автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики определяющего параметра работоспособности изделия с помощью случайных процессов накопления

РГВ од

2 3 НОЙ №98 }_1а Правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ПАРАМЕТРА РАБОТОСПОСОБНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С ПОМОЩЬЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НАКОПЛЕНИЯ.

Специальность 05.13.16. Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Волгоград 1998

Работа выполнена в Обнинском институте атомной энергетики

Научный руководитель

Официальные оппоненты

кандидат технических наук, доцент А.И. Грошев.

- доктор технических наук, профессор В.П. Шевчук;

- доктор физико-математических наук, профессор Е.А. Сатаев.

Ведущая организация - Институт проблем безопасного развития атомной энергетики.

Защита диссертации состоится « аЗ » 1998 года с

¡2- часов на заседании диссертационной совета К. 063.76.05 в Волгоградском государственном техническом университете но адресу: г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волг ГТУ. Автореферат разослан « ^ » 1998 года.

Диссертационного совета

В.И. Водопьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тщательность проработки 1'.опросов надежности необходима не го.тько при проектировании, а, » такой л;с мере, если не большей, мри ич| о'ювлении и жеплуатаиии сложпях технических систем

Следовательно, практика создания и жеилуатации систем трсб\е1 разрпбожи методов расчета и оптимизации надежности, коюрые могли бы 01 не 1 нть на возникающие вопросы, связанные с обеспечением надежности, к;ч: на стадии рп¡работки, гак и на ггапе "жеатушацнн

СЧшеетующие и настоящее время магматические модели расчета надежности технических систем предполагают, что траектория пронесся функционирования системы является непрерывной функцией. Сведения о нарастающем старении систем часто можно получить, рассматривая динамику определяющих параметров работоспособности системы. В реальной ситуации система подвергается ряду импульсных воздействий (толчки, удары, пульсации температуры и др.). Такого рода воздействия, которые в дальнейшем будем называть ударными воздействиями, приводят к изменению показателей надежности и работоспособности изделий. Под нагрузкой понимаемся совокупность факторов, воздействующих на объект и обусловливающих возникновение отказов и (или) повреждений и (или) сокращение ресурса, а под несущей способностью (прочностью) - свойство объекта воспринимать нагрузки и противостоять им. Превышение величиной нагрузки порогового значения. прочности приводит к отказу системы. Многократные ударные воздействия вед)т к накоплению повреждений, а, следовательно, к увеличению приложенной нагрузки.

Эксплуатация изделий в условиях, описанных выше, характерна для всех отраслей промышленности, в том числе и для атомной энергетики. Если некоторые параметры характеризуют эксплуатационную готовность системы, то можно планировать мероприятия по восстановлению, непосредственно

»рисншруясн на чти параметры Так что проблема опенки покупателе» надежности и долювечности изделий, функционирующих и условиях циклических уларныч нагрузок, весьма остра, а, следовательно, и актуальна.

Кроме тою. в реальных условиях на функционирующие шделия действуют, как правило, несколько независимых потоков ударных воиейстгсий. Таким образом, Существует необходимое! ь разработки мак'матческич моделей надежности изделий, подверженных деградации, и опенки показателей надежности и долговечности

Цель работы состоит в сочдашш математических моделей эволюции изделий, функциопируюших в условиях дискретной деградации, и получение соотношении для показателей долг овечности и надежности

Научная ноетна полученных результатов заключается в том, что:

• впервые получены неаснмптотические я асимптотические оценки показателей надежности и долговечности изделий, находящихся под влиянием ударных воздействий;

• получены оценки «хвостов» распределения нагрузки как распределение суммы большого числа независимых слагаемых;

• получено асимптотическое распределение нагрузки, которое имеет вид распределения Бирнбаума-Саундерса и позволяет вычислять среднее время до наступления массовых отказов;

• впервые проведено обобщение математической модели деградации изделия для случая воздействия многомерных случайных нагрузок и получены соотношения для показателей надежности и их оценки.

Практическая ценность работы:

• разработана математическая модель функционирования изделия, находящегося под влиянием ударных воздействий;

• получены соотношения для показателей надежности и долговечности;

• для различных законов распределения нагрузки и прочности с учетом функции усталости получены соотношения для показателей надежности и

долговечности, пригодные для инженерного использования; с

• исследована связь между остаточным ресурсом по прочности и по времени для изделий, подверженных циклическим нагрузкам;

• получены количественные значения показателей надежности и долговечности трубопроводов ДУ-500 реактора-ВВЭР-ЮОО н экранных труб НРЧ тепловых станций.

