автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики прокариотических молекулярно-генетических систем управления

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 151-76+519.71]:[577.113+577.21 ]

ПРОКУДИНА ЕЛЕНА ИВАНОВНА

?ДАГБМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОКАРИОТИЧЕСКИХ МОЛЕКУЛЯРНО-ГЕНЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • кандидата физшга-математичэских нэук

Работа выполнена в лаборатории математической и молекулярной генетики Института биологии Уфимского научного центра Российской Академии наук.

Научный руководитель - доктор биологических наук, Р.Н. Чураев

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор П.М. Брусиловский, доктор физико-математических наук. P.M. Нуриев

Ведущая организация - Институт вычислительной математики РАН

Зашита состоится "Л " мяртя_ 1993 г. в часов

на заседании специализированного совета К-064.13.03 при Башкирском государственном университете по адресу:

4500Т4, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, ауд. 511, физ-мат. корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

Автореферат разослан фэррцля_ 1993 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим высылать по указанному адресу на имя ученого секретаря специализированного совета К-064.13.03 Морозюша Н.Д.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физико-математических наук JILL___— Н.ДЛ'орсзкнн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Важная роль в изучении процессов управления, имеющих место на молекулярном уровне в прокариотической клетке, принадлежит математическому моделированию молекулярно-генетических систем управления ОЯГСУ). Адекватные математические метода анализа динамики ЮТУ являются необходимым и актуальным средством, не только дополняющим экспериментальные исследования, но и позволяющим получать данные, которые невозможно получить иным путём.

Развитие методов генной инженерии сделало достижимыми и реалыш-ми задачи конструирования молекулярных систем с заданными свойствами. В то ке время остается открытым вопрос оптимальности существующих систем. В связи с этим актуальны постановка и решение задач математического моделирования и оптимального управления диншожой молекулярно-генетических систем управления.

Цель данной работы. При выполнении данной работа преследовались следующие цели: исследование на основе математического моделирования особенностей строения и функционирования реальных молекулярно-гене- , тических систем, апробация нового метода анализа динамики данных систем - метода обобщенных пороговых моделей* (ОПМ), сочетающего достоинства химико-кинетического и дискретного подходов, выяснение возможности внешнего управления и оптимизации динамики МГСУ. Научная новизна. В работе построены математические модели двух конкретных прокариотических молекулярно-генетических систем управления. Для анализа динамики МГСУ впервые•использован метод ОПМ. Разработан комплекс программ расчета кинетических кривых для молекулярных компонентов МГСУ. На основе компьютерных экспериментов исследованы . свойства систем управления биосинтезом триптофана и метаболизмом фосфата.

Поставлена в общем виде на основе формализма химической кинетики и решена на ряде примеров задача программного оптимального управления динамикой молекулярно-генетических систем. В одном случае решение найдено аналитически на основе принципа максимума Понгрягина; для поиска оптимального управления предложена и применена эвристическая процедура, основанная на методе ОПМ. Практическая ценность работы. Построенные математические модели, * Чураев Р.Н. Метод обобщенных пороговых моделей для анализа да-

намикя молекулярно-генетических систем управления. // Уфа, Изд-

во БФАН СССР, 1986 - 21 с.

- г -

разработанные алгоритмы и программное обеспечение могут служить теоретической основой для экспериментального исследования молекулярно-генеткческих систем и конструирования систем с заданными свойствами. Результаты работы могут быть использованы в проектировании технологических процессов для различных.задач внешнего управления и оптимизации динамики данных систем, в частности, для задач максимизации выхода ценных макро- и низкомолекулярных веществ. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2-ом рабочем совещании "Теоретические исследования и банки данных по молекулярной биологии и генетике" (Новосибирск, 1986), V съезде ВОГиС (Москва, 1987), VII Всесоюзном симпозиуме "Молекулярные механизмы генетических процессов" (Москва, 1990), международной конференции "Моделирование и компьютерные методы в молекулярной биологии и генетике" (Новосибирск, 1990), на конференциях молодых ученых (Вороне», 198Т; Уфа, 198?; 1939).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов, списка литературы (224 наименования). Работа изложена на 151 странице, включая 19 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагаются цели работы и ее содержание.

