автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме

На правах рукописи

ПОПОВ ВИКТОР ЮРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТРАСТНЫХ СТРУКТУР В АСТРОФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ.

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный доктор физико-математических наук, профессор

консультант: Соколов Д.Д.

Официальные доктор физико-математических наук, профессор,

оппоненты: член-корреспондент РАН Черепащук A.M.

доктор физико-математических наук, профессор Днестровский Ю.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Елизарова Т.Г.

Ведущая организация: Пермский государственный технический университет.

Защита состоится « ре-^/**-*.^ 2006 г. в « » часов

на заседании Диссертационного совета Д002.058.01 в Институте Математического Моделирования РАН по адресу: 125047, г.Москва, Миусская пл. 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан » ^г^С^Ц^О) 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н. У _ Н.В.Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В различных областях науки, в том числе в математической физике, физике плазмы, астрофизике, геофизике, биофизике и т.д. исследования нелинейной эволюции физических полей различной природы является актуальной задачей [1], [2], [6], [10], [13].

В процессе эволюции физических полей в нелинейном режиме часто возникают своеобразные конфигурации, называемые контрастными структурами (КС), в которых обширные участки медленного изменения поля разделяются малыми по объему областями быстрого изменения с большим градиентом поля — внутренними переходными слоями (ВПС).

Результаты наблюдений за различными природными объектами демонстрируют возможность существовании нестационарных КС, которые могут, как постепенно приближаться к стационарным КС, так и исчезать, образуя плавные распределения поля.

Такие структуры, наблюдаемые, например, при астрофизических наблюдениях магнитных полей в спиральных галактиках [2]-[4], и при спутниковых исследованиях в магнитосферной плазме [11], [12], интенсивно изучаются в течение нескольких последних десятилетий. Изучение и моделирование эволюции нестационарных КС играет важную роль в понимании механизмов генерации, развития и разрушения астрофизических и геофизических магнитных полей и представляет собой актуальную задачу. Более общей задачей, возникающей в различных областях науки, является задача моделирования процесса нелинейной диффузии в активных средах [4]-[6], [13]-[15], приводящего к возникновению эволюционирующих ВПС.

Контрастные структуры являются предметом изучения большого числа исследователей. Основным инструментом их аналитического исследования являются асимптотические методы [7], при помощи которых достаточно полно изучены различные типы КС и разработаны методы анализа их устойчивости [8]. Однако применение аналитических методов исследования сталкивается с существенными трудностями при увеличении размерности задачи, усложнении вида нелинейности, при различных вырождениях нелинейных уравнений, а также в случае нестационарных (неустойчивых) КС, возникающих при решении ряда важных физических задач.

Наряду с аналитическими методами для исследования КС неоднократно применялись различные численные методы. Ввиду разномасштабности КС и ВПС применение численных методов требует либо большого объема вычислительных ресурсов, либо разработки специальных методов, позволяющих выделить и разрешить с нужной точностью ВПС. Так, например, разработаны адаптивные алгоритмы [9], основанные на сгущении сетки в области переходного слоя. Они эффективно применяются для изучения одномерных КС. Однако применение численных методов существенно усложняется в случаях, когда переходные слои имеют сложную структуру (например, в двумерных задачах) или/и движутся (в случаях нестационарных (неустойчивых) КС).

Для решения таких актуальных задач необходимо разрабатывать специальные методы, сочетающие аналитические и численные подходы. Потребности ученых в таких методах, позволяющих эффективно исследовать нелинейную эволюцию КС, обосновывает актуальность данной работы.

Целью настоящей работы является создание и реализация в виде комплексов программ эффективных численно-аналитических методов, позволяющих решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы и применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики

Задачи исследования

1. В рамках двумерной численно-аналитической модели галактического динамо в приближении тонкого диска исследовать нелинейный процесс эволюции самоподдерживающегося бисимметричного магнитного поля в турбулентной среде - спиральном галактическом диске.

2. При помощи численных экспериментов и асимптотических оценок исследовать процесс эволюции двумерных и одномерных КС — решений краевой задачи для нелинейного уравнения диффузии put =ÁAu + F(x,u,t) с малой величиной коэффициента диффузии Л.

3. В рамках одномерной самосогласованной численной модели тонкого токового слоя (TTC) исследовать влияние захваченной плазмы в процессе эволюции TTC в магнитосфере Земли.

4. При помощи численного моделирования исследовать одномерный самосогласованный анизотропный TTC с расщепленной ("бифурцированной") структурой.

5. Изучить влияние электронов в самосогласованной одномерной численно-аналитической модели TTC и определить их роль в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах слоя.

Методы исследования. Основными методами математического моделирования, разработанными и примененными в данной диссертации, являются численные методы, реализованные в виде комплексов программ, вычислительный эксперимент и аналитические оценки.

Научная новизна. Разработаны новые эффективные алгоритмы и комплексы программ, которые позволяют решать широкий класс одномерных и двумерных задач моделирования процессов в нелинейных средах, описываемых начально-краевыми задачами для нелинейного уравнения диффузии с переносом, ограничением и генерацией общего вида. Применение их к актуальной задаче астрофизики подтвердило их высокую эффективность и позволило получить ряд новых результатов.

Созданы численные алгоритмы и комплексы программ, позволяющие исследовать процессы эволюции TTC, образующихся при взаимодействии

взаимопроникающих плазменных потоков в обращенном магнитном поле. Применение этих методов в задачах моделирования околоземной плазмы позволило впервые получить новые важные и интересные научные результаты. Созданные программные комплексы носят универсальный характер, что позволяет использовать их для решения широкого класс задач физики плазмы.

Теоретическая и практическая значимость.

1. Создан и реализован в виде комплекса программ алгоритм двумерного моделирования эволюции КС в нелинейной среде с переносом, диффузией и генерацией с ограничением.

2. При помощи асимптотических оценок и двумерного численного моделирования впервые получены решения уравнения динамо средних полей, для которых область инверсии магнитного поля вдоль азимутального направления дрейфует синхронно с перемещением галактических рукавов. Впервые показано, что такое захваченное бисимметричное магнитное поле может иметь время жизни сравнимое со временем жизни галактики.

3. Получены аналитические оценки скорости дрейфа изогнутой границы и времени жизни двумерной КС произвольной формы. Аналитически оценена скорость дрейфа ВПС заданной формы, получены приближенные формулы, описывающие эволюцию КС круговой, эллиптической и некоторых других модельных форм.

4. В численных экспериментах, проведенных при помощи разработанных алгоритмов, изучены основные закономерности процесса эволюции двумерных КС, являющихся решением двумерного нестационарного нелинейного уравнения диффузии с переносом и генерацией с насыщением.

5. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

6. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

7. В рамках одномерной численной модели исследован дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня. Показано, что при определенных условиях ВПС может быть захвачен движением области с более благоприятными условиями генерации.

8. Получена аналитическая оценка для максимальной скорости переноса, для которой еще возможен захват КС, подтвержденная численными экспериментами. Исследованы процесс захвата и процесс прохождения ВПС через неоднородную область при нарушении условий захвата.

9. Создан эффективный численный алгоритм исследования TTC в рамках одномерной самосогласованной модели. В численных экспериментах исследованы самосогласованные решения с учетом захваченной в слое плазмы. Впервые в численном эксперименте показано, что возможной причиной разрушения TTC при достаточно большой плотности квазизахваченной плазмы может быть перераспределение общего тока, при

котором локальный ток захваченных частиц полностью или частично компенсирует основной ток в центре и на краях слоя, в то время как полный ток, создаваемый ионами на захваченных траекториях равен нулю. Ю.Построена и численно реализована модель одномерного самосогласованного анизотропного TTC, описывающая слой с расщепленной (или "бифурцированной") структурой, основанная на численном решении нелинейного уравнении диффузии для функции распределения. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция системы в процессе диффузии функции распределения. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения TTC не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер. 11.Построена и численно реализована новая самосогласованная одномерная модель TTC с учетом влияния электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность плазмы, в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численных экспериментах впервые показано, что электростатические эффекты могут приводить к расщеплению токовых слоев. Изучена зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются

1. Тестированием алгоритмов и комплексов программ для определения сходимости и устойчивости [24], [30].

2. Совпадением полученных аналитических оценок и результатов прямого компьютерного моделирования [23]-[29].

3. Результатами астрофизических наблюдений, показывающими наличие аномально долгоживущего бисимметричного поля в спиральных галактиках (М51, М81) [2], [3], [33].

4. Результатами, спутниковых наблюдений токовых слоев в магнитосфере Земли [11], [12].

Положения, выносимые на защиту

1. Созданы эффективные алгоритмы и комплексы программ для моделирования нелинейной эволюции контрастных структур различной природы.

2. При помощи численно-аналитического моделирования получены решения двумерного уравнения динамо средних полей, соответствующие долгоживущим бисимметричным структурам магнитного поля в спиральных галактиках.

3. Изучены общие закономерности эволюции двумерных КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

4. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных

областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

5. Численно и аналитически исследованы процессы торможения и захвата на неоднородностях пороговой функции ВПС одномерной КС- решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии с переносом, генерацией и ограничением.

6. Впервые в численном эксперименте исследована эволюция и разрушение одномерного самосогласованного TTC в результате накопления в слое квазизахваченной плазмы.

7. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция TTC в процессе диффузии функции распределения.

8. При помощи численного моделирования изучено влияние электронов на эволюцию изотропного самосогласованного TTC.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах под руководством проф. Д.Д.Соколова (НИВЦ МГУ), проф. А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова (физический факультет МГУ), на XII рабочем совещании РАС ФИАН в Пущино (1996 г.), на 5-й Международной конференции по суббурям в Санкт-Петербурге (2000 г.), на 6-й Международной школе по моделированию космической плазмы в Германии (2001 г.), на Международной конференции по проблемам геокосмоса в Санкт-Петербурге (2004г.), на 35-й научной школе COSPAR в Париже (2004г.), на Ломоносовских чтениях (2005г) (физический факультет МГУ).

Публикации Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [16]-[46], список которых приведен в конце реферата. По материалам диссертации опубликована 21 научная работа и сделано 10 докладов на научных конференциях. Все результаты, полученные автором во время работы в составе научны^ коллективов, включены в диссертацию с согласия и одобрения соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 219 наименований. Диссертация содержит 61 рисунок и одну таблицу. Нумерация формул и рисунков своя в каждой главе. Объем диссертации составляет 299 страниц, включая 22 страниц цитированной литературы.

Содержание работы.

Во введении содержится обзор известных публикаций по теме диссертации, описывается проблематика работы, формулируются цели и задачи исследования и представляются основные результаты.

Глава 1 посвящена актуальной задаче астрофизики- моделированию эволюции КС магнитного поля в спиральных галактиках и состоит из введения и 4-х параграфов.

Во введении к этой главе описана проблема существования аномально долгоживущих КС магнитного поля в ряде спиральных галактик. Рассматриваются модели, предложенные ранее для объяснения эффекта преобладания бисимметричной моды магнитного поля в спиральных галактиках. Излагается основная идея механизма поддержания бисимметричной моды, которая состоит в том, что устойчивая БСС в спиральной галактике может существовать в окрестности радиуса коротации при балансе дифференциального вращения, процесса генерации магнитного поля в результате эффекта динамо и магнитной диффузии.

В параграфе 1.1 приводится математическая постановка задачи, которая включает в себя уравнение динамо средних полей

дв_ ы

где В- среднее магнитное поле, а-средний коэффициент спиральности,

К = [й7хг] - скорость вращения, и Р~ коэффициент турбулентной магнитной

диффузии в цилиндрической системе координат в приближении тонкого диска, при котором решение уравнения динамо (1) может быть представлено в виде

В(г, Ф, г, = г) и(г, (р, /), (2)

где Ь{г,г) есть нормированное на единицу решение локального уравнения динамо (1). При этом, локальные уравнения динамо, которые определяют 6(г,/), остаются линейными, а кубическая нелинейность достаточно общего вида, связанная с насыщением процесса динамо, входит только в уравнение для и(г, ф, которое включает в себя у - коэффициент генерации

магнитного поля в процессе динамо. В качестве хорошего реалистичного приближения для у была выбрана функция

rot(a£) + rot[FxB] + /?A£ (1)

(

7~У

1

и

2 Л

D

(3)

Амплитуда ф, /) магнитного поля определяется следующим

нелинейным нестационарным уравнением в частных производных:

ди / \ди 2

— + со[г)-= Л

dt V 'дф

дг

1 д(ги) г дг

+

1 д2и

г2 дф2

f

+ уи

1

и

2 Л

D2

(4)

ч - j

где со(г)- угловая скорость вращения галактики, У (г)- локальный показатель роста, полученный как главное собственное значение локальных уравнений динамо, совместно с b{zft). D— характеристическая напряженность поля, при

котором нелинейные эффекты динамо станут существенными (напряженность

поля насыщения). X

г0

— безразмерный коэффициент магнитной

диффузии в плоскости диска (А «1). Неосесимметричный диск моделируется

путем модуляции уровня насыщения £) двумя вращающимися спиральными рукавами:

V

rcj

^(г)- среднее значение О, зависящее логарифмической спирали с углом закрутки р3 — arctg

+ 2 (<p-a>st)

; (5)

от радиуса.

К* J

Это уравнение , вращающейся с

угловой скоростью 0)s. Дифференциальное вращение задается модельной

кривой вращения галактики М51, которая соответствует результатам астрофизических наблюдений. Остальные параметры также соответствуют параметрам галактики М51. Граничные условия имеют вид и(0) = и(/?) = 0,

R = 20 кПк. определяется из условия равновесия между плотностями

кинетической и магнитной энергий:

/3(г) ос ехр

Г ^ г

\го У

Отмечено, что основное допущение модели состоит в том, что механизм генерации крупномасштабного магнитного поля имеет пороговый характер, то есть действует только тогда, когда напряженность магнитного поля меньше чем некоторое значение D\ иначе, поле затухает. Подчеркивается, что основное уравнение модели для и (г, (р, имеет более общий характер и

может использоваться не только в модели галактического динамо.

В параграфе 1.2 проводится качественный анализ основного уравнения модели в локальной криволинейной системе координат (<^,7/), вращающейся вместе со спиральными галактическими рукавами. Ось В, направлена поперек, а 77 - вдоль рукавов:

£=(г - ГСР* ~ГА<Р- ^Осоэ/ъ, )соб р3 +гс(<р~ р5.

Здесь гс - радиус коротации, определяемый из условия ш(гс)=ш3, где постоянная угловая скорость вращения галактических магнитных рукавов. В такой системе координат рассматривается установившееся решение уравнения вблизи коротации: I г — гс\«гс, для сильно закрученных

спиральных рукавов |р5|«1. Линеаризованное по р3 и г — Гс основное

уравнение модели имеет вид:

д2и д?

+ уи

1-

2\

(6)

где У^ «(ст — )/*БШ р$ — скорость материи поперек рукава во вращающейся

системе координат. В силу сильной вытянутости спиральных рукавов по (р, производными по переменной Т] можно пренебречь.

В безразмерных переменных получены оценки для максимума

допустимой относительной скорости V,

шах

а^у

и полуширины

переходного слоя П

Получено выражение этих оценок через

наблюдаемые величины для случая «¿»-динамо. Для случая плоской кривой

У0

вращения со — — оценена радиальная полуширина БСС г

\1/4

Дг =

л/^

\y_r_

з Уо Лгс

В параграфе 1.3 описана численная модель, алгоритм ее решения и вычислительные эксперименты по моделированию процесса захвата бисимметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами. Для проведения вычислительного эксперимента был создан комплекс программ численного решения начально-краевой задачи для основного уравнения модели, основанный на модифицированной экономичной итерационной разностной схеме переменных направлений. Приводится описание разностной схемы и основные результаты вычислительных экспериментов, показывающих возможность существования долгоживущей бисимметричной моды и роль спиральных рукавов в этом процессе.

В параграфе 1.4 представлены основные выводы первой главы. Из численного эксперимента следует, что время жизни захваченного бисимметричного поля может быть весьма велико и сравнимо со временем существования галактики. Благоприятными условиями захвата БСС спиральными рукавами являются: сильно закрученные рукава«1),

тонкий диск, малый наклон кривой вращения. Однако последние два условия уменьшают эффективность динамо, поскольку динамо-число

2 •

пропорционально к и наклону кривой вращения. Поэтому, имеется оптимальный диапазон параметров для поддержания БСС.. Галактики, параметры которых лежат в этом диапазоне — лучшие кандидаты для

наблюдения БСС. В численном эксперименте показано также, что радиальная полуширина БСС А г увеличивается с увеличением амплитуды модуляции е.

Глава 2 посвящена численно-аналитическому моделированию КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии. Глава состоит из введения и 8 — ми параграфов.

Во введении описан объект исследования- физическое поле и(х которое участвует в процессах диффузии с заданным коэффициентом диффузии Л, переноса с заданной скоростью У(хи генерации с насыщением, причем дополнительная плотность источников за счет генерации Р зависит от координат, времени и от функции и. Описываются квазистационарные и нестационарные решения типа КС, эволюция которых сводится к относительно медленному перемещению ВПС.

Сформулирована задача исследования, которая состоит в выяснении качественных и некоторых количественных закономерностей дрейфа ВПС при помощи аналитических оценок и численного моделирования.

Поставлена цель исследования— выделить факторы, определяющие характер эволюции и время жизни неустойчивых нестационарных КС.

В параграфе 2.1 приводится описание модели изучаемой КС, которая является решением нелинейного нестационарного уравнения диффузии с переносом, генерацией и насыщением в двумерной конечной или бесконечной области О с границей Е:

и

д /

х

д и д х

о у

и

и

д х'

У2,

+ у 0и

•(7)

Векторное поле скорости переноса V считается заданным, коэффициент диффузии Л — малым, так что толщина ВПС П = много меньше размера

системы. уо~ коэффициент генерации в приближении слабого поля, много меньшего уровня насыщения £>.

Уравнение (7) дополняется начальным условием =И() (*,}>) и

граничным условием г/]^ = 0. Описан процесс эволюции двумерной КС и

характер дрейфа ВПС.

В параграфе 2.2 изучается эволюция модельной КС круговой формы с радиусом /?(/), внутри которой м>0. В локальной полярной системе координат при постоянной скорости V — {Уг,0} уравнение (7) имеет вид

ди

дt

г тг Я\ди .д2и V--I—-=Л—-+Уои

V

]дг Ъг-

Это уравнение эквивалентно одномерному нелинейному уравнению диффузии со скоростью переноса Уе# ~ У- — | = У + Ксигу(г), где УСип>{г)=~~~•

\

Поле скоростей ^смгу(г) направлено вдоль радиуса, в окрестности ВПС,

который в данном случае лежит на окружности радиуса дополнительная скорость дрейфа ВПС равна

Усип,(Х)=-~ (9)

Л - радиус круга, образующего положительное пятно КС. Дрейф ВПС направлен к центру кривизны. Показано, что если рассматривать скорость переноса Усигу как результат действия поверхностного натяжения КС, то

граница пятна КС перемещается по тому же закону, по которому перемещается в вязкой среде растянутая тонкая гибкая пить при условии, что сила вязкого трения пропорциональна скорости и сила натяжения нити постоянна вдоль всей линии, не зависит от времени и численно равна коэффициенту диффузии.

Показано, что зависимость радиуса кругового пятна от времени

определяется выражением ~0> ^ <^0 > гДе ~ момент времени

разрушения пятна. Таким образом, площадь пятна КС убывает с течением времени по линейному закону, а время жизни кругового пятна с начальным радиусом равно

'о=^ГТ' (10)

2 7ГЛ

2

где 5,0=я/?о - начальная площадь пятна. Эти формулы для пятна круговой

формы справедливы при условии На позднем этапе разрушения

круговой КС, когда К«П, скорость перемещения ВПС возрастает по сравнению со значением, определяемым формулой (9).