На защиту диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук, автором выносятся:

в математическая модель динамики определяющего параметра

работоспособности изделия, подверженного циклической деградации; в соотношения, оценки и неравенства для показателей надежности и

долговечности изделия; ' обобщение математической модели эволюции изделия, на которое

юздействует п независимых источников ударных воздействий;' •-> асимптотические и неасимптотические соотношения для показателей надежности и долговечности;

• количественные характеристики надежности и долговечности трубопроводов ДУ-500 реактора ВВЭР-IOOO и экранных труб НРЧ тепловых станций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

Научно-технической конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров.». Обнинск, Октябрь 1995, ASME-JSME 4th International Conference on Nuclear Engineering, New Orleans, Lu, USA, March 10 - 154, 1996, Jahrestagung Kerntechnik' 96, Mannheim, Gennany, May, 1996, Конференции молодых ученых, г. Волжский, Апрель, 1996, Научно-технической конференции поев. 850-летаю Москвы. «Электронные технологии в народном хозяйстве». Май, 1997, Межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов (Микроэлектроника и информатика -96» Апрель, Зеленоград. 1996, ASME-ISME 5Ш International Conference on Nuclear Engineering, Nice. France, May, 1S97, Научно-технической конференции «Системные проблемы надежности,

математического моделирования и информационных технологий» Москв; Сочи Сентябрь 1997.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 статей и выпуще! 2 научно-технических отчета

Структура и объем работа. Диссср1ация состоит из введения, четыре глав, заключения, списка литературы и приложений

Работа итожена на 183 стр., в том числе основною текста на 155 сту включающих 24 рисунков, и список использованных источников из ? наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Но введении отражается актуальность темы, определяется цель и пу| научного исследования, а также отмечается научная новизна работы.

В главе 1 рассматривается состояние проблемы исследования издели функционирующих в условиях ударных воздействий. На основаш выполненного обзора научной литературы обнаружено сходство задач оцем показателей надежности устройств информационно-вычислительной техник обладающих резервом времени, оценки показателей надежности и готовност систем типа автоматизированного технологического комплекса «объект зашит - система безопасности», оценки характеристик живучести объектов отказоустойчивости средств вычислительной техники, а также оцет надежности и долговечности изделий, функционирующих в услоши циклических случайных воздействий. Анализ литературных источник! позволил сформулировать задачу нее ".слога: ¡¡¡я эволюции изделий, обладают' резервом того или иного вида. Постановка задачи исследования может бы сформулирована следующим образом.

Рассмотрим изделие, на которое воздействуют пульсации Ноирл;»сс<1И Пусть пульсаций возникают через случайное время ту 1-1,2... с одной п тай V функцией распределения Р(0= Р(ц < 0 Тогда {т/ , / £ 1 } есть проце восстановления. С моментом регенерации можно связать другую случайну

6

величину 0, - величину износа изделия, приносимую / -м воздействием, причем О(х) Р(©,<х)и Со(.\) Р(0о<х).

Процесс, образованный значениями О, (¡>1), называют процессом накопления.

На траектории процесса накопления будем рассматривать две случайные величины Ц и которые будут определяться следующим соотношением

и имеют смысл: Ц - накопленная нагрузка изделия к моменту времени 1, 7Ч - случайная наработка при заданной допустимой нагрузке х, N¡(1) и М;(0 -случайные числа соотпетствуюпшх циклов восстановлений, которые позволяют вести функции восстановления так Н|(0" ММ|(0, Н2(х)=МЫ;(х).

В данном описании процесса накопления повреждений предполагается, что на изделие воздействуют возмущения только одного типа.

Во второй гласе работы обосновывается выбор теории случайных процессов накопления в качестве математической модели надежности п долговечности изделия, так как она позволяет наиболее просто и, в то же рреуя, наиболее точно описывать динамику определяющего параметра работоспособности изделия и получать необходимые показатели. Предположим, что случайные величины О1 положительные, независимые и

одинаково распределенные, функцию распределения их обозначим через С(х)=Р(01<х).

Вероятность исправной работы изделия определим формулой

Л/2 (-"С) = О

После ряда преобразований имеем

Р{1, Л) = Га,(/)О0*СГ("( дг),

(1)

*Л) *Д|

гле У (I), (1 1х) - к-крлтные свертки функции и (1(х)

С001ВС1С1ВСШ10. коюрые определяются рекуррентном формулой

о

Другим иажним параметром надежности и долговечноеги изделия является' среднее время пересечения определяющим параметром уровня прочности .у. ком>рос вычислялся с ист>;н. ¡ованием соотношения для ы) Исполыуя преобразования Лапласа функции Р(1,х), которое обозначим ¡'(км). среднее время до пересечения уровня д- можно вычислить при помощи следующего соотношения

. </Я(л.м)! У ■(())(, ,,(<„)

л (<0) —----------~---- —------ .