Глава I. МГСУ прокариот и математические методы их исследования.

Проводится обзор современной литературы по вопросам структурной и функциональной организации прокариотических молекулярно-генетичес-ких систем управления: дается характеристика структурных генетических элементов МГСУ - оперонов, а также основных механизмов регуляции • экспрессии генов. Функционирование МГСУ представляет собой сложно организованную систему биохимических процессов с макромолекулами и низкомолекулярными веществами.

Рассматриваются существующие метода математического моделирования динамики данных систем: метода химической кинетики, математической логики, теории автоматов, камерное и имитационное моделирование и т.д. Анализируется общность принципов составления математических

моделей химической и биологической кинетики.

Непрерывный (химико-кинетический) и дискретный подходы описания динамики ЮТУ нашли отражение в методе ОПМ, который сочетает в себе элементы теорий конечных автоматов и дифференциальных уравнений. Данный метод применяется в работе для исследования реальных МГСУ. Алгоритмы метода носят достаточно общий характер и могут быть использованы при моделировании различных биологических и химических систем;

Ыетод ОПМ относительно просто позволяет получать кинетические кривые для молекулярных компонентов (ДНК, мРНК, белков, метаболитов) прокариотических систем произвольной сложности. При этом методе мо-лекулярно-генетической системе сопоставляется сеть формальных генетических блоков, соответствующих входящим в МГСУ оперонам. Каащдй такой блок состоит из цепи конечных автомагов, формирующих управляющие сигналы, соответствующие регуляторяым воздействиям на оперон, и исполняющего устройства, на выходе которого - управляете переменные, отражающие концентрата! мРНН и белков, кодируемых структурными генами оперона. Функционирование исполняющего устройства описывается системой кусочно-линейных дифференциальных уравнений. Входные переменные генетического блока, соответствующего определенному оперону, отражают концентрации рагуляторшх веществ для этого оперона.

Глава 2. Математическое моделирование молекулярно-генетической системы управления биосинтезом триптофана.

Принципы математического моделирования сложных молекулярно-гене-гических систем рассмотрим на примере системы управления биосинтезом триптофана или триптофанового (1:гр) регулона (рис. 1). Данную систему отличает хорошо изученная структура, участие в управлении биосинтезом триптофана разнообразных механизмов регуляции, наличие кинетических параметров, необходимых для моделирования ее динамики.

При исследовании данной МГСУ преследуются следующие две цели: 1) выявление особенностей функционирования системы, в частности, сравнительный анализ рассматриваемых механизмов регуляции; 2) апробация метода ОПМ.

На основе метода ОПМ строятся математические модели нормального и мугантного Ыр-регулона и система с клонированными блоками.

На рис. 2. приведена микроструктура математической модели нор-

мальвого 1;гр-регулбна, построенной при принятых в работе допущениях. На примере блока С1 синтеза ферментов, кодируемых структурными генами ггр-оторона, рассмотрим структуру и функционирование элементов модели.

Блок , как и произвольный формальный блок, состоит из элементов, определяющих управляющие переменные (дискриминаторов Би и Б12, логического элемента Ь1, элемента задержи Т11) и исполняющего устройства та1.

В соответствии с основными положениями метода ОПМ эффективное взаимодействие регуляторного вещества с сайтом специфичности происходит в случае, если концентрация регуляторного вещества равна или больше определенного порогового значения.

Выходная бинарная переменная дискриминатора указывает на наличие (1) или отсутствие (0) пороговой концентрации соответствующего регуляторного Еещества. Таким образом, выходная переменная вп(1;)

опарои irptl

p,Oj trpR t, ¡Л

апорвп-ррссар

трялтофаиовнй tngpoH

IrpT trpS .p,'ÎJfI5B

Г~л , p at

t |it с

аитранклат- антраиилат- ФРА- Tpwiïa- трюто$ан-еинтетаэд скнгетаэа изоыв- ¿¿м- сюлэт&за хоыл1 KounZ раза сшлет&за .

