автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения

На правах рукописи

Кашкаров Александр Игоревич

Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения

05,13.18 Математическое ' моделирование, численные методы и комплексы программ 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Димитриенко Ю.И.

Официальные оппоненты: д.т.н., проф. Романов К.И.

к .т.н. Тащилов С.В.

Ведущая организация: ОАО «Центральный научно-

исследовательский институт специального машиностроения»

Защита состоится «_»_2006 года в_часов

мин. На заседании диссертационного совета Д 212.141,15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5. МГТУ им. Н.Э.Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141Л 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н,, профессор

И.К.Волков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Применение пространственно -армированных композиционных материалов в ракетно-космической авиационной технике позволяет создавать элементы конструкций с характеристиками, превышающими аналогичные показатели для конструкций из традиционных материалов. Кроме того, у пространственно - армированных композитов имеется возможность варьировать в достаточно широком диапазоне их характеристики за счет подбора внутренней структуры, исходя из конкретных требований применения материала в конструкции.

Проблеме расчета эффективных характеристик композитов посвящено значительно число работ, в том числе исследования Болотина В.В., Бахвалова Н.С., Ванина Г.А., Васильева В.В., Димитриенко Ю.И., Ермоленко А.Ф., Кри-стенсена Р., Малмейстера А.К., Тамужа В.П., Тетерса Г\А., Победри Б.Е., Санчес-Паленсии Э., Соколкина Ю.В., Тар-нопольского Ю.М., Жигуна И.Г., Полякова В.А., Алфутова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г., Сарбаева Б,С., Сараева JI.A., Шермергора Т.Д. и многих других.

Существующие методы расчета таких эффективных характеристик, как правило, основаны на существенных предположениях о характере распределения микронапряжений в матрице и волокнах, что позволяет получить относительно простые аналитические соотношения для упругих и упруго-пластических' характеристик композитов. Однако, вследствие принимаемых допущений, эти методы часто не обеспечивают необходимой точности расчетов. В этой связи весьма перспективным является метод асимптотического, осреднения, предложенный Н.С.Бахваловым и Б.Е.Победрей для вычисления эффективных характеристик периодических структур. Этот метод позволяет найти точные (в математическом смысле) эффективные характеристики с помощью решения так называемых «задач на ячейке периодичности». Однако эти задачи является достаточно сложными даже для численных методов, так как имеет

смешанный интегро-дифференциальный тип и неклассические граничные условия периодического типа. Целью настоящей работы является разработка: математической модели пространственно-армированных упруго-пластических композитов с периодической структурой на основе метода Бахвалова-Победри; конечно-элементного метода решения локальных задач «на ячейке периодичности» для упруго-пластических композитов и метода расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов; программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов. Научная новизна работы заключается: в адаптации метода асимптотического осреднения Бахвал ова-П обедри для конечно-элементного расчета упруго- пластических характеристик пространственно-армированных композитов, для этого предложено преобразование, позволяющее сводить ингегро-дифференциальные задачи на ячейке периодичности к более простым задачам на 1/8 ячейки, имеющие дифференциальный тип, а также применен метод упругих решений А.А.Ильюшина для решения задач на 1/8 ячейки периодичности (ЯП);

в разработке конечно-элементного метода решения задач на 1/8 ЯП для линейно-упругих и упруго-пластических (в рамках теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина) компонентов композита;

в разработке программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

На защиту выносятся следующие положения:

метод расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов с пространственной структурой, а также микронапряжений в компонентах композита, которые могут быть установлены математически

точно в рамках метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри численным конечно-элементных способом;

разработанный программный комплекс, который позволяет проводить вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов с различными параметрами волокон, матрицы и содержанием волокон в композите.

Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, а также сравнением с экспериментальными данными.

Апробация работы: основные результаты докладывались на:

Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 100-летию Хинчина, Калуга, 2004;

Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2002; май 2004;

Научно-технической конференции, посвященной 40-летию факультета ФН МГТУ им.Н.Э.Баумана, октябрь, 2004 г.;

студенческой научно-технической конференции Аэрокосмического факультета МГТУ им.Н.Э.Баумана, Реутов, 2000,2001;

семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики и механики» под руководством проф.Ю.И.Димитриенко, 2003,2004 гг.; Международной конференции, посвященной 90-летию В.И.Феодосьева, май 2006 г.

Публикации. Основные результаты работы отражены в 8 работах.

Структура и объем работы: диссертация состоит из 5 глав, введения, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации 97 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе кратко описан метод Бахвалова-Победри, согласно которому для композита с периодической структурой (рис. 1) вводится малый параметр: к = И Ь, где Ь - глобальный размер области, занятой композитом, равен, а размер ячейки периодичности (ЯП) (рис.2), а также вводятся два типа безразмерных координат: ~х,( Ь - глобальные («медленные») координаты и = х^ к - локальные («быстрые») координаты.

Рис. 1. ЗО-ортогональный ком- Рис.2. Ячейка периодичности в позиционный материал композите периодической СТрук-

Для всего композита рассматривается система уравнений теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина с разрывными характеристиками:

дац —1 = 0 дх]

= (4).Iе^ (1)

__ 1 Г дик би, |

= иа +| + (2)

где: -компоненты тензоров напряжений и деформаций, ык- компоненты вектора перемещений, Я",//"- параметры Ламе компонентов композита, аза — а>а (е" ) - функция пластичности А.А.Ильюшина, - интенсивность деформаций. Контакт волокон и матрицы предполагается идеальным, волокна и матрица изотропные.