Ж { 1 - О[(о)

„

Нетрудно увидеть, что соотношение---— есть решение

1-(7(<и)

соответствующего интегрального уравнения для простого процесс: восстановления.

При обращении Т(а>) используем известное соотношение дл) преобразований Лапласа, часто называемое теоремой о сдвиге аргумента Теперь запишем среднее время до пересечения процессом накопления [/.,}1>0 уровня х в виде

Т(х) = Ш(С,0 (х) + МНг (дг -©„)).

Таким образом, среднее время пересечения процессом накоплен*;; уровня х определяется при помощи функции восстановления Н2(х) Заметим что Н^х), как правило, имеет достаточно сложный вид, поэтому есть с мы с: пользоваться асимптртичссхнм:: соотношениями для функции Н;(х). Использу. элементарную теорему восстановления, запишем

вд.Цад»^),

где х - Л/0О-запас прочности изделия. 6

Видно, что выражение для среднего времени до пересечения процессом уровня х вычисляется просто только в асимптотическом случае. Поэтому представляется перспективным иметь оценки и неравенства, позволяющие получать приближениые значения показателей надежности и долговечности.

Показано, что функция P(t,x) удовлетворяет следующим неравенствам

Hiyj^x) + F* FiOGo'^x) < P(r,х) <. F(/)G(x) 5 1,

1 - h (t)G(x)

где G(x)=P(0<x), Go(x)=P(0o<x), F(t)=P(xct).

Доказано, что если существуют Meи Ме~т', то для вероятности безотказной работы справедливы следующие оценки: 1. F(l)G0*G(x)+G„ (*)/>(',z,)- F(t):,G„(x) S f(l,x) <, F(l)Ga*G(x) + F(t)G0(x),

если — P{i,z) titz

¿1 и 2| определяется как решение уравнения

2.если — P(f,z) dz

>1

1

а) для всех 0<z<zo

'-^Щ(G0*G(x)-r,G0(r)) + P(r,z,y3t(x) S P(t,x) £EiZfiHGo,G(x)+G0(x)F(l),

"О "0

Ь) для всех го<г<1

0^,(х)-Са(х):3 + С„(х)Р(1,г, Р(1,х)^С0*С(х), где величины го, г\ и г2 определяются как решение следующих уравнений

,=0 /«0 J "О

где С0»С(дг) - свертка функций Со(х) и С(х).

Если плотность распределения ВД) случайной величины Ц существует, то

t i- "/'<л/<г,)|< /'(/., < viif '•"/'(<;(I-,».

1ЛС !'(/.) - производящая функция. ti(\\) - нреобраишание Лапласа С'|идп.еса функции <>(y), a M(\'i) - проинюдящая функция чомеишн

определяемая формулой г,) - j Ц v). причем |М(У|)|-"1.

15 нолем в рассмотрение коэффииисш безопасное!и ошосшелын прочноеги. иснолыуя „гчя iroro неравенсшо Чеймшева

J----" ' -</'(/.»)

v

If

Обозначим через Ш/(0) =------------------ отношение прочности i

Л/И,. +•//,(/)ЛЛ-)

накопленной нагрузке. ')io соотношение будем нтыиагь KOHjxJjKiiiici11 безопасности и этим названием будем в дальнейшем пользоваться

Условие работоспособности изделия запишем как hflli(ij) I, a oik;i изделия наступает тогда, когда li(lli(0) I Характеристикой долговсчносп бу дет среднее время до отказа to изделия, которое определяется соотношением

' V л/0

Нетрудно увидеть связь между остаточным ресурсом по времени i средним остаточным ресурсом по запасу прочности, где t^- время непрерывно! эксплуатации изделия от начала отсчета до текущего момента

/, sh(H(tu)))-!-.

* MQ * h(H(l4))

Полученное соотношение позволяет записать среднее время дс достижения определяющим параметром уровнял:следующим образом

Т(х) = Л/г + 1й

Как указывалось выше, вычислять P(t,x) довольно трудно. Однако, для некоторых частных случаев можно вычислить P(t,x), Т(х) и h(H(t)) в явном виде. Рассмотрены следующие случаи:

1. экспоненциальный закон распределения случайных величин 0 и т,

2. линейное изменение нагрузки, предполагая, что накопленная нагрузка на

i-м цикле определяется соотношением 0, = 0„ + ¿fy = в0 + ih.

s* *

Пусть прочность изделия R(t) в момент времени t определяется соотношением /?(/) = где R» - случайная величина, <p(t) - неслучайная

фу нкция усталости изделия, удовлетворяющая следующим свойствам:

I) Ф(0)=1, 2) <р(оо)=0, 3) монотонная невозрастающая функция. Тогда вероятность безотказной работы объекта определяется соотношением

РО,х) = £ F* (!)Оп*(ГкЧх<р( О).

