автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве

На правах рукописи

804603403

ТОМИЛИН Александр Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМАТЕРИАЛОВ С СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ОРИЕНТАЦИЯМИ СТРУКТУРНЫХ И ТЕКСТУРНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 3 ИЮН 2010

Москва 2010

004603408

Работа выполнена в Московском государственном горном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор ХАЛКЕЧЕВ Кемал Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЮДЕНКОВ Алексей Витальевич;

кандидат технических наук ТЕПЛОВ Михаил Константинович

Ведущая организация — Учреждение Российской академии наук Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится

££

июня 2010 года в 15» час. на заседании диссертационного совета Д-212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан /У мая 2010 г. Ученый секретарь диссертационного совета

канд. техн. наук, доц. /£] А.Э. Адигамов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. При исследовании геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве возможности проведения натурального эксперимента весьма ограничены, а часто и вообще отсутствуют. В результате математическое моделирование остается практически единственным методом исследования геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, т.е. их ориентация мало отличается друг от друга.

При подземной разработке полезных ископаемых возникают проблемы увеличения их добычи, а также внедрения новых средств обеспечения безопасных условий труда па горных предприятиях. Интенсивная разработка месторождений полезных ископаемых приводит к постоянному увеличению глубины действующих в стране шахт, поэтому для обеспечения устойчивости горных выработок необходимо увеличивать размеры целиков. При этом, если оставляемые целики излишне больших размеров, это ведет к неоправданным потерям запасов руды в недрах, в то время как при недостаточном размере целиков их разрушение может вызвать лавинообразное разрушение целиков на соседних участках и привести к техногенной катастрофе.

Основная трудность при решении проблемы расчета несущей способности. целиков с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве — это недостаточно обоснованный подход к вопросу нахождения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в геоматериалах.

В настоящее время основная масса построенных математических и компьютерных моделей выполняется в рамках механики деформируемого твердого тела, но у данной теории есть ряд недостатков, таких как:

1. В ряде исследований весь породный массив рассматривается как упругое тело без структурных и текстурных особенностей, а трещины в породе представляются как образования в сплошной среде.

2. В некоторых работах геоматериалы представляются как упругие неоднородные среды, что приводит к сложной задаче - задаче осреднения, которая обусловлена отсутствием теоретически обоснованного процесса нахождения деформационных свойств геоматериалов по характеристикам минералов, деформационных свойств породного массива по характеристикам горных пород.

Проблема осреднения отчасти была решена методами микронеоднородных сред для упругой области, требующими соблюдения условий в части однородности.

Известен ряд исследований по расчету прочпостных свойств целиков и нахождению упругих свойств большого класса горных пород с произвольной случайной ориентацией структурных и текстурных составляющих, с осреднением результатов и возможностью переноса полученных характеристик на более высокий уровень при помощи понятия «элементарный объем». Однако использование данных моделей не оправдано для горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, потому что эти модели не учитывают анизотропности таких горных пород.

Вместе с тем в массиве существует достаточное количество горных пород, в которых структурные и текстурные элементы при деформировании меняют свою случайную ориентацию в пространстве на сильно коррелированную, что существенно влияет на их механические свойства. Данное явление проявляется довольно часто как в нетронутом породном массиве под действием тектонических сил, так и при перераспределении напряжений во время ведения горных работ.

В результате разработка математических моделей геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве является актуальной научной проблемой.

Целью работы является разработка математической модели деформационных процессов в геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Основная идея работы. Корреляция структурных и текстурных составляющих определяет степень анизотропности горных пород на макроскопическом уровне.

Методы исследований. Математическое и компьютерное моделирование деформационных процессов в горных породах с преимущественной ориентацией структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Объект исследования - геоматериалы с сильно коррелированной ориентацией структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- геометро-статистический метод определения концентрации и ориентации компонент в геоматериалах по результатам, полученным на основе доступных эмпирических данных трехмерных, двумерных и одномерных структур;

- математическая модель эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- математическая модель упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- комплекс программ определения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Научная новизна работы состоит:

- в разработке геометро-статистического метода определения концентрации и ориентации компонент геоматериалов по результатам, полученным на основе доступных эмпирических данных трехмерных, двумерных и одномерных структур;

- в разработке математической модели эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- в разработке математической модели упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- в разработке комплекса программ определения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Обоснованность и достоверность научных положений и результатов исследований подтверждается:

- корректностью применения апробированного математического аппарата (интегро-дифференциальных уравнений, метода самосогласованного поля, тензорного анализа);

- согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, с реальными результатами наблюдения.

Практическая значимость работы. Результаты, вытекающие из комплекса программ, построенных на основе разработанных математических моделей, могут быть использованы:

- для нахождения эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентадиями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- для нахождения упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентадиями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- для расчета несущей способности соляных целиков при подземной добыче галита и сильвинита.

Основные результаты диссертационной работы используются в филиале Ковдорского ГОКа в Усолье и ООО «ЕвроХим-ВолгаКалий» для расчета параметров системы разработки.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и получили одобрение на симпозиуме: «Неделя горняка» (Москва, МГТУ, 2008 - 2010пг.), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Ставрополь, 2010 г.), на семинарах кафедры «Высшая математика» МГТУ (2008-2010 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных статей, все - в издании, рекомендованном ВАК Минобрнауки России.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 158 наименований и 4 приложений, включает 7 таблиц и 146 рисунков.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель и задачи исследования, раскрыта научная новизна и перечисляются результаты, выносимые на защиту.

В первой главе проведен анализ существующих методов исследования деформационных процессов в геоматериалах и определения деформационных свойств горных пород, приведена классификация горных пород, структур и текстур, а также существующие методы их исследования и нахождения их геометрических параметров.

Исследованием деформационных процессов, которые протекают в геоматериалах, и нахождением деформационных свойств горных пород занималось большое количество ученых. Наибольший вклад в этой области внесли: Александров К.С., Лифшиц И.М., Редкозубов С.Н., Розенцвейг J1.H., Теплов М.К., Халкечев К.В. Хашин 3., Хилл Р., Широчин Д.Л., Штрикман С., Юденков A.B. и другие.

На основе их работ были созданы два класса методов нахождения механических свойств породных массивов: экспериментальные и аналитические.

Применение экспериментальных методов не всегда возможно, так как элементарный объем исследуемых геоматериалов может быть достаточно большим и у исследователей не будет технических средств для нагружения исследуемых образцов, кроме этого возможно возникновение ошибки, связанной с процессом измерений.

Недостатком аналитических методов является то, что они не учитывают анизотропности механических свойств, обусловленной сильной корреляцией ориентации структурных и текстурных составляющих горных пород в пространстве.

Все исследования структурных и текстурных составляющих с целью нахождения их геометрических параметров проводятся на шлифах, штуфах и пришлифовках. Данный метод не позволяет получить информацию о внутреннем строении самой горной породы, и поэтому все данные, полученные на шлифе, могут относиться только к образцу, а не ко всему породному массиву.

Выполненный обзор проведенных ранее исследований в соответствии с поставленной задачей позволил сформулировать следующие основные задачи исследований:

1. Разработать метод анализа форм и размеров текстурных и структурных составляющих, на основе которого численными методами можно получить достоверную информацию о геометрических характеристиках структурных и текстурных составляющих.

2. Построить математические модели нахождения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными структурными и текстурными составляющими.

3. Разработать комплекс программ, позволяющий численными методами находить эффективные упругие модули и упругое поле напряжений по полученным математическим моделям.

4. Исследовать механизм разрушения кристаллических геоматериалов с учетом причины возникновения и развития микротрещин при сильной корреляции ориентащш структурных и текстурных составляющих в пространстве.

