автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование фронтальной части течения в каналах и реках при нестационарном стоке

На правах рукописи

ЛАПИН ВИТАЛИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРОНТАЛЬНОЙ ЧАСТИ ТЕЧЕНИЯ

В КАНАЛАХ И РЕКАХ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ СТОКЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I |

}

I

Ставрополь - 2005

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете^

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Каплан Лев Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Борлаков Хиса Шамильевич доктор физико-математических наук, профессор Наац Игорь Эдуардович

Высокогорный геофизический инсппуг РАН (г.Нальчик)

Защита состоится 23 декабря в 14.40 на заседании диссертационного совета ДМ 212.256.05 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан « -/0 » ноября 2005 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Л.1

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент —" Л.Б. Копыткова

¡их>с.-к 2 №781

и. & 3 к ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Нестационарность течения в горных реках и каналах возникает при резком увеличении стока вследствие катастрофических осадков или сбросе значительных объемов воды из водохранилищ. При этом на сравнительно большом расстоянии от водохранилищ и зон осадков происходит обострение переднего фронта течения, что приводит к внезапному резкому увеличению уровня реки. Явление особенно заметно при выполажива-нии течения, на равнинной части реки, где, казалось бы, следовало ожидать спокойного медленного повышения уровня. Свидетелями и невольными участниками этого стали жители станицы Барсуковской и города Невинномысска (Ставропольский край) в июне 2002 г.

Цель работы: моделирование течений в реках и каналах при нестационарном увеличивающемся стоке из водохранилища или зоны осадков, сопровождающихся обострением переднего фронта на значительных расстояниях от источника.

Задачи исследования:

• построить модель распространения длинных волн малой амплитуды на поверхности идеальной жидкости, вызванных импульсным сбросом воды из резервуара;

• уточнить модель движения длинных волн малой амплитуды с учетом эффектов, вызванных вязкостью жидкости;

• построить двухслойную двумерную модель, описывающую распространение вязкой жидкости по наклонной плоскости;

• построить модель движения жидкости в наклонном канале эллиптического сечения; л .

• построить модель однослойного и двухслойного движений жидкости в канале прямоугольного сечения;

• построить модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости;

• построить модель турбулентного движения в наклонном канале кругового сечения;

• выявить участки рек Северного Кавказа, на которых возможно появление ударного переднего фронта течений, и рекомендовать меры по предотвращению внезапных разливов рек вблизи населенных пунктов.

Объекты исследования:

1. Импульсные сбросы воды из резервуаров.

2. Ламинарные и турбулентные течения в реках и каналах.

3. Ударные передние фронты в реках Северного Кавказа.

В ходе выполнения диссертационной работы впервые исследовано формирование, развитие и последующая диссипация уединенных волн (солитонов) на поверхности вязкой жидкости. Показано, что при движе-

з р^КГ^1

нии солитона в его хвостовой части формируется плато, которое оказывает тормозящее.действие на солитон в целом. Рассчитаны скорости формирования, движения и диссипации солитона.

Разработаны упрощенные модели течений вязкой жидкости по наклонной плоскости и в наклонном канале эллиптического и прямоугольного сечения. Построены модели турбулентного течения жидкости по наклонной плоскости и в канале кругового сечения. Показано, что со временем происходит обострение начального пологого нарастающего переднего фронта течения. Определены участки рек Северного Кавказа, на которых возможно появление ударного переднего фронта течения. Определены причины разрушения прибрежных построек при наводнении 2002 г. в г. Невинномысске и с. Барсуковской.

Практическая значимость работы определяется возможностью применения ее результатов при прогнозировании появления ударных фронтов течений рек и каналов в районах населенных пунктов. Положения, выносимые на защиту:

1. Модификация возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза применительно к случаю импульсного движения вязкой жидкости в каналах и реках и его решение прямым методом теории возмущений и методом обратной задачи рассеяния.

2. Упрощенные модели

г образования ударного переднего фронта при движении вязкой жидкости по широкому каналу;

- образования ударного переднего фронта при ламинарном движении вязкой жидкости в каналах эллиптического и прямоугольного сечения;

- образования ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой жидкости по наклонному широкому каналу и каналу кругового сечения.

3. Результаты расчетов течения воды в реке Кубань при экстремальном стоке 5 июня 2002 года, сопровождавшемся большими разрушениями.

4. Рекомендации по предотвращению образования ударного фронта на примере течения реки Кумы в районе города Зеленокумска и села Отказное.

Публикации и апробация результатов исследования. По теме диссертации автором сделано 13 публикаций, из них 8 в центральной печати. Результаты исследований докладывались на Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.); 47, 48, 49-й научно-методических конференциях СГУ «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2002-2004 г.); XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.). Тезисы докладов включены в материалы Международного форума по проблемам науки, техники и образова-

ния (г. Москва, 2003); Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9. (г. Красноярск, 2003); Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва, 2003).

Личный вклад автора. Все исследования выполнены по инициативе и с участием автора. Постановка задач исследования, анализ, обобщение данных и формулировка выводов по работе осуществлены совместно с научным руководителем. Автором решены поставленные задачи, интерпретированы экспериментальные и теоретические данные; им написаны компьютерные программы и разработаны сопутствующие процедуры подготовки данных и обработки результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, состоящего из 112 наименования. Работа содержит 137 страниц машинописного текста, включает 44 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, поставлена цель, определены задачи исследования, раскрыта его научная новизна и практическая ценность, а также сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе известные результаты исследований течения вязких жидкостей приведены в систему применительно к задаче, поставленной в настоящей работе. В качестве основы моделирования движения вязкой жидкости приняты уравнения Навье - Стокса и Рейнольдса, которые дают достаточно полнуйЪбщую картину Течений вязкой жидкости по каналам и рекам.

При существующем подходе жидкость при импульсном сбросе считают идеальной. Исходя из уравнений Эйлера для этой жидкости, получают уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ). Однако модели, основанные на КдФ, не учитывают влияние затухания возмущения, обусловленного влиянием вязкострг жидкости. Детальное изучение возмущений может быть осуществлено при модификации уравнения КдФ. С целью решения такого уравнения рассмотрены основные идеи прямого метода теории возмущений и метода обратной задачи рассеяния.

Рассмотрена известная элементарная теория ударных волн, представляющих собой поверхности разрыва параметров состояния и скорости движения газа или жидкости. Приведены примеры появления ударных волн на поверхности жидкости в виде гидравлического скачка или так называемого «бора».

Во второй главе рассмотрены течения жидкости при импульсных сбросах из резервуара, сопровождающиеся появлением длинных волн малой амплитуды. Показано, что в идеальной жидкости эти волны имеют сильно выраженную локальную структуру и форму так называемых соли-тонов или уединенных волн Кортевега - де Фриза (рис. 16).

ч

1 пУо.О) задвижка

1 резервуар

О /.