1=11

Средний коэффициент безопасности в этом случае имеет следующий

вид

x<p(t)

h(H(t)) = -

Мв0+Н,(1)Мв'

и среднее время до достижения определяющим параметром уровня х будет определяться как решение следующего уравнения

Мт

После нахождения 1о можно определить Т(х) используя для этого ранее полученную формулу Т(х)= М-Мг.

В задачах, которые встречаются на практике, часто возникают ситуации, когда ударные нагрузки воздействуют на изделие довольно часто, и в этом случае следует использовать предельные теоремы.

Л',

Для данного большого значения к величина ]Гв, приблизительно

'■о

норматьна и по центральной предельной теореме запишем

где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения или

г

Мт

ч

Среднее время наработки до начала массовых отказов I определяете«

положительному корню уравнения.

Таким образом, во второй главе на основе анализа математически) моделей выбрана модель надежности, основанная на теории процессо! накопления. Из аиализа разработанной математической модели лолучень соотношения и двусторонние оценки для показателей надежности > долговечности изделий без каких-либо предположений о закона-распределения случайных величин.

Третья глава посвящена рассмотрению случая, когда прочность тлели является случайной величиной.

Таким образом, необходимо теперь учитывать то обстоятельстео, чт прочность изделия является случайной величиной, так же как и начальна нагрузка. Как и ранее, будем предполагать, что возмущения прилагаются случайные моменты времени и имеют случайную амплитуду. Кажда возмущение приводит к уменьшению прочности или, что то же, к увеличена нагрузки на некоторую случайную величину, опись;гагг.-ум соответствующе функцией распределения.

Вероятность безотказной работы ¡'(0 запишем так

. как решение уравнения

—- = 0, где ^ будет соответствовать наименьшем)

<Ь

о

о

где ('(<) = |е;„ *а'{''(х)с1Ь'/(х) - коэффициенты, не зависящие от

и

времени.

Среднюю наработку на отказ изделия при многократном приложении ударных нагрузок можно вычислить «сдующим образом

г=[до*/'о]г,№. (3)

О о

Нетрудно увидеть, что 11' (/УЛ = Л/г. Тогда среднюю наработку на отказ

с

изделия запишем так 7 = Л/г£<"(').

1=0

По смыслу £п/) - это среднее количество нагруженнй изделия до его

I

отказа. Нетрудно убедиться, что

Я Я? ее IX

£ сю-= £ | О0.0'"" (г)^ (X) = |я, (дг)^, (л)=Ат,(х),

/=0 «4=0 о о

где =/Л (*)-функция восстановления. Тогда

ш=Ч)

Т = Мт(\ + МН^х))-

Используя элементарную теорему восстановления, имеем

^ л/0/

Поскольку нахождение показателей надежности и долговечности по формулам (2) и (3) достаточно сложно, целесообразным является построение шенок.

Если м\в,|<да для всех /и <«> к=1,2,3,4, и IР(|)С(х)|<1,то

1- (1 + Г,--г-г)-2-!— —Ш-Лх),

Г 7 ШхУ МХ ) \ Л (4)

где £»/'(/) = №N{1) = Н,У)- среднее математическое ожидание числа

никло» нагружения изделия за время I (функция восстановления), и л шт((/,1).

Пели Л/0 5 < х. Л//2 <сс и случайные веди чины 0, независимы, то при ¡■'(0<.!(х) ] для 1'П) выполняется неравенство

,V)

I му V ' Шг'?)) (5)

- , - Л/С у'- ~ Иг1)2

(Л'Г)

Показано, чш если существую! Мс"" . , МС|,('/) и МС(х), то дл>

вероятности безотказной работы справехтмны следующие оценки:

<А(/)Ал;„*очг) + /•""(/)*«;„ (¿о

если — /'(/.г)! < 1 и г| определяется как решение уравнения

^ !; -1

/••(/) = ¿/7; (»--Г1,

2.если — /'(г.-)! :> 1 а.) для всех й<г<ха

-о

( - :,М("'01хУ) + Г{1,:,)КЮ0(Х) & П» 2

Ь)ддя всех 24)<г< 1

¥00*С(Х) ~ + ма0(х)1\1,27 )<Г(0 5 лга0*ад,

где величины го, г] и г^ определяются как решение следуют! уравнений

1-0

Используя соотношение (5) вводится средний коэффициент безопасности по прочности

т>, 1 М&,+Н#)Мв

«",(')) Мх

Для вычисления Ь(Н|(0) требуется лишь знание средних значений случайных величин ©о, © и т.