В параграфе 2.3 показано, что формула (10) для времени жизни контрастной структуры круговой формы остается верной и для пятен произвольной формы. Этот вывод основан на предположении о том, что скорость дрейфа ВПС в направлении, перпендикулярном линии ВПС, определяется формулой (9), в которой радиус круга нужно заменить радиусом кривизны кривой Г в данной точке. Таким образом, скорость и направление перемещения ВПС определяются радиусом кривизны и положением центра кривизны Г.

Показано, что если радиус кривизны Я во всех точках кривой Ь, ограничивающей односвязное пятно КС, много больше П, то площадь односвязного пятна произвольной формы линейно уменьшается с течением времени со скоростью 1лЛ единиц площади за единицу времени:

(И)

В параграфе 2.4 представлены результаты компьютерного моделирования эволюции КС с произвольной формой. Описаны разностная схема, алгоритм численного решения и результаты численных экспериментов.

Для проверки справедливости формулы (11) в численном эксперименте получены зависимости площадей пятен различной формы от времени. Зависимость площади от времени оказывается действительно линейной, однако время жизни несколько меньше, чем следует из формулы (10), что объясняется отклонением от линейной зависимости ¿>(0 в конце жизни пятна, когда его диаметр становится сравнимым с толщиной переходного слоя П. Начиная с этого момента, пятно убывает быстрее за счет диффузии.

Параграф 2.5 посвящен эволюции неодносвязных пятен. Рассматривается положительное пятно КС, ограниченное внешним контуром Ьо, внутри которого имеется М пятен противоположной полярности, ограниченных контурами Ьт, 1 <т<М. Так как площадь, ограниченная контуром Ьо, зависит от времени по закону (11), и по такому же закону изменяется площадь внутри каждого из контуров Ьт, то скорость изменения площади положительного пятна

Представлены зависимости площади от времени для нескольких пятен с внутренними включениями пятен противоположной полярности (неодносвязных).

В параграфе 2.6 сформулированы и обсуждены некоторые общие законы эволюции ВПС в двумерном случае.

1. Длина замкнутой границы каждого пятна КС убывает со временем.

2. Диаметр пятна КС убывает со временем.

3. Для КС любой формы, отличной от круговой, скорость уменьшения диаметра пятна больше, чем для круга.

4. Границы двух несоприкасающихся пятен никогда не соприкоснутся (и даже удаляются друг от друга).

В параграфе 2.7 приведены аналитические и численные результаты исследования эволюции пятна КС, имеющего в начальный момент форму эллипса с полуосями ciq и Ьо (сго>Ьо). В предположении о том, что пятно в каждый момент времени f>0 имеет форму эллипса с полуосями a{t) и b(t) и скорость дрейфа границы пятна в вершинах эллипса определяется формулой (9), получены аналитические выражения для a(t) и bit):

(12)

ал * ап 1п а

где д = ¿о =—-—-- — время жизни эллиптического пятна в данном

Ьо Л д2-1

* Г

приближении, т ——¿г - относительное время, выраженное в единицах

'О

времени жизни пятна (¡0 < т 1

Из (13) следует, что эксцентриситет эллиптического пятна убывает и на последней стадии разрушения эллиптическое пятно превращается в круговое, а затем разрушается.

Показано, что формулы (13) можно использовать для не слишком вытянутых эллиптических пятен. Более точные результаты получаются при

* / г 5п

заменев(13) г = навыражение г = —, /д = ——:

= (14)

а —

а0

\

Ч2-1 ъ

В численном эксперименте показано, что погрешность формул (13) возрастает при увеличении отношения полуосей, а модифицированные формулы (14) для эллипса дают практически точные результаты.

В параграфе 2.8 аналитически и численно моделируется эволюция КС в форме вытянутого кольцевого сектора <г<> (Р\<(Р<(Р2-> Я2 — « {<Р2 ~ ф\ + ^2 ) • Получена приближенная аналитическая формула изменения площади пятна

' («2-Л,)2

ах

4 + — +--л-

Щ Я2 2ЩЯ2

(15)

где Ь(Х) — длина средней линии, вытянутой вдоль окружности радиуса п ЛЛ

-^^^ по азимуту на угол А(р = (р2 ~<Р\- При условии

Л « Щ « К2 (15) дает практически точный результат.

В Главе 3 при помощи аналитических оценок и компьютерного моделирования изучается дрейф ВПС контрастной структуры - решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с насыщением и генерацией в однородной среде. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией. Показано, что скорость дрейфа ВПС и время жизни неустойчивой КС зависят от диаметров областей положительных и отрицательных решений. В рамках одномерной модели рассмотрен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения.

Глава состоит из введения и четырех параграфов. Во введении описан объект исследования- медленно изменяющиеся со временем решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии, имеющие в каждый фиксированный момент времени вид КС, причем ВПС медленно перемещается со временем (дрейфует).

Сформулирована цель исследования, методы исследования и кратко перечислены основные полученные результаты.

В параграфе 3.1 описана математическая модель одномерной КС, которая является решением начально-краевой задачи для уравнения диффузии с генерацией и насыщением, где коэффициент генерации у нелинейно зависит от и:

ди я д2и (

П2 V и J

Я, =Х-^~2+Уои

Ot О X

, 0<x<L, t> О, (16)

с начальными условиями гг(х,0)= wq(x), 0<x<L и граничными условиями при х=0 и x=L.

В случае однородной среды, где у0,Я,D — const уравнение (16) приводится к виду:

(17)

дт дх2 Х >

Л

где Г=/0?, П= I--характерный масштаб ВПС. Поскольку

' ГО

предполагается, что П«Ь, то (17) включает малый параметр при второй производной и принадлежит, к классу сингулярно возмущенных уравнений.

Описан процесс образования КС— решения (16) и дрейфа ВПС, изучение которого и есть цель данной главы.

В параграфе 3.2 анализируются решения стационарного уравнения

П2^ + у(\-у2) = 0. (18)

ах2 v 1

Показано, что профиль ВПС описывается решением задачи Коши для

уравнения (18) с начальными условиями yixg) = 0,

dx

X=Xq '

координата центра ВПС и С - константа, определяющая наклон кривой и{х) в точке Хд. Точное решение (18) при 0<С<1 есть неявная функция:

(р = агсБтГ—1, к = -, г> = л/Г7Рс,

П a

\b J a

+ , 0<&<1, 1<«<л/2, F{(p, - неполный эллиптический

интеграл первого, рода. При 0<С<1 периодической функцией с периодом: Т = П

Л*)

является

решение (18)

, где Кук) - полный

-К

а

эллиптический интеграл первого рода. Показано, что периодические решения существуют при начальных условиях, удовлетворяющих неравенствам

, где 0<С<1. В критическом случае (при С=1,

х=0 П V 2

Я=1, 6=1) решение у — Ш

^ X — Хд ^

П%/2

- монотонная функция, обращающаяся в

/

нуль только в одной точке Х = Х().

В параграфе 3.3 получены аналитические оценки времени жизни нестационарной одномерной КС с заданной шириной пятна xv:

* ехр(л/2,т)~ ехр

32

< ллЛ

-Л-

\

п

зависимости ширины пятна от времени:

XV=32г + ехр(л/2л-)).

Здесь г<0, и момент времени т — О соответствует полному разрушению КС. Также получена аналитическая оценка скорости дрейфа ВПС:

Г ' ("Л ( М^

у = -8>/2П

ехр

ч

П

ехр

-л/2

П

ширины положительного и отрицательного пятен

где и

соответственно.

В параграфе 3.4 представлены результаты численного моделирования эволюции симметричных и ассиметричных КС в докритическом, критическом и сверхкритическом случаях. Показано, что аналитические оценки с высокой точностью согласуются с результатами численного эксперимента.

В Главе 4 исследуется эволюция решения типа нестационарной КС для уравнения диффузии с переносом и генерацией в неоднородной среде. Рассматривается дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня.

Если ВПС расположен на большом расстоянии от точки скачка пороговой функции, то он будет перемещаться со скоростью переноса. Если же ВПС расположен в малой окрестности точки скачка пороговой функции, то он может замедлить свое движение и даже остановиться. В параграфе получены приближенные необходимые условия останова ВПС. Критерием адекватности полученных оценок является совпадение аналитических результатов с результатами компьютерного моделирования.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

В параграфе 4.1 получена аналитическая оценка для максимально возможной скорости дрейфа ВПС.

Рассматривается одномерное нелинейное нестационарное уравнение диффузии с переносом и генерацией

ди

dt

уди = яд2и

д* дх'

То"

1-

' u(x,t) л2 D(x,î)

, -со < х < оо, / > О

(19)

Л- коэффициент диффузии, V- скорость переноса, Yq -коэффициент генерации в линейном приближении. Пусть D(x,t) зависит от координат и времени по закону бегущей волны: D(x,t) = D(x— vt), D(x)> О, —со < х < со. Пусть -О(лг) имеет минимальное значение Da > О и максимальное значение D, Djj > Da, причем ширина каждой из областей, в

которых D(x) ~ Da или D(x) ~ D^, много больше толщины ВПС 11 = I— .

v у о

Между точками минимума, где D(x) = Da и точками максимума, D(x) — D^, функция D(x) монотонна.

Если ВПС остановлен скачком пороговой функции, то существует д Л

стационарное -^— = 0 решение уравнения (19) типа контрастной структуры,

dt

удовлетворяющее уравнению

vdu=Àfu дх дх2

ТО"

1-

гг(дг)

~Б(х)

Y

(20)

Для периодической кусочно-постоянной функции D(x) с периодом Т, принимающей два значения Da > 0 и D^, Dfr > Da :

[Dni 0<x<d

DM Hn „ т ^{x+T) = D(x), 0<4<T, (21)

в предположении с£»П, T-d»Yl, получена аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса V, при которой стационарное решение типа КС существует:

К

шах

Пго

3 Dl-D.2

4V2

2D.

e-Di

(22)

а

Для непериодической кусочно-постоянной пороговой функции 0(х) принимающей всего два значения:

Оп,х < О,

£)(х>= гГ ^ й>0. (23)

рь,х> О,

в случае, когда имеется только один ВПС, расположенный в окрестности скачка пороговой функции, т.е.

м(х,/) -» -£)а при х —> -оо, г/(х,0 —> при л: —> +оо, аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса V, при которой стационарное решение типа КС существует, имеет вид:

Ктах = ПУ0 3 (24)

таХ ° 4^2 + Д4 £,2^2

В пределе при Н —»0 оценки (24) и (22) совпадают. Полученные аналитические оценки подтверждены результатами компьютерного моделирования.

В параграфе 4.2 описаны численные методы и приведены результаты компьютерного моделирования эволюции стационарных и нестационарных одномерных КС с периодической пороговой функцией 0(х).

Для численного решения эволюционного уравнения (19) с периодической пороговой функцией (21) использована неявная разностная схема с периодическими граничными условиями на равномерной сстке, которая решалась методом прогонки с итерациями.

Наличие множества решений, жесткость рассматриваемой краевой задачи, периодичность граничных условий — все эти трудности были успешно преодолены при реализации разностной схемы.

Для численного решения стационарной задачи (20) был разработан и реализован новый модифицированный вариант метода стрельбы с погружением. Пусть С(х,а,Ь, V)— решение задачи Коши для уравнения (20) с заданной величиной Кис начальными условиями и(0)=а, (с/и/ =6.

Пусть Ь(а,У)— решение уравнения С{2Т,а,Ь,У)—а относительно Ь (для вычисления этой величины используется классический метод стрельбы) и пусть Н(х,а, 1г)—С{х,а,Ь(а, V), V). Если а-а(У) выбрано так, что

дх

дН(х,а,У)

*=2Т дх

= 0 (25)

х=0

то Н(х,а(У),У)- решение уравнения (20) с периодическими условиями на промежутке 0<х<2Т. Для численного решения уравнения (25) относительно а также используется классический метод стрельбы. Поскольку многократное решение задачи Коши и нелинейного уравнения представляет весьма трудоемкую задачу, был использован метод погружения [8], [9]. На первом этапе, при фиксированной величине глубины модуляции /г, V использовалось

в качестве параметра погружения. На втором этапе в качестве параметра погружения использовалась глубина модуляции к и из решения задачи Коши с начальным условием Утах = 0 определялась зависимость Ктах(/?).

Численное решение стационарной и нестационарной задач проводилось при помощи разработанных автором комплексов программ. В параграфе описаны новые результаты моделирования процесса эволюции одномерной КС в среде с модулированным профилем пороговой функции. Численный эксперимент показал, что в широком диапазоне изменения параметров к и Т отношение и^И^ оказывается малым, что позволило оценить относительную погрешность формулы (22), которая при малых /КОЛ составляет не более 1%.

Получена более точная оценка для максимальной скорости дрейфа, при которой возможна стабилизация КС, справедливая как для периодической, так и для монотонной пороговой функций:

^тах = -К*Пго2Пь ~. (26)

ШХ 4л/2 и

В параграфе 4.3 изучаются одномерные КС в среде с непериодическим профилем пороговой функции.

Существование решения (19) при заданном значении к и при V— Утах(к) было показано при помощи вычислительного эксперимента, в котором при заданном значении к численно решалась краевая задача (20) с граничными условиями

м(х,0 -» При х —> -00, и(х,0 —> +£>6 при х -» +оо, (27) Для увеличения точности и скорости сходимости были найдены асимптотические оценки собственных значений задачи (20) с ненулевым значениями V для решения в области, где Z)-|м|«D. Для численного решения использовался модифицированный метод стрельбы с погружением по двум параметрам, один из которых- глубина модуляции к, второй- скорость У, Были преодолены значительные трудности, связанные с жесткостью краевой задачи.

Формула (26) была проверена в компьютерном эксперименте. Анализ результатов показал, что в диапазоне изменения 0<к<0.2 можно использовать выражение (26), допуская при этом относительную погрешность не более 1%, а в диапазоне изменения 0</г<0.1 имеем то же выражение для Утах с относительной погрешностью не более 0.1%.

Показано, что при заданном к и фиксированной скорости У<УтЯх(к) область плоскости переменных {х,и} заданная системой неравенств -/)(х)<и<£)(х), разделяется графиками двух решений стационарной задачи на три подобласти:

в1={ (х, и): и ](х)< и < /)(х)}, С?2={ и): и¿(х)< и<и 1(х)},

G3={ (x, m): - D(x)< и < u2(x)}, в которых решение нестационарной задачи ведет себя качественно по-разному. В области G\ решение дрейфует слева направо, причем имеется предельное (при t —> оо) устойчивое положение решения, равное Wi(x). В области G2 решение дрейфует справа налево, и опять имеется то же самое предельное устойчивое положение решения. Наконец, в области Gj решение дрейфует слева направо, как и в G\, но при t —> 00 ВПС перемещается вправо со скоростью V, навсегда оторвавшись от нерегулярного участка пороговой функции. Таким образом, Wi(x)— устойчивое решение стационарной задачи, неустойчивое решение.

Глава 5 посвящена описанию применения разработанных автором численных методов и комплексов программ, позволяющих находить самосогласованные равновесные решения для TTC с обращенным магнитным полем в горячей бесстолкновительной плазме.

Рассматриваются два основных подхода- численное решение аналитических уравнений и моделирование методом частиц. Проведено сравнение результатов численного моделирования, полученных при разных подходах между собой и с результатами наблюдений, что позволило сделать вывод о надежности теоретической стационарной модели и эффективности кодов.

Одним из приложений таких численных методов является актуальная задача физики околоземной плазмы— моделированием TTC в плазменном хвосте Земли. Однако, подобные токовые структуры - не редкость в солнечной короне, в магнитосферах других плапет солнечной системы, на магнитопаузе. Таким образом, разработанные численные алгоритмы и комплексы программ имеют универсальный характер и широчайшую область практического применения.

Глава состоит из введения, четырех параграфов и заключения.

Во введении приводится история объекта исследования, анализируются используемые ранее методы изучения TTC, их преимущества и недостатки. Обосновывается актуальность создания численных моделей эволюции TTC в горячей бесстолкновительной плазме и важность их практического использования. Кратко описаны основные используемые модели и основные результаты численного эксперимента.

В параграфе 5.1 описан алгоритм численной реализации самосогласованной аналитической одномерной модели TTC в горячей бесстолкновительной плазме. Описаны физическая и математическая постановка задачи, которая сводится к безразмерному нелинейному интегральному уравнению, (типа уравнения Трэда- Шафранова) для магнитного поля Ъ как функции безразмерного вектор- потенциала 77 > 0 :

,2/ ч

b (л) =

21

.1/3/т,

я-

3/2

Ll

sYDj

1 + erf

И

Функции /(+)(77) и ) (77) соответствуют парциальным вкладам положительного и отрицательного токов в полный ток.

Уа

Параметр —— (отношение альфвеновской скорости к потоковой)

должен соответствовать граничному условию Ь(т] —> со) —> 1.

2

Для пролетных ионов выполняется условие / < Н'у . В этом случае функции (77) в правой части уравнения (0.27) имеют вид:

Г) 00 00 00

М = ± ///*

ООО г

о

хехр

-б

-2/3

ч

-2/3

2 ^ + /+

(29)

у

У

Безразмерный адиабатический инвариант /+ определяется как П±

ги

щ±

wl + - (±Wy + 7/w - 7;')2 dr¡

(30)

где значения 770-5. и Т]+ соответствуют точкам поворота и определяются из условия равенства нулю подынтегрального выражения:

770±=шах|о, rj'-J

Wy+Wg

Для захваченной популяции > Wq j функции /^+^(77) имеют вид:

Г] 00 СО 00

F(±) (л) = ±к ]drf \dwx ¡Wydwy \dw£ ехр(-гГ2/3 (*~4/3 + )) (32) ООО О

2 2 2 2 VT

где u;q = УУд. + Wy + Wg. Безразмерные параметры e — (отношение

VD

тепловой скорости плазмы к потоковой) и к (характеризующий плотность захваченной плазмы) являются свободно варьируемыми параметрами модели.

Модель включает в себя выражения для концентрации ионов и плотности ионного тока.

Аналитическое решение стационарной одномерной нелинейной задачи возможно только для некоторых частных предельных случаев. Для решения такой сложной задачи был создан и реализован в виде комплекса программ эффективный итерационный численный алгоритм, основанный на квадратурных формулах Гаусса для вычисления тройных несобственных интегралов с сингулярностью в подынтегральном выражении. Описание этого алгоритма дается в параграфе 5.2 . Впервые было учтено наличие захваченных частиц. Сложная структура фазового пространства и обусловленная этим сложная форма границы между пролетными и захваченными ионами таюке создает существенные трудности для аккуратного перехода алгоритмом раздела между пролетными и захваченными частицами, которые были успешно преодолены. Также были преодолены трудности, связанные со сходимостью алгоритма в окрестности области сшивания функций распределения пролетных и захваченных частиц при переходе границы между ними в фазовом пространстве.

В численном эксперименте была определена двумерная область сходимости построенного итерационного алгоритма в зависимости от параметров е и к. Аналогичные численные расчеты были проведены с помощью другой модели, основанной на методе крупных частиц. Показано, что результаты, полученные с помощью двух разных моделей, аналитической и численной, достаточно хорошо согласуются между собой, и можно с уверенностью говорить о том, что структура слабоанизотропных TTC и их устойчивость может контролироваться захваченной (или квазизахваченной) популяцией частиц, что является важным моментом при изучении динамики TTC в суббуревых процессах.

Va

В численном эксперименте получена зависимость параметра ——

VD

(отношение альфвеновской скорости к потоковой) от величины S. Хорошее совпадение результатов численного эксперимента с аналитической формулой позволило сделать вывод об адекватности численной и математической моделей одномерного тонкого токового слоя в области параметров, при которых имеет место сходимость итерационного алгоритма решения аналитической одномерной стационарной задачи.

