автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики управляемых систем

На правах рукописи

ДЕСЯЕВ ЕВГЕНИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ДПР Ш

Саранск-2012

005018562

Работа выполнена на кафедре прикладной математики математического факультета Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор

Мамедова Татьяна Фанадовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Малыханов Юрий Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент

Тында Александр Николаевич

Ведущая организация: Ульяновский государственный

технический университет

Защита состоится "27 " апреля 2012 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: г. Саранск, проспект Ленина, д. 15, корп. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан ишрта 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета /

доктор физико-математических наук,

профессор ""/ ) Н.Д. Кузьмичев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

При функционировании того или иного объекта всегда возникает необходимость его перевода из одного состояния в другое. Свойством, обеспечивающим возможность такого перевода, является управляемость системы дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемого объекта. В настоящей работе проводятся исследования математических моделей, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теория управления линейными системами достаточно полно изложена в монографиях H.H. Красовского, P.E. Калмана, Э.В. Ли, JT. Маркуса, Р. Га-басова и других. Для случая с постоянной матрицей эта задача свелась к известной алгебраической задаче. Дальнейшее результаты по исследованию задач управляемости за конечное время для линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений приведены в работах В.И. Зубова. Им же указан общий вид программных движений. На основе этих результатов В.И. Зубовым решена задача о стабилизации гироскопических систем.

Исследование нелинейных систем велось в различных направлениях и различными методами. Для анализа управляемости нелинейных систем использовались свойства линеаризованной системы, рассматривались нелинейности специального типа, исследовалась задача управления при различных дополнительных ограничениях на задание начальной и конечной точек траектории, положение траектории в пространстве, характер управления, свойства дифференциальных уравнений, описывающих системы управления.

В нелинейных системах, рассмотренных В.И. Зубовым, управление зависит не только от переводимой и конечной точки, но и от малого параметра, причем значение малого параметра зависит от указанных точек. Другими словами, по двум точкам определяется значение малого параметра, а затем, в зависимости от этих двух точек, малого параметра и времени перевода подбирается подходящее управление из класса допустимых управлений.

В работах Е.В. Воскресенского содержатся результаты, об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время. В этих работах задача об управляемости решается с помощью метода сравнения. В этом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит.

Необходимость построения методов исследования математических моделей сложных процессов, описываемых управляемыми нелинейными си-

стемами дифференциальных уравнений, обусловила интерес к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное. Поэтому задача определения условий управляемости систем является весьма актуальной.

Цель работы.

Основной целью работы является получение новых теорем для решения задач об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время и применение полученных результатов к решению задачи математического моделирования управляемых нелинейных динамических систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. получить аналитическое представления класса допустимых управлений для линейной и нелинейной динамической системы;

2. доказать новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Бра-уеру для дифференциальных уравнений;

3. применить полученные теоремы для решения задач об управляемости искусственными спутниками Земли за достаточно большое время;

4. разработать численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем;

5. создать комплекс программ для решения задач управляемости нелинейными динамическими системами за бесконечное время.

Методы исследования.

Для решения рассматриваемых задач в диссертации применяются следующие методы исследования:

1. метод сравнения;

2. методы асимптотической эквивалентности, разработанные Е.В. Воскресенским, для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

3. теоремы о неподвижной точке;

4. метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа;

5. первый и второй методы Ляпунова;

6. метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Научная новизна.

Получены аналитические представления класса допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем. Доказаны новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Брауэру для управляемых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения класса допу-

стимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем. Создан комплекс программ для решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время. Применены полученные теоремы и комплекс программ для решения задач управляемости за бесконечное время для искусственных спутников Земли.

Практическая ценность.

Предложенные в диссертации математические методы и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при решении задач возникающих в практике исследования динамики управляемого движения космического аппарата.

Апробация диссертации.

Основные результаты докладывались и обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева и Средневолжского математического общества (2005-2012 гг.), под руководством профессора Е.В.

Воскресенского (2005-2008 гг.), VIII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск,12-16 мая 2008 г.),

III Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных про-блем"(Пенза, 15-16 октября 2008 г.), Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 1-4 июня 2009 г.), IX научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании1^ участием зарубежных ученых, (Саранск, 1- 3 июля 2010 г.),

IV Международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 1-12 августа 2009 г.), IX молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2010", посвященная 50-летию механико-математического факультета Казанского университета (Казань, 1-6 октября 2010 г.), V Международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1-12 июля 2011 г.), на ежегодных научных конференциях "Огаревские чтения "Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005-2012 гг.), на ежегодных научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005-2012 гг.).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит

из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи, аргументирована научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены на защиту научные положения. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций по теме исследования.

Первая глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе, используя работу [3], рассмотрим управляемые математические модели, представленные в виде систем дифференциальных уравнений

dx

~ = A(t)x + B(t)u + F(t), (1)

где i £ 1", A{t) - непрерывная (п х п) - матрица, B(t) - непрерывная (п х m) - матрица, «6Г, F 6 С ([О, Т], Kn), t € [О, Т].

Для системы (1) необходимо решить следующую задачу: перевести точку х0 е R" в точку х\ € К" управлением и = u(t) за время Т > О по интегральной кривой системы (1). При этом возникает вопрос, какой вид имеют классы программных управлений u(t), переводящих точку хо в точку .

