями, в той или иной мере взаимно пересекаются. Из-за этого в линиях передачи возникают перекрестные наводки, искажения формы сигнала и пр.

В диссертационной работе анализ многопроводных линий передачи проводится во временной области решением телеграфных уравнений.

о

Математическая постановка задачи

Рассмотрим линию передачи, состоящую в общей сложности из N +1 проводников. Предположим, что N проводников являются сигнальными, а проводник с номером Л' +1 представляет собой земляной (опорный) проводник. Также предположим, что земля имеет нулевой потенциал и линия по длине однородна. Обозначим через ик(х^)~ напряжение между к-и сигнальным проводником и землей на расстоянии х от генераторного конца в момент времени г, через г - ток, протекающий по к -му проводнику на расстоянии х от генераторного конца в момент времени г. Пусть ось х направлена вдоль линии, причем точка х = 0 соответствует положению генератора, а х = I - положению нагрузки. Тогда, согласно теории цепей, напряжения и токи линии передачи при распространении поперечной электромагнитной волны (ТЕМ-волны), образованной протекающим в проводнике током, связаны телеграфными уравнениями:

дх ы > (1)

-—¡(х,0 = С-и(*,0 + С-—ц(*,0

дх Э/

где матрицы N х N параметров: И - сопротивлений, Ь - индуктивностей, в - проводимостей и С - емкостей.

Решение телеграфных уравнений определяется как свойствами проводника, так и начальными и граничными условиями на его концах. Граничные условия для системы (1) имеют вид:

и(0,/) = Е,(0-И, ><1(0,0, и(/,0 = Е|(0 + К.*1(/,0, (2)

где Е0(0 и Е,(0 - векторы напряжений холостого хода соответственно генераторной и нагружающей цепей, К - матрица сопротивлений генераторной цепи, Кп - матрица сопротивлений нагружающей цепи.

Полагаем, что в начальный момент в линии отсутствуют напряжение и токи. Начальные условия в этом случае записываются в виде:

и(х,0) = 0, ¡(х,0) = 0, хе(0,/). (3)

В любой момент времени напряжение и ток в линии можно рассматривать как сумму напряжений и токов двух волн - падающей (и*, Г), перемещающейся от источника энергии к приемнику, и отраженной, перемещающейся от приемника к источнику (иГ). Суммарное напряжение (ток) в линии представляет собой сумму всех падающих и отраженных волн. Волна, дошедшая до конца линии, отражается с определенным коэффициентом отражения, зависящим от волнового сопротивления линии и конечной нагруз-

ки. Таким образом, значение напряжения и силы тока в начале линии складывается из падающей волны, движущейся от генератора, и отраженной от начала линии обратной волны. В конце линии, при отсутствии генератора, значение напряжения и силы тока определяется падающей волной и коэффициентом отражения от конечной нагрузки. Соответственно граничные условия (2) могут быть переписаны в следующем виде:

7 — £ — £

и, (о,о=£—4_+кгит, ц(/,о=а-«;, ——--«л а; = 0 =■К

(4)

где и, и (', - напряжение и сила тока в -м проводнике, -коэффициент отражения обратной волны от источника энергии в / -м проводнике, Е, - напряжение на источнике энергии, — сопротивление источника энергии, О, - коэффициент отражения прямой волны от оконечной нагрузки в г'-м проводнике, Ип — сопротивление оконечной нагрузки, 2- волновое сопротивление (' -го проводника.

Во втором параграфе описывается метод Годунова, его модификация, рассматриваются способы повышения точности решения гиперболических уравнений с областями разрыва решений. Исследуется сходимость и устойчивость разностной схемы.

Поскольку переходные процессы в проводных структурах описываются системой гиперболических уравнений, то для анализа временного отклика в несогласованной линии может быть использован метод Годунова, хорошо зарекомендовавший себя на большом классе задач газовой динамики, теории мелкой воды и др. В основе метода лежит идея использования точных решений уравнений с кусочно-постоянными начальными данными для построения разностной схемы. Для многопроводной линии систему (1) можно записать в виде:

Я я

А—и + В—и = Ри, (5)

81 8х К '

где А и В - матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, и-вектор-столбец напряжений и токов.

Поскольку А и В - симметрические матрицы, причем матрица А- положительно определенная, то систему (5) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М:

—У + М —У = РУ,

81 дх

где вектор-функция У имеет вид V = Л'1 и.

Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компонент у(м):

Показано, что схема устойчива при выполнении условия Куранта и аппроксимирует систему (1) с первым порядком точности.

Решение задачи при анализе помех отражения и перекрестных наводок может иметь разрыв, так как происходит переход из одного состояния линии в другое.

Приводится теорема Годунова о том, что в рамках линейных разностных схем сохранение методом свойства монотонности в областях больших перепадов значений и представление высокого порядка точности в местах гладкого решения одновременно удовлетворены быть не могут. Проводится обзор основных групп методов, решающих данную проблему: методы с выделением разрыва, методы с выделением плавающих разрывов, методы сквозного счета. Описываются различные подходы к повышению порядка точности по времени и по пространству, которые включают применение решения обобщенной задачи Римана и методов реконструкции величин на гранях вычислительных ячеек по усредненным значениям в их центрах (ТУО-схемы). Делается вывод о возможности построения ТУБ-схемы на основе метода Годунова для решения поставленной задачи.

Третий параграф посвящен построению ТУБ-схемы метода Годунова.

При построении численных методов типа Годунова повышенного порядка точности по пространству применяются кусочно-линейные или кусочно-полиномиальные распределения функций внутри дискретной ячейки с определенными ограничениями на величины коэффициентов соответствующих полиномов. ТУБ-схемы вместо условия сохранения монотонности уменьшают или сохраняют полную вариацию функции.

Построение ТУБ-схемы осуществляется путем сочетания использования кусочно-линейной аппроксимации величин внутри ячеек с двухшаговым алгоритмом пересчета по времени: предиктор-корректор.

Предиктор: первый шаг. Предполагается, что внутри дискретных ячеек для всех значений сеточных функций заданы кусочно-линейные распределения вида:

где х1 — пространственная координата центра ячейки с номером _/', а а* — вектор наклонов распределения функции у'внутри ячейки.