В параграфе 5.3 описывается численная модель, основанная на методе крупных частиц, основные постулаты которой соответствуют рассмотренной ранее аналитической модели.

В параграфе 5.4 описаны результаты численного моделирования влияния анизотропии источников и захваченной плазмы на структуру TTC. В численной модели впервые получены самосогласованные решения в широком диапазоне значений параметра С > О. Показано, что при уменьшении анизотропии системы, плотность тока в центре слоя уменьшается, что следует из аналитических результатов.

В численном эксперименте впервые была подтверждена гипотеза о том, что равновесие TTC является динамическим, т.е. равновесный TTC может существовать, испытывая небольшие колебания, при которых монотонный и немонотонный профили магнитного поля последовательно сменяют друг друга во времени.

Впервые в численном эксперименте показано, что захваченная плазма может существенным образом изменять структуру слабоанизотропных слоев, в то же время ее влияние на сильноанизотропные слои минимально. Ток ионов на захваченных траекториях имеет ярко выраженный отрицательный минимум в центре слоя и симметричные положительные максимумы по краям, в то время как интегральный ток в точности равен нулю. Захваченная популяция ионов, добавленная в небольшом количестве в систему, сглаживает и диамагнитные "крылья", и ослабляет несущий ток в центре TTC, не меняя

существенно масштаб слоя (Z, ~ Ро)* Если концентрация захваченных частиц

в центре слоя велика, то ток в этой области становится слишком малым для поддержания самосогласованной конфигурации, и слой разрушается.

Полученные результаты являются новыми и вносят существенный вклад в понимание процессов эволюции TTC.

В заключении обсуждены результаты проведенных численных экспериментов и дана их физическая интерпретация.

В главе 6 в численном эксперименте впервые исследуется медленная эволюция TTC в процессе диффузии функции распределения по приближенному адиабатическому инварианту движения Iz. Для определения

коэффициента нелинейной диффузии в каждый момент времени численно решается система уравнений Власова-Максвелла, преобразованная в одномерном случае к уравнению типа Трэда- Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы. Поскольку ток таких квазизахваченных частиц противоположен по направлению току пролетных частиц, происходит частичная или полная компенсация локального тока в центре слоя. Как следствие, профиль плотности тока эволюционирует от обычного вида с одним максимумом к "бифурцированному". Такая структура является характерной для TTC перед окончательным разрушением, когда баланс натяжений магнитного поля перестанет выполняться. Результаты численных расчетов позволяют моделировать расщепление TTC в реальном времени и хорошо подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ Cluster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения TTC не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

Во введении обоснована актуальность создания теоретических и численных моделей, которые бы позволили понять механизмы формирования расщепленных токовых слоев (РТС) и их внутреннюю структуру. Поскольку в TTC может накапливаться значительная энергия (~ 1014-1015 Дж), расчеты

режимов их эволюции необходимы для понимания глобальной динамики магнитосферы.

В параграфе 6.1 представлена самосогласованная одномерная модель анизотропного TTC, в которой эволюционные изменения профиля плотности тока за счет процессов неадиабатического рассеяния частиц в сильно искривленном магнитном поле TTC приводят к развитию РТС— структуры.

Основным уравнением рассматриваемой модели является начально-краевая задача для нелинейного уравнения диффузии для функции распределения рассеянных частиц ^ =

Bt dl\ v }дГ) у J И/'=1=№ |^|/'=о-=0, v\t=o = ¥о> (33)

2

где Г = I/wq - нормированный безразмерный адиабатический инвариант. Для определения коэффициента нелинейной диффузии в каждый момент

времени необходимо решить самосогласованную систему уравнений Власова-Максвелла, преобразованную в одномерном случае к уравнению типа Греда-Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы.

Для решения такой сложной и важной задачи был впервые разработан численный алгоритм, основанный на методе прогонки с итерациями и реализованный в виде комплекса программ. Подробное описание этого алгоритма приведено в параграфе 6.2. Были преодолены существенные трудности, связанные с необходимостью решать на каждом временной шаге самосогласованную задачу для нахождения коэффициента нелинейной диффузии с учетом захваченной плазмы. Разработанный алгоритм впервые позволил в режиме реального времени моделировать процесс диффузионного накопления захваченных частиц и получить результаты, совпадающие с результатами спутниковых наблюдений.

Полученные при помощи этого алгоритма новые результаты представлены в параграфе 6.3. При помощи созданного комплекса программ в численном эксперименте был впервые изучен процесс расщепления (или "старения") TTC за счет диффузионного накопления квазизахваченной плазмы. Полученные новые результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, что позволяет судить об их адекватности рассматриваемой физической модели. В численном эксперименте получена характерная оценка времени жизни TTC, которая для условий магнитосферного хвоста (Вп — 0.5 — 1.5 нТл) составляет 30-90 мин., что

хорошо согласуется с характерным временем так называемой фазы накопления энергии в магнитосферном хвосте, полученным из спутниковых наблюдений.

В главе 7 рассмотрена самосогласованная одномерная модель TTC, в которой натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным

образом, инерцией ионов, а не плазменным давлением. Влияние электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность, учтено , в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численном эксперименте проанализирована зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий. Обсуждено возможное влияние этих эффектов на тонкую структуру токового слоя (ТС) и на динамику процессов в плазменном хвосте Земли.

Глава состоит из введения, трех параграфов и заключения.

Во введении излагается история проблемы и формулируется цель исследования: изучение влияния электростатического поля и электронных токов в самосогласованной одномерной модели TTC и определение их роли в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах ТС. Методом исследования является моделирование влияния электронного тока и тока квазизахваченных ионов на формирование расщепленного TTC.

В параграфе 7.1 приводятся основные уравнения модели тонкого токового слоя в приближении изотропного электронного давления. Рассматривается самосогласованная модель TTC, где натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным образом, за счет конечной инерции ионов, движущихся вдоль сильно изогнутых линий магнитного поля.

Основные предположения модели следующие: (а) ионная компонента плазмы состоит из пролетных ионов на спейсеровских орбитах; (Ь) движение ионов квазиадиабатическое; (с) электронная компонента может быть описана в рамках гидродинамического приближения с изотропным тензором давления; (d) плазма квазинейтральна; (е) электроны движутся вдоль силовых линий достаточно быстро, чтобы поддержать квазиравновесное распределение Больцмана при наличии электростатических и зеркальных сил.

Условие квазиадиабатичности позволяет вместо точного решения уравнений Власова-Максвелла использовать при,вычислении ионного ji{z)

дополнительный приближенный интеграл движения Iz. Кроме того, используются два точных интеграла движения: полная энергия частицы

импульс Ру = ту у — (е/ с)Ау (х, г).

Одномерные самосогласованные уравнения Власова-Максвелла имеют

вид:

электростатический потенциал) и канонический

4ле

jyi~y- компонента ионного тока. Функция распределения ионов может быть

записана как функция интегралов движения, что позволяет применить теорему Лиувилля:

/, ~expH(v/7(v,/(z))-vD)2 +vi(v,/(z))]/v£},

Vy- тепловая скорость, Vjy - дрейфовая скорость). Основная проблема состоит

в учете электронного тока в правой части (34) в рамках одномерной кинетической модели TTC, которая до сих пор не была решена.

Для расчета влияния электронов последние рассматриваются в жидкостном приближении в направлении, перпендикулярном магнитным силовым линиям. Предполагается, что тензор электронного давления изотропен. Движение электронов в перпендикулярном направлении описывается уравнением

( [-_ -пЛ

^е±

тр-= -е

е dt

v

VPe

— (36)

пе

Вдоль силовых линий на замагниченные электроны с магнитным моментом [л действуют зеркальная сила —¿NB так, что:

"V~ =~еЁ\Г — •~ ^В (37)

dt 11 пе

Пренебрегая инерцией электронов в (36), получим

[Ё9в] ГVPe,B]

В1 епеВ

le = ~*ne%L (39)

Упрощая (37) и также пренебрегая инерцией электронов, получим

VP

éV<p--= О (40)

пе

Здесь £jj = Vj|электростатический потенциал вдоль силовых

линий магнитного поля.

Для случая изотермических электронов уравнение (40) сводится к закону распределения Больцмана:

ftgO) _ f <<P{s) -ffo)- M(B(s) - B0)

n0 [ Te

с граничным условием на краях слоя: <p(L) = (ро = 0. Другое важное уравнение, используемое в этой модели, представляет собой условие квазинейтральности: щ (г, (p{z)} = пе (г, (p(z)) = п, которое определяет

движение заряженных частиц в плазме, т.к. электростатический потенциал ç(r) действует на ионы и электроны, перераспределяя их плотности вдоль силовых линий, делая их приблизительно равными в каждой точке слоя.

Уравнения модели с соответствующими граничными условиями для магнитного поля и электростатического потенциала, представляют собой замкнутую систему уравнений для самосогласованного магнитного поля и токов для в одномерном двухкомпонентном равновесном TTC.

В параграфе 7.2 описан эффективный итерационный численный алгоритм решения самосогласованной задачи.

В параграфе 7.3. представлены результаты вычислительных экспериментов. На рисунках к этому параграфу показаны плотности токов ионов и электронов и электростатические потенциалы для различных значений

параметров q2> г и Ьп.

Отмечается, что рассмотренная одномерная модель TTC показывает, что в случае изотропного давления электроны могут нести существенную часть тока и способны быть причиной расщепления профиля полного тока.

Заключение

В диссертации представлены разработанные и реализованные в виде комплексов программ эффективные численно-аналитические методы, позволяющие решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы. Продемонстрировано применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики.

Основные результаты работы, полученные лично автором.

1. Создан комплекс программ двумерного моделирования эволюции КС в нелинейной среде с переносом, диффузией и генерацией с ограничением.

2. При помощи асимптотических оценок и двумерного численного моделирования впервые получены решения уравнения динамо средних полей, соответствующие долгоживущим бисимметричным конфигурациям магнитного поля в спиральных галактиках.

3. В численных экспериментах, проведенных при помощи созданных комплексов программ и аналитических оценок, изучены основные закономерности процесса эволюции двумерных КС, являющихся решением двумерного нестационарного нелинейного уравнения диффузии.

4. При помощи численного моделирования и аналитических оценок изучен дрейф одномерного ВПС. Исследованы процесс захвата и процесс прохождения ВПС через неоднородную область при нарушении условий захвата.

5. Создан эффективный численный алгоритм исследования TTC в рамках одномерной самосогласованной модели. В численных экспериментах исследованы самосогласованные решения с учетом захваченной в слое плазмы.

6. Создан комплекс программ для численного моделирования одномерного самосогласованного анизотропного TTC с расщепленной (или "бифурцированной") структурой, основанный на численном решении нелинейного уравнении диффузии для функции распределения.

7. Создан комплекс программ для моделирования самосогласованного одномерного TTC с учетом влияния электронов и электростатических полей. В численных экспериментах впервые показано, что электростатические эффекты могут приводить к расщеплению токовых слоев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каплан С. А., Пикельнер С. Б. Физика межзвездной среды. М.: Наука, 1979, 591 с.

2. Рузмайкин А. А., Шукуров А. М., Соколов Д. Д. Магнитные поля галактик. М.: Наука. 1988, 280 с.

3. Berkhuijsen Е. M., Horellou С., Krause M., Neininger N., et. al. Magnetic fields in the disk and halo of M 51. //Astronomy and Astrophysics. 1997, v. 318, p.700-720.

4. Петров А. П., Мосс Д., Соколов Д. Д. Магнитные фронты в галактиках //Астрономический журнал, 2001, т. 78, № 7, с.579-584.

5. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.:Наука, 1992, 511с.

6. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А. П., Самарский A.A. Возникновение структур в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов обострения // Наука, технология, вычислительный эксперимент, 1993, с. 33-62.

7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

8. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур. //Математическое моделирование. 1991. т.З. № 4. с. 114-123.

9. Мажукин В. И., Самарский А. А., Орландо К., Шапранов А. В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами //Математическое моделирование, 1993, т. 5, № 4, с.32-56.

10. Акасофу С.- И. Полярные и магнитосферные суббури, М., Мир, 1971, 317 с.

11. Asano Y., Mukai T., Hoshino M., Saito Y., et. al. Evolution of the thin current sheet in a substorm observed by Geotail //Journal of Geophysical Research, 2003. v. 108, №A5, p. 1189-1212.

12. Runov A., Nakamura R., Baumjohann W., Zhang T.I., Volverk M., Cluster observation of a bifurkated current sheet //Geophysical Research Letters, 2003, v. 30, № 2, p. 1036-1040.

13. Сыроватский С. И. О возникновении токовых слоев в плазме с вмороженным сильным магнитным полем //Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1971. т. 60, с. 1727-1740.

14. Kropotkin A.P., Domrin V.I. Theory of a thin one-dimensional current sheet in collisionless space plasma //Journal of Geophysical Research, 1996. v. 101..p. 19893-19907.

15. Kropotkin A.P., Malova H.V., Sitnov M.I. Self- consistent structure of a thin anisotropic current sheet. //Journal of Geophysical Research, 1997. v. 102. p. 2209922106.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

16. Быков А.А., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Математическое моделирование течения тока в среде с сильным эффектом Холла // Математическое Моделирование, 1989, т.1. № 4. с. 45-53.

17. Быков А.А., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Внутренние переходные слои потенциала в сильно замагниченной плазме // Математическое Моделирование, 1989, т.1. № 6. с. 33-47.

18. Быков А.А., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Двумерная модель течения тока в квазинейтральной плазме с учетом собственного магнитного поля. // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1989. т. 30, № 5. с. 11-15.

19. Быков А.А., Попов В.Ю, Свешников А.Г. Моделирование ионных потоков в поле магнитной защиты //Математическое Моделирование, 1991. т. 3.№ 10. с. 116-121.

20. Быков А.А., Морозов А.И., Попов В.Ю., Свешников А.Г. Численное моделирование ионных потоков в присутствии магнитного и самосогласованного электрических полей в элементах магнитной защиты //Физика плазмы, 1992, т. 18, вып. 8. с. 976-985.

21. Быков А.А., Попов В.Ю., Соколов Д.Д., Шукуров А.М. Долгоживущие бисимметричные магнитные структуры в спиральных галактиках // XII рабочее совещание РАС ФИАН, Пущино, 1996,7с.

22. Быков А.А., Попов В.Ю. О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т.309, № 2, с. 280-288.

23. Быков А. А., Попов В.Ю. Градиентный дрейф одномерной нестационарной контрастной структуры в неоднородной среде. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т. 309, № 3, с. 458-471.

24. Быков А.А., Попов В.Ю., Воеводин В.В., Козырева О. В., Соколов Д.Д. Эволюция двумерных контрастных структур сложной формы. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т.309, № 5, с. 803-813.

25. Быков А.А., Попов В.Ю., Воеводин В.В., Козырева О. В., Соколов Д.Д. Поверхностное натяжение контрастных структур //Доклады Академии Наук, 1999, т.364, № з, с. 319-322.

26. Быков А.А., Зубо Д.О., Попов В.Ю. Об устойчивости контрастных структур в плавно неоднородных средах //Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 5, с. 658-665.

27. Быков А.А., Попов В.Ю. Эволюция неустойчивых конфигураций магнитного поля в задаче динамо средних полей в турбулентной среде // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 3, с. 10-13.

28. Быков А.А., Попов В.Ю. Об устойчивости областей инверсии магнитного поля в спиральных галактиках // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 5, с. 7-10.

29. Быков А.А., Попов В.Ю. Об эволюции двумерных областей инверсии магнитного поля спиральных галактик // Вестник Московского Университета, « серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 6, с. 9-12.

30. Зеленый JI.M., Долгоносов М. С., Быков А. А., Попов В. Ю., Малова X. В., О влиянии захваченной плазмы на структуру бесстолкновительных тонких токовых слоев. //Космические исследования, 2002, т.40, № 4, с.385-394.

31. Зеленый JI.M., Малова Х.В., Попов В.Ю. Расщепление тонких токовых слоев в магнитосфере Земли //Письма в ЖЭТФ, 2003, т. 78, вып.5, с.742-746.

32. Зеленый Л.М., Малова Х.В., Попов В.Ю., Математическое моделирование двухкомпонентных тонких токовых слоев в магнитосферной ^ плазме //Радиотехника и Электроника, 2005, т.50, № 2, с. 205-213.

33. Bykov A., Popov V., Shukurov A., Sokoloff D. Anomalous persistence of bisymmetric magnetic structures in spiral galaxies. //Monthly Notes of the Royal Astronomical Society, 1997, v. 289, № 1, p. 1-10.

34. Bykov A., Popov V., Shukurov A., Sokoloff D. Evolution of nonaxissymmetric magnetic fields in a nonlinear meanfield dynamo. //Acta Astronómica et Geophysica Universitatis Comenianae. 1997, v. 19, p. 13-20.

35. Malova H.V., Bykov A.A., Popov V.Yu., Pulkkinen T.I., Sharma A.S., Zelenyi L.M. Structure of non-adiabatic current sheets: role of the trapped population and phase mixing //Proceedings of International Conference on Substorm-5, St. Petersburg, Russia, 2000, 16-20 May, p.177-182.

36. Malova H.V., Bykov A.A., Popov V.Yu., Zelenyi L.M., Delcourt D.C., Sharma A.S. Structure of non-adiabatic current sheets: role of the trapped population and phase mixing //Proceedings Sixth International School Space Plasma Simulation, Max-Planck-Institut fuer Extraterr. Phys., Garching, Germany, 03-08 September 2001, Ed. by J. Buchner, С. T. Dum, M. Sholer, Berlin, Germany, 2001. p. 293-296.

37. Malova H. V., Sharma A. S., Zelenyi L. M., Popov V. Y., Delcourt D. Magnetotail thin currents sheet equilibrium: Influence of electron pressure anisotropy //AGUFall Meeting, 13-17 December 2004, San Francisco, Eos Trans. AGU, 85(47), Fall Meet. Suppl., Abstract SMI 1 A-l 168,2004.

38. Zelenyi L.M., Malova H.V., Popov V.Yu., Delcourt D.C., Sharma A. S. Evolution of ion distribution function during the "aging" process of thin current sheets //Advances in Space Research, 2003, v.31, № 5, p.1207-1214.

39. Zelenyi L. M., Malova H. V., Popov V. Yu., Delcourt D., Sharma A.S. Nonlinear equilibrium structure of thin currents sheets: influence of electron pressure anisotropy // Nonlinear Processes in Geophysics, 2004, v. 11 , p. 1-9.

40. Zelenyi L. M., Malova H. V., Popov V. Yu., Delcourt D. C., Sharma A. S., Role of electrostatic effects in thin current sheets //in NATO science series, Multiscale processes in the Earth's magnetosphere: from Interball to Cluster, Editors, Editors: J.-A. Sauvaud and Z. Nemecek, Kluwer Academic Publishers, 2004, p. 275-288.

41. Zelenyi L., Malova H., Popov V., Delcourt D., Sharma S. Multilayer kinetic model of thin current sheets with anisotropic electrons //International conference on Problems of Geocosmos, May 24-28, 2004, St. Petersburg, Russia, Book of abstracts, 2004, p. 167-168.

42. Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V.,Ovodkov D., Sharma A. S. The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets // International conference on Problems of Geocosmos, May 24-28, 2004, St. Petersburg, Russia, Book of abstracts, 2004, p.168-169.

43. Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V. Role of electrostatic effects in thin current sheets of the Earth's magnetosphere // 35th COSPAR Scientific Assembly, Paris, France, 18-25 July 2004, Abstracts, COSPAR04-A-00081.

44. Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V., Sidelnikov A., The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets (the "kappa"<l regime) // 35th COSPAR Scientific Assembly, Paris, France, 18- 25 July 2004, Abstracts, COSPAR04-A-00254.

