автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование механического поведения сонной артерии при наличии патологии

На правах рукописи

ОСОРГИНА ЛЮДМИЛА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СОННОЙ АРТЕРИИ ПРИ НАЛИЧИИ ПАТОЛОГИИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук

9 ИЮН 2011

г. Пермь 2011 г.

4849048

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пермский государственный университет» (ИГУ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Аптуков Валерий Нагимович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Няшин Юрий Иванович

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

ст. научный сотрудник

Адамов Анатолий Арсангалеевич

ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет», Саратов

Защита диссертации состоится 21 июня 2011 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд.423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 20 мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Развитие методов и возможностей сердечно-сосудистой хирургии в настоящее время требует детального изучения механического поведения артерий человека в норме и при патологии.

Основные исследования по биомеханике кровеносных сосудов человека касаются вопросов гемодинамики. Вместе с тем, известно, что особенности механического поведения сосудистой стенки могут иметь значение для запуска начала процесса атеросклероза.

Прямое экспериментальное исследование пораженных сосудов весьма затруднительно. В связи с этим возникает необходимость совершенствования методов математического моделирования механического поведения артерий как пространственных объектов на основе уточненных моделей, основанных на экспериментальных данных.

Слабо изучены эффекты влияния стадии атеросклероза на параметры определяющих соотношений, в том числе - для сонных артерий. Отсутствуют оценки напряженно-деформированного состояния стенки сонной артерии при наличии геометрической извитости, атероматозной бляшки.

Объект н предмет исследования. Объектом исследования является сонная артерия человека, сложные пространственные патологии (геометрическая извитость в виде петли, артерия с атероматозной бляшкой, область разветвления артерий), механические свойства материала стенки артерии, влияние стадии атеросклероза на напряженно-деформированное состояние сосудов.

Целью работы является разработка математических моделей механического поведения сонной артерии, определение параметров этих моделей на основе экспериментальных данных, проведение вычислительных экспериментов для анализа напряженно-деформированного состояния артериальных сосудов при наличии патологии.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

Выполнить эксперименты на артериальных сосудах и провести статистическую обработку результатов.

Получить аналитическое решение для цилиндрического сегмента артерии, учитывающее физическую и геометрическую нелинейность на основе потенциала Джона, определить параметры потенциала для здоровых и склерозированных сосудов.

Численно исследовать различные нелинейные потенциалы в рамках двухслойной модели сосудистой стенки, найти потенциал, удовлетворительно описывающий свойства стенки сонной артерии, определить его параметры на основе экспериментальных данных.

Построить сложные пространственные модели различных патологий сонной артерии (геометрическая извитость в виде петли, артерия с атероматозной бляшкой, область разветвления артерий), провести численное исследование напряженно-деформированного состояния объектов, проанализировать особенности механического поведения, дать рекомендации для специалистов по сердечно-сосудистой хирургии.

Методы исследования. В работе использованы экспериментальные методы исследования, методы статистической обработки данных, аналитические методы нелинейной теории упругости. Для проведения численных исследований применен пакет прикладных программ ANS YS 11.0, реализующий метод конечных элементов в задачах механики сплошных сред.

Научная новизна. На основе экспериментальных данных и полученного аналитического решения определены параметры потенциала нелинейного сжимаемого материала Джона для сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза.

Предложена новая двухслойная модель стенки сонной артерии с потенциалом внутреннего слоя Arruda-Boyce, определены параметры модели.

Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния сонной артерии при наличии патологии: геометрическая извитость артерии (петля); артерия с атероматозной бляшкой; область разветвления артерий.

Обнаружено критическое значение относительного диаметра петли артерии, ниже которого резко увеличивается общая жесткость артерии и окружные напряжения на участках интимы.

Впервые отрицательные эффекты некоторых патологий интерпретированы с точки зрения напряженно-деформированного состояния сосудистой стенки.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации модели и найденные на основе экспериментальных данных параметры нелинейных потенциалов для здоровых и склерозированных артерий позволяют моделировать механическое поведение кровеносных сосудов при различных патологиях.

Обнаруженное критическое значение относительного диаметра петли и другие особенности напряженно-деформированного состояния артерий (области концентрации напряжений) являются одним из факторов при определении показаний к целесообразности хирургического вмешательства для некоторых сосудистых патологий.

Результаты исследований используются в практике работы Пермского института сердца (подтверждено актом об использовании), а также в учебном процессе на механико-математическом факультете ПГУ по направлениям подготовки «Математика. Прикладная математика», «Механика. Прикладная математика». Разработанная методика вычисления параметров нелинейного потенциала на основе экспериментальных данных реализована в виде компьютерной программы, зарегистрированной в ОФЭРиО.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке НОЦ ПГУ (рук. академик РАН Матвеенко В.П.) «Неравновесные переходы в сплошных средах» (2007-2009 годы).

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждена экспериментальными исследованиями; численными экспериментами по оценке сходимости алгоритмов; соответствием полученных расчетных результатов и данных эксперимента.

Апробация работы. Основные положения работы обсуждались на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-

технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.); Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в сопремениом университете» (Новороссийск, 2005 г.); Международной научно-методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 2006 f.); XVI Зимней школе но механике сплошных сред (Пермь, 2009 г.); Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы л математике н ее прикладные аспекты» (Пермь, 20)0 г.); Научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2010 г.).

Диссертация в целом обсуждалась па научном семинаре кафедры МССиВТ Пермского государственного университета (руководитель академик РАН, профессор Матвееико В.П., 2011); на научном семинаре кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета (руководитель д.т.н., профессор Няшни Ю.И., 2011); на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель, д.ф.-м.н., профессор Роговой A.A., 2011); на научном семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета (руководитель д.ф.-м.н., профессор Трусов П.В., 2011).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 16 печатных работах [1-16], из них две ([7], [15]) в журнале, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Компьютерная программа зарегистрирована в ОФЭРиО под номером 17045 (2011).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературных источников и приложения. Работа содержит 115 страниц, 40 рисунков, 9 таблиц. Библиографический список включает 99 источников.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, дано общее описание выполненной работы.

В нерпой главе представлен литературный обзор работ, посвященных экспериментальному изучению механического поведения артерий и методам математического моделирования. Основные исследования биомеханики кровеносных сосудов посвящены вопросам гемодинамики.

Математические модели механического поведения артерий рассматривались в работах различных авторов: A.C. Burton (линейная упругая модель), V.L. Streeter е.а. (уравнения Лапласа), S. Oka е.а. (толстостенный цилиндр), A.C. Вольмир и др., Y.C. Fung е.а., (двумерные оболочечиые модели), G.E. Green, R.N. Vaishnav е.а. (учет конечных деформаций), G.A. Holzapfel е.а. (структурные модели), и других. Отмстим обширную монографию по экспериментальным н теоретическим результатам изучения механического поведения сосудистой стенки Б.А. Пурина, В.А. Касьянова1.