5. Исследовать механизм разрушения образцов, опытных кристаллических, геоматериалов с учетом контактных условий при сильной корреляции ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

6. Исследовать механизм разрушения соляных целиков в зависимости от горно-геологических условий и от технологического оформления при сильной корреляции ориентащш структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Во второй главе приведены основы геометрического структурного анализа горных пород. Проведен анализ геометрических характеристик составляющих горных пород и выведены соотношения, позволяющие найти объемную долю составляющей горной породы, а также двугранный угол между компонентами горной породы, задающий их ориентацию в пространстве.

При исследовании геоматериалов исследователи сталкиваются с рядом серьезных проблем, среди которых можно отметить следующие:

1. Трудоемкость процесса изучения образцов, связанная с тем, что нельзя проникнуть внутрь образца, с целью определения внутреннего строения и количественных характеристик горных пород. Одним из таких примеров является горная порода, изображенная на рис. 1. Для данного образца невозможно определить,

какая из имеющихся составных компонент Рис. 1. Пример сложно исследуемого

образца горной породы

является основной.

2. Большая неточность измерений формы и размеров включений, связанная с большим разнообразием таких форм и невозможностью измерения их напрямую, что и приводит к количественным и качественным ошибкам.

В связи с этим необходимо разработать метод анализа форм и размеров текстурных и структурных составляющих, на основе которого можно численными методами получить достоверную информацию о геометрических характеристиках структурных и текстурных составляющих.

Трехмерные характеристики структурных и текстурных составляющих горных пород неизмеримы напрямую в связи с большой трудоемкостью и невозможностью

6

геометрических исследований внутри изучаемого образца. Поэтому необходимо исследовать шлиф образца, а полученные данные экстраполировать на весь исследуемый объем. Для этого следует найти математически строгие зависимости, позволяющие по эмпирическим данным одномерных и двумерных структур посчитать параметры трехмерных структур.

Было найдено две зависимости:

1. Объемная доля составляющих горной породы

т

IX {)

где £ V - суммарный объем всех микрочастиц соответствующего включения в единице объема микроструктуры; - суммарная площадь всех сечений

микрочастиц компоненты на единице площади двумерной структуры (на 1 мм2 площади шлифа); ^ А - суммарная длина отрезков статистически случайным образом проведенных прямых, проходящих по компоненте.

2. Средняя величина двугранных углов между компонентами горной породы

?> = Ф, (2)

где у - средняя величина плоских углов, получаемых при многократных сечениях плоскостью двугранного угла между компонентами горной породы; Ф - средняя величина двугранных углов между компонентами горной породы.

В третьей главе разработаны математические модели нахождения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве. Проведена математическая, программная и численная проверка адекватности полученных моделей для галита и сильвинита. Кроме этого проанализирована функция распределения значения эффективных упругих модулей от углов Эйлера д>,0,у/ и определены значения углов, задающих ориентацию в пространстве структурных и текстурных составляющих, при которых их необходимо считать сильно коррелированными.

Рассмотрим трехмерную анизотропную упругую среду с эллипсоидальной неоднородностью, занимающую область V. Объем среды будем считать достаточно большим, чтобы вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно было бы пренебречь, в результате исследуемую среду можно считать неограниченной. Обозначим через С0 постоянный тензор упругих модулей

однородной среды, через С0+С, тензор упругих модулей эллипсоидной неоднородности. Следовательно, тензор упругих модулей среды с неоднородностью - есть кусочно-постоянная функция: C(r) = C0+C,F(r),

где r=(x\xl,xi) - точка среды, V(r) - характеристическая функция области, занятой неоднородностью, при этом И(г) = 1 при ref и V(r) = 0 при г<tV.

Пусть £■„(/■) - непрерывное внешнее поле деформаций в однородной среде при С\ = 0 и заданных внешних силах, s(r) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностью при тех же внешних условиях. Справедлива теорема: если внешнее поле еа(г) есть полином степени m в окрестности V, то поле е(г) внутри эллипсоида - также полином степени m.

Запишем уравнение равновесия относительно смещения в среде с неоднородностью в произвольной аффинной системе координат:

= +£> = /, X, = -VQV,'l,=-vqv. (3)

Оно понимается в смысле обобщенных функций. Внешние силы - / не содержат сингулярности типа простого и двойного слоев в силу предположения о непрерывности внешнего поля деформаций. Из-за отсутствия двойных слоев решение и(г) предполагается принадлежащим к классу непрерывных функций, отсутствие же простых слоев является достаточным условием для непрерывности нормальной составляющей напряжений a(r) = C(r)c(r) на границе S области V.

Перепишем соотношение (3) в эквивалентной форме относительно и, -и-щ, в предположении, что 10и0 = g, и,0 при г -> да :

+ =-L,u0. (4)

Функция Грина, которая в рамках данной задачи является анизотропной тензорной функцией, позволяет преобразовать дифференциальное уравнение в частных производных (4) в интегральное уравнение, поскольку оно понимается в смысле обобщенных функций и, следовательно, не может быть решено аналитически и численными методами, потому что неизвестная функция имеет особенности. Анизотропной тензорной функцией Грина для бесконечной упругой среды называют анизотропное тензорное поле второго ранга G(r), обладающее следующими свойствами:

.1. В каждой точке пространства £ с. радиус-вектором г = 0 поле смещений ы(г) = G(r) определяет упругое состояние при объемных силах / = 0 :

Ю(г) = 0- (5)

2. 0(г) является анизотропной однородной функцией х. степени -1: С(|-) = 0(г-'), (6)

где г=\г\\

3. При 4 = 1,2,3

(7)

где <т = СУ С - анизотропный тепзор напряжений, соответствующий полю смещений ц(,); X, - сфера радиусом 7 с центром в начале координат; п - единичный вектор внутренней нормали к X,.

Анизотропная тензорная функция Грина несет следующий физический смысл - это решение задачи (уравнение равновесия) для единичной сосредоточенной силы, т.е. силы, приложенной к участку поверхности, характерный размер которого равен характерному размеру породной частицы. При нарушении этого равенства функция Грина для уравнения равновесия теряет физический смысл, т.е. построить ее не представляется возможным.

Для преобразования дифференциального уравнения в частных производных (4) в интегральное уравнение необходимо примепить к обеим частям последнего оператора ¿е/О0 (оператор Л/ соответствует симметризованному градиенту). В результате получаем:

+ К^с'Г" = -ВДеГ"» <0 = *Чо (8)

или

4 (0+1 ^ (г - г о- V-1=- К/ (' -' (О^', (9)

У

где оператор К° = -¿1е/Ойс1е/ имеет ядро

^-оЧ^^-о]^,,, (10)

где круглые скобки обозначают симметризацию по индексам & и у7; - функцию Грина.

Оператор является псевдодифференциальным оператором с однородным символом £0(£)еО°, т.е. бесконечно дифференцируемого и имеющего нулевой порядок однородности. Поэтому к нему применима следующая теорема: псевдодифференциальный оператор К0 с символом .£<,(£) е 0™ можно представить в виде сингулярного интегрального оператора.

Оператор К0 на непрерывных двухвалентных тензор-функциях и (г) согласно теореме может быть определен следующим образом:

+АЩЯ), (11)

где символ у.р. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Постоянный тензор А равен:

Л*]

где 5"4 - сфера в Л" единичного радиуса; сб^ - элемент площади 5""'; = преобразование Фурье ядра Ка.

1.711?

Необходимо отметить, что 0.„ = ^ ^ равно площади 5", так что А есть

среднее значение 4,(77) на сфере при и = 3 (в случае трехмерного пространства 4

В уравнении (8) с, = ¿е/и, имеет на границе области V на 5 скачок, обеспечивающий непрерывность нормальной составляющей напряжения а. Отсюда следует, что с, является кусочно-непрерывной функцией.