Уравнение для учета изменения V по времени в центре ячейки имеет

вид:

At + Ах

Предиктор: второй шаг. Значение функции v на промежуточном слое по времени I + вычисляется по формуле:

Корректор. На данном шаге применяется схема

Vм-vk vj.y~vj-y г h

где все значения V , определяются решением задачи Римана с кусочно-

>*г

постоянными начальными данными: о

*+К I л к

Vj /2 + — Дхаj при ц < 0,

к*ХА 1 it Л

vj*i "2 J+1 При Ц>

Существует несколько способов вычисления наклонов ат в дискретной ячейке с номером т для сеточной функции V. Величины наклонов am модифицируются ограничителями которые являются некоторыми функциями, задающими и одновременно ограничивающими наклоны am на основе анализа значений ит или конечных разностей ит+1 - ит. Рассмотрены различные варианты реконструкции функции (монотонная, TVD-реконструкция, предельная) и проведено сравнение нескольких ограничителей, как широко известных (minmod, superbee, van Leer), так и представленных в последнее время.

В четвертом параграфе описывается построение аппроксимации параметров нерегулярных связанных линий и вольтамперных характеристик нелинейных нагружающих элементов с помощью экспоненциального сплайна с натяжением.

Интерполяционные сплайны с натяжением не содержат ложных точек перегиба, при определенном выборе значений свободных параметров.

Вид экспоненциального сплайна с натяжением определятся решением совокупности краевых задач на интервалах :

= О, т (*,) = /, т(х,.+1) = /+1, ) = т" т"(х,,) = т;+1,

ах ах

где х" и т"+1 выбраны так, чтобы т(х) 6 С2 [а, 6], р,- параметр натяжения. Решением является функция:

т(х) =

Л А2.

(*/+1 - Х)

f — '+1 ¿1+1 2 Рм.

(х-х,)

И,

1

р, зЬ(д/г,)

[т^Ьр,(хм -х) + вЬ р,(х-х,)]

В предельных случаях {р, -» 0, р, -» да) сплайн с натяжением вырождается в кубический сплайн или ломаную кривую.

Расчет проводится следующим образом:

1. Строится интерполяционная кривая, соответствующая р, = 0 для всех г, т. е. определяется кубический сплайн, играющий роль нулевого приближения.

2. Проверяется выполнение неравенств т" Ь,> 0 и если обнаруживаются ложные точки перегиба, то с помощью итераций обеспечивается

выполнение неравенств т" Ь, > О

Ъ,=

(/м-/) (/-/м)

Сравнение экспоненциального сплайна с натяжением и кубического сплайна представлено на рис. 1. Расстояние между кривыми для экспоненциального сплайна с натяжением составляет: рис. 1, а - 0,0015, б - 0,0016, а для кубического сплайна: рис. 1, а - 0,294, б - 0,206 (шаг ¡г = 0.2).

Объединяя модуль анализа многопроводных линий передачи с линейными нагрузками и модуль сплайн-аппроксимации, получаем программный комплекс, позволяющий анализировать нерегулярные связанные линии передачи с нелинейными нагрузками.

у

2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2

2,6" ,.■■■.,.-, ___1

2,4 г Г \ -2

1

х

а)

0,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 б; °'8° °'2 °'4 °>6 °'8 1

Рис. 1. Аппроксимация формысигналаа) треугольный импульс, б) трапециевидный импульс (1- кубический сплайн, 2 - сплайн с натяжением)

Вторая глава содержит описание вычислительного алгоритма расчета помех отражения и перекрестных наводок при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками сравнение с рядом тестовых задач.

В первом параграфе описывается построение граничных условий для многосегментной однородной линии и описание посредством её нерегулярной линии.

Нерегулярная линия передачи, у которой вдоль некоторой выбранной пространственной координаты х изменяются характерные размеры области поперечного (по отношению к оси Ох сечения или (и) диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей линию, представляется каскадным соединением однородных линий передачи с различными, но постоянными в пределах каждого сегмента, волновыми сопротивлениями. В результате получают многосегментную линию передачи, с собственными характеристиками каждого однородного сегмента. При анализе многосегментной линии разделение волн на прямые и обратные оказывается недостаточным. Волна, падающая на узел соединения двух линий, имеющих разные параметры, разделяется на две, одна из которых переходит из первой линии во вторую, а другая отражается от места соединения двух линий. Граничные условия и коэффициенты отражения и преломления определяются для каждого сегмента исходя из характеристик элементов в узлах и значений амплитуд волн, приходящих из соседних сегментов:

i / «ДО=2Х- К+к; ■ им, 1,(1,0=2Х •- Ц ■ и-+1

>/+1

где и, и - напряжение и сила тока в I -м сегменте, и]* и ¡¡- падающая волна в г -м сегменте, иГ и /Г - отраженная волна в г -м сегменте, К'- коэффициент

преломления для приходящей из (/-1)-го сегмента волны, К' - коэффициент отражения падающей волны от конца -го сегмента, К' - коэффициент отражения отраженной волны от начала г -го сегмента, К' - коэффициент преломления для приходящей из (г' + 1)-го сегмента волны. Критерием разбиения является выполнение условия Хт1п < /, (погонная длина электрически длинной линии не меньше минимальной длины волны в спектре сигнала).

Во втором параграфе описывается основной алгоритм расчета помех отражения и перекрестных наводок при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагружающими элементами.

В третьем параграфе приводится описание решения ряда тестовых задач расчета помех отражения и перекрестных наводок для различных конфигураций и параметров линий. Проводится сравнение с результатами аналитических расчетов, опубликованными результатами других авторов, экспериментальными данными, результатами расчетов САПР.

Пример 1. Рассмотрим нерегулярную линию передачи1.

Дано: Объект в виде нерегулярной линии передачи (АЯ-процессор) и эквивалентная 8-ми секционная линия передачи. Параметры линии: общая длина / = 210,65 мм, все секции одной длины. Нагрузка в начале и в конце линии 7^ = ^ = 50 Ом. Волновые сопротивления секций: 2Х - 57,98 Ом/м, = 102,7 Ом/м, = 156,32 Ом/м, г4= 66,27 Ом/м, = 18,02 Ом/м, 26 = 77,46 Ом/м, 2п = 46,62 Ом/м, 2% = 52,11 Ом/м. В линию подается импульс (рис. 2, а).