Определение 1. Систему (1) будем называть вполне управляемой в некотором классе К управлений и S С ([0,Т] ,Rm), если для любых xo,xi G К" существует управление и е К, переводящее систему (1) из жо в xi за время Т.

В дальнейшем будем считать, что точка х\ является фиксированной, и выясним вид программных управлений. В [3] доказана теорема 2.1 о необходимых и достаточных условиях управляемости системы (1). Следует заметить, что данная теорема справедлива только в конкретном классе управлений Ко. Эти управления определяются формулой

u(t)=B'Q(t)c + v(t), (2)

где Bo(t) = F-1(t).B(i); Y(t) - фундаментальная матрица уравнения

У = A{t)y,

нормированная в нуле У(0) = Е; В0*(4) - матрица, транспонированная к В0{Ь), с е Мп, - т - мерная вектор-функция такая, что

т

У В0(*М*) Л = о.

о

В случае невырожденности матрицы

г

в{Т) = I ВофВ^Л,

о

согласно теореме 2.1 [3] для любых х0,хх £ М" существует единственное программное управление и(<) вида (2), причем вектор с равен:

т

У^хх- I У-1(з)Р(8)с1з-хо .

о

Заметим, что построенный в [3] класс К0 является не единственным, с помощью которого можно решать задачу о переводе х0 6 в х\ 6 Мп согласно системы (1). В самом деле, построим управление и{£) в виде

= + <;(*), (3)

где ф{£) - (тп х п) - непрерывная матрица. Тогда, если матрица

т

д(т) = 1у-1{8)в(з)ф(з)с1з

о

неособая, то система (1) вполне управляема в классе Кф управлений вида иЦ) = и(Ь, х0) = <Мг) + М*)хо> (4)

с = С^Т)

где

= ФШ~1{Т)

У

1

-\Т)Х1- I У-1{з)Р{з)йз-хй

№ = -фш\Т).

Во втором параграфе также рассматривается система вида (1), для которой строится новый класс управлений К\. Управления и 6 К\ осуществляют перевод произвольной точки xq е К" в начало координат за бесконечное время по интегральным кривым уравнения (1).

Понятие управляемости за бесконечное время для реальной физической системы означает следующее. Пусть точка хо переводится за бесконечное время в точку х\ управлением и е К\, x(t : 0, ж0,и) - соответствующее программное движение. Тогда Иш x(t : 0, xç>, и) = х\. Отсю-

t—*+оо

да следует, что для любого е > 0 существует Т = Т(е, и) такое, что ||a:(i • 0,xq} и) — < как только t>T. Иными словами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени Т, попадает в е - окрестность точки xi и оттуда не выходит при всех t > Т. Именно требование не выхода из некоторой окрестности точки х\ при всех t > Т встречается во многих задачах небесной механики. Кроме того, необходимо обеспечить, чтобы программное движение x(t : 0,Хо,и) было устойчиво по Ляпунову. Управление, входящие в класс К\ будем искать в виде

u(t,x) - C(t)x + v(t),

где C(t) - непрерывная (m х п) - матрица строится таким образом, что бы решения уравнения

^ = (A(t) + B(t)C(t))z были ограничены. Функция v(t) строится следующим образом

v(t) = Ф (t)C,

где вектор С - постоянный вектор, подлежащий определению, а Ф(£) -(m х п) - матрица. Вектор-столбец С определяется следующим образом.

С = А0"1(+оо) I y-^TjFHdrj ,

где матриц Ао(+оо) определена формулой

+00

А(+оо)= J Y-\s)B{s)i{s)da. о

Существование Л(+оо), а также Л-1(+оо) обеспечивается соответствующем подбором матрицы Ф(<). Соответственно искомое управление будет

иметь вид

u(t,x) = C(t)x + Ф(4) X АоЧ+оо) - j y-HrJFMdrj . (5) Подставим найденное управление (5) в систему (1) получим

% = (A(t) + B(t)C(t)) х + (B(t)v(t) + F(t)) • (6)

at

Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (6) при любом свободном члене B(t)v(t) + F(t), необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение z = 0 соответствующей однородной системы

ft=(A(t) + B(t)C(t))z.

В третьем параграфе переходим к рассмотрению математической модели, когда она представляется в виде системы дифференциальных уравнений вида

^ = Ау + Ви, (7)

at

где х е Rn, А - постоянная (пхп) - матрица, В - постоянная (пхт) -матрица, и € Rm. Будем решать задачу о переводе точки у0 £ R" в начало координат управлением и = u(t) за бесконечное время по устойчивой интегральной кривой системы (7).

Для данного случая управление будем искать в виде:

u(t,ff) = Cff + v(t), (8)

где С - постоянная (т х п) - матрица , v(t) - непрерывная вектор-функция, v(t) £Rm.

Заметим, что управление вида (8) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое обеспечивает устойчивость по Ляпунову решений системы (7). Существование такой постоянной матрицы С размерности (т х п) обеспечивает следующая теорема Теорема 2. [3] Пусть векторы

в,ав,а2в,...,ап-1в

линейно независимы.

В этом случае всегда можно построить управление вида

и = Су,

доставляющее системе (7) любые наперед заданные собственные числа.

