автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование кровоснабжения миокарда

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 518.517.958:57

КАРАСЁВА ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРОВОСНАБЖЕНИЯ МИОКАРДА

05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре Математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель Научный консультант Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Захаров Кандидат медицинских наук,старший научный сотрудник К.В. Борисов Доктор физико-математических наук, профессор Романовский Ю.М. Доктор физико-математических наук, профессор Чечкин A.B. Ведущая организация Московская медицинская академия им.

И.М. Сеченова

Защита состоится «//» ¿?<u.p£tüС1998 года в //^часов на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан

1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доцент

В.М. Говоров

Общая характеристика работы Актуальность темы. Применение математического моделирование и численных методов в естествознании привело к созданию нового метода исследования - вычислительного эксперимента, который приобретает особое значение в тех случаях, когда в силу причин экономического или методического характера проведение прямого эксперимента сопряжено с большими трудностями или практически невозможно.

Так физиологические методы исследования кровоснабжения сердечной мышцы являются опасными и требуют сложных оперативных вмешательств. В этих условиях важно, чтобы прямому эксперименту предшествовало теоретическое исследование соответствующего процесса. Вычислительный эксперимент даёт возможность на математической модели процесса изучить закономерности взаимодействия различных гемодинамических параметров, обнаружить и предсказать ряд интересных и важных в практическом отношении эффектов, проверить те или иные гипотезы.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена построению класса математических моделей, с помощью которых можно изучить кровоснабжение коронарной системы, локализацию бассейнов кровоснабжения, исследовать регуляцию кровоснабжения.

Научная новизна. Построен класс математических моделей кровоснабжения миокарда, представляющий собой множество систем линейных алгебраических уравнений с матрицами, элементы которых определяются размерами и геометрией

сосудов. Сформулирован критерий нормальности кровоснабжения сердечной мышцы. Получены количественные оценки для кровотоков на каждом участке системы сосудов для некоторых патологических состояний системы.

Практическая ценность. Методика вычислительного эксперимента может быть использована при выявлении биомедицинских последствий нарушения кровоснабжения сердечной мышцы (в зависимости от жизнедеятельности организма в различных условиях окружающей среды), при исследовании патологических состояний коронарных сосудов (спазм, стеноз, атеросклеротические бляшки).

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математической физики и кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ и на конференциях, семинарах и рабочих совещаниях Научного центра сердечно - сосудистой хирургии им. Бакулева РАМН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименование.

Содержание работы

Во Введении обсуждается актуальность темы диссертации, проводится анализ современного состояния вопроса, формулируется цель работы.

В Главе 1 рассматриваются основные этапы построения модели функционирования системы коронарных артерий, обсуждаются вычислительные аспекты анализа построенной модели.

В §1 приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения об анатомии и физиологии кровеносной системы сердечной мышцы (коронарная система). Вводятся некоторые предположения относительно свойств крови, характера течения и свойств стенок сосудов и т.д.

Рассматривается некоторый момент диастолы, когда кровь растекается по коронарным сосудам. Разность давлений в аорте и капиллярах фиксируется. Кровь рассматривается как однородная вязкая жидкость, ц- вязкость крови; артерии - как жесткие трубки; поток крови а считается постоянным и ламинарным.

В §2 приводится описание построенной модели кровоснабжения миокарда.

Коронарной системе ставится в соответствие гидравлический аналог - разветвлённая система гидравлических проводников.

Относительно неизвестных потоков на участках сосудов записывается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

А(Р*)Х=Р, (1)

состоящая из уравнений неразрывности потока, записанных для узлов системы, и уравнений энергии, записанных для независимых путей обхода.

А(Я) - квадратная невырожденная матрица порядка п (п=41),

Р = (В1,...,КП)6 - вектор гидравлических сопротивлений, КеПсЯ11, где К"- п - мерное евклидово пространство, П -замкнутый параллелепипед в нем

где верхний и нижний уровни Гидравлическое

сопротивление ^ участка системы, заключённого между двумя соседними узлами, определяется по формуле:

Я. = 128 . т

жи; ■ (2)

где ц- вязкость крови, Ц - длина рассматриваемого участка, Ц - диаметр сосуда.

Элемент матрицы а у определяется по формуле:

1» если поток на Ьм участке притекает к ¡-му узлу;

если поток на Ьм участке вытекает из ¡-го узла;

О, : „ :

если Ьи участок не принадлежит |_му узлу.

(¡=1,...,к; ]=1,...,п)

Л если направление Ко потока совпадает с направлением обхода ¡-го пути;

если направление ]-го потока противоположно с 1' направлением обхода ¡-го пути;

0 если по }-му участку не проходит ¡-й путь. 0=к+1,...,п; ]=1,...,п)

где к - количество узлов в графе, описывающем структуру матрицы А(Я).