J Пуриня СЛ.. Касышов H.A. Биомеханика круппич кровеносных сосудов человека. - Рига.: Зппатмс, WS0.-;60c.

Исследования по биомеханике кровеносных сосудов проводятся отечественными учеными в различных организациях: Институт механики МГУ, МГТУ им. Баумана, ИПФ РАН, Санкт-Петербургский государственный технический университет, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, Саратовский государственный университет, Южный федеральный университет и др.

Анализ феноменологических моделей позволяет заключить, что традиционно материал стенки артериального сосуда рассматривается в рамках подхода теории упругих оболочек, либо как нелинейно-упругий изотропный материал, испытывающий конечные деформации. Наиболее популярной моделью является нелинейный несжимаемый материал типа Муни-Ривлина, хорошо описывающий свойства резиноподобных материалов.

Существуют структурные модели (например, модель G.A. Holzapfel е.а.), которые основываются на гистологических данных о строении слоев сосудистой стенки, учитывают наличие спиралевидных мышечных волокон. Дашая модель является достаточно сложной, многопараметрической — аналогичной композиционному материалу с волокнистым наполнителем.

Широко применяется условие несжимаемости, которое оправдывается обычно недостатком экспериментальной информации, например, когда измеряется изменение внешнего диаметра и длины сегмента сосудистой стенки под действием внутреннего давления. При этом измените толщины сосудистой стенки является неизвестным. Использование бесконтактного метода на основе контрастной рентгенографии позволяет измерить три главных удлинения цилиндрического сегмента артерии и получить более полную деформационную картину.

В литературе практически отсутствуют данные о моделях, описывающих свойства склерозированных артерий. Многими авторами, в частности, J.D. Humphrey, отмечается, что механические факторы могут быть важными для запуска начала процесса атеросклероза. Например, в работе Б.А. Пурини и В.А. Касьянова1 указывается, что нелинейное распределение удельной энергии деформаций по толщине сосудистой стенки влияет на движение молекул липопротеина, вызывает выпрямление коллагеновых волокон, что ведет к возникновению атеросклероза.

В связи с этим, а также сложностью прямого экспериментального изучения пораженных сосудов актуальным является численное моделирование механического поведения сонной артерии при наличии патологии.

В конце главы сформулированы цели и задачи исследования.

Во второй главе описана методика проведенных совместно с сотрудниками Пермского института сердца экспериментов и результаты обработки полученных данных.

Экспериментальный материал (сонная артерия) взят при аутопсии у 9 лиц обоего пола в возрасте от 20 до 75 лет не позднее, чем через сутки после смерти. Наружная стенка артерии очищалась от паравазальных тканей. Исследования проводились при комнатной температуре на образцах, постоянно увлажняемых раствором Рингер-Локка. Измерения сосудистой стенки производили

бесконтактным методом на основе контрастной рентгенографии (рис. 1). Удлинение сосуда фиксировалось путем нанесения специальных меток на адвентиции. На рентгенограммах изображения сосудов в двух проекциях при различном внутреннем давлении (40, 80, 120, 160 мм.рт.ст.) обрабатывались на инструментальном микроскопе.

Рис. 1. Схема проведения эксперимента

Кроме этих данных, в работе использовались результаты экспериментов, полученных ранее другими авторами2. Первоначальная обработка данных осуществлялась в рамках простейшей модели линейно-упругого материала, некоторые данные представлены в таблице 1. Очевидно значительное увеличение касательного модуля с ростом уровня внутрисосудистого давления и развитием атеросклероза.

Таблица 1. Значения касательного «модуля упругости» при некоторых уровнях главного относительного окружного удлинения на различных стадиях атеросклероза

Номер стадии Касательный модуль, Ек (МПа)

3 =1,125 Ч> 5 =1,15 V 3 =1,20 9

1 0,33 0,36 0,47 0,54

2 0,49 0,45 0.62 0,58

3 0,54 0,63 0,78 0,95

4 0,65 0,82 1,09 1,36

Следует отметить, что в известных подходах, как правило, не учитывается сжимаемость материала артериальной стенки, однако эксперименты (в том числе, проведенные автором с коллегами) показывают обратное - в диапазоне физиологических давлений 80-160 мм.рт.ст. изменение объема может достигать 20-30 %.

Анализ полученных экспериментальных данных показывает, что удовлетворительное описание поведения сосуда под действием внутреннего давления в рамках однородного нелинейного материал затруднительно. Изменение толщины сосудистой стенки может достигать 50 % и более, тогда как изменение наружного диаметра ограничивается величинами 15-25%. Таким образом, под действием внутреннего давления основной нелинейный мышечный слой артерии «раздавливается» о внешнюю более жесткую и тонкую оболочку.

Наиболее подходящей, достаточно простой моделью, отражающей вышеуказанные факты, является модель двухслойного сосуда с более тонким и жестким внешним слоем и податливым нелинейным сжимаемым материалом вну треннего слоя.

Вагнер Е.А., Суханов С.Г., Аптуков В.Н. Механическое поведение сосудистого анастомоза на склерозированных артериях и его моделирование // Механика композигных материалов. 1982, № 2, С. 336-342,

В данной главе также получено численное решение задачи в рамках линейной постановки о деформировании двухслойного артериального сосуда без и при наличии атероматозной бляшки сферической формы на интиме. Показано, что с ростом стадии атеросклероза наблюдается общее снижение деформационных свойств артерии в окрестности бляшки, там же выявлена область концентрации окружных напряжений.

Третья глава посвящена анализу вариантов предложенных моделей, использующих различные нелинейные потенциалы.

С помощью общего решения А.ИЛурье3 для потенциала Джона разработана методика определения параметров материала сосудистой стенки на основе проведенных экспериментов.

Пусть цилиндрическая поверхность ограничена радиусами г = гй и г = г, с заданными давлениями р0,р,. Материальными координатами в отсчетной конфигурации являются цилиндрические координаты.

Уравнения равновесия в объеме и на поверхности для полулинейного материала Джона приводятся к виду:

- Ж

0 о о

V ы = 0, ХегУ«йЧ2цё, «Ум =

-№(7-) ь>г = гъ> ао

где а - вектор перемещения; V- набла-оператор Гамильтона в отсчетной

конфигурации; — = _ отношение величин площадок в актуальной и ао г

отсчетной конфигурации.

При решении задачи о равновесии отрезка артерии в виде замкнутого цилиндра конечной длины под действием внутреннего давления р, выражения для определения напряжений, возникающих в стенках сосуда, имеют вид:

V— [*(2С, +а) + 2ц(С,-%-(ЗХ + 2(1)], г

[Х(2С, + а) + 2ц(С, + ^) - (ЗА, + 2ц)],

(С.--^)а

ог = ~[Ц2С, + а) + 2цо—(ЗА. + 2ц)] Л

где о„,аф,аг - физические компоненты тензора Коши; / = С,г+—1 -

г

функция, определяющая вид радиального перемещения.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.: Наука, 1980.-512 с.