Требуется: Найти значения напряжения в конце эквивалентной многосегментной структуры, получить форму сигнала на приемнике и сравнить полученные результаты с авторскими.

Во время прохождения сигнала по линии, при переходе из одной секции в другую, он претерпевает изменения из-за несогласованности секций между собой (различные волновые сопротивления). Форма сигнала на приемнике (рис. 2, в), полученная в результате численного моделирования прохождения сигнала в 8-ми секционной линии передачи, с графической точностью совпадает с опубликованными результатами (рис. 2, б).

1 Pan T.-W., Hsue C.-W. Modified Transmission and Reflection Coefficients of Nonuniform Transmission Lines and Their Applications // IEEE Transactions on microwave theory and techniques. 1998. Vol. 46. № 12. P. 20922097. '

Рис. 2. Прохождение сигнала по линиии - форма сигнала на входе линии передачи; б -значение напряжения на концелинии передачи;« - значение напряжения наконце линии передачи (результат, полученный автором)

Пример 2. Сравнение с экспериментальными данными

Дано: Объект в виде двух последовательно соединенных линий передачи (рис. 3) и экспериментальные данные, полученные в лаборатории с помощью программного обеспечения «ИмпульсМ» для векторного измерителя характеристик цепей Р4-И-01.

Таблица 2

КЭлмг-

Е К1

Отрезок 1

—-ЛМ/

Отрезок 2 ^

Отрезок 1 Отрезок 2

£ 494,6 нГн/м 750 нГн/м

С 62,8 пФ/м 133 пФ/м

Л Л, =50 Ом, Й2 = ооОм

Рис. 3. Структура из двух последовательно соединенных отрезков

Первый отрезок - кабель РК-50-2-21 длиной 22 м, второй - кабель 1Ш-би длиной 5 м. В линию подается тестовый сигнал «Видеоимпульс» (амплитуда - 1 В, длительность - 0,1 мкс) и «Хэвисайда функция» (амплитуда -1 В). Линия разомкнута на конце (параметры линии представлены в табл. 2).

Требуется: Провести сравнение с полученными экспериментальными данными и оценить погрешность расчета.

На рис. 4 представлены результаты экспериментальных измерений напряжения в начале исследуемой структуры (пунктирная линия): рис. 4, а - на вход линии подается сигнал «Хэвисайда функция», рис. 4 б - на вход линии подается сигнал «Видеоимпульс». Сплошной линией на рис. 4 представлена форма напряжения в начале линии при подаче в линию сигнала «Хэвисайда функция» (рис. 4, а) и «Видеоимпульс» (рис. 4, б). Из рисунков видны хорошие совпадения форм сигнала и пиковых значений напряжений. Имеется качественное совпадение с экспериментальными данными, а небольшие отличия вызваны тем, что характеристики кабеля имеют допустимые отклонения (ГОСТ 11326.35-79, волновое сопротивление 50±4 Ом). Погрешность моделирования относительно эксперимента находится в диапазоне 3 % - 8 %.

и, в

и, в

1,8

0,6 0,4 0,2

0,8

0,6 0,2

Iе 0 '

а

0 2-10-74-10-76-10-78-10-71-10-6 б 0 2-10 74-10 7 6-10 7 8-10 7 МО

Рис. 4. Форма напряжения в начале линш^сплошная линия - результат численного моделирования, пунктирная - экспериментальныеданпые)

В третьей главе приводятся результаты численного расчета помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярные связанные линии передачи с нелинейными нагружающие элементами.

Рассматриваются задачи распространения наносекундных импульсов в структурах комбинированного типа, содержащих нерегулярные связанные линии передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты и нелинейными нагружающими элементами.

Прпмер.1. Нерегулярная линия передачи с затуханием с нелинейной нагрузкой

Дано: Объект в виде нерегулярной (экспоненциальной) линии передачи. Параметры линии: / = 1 м, ¿°=1Гн/м, С°=1 Ф/м. Индуктивность и емкость изменяются по следующему закону: 1(х) = Ь°е"х, С(х) = С[)е~ах, а = 1п 4. В линию подается колоколообразный импульс (рис. 5):

е = ехр , = 2с, А = 0.2с. В начале линии подключается нагрузка,

вольтамперная характеристика которой представлена на рис. 6. Коэффициент затухания сигнала а = 7 Дб.

На рис. 7 представлена форма напряжения в линии (рис. 7, а - в начале, рис. 7, б - в конце), при подаче в неё колоколообразного импульса При условии затухания сигнала, амплитуда сигнала при прохождении по линии значительно падает.

1 им 2 /.А

0,8 1,5 1

0,6 0,4 0,5 и. В

-1 -0,5 1 0 0,5 1

0,2 V 1, с

0 г 4 6 8 б -1,5 •

Рис. 5. Колоколообраный импульс Рис. 6. Вольтампернаяхарактерисшка

нагрузки

Требуется: Найти значения напряжения на выводах линии и оценить влияние способа аппроксимации нелинейности на перекрестные наводки и помехи отражения. и, В

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0

0,0012 0,0008 0,0004

и с

и, В

и с

24 6 8^ 02468 Рис. 7. Форма напряжения: а - в начале линии; б-в конце линии

Достоверность полученных результатов и корректность программной реализации следует из корректной математической постановки задачи, обоснованным методом решения, а также подтверждается сравнением с опубликованными результатами других авторов, экспериментальными данными и моделированием в САПР ряда тестовых примеров.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК:

1. Трофимов, С. Н. Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью экспоненциального сплайна с натяжением / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 19. - С. 68 - 74.

2. Трофимов, С. Н. Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13. — № 5. - С. 4 — 8.

3. Трофимов, С. Н. Анализ помех отражения в неоднородных многопроводных линиях передачи сигналов / К. Е. Афанасьев, С. Н. Трофимов // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15. - № 3. - С. 13 - 30.