Рисунок 1а. Начальное положение жидкости (I = 0)

I « = Л + 77(х,0

«Ф ^^

\___ / \ А ^-1-> :-►

»1 »2 Рисунок 16. Уединенная волна (солитон)

Детально рассмотрен процесс возникновения и дальнейшая эволюция волн малой амплитуды. Рассмотрен следующий процесс. В начальном состоянии жидкость находится выше уровня канала в резервуаре (рис. 1а). Когда перегрродка /0, отделяющая жидкость от канала, внезапно отодвигается и затем, через некоторый промежуток времени, снова задвигается, происходит небольшой сброс и возникает длинная колоколообразная волна, движущаяся вдоль канала (Рис. 16).

Далее рассмотрена динамика движения длинной плоской волны малой амплитуды, когда максимальная амплитуда возмущения а мала по сравнению с глубиной канала А, а длина возмущения / велика по сравнению с Л. Известно, что форма длинной волны малой ам-

плитуда, распространяющейся в идеальной жидкости определяется уравнением Кортевбга - де Фриза:

Здесь с02 = gh, точкой обозначена производная по времени, а штрихом -производная по координате.

Для волн определяемых уравнением КдФ без дисперсионного члена (без третьей производной по координате) зависимость скорости от высоты определяется простым уравнением:

Из этого уравнения следует, что при сильной нелинейности происходит обострение переднего фронта солитона.

Влияние вязкости учтено нами посредством модификации уравнения КдФ таким образом, чтобы оно учитывало диссипативные эффекты. Модифицированное уравнение КдФ имеет правую часть, которая линейно зависит от безразмерного v1 кинематического коэффициента вязкости жидкости:

Я,+6ЯЯе+Яеее=-ГЯ, (2)

где Ц - приведенная высота поверхности, 0 = х' - соответствует

З2?

пространственному положению солитона, г' ---приведенному времени,

6

параметр Г равен произведению 0<ег«1 и коэффициента у>0, линейно зависящего от безразмерного кинематического коэффициента вязкости жид-

2 52

кости, то есть Г = ау = отек', где *" = -г~~т>а =—т** •

3 сг а^И

Для решения возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза нами применен прямой метод теории возмущений:

<7(0,0 =<7(0)+<^("+-, (3)

где <7(0) имеет вид солитона <7(8,г) = 2т/2 весЬ2, причём г], параметр амплитуды, является медленно меняющейся функцией т (77 = т]{Т), Т = от). Используется переносная система координат, движущаяся вместе с солитоном (£ = 0-0, у = г). После подстановки (3) в (2) получены уравнения для определения дт :

<£> -4^» +6(«АГ +<А<,))+<^ = —-Я? ■ (4)

Решение уравнения (4) получено в форме:

= ! + й, 9 + з(1 + 5-^-Х! - <Р Л 9>)®есЬ > +

у дТ (.->;

+ ^>(2 - <р Л ^весИ 2 <р),

где =

Как следует из (5), диссипация, обусловленная вязкостью, приводит, к появлению плато за солитоном, так как в хвосте солитона не обращается в ноль (Рис. 2).

А У основная часть

Рисунок 2. Распространение солитона в вязкой среде

Прямой метод теории возмущений не позволяет точно описать форму плато, движущегося за основной частью солитона. Полное описание соли-тона в вязкой среде получено методом обратной задачи рассеяния.

Амплитуда солитона, распространяющегося на поверхности вязкой жидкости, подчиняется следующему соотношению:

X, - ~~УХ . (6)

где у - параметр, зависящий от вязкости.

Из этого соотношения следует, что со временем амплитуда и скорость солитона убывают. Определена скорость, с которой ширина солитона увеличивается, а его амплитуда убывает с течением времени:

' £(0 = 4+ & (7)

Г

Форма плато в хвосте солитона описывается формулой:

(8)

Полагая, что возмущение обращается в нуль на далеком расстоянии от основной части солитона (при *->-<»), получаем, что

(»-{о ДО/)"3

*•(*,/)= р77АКг7)-в(х-^-4^0, (9)

-«о

где 6(*) - ступенчатая функция. Поскольку функция Эйри имеет ос-

ч

циллирующий характер, то при (*-£„)< О функция ^¿г]' А\(т]') колеблется около нуля, причем при = 0 ее амплитуда достигает 2/3. При (х-£0) > 0 она монотонно растет до единицы (рис. 3).

Пх, 0 |

плато

1

о*

Рисунок 3. Плато за солитоном

Следовательно, возмущение, характеризующееся в уравнении КдФ членом -Гд, приводит к возникновению плато позади основной части

солитона, которое фактически является расплывающимся со временем коротким импульсом.

возникновение плато в хвостовой части солитона сопровождается дополнительной потерей энергии, поскольку приводит к расплыванию со временем уединенной волны.

Таким образом, решение возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза методом обратной задачи рассеяния и прямым методом теории возмущений дает схожие результаты, подтвержденные непосредственными численными расчетами.

Показано, что устойчивое поведение солитона в вязкой жидкости, также как и в идеальной, возможно только при условии компенсации дисперсии (зависящей от длины солитона и глубины канала) нелинейностью (зависящей от высоты волны и глубины канала). При сильной нелинейно-ста происходит обострение переднего фронта солитона.

Таким образом, рассмотрены основные особенности течений, возникающих при импульсном сбросе жидкости из резервуара.

• Импульсные сбросы воды из водохранилищ часто принимают форму уединенной волны на некотором расстоянии от них и далее распространяются на значительные расстояния.

• При крутых руслах рек и каналов нередко происходит обострение с расстоянием переднего фронта уединенной волны так, что на большом расстоянии этот фронт становится ударным.

Однако, как показывает практика, небольшие импульсные сбросы, как правило, хотя и приводят к появлению солитонов, но их амплитуда невелика и практические последствия их возникновения в большинстве случаев незначительны. Наиболее опасно, когда сброс из водохранилищ осуществляется хотя и медленно, однако непрерывно и до большой величины. В этом случае процесс не является локальным, поэтому для его опи-

сания модель солитона Кортевега - де Фриза не подходит. Для изучения таких процессов нами предложен ряд упрощенных моделей, включающих применение непосредственно уравнений Навье - Стокса и Рейнольдса, и далее нами показано, что многие характеристики возникающих течений фактически повторяют особенности волны Кортевега- де Фриза.

Общее представление о процессах, приводящих к обострению переднего фронта жидкости, получено в рамках двумерной модели ламинарного однослойного и двухслойного течений несжимаемой вязкой жидкости по наклонному каналу. При этом при двухслойном течении первым слоем считается установившееся течение жидкости (постоянный сток реки) высотой уи (Рис. 4). Увеличение стока представлено в виде второго слоя высотой у, над нулевой поверхностью со сравнительно пологим фронтом. Рассмотрена область течения вне переднего фронта, имеющая постоянную высоту у, . Поскольку высота слоя не меняется, течение здесь стационарно.

В этом течении скорость Рх зависит только от координаты х. Поверхность жидкости свободная, поэтому давление не зависит от координаты х и времени I. Соответственно, система уравнений Навье-Стокса

принимает вид:

■ 81П ОС

(10)

- g сое а = 0

Рисунок 4. Начальный пологий передний фронт при одномерном течении жидкости.