Система уравнений для определения неизвестных констант С,, С2, а: рК1 = (г,2 - г02)[Ц2С, + а) + 2ца - (ЗХ + 2ц)],

Ц2С, + а) + 2ц(С, -% = -р(С, + %а + ЗХ + 2ц,

1 'о

Ц2С,+а) + 2ц(С,-% = ЗХ + 2ц, 1

Решение получено в явном виде, но система уравнений для определения констант решения является нелинейной. Задача сведена к минимизации по двум параметрам X и ц невязки (квадратичного отклонения между расчетными и экспериментальными данными):

Для нахождения параметров использован метод сканирования величин с достаточно мелким шагом. Для каждой пары параметров были решены уравнения с граничными условиями для нахождения неизвестных констант С,,С2,а. На основе найденных констант вычислялись перемещения и величина невязки.

Определены параметры потенциала Джона, получена их зависимость от степеии атеросклероза. Установлено, что параметры I (МПа) и ц (МПа) изменяются в зависимости от степени патологии по закону: ц = 0.05-5°' X = 0.9 • 501, где 5 = 1,4 - стадия атеросклероза.

Модель на основе потенциала Джона позволяет описывать эксперимент с точностью до 15-20 % на ранних стадиях атеросклероза и до 10 % на последних стадиях. Это объясняется тем, что с ростом патологии сосуд становится более жестким и меньше проявляются нелинейные свойства. Таким образом, потенциал Джона удовлетворительно описывает экспериментальные данные только на последних стадиях атеросклероза.

Таблица 2

Потенциал Погрешность, % Внутреннее давление, мм рт.ст.

80 120 160

Агги<1а-Воусе 15>к 2,7 4,6 6Л

1,2 3,0 7,0

В1ай-Ко 5я -й'к ! Я'я 2,7 4,6 6,2

9,6 4,8 0,4

Моопеу-Яп'Нп ¿к-те 2,8 6,0 14,3

8,8 15,7 15,3

Линейная модель 151 34,7 45,6 52,5

66,5 35,3 39,1

Для удовлетворительного описания материала стенки здоровых сонных артерий и артерий, находящихся на ранних стадиях атеросклероза предложена двухслойная модель сосудистой стенки с внутренним нелинейным слоем. Рассмотрены модели сегментов артерий с использованием в качестве материала внутреннего слоя различные нелинейные потенциалы: Mooney-Rivlin, Arruda-Воусе и Blatz-Ko. Внешний слой полагался линейно-упругим с модулем Юнга Е-9 МПа и коэффициентом Пуассона v = 0,25. Методами численного моделирования с использованием пакета ANS YS 11.0 на основе экспериментальных данных определены параметры потенциалов. Результаты сравнения расчетных и экспериментальных данных по изменению диаметра и толщины сосудистой стенки для разных потенциалов (в том числе по линейной модели) указаны в таблице 2.

Таким образом, для моделирования механических свойств сонной артерии на ранних стадиях атеросклероза при давлении в диапазоне от 80 до 160 мм.рт.ст. наиболее подходящей является двухслойная модель сосудистой стенки с потенциалом Arruda-Boyce внутреннего слоя (погрешность 7-10 %).

В четвертой главе представлены результаты численных исследований с использованием трехмерных моделей артерий при наличии патологий последних, полученных с помощью двухслойной модели сонной артерии с нелинейным потенциалом для внутреннего слоя.

Существенное влияние на напряженно-деформированное состояние артерий оказывает наличие патологической извитости (петли). Данная патология является достаточно распространенной, треть летальных случаев при инсульте сопровождается аномальным развитием сонных и позвоночных артерий.

В пакете ANS YS 11.0 была построена пространственная модель петли с двухслойной стенкой: линейно-упругим внешним слоем и нелинейным внутренним слоем со свойствами, заданными потенциалом Arruda-Boyce. На концах петли были заданы условия жесткого закрепления. Расчетная схема приведена на рис. 2. Расчеты показали, что под действием внутреннего давления петля деформируется как в своей плоскости XY, так и перпендикулярно ей (в направлении оси Z). Кроме того, происходит увеличение зазора Нг между концами петли (начальное значение #г=1см) и увеличение радиуса петли.

В качестве упрощения модели полной петли использована модель тора (рис. 3). Было построено пять вариантов тора с различными срединными радиусами R,, кратными внешнему радиусу артерии Ra, произведен анализ влияния относительного радиуса тора R, - R, / Ra на особенности напряженно-деформированного состояния.

Результаты численного эксперимента показывают, что с уменьшением радиуса петли артерии увеличивается ее общая жесткость относительно воздействия внутреннего давления - это обусловлено чисто геометрическими причинами. В петле площадь внутреннего сечения сосуда под действием кровяного давления изменяется на 25-30% меньше, чем в прямолинейной части сосуда (рис. 5). Этот эффект аналогичен росту жесткости сосудистой стенки для прямолинейных участков артерий, пораженных атеросклерозом.

4

№ - »аг'заеитиг

Рис. 2. Пространственная модель патологической Рис. 3. Модель «восьмушки» тороидальной части извитости (петли) артерии петли артерии с контрольными точками

Рис. 4. Зависимость изменения относительного Рис. 5. Зависимость изменения относительной окружного напряжения и, 1о°„ интимы в точках 1 площади внутреннего сечения (5 — 50)/£с и 2 сонной артерии от относительного радиуса сонной артерии от относительного радиуса петли Аг для давления 160 мм.рт.ст. петли Яг для давления 160 мм.рт.ст.

Уменьшение внутреннего сечения отрицательно сказывается на объемном кровотоке, увеличивает внутреннее давление. Увеличение жесткости сосудистой стенки в петле (уменьшение податливости) ведет к росту окружных напряжений на участках интимы, расположенных ближе к центру петли. Если внешняя сторона интимы разгружена, то напряжения на внутренней стороне для относительного радиуса петли Л, < 6-^7 в 1,5-2 раза превышают соответствующие напряжения в прямолинейной части артерии (рис. 4).

Из результатов, представленных на рис. 5, следует, что существует некоторое критическое значение относительного радиуса петли 7?, = 6-7, ниже которого общая жесткость сосуда резко падает. Таким образом, петли с большой I кривизной являются значительно более опасными с точки зрения возможности развития атеросклероза.

Следующей рассмотренной пространственной задачей является сонная артерия с атсрсшатошон бляшкой па интиме. Модель артерии с данной патологией прсдсташмст собой двухслойный толстостенный цилиндр, к внутренней поверхности которого прикреплена часть сферы.

Г11Ч //'

».п.«.-»' //,;

Ч

.1»

Ь'Х "«и

т

-------------

И

........^ ■...........- -------------

-ж-в«пО

Рис. 6. Июгюлосы максимального главного Рис. 7. Зависимость максимального главного напряжения (МПа) в окрестности бляшки при напряжения от механических свойств бляшки сосудистом давлении 160 мм.рт.ст.

