автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование ионизации газа ЭЦР волной в ионном источнике

московский государственный университет

Имени М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики кафедра автоматизации научных исследований

Па правах рукописи

РГб од

з с т глез

ШМЕЛЕВ АЛЕКСИЙ БОРИСОВИЧ

Математическое моделирование ионизации газа ЭЦР волной в ионном источнике.

Специальность 05ЛЗ. 16-применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

2000

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент А.П.Смярнов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Я.Н. Истомин

диссертационного совета К 053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова то адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Богомолов

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится «

Ученый секретарь диссертационного совета

Говоров В.М.

2

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В последнее время исследование плазменных источников становится все более актуальной задачей. Это объясняется в первую очередь разнообразным технологическим применением этих устройств. Плазменные источники использую гея для напыления гонких пленок, в производстве микросхем, создании теневых масок для кинескопов, а также находят свое применение во многих других технологических процессах.

Вместе с тем, промышленное применение этих установок сопряжено с определенными сложностями, так как качество работы прибора зависит от значительного количества параметров, для оптимального выбора которых необходимо иметь качественные и количественные, оценки процессов, происходящих в источнике. В тоже время, исследование данного объекта только экспериментальным путем малоэффективно в силу- сложности процессов, происходящих в приборе, и вследствие определенных затруднений в прямом экспериментальном определении величин некоторых характеристик разряда.

С другой стороны, бурное развитие вычислительной техники привело к появлению новой методологии исследований - вычислительному эксперименту, который позволяет по новому подойти к вопросу организации прикладных научных исследований. Современная вычислительная техника позволяет эффективно решать уравнения, описывающие процессы, происходящие в илазмегшых источниках, что делает математическое моделирование этих устройств для качественного и количественного изучения идущих в нем процессов весьма актуальным.

Цель диссертации.

]. Разработка математической модели ионизации разреженного газа ЭЦР волной в ионном источнике с продольным магнитным полем.

2. Построение численных алгоритмов для решения нелинейных задач ионизации разреженного газа ЭЦР волной в ионном источнике с продольным магнитным полем.

3. Проведение исследования свойств предложенных численных алгоритмов.

4. Численное моделирование ряда эффектов, возникающих при ионизации разреженного газа ЭЦР волной

Научная новизна и практическая ценность.

1. В диссертации предложена двумерна;! усредненная по пространственной переменной кинетическая модель ионизации разреженного газа ЭЦР волной в плазменном источнике с продольным магнитным полем. Модель включает в себя кинетическое уравнение для функции распределения электронов и задачу для самосогласованного вычисления амбиполярного потенциала. В кинетическом уравнении учтены следующие эффекты: взаимодействие ЭЦР волны с плазмой в квазилинейном приближении, ионизация газа, кулоновские соударения, потеря энергии и угловое рассеяние электронов в результате неупругих соударений и угловое рассеяние электронов в результате упругих соударений.

2. Разработан численный алгоритм с использованием адаптивных сеток для решения кинетического уравнения в данной постановке, который обеспечивает высокую точность на грубых сетках. Алгоритм использует современную технологию разреженных матриц, позволяющий существенно сократить вычислительные затраты.

3. Разработан эффективный программный комплекс, прошедший всестороннее тестирование в широком диапазоне численных и физических параметров.

4. Проведены расчеты дли реальной установки, результаты которых совпадают с экспериментальными данными. Исследованы характерные зависимости параметров разряда от внешних условий. Данные исследования позволяют количественно предсказывать поведение системы в зависимости от внешних параметров.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались na: IV Международном семинаре по сильному электромагнитному излучению в плазме (Нижний Новгород 1999); научном семинаре кафедры автоматизации научных исследований под руководством зав. кафедры чл-корр. РАН Костомарова Д.П. (факультет ВМиК МГУ 1999); семинаре лаборатории Plasma Studies Корнельското Университета (США 2000); семинарах программы SSM фирмы Самсунг Электронике (Москва 1995) и (Москва 1996)

По теме диссертации опубликовано б печатных работ. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 85 страницах, диссертация содержит 22 рисунка. Список литературы включает 31 наименование.