Ух(у) = -у-ят а у2 + ау +Ь

4У*

±4Р

р А'у

Из первого уравнения системы (10) следует, что между глубиной у и скоростью течения

вдоль оси * существует квадратичная зависимость, выражаемая следующим уравнением:

(П)

Второе уравнение системы (10) характеризует обычную линейную зависимость давления от глубины.

В случае однослойного течения наиболее часто возникаю-

щего при прорыве дамб, постоянные в формуле (11) определяются из следующих граничных условий. В соответствии с гипотезой прилипания скорость на дне канала равна нулю КДО) = 0 , следовательно, свободная кон-

станта также обратится в нуль: b = 0. Напряжение трения между слоями на поверхности жидкости (при у = равно нулю т(у^) = 0, следователь-gsina ^

но а=—-у.. С учетом значений постоянных заключительное выра-

v

жение для зависимости продольной скорости потока от высоты одномерного однослойного течения принимает вид

,, g sin а 2 gsine

Кг = ~ л--у.у■ (12)

х 2v v '

В свою очередь, уравнение, описывающее поведение второго слоя

у0 < у < несжимаемой вязкой жидкости, движущейся по наклонной

плоскости, принимает вид:

(13)

где У0 - скорость первого слоя.

Из анализа полученных формул следует, что от скорости первого слоя непосредственно зависит скорость движения переднего фронта. При этом при двухслойном движении расстояние, на котором образуется передний ударный фронт, увеличивается, а время остается неизменным при увеличении скорости первого слоя.

Анализ уравнений (12) и (13) показывает, что скорость течения увеличивается при приближении к поверхности, т.е. движение верхних слоев происходит с большей скоростью, чем нижних. Поэтому крутизна изначально пологого фронта увеличивается со временем в процессе движения этого фронта вниз по течению (Рис. 5).

Расчетное время образования ударного (прямоугольного) фронта А/ зависит от граничных значений скоростей:

Рисунок 5. Ударный передний фронт течения в момент времени А/.

Л/ = —

■ *i - (у, - y0)tga

(14)

уЛуО-УМ

где х2~х, - разность между горизонтальными координатами нижней и верхней точек фронта (начальная длина), а К(^) ~Ух(у0) - разность ско-

ростей на границе слоя, у1 — у0 - толщина второго слоя, а - угол наклона канала. Для двухслойного течения время обострения равно:

Д/ =

*2 - *1 - (^1 - Уо)*8а М*2 ~х1- (Уг - Уо)*8а)

(15)

ГЛУ>)-ух(Уо) (У1 -Уо)28^"

Таким образом, время и расстояние, на котором происходит обострение фронта уменьшается с увеличением угла наклона канала, а также увеличением начальной крутизны фронта и толщины второго слоя у,-у0, что полностью соответствует данным натурных наблюдений.

Однако двухмерная модель не учитывает возможного влияния боковых стенок канала на процесс образования ударного фронта. Поэтому далее нами рассмотрена трёхмерная модель рассматриваемого явления. Рассмотрены два случая, когда канал (река) имеет прямоугольное или эллиптическое сечение. Считается, что первый слой представляет собой установившееся течение жидкости (постоянный сток реки) высотой г0 (Рис. 6). Увеличение стока представлено в виде второго слоя толщиной г, над нулевой поверхностью, имеющего сравнительно пологий фронт.

Первоначально рассмотрено однослойное стационарное течение жидкости в наклонном канале эллиптического сечения. Система уравнений Навье-Стокса для этого случая записывается в виде:

Рисунок 6. Течение жидкости в наклонном канале эллиптического сечения.

д2У. д2У. + -

= -—-вша

(16)

---у- - g • сояс = О

ду2 дгг \_dlp р с1г

Полагаем, что сечение канала представляет собой часть эллипса с полуосями у | иг,. Учитываем гипотезу прилипания и, соответственно, об-

ращения в нуль скорости на границе канала. Из этих условий следует, что линии равных скоростей течения в поперечном сечении канала эллиптической формы имеют вид эллипсов, также как и в более простом случае течения вязкой жидкости в трубе такой же формы (Л.Г. Лойцянский «Механика жидкости и газа»):

К

g sin а 2v

(z-z,)

г \

(17)

>1 2. Скорость течения максимальна на оси канала, равномерно убывая при стремлении к стенкам (Рис. 7).

Эти результаты подтверждены при рассмотрении более простого случая, когда наклонный канал имеет круговое сечение, что позволяет воспользоваться цилиндрической системой координат.

Рассмотрено также течение несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале прямоугольного сечения. Первоначально исследовано однослойное течение. В системе координат связанной с дном канала система уравнений Навье - Стокса записывается в с виде (16). Граничные условия на стенках, дне канала и поверхности жидкости в этом случае имеют вид соответственно: ИДдс,0,г)=К1(лс,£>,г) = 0, У,(х,у,0) = 0, г(х,у,г,) = 0 . Решение уравнения Пуассона системы (16) с учетом граничных условий получено нами в виде ряда Фурье:

Рисунок. 7. Эпюра скоростей жидкости в канале эллиптического сечения

ОС

ЯП

sm — у~ ь

2b

2 g

sin а

(тУ

(1-(-!)")((-

+ е'

-2l|)

-2—z\

1 + е 4

+ 1) (18)

У 1

0.2

Рисунок 8. Эпюра скоростей жидкости в канале прямоугольного сечения

Соответствующая зависимость рассчитана нами весьма точно с использованием 50-ти членов ряда (18) в системе Maple 9 и построено распределение скоростей для канала прямоугольного сечения, когда толщина слоя равна ширине канала (Рис. 8). Используем полученные результаты при рассмотрении двухслойного течения, характеризующегося наличием первого слоя (постоянного стока) и

вторым слоем, возникающим, например, при прорыве дамб. Для этого течения, как вид самих уравнений (16), так и граничные условия на стенках канала и на поверхности не изменятся. При определении граничного условия на нижней границе второго слоя используется рассчитанное выше распределение скоростей в первом слое, которое приближенно является линейным:

iv ь

ъ-уУ,

(19)

где К0 - максимальная скорость в центре канала.

Решение системы (16), для случая двухслойного течения в канале прямоугольного сечения получено нами в виде бесконечного ряда:

тт

7Й Ь

2Ьгё -аш а у(тт)3

2»Уша , 4К0(-1)

л + 1

у(югУ

- + Ь +1

яп

\е~к,,г + ел"*~2л'

пН ^

(20)

Из (20) следует, что распределение скоростей при двухслойном течении зависит от геометрических размеров канала и от начального распределения скоростей на границе словв. При этом общие тенденции и закономерности эволюции второго слоя в целом такие же, как и при рассмотренном выше однослойном течении.

Проведено сопоставление общих картин распределения скоростей в каналах эллиптического и прямоугольного сечения, исходя из предположения, что исходный пологий передний фронт течений задан. Нами показано, что в обоих каналах крутизна начального пологого фронта увеличивается со временем практически одинаково быстро, однако форма фронта отличается (Рис. 9).