4РА-траис- ИГ»- £ *■

фераэа сиюгетаэа '

KOUnl^KOMnSg »глутамин I

хориэнат антрани-1*—SPA

. 1-серик ИГа -—^Х-триптофж

Рис. 1. Тркптофановый регулон Escherlchla coll.

В состав регулона входят: триптофановый (trp) оперон, 'оперон trpR, структурны!! ген которого'кодирует апорепрессор, полиферкент-ная цепочка синтеза триптофана. Биосинтез триптофана регулируется рвтроингибированием (триптофан ингиОирует активность антранилагсш-тетазы), репрессией (комплекс апорепрессор-триптофан репрессирует транскрипцию trp-оперона и оперона trpR), аттенюацлей (в зависимости от содержания триитофанил-тРНКТгр в бактерии происходит частичная термшшция транскрипции trp-оперона в аттенюаторе).

°з ~ операторы; Pj, р2, рд - промоторы; t, t3- терюшаюры опэронов; at - аттенюатор; комп - компонент.

дискриминатора В11 связана с входной переменной гЦ) (концентрация

репрессора) в соответствии с выражением:

1, если г(1)2?11,

О, если г(г)<Рп где Ри - порог действия репрессора на оператор 1;гр-опорсна.

Дискриминатор Ъ1г преобразует входную переменную е(1;) (концентрация триптофана) в бинарную переменную е1гСЬ) по формуле:

еп(г)= |

'12

(1:)= \ 1' I О,

1, если е^^Р,

12'

если е(Ъ)<Р

12.

где

Р-12- пороговая концентрация триптофана для аттенюации

транскрипции ггр-оперона.

Переменные е11(г)

и е12(г)

являются кошонентами входного век-

тора для следующего элемента блока 51 - логического элемента Ь1, который описывает взаимодействие регуляторных веществ с соответствующими сайтами специфичности и представляет элемент модели, в котором учитывается ненулевое среднее время кизни комплекса репрессор-оператор. Логический элемент 11 состоит из двух подавтоматов: подав-

Рис. 2. [Микроструктура математической модели 1;гр-регулона. Сг - генетический блок синтеза ферментов, кодируемых структурными генами ггр-оперона; - генетический блок синтеза аиорепрес-сора; } - поступление триптофана из окружающей среды в бактерию; ТЕ - блок синтеза триптофана; ТН'-.блок формирования репрессорт; дискриминатор В, определяет наличие ретроингибирования.

томата тривиального подавтомата Х12 и комбинатора Подавтомат описывает взаимодействие репрессора с оператором 1:гр-оперо-на, в то время как подавтомат Л12 - взаимодействие■триптофана "с" аттенюатором. Подавтоматы Л,11 и £12 образуют автомат Ц.

Входной алфавит автомата ^ - декартово произведение входных алфавитов подавтоматов и Х1г - множество двумерных векторов Еа=<:^1С1:)>: 21(гм(б11(г).е13сг)). где еп(1;) - входная переменная подавтомата (1=1,2). _ Выходной алфавит автомата - множество векторов г1=СС1 ("Ь) >:

с1(г)=((с11(г),с12(г)). _

где СиС1) - выходная переменная^подавтомата Я11 (1=1,2). Множество состояний автомата Ъа: 0 = q1 ),

е1

где - среднее время жизни комплекса репрессор-оператор для 1;гр-оиерона.

Функции переходов и выхода автомата : Я^+П = (д1 (1) С^г+1) = «¡»^(ип.е^И+и),

Функционирование автомата Ь1 описывается соотношениями:

«МчЬи = ч1 . , г 1. 1=0.

, , 1=0, 1 ф^.о) = | 1

1^0, ф12(я|,е12(г)) = е12(г).

Л

Выходной вектор ^(Ю автомата Ь1 является входным для комбинатора 21, который определяет обдай! эффект регуляторных веществ на 1;гр-оперон. Компоненты выходного вектора ^1(1;)=('Ч11(1.),'П12(1)) комбинатора формуются согласно выраа:ешям:

т}п<1) = си(1) ¿с с1ат. т)12а) = сг1а) & с^ттг.

(& - логическое произведение).