Условие работоспособности изделия запишем как Ь(Н|(ф>1 и отказ

изделия наступает тогда, когда Ь(Н|(0)-1. Характеристикой долговечности будет среднее время до отказа г„ изделия, которое определяется из уравнения

Ь(Н,(1„))=1. (6)

Откуда

'„ = н;

мв

где !{{'(:) обратная функция к функции Н(:). Приближенное решение уравнения (6) при имеет вид

/„ 2-МТ.

0 мв

Оценка для среднего коэффициента безопасности для малых I имеет вид

Л/0О + ™ Мв~ +

1-т

го которой можно вычислить такие ^ и что ^йо^.

1 , Л/6 --1п

+ Мг Л I МЭ )

Л . МО) - Мв0 + Мх Кроме того, в третьей главе были получены соотношения для показателей надежности и долговечности для ряда частных случаев распределений прочности и нагрузки.

Четвертая глава посвящена рассмотрению обычного для практики

случая, когда на изделие воздействуют многомерные ударные нагрузки.

позволяют применять эти модели в многомерном случае. Однако, модель, рассмогрснная выше, позволяет произвести некоторые обобщения.

Рассмотрим изделие, на которое воздействуют п независимых потоков ударных воздействий. Обозначим через г„= 1,«,/ = 1.2,3... - длительности времени между приложениями у-го цикла г-й нагрузки. Предположим, что все т(( взаимно независимые случайные величины. Введем также Оц - случайную величину /-ой нагрузки, приложенной на у-м цикле. Случайные процессы, определенные значениями = / = 1.2.3....|и |0ч = \,п,} - 12,3....|,

образуют процессы накопления.

Введем в рассмотрение случайную величину 1,(1), которую определим в этом случае следующим соотношением

гЬе (о -число циклов приложения 1-й ударной нагрузки за время Л Моменты времени т,у образуют процесс восстановления, являющийся

объединением п процессов восстановления.

Вычислим теперь вероятность безотказной работы изделия в предположении, что на него воздействуют л типов ударных нагрузок. Указанная вероятность будет определяться соотношением

Для изделия, на которое действует п потоков нагрузки выражение для вероятности безотказной работы имеет вид

Трудности, связанные с использованием физико-статистических моделей, не

» .\<|>

(7)

Такой сложный вид функции Р(1,х) делает ее малопригодной для практического использования.

Пусть = = - независимые «случайные величины, N,0) -

число восстановлений 1-го типа за время I, п - число источников ударной нагрузки. Тогда, при сделанных выше предположениях,

• -Щло

где Н,)(1)=Ма1(0 - функция восстановления, а 1^0 определяется соотношением (7).

Для процесса накопления справедливо следующее утверждение. Пусть г„,/ = 1,я,/ = 1,.\,(х) -независимые случайные величины, ^(х) -число восстановлений ¡-го типа до достижения уровня х, п- число источников ударной нагрузки. Тогда

1т!/>{;?„ (х)5>|}=Ф

•ЩМ

где

ох, (X - е0) = £ Мг*] Ш, (X - Ууюа ©0)/>г,

Нц(х)=МЫв(х) - функция восстановления, а случайная величина 7..(х) определяется соотношением (*) = £ £гг

Ранее полученные оценки и неравенства для Р(1х) необходимо обобщить на случай воздействия на изделие и типов ударных нагрузок. Будем

предполагать, что источники ударных нафуюк попарно независимы. Для получения оценок не будем делать никаких предположений о чаконах распределения случайных величин т„ 0„ и ©и.

Доказано, что функння Р(1,х) удовлетворяет следующим неравенствам

<;„(Г)П /■(') + */-;(/)ХС'„*(;, {х))<:Г(1.1)<----. (8)

Пи-;•;</)<•;, и»

Если существуют М0(> и М0Ь то Р(1,х) удовдст воряет неравенствам

г

I-

где /'(',-*) - вероятность безотказной работы изделия при воздействии ударных возмущений 1-го типа.

Как и ранее Ь(Н|(0) - средний коэффициент безопасности по прочности, определяемый соотношением

««,(/)) =-г*-•

При больших I, то есть при длительном времени функционирования изделия, это соотношение можно переписать более просто

х

^Мв, Мт,

Тогда среднее время функционирования до отказа будем вычислять по формуле

х-Ш0

у Ж КЛт

Функция Р(1,х) удовлетворяет следующему неравенству

<>'„(x)f]G,(x)

(/„ «G, »... • G„ (x) < l'(t,x) < -

1=1

Рассмотрим теперь влияние многомерных нагрузок на показатели надежности при случайном уровне прочности.