Решение системы (1),(2) ищется в виде асимптотических разложений по малому параметру:

«* = "№) + (3)

»1

Для нахождения перемещения в первом приближении получена следующая локальная задача:

=0 в У^ - уравнения равновесия

е" =£ц + - кинематические соотношения

а; = (¿у) - определяющие соотношения

"Г= 1

, г на - условия идеального контакта ^ '

=°1 ^ ^ = 0 - условие нормировки

[[<]]=» 1

г - условие периодичности

Здесь введена операция осреднения по ЯП:

1/2 1/2 иг

I I ={/>(*) (5)

-1/2-1/2-1/2

Локальная задача параметрически зависит от «входных данных» - деформаций нулевого приближения

Щ = — (и*"'и в общем случае является интегро-

дифференцйальной. Для решения этой задачи в работе предложен следующий метод.

Предполагается, что ЯП является симметричной при преобразованиях ортотропии относительно координатных осей ЯП (основное допущение симметрии композита). Вначале рассматривается случай, когда определяющие соотношения матрицы и волокон - линейные (<ва =0). Тогда решение локальной задачи разыскивается в виде сумм по б функциям Щ - входным данным задачи:

< = I <*> • (6)

<«> = ^ +)+(£) О)

Функции , называемые псевдоперемещениями,

представляют собой решение задач Жрд на 1/8 ЯП (подобласть У(г Уе =У(п(4, £0»:

' а = 0 ,вУ{

а _ иЧ(РЯ) ~ С" Ев ИуЬлКрд)

г" = ЫРО)

и" = и*

|на2,а„ - условия идеального контакта

На торцевых поверхностях ЯП и на плоскостях симметрии - = 0}, граничные условия в задаче Жрд имеют следующий вид (рис.3):

При =

1Ф]фкф1

При (р*д): и?Ш) ш , = 0, = О, на ^ (9)

^ = о, = о, « о, на

| Фj фкф1

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функции являются решением

6 задач Жрд в 1/8 ЯП У{, тогда решением локальной задачи (4) во всей ЯП являются функции (7), в которых продолжаются во всю ЯП симметричным (симм.) или антисимметричным (а-симм.) продолжением: для (р = д): а-симм. по £ и симм. по £

а-симм. по 4г и симм. по $ Щрр)(%а-симм. по £ и симм. по £ Для (Р*Ч)'- & дм) а-симм. по £ и симм. по а-симм. по£ и] = {р,ч) I,

РнСгЗ Граничные условия для задачи Жн и Жп.

После решения 6 задач Жpq для всех pq и нахождения псевдонапряжений <т" в компонентах композита, рассчитываются эффективные упругие модули композита:

о°) -V ■

SP4 . >

(по р и q суммирования нет).

Во второй главе рассматривается решение упруго-пластической задачи (4). Для ее решения применяется итерационный метод, являющийся разновидностью метода упругих решений А.А.Илыошина, согласно которому определяющие соотношения (2) для компонентов композита линеаризуются следующим образом:

о(т> _ (ча {рп! _<*{«} . Т7 « / _а{«-1) \ _ /-ч* r\

uij y'W °hl т >• ij ) ijkl ^Ч V11^

Тогда вместо задачи (8) на m-ом шаге итерации из (3) получаем следующую линеаризованную задачу: " -0 ßV

Wj

_ ™ {т}_а{и) ™ {«) £r(«-]l , 1 — а{и-1}

IJiPl)

— Г"1 («>£.«("•) _Г"* {«! I j.'-iot«-1) nV , i

-Чум £у{рд) 4\jU EÜ(P4) ¿ 4 > i ^^s ^^s

_ l/V/a|m) . rrafm) \ у (12)

ТГ<х{т) _ ттЩт) Ut(P4) W)

'!/№) aij(P4)t

— — 0 I Ш r,-, \ Iii "Ц) Jftj

Uij r ij

f з N

граничные условия для которой имеют вид (9).

После решения серии задач Жрд (12) указанным методом для всех рд находим эффективные упруго-пластические соотношения композита:

э

ав

= F- (*„), В,-^)-!.^). (13)

Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть для композита с периодической структурой выполнены следующие условия: 1) принято основное допущение симметрии, 2) волокна и матрица соответствуют теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина, тогда эффективные упруго-пластические соотношения композита (13) являются: а) индифферентными относительно группы ортотропии, б) квазилинейными: т.е. зависящими только 3-х от линейных и 3-х квадратичных инвариантов тензора осредненных деформаций ец :

ЦЛЛЛЛ.Ц и не зависящими от кубического инварианта, и могут бьпъ представлены в виде: - — i— \ v-1 1 -

\£м) = Z+ + SnS;l) +

м (14)

1 1

Функции (рг - вычисляются с помощью многократного решения задач (12).