В научных журналах:

4. Трофимов, С. Н. Анализ помех отражения в неоднородных многопровод-пых линиях передачи сигналов / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. II. Трофимов // Вестник ТГУ Управление, вычислительная техника и информатика». - 2009. - № 1 (6). - С. 14 - 25.

5. Трофимов, С. Н. Анализ помех отражения в неоднородных многопроводных линиях передачи / С. II. Трофимов // Вестник КемГУ. - 2009. - Т. 2. - С. 42-48.

В трудах конференций:

6. Трофимов, С. Н. Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Научная сессия ТУСУР-2006. Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр. - 2006. - С. 22 — 28.

7. Трофимов, С. Н. Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии: труды VI Всероссийской научно-практической конференции. - Кемерово: ИНТ. - 2007. - С. 275 - 280.

8. Трофимов, С. Н. Аппроксимация вольтамперных характеристик нагружающих цепей многосегментных линий экспоненциальным сплайном / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Информационные недра Кузбасса. 1Т технологии: сборник научных трудов. - Кемерово: ИНТ. - 2008. - С. 294 -299.

9. Трофимов, С. Н. Решение уравнений длинной линии методом С. К. Годунова / С. II. Трофимов // III Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004)». - Анжеро-Судженск, 2004. - С. 104 - 105.

10. Трофимов, С. Н. Анализ переходных процессов в линиях связи методом С. К. Годунова / С. Н. Трофимов // V Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. - Новокузнецк, 2005. -С. 12-13.

И.Трофимов, С. Н. Анализ переходных процессов в линиях связи / С. II. Трофимов // VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Кемерово, 2005,- С. 70-71.

12. Трофимов, С. Н. Анализ методов исследования линий передач / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2005)». - Анжеро-Судженск, 2005. - С. 104 - 106.

13. Трофимов, С. Н. Сравнение методов Годунова и Рунге-Кутты-Фельдберга при анализе холостого хода в двухпроводной линии / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // V Всероссийская научно-практическая конференция «Недра Кузбасса Инновации-2006». - Кемерово, 2006. - С. 106 - 109.

14. Трофимов, С. Н. Сравнение двух интерполяционных сплайнов при аппроксимации формы входных сигналов и вольтамперных характеристик / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУ СУР - 2008». - Томск, 2008. - С. 37 - 39.

15. Трофимов, С. Н. Анализ помех отражения в неоднородных многопроводных линиях передачи / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Сборник научных трудов Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники». -Красноярск, 2009.-С. 134- 137.

Редактор Л. М. Борискина

у

Подписано к печати 6.07.2010 г. Формат 60x84 '16.

Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25.

Тираж 100 экз. Заказ № 1094.

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».

650043, Кемерово, ул. Красная, 6.

Отпечатано па участке оперативной полиграфии КемГУ.

Введение

Общая характеристика работы.

Методы анализа нерегулярных линий передачи. Обзор.

Методы анализа нелинейных нагружающих элементов. Обзор.

Глава 1. Постановка задачи. Модификация метода Годунова. Аппроксимация параметров нерегулярных линий

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Метод Годунова для телеграфных уравнений.

§1.3. Разностная схема

§1.4. Устойчивость и аппроксимация разностной схемы

§1.5. Явная одномерная схема для системы уравнений.

§1.6. TVD-схема метода Годунова.

§1.7. Аппроксимация параметров нерегулярных связанных линий и вольт-амперных характеристик нелинейных элементов.

§1.8. Сплайн-аппроксимация.

§1.9. Кубический сплайн.

§1.10Экспоненциальный сплайн.

Глава 2. Алгоритм расчета помех отражения и перекрестных наводок при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузами

§2.1. Граничные условия для многосегментной линии передачи.

§2.2. Алгоритм расчета.

§2.3. Тестовые задачи.

§2.4. Аппроксимация вольт-амперных характеристик.

Глава 3. Расчет помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярные связанные линии передачи с нелинейными нагружающими элементами

Общая характеристика работы

Актуальность. Основной тенденцией развития высокоскоростной радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) является повышение скорости обработки информации. С повышением быстродействия РЭА преобладающими становятся проблемы, связанные с переходом в наносекундный диапазон работы устройств и обусловленные возникновением помех в межсоединениях, из-за эффекта отражения в результате несогласованных нагрузок и неоднородно-стей, перекрестных наводок между линиями, искажений формы сигнала и наводок от внешних электромагнитных полей, которые являются наиболее значимыми в большинстве приложений. Теоретическим основам и вычислительным моделям расчета помех отражения и перекрестных наводок посвящено большое количество работ. Среди зарубежных исследователей можно выделить работы 1980-90х годов под руководством: О.A. Palusinski [1,2], R.

Mittra [3-5], К. Tripathi [6,7], F.-Y. Chang [8], A.R. Djordjevic [9, 10], R.F. i

Harrington [10], Т.К. Sarkar [9,11], C. R. Paul [12] и современные работы F. Canavero [13], S. Grivet-Talocia [13,14] , R. Archar, M. Nakhla [48]. Среди отечественных ученых можно выделить работы АЛ. Фельдштейна [16,17], С.К. Савина [31], JI.H. Кечиева [49], С.Ф. Чермошенцева [51,52], Н.Д. Малютина [22], И.Н. Салия [19], Т.Р. Газизова [50].