Содержание работы

Введение посвящено краткому описанию физических явлений происходящих в плазменном источнике и дан обзор проблем и результатов, относящихся к теме диссертации. Рассмотрены задачи, возникающие при кинетическом моделировании ионизации разреженного газа в ионном источнике с продольным магнитным полем. Физическая суть проблемы состоит вкратце в следующем. На трубку, заполненную разреженным газом, (расчеты проводились для аргона, хотя модель применима для любого газа) накладывается продольно направленное магнитное иоле. Газ подвергается

воздействию ВЧ излучения па частоте Электронно Циклотронного Резонанса (ЭЦР), которое, разгоняя затравочные электроны, частично ионизует газ в приборе. Часть электронов попадает в магнитную ловушку и начинает совершать колебания в магнитной ловушке, вызывая дальнейшую ионизацию. Часть вылетает из ловушки и за счет меньшей массы по сравнению с ионами создает амбиполярный потенциал. Этот потенциал дополнительно задирает электроны в ловушке и разгоняет коны, пучок которых имеет большую продольную энергию и малую поперечную. Этот ионный пучок используется в различных технологических процессах. Также в введении приведен сравнительный обзор подходов к решению подобного рода задач.

Первая глава настоящей работы посвящена математической постановке задачи. В первом параграфе данной главы приводится обоснование корректности предположений модели, делается вывод об обоснованности кинетического подхода к моделированию данного класса устройств. Рассматривается основное уравнение задачи - кинетическое уравнения для запертых электронов.

Во втором параграфе проводится анализ характерных времен различных процессов, протекающих в приборе. Здесь показывается, что в системе присутствуют процессы, характерные времена которых различаются на порядки. Это колебания электронов в магнитной ловушке (баунс колебания), характерное время которых в 1000 раз меньше характерных времен процессов, определяющих пробой - процесса ионизации, кулоновских соударений и ВЧ нагрева. Наличие процессов, протекающих со столь различными временами, приводит к необходимости рассматривать усредненную по пространственной переменной задачу. Для проведения усреднения необходимо, чтобы скоростные переменные представляли собой интегралы движения. Для этого выбираются

V2 В

две переменные - модуль скорости / " , В(х) - магнитное поле. Ось

\>'В(х)

х сонаправлсна с полем, vl - ортогональная составляющая скорости по отношению к полю, Ва - максимум магнитного ноля. В этом же параграфе производится сама операция усреднения и обсуждается ее применимость. 11ослс усреднения основное уравнение модели принимает следующий вид:

-у

- = £.+/-.,,+£■ ± I , пч

^ сс О юп л/ ( I)

Здесь функция / = /*(/,1>,5), где I - время,

• Ьес - оператор, описывающий воздействие ВЧ излучения на плазму в квазилинейном приближении. Этот оператор представляет собой диффузионный оператор в скоростном пространс тве. В данных переменных он содержит смешанные частные производные.

• £„ - источник электронов, рождающихся в результате ионизации и имеющих максвелловское распределение.

• Цоп - оператор, описывающий потери энергии и угловое рассеяние электронов в результате неупругих соударений с атомами (ионизация, возбуждение) и упругое угловое рассеяние электронов на нейтралах. Угловая часть представляет собой диффузионный оператор в скоростном пространстве, скоростная часть содержит разностный член.

• Ля - линеаризованный оператор кулоновских соударений надтепловых электронов с фоновыми электронами и ионами, имеющими максвелловское распределение.

Данное уравнение (I), таким образом, представляет собой нелинейное дифференциально-разностное параболическое уравнение для энергетической функции распределения электронов.

Следующий параграф посвящен математической постановке задачи для уравнения (1). Так как уравнение пишется для запертых электронов, то необходимо определить, какие механизмы удержания электронов в ловушке существуют, и выделить область фазового пространства, соответствующую запертым электронам. В этом параграфе анализируются два механизма удержания - магнитным полем и удержание амбиполярным потенциалом.

Рисунок 1 Область решения и граничные условия уравнения (1).

На границе пролетные - запертые частицы (жирная линия на рис.1) ставится нулевое граничное условие первого рода. Остальные границы (тонкая линия на рис.1) являются границами фазового пространства, на которых достаточно потребовать равенства нулю потока функции распределения. Параметр = гД/) отражает воздействие самосогласованного амбиполярного потенциала. В качестве начального распределения выбирается максвелловское распределение с комнатной температурой.