В третьей главе дана вариационная формулировка локальной задачи (12) Жм при фиксированных р и q:

jSe{m)Tcrlm]dV= ¡SUlm)TS[m)dL+ ¡Ss{m]Td{m-])dV (15)

V • E У

Здесь обозначены координатные столбцы псевдоперемещений: U у напряжений у, деформаций е и поверхностных усилий S: <

ГтМ — Ггг«{|"} тга{1я)

V ~ LuHP4)>uHpq)>>'

У = [УГ^гУ^уУХУУТ^ у tin ' & УпЗ» I Щ7

с.о{;л> aim) / pa\m\ , fc „«{«} / /оГ|

сМ—Гс-« с« С" Г

А{и-1> _ лам Аа{т-ц Äa{m-l} Ло{т-1}1Г

U ~L П</>9) 'U22(P4) '°13(pq) >°23<W) >°I2(pq) J

-«{jb-1} _ f-*a a ("-U 1 -o{m-l)

Разработан конечно-элементный метод решения вариационного уравнения (15), согласно которому пседоперемещения в конечном элементе (КЭ) аппроксимируются линейными функциями: Uim) -Ф qtm] , где <?{т> - координатный столбец псевдоперемещений в узлах КЭ, а Ф -

матрица функции формы. Из (15) получена разрешающая система линейных алгебраических уравнений:

К{т}д{т) = /<и}, К{т) = [BTC{m)BdV , (16)

где В = £>Ф - матрица деформаций, а D- матрица дифференциальных операторов задачи.

Конечный элемент в данной работы выбран в виде тетраэдра, рассматривались 2 варианта: 4-х узловой КЭ, в котором узлы в КЭ располагаются только в вершинах и 10-ти узловой КЭ, в котором узлы располагаются в вершинах и в серединах ребер тетраэдра.

Разработан программный комплекс, состоящий из 3 основных модулей: препроцессора, модуля решения и постпроцессора с 3-D визуализацией решения.

В четвертой главе рассмотрены результаты решения тестовых задач, а также результаты численного моделирования эффективных упругих и упруго-пластических свойств композита.

Решена тестовая задача - нахождение эффективных модулей упругости для 1 D-армированного композиционного материала для которого известно точное аналитическое решение в рядах задач , полученное Б.Е.Победрей и В.А.Мольковым, а также могут быть вычислены эффективные упругие характеристики методом сечений. Некоторые результаты решения приведены ниже в табл.1.

Тестирование проводилось также с помощью программного комплекса ANSYS , который использовался для

генерации КЭ-сетки и для решения задачи (8),(9). Полученные результаты расчетов позволяют говорить о достаточно высокой точности вычислений, получаемых с помощью разработанного метода - относительная погрешность не превышала 1%.

Таблица 1.

Значения эффективных модулей упругости 1-0 компо-

с ^щз ^3333 ^1112

К Л* ¿2 + 2//, М2 &

Точное значение 1,42 1,11 1,03 1,75 1,804 1,58

Метод сечений. 1,50 1,02 1,03 1,75 1,87 1,501

Разработанный метод 1,419 1,098 1,026 1,748 1,806 1,59

А^УБ 1,422 1,115 1,032 1,753 1,805 1,583

Далее с помощью разработанного метода и программного комплекса были решены задачи Жpq (8) для 3-0 ортогонально-армированного композита. При численной реализации армирующие в 3-х направлениях волокна считались одинаковыми, их характеристики и свойства матрицы были такими же как и для 1-0 композита. Представлены сравнительные результаты расчетов технических упругих констант композита: Е - модуля Юнга, /7 - модуля сдвига и у - коэффициента Пуассона, полученные с помощью разработанного МКЭ метода, метода сечений и комплекса АКЗУЭ.

Таблица 2.

Значения упругих констант 3-Э композита, полученные

различными методами

Е, ГПа. V /и, ГПа.

Метод сечений 4.23 0.355 1.425

Разработанный ме- 4.21 0.358 1.328

тод

А^УЗ 4.17 0,359 1,328

Значения, полученные с помощью разработанного методам и комплекса\ANSYS численно близки (относительное отклонение не превышает 1%), в то же время, расчет модуля сдвига по методу сечений дает погрешность 7-8%.

При расчете упруго-пластических характеристик 3-Б композита рассматривался пространственно-армированный углерод-углеродный композиционный материал (УУКМ), волокна которого полагались изотропными, упругими, а матрица - пластической. Некоторые результаты моделирования эффективных упруго-пластических функций (14) композита приведены на рис.4.

Рис.4 Эффективные упруго- пласти--.- Рис.5 Зависимость квадратичного

чеспластическис диаграммы инварианта эффективных напряжений

при сдвиге для УУКМ, углеродных композта от инвар1Шгга /«И ^

нитей и матрицы. г

различных значениях инварианта

'" ; цт-

Проведено сравнение эффективных упруго-пластических диаграмм композита, полученных с помощью разработанного метода и смесевой модели, основанной на допущениях Фойгга-Рейсса о характере микронапряжений в волокне и матрице.. Анализ результатов показал значительное отличие (до 25%) диаграмм в области пластичности, что свидетельствует о необходимости.

Для З-О композитов с кубической симметрией, установлено, что эффективные упруго-пластические функции <рг зависят только от 2-х кубических инвариантов,

= < + <£ + <з = («г)2 + Ю'+Ой)5.)''2, причем

имеется только 2 независимые комбинации: = + ф2 + ф3 г (рд2 = (¡>А + щ + <р6 .Численное моделирование показало, что для рассматриваемого УУКМ функция (линейно зависит только от Цт, а -только от квадратичного инварианта (рис.5): д>в1 = КЦ{Ф, ^ =

что свидетельствует о реализации для композита так называемой простейшей модели анизотропной пластичности Б.Е.Победри, здесь К - эффективный модуль объемного сжатия композита, а>(!^)- эффективная функция пластичности композита, = (рд^Г^ - квадратичный инвариант эффективных напряжений композита.