Таким образом, т; х(1;)=1, если нет репрессии, но есть аттенюация, и Т112(1;)=1, если нет ни репрессии, ни аттеш&ации транскрипции ггр-оперона.

Элемент задерхки учитывает задержу в синтезе вещества, связанную с ограниченной скоростью РНК-полимеразы, транскрибирующей соответствующий цистрон. Элементы выходной матрицы элемента задерк-ки Т1, вычисляются следующим образом:

- {

1, если ^т^,

Лц^ц). если ^ (1=ТТ2; 3=ТТН).

Константы задержки синтеза ферментов, кодируемых структурными генами 1;гр-оперона: т^ = (3=Т75). где 11 - длина транс-

крибируемой части 1;гр-оперона от стартовой точки транскрипции до дастального конца 3-го структурного гена (1-нй ген - ген ггрЕ), г1 - скорость РНК-полимеразы, транскрибирующей ггр-оперон.

Выходная матрица и,, элемента задержки является управляющей матрицей' исполняющего устройства И^. Выходные переменные Тй1: т13(Ъ), г (1) (3=175) - концентрации мРНК и ферментов ггр-оперона, вычисляются из системы кусочно-линейных дифференциальных уравнений:

где а^, а*2 - константы транскрипции при аттенюации и в отсутствие репрессии и аттенюации соответственно, а^ - константа трансляции 3-го транскрипта, Ь^, Ь^ - константы деградации 3-го транскрипта и фермента 1;гр-оперона соответственно.

Элемента блока описываются аналогично.

Внутриклеточная концентрация триптофана находится из кусочно-линейного дифференциального уравнения (блок ТЕ); а концентрация реп-рессора в данный момент времени равна минимальной из концентрации апорепрессора и половинной концентрации триптофана (поскольку молекула апорепрессора - дотер)' (блок ГН).

Микроструктуру математической модели мутантной системы управления биосинтезом триптофана (бактерия не способна синтезировать триптофан; апорепрессор синтезируется конститутивно) отражает блок С1.

В построенной математической модели система с клонированными блоками, т.е. при условии, чгб в клетке присутствует: п1 копия 1гр-оперона и п^ копии оперояа ИрЛ, которые могут переходить из одного состояния в другое асинхронно, управляющие переменные модели имеют дополнительный индекс 1, который соответствует 1-ой копии соответствующего оперона.

Алгоритм построения кинетических кривых для молекулярных компонентов МГСУ следующий. Задаются начальные значения концентраций молекулярных компонентов системы. Управляющее переменные вычисляются дискретно в моменты времени ^,...,1; . На кавдом интервале

(tt,t1+1) (I=0,n-1) при постоянных значениях управляющих переменных синтез молекулярных компонентов ?.{ГСУ описывается системой линейных дифференциальных уравнений (которая ревается аналитически); на границах интервалов решения линейных систем сшиваются.

На основе каждой из рассматриваемых моделей (и всех моделей МГСУ в данной работе, построенных методом ОПМ) составлены программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН для численных расчетов динамики системы на ЭВМ "Электроника - 60" и персональных компьютерах типа IBM PC.

Для всех случаев на основе компьютерных расчетов построены кинетические кривые для молекулярных компонентов trp-регулона (см. рис. 3.) при значениях параметров, близких к реальным.

Полученные результаты в основном проявляют качественное соответствие имеющимся экспериментальным данным.

Метод ОШ является развитием эвристического метода пороговых моделей* и учитывает ряд характеристик реальных 1ЛГС5У, которые игнорирует последний, в частности: ненулевое среднее время кизни комплекса "репрессор-оператор" и асинхронность перехода клонированных злемен-

Рис. 3. Моделирование динамики нормального ггр-рэгулона методом ОШ. Триптофана в окружающей среде бактерии нет. В начальный момент концентрации рассматриваемых веществ равны нулю.

е - концентрация триптофана в клетка; г (—) - концентрации впорепрессора (1) и антранилатсинтетазы (2); т (—) - концентрации соответствующих мРНК (здесь и далее концентрации веществ даны в молекулах на клетку, а время в минутах).