Внешним слои и атероматозная бляшка полагались линейно-упругими, внутренний слой описывался потенциалом Аггас1а-Воусс с найденными ранее константами. Линейные размеры и жесткость бляшки варьировались с целью изучения их влияния на напряженно-деформированное состояние в окрестности бляшки.

Расчеты подтвердили ранее обнаруженный в линейной постановке факт возникновения концентратора напряжений в области крепления бляшки к внутренней поверхности стенки артерии (рис. 6). Зависимость величины максимального главного напряжения в области концентратора от относительной

жесткости бляшки для двух ее различных размеров показана на рис. 7.

/

Рис. К. Поле напряжений аг (МПа) при сосудистом Ьс. 9. Окружная деформация (%) внутреннего

... слоя артерии вблпш сопряжения и на прямом давлении 120 мм.рт.ст. г ' '

1 участке

Область концентрации напряжений располагается па интиме вблизи диаметрального сечения бляшки, совпадающего с поперечным сечением сосуда. Эгот эффект объясняется ограничением окружных деформации интимы (и как следствие, ростом напряжений) из-за присутствия бляшки. В области вблизи диаметрального сечения бляшки, ориентированного вдоль оси артерии, концентрация напряжений практически отсутствует.

Обнаружено, что величина концентратора напряжений увеличивается с ростом жесткости бляшки (развития процесса кальцинации) и ее размеров. Таким образом, по мере развития патологических процессов увеличивается вероятность повреждения интимы в зоне концентрации напряжений.

Проведен численный анализ напряженно-деформированного состояния в области сопряжения сонной артерии с более мелкими артериальными сосудами.

Построена пространственная модель разветвления артерии с углом отклонения артериального сосуда от основного ствола 90° (рис. 8). Адвентиция двухслойной стенки артерий описывалась линейным законом, внутренний слой - потенциалом Аггиёа-Воусе с найденными из эксперимента коэффициентами.

Численный анализ показал, что в области ответвления артерии уровень напряжений на порядок превышает аналогичные значения для прямых участков артерий. В этой же области наблюдаются максимальные локальные деформации, которые в отдельных точках могут достигать 60 % и более.

Непосредственно за устьем сопряжения имеет место локальное расширение ствола артерии - область повышенной жесткости переходит в зону аномального расширения сосуда. При давлении 120 мм.рт.ст. в районе локального расширения внутренний диаметр артерии примерно на 10% больше диаметра сосуда на значительном удалении от области сопряжения. С ростом сосудистого давления область локального расширения смещается по направлению от устья (области сопряжения) к периферии.

Узел сопряжения артерий имеет повышенную общую жесткость (рис. 9). При давлении 80 мм.рт.ст. средняя величина окружных деформаций узла сопряжения в среднем в два раза меньше окружных деформаций прямого участка артерии, а при давлении 160 мм.рт.ст. это отношение достигает трех.

Таким образом, численный анализ различных патологий сонной артерии в пространственной постановке, выполненный на основе предложенной модели и определенных из эксперимента параметров, выявил особенности напряженно-деформированного состояния и эффекты механического поведения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В рамках выполненных в диссертационной работе теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты:

1. На инструментальном микроскопе изучены рентгенограммы проекций сегментов здоровых и склерозированных артерий при нагружении внутренним давлением, проведена статистическая обработка результатов.

2. На основе аналитического решения А.И.Лурье разработана методика определения параметров нелинейного потенциала Джона, получены конкретные значения параметров для сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза, дан анализ распределения напряжений по толщине, стенки.

3. Предложена новая модель двухслойного материала стенки сонной артерии с линейно-упругим жестким внешним слоем и нелинейным податливым внутренним слоем. На основе моделирования сонной артерии для условий эксперимента определены параметры нескольких нелинейных потенциалов и установлено, что наиболее подходящим является потенциал Агги<1а-Воусе.

4. Изучена пространственная патологическая извитость артерии (петля). Показано, что существует критическое значение отношения диаметра петли к диаметру артерии (6-7), ниже которого резко увеличивается жесткость артерии (объемный кровоток уменьшается на 25-30 %), увеличиваются в 1,5-2 раза окружные напряжения на участках интимы ближе к центру петли.

5. Исследовано трехмерное напряженно-деформированное состояние двухслойной артерии с атероматозной бляшкой. Показано, что в области крепления бляшки к интиме возникает концентратор напряжений, величина которого зависит от жесткости и линейных размеров бляшки.

6. Построена пространственная модель гладкого разветвления артерии. Выявлены зоны концентрации напряжений, показано увеличение общей жесткости узла сопряжения и рост податливости артерии вблизи устья.

7. Разработанные в диссертации модели и найденные на основе экспериментальных данных параметры нелинейных потенциалов дли здоровых и склерозированных сонных артерий позволяют моделировать механическое поведение сосудов при различных патологиях.

8. Полученные результаты могут использоваться в исследовательской и практической деятельности специалистов по сердечно-сосудистой хирургии.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Осоргина, Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния склерозированных артерий / Л.Ю. Осоргина И Материалы Х1ЛИ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика/ НГУ. Новосибирск. 2005. - С. 151.

2. Осоргина, Л.Ю. Расчет напряженно-деформированного состояния склерозированных артерий / Л.Ю. Осоргина // Неравновесные процессы в сплошных средах. Тезисы Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2005. - С. 77-78.

3. Аптуков, В.Н. Оценка влияния стадий атеросклероза на напряженно деформированное состояние артериальных сосудов / В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина И Российский журнал биомеханики. - 2005, Т. 12, - № 4. - С. 4 5-51.

4. Аптуков, В.Н. Расчет напряженно деформированного состояния склерозированных артерий / В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина И Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды Международной школы-семинара, пос. Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону. Изд. НПК «Гефест». - 2005. - С. 34-35.

5. Осоргина, Л.Ю. Компьютерное моделирование деформирования склерозированных артерий человека / Л.Ю. Осоргина // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: материалы Международной научно-методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале / Пермь: Изд. ПГУ. - 2006. - С. 72-73.

6. Осоргина, Л.Ю. Моделирование механического поведения гомографтов артерий / Л.Ю. Осоргина // Неравновесные процессы в сплошных средах. Тезисы Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2007. - С. 359-361.

7. Аптуков, В.Н. Определение параметров потенциала нелинейного сжимаемого материала сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза / В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина // Российский журнал биомеханики. 2008, Т. 12, Л« 3(41), С. 74-81.

8. Аптуков, В.Н. Деформация сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза / В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина // Механика сплошных сред как снова современных технологий (XVI Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 24-27 февраля 2009 г.) Тезисы докладов. Пермь -Екатеринбург: УрО РАН. - 2009. С. 31.

9. Аптуков, В.Н. Определяющие соотношения материала сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза / В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (Электронный ресурс) - Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. Электрон, оптич. диск.

10. Осоргина, Л.Ю. Объемные нелинейные модели артерий человека / Л.Ю. Осоргина// Неравновесные процессы в сплошных средах. Тезисы всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2009. - С. 66.

11. Осоргина, Л.Ю. Объемные нелинейные модели артерий человека / Л.Ю. Осорпша // Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2009. - С. 205-208.