и

I

1Л

1

м

0 10 20 30 -40 50 1 60

ф. л/

1- С» I I ^ м 2- .учений * Эмшрхыоп 2 0

Рис.6. Зависимость модуля сдвига композита от содержания волокон, эксперимент и расчет по методу сечений и разработанному методу.

В пятой-главе проведено сравнение эффективных упругих характеристик, полученных с помощью разработанного метода с экспериментальными данными для З-О УУКМ. Для модуля упругости совпадение результатов расчетов по разработанному методу с экспериментом достаточно хорошее: относительная ошибка не превышала значения 8 %, в то время как расчеты по методу сечений дали результат 16 %. Для модуля сдвига относительная ошибка разработанного метода - 10% и 21% - метода сечений, что свидетельствует о существенно более высокой точности

1 ! I

1 \

: 1 !

" 7 1 \ 1 к

! ! !

| !

разработанного метода расчета эффективных характеристик композитов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В работе разработан метод решения локальных задач «на ячейке периодичности» для композитов со сложными пространственными структурами армирования, основанный на переходе от задачи для полной ЯП к существенно более простой задаче на 1/8 ЯП.

Разработан конечно-элементный метод и программный комплекс для решения локальных задач «на ячейке периодичности» и расчета эффективных упруго-пластических характеристик композиционных материалов.

Для 1-D композита проведено сравнение результатов расчетов, полученных различными методами, показавшее высокую точность разработанного метода и программного комплекса.

Проведен расчет напряжений в ЯП, эффективных модулей упругости и эффективных упруго-пластических характеристик 3-D ортогонально-армированного КМ, а также осуществлено сравнение полученного численного решения с методом сечений, показавшее хорошее согласование результатов.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Конечно-элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов // Вестник МГТУ. Естественные науки,- 2002.- №2.- С. 95-108.

2. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов A.A. Разработка конечно-элементного метода решения локальных задач теории упругости «на ячейке периодичности» для композитов с периодической пространственной структурой

- // Математика в современном мире / Под ред. Ю.А.Дробы-шева.- Калуга. :Изд-во КГПУ.- 2004.- С.177-191.

3. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов A.A. Конечно-элементное моделирование процесса разрушения пространственно-армированных композитов с периодической структурой // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Тез. докл. конф. «40 лет факультета ФН».- М.,2004,-С.485-497.

4. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко A.B. Эффективные методы расчета характеристик пространственно - армированных композитов // Вопросы оборонной техники.- 2002.-Ха1.-С.41-47.

5. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко A.B. Численные методы расчета упругих характеристик композиционных материалов со сложными структурами армирования // Аэрокосмические технологии: Тез. докл. студ. науч.-техн. конф.-М.,2002.- С. 90-97.

6. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Кашкаров А.И. Разработка конечно-элементного метода решения задач расчета эффективных характеристик композиционных материалов на многопроцессорных вычислительных системах // Аэрокосмические технологии: Тез. докл. студ. науч.-техн. конф. -М.,2004.- С. 113-114.

7. Кашкаров А.И. Моделирование пространственно-армированных композиционных материалов методом конечных элементов II Труды студенческой научно-технической конференции СНТК-2001.-Реутов, 2001.-С.18-20.

8. Конечно-элементное моделирование эффективных физико-механических характеристик пространственно-армированных композитов / Ю.И.Димитриенко, А.А.Макашов, А.И.Кашкаров, А.П. Соколов, Е.С.НичеговскиЙ // Труды конференции, посвященной 90-летию В,И.Феодосьева.- М., 2006.-С. 113-114.

Подписано к печати Заказ Объ«м Тираж 100 экз

Типография МГТУ имени Н.Э.Баумана

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ.

1.1. Основы метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри.

1.1.1. Система уравнений линейной теории упругости для периодических структур.

1.1.2. Асимптотическое разложение системы уравнений линейной теории упругости.

1.1.3. Осреднение по ячейке периодичности.

1.1.4. Задача на ячейке периодичности.

1.1.5. Осредненные уравнения теории упругости.

1.1.6. Линейные эффективные определяющие соотношения композита.

1.2. Разработка метода решения локальных задач на ячейке периодичности.

1.2.1. Преобразование задачи на ячейке периодичности к задачам для псевдоперемещений.

1.2.2. Формулировка задач на 1/8 ячейки периодичности.

1.2.3. Явный вид граничных условий для задач Жрч.

1.2.4. Теорема о продолжении решения задачи )Kpq во всю ячейку периодичности.

1.3. Расчет эффективных характеристик композиционного материала

1.3.1. Расчетные соотношения для эффективных упругих модулей и технических констант.

1.3.2. Расчет тензоров концентрации напряжений. в волокнах и матрице.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ.

2.1. Метод асимптотического осреднения для расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

2.2. Формулировка задач Жрч на ячейке периодичности для упруго-пластических композитов.

2.3. Расчет эффективных упруго-пластических характеристик композиционного материала.

2.4. Случай малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина

2.5. Случаи одноосного растяжения и сдвига.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

3.1. Вариационная формулировка локальной задачи Жрч.

3.2. Метод конечного элемента для задач Жрч.