Замена нерегулярной линии передач каскадным соединением однородных линий с различными, но постоянными в пределах каждого сегмента, волновыми сопротивлениями для дальнейшего численного анализа представлено в работах как зарубежных авторов (C.-W. Hsue [53], S.C. Burkhart [54], J.-F. Мао [55,57,58], Z.-F. Li [56] , E. Schutt-Aine [3,4,59], так и отечественных (И.Н. Салий [19], Т.Р. Газизов [50]). Расчет нерегулярных связанных линий сопряжен с громоздкими выкладками, что затрудняет решение практических задач, особенно если параметры изменяются по произвольному закону, а поведение оконечных устройств, вольт-амперные характеристики (ВАХ) которых имеют довольно сложный вид, не может быть описано стандартными аналитическими функциями. Для элементов, у которых ВАХ нелинейная, графическая зависимость тока от напряжения обычно известна из справочника или эксперимента. Поэтому при расчете электрических цепей с заданными нелинейными характеристиками элементов возникает задача приближенного воспроизведения этих характеристик. Наиболее широко распространены полиномиальная, кусочно-линейная аппроксимации, а также аппроксимация с помощью трансцендентных функций. Полиномиальная аппроксимация является наиболее удобным для объяснения принципа действия многих нелинейных устройств (модуляторов, детекторов, генераторов и пр.), находящихся под воздействием одного или нескольких гармонических колебаний (С.М. Гольдин [42], А.Г. Жаркой [38], Б.В. Деггерев [32] , В.А. Левин [33], Б.Е. Петров [34]). Однако полиномы являются настолько гладкими функциями, что оказываются невозможными локальные изменения аппроксимируемых ими кривых без внесения глобальных искажений. Кусочно-линейная аппроксимация широко используется при рассмотрении воздействия сигналов большой амплитуды. Однако, если амплитуда входного сигнала невелика, то наблюдается значительное различие в результатах расчета по действительной и аппроксимированной характеристикам. Одним из способов аппроксимации ВАХ, заданных таблично, является использование сплайнов. В ряде случаев поведение интерполяционных сплайнов не согласуется с качественными характеристиками исходных данных (появляются нежелательные изгибы или всплески). Данный недостаток устраняется в обобщенных кубических сплайнах - сплайнах с натяжением и их модификациях (гиперболические, экспоненциальные, рациональные и др.). Для аппроксимации вольт-амперных характеристик нелинейных элементов в данной работе используются экспоненциальные сплайны с натяжением, описанные в работах Дж. Маккартина [60] и К. де Бора [61], поскольку они хорошо зарекомендовали себя на подобных задачах. Разработанные в настоящее время модели широко используются как для инженерного анализа, так и в специализированных пакетах различных фирм разработчиков. Однако результаты воздействия на структуры комбинированного типа, содержащих нерегулярные связанные линии передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты и нелинейными нагружающими элементами исследованы недостаточно полно, что не позволяет на этапе проектирования проводить эффективную оценку искажений сигналов в таких линиях, чтобы принять меры для их уменьшения.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка метода расчета перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Модифицировать метод Годунова для расчета перекрестных наводок и помех отражения с учетом неоднородности межсоединений и нелинейности нагружающих элементов, в силу особенностей задания граничных условий, отличающихся от граничных условий задач газовой динамики.

2. Построить на основе экспоненциального сплайна алгоритм аппроксимации параметров нерегулярных связанных линий и вольт-амперных характеристик нелинейных нагружающих элементов, с итерационным подбором параметра натяжения участков кривых, заданных таблично.

3. Реализовать программный комплекс для расчета в наносекундном диапазоне перекрестных наводок и помех отражения с учетом неоднородности межсоединений и нелинейности нагружающих элементов.

4. Выполнить тестовые расчеты для сравнения полученных результатов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

5. Провести расчеты перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

Методы выполнения работы. Для достижения указанной цели в работе использованы методы численного моделирования, математической физики, теории линий с распределенными параметрами, матричного анализа, сплайн-аппроксимации.

Научная новизна работы:

- Впервые на основе метода Годунова предложен алгоритм, позволяющий проводить расчеты во временной области в нерегулярных связанных линиях передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты и с нелинейными нагружающими элементами, для проведения оценки возникающих помех и принятия мер для их уменьшения.

- Впервые предложен итерационный алгоритм восстановления параметров нерегулярных связанных линий и нелинейных вольт-амперных характеристик нагружающих элементов, использующий экспоненциальный сплайн с натяжением, что позволяет проводить исследование в нерегулярных связанных линиях передачи с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты, и повысить точность восстановления вольт-амперных характеристик нелинейных нагружающих элементов.

- Реализован программный комплекс, основанный на предложенных алгоритмах. Выполнены тестовые расчеты, совпадающие с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов. Проведены расчеты перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками.

Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предложенный подход для расчета перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях с нелинейными нагрузками, основанный на методе Годунова и экспоненциальном сплайне с натяжением, дает новые возможности моделирования задач электромагнитной совместимости узлов радиоэлектронных устройств.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предложенный на основе метода Годунова алгоритм позволяет проводить анализ помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярных связанных линиях передачи с учетом нелинейных нагрузок и многократных отражений сигнала, получать значения тока и напряжения на каждом временном слое на всем протяжении линии, что выгодно отличает его от известных подходов. Разработанный алгоритм реализован в виде программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента.

Предмет защиты и личный вклад автора

На защиту выносятся:

- Созданный на основе метода Годунова алгоритм, позволяющий проводить расчеты во временной области в нерегулярных связанных линиях передачи, с произвольной зависимостью параметров от продольной координаты, с нелинейными нагружающими элементами.

- Созданный на основе экспоненциального сплайна с натяжением итерационный алгоритм восстановления параметров нерегулярных связанных линий.

- Комплекс программ для численного решения во временной области задачи распространения наносекундного импульса в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагружающими элементами.

Все результаты работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования представлялись на следующих конференциях: III Всероссийской научно - практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005); Всероссийской научно-практической конференции "Недра Кузбасса. Инновации" (Кемерово, 2006); VI Международной научно-практической конференции "Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии" (Кемерово, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); VII Всероссийской научно-практической конференции "Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии" (Кемерово, 2008), Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Научная сессия ТУСУР" (Томск, 2008), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов "Современные проблемы радиоэлектроники" (Красноярск, 2009), XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-15, Кемерово - Томск, 2009), а также объединенном семинаре ИВТ СО РАН "Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)" под руководством академика Шокина Ю.И., профессора Ковени В.М. (Новосибирск, октябрь 2008) и научном семинаре "Информационные технологии и математическое моделирование" под руководством профессора Афанасьева К.Е. (Кемерово, 2004-2010). Методика, предложенная в диссертационном исследовании, использовалась при выполнении проекта № 4828 "Разработка и апробирование математических и информационных моделей, используемых при построении инфо-коммуникационной образовательной среды вуза" (2005 год) по ведомственной научной программе Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" для вычисления параметров компьютерной сети (ВНТИЦ (Всероссийский научно-технический информационный центр), Регистрационная карта 01200.0 503295, раздел 3,4).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Работа содержит 128 страниц текста, список использованных источников из 142 наименований и приложение на 1 странице.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

1. В ходе обзора литературы были рассмотрены и проанализированы различные структуры многопроводных линий связи. Выявлено, что анализ распространения наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях передачи со сложными нелинейными нагрузками является новой, актуальной и практически значимой задачей.

