автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики вихревых структур

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

005047012

Складчиков Сергей Андреевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР

Специальность - 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2012

2 О СЕН 2012

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Доктор физико - математических наук Савенкова Надежда Петровна Кандидат физико - математических наук Юсупалиев Усен

Доктор физико - математических наук Рухадзе Анри Амвросьевич, учреждение российской академии наук институт общей физики имени A.M. Прохорова, главный научный сотрудник.

Доктор физико - математических наук Высикайло Филипп Иванович государственный научный центр российской федерации троицкий институт инновационных и термоядерных исследований, ведущий научный сотрудник.

Ведущая организация: ИПМ имени М.В. Келдыша РАН

Защита состоится 26 сентября в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП - 1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова http://www.cmc.msu.su в разделе "Наука" -"Работа диссертационных советов" — " Д 501.001.43 ".

Автореферат разослан 'У fr" Ct 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена математическому моделированию образования тороидальных вихрей различной физической природы и численному исследованию динамики развития вихревых структур на сферической поверхности.

Актуальность диссертации

Несмотря на давнюю историю исследования тороидальных вихрей (ТВ) (вихревых колец, плазменных тороидальных вихрей (ПТВ)) процесс их образования изучен недостаточно подробно. До сих пор детально не изучены такие важные характеристики, как распределение трёхмерного поля скоростей, распределение плотности и температуры в вихрях в различные моменты времени при их образовании. Это связано с тем, что определение этих локальных характеристик ТВ в экспериментальном отношении представляет значительные трудности. Так, при диаметре ТВ 10 см для получения поля скоростей необходимо одновременно измерить скорость, плотность и температуру жидкости (плазмы, газа), по крайней мере, в 500-1000 точках, что современными экспериментальными методами практически невозможно реализовать. По этой причине количество экспериментальных работ по определению локальных величин мало. Работы по определению распределения плотности в ТВ вообще отсутствуют. Однако, для решения ряда прикладных задач с использованием ТВ (тушение пожаров на газопроводах, разработка нелетального оружия, разработка методов повышения КПД сгорания топлива ТЭЦ) необходимо знать именно пространственно-временные распределения скоростей, плотности и температуры в таких вихрях.

Анализ наблюдения тропических циклонов (атмосферных вихрей) и опытных данных по исследованию ТВ показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью: характерное время жизни тропических циклонов составляет несколько суток, ТВ различной природы до своего распада проходят расстояние от 100 до 600 раз больше их начального диаметра, при этом равный по объему объект без вихревого движения среды проходит небольшое расстояние, сравнимое с его начальным диаметром. До сих пор не достаточно подробно исследованы причины устойчивого существования таких вихрей. Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физических механизмов преобразования энергии этих источников в энергию их вращательного движения. Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды,

которая освобождается при конденсации водяных паров (фазовом переходе). В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергии - процесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул.

Однако, в настоящее время не достаточно подробно изучены закономерности физических механизмов преобразования энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения вихрей. По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от характеристик вихрей. А определение такой зависимости для КПД является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов, и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения адекватного математического моделирования процессов образования и динамики тороидальных вихрей, атмосферных вихрей и механизма самоподдержания и усиления вихрей.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является:

1. разработка математической модели тороидального вихря, позволяющей исследовать образование и динамику развития вихря во времени с учетом его энергетических характеристик (поступательной и вращательной энергии тороидального вихря, энергии диссипации);

2. проведение математического моделирования физического механизма самоподдержания и усиления вихрей при нагревании их веществ по периметру;

3. проведение математического моделирования образования группы вихрей на поверхности сферического объекта;

4. осуществление программной реализации разработанных математических моделей.

Положения, выносимые на защиту

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса с учетом особенностей физического эксперимента.

2. Осуществлена программная реализация предложенной математической модели, и проведены численные эксперименты, в результате которых сделан вывод о единообразии основных характеристик тороидальных вихрей различной физической природы: ТВ в воздухе и в воде, плазменного ТВ в воздухе.

3. Проведено численное моделирование механизма самоподцержания и усиления вихрей, позволившее сделать вывод о том, что при нагревании вещества тороидального вихря в тонкой кольцевой области, расположенной по периметру, наблюдается увеличение скорости его вращения. Показано, что чем больше температура нагревания, тем больше усиление вращения.

4. Для заданной угловой скорости вращения исследована зависимость КПД преобразования тепловой энергии, выделившейся в кольцевой области, во вращательную энергию от температуры нагревания и времени протекания процесса. Установлено, что при увеличении температуры и времени нагревания величина КПД увеличивается.

5. Построена математическая модель, позволяющая описать образование и перемещение вихрей по сферической поверхности, а также проведена программная реализация данной модели, и сделаны выводы об условиях образования вихрей на конкретной поверхности.

Результаты проведенных расчетов по предложенным математическим моделям согласуются с экспериментальными данными различных исследователей.

Научная новизна работы

В диссертационной работе предлагаются новые математические модели образования и развития вихревых структур на искривленных поверхностях и тороидальных вихревых образований. Математические модели, описывающие гидродинамические процессы в вихревых структурах, основаны на трехмерной системе уравнений Навье - Стокса. Для вихревых процессов на сферической поверхности применяется осредненная по высоте тонкого слоя жидкости трехмерная система уравнений Навье - Стокса, записанная отдельно для верхней и нижней полусфер и сшивающаяся по экватору. Предложенная модель позволяет в каждый момент времени для любой точки поверхности вычислять не только скорость, плотность и температуру вещества, но и толщину слоя жидкости в этой точке. В результате математического моделирования впервые изучены условия образования и устойчивости вихревых объектов на сферической поверхности. Впервые построена математическая модель тороидального вихря, согласующаяся с условиями и механизмом образования, установленными экспериментально. Для тороидального вихря впервые определен КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию на основе механизма самоподцержания и усиления вихрей. Достаточно подробно изучены трехмерное распределение поля скоростей, а также диссипация энергии вихря.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в изучении условий образования вихревых структур, динамических характеристик таких структур, а так же механизма самоподдержания тороидальных вихрей за счет тепловыделения.

Практическая значимость состоит в возможности применения разработанного программного комплекса для решения конкретных задач в различных областях человеческой деятельности таких как: нефте - газовая промышленность (тушение фонтанирующих пожаров), энергетика, исследование климата (взаимодействие атмосферных вихрей, возможность предсказания погоды и других природных катаклизмов устойчивой структуры), разработка нелетального оружия, медицына (офтальмология).

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры, а также на всероссийских и международных конференциях:

1. "Ломоносовские чтения", Москва, МГУ, 2011, секция физики.

2. XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2010.

3. "Математика. Компьютер. Образование": XVIII международная конференции, 2011.

4. 17-ая российская конференция по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии, 2010.

5. "Математика. Компьютер. Образование": XVII международная конференция, 2010.

6. "Математика. Компьютер. Образование.": XIX международная конференция, 2012.

Личный вклад автора

Личный вклад автора состоит в разработке представленных в диссертации математических моделей, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчёты на основе выбранного в качестве наиболее подходящего для поставленной задачи численного метода. Им проведен ряд численных экспериментов, результаты которых согласуются с экспериментальными данными объектов исследований и позволяют сделать выводы о природе, структуре и свойствах этих объектов.

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф - м.н. Савенковой Надежды Петровны и консультанта по физике к.ф - м.н. Юсупалиева Усена. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в

10 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Публикации

Положения диссертации отражены в 10 публикациях автора, 2 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [1,2].

Структура работы

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (60 наименований). Объём диссертации -110 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф - м.н. Савенковой Надежде Петровне и научному консультанту с.н.с. к.ф - м.н. Юсупалиеву Усену за поддержку и постоянную помощь в работе.

Краткое содержание работы

Во введении приводится обзор литературы по исследованию различных вихревых образований (ТВ в воздухе и в воде, плазменный ТВ в воздухе и атмосферных вихрей), из которого следует постановка задачи. Постановка задачи заключается в изучении методами математического моделирования динамики формирования и развития вихревых структур, исследовании условия устойчивости (самоподдержания и усиления) вихрей на примере реальных физических экспериментов по образованию воздушного тороидального вихря и вихревых образований в жидкости на сферической поверхности.

В первой главе рассматривается процесс образования и динамика развития тороидального вихря, полученного методами математического моделирования. Проводится сравнение результатов численного расчета с экспериментальными данными.

Параграф 1.1 посвящен обзору физических экспериментов, проводимых с тороидальными вихрями различной природы (газовые тороидалльнные вихри (ТВ), плазменные тороидальные вихри (ПТВ)) в воздухе при атмосферном давлении.

В параграфе 1.2 проводится анализ результатов, полученных в результате физических экспериментов с различными ТВ.

г кг кг

а Ь

Рис.1 Образование тороидальной спиральной струи в формирующемся вихре.