В четвертом параграфе обсуждаются две эквивалентные формы математической постановки задачи - как параболического уравнения, решаемого до установления стационара и как задачи на отыскание собственной функции некоторого нелинейного оператора, соответствующей нулевому собственному числу.

В параграфах с пятого по восьмой приводится вид операторов, входящих в электронную задачу до и после усреднения.

Здесь описываются ВЧ оператор (пятый параграф):

- коэффициент квазилинейной диффузии в скоростном пространстве, .г,, - точка отражения электрона.

1? шестом параграфе описывается оператор ионизации:

\ В,

к, (у) = ^у^-совб^Дл^Й - частота соударений (интеграл берется

по всем возможным углам рассеяния). ¡24(\')- интегральные сечения, qk{в,v)-

полные сечения ([22],[23]). - энергия. Индекс к=0 соответствует процессу ионизации, к=1,...,1 - описывает возбуждение, 1+1 - соответствует угловому рассеянию при упругих соударениях.

Следующий пара1раф посвящен описанию источника электронов с максвелловскпм распределением:

В девятом параграфе выводится уравнение для нахождения значения амбиполяриого потенциала, который влияет на границу пролетные - запертые электроны, то сеть определяет область решения уравнения (1) (этот значение определяет = на рис.1). Уравнение, описывающее амбиполярный потенциал, есть математическое следствие квазинейтрачьности плазмы, и сводится к равенству в стационаре ионного и электронного потока из ловушки. Таким образом, значение амбиполяриого потенциала есть функция времени, что приводит к изменению со временем области решения уравнения (1).

Ьп = Се М,(5)с0,

V

с„ - ^Се "°./,(5>г<Ыу = 1.

■о

В восьмом параграфе описан оператор кулоновских соударений:

В последнем параграфе первой главы выводятся формулы распределения электронной плотности и электрического поля вдоль магни тного поля, которые представляют самостоятельный интерес и используются в дальнейшем.

Вторая глава посвящена описанию аппроксимации операторов, входящих в электронную задачу и построению разностной схемы для решения уравнения (1).

В первом параграфе этой главы производится выбор нормировки, и вводятся сетки и сеточные функции. Парафафы со второго по пятый посвящены описанию разностной аппроксимации операторов, входящих в уравнение (1). Аппроксимация строится с использованием интегро-интерполяциоиного метода. Все операторы аппроксимированы со вторым порядком точности. В шестом параграфе исследуется алгоритм численного вычисления несобственных интегралов, входящих, в коэффициенты уравнения.

Седьмой параграф посвящен построению неявной разностной схемы для решения уравнения (1). Обсуждаются вопросы консервативности и устойчивости схемы. Рассматриваются плюсы и минусы явной и неявной схемы. Особенностью предложенной схемы является большой и нерегулярный шаблон на верхнем слое по времени, который в худшем случае занимает 19 точек. Этот факт накладывает жесткие требования к качеству алгоритма для решения получающихся систем линейных, алгебраических, уравнений. Обосновывается выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений - метода Улучшенной Обобщенной Стратегии Марковвда (УОСМ) для выбора главного элемента в методе Гауссовского исключения, являющегося одним из наиболее перспективных прямых методов для разреженных матриц. Дается описание этого метода, суть которого сводится к нахождению разумного компромисса между устойчивостью обращения матрицы, скоростью обращения и сохранением разреженности матрицы. Приводятся алгоритмы для работы с подобного рода прямыми методами. Исследуются возможные способы организации итерационного процесса для учета нелинейностей в задаче.

Третья глава посвящена исследованию численных свойств алгоритма. В первом параграфе предлагается итерационный алгоритм для

самосогласованного вычисления амбиполярного потенциала, в котором амбиполярный потенциал вычисляется с точност ью до узла сетки.

Вместе с тем, во втором параграфе показывается, что амбиполярный потенциал, являясь одним из важнейших параметров, определяющих процесс ионизации, в большинстве случаев должен быть найден с точностью более высокой, чем точность сетки. Показано, что вычисление потенциала с точностью сетки без применения адаптивных сеток приводит к недопустимо большой погрешности вычисления.