С помощью второй части управления v(t) будет решена задача перевода из точки 2/о в начало координат за бесконечное время. Функция v(t) строится следующим образом

v(t) = Ф (t)C,

где вектор С - постоянный вектор, подлежащий определению, а Ф(i) -(m х n) - матрица . Вектор-столбец С определим определим следующим образом:

С = A^i+oo) (-х0). где матриц Л0(+оо) определена формулой

+00

А(+оо) = J Y-l{s)B<S>[s)ds. о

Существование /1(+оо), а также Л-1(+оо) обеспечивается соответствующем подбором матрицы Ф(£). Соответственно искомое управление будет иметь вид

u(t,x) = C(t):г + Ф(г) х Лй^+оо) (-х0).

Система (7) примет вид dx

~^^{A + BC)x + Bv{t). (9)

Теорема 3. Для устойчивости линейной системы (9) при любом свободном члене Bv(t), необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение 2 = 0 соответствующей однородной системы

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена асимптотическим методам исследования математических моделей.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем раскрывается идея метода сравнения.

Рассматриваются два уравнения:

dx

-jj; = fi(t,x), (10)

!=/2М). ai)

Причем свойства решений (И) известны в общей области их определения, а функция

R(t,x) = \\h(t,x)-h{t,x)\\ (12)

в каком-нибудь смысле является малой в области D. Например:

1) R(t, х) < m, где m - достаточно малое положительное число, или

2) R(t,x) ~ г/К*)1М1> где интеграл J ip(t)

dt сходится при Т > 0..

т

Малость в каждой конкретной задаче индивидуальна: в некоторых случаях она вида 1), в других - вида 2). Могут быть и другие виды малости. При подходящей малости R многие важные свойства решений уравнения (10) наследуются от свойств уравнения (11). В этом суть метода сравнения. Уравнение (11) называется уравнением сравнения, а уравнение (10) - исследуемым уравнением, сам процесс определения характера малости R и нахождения списка наследуемых свойств решениями называется интегрированием дифференциальных уравнений методом сравнения [1].

Далее в данной параграфе приводится понятие асимптотической эквивалентности систем дифференциальных уравнений [1].

Пусть 5 - некоторое множество дифференциальных уравнений вида

^ = (13)

где / € С([Т,+оо) X ЕП,ЕП). Будем считать, что хЦ : Ьо,х0) - единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным данным (¿0,хо) > ^¿о > Т, хй е К™. Предположим, на множестве Е определена либо группа преобразований (С, Е), либо полугруппа преобразований с единицей (РС,Е). Тогда на 5 индуцируется соответственно либо отношение эквивалентности р0, либо - р\. Будем считать, что отношение эквивалентности ра равносильно требованию: для эквивалентных уравнений

§ = ЛМ, (14)

§ = /а Ш (15)

при У<0 > То > Т существует биекция Р : Еп -» К" такая, что

х(4 : г0, хо) = у{Ь : «о, Рхо) + о{цЦ)), (16)

у^-к!уо) = х{1-Ла,р-1уо) + оШ), (17)

при Ь -> +00 для всех решений х(Ь : ¿0, го), у(4 : ¿о, Уо), определенных при всех t > ¿о, М : [Г,+оо) -> [0, +оо) - фиксированная функция для всего

множества Н. В этом случае отношение эквивалентности ро будем называть эквивалентностью Левинсона относительно функции /г, а уравнения (14) и (15) — асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функции р.. Если дополнительно, Р - гомеоморфизм, то р0 - эквивалентность Немыцкого относительно функции р., уравнения (14) и (15) в этом случае называются асимптотически эквивалентными по Немыцкому относительно функции р,.

Допустим, отношение эквивалентности р\ равносильно требованию: для эквивалентных уравнений (14) и (15) при У<о > То > Т существуют два отображения Р1 : Мп -> 1п и Р2 : Ег* 1" такие, что

х{Ь: *„,х0) = у{Ь: г0,Р2х0) + о(р(г)), (18)

■■ к, Уо) =х{и <0, Рт) + (19)

при í —* +оо для всех решений х(Ь : ¿0,^0), у(Ь : Ц,уо), определенных при всех > ¿о I Р '■ [Т, +оо) --> [0, +оо) - фиксированная функция для всего множества Н. В этом случае отношение эквивалентности рх будем называть эквивалентностью Брауера относительно функции р, а уравнения (14) и (15) - асимптотически эквивалентными по Брауеру относительно функции р.

Во втором параграфе формулируются достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру для систем дифференциальных уравнений следующего вида

¿х

— = А{Ь)х + }(1,х) (20)

!=А(0у, (21)

где х, у € К", Т < £ < +оо, А{Ь) С [К™, Жп] — банахова алгебра эндоморфизмов; / : [Г, +оо) ХГ-.Г, / е С([Т, +со) х К").

Пусть У (£) - фундаментальная матрица уравнения (25), нормированная в точке ¿о,

У(«о) = Е,

Е - (п х п) - единичная матрица и для матрицы Коши Ь > в справедливо неравенство

НПФ^Н^-Ю,^«, (22)

где Q : [0, +оо) —» (О, +оо) - непрерывная, неубывающая функция. Пусть

<«,»—>, (23)

где Qi : (-00, +оо) (0, +оо) -такженепрерывная, неубывающая функция. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4. [1] Пусть ||/(i,x)|| < A(t,||a;||), Л € С([Т,+оо) х [0, +оо),[0, +оо)), A(t,ai) < \{t,a2) при Vf 6 [Т, +оо) и ai < Q2. Тогда, если:

1. выполняются условия (22), (23) и

4-со

J{a)= J Qi{ta-s)X(s,aQ{s-t0))ds

ta

при Va 6 [0,+оо) существует;

+O0

Ж)

4

3. д(<, а) = / при всех I £ [Т, +оо) является неубывающей

к

функцией по переменной а,

А^, а) = З^о - - ¿о)),

то длл решений уравнения (24) справедливо неравенство

при 1Ы1 < г, 4 > ¿о > То > Т, Л (г) > 0.