* Чураев Р.К., Ратнер В.А. Моделирование динамики системы управле-шя развитием \-фага. // В сб.: Исследования по математической генетике. Новосибирск, Изд-во Ш1иГ СО АН СССР, 1975 - с. 5-66.

М

о

il) t 20

Рис. 4. Моделирование динамики мутантного 1;гр-регулона (а) и ре~ гулона с 5 кошячи 1:гр-оперока и одним опероном ггрН (0) методом пороговых моделей ( . ) и методом ОПМ ( х ). Для мутантной системы концентрация апореггрзссора - 25 молекул на клетку. В случае (0) триптофана в среде нет. е (—) - концентрация триптофана; г -концентрация знтранилатсинтетазы; т (- 5) -концентрация соответствующей мРНК.

тов система из одного состояния в другое. Проведено сравнение результатов моделирования динамики системы обоими методами. Построены пороговые модели нормального и мутантного рэгулона, системы с клонированными блоками. Полученные на основа данных моделей кинетические кривые для молекулярных компонентов регулона яри тех же значениях параметров имеют качественные отличия от кривых, построенных методом ОПМ (рис. 4.). Тем сайт показывается суцэственность учета выше упомянутых характеристик ГЛГСУ при моделировашш динамики системы.

Проводится качественный анализ функционирования рассматриваемых механизмов внутриклеточной регуляции, их роли в управлении синтезом триптофана. С этой целью на ЭВМ были получены графики зависимостей концентраций молекулярных компонентов регулона от времени при условии, что биосинтез триптофана регулируется только одним из данных механизмов. Показывается, что рвтрокнгибирование является самым оперативным, а репрессия самым "эконошшм" механизмом регуляции. Вычисления свидетельствуют в пользу предположения Ч.Яновского, что атте-нюация первоначально являлась единственным механизмом регуляции

экспрессии trp-оперона.

Глава 3. Математическое моделирование бактериальной молекулярно-генетической системы управления метаболизмом фосфата.

Система управления метаболизмом фосфата или фосфатный (pho) ре-гулон Escherichia coll объединяет гены, экспрессия которых регулируется содержанием фосфата в окружающей среда и необходимые для восполнения неорганического фосфата в клетке. Функциональные связи и параметры данной системы, состоящей из достаточно большого (более 20 регулируемых промоторов) числа генетических элементов, еще недостаточно изучены.

Средства математического моделирования в данной главе используются для выяснения некоторых структурных особенностей системы. С этой целью рассматриваются три возможных упрощенных варианта функциональной организации регулона, отвечающие эспериментальным данным и состоящие из 4 генетических единиц: оперона phoBR, структурные гены которого кодируют позитивный регуляторный белок FhoB и бифункциональный белок PhoR, находящийся в активаторной или репрессорной формах в зависимости от содержания неорганического фосфата в цитоплазме бактерии; оперона phoA, продуцирующего щелочную, фосфатазу, катализирующую образование неорганического фосфата в периплазме; оперона транспортной системы Phol, продукт которого обеспечивает перенос неорганического фосфата через цатоплазматическую мембрану; и гена phoU, кодарувдвго белок с негативной регуляторной функцией.

Для кавдой из трех гипотетических моделей pho-рогулона методом ОШ строится математическая модель (состоит из формальных генетических блоков, описывающихся аналогично Gt (см. гл. 2)); и на основе компьютерных экспериментов выясняется: могут ли рассматриваемые структурные различия качественно изменять динамику системы.

При различных значениях параметров на основе компьютерных расчетов получены кинетические кривые для молекулярных компонентов системы: регуяяторннх белков PhoB и PhoR, щелочной фосфатаэы, транспортного бежа Phol, неорганического фосфата в периплазме и цитоплазме. В большинстве случаев три модели pho-регулона имеют качественно одинаковую динамику. Найдены значения параметров, близкие к реальным, соответствующие качественным отличиям в поведении трех рассматриваемых моделей ghü-рэгулонз.

Выясняется также возможность управления синтезом молекулярных компонентов рЬо-регуЛона посредством внешних воздействий на основе введения в систему определенной генетической конструкции.