Рисунок 9. Обострение переднего фронта в канале прямоугольного сечения

Промежуток времени и расстояние, на котором происходит обострение переднего фронта, зависят от начальной крутизны фронта. При малой начальной крутизне фронта этот промежуток увеличивается, а при большой -уменьшается. Ширина и высота канала оказывают значительное влияние на время образования ударного переднего фронта. При глубине канала, сравнимой с его шириной, зависимость скорости от ширины канала практически линейная, а при ширине намного большей глубины - зависимость практически отсутствует. Для широких рек и каналов влияние берегов (стенок) незначительно и, следовательно, трехмерная модель течения переходит в двумерную. При двухслойном течении время образования переднего фронта практически не зависит от скорости первого слоя, тогда как расстояние, на котором происходит обострение, существенно увеличивается с увеличением этой скорости.

Далее нами рассмотрены турбулентные течения несжимаемой вязкой жидкости в глубоких каналах, для которых Яе > 3000 , начиная со стационарного (по осредненным скоростям) течения по наклонной плоскости. При неизменных осредненных скоростях любые два поперечные сечения канала кинематически и динамически идентичны, поэтому осред-ненная скорость зависит только от ординаты, а все ее производные по х равны нулю. При этом для плоского стационарного осредненного движения в системе уравнений Рейнольдса остается только одно уравнение для скорости:

- рРх = 0 , (21)

d'V. dr

d'y dy

где г - напряжение турбулентного трения, Fx - g sin а - горизонтальная составляющая массовой силы, а - угол наклона канала. Напряжение турбулентного трения задано нами в виде известной формулы Прандля

х = р/2[ fËL I , где I- расстояние некоторой точки внутри течения от

I Ъ )

твердого дна являющееся характерной длиной этой точки в безграничном потоке. Путь смещения записывается в виде / = %у, где х ~ эмпирическая константа. С учетом вышесказанного, решение уравнение (21) дает скорость турбулентного движения по наклонной плоскости в зависимости от высоты точки у от дна канала:

г.- 1

----pgysma

jPX\ jT,+pgysma+jT, )

+C (22)

Это распределение скоростей является логарифмическим, в отличие от параболического распределения при ламинарном движении. Также как и при ламинарном движении, первоначально пологий начальный фронт обост-

ряется со временем и при турбулентном течении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости. Однако при турбулентном движении время образования ударного переднего фронта существенно уменьшается.

Далее нами построена модель турбулентного течения несжимаемой вязкой жидкости в канале кругового сечения. Мгновенные скорости представлены в виде У = V + V, где V - осредненные по времени их значения, а Г- пульсационные значения или пульсации скорости. Учтена зависимость массовой силы Fz = pg sin а от угла наклона канала а . Для них из системы уравнений Рейнольдса остается только одно уравнение, которое связывает компоненты осредненных и пульсационных скоростей:

N , о _

ргЕвта+--?-(-ргГХ). (23)

г дг

д% 1 дУг

——1- +---

д г г дг

С использованием теории пути смещения Прандтля путь смещения / определен из соотношения: I = %(а - г), где а - радиус рассматриваемого канала, а х - постоянный эмпирический коэффициент. Далее последние равенства подставлены в основное уравнение (23) и найдено уравнение для осредненной скорости У.:

{ З'У, 1 dV, ,

а3 „ , 1

--4я + 3г I

9K.V . , - ,\дУ.д'У.

+ 2(а2 - 2аг + г2)-

дг I ' дг дг1

Решение данного уравнения получено в виде:

ЛП ---<- , . -4арг(аа! - Р)

Р

ар

Аар 2 ар

В , „ (а-1) , 4аа~ , (\0аа-2а2а ¡ , ,.

- IBap + ¿-рг +-р' + ---\р4 + О(р')

2 ар Р И Р { Р

2 2

здесь а ~ , р - р 8Ша э а параметр р зависит от радиальной состав-и №

ляющей скорости Уг

Численные расчеты по этому уравнению показали, что при турбулентном движении по каналу кругового сечения, также как и при ламинарном, происходит увеличение крутизны переднего фронта жидкости и образование ударной волны, распространяющейся вдоль течения жидкости.

Таким образом, в каналах самой различной формы при нестационарном увеличивающемся стоке, как для ламинарных, так и турбулентных течений крутизна переднего фронта увеличивается со временем и расстоянием от источника (резервуара) этих течений.

В главе 4 практическое применение полученных результатов осуществлено на примере рек Северного Кавказа. Выделены реки, для которых наиболее вероятно появление ударного переднего фронта. Среди рек Ставропольского края - это Кубань и Кума. На всем протяжении их русла имеют в сечении форму неправильного четырехугольника, поэтому в качестве модели, описывающей течения в них, наиболее подходит предложенная нами модель движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонному каналу прямоугольного сечения. В качестве первого слоя рассмотрен постоянный средний сток реки. Второй слой представлен в виде повышения уровня реки, возникающего при сильных осадках или сбросе воды из водохранилищ.

Опасен участок реки Кума между Отказненским водохранилищем и городом Зеленокумском. С использованием двухслойной модели установлено, что максимальная скорость течения на поверхности воды при сбросе составляет 1,1 м/с . Далее рассчитаны скорость и величина сброса воды из Отказненского водохранилища, при котором обострение переднего фронта течения р. Кума происходит в районе села Отказное. Установлено, что при равномерном увеличении сброса из Отказненского водохранилища на 11 мг / с в течение 18,2 - 27,3 мин. возникают условия, приводящие к обострению переднего фронта течения р. Кума в районе села Отказное. Аналогичные расчеты проведены для г. Зеленокумска. Этот город расположен на расстоянии 21-27 км вниз по течению Кумы от Отказненского водохранилища. В пригородной зоне русло реки выпрямляется, здесь нет изгибов и поворотов, что создает благоприятные условия для возникновения ударного переднего фронта течения. Для Зеленокумска начальная длина х2-х, изменяется в пределах 11,5-14,7 км. Таким образом, даже при очень медленном увеличении сброса воды из водохранилища в течение 6,4-8,1 ч, происходит обострение переднего фронта течения в районе г. Зеленокумска. Поэтому необходимо исключительно медленно увеличивать сброс воды или производить его небольшими объемами. Рассматриваемое явление имеет место не только при сбросе воды из водохранилищ. Образование ударного переднего фронта может быть обусловлено сильными осадками или слиянием рек. Исследован участок реки Кубань между х. Дяггеревским и г. Невинномысском. На этом участке в районе Невинномысска в р. Кубань впадает р. Большой Зеленчук. В период наводнения 5 июня 2002 г. уровень воды в р. Кубань поднялся на 1,3 м. Из наших расчетов следует, что скорость воды на поверхности составляла 2,25 м/с . По данным поста наблюдений, расположенного на месте слияния рек Кубань и Зеленчук, рост уровня воды был очень стремителен и составлял примерно 6,0-17,6 см/с. Исходя из этих данных рассчитана начальная длина переднего фронта, 600-1800 м, и найдено время и расстояние, на котором образуется ударный передний фронт. Расчетное время образования составило 7,4-22,2 мин, а расстояние 1000-3000 м от места

слияния рек, где расположено большое количества мостов и прибрежных построек. Наблюдаемые данные соответствуют приведенным расчетам. Наводнение в районе г. Невинномысск принесло очень большие разрушения, а ударная волна оказалась настолько сильной и неожиданной, что не позволила многим жителям покинуть свои дома. Рассмотрен также еще один участок Кубани, расположенный выше по течению. Выше Невинно-мысска из этой реки вытекает Невинномысский канал. В свою очередь, через 8 км с канала берет свое начало река Барсучки. Из проведенных нами расчетов следует, что обострение переднего фронта течения в реке Барсучки произошло примерно в 10 км от Невинномысского канала, что соответствует положению с. Барсуковской. Поэтому большие разрушения в с. Барсуковской были вызваны образованием в районе станицы ударного переднего фронта на реке Барсучки, вызвавшего наводнение. Ситуацию усугубило и то, что в районе станицы русло реки начинает сужаться, в результате этого средний уровень и скорость реки увеличиваются.