Для обеспечения приемлемой точности расчета амбиполярного потенциала, которая не приводила бы к качественному искажению результатов расчетов в третьем параграфе вводятся адаптивные сетки, а в четвертом параграфе модифицируется итерационный алгоритм нахождения амбиполярного потенциала с учетом адаптивных сеток.

Пятый паратраф посвящен программной реализации и тестированию численного алгоритма. Обсуждается выбор языка реатизации и набор тестов, который использоватся для проверки работоспособности кода.

В шестом параграфе анализируется трудоемкость выбранного метода обращения матрицы линейных алгебраических уравнений. Производится экспериментальная оценка асимптотики роста количества операций в методе УОСМ.

Предложенная во второй главе разностная аппроксимация ионизационного оператора оказывается неконсервативной. Заданный таким образом оператор оказывается несогласованный по числу частиц с источником электронов. Это приводит к возникновению стохастической ошибки, которая хоть и является достаточно малой, так как все операторы аппроксимированы со вторым порядком, но, тем не менее, является существенной при вычислении амбиполярного потенциала с использоваштем адаптивных сеток. Наличие этой разбалансированности между источником и оператором ионизации приводило к развалу итерационного процесса вычисления амбиполярного потенциала. В седьмом параграфе третьей главы предлагается модификация разностной аппроксимации, которая устраняет указанную неконсервативность. Данная модификация позволяет применять описанный в третьем параграфе итерационный метод нахождения амбиполярного потенциала. Дополнительным положительным моментом при использовании коррекции неконсерва! ивности

является некоторое ускорение сходимости функции распределения к стационарному значению, что объясняется отсутствиел! стохастического колебания плотности электронов при согласованной аппроксимации источника и оператора ионизации.

Последний парафаф третьей главы посвящен сравнению различных подходов к численному решению данной задачи. Производится сравнение различных численных методов (с использованием адаптивных сеток и без них, с использованием коррекции, обеспечивающей консервативность схемы, и без нее). Делается попытка оценить выигрыш в стоимости расчета, получаемый за счет использования адаптивных сеток. Также в этом параграфе обсуждаются ограничения на выбор шага по времени, так как хотя схема и является устойчивой, итерационный процесс вычисления амбиполярного потенциала оказывается чувствительным к слишком большим временным шагам.

Четвертая глава посвящена анализу и обсуждению результатов расистов.

В первом параграфе делается общий анализ стационарной функции распределения. Представляет интерес сравнение стационарной функции распределения с максвелловской. Показана асимметричность распределения электронов по углам в скоростном пространстве. Таюке продемонстрировано, что функция распределения особенно существенно отличается от максвслловской в области больших энергий, где и происходит процесс ионизации. Это подтверждает необходимость использования кинетических моделей для исследования процессов в ионном источнике, так как гидродинамическая модель предполагает максвелловскую функцию распределения.

Было проведено большое количество методических расчетов, на которых была проверена работоспособность кода и модели. Были получены и исследованы зависимости основных стационарных параметров плазмы (электронной плотности и температуры, амбиполярного потенциала) от вложенной ЭЦР волной мощности (второй параграф). В третьем параграфе изучается зависимост ь основных параметров плазмы от плотности газа. В этом же параграфе на основании расчетов делается вывод о границе применимости

данной модели для изучения процесса ионизации при различных плотностях газа.

Следующий параграф посвящен исследованию пороговых значений характеристик ЭЦР волны для пробоя газа при различных плотностях нейтралов. Для этого модель была расширена и в уравнение (1) был добавлен оператор, ответственный за внутренние потери электронов. В эти потери входит и рекомбинация, и радиальная диффузия и столкновения с примесями. Все эти эффекты слишком слабы, для того, чтобы учитывать их влияние при обычном разряде, но их суммарный эффект существенен при расчете пороговых значений ЭЦР волны, необходимых для пробоя.

Было проведено значительное количество расчетов для реальных экспериментов. В пятом параграфе приводится сравнение расчетных и экспериментальных характеристик прибора. Сравнивались электронная плотность л температура измеренная в эксперименте с полученными в результате численного моделирования и делается вывод о хорошем совпадении результатов расчетов с экспериментальными данными. На основании сопоставления рассчитанных и экспериментальных параметров делается вывод о применимости модели. Также в этом параграфе обсуждается точность построенной модели.