Процесс формирования плазменного и газового ТВ имеет три характерные стадии: начальную стадию; стадию образования тороидальной спиральной струи в формирующемся вихре (рис.1) и стадию установления определенного распределения азимутальной скорости вращения в вихре после прекращения истечения плазмы/газа.

Законы движения плазменного ТВ и плазменного облака, не захваченного в вихревое движение, начинают различаться, когда в вихре образуется твердотельное ядро вращения. Из этого факта следует один из основных выводов проведенных исследований: ПТВ существует как самостоятельная плазмогидродинамическая структура, обладающая собственными закономерностями движения, после того, как в процессе его образования в нём сформируется твердотельное ядро вращения. Именно такие ТВ являются устойчивыми.

Проведённые физические опыты показали, что ТВ в воздухе образуется при дозвуковом осесимметричном истечении порции плазмы в воздух, а кольцевые вихри в воздухе - при дозвуковом осесимметричном истечении порции газа в воздух. Для образования ТВ характеристики импульсной струи и окружающей среды должны удовлетворять следующим условиям:

1) Истекающая струя должна быть дозвуковой

2) Импульсная струя и окружающая среда, куда она истекает должны быть сплошными средами, то есть числа Кнудсена должны удовлетворять

условиям: / <<: М,- / га « 1 •

Ь' - длины свободного пробега частиц в струе и окружающей среде соответственно

3) Характерные размеры окружающей среды Х{ должны быть намного больше радиуса сопла генератора вихря

4) Длина импульсной струи Ь1 должна удовлетворять условию: 2г0<1<15г0

5) Длительность истечения импульсной струи должна быть не меньше характерного времени образования тороидальной спирали формирующегося вихря.

Таким образом, рабочая гипотеза математической модели должна опираться на условия (1) - (5).

В параграфе 1.3 описывается математическая модель тороидального вихревого образования.

Для моделирования процесса формирования ТВ использовались уравнения неразрывности, движения (Навье-Стокса) и состояния (Менделеева-Клайперона). В цилиндрической системе координат указанные уравнения в осесимметричном случае имеют следующий вид:

др Эру, дpv. 1 — + = — ру„

от дг дг г

Эру дР ору 2 Эру V. 1 , 2

+ — + ^ г + ^ г - = — ру; -—т,-д( дг дг дг у г2 ' '

2 ¿Н> дг1 тг дгт. д2т, ...

—п — +-Н- + —'— + —V". (1)

г дг дг2 дгдг дг2 '

Эру, Эру V. ЭР Эру.2 1

• +-+ - = -д.--ру,у. -

5/ дг дг дг ' г

1 ,ЭУг ЭУ. . Э2лу_ Э2ЛУ, 2Э2ЛУ.

г Э/ Эг Эг дгдг дг

И

9

где Кг,Кг компоненты скорости газа р,р,г] и ^ плотность, давление, динамическая вязкость и молярная масса газа соответственно, - объемная плотность силы, действующей вдоль оси Oz и создающей импульсную струю, Я. - универсальная газовая постоянная. Функция ц введена для моделирования работы поршня генератора ТВ и зависит от принципа работы "поршня" и её вид должен быть таким, чтобы удовлетворялись условия образования вихря (1)-(5).

Объемную плотность д силы fг зададим следующей функцией:

Ч,=Я0 'ДО'¿(г)-¿(г),

где

/(0 = (1-со5(2я-//Д0)/2, £(г) = (1 + СОЗ(?ГГ/Г0))/2,

= (1 - С08(2я-(г -г,)/(га- г,))) / 2. д0 = 10г/см2с2, г, = 0.5см, гг =0.75сл<,Д? = 0,05с.

д0 - амплитуда величины дг (в кг/ (м2 с2), (г2-г,)ят„2„ - объём, в котором действует^).

Для проведения численного расчета необходимо выбрать значения характеристик импульсной струи (гП0Ег ЬпТ1, црг\1 , ?у) "поршня" генератора

вихря (до,Ы , г^г2) и окружающей среды (Т0,ро, д^оЛ Значения этих характеристик выбираются, исходя из требований экспериментально

установленных условий образования ТВ (1)-(5). Начальные и граничные условия соответствуют условиям проведения физического эксперимента.

В параграфе 1.4 проводится анализ численных методов решения уравнений Навье - Стокса и выбор наиболее подходящего из них на примере уравнения Бюргерса.

В параграфе 1.5 проводится анализ численных результатов и сравнение их с экспериментальными данными. На рис.2 и рис.3 представлены результаты численного моделирования воздушного ТВ. На рис.2 представлено поле скоростей относительно неподвижной системы координат. На рис.3 представлено поле скоростей в системе координат связанной с вихрем, а также линии тока в этой системе координат.

ъ

Рис.2. Результирующее поле скоростей для полной расчетной области при г=0.3с на плоскость (г,г), ъ

Рис.3. Линии тока в ТВ относительно системы координат связанной с вихрем при 1=0.Зс на плоскость (г,г).

Как видно из рис. 3, линии тока обтекают устойчивую форму по периметру. Картина линий тока в системе координат связанной с вихрем (рис. 3) практически совпадает с аналогичной картиной, построенной по экспериментальным данным (рис. 4).

Рис.4. Линии тока в ТВ относительно системы координат, связанной с вихрем, получены Д.Г. Ахметовым в результате физических экспериментов.

Для вихрей различной природы (плазменные ТВ в воздухе, ТВ в воздухе и в воде) существует набор безразмерных параметров, который остается постоянным. Численные значения этих параметров приведены в таблице.

Таблица. Сравнение безразмерных экспериментальных интегральных характеристик ПТВ и ТВ в воздухе с результатами численного расчета.

Тип Эксперимента у р ' ТУО Р,п Ро

и. 1 р, Р\ Р!

Физический 0.25-0.37 0.45-0.63 0.23-0.29 0.1-0.32

Эксперимент:

плазменный

тороидальный вихрь в

воздухе и воздушный

тороидальный вихрь в

воздухе

Численный 0.3 0.49 0.26 0.25

эксперимент

В таблице приведены следующие безразмерные интегральные характеристики ТВ:

V

ГТУ о

uJ - отношение начальной скорости вихря к скорости импульсной струи на срезе сопла;

р

1 ТУР

р - отношение начального импульса вихря к импульсу струи;

Еаи

Р] - отношение импульса индуцированного течения среды к импульсу струи;

Ъ

р - отношение импульса хвостовой части струи к импульсу струи. Г1

Результаты приведенные в таблице показывают, что значения безразмерных интегральных характеристик, полученных расчетным путем, соответствуют экспериментально определенным значениям. Вышесказанное позволяет сделать вывод о единообразии основных характеристик тороидальных вихрей различной физической природы.

В главе 2 проводится исследование усиления и самоподдержания тороидального вихря за счет тепловыделения.

В параграфе 2,1 изложена постановка задачи о механизме самоподдержания и усиления вихрей. Физическая суть этого механизма состоит в следующем: 1) тепловыделение в вихрях (тропических циклонах, тороидальных вихрях в воздухе и воде, в плазменном ТВ в воздухе) приводит к уменьшению плотности среды, что в свою очередь способствует возникновению силы плавучести, направленной к оси вращения, 2) под действием силы плавучести легкий газ движется к центру оси вращения, 3) на движущийся к центру оси вращения газ действует сила Кориолиса, направленная по касательной в сторону вращения, в результате чего, увеличивается скорость вращательного движения газа.

В силу сложности реализации физического эксперимента, математическое моделирование является в данном случае основным инструментом исследования.

В параграфе 2.2 приводится математическая модель, описывающая механизм самоподдержания и усиления, а также численный метод решения полученной системы дифференциальных уравнений.

Математическая модель представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений, записанных во вращающейся системе координат относительно центра ядра тора:

др , 1 8гУгр , 1 дУ,р

= 0

+ (рУУ) V = -УР + /ЛрV - 0ег - 2р [Я V],

(2)

——уМов') + о({г),

где Уг,Уг компоненты скорости по координатам гжр, Р - давление, Т -температура, / - коэффициент температуропроводности, ^ термодинамическая вязкость, р - плотность, Я - универсальная газовая постоянная.

Эта система учитывает тепловыделение, силы плавучести и Кориолиса. Начальными условиями данной задачи были выбраны результаты, полученные в предыдущей главе для момента времени I = 0,1с.

Задача решается разностным методом второго порядка точности по пространству и времени, выбранным на основании результатов предыдущей главы.

В параграфе 2.3 представлены результаты численных экспериментов. Приводятся количественные характеристики увеличения скорости вращения ТВ в зависимости от температуры нагревания и времени протекания процесса, а также КПД перехода тепловой энергии во вращательную энергию. На рис. 5 представлены расчетные зависимости относительного приращения (р-ш компоненты скорости в фиксированной точке от температуры нагревания для различных моментов времени, для заданного значения угловой скорости вращения («31 с"').