Теорема 5. [1] Пусть выполняются условия теоремы 4

1. = о(ад(«-*о))' при * +оо

«о

равномерно относительно а > О," +00

¿0

J ||y(i)J2^_1(5)l|A(s,aQ(s - t0))ds = o(aQ(t - t0)) при t - +oo t

равномерно относительно a > 0.

Тогда уравнения (24) « (25) асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функции Кроме того, существует такое отоб-

ражение Р : Кп —+ Е", что

: <о,яо) = : к,Рх0) + о(<?(г - ¿о)), при í —► + оо равномерно относительно хо Е К".

В третьем параграфе получены новые достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру для систем дифференциальных уравнений следующего вида

$>х

— = Ах + Ви + /^,х,и) (24)

и

^ = Ау + Ви, (25)

где Т < t < +оо, Л - постоянная (п х п) - матрица, В -

. постоянная (п х т) - матрица, и е Ет, / 6 С ([Г, +оо) хГ хйт,Г).

Основными результатами данного параграфа являются следующие теоремы:

Теорема 6. Системы вида (24) и (25) асимптотически эквивалентны по Брауеру, если:

1) существует и = Су такое, что все решения системы (25) ограничены;

2) НД^гОН < А(МИ|), А € С(0:), А^сп) < А^сц) при < а2 и V* 6 [Г,+оо),-

+00 , w 3) J \{t,a)dt<+oo, VaeR\, J щ = +оо;

t

4) функция q(t,a) — f ^щ^-dti имеет непрерывную и неотрицатель-

ную частную производную <?а(і, а). Теорема 7. Системы вида

dx

— = Ax + Bu + /(i,x,u)+/i(i), ч (26)

dt

и

dy dt

асимптотически эквивалентны по Брауеру если:

dt ^Ау + Ви + №, (27)

1) существует и = Су такое, что все решения системы (27) ограничены;

2) 1|/(4,х,и)|| < Л(«,||х||), А € А(4,СК1) < А^.оп) при ах < а2 и

V £ € [Т, +оо);

+СО +00

3) / А(4, а) <и < +00, \/а е Е+, / -/^у = +оо ;

Т а

(

4) функция <?(£,а) = / йЬ имеет непрерывную и неотрицатель-

Т

ную частную производную а);

+00

5) / НЛООН^в < +оо. т

Третья глава состоит из трех параграфов, в которых рассмотрены задачи управляемости для нелинейных систем.

В первом параграфе рассматривается уравнение движения типа Липшица [2]:

~=АМх + В(Ь)и + 1(1,х,и), (28)

а£

где и £ К, х € К", К-класс допустимых управлений из множества измеримых вектор-функций и\ [Т,+ оо) Ет и = Р^,х)~ функция типа Каратеодори такая, что задача Коши (¿о, £о) при любом и имеет единственное решение в классе абсолютно непрерывных функций. А также функция /(¿, ж, и) удовлетворяет условию Липшица:

т1х1..и1)-/(1,Х2,и2)\\<ЫЩ^1-^\\ + Ф2тгч-и21 (29)

Управление и будем искать в виде

и = СЦ)х, . (30)

где С{£) - непрерывная (мхи) - матрица, Т < Ь < +оо.

Обозначим через У{1) фундаментальную матрицу решений уравнения

*% = \А{1) + В{г)С{1)\и, (31)

аг

которую будем считать нормированной в начальной точке: У(£о) = Е-

Теорема 8. [2] Если уравнение (31) асимптотически устойчиво, и выполнено неравенство +00

I НУ-Ч'ЭШ*) + 1Ы*)1№11] ¿3 < +00, т

то при управлении и — С(Ь)х состояние равновесия х = 0 уравнения

(28) асимптотически устойчиво в целом.

Во втором параграфе формулируются достаточные условия управляемости за бесконечное время произвольной точки в начало координат систем вида

— = Ах + Ви + /(Ь,х,и), (32)

где х е К", Т < £ < +оо, А - постоянная (п х п) -- матрица, В -постоянная (п х тп) - матрица, и е Кт, / е С([Т, +оо) хГх Мт,Еп). Пусть для системы вида

^ = Ау + Ви, (33)

выполняются все условия третьего параграфа первой главы, то есть существует класс допустимых управлений такой, что любая точка у0 переводится управлениями у) из Кх в начало координат. На основании класса К\ построим класс Ка, управления из которого будут решать задачу управляемости для системы (32) за бесконечное время, произвольной точки хо в начало координат. Это возможно сделать если выполняются условия следующих теорем:

Теорема 9. Пусть функция / в системе (32) удовлетворяет условию

(29) управление иб К0, где К0 = {и(^х,у*) = Сх + ь(1,у*)},

\№,у1)-уц,у2)\\<ф3ц)\\у1-у2\), для любых хих2 6 К", щ,и2 € К0, г > 0, <ф{ € С([0,+оо),К}.)),