Ввиду этого уравнение (8) может быть записано как система:

-внсши , уанаы*/~* ^внеыш утеши тгвнешн чпг т/ /1 "2 \

С* + ад^Г0™ = -Л:0С,гГ™" = = Уе, . (14)

Из уравнений (13) и (14) для ядра оператора К* имеем:

[кЦг-пУ =-У(г)У(п[д,д^(г-п]ти+Ат6(г-г'). (15)

Как следствие теоремы о полиноминальной консервативности эллипсоидальной области получим, что внешнее однородное (постоянное) поле е0 индуцирует внутри эллипсоидальной неоднородности однородное поле е1:

г, =ЛС,«-0, А = -Щ\ В = А + АС1А. (16)

Запишем выражение для полного поля е2 внутри эллипсоидальной неоднородности, индуцированного внешним однородным полем в наиболее удобном виде. Для этого подставим значение Л в выражение для е,:

для е2:

s2=el+s0=-A(A+AC,A) ]AExs0 + s0.

После незначительных упрощений окончательно имеем:

s^I+AC^Ei,

где I - единичный четырехвалентный тензор.

Для нахождения эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных составляющих в пространстве необходимо воспользоваться следующей математической моделью.

Предполагаем, что горная порода заполняет объем V>VC. Для нахождения искомых упругих модулей используем следующую математическую модель полнокристаллической горной породы (минерала) равномернозернистой структуры: трехмерная неограниченная анизотропная упругая среда, которую назовем основной, с неоднородностями и в эллипсоидальных областях V(x), где х(х\х2,х:1) -точки среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам минералов и пород. Через С0 обозначим постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна (с), через С0+С,- то же для эллипсоидальной неоднородности.

Отсюда следует, что тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции C(x) = Ce + C,V(x), где V{x) -характеристическая функция области V, занятой неоднородностями, т.е. F(x) = l при xeV и V{x) = 0 при x<tV. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда V(x) -1.

Кроме этого будут следующие обозначения:

1. £0(х) - непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С, = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах;

2. е(х) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

При этом предполагаем, что эллипсоидальные области сильно коррелированны в пространстве и подчиняются обобщенному закону Гука:

где Сф, и В\ы - анизотропные эффективные тензоры, в отличие от изотропных тензоров Ст и .

В рамках самосогласованного поля имеем поле деформации, которое записывается в следующем виде:

г = (/+ЛС,)"'с' (19)

Среднюю деформацию (е) среды с неоднородностями получим, осредняя (19) по ансамблю реализации случайного поля неоднородностей, при этом учитываем, что если совокупность элементов составляющих породную частицу можно разбить па классы эквивалентности по некоторому признаку, который может принимать конечное число значений, то суммирование можно заменить интегрированием

2х х 2х

(?) = 11 ](7 + ЛС,)~' г УОрАуфт • (20)

ООО

Но поскольку, как было отмечено выше, с' постоянно, то получаем

2ж ж 2ж

= \\\(1+ЛС^ /{<р,0,чг)я11бав(1<рс1\1/. (21)

ООО

Учитывая, что деформирование каждой из неоднородностей описывается законом Гука, умножим левую и правую части выражения (19) на С и получим выражение для напряжений внутри любой неоднородности:

Се = С(1+АСуУ* в' или ег = С(1+АС,)~1е'. (22)

Среднее напряжение (с) среды с неоднородностями получается осреднением (22) по всему ансамблю реализаций:

(а) = е'2]]2}с(/ + лс,)4 /ОрАИзш&ШМс. (23)

ООО

Подставим значение (е) из (21) и (сг) из (23) в (3) и получим выражение для тензора эффективных упругих податливостей, которое в компонентной форме имеет вид

-

2* ж 2х

ООО

\ I \с,и (/„„„. + У Я<р,в,¥)ь ш блва&ц,

ООО 2хя2х

(24)

Подставим значение (<т) и (е) в выражение (18) и получим выражение для тензора эффективных упругих модулей, имеющее следующий вид в компонентной форме:

С'

lit

= 7] J } Ст„„ (1чт + )"' ДгЛ 0, у,)sin 6ded<pdV

им ~

х

.ООО

Т/К^+Л^С.)" n<pAv)smeded<pdyr

-I

X

.ООО

Для нахождения эффективных упругих модулей горных пород с сильно коррелированными ориентациями текстурных составляющих в пространстве рассмотрим неограниченную трехмерную упругую однородную среду (основную) с неоднородностями в эллипсоидальных областях V,. Свойство основной среды определяет тензор эффективных модулей упругости С, (25), С,+С, - то же для эллипсоидальных неоднородностей, где С, - случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Примем следующие обозначения:

1. е„(г) непрерывное внешнее поле деформаций, которое при заданных внешних силах (включая условия на бесконечности) существовало бы при С, = 0 в однородной среде.

2. е(г) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

Д ля тензора эффективных упругих податливостей имеем:

где К0 - объем неоднородности; V - объем среды, приходящийся на каждую неоднородность; и- концентрация неоднородностей; для построения функции Р(К) под интегралом в данном выражении необходимо задаться конкретной моделью случайного поля неоднородностей в среде; - определяется по формуле (24).

Таким образом, для того чтобы определить эффективные упругие характеристики полиминеральных горных пород с сильно коррелированными ориентациями текстурных составляющих в пространстве, необходимо применить последовательно две модели, описанные выше.

Определим поле напряжений для горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Пусть внешнее поле напряжений, в котором находится горная порода в целом, равно а0.

i+^\m)F(R)dv х

n n n '

-I

yW

(26)

0 0 0

Рассмотрим трехмерную анизотропную упругую среду с эллипсоидальной неоднородностью, занимающую область V. Объем среды будем считать достаточно большим, чтобы вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно было бы пренебречь. С точки зрения математики такую среду считают неограниченной.

Как известно, выражение для полного поля е2 внутри эллипсоидальной неоднородности, индуцированного внешним однородным полем е0, выглядит следующим образом:

ff,=(/+¿q)"4, (27)

где I - единичный четырехвалентный тензор.

Умножим слева это выражение на тензор упругих модулей С зерна (минерала), в результате получим выражение для индуцированного поля напряжений а внутрь изолированной эллипсоидной неоднородности:

ct=C(/+^C1)-'Í0. (28)

С учетом изложенных предпосылок относительно модели горной породы и предположений метода самосогласованного поля, поле напряжений внутри любого зерна (минерала), индуцированное внешним полем и полем, обусловленным другими зернами (минералами), имеет вид

в^СЦ+АС^е'. (29)

Осредним (29) по ансамблю полей зерен (минералов). В результате получаем

2* * 2т

о^е'\\\С{1+АСГ ñ<P, в, ¥) sin OdOdcpáy/. (3 0)

ООО

Общее выражение для поля напряжений а в зернах (минералах) горной породы при известном внешнем поле а0 получим из (27) и (30):

= ''ш {jljnm + Á/pq^pgim ) Х

(31)

ftoArtanededvdy'

ООО

где ij, m,n,r,t,p,q,k,l = 1,2,3.

В результате полученная формула (31) выражает поле напряжений в горных породах с сильно коррелированными ориентациями структурных составляющих в пространстве.

Определим упругое поле напряжений для горных пород с сильно коррелированными ориентациями текстурных составляющих в пространстве.