В заключении подводятся итоги проделанной работы, перечисляются основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

1. Предложена двумерная усредненная по пространственной переменной кинетическая модель ионизации разреженного газа ЭЦР волной в плазменном источнике с продольным магнитным полем. Модель включает в себя кинетическое уравнение для функции распределения электронов и задачу для самосогласованного вычисления амбиполярного потенциала. В кинетическом уравнении учтены следующие эффекты; взаимодействие ЭЦР волны с плазмой в квазилинейном приближении, ионизация газа, кулоновские соударения, потеря энергии и угловое рассеяние электронов в

результате неупругих соударений и угловое рассеяние электронов в результате упругих соударений.

2. Разработан численный алгоритм с использованием адаптивных сеток для решения кинетического уравнения в данной постановке, который обеспечивает высокую точность на грубых сетках. Алгоритм использует современную технологию разреженных матриц, позволяющий существенно сократить вычислительные затраты.

3. Разработан эффективный программный комплекс, прошедший всестороннее тестирование в широком диапазоне численных и физических параметров.

4. Проведены расчеты для реальной установки, результаты которых совпадают с экспериментальными данными. Исследованы характерные зависимости параметров разряда от внешних условий. Данные исследования позволяют количественно предсказывать поведение системы в зависимости от внешних параметров.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. А.Р. Srnirrov, N.V. Suctin and A.B. Shmelcv Two-dimensional bounce-averaged Fokker-Planck modelling of an electron cyclotron resonance plasma source. J. Plasma Physics (1998) vol. 59, part, pp. 243-257

2. A.P. Smirnov, Л.В. Slimelcv Numerical aspects of bounce averaged Fokker-Planck model for ECR plasma source. Journal of Magnetohydrodynamics And Plasma Research, (1999), v 15 pp 215-222

3. A.B. Shmelev, A.P. Smirnov Two-dimensional electron bounce averaged Fokker-Planck model with self-consistently calculated ion parameters for ECR discharge plasma source. IV International Workshop on Strong Microwaves in Plasmas, Nizhniy Novgorod August 2-9, (1999), Abstracts, report D10

4. A.B. Shmelev, A.P. Smirnov Two-dimensional electron bounce averaged Fokker-Planck model with self-consistently calculated ion parameters for ECR discharge plasma source. Proceedings of IV International Workshop on Strong Microwaves in Plasmas. Nizhniy Novgorod 1999

5. Shmelev A.B. Mathematical Modeling of Rarefied Gas Ionization in ECR Plasma Source. Proc. of ihe Workshop of MSU Students Projects on SSM Program, Moscow, (1995), pp. 34-49

6. Shmelev A.B. Mathematical Modeling of Rarefied Gas Ionization Proc. of the Workshop of MSU Students Projects on SSM Program, Moscow (1996), pp. 2740

Заключение

В диссертации предложена двумерная усредненная по пространственной переменной кинетическая модель ионизации разреженного газа ЭЦР волной в плазменном источнике с продольным магнитным полем. Модель включает в себя кинетическое уравнение для функции распределения электронов и задачу для самосогласованного вычисления амбиполярного потенциала. В кинетическом уравнении учтены следующие эффекты: взаимодействие ЭЦР волны с плазмой в квазилинейном приближении, ионизация газа, кулоновские соударения, потеря энергии и угловое рассеяние электронов в результате неупругих соударений и угловое рассеяние электронов в результате упругих соударений.

Разработан численный алгоритм с использованием адаптивных сеток для решения кинетического уравнения в данной постановке, который обеспечивает высокую точность на грубых сетках. Алгоритм использует современную технологию разреженных матриц, позволяющую существенно сократить вычислительные затраты.

Разработан эффективный программный комплекс, прошедший всестороннее тестирование в широком диапазоне численных и физических параметров.

Проведены расчеты для реальной установки, результаты которых совпадают с экспериментальными данными. Исследованы характерные зависимости параметров разряда от внешних условий. Данные исследования позволяют количественно предсказывать поведение системы в зависимости от внешних параметров.

1. J. A. Lehane, and Р. С. Thonemann. Proc. Phys. Soc. 85. 301 (1965).

2. R. W. Boswell. Plasma Phys. Controlled Fusion 26. 1147 (1984)

3. M. Light and F.F. Chen "Helicon wave excitation with helical antennas" Phys. Plasmas 2 (4), April 1995, 1084

4. H. Amemiya, H. Oyama and Y. Sakamoto "Experiment on the Anisotropy of Electron Temperature in ECR Plasma ". Journal of the Physical Society of Japan Vol. 56, No. 7, July, 1987, pp 2401-2412.