+0О +00

г = 1,2,3« / <рг(в)йз < +оо, / 1^2(5) < +00, где о о

= илг-^нгеш*) + цс|№(*)),

^(о = ргУ-'шштвц+ФтФгт

а является фундаментальной матрицей для системы ^ = (А+ВС)г нормированной в нуле. Тогда для решений х^) = х(Ь : 0,21,111), = х{Ь : 0, х2,и2), щ = и^уг), и2 — и^,у2) справедливо неравенство

11*1(0 -12(011 < ДоГ(01И1У1 ~ й||, < > 0, (34)

+0О +оа

О [ / \ J I 1м>—\ ^2(5) аэ е 0

о

Теорема 10. Пусть системы (32) и (33) удовлетворяет теоремам 6 и 1 при некотором и 6 К0. Если справедливы условия теоремы 9, формула

У о

+00

= Хо + I ^У'ШМ^А^уо(35)

+00

, = III^(^КйоИПзМЮШ + ^(в)ЦСЦ) + <*« <

+О0

ч

ь

то любая точка х0 € Е" переводится в начало координат за бесконечное время управлением и € КоВ третьем параграфе для конечного промежутка времени также будем использовать идею асимптотической эквивалентности и метод сравнения [2]. Далее в этом параграфе будем использовать следующее определение программного движения [2].

Определение 2. Решение х(Мо,хо,и) уравнения (28) с начальными данными (^яо) при некотором управлении и 6 К называется программным движением, если оно является решением задачи (т,у*), то есть

Итж^сьЯО)«) = У*-

í—*г

Теорема 11. Пусть справедливы условия теорем 10 и 9, а для управления и = и{Ь,у) время перевода V = £%) точки у в точку у* является непрерывной функцией переменной у. Тогда, если

+оо

I НЛУ-'МН^ММ*, 0)11 + 11/(5,0,0)11+

о

-Н/>1(з)||:ф :0,х0,и)||]<& < +со,

+оо

ч = I НЛУ-Ч^КДоМ^НУМИ + Фг(а)М*))& < 1.

о

где и = «(з, 0), то для любого аг0 € К" существует управление и £ К, переводящее точку хо в точку у" за конечное время.

Лишь для удобства изложения здесь рассмотрена задача об управляемости во всем пространстве К" . Управляемость в отдельных областях и множествах может осуществляться даже при менее жестких условиях.

Предположим, например, условие ||и(*, 3/1) - и(г,у2)\} < ^з(£)И2/1 - 2/2Ц, ^ > О, где г/1, г/2 - произвольные точки из пространства К", ■фз 6 С([0, +со), К^.), и € С([0,+оо) х выполняется лишь для

Л

шара 5 = {у : ||у|| < Д}, Д > --, Дг > Д1 ■ В этом случае теорема 11

1-д

справедлива для всех Хо, для которых выполняется неравенство Дг > Дь

Четвертая глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе рассматриваются голономная механическая система, имеющая к степеней свободы и описываемая обобщенными координатами 71,..., 94. В этом случае в качестве фазового вектора можно выбрать 2к— мерный вектор

х = {<21,... 4%,...При этом, если в какой-то момент времени £ = ¿о задать компоненты вектора х^0) = {41 (¿о),^(¿о), 9*1 (<о), • • •, о)}, при известном законе изменения внешних сил и = и(Ь, ж), то движение системы, описываемое уравнением

(1х

— = А(Ф + 1+№,х,и), (36)

определяется однозначно. Вектор и будем, как и ранее, называть вектором управления.

Во втором параграфе формулируются условия при которых возможно практическое применение алгоритма для нахождения управления построенного в теореме 10. А именно это возможно лишь в случае, когда при малых изменениях начальных данных и управления программное движение меняется не значительно. Поэтому необходимо обеспечить устойчивость программных движений при малых возмущениях начальных данных.

Определение 3. Решение х{Ь\ ¿о, хо, и) называется устойчивым относительно управления и 6 Ко, если для любого е > 0 существует число

о,го) такое, что если ||уо — 2/1Ц < 6, то ||а;(г: ^,ха,щ) - х^ : ¿о,1о,и1)|| < е, t>to) «о = и(*,уо), щ — и(1,у{).

Определение 4. Решение х{Ь\¿о, хо, и) называется устойчивым, по Ляпунову в классе управлений Ко, если оно устойчиво по Ляпунову при любом и £ Ко.

Определение 5. Решение х{Ь-Ло,хо,и) называется сильно устойчивым, если для любого £ > 0 существует число 8(е,1 о) > 0 такое, что

если только ||а:о - ^Н < Из/о - 2/1II <5, то

: г0,х0, щ) -х(г: io.ii, и^И < е, Ь>и, и0 = и(г,уо)> Щ=и{г,у1).

Теорема 12. Для того, чтобы решение : Ц, хо, и) было сильно устойчивым, необходимо и достаточно, что бы оно было устойчивым по Ляпунову в классе управлений Кд и устойчивым относительно управления и.

+оо

Теорема 13. Пусть ЦГ^ЛУ"1^)!! < со, 4 > в, / т/чМ^ < +оо.

«о

Тогда любое решение уравнения (36) устойчиво по Ляпунову в классе К0.