12. Осоргина, Л.Ю. Численный расчет напряженно-деформированного состояния артерий человека в области разветвлений / Л.Ю. Осоргина // Современные проблемы в математике и ее прикладные аспекты: материалы всерос. науч.-практ. конф. (Пермь, Перм. Ун-т, Перм. Пед. Ун-т, 12 марта 2010 г.). Пермь: ПГУ. - 2010. - С. 117.

13. Осоргина, Л.Ю. Моделирование механического поведения артериальных сосудов с патологиями в пакете ANSYS. / Л.Ю. Осоргина // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 12-15 октября 2010) / Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2010. - С. 181.

14. Осоргина, Л.Ю. Численный анализ напряженно-деформированного состояния артерий человека в области разветвлений / Л.Ю. Осоргина // Современные проблемы в математике и их прикладные аспекты: сб. ст. (по материалам науч.-практ. конф. молодых ученых. Пермь, 12 марта 2010) ПГУ -Пермь, 2010. -С. 110-113.

15. Суханов, С.Г. Особенности напряженно-деформированного состояния артерий при наличии патологической извитости (петля) / С.Г. Суханов, В.Н. Аптуков, Л.Ю. Осоргина // Российский журнал биомеханики. 2010, Т. 14, № 4(50), С. 87-95.

16. Осоргина, Л.Ю. Решение пространственных задач биомеханики артерий с помощью пакета ANSYS / Л.Ю. Осоргина // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. - Пермь: ПГУ. - 2011. - Вып. 2(6).- С. 28-31.

Подписано в печать 18 мая 2011. Формат 210x297. Бумага «Гознак». Тираж 100 экз. Заказ № 172.

Отпечатано на ризографе в ООО «Полиграф-комплекс» 614000, г. Пермь, ул. Островского, 6

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

1.1. Строение артериальных сосудов.

1.2. Экспериментальное изучение свойств артерий.

1.3. Механические модели артериальных сосудов.

1.4. Моделирование кровотока и его воздействия на стенки артерий.

1.5. Патологии артерий.

1.6. Численное моделирование механического поведения артериальных сосудов.

1.7. Выводы по главе.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДОВ В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ.

2.1. Постановка эксперимента.

2.2. Обработка экспериментальных данных.

2.3. Оценка влияния времени и условий хранения томограф гов на их свойства.

2.4. Напряженно-деформированное состояние артерии в рамках линейно-упругой двухслойной модели.

2.5. Выводы по главе.

3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДОВ.

3.1. Описание напряженно-деформированного состояния артерий в рамках нелинейно-упругого материала Джона.

3.2. Определение параметров нелинейных моделей в вычислительной среде

ANSYS при использовании нелинейных гиперупругих потенциалов.

3.4. Выводы по главе.

4. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДОВ В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ.

4.1. Анализ НДС артерии при наличии патологической извитости (петли).

4.2. Особенности НДС стенки артерии в окрестности атероматозной бляшки.

4.3. НДС сосудистой стенки сосудов в области сопряжения аорты с артерией.

4.4. Выводы по главе.

Актуальность темы. Развитие методов и возможностей сердечнососудистой хирургии в настоящее время требует детального изучения механического поведения артерий человека в норме и при патологии.

Основные исследования по биомеханике кровеносных сосудов человека посвящены вопросам гемодинамики. Вместе с тем известно, что особенности механического поведения сосудистой стенки могут иметь значение для запуска начала процесса атеросклероза.

Прямое экспериментальное исследование пораженных сосудов весьма затруднительно. В связи с этим возникает необходимость совершенствования методов математического моделирования механического поведения артерий, как пространственных объектов на основе уточненных моделей, основанных на экспериментальных данных.

Слабо изучены эффекты влияния стадии атеросклероза на параметры -определяющих соотношений, в том числе, для сонных артерий. Отсутствуют оценки напряженно-деформированного состояния стенки сонной артерии при наличии геометрической извитости, атероматозной бляшки.

Целью работы является разработка математических моделей механического поведения сонной артерии, определение параметров этих I моделей на основе экспериментальных данных, проведение вычислительных экспериментов для анализа напряженно-деформированного состояния артериальных сосудов при наличии патологии.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. Выполнить эксперименты на артериальных сосудах и провести статистическую обработку результатов.

2. Получить аналитическое решение для цилиндрического сегмента артерии, учитывающее физическую и геометрическую нелинейность на основе потенциала Джона, определить параметры потенциала для здоровых и склерозированных сосудов.

3. Численно исследовать различные нелинейные потенциалы в рамках двухслойной модели сосудистой стенки с помощью пакета АЫ8У8, найти потенциал, удовлетворительно описывающий свойства стенки сонной артерии, определить его параметры на основе экспериментальных данных.

4. Построить сложные пространственные модели различных патологий артерий (геометрическая извитость в виде петли, артерия с атероматозной бляшкой, область разветвления артерий), провести численное исследование напряженно-деформированного состояния объектов, проанализировать особенности механического поведения, дать рекомендации для специалистов по сердечно-сосудистой хирургии.

Научная новизна работы.

1. На основе экспериментальных данных и полученного аналитического решения определены параметры потенциала нелинейно сжимаемого материала Джона для сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза.

2. Предложена новая двухслойная модель стенки сонной артерии с потенциалом внутреннего слоя Аггиёа-Воусе, определены параметры модели.

3. Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния сонной артерии при наличии патологии: геометрическая извитость артерии (петля); артерия с атероматозной бляшкой; область разветвления артерий.

4. Обнаружено критическое значение относительного диаметра петли артерии, ниже которого резко увеличивается общая жесткость артерии и окружные напряжения на участках интимы.

5. Впервые отрицательные эффекты некоторых патологий интерпретированы с точки зрения напряженно-деформированного состояния сосудистой стенки.

Достоверность результатов; полученных в работе, подтверждена экспериментальными исследованиями; численными экспериментами по оценке сходимости алгоритмов; соответствием полученных расчетных результатов и данных эксперимента.

Практическая значимость работы.

Разработанные в диссертации модели и найденные на основе экспериментальных данных параметры нелинейных потенциалов» для здоровых и склерозированных сонных артерий позволяют моделировать механическое поведение кровеносных сосудов при различных патологиях.

Обнаруженное критическое значение относительного диаметра петли и другие особенности • напряженно-деформированного состояния артерий (области концентрации напряжений) являются одним из факторов при определении показаний к целесообразности хирургического вмешательства для некоторых сосудистых патологий.

Результаты исследований используются в практике работы Пермского института сердца (подтверждено актом об использовании), а также в учебном; процессе на механико-математическом факультете ПГУ по направлениям подготовки «Математика. Прикладная математика», «Механика. Прикладная: математика». Разработанная методика вычисления параметров нелинейного потенциала на основе экспериментальных данных реализована в виде компьютерной программы, зарегистрированной в ОФЭРНиО.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке НОЦ ПГУ (рук. академик РАН Матвеенко В.П.) «Неравновесные переходы в сплошных средах» (2007-2009 годы).