45. Zelenyi L. M., Malova H. V., Popov V. Yu., Delcourt D. C., Sharma A. S., "Bifurcated" thin current sheets in the Earth's magnetosphere: comparison of model and "in situ" observations //COSPAR Colloquia series, v. 16, Frontiers in Magnetospheric Plasma Physics, Celebrating 10 years of Geotail Operation, Proc. 16th COSPAR Colloquium held at the Institute of Space and Astronautical Science (ISAS), Kanagawa, Japan, 2002, July 24-26, Ed. by M. Hoshino, Y. Omura, and L.J. Lanzerotti, Elsevier, Tokyo, 2005, p. 100-105

46. Попов В.Ю. Моделирование эволюции ^ контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме. //Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2005", стр. 92-100.

Подписало к печати j. 12. D 5 Тираж 1.4/3 Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

Глава 1. Аномальная стабильность бисимметричного 47 магнитного поля в спиральных галактиках.

Введение

1.1 Постановка задачи.

1.2. Качественный анализ захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами

1.3. Численное моделирование захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами

1.4 Выводы и заключение.

Глава 2. Некоторые законы эволюции двумерных 82 контрастных структур.

Введение.

2.1. Модель контрастной структуры.

2.2. Эволюция круговой контрастной структуры.

2.3. Эволюция контрастной структуры произвольной формы.

2.4. Компьютерное моделирование эволюции контрастной структуры произвольной формы.

2.5. Эволюция неодносвязных пятен.

2.6. Некоторые законы эволюции внутреннего переходного слоя

2.7. Эволюция контрастной структуры в форме эллипса.

2.8. Эволюция пятна в форме кольцевого сектора.

Глава 3. О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур.

Введение.

3.1. Одномерная модель КС.

3.2. Стационарные одномерные КС.

3.3. Оценка времени жизни нестационарной КС.

3.4. Численное моделирование одномерной задачи.

3.4.1. Эволюция симметричной КС.

3.4.2. Эволюция асимметричной КС.

Глава 4. Градиентный дрейф одномерной нестационарной контрастной структуры в неоднородной среде.

Введение.

4.1. Оценка максимальной скорости градиентного дрейфа внутреннего переходного слоя.

4.2. Компьютерное моделирование градиентного дрейфа периодической контрастной структуры.

4.3. Контрастные структуры с непериодическим профилем пороговой функции.

Глава 5. Моделирование влияния захваченной плазмы на 184 структуру бесстолкновительных тонких токовых слоев.

Введение.

5.1. Основы аналитической модели

5.2. Численное решение аналитической задачи.

5.3. Основы численной модели TTC. Метод крупных частиц.

5.4. Основные результаты численного моделирования. 214 Заключение

Глава 6. Моделирование процесса расщепления тонких токовых слоев в бесстолкновительной плазме.

Введение.

6.1 Описание модели.

6.2 Численный алгоритм

6.3. Результаты вычислительного эксперимента

Глава 7. Математическое моделирование двухкомпонентного 249 тонкого токового слоя в магнитосферной плазме.

Введение.

7.1. Основные уравнения модели TTC в приближении изотропного электронного давления

7.1.1. Модель пролетных ионов

7.1.2 Учет влияния электронов в полужидкостном 257 приближении.

7.2. Численный алгоритм решения самосогласованной задачи.

7.3 Результаты численных экспериментов.

Актуальность проблемы

В различных областях науки, в том числе в математической физике, физике плазмы, астрофизике, геофизике, биофизике и т.д. часто возникает необходимость исследования нелинейной эволюции физических полей различной природы [2], [3], [6], [7], [13]-[16], [44], [46]-[48], [51], [58], [61], [62], [64], [67], [70], [87], [92], [96], [130].

В качестве физического поля могут рассматриваться, например, температура [44], концентрация вещества [48], [67], [87], величина напряженности магнитного поля [6], [46], [47], [70], плотность тока, концентрация заряженных частиц [2], [3], [83], [84].

В процессе эволюции физических полей в нелинейном режиме часто возникают своеобразные конфигурации, называемые контрастными структурами (КС) [17], [18], [32], [34], [36], [37], [44], [62], [70], [88], [93], [107], [128], [129], [141]—[143], [162], [164], [195], [203], [207], [208], в которых обширные участки медленного изменения поля разделяются малыми по объему областями быстрого изменения с большим градиентом поля - внутренними переходными слоями (ВПС) [17], [18], [34], [60], [62], [68]—[70], [88], [121], [131], [141]—[143], [191], [207], [208].

Результаты наблюдений за различными природными объектами демонстрируют возможность существовании нестационарных КС [4], [5], [44], [51], [61], [62], [92], [93], [141], [142], [154], [155], [162]- [164], [167]-[170], [174], которые могут, как постепенно приближаться к стационарным КС, так и исчезать, образуя плавные распределения поля.

Такие структуры, обнаруженные, например, при астрофизических наблюдениях магнитных полей в спиральных галактиках [49], [50], [68]—[70], [99], [129], [164], [175], и при спутниковых исследованиях в магнитосферной плазме [3], [157], [158], [162], [163], [168]—[170], интенсивно изучаются в течение нескольких последних десятилетий. Изучение и моделирование эволюции нестационарных КС играет важную роль в понимании механизмов генерации, развития и разрушения астрофизических и геофизических магнитных полей и представляет собой актуальную задачу. Еще более общей задачей, возникающей в различных областях науки, является задача моделирования процесса нелинейной диффузии в активных средах, приводящего к возникновению эволюционирующих ВПС. На сегодняшний день законы эволюции нестационарных КС и ВПС практически не изучены.

Контрастные структуры являются предметом изучения большого числа исследователей. Основным инструментом их аналитического исследования являются асимптотические методы [17], [18], [25], [32], [34], [35], [60], [62], [78], [79], [88], [98], [186], [189] при помощи которых достаточно полно изучены различные типы стационарных КС и разработаны методы анализа их устойчивости [19], [20], [21], [22], [23], [24], [26], [27], [33], [34], [66], [98], [101], [134], [155], [171], [186], [200]. Однако применение аналитических методов исследования сталкивается с существенными трудностями при увеличении размерности задачи, усложнении вида нелинейности, при различных вырождениях нелинейных уравнений, а также в случае нестационарных (неустойчивых) КС, возникающих при решении ряда важных физических задач.

Наряду с аналитическими методами для исследования КС неоднократно применялись различные численные методы [30], [31], [38]-[41], [55]—[57], [59], [77], [100], [122], [127], [141]-[143], [145], [150], [151], [155], [186]. Ввиду разномасштабности КС и ВПС применение численных методов требует либо большого объема вычислительных ресурсов, либо разработки специальных методов, позволяющих выделить и разрешить с нужной точностью ВПС. Так, например, разработаны адаптивные алгоритмы [30], [31], [38]—[41], [55]—[57], основанные на сгущении сетки в области переходного слоя. Они эффективно применяются для изучения одномерных

КС. Однако применение численных методов существенно усложняется в случаях, когда переходные слои имеют сложную структуру (например, в двумерных задачах) или/и движутся (в случаях нестационарных (неустойчивых) КС).

Для решения таких актуальных задач необходимо разрабатывать специальные методы, сочетающие аналитические и численные подходы. Потребности ученых в таких методах, позволяющих эффективно исследовать нелинейную эволюцию КС, обосновывает актуальность данной работы.

В диссертации не ставится цель создать абстрактные математические теории, а представлены разработанные и реализованные в виде комплексов программ эффективные численно-аналитические методы, позволяющие решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы. В данной работе продемонстрировано применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики [195]—[219].

Одним из важных вопросов теории галактических магнитных полей является происхождение бисимметричных контрастных структур (БСС) магнитного поля, наблюдаемых в некоторых спиральных галактиках [49], [50], [ 129],[68]—[ТО], [99], [164], [175]. Бисимметричные магнитные поля в спиральных галактиках дважды меняют знак вдоль азимутального направления, поэтому они подвержены сильному влиянию дифференциального вращения. Если бы магнитное поле было вморожено в межзвездный газ [159], то влияние дифференциального вращения привело бы к быстрому уменьшению радиального размера такой структуры и ее разрушению вследствие молекулярной и турбулентной диффузии [53]. Однако результаты наблюдений показывают, что в ряде спиральных галактик существуют аномально долгоживущие БСС магнитного поля, время жизни которых сравнимо со временем существования самой галактики [49], [50], [129],[68]-[70], [99], [164], [175].

Построенные ранее модели [70], [107], [108], [127], [128], [132], [138], [141]—[147], [160], [161], [164], [178], не смогли в полной мере объяснить механизм этого явления, поскольку полученные в них времена существования БСС оказывались меньше времени жизни галактики. Поэтому моделирование эволюции БСС магнитного поля в спиральных галактиках является актуальной задачей современной астрофизики.

Эволюция решений типа КС привлекает большое внимание в теории нелинейных дифференциальных уравнений и в задачах математической физики, включающих малый параметр при старших производных [17], [18], [32], [34], [44], [88]. К числу наиболее актуальных задач, для которых существуют решения типа КС, относится краевая задача для уравнения диффузии put = ЯАи +F{x,u,t) с малой величиной коэффициента диффузии Л-и с нелинейной правой частью F(x,u,t), зависящей от и, координат и времени. Моделирование эволюции таких одномерных и двумерных структур представляет на сегодняшний день актуальную задачу математической физики.

Одним из ключевых процессов магнитосферной динамики считается взрывной процесс разрушения тонкого токового слоя (TTC), образующегося в области ближнего к Земле края токового слоя магнитосферы в результате взаимодействия плазмы солнечного ветра с магнитным полем Земли [1], [2], [3], [58], [61]. Однако до сих пор не существует единой точки зрения на то, какова тонкая структура TTC, является ли плазма в этих слоях изотропной или анизотропной, а также каков конкретный механизм их разрушения в фазе накопления суббури. Поэтому изучение и моделирование эволюции контрастной структуры - TTC в магнитосферной плазме, представляет актуальную задачу геофизики.

В настоящее время существуют разнообразные модели равновесных бесстолкновительных TTC, как аналитические, так и численные. Их можно условно разделить на два больших класса: модели изотропных [101], [166] и анизотропных слоев [113], [177].

Одно из современных направлений исследований динамики TTC основывается на идее поиска таких физических процессов, которые бы подготавливали слой к развалу или облегчали бы развитие различных неустойчивостей. Были исследованы механизмы уменьшения энергии сжатия электронной компоненты посредством передачи импульса от электронов к ионам [42], построена модель развития комбинированной неустойчивости в TTC [171]. Однако единой точки зрения на эту проблему нет, и парадокс электронной сжимаемости до сих пор не решен. Одно из направлений исследований сегодня переместилось в область изучения неустойчивостей TTC под действием более крупномасштабных возмущений (изгибная, баллонная, комбинированная неустойчивости и другие [42], [103], [112], [133],[171]. Однако и эти модели не дают однозначного ответа на вопрос об основном механизме, обеспечивающем разрушение магнитосферного токового слоя. Изотропные слои, для описания которых существуют достаточно простые аналитические модели, по-прежнему стоят в центре внимания исследователей, в то время как вопросы устойчивости и временной динамики анизотропных токовых слоев - гораздо менее исследованная область.

Актуальной проблемой является создание теоретических и численных моделей, которые бы позволили понять механизмы формирования расщепленных токовых слоев (РТС) и их внутреннюю структуру. Поскольку в TTC может накапливаться значительная энергия 1014-1015 Дж), расчеты режимов их эволюции необходимы для понимания глобальной динамики магнитосферы.

На основании большого количества численных расчетов с использованием кинетических, гибридных и МГД моделей с учетом эффекта Холла было показано, что электроны могут создавать значительные локальные токи, особенно в областях слабого магнитного поля [100], [122],

154], [155], [187]. В работах [93], [124] была предложена идея, о том, что электронный ток может быть причиной характерного двугорбого (или "расщепленного") профиля тока. Показано, что такие токовые слои (ТС) могут существовать в земной магнитосфере во время суббури [162], [163], [167]. Однако механизм расщепления TTC пока не выяснен. В [118] предполагается, что расщепление тока может быть следствием хаотического рассеяния частиц на флуктуациях магнитного поля вдали от центра слоя. В [188] рассмотрен сценарий расщепления, в котором TTC постепенно "разрушается" из-за рассеивания неадиабатических квазизахваченных ионов ("старение" TTC). Моделирование влияние электронов на процесс расщепления TTC также является актуальной задачей современной геофизики.

Цель исследования

Создание и реализация в виде комплекса программ эффективных численно-аналитические методов, позволяющих решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы. Применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики

Задачи исследования

1. В рамках двумерной численно-аналитической модели галактического динамо в приближении тонкого диска исследовать нелинейный процесс эволюции самоподдерживающегося бисимметричного магнитного поля в турбулентной среде - спиральном галактическом диске.

2. При помощи численных экспериментов и асимптотических оценок исследовать процесс эволюции двумерных и одномерных КС - решений краевой задачи для уравнения диффузии put=ÄAu + F(x,u,t) с малой величиной коэффициента диффузии Лис нелинейной правой частью F(x,u,t).

3. В рамках одномерной самосогласованной численной модели TTC исследовать влияние захваченной плазмы в процессе эволюции TTC в магнитосфере Земли.

4. При помощи численного моделирования исследовать одномерный самосогласованный анизотропный TTC с расщепленной (или "бифурцированной") структурой.

5. Изучить влияние электронов в самосогласованной одномерной численно-аналитической модели TTC и определить их роль в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах слоя.

Научная новизна исследования

1. Создан и численно реализован алгоритм двумерного моделирования эволюции КС в нелинейной активной среде с переносом, диффузией и генерацией с ограничением.

2. При помощи асимптотических оценок и двумерного численного моделирования впервые найдены решения уравнения динамо средних полей, для которых область инверсии магнитного поля вдоль азимутального направления дрейфует синхронно с перемещением галактических рукавов. Такая бисимметричная конфигурация магнитного поля вращается как твердое тело с угловой скоростью, совпадающей со скоростью вращения спиральных рукавов. При определенных условиях это приводит к замедлению разрушения БСС, вызванного дифференциальным вращением и турбулентной диффузией. Впервые показано, что такое захваченное бисимметричное магнитное поле может иметь время жизни порядка 10-15 Гига лет в области размером несколько килопарсек в окрестности коротации, что совпадает с результатами наблюдений, показывающими наличие аномально долгоживущего бисимметричного поля в ряде галактик (М51, М81).

3. Получены аналитические оценки скорости дрейфа изогнутой границы и времени жизни двумерной КС произвольной формы. Аналитически оценена скорость дрейфа ВПС заданной формы, получены приближенные формулы, описывающие эволюцию КС круговой, эллиптической и некоторых других модельных форм.

4. В численных экспериментах, проведенных при помощи разработанных алгоритмов, изучены основные закономерности процесса эволюции двумерных КС, являющихся решением двумерного нестационарного нелинейного уравнения диффузии.

5. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

6. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

7. В рамках одномерной численной модели исследован дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня. Показано, что при определенных условиях ВПС может быть захвачен движением области с более благоприятными условиями генерации.

8. Получена аналитическая оценка для максимальной скорости переноса, для которой еще возможен захват КС, подтвержденная численными экспериментами. Исследованы процесс захвата и процесс прохождения ВПС через неоднородную область при нарушении условий захвата.

9. Создан эффективный численный алгоритм исследования TTC в рамках одномерной самосогласованной модели. В численных экспериментах исследованы самосогласованные решения с учетом захваченной в слое плазмы. Впервые в численном эксперименте показано, что возможной причиной разрушения TTC при достаточно большой плотности квазизахваченной плазмы может быть перераспределение общего тока, при котором локальный ток захваченных частиц полностью или частично компенсирует основной ток в центре и на краях слоя, в то время как полный ток, создаваемый ионами на захваченных траекториях равен нулю. Ю.Построена и численно реализована модель одномерного самосогласованного анизотропного TTC, описывающая слой с расщепленной (или "бифурцированной") структурой, основанная на численном решении нелинейного уравнении диффузии для функции распределения. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция системы в процессе диффузии функции распределения. Результаты численных расчетов подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ Cluster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения TTC не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер.

11.Построена и численно реализована новая самосогласованная одномерная модель TTC с учетом влияния электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность плазмы, в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численных экспериментах впервые показано, что электростатические эффекты могут приводить к расщеплению токовых слоев. Изучена зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий.

Практическая значимость работы

Разработаны эффективные алгоритмы и комплексы программ, которые позволяют решать широкий класс одномерных и двумерных задач моделирования процессов в нелинейных средах, описываемых начальнокраевыми задачами для нелинейного уравнения диффузии с переносом, ограничением и генерацией общего вида. Применение их к актуальным задачам астрофизики подтвердило их высокую эффективность и практическую значимость.

Созданы численные модели и комплексы программ, позволяющие исследовать процессы эволюции TTC, образующихся при взаимодействии взаимопроникающих плазменных потоков в обращенном магнитном поле. Применение этих методов в задачах моделирования околоземной плазмы позволило получить важные и интересные научные результаты. Созданные программные комплексы носят универсальный характер, что позволяет использовать их для решения широкого класс задач физики плазмы.

Положения, выносимые на защиту

1. Созданы и численно реализованы эффективные алгоритмы моделирования нелинейной эволюции контрастных структур различной природы.

2. При помощи численно-аналитического моделирования получены решения двумерного уравнения динамо средних полей, соответствующие долгоживущим бисимметричным структурам магнитного поля в спиральных галактиках.

3. Изучены общие закономерности эволюции двумерных КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

4. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф В ПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

5. Численно и аналитически исследованы процессы торможения и захвата на неоднородностях пороговой функции ВПС одномерной КС-решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии с переносом, генерацией и ограничением.

6. Впервые в численном эксперименте исследована эволюция и разрушение одномерного самосогласованного TTC в результате накопления в слое квазизахваченной плазмы.

7. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция TTC в процессе диффузии функции распределения.

8. При помощи численного моделирования изучено влияние электронов на эволюцию изотропного самосогласованного TTC.

Публикации

По материалам диссертации опубликована 21 научная работа и сделано 9 докладов на научных конференциях.

Аннотация диссертационной работы по главам.

Первая глава посвящена актуальной задаче астрофизики-моделированию эволюции КС магнитного поля в спиральных галактиках и состоит из введения и 4-х параграфов.

Во введении описана проблема существования аномально долгоживущих КС магнитного поля в ряде спиральных галактик. Рассматриваются модели, предложенные ранее для объяснения эффекта преобладания бисимметричной моды магнитного поля в спиральных галактиках. Излагается основная идея механизма поддержания бисимметричной моды, которая состоит в том, что устойчивая БСС в спиральной галактике может существовать в окрестности радиуса коротации при балансе дифференциального вращения, процесса генерации магнитного поля в результате эффекта динамо и магнитной диффузии.