2. Обзор существующих методов показал, что для создания математической модели выбранного объекта наиболее близким является метод Годунова, разработанный для задач газовой динамики. Однако, чтобы учесть многократные отражения от несогласованных нагрузок, для данного метода необходимо применить не характерные для газовой динамики граничные условия. Поскольку ВАХ нагрузки и параметры линии могут иметь табличное задание, необходимо решить задачу аппроксимации параметров линии и ВАХ нагрузки. Для расчета распространения сигналов с наносекундным временем возрастания и спада была построена TVD-схема метода Годунова, позволяющая устранить проблему нефизичных осцилляций вблизи границы и получать более качественные численные решения. В результате разработан метод расчета перекрестных наводок и помех отражения при передаче наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях передачи.

3. Разработан алгоритм и создан программный комплекс на языке Fortran для проведения численных экспериментов по расчету перекрестных наводок и помех отражения в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагрузками.

4. Продемонстрировано влияние качества аппроксимации нелинейной характеристики нагружающего элемента и параметров линии на получаемые результаты. Показано, что ошибка может достигать 87% и больше. Для экспоненциального сплайна это значение составляет не более

5%. В результате проведенных тестовых расчетов сделан вывод о достоверности аппроксимаций экспоненциальным сплайном с натяжением и работоспособности разработанного программного комплекса в целом.

5. По итогам сравнительных экспериментов показано совпадение результатов численного моделирования с расчетами других авторов и экспериментальными данными. Погрешность моделирования относительно эксперимента находится в диапазоне 2% - 7%.

6. На основании полученных результатов сделан вывод о работоспособности алгоритма и возможности его применения в задачах расчета помех отражения и перекрестных наводок при передачи наносекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях передачи. Также были проведены расчеты перекрестных наводок и помех отражения при передачи пикосекундных импульсов в нерегулярных связанных линиях передачи.

7. Сформулированы требования и рекомендации к области применения разработанного программного комплекса. Эти требования накладывают ограничения на выбор матриц параметров и оконечных нагрузок при анализе помех отражения и перекрестных наводок в нерегулярных связанных линиях передачи с нелинейными нагрузками.

1. SZIDAROVSZKY F. Clarification of a Decoupling Method for Multiconductor Transmission Lines / F. Szidarovszky, O. A. Palusinski // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1999. - Vol. 47. - No. 5. - P. 648-649.

2. Schutt-Aine J.E. Nonlinear transient .analysis of coupled transmission lines / J.E. Schutt-Aine, R. Mittra // IEEE Transaction Circuits and Systems. -1989. Vol. 36. - No. 7. - P. 959-967.

3. Schutt-Aine J.E. Scattering Parameter Transient Analysis of Transmission Lines Loaded with Nonlinear Terminations / J.E. Schutt-Aine, R. Mittra // IEEE Transaction microwave theoiy and techniques. 1988. - Vol. 36. - No. 3. - P. 529-536.

4. Blazeck T. S. Transient analysis of lossy multiconductor transmission lines in nonlinear circuits / T. S. Blazeck, R. Mittra // IEEE Transaction on components, hybrids and manufacturing technology. 1991. - Vol. 14. - No 3. - P. 618-627.

5. DJORDJEVIC A.R. Analysis of time response of lossy multiconductor transmission line network / A.R. Djordjevic, Т.К. Sarkar // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1987. - Vol. 35. - No. 10. - P. 898-908.

6. Джорджевич A.P., Саркар Т.К., Харрингтон Р.Ф. Временные характеристики многопроводных линий передачи // ТИИЭР. 1987. Т.75. №6. С.7-29.

7. Grivet-Talocia S., Canavero F. Weak solution of the nonuniform multiconductor transmission lines // IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility. 1998. Vol. 2. P.964-968. •

8. Grivet-Talocia S. Transient Analysis of Lossy Transmission Lines: An Efficient Approach Based on the Method of Characteristics / S. Grivet-Talocia, H.-M. Huang, etc. // IEEE Transactions on advanced packaging.- 2004. Vol. 27. - No. 1. - P. 45-56.

9. Оптимальный синтез устройств СВЧ с Т-волнами/ Под ред В.П. Меща-нова // М. Радио и связь, 1984. 286 с.

10. ФельдштеЙН А.Л., Явич JI.P. Синтез четырехполюсников и восьмиполюсников // М. Сов. Радио, 1972. 196 с.

11. Мещанов В.П., ФельдштеЙН A.JI. Автоматизированное проектирование направленных ответвителей СВЧ // М. Связь, 1980. 144 с.

12. Салий И.Н., хованова Н.А. Многопроводные канонические линии и их применение в сверхвысокочастотной технике // Радиотехника и электроника, 1998. Т.43, №3. - С. 309-312.

13. Козловский В.В., Сошников В.И. Устройства на неоднородных линиях. -К. Техшка, 1987. 191 с.

14. Воронин М.Я. Нрегулярных линий передачи на СВЧ:теория и применение, ч. 1, 2. НГТУ, 1994. - 290 с.

15. МАЛЮТИН Н.Д. Многосвязные полосковые структуры и устройства на их основе. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. 164 с.

16. Khalaj-Amirhosseini М. Analysis of coupled or single nonuniform transmission lines using Taylor's series expansion //Progress In Electromagnetics Research, PIER 60, 2006. P. 107-117.

17. Khalaj-Amirhosseini M. Analysis of coupled or single nonuniform transmission lines using step-by-step numerical integration// Progress in Electromagnetics Research, PIER 58, 2006. P. 187-198.

18. Салий И.Н, салий А., Перельмутер Г.И. Новые решения для матричных параметров нерегулярной линии передачи // Радиотехника и электроника. 1985.- Т.З, №8.- 1505-1512.