Теорема 14. Если ||У(4)|| < со, t>0,u справедливы условия теоремы (10), то все решения уравнения (36) устойчивы относительно управления и е К0.

В третьем параграфе разработан. численный метод решения интегрального уравнения вида (35) относительно уо ■ Идея метода заключается в следующем:

+оо

Пусть Тг такое, что / ||.72у-1(з)ВФ(5)||А» < е/2.

Тг

+оо

Пусть Т2 такое, что / ||32У-\з)} (з,х(з), Сх - ФфМу*) || ¿8 < е/2. т2

Выбираем Т = тах{1\, Т2} ■

Строим сетку /г- = 4-, ¿о = 0,такую, что

£ ! р2У-1(з)ВЦз)\\й8<е/2. 1=1 /

Строим сетку Л? = 4?, ¿0 = 0 такую, что

Ё [ Ш^^ИзМеЪСх-Ф^МуЧЦйз^е^.

/г = К1 и И,2, п — сИт к. Строим сеточную функцию ,

Ко = 0, г = Хп, = + / (я)ВФ(в) ¿8.

и-1

Пусть М = (^п)-1. Строим сеточную функцию ^,

__и

г0 = о,г = 1 = / ^у^^/^.х^^х-Ф^Му*) ¿в.

г,-1

Находим Х{: х; = У (и) — К^Му*].

Если — ЯпЦ < е итерационный процесс завершаем, иначе у* = 2п.

Искомое управление будет иметь вид и(Ь, у*) ~Сх- Ф(1)Му*.

В четвертом параграфе описываются возможности программного комплекса, в рамках которого решены следующие задачи:

1) вычисление собственных значений матрицы в форме Гессенберга с помощью (311-алгоритма Френсиса;

2) проверку выполнения условий теоремы 2 для матрицы А к В;

3) при выполнении пункта 2, программный комплекс может по наперед заданным собственным значениям построит вектор С;

4) построение по известным собственным значениям фундаментальной матрица;

5) построение с наперед заданной точностью решения интегрального уравнения вида (35) относительно уо, при помощи численного метода разработанного в третьем параграфе четвертой главы.

В пятом параграфе рассматривается математическая модель управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\.

Динамика управляемого движения описывается системой дифференциальных уравнений в векторной форме следующим образом

Я^Ад + Ви + Р(Ь,д,и), (37)

где

/ 0 1 0 1 0 0\ /ох (X1}

-1 0 0 0 1 0 0 Х2

0 8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 , в = 0 1 , 9 = Ез У1

0 -4 0 -1 0 0 0 У2

0 0 -4 0 0 оУ \0/ \У8 /

вектор-функция F{t, х, и) такая, что удовлетворяет теоремам 9,10. В этом случае можно построить класс управление Ко вида К0 = {u(t, х, у*) — Сх + v(t, у")}, Такое, что искусственный спутник будет стремится попасть в точку либрации Li, по устойчивой траектории системы (37).

В приложении приводится алгоритм и листинг программного комплекса, разработанного на языке С++ в среде Dev-C++.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру для управляемых систем дифференциальных уравнений.

2. Новый класс допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем.

3. Разработан численный метод для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем.

4. Разработан комплекс программ для численного решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время.

5. Показано применение полученных результатов для решения задачи об управляемости движением искусственного спутника Земли в окрестности коллинеарной точки либрации L1.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

[1] Десяев Е.В. О построении управления для нелинейных динамических систем / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. №1 - С. 154 - 156.

[2] Десяев Е.В. О задаче стабилизации программных движений / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Труды института системного анализа Российской академии наук "Динамика неоднородных систем". — 2009. Т.42(2). - С. 32 - 35.

Публикации в других изданиях:

[3] Десяев Е.В. Ограниченная задача трех тел. //Материалы научной конференции XXXIV Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. - Саранск: СВМО, 2005, С. 47-48. .

[4] Десяев Е.В. О стабилизации программных движений линейной системы дифференциальных уравнений с возмущением // Материалы научной конференции XXV Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. - Саранск: СВМО, 2006. — С. 17-18.

[5] Десяев Е.В. Задача стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева. - Саранск: 17-21 апреля 2006. - Саранск: СВМО, 2006. -С. 22 - 25.

[6] Десяев Е.В. Постановка задачи о стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Труды Средневолжского математического общества. - 2006. Т. 8, №1. - С. 208-211.

[7] Десяев Е.В. О стабилизации программных движений системы дифференциальных уравнений; Сборник статей I Международной научно-технической конференции. - Пенза, 2006. — С. 31-34.

[8] Десяев Е.В. О построении синтеза управления для линейно-возмущенной управляемой системы за бесконечное время //Труды Средневолжского математического общества. — 2007. Т. 9, №1. — С. 274 - 275.

[9] Десяев Е.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем // Сб. статей III Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем", 15-16 октября 2008 г., Пенза: Приволжский Дом знаний, — 2008. — С. 172 - 174.

[10] Десяев Е.В. О математической модели инвестиционного портфеля в непрерывном времени время //Труды Средневолжского математического общества. - 2008. Т. 10, №2. - С. 232 - 235.

[11] Десяев Е.В. О динамической сетевой модели управления инвестиционным портфелем //Материалы научной конференции XXXVII Ога-ревские чтения. Прикладная математика и информатика. - Саранск: СВМО, 2008. - С. 18 - 23.