Компоненты вектора правой части Р = (Р1.....Рп) еПс: , где

О -замкнутая область в евклидовом пространстве.

где у - константа, введенная для соответствия размерностей в правой и левой частях уравнений, Рк - давление на выходе системы, равное давлению в капиллярах, (Рк = const), Рн -давление на входе системы, к - количество узлов системы. X =

(Х1.....Хп) - вектор неизвестных потоков на участках системы.

В §3 обсуждаются вопросы устойчивости вычислительного алгоритма по отношению к малым изменениям входных данных.

В Главе 2 рассматриваются вопросы, связанные с постановкой отсеивающих экспериментов, выделением существенных переменных, группировкой факторов.

В §1 формулируются цели проведения численных экспериментов для исследования состояний системы, обсуждаются входные параметры модели: гидродинамические сопротивления, зависящие от длин и диаметров участков, разность давлений на входе и выходе и выходные: суммарный кровоток у на выходе системы, определяемый как:

где 117 - множество номеров участков на выходе системы. В §2 обсуждается влияние на суммарный кровоток на выходе системы таких параметров как: длины участков сосудов, разность давления на входе и выходе системы.

В §3 описываются результаты проведения отсеивающих экспериментов. Пусть у представляется в виде

У =

i El

У = Ч>(^.....Рч1)

Ставится задача исследования функции ф. Чтобы определить выборочные коэффициенты регрессии, эксперименты проводятся с использованием ортогональных планов. Тогда Ь| определяются следующим образом:

N

ъ, = -,1 = 0,1

¡=0

У _ А, - Л л / — 1-Г >

Я * - Я -

=д; +> г 1 л,

Будем считать, что ^ - существенный фактор, если | Ь, | >с,

£=0.5

Для того чтобы сократить количество экспериментов, в программу исследования включается только отсеивание незначимых линейных эффектов. Насыщенные дробные реплики могут быть получены при N=2*. Плаккетт и Берман показали, что класс насыщенных, ортогональных планов может быть расширен путём включения некоторых специальным образом составленных планов с числом наблюдений N. кратным четырём. Один из таких планов для N = 36, количество факторов к=35, используется в данной работе. Проводятся три серии экспериментов, причём в каждый раз фиксируются 5 разных параметров, остальные параметры варьируются на двух уровнях.

В результате проведённых экспериментов существенными факторами считаются участки на выходе системы (конечные

сосуды). Этот факт подтверждается и в медицинских исследованиях: регуляция кровотока осуществляется не за счёт магистральных сосудов, а за счёт интрамуральных.

В §4 формулируется и решается задача разбиения существенных факторов на р групп, в которых факторы, принадлежащие к разным группам были бы слабо коррелированы.

'=0 =

X'

л,

¥' я -Я

(-V „ > у

N ,

- Я QJ

к- ~ Л о; |

я? - л;

где Ы,- количество суммируемых факторов в ¡-й группе.

Находятся такие Х'|, ¡=1.....р, что С|« Ь,

При р=4,6 становится возможным проведение полного факторного эксперимента. Комбинированный фактор XV находится на верхнем (нижнем) уровнях, если

+ £ Я - Л о,

х1"= (£*. г^—~

, Г, л ,+ - к

N I

X*.

У = 1

V - Я 0j

1*/ _ Л оу |

В результате проведённых экспериментов выбирается один из четырёх рассмотренных вариантов разбиения сосудов на группы. Каждой выделенной группе сопоставляется некоторая область миокарда, которая называется в данной работе бассейном (зоной) кровоснабжения для данной группы артерий.

Построенная модель применяется для исследования влияния патологий коронарных сосудов. Чтобы рассматривать такие вопросы, необходимо знать какие состояния у данной системы оптимальные.

В Главе 3 формулируется критерий функционирования системы кровоснабжения в норме, ставится и решается задача условной оптимизации коронарной системы в норме, изучается поведение системы в некоторых патологических состояниях.

В §1 вводится определение класса моделей системы кровоснабжения миокарда. Пусть 0 - класс возможных структур системы. Вводится следующее деление участков сосудов системы на группы:

I, - концевые, участки на выходе системы;

12 - соединительные, участки, соединяющие два узла соседних сосудов;

13- промежуточные, участки, принадлежащие одному сосуду и не являющиеся концевыми.

®п~ I, п 12 п 13 е О

Структура системы изменяется по следующим правилам:

1.При добавлении ¡п+1> ¡п+2 е I,, ¡п переходит из Цв 12, ¡п г I,,

¡пе <2

2.При удалении ¡„, ¡п_1 е I,, ¡п_2 переходит из 12в I.,, ¡п.2 г 12,

Возможно добавлять и удалять только два сосуды из группы ^ или один сосуд из группы 12.