Для борьбы с обострением переднего фронта течения следует создавать водохранилища и дамбы в районах потенциально опасных участков перед населенными пунктами. Еще одним методом борьбы с подобным явлением служит искусственное искривление русла реки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Показано, что процесс формирования, стационирования и диссипации уединенной волны (солитона) на поверхности вязкой жидкости после импульсного сброса некоторого ее ограниченного объема из резервуара может быть описан посредством так называемого возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза (вКдФ), правая часть которого зависит от кинематического коэффициента вязкости.

• Уравнение вКдФ решено прямым методом теории возмущений и также методом обратной задачи рассеяния. Показано, что формирующийся на поверхности вязкой жидкости солитон отличается от классического соли-тона КдФ и имеет в своей хвостовой части плато, которое оказывает динамическое воздействие на солитон в целом, приводящее к его ускоренной диссипации. Отдельно рассмотрен процесс обострения переднего фронта уединенной волны при сильной нелинейности.

• Построена упрощенная плоская модель ламинарного течения вязкой жидкости в наклонном канале при постепенно увеличивающемся стоке на фронте равномерно ограниченного стока, а также при его отсутствии. Показано, что со временем по направлению движения жидкости происходит обострение начального пологого фронта течения. Рассчитана скорость процесса обострения.

• Построены упрощенные модели ламинарного течения вязкой жидкости в наклонных каналах эллиптического и прямоугольного сечения при по-

степенно увеличивающемся стоке. Показано, что со временем по направлению движения жидкости происходит обострение начального пологого фронта течения. Рассчитана скорость и время процесса обострения.

• Предложена упрощенная модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости. Показано, что при этом движении распределение скоростей имеет логарифмический профиль.

• Построена модель турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонному каналу кругового сечения. Показано, что при начальном пологом переднем фронте со временем происходит увеличение его крутизны в этом канале.

• Исходя из теоретических результатов работы показано, что при увеличении сброса из Отказненского водохранилища в р. Кума на 11 м'/с за 18,2 - 27,3 мин. образуется ударный передний фронта ниже по течению около с. Отказного, а при увеличении сброса в течение 6,4 - 8,1 час. - передний фронт течения обостряется в районе г. Зеленокумска.

• Установлено, что большинство разрушений в с. Барсуковской в результате июньского наводнения 2002 года, были вызваны образованием ударного переднего фронта на реке Барсучки, в результате сильных осадков и сброса воды из водохранилищ, находящихся выше по течению р. Кубань.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лапин В.Г. О формировании ударного фронта при движении вязкой жидкости в канале эллиптического сечения//Мат. XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Кострома.: Изд. КГТУ, 2004, - С. 52-53.

2. Лапин В.Г. Трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоско-сти//Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета. Естеств. науки. № 1(7). Ставрополь: Изд. СевКавГТУ, 2004, - С. 231-232.

3. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости// Мат. Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 20-23 сентября 2002 г. - С. 214-219.

4. Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой несжимаемой жидкости в канале эллиптического сечения//Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004, том 11. - С. 362-363.

5. Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой несжимаемой жидкости в каналах различного сечения/ЯТроблемы физико-математических наук: Мат. 49-й научно-

методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2004 г. - С. 57-59.

6. Лапин В.Г. О процессе формирования ударного переднего фронта в каналах различной формы при ламинарном движении в них вязкой несжимаемой жидкости//Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2003, том 10. - С. 689-690.

7. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. Двумерная и трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости/ЛПроблемы физико-математических наук: Мат. 48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2003 г. - С. 34-39.

8. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. Трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по каналу прямоугольного сечения//Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003». М.: изд. МГУ, 2003. - С. 266-267.

9. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости (трехмерная модель)//Всероссийская научная конференция студентов физиков - 9. Красноярск: изд. КГУ, 2003. - С. 45 - 47.

10. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. О сохранении потока массы солитона при решении возмущенного уравнения Кортевега де ФризаУ/Проблемы физико-математических наук: Мат. 47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2002 г. - С. 44-50.

11. Каплан Л.Г., Чулков A.C., Лапин В.Г. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов//Мат. Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 20-23 сентября 2002 г. - С. 199-203.

12. Лапин В.Г. Трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой жидкости в каналах различного сечения// Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. М.: 2003, том 2. - С. 86-89.

13. Лапин В. Г. Математическое моделирование фронтальной части течения в каналах и реках при нестационарном стоке // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОГТиПМ, 2005, том 7. - С. 201-202.

Изд лиц. серия ИД №05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 15.11.2005 Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 0,89 Бумага офсетная_Тираж 100 экз._Заказ 487

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

í

I

¡

t

}

I

I

í

I I

I 1

í

'I

it f

1

11124 1 69

РНБ Русский фонд

2006-4 26341

i

i

t

Введение.

Глава 1. Обзор существующих методов теоретической гидромеханики применительно к исследованию течений в каналах.

1.1 Общие методы гидромеханики.

1.2 Основные математические модели течения вязкой жидкости в трубах различной формы.

1.3 Формирование ударных волн в цилиндрической трубе и на поверхности жидкости: феноменологический подход.

1.4 Распространение одномерных локальных возмущений в каналах: аналитический подход.

Глава 2. Распространение уединенных волн при импульсном сбросе воды из водохранилищ.

2.1 Распространение уединенных волн на поверхности идеальной жидкости.

2.2 Расчет уединенной волны (солитона) в вязкой среде прямым методом теории возмущений.

2.3 Результаты применения метода обратной задачи рассеяния для солитона в вязкой жидкости.

Глава 3. Модели формирования ударного переднего фронта течения в каналах при постепенно увеличивающемся стоке.

3.1 Двухмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу.

3.2 Трехмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу.

3.3 Турбулентное движение вязкой жидкости по наклонной плоскости и в канале кругового сечения.

Глава 4. Применение моделей течения для расчета ударных фронтов в реках Северного Кавказа.

4.1 Гидрография основных рек Северного Кавказа.

4.2 Расчет течения Кумы, при сбросе воды из Отказненского водохранилища.

4.3 Исследование течения реки Кубань в районе города Невинномысска и станицы Барсуковской.

Один из предметов гидродинамики - изучение течений жидкости в трубах и каналах. В основном исследовались стационарные течения первоначально идеальной, а затем вязкой и турбулентной жидкости в трубах. Течения вязкой жидкости со свободной поверхностью изучены слабо, в особенности, нестационарные течения и различные явления, возникающие вследствие нестационарности стока.