У,(Т)-У,( 0)

УМ

0,5 0 0.4 5 0,4 0 0.3 5 0,3 0 0,2 5 0,2 0 0,1 5 0,1 О 0.5 0 0.0 0

10 20 30 40 60 100

А7\К.

Рис.5. Зависимости относительного приращения (р-сй компоненты скорости в фиксированной точке от температуры нагревания: график 3 соответствует моменту времени 1=0,05с., 2 - 1=0.01с., 1 -1=0.15с..

Из рис. 5 видно, что при нагревании газа в кольцевой области ядра ТВ наблюдается увеличение скорости его вращательного движения. Чем больше температура газа при тепловыделении и длительность энерговыделения, тем больше увеличивается скорость вращения ТВ. Оценка величины КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря показывает, что она увеличивается с увеличением температуры и времени нагревания.

В главе 3 проводится исследование образования и взаимодействия вихрей на поверхности сферического объекта.

В параграфе 3.1 описывается физический эксперимент по созданию вихрей на поверхности сферического объекта.

Исследователи из Центра радиоволн и молекулярной оптики в Бордо обнаружили, что вихри, определенным образом, созданные в мыльных пузырях, ведут себя аналогично атмосферным вихрям, таким как циклоны и антициклоны. Постановка эксперимента французских ученых очень проста. Половина мыльного пузыря, находящегося при комнатной температуре 17°С, с радиусом в разных вариантах эксперимента от 8 до 10 см, нагревалась с помощью специального колечка, охватывающего экватор пузыря. Тепло конвективным образом распространялось от экватора к полюсам, создавая градиент температур А Т. Облучая изучаемый объект белом светом, исследователи наблюдали картину, из которой видно, что при наибольшей разности температур (ДГ = 45°С) между экватором и полюсом происходило зарождение вихрей, подобных атмосферным вихрям (циклон, антициклон). Однако в этом эксперименте исследователям не удалось детально изучить количество вихрей зарождающихся при различных температурах, поле

скоростей, распределение температуры, траектории их движения. Все это можно сделать при помощи математического моделирования.

В параграфе 3.2 представлена математическая постановка этой задачи. Рассматривается движение жидкости по поверхности сферического объекта, как растекание жидкости по орографически неоднородной поверхности, т.е. считается, что жидкость огибает оболочку как препятствие. Математическое моделирование проводиться отдельно для верхней и для нижней частей сферы, сшивающихся по экватору. В основе математической постановки находится осредненная по высоте тонкого слоя трехмерная система уравнений Навье - Стокса. Для удобства реализации алгоритма решения для верхней части пузыря ось Ъ направлена вверх, а для нижней его части ось 21 направлена вниз.

Ниже выписаны соответствующие системы уравнений одновременно для обоих случаев.

85 8и5 + _ 81 дх ду

ди5 8й26 8Ш8 _ г 851 „ -х

-+-+-= -, )+

81 дх ду 2 дх

р дх р ду Я р дх К р д\<8 8и\'6 8у5 -ед52 - -у .

-+-+-= -+р8( , )+ (3)

а & ду 2 8у

р дх р ду Я р ду Я р

дИ8 5Ш 8уЬ5 _ 0„ -+-+-=

81 дх ду т р д 8И д 8И дх дх ду ду

Ь=с,т,

{ р)) 2 йх( дхк

М"3 ■ ръ

6 мш

осредненные скорости на сфере по длине, ширине и высоте; р - плотность среды; % - ускорение свободного падения 5 - толщина оболочки;

И - радиус сферы;

ц - термодинамическая вязкость;

X - коэффициент теплопроводности;

г - теплота парообразования, Дж/кг;

р-плотность жидкости, кг/ м3; Рг- плотность пара, кг/ м3;

Л,,- универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль * К);

Т - температура, К;

и - внутренняя энергия жидкости, Дж/кг; М - молекулярная масса, кг/кмоль; N - число Авогадро, кмоль"1 ; И - энтальпия.

В параграфе 3.3 проводится анализ численных результатов, полученных при решении системы (3).

Задача решалась разностным методом. Результаты численных расчетов представлены как ортографические проекции на плоскость ОХУ, на которых стрелочками обозначены направления результирующей скорости в каждой расчетной ячейке введенной разностной сетки для различных значений разности температур между экватором и полюсом ДГ и различных моментов времени.

На рис. 6 - 11 в качестве примера приводятся поля скоростей для начальной разницы температур между экватором и полюсом в 45 °С и 55°С.

Рис.б.Поле скоростей, 1=3с., ДГ = 45°С Рис.7. Поле скоростей, 1=3с., ДГ = 45"С (верхняя часть сферы). (нижняя часть сферы).

Рис.8.Поле скоростей, 1=5с., ДГ (верхняя часть сферы.)

(нижняя часть сферы).

(нижняя часть сферы).

Из приведенных рисунков видно, что для данного радиуса сферической поверхности исследуемого объекта наблюдается образование вихрей на этой поверхности при нагревании объекта по экватору. Количество вихревых образований на сферической поверхности зависит от исходной температуры нагревания, что свидетельствует о существовании критической разницы температур между экватором и полюсом, при которой на поверхности сферического объекта образуются устойчивые вихревые структуры. При этом движение вихрей на верхней и нижней полусфере взаимосвязаны, а направление их вращения различны.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, учитывающая условия образования ТВ. Результаты численных экспериментов, проведенных по этой модели, согласуются с экспериментальными данными ТВ различной природы.

2. Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей при тепловыделении (нагревании газа) в ТВ. Показано, что при повышении температуры и увеличении длительности нагрева газа увеличивается скорость его вращательного движения и растет величина КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря.

3. Проведено математическое моделирование образования группы вихрей на сферической поверхности фиксированного радиуса на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, осредненной по высоте тонкого слоя. Численный эксперимент показал, что образование вихревых структур, а также их количество зависит от величины разности температур между экватором и полюсом. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными.

Основные положения диссертации изложены в работах:

1. У. Юсупалиев, Н.П. Савенкова, Ю.В. Трощиев, С.А. Шутеев, С.А. Складчиков, Е.Э. Винке, Н.Г. Гусейн-заде. Вихревые кольца и плазменные тороидальные вихри в однородных неограниченных средах. II. Исследование процесса образования вихря. // Краткие сообщения по физике ФИАН, 2011, №9, с. 46-58.

2. Р.Н. Кузьмин, Н.П. Савенкова, С.А. Складчиков. Численное исследование динамики вихревых образований на поверхности мыльного пузыря. //Прикладная физика, 2012, №1, с.26-30.

3. Юсупалиев У., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Трощиев Ю.В., Шутеев С.А., Складчиков С.А., Винке Е.Э. Численное моделирование процесса образования тороидальных вихрей. // Конференция. "Ломоносовские чтения", секция "Физики", изд. Физического факультета МГУ, М., 2011, с. 209-216.

4. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Складчиков С.А. Математическое моделирование гидродинамических процессов на поверхности мыльного пузыря. // Сб. тезисов XVIII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", изд. ИПМ РАН, М., 2010, с. 46.

5. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Складчиков С.А. Математическая модель вихря ионизированного светящегося образования. // Сб. тезисов XVII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2010, т. 1, с. 145.

6. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Складчиков С.А. Математическое моделирование растекания жидкости по поверхности мыльного пузыря. // Сб. тезисов XVIII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2011, т. 1, с. 206.

7. Н.П. Савенкова, В.Л. Бычков, Р.Н. Кузьмин, С.А. Складчиков. Математическое моделирование сферического долгоживущего образования. // Сб. тезисов 17-й российской конференции по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии, НИЦ ФТП «Эрзион», М., 2010, с. 29.

8. Р.Н. Кузьмин, Н.П. Савенкова, В.Л. Бычков, С.А. Складчиков, Ю.В. Трощиев. Математическое моделирование тороидальных, вихревых, и сферических долгоживущих образований. // Материалы 17-й российской

конференции по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии, НИЦ ФТП «Эрзион», М., 2011, с. 153-165.

9. Кузьмин Р.Н., Юсупалиев У., Шутеев С.А., Савенкова Н.П., Трощиев Ю.В., Складчиков С. А. Математическое моделирование процесса образования тороидального вихря. // Сб. тезисов XIX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2012, с. 188.

10. У. Юсупалиев, Н.П. Савенкова, С.А. Складчиков, С.А. Шутеев, В.Г. Еленский. Численное моделирование самоподдержания и усиления вихрей. // Препринт №2(111), изд. физический факультет МГУ, М., 2012, С. 12.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 22.08.2012 г. Формат60x90 1/16.Усл.печ.л. 1,0Тираж70 экз. Заказ315. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Введение.

Постановка задачи.

Обзор литературы.

Обзор работы.

Основные результаты.

Глава 1 Исследование процесса образования тороидального вихря.

§1.1 Обзор экспериментов.