[12] Десяев Е.В. Управляемость динамической системы за бесконечное время // Сб. статей IV Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем", 15-16 октября 2009 г., Пенза: Приволжский Дом знаний, - 2008. - С. 53 - 54.

[13] Десяев Е.В. Управление доходностью и риском валютного портфеля методом Е.В.Воскресенского / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Труды Средневолжского математического общества. — 2009.Т.11, №1. — С. 153 - 156.

[14] Десяев E.B. О стабилизации орбитального движения космического аппарата. //Труды шестой Всероссийский научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", 1-4 июня 2009г., Самара: СамГТУ, - 2009. - 4.2. - С. 45 - 48.

[15] Десяев Е.В. Гомеоморфизм начальных условий для асимптотически эквивалентных дифференциальных уравнений //Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского "Лобачевские чтения - 2010", 1-6 октября 2010г., г. Казань. - С. 118 -123.

[16] Десяев Е.В. Об одном методе применения качественных методов интегрирования дифференциальных уравнений в теории управления / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Материалы XIV научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева. - Саранск: СВМО, 2010. — С. 21 -23.

[17] Десяев Е.В. Численный алгоритм решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг/ В.В. Акашев, Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Материалы XV научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева. - Саранск: СВМО, 2011. - С. 25 - 28.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Саратовского ун-та. 1990. — 224 с.

[2] Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2001. - 300 с.

[3] Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

Подписано в печать 23.03.12. Объем 1,25 п. л. Тираж 110 экз. Заказ №180. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.П. Огарева

На правах рукописи

61 12-1/781 ^

Десяев Евгений Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

профессор Т.Ф. Мамедова

Саранск — 2012

Оглавление

Введение 4

Глава 1 Управляемость линейными системами 25

1.1 Управляемость и построение программных движений

в линейных системах за конечное время 26

1.2 Управляемость и построение программных движений

в линейных системах за бесконечное время 32

1.3 Задача управляемости за бесконечное время для линейных

систем с постоянной матрицей 38

Глава 2 Асимптотические методы исследования математических моделей 42

2.1 Метод сравнения и асимптотика решений 43

2.2 Асимптотическая эквивалентность и гомеоморфизм начальных условий 46

2.3 Приложение метода асимптотической эквивалентности к исследованию математических моделей 55 Глава 3 Метод сравнения и управляемость нелинейных математических моделей 63

3.1 Синтез управления для систем близких к линейным 64

3.2 Существование программных движений для систем типа Липшица

на полуоси 67

3.3 Построение программных движений для нелинейных систем за конечное время 74 Глава 4 Моделирование динамики управляемых систем 80

4.1 Приведение механической системы к нормальному виду 81

4.2 Устойчивость программных движений 85

4.3 Численные методы построения программного управления для механических систем 88

4.4 Описание функциональных возможностей разработанного программного комплекса 97

4.5 Моделирование динамики управляемого движения космического аппарата 98 Список литературы 104 Приложение 1.14

Введение

В последние десятилетия особый интерес ученых и конструкторов проявляется к исследованию возможности построения космических аппаратов, в которых в качестве тягового двигателя используется импульс, получаемый аппаратом в результате действия сил светового давления. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования космических аппаратов (КА) или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [96, 99]), а также по управлению вращательным движением. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, вырабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных воздействий для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади - сложная техническая проблема [98]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять. Одним из таких проектов является исследование орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [104] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации Ь с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце.

Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М.Л. Лидов [48], [49]. Данный проект очень интересен с практической стороны. Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Ь\, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими

свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [96]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует -SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью [60], [61], [35]. Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата, является модель ограниченной круговой задачи трех тел [90]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам.

При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (е = 0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации. Точка либрации L\, неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной "удерживающей"системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в L2 или для перехода на другие орбиты. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания КА (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами . При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управления с помощью импульсного воздействия, управления с помощью непрерывной тяги, использование сил светового давления [50], [62] и другие.

В работе [76] предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения К А в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. В данной статье указан конкретный вид регулятора, но не дается алгоритма его построения. Исследование проведено для плоского

линейного случая.

Во всех выше перечисленных работах рассматриваются уравнения движения космического аппарата в линейном приближении. Неучет нелиней-ностей в математической модели может привести к катастрофе. На первоначальном этапе моделирования порой невозможно учесть все возмущения, действующие на исследуемый объект. Поэтому удается регистрировать только результат этого воздействия. В данной работе рассматривается метод, предложенный Е.В. Воскресенским, идея которого заключается в следующем: строится верхняя оценка всех действующих возмущений в виде кусочно-непрерывной функции F(t,x,u). Далее на основании полученных для линейного случая классов управления строятся новые классы управления, которые учитывают введенное возмущение. Управления из построенных классов управлений должны удерживать КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации достаточно долго, т.е. актуальным становится задача попадания КА за конечное время в е -окрестность первой коллинеарной точки либрации, и не выходит из нее в течение достаточно большого интервала времени. Данная задача эквивалентна задаче управляемости за бесконечное время, рассмотренной в работах Е.В. Воскресенского, В.И. Зубова.