Апробация работы. Основные положения работы обсуждались на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.); Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Новороссийск, 2005 г.); Международной научноt методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 2006 г.); XVI Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2009 г.); Всероссийской конференции t < молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы в математике и ее прикладные аспекты» (Пермь, 2010 г.); Научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики, математики, г информатики» (Пермь, 2010 г.). | Диссертация в целом обсуждалась на научном- семинаре кафедры

МССиВТ Пермского государственного университета (руководитель академик РАН, профессор Матвеенко В.П., 2011); на научном семинаре кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета (руководитель д.т.н., профессор Няшин Ю.И., 2011); на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН 1 (руководитель, д.ф.-м.н., профессор Роговой A.A., 2011); на научном семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета (руководитель д.ф.-м.н., профессор Трусов П.В., 2011).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 16 печатных работах, из них две в журнале, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Компьютерная программа зарегистрирована в ОФЭРНиО под номером 17045 (2011).

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературных источников' и приложения. Работа содержит 115 страниц, 40 рисунков, 9 таблиц. Библиографический список включает 99 источников.

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

4.4. Выводы по главе.

Изучена пространственная патологическая извитость артерии (петля). Показано, что существует критическое значение отношения диаметра петли к диаметру артерии (6+7), ниже которого резко увеличивается жесткость артерии (объемный кровоток уменьшается на 25-30 %), увеличиваются в 1,52 раза окружные напряжения на участках интимы ближе к центру петли.

В рамках пространственной постановки задачи изучено напряженно-деформированное состояние двухслойной артерии с атероматозной бляшко (4-я стадия склероза). Показано, что в области крепления бляшки к интиме возникает концентратор напряжений, величина которого зависит от жесткости и линейных размеров бляшки.

Построена объемная модель гладкого разветвления двухслойной артерии с прямым углом отклонения артерии меньшего диаметра от основного ствола. Выявлены зоны концентрации напряжений, показано увеличение жесткости «узла» сопряжения и увеличения податливости артерии вблизи устья.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных результатов диссертационной работы можно выделить следующее:

1. На инструментальном микроскопе изучены рентгенограммы проекций сегментов здоровых и склерозированных артерий при нагружении внутренним давлением, проведена статистическая обработка результатов.

2. На основе аналитического решения А.И Лурье разработана методика определения параметров нелинейного потенциала Джона, получены конкретные значения параметров для сонной артерии человека при различных стадиях атеросклероза, дан анализ распределения напряжений по толщине стенки.

3. На основе моделирования сонной артерии для условий эксперимента определены параметры нескольких нелинейных потенциалов и установлено, что наиболее подходящим является потенциал Аггис1а-Воусе. Предложена новая модель двухслойного материала стенки сонной артерии с линейно-упругим жестким внешним слоем и нелинейным податливым внутренним слоем.

4. Изучена пространственная патологическая извитость артерии (петля). Показано, что существует критическое значение отношения диаметра петли к диаметру артерии (6^-7), ниже которого резко увеличивается жесткость артерии (объемный кровоток уменьшается на 25-30 %), увеличиваются в 1,5-2 раза окружные напряжения на участках интимы ближе к центру петли.

5. Исследовано трехмерное напряженно-деформированное состояние двухслойной артерии с атероматозной'бляшкой. Показано, что в области крепления бляшки к интиме возникает концентратор напряжений, величина которого зависит от жесткости и линейных размеров бляшки.

6. Построена пространственная модель гладкого разветвления артерии. Выявлены зоны концентрации напряжений, показано увеличение общей жесткости узла сопряжения и рост податливости артерии вблизи устья.

7. Проведенные в диссертации комплексные исследования с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, разработанные методики определения параметров нелинейных моделей на основе экспериментальных данных позволяют моделировать механическое поведение сонной артерии при различных патологиях.

8. Полученные результаты могут использоваться в исследовательской и практической деятельности специалистов по сердечнососудистой хирургии.

1. Филатова О.В., Требухов А.В., Киселев В.Д. Взаимодействие давления и потока в регуляции диаметра крупных артериальных сосудов. — Барнаул: Издательство Алтайского университета, 2003. - 136 с.

2. Пуриня Б.А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. Рига: Зинатне, 1980. - 260 с.

3. Орлова Я.А., Агеев Ф.Т. Жесткость артерий как интегральный показатель сердечно-сосудистого риска: физиология, методы оценки и медикаментозной коррекции // Сердце. 2006. - №2. - С. 65-69.

4. Harloff A., Strecker С., Reinhard М. et al Combined measurement of carotid stiffness and intima-media thickness improves prediction of complex aortic plague in patients with ischemic stroke // Stroke. 2006. - Vol. 37, № 11. - P. 3708-3713.

5. Воробьев В.П. Атлас анатомии человека. Минск: Литература, 1998.- 1472 с.

6. Gray's Anatomy: The Anatomical Basis of Medicine and Surgery. -Churchill-Livingstone. 2004. - 2092 p.

7. Регирер C.A. Некоторые вопросы гидродинамики кровообращения / Гидродинамика кровообращения. Под ред. С.А. Регирера. -М.: Мир.-1971.-270 с.

8. Махнач М.М. Анализ усилий и деформаций в элементах медии стенки кровеносного сосуда при изменении его тонического состояния // Электронный математический и медико-биологический журнал. 1997. - Т. 2. -№1. - С. 60-70.

9. Махнач М.М. Механическая модель эласто-коллагенового элемента адвентиции стенки кровеносного сосуда // Электронный математический и медико-биологический журнал. 1996. - Т. 1. - №1. - С. 70-77.

10. Шехтер А.В., Нестайко Г.В., Крымский Л.Д. Эластические мембраны стенки артерий (сканирующая и трансмиссионная электронная микроскопия) // Вестник АМН СССР. 1978. - № 1. - С. 30-39.

11. Современные проблемы биомеханики. Моделирование биомеханических процессов. Рига: Зинатне, 1983. - 224 с.

12. Deng S.X., Tomioka J., Debes J.C., Fung Y.C. New experiments on shear modulus of elasticity of arteries // Am. J. Physiol. 1994. - № 266. - P. Hl-H10.

13. Jonathan P., Michael S. Sacks, David A. Vorp. The effects of aneurysm on the biaxial mechanical behavior of human abdominal aorta // J. Biomech. 2006. - Vol. 39. - P. 1324 - 1324.

14. Bergel D.H. The static elastic properties of the arterial wall // J. Physiol. 1961. - Vol. 156. - № 3. - P. 445-457.

15. Цедерс Э.Э., Касьянов В.А. Установка для исследования стенок кровеносных сосудов при динамическом режиме // Механика полимеров. -1978. — № 4. — С. 745-747.

16. Лощилов В.И., Саврасов Г.В. Технологические аспекты изучения механических свойств брюшной аорты человека // Механика полимеров. — 1977.-№4.-С. 693-698.