§ 1.2 Экспериментальные результаты.

§1.3 Математическое моделирование процесса образования ТВ.

§ 1.4 Численный метод решения.

§ 1.5 Анализ результатов.

Глава 2 Исследование самоподержания и усиления тороидального вихря за счет тепловыделения.

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Математическая модель.

§ 2.3 Анализ результатов.

Глава 3 Исследование образования и взаимодействия вихрей на поверхности сферического объекта.

§3.1 Обзор физических экспериментов.

§ 3.2 Математическая модель.

§3.3 Анализ результатов.

Постановка задачи

Анализ наблюдения атмосферных вихрей (тропических циклонов и пр.), экспериментальных исследований по их моделированию и опытных данных по исследованию тороидальных вихрей (ТВ) в воздухе и воде, плазменных ТВ в воздухе показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью. Образование твердотельного ядра вращения связано с взаимодействием внутренних спиральных структур с окружающей средой. Тороидальный вихрь образуется из спиральной струи тороидальной формы, возникающей при истечении порции жидкости (плазмы, воды, газа) в окружающую среду. Твердотельное ядро вращения в ТВ устанавливается в результате взаимодействия этой струи с окружающей средой. В атмосферных вихрях (в циклонах, тропических циклонах) установление твердотельного ядра вращения происходит также при взаимодействии спиральных структур с окружающей средой.

Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физическими процессами, происходящими внутри вихрей и приводящими к преобразованию части энергии этих источников в энергию вращательного движения вихрей.

Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды, которая освобождается при конденсации водяных паров в воздухе (фазовом переходе). Из натурных исследований тропических циклонов установлены следующие необходимые условия их формирования:

- тропический циклон возникает при температуре поверхностного слоя океана не менее 26,5 °С до глубины не менее 50 м в тропической зоне океана;

- для образования тропического циклона необходима высокая влажность воздуха в нижних и средних слоях тропосферы;

Самоподдержание и усиление тропического циклона происходит за счет высокой влаги в воздухе в поле тяжести Земли, которое обеспечивает определенные высотные распределения давления и температуры (с ростом высоты снижаются давление и температура атмосферного воздуха).

Заметим, что процесс формирования тропических циклонов все ещё не до конца понятен и является в настоящее время предметом интенсивных исследований.

В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. Тепловая энергия в этом вязком слое выделяется, в основном, вследствие турбулентной вязкости жидкости. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергии -процесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул, происходящие при остывании плазмы.

Конечным результатом работ вышеперечисленных источников энергии в вихрях различной природы является выделение тепловой энергии при конденсации паров воды в тропическом циклоне в поле тяжести Земли, при рекомбинации электронов и ионов, химической реакции в плазменном ТВ в воздухе, вследствие трения в наружном вязком слое ТВ различной природы.

В настоящее время практически не изучены закономерности физических механизмов преобразования тепловой энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения вихрей. По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от характеристик вихрей. А именно определение такой зависимости является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения экспериментального и теоретического исследований механизма самоподдержания и усиления вихрей.

В силу сложности реализации физического эксперимента и невозможности воспроизведения в экспериментальной установке всех условий, имеющих место в природе и влияющих на тропические циклоны, математическое моделирование является в данном случае основным инструментом исследования.

Целью настоящей диссертационной работы является:

1. разработка математической модели тороидального вихря, позволяющей исследовать образование и динамику развития вихря во времени с учетом его энергетических характеристик (поступательной и вращательной энергии тороидального вихря, энергии диссипации);

2. проведение математического моделирования физического механизма самоподдержания и усиления вихрей при нагревании их веществ по периметру;

3. проведение математического моделирования образования группы вихрей на поверхности сферического объекта;

4. осуществление программной реализации разработанных математических моделей.

Обзор литературы

Первыми исследователями вихревого движения являются Рене Декарт (1596-1650), Христиан Гюйгенс( 1629-1695), Иоганн Бернулли( 1667-1748), Даниил Бернулли( 1700-1782). Именно они открыли первые закономерности вихревых движений и взаимодействий. Однако Ньютоновская картина мира вытеснила вихревую теорию Декарта и была надолго почти забыта [1]. Интерес к вихревой динамике возродился в середине XIX века. В основе общей вихревой теории заложены труды Гельмгольца, Кельвина и Кирхгофа. Особое значение в вихревой теории имеют теоремы Гельмгольца о вмороженности вихревых линий, что позволяет рассматривать вихревые образования, как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике (твердотельность вихря). Модели вихря Кирхгофа (модель эллиптического вихря и вихревого кольца) используются и по сей день для получения пятен завихренности. В 1877г. Вальтер Гребли провел анализ движения трех вихрей на плоскости на основе решения системы трех нелинейных дифференциальных уравнений [2], обладающих двумя интегралами движения. Гребли также ввел геометрическую интерпретацию, полезную для аналитического представления движения трех вихрей на сфере. Последние исследования подобной системы относятся к 1998 г. Согласно теории Кельвина весь мир понимается как эфир, в котором взаимодействуют вихри Гельмгольца, при этом сами атомы имеют форму, вихревых колец. Однако эта теория была вытеснена атомной и квантовой механикой.

Экспериментальному и теоретическому исследованию закономерностей вихревых движений в жидкостях (газе/воде/плазме) посвящено огромное количество работ [1 - 65, 68 - 73, 77 - 88], что связано с большим количеством разновидностей вихрей: атмосферные вихри (циклоны, антициклоны, тропические вихри, смерчи, песчаные вихри), синоптические вихри в океане, тороидальные вихри - вихревые кольца в воздухе и воде, плазменные тороидальные вихри в воздухе, закрученные потоки в технических устройствах и др. В результате проведенных исследований некоторые из вихрей и закрученных потоков нашли практическое применение, Так, сотрудниками института гидродинамики СО РАН им. Лаврентьева М.А. разработан высокоэффективный вихрепорошковый тушения пожаров мощных газвых и нефтяных фонтанов, возникающих при аварии на скважинах с помощью тороидального вихря [3 -6]. В 1983 году в реальных условиях этот способ был использован для тушения пожара на газоконденсатного фонтана в Каршинской степи

Узбекистана - безводном регионе (высота факела 90-г95 м) [5]. Заметим, что такой сильный природный пожар был потушен только при применении указанного способа тушения пожара после безуспешной попытки тушения другими способами силами более 400 человек в течение месяца.

Другим успешным практическим применением вихрей можно называть вихревой эффект - эффект Ренкина [8,9] для создания холодильных установок на различные мощности. Суть этого эффекта состоит в разделении холодного и теплого воздуха (газа) с помощью закрученного потока в цилиндрической трубе с улиткой Архимеда.

Однако наблюдения в ходе опыта позволяют лишь выдвинуть гипотезу о вихревой структуре объекта, условиях его зарождения и динамики процессов. Отдельные замеры параметров наблюдаемого физического явления не дают полной картины протекания процесса, поэтому адекватное математическое моделирование является здесь одним из основных инструментов исследований.

В последнее время на основе тороидальных вихрей разработано нелетальное оружие [10]. Сообщается об испытании экспериментальной установки.

Тропические циклоны относятся к большому классу явлений, получивших название атмосферных интенсивных конвективных вихрей (ИКВ). К атмосферным вихрям также относятся пыльные вихри, огненные и водяные смерчи, торнадо. Атмосферные интенсивные вихри различаются по масштабам, размерам и другим характеристикам. Диаметр малых пыльных вихрей составляет несколько метров, а действие тропических циклонов (ТЦ) охватывает площади, диаметр БТц которых составляет до тысячи километров. Высота ТЦ простирается до тропаузы, т. е. НТц < 17 км. В пыльных вихрях скорости ветра не превышают 30 м/с, тогда как в торнадо они могут достигать значения 150 м/с (по международной классификации категории Р1). Разнятся и временные характеристики: если малые атмосферные вихри живут несколько минут, то ТЦ могут существовать несколько суток, и даже до одной недели [11].

Наблюдения в реальных ТЦ немногочисленны и весьма разрознены, что обусловлено трудностями проведения натурных измерений в таких внушительных по размеру и суровых по нраву природных феноменах. Что касается атмосферных вихрей малой горизонтальной протяженности, то малое время их жизни еще более осложняет проведение в них каких-либо измерительных работ [12].

Процесс образования ИКВ малой горизонтальной протяженности можно условно разделить на две части:

- локальное увеличение уровня фоновой завихренности при помощи особых механизмов, которых в природе может быть несколько [13];

- развитие самого вихря за счет концентрации фоновой завихренности, что обусловлено действием подъемной силы.

На сегодняшний день не существует единого мнения о роли тепла конденсации в развитии малых атмосферных ИКВ, однако существуют работы, где утверждается, что эта роль может быть определяющей.

Несмотря на имеющиеся различия между разными типами атмосферных ИКВ, в их структуре и условиях возникновения наблюдается ряд общих закономерностей.