В настоящей работе строятся управления, которые обеспечивают устойчивость по Ляпунову [51], [5] решений, что является, существенным ослаблением ограничений, полученных другими авторами [1], [2], [6], [66], [77], [53], [54], [55], [75], [115], [114], [112], [105], так как в данных работах управления обеспечивают асимптотическую устойчивость по Ляпунову. В работе особое внимание уделено математической стороне вопроса построения классов управлений. В качестве наиболее важных и ценных результатов в данном направлении следует отметить результаты, полученные P.E. Кал-маном [40], В.И. Зубовым [37], [38], [39], H.H. Красовским [42, 47], Е.А. Барбашиным [4], Е.В. Воскресенским [9], [11], [12], [16], [17] и др. Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Е.В. Воскресенским. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования. Метод сравнения использовал в своих работах также А.Ю.Павлов [58]. В статье система сравнивается с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Очень часто практика ставит перед исследователем необходимость решения именно таких задач, которые возникают при математическом моделировании [68] экономических, химических, биологических, физических,

социальных и других процессов [77], [78], [ИЗ], [109], [107], [106], [101], [102], [103], [100], [82], [83], [86], [79], [80], [84], [85], [91], [94], [108], [111] . С помощью математического моделирования удается не только строго формализовать знания об объекте, но и иногда (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Цель работы.

Основной целью работы является получение новых теорем для решения задач об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время и применение полученных результатов к решению задачи математического моделирования управляемых нелинейных динамических систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) получить аналитические представления класса допустимых управлений для линейной и нелинейной динамической системы;

2) доказать новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Бра-уеру для дифференциальных уравнений;

3) применить полученные теоремы для решения задач об управляемости искусственными спутниками Земли за достаточно большое время;

4) разработать численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем;

5) создать комплекс программ для решения задач управляемости нелинейными динамическими системами за бесконечное время.

Методы исследования.

Для решения рассматриваемых задач в диссертации применяются следующие методы исследования:

1) метод сравнения;

2) методы асимптотической эквивалентности, разработанные Е.В. Воскресенским, для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

3) теоремы о неподвижной точке;

4) метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа;

5) первый и второй методы Ляпунова;

6) метод Рунге — Кутта четвертого порядка.

Научная новизна.

Получены аналитические представления класса допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем. Доказаны новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Брауэру для управля-

емых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем. Создан комплекс программ для решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время. Применены полученные теоремы и комплекс программ для решения задач управляемости за бесконечное время для искусственных спутников Земли.

Практическая ценность.

Предложенные в диссертации математические методы и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при решении задач, возникающих в практике исследования динамики управляемого движения космического аппарата.

Апробация диссертации.

Основные результаты докладывались и обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева и Средневолжско-го математического общества (2005—2012 гг.), в том числе под руководством профессора Е.В. Воскресенского в 2005—2008 гг., на VIII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 12—16 мая 2008 г.), III Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 15—16 октября 2008 г.), на Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 1—4 июня 2009 г.), IX научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании "с участием зарубежных ученых, (Саранск, 1—3 июля 2010 г.), на IV Международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1—12 августа 2009 г.), на IX молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения —2010", посвященной 50-летию механико-математического факультета Казанского университета (Казань, 1—6 октября 2010 г.), на V Международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1—12 июля 2011 г.), на ежегодных научных конференциях "Огаревские чтения "Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.), на ежегодных научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубли-

ковано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи, аргументирована научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены на защиту научные положения. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций по теме исследования.

Первая глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе, используя работу [37], рассмотрим управляемые математические модели, представленные в виде систем дифференциальных уравнений:

г\т

= А{г)х + В{1)и + Р(г), (0.0.1)

(ль

где ж 6 К", А{{) - непрерывная (п х п) - матрица, !?(£) - непрерывная (пхтп) - матрица, «бГ, ^ Е С ([0, Т], К"), г Е [0, Т].

Для системы (0.0.1) необходимо решить следующую задачу: перевести точку хо Е Мп в точку х\ Е Еп управлением и = и{£) за время Т > 0 по интегральной кривой системы (0.0.1). При этом возникает вопрос, какой вид имеют классы программных управлений и(Ь), переводящих точку х$ в точку х\ .

Определение 0.0.1. Систему (0.0.1) будем называть вполне управляемой в некотором классе К управлений и Е С ([0, Т], Кт); если для любых Х0,Х1 Е Кп существует управление и Е К, переводящее систему (0.0.1) из хо в х\ за время Т.

В дальнейшем будем считать, что точка х\ является фиксированной, и выясним вид программных управлений. В [37] доказана теорема 2.1 о необходимых и достаточных условиях управляемости системы (0.0.1). Следует заметить, что данная теорема справедлива только в конкретном классе управлений . Эти управления определяются формулой

и(г) = Б0*(£)с+ ?;(£), (0.0.2)

где Д)(£) = ; У(£) - фундаментальная матрица уравнения

у = Л(г)у,

нормированная в нуле У(0) = Е; ~ матрица, транспонированная к

Во(Ь), с 6 1п, г;(£) - га - мерная вектор-функция такая, что

т

= 0.

о

В случае невырожденности матрицы

т

С(Т) = I БоМВД о

согласно теореме 2.1 [37] для любых хо,х\ € Жп существует единственное программное управление и(£) вида (0.0.2), причем вектор с равен:

с = в~\Т)

1

Заметим, что построенный в [37] класс Ко является не единственным, с помощью которого можно решать задачу о переводе хо € Мп в х\ € Кп согласно системе (0.0.1). В самом деле, построим управление