Внешнее поле деформации для таких горных пород выглядит следующим

образом:

/ +

- JK(R)F(R)dV

(32)

Выразим с' и подставим полученное значение в формулу для поля деформации (27), умножив обе части полученного выражения на С,:

] Ж (/„„„ + )"' К<р, вЛВЛуйц,

ООО 2х ж 1х

(4

' + ^ЧРЯ^щтп) Х

J jiedddcpdy ! + ~\K(R)F(K)dV

(33)

Таким образом, формула (33) отражает поле напряжений в горных породах с сильно коррелированными ориентациями текстурных составляющих в пространстве.

Для расчета значений по полученным моделям был создан комплекс программ на языке "Fortran 2008", позволяющий получить эффективные упругие модули и упругое поле напряжений горных пород в зависимости от ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве с шагом л!6 для каждого из трех углов Эйлера. Корректность комплекса программ была проверена на численных значениях для галита и сильвинита. Кроме этого была проведена математическая проверка моделей для галита и сильвинита, результаты, полученные обоими способами, совпадают с практическими данными.

Проанализировав полученные численные данные, построили функцию распределения эффективных упругих модулей в зависимости от значений углов Эйлера в математическом программном комплексе MatLab v.7.

На основе проведенного анализа был подсчитан коэффициент анизотропии для кристаллических горных пород на примере галита и сильвинита. За начальное значение берется значение с углами Эйлера, равными (0,0,0), рассчитанное по формуле

Основываясь на этом, коэффициент анизотропии находим по формуле _ PiWjA)

Увеличение значения коэффициента анизотропии характеризует степень корреляции ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Исходя из анализа функции распределения эффективных упругих модулей и коэффициента анизотропии были получены следующие выводы:

1. Если в рассматриваемом образце горной породы максимальная разница между одним из углов Эйлера, задающих ориентацию структурной или текстурной составляющей в пространстве, составит я/6, то для нахождения эффективных упругих модулей и эффективного упругого поля напряжений необходимо применять математические модели нахождения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в горных породах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

2. При изменении хотя бы одного из углов Эйлера в диапазоне от к/6 до я!2 можно говорить об отсутствии корреляции, следовательно, для расчета эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в таких горных породах необходимо применять математические модели механики неоднородных горных пород.

В четвертой главе был проведен анализ упругого поля напряжений для галита и сильвинита, даны рекомендации по оценке несущей способности и оптимальной формы соляных целиков с сильно коррелированными ориентациями структурных составляющих в пространстве.

Наибольшее распространение на калийных месторождениях имеют камерные системы разработок с жесткими или податливыми целиками. К недостаткам камерной системы с поддерживающими целиками в первую очередь необходимо отнести большие потери запасов руды, доходящие до 60-70 %. Величина потерь при прочих равных условиях зависит от глубины разработки, с увеличением которой приходится увеличивать размеры междукамерных целиков. Так, потери на рудниках Верхнекамского месторождения (до 300 м) выше в среднем на 10-15 % по сравнению с первыми рудниками.

Так же, как при шахтном способе, метод подземного выщелачивания предполагает применение в основном камерной системы разработки, которая характеризуется оставлением междукамерных целиков. Причем размеры целиков в этом случае принимаются с большим запасом прочности, что ведет к высоким потерям в недрах полезного ископаемого.

Существующие методы определения размеров целиков основаны на оценке прочности целиков по допускаемым напряжениям, по разрушающим деформациям,

а также с учетом деформаций ползучести. Хотя все указанные теории позволяют определить несущую способность целиков, они не опираются в достаточной мере на I реально наблюдаемый механизм разрушения целиков.

Размеры целиков для сильвинитовых и галитовых месторождений ввиду их особой ответственности должны выбираться с достаточным знанием механизма I деформирования и разрушения солей как кристаллических неоднородных пород. Необходимо обоснование размеров целиков на основе изучения механизма их разрушения в зависимости от горно-геологических условий и от технологического оформления для различных зон, в которых структурные составляющие сильно коррелированны.

Проведен анализ упругого поля напряжений для галита и сильвинита, для этого были построены графики зависимости а от значений углов Эйлера <р,в,у/. В связи с невозможностью визуализировать зависимость шести компонент поля ! напряжений от трех углов Эйлера, было решено поступить следующим образом: по ' осям х и у отложить значения двух углов Эйлера виц/, а угол <р зафиксировать, тогда по оси г можно откладывать соответствующие значения функции. В результате мы получим поверхности, соответствующие значениям функции <7{ср,в,у/), которые показывают зависимость напряжения от углов Эйлера. Следует

напряжения, совпадают, но при этом величина растягивающих напряжений в сильвините больше при той же ориентации, что и у галита, при одинаковой внешней нагрузке.

Механизм разрушения кристаллических геоматериалов зависит от многих факторов: структуры, условий нагружения, внешней среды, размеров и формы объекта исследования, длительности нагружения, ориентации в пространстве

отметить, что величины касательных

напряжений на два порядка меньше, чем величина нормального напряжения <х,, и поэтому нецелесообразно изображать их на графике. Пример одного из полученных | трафиков представлен на рис. 2.

Сравнивая результаты, полученные для галита и сильвинита, приходим к выводу, что значения углов Эйлера, при которых зерна испытывают растягивающие

Рис. 2. График зависимости (7,(0,0,1//) для галита

структурных и текстурных составляющих и т.д. Поэтому очень трудно дать исчерпывающую картину разрушения, так как каждый случай необходимо уточнять конкретными условиями.

В главе был описан механизм разрушения кристаллических геоматериалов под действием однократной монотонной возрастающей одноосной нагрузки для различных зон, в которых структурные и текстурные составляющие сильно коррелированны. Было рассмотрено хрупкое разрушение, которое включает в себя зарождение микротрещин, их развитие, объединение в макротрещины и распространение последних до разделения горной породы на части, образование свободных поверхностей с полностью отсутствующими нормальными связями.

На основе модели, описанной в главе 3, в которой любая точка в кристаллической горной породе соответствует зерну той или иной ориентации был определен критерий разрушения отдельных зерен при одноосном сжатии всей горной породы в целом:

.(35)

Бьшо подсчитано упругое поле напряжений для галита и сильвинита, значения а„ взяты равными 0.325-Ю'Я/м2 й 03-10'Н/м2 соответственно, в связи с этим следует рассматривать следующие виды зерен:

1. Существуют зерна, которые испытывают растягивающие напряжения - сг, и - ст,, превосходящие по величине предел прочности их на растяжение, например при углах Эйлера- р = 0, в = л16, у-ж или <р = л/6, в = я/6, у/ = л!Ъ\

2. Есть зерна, для которых растягивающие напряжения - ег, и - <т2 равны пределу прочности на растяжение, например при р = я76, 0 = я76, ^/ = 11я76 или д> = л76, в = ж!6, ^ = 5л76;

3. Некоторые зерна вовсе не испытывают растягивающих напряжений, например при углах Эйлера- <р = п! 6, 0 = 0, у/ = 0 или <р = я!6, 0 = 0, у/ = ж!2\

4. Есть зерна, испытывающие растягивающие напряжения либо - <т,, либо - ст2 равные или превосходящие предел прочности на растяжение, при углах Эйлера

<р=п!6, в = п/2, Ц! = 11

В связи с изложенным имеет смысл за критерий разрушения зерна выбрать максимальное растягивающие напряжение, несмотря на то что горная порода в целом испытывает одноосное сжатие.