5. V.P.Gopinath and T.A.Grojohn "Three-dimensional electromagnetic PIC model of a compact ECR plasma source". IEEE Transactions on plasma science, vol.23, no. 4 August 1995 p. 602.

6. Y.Matsuda and J.J.Srewart "A relativistic multyregion bounce-averaged Fokker-Planck code for mirror plasmas". Journal of Computational Physics 66, 1986 pp. 197-217.

7. J.T. Scheuer and G.A. Emmert. "A fluid treatment of the plasma presheath for collisionless andcollisionalplasmas". Phys. Fluids В 2 (2), February 1990.

8. N.-H. Choi, W.-H. Koh, N.S. Yoon, H.-B. Park, and D.-I. Choi One-dimensional hybrid modelling an simulation of electron cyclotron resonance discharge ". IEEE Transactions on plasma science, vol.23, no. 4 August 1995 p. 617.

9. Cohen R.H, Bernstein IB., Doming J.J., Rowlands G., Nucl Fusion 20 (1980) 1421

10. Pastukhov, V.P. Nucl. Fusion 14 (1974) 3.

11. Тимофеев A.B. Циклотронные колебания равновесной плазмы. Вопросы теории плазмы, том 14 М. Энергоатомиздат 1985.

12. Гуревич А. В. Димант З.С. Кинетическая теория конвективного переноса быстрых частиц в токамаке. Вопросы теории плазмы, том 16 с.З М. Энергоатомиздат. 1987

13. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. Вопросы теории плазмы. Том 1. Стр 183. М. Госатомиздат 1963

14. Днестровский Ю.Н. Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М. Наука . 1993

15. Днестровский Ю.Н. Смирнов А.П. Шишкин А.Г. Двумерная усредненная по магнитной поверхности кинетическая модель ЭЦР генерации тока в плазме. Физика плазмы, том 16 1990.

16. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. Наука 1984.

17. Ахиезер А.И. и др. Электродинамика плазмы. М. Наука 1974

18. Александров А. Ф. и др. Основы электродинамики плазмы. М. Наука 1978

19. Kasheev А. V, Suetin V.N. Numerical solution of the electron distribution function for ECR heating in magnetic mirror. IEEE Transactions on plasma science, vol. 23, no. 4 August 1995 p. 591

20. A. V. Gurevich, Yu.N. Dnestrovsky, Ya.N.Istomin, D.P. Kostomarov, A.P. Smirnov. The kinetic theory of the gas discharge in electric field. XVI International conference on Phenomena in Ionized Gases. V-l 1983.

21. Баранов В.Ю., Борисов B.M., Высекайло Ф.Л. и др. Препринт КИАЭ #108 Москва 1979.

22. Физические величины. Справочник. М. Энергоатомиздат. 1991.

23. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М. Мир. 1987.

24. Emmertetal. 1980 Phys. Fluids, Vol.23, No. 4, pp 803-812.

25. Самарский А. А. Теория разностных схем. M. Наука 1983.

26. A.P. Smirnov, А. В. Shmelev Numerical aspects of bounce averaged Fokker-Planck model for ECR plasma source. J. Nova Media 19991. Список публикаций

27. A.P. Smirnov, N.V. Suetin and A.B. Shmelev Two-dimensional bounce-averaged Fokker-Planck modelling of an electron cyclotron resonance plasma source. J. Plasma Physics (1998) vol. 59, part 2.

28. A.P. Smirnov, A.B. Shmelev Numerical aspects of bounce averaged Fokker-Planck model for ECR plasma source. Journal of Magnetohydrodynamics and Plasma Research, (1999) vl 5 pp215-222.

29. Shmelev A.B. Mathematical Modeling of Rarefied Gas Ionization in ECR Plasma Source. Proc.of the Workshop of MSU Students Projects on SSM Program Moscow 1995, pp 34-49

30. Shmelev A.B. Mathematical Modeling of Rarefied Gas Ionization Proc.of the Workshop of MSU Students Projects on SSM Program Moscow 1996, pp 2740