3.3. Методы решения СЛАУ.

3.4. Разработка программного комплекса.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ И ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ.

4.1. Проведение тестовых расчетов для линейно-упругого 1-D композита.

Задача ЖЗЗ:.

Задача Ж13+Ж31.

Задача Ж11.

Задача Ж12+Ж21.

4.2. Расчет для 3-D линейно-упругого ортогонально-армированного КМ.

Задача ЖЗЗ.

Задача Ж13+Ж31.

4.3. Результаты численного моделирования упруго-пластического деформирования 3-D композита.

ГЛАВА 5. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

ВЫВОДЫ.

Диссертация посвящена численному моделированию эффективных упруго-пластических характеристик пространственно - армированных композитов методом асимптотического осреднения Бахвалова-Победри в сочетании с методом конечного элемента.

Актуальность темы. Применение пространственно - армированных композиционных материалов в ракетно-космической авиационной технике позволяет создавать элементы конструкций, такие как наконечники головных частей ракет, критические сечения сопловых блоков РДТТ, элементы тормозных дисков сверхзвуковых самолетов и др., с характеристиками, существенно превышающими аналогичные показатели для конструкций из традиционных материалов. Кроме того, у пространственно - армированных композитов имеется возможность варьировать в достаточно широком диапазоне их характеристики за счет подбора внутренней структуры, исходя из конкретных требований применения материала в конструкции.

Проблеме расчета эффективных характеристик композитов посвящено значительно число работ, в том числе исследования Болотина В.В. [5], Бахвалова Н.С. [5,6], Ванина Г.А. [10,11], Васильева В.В. [12], Димитриенко Ю.И. [23], Ермоленко А.Ф. [33], Кристенсена Р. [50], Малмейстера А.К., Тамужа В.П., Тетерса Г.А. [54], Победри Б.Е. [66-73], Санчес-Паленсии Э. [80], Соколкина Ю.В., [87,88], Тарнопольского Ю.М., Жигуна И.Г., Полякова В.А. [91], Алфутова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г.[2], Сарбаева Б.С [84], Сараева JI.A., Шермергора Т.Д [81-83] и многих других. Следует отметить, что существующие методы расчета таких эффективных характеристик (см., например [15-18,57, 59, 83, 88]), как правило, основаны на существенных предположениях о характере распределения микронапряжений в матрице и волокнах, простейшими такими моделями являются одномерные модели на основе соотношений Фойгта-Рейсса [46], более сложными - методы, основанные на принципе сложения слоев [91]. Эти методы удобны тем, что позволяют получить относительно простые аналитические соотношения для упругих эффективных характеристик, например, согласно простейшему варианту метода сечений, в котором не учитываются напряжения, ортогональные к плоскости каждого введенного сечения [47,91], получают следующие зависимости для эффективных модулей упругости и модулей сдвига композита, армированного системой 3-х ортогональных волокон (3-D ортогнального композита):

Еа =(paEf+{\ + (рр )Ет ((1 -(ра-(рг?(ра+ (ра0<р0 !(<Ра + <Р0 ))

1 + (ра + (Рр

Gap = Vafim > <Pa0 = Т.-77.-Г здесь Ef,Em,Gm - характеристики волокна и матрицы, сра- объемная доля волокон, ориентированных по а -ому направлению). Однако вследствие указанных существенных математических допущений эти методы являются достаточно приближенными и часто не обеспечивают необходимой точности расчетов. Использование вариационных принципов [46,50,68] приводит к так называемым вилкам Фойгта-Рейсса и Хашина-Штрикмана, однако для большинства реальных композиционных материалов эти вилки оказываются достаточно широкими и использование их в качестве расчетных выражений для эффективных упругих характеристик композитов приводит к весьма существенным погрешностям.

Более точными являются полуаналитические методы, предложенные Г.А.Ваниным [10,11], тем не менее, и они содержат значительные математические допущения и не позволяют получать «математически точных» эффективных характеристик. Для эффективных упругопластических характеристик простых аналитических соотношений не удается получить даже этими приближенными методами.

В этой связи весьма перспективным является метод асимптотического осреднения, предложенный Н.С.Бахваловым и Б.Е.Победрей [5,68] для вычисления эффективных характеристик периодических структур. Этот метод позволяет найти точные (в математическом смысле) эффективные характеристики с помощью решения так называемой «задачи на ячейке периодичности». Однако эта задача является достаточно сложной даже для численных методов, так как имеет смешанный интегро-дифференциальный тип и неклассические граничные условия периодического типа. Именно поэтому в настоящее время имеется лишь несколько примеров решения этой задачи для сравнительно простых структур: слоистых [42,43,68], однонаправленных (1-D) [56,68] и ортогональных (2-D) композитов [68].

В настоящей работе рассматривалась проблема формулировки математической задачи для расчета комплекса упруго-прочностных характеристик пространственно - армированных композитов в точной трехмерной постановке, а также разработки эффективного метода расчета макросвойств композита, исходя из свойств волокон, матрицы и параметров внутренней структуры.