-С (/ + А С1 I

~ пти ' Црд^рдпда)

пН +

1 /О?,б^'/^И! ОйО(1(р!1ц/

В основу определения нагрузки на целики положен метод, расчета акад. Л.Д.Шевякова, который полагает, что целики равномерно воспринимают вес налегающих пород в пределах площади выработанного пространства. Условие расчета размера прочных целиков в этом случае имеет вид

Жг„ + 5АГ* —. (36)

' и

где Я - глубина разработки; - высота целика; у - объемный вес пород в целике; Уср " средний объемный вес пород, залегающих над целиком; 50 - площадь горизонтального сечения целика; 5 - площадь выработанного пространства; а^ -сопротивление пород целика сжатию; п - коэффициент запаса прочности.

Целесообразно ввести коэффициент К, учитывающий контактные условия на

границе с кровлей и почвой, которые влияют на механизм возникновения и развития трещин. В зависимости от горно-геологических условий будут наблюдаться следующие варианты разрушения: "коническое" разрушение, "косое" разрушение, разрушение типа "раскалывание" и смешанное разрушение, обусловленное различивши контактными условиями на границе кровли и почвы. В связи с этим условие расчета прочных размеров целиков (36) перепишется следующим образом:

+ (37)

п

Ширина ленточных (Ъм) и столбчатых (Ьс) целиков будет определяться соответственно по формулам:

А —

А«(38) (39)

пНГср НГср I пНУср НУср

где А - ширина камеры; Ах В - поперечные размеры камер, окружающих столбчатые целики; I - заданная длина целика.

В зависимости от ориентации зон, в которых структурные составляющие

сильно коррелированны, значение коэффициента К будет изменяться следующим

образом:

1. Сильно коррелированные структурные составляющие в пространстве преимущественно направлены горизонтально (гапит - К = 1.7, сильвинит - лг = 1.5).

2. Сильно коррелированные компоненты ориентированы преимущественно вертикально (галит - £=1.3, сильвинит - К = 1.2).

3. Сильно коррелированные структурные составляющие ориентированы под углом а к горизонтали (для а = л74: галит -£ = 1.6, сильвинит - £ = 1.4).

В работе предлагается форма соляного целика (рис. 3). Используя в расчетах значения коэффициента К для присутствующих в целике зон, в которых структурные составляющие будут сильно коррелированными, можно подобрать оптимальную ширину целика, что позволит

Рис. 3. Предлагаемая форма целика.

увеличить добычу полезного ископаемого, приведет к увеличению прибыли предприятий и уменьшит риск возникновения техногенной катастрофы.

Заключение

В диссертационной работе решена актуальная задача - математическое моделирование эффективных упругих модулей и эффективного упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, имеющая существенное значение для управления, вычислительной техники и информатики.

Основные результаты, полученные лично автором, заключаются в следующем:

1. Получены математические соотношения, позволяющие найти объемную долю структурных и текстурных составляющих, определяющие, какая из компонент является основной, и среднюю величину двугранных углов между элементами различных компонент, что позволит определить степень корреляции ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

2. Построена математическая модель нахождения эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

3. Создана математическая модель нахождения упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

4. Разработан комплекс программ, позволяющий найти численными методами значения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений горных пород

по построенным математическим моделям в зависимости от ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

5. Исследован механизм разрушения кристаллических геоматериалов с сильной корреляцией ориентаций структурных составляющих в пространстве при однократном воздействии монотонной возрастающей одноосной нагрузки.

6. Описан механизм разрушения образцов, исследуемых кристаллических горных пород с учетом контактных условий при сильной корреляции ориентаций структурных составляющих в пространстве.

7. Исследован механизм разрушения соляных целиков в зависимости от горногеологических условий при сильной корреляции ориентаций структурных составляющих в пространстве и технологического оформления.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Томилин A.B. Геометрический структурный анализ. // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. - №4. - С. 102 - 107;

2. Томилин A.B. Основные соотношения геометрического структурного анализа. И Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. - №4. - С. 102 - 107;

3. Томилин A.B. Закономерности влияния структурно-текстурных особенностей горных пород на их деформационные свойства. // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2009. — №3. - С. 169 - 170;

4. Томилин А. В. Математические модели сплошной среды и эллипсоидальной неоднородности в упругой среде с сильно коррелированными в пространстве ориентациями структурных и текстурных составляющих. - // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. — №4. - С.324;

5. Томилин А. В. Математическое моделирование горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве. // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. - №4. -С. 404.

Подписано в печать -/У. ¿£$".20Юг. Формат 60x90/16 Объем 1.0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № ^99-

Отдел печати Московского государственного горного университета 119991, Москва, Ленинский пр., 6

Введение

1. Состояние вопроса и задачи исследования

1.1. Анализ существующих методов исследования деформацион- 10 ных процессов в горных породах

1.2. Анализ существующих методов определения деформацион- 14 ных свойств горных пород

1.3. Основные геологические понятия

1.3.1. Горная порода. Классификация горных пород

1.3.2. Структура горной породы. Виды структур различных 19 горных пород

1.3.3. Текстура горной породы. Виды текстур

1.3.4. Методы изучения текстур и структур

1.4. Задачи исследования

2. Геометрический структурный анализ

2.1. Исследование внутреннего строения горных пород

2.2. Определяющие геометрические параметры трехмерной, двух- 32 мерной и одномерной структур

2.3. Соотношения между параметрами трехмерных, двумерных и 35 одномерных структур

2.4. Объемная доля составляющих горной породы

2.5. Средняя величина и дисперсия двугранных углов

2.6. Выводы

3. Иерархически-стохастические модели с масштабом неоднородно- 50 сти эффективных упругих и неупругих свойств горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве

3.1. Модель сплошной среды и формальная схема расчета

3.2. Анизотропная тензорная функция Грина

3.3. Эллипсоидная неоднородность в упругой среде

3.4. Описание моделей механики неоднородных горных пород с 61 сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве

3.4.1. Модель нахождения эффективных упругих модулей 62 горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных составляющих в пространстве

3.4.2. Модель нахождения эффективных упругих модулей 65 горных пород с сильно коррелированными ориентациями текстурных составляющих в пространстве

3.5. Поле напряжений в горных породах с сильно коррели- 67 рованными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве

3.6. Проверка адекватности моделей

3.6.1. Математическая проверка адекватности модели

3.6.2. Программная проверка адекватности модели и числен- 71 ная реализация

3.7. Определение концентрации компонент и степени корреляции 77 структурных и текстурных составляющих горных пород

3.8. Выводы 82 4. Механизм разрушения соляных целиков в зависимости от ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве

4.1. Особенности камерной системы разработки калийных место- 84 рождений

4.2. Анализ упругого поля напряжений

4.3. Постановка и общее решение задачи о разрушении кристалли- 98 ческих горных пород с учетом неоднородности и ориентаций структурных и текстурных составляющих в пространстве

4.4. Концевые эффекты при одноосном сжатии в зависимости от 105 ориентации структурных и текстурных составляющих горных пород в пространстве

4.5. Механизм разрушения соляных целиков в зависимости от гор- 116 но-геологических условий и ориентации структурных составляющих в пространстве

4.6. Механизм разрушения соляных целиков в зависимости от тех- 126 нологического оформления

4.7. Рекомендации по оценке несущей способности и оптимальной 130 формы соляных целиков

4.8. Выводы 133 Заключение 135 Список литературы 137 Приложение 1 150 Приложение 2 157 Приложение 3 167 Приложение

Актуальность работы. При исследовании геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве возможности проведения натурного эксперимента весьма ограничены, а часто и вообще отсутствуют. В результате математическое моделирование остается практически единственным методом исследования геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, т.е. ориентация мало отличается друг от друга.