Запишем вероятность безотказной работы в следующем виде

I'd) = }(Л» l'Ai,x))ilh\(л).

Очевидно, что многократные свертки лишают нас возможности вычислять такие важные для практики показатели как вероятность безотказной работы изделия и время первого пересечения определяющим параметром уровня прочносш. Поэтому имеется необходимость в получении оценок для P(t). Оценки для Р(1) сформулированы в виде следующих утверждений.

Если Gu (Мх), G, (Мх) существуют, и, кроме тото, функция

--------выпукла вверх, то P(t) удовлетворяет неравенству

'=1

lî ï(l)O0(MX)

ля;0 U)f\ 0) + £ /•; * F, (t)M(Ga » G, (/)) S/'(/)< ------.

По - К{ф,(Мх))

1=1

Если существуют М0„, М0„ Мх и M(G,(x))' для всех i=l ...п, то

(

№, +2>„(/)Л/0,

-, тз

uvl----

Мх V * (MZ)

л 1 < P(t) i G, {Мх)\ П P0,x)dFz (/).

0 1>I

Средний коэффициент безопасности изделия, на которое воздействуют п типов ударных воздействий при больших I будет равно

IX Л/Г,

Из последнего соотношения можно теперь легко вычислить среднее время до отказа изделия, используя условие отказа изделия Л(//,(*„))= I. Тогда

Мх-Ш,

Л, *

у Л'©,

Соотношеиие, связывающее остаточный ресурс прочности с остаточным ресурсом времени, запишем так

X" ми,

гг А/г;

где фактическое время эксплуатации изделия.

А в случае, когда эксплуатация изделия допускается на протяжении времени , связь ресурсных характеристик имеет вид

---!__>.

7л Мт,

1 "1

Соотношение —— позволяет достаточно просто вычислять

'о »-I 'о4

среднее время до пересечения уровня в случае, когда на изделие воздействуют п ударных нагрузок. Здесь среднее время до достижения уровня Мг нагрузкой из-за воздействия к-п> типа ударного возмущения. Используя можем вычислить среднее время до первого пересечения уровня, для чег< будем использовать соотношение

Г

к&ь + мт,]

Таким образом, для многомерной ударной нагрузки полученг

соотношения для вероятности безотказной работы изделия, а также ряд двусторонних оценок для P(t). Получено соотношение для среднего коэффициента безопасности, при помощи которого определяется нижняя опенка для Р(1) и среднее время до первого пересечения определяющим параметром уровня прочности. Полученные соотношения пригодны для инженерного использования.

В Приложениях 1,2,3 рассмотрен ряд частных случаев. Приложение 1 посвящено исследованию задачи нахождения показателей надежности и долговечности экранных труб (ЭГ) НРЧ котлов электрических станции. В качестве исходных были взяты данные, характерные для современных котлов НРЧ. Лобовое напряжение вычислялось при значении теплового потока q- 4 Ю1 Вт/(м К) н внутреннего давления р=14 Мпа для трубы из стали 12ХШФ с радиусами г(—0.0! 7 и Г;-0.021м. При этих данных лобовое напряжение, которое-в нашей модели играет роль нагрузкн, будет равно М0и=96,3 Мпа. Предел текучести для данной трубы является прочностью в нашей модели и равен 375 Мпа. Расчет элементов парогенератора по длительной прочности велся на срок-службы 100000 часов. Частота пульсаций лежит в диапазоне 0.1-10 Гц. Функция усталости линейно изменяется на интервале [1,0] за время [0,1 ОС300j ч. Кроме того, измерения показали, что вследствие пульсации температуры за 10000 часов запас прочности исчерпался на 18,8%. В результате расчетов были получены: зависимость коэффициента безопасности от времени функционирования экранной трубы (рис.2.), среднее время достижения уроьпя х, равное to=3.M04 часов, зависимость вероятности безотказной работы ЭТ от времени (рис.1.), плотность распределения вероятности безотказной работы (рис.3.). Время до массовых отказов экранных труб составило величину 26&S0 часов.