Рассмотрим сначала результаты исследования ИКВ малой горизонтальной протяженности. Для изучения таких вихрей большое развитие получило лабораторное моделирование. Из вышеизложенного следует, что для создания модельных ИКВ необходимо воспроизвести два момента: создать фоновую завихренность и каким-то образом ее сконцентрировать. Наиболее распространенными типами установок, позволяющих создать фоновую завихренность, являются вращающиеся сосуды, вихревые генераторы и вихревые камеры. Второе условие выполняется за счет создания подъемной силы, которая приводит к возникновению меридиональной циркуляции и, как следствие, к концентрации фоновой завихренности.

В опытах с вращающимися сосудами рабочей жидкостью обычно служила вода, фоновая завихренность возникала вследствие вращения цилиндра. Для создания подъемной силы использовались различные методы: насосы или пропускание вдоль оси вращения жидкости, отличающейся по плотности.

В вихревых генераторах источник фоновой завихренности находился в верхней части установок. Если в моделях использовалась вода, то циркуляция создавалась с помощью вращающегося диска, который располагался в верхней части неподвижного сосуда. Для создания подъемной силы использовался либо нагрев жидкости, либо небольшой пропеллер, который помещался на оси сосуда. Эксперименты такого типа выполнялись большей частью на воздушных моделях, в которых генератором завихренности служила вертушка, окруженная цилиндрическим кожухом и располагавшаяся в верхней части установки. Она же служила и источником подъемной силы, благодаря созданию в центре установки пониженного давления. Необходимой особенностью вихревых генераторов является наличие боковых стенок, что заставляет циркулирующую жидкость опускаться вниз и взаимодействовать с подстилающей поверхностью. В результате в установке возникает тонкий вертикальный вихрь. Для воздушных вихревых генераторов роль боковых направляющих выполняет цилиндрический кожух, окружающий вертушку.

Ранние работы по лабораторному моделированию атмосферных вихрей носили чисто качественный характер. Однако уже они показали, что характер потока определяется в основном соотношением двух главных параметров: циркуляции, характеризующей фоновую завихренность, и стока или объемного расхода жидкости, которое определяется подъемной силой. В качестве определяющего параметра, который отражает меру взаимодействия стока и циркуляции, в ранних работах использовалось число Россби, а в более поздних - различные параметры закрутки.

Более детальное изучение природных концентрированных вихрей и вопроса подобия физических моделей и их атмосферных аналогов требовало увеличения количественных исследований. Наибольшие успехи достигнуты в экспериментах с вихревыми камерами, в которых циркуляция создавалась либо с помощью вращающегося по периферии установки цилиндрического сетчатого экрана, либо посредством тангенциальных щелей (тангенциальных окон). Подъемная сила обеспечивалась или с помощью отсоса жидкости на верхней или на нижней границе установки, или путем нагрева дна установки. Наиболее интересные модели были предложены в работах Ward [14] и Fitzjarrald [15]. Обе эти установки относятся к разряду вихревых камер и различаются методом создания подъемной силы: механическим (установка Warda) и конвективным (установка Fitzjarralda). В работе [16] сделан вывод, что установка Warda обеспечивает в значительной степени подобие при моделировании системы торнадоподобного циклона, позволяя воспроизвести многие черты этого явления и, в частности, появление нескольких вихрей. В исследовании Fitzjarralda качественно прослежена зависимость структуры конвективного вихревого потока от угла поворота тангенциальных окон а, температуры подстилающей поверхности в центре вихря То и температуры окружающей среды Т«.

Первые подробные измерения динамической структуры в модельных концентрированных вихрях появились в экспериментах с вихревыми камерами, и здесь следует отметить работы [17,18]. В этих работах было получено распределение давления и трех составляющих поля скорости в различных районах ИКВ, в том числе и в пограничном слое. Были выявлены основные свойства динамической структуры ИКВ, которые позднее были подтверждены и в других работах, посвященных лабораторному моделированию таких вихревых структур: радиальное распределение вращательной (тангенциальной) скорости Уф(г) соответствует модели Рэнкина (центральное твердотельное вращение и наружный вязкий слой); в верхней части вихря величина вращательной скорости Уф мало меняется с высотой, в пограничном слое она увеличивается по мере приближения к подстилающей поверхности, достигает наибольшего значения вблизи поверхности и затем падает до нуля; вблизи подстилающей поверхности существует максимум радиальной скорости, направленной к центру вихря; во внешней части вихря поверхностное давление мало меняется и быстро падает в центре вихря, на оси вихря вблизи от подстилающей поверхности существует минимум давления.

Успехи, достигнутые в работах по лабораторному моделированию ИКВ малой горизонтальной протяженности, наиболее полно отражены в работе [19]. Однако целый ряд аспектов в структуре вихрей такого класса, причины и условия их возникновения до сих пор остаются неисследованными.

Предпринимались также попытки лабораторного моделирования крупномасштабных атмосферных ИКВ типа тропических циклонов. Из работ такой направленности следует отметить следующие. В [20] модель представляла собой цилиндрический сосуд, рабочей жидкостью служила кислота. Через отверстия в дне сосуда внутрь него вводился раствор щелочи и при взаимодействии ее с кислотой выделялась теплота. Таким образом, авторы [20] моделировали выделение теплоты при конденсации водяного пара в ТЦ. Для создания меридиональной циркуляции в верхней части сосуда на его стенке помещалось охлаждающееся кольцо. В установке наблюдалось возникновение вихря, который воспроизводил основные черты структуры урагана. Работа носила чисто качественный характер и интересна, как одно из первых исследований, в которых сделана попытка смоделировать в ИКВ процессы конденсации.

В работах [21,22] исследовался воздушный вихрь, завихренность создавалась вращающимся диском, а подъемная сила обеспечивалась конвективным способом при помощи ИК - излучения. В модели отмечалось существование «глаза» с нисходящим движением воздуха в центре и сильным восходящим потоком на краю ядра. Исследовалось перемещение вихря в установке в зависимости от условий на нижней границе. Наблюдалось образование двух вихрей, что сопоставлялось с возникновением двух «глаз» урагана. Проводились единичные измерения скорости и температуры, что позволило выявить существование теплого ядра в центре вихря и показать, что профиль скорости, измеренный на среднем уровне, хорошо удовлетворяет зависимости вида Уфг0'5=соп81, наблюдаемой в ураганах.

Визуальные наблюдения и измерения физических характеристик в атмосферных ИКВ, реализующихся в природе, и их лабораторных аналогов, свидетельствует о существовании общих черт в динамической структуре этих вихрей, что позволяет говорить о динамическом подобии между различными вихревыми системами. Выявление критериев, позволяющих оценить степень подобия модельных ИКВ их атмосферным аналогам до сих пор остается одной из важнейших задач.

Лабораторным моделированием атмосферных ИКВ типа тропических циклонов занимаются на физическом факультете МГУ. При создании установки для реализации модельных вихрей исследователи руководствовались следующими соображениями: невозможность воспроизведения в экспериментальной установке всех условий, имеющих место в природе и влияющих на тропические циклоны (отсюда следует необходимость проведения численного эксперимента); необходимость выяснения основных факторов, влияющих на возникновение и развитие тропических циклонов.

На основе обзора работ, посвященных натурным наблюдениям и лабораторному моделированию атмосферных ИКВ, можно выделить три основных условия, необходимых для существования ТЦ, которые должны быть воспроизведены в модельных вихрях: наличие большой области океана с достаточно высокой температурой подстилающей поверхности; существование параметра Кориолиса, превышающего некоторое значение; воспроизведение в модельных вихрях эффекта конденсации с выделением тепла, т.к. именно этот физический процесс приводит к возникновению теплого ядра в ураганах.

Была создана модельная установка, учитывающая перечисленные условия [23,24]. Подъемная сила в установке обеспечивалась использованием в качестве нижней границы водной поверхности, температура которой могла меняться (большая «сковородка» диаметром 1 м с электрическим нагревателем). Использование воды в качестве теплоносителя обусловливало возможность исследования влияния поля влажности на структуру ИКВ. В модельных вихрях измерялись тангенциальная и радиальная составляющие скорости, температура и влажность воздуха на разных расстояниях от центра и на различных высотах.

Конструкция установки позволяла реализовывать модельные ИКВ типа тропического циклона на разных стадиях его развития. Однако непрерывно проследить процесс зарождения и последующего развития структуры ИКВ в модельных вихрях не удавалось. Невозможным оказалось также и исследование процесса возникновения ИКВ из первоначальной депрессии давления.

В результате проведенных экспериментов по моделированию ИКВ были установлены следующие их общие закономерности: а) устанавливается определенное радиальное распределение вращательной скорости: центральное твердотельное вращение и наружный вязкий слой; б) имеется радиальная скорость влажного воздуха, направленная к центру вихря, в) давление влажного воздуха мало меняется по высоте и быстро снижается в сторону центра вихря, на оси вихря существует минимум давления.