При подземной разработке полезных ископаемых возникают проблемы увеличения их добычи, а также внедрения новых средств обеспечения безопасных условий труда на горных предприятиях. Интенсивная разработка месторождений полезных ископаемых приводит к постоянному увеличению глубины действующих в стране шахт, поэтому для обеспечения устойчивости горных выработок необходимо увеличивать размеры целиков. При этом, если оставляемые целики излишне больших размеров, это ведет к неоправданным потерям запасов руды в недрах, в то время как при недостаточном размере целиков их разрушение может вызвать лавинообразное разрушение целиков на соседних участках и привести к техногенной катастрофе.

Основная трудность при решении проблемы расчета несущей способности целиков с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве — это недостаточно обоснованный подход к вопросу нахождения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в геоматериалах.

В настоящее время основная масса построенных математических и компьютерных моделей выполняются в рамках механики деформируемого твердого тела, но у данной теории есть ряд недостатков, такие как:

1. В ряде исследований весь породный массив рассматривается как упругое тело без структурных и текстурных особенностей, а трещины в породе представляются как образования в сплошной среде.

2. В некоторых работах геоматериалы представляются как упругие неоднородные среды, что приводит к сложной задаче - задаче осреднения, которая обусловлена отсутствием теоретически обоснованного процесса нахождения деформационных свойств геоматериалов по характеристикам минералов, деформационных свойств породного массива по характеристикам горных пород.

Проблема осреднения отчасти была решена методами микронеоднородных сред для упругой области, требующими соблюдения условий в части однородности.

Известен ряд исследований по расчету прочностных свойств целиков и нахождению упругих свойств большого класса горных пород с произвольной случайной ориентацией структурных и текстурных составляющих, с осреднением результатов и возможностью переноса полученных характеристик на более высокий уровень при помощи понятия «элементарный объем». Однако использование данных моделей не оправдано для горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, потому что эти модели не учитывают анизотропности таких горных пород.

Вместе с тем, в массиве существует достаточное количество горных пород, в которых структурные и текстурные элементы при деформировании меняют свою случайную ориентацию в пространстве на сильно коррелированную, что существенно влияет на их механические свойства. Данное явление проявляется довольно часто как в нетронутом породном массиве под действием тектонических сил, так и при перераспределении напряжений во время ведения горных работ.

В результате разработка математических моделей геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве является актуальной научной проблемой.

Целью работы является разработка математической модели деформационных процессов в геоматериалах с сильно коррелированными ориента-циями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Основная идея работы. Корреляция структурных и текстурных составляющих определяет степень анизотропности горных пород на макроскопическом уровне.

Методы исследований. Математическое и компьютерное моделирование деформационных процессов в горных породах с преимущественной ориентацией структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Объект исследования - геоматериалы с сильно коррелированной ориентацией структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- геометро-статистический метод определения концентрации и ориентации компонент в геоматериалах по результатам, полученным на основе доступных эмпирических данных трехмерных, двумерных и одномерных структур;

- математическая модель эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- математическая модель упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- комплекс программ определения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Научная новизна работы состоит:

- в разработке геометро-статистического метода определения концентрации и ориентации компонент геоматериалов по результатам, полученным на основе доступных эмпирических данных трехмерных, двумерных и одномерных структур;

- в разработке математической модели эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

- в разработке математической модели упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве;

- в разработке комплекса программ определения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

Обоснованность и достоверность научных положений и результатов исследований подтверждается: корректностью применения апробированного математического аппарата (интегро-дифференциальных уравнений, метода самосогласованного поля, тензорного анализа); согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, с реальными результатами наблюдения.

Практическая значимость работы. Результаты, вытекающие из комплекса программ, построенных на основе разработанных математических моделей, могут быть использованы: для нахождения эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве; для нахождения упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве; для расчета несущей способности соляных целиков при подземной добыче галита и сильвинита.

Основные результаты диссертационной работы используются в филиале Ковдорского ГОК в Усолье и ООО «ЕвроХим-ВолгаКалий» для расчета параметров системы разработки.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и получили одобрение на симпозиуме: «Неделя горняка» (Москва, МГГУ, 2008 — 2010гг.), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Ставрополь, 2010 г.), на семинарах кафедры «Высшая математика» МГГУ (2008 - 2010 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных статей, все из которых опубликованы в издании, рекомендованном ВАК Российской Федерации.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 158 наименований и 4 приложений, включает 5 таблиц, содержит 146 рисунков.

Основные результаты, полученные лично автором, заключаются в следующем:

1. Получены математические соотношения, позволяющие найти объемную долю структурных и текстурных составляющих, определяющие какая из компонент является основной, и среднюю величину двугранных углов между элементами различных компонент, что позволит определить степень корреляции ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

2. Построена математическая модель нахождения эффективных упругих модулей кристаллических геоматериалов с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

3. Создана математическая модель нахождения упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве.

4. Разработан комплекс программ, позволяющий найти численными методами значения эффективных упругих модулей и упругого поля напряжений горных пород по построенным математическим моделям в зависимости от ориентации структурных и текстурных составляющих в пространстве.

5. Исследован механизм разрушения кристаллических геоматериалов с сильной корреляцией ориентаций структурных составляющих при однократном воздействии монотонной возрастающей одноосной нагрузки в пространстве.

6. Описан механизм разрушения образцов, исследуемых кристаллических горных пород с учетом контактных условий при сильной корреляции ориентаций структурных составляющих в пространстве.

7. Исследован механизм разрушения соляных целиков в зависимости от горно-геологических условий при сильной корреляции ориентаций структурных составляющих в пространстве и технологического оформления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена актуальная задача - математическое моделирование эффективных упругих модулей и эффективного упругого поля напряжений в кристаллических геоматериалах с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве, имеющая существенное значение для управления, вычислительной техники и информатики.

1. Александров К.С. Средние значения тензорных величин. // ДАН СССР. 1965. - Т. 164. - № 4. - С. 600 - 602.

2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. НТ Пресс, 2006. -496 с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1989.-472 с.

4. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных массивов. М.: Недра, 1988. - 271 с.

5. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика горных пород. -М.: Недра, 1975. 350 с.

6. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. Едиториал УРСС, 2003. - 376 с.

7. Бартенев О.В. Visual Fortran. Новые возможности. 1999. 306 с.

8. Беликов Б.А., Александров К.С., Рыжова Т.В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород.- М.: Наука, 1970. 276 с.

9. Белый A.A., Минаев В.И., Подыногина A.B., Широчин Д.Л. Деформирование углей и полимеров как предмет фрактальной реологии. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2005. - № 4. - С. 52-59.

10. Бетехтин А.Г., Генкин А.Д., Филимонова A.A., Шадмун Т.Н. Текстуры и структуры руд. М.: Госнаучтехиздат, 1958.

11. Боголюбов И.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Госнаучтехиздат, 1946. - 235 с.

12. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие для вузов. 2004. 440 с.

13. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее инженерные приложения, Высшая школа. 2010. 480 с.

14. Волковец А.И., Гуринович А.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. 2003. 84 с.

15. Бордовский Г.А., Кондратьев A.C., Чоудери А. Д. Физические основы математического моделирования. Академия, 2005. 320 с.

16. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. "Вассамедина", 2005. 520 с.

17. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. М.: Физмат-гиз, ВЫП. 1, 1958.-327 с.

18. Глаголев A.A. Геометрические методы количественного анализа агрегатов под микроскопом. Львов: Госгеолиздат. 1941. - 264 с.

19. Глаголев A.A., Способ и прибор для микроскопического анализа горных пород. Авт. Свид. № 38066. "Бюл. Изобр.". - 1934. - № 7 - 8.

20. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 1988. 448 с.

21. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. - 415 с.

22. Даринский Б.М., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. О вычислении упругих модулей поликристаллов. // ПМТФ. 1967. - № 5. - С. 123 - 124.