Основной целью настоящей работы является разработка: - математической модели пространственно-армированных упруго-пластических композитов с периодической структурой на основе метода Бахвалова-Победри; конечно-элементного метода расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов на основе соответствующих характеристик матрицы и волокон; программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

Научная новизна работы заключается: в адаптации метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри для конечно-элементного расчета упруго-пластических характеристик пространственно-армированных композитов, для этого предложено преобразование, позволяющее сводить интегро-дифференциальные задачи на ячейке периодичности к более простым задачам на 1/8 ячейки, имеющие дифференциальный тип, а также применен метод упругих решений А.А.Ильюшина для решения задач на 1/8 ячейки периодичности (ЯП);

- в разработке конечно-элементного метода решения задач на 1/8 ЯП для линейно-упругих и упруго-пластических (в рамках теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина) компонентов композита;

- в разработке программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

На защиту выносятся следующие положения:

- метод расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов с пространственной структурой, а также микронапряжений в компонентах композита, которые могут быть установлены математически точно в рамках метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри численным конечно-элементных способом;

- разработанный программный комплекс, который позволяет проводить вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов с различными параметрами волокон, матрицы и содержанием волокон в композите.

Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, а также сравнением с экспериментальными данными.

Аппробация работы: основные результаты докладывались на:

- Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 100-летию Хинчина, Калуга, 2004;

Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2002;

- Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2004;

- Научно-технической конференции, посвященной 40-летию факультета ФН МГТУ им.Н.Э.Баумана, октябрь, 2004 г.;

Студенческой научно-технической конференции Аэрокосмического факультета МГТУ им.Н.Э.Баумана, Реутов, 2000,2001;

- Семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики и механики» под руководством проф.Ю.И.Димитриенко, 2003,2004 гг.;

- Международной коференции, посвященной 90-летию В.И.Феодосьева, май 2006г.

- и отражены в 8 работах [24-29, 44].

Структура и объем работы: диссертация состоит из 5 глав, введения, выводов и списка использованной литературы. Объем диссертации 97 стр.

Выводы

В диссертации получены следующие основные результаты:

В работе разработан метод решения локальных задач «на ячейке периодичности» для композитов со сложными пространственными структурами армирования, основанный на переходе от задачи для полной ЯП к существенно более простой задаче на 1/8 ЯП.

Разработан конечно-элементный метод и программный комплекс для расчета задач об определении напряжений в ЯП и расчета эффективных упруго-пластических характеристик композиционных материалов.

Для 1-D композита проведено сравнение результатов расчетов, полученных различными методами, показавшее высокую точность разработанного метода и программного комплекса.

Проведен расчет напряжений в ЯП, эффективных модулей упругости и эффективных упруго-пластических характеристик 3-D ортогонально-армированного КМ, а также осуществлено сравнение полученного численного решения с методом сечений, показавшее хорошее согласование результатов.

1. Адаме Д.Ф. Упругопластическое поведение композитов //Композиционные материалы. Механика композиционных материалов М.: Мир, 1978.-Т.2.-С. 196-241.

2. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.-М.:Машиностроение, 1984.-264 с.

3. Аношкин А.Н., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Неупругое деформирование и разрушение разупорядоченных волокнистых композитов //Механика композиционных материалов.- 1993.-Т. 29, №5.-С. 621-628.

4. Волокнистые композиционные материалы на основе титана / В.Н. Анциферов, Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов и др. -М.: Наука, 1990.-136 с.

5. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -М.: Наука, 1984,- 352 с.

6. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // ДАН СССР.- 1974.- № 5.- С. 1046-1048.

7. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.- 446 с.

8. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести // Успехи механики деформируемых сред.-М.:Наука, 1976.-С. 51-73.

9. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980.- 376 с.

10. Ван Фо Фы. Конструкции из армированных пластмасс.-Киев: Техника, 1971.- 220 с.

11. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов.-Киев: Наукова думка, 1985.- 300 с.

12. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1988.- 272 с.

13. Васин Р.А., Аникеев Ф.У., Мазурский М.И. О материалах с падающей диаграммой //Изв. РАН: МТТ.-1995.- №2.-С. 181-182.

14. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевые задачи континуальной механики разрушения: Препринт/УрОРАН .-Пермь, 1992.-78с.

15. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов.-М.:Физматлит, 1997.-288 с.

16. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения // ПМТФ.-1995.- №6.- С. 122-132.

17. Вильдеман В.Э., Ташкинов А.А. О некоторых методах прогнозирования поведения многослойных тел при упругопластическом деформировании // Деформирование и разрушение конструкций из композиционных материалов.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987.- С. 1720.

18. Геогджаев В.О. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов // Исследования по механике и прикладной математике: Тр. Моск. физ.-тех. ин-та.- 1958.- Вып. 1.-С. 69 -96.

19. Гольденблат И.И. К теории малых упругопластических деформаций анизотропных сред//Докл. АН СССР.-1955.-Т. 101, №4.- С. 619 622.

20. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов.-М.: Машиностроение, 1968.-192 с.

21. Горбачев В.И. Эффективные механические характеристики микронеоднородных тел с периодической структурой //Упругость и неупругость. 1978.-Вып. 5.- С. 7-12.

22. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. -М.:Высшая школа, 2001.-575 с.

23. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах.-М.Машиностроение, 1997.-375 с.

24. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Конечно-элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов// Вестник МГТУ. Естественные науки.- 2002.- №2.- С. 95-108.

25. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко А.В. Эффективные методы расчета характеристик пространственно армированных композитов// Вопросы оборонной техники.- 2002.-№1.-С.41-47.

26. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко А.В. Численные методы расчета упругих характеристик композиционных материалов со сложными структурами армирования// Аэрокосмические технологии: Тез. докл. студ. науч.-техн. конф.-М.,2002.- С. 90-97.

27. Друккер Д. Вариационные принципы в математической теории пластичности //Механика (сб. переводов).-1959.- №6 (58).- С. 63-79.

28. Друккер Д. Пластичность, течение и разрушение //Неупругие свойства композиционных материалов.-М., 1979.-С. 9-32.

29. Дудукаленко В.В., Мешков С.И., Сараев JI.A. К расчету эффективных характеристик пластичности неоднородных сред // Журнал прикл. мех. и техн. физики.-1979.- №5.-С. 150-154.

30. Ермоленко А.Ф. Модель разрушения однонаправленного волокнита с хрупкой матрицей //Механика композиционных материалов.-1985.-№2.-С. 247-256.

31. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций.-М.: Машиностроение, 1985.- 294 с.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.544 с.

33. Зиновьев П.А., Сарбаев Б.С. • Эндохронная теория нелинейного деформирования слоистых композитных материалов //Механика композиционных материалов.-1985.- №3.-С. 423-430.

34. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды.М.:Изд-во МГУ, 1978.278 с.

35. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 271 с.

36. Ильюшин А.А. Пластичность.-М.:ГИИТЛ.-1948.-376 с.

37. Исупов Л.П. Уравнения плоской деформации пластической трансверсально изотропной среды // Изв. РАН. МТТ.- 1995.-№5.-С. 102108.

38. Исупов Л.П., Роботнов Ю.Н. О законе пластичности для композитной среды //Изв. АН СССР. МТТ.-1985.- №1.- С. 121-127.

39. Каралюнас Р.И. К определению эффективных определяющих соотношений физически нелинейных композитов // Вестн. Моск. ун-та. Мат.мех.-1984.-№2.-С. 77-80.

40. Каралюнас Р.И. Эффективные определяющие соотношения слоистых упругопластических композитов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.-М., 1986.- 7 с.

41. Кашкаров А.И. Моделирование пространственно-армированных композиционных материалов методом конечных элементов // Труды студенческой научно-технческой конференции СНТК-2001 .-Реутов, 2001.-С. 18-20.

42. Композиционные материалы / Под ред. Л.Браутман, Р.Крок.-М.: Мир, 1978.-484 с.

43. Композиционные материалы //Механика композиционных материалов / Под ред. Дж.Сендецки.- М.: Мир, 1978.- Т.2.- 564 с.

44. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. В.Ж.Васильева, Ю.М.Тарнопольского.- М.: Машиностроение, 1989.- 510 с.

45. Кравчук А.С, Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов,- М.:Наука, 1985.- 303 с.

46. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.- М.: Мир, 1982.334 с.

47. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977.-416 с.

48. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных сред.- М.: Изд-во МГУ, 1976.-386 с.

49. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.- М.: Наука, 1980.-512 с.

50. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов.- Рига: Зинатне, 1980.- 572 с.

51. Мансуров P.M. Об упругопластическом поведении анизотропных сред//Упругость и неупругость.(М.).-1971.- Вып. 1.-С. 163-171.

52. Мольков В.А., Победря Б. Е. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой // Изв. АН СССР. Механика тверд. тела.-1985.-№2.- С. 119-130.

53. Немировский Ю.Б. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журнал прикл. мех. и техн. физики.-1969.-№6.-С. 81-89.

54. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов.-Новосибирск: Наука, 1986.- 165 с.

55. Неупругие свойства композиционных материалов/Под ред. К.Гераковича.-М.: Мир, 1978.-295 с.

56. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред.-М.:-Наука, 1978.-336 с.

57. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. -М.: Наука, 1987.-Части I, II.-464 с, 360 с.

58. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1977.-144 с.

59. Овчинский А.С. Процессы разрушения композиционных материалов.Имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ.-М.: Наука, 1988.-277с.

60. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред.-М.: Изд-во МГУ, 1990.- 308 с.

61. Петрищев П.П. Упругопластические деформации анизотропного тела //Вестн. Моск. ун-та: Сер. физ.-мат. и естеств. наук.-1952.-№5.-С.63-72.

62. Победря Б.Е.Численные методы в теории упругости и пластичности. -М: Изд-во МГУ, 1981.- 344 с.

63. Победря Б.Е. Критерии прочности анизотропного материала// ПММ.- 1988.-№ 1.- С. 141-144.

64. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.-М.: Изд-во МГУ, 1984.- 336 с.

65. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.-М.: Изд-во МГУ, 1986.- 286 с.

66. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред //ПММ.-1984.- Т. 48, вып. 1.- С. 29 37.

67. Победря Б.Е. Теория течения анизотропной среды //Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций.-Свердловск, 1986.-С. 101-108.

68. Победря Б.Е., Димитриенко Ю.И. Связанные задачи линейной термомеханики деформируемого твердого тела // Успехи механики.-1987.-№ 2.- С.97-137.

69. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго-пластические деформации.-М.: Наука, 1986.- 230 с.

70. Попов Б.Г. Расчет конструкций вариационно-матричными методами.-М.:Изд-во МГТУ,1993.- 292 с.

71. Прикладная механика композитов: Сб. статей.-М.:Мир,1989.- 358 с.

72. Принципы создания композиционных полимерных материалов/ А.А. Берлин, С.А. Вольфсон, В.Г. Ошмян, Н.С. Ениколопов.- М.: Химия, 1990.240 с.