Приложение 2. рассматривает период приработки интегральных схем (ИС). Здесь деградация параметра допускает представление W,=\AV VQ(1), где Q(t) -непрерывная, строго монотонная возрастающая функция t, причем fl(0)=0,

V/,! и V- взаимно независимые нормально распределенные случайные величина с математическими ожиданиями М\М„ и М\/ н дисперсиями Для этого с луча; были найдены: плотность распределения, зависимость шпенснвносгн огьак» интегральных схем от времени (рнс.4), время до массовых отказов I. 1.07 ч I время до установления стационарного режима Т, -1.89 ч

В приложении 3 вычисляются показатели надежности и долговечное™ трубопроводов ДУ-500 АЭС. Начальные данные выбраны на основе расчел прочности и обработки статистических данных. Так прочность трубопровод; ДУ-500 принята равной 377 Мпа , а начальное значение нагрузки составит 11.' Мпа. Трубопровод Ду-500 может находится в трех основных режимах нагрузкт при эксплуатации: нормальные условия эксплуатации, гидроопрсссовка 1 гидроиспытание. При гидроиспыганиях снижение прочности происходит н; величину 3 Мпа, а при гидроопрессовке на величину 2 Мпа. Кроме тою I идроопрессовка производится 1 раз в 4 года, а гидронснмтания примерно 6 ра за 5 лет. Дисперсия начальной нагрузки будет лежать в диапазоне 0,575-гЗ,45,; дисперсия случайной величины 0 в диапазоне при гидроопрессовке 0,0)->0,06 I при гидроиспытаниях 0,015-5-0,19. Используя приведенные выше исходны данные, были получены: зависимость коэффициента безопасности от времени зависимость вероятности безотказной работы от времени (рнс.5.), средне время до массовых отказов, равное26.18 годам.

Используя изложенную выше методику во всех случаях были получеш результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными, а также результатами, полученными с использованием других методов.

В результате выполненной работы:

• Обоснован выбор математической модели динамики определнющег параметра работоспособность изделия, функционирующего в услоаня случайных циклических нагрузок, основанной на теории случайных процессе накопления.

• Получены как асимптотические, так и неасимптотические соотношеш

для математического ожидания и дисперсии действующей на излелие^пгрузкм с учетом начальной нагрузки и без нее.

• Выведены соотношения для показателей надежности и долговечности изделия, прочность которого является как случайной величиной, так и детерминированной, а также с учетом функции усталости.

• Получены инженерные соотношения для показателей надежности и долговечности для различных законов распределения начальной нагрузки приложенной к изделию и прочности его с заданным законом распределена воздействующих циклических нагрузок.

• Получены оценки и неравенства для вероятности безотказней работы, среднего времени до первого пересечения определяющим параметром уровня прочности и среднего коэффициента безопасности по запасу прочности без каких-либо предположений о законах распределение. Показано, что средний коэффициент безопасности может быть использован для эухпресс-оценкн вероятности безотказной работы изделия.

» Изучены асимптотические свойства процесса функционирования изделия в условиях накопления повреждений и получены соотношегшя для вероятности безотказной работы изделия, средних козффикиенто» безопасности по запасу прочности и наработке и среднего времени до массозых отказов изделий при числе нагружений , стремящемся к бесконечности.

в Обобщена математическая модель динамики опредглягсщего параметра работоспособность изделия для случая воздействия многомерней случайной нагрузки.

• Получены оценки и неравенства для показателей надеж-от! и долговечности при воздействии п- меркой ударной нагрузки. Предложен катод вычисления средней наработки до пересечения уровня прочности.

• Используя полученные результаты выполнен анализ падекпоста трубопровода ДУ-500 реактора ВВЭр-440, интегральных схем, экранных труб НРЧ электрических станций.

Но теме диссертационной работ» опубликованы следующие работы: I. Л.И. Трошев, И.А. Соборова. О пульсациях температуры металла труб эллиптического сечения. / Безопасность АЭС и подготовка кадров. 4-я Международная конференция. Тезисы докладов, с. 139. Обнинск , 2-6 октября, 1995.

7. A.I. Pereguda, I.A. Soborova. Evaluation of Reliability Indices considering Impact Loads./ ASME-JSME 4th International Conference on Nuclear Engineering./ New Orleans, Louisiana, March 10-14,1996

3. A.l. Perquida, l.A. Soborova. Consideration of Shock Effects in Problems of product Reliability /Annual Meeting on Nuclear Technology'96./Mannlieini, May 21-23 1996.

4. А.И- Грошев, И.А. Соборова. Моделирование сопряженного теплообмена в канатах эллиптического сечения /2-я межвузовская научно-практическая конференция студентов и молодых ученых г. Волжского. Волжский, Май 1996.

5. А.И. Перегуда, И.А. Соборова. Вычисление показателей надежности изделий в условиях накопления повреждений. Материалы научно-технической конференции «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий» Москва-Сочи Сентябрь 1997

6. А.И.Перегуда, И.А. Соборова. Оценки показателей безотказности и долговечности изделия Материалы научно-технической конференции «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий» Москва-Сочи Сентябрь 1998

7. И.А.Соборова Оценка показателей надежности изделий электроники с учетом ударных воздействий циклических нагрузок Межвузовская конференция студентов и аспирантов. Зеленоград 1996.