23. Даринский Б.М., Шермергор Т.Д. К теории диффузионной релаксации в поликристаллах. // ПМТФ. 1965. - № 5. - С. 84 - 86.

24. Даринский Б.М., Шермергор Т.Д. Межзеренная температурная релаксация в неоднородной изотропной среде. // Прикл. механика. 1966. - Т. 2.-№ 10.-С. 91-93.

25. Даринский Б.М., Шермергор Т.Д. Упругие модули поликристаллов кубической структуры. // ПМТФ. 1965. - № 4. - С. 121 - 128.

26. Егоренков Д.Л., Фрадков A.JL, Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке Matlab. 2000.

27. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. О вариационном методе вычисления эффективных постоянных упругости неоднородных материалов. // Изв. АН СССР. 1975. - МТТ. - № 1 - С. 62 - 65.

28. Ершов JI.B., Максимов В.А. Введение в механику горных пород. -М.: Недра, 1976.-221 с.

29. Зарецкий А., Труханов А., Зарецкая М., Энциклопедия профессора Фортрана. 1991. 190 с.

30. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 496 с.

31. Иглин С.П. Математические расчеты на базе Matlab. "BHV-Санкт-Петербург", 2005. 640 с.

32. Иглин С.П. Теория вероятностей и математическая статистика на базе MATLAB. НТУ "ХПИ", 2006. 612 с.

33. Ильницкая Е.И. Влияние масштабного фактора на прочностные свойства горных пород. Физико-механические свойства давления и разрушения горных пород. М.: АН СССР, 1962. - 128 с.

34. Исаенко М.П. Определитель текстур и структур руд. М.; Недра, 1964.-278 с.

35. Казарян В.А., Теплов М.К., Поздняков А.Г., Борисов В.В.и др. Подземные хранилища в системе государственного резервирования нефтепродуктов. М.: ОПК 2006. 384 с.

36. Канаун C.K. Метод самосогласованного поля в задаче об эффективных свойствах упругого композита. //ПМТФ. 1975. - №4. - С. 129 - 131.

37. Канаун С.К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды. // ПМТФ. 1977. - № 2 - С. 234 - 237.

38. Канаун С.К. Случайное поле трещин в упругой сплошной среде. Исследование упругости и пластичности. // ЛГУ, 1974, - № 10. - С. 27 - 31.

39. Карпов В. Алгоритмический язык Фортран. М., Наука, 1976. -192 С.

40. Кендалл К., Моран П. Геометрические вероятности. М., Наука, 1966. - 267 С.

41. Кендалл М. Моран П. Геометрические вероятности. 1972.

42. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложением в технике.- М.: Мир, 1976. 178 с.

43. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела, М.: Наука, 1978. -550 C.

44. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 1. 120 с.

45. Кондратов В., Королев С. Matlab как система программирования научно-технических расчетов. Мир, 2002.

46. Кузнецов Г.Н., Слободов М.А. Определение методом разгрузки напряжений, действующих в междукамерных целиках. // Труды ВНИМИ. -1950.-М 22.-С. 151 174.

47. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде. // Доклады АН СССР. Т. 199. - № 3. - 1971. - С. 127.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.203 с.

49. Левин В.М. К определению эффективных упругих модулей композитных материалов. // ДАН СССР. 1975. - Т. 220. - № 5, - С. 164 - 165.

50. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Р.-Л.: Гостехтеориздат, 1950. - 300 с.

51. Лифшиц И.М., Розенцвейг JI.H. К теории упругих свойств поликристаллов. // ЖЭТФ. Т. 16, ВЫП. 11. - 1946. - С. 967 - 970.

52. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. Поправка к статье "К теории упругих свойств поликристаллов". // ЖЭТФ. Т. 21, ВЫП. 10. - 1951. - С. 1184 -1193.

53. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970.- 197 с.

54. Мудров А.С. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. 1991.

55. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 378 с.

56. Мэтьюз Д, Финк К. Численные методы использование MATLAB. Вильяме, 2001. - 716 с.

57. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. Атом-издат, 1972. - 397 с.

58. Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. Академия, 2009. 320 с.

59. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967. —385 с.

60. Новацкий В.В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

61. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1985.-384 с.

62. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: МГУ, 1981.-343 с.

63. Поршнев C.B. MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник. "Бином. Лаборатория знаний", 2006. 320 с.

64. Поршнев C.B. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. Телеком, 2003.

65. Поршнев C.B., MATLAB 7. Основы работы и программирования.1. Бином-Пресс, 2006. 320 с.

66. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела, -М.: Наука, 1979.-739 с.

67. Разрушение, под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. - 560 с.

68. Редкозубов С.А., Адигамов А.Э., Монаков В.К. Задача уменьшения размерности линейных стохастических моделей на основе состоятельной аппроксимации. // Системы управления и информационные технологии. -2007. № 1.3 (27). - С. 377 - 382.

69. Редькин Г.М. Нестационарное анизотропное математическое моделирование неоднородностей систем минерального сырья. 2007. 500 с.

70. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. М,: Недра. 1985.- 286 с.

71. Ризниченко Ю.В., Ванек И., Сибек В. Исследование горного давления геофизическими методами. М.: Наука, 1967. - 1215 с.

72. Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. -М.: Недра, 1986.-301 с.

73. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977. - 552 с.

74. С. И. Дворецкий С.И., Ю. JL Муромцев Ю.Л., В. А. Погонин В.А., А. Г. Схиртладзе А.Г. Моделирование систем. Академия, 2009. 320 с.

75. Салтыков С.А. Стереометрический анализ. М.: Металлургия, 1976.-271 с.

76. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. ФИЗМАТЛИТ, 2005. 320 с.

77. Сантало JI. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. 1983.

78. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики, -М.: Наука, 1979.-639 с.

79. Соболь И.М. Метод Монте-Карло, 1968. 64 с.

80. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. Едиториал УРСС, 2003. 144 с.

81. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. Д.: Мир, 1985. - 352 с.

82. Теплов М.К., Федчук В.И. Сценарии опасных событий на подземных хранилищах в каменной соли. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2003. - № 10. - С. 131 - 133.

83. Томилин A.B. Геометрический структурный анализ. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2010. — №4. - С. 102 - 107;

84. Томилин A.B. Основные соотношения геометрического структурного анализа. // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2010.-№4.-С. 102- 107;

85. Томилин A.B. Закономерности влияния структурно-текстурных особенностей горных пород на их деформационные свойства. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2009. -№3. - С. 169 - 170;

86. Томилин А. В. Математическое моделирование горных пород с сильно коррелированными ориентациями структурных и текстурных составляющих в пространстве. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2010. - №4. - С. 404.

87. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 240 с.

88. Феллер В. Введение в теорию вероятности и ее приложения. М.: Мир, 1984.- 1378 с.

89. Финкель В,М. Физические основы торможения разрушения. М.: Металлургия, 1977.

90. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Влияние ориентации армирующих волокон на упругие модули материалов. // МТТ, 1964. С. 93.

91. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. К вычислению упругих модулей гетерогенных сред. // ПМТФ, 1968. № 3. - С. 39 - 45.

92. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. К определению границ эффективных модулей неоднородных твердых тел. // ПМТФ, 1968. № 4. - С. 23 - 28.

93. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. К расчету упругих модулей неоднородных материалов. // Механика полимеров, 1968. №4, - С. 58 - 62.

94. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Упругие модули текстурированных материалов. //МТТ, 1967. -Ml.- С.129 136.

95. Халкечев К.В. Механика Неоднородных горных пород. Бишкек, Илим, 1991.-250 с.

96. Халкечев К.В. Определение закономерностей и разрушения полнокристаллических пород с целью прогнозирования несущей способности соляных целиков. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М, МГИ, 1981. 150 с.