73. Протасов В.Д., Георгиевский В.П. Анизотропия упругих и прочностных свойств армированных пластиков // Механика полимеров.-1967.- № 3.- С.461-467.

74. Разрушение конструкций из композитных материалов / И.В. Гру-шецкий, И.П. Димитриенко, А.Ф.Ермоленко и др.; Под ред. В.П.Тамужа и

75. B.Д.Протасова.- Рига: Зинатне, 1986.- 264 с.

76. Санчес-Паленсия Неоднородные среды и теория колебаний.-М.: Мир, 1984.- 472 с.

77. Сараев JI.A. Сингулярное приближение в теории упругопластических сред с микроструктурой // ПММ.-1983,- Т. 47, вып. 3.1. C. 522-524.

78. Сараев JI.A. Эффективные свойства многокомпонентных упругопластических композиционных материалов //ПММ.-1986.-Т. 50.-вып. 4.-С. 700-705.

79. Сараев JI.A., Шермергор Т.Д. Сингулярное приближение в теории идеальной пластичности микронеоднородных сред // Прикл. мех.- 1985.-Т.21, № 5.-С. 92 97.

80. Сарбаев Б.С. О неупругом поведении слоистых стеклопластиков //Изв.вузов: Машиностр.-1984.-№ 4.-С. 6-10.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1976.- Т.1.- 536 с;Т. 2.- 574 с.

82. Скудра A.M., Булаве Ф.Р. Структурная теория армированных пластиков.-Рига: Зинатне, 1978.- 192 с.

83. Соколкин Ю.В., Свисткова Л.А. Упругопластичность волокнистых композитов с металлической матрицей //Исследования по механике материалов и конструкций.-Свердловск: УрОАН СССР, 1988.-С. 85-92.

84. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел.-М.: Наука, 1984.-115 с.

85. Разрушение органопластика в зависимости от скорости нагружения и температуры / Ю.В. Суворова, А.Н. Думанский, B.C. Добрынин и др. //Механика композиционных материалов.- 1984.- № 3.- С.439-444.

86. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных материалов.- Рига: Зинатне, 1978.- 294 с.

87. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы.-М.Машиностроение, 1987.225 с.

88. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.- М.: Мир, 1975.- 592 с.

89. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.-407 с.

90. Хорошун Л.П., Вецало Ю.А. К теории эффективных свойств идеально-пластических композитных материалов //Прикл. мех,- 1987.-Т. 23, № 1.-С. 86-90.

91. Цай С., Хан X. Анализ разрушения композитов // Неупругие свойства композиционных материалов.-М.: Мир, 1978.-С. 104-139.

92. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред //Ж. прикл. механики и техн. физики.-1984.-№2.-С. 149-151.

93. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.-М.: Наука, 1988.192 с.

94. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.- М.: Наука, 1977.-400 с.

95. Шешенин С.В. Осредненные модули одного композита //Вестн. Московск. ун-та. Сер. матем. механ.-1980.-№6.-С. 78-83.

96. Эглит М.Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах //Механика композиционных материалов.-1984.-№5.-С. 825-831.

97. Aboudi J. Generalized effective stiffness theory for non-elastic laminated composites// Int. J. Eng. Sci.-1981.- V. 19, №. 9.-P. 1269 1282.

98. Adams D.F. Inelastic analysis of unidirectional composite subjected to transverse normale loading // J. Compos. Mater.-1969.- № 4.-P. 310 328.

99. Adams D.F. Elastoplastic crack propagation in a transversely loaded unidirectional composites // J. Compos. Mater.- 1974.-№ 8.-P. 38 54.

100. Bensoussan A., Lions L., Papanicolaou G. Asimptotic analysis for periodic structures.- Amsterdam: North Holland, 1978.- 500 p.

101. Bahet-El-Din Y.A., Drorak G.J. Plasticity analysis of laminated composite plates //Trans. ASME. J. App. A. Mec.-1982.- V. 49, № 4.-P; 740 — 746.

102. Dimitrienko Yu.I Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structure. 1. Method of asymptotic averaging //European Journal of Mechanics. A: Solids.- 1997.- Vol.17, № 2.- P. 305-322.

103. Dimitrienko Yu.I. Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structure. 2. Solutions of local and global problems //European Journal of Mechanics. A: Solids.- 1997.- Vol.17, № 2.- P. 323-337.

104. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // J. Mech. A Phys. Solids.- 1963,- P. 11,№2.-P. 127-142.

105. Hill A. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. A Phys. Solids.-1965.-P. 13.- № 4.-P. 213-225.

106. Kafka V. Elastic-plastic deformation of a periodically nonhomogeneous medium //Actatechn. CSAV.-1965.-P. 10.- № 4.-P. 404-451.

107. Kerber E.H. The elastic and thermo elastic properties of composite media //Proc. Roy. Soc. London. B.-1956.-V. 69.-P. 573-579.

108. Kim S.J., Shin E.S. A Termoviscoplastic theory for composite materials by using a matrix partitioned unmixing mixing scheme // J. Compos. Mater.-1996.-V. 30, № 15.-P. 1647-1669.

109. Kim У., Davalos J.F., Barbero E.J Progressive failure analysis of laminated composite beams // J. Compos. Mater.-1996.-V. 30, № 5.-P.536-560.