Вышеприведенные общие закономерности наблюдаются в тропических циклонах.

В работах [25 - 27] рассматривается структура тропических циклонов (на примере ТЦ «Давид» 1979 года), полученная на основе результатов измерений их основных характеристик, проведенных в натурных условиях самолетами-метеолабораториями, в том числе наземными радиолокационными станциями. В этих работах приведены радиальные распределения тангенциального (вращательного) Ур(г), вертикального Уг(г) и радиального Уг(г) компонентов скорости ветров в ТЦ, а также радиальные распределения влагосодержания (водности) влажного воздуха Вщ (в г/м ) (в цилиндрической системе координат, у которой плоскость Ъ= 0 совпадает с морской поверхностью и ось направлена вверх). Данные были получены самолетами-метеолабораториями, пролетающими на определенных высотах (2=0,5 км и 1,5 км) сквозь ТЦ (в радиальном направлении). Анализируя данные работ [25 - 27], приходим к следующим выводам: а) в среднем, в пределах ошибки измерения скорости ветров, в ТЦ устанавливается определенное радиальное распределение вращательной (тангенциальной) скорости Ур(г), состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя; б) наряду с основным максимумом на расстоянии г- 14,5 км (шириной Д/;~ 10-5-15 км) у распределения Ур(г), есть и другой относительно небольшой максимум при г -44 км (шириной Лг2 ~10 км); в) этим двум максимумам в распределении Ур(г) практически

Заметим, что радиальное распределение скорости ветра ГД/-), полученное для ТЦ «Давид», характерно и для других ТЦ: урагана «Целия» 3-4 августа 1970 года [28]; авторы работы [29], используя имеющиеся табличные наблюдаемые данные тропических циклонов до 1985 года, показали, что радиальное распределение скорости вращения имеет твердотельное ядро вращения с вязким внешним слоем.

Из данных урагана «Давид» также следует, что координаты указанных максимумов распределений скоростей и влагосодержания (/•= 14,5 км и 44 км) совпадают с координатами стены «глаза» циклона (г~14,5 км с шириной & стена ~ Юч-15 км) и ближайшей спиральной дождевой полосы (г ~ 44 км с шириной Д^.п~10 км). Согласно натурным наблюдениям ТЦ [25 - 29], именно в этих областях ТЦ, где большая величина влагосодержания воздуха (Вщ > 1 о в г/м ), происходит интенсивное выделение тепла (при конденсации паров воды во влажном воздухе).

Таким образом, величины максимумов в радиальных распределениях скоростей КД/-), У2(г) и Уг(г) зависят от влагосодержания воздуха в ТЦ: чем больше влагосодержание ВТц (тепловой энергии), тем больше величины указанных максимумов.

До сих пор указанные особенности распределений скоростей КДг),

У2(г) и Уг(г) (увеличение скоростей) не получили должного объяснения.

Анализ наблюдения тропических циклонов (атмосферных вихрей) и опытных данных по исследованию ТВ показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью: характерное время жизни тропических циклонов составляет несколько суток, ТВ различной природы до своего распада проходят расстояние от 100 до 600 раз больше их начального диаметра, при этом равный по объему объект без вихревого движения среды проходит небольшое расстояние, сравнимое с его начальным диаметром. До сих пор недостаточно подробно исследованы причины устойчивого существования таких вихрей. Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физических механизмов преобразования энергии этих источников в энергию их вращательного движения. Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды, которая освобождается при конденсации водяных паров (фазовом переходе). В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергии - процесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул.

Представляется важным исследование влияния вращательного движения на некоторые эффекты. Ниже приведены примеры таких эффектов.

1. Эффект кумуляции [30]. Известно, что при стекании воды в воронку незначительное начальное ее вращение приводит к бурному вращению струи и, поэтому возникает вопрос, не позволит ли этот эффект, при схождении цилиндрической оболочки, усилить ее кумуляцию. Рассмотрим оболочку, движущуюся перпендикулярно оси и одновременно вращающуюся вокруг нее. В начале, оболочка тонкая, при схождении она утолщается, вращение ее ускоряется, и центробежная сила ограничивает ее схождение. В момент остановки радиального движения останется только ее окружная скорость, распределенная как 1/г. И кинетическая энергия единицы длины будет Е = пру1)-21п(Я / /•), где V - окружная скорость внутренней границы, являющаяся максимальной во всем процессе. При движении сохраняется момент количества движения подсчитав его для момента остановки радиального движения получаем, (2=туг, где ш - масса единицы длины. Из этих условий можно получить выражение для максимальной скорости т.е. возмущение центростремительного движения оболочки в виде сколь угодно слабого ее вращения не усиливает кумуляцию, а наоборот полностью ее разрушает.

Из формул для энергии видно, что V по величине точно совпадает с той скоростью, которую имела бы не вращающаяся оболочка с той же энергией Е, тем же радиусом, но направлена она не по радиусу, а по окружности. После остановки радиального схождения последует разлет, картина которого во времени будет, очевидно, симметрична схождению. Энергия вновь будет переходить к радиальному движению.

Описанный пример практически единственный, в котором прослежено как дополнительная степень свободы (вращение), будучи возбуждена сколь угодно слабо, постепенно отнимает всю энергию основного движения и полностью разрушает кумуляцию, что доказывает ее неустойчивость в этом случае.

Однако, из работ [31] следует, что в нано - и макромирах в 3-Б бициклонах движение к неограниченной кумуляции возможно. Это движение постоянно сопровождается возбуждением и усилением новых степеней свободы, противодействующих процессу кумуляции.

2. Транспортные коэффициенты жидкости (газа[32], жидкости[33], плазмы[34]). В работах экспериментально было показано, что вращательное движение плазмы/газа/жидкости приводит к эффекту анизотропии процессов переноса: коэффициенты переноса (коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и д.р.) в перпендикулярном направлении оси вращения жидкости сильно уменьшается в зависимости от скорости углового вращения по сравнению соответствующими коэффициентами вдоль оси вращения. Аномальное долгосвечение плазменного ТВ в воздухе объясняется существенным снижением теплового потока из тора вследствие анизотропии процессов диффузии и теплопроводности.

3. Наличие вращательной степени свободы (и твердого тела) в вихревом движении жидкости позволяет накапливать в больших количествах энергию (переход энергии поступательного движения во вращательную энергию). Так, в работах [35,36] экспериментально показано, что энергия вращательного движения ТВ и ПТВ в 2,8 - 3 раза больше их энергии поступательного движения.

Несмотря на давнюю историю исследования вихрей (вихревых колец, плазменных тороидальных вихрей (ПТВ), циклонов) процесс их образования изучен недостаточно подробно. До сих пор детально не изучены такие важные характеристики, как распределение трёхмерного поля скоростей, распределение плотности и температуры в вихрях в различные моменты времени при их образовании. Это связано с тем, что определение этих локальных характеристик указанных вихрей в экспериментальном отношении представляет значительные трудности. Так, при диаметре ТВ 10 см, для получения поля скоростей, необходимо одновременно измерить скорость, плотность и температуру жидкости (плазмы, газа), по крайней мере, в 500-1000 точках, что современными экспериментальными методами практически невозможно реализовать. По этой причине количество экспериментальных работ по определению локальных величин мало. Работы по определению распределения плотности в ТВ вообще отсутствуют. Однако, для решения ряда прикладных задач с использованием ТВ (тушение пожаров на газопроводах, разработка нелетального оружия, разработка методов повышения КПД сгорания топлива ТЭЦ) необходимо знать именно пространственно-временные распределения скоростей, плотности и температуры в таких вихрях.

В настоящее время недостаточно подробно изучены закономерности физических механизмов преобразования энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения указанных вихрей (тропических циклонов, тороидальных вихрей). По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от их характеристик. А определение такой зависимости для КПД является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов, и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения адекватного математического моделирования процессов образования и динамики тороидальных вихрей, атмосферных вихрей и механизма самоподдержания и усиления вихрей.

Настоящая диссертация посвящена математическому моделированию нескольких физических экспериментов, изучающих вихревые структуры на поверхности сферы и тороидальной вихревой структуры в воздухе, обладающие общими закономерностями процессов формирования, самподцержания и усиления. В ней представлены математические модели, в основе которых находится полная трехмерная система уравнений Навье-Стокса, позволяющая детально, с изучить процесс формирования и динамику перемещения ТВ, а также исследовать причины зарождения и динамику перемещения вихревых образований на сфере.

Обзор работы

1. В первой главе рассматривается процесс образования и динамика развития тороидального вихря, полученного методами математического моделирования, и сравнение его параметров с аналогичными вихрями, полученными в результате физических экспериментов.