Нестационарность течений воды в реках и каналах возникает при катастрофических осадках или сбросе значительных объемов воды из водохранилищ. Как следует из данных наблюдений, резкое увеличение стока нередко сопровождается обострением переднего фронта течения и внезапным резким увеличением уровня реки на большом расстоянии от водохранилищ и зон осадков. Это явление особенно заметно при выполаживании течения, на равнинной части реки, где, казалось бы, следовало ожидать спокойного медленного повышения уровня. Свидетелями и невольными участниками этого события стали жители станицы Барсуковской и города Невинномысска (Ставропольский край) в июне 2002 г.

Эффект обострения переднего фронта течения реки часто наблюдается. В частности, на реках Амазонке и Северн [34] сильный прилив проходит много километров по мелководью и на большом расстоянии от океана образуется подвижная форма гидравлического прыжка или так называемая "бора".

Движение жидкости в реках и каналах при нерегулярном стоке рассматривалось только в отдельных работах. В [103] и [82] решена двумерная задача и получено распределение скоростей жидкости при её установившемся движении в лотке, ширина которого намного больше высоты. Однако, опираясь на эти результаты, невозможно корректно описать явление обострения переднего фронта в реках и каналах, поскольку в имеющихся моделях не учитывается начальная скорость сброса и влияние геометрических размеров и формы сечений каналов и рек на течение. Поэтому достаточно достоверный расчет течений может быть выполнен, как правило, только в рамках трехмерной модели, учитывающей форму русла реки и наличие постоянного стока, а также турбулентный характер течения при больших скоростях и в неровных руслах.

Как показано ниже, образование ударного переднего фронта течения жидкости может происходить как при значительных одномоментных сбросах, вызванных переполнением водохранилища или прорывом дамбы, так и при сравнительно небольших сбросах, которые могут приводить к обострению переднего фронта течения на больших расстояниях от источника. Наиболее опасными с практической точки зрения являются сбросы, при которых не происходит появления ряби, в которой начальный импульс рассеивается по всей поверхности. Вместо этого он локализуется в устойчиво распространяющейся волне, которая перемещается по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения волны. Как известно [84], эволюцию в идеальной жидкости уединенных волн (солитонов) описывает уравнение Кортевега - де Фриза. Однако модель, приводящая к этому уравнению, не учитывает наличие в реальных жидкостях вязкости. Поэтому распространение волны, вызванной сбросом небольших объемов воды из водохранилищ, можно изучить только на основе модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза, учитывающего вязкость жидкости.

При нестационарном стоке при пологом возрастающем начальном переднем фронте течения со временем происходит его обострение. В конечном итоге фронт течения становится ударным прямоугольным. Это утверждение полностью соответствует многим данным наблюдений. Появление ударного фронта течения часто сопровождается разрушением мостов и прибрежных построек. Поэтому необходимо предложить эффективные способы, препятствующие его появлению.

Целью работы является моделирование течений при нестационарном стоке жидкости в реках и каналах, сопровождающихся образованием ударного переднего фронта на значительных расстояниях от источников течений.

Для достижения поставленной цели нами решены следующие частные задачи:

• построена плоская модель распространения длинных волн малой амплитуды на поверхности идеальной жидкости, вызванных импульсным сбросом воды из резервуара;

• модель движения длинных волн малой амплитуды уточнена с учетом эффектов, вызванных вязкостью жидкости;

• построена упрощенная двухслойная двумерная модель, описывающая распространение вязкой жидкости по наклонной плоскости;

• построена упрощенная трехмерная модель ламинарного движения жидкости в наклонном канале эллиптического сечения;

• построена упрощенная модель однослойного и двухслойного движения жидкости в канале прямоугольного сечения;

• построена плоская модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости;

• построена модель турбулентного движения в наклонном канале кругового сечения;

• изучены характерные особенности стока рек и формы русла рек Северного Кавказа, определены места, где возможно обострение переднего фронта течения при нестационарном стоке и сделаны рекомендации по предотвращению появления ударного переднего фронта вблизи населенных пунктов.

Научная новизна состоит в том, что разработаны модели ламинарного и турбулентного течения жидкости в каналах различной формы, сопровождающегося обострением переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке.

Практическое значение определяется возможностью применения результатов работы для разработки способов предотвращения наводнений и разрушений, вызванных появлением ударного переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке воды в реках и каналах. На защиту выносятся следующие положения:

1. Модификация возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза применительно к случаю импульсного движения вязкой жидкости в каналах и реках и его решение прямым методом теории возмущений и методом обратной задачи рассеяния.

2. Упрощенные модели

- образования ударного переднего фронта при движении вязкой жидкости по широкому каналу;

- образования ударного переднего фронта при ламинарном движении вязкой жидкости в каналах эллиптического и прямоугольного сечения;

- образования ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой жидкости по наклонному широкому каналу и каналу кругового сечения.

3. Результаты расчетов течения воды в реке Кубань при экстремальном стоке 5 июня 2002 года, сопровождавшемся большими разрушениями.

4. Рекомендации по предотвращению образования ударного фронта на примере течения реки Кумы в районе города Зеленокумска и села Отказное.

По теме диссертации автором сделано 13 публикаций из них 8 в центральной печати. Результаты исследований были доложены на:

Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.);

47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2002 г.);

48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2003 г.);

49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2004 г.).

Тезисы докладов включены в материалы:

XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.);

Международного форума по проблемам науки, техники и образования (г. Москва, 2003);

Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9. (г. Красноярск, 2003);

Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва,

2003).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, состоящего из 112 наименований. Работа изложена на 137 листах машинописного текста, содержит 44 рисунка.

Выводы

1. Распределение скоростей на поверхности переднего фронта течения, появившегося вследствие сброса воды из Отказненского водохранилища не превышает 1,1 м/с.

2. При равномерном увеличении сброса из Отказненского водохранилища в р. Кума на 11 мъ/с за 18,2 - 27,3 мин. вероятно образование ударного переднего фронта около с. Отказного, а при увеличении сброса в течение 6,4 - 8,1 час. - передний фронт течения обостряется в районе г. Зеленокумска.

3. Можно избежать появления ударного переднего фронта течения, если производить сброс малыми объемами. При малых выбросах образуются длинные волны малой амплитуды, постепенно ослабевающие за счет влияния диссипации, обусловленной вязкостью воды.

4. Если сброс воды велик, то необходимо тщательно рассчитывать его таким образом, чтобы ударный передний фронт течения не появлялся вблизи населенных пунктов.

5. Крутые изгибы и повороты течения предотвращают образование ударного переднего фронта. Поэтому рекомендуется создавать искусственные препятствия, плотины и небольшие водохранилища вдоль течений рек и каналов, в особенности перед населенными пунктами.

6. Показано, что ударный передний фронт на р. Кубань, вызванный сильными осадками и слиянием с р. Большой Зеленчук стал причиной разрушения мостов и построек 5 июня 2002 года в районе г. Невинномысска.