В первом параграфе приводится подробная математическая постановка задачи, которая включает в себя уравнение динамо средних полей дБ dt rot

VxB /? ЛВ

0.1) где В- среднее магнитное поле, а-средний коэффициент спиральности,

Г = [й7хг] - скорость вращения, и (3- коэффициент турбулентной магнитной диффузии в цилиндрической системе координат в приближении тонкого диска, при котором решение уравнения динамо (0.1) может быть представлено в виде

В(г, (р, 2, ^ = г) и(г, ф, (0.2) где Ь{г,г) есть нормированное на единицу решение локального уравнения динамо (0.1). При этом локальные уравнения динамо, которые определяют

Ь{г,{), остаются линейными, а кубическая нелинейность достаточно общего вида, связанная с насыщением процесса динамо, входит только в уравнение для и(г, (р, которое включает в себя у - коэффициент генерации магнитного поля в процессе динамо. В качестве хорошего реалистичного приближения для у была выбрана функция

7 = 7 и

2 \ D

0.3)

Амплитуда и(г, (р, магнитного поля определяется следующим нелинейным нестационарным уравнением в частных производных: ди / v ди . 7 — + 0){г)— = Я dt w д<р д дг

1 д(ги)

1 д и г2 д(р2 i у и 1 и

2 Л D (0.4) г дг где со{г)~ угловая скорость вращения галактики, 7{г)~ локальный показатель роста, полученный как главное собственное значение локальных уравнений динамо, совместно с £)— характеристическая напряженность поля, при котором нелинейные эффекты динамо станут существенными (напряженность поля насыщения). Я г0 безразмерный коэффициент магнитной диффузии в плоскости диска (Л. «1). Неосесимметричный диск моделируется путем модуляции уровня насыщения /) двумя вращающимися спиральными рукавами:

1 + £8И1 2(<р-щ) (0.5) логарифмической спирали с углом закрутки р8 — arctg среднее значение Д зависящее от радиуса. Это уравнение А г — , вращающейся с угловой скоростью 0)8. Дифференциальное вращение задается модельной кривой вращения галактики М51, которая соответствует результатам астрофизических наблюдений. Остальные параметры также соответствуют параметрам галактики М51. Граничные условия имеют вид

О) = = 0, Я = 20 кПк. -О(^) определяется из условия равновесия между плотностями кинетической и магнитной энергий: г) <х ехр

-2 г \2 г у

Модельные зависимости для модельной кривой вращения 0)(г), локального показателя роста у {г) и модулированного спиральными рукавами уровня насыщения (р, представлены на рис.1.1-1.3.

Отмечено, что основное допущением модели состоит в том, что механизм генерации крупномасштабного магнитного поля имеет пороговый характер, то есть действует только тогда, когда напряженность магнитного поля меньше чем некоторое значение иначе, поле затухает.

Подчеркивается, что основное уравнение модели для и[г, (р, имеет более общий характер и может использоваться не только в модели галактического динамо.

Во втором параграфе проводится качественный анализ основного уравнения модели в локальной криволинейной системе координат {¿,\т]), вращающейся вместе со спиральными галактическими рукавами. Ось £ направлена поперек, а т] - вдоль рукавов:

7]=(г-гс )соъ р5 +Гс{(р- р5.

Здесь гс - радиус коротации, определяемый из условия т{гс)=ш5, где ш8- постоянная угловая скорость вращения галактических магнитных рукавов. В такой системе координат рассматривается установившееся решение уравнения вблизи коротации: г-гс «гс, для сильно закрученных спиральных рукавов р5 «1. Линеаризованное по р5 и г-гс основное уравнение модели имеет вид: ди и

32и ( и

V 4 у У

0.6) где У^ скорость материи поперек рукава во вращающейся системе координат. В силу сильной вытянутости спиральных рукавов по (р, производными по переменной г/ можно пренебречь. На рис. 1.4а-б. приведены зависимости и и(^) в малой окрестности коротации, соответствующей Т<гс или ш>ш8, в которой относительная скорость У^ отрицательна.

В безразмерных переменных получены оценки для максимума переходного слоя П~-. Получено выражение этих оценок через наблюдаемые величины для случая асо-динамо. Для случая плоской кривой

V, вращения СО = — оценена радиальная полуширина БСС

В третьем параграфе описана численная модель, алгоритм ее решения и вычислительные эксперименты по моделированию процесса захвата бисимметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами. Для проведения вычислительного эксперимента был создан комплекс программ численного решения начально-краевой задачи для основного уравнения модели, основанный на модифицированной экономичной итерационной разностной схемой переменных направлений. Приводится подробное описание разностной схемы и основные результаты вычислительных экспериментов, показывающих возможность существования долгоживущей бисимметричной моды и роль спиральных рукавов в этом процессе.

В четвертом параграфе представлены основные выводы первой главы. Из численного эксперимента следует, что время жизни захваченного бисимметричного поля может быть весьма велико и сравнимо со временем существования галактики. Благоприятными условиями захвата БСС спиральными рукавами являются: сильно закрученные рукава«1), тонкий диск, малый наклон кривой вращения. Однако последние два условия уменьшают эффективность динамо, поскольку динамо-число пропорционально Ь, и наклону кривой вращения. Поэтому, имеется т7шах о г~ допустимой относительной скорости К е ^^л]/ и полуширины г оптимальный диапазон параметров для поддержания БСС. Галактики, параметры которых лежат в этом диапазоне - лучшие кандидаты для наблюдения БСС. В численном эксперименте показано также, что радиальная полуширина БСС А г увеличивается с увеличением амплитуды модуляции в.

Вторая глава посвящена численно-аналитическому моделированию КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии. Глава состоит из введения и 8 - ми параграфов.

Во введении описан объект исследования- физическое поле и(х, которое участвует в процессах диффузии с заданным коэффициентом диффузии X, переноса с заданной скоростью и генерации с насыщением, причем дополнительная плотность источников за счет генерации Р зависит от координат, времени и от функции и. Описываются квазистационарные и нестационарные решения типа КС, эволюция которых сводится к относительно медленному перемещению ВПС.

Сформулирована задача исследования, которая состоит в выяснении качественных и некоторых количественных закономерностей дрейфа ВПС при помощи аналитических оценок и численного моделирования.

Поставлена цель исследования- выделить факторы, определяющие характер эволюции и время жизни неустойчивых нестационарных КС.

В первом параграфе приводится описание модели изучаемой КС, которая является решением нелинейного нестационарного уравнения диффузии с переносом, генерацией и насыщением в двумерной конечной или бесконечной области в, ограниченной линией Е: д и д * Ух у0и 1- — .(0.7)

Векторное поле скорости переноса V считается заданным, коэффициент диффузии X - малым, так что толщина ВПС П = 1 Я много меньше размера

Г О системы, /о- коэффициент генерации в приближении слабого поля, много меньшего уровня насыщения И.

Уравнение (0.7) рассматривается внутри ограниченной области С с границей £ и дополняется начальным условием и ^ =ид(х,у) и граничным условием и^-0. Описан процесс эволюции двумерной КС и характер дрейфа ВПС.

Во втором параграфе изучается эволюция модельной КС круговой формы с радиусом внутри которой и>0. В локальной полярной системе координат при постоянной скорости V = {Vг>0} уравнение (0.6) имеет вид ди ы v

V-* ди „ д и

-=Я дг дг2 т 1 г \2 ' и х

КО;

0.8)

Это уравнение эквивалентно одномерному нелинейному уравнению диффузии со скоростью переноса = Vл' г

У + Усип,(г), где Я

УСигу(г)=—7- Поле скоростей Усигу{г) направлено вдоль радиуса, в г окрестности ВПС, который в данном случае лежит на окружности радиуса дополнительная скорость дрейфа ВПС равна Я сигу С^) я

0.9)

Я - радиус круга, образующего положительное пятно КС. Дрейф ВПС направлен к центру кривизны. Если рассматривать скорость переноса Усип; как результат действия поверхностного натяжения КС, то граница пятна

КС перемещается по тому же закону, по которому перемещается в вязкой среде растянутая тонкая гибкая нить при условии, что сила вязкого трения пропорциональна скорости и сила натяжения нити постоянна вдоль всей линии, не зависит от времени и численно равна коэффициенту диффузии.

Показано, что круговое пятно в ходе эволюции остается круговым. Зависимость радиуса пятна от времени дается выражением t<tQ, где 70 определяется как момент времени разрушения пятна. Таким образом, площадь пятна КС убывает с течением времени по линейному закону, а время жизни кругового пятна с начальным радиусом В-о, равно о

0-Ю)

2 ТТЛ 2 где ^ = лЛ^ - начальная площадь пятна. Эти формулы для пятна круговой формы справедливы при условии На позднем этапе разрушения круговой КС, когда Я«П, скорость перемещения ВПС возрастает по сравнению со значением, определяемым формулой (0.9).

В третьем параграфе показано, что формула (0.10) для времени жизни контрастной структуры круговой формы остается верной и для пятен произвольной формы. Этот вывод основан на предположении о том, что скорость дрейфа ВПС в направлении, перпендикулярном линии ВПС, определяется формулой (0.9), в которой радиус круга нужно заменить на радиус кривизны кривой Г в данной точке. Таким образом, скорость и направление перемещения ВПС определяются радиусом кривизны и положением центра кривизны Г.

Показано, что если радиус кривизны Я во всех точках кривой Ь, ограничивающей односвязное пятно КС, много больше П, то площадь односвязного пятна произвольной формы линейно уменьшается с течением времени со скоростью 2тгЛ единиц площади за единицу времени:

Я о

- 2лХ (0.11) Ы

В четвертом параграфе представлены результаты компьютерного моделирования эволюции КС с произвольной формой. Подробно описаны разностная схема, алгоритм численного решения и результаты численных экспериментов.

Исследована эволюция хаотического начального состояния, амплитуда которого щ была много меньше порогового уровня И.

Для проверки справедливости формулы (0.11) в численном эксперименте получены зависимости площадей пятен различной формы от времени. Зависимость площади от времени оказывается действительно линейной, однако время жизни несколько меньше, чем следует из формулы (0.10), что объясняется отклонением от линейной зависимости 5(7) в конце жизни пятна, когда его диаметр становится сравнимым с толщиной переходного слоя П. Начиная с этого момента, пятно убывает быстрее за счет диффузии.

Пятый параграф посвящен эволюции неодносвязных пятен. Рассматривается положительное пятно КС, ограниченное внешним контуром Ьо, внутри которого имеется М пятен противоположной полярности, ограниченных контурами Ьт, \<т< М. Так как площадь, ограниченная контуром ¿о, зависит от времени по закону (0.10), и по такому же закону изменяется площадь внутри каждого из контуров Ьт, то скорость изменения площади положительного пятна

-= 2яА(М -1). (0.12) Ж

Представлены зависимости площади от времени для нескольких пятен с внутренними включениями пятен противоположной полярности (неодносвязных).

В шестом параграфе сформулированы и обсуждены некоторые общие законы эволюции ВПС в двумерном случае.

1. Длина замкнутой границы каждого пятна КС убывает со временем.

2. Диаметр пятна КС убывает со временем.

3. Для КС любой формы, отличной от круговой, скорость уменьшения диаметра пятна больше, чем для круга.

4. Границы двух несоприкасающихся пятен никогда не соприкоснутся (и даже удаляются друг от друга).

В седьмом параграфе приведены аналитические и численные результаты исследования эволюции пятна КС, имеющего в начальный момент форму эллипса с полуосями а0 и ^о (ао>^о)- В предположении о том, что пятно в каждый момент времени t>0 имеет форму эллипса с полуосями a{t) и b(t) и скорость дрейфа границы пятна в вершинах эллипса определяется формулой (0.9), получены аналитические выражения для a{t) и w а 1т*

- = д , (0.13)

1 ч аг\ * ап 1п д где д=—, —-----время жизни эллиптического пятна в данном

Ьо г приближении, т - относительное время, выраженное в единицах

0 / * времени жизни пятна 10 < т <1

Из (0.13) следует, что эксцентриситет эллиптического пятна убывает и на последней стадии разрушения эллиптическое пятно превращается в круговое, а затем разрушается.

Показано, что формулы (0.13) можно использовать для не слишком вытянутых эллиптических пятен. Более точные результаты получаются при 1 7 замене в (0.13) г" = —на выражение Г =—, ——: а 1т

Т = 9 (0-14) о

На рис.2.4 отображена эволюция эллиптического пятна, где хорошо видно, что перед разрушением пятно принимают круговую форму. На рис. 2.5 для нескольких эллиптических в начале эволюции пятен изображены временные зависимости отношения большего диаметра пятна к меньшему. Погрешность формул (0.13) возрастает при увеличении отношения полуосей, а модифицированные формулы (0.14) для эллипса дают практически точные результаты.

В восьмом параграфе аналитически и численно моделируется эволюция КС в форме вытянутого кольцевого сектора Щ<г<К2, (р\ <(р<(рп, Я2 ~<<{<Р2 ~<Р\\Я\ + • Получена приближенная аналитическая формула изменения площади пятна 2 Ж

А I 1 (Д2-Д1У

4 + — +--я- и

0.15) где Ь{\) - длина средней линии, вытянутой вдоль окружности радиуса п / Ч Я2 (0+^1(0 щ(/]=---- по азимуту на угол ¿±(р — (р2-(р\. При условии

Ь & Щ & Я2 (0.15) дает практически точный результат. На рис. 2.6 показана эволюция ЯС, которая изначально имело форму кольцевого сектора. В процессе эволюции протяженность пятна вдоль азимута сравнивается по порядку величины с протяженностью вдоль радиуса, после чего пятно эволюционирует как эллиптическое.

В третьей главе при помощи аналитических оценок и компьютерного моделирования изучается дрейф ВПС контрастной структуры - решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с насыщением и генерацией в однородной среде. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией. Показано, что скорость дрейфа ВПС и время жизни неустойчивой КС зависят от диаметров областей положительных и отрицательных решений. В рамках одномерной модели рассмотрен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения.

Глава состоит из введения и четырех параграфов. Во введении описан объект исследования- медленно изменяющиеся со временем решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии, имеющие в каждый фиксированный момент времени вид КС, причем ВПС медленно перемещается со временем (дрейфует).

Сформулирована цель исследования, методы исследования и кратко перечислены основные полученные результаты.

В первом параграфе описана математическая модель одномерной КС, которая является решением начально-краевой задачи для уравнения диффузии с генерацией и насыщением, где коэффициент генерации у нелинейно зависит от и:

0.16) с начальными условиями условиями при х=0 и х=Ь.

0 <х<Ь и граничными

В случае однородной среды, где y0,A,D - const уравнение (0.16) приводится к виду:

J = + (0.17) дт дх1 1 1 ъ и где т — у о^, 11= —- характерный масштаб ВПС. Поскольку

Ьо предполагается, что в П«Х, то (0.17) включает малый параметр при второй производной и принадлежит, к классу сингулярно возмущенных уравнений.

Описан процесс образования КС- решения (0.16) и дрейфа ВПС, изучение которого и есть цель данной главы.

Во втором параграфе анализируются решения стационарного уравнения п 2^у(1-у2) = 0. (0.18)

Профиль ВПС описывается решением задачи Коши для уравнения (0.18) с

1 [с

1—, Хо" координата X—Хд П \ 2 начальными условиями >>(xq) = 0, центра ВПС и С - константа, определяющая наклон кривой и(х) в точке Х().

Показано, что точное решение (0.17) при 0 < С < 1 есть неявная функция: х-х0 л/2 / ч . (И Ь

П а 1 и J а

Ф<Р с1<р

О л/1 -к25т2<р неполный эллиптическии интеграл первого рода. При 0 < С < 1 решение (0.18)у(х) является периодической функцией с периодом: т-п4^/^ а а) где

К(к)=Р полный эллиптическии интеграл первого рода. у

Периодические решения существуют при начальных условиях, удовлетворяющих неравенствам

1 1С Л пи йх х=0 ПУ2 где 0<С<1. Максимальное значение у(х) для заданного С< 1 равно

Углах

Ь = у1\-у1\-С . При 0<С«1 З^тах ^ + ~ ,априС<1и v ° у 8

В критическом случае при С—1, а-1, Ъ— 1 у X — Х0 ^ v

П>/2 у монотонная функция, обращающаяся в нуль только в одной точке х = Хд.

В третьем параграфе получены аналитические оценки времени жизни нестационарной одномерной КС с заданной шириной пятна Ж 1

32 ехр(л/2тг)— ехр 72 зависимости ширины пятна от времени: П

72

1п(-32г + ехр(л/2тг)).

Здесь т < 0, и момент времени г = 0 соответствует полному разрушению КС. Также получена аналитическая оценка скорости дрейфа ВПС: (-Л ( (+РЛ а / i— ууч /

-8Т2П ехр

72

14Л п v ехр

->/2 П v где м;^ и ширины положительного и отрицательного пятен соответственно.

В четвертом параграфе представлены результаты численного моделирования эволюции симметричных и ассиметричных КС в докритическом, критическом и сверхкритическом случаях. Показано, что аналитические оценки с высокой точностью согласуются с результатами численного эксперимента.

В четвертой главе исследуется эволюция решения типа нестационарной КС для уравнения диффузии с переносом и генерацией в неоднородной среде. Рассматривается дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня.

Если ВПС расположен на большом расстоянии от точки скачка пороговой функции, то он будет перемещаться со скоростью переноса. Если же ВПС расположен в малой окрестности точки скачка пороговой функции, то он может замедлить свое движение и даже остановиться. В параграфе получены приближенные необходимые условия останова ВПС. Критерием адекватности полученных оценок является совпадение аналитических результатов с результатами компьютерного моделирования.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

В первом параграфе получена аналитическая оценка для максимально возможной скорости дрейфа ВПС.

Рассматривается одномерное нелинейное нестационарное уравнение диффузии с переносом и генерацией ди ди д и ■ V — = Ядt дх ах2

Г 0й 1 v

Дх,0 -СО < X < СО, I > О

0.19)

Я- коэффициент диффузии, V- скорость переноса, уо -коэффициент генерации в линейном приближении. Пусть Дх,/) зависит от координат и времени по закону бегущей волны: Дх,£) = 1)(х — Дх)>0,

-оо < х < со. Пусть Д х) имеет минимальное значение Д >0 и максимальное значение Д, Д > Д, причем ширина каждой из областей, в которых Д х) ~ Д или Дх) ~ Д, много больше толщины ВПС гу

П = — . Между точками минимума, где Д х) = Д и точками максимума, и о

Дх) = Д, функция Дх) монотонна.

Если ВПС остановлен скачком пороговой функции, то существует стационарное ди э7 л 0 решение уравнения (0.19) типа контрастной

V1" У структуры, удовлетворяющее уравнению ди ,3 м к— = Я—~ + Уои д* дх2 1

Г ( \ Л2 иух) й{х)

0.20)

Для периодической кусочно-постоянной функции Дх) с периодом Г, принимающей два значения Д > 0 и Д, Д > Д:

Дх) =

Д, 0 < х < б/ Дх + Г) = Дх),0<б/<Г, (0.21)

Д, < х < Г в предположении Г-<^»П, получена аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса К, при которой стационарное решение типа КС существует:

Для непериодической кусочно-постоянной пороговой функции £)(х) принимающей всего два значения:

ГД^хсО, п ' А>0. (0.23) в случае, когда имеется только один ВПС, расположенный в окрестности скачка пороговой функции, т.е.

-Оа при X -00, и(х,1) при х —^ +со, аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса V, при которой стационарное решение типа КС существует, имеет вид: у Пгп 3 2Рь-РаФъ-4 (02А.

4л/2 Ва+Вь

В пределе при /г —>■ 0 оценки (0.24) и (0.22) совпадают. Полученные аналитические оценки подтверждены результатами компьютерного моделирования.

Во втором параграфе подробно описаны численные методы и приведены результаты компьютерного моделирования эволюции стационарных и нестационарных одномерных КС с периодической пороговой функцией 1)(х).

Для численного решения эволюционного уравнения (0.19) с периодической пороговой функцией (0.21) использована неявная разностная схема с периодическими граничными условиями на равномерной сетке, которая решалась методом прогонки с итерациями.

Наличие множества решений, жесткость рассматриваемой краевой задачи, периодичность граничных условий - все эти трудности были успешно преодолены при реализации разностной схемы.