Для третьей модели фосфатного регулона, по последам экспериментальным данным более соответствущей действительности, предлагается следующий вариант внешнего управления: введение в бактерии, г,-утаит-ную по гену р1юи, плазмиды, несущей данный ген с промотором рЬоТ и некоторым оператором, позволяет управлять экспрессией ¿Фосфатного регулона путем изменения содержания соответствующего регуляторного вещества в окружающей среде бактерии. Компьютерные ячсперименти на математической модели регулона, состоящие в репрессии гена рЬои в определенные моменты времени, показали возможность увеличения синтеза щелочной фосфатазы (при пршятых значениях параметров на 28$).

Глава 4. Задачи оптимального управления динамикой МГСУ

Рассматривается следущая общая постановка задачи оптимального управления динамикой бактериальной МГСУ, состоящей из п Езаимосвя-занных генетических элементов, к из которых могут управляться внешними воздействиями (в частности, путем изменения концентрации регуляторного вещества, температуры и т.д.). Принимается, что на функционирование У-ГСУ влияют только данные воздействия, а. се> - внешнее управление, действующее на 1-ый генетический элемент Ц=ГЛО на заданном интервале времени [10Д1]. Состояние МГСУ в данный момент времени определяется координатами ,..., ^ , ш1.....т , ,...,

г, , е,, отражающими концентрации молекулярных компонентов

п3 4

МГСУ: ДНК, мРНК, белков и метаболитов соответственно. Поведение данной генетической система на осноье формализма химической кинетики описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, записываемой в векторной форме следующим образом:

' | = ^(и). • и = 12(ц,я,га,г,е), г = х3(ш,г), е = Г4(г,е),

с заданными начальншш значенная! е0, т0, г0, е0.

Требуется найти управление и(1;), из области допусти-

мых управлений и такое, что выполняются заданные условия для копач-

ного состояния системы и достигает экстремума определенный критерий

J = 1д<8(Х1),ва1),г(г1)-,е(г1)Д1) + ГХа(и,е,т,г,е)<К

4о

(где Г, (1=1,6) - некоторые функции).

В качестве цели управления предлагается рассматривать получение определенного количества одного ш нескольких компонентов системы, оптимальный перевод системы в заданное стационарное состояние, оптимальное изменение режима функционирования МГСУ. Следует отметить, что для некоторых из перечисленных выше целей управления должен сначала решаться вопрос оптимален ли рассматриваемый процесс в реальности.

В качестве критерия J могут выступать конечные концентрации определенных компонентов МГСУ, время, энергия, другие ресурсы, затраченные для перехода МГСУ из начального состояния в конечное состояние системы, близость к заданному конечному состоянию.

Данная постановка задачи является достаточно общей и охватывает по-существу две проблемы, имеющие самостоятельный интерес. Первая из них: являются ли реальные МГСУ оптимальными системами управления. Вторая задача связана с нахождением оптимального с точки зрения исследователя управления динамикой МГСУ, преследующее достижение поставленной исследователем цели. В работе рассматриваются задачи второго типа.

Рассматриваются два примера задачи оптимального управления для двухоперонных МГСУ. В данных примерах требуется найти оптимальное, управление, максимизирующее концентрацию продукта одного оперона в конечный момент рассматриваемого интервала времени, при условии, что динамика другого оперона, на экспрессию которого влияет данный продукт (индуцирует или репрессирует), претерпевает при атом незначительные изменения.

Для двухоперонной системы с индукцией, поведение которой на основе формализма химической кинетики при достаточно грубых допущениях описывается системой из 4 линейных дифференциальных уравнений, оптимальное внешнее управление найдено аналитически на основе принципа максимума Понгрягина. Оптимальная управлявшая функция (зависимость концентрации внешнего индуктора от времени) является ступенчатой с одной точкой переключения 1;,,: для достиаэния поставленной цели нужно воздействовать на генетическую систему максимальным количеством индуктора, начиная с момента Приводится условие (соотношение для

параметров системы) существования решения поставленной задачи.