19. Салий И.Н, Салий А., Фелъдштейн A.JI. Взаимная связь элементов волновыхматриц неоднородных лиршй передачи // Радиотехника и электроника. 1983. - Т. 28, №4. - С. 797-799.

20. ФЕЛЪДШТЕЙН A.JI. Связанные неоднородные линии. Радиотехника.-1961. Т. 16,№5. - С. 7-14.

21. САВИН С.К. К вопросу аппроксимации функций, заданных графически / С.К. Савин // Радиотехника. 1974. - № 2. - С. 82-84.

22. Савин С.К Об аппроксимации нелинейных характеристик // Радиотехника. 1971.-№3.-С. 89-90.

23. Cabiih С.К Аппроксимация характеристик нелинейных элементов по методу средних / С.К. Савин // Радиотехника. 1973. - № 4. - С. 9598.

24. Бобков A.M. Аппроксимация характеристик нелинейного безинерцион-ного элемента / A.M. Бобков, Н.Н. Яковлев // Радиотехника. 1986. - № 5. - С. 25-26.

25. Кочанов Н.С. Об аппроксимации заданных временных функций с помощью экспоненциальных полиномов / Н.С. Кочанов // Радиотехника. -1965. № 5. - С. 10-19.

26. Гольдин С.М. Аппроксимация характеристик четырехполюсников с комплексной нелинейностью / С.М. Гольдин, Г.Н. Морозова // Радиотехника. 1973. - № 6. - С. 40-47.

27. ШКВИРЯ В.И. Аппроксимация амплитудной характеристики детектора на операционном усилителе / В.И. Шквиря, А.А. Письменецкий // Радиотехника. 1976. - № 8. - С. 91-93.

28. Щуров М.И. Аппроксимация вольт-амперной характеристики полупроводникового диода трансцендентной функцией // Радиотехника.- 1976. -№ 8. С. 90-91.

29. Дегтерев Б.В. Критерий для определения порядка полинома, аппроксимирующего амплитудную характеристику / Б.В. Дегтерев, М.М, Панчен-ко // Радиотехника. 1987. - № 9. - С. 26-27.

30. Волков И.С. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов рядом Эджворта / И.С. Волков, Н.Д. Соловьев // Радиотехника. 1971. - № 12. - С. 59-64.

31. Синицкий JI.A. О рациональной аппроксимации характеристик полупроводниковых диодов / JI.A. Синицкий, Ю.М. Шумков // Радиотехника. 1960. - № 12. - С. 35-42.

32. Aciiar R., nakhla M.S. Simulation of high-speed interconnects // Proceedings of the IEEE. 2001. Vol.89. No. 5. P. 693 728.

33. Князев А.Д., Кечиев Л.Н., Петров Б.В. Конструирование радиоэлектронной и электронно-вычислительной аппаратуры с учетом электромагнитной совместимости. М.: Радио и связь, 1989. 224 с.

34. Газизов Т.Р. Уменьшение искажений электрических сигналов в межсоединениях / Под ред. Н.Д. Малютина. Томск: Изд-во НТЛ, 2003. 212 с.

35. PAN T.-W., hsue C.-W. Modified Transmission and Reflection Coefficients of Nonuniform Transmission Lines and Their Applications // IEEE Transactions on microwave theory and techniques. 1998. Vol. 46. No. 12. P. 2092-2097.

36. BURKHART C., WILCOX R. Arbitrary Pulse Shape Synthesis via Nonuniform Transmission Lines// IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 1990. VOL. 38, №10. - P. 1514-1518.

37. Xu Q. Time-Domain Modeling of High-Speed Interconnects by Modified Method of Characteristics / Q. Xu, Z.-F. Li, P. Mazumder, J.-F. Mao // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2000. - Vol. 48. - No. 2. - P. 323-327.

38. Mao J.-F. Analysis of time response of nonuniformly coupled multiconductor transmission lines with frequency-dependent losses / J.-F. Mao, Z.-F. Li // Electronics Letters 10th October. 1991. - Vol. 27. - No. 21. - P. 1941-1943.

39. Mao J.-F. Fast Simulation and Sensitivity Analysis of Lossy Transmission Lines by the Method of Characteristics / J.-F. Mao, E. S. Kuh // IEEE

40. Transactions on circuits and systems-I: fundamental theory and applications. 1997. - Vol. 44. - No. 5. - P. 391-401.

41. Он K., Schutt-Aine J. E. Transient Analysis of Coupled, Tapered Transmission Lines with Arbitrary Nonlinear Terminations // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1993. VOL. 41, № 2. - P. 268-273.

42. Маккартни Б.Дж. Применение экспоненциальных сплайнов в вычислительной гидродинамике // Аэрокосмическая техника. 1984. Т.2. No 4 С. 13-20.

43. Де БОР К. Практическое руководство по сплайнам // М.:Радио и связь. -1985. 304 с.

44. THIEL W. On the modeling of highly nonlinear circuits using total-variation-decreasing finite-difference scheme / W. Thiek, W. Menzel // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2001. Vol. 49, № 9. - P. 1620-1624.

45. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Учебное пособие. Новосибирск, 1994. 100 с.

46. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. 4-е изд./ Демирчян К.С., Нейман Л. Р., КоровкштН.В., Чечурин В.Л. СПб.:Питер, 2006. 576 с.

47. Численное решение многомерных задач газовой динамики /Под ред. С.К. Годунова. М.:Наука, 1976. - 374 с.

48. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. т. 47 (89) № 3. - 1959. - с. 271-306.

49. ХОЛОДОВ А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. Т. 18,№ 6. - 1978. - С. 1476-1492.

50. MlANO G., MAFFUCCI A. Transmission lines and lumped circuits // New York: John Wiley & Sons. 2001. 479 P.

51. Paul C.R. A Brief History of Work in Transmission Lines for EMC Applications / C.R. Paul // IEEE Transactions on electromagnetic compability. 2007. Vol. 49. No. 2. P. 237-252.

52. Itoh T. Overview of Quasi-Planar Transmission Lines / T. Itoh // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1989. - Vol. 37. - No. 2. - P. 275-280.

53. СЕМЕНОВ А. Б. Структурированные кабельные системы // M.: Компьютер Пресс. 1999. - 482 с.