7. Установлено, что большинство разрушений в с. Барсуковской в результате июньского наводнения 2002 года, были вызваны образованием в её районе ударного переднего фронта на реке Барсучки, в результате сильных осадков и сброса воды из водохранилыц, находящихся выше по течению р. Кубань.

126

Заключение

1. Показано, что при распространении уединенных волн на поверхности реальных жидкостей возникают эффекты диссипации, обусловленные влиянием вязкости жидкости. Для исследования уединенной волны на поверхности вязкой жидкости использовано возмущенное уравнение Кортевега - де Фриза с правой частью, зависящей от безразмерного коэффициента вязкости жидкости. При решении уравнения вКдФ с помощью прямого метода теории возмущений установлено, что за солитоном, распространяющимся в вязкой среде, образуется плато, динамическое воздействие которого приводит к затуханию волны. Эти результаты подтверждены и при решении вКдФ с помощью метода обратной задачи рассеяния. Показано, что при наличии сильной нелинейности происходит обострение переднего фронта уединенной волны, распространяющейся в вязкой среде.

2. Построена однослойная и двухслойная двумерные упрощенные модели распространения вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости. Предложена модель ламинарного движения несжимаемой вязкой жидкости в канале эллиптического сечения. Показано, что в этом случае эпюра скоростей представляет собой часть поверхности эллиптического параболоида. Также получено распределение скоростей в виде части кругового параболоида для канала кругового сечения в цилиндрической системе координат. Построена упрощенная модель однослойного движения несжимаемой вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения.

3. Далее рассмотрено двухслойное движение несжимаемой вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения, с распределением скоростей на поверхности первого слоя, определяемым, исходя из начальных условий. Для случая линейного распределения скоростей на границе слоев, получено общее распределение скоростей на переднем фронте второго слоя в виде ряда Фурье.

4. Предложена упрощенная модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости. Показано, что при этом движении распределение скоростей имеет логарифмический профиль, в отличие от параболического профиля для ламинарного течения.

5. Построена модель турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонному каналу кругового сечения. Показано, что при начальном пологом переднем фронте течения в этом канале со временем происходит увеличение его крутизны.

6. Показано, что при равномерном увеличении сброса из Отказненского водохранилища в р. Кума на 11 мъ /с за 18,2 - 27,3 мин. вероятно образование ударного переднего фронта около с. Отказного, а при увеличении сброса в течение 6,4 - 8,1 час. - передний фронт течения обостряется в районе г. Зеленокумска.

7. Установлено, что большинство разрушений в с. Барсуковской в результате июньского наводнения 2002 года, были вызваны образованием в её районе ударного переднего фронта на реке Барсучки, в результате сильных осадков и сброса воды из водохранилыц, находящихся выше по течению р. Кубань.

1. Ablowitz М.J., Segur,H. On the evolution of packets of water waves // J. Fluid Mech. 1979. - V. 92. - P. 691-715.

2. Amick C. J., Kirchgassner K. A theory of solitary water waves in the presence of surface tension// Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. - V. 105.-P. 1-49.

3. Amick C. J., Toland J. F. On solitary waves of finite amplitude // Arch. Rat.

4. Щ, Mech. Anal. 1981 a. - V. 76, P. 9-95.

5. Beale J. T. The existence of solitary water waves // Comm. Pure Appl. Math. 1977.-V. 30.-P. 373-389.

6. Benjamin Т. B. The stability of solitary waves // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 1972. - V. 272. - P. 153-183.

7. Benjamin Т. B. The solitary wave with surface tension // Q. Appl. Maths. -1982.-V. 40.-P. 231-234.

8. Benjamin Т. В., Bona J. L., Bose D. K. Solitary-wave solutions of nonlinear problems // Preprint Penn State University report series. 1988. No. AML 30.

9. Bona J.L., Sachs R. L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1989. -V. 47.-P. 25-51.

10. Gardner C. S., Greene J: M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 19. P. 10951097.

11. Hammack J.L. and Segur H. (1974), The Korteweg-de Vries equation and water waves part 2. Comparison with experiments, J. Fluid Mach., 65, pp. 289-314.

12. Hammack J.L. and Segur H. (1978), The Korteweg-de Vries equation and water waves part 3. Oscillatory waves, J. Fluid Mach., 84, pp. 337-358.

13. Haragus M. Model equations for water waves in the presence of surface tension // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1996.-V. 15.-P. 471-492.

14. Hunter J. K., Scheurle J. Existence of perturbed solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physica D. 1988. - V. 32. - P. 253-268.

15. Karabut E. A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave // J. Fluid Mech. 1996. - V. 319. - P. 109-124.

16. Keulegan G. H. Characteristics of internal solitary waves // J. Res., N.D.S. -1953.-V. 51.-P. 133-140.

17. Pomeau Y., Ramani A., Grammaticos B. Structural stability of the Korteweg-de Vries solitons under a singular perturbation //Physica D. 1988. V. 31. - P. 127-134.

18. Stoker J. J. Water waves. New-York: Wiley-Interscience, 1957. - 658 p.

19. Weidman P.D. and Maxworthy T. (1978), Experiments on strong interaction between soliatry waves, J. Fluid Mach., 85, pp. 417-431.

20. Yamamoto Y., Takizawa E. On a solution of nonlinear time evolution equation of fifth order //J. Phys. Soc. Japan. 1981. - V. 50. - P. 1421-1422.

21. Zabusky N.J. and Galvin C. J. (1971), Shallow water waves, the Korteweg-de Vries equation and solitons, J. Fluids Mach., 47, pp. 811-824.

22. Zabusky N.J. and Kruskal M.D. (1965), Interaction of solitons in a collisioniess plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett., 15, pp. 240-243.

23. Zufiria J. Symmetry breaking in periodic and solitary-gravity waves on water of finite depth // J. Fluid Mech. 1987. - V. 184. - P. 183-206.

24. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.-480 с.

25. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.-896 с.

26. Ахмадеев В.Ф., Сидоров А.Ф., Спиридонов Ф.Ф., Хайруллина О.Б. О трех методах моделирования дозвуковых течений в осесимметричных каналах сложной формы // Моделирование в механике. Новосибирск: СО АН СССР, 1990. - Т. 4 (21), №4.

27. Ахмедиев Н.Н. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. М.:, 2003, -304 с.

28. Бахолдин И. Б. Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кортевега-де Фриза // Изв. РАН, МЖГ. 1996. - № 4 - С. 95-109.

29. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: Иностранная литература, 1963. -246 с.

30. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука, 1991. — 320 с.

31. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981.-719 с.

32. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. — М.: Мир, 1983.-135 с.

33. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. - 792 с.

34. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. — Л.: Изд. ЛГУ, 1978. -296 с.

35. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 184 с.

36. Введение в асимптотические методы и специальные функции: Пер. с англ./ Олвер Ф. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1978.-376с.

37. Вопросы гидрологии суши. Докл. конф. молодых ученых и специалистов, Ленинград, февр. 1979 г. Под ред. М. С. Грушевского, В. А. Бузина. Л.: Гидрометеоиздат, 1980, - 178 с.