Для численного решения стационарной задачи (0.20) был разработан и реализован новый модифицированный вариант метода стрельбы с погружением. Пусть С(х,а,Ь,¥)~ решение задачи Коши для уравнения (0.19) с заданной величиной V и с начальными условиями и(0)=а, (с1и/сЬсМ п=Ь. Пусть Ь(а,¥)~ решение уравнения С(2Т,а,Ь,У)-а относительно Ь (для вычисления этой величины используется классический метод стрельбы) и пусть Щх,а,¥)=С(х,а,Ь(а,У),¥). Если а=а(У) выбрано так, что дх дН{х,а,У) х=2Т дх 0, (0.25) х=0 то Н(х,а(У),¥)- решение уравнения (0.19) с периодическими условиями на промежутке 0<х<2 Т. Для численного решения уравнения (0.25) относительно а также используется классический метод стрельбы. Таким образом, решение типа КС существует, если уравнение (0.25) имеет решение и если соответствующая функция и(х)= Н(х,а(У),У) меняет знак, по крайней мере два раза на промежутке 0<х<2Т. Функция 8(а,У) на промежутке -£)а<(2<Оь всегда имеет, по крайней мере, два однократных корня, которые соответствуют упоминавшимся знакопостоянным решениям, не относящимся к классу КС. В зависимости от значения V функция 5(а,¥) может иметь, кроме того, еще один двукратный или два однократных корня. Два однократных дополнительных корня соответствуют случаю скорости меньше критической, ¥<Утах, в этом случае краевая задача для уравнения (0.20) с периодическими условиями имеет еще два решения типа КС. Для одного из решений, щ(х), значение в точке скачка /)(х) положительно: щ(сГ)>0, а для второго решения, ^(х), имеем 112{с1)<§. Для определения критического значения скорости Утах при постепенном увеличении V, отслеживаются одновременно ^(х) и щ(х). При некотором значении V— У]ШХ два корня уравнения (0.25), соответствующие и\(х) и щ(х), превращаются в один двукратный корень, оба решения КС совпадают. При У>Утах уравнение (0.24) не имеет корней, соответствующих решениям типа КС. Поскольку многократное решение задачи Коши и нелинейного уравнения представляет весьма трудоемкую задачу, был использован метод погружения [8], [9]. На первом этапе, при фиксированной величине глубины модуляции /г, V использовалось в качестве параметра погружения. На втором этапе в качестве параметра погружения использовалась глубина модуляции /г и из решения задачи Коши с начальным условием У1ШХ ^^ = 0 определялась зависимость Утах(И). Только одно из двух решений- М](х) может быть получено методом счета на установление для эволюционного уравнения (0.19), так как второе неустойчиво по отношению к возмущениям.

Численное решение стационарной и нестационарной задач проводилось при помощи разработанных автором комплексов программ. В параграфе описаны новые результаты моделирования процесса эволюции одномерной КС в среде с модулированным профилем пороговой функции. На рис.4.3. показан процесс стабилизации контрастной структуры в среде с периодическим профилем пороговой функции. На рис.4.4. показан процесс замедления нестационарной (неустойчивой) контрастной структуры на периодическом рельефе.

На рис.4.5. показано семейство стационарных решений типа контрастной структуры для набора различных значений скорости переноса. Численный эксперимент показал, что в широком диапазоне изменения параметров к и Т отношение щ/Иь оказывается малым, что позволило оценить относительную погрешность формулы (0.22), которая при малых /г<0.1 составляет не более 1%.

Получена более точная оценка для максимальной скорости дрейфа, при которой возможна стабилизация КС, справедливая как для периодической, так и для монотонной пороговой функций:

В третьем параграфе изучаются одномерные КС в среде с непериодическим профилем пороговой функции.

Существование решения (0.19) при заданном значении к и при было показано при помощи вычислительного эксперимента, в котором при заданном значении к численно решалась краевая задача (0.20) с граничными условиями и(х^) —» -Ба при х -> -оо, и(х^) -> +£>5 при х -> +оо, (0.27)

Метод численного решения нелинейной краевой задачи на бесконечном интервале имеет принципиальные отличия от метода решения задачи на конечном промежутке. Так как уравнение (0.19) не интегрируется в квадратурах, для аппроксимации решения на бесконечных полуинтервалах х<-Ь и х>Ь, где Ь»П, использовалось точное решение того же уравнения с параметрами У—О, £)(х)=СОШ1 Для увеличения точности и скорости сходимости были найдены асимптотические оценки собственных значений задачи (0.20) с ненулевым значениями К для решения в области, где

Для численного решения использовался модифицированный метод стрельбы с погружением по двум параметрам, один из которых-глубина модуляции к, второй- скорость V. Были преодолены значительные трудности, связанные с жесткостью краевой задачи.

Особенность задачи на бесконечном интервале в том, что для значений скорости, меньших критического, ¥< Утзх, два решения стационарной задачи связаны неравенством и\(х)>и2(х) для всех X: V тах

0.26)

- СО<х< сю.

Фундаментальная формула (0.26) была проверена в компьютерном эксперименте. Функция Утйх(К) определялась из условия кратного корня нелинейного уравнения, аналогично периодической задаче. На рис.4.7. показаны графики зависимости Утах от /г, полученные в численном эксперименте для различных профилей пороговой функции.

Анализ результатов показал, что в диапазоне изменения 0</К0.2 можно использовать выражение (0.25), допуская при этом относительную погрешность не более 1%, а в диапазоне изменения 0</К0.1 имеем то же выражение для Утахс относительной погрешностью не более 0.1%.

Показано, что при заданном к и фиксированной скорости У<Утдх{И) область плоскости переменных {х,и} заданная системой неравенств -0(х)<и<0(х), разделяется графиками двух решений стационарной задачи на три подобласти:

Сг1={ (х, и): и т(х)< и < £>(х)Ь (?2={ (я, и): и2(х)< и<и ](х)}, Сгз={ (х, и): - Дх)< и < и 2(х)}, в которых решение нестационарной задачи ведет себя качественно по-разному. В области (л решение дрейфует слева направо, причем имеется предельное (при /—>оо) устойчивое положение решения, равное щ(х). В области Сг2 решение дрейфует справа налево, и опять имеется то же самое предельное устойчивое положение решения. Наконец, в области Сз решение дрейфует слева направо, как и в Си но при / —> оо ВПС перемещается вправо со скоростью V, навсегда оторвавшись от нерегулярного участка пороговой функции. Таким образом, щ(х)~ устойчивое решение стационарной задачи, и2(х)~ неустойчивое решение.

На рис. 4.9. изображен процесс торможения и захвата контрастной структуры на неоднородности пороговой функции.

На рис. 4.10. показано замедление дрейфа внутреннего переходного слоя при прохождении через неоднородность пороговой функции с большим градиентом.

На рис. 4.11. изображен обратный дрейф внутреннего переходного слоя от неустойчивого к устойчивому решению стационарной задачи.

Зависимость времени задержки слоя в окрестности неоднородности от относительной скорости изображена на рис 4.12.

Пятая глава посвящена описанию применения разработанных автором численных методов и универсальных комплексов программ, позволяющих находить самосогласованные равновесные решения для TTC с обращенным магнитным полем в горячей бесстолкновительной плазме.

Рассматриваются два основных подхода- аналитическая теория и моделирование методом частиц. Проведено сравнение результатов численного моделирования, полученных при разных подходах между собой и с результатами наблюдений, что позволило сделать вывод о надежности теоретической стационарной модели и эффективности кодов.

Одним из приложений таких численных методов является актуальная задача физики околоземной плазмы- моделированием TTC в плазменном хвосте Земли. Однако, подобные токовые структуры - не редкость в солнечной короне, в магнитосферах других планет солнечной системы, на магнитопаузе. Таким образом, разработанные численные алгоритмы и комплексы программ имеют универсальный характер и широчайшую область практического применения.

Глава состоит из введения, четырех параграфов и заключения.

Во введении приводится история объекта исследования, анализируются используемые ранее методы изучения TTC, их преимущества и недостатки. Обосновывается актуальность создания численных моделей эволюции TTC в горячей бесстолкновительной плазме и важность их практического использования. Кратко описаны основные используемые модели и основные результаты численного эксперимента.

В первом параграфе описан алгоритм численной реализации самосогласованной аналитической одномерной модели TTC в горячей бесстолкновительной плазме. Подробно описаны физическая и математическая постановка задачи, которая сводится к безразмерному нелинейному интегральному уравнению, (типа уравнения Грэда-Шафранова) для магнитного поля Ъ как функции безразмерного вектор-потенциала rj > 0 :

А ч Ъ (?]) =

1/3 17 \ л

3/2 V А

JDj

-2

F(+)(77) + F()(t7)

1 + erfU"

0.28)

Функции ^(+)(77) и соответствуют парциальным вкладам положительного и отрицательного токов в полный ток.

Параметр ik Vd отношение альфвеновской скорости к потоковой) должен соответствовать граничному условию Ь(г/ —> оо) —» 1. 2

Для пролетных ионов выполняется условие / < . В этом случае функции в правой части уравнения (0.28) имеют вид:

Г! оо

00

00

F(±) (л) = 1 \dîl' \dwx \wydwy SdwC X

О О хехр О

-2/3

0.29)

JJ

Безразмерный адиабатический инвариант 1+ определяется как Л(0.30) Ш где значения и Г}+ соответствуют точкам поворота и определяются из условия равенства нулю подынтегрального выражения:

Щ± = шах|0, r¡ - Jwy + wf + wy

Tj±=T]' + ^¡Wy+w^ +wy. (0.31)

Для захваченной популяции í / > Wq j функции ^(+) {TÍ) имеют вид: r¡ oo oo oo i7?) - J^' j^y^^y Jdwg + wq

0 0 0

0.32)

2 2 2 2 VT где Wq = Wx + Wy + w^. Безразмерные параметры £ =- (отношение

VD тепловой скорости плазмы к потоковой) и к (характеризующий плотность захваченной плазмы) являются свободно варьируемыми параметрами модели. Модель включает в себя выражения для концентрации ионов и плотности ионного тока.

Аналитическое решение стационарной одномерной нелинейной задачи возможно только для некоторых частных предельных случаев. Для решения такой сложной задачи был создан и реализован в виде комплекса программ эффективный итерационный численный алгоритм, основанный на квадратурных формулах Гаусса для вычисления тройных несобственных интегралов с сингулярностью в подынтегральном выражении. Описание этого алгоритма дается в третьем параграфе. Впервые было учтено наличие захваченных частиц. Сложная структура фазового пространства и обусловленная этим сложная форма границы между пролетными и захваченными ионами также создает существенные трудности для аккуратного перехода алгоритмом раздела между пролетными и захваченными частицами, которые были успешно преодолены. Также были преодолены трудности, связанные со сходимостью алгоритма в окрестности области сшивания функций распределения пролетных и захваченных частиц при переходе границы между ними в фазовом пространстве.

В численном эксперименте была определена двумерная область сходимости построенного итерационного алгоритма в зависимости от параметров S и к. Аналогичные численные расчеты были проведены с помощью другой модели, основанной на методе крупных частиц. Показано, что результаты, полученные с помощью двух разных моделей, аналитической и численной, достаточно хорошо согласуются между собой, и можно с уверенностью говорить о том, что структура слабоанизотропных TTC и их устойчивость может контролироваться захваченной (или квазизахваченной) популяцией частиц, что является важным моментом при изучении динамики TTC в суббуревых процессах.

VA

В численном эксперименте получена зависимость параметра

VD отношение альфвеновской скорости к потоковой) от величины s. Хорошее совпадение результатов численного эксперимента с аналитической формулой позволило сделать вывод об адекватности численной и математической моделей одномерного тонкого токового слоя в области параметров, при которых имеет место сходимость итерационного алгоритма решения аналитической одномерной стационарной задачи.

В третьем параграфе описывается численная модель, основанная на методе крупных частиц, основные постулаты которой соответствуют рассмотренной ранее аналитической модели.

В четвертом параграфе описаны результаты численного моделирования влияния анизотропии источников и захваченной плазмы на структуру TTC. В численной модели впервые получены самосогласованные решения в широком диапазоне значений параметра £ > О. Показано, что при уменьшении анизотропии системы, плотность тока в центре слоя уменьшается, что следует из аналитических результатов.

В численном эксперименте впервые было подтверждена гипотеза о том, что равновесие TTC является динамическим, т.е. равновесный TTC может существовать, испытывая небольшие колебания, при которых монотонный и немонотонный профили магнитного поля последовательно сменяют друг друга во времени.

Впервые в численном эксперименте показано, что захваченная плазма может существенным образом изменять структуру слабоанизотропных слоев, в то же время ее влияние на сильноанизотропные слои минимально. Ток ионов на захваченных траекториях имеет ярко выраженный отрицательный минимум в центре слоя и симметричные положительные максимумы по краям, в то время как интегральный ток в точности равен нулю. Захваченная популяция ионов, добавленная в небольшом количестве в систему, сглаживает и диамагнитные "крылья", и ослабляет несущий ток в центре

TTC, не меняя существенно масштаб слоя Если концентрация захваченных частиц в центре слоя велика, то ток в этой области становится слишком малым для поддержания самосогласованной конфигурации, и слой разрушается.

Полученные результаты являются новыми и вносят существенный вклад в понимание процессов эволюции TTC.

В заключении обсуждены результаты проведенных численных экспериментов и дана их физическая интерпретация.

В шестой главе в численном эксперименте впервые исследуется медленная эволюция TTC в процессе диффузии функции распределения по приближенному адиабатическому инварианту движения 12. Для определения коэффициента нелинейной диффузии в каждый момент времени численно решается система уравнений Власова-Максвелла, преобразованную в одномерном случае к уравнению типа Греда- Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы. Поскольку ток таких квазизахваченных частиц противоположен по направлению току пролетных частиц, происходит частичная или полная компенсация локального тока в центре слоя. Как следствие, профиль плотности тока эволюционирует от обычного вида с одним максимумом к "бифурцированному". Такая структура является характерной для TTC перед окончательным разрушением, когда баланс натяжений магнитного поля перестанет выполняться. Результаты численных расчетов позволяют моделировать расщепление TTC в реальном времени и хорошо подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ Cluster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения TTC не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

Во введении обоснована актуальность создания теоретических и численных моделей, которые бы позволили понять механизмы формирования расщепленных токовых слоев (РТС) и их внутреннюю структуру. Поскольку в TTC может накапливаться значительная энергия 1014-1015 Дж), расчеты режимов их эволюции необходимы для понимания глобальной динамики магнитосферы.

В первом параграфе представлена самосогласованная одномерная модель анизотропного TTC, в которой эволюционные изменения профиля плотности тока за счет процессов неадиабатического рассеяния частиц в сильно искривленном магнитном поле TTC приводят к развитию РТС-структуры.

Основным уравнением рассматриваемой модели является начально-краевая задача для нелинейного уравнения диффузии для функция распределения рассеянных частиц \]/ = \]/(/' ffiFf i1i f '1 ду/ д V Г=\=У0>

Г e(1,(т), ¿>0, vl У le î г l 111™

L1' l 'о l i ду/ дГ

Г=а= y/t=0=y/0,

0.33) где Г = щ - нормированный безразмерный адиабатический инвариант. Для определения коэффициента нелинейной диффузии в каждый момент времени необходимо решить самосогласованную систему уравнений Власова-Максвелла, преобразованную в одномерном случае к уравнению типа Греда- Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы.

Для решения такой сложной и важной задачи был впервые разработан численный алгоритм, основанный на методе прогонки с итерациями и реализованный в виде комплекса программ. Подробное описание этого алгоритма приведено во втором параграфе. Были преодолены колоссальные сложности, связанные с необходимостью решать на каждом временной шаге самосогласованную задачу для нахождения коэффициента нелинейной диффузии с учетом захваченной плазмы. Разработанный алгоритм впервые позволил в режиме реального времени моделировать процесс диффузионного накопления захваченных частиц и получить результаты, совпадающие с результатами спутниковых наблюдений.

Полученные при помощи этого алгоритма новые результаты представлены в третьем параграфе. При помощи созданного комплекса программ в численном эксперименте был впервые изучен процесс расщепления (или "старения") TTC за счет диффузионного накопления квазизахваченной плазмы. Полученные новые результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, что позволяет судить об их адекватности рассматриваемой физической модели. На рис. 6.3, где изображены профили функции у/, рассчитанные при помощи созданного численного алгоритма, в разные моменты времени, можно видеть, как постепенно происходит заполнение изначально пустой фазовой области квазизахваченных частиц. На рис. 6.5. показаны графики коэффициента временные зависимости плотности тока в центре слоя 0,^) и параметра профилей концентрации, плотности тока и магнитного поля в результате накопления квазизахваченной плазмы внутри тонкого токового слоя в разные моменты времени г изображены на рис. 6.7- 6.9. В численном эксперименте получена характерная оценка времени жизни TTC, которая для условий магнитосферного хвоста (Вп -0.5-1.5 нТл) составляет 30-90 мин., что хорошо согласуется с характерным временем так называемой фазы накопления энергии в магнитосферном хвосте, полученным из спутниковых наблюдений.

В седьмой главе рассмотрена самосогласованная одномерная модель TTC, в которой натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным образом, инерцией ионов, а не плазменным давлением. Влияние электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность, учтено в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численном эксперименте проанализирована зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий. Обсуждено возможное влияние этих эффектов на тонкую структуру токового слоя (ТС) и на динамику процессов в плазменном хвосте Земли.

Глава состоит из введения, трех параграфов и заключения. диффузии в различные моменты времени t. На рис.6.6 изображены квазиадиабатичности

Эволюционные изменения

Во введении излагается история проблемы и формулируется цель исследования: изучение влияния электростатического поля и электронных токов в самосогласованной одномерной модели TTC и определение их роли в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах ТС. Методом исследования является моделирование влияния электронного тока и тока квазизахваченных ионов на формирование расщепленного TTC.

В первом параграфе приводятся основные уравнения модели тонкого токового слоя в приближении изотропного электронного давления. Рассматривается самосогласованная модель TTC, где натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным образом, за счет конечной инерции ионов, движущихся вдоль сильно изогнутых линий магнитного поля.

Основные предположения модели следующие: (а) ионная компонента плазмы состоит из пролетных ионов на спейсеровских орбитах; (Ь) движение ионов квазиадиабатическое; (с) электронная компонента может быть описана в рамках гидродинамического приближения с изотропным тензором давления; (d) плазма квазинейтральна; (е) электроны движутся вдоль силовых линиям достаточно быстро, чтобы поддержать квазиравновесное распределение Больцмана при наличии электростатических и зеркальных сил.

Условие квазиадиабатичности позволяет вместо точного решения уравнений Власова-Максвелла использовать при вычислении ионного jf (z) дополнительный приближенный интеграл движения Iz. Кроме того, используются два точных интеграла движения: полная энергия частицы импульс Ру = mVy - (е/с)Ау (х, z).

Одномерные самосогласованные уравнения Власова-Максвелла имеют электростатический потенциал) и канонический dB% ~47Г' jvi(z) + jye(z)l dz jyi= — jvyfi(z,v)dv

0.34)

0.35) jyi~y- компонента ионного тока. Функция распределения ионов может быть записана как функция интегралов движения, что позволяет применить теорему Лиувилля: fi ~ Qxp{-[(vn(v,I(z))-vD)2 +vl(v,I(z))]/v%}, Vf - тепловая скорость, Vp - дрейфовая скорость). Основная проблема состоит в учете электронного тока в правой части (0.34) в рамках одномерной кинетической модели TTC, которая до сих пор не была решена.

Для расчета влияния электронов последние рассматриваются в жидкостном приближении в направлении, перпендикулярном магнитным силовым линиям. Предполагается, что тензор электронного давления изотропен. Движение электронов в перпендикулярном направлении описывается уравнением dv. m, el dt

-e E

VA

0.36) n£

Вдоль силовых линий на замагниченные электроны с магнитным моментом /л действуют зеркальная сила -/лУВ так, что: dv, тг dt

- -еЕи

JLNB

0.37) п£

Пренебрегая инерцией электронов в (0.35), получим vel

В'

Je = ~enevel eneB'

0.38) (0.39)

Упрощая (0.37) и также пренебрегая инерцией электронов, получим

VP еУср--- - jlNB = 0 (0.40) пе

Здесь = V ©(s), электростатический потенциал вдоль силовых

0.40) линий магнитного поля.

Для случая изотермических электронов уравнение (0.39) сводится к закону распределения Больцмана:

Другое важное уравнение, используемое в этой модели, представляет собой условие квазинейтральности: которое определяет движение заряженных частиц в плазме, т.к. электростатический потенциал (pif) действует на ионы и электроны, перераспределяя их плотности вдоль силовых линий, делая их приблизительно равными в каждой точке слоя.