Над графом системы разрешаются только действия добавления и удаления участков сосудов по правилам, приведённым выше.

Пусть система Б имеет структуру, описываемую графом 0пе0, где п - число ребер, к - количество узлов графа ©п удовлетворяет уравнениям (1), (2). Состояние системы описывает

вектор К = ( ^.....Яп)е евклидово пространство), который

назовем вектором состояний.

Далее формулируется ряд априорных предположений.

1.На перераспределение кровотока влияют только диаметры системы сосудов.

2.Перераспределение кровотока на выходе системы зависит от изменения диаметров концевых сосудов.

3.Потоки концевых сосудов разделяются на четыре группы. В первую группу входят сосуды, снабжающие кровью заднюю стенку левого желудочка и 1/3 межжелудочковой перегородки, во вторую - правый желудочек, в третью - переднюю стенку левого желудочка и 2/3 межжелудочковой перегородки, в четвертую - оба предсердия. Сумма потоков в сосудах, принадлежащих к одной группе, обозначается через \Л/|, ! = 1,...,4, где \ - номер группы сосудов, как

}Ук = X Х],к = 1,... 4 ,

4.Снабжение кровью миокарда в рассматриваемых зонах можно представить в процентном отношении к заданному суммарному кровотоку \Л/* следующим образом:

\Л/*, = 0.27 \ЛГ, \Л/*2 = 0.35 \ЛГ, \Л/*3= 0.28 \Л1*, \Л/%=0.1 \Л/*,

При таком распределении крови в миокарде каждый участок сердечной мышцы получает достаточно крови для нормального функционирования и патологических ситуаций не возникает.

Задача оптимизации параметров системы рассматривается как задача управления. Управление системы обозначается через и. Задача нахождения оптимального состояния системы формулируется так: найти такой Н(0,и), чтобы решение системы

А(Я(0,и))Х= Р, ^.и) е П (3)

удовлетворяло критерию 0(х). Рассматриваются следующие частные критерии:

0;(х)={ ЛW¡ = WrW'i > 0}, 1= 1,2,3,4, (4)

б5(*) = {¿0^,(5)

/=1

Для совместного учета всей совокупности частных критериев необходимо рассматривается векторный критерий оптимизации.

О(х) = [СЦх), 02(х), ОД, ОД, 05(х)]. В §2 приводится метод решения задачи. Данная задача относится к задачам многокритериального математического программирования.

Организуется итерационный процесс перебора параметров в области V

У = = 1.....п},

□ = (0,.....Ог)с V е И",

с целью удовлетворения неравенствам (4). Участки системы, принадлежащие к группам ^ ¡=1,...4, (концевых сосудов), нумеруются произвольным образом, начиная с первой группы. Пусть т - количество таких участков. Тогда

= 1.....ш,

Если условие (4) выполняется, то переходим к пункту 2.

1.Если условие (4) не выполняется, то продолжается итерационный процесс. Соответствующая последовательность управлений вычисляется по формуле и°=0, далее для к=0,1,2,...

О, Д ГГ > 0.1,

2 |А / |, Д ЧУ < О,

(4

, 1

1,..., 4, к = 1,2 ,..., N

,0 < Д № / < 0 .1,

где к - номер итерации, 0°, ]=1,...,т - заданные начальные диаметры системы сосудов, - номер итерации, при которой выполняется неравенство (4), Р*- множество номеров участков ^^ на к-й итерации:

Р,к : Д\Л/* > 0.1, ДW¡K <0}, ¡=1 ,...,4,

- мощность множества Р*. Шаг на каждой итерации выбирается с учётом поведения Л\Л/" по формуле для к=0,1,2,...

О .0 1 , |л \¥ / I > 0 .5 ,

1 1 ,/ = 1.....4,4 = I ,2 ,..., N , .

0 .0 0 1 , |Д V I < 0 .5 ,

2.После того, как удаётся удовлетворить (4), организуется итерационный процесс так, чтобы, не нарушая (4), удовлетворить при некотором заданном е (5). Для этого задаётся последовательность управлений по следующим формулам для к=Г^, + 1,...

= шах (Д IV ,к ) [0,г *

10.001 У 1 - У ), г = у,

1,..., 4,к = N 1 , N , + 1,...

где

1=1 4

1=1

Полученное в результате выполнения этого алгоритма

состояние системы, описываемое вектором Р = (Р1.....1^),

оптимально в смысле критерия нормальности кровоснабжения миокарда. Состояние системы с такими параметрами называется в данной работе оптимальным.