54. ЗЕВЕКЕ Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин // М Л.: гос. энергетич издат. - 1963. - 750 с.

55. Сычев А.Н. Управляемые СВЧ устройства на многомодовых полоско-вых структурах // Томск: Томский государственный университет. 2001. -318 с.

56. MlANO G. Transmission lines and lumped circuits / G. Miano, A. Maffucci // New York: John Wiley & Sons. 2001. - 479 P.

57. Chang F.-Y. The generalised method of characteristics for waveform relaxation anualysis of lossy coupled transmission lines / F.-Y. Chang // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1989. - Vol. 37. - No. 12. -P. 2028-2038.

58. Chang F.-Y. Transient Analysis of Lossless Coupled Transmission Lines in a Nonhomogeneous Dielectric Medium / F.-Y. Chang // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1970. - Vol. MTT-18. - No. 9. - P. 616626.

59. Antonini G. A New Methodology for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multiconductor Transmission Lines / G. Antonini // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2004. - Vol. 52. - No. 9. - P. 2227-2239.

60. Antonini G. A New Approach for Closed-Form Transient Analysis of Multiconductor Transmission Lines / G. Antonini // IEEE Transactions on electromagnetic compatibility. 2004. - Vol. 46. - No. 4. - P. 529-543.

61. Antonini G. Efficient Transient Analysis of Long Lossy Shielded Cables / G. Antonini, A. Orlandi // IEEE Transactions on electromagnetic compatibility. 2006. - Vol. 48. - No. 1. - P. 42-56.

62. Antonini G. A Dyadic Green's Function Based Method for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multiconductor Transmission Lines / G. Antonini // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2008. -Vol. 56. - No. 4. - P. 880-895.

63. YANG X. Efficient Computation of Double Series for the Planar Circuit Analysis via APA-E Algorithm / X. Yang, Z. Li // IEEE Microwave and guided wave letters. 2000. - Vol. 10. - No. 5. - P. 174-176.

64. DOUNAVIS A. Passive Closed-Form Transmission-Line Model for General-Purpose Circuit Simulators / A. Dounavis, X. Li, M.S. Nakhla, R. Achar // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1999. - Vol. 47. - No. 12. - P. 2450-2459.

65. DOUNAVIS A. Efficient Sensitivity Analysis of Lossy Multiconductor Transmission Lines With Nonlinear Terminations / A. Dounavis, R. Achar, etc. // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2001. - Vol. 49.- No. 12. P. 2292-2299.

66. Chinea A. A Passivity Enforcement Scheme for Delay-Based Transmission Line Macromodels / A. Chinea, S. Grivet-Talocia // IEEE Microwave ang wireless components letters. 2007. - Vol. 17. - No. 8,. - P. 562-564.

67. Lau F.C.M. Transient analysis of lossy coupled Transmission line in a lossy medium using the waveform relaxation method / F.C.M. Lau, E.M. Deeley // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1995. - Vol. 43. - No 3. - P. 692-697.

68. Lau F.C.M. Improvements in the Waveform Relaxation Method Applied to Transmission Lines / F.C.M. Lau, E.M. Deeley // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1995. - Vol. 43. - No 5. - P. 1201-1203.

69. Lau F.C.M. Speed Improvement in the Transient Analysis of Transmission Lines / F.C.M. Lau, M. Yip // Proceedings of EEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems '96, Seoul, Korea. 1996. - P. 85-88.

70. DOUNAVIS A. A General Class of Passive Macromodels for Lossy Multiconductor Transmission Lines / A. Dounavis, R. Achar, etc. // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2001. - Vol. 49. - No. 10. -P. 1686-1696.

71. Paul C.R. Decoupling the Multiconductor Transmission Line Equations / C.R. Paul // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1996. -Vol. 44. - NO. 8. - P. 1429-1440.

72. Djordjevic A.R. SPICE-Compatible Models for Multiconductor Transmission Lines in Laplace-Transform Domain / A.R. Djordjevic // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1997. - Vol. 45. - No. 5. - p. 569-579.

73. Gu Q. Analysis of transients in frequency-dependent interconnections and planar circuits with nonlinear loads / Q. Gu, D.M. Sheen, S.M. Ali // IEE Proceedings-H. 1992. - Vol. 139. - No. 1. - P. 38-44.

74. Chang F.-Y. Waveform relaxation analysis of nonuniform lossy transmission lines characterized with frequency-dependent parameters / F.-Y. Chang // IEEE Transaction circuit and systems. 1991. - Vol. CAS-38. - P. 1484-1500.

75. PAN G.W. Analysis of Nonlinear Termination Networks for Coupled Lossy and Dispersive Transmission Lines / G.W. Pan, G. Wang, B.K. Gilbert //

76. EE Transaction microwave theory and techniques. 1993. - Vol. 41. - No. 3. - P. 531-535.

77. Трофимов С.Н. Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях / Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Информационные недра Кузбасса. IT технологии: сборник научных трудов. Кемерово: ИНТ. - 2007. - С. 275-280.

78. Афанасьев К.Е. Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи / К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Вычислительные Технологии. 2008. - Т. 13. Спец. Выпуск 5. -С. 4- 8.

79. ЛЕВИНШТЕЙН М.Л.Операционное исчисление и его приложения к задачам электротехники // М.: Энергия. 1964. - 468 с.

80. КОНТОРОВИЧ М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях // М.: Советское радио. 1975. - 320 с.

81. Заболоцкий A.M. Временной отклик многопроводных линий передачи / A.M. Заболоцкий, Т.Р. Газизов // Томск: Томский государственный университет. 2007. - 152 с.

82. Афанасьев К.Е. Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью экспоненциального сплайна с натяжением / К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Вестник Томского государственного университета. 2006. - №19. - С.68-74.

83. Афанасьев К.Е. Анализ помех отражения в неоднородных многопроводных линиях передачи сигналов / К. Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Вестник ТГУ Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. - №1 (6). - С. 14-25.

84. Афанасьев К.Е. Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи К.Е. Афанасьев, С.Н. Трофимов // Вычислительные Технологии. 2010. - Т. 15, № 3. - С. 13-30.299.