Уравнения модели с соответствующими граничными условиями для магнитного поля и электростатического потенциала, представляют собой замкнутую систему уравнений для самосогласованного магнитного поля и токов для в одномерном двухкомпонентном равновесном TTC.

Во втором параграфе описан эффективный итерационный численный алгоритм решения самосогласованной задачи.

В третьем параграфе представлены результаты вычислительных экспериментов. На рисунках к этому параграфу показаны плотности токов с граничным условием на краях слоя: p(L) = <po =0. ионов и электронов и электростатические потенциалы для различных значений параметров q , г и Ьп.

В заключении отмечается, что рассмотренная одномерная модель TTC показывает, что в случае изотропного давления электроны могут нести существенную часть тока и способны быть причиной расщепления профиля полного тока. Это иллюстрирует рис. 7.7, где показаны профили плотностей тока для трех значений параметра т(таких же, как на рис. 7.3-7.4).

выводы

1. Разработаны численно-аналитические методы, позволяющие успешно решать широкий класс задач математической физики, астрофизики и геофизики.

2. Получены численные решения двумерного уравнения динамо средних полей, соответствующие долгоживущим бисимметричным структурам магнитного поля в спиральных галактиках.

3. Найдены общие закономерности эволюции двумерных КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

4. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией. Эти оценки подтверждены численными экспериментами.

5. Получены оценки параметров, при которых происходит торможение и захват на неоднородностях пороговой функции ВПС одномерной КС- решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии с переносом, генерацией и ограничением. Эти оценки также подтверждены численным экспериментом.

6. Впервые в численном эксперименте показано, что разрушение одномерного самосогласованного TTC может происходить в результате накопления в слое квазизахваченной плазмы и может носить эволюционных характер за счет процесса диффузии функции распределения.

7. При помощи численного моделирования показана роль электронов и электростатических полей в эволюции изотропного самосогласованного TTC.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты наблюдений за различными природными объектами демонстрируют возможность существовании нестационарных КС, которые могут как постепенно приближаться к стационарным КС, так и исчезать, образуя плавные распределения поля [4], [5], [44], [51], [61], [62], [92], [93], [141], [142], [154], [155], [162]- [164], [167]-[170], [174].

Такие структуры, обнаруженные, например, при астрофизических наблюдениях магнитных полей в спиральных галактиках [49], [50], [68]—[70], [99], [129], [164], [175], и при спутниковых исследованиях в магнитосферной плазме [3], [157], [158], [162], [163], [168]—[170], интенсивно изучаются в течение нескольких последних десятилетий. Изучение и моделирование эволюции нестационарных КС играет важную роль в понимании механизмов генерации, развития и разрушения астрофизических и геофизических магнитных полей.

Более общей задачей, возникающей в различных областях науки, является задача моделирования процесса нелинейной диффузии в активных средах, приводящего к возникновению эволюционирующих ВПС.

Для решения такого широкого класса важных задач нелинейной эволюции КС различной природы разработаны и реализованы в виде комплексов программ эффективные численно-аналитические методы: создан и численно реализован новый алгоритм двумерного и одномерного моделирования эволюции КС в нелинейной активной среде с переносом, диффузией и генерацией с ограничением. создан и численно реализован новый эффективный численный алгоритм моделирования одномерного самосогласованного TTC с учетом различных сортов заряженных частиц и нелинейной диффузии функции распределения.

Эти методы были впервые успешно применены для решения ряда важных задач1 математической физики, астрофизики и геофизики:

- Исследование нелинейного процесса эволюции самоподдерживающегося бисимметричного магнитного поля в турбулентной среде - спиральной галактике в рамках двумерной численно-аналитической модели галактического динамо в приближении тонкого диска.

- Исследование при помощи численных экспериментов и асимптотических оценок процесса эволюции двумерных и одномерных КС -решений краевой задачи для уравнения диффузии put = Xtsu + F(x, и, i) с малой величиной коэффициента диффузии Я и с нелинейной правой частью

F(x,u,t).

- Изучение влияния захваченной плазмы в процессе эволюции TTC в магнитосфере Земли в рамках одномерной самосогласованной численной модели TTC.

- Изучение эволюции самосогласованного анизотропного TTC с расщепленной (или "бифурцированной") структурой при помощи численного моделирования.

- Исследование влияния электронов в самосогласованной одномерной численно-аналитической модели TTC и определение их роли в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах слоя.

В результате применения этих методов получены следующие новые результаты:

1. Впервые найдены решения уравнения динамо средних полей, при которых область инверсии магнитного поля вдоль азимутального направления дрейфует синхронно с перемещением галактических рукавов. Такая бисимметричная конфигурация магнитного поля вращается как твердое тело с угловой скоростью, совпадающей со скоростью вращения спиральных рукавов. При определенных условиях это приводит к замедлению разрушения БСС, вызванного дифференциальным вращением и турбулентной диффузией. Впервые показано, что время жизни такого захваченного бисимметричного магнитного поля может равняться 10-15 Гига лет в области размером несколько килопарсек в окрестности коротации, что совпадает с результатами наблюдений, показывающими наличие аномально долгоживущего бисимметричного поля в ряде галактик (М51, М81).

2. Получены аналитические оценки скорости дрейфа изогнутой границы и времени жизни двумерной КС произвольной формы, а также скорости дрейфа ВПС заданной формы, получены приближенные формулы, описывающие эволюцию КС круговой, эллиптической и некоторых других модельных форм.

3. В численных экспериментах изучен процесс эволюции двумерных КС, являющихся решением двумерного нестационарного нелинейного уравнения диффузии и подтверждены полученные ранее аналитические оценки.

4. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

5. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением и показана справедливость аналитических оценок.

6. В рамках одномерной численной модели исследован дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня. Показано, что при определенных условиях ВПС может быть захвачен движением области с более благоприятными условиями генерации.

7. Получена аналитическая оценка для максимальной скорости переноса, для которой еще возможен захват КС, подтвержденная численными экспериментами. Исследованы процесс захвата и процесс прохождения ВПС через неоднородную область при нарушении условий захвата.

8. В численных экспериментах исследованы самосогласованные решения с учетом захваченной в слое плазмы. Впервые в численном эксперименте показано, что возможной причиной разрушения TTC при достаточно большой плотности квазизахваченной плазмы может быть перераспределение общего тока, при котором локальный ток захваченных частиц полностью или частично компенсирует основной ток в центре и на краях слоя, в то время как полный ток, создаваемый ионами на захваченных траекториях равен нулю.

9. Построена и численно реализована модель одномерного самосогласованного анизотропного TTC, описывающая слой с расщепленной (или "бифурцированной") структурой, основанная на численном решении нелинейного уравнения диффузии для функции распределения. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция системы в процессе диффузии функции распределения. Результаты численных расчетов подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ Cluster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения TTC не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер.

10.Построена и численно реализована новая самосогласованная одномерная модель TTC с учетом влияния электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность плазмы, в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численных экспериментах впервые показано, что электростатические эффекты могут приводить к расщеплению токовых слоев. Изучена зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий.

1. Акасофу С.- И. Полярные и магнитосферные суббури, М., Мир, 1971, 317с.

2. Акасофу С.- И., Чэпмен С. Солнечно-земная физика. ч.2. М.: Мир, 1975,512 с.

3. Алексеев И. И., Малова X. В., Структура плазменного слоя в хвосте магнитосферы // Геомагнетизм и Аэрономия, 1990, № 30, с. 407-412.

4. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Парадоксы мира нестационарных структур. М.: Знание, сер. «Математика и кибернетика», 1985, №5, 48 с.

5. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992, 511 с.

6. Барышникова Ю. С., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Генерация крупномасштабного магнитного поля в спиральных галактиках //Препринт ИКИ, 1986, № 1152, 49 с.

7. Белавин В. А., Капица С. П., Курдюмов С. П., Математическая модель демографических процессов с учетом пространственного распределения // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, т. 38. № 6, с. 885-902.

8. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968, 184 с.

9. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974, 270 с.

10. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука, 1980,95 с.

11. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Численные модели плазмы и процессы пересоединения. М.: Наука, 1985, 124 с.

12. Березин Ю. А., Федорук М. П. Моделирование нестационарных плазменных процессов. Новосибирск: Наука, 1993, 355 с.

13. Бочкарев Н. Г. Магнитные поля в космосе. М.: Наука, 1985, 206 с.

14. Бочкарев Н. Г. Местная межзвездная среда, М.: Наука, 1990, 192 с.

15. Бочкарев Н. Г. Основы физики межзвездной среды, М.: МГУ, 1992, 352 с.

16. Бочкарев Н. Г., Белов К. П. Магнитные поля на Земле и в космосе, М.: Наука, 1983, 192 с.

17. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки, 1987, т. 42, № 6, с.831-841.

18. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах //Фундаментальная и прикладная математика. 1998, т.4, № 3, с. 799-851.

19. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, № 2, с. 198-208.

20. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния решений с внутренними слоями //Доклады РАН. 2000, т. 373, № 2, с. 155-156.

21. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур // Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 11, с. 1576-1577.

22. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математические методы и приложения. (Труды седьмых математических чтений МГСУ 28 января-3 февраля 1999 года). М.: МГСУ. 2000, с. 1-6.

23. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости контрастных структур //Дифференциальные уравнения, 1998, т. 34, № 6, с. 852-853.

24. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости многомерных контрастных структур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ, 1999, с. 1-6.

25. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Существование, локальная единственность и асимптотика двумерных периодических контрастных структур типа ступеньки // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т. 39, № 5, с. 812-831.

26. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае //Доклады РАН, 1999, т. 366, № 3, с. 295-298.

27. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями //Успехи математических наук, 1998, т. 53, вып. 4, с. 135-136.

28. Бэдсел Ч., Ленгдон А., Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989, 452 с.

29. Вайнштейн Д. Л., Зеленый Л. М., Нейштадт А. И., Савенков Б. В. Скачки адиабатического инварианта при его малых начальных значениях //Физика Плазмы, 1999, т. 25, с. 1-5.

30. Василевский В. Ф., Мажукин В. И. Численное решение нестационарной задачи теплопроводности на адаптивной сетке с явным выделением области слабого разрыва//Препринт ИПМ, 1989, № 14, 14с.

31. Василевский В.Ф., Мажукин В. И. Численные расчеты температурных волн со слабыми разрывами на сетках с динамической адаптацией //Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, № 7, с.1187-1193.

32. Васильева А.Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенных квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. Т.35. N4. С.520-531.

33. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур. //Математическое моделирование. 1991. т.З. № 4. с. 114-123.

34. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

35. Васильева А.Б., Никитин А.Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Математическое моделирование, 1995, т. 7. № 2. с. 61-71.

36. Воронов Е.В., Кринберг И.А. Магнитосферная конвекция как причина формирования очень тонкого плазменного слоя //Геомагнетизм и аэрономия, 1999, т. 39, № 3, с. 24-32.

37. Глендсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структур, устойчивости и флуктуации. М.: УРСС, 2003, 208 с.

38. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Методы построения адаптивных сеток для одномерных краевых задач //Препринт ИПМ, 1987, № 33, 28 с.

39. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Об одном подходе к построению адаптивных разностных сеток //Доклады Академии Наук, 1988, т. 298, № 1, с. 64-68.

40. Дарьин Н. А., Мажукин В. И., Самарский А. А. Конечно-разностный метод решения нестационарных двумерных краевых задач на адаптивной сетке, динамически связанной с решением // Препринт ИПМ, 1987, № 117, 27с.

41. Днестровский Ю. Н., Костомаров В. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993, 335 с.

42. Зеленый Л. М., Тактакишвили А. Л. Влияние диссипативных процессов на развитие разрывной неустойчивости в токовых слоях //Физика плазмы. 1981. т.7, № 5, с. 1064-1075.

43. Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Турчанинов В.И. Дисковое динамо //Препринт ИПМ, 1979, № 40, 30 с.

44. Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. Возникновение структур в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов обострения // Наука, технология, вычислительный эксперимент, 1993, с. 33-62.

45. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

46. Каплан С. А., Пикельнер С. Б. Физика межзвездной среды. М.: Наука, 1979, 591 с.

47. Каплан С. А., Цытович В. Н. Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972, 440 с.

48. Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994, 236 с.

49. Коваленко А. В., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Определение параметров магнитного поля Галактики по фарадеевским вращениям радиоисточников // Препринт ИПМ, 1977, № 20, 33 с.

50. Коваленко А. В., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Определение параметров магнитного поля галактики по фарадеевским вращениям излучения радиоисточников // Астрономический журнал, 1978, т. 55, № 4, с. 692-701.

51. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996, с. 95-164.

52. Курдюмов С. П., Гуревич М. И., Тельковская О. В. Автомодельные решения квазилинейного уравнения теплопроводности с распределенной плотностью и нелинейными объемными источниками // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 10, с. 1722-1733.

53. Ламбурт В. Г., Соколов Д. Д. Тутубалин В. Н. Турбулентная диффузия в межзвездной среде // Астрономический журнал, 2000, т. 77, № 3, с. 743-749.

54. Ламбурт В. Г., Соколов Д. Д. Быстрое динамо в межзвездной турбулентности // Астрономический журнал, 2001, т. 78, № 2, с. 116-121.

55. Мажукин В. И., Малафей Д. А., Матус П. П., Самарский А. А. Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений математической физики с переменными коэффициентами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001, № 3, с.407-420.

56. Мажукин В. И., Самарский А. А., Орландо К., Шапранов А. В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами //Математическое моделирование, 1993, т. 5, № 4, с.32-56.

57. Мажукин В. И., Такоева JL Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах //Математическое моделирование, 1990, т.2, №3,с. 101-118

58. Мальцев Ю. П. Лекции по магнитосферно-ионосферной физике. Апатиты: ПГИРАН, 1995, 121 с.

59. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М. Наука, 1989, 608 с.

60. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31. № 7. с. 1132-1139.

61. Нишида А. Геомагнитный диагноз магнитосферы. М.: Мир, 1980. 299 с.

62. Петров А. П., Мосс Д., Соколов Д. Д. Магнитные фронты в галактиках //Астрономический журнал, 2001, т. 78, № 7, с.579-584.

63. Поезд А. Д., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Неограниченный рост магнитного поля в нелинейном динамо //Магнитная гидродинамика, 1992, т. 27, № 3, с. 3-7.

64. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. М.: УРСС, 2003, 312 с.

65. Приклонский В. И. Численные методы в физике. М.: МГУ, 1999, 146 с.

66. Решетняк М. Ю., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Устойчивость нелинейного асо-динамо в диске //Магнитная гидродинамика, 1992, т. 27, № 3, с. 18-22.

67. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984, 304 с.

68. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Магнитные поля спиральных галактик // Препринт ИКИ, 1986, № 1105, 27 с.

69. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Распределение магнитного поля в спиральных галактиках //Препринт ИПМ, 1984, № 117, 27 с.

70. Рузмайкин А. А., Шукуров А. М., Соколов Д. Д. Магнитные поля галактик. М.: Наука. 1988, 280 с.

71. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Турчанинов В. И. Турбулентное динамо в диске // Астрономический журнал, 1980, т. 57, № 2, с. 311-320.

72. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Дисковое динамо с сосредоточенной спиральностью // Магнитная гидродинамика, 1980, № 1, с. 20-26.

73. Савенков, Б. В., Зеленый, Jl. М., Зогин Д. В., Движение частиц в тонких токовых слоях //Физика Плазмы, 1997, т.23, № 5, с.436-448.

74. Самарский А. А. Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

75. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

76. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М. Наука, 1989, 432 с.

77. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики.-М.-.Наука, 1992,422с.

78. Соколов Д. Д. Промежуточная асимптотика в задаче дискового динамо // Магнитная гидродинамика, 1995, т. 31, № 1-2, с. 41-48.

79. Соколов Д. Д., Поезд А. Д. Предельные режимы нелинейного дискового динамо // Магнитная гидродинамика, 1992, т. 27, № 3, с. 11-17.

80. Соколов Д. Д. Модель генерации магнитного поля в NGC 5775 //Астрономический журнал, т. 79, 2002, № 11, с. 968-971.

81. Соколов Д. Д., Рузмайкин А. А. Спиральность, зацепления, динамо // Препринт ИПМ, 1980, № 38, 15 с.

82. Соколов Д. Д., Фрик П. Г. Модель многомасштабного МГД-динамо // Астрономический журнал, 2003, т. 80, № 6, с. 556-562.

83. Сыроватский С. И. О возникновении токовых слоев в плазме с вмороженным сильным магнитным полем //Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1971. т. 60, с. 1727-1740.

84. Сыроватский С. И. Нейтральные токовые слои в плазме //Труды ФИАН, Москва, Наука, 1974, т. 74, с. 3-14.

85. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под редакцией К. И. Бабенко. М.: Наука, 1979, 296с.

86. Федоренко Н. П. Введение в вычислительную физику. М. МФТИ, 1994, 528 с.

87. Хакен Г. Синергетика. М.Мир, 1980, 404 с.

88. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988. 247 с.

89. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле //Вопросы теории плазмы /под ред. М.А. Леонтовича, Москва, 1963, вып. 2, с.92-131.

90. Янке Э., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.-М.:Наука, 1968. 343 с.

91. Alexeev I. I, Malova Н. V. On the model of current sheet in the magnetosphere tail, taking into account the interaction of transit and trapped particles //Advances in Space Research, 1995. v. 16. p.205-208.

92. Asano Y. Configuration of the Thin Current Sheet in Substorms, 2001, Ph.D. thesis's, University of Tokyo.

93. Asano Y., Mukai Т., Hoshino M., Saito Y., et. al. Evolution of the thin current sheet in a substorm observed by Geotail //Journal of Geophysical Research, 2003. v. 108, № A5, p. 1189-1212.

94. Ashour-Abdalla M., Zelenyi L. M., Peroomian V. et al. Consequences of magnetotail ion dynamics //Journal of Geophysical Research, 1994. v. 99. p. 14891-14916.

95. Baryshnikova Y., Ruzmaikin A., Sokoloff D., Shukurov A. Generation of large-scale magnetic fields in spiral galaxies. //Astronomy and Astrophysics. 1987, v. 177, N1-2, p. 27-41.

96. Beck R. The Role of Magnetic Fields in Spiral Galaxies. //Astrophysics and Space Science. 2004 , v. 289, N 3, p. 293-302.

97. Beck R., Brandenburg A., Moss D., Shukurov A., Sokoloff D. Galactic Magnetism: Recent Developments and Perspectives. //Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 1996, v. 34, p. 155-206.

98. Belyanin M. P., Sokoloff D. D., Shukurov A. M. Asymptotic steady-state solutions to the nonlinear hydromagnetic dynamo equations. //Russian Journal of Mathematical Physics 1994. v. 2. p. 149-174.

99. Berkhuijsen E. M., Horellou C., Krause M., Neininger N., et. al. Magnetic fields in the disk and halo of M 51. //Astronomy and Astrophysics. 1997, v. 318, p.700-720.

100. Birn J., Hesse M., Schindler K. MHD Simulations of Magnetotail Dynamics // Journal of Geophysical Research, 1996, v. 101, № 6, p. 12939-12954.

101. Birn J., Sommer R., Schindler K. Open and closed magnetospheric tail configurations and their stability //Astrophysical Space Science, 1975, v. 35. p. 389-402.

102. Braginskii S I. Transport processes in a plasma. // Review of Plasma Physics, M. A. Leontovich, ed., Consultants Bureau Enterprises, Inc., New York. NY, 1965, v. l,p. 256-277.

103. Buchner J., Kuska J.-P. Sausage mode instability of thin current sheets as a cause of magnetospheric substorms //Annal Geophysicae. 1999. v. 17. p. 604- 615.