2. Во второй главе проводится исследование процесса самоподдержания и усиления вращательного движения тороидального вихря за счет нагревания его по периметру. Также исследовался вопрос КПД тепловой энергии с точки зрения усиления скорости вращения.

3. В третьей главе исследовалась динамика перемещения вихрей образовывающихся на жидкой поверхности сферического объекта при нагревании его по экватору. Проводилось сравнение численных расчетов с результатами физического эксперимента.

Основные результаты

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, учитывающая условия образования ТВ. Результаты численных экспериментов, проведенных по этой модели, согласуются с экспериментальными данными ТВ различной природы.

2. Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей при тепловыделении (нагревании газа) в ТВ. Показано, что при повышении температуры и увеличении длительности нагрева газа увеличивается скорость его вращательного движения и растет величина КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря.

3. Проведено математическое моделирование образования группы вихрей на сферической поверхности фиксированного радиуса на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, осредненной по высоте тонкого слоя. Численный эксперимент показал, что образование вихревых структур, а также их количество зависит от величины разности температур между экватором и полюсом. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф - м.н. Савенковой Надежде Петровне и научному консультанту с.н.с. к.ф - м.н. Юсупалиеву Усену, а также профессору Кузьмину Рунару Николаевичу за поддержку и постоянную помощь в работе.

Заключение

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, учитывающая условия образования ТВ. Результаты численных экспериментов, проведенных по этой модели, согласуются с экспериментальными данными ТВ различной природы.

2. Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей при тепловыделении (нагревании газа) в ТВ. Показано, что при повышении температуры и увеличении длительности нагрева газа увеличивается скорость его вращательного движения и растет величина КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря.

3. Проведено математическое моделирование образования группы вихрей на сферической поверхности фиксированного радиуса на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса, осредненной по высоте тонкого слоя. Численный эксперимент показал, что образование вихревых структур, а также их количество зависит от величины разности температур между экватором и полюсом. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными.

1. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Математические методы динамики вихревых структур. Институт компьютерных исследований. Москва-Ижевск 2005. С. 368.

2. W. Grobli. Specialle Probleme uber die Bevegung geradliniger paralleler Wilberfaden. Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch. 1877, v.22, p.37-81, 129-165.

3. A.c.895174 СССР от 01.09.1981 / Д.Г. Ахметов, Б.А. Луговцов, В.А. Малетин, В.Ф. Тарасов, Н.Е. Чернухин // Б.И. 1996, №4, С. 272.

4. Ахметов Д.Г., Луговцов Б.А., Тарасов В.Ф. Тушение пожаров на газонефтяных скважинах с помощью вихревых колец. ФГВ, 1980, №5, С.8-14.

5. Ахметов Д.Г., Тарасов В.Ф. О тушении пожара мощного газового фонтана // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр./ Сиб. Отд-ние АН СССР. Ин-т гидродинамики, 1983. Вып.62: Механика быстропротекающих процессов. С.3-10.

6. Akhmetov D.G., Lugovtsov В.A., Maletin V.A. Vortex powder method for extinguishing fire on spouting gas-oil wells // Prevention of hazardous fires and explosions. Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ, 1999, P.319-328.

7. Касымов Б. Схватка в Каршинской степи// Пожарное дело. 1983, № 7, С. 18-19.

8. Меркулов А.П. Энергетика и необратимость вихревого эффекта// Вихревой эффект и его применение в технике. Куйбышев, 1981. С.5-12.

9. Вихревые аппараты // Суслов А.Д., Иванов С.В., Мурашилин А.В., Чижиков Ю.В. М.: Машиностроение, 1985, с. 256.10.3rd European Symposium on Non-Lethal Weapons. 2005, May 10-12. Stadthalle Ettlingan, Germany.

10. Morton B.R. Geophysical vortices. Prog. Aeronaut. Sci. 1967, v.7, pp. 145-194

11. Васильев А.А., Песков Б.Е. , Снитковский А.И. Смерчи 9 иююня 1984 г. Л., Гидрометеоиздат, 1985г.

12. Idso S.B. Tornado or dust devil: the enigma of desert whirlwinds. Amtr. Sci. 1974, v.62, pp.530-541.

13. Ward N.B.J. The exploration of certain features of tornado dynamics using a laboratory model. J. Atm. Sci., 1972, v.29, p. 1194-1204.

14. Fitzjarrald D.E. A laboratory simulation of convective vortices. J. Atm. Sci., 1973, v.30, p.894-902.

15. Davies-Jones R.P. Laboratory simulation of tornado. Proceed. Symp. Tornadoes: Assessment of Knowledge and Implications for Man. Texas Tech. Univ. Lublock, 1976, p. 151-174.

16. Wan C.A., Chang C.C. Measurement of the velocity field in a simulated tornado-like vortex using a three-dimentional velocity probe. J. Atm.Sci. , 1972, v.29, p.l 16-127.

17. Ying S.J., Chang C.C. Exploratory model study oj toornado-like vortex dynamics. J. Atm.Sci., 1970, v.27, p.3-14.

18. Интенсивные конвективные вихри. Под ред. JI. Бенгтссона, Дж. Лайтхиллаб М.: Мир, 1985, С. 368

19. Hadlock R.K., Hess S.L. A laboratory hurricane model incorporating an analogto releas of latent heat. J. Atm.Sci., 1968, v.25, p. 161-177.

20. Chang C.C., Wei Ding-wen, Ho Fu-hua. An experimental simulation on the structure and topographical influence of typhoon. Sci. Sinica, 1975, v.18, p.381-395.

21. Wei D.W. Studies of tropical storm by experimental simulation in the laboratory. Preprints Int. Conf. Tropical Cyclones, Perth, Australia, 1979.

22. Анисимова Е.П. Матхеев С.С., Милехин Л.И., Сперанская А.А. Турбулентная структура интенсивного конвективного вихря влажного типа. Вестник МГУ. Сер. Физика, астрономия. 1995, Т.36, № 5, с.57-63.

23. Анисимова Е.П., Сперанская А.А. Механизмы обмена теплом, массой и энергией в интенсивных атмосферных конвективных вихрях. В сб.:

24. Взаимодействие в системе литосфера-гидросфера-атмосфера». М.: Недра, 1996, с. 187-196.

25. Willoughhy Н.Е. et, al. Stationary and moving convective bands in hurricanes. // J. Atm. Sei. 1984, Vol. 4, № 22, p. 3189-3211.

26. Jorgenson D.P. Mesoscale and convective scale characteristic of mature hurricanes. //J. Atm. Sei. 1984, Vol. 4, № 22, p. 3189-3211.

27. Шит P.C. О структуре ураганов по данным исследовательских самолетов-лабораторий. В сб.: Интенсивные атмосферные вихри. М.: Мир, 1985, с. 48-65.

28. Хргиан А. X. Физика атмосферы. М.: МГУ, 1986, С. 326.

29. Девис Д.Р., Эванс Х.П. Оценка радиального распределения вихревой вязкости в развитом урагане. В сб.: Интенсивные атмосферные вихри. М.: Мир, 1985, с. 123-129.

30. Е.И. Забабахин, И.Е. Забабахин. Явления неограниченной кумуляции. -М.: Наука, 1988, с. 173.

31. Ф.И. Высикайло. 3-D циклоны в нано и макромирах. Международная конференция МСС "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность", 2009, сборник трудов, М.: ЛЕНАНД, с. 432-437.

32. Юсупалиев У., Юсупалиев П.У., Шутеев С.А. Анизотропия процесса диффузии в тороидальных вихрях в воздухе. // Краткие сообщения по физике, 2006, № 4, С.39-45.

33. Юсупалиев У., Юсупалиев П. У., Рухадзе К. 3, Шутеев С. А. Анизотропия процесса диффузии в тороидальном (кольцевом) вихре в воде. // Краткие сообщения по физике. 2007, № 4, с. 40-44.

34. Юсупалиев У., Шутеев С.А., Винке Е.Э., Еленский В.Г. Вихревые кольца и плазменные тороидальные вихри в однородных неограниченных средах. III. Эффект анизотропии процесса диффузии в вихрях. // Краткие сообщения по физике. 2012, № 3, с. 41-49.

35. У. Юсупалиев, С.А. Шутеев, П.У. Юсупалиев, Чубаров В.В. Изменение энергии вихревых колец в однородной среде // Краткие сообщения по физике, 2008, №11, с.39-48.

36. Д. Г. Ахметов, Вихревые кольца // Новосибирск, Академ. Издат. "Гео", 2007, С. 151.

37. Александров А.Ф., Тимофеев И.Б., Черников В.А., Юсупалиев У. Плазменный тороидальный вихрь в воздухе. // ТВТ, 1988, Т.25, № 4, с. 639-643.

38. Александров А. Ф., Тимофеев И. Б., Юсупалиев У. Экспериментальные исследования импульсного истечения плотной плазмы в затопленную среду. 1. Режимы осесимметричного истечения. // ТВТ, 1991, т.29, № 1, с.108-114.