38. Генин Л.Г., Свиридов В.Г. Гидродинамика и теплообмен МГД-течений в каналах. М.: Изд. МЭИ, 2001. - 200 с.

39. Государственный водный кадастр. Многолетние данные о режиме и ресурсах поверхностных вод суши. Выпуск 26. Бассейны Терека, Кумы, Самура, Сулака. Санкт - Петербург: Гидрометеоиздат, 2003. - Т. 1. -1076 с.

40. Государственный водный кадастр. Многолетние данные о режиме и ресурсах поверхностных вод суши. Выпуск 1. Бассейны рек северовосточного побережья Черного моря, бассейн Кубани. — Санкт -Петербург: Гидрометеоиздат, 2003. Т. 1. - 1208 с.

41. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. - 1097 с.

42. Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. Механика в СССР. Мл Наука, 1977191 с.

43. Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. Механика от античности до наших дней. -М.: Наука, 1974.-479 с.

44. Грушевский М. С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах. JL: Гидрометеоиздат, 1982, - 288 с.

45. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.

46. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика-М.: Машиностроение, 1978. -256 с.

47. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Ульяновск: УлГУ, 2001. - 212 с.

48. Жуковский Н.Е. Гидродинамика. Собрание сочинений. M.,JI.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1949. - Т. 2. - 766 с.

49. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. — 356 с.

50. Захаров В. Е., Рубенчик А. М. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - С. 997-1004.ч

51. Ильичев А. Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор) // Изв. РАН, МЖГ 2000. - № 2. - С. 3-27.

52. Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях гидродинамики. М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

53. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Сб. научн. тр. / АН УССР, ин-т теорет. физики Киев: Наук. Думка, 1990. - 472 с.

54. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. -М.: Мир, 1985. -678 с.

55. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-576 с.

56. Каплан Л.Г. Локальные процессы в сплошной жидкой среде и атмосфере. Ставрополь: АСОК, 1993. - 246 с.

57. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости (трехмерная модель) // Всероссийская научная конференция студентов физиков 9. Красноярск: изд. КГУ, 2003. - С. 45 - 47.

58. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. О сохранении потока массы солитона при решении возмущенного уравнения Кортевега де Фриза // Мат. 47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов

59. Университетская наука региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2002 г. - С. 44-50.

60. Каплан Л.Г., Чулков А.С., Лапин В.Г. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Мат. Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 20-23 сентября 2002 г. С. 199-203.

61. Каплан Л.Г., Лапин В.Г. Трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой несжимаемой жидкости по каналу прямоугольного сечения // Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003». М.: изд. МГУ, 2003. С. 256-267.

62. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-356 с.

63. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -268 с.

64. Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В., Соловьев B.C. Ударные и детонационные волны: Методы исследования: Монография М: Физматлит, 2004 - 376 с.

65. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками/Пер. с англ. М.: Изд. иностранной литературы, 1968. - 176 с.

66. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2 - 728 с.

67. Кузнецов Д. С. Гидродинамика. Л.:Гидрометеоиздат, 1951.- 392 с.

68. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. - 416 с.ф 70. Ламб Г. Гидродинамика. М., Л.: Гос. изд. технико-теоретическойлитературы, 1947. 928 с.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. Т. 6. - 736 с.

70. Ланде П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.—496 с.

71. Лапин В.Г. О формировании ударного фронта при движении вязкойтжидкости в канале эллиптического сечения // Мат. XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Кострома.: Изд. КГТУ, 2004, С. 52-53.

72. Лапин В.Г. О формировании ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой несжимаемой жидкости в канале эллиптического сечения // Обозрение прикладной и промышленнойматематики. М.: ОПиПМ, 2004, том 11. С. 362-363.

73. Лапин В.Г. О процессе формирования ударного переднего фронта в каналах различной формы при ламинарном движении в них вязкойнесжимаемой жидкости // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2003, том 10. С. 689-690.

74. Лапин В.Г. Трехмерная модель формирования ударного переднего фронта при движении вязкой жидкости в каналах различного сечения // Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. М.: 2003, том 2. С. 86-89.

75. Лапин В. Г. Математическое моделирование фронтальной части течения в каналах и реках при нестационарном стоке // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2005, том 7. С. 201-202.

76. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях/Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 598 с.

77. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде/Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1974 - 368 с.

78. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950. - 676 с.

79. Лурье П.М., Панов В.Д., Саломатин A.M. Река Маныч: Гидрография и сток. Санкт - Петербург: Гидрометеоиздат, 2001. - 178 с.

80. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1990. - 294 с.

81. Лущик В.Г., Павельев А.А, Якубенко А.Е. Турбулентные течения. Модели и численные исследования // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 4. С. 427.$

82. Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: Изд. иностранной литературы, 1961. - 588 с.

83. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. -660 с.

84. Никитин Н.В., Павельев А.А. Турбулентные течения в канале с проницаемыми стенками. Результаты прямого численного моделирования и трехпараметрической модели // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №6. С. 18-26.

85. Новиков С.П., Манаков С.В. Солитоны. М.: Мир, 1983. - 408 с.

86. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. Москва - Ижевск: РХД, 2002.-156 с.

87. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. - 324 с.

88. Островский JI.А., Потапов И.А. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

89. Патрашев А. Н., Кивако JI. А., Гожий С. И. Прикладная гидромеханика.- М.: Воениздат, 1970. 684 с.

90. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2 т./Пер. с англ.- М.: Мир, 1984.-Т.1. -400 с.

91. Повх И. JI. Техническая гидромеханика М.: Машиностроение, 1976. -502 с.

92. Попов Д.Н., Панаиотти С. С., Рябинин М. В. Гидромеханика. — М.: Изд. МГТУ им. Е. Э. Баумана, 2002. 384 с.

93. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ "РХД", 2000. -576 с.

94. Прандтль JL, Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М., JI.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.-Т. 2.-312 с.

95. Рауз X. Механика жидкости. М.: Изд. литературы по строительству, 1967.-392 с.

96. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Методы расчета турбулентных течений. М.:Мир. 1984. - С. 227-322.

97. Секундов А. Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АНСССр. МЖГ. 1971. №5.-С. 114-127.

98. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости.- М.: Изд. иностранной литературы, 1963. 256 с.

99. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1955. - 520 с.

100. Специальные математические функции и их аппроксимации: Пер. с англ./Люк Ю.; Ред. Бабенко К.И.-М.: Мир, 1980.-608с.

101. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.-815 с.

102. Тарг С. М. Основные задачи ламинарных течений. М.:, Л.:Гостехиздат, 1951.-420 с

103. Тахтаджян Л.Я., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986.-486 с.

104. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-756 с.

105. Филлипов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1990. - 210 с.

106. Чеботарев А. Ю. Моделирование стационарных течений в канале вариационными неравенствами Навье Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 2003 . Т. 44, N 6. - с. 123-129.

107. Черкесов А.В. Введение в гидродинамику. Санкт - Петербург: Гидрометеоиздат, 1992. - 364 с.

108. Шкадов В. Я., Запрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости: Учеб. Пособие. М.:Изд. Моск. Ун-та, 1984- 200 с.