В §3 рассматриваются следующие изменения диаметров системы по сравнению с найденным в §2 оптимальным состоянием.

(1-ос) О? (6)

0°- диаметры сосуда, обеспечивающие найденное в §2 оптимальное состояние, й/, ¡=1,...,6, - некоторые состояния системы с изменёнными диаметрами.

1. ] = 1, а = 0,5

2. ] = 1, а = 0,7

3. ] = 1, ос = 0,5,] = 2, а = 0,7

4. ] = 1, а = 0,5,] = 9, а = 0,65

5. ] = 1, а = 0,5^ = 10, а = 0,7

6. \ = 29, а = 0,6, \ = 34, а = 0,77

Кровоток в каждой зоне кровоснабжения сравнивается с ранее заданной величиной минимально возможного кровотока \Л/*. Патологические ситуации возникают если величина кровотока в этой зоне окажется меньше чем заданная величина УУ^ в этой зоне кровоснабжения.

0,(х)=^"1 - < 0}, ¡= 1,2,3,4 14

Проведённые исследования показывают, что при патологии магистральных сосудов зоны кровоснабжения миокарда, в которых отмечается недостаток крови по данным вычислительного эксперимента, чаще всего подвержены поражению и по медицинским данным.

С целью удовлетворить критерию нормальности при возникновении патологических ситуаций изменяли:

1. диаметры конечных участков сосудов (параметрический синтез)

2. структуру системы (структурный синтез)

1. Поставлена задача параметрического синтеза некоторого состояния системы, при котором диаметры конечных участков изменяются так, чтобы обеспечивать близкое к нормальному в заданной метрике состояние системы. При этом все диаметры концевых участков должны удовлетворять требованию:

ОсУеР", У = {0{.0?101<0?,} = 1.....П},

Диаметры некоторых участков сосудов изменяются в соответствии с соотношением (6). Для нахождения оптимального снабжения кровью миокарда применяется метод, описанный в §3.2.

Если найденное О г V, то считается, что система не может своими внутренними ресурсами осуществить кровоснабжение некоторых зон миокарда. В тех зонах, где для сосудов не выполняется неравенство:

О,1 < Ц < Ц2,

кровоснабжение нарушено. Это нарушение может быть нейтрализовано только внешними средствами (развитие внешних миокардиальных анастомозов, хирургическое вмешательство и т.д.).

2. Путём добавления сосудов изменяется состояние поражённой системы, тем самым строится математическая модель шунтирования коронарных сосудов миокарда. Целью моделирования является определение размеров дополнительного участка (шунта), обеспечивающего тот же поток на выходе системы, что и в нормальном состоянии. При этом распределение потока крови в миокарде изменится. Для оптимизации распределения кровотока в миокарде применяется метод, описанный в §3.2.

В Заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы.

1. Для артериальной системы сосудов миокарда построен класс математических моделей миокарда, представляющий собой множество систем линейных алгебраических уравнений с матрицами, элементы которых определяются размерами и геометрией сосудов. В результате проведения вычислительных экспериментов методом регрессионного анализа исследовано влияние различных групп сосудов системы на суммарный кровоток на выходе системы;

2. Поставлена задача условной оптимизации параметров системы, представляющая собой задачу многокритериального математического программирования, которая решалась

функционирующей в норме, поставлена также задача структурного синтеза.

3. Построены модели некоторых патологических ситуаций. Рассмотрены реакции различных групп сосудов на патологические изменения в системе кровообращения. Поставленный численный эксперимент показал, что модели, принадлежащие к построенному классу, адекватно описывают зависимость между патологией коронарных сосудов и нарушением кровоснабжения в соответствующих данным сосудам зонах миокарда.

Публикации по теме диссертации

1. Захаров Е.В., Карасёва Е.Ю. Исследование гемодинамики артериальной части миокарда методом вычислительного эксперимента. В кн.: Обратные задачи естествознания, М., Издательство факультета ВМК МГУ, 1997

2. Захаров Е.В., Карасёва Е.Ю. Численное решение задачи синтеза состояния системы кровоснабжения сердечной мышцы. Вест. Моск. Ун - та, сер. 15, Вычислительная Математика и Кибернетика, 1997, №4.

3. Борисов К.В. Карасёва Е.Ю. Гидродинамическая математическая модель для изучения коронарного кровообращения. Журнал Грудной и Сердечно-сосудистой хирургии, 1997, №2, стр. 199-200

4. Zakharov E.V., Karaseva E.Yu. Numerical Experiments with Hemodinamics of the Arterial Part of the Myocardium. Computational Mathematics and Modeling, Vol.8, No.3, July-September, 1997, p.288-296.