104. Buchner, J., and Zelenyi, L.M. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals: 1. Basic theory of trapped motion //Journal of Geophysical Research, 1989, 94, p.l 1821-11842.

105. Burkhart G.R., Drake J.F., Dusenbery P.B., Speiser T.W. A particle model for magnetotail neutral sheet equilibria //Journal of Geophysical Research, 1992. v. 97. p. 13779-13815.

106. Cattaneo F., Vainshtein S.I. Suppression of turbulent transport by a weak magnetic field. //Astrophysical Journal, Part 2 Letters. 1991, v. 376, p. L21-L24.

107. Chiba M., Tosa M. Structure of magnetic fields in spiral galaxies Global properties of the turbulent dynamo. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1989, v. 238, p. 621-648.

108. Chiba M., Tosa M. Swing excitation of galactic magnetic fields induced by spiral density waves. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1990, v. 244, p. 714-726.

109. Coppi B., Laval G., Pellat R. Dynamics of the geomagnetic tail //Physical Review Letters, 1966. v. 16, № 26. p. 1207-1219.

110. Coroniti, F.V. On the tearing mode in quasi-neutral sheets //Journal of Geophysical Research, 1980, v.85, № A12, p. 6719-6728.

111. Cowley S.W.H., Pellat R. A note on adiabatic solutions of the one-dimensional current sheet problem //Planetary Space Science, 1979. v. 27. p. 265277.

112. Daughton W. Kinetic theory of the drift kink instability in a current sheet //Journal of Geophysical Research, 1998. v. 103. p. 29429-29431.

113. Eastwood J.W. Consistency of fields and particle motion in the 'Speiser' model of the current sheet//Planetary Space Science, 1972, v. 20, p. 1555-1568.

114. Elmegreen E.G., Elmegreen D.M., Seidel P.E. Spiral arm amplitude variations and pattern speeds in the grand design galaxies M51, M81, and Ml00. //Astrophysical Journal, Part 1. 1989, v. 343, p. 602-607.

115. Francfort P., Pellat R. Magnetic merging in collisionless plasmas //Geophysical Research Letters, 1976. v. 3. p. 433-436.

116. Fuselier S.A. Kinetic aspects of reconnection at the magnetopause //in: Physics of the Magnetopause, ed. by P. Song, B. U. O. Sonnerup, and M. F. Thomsen, Geophysical Monograph 90, Washington, D.C., American Geophysical Union, 1995, p. 181-187.

117. Gruzinov A.V., Diamond P.H. Self-consistent theory of mean-field electrodynamics. //Physical Review Letters. 1994, v. 72, p. 1651-1653.

118. Harold J. B., Chen J. Kinetic thinning in one- dimensional self-consistent current sheets // Journal of Geophysical Research, 1996, v.101, № All, p.24899-24910.

119. Harris, E. G., On a Plasma Sheath Separating Regions of Oppositely Directed Magnetic Fields //Nuovo Chimento, 1962, v. 23, p. 115-121.

120. Hesse M., Winske D., Kuznetsova M. M., Birn J., Schindler K. Hybrid modeling of the formation of thin current sheets in magnetotail configurations // Journal of Geomagnetism and Geoelectronics, 1996. v. 48, p.749-763.

121. Holland D.L., Chen. J. Self-consistent current sheet structures in the quiet-time magnetotail //Geophysical Research Letters, 1993, v. 20, p. 1775-1778.

122. Hoshino M., Nishida, A., Mukai, T., Saito, Y., and T. Yamamoto, Structure of plasma sheet in magnetotail: double-peaked electric current sheet // Journal of Geophysical Research, 1996, v.101, №. All, p. 24775-24786.

123. Kaufmann R.L. Substorm currents: Growth phase and onset //Journal of Geophysical Research, 1987. v. 92. p. 7471-7483.

124. Kaufmann R.L., I.D. Kontodinas, B.M. Ball, and D.J. Larson, Nonguiding center motion and substorm effects in the magnetotail //Journal of Geophysical Research, 1997, v.102, p.22155-22168.

125. Kleeorin N., Moss D., Rogachevskii I., Sokoloff D. Nonlinear magnetic diffusion and magnetic helicity transport in galactic dynamos // Astronomy and Astrophysics, 2003, v. 400, p. 9-18.

126. Krasheninnikova Y., Ruzmaikin A., Sokoloff D., Shukurov A., Configuration of large-scale magnetic fields in spiral galaxies. //Astronomy and Astrophysics. 1989, v. 213, p. 19-28.

127. Krause M., Beck R., Hummel E. The Magnetic Field Structures in Two Nearby Spiral Galaxies Part Two - the Bisymmetric Spiral Magnetic Field in M81. //Astronomy and Astrophysics. 1989, v. 217, p. 17-28.

128. Kropotkin A.P., Domrin V.I. Theory of a thin one-dimensional current sheet in collisionless space plasma //Journal of Geophysical Research, 1996. v. 101. p. 19893-19907.

129. Kropotkin A.P., Malova H.V., Sitnov M.I. Self- consistent structure of a thin anisotropic current sheet. //Journal of Geophysical Research, 1997. v. 102. p. 22099-22106.

130. Kuzanyan K.M., Sokoloff D.D., Parametric resonance in a thin disc dynamo. //Astrophysics and Space Science. 1993, v. 208, N. 2, p. 245-252.

131. Kuznetsova M. M., Hesse M., Winske D. Kinetic quasi-viscous and bulk flow inertia effects in collisionless magnetotail reconnection //Journal of Geophysical Research, 2001. v. 106, № A3 . p. 3799-3813.

132. Lembege B., Pellat R. Stability of a thick two-dimensional quasineutral sheet//Physics of Fluids, 1982. v. 25. p. 1995-2008.

133. Lui A. T. Y. Inferring global characteristics of current sheet from local measurements // Journal of Geophysical Research, 1993, v. 98. p.13423-13427.

134. Malova H. V., Sitnov M. I., Zelenyi L. M., Sharma A. S. Self-consistent model of ID current sheet: the role of drift, magnetization and diamagnetic currents //Proceedings of Chapman Conference: Magnetospheric Current Systems, 2000, v. 118. p. 313-322.

135. Mestel L., Subramanian K. Galactic dynamos and density wave theory. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1991, v. 248, p. 677-687.

136. Mihalov J.D., Colburn D.S., Currie R.G., Sonett C.P. Configuration and reconnection of the geomagnetic tail //Journal of Geophysical Research, 1968. v. 73, №3. p. 943-959.

137. Mitchell D. G., Williams G.J., Huang C.Y. et al. Current carriers in the near-Earth cross-tail current sheet during substorm growth phase //Geophysical Research Letters, 1990, v. 17, p. 583-586.

138. Moss D. Contrast structures and the generation of bisymmetric magnetic structure in M 81. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1996, v. 315, p. 63-70.

139. Moss D. On the generation of bisymmetric magnetic field structures in spiral galaxies by tidal interactions. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1995, v. 275, p. 191-194.

140. Moss D. Parametric resonance and bisymmetric dynamo solutions in spiral galaxies. //Astronomy and Astrophysics. 1996, v.308, p.381-386.

141. Moss D., Brandenburg A. The influence of boundary conditions on the excitation of disk dynamo modes. //Astronomy and Astrophysics. 1992, vol. 256, N. 2, p. 371-374.

142. Moss D., Brandenburg A., Donner K.-J., Thomasson M. Models for the magnetic field of M81. //Astrophysical Journal, Part 1. 1993, v. 409, N. 1, p. 179189.

143. Moss D., Brandenburg A., Tuominen I. Properties of mean field dynamos with non-axisymmetric alpha-effect. //Astronomy and Astrophysics. 1991, v. 247, N. 2, p. 576-579.

144. Parker E.N. Fast dynamos, cosmic rays, and the Galactic magnetic field. //Astrophysical Journal, Part 1. 1992, v. 401, N 1, p. 137-145.

145. Peroomyan V., Zelenyi L. M., Schriver D. Imprints of small-scale nonadiabatic particle dynamics on large-scale properties of dynamical magnetotail equilibria //Advances in Space Research, 2002, № 12, p.2657-2662.

146. Pritchett P. L. Effect of electron dynamics on collisionless reconnection in two-dimensional magnetotail equilibria //Journal of Geophysical Research, 1994. v. 99. p. 5935-5947.

147. Pritchett P. L., Buchner J. Collisionless reconnection in configuration with a minimum in the equatorial magnetic field and with magnetic shear // Journal of Geophysical Research, 1995, v. 100. p. 3601-3615.

148. Pritchett P. L., Coroniti F. V. Formation of Thin Current Sheets During Plasma Sheet Convection //Journal of Geophysical Research, 1995, v. 100. p. 23551-23565.

149. Pritchett P. L., Coroniti F. V., Formation and stability of the self-consistent one-dimensional tail current sheet // Journal of Geophysical Research, 1992, v. 97, p.16773-16787.

150. Pritchett P.L., F.V. Coroniti, Pellat R. Collisionless Reconnection in two-dimensional magnetotail equilibria // Journal of Geophysical Research, 1991, v. 96. p. 11523-11538.

151. Pulkkinen T. I., Baker D. N., Mitchell D. G. et al. Thin current sheets in the magnetotail during substorms: CD AW 6 revisited // Journal of Geophysical Research, 1994. v. 99. p. 5793-5804.

152. Pulkkinen T.I., Baker D.N., Owen C.J. et al. Thin current sheets in the deep geomagnetotail //Geophysical Research Letters, 1993, v.20. p. 2427-2430.

153. Radler K.-H. On the effect of differential rotation on axisymmetric and nonaxisymmetric magnetic fields of cosmic bodies. In ESA Proceedings of the Joint Varenna-Abastumani International School and Workshop on Plasma Astrophysics. 1986, p 569-574.

154. Riidiger G. Dynamos in resonance. //Astronomy and Astrophysics. 1992, v. 264, N1, p. 319-325.

155. Rudiger G. The alpha-effect in galaxies is highly anisotropic. //Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 1990, v. 50, p. 53.

156. Runov A, Nakamura R., Baumjohann W, Treumann R. A, et. al. Current sheet structure near magnetic X-line observed by Cluster // Geophysical Research Letters, 2003, v. 30, p.1579-1593.

157. Runov A., Nakamura R., Baumjohann W., Zhang T.I., Yolverk M., Cluster observation of a bifurkated current sheet //Geophysical Research Letters, 2003, v. 30, № 2, p.1036-1040.

158. Ruzmaikin A.A., Shukurov A.M., Sokoloff D.D. Magnetic Fields of Galaxies. Kluwer Acad. Publ, Dordrecht Schmitt D. 1988. 280 p.

159. Sanny J., McPherron R.L., Russell C. T. et al. Growth phase thinning of the near-Earth current sheet during the CDAW-6 substorm //Journal of Geophysical Research, 1994, v. 99. p. 5805-5817.

160. Schindler K. A self-consistent theory of the tail of the magnetosphere //in: Earth's Magnetospheric Processes, edited by B. M. McCormac, D. Reidel, Norwell, Mass., 1972, p.200.

161. Sergeev V. A., A. Runov, W. Baumjohann, R. Nakamura, et. al. Current sheet flapping 15 motion and structure observed by Cluster //Geophysical Research Letters, 2003, v.30, №2, p. 1327-1331.

162. Sergeev V. A., Mitchell D. G., Russell C. T., Williams D.J., Structure of the tail plasma current sheet at 11 Re and its changes in the course of a substorm //Journal of Geophysical Research, 1993, v. 98, p.17345-17365.

163. Sergeev V.A., Angelopoulos V., Carlson C., Sutcliffe P. Current sheet measurements within a flapping plasma sheet //Journal of Geophysical Research,1998. v. 103, p. 9177-9188.

164. Sergeev V.A., Tanskanen P., Mursula K., Korth A., Elphic R.C. Current sheet thickness in the near-Earth plasma sheet during substorm growth phase // Journal of Geophysical Research, 1990. v. 95, № A4, p. 3819-3828.

165. Sitnov M.I., Lui A. Cross-Field current instability as a catalyst of the explosive reconnection in the geomagnetotail //Journal of Geophysical Research,1999, v. 104. №. A4 .p. 6941-6951.

166. Sitnov M.I., Zelenyi L.M., Malova H.V., Sharma A.S. Thin current sheet embedded within a thicker plasma sheet: Self-consistent kinetic theory //Journal of Geophysical Research, 2000. v. 105. p.13029-13043.

167. Sitnov M.I., Zelenyi L.M., Sharma A.S., Malova H.V. Distinctive features of forced current sheets: electrostatic effects //Proceedings of International Conference on Substorm-5, St.Petersburg, Russia, 2000, 16-20 May, p. 197-200.

168. Sokoloff D. D., Bykov A. A., Shukurov A., Berkhuijsen E. M., Beck R., Poezd A. D. Depolarization and Faraday effects in galaxies. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1998, v. 299, N 1, p. 189-206.

169. Sokoloff D.D., Shukurov A., Krause M. Pattern recognition of the regular magnetic field in disks of spiral galaxies . //Astronomy and Astrophysics. 1992, v. 264, N2, p. 396-405.

170. Sonnerup B. U. O. Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet // Journal of Geophysical Research, 1971. v. 76. p.8211-8222.

171. Speiser T.W. Particle trajectories in model current sheets; 1. Analytical solutions //Journal of Geophysical Research, 1965. v. 70. p.4219-4230.

172. Subramanian K., Mestel L. Galactic Dynamos and Density Wave Theory -Part Two an Alternative Treatment for Strong Non-Axisymmetry. //Monthly Notices of Royal Astronomical Society. 1993, v. 265, p. 649

173. Tully R.B. The Kinematics and Dynamics of M51. I. the Observations. //Astrophysical Journal Supplement. 1974, v. 27, p. 415.

174. Tully R.B. The Kinematics and Dynamics of M51. II. Axisymmetric Properties. //Astrophysical Journal Supplement. 1974, v. 27, p. 437.

175. Tully R.B. The Kinematics and Dynamics of M51. III. The Spiral Structure. //Astrophysical Journal Supplement. 1974, v. 27, p. 449.

176. Vainshtein S.I., Cattaneo F. Nonlinear restrictions on dynamo action. //Astrophysical Journal, Part 1. 1992, v. 393, N 1, p. 165-171.

177. Vainshtein S.I., Parker E.N., Rosner R. On the generation of 'strong' magnetic fields. //Astrophysical Journal, Part 1. 1993, v. 404, N 2, p. 773-780.

178. Whipple E. C., Rosenberg M., Brittnacher M. Magnetotail acceleration using generalized drift theory: A kinetic merging scenario // Geophysical Research Letters, 1990, v. 17. p.1045-1048.

179. Willis A. P., Shukurov A., Soward A. M., Sokoloff D. D. Non-local effects in the Mean-field Disc Dynamo: II Numerical and Asymptotic solutions //Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 2004, v. 98, № 4, p. 345-363.

180. Yin, L., Winske D. Simulations of current sheet thinning and reconnection // Journal of Geophysical Research, 2002. v. 107, p.1485-1497.

181. Zelenyi L.M., Delcourt D.C., Malova H.V., Sharma A.S. "Aging" of the magnetotail thin current sheets //Geophysical Research Letters, 2002, v.29, p. 16081623.

182. Zelenyi L.M., Sitnov M.I., Malova H.V., Sharma A.S. Thin and superthin ion current sheets, quasiadiabatic and nonadiabatic models //Nonlininear Processes in Geophysics, 2000, v. 7. p. 127-139.

183. Быков A.A., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Математическое моделирование течения тока в среде с сильным эффектом Холла // Математическое Моделирование, 1989, т.1. № 4. с. 45-53.

184. Быков A.A., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Внутренние переходные слои потенциала в сильно замагниченной плазме // Математическое Моделирование, 1989, т.1. № 6. с. 33-47.

185. Быков A.A., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Двумерная модель течения тока в квазинейтральной плазме с учетом собственного магнитного поля. // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1989. т. 30, № 5. с. 11-15.

186. Быков A.A., Попов В.Ю, Свешников А.Г. Моделирование ионных потоков в поле магнитной защиты //Математическое Моделирование, 1991. т. 3. № 10. с. 116-121.

187. Быков A.A., Морозов А.И., Попов В.Ю., Свешников А.Г. Численное моделирование ионных потоков в присутствии магнитного и самосогласованного электрических полей в элементах магнитной защиты //Физика плазмы, 1992, т. 18, вып. 8. с. 976-985.

188. Быков A.A., Попов В.Ю., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Долгоживущие бисимметричные магнитные структуры в спиральных галактиках // XII рабочее совещание РАС ФИАН, Пущино, 1996, 7с.

189. Быков A.A., Попов В.Ю., Воеводин В.В., Козырева О. В., Соколов Д.Д. Эволюция двумерных контрастных структур сложной формы. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т.309, № 5, с. 803-813.

190. Быков A.A., Попов В.Ю., Воеводин В.В., Козырева О. В., Соколов Д.Д. Поверхностное натяжение контрастных структур //Доклады Академии Наук, 1999, т.364,№3, с. 319-322.

191. Быков A.A., Зубо Д.О., Попов В.Ю. Об устойчивости контрастных структур в плавно неоднородных средах // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 5, с. 658-665.

192. Быков A.A., Попов В.Ю. Эволюция неустойчивых конфигураций магнитного поля в задаче динамо средних полей в турбулентной среде // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 3, с. 10-13.

193. Быков A.A., Попов В.Ю. Об устойчивости областей инверсии магнитного поля в спиральных галактиках // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 5, с. 7-10.

194. Быков A.A., Попов В.Ю. Об эволюции двумерных областей инверсии магнитного поля спиральных галактик // Вестник Московского Университета, серия 3.: Физика, Астрономия, 1999, № 6, с. 9-12.

195. Зеленый JI.M., Долгоносов М. С., Быков А. А., Попов В. Ю., Малова X. В., О влиянии захваченной плазмы на структуру бесстолкновительных тонких токовых слоев. //Космические исследования, 2002, т.40, № 4, с.385-394.

196. Зеленый JI.M., Малова Х.В., Попов В.Ю. Расщепление тонких токовых слоев в магнитосфере Земли //Письма в ЖЭТФ, 2003, т. 78, вып.5, с.742-746.

197. Зеленый JI.M., Малова Х.В., Попов В.Ю., Математическое моделирование двухкомпонентных тонких токовых слоев в магнитосферной плазме //Радиотехника и Электроника, 2005, т.50, № 2, с. 205-213.

198. Bykov A., Popov V., Shukurov A., Sokoloff D. Anomalous persistence of bisymmetric magnetic structures in spiral galaxies. //Monthly Notes of the Royal Astronomical Society, 1997, v. 289, № 1, p. 1-10.

199. Bykov A., Popov V., Shukurov A., Sokoloff D. Evolution of nonaxissymmetric magnetic fields in a nonlinear meanfield dynamo. //Acta Astronómica et Geophysica Universitatis Comenianae. 1997, v. 19, p. 13-20.

200. Zelenyi L.M., Malova H.V., Popov V.Yu., Delcourt D.C., Sharma A. S. Evolution of ion distribution function during the "aging" process of thin current sheets//Advances in Space Research, 2003, v.31, № 5, p.1207-1214.

201. Zelenyi L. M., Malova H. V., Popov V. Yu., Delcourt D., Sharma A.S. Nonlinear equilibrium structure of thin currents sheets: influence of electron pressure anisotropy // Nonlinear Processes in Geophysics, 2004, v. 11 , p. 1-9.

202. Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V. Role of electrostatic effects in thin current sheets of the Earth's magnetosphere // 35th COSPAR Scientific Assembly, Paris, France, 18-25 July 2004, Abstracts, COSPAR04-A-00081.

203. Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V., Sidelnikov A., The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets (the "kappa"<l regime) // 35th COSPAR Scientific Assembly, Paris, France, 18- 25 July 2004, Abstracts, COSPAR04-A-00254.