17. Вагнер Е.А., Суханов С.Г., Аптуков В.Н. Механическое поведение сосудистого анастомоза на склерозированных артериях и его моделирование // Механика композитных материалов. — 1982. — № 2. — С. 336-342.

18. Няшин Ю.И., Кирюхин В.Ю. Биологические напряжения в живых тканях. Вопросы моделирования и управления // Российский журнал биомеханики. 2002. - Т. 6. - № 3. - С. 13-32.

19. Савицкий Н.Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы изучения гемодинамики. Ленинград: Медицина. 1974. -312 с.

20. Лопухин Ю.М. О науке, творчестве и здоровье. Рига: Зинатне, 1991.- 189 с.

21. Утепов Я.Я. Корреляция между анатомическими особенностями аорты и проявлением атеросклероза // Бюллетень экспериментальной биологии и медицины. 1997. - № 8. - С. 124-127.

22. Greenwald S.E. Aging of the conduit arteries // J. Pathology. 2007. -Vol. 211, № 2.-P. 157-172.

23. Ахаладзе Н.Г., Ена Л.М. Биологический возраст человека. Оценка темпа старения, здоровья и жизнеспособности. Киев-Ирпень: Перун. -2009.-256 с.

24. Bulpitt C.J., Shipley M.J., Broughton P.M.G. et al. The assessment of biological age. A report from the department of environment study // Ageing Clin. Exp. Res. 1994. - Vol. 6. - P. 181-191.

25. Иванов Д.В. Исследование артерий вилизиевого круга человека в норме и при патологии // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Новая серия. -2010.-Т.10. — В.1.-С.35-44.

26. Аптуков В.Н., Осоргина Л.Ю. Определение параметров потенциала нелинейного сжимаемого материала сонной артерии человекапри различных стадиях атеросклероза // Российский журнал биомеханики. -2008. Т. 12. -№ 3(41). - С. 74-81.

27. Holzapfel G.A., Gasser Т.С., Ogden R.W. A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models // Journal of Elasticity. 2000. - № 61. - P. 1-48.

28. Tickner E.G., Sacks A.H. A theory for the static elastic behavior of blood vessels//В iorheology. 1967.-Vol. 4.-№4.-P. 151-168.

29. Streeter V.L., Keitzer W.F., Bohr D.F. Pulsatile pressure and flow through distensible vessels // Circulation Res. 1963. - V 13. - № 1. - P. 3-20.

30. Oka S., Az'uma T. Physical theory of tension in thick walled blood vessels in equilibrium // Biorheology. 1970. - V 7. - № 2. - P. 109-117.

31. Вольмир A.C., Герштейн M.C. О поведении кровеносных сосудов как упругих оболочек // Изв. АН АрмССР. Механика. 1966. - Т. 19. - № 1. -С. 8-12.

32. Humphrey J.D. Mechanics of arterial wall: Review and directions. Critical Reviews // Biomed. Eng. 1995. - № 23. - P. 1-162.

33. Лямец Л.JI. Применение экспоненциальных полиномов для структурного биомеханического анализа сосудистой стенки // Российский журнал биомеханики. 1997. - Т. 2. - № 1. - С. 71-83.

34. Green G.E., Stertzer S.H., Gordon R., Tice D.A. Anastomosis of the internal mammary artery to the distal left anterior descending coronary artery // Circulation Res. 1970.-V41.-N 5.-P. 79-85.

35. Vaishnav R.N., Young J.T., Patel D.J. Distribution of stresses and of strain-energy density through the wall thickness in a canine aortic segment // Circ. Res. 1973.-Vol. 32.-P. 577-583.

36. Namrata Gundiaha, Mark B. Ratcliffea, Lisa A. Pruitt. Determination of strain energy function for arterial elastin: experiments using histology and mechanical tests // J. Biomech . 2007. - Vol. 40. - P. 586 - 594.

37. Maltzahn W.-W.V., Besdo D., Wiemer W. Elastic properties of arteries: a nonlinear two-layer cylindrical model // Biomed. Engr. 1981. - № 14. -P. 389-397.

38. Demiray, H.A. Layered cylindrical shell model for an aorta // Int. J. Engr. Sci. 1991. - № 29. - P. 47-54.

39. Rachev A. Theoretical study of the effect of stress-dependent remodeling on arterial geometry under hypertensive conditions // Biomed. Engr. -1997.-№30.-P. 819-927.

40. Шилько C.B., Гавриленко СЛ., Хиженок В.Ф., Стакан И.Н., Салнвончнк С.П. Метод описания течения и определения реологических констант вязкопластических материалов. Часть 2 // Российский журнал биомеханики. 2003. - № 2. - С. 79-84.

41. Кантор Б.Я., Кунделев А.Ю. Моделирование периодического течения вязкой жидкости в толстостенном сосуде // Проблемы машиностроения 1998. - № 2. - С. 94-101.

42. Балашов С.А., Мелькумянц A.M. Избирательное блокирование чувствительности артерий к скорости течения крови // Труды I Республиканской конференции «Молекулярные и клеточные механизмы адаптации в норме и патологии». М. - 1986.

43. Bevan J.A. Shear stress, the endothelium and the balance between flow-induced contraction and dilation in animals and man // Int. J. Microcirc. Clin. Exp. 1997.-№5(17).-P. 248-256.

44. Мелькумянц A.M., Хаютин B.M., Веселова E.C. Чувствительность бедренной артерии кошки к скорости течения перфузионных растворов // Бюллетень экспериментальной биологии и медицины 1982. - Т. 93. - № 6. - С. 7-10.

45. Балашов С.А. Регуляция просвета артерий при изменениях вязкости и скорости течения крови / Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук // Москва. 1987.

46. Young T. On the function of the heart and arteries // Phil. Trans. Roy. Soc.- 1809.-№99.-P. 1-33.

47. Womersley J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known // J. Physiology. -1955.-№ 127.-P. 533-556.

48. Womersley J.R. Velocity profiles of oscillating arterial flow with some calculations of viscous drag and the Reynolds number // J. Physiology. -1955. № 128. - P. 629-640.

49. Womersley J.R. Oscillatory flow in arteries: the constrained elastic tube as a model of arterial flow and pulse transmission // Physics in Medicine and Biology.-1957.-№2.-P. 178-187.

50. Womersley J.R. Oscillatory flow in arteries II: the reflection of the pulse wave at junctions and rigid inserts in the arterial system // Physics in Medicine and Biology. 1958. - № 2. - P. 313-323.

51. Womersley J.R. Oscillatory flow in arteries III: flow and pulse velocity formulae for a liquid whose viscosity varies with frequency // Physics in Medicine and Biology. 1959. -№ 2. - P. 374-382.

52. Huang W., Shen Z., Huang N.F., Fung Y.C. Engineering analysis of biological data: an example of blood pressure over one day // Proc. of the National Academy of Sciences USA. 1998. -№ 95. - P. 4816-4821.