97. Хашин З.В., Розен Б.В. Прикладная механика. 1964. С. 104126.

98. Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. -M.: Недра, 1987. 269 с.

99. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения.- М.: Наука, 1974.-563 с.

100. Черепанов П.Г. Об одном методе решения упругопластической задачи. ПММ. 1963. - Т. 27, ВЫП. 3. - С. 38.

101. Шевяков Л.Д. О расчете прочных размеров и деформаций опорных целиков. // Изв. АН СССР ОТН, 1941, №7, 8. 9.

102. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред, -М.; Наука. 1977.-370 с.

103. Ширяев А.И. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 460 с.

104. Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации. Изд.2, 2006. 216 с.

105. Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела. М; Мир, 1971.-280 с.

106. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдо дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. - 370 с.

107. Эшелби Дж. Континуальнальная теория дислокации. М.; ИЛ, 1963. - 486 с.

108. Юденков A.B., Адигамов А.Э., Горонина Е.В. Стохастический подход к описанию математической модели первой основной задачи теории упругости. // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2009. -№4.

109. Adams J.C. Brainerd W.S. Martin J.T. Fortran 90 Handbook. 1992

110. Babcock C.O., Bickel D.L. Constraint the missing variable in the coal burst problem. // Proc. of 25 th US Symp on Rock Mechanics.- AIME: New York.- 1984.-P. 639-647.

111. Beran M., Molyneux J., Use of classical variations principles to determine bounds for the effective bulk modulus in heterogeneous media. // Quat. App. Math.- 1966. Vol. 24. - P. 107.

112. Beran M., Statistical Continuum Theories. // Interse. Publ.: few York, 1968.-342 p.

113. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the astic properties of a polycrystalline face-centered metal. // Mag.- 1951. Vol 7. - №42. - P. 1298 -1307.

114. Blake W. Rock preconditioning as a seismic control measure in mines. // Proc. of Symp. on Rockbursts and Seismisity inMines (S. Air. Inst. Min. Metall). Johannesburg. - 1984. - P. 25 - 230.

115. Board M.P., Fairhurst C. Rockburst control through destressing a case example. Rockburst: prediction and control. - London: // Institution of Mining and Metallurgy. - 1984. - P. 91 - 101.

116. Brown E.T. Rockbursts: prediction and control. // Tunnels and Tunnelling. - 1984. - P. 150- 167.

117. Budavari S. Rock mechanics in mining practice. Johannesburg: South African Institute of Mining and Metallurgy.-Monograph Serious. 1983. - №5. -308 p.

118. Burgers J. M. Some considerations on the fields of stress tonnected with dislocations in a regular cristal lattice. // Proc. bn.Ned. Akad. Wetensch. -1939.-Vol.42.-P. 293 -3 78.

119. Cox H.L, Sopwith D.E., Effect of orientation on stress in ingle crystals and of random orientation on strength of polycrystalline aggregates. // Proc. Phys. Sos. 1937.-Vol.49.-P. 134.

120. Cryzak S.J., Bow N., Payne H. On the tensile stress-strain (elation and the Bauschihger effect for polycrystalline materials lorTaylor's model. // Mech. and

121. Phys. Solids. 1961. - №9. - P. 63.

122. Dempster E.L, Tyser J.A., Wagner H. Regional aspects of mining -induced seismicity: theoretical and managerment considerations. // Trans. Instn. Min. Metal. 1984. - Vol. 93. - P. 17 - 27.

123. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects. // Jolid State Phys. 1956. - Vol. 3. - P. 79 - 127.

124. Goode C.A., Campoli A.A. Controlling coal mine bumps. // Coal Mine, 1984. - №8. - P. 48 - 53.

125. Haramy K., Hanna K., McDonnell J. Investigations of underground coal mine bursts. // Proc. of 4 th Conf. on Ground Control in Mining. Morgan-town: West Virginia Univ, - 1985. - P. 127 - 134.

126. Hardly H.R. Stability monitoring of underground structures using acoustic emission techniques. // Proc. of Symp. on Rockbursts and Seismicity in Mines. Johannesburg. - 1984. - 286 p.

127. Hashin Z. Theory of mechanical behavior of heterogeneous media. // Appl. Mech. Rev. - 1964. - Vol. 17. - №1., 123 p.

128. Hashin Z., Shtrikman S. On some variations principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity. // Mech. Phys. Ms. 1962. - Vol. 10. - №4.

129. Hill R. The elastic behavior of a crystalline aggregate. // Proc. Phys. Soc. -1952. Vol. A 65. - №389. - P. 349.

130. Hoek E. Bieniawsky Z.T. Brittel fracture propogation in rock under compression.- // Int. J. Fracture Mech. 1965. - Vol. 1. - P. 137 - 155.

131. Holland S.T., Thomas E. Coal mine bumps: some aspects of occurrence, cause and control. BuMines Bulletin. - 1954. - P. 535

132. Kidybinski A. Bursting liability indices of coal. // Rock Mech.Min. Sci. 1981. - Vol. 18. - P. 295 - 304.

133. Kneer G., Die elastischen konstanten quasusotroper vielkristallaggre-gate. // Phys. Stat. Sol. 1963. - №9. - P. 331 - 339.

134. Kroner E. Berechnung der elastishen konstanten des ielkristalls aus den konstanten des einkristalls. // Phys. 1958. - №4. - P. 504 - 508.

135. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disorded composite materials. // Mech. Phys. Solids. 1967. - Vol.15. - №4. - P. 319

136. Leibfried G. Versetzungen in anisotropen material. // Phys.- 1953. -Vol. 135.-№1.-P. 126- 158.

137. McGarr A. Some applications of seismic source mechanism to assessing underground hazard. // Proc. of Symp. on Seismicity in Mines.- Johannesburg: South African National Group on Rock Mechanics.- 1982. P. 32 - 79.

138. Metealf M. Reid J. Fortran 90, 95 explained (2nd edition). 1999.

139. Neuber L. Gebirsschlage im braunkohlen tiebau. Bergakademie. -1952.-№110.-P. 387-389.

140. Proceedings of the First International Congress for Stereology, Vuenna, 1963. 140 p.

141. Ramsden S. Lin F. Fortran 90. A Conversion Course for Fortran 77 Programmers. 1995.

142. Rockbursts: prediction and control. London: Institution of Mining and Metallurgy. - 1984. - 457 p.

143. Rubenfeld LA., Keller J.B. Bounds on elastic moduli of composite media. // SIAM Appl. Math. 1969. - Vol. 17. - №3. - P. 495 - 521.

144. Salamon M.D.G. Energy considerations in mining. // South Air. Inst. Min. Metall. 1986.-Vol.86. - P. 54 - 67.

145. Spottiswood S.M., McGarr A. Source parameters of tremors in a deep level gold mine. // Bull.Seismic. Soc. Am. 1975.-Vol.65. - P. 93 - 112.

146. Stereology. Proceedings of the Second International Congress for Stereology, Springer Verlag, New York 1967. - 337 p.

147. Taylor G.L. Strains of crystalline aggregates. // Proc. Colloid. Deformation Flow Solids. - 1956. - P. 3 - 12.

148. Voigt W. Lehrbuch der kristallphusik. Berlin: Fenbner.-1928.-S.962.

149. Weis 0. Preliminary observations on apparent electrical resistivity changes in rock under stress and E.M.F. caused by internal friction in rock fracturing. // Bull. Inst. Min. Metal 1943. - №462. - P. 1 - 14.

150. Westland S., Ripamonit C. Computational Colour Science using mat-lab, Wiley, 2004. 207 p.