39. Юсупалиев У. Определение коэффициента сопротивления плазменного тороидального вихря в воздухе. // Физика плазмы. 2005, Т.31, № 6, с.543-559.

40. ЮсупалиевУ. Импульсное осесимметричное истечение плотной плазмы в газовую среду. 1. Критерии подобия истечения // Журнал технической физики. 2004, Т. 74, № 7. с. 61

41. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973, С. 416.

42. Тарасов В. Ф. Экспериментальные исследования турбулентных вихревых колец. Автореферат дис. на соис. уч. ст. к.ф.-м.н. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1975.

43. Shariff К., Leonard A. Vortex rings. Annu. Rev. Fluid Mech., 1992, Vol. 24, p. 235-279

44. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Формирование вихревых колец. // Изв. СО АН СССР. Сер. Техн. Науки, 1980, № 3, Вып.1, с. 3-11.

45. Юсупалиев У. Дис. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1988, С.154.

46. Юсупалиев У. Силы, действующие на турбулентный плазменный тороидальный вихрь в воздухе. // Краткие сообщения по физике. 2004, № 10, с.39-51.

47. Дулов В. Г., Лукьянов Г.А. Газодинамика процессов истечения. Новосибирск: Наука, 1984, С. 239.48. 18 ый Междунар. семинар «Течение газа и плазмы в соплах, струях и следах», Санкт- Петербург, 21 - 23 июня 2000 г.

48. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1954 г.

49. Петров П. А. // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1973. № 2. с.19.

50. Юсупалиев У. Еленский В.Г. Критерии режимов импульсного истечения плазмы в окружающую среду. Препринт № 2(IV)/2012 физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. М.: МГУ, С. 15.

51. У. Юсупалиев, П. У. Юсупалиев, С. А. Шутеев. Процесс формирования плазменных и газовых тороидальных вихрей в воздухе // Физика плазмы. 2007 г. Т. 33, № 3, с. 226-238.

52. Юсупалиев У., Юсупалиев П.У., Шутеев С.А. Импульсное осесимметричное истечение плотной плазмы в газовую среду. 2. Условия образования и устойчивость плазменного тороидального вихря. //ЖТФ, 2007, Т. 77, № 7, с.50-62

53. Reynolds О. On the resistance encountered by vortex rings, and the relation between vortexrings and the streamlines of a disk. // Nature, 1876, Vol. 14, P. 477.

54. Wood R. Vortex ring. //Nature, 1901, Vol. 63, p. 418-420.

55. Жуковский H.E. Заметка о движении вихревых колец. М.: 1907.

56. Taylor G.I. Formation of a vortex ring by giving an impulse to a circular disc and then dissolving it away. // J. Appl. Phys., 1953, Vol. 24, P.104.

57. Magarvey R.H., MacLatchy C. S. The Formation and Structure of Vortex Rings. // Canad. J. Phys., 1964, Vol. 42, p.678-683.

58. Pullin D.I. Vortex ring formation at tube and orifice openings. // J. Phys. Fluids, 1979, Vol. 22, p.401-403.

59. Saffman P.G. The number of waves on unstable vortex rings. // J. Fluid Mech, 1978, Vol. 84, p.625-639.

60. Glezer A. The formation of vortex ring. // Phys. Fluid, 1988, Vol. 31, p. 3532-3542.

61. Linden P. F, Turner J. S. The formation of 'optimal' vortex rings, and the efficiency of propulsion devices. // J. Fluid Mech, 2001, Vol. 427, p. 61-72.

62. J. P. Sullivan, S. E. Windall and S. Ezekiel, AIAA J 11, 1384 (1973).

63. Д. Г. Ахметов, Авторефер. дисс. на соиск. к.ф м. н. Новосибирск, Инт гидро-динамики СО РАН, 2002.

64. Лучников А. А, Гожаков А. М, Середа П.Д., Соколов И.П. Генератор тороидальных вихревых плазменных образований. // ПТЭ, 1981, № 2, с. 237 238.

65. Андерсон Д, Таннехилл Дж, Плетчер Р. "Вычислительная гидродинамика и теплообмен (Том 1,2)", М.: Мир, 1990.

66. В.М.Головизнин, АЛ.Самарский. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной. // Математическое моделирование. Т. 10, №1, 1998.

67. Юсупалиев У, Шутеев С.А, Винке Е.Э. Юсупалиев П.У. Вихревые кольца и плазменные тороидальные вихри в однородных неограниченных средах. I. Максимальный путь, проходимый вихрями. // Краткие сообщения по физике. 2010, № 8, с.3-13.

68. Юсупалиев У, Маслов А.К, Шутеев С.А. Тепловыделение как механизм самоподдержания закрученного потока в газе. // Прикладная физика. 2000, № 1, с. 5-10.

69. Онуфриев А.Т. Теория движения вихревого кольца под действием силы тяжести. Подъем облака атомного взрыва. // ПМТФ, № 2, с.3-15.

70. The Effect of Atomic Weapons. New-York Toronto - London. 1950. Имеется перевод: Действие атомного оружия. М.: ИЛ., 1954, С. 439.

71. Юсупалиев У., Анисимова Е.П., Маслов А.К., Шутеев С.А. К вопросу о формировании и геометрических характеристиках смерча. Часть I. // Прикладная физика, 2001, № 1, С.56-61.

72. F. Seychelles, Y. Amarouchene, М. Bessafi, Н. Kellay. Thermal Convection and Emergence of Isolated Vortices in Soap Bubbles // Phys. Rev. Lett. 100, 144501 (7 April 2008).

73. Алаторцев A.B., Кузьмин P.H., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Динамическая модель магнитно гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере. // Прикладная физика. 2004, №5, с. 33-42

74. Н.П. Савенкова, Р.Н. Кузьмин, О.Г. Проворова, А.В. Шобухов, С.В. Анпилов, С.А. Складчиков. Двумерная и трехмерная математические модели электролиза алюминия. // Динамика сложных систем №2 том 3 с.53-59 2009г.

75. Кузьмин Р.Н., Кулешов А.А., Савенкова Н.П., Филиппова С.В. Численное моделирование растечения фреона по неровной подстилающей поверхности. "Математика. Компьютер. Образование". Сб. трудов II международной конференции, с. 154-159.

76. А.А. Фридман, П.Я. Полубаринова. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости. Геофизический сборник, 1928, с.9-23.

77. Е.А. Новиков. Динамика и статистика системы вихрей. ЖЭТФ. 1975 т.68, вып. 5, с. 1868-1882

78. Н. Aref. Motion of three vortices. Phys. Fluids. 1988 v.31, №6, p.1392-1409.

79. B.A. Богомолов. Динамика завихренности на сфере. Изв. АН. СССР Мех. жид. и газа. 1977, №6, с.57-65.

80. Melander M.V., Zabusky N.J., Styczek A.S. A moment model for vortex interactions of two-dimentional Euler equation. Part I. Computationalvalidation of Hamiltonian elliptical representasion. J. Fluid. Mech 1986, v.167, p. 95-115.

81. B.M. Ткаченко. О вихревых решетках. ЖЭТФ, 1965, т.49, вып. 6(12). с. 1875-1883.

82. O'Neil К.А. Stationary configurations of point vortices. Trans. AMS. 1987, 302(2), p. 383-425.

83. M.A. Stremler, H. Aref. Motion of three point vortices in a periodic parallelogram. J. Fluid. Mech. 1999, v. 392, p. 101-128.

84. И.С. Громека. О вихревых движениях на сфере. Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. Сообщества естествоиспытателей при Казанском университете. В кн. Громека И.С. Собр. соч. М.: АН СССР. 1952.

85. Андрианов А. М., Синицин В. И. Использование эрозионного разряда для моделирова-ния одного из возможных видов шаровой молнии. // ЖТФ, 1977, Т.47, № 11. с. 1318 1327.

86. Saffiman P.G. Vortex dynamics. Cambridge: University press, 1992.

87. Gharib M., Rambod E., Shariff K. A universal time scale for vortex ring formation. //J. Fluid Mech., 1998, Vol. 360, p. 121-140.

88. Содержание диссертации изложено в следующих работах:

89. Р.Н. Кузьмин, Н.П. Савенкова, С.А. Складчиков «Численное исследование динамики вихревых образований на поверхности мыльного пузыря» // Прикладная физика №1, 2012, с.26-с.30

90. Юсупалиев У., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Трощиев Ю.В., Шутеев С.А., Складчиков С.А., Винке Е.Э. «Численное моделирование процессаобразования тороидальных вихрей» // Ломоносовские чтения, секция физики, ноябрь 2011, с.209-216.

91. Н.П. Савенкова, В.Л. Бычков, Р.Н. Кузьмин, С.А. Складчиков «Математическое моделирование сферического долгоживущего образования» // сб. тезисов 17-й российской конференции по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии, 2010, с.29.