53. Marrone A., Polosa A.D., Scioscia G., Stramaglina S., Zenzola A. Multiscale analysis of blood pressure signal // Physical Review. 1999. - № 60. -P.1088-1091.

54. Ilse Van Trichta, Dirk De Wachtera, Jan Tordoirb, Pascal Verdonck Comparison of the hemodynamics in 6 mm and 4-7 mm hemodialysis grafts by means of CFD // J. Biomech . 2006. - № 39. - P. 226-236.

55. Jie Chena, Xi-Yun Lua, Wen Wang Non-Newtonian effects of blood flow on hemodynamics in distal vascular graft anastomoses // J. Biomech . 2006. -№39.-P. 1983-1995.

56. Johannes V. Soulis, Thomas M. Farmakis, George D. Giannoglou, George E. Louridas Wall shear stress in normal left coronary artery tree // J. Biomech. 2006. - № 39. - P. 742-749.

57. Богаченко C.E., Устинов Ю.А. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии // Российский журнал биомеханики. -2009.-Т. 13.-№ 1.-С. 29-42.

58. Малкин А .Я., Чалых А.Е. Диффузия и вязкость полимеров. Методы измерения. М.: Химия, 1979. - 304 с.

59. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А. и др. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.

60. Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.-624 с.

61. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1981.-400 с.

62. Фолков Б., Нил Э. Кровообращение. М: Медицина, 1976. - 463с.

63. Lia М.Х., Beech-Brandta J.J., Johnb L.R., Hoskinsc P.R., Easson W.J Numerical analysis of pulsatile blood flow and vessel wall mechanics in different degrees of stenoses // J. Biomech . 2007. - № 40. - P. 3715-3724.

64. Brian D. Stempera, Narayan Yoganandana, Frank A. Pintar Mechanics of arterial subfailure with increasing loading rate // J. Biomech . -2006.-№39.-P. 1-7.

65. Думлер A.A. Функционирование артериального русла в условиях изометрического стресса у здоровых и больных гипертонической болезнью // Российский журнал биомеханики. 2007. - Т. 11. - № 1. - Р. 91-99.

66. Salzar Robert S., Thubrikar Mano J., Epping Richard T. Pressure-induced mechanical stress in the carotid artery bifurcation: a possible carrelation to aterosclerosis // J. Biomech . 1995. -№ 11(28). - P. 1333-1340.

67. Красавин В.А., Дружинин С.О., Суслов И.И., Морозов К.М., Кузьмин В.А. Концепция системных нарушений иммунитета в генезе аномалий ветвей дуги аорты // Региональное кровообращение и микроциркуляция. СПб. - 2007. - № 1(21). - С. 81-83.

68. Лазарян Т.Р. Экспериментальное обоснование возможности стентирования внутренней сонной артерии при ее патологической извитости / Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук. -Москва. 2008.

69. Аллилуев А.С., Савельев Е.И. Хирургическое лечение патологической извитости сонной артерии // Материалы всероссийской 65-ой итоговой студенческой научной конференции им. Н.И. Пирогова. Томск. -2006. -№ 1.-С. 147-148.

70. Герасименко И.Н Функциональное состояние мозговой гемодинамики при патологической извитости внутренней сонной артерии / Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук. -Новосибирск. 1998.

71. Garci J., Crespoa A., Goicoleab J., Sanmartinb M., Garci C. Study of the evolution of the shear stress on the restenosis after coronary angioplasty // J. Biomech. 2006. - № 39. - P. 799-805.

72. Holzapfel G.A., Gasser T.C. A viscoelastic model for, fiber-reinforced composites at finite strains: Continuum basis, computational aspects and applications // Comput. Methods Appl. Mech. Engr. 2000. - № 87. - P. 15-24.

73. Gasser T.C., Holzapfel G.A. Rate-independent elastoplastic constitutive modeling of biological soft tissues: Part I. Continuum basis,algorithmic formulation and finite element implementation Int. J. Solids and Structures, 2000. - V. 37. - P. 256.

74. Нуштаев Д.В. Abaqus: Пособие для начинающих. Пошаговая инструкция. Москва: ООО Тезис. - 2010.

75. Конюхов А.В. Основы анализа конструкции в ANSYS. Казань: КГУ.-2001.

76. Басов К.А. Графический интерфейс комплекса ANSYS. ДМК Пресс. - 2006.

77. Огородникова О.М. Расчет конструкций в ANSYS. Сборник учебных пособий. Техноцентр компьютерного инжиниринга. - 2009. - 452 с.

78. Наседкин А.В. Конечно-элементное моделирование на основе ANSYS. Программы решения статических задач сопротивления материалов свариантами индивидуальных заданий. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1998. -44 с.

79. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. - 232 с.

80. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач. — Москва: ООО Тезис, 1999. 11 с.

81. Мунерман В.И. Последовательно-параллельное программирование для суперкомпьютеров // Электронный математический и медико-биологический журнал. 1999. - Т. 3. - № 2. - С. 75-81.

82. Мунерман В.И. Параллельная обработка данных. Методы и средства // Электронный математический и медико-биологический журнал. -1997. Т. 2. - № 2. - С. 213-227.

83. Автандилов Г.Г. Динамика атеросклеротического процесса у человека (Вопросы морфогенеза и патогенеза). М: Медицина, 1970. - 280 с.

84. Аптуков В.Н., Осоргина Л.Ю. Оценка влияния стадий атеросклероза на напряженно деформированное состояние артериальных сосудов // Российский журнал биомеханики. 2005. - Т. 9. - № 4. - С. 45-51.

85. Garci J., Crespoa A., Goicoleab J., Sanmartinb M., Garci С. Study of the evolution of the shear stress on the restenosis after coronary angioplasty // J. Biomech. 2006. - № 39. - P. 799-805.

86. Верещагин H.B., Котловер A.H. К морфологии и патогенезу извитости и перегибов внутренних сонных и позвоночных артерий // Архив патологии. 1966. - № 12. - С. 11-16.

87. Хорев Н.Г. Патологическая извитость внутренней сонной артерии и ее хирургическое лечение. Автореферат дис. докт. мед. наук. -Барнаул. - 2000. - 237 с.

88. Riser М.М., Geraud J., Ducoundray J., Ribaut L. Dolichocarotid interne avec syndrome vertiginoux // Rev. Neurol. 1951. - V. 85. - P. 145-147.

89. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости M.: Наука, 1975.-576 с.

90. Бокерия JI.A., Суханов С.Г., Катков А.И., Пирцхалаишвили З.К. Хирургия патологической извитости брахиоцефальных артерий. Пермь: Изд. «Курсив», 2006. - 144 с.

91. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.512 с.

92. Казанчян П.О., Попов В.А., Гапонова E.H., Рудакова Т.В. Диагностика и лечение патологической извитости сонных артерий // Ангиология и сосудистая хирургия. 2001. - № 2. - С. 93-103.

93. Родин Ю.В. Исследование потоков крови при патологической S-образной извитости сонных артерий // Международный неврологический журнал. 2006. - № 4(8). - С. 84-91.