Для поиска оптимального внешнего управления динамикой бактериальной генетической системы (в реальности нелинейна) предлагается эвристическая процедура, основанная на методе ОПМ, которая состоит в переборе вариантов кинетических кривых для молекулярных компонентов системы, получаемых методом ОПМ, для всех допустимых внешних управляющих функций. И оптимальной будет та управляющая функция, для которой значение критерия J минимально и выполняются условия для конечного состояния системы. Допустимое множество и управляющих функций на интервале для управляемого внешне оперона задается следующим образом. Пусть задано разбиение рассматриваемого интервал? времени X1,...., где п - целое число, большее нуля. Полагаем

'1, если оперон активен на интервале +

О, если оперон не активен на интервале [11д1 + 11,

где 1=а71РТ, 3=0,2П.

Для двухоперонной системы с репрессией оптимальное внеинее управ дение найдено на основе метода ОПМ при различных значениях констант деградации белков с помощью компьютерных расчетов.

Процедуры решения задач оптимального управления, основанные ¡13 принципе максимума Понтрягина и методе ОПМ, сравниваются на примере решения задачи оптимального управления для двухоперонной системы с индукцией при различных значениях параметров. Результаты, полученные двумя рассматриваемыми методами, тем ближе друг к другу, чем меньше величина порога, длина интервала вычислений данных переменных в методе ОПМ и длина интервала, полученного при разбиении

для задания множества внешних управляющих .функций. Существенным моментом, влияющий на точность вычисления оптимальной управляющей функции методом ОПМ, является., главным образом, дискретность вычисления значений молекулярных компонентов системы. Целесообразно в дальнейшем проверить предложенную нами процедуру нахождения оптимальных решений на более сложных, реальных системах, учитывая их все возможные характеристики.

Задача максимизации выхода щелочной фосфатазы (гл. 3) решается на основе метода ОШ как задача оптимального управления; найденное оптимальное внешнее управление экспрессией рЬо-регулона дает увеличение концентрации фермента в конечный момэнт рассматриваемого ин-

рвала времени на 40%.

Рассмотренные нами задачи оптимального управления динамикой генетических систем являются основой для дальнейшего исследования: выяснения вопроса об оптимальности данных систем в реальности и построения КГСУ с заданными свойствами, как системы с оптимальными значениями параметров и поведением, наилучшим образом выполняющим пос-тавленнув исследователем цель.

Заключение содержит основные результаты работы.

ВЫВОДЫ

1. На основе метода обобщенных пороговых моделей построены и исследованы математические модели следующих лрокариотических молэку-лярно-генетических систем управления.

1.1. Триптофановый регулон.

1.1.1. Построены математические модели нормального и мутантного гриптофанового регулона Escherichia coll, регулона с клонированными генетическими элементами.

1.1.2. Для всех моделей регулона при значениях параметров, близких к естественным, посредством компьютерных расчетов получены кинетические кривые для молекулярных компонентов регулона. Показано качественное соответствие в целом полученных результатов экспериментальным данным.

1.1.3. Показано, что метод обобщенных пороговых моделей дает более полную качественную картину динамики генетической системы по сравнению с эвристическим методом пороговых моделей.

1.1.4. Проведено качественное сравнение внутриклеточных механизмов регуляции биосинтеза триптофана: ретроингибирования, репрессии и аттенюации, их роли в управлении биосинтезом триптофана. Показано, что ретроингибирование является самым оперативным из рассматриваемых механизмов, а репрессия позволяет бактерии экономить ресурсы, необходимые для синтеза ферментов, кодируемых структурными генами trp-оперона. Компьютерные расчеты свидетельствуют в пользу предположения, что атгегаоация первоначально являлась единственным механизмом регуляции экспрессии trp-огорона.

1.2. Фосфатный регулон.

1.2.1. Построены математические модели трех вариантов

функциональной организации системы управления метаболизмом фосфат Escherichia coll, отвечающих экспериментальным данным и состоящих из четырех генетических единиц.

1.2.2. Для всех вариантов функциональной организации pho регулона получены кинетические кривые для молекулярных компонентов системы при различных значениях параметров.

1.2.3. Проведено сравнение трех моделей фосфатного регулона. При значениях параметров, близких к реальным, найдены качественные отличия в поведении трех рассматриваемых моделей pho-peryлона . Следовательно, рассмотренные изменения структуры регулона порож ■ дают качественные изменения в его динамике.

1.2.4. Предложена генетическая конструкция, позволяющая управлять экспрессией фосфатного регулона на основе изменения внешних условий.

2. Рассмотрен новый класс задач - задачи оптимального управления динамикой прокариотических МГСУ.

2.1. Приведена общая постановка задачи программного оптимального управления динамикой МГСУ.

2.2. Для поиска оптимального внешнего управления динамикой ко-лекулярно-генетической системы предложена эвристическая процедура, основанная на методе обобщенных пороговых моделей.

2.3. Решено два примера задачи оптимального управления для двухоперонных МГСУ: в одном случае аналитически на основе принципа максимума Понтрягина, в другом - на основе метода ОШ.

2.4. На примере решения задачи оптимального управления для двухоперонной системы с индукцией проЕедено сравнение результатов, полученных при применении принципа максимума Понтрягина и процедуры, основанной на методе ОШ; определены характеристики, влияюцие на совпадение результатов.

2.5. На основе метода ОГО/ решена задача максимизации выхода щелочной фосфатазы, молекулярного компонента фосфатного регулона нн основе изменения условий окружающей среда как задача оптимального управления. Показано, что оптимальное внешнее управление повышает выход фермента на 40%.

По теме диссертации опубликованы следущие работы: 1. Прокудина E.H., Чураев Р.Н. Исследование молекулярно-генетик-«-'

кой система" управления биосинтезом триптофана методом обобщенных пороговых моделей. // Препринт. Уфа, Изд-во БФ АН СССР, 1987 - 28 с.

2. Prokudlna E.I., Valeev R.Yu. & Tchuraev R.H. A New Method for the Analysis of the Dynamics oi the Molecular Genetic Control Systems. II. Application of the Method oi Generalized Threshold Models to Investigation of Concrete Genetic Systems. // J.Theor. Biol., 1991, v. 151, N 1 - p. 89-110.

3. Чураев P.H., Прокудина Е.И. .Моделирование системы управления биосинтезом триптофана методом обобщенных пороговых моделей. // Генетика, 1989, т. XXV, И 3 - с. 535-544.

4. Чураев Р.Н.. Прокудина Е.И. Исследование молекулярно-генетичес-кой системы управления биосинтезом триптофана методом обобщенных пороговых моделей. // Тезисы докл. V съезда ВОГиС.- Москва, 1987, т. I. - с. 303.

5. Прокудина Е.И., Валеев Р.Ю. Математическое моделирование систем управления экспрессией генов прокариот. // Тезисы докл. Воронежской обл. межвуз. конференции молодых ученых.- Воронен, 1987 - с. 15.

6. Прокудина Е.И. Математическое моделирование молекулярно-генети-ческой системы управления биосинтезом триптофана у прокариот. // Гезисн докл. XI конференции молодых, ученых БФ АН СССР.- Уфа, 1S87 -- с. 183.

7. Прокудина Е.И., Чураев Р.Н. Моделирование бактериального фосфатного регулона методом обобщенных пороговых моделей. // Препринт. Уфа, Изд-во БНЦ УрО АН СССР, 1989 - 26 С.

8. Прокудина-Е.И. Математическое моделирование бактериального фосфатного регулона. // Тезисы докл. конференции молодых ученых БНЦ УрО АН СССР. - Уфа, 1989, ч. II - с. 110.

9. Прокудина Е.И., Чураев Р.Н. Математическое моделирование фосфатного регулона Escherichia coll. // Тезисы докл. VII Всесоюзного симпозиума "Молекулярные механизмы генетических процессов". - Москва, 1990 - с. 258-259.

10. Prokudlna E.I., Tchuraev R.N. Problems oi Optimal Control, oi Bacterial Molecular Genetic Control System Dynamics. // In: Abstracts oi the International Conference "Modelling and Computer Methods In Molecular Biology anl Genetics". - Novosibirsk, 1990 - pp. 195-196.

11. Прокудина Е.И., Чураев Р.Н. Задачи оптимального управления динамикой бактериальных молекулярно-генэтических систем управления. // Препринт. Уфа, Изд-во БНЦ УрО АН СССР, 1991 - 19 с.