8. A.l.Pereguda, l.A.Soborova. Some Reliability Indices for products under Impaci Loads. ICONE5 (CD-rom publication,) ICONE5 - 2518.

9. А.И. Перегуда» И.А. Соборова. Оценка показателей надежности изделий

функционирующих в условиях ударных нагрузок./ Ядерная ЭнергеЬша, №3, Обнинск, 1997.

10.А.И. Перегуда, И.А. Соборова. Вычисление показателей надежности изделий в условиях накопления повреждений.//Надежность и контроль качества,-1997 .-№7.

0 50(Ю 1-ю4. I 5-Ю4 2-Ю4 2 5 1 04 3 I 04 3.5-104 4-104 4.5 1 04 5-10*

Рис. 1. Зависимость P(t) экранных труб от времени.

Рис.3.Плотность распределения Р(Ч) ЭТ

Рис.2. Зависимость Ь(Н(1)) ЭТ от I

Рис 4. Зависимость A(t) ИС от t. Рис.5. Зависимость P(t) ДУ-500 от t.

Введение

Глава 1 Состояние вопроса и постановка задачи

1.1 Обзор литературы

1.2. Постановка задачи

Глава 2. Математическая модель надежности и исследование показателей безотказности и долговечности изделия при фиксированном значении прочности.

2.1. Обсуждение математической модели надежности.

2.2. Исследование процесса накопления нагрузки.

2.3 Вычисление моментов распределения накопления нагрузки.;

2.4. Оценка показателей надежности и долговечности изделий.

2.4.1. Учет начального значения нагрузки и вычисление моментов случайной нагрузки.■. - ■

2.4.2. Вычисление безотказной работы изделия

2.4.3. Вычисление среднего времени пересечения процессом уровня х.

2.5 Оценки и неравенства.

2.6 Исследование среднего коэффициента безопасности

2.7 Вычисление показателей надежности для некоторых частных случаев.

2.7.1 Экспоненциальное распределение случайных величин 0¡ и т.

2.7.2. Линейное изменение нагрузки

2.8. Нелинейное изменение нагрузки.

2.9. Асимптотическое распределение накопления нагрузки {Ь(<( <>.

Глава 3 Исследование показателей безотказности и долговечности изделия при случайном значении прочности.

3.1 Вводные замечания

3.2 Математическая модель надежности и показатели безотказности и долговечности. Оценки и неравенства.

3.2.1. Вероятность безотказной работы изделия.

3.2.2. Средний коэффициент безопасности изделия.

3.2.3. Среднее время до первого пересечения уровня.

3.3. Оптимальная нижняя граница вероятности безотказной работы изделия.

3.4. Вычисление P(t) и Т при заданных законах распределения.

3.4.1. Прочность - экспоненциально распределенная случайная величина.

3.4.2. Случайные величины 0; имеют экспоненциальное распределение.

3.4.3. Случайные величины ©j и % - экспоненциально распределенные величины.

3.4.4. Нормальное распределение нагрузки.

3.5. Учет функции усталости в математической модели надежности.

Глава 4. Многомерная модель накопления нагрузки.

4.1. Постановка задачи..

4.2. Распределение накопленной нагрузки при п источниках воздействий.

4.3. Модель ударной нагрузки с возрастающей степенью повреждения при очередном ударе.

4.4. Распределение наработки изделия при п источниках воздействия

4.5. Оценки и неравенства.

4.6. Влияние многомерной ударной нагрузки при случайной прочности.

4.7. Исследование среднего коэффициента безопасности и среднего времени до первого пересечения определяющим параметром уровня прочности.

Актуальность исследования. Известные события, связанные с авариями на технических объектах, до предела обострили интерес общественности к проблемам объективной оценки и обеспечения надежности и безопасности функционирования энергетических установок. В связи с этим ужесточаются требования к адекватности и точности математических моделей для расчета показателей надежности и безопасности; Тщательность проработки вопросов надежности необходима не только при проектировании, а в такой же мере, если не большей, при изготовлении и эксплуатации сложных технических систем.

Следовательно, практика создания и эксплуатации систем требует разработки методов расчета и оптимизации надежности, которые могли бы ответить на возникающие вопросы, связанные с обеспечением надежности, как на стадии разработки, так и на этане эксплуатации.

Существующие в настоящее время математические модели расчета надежности технических систем предполагают, что траектория процесса функционирования системы является непрерывной функцией. Сведения о нарастающем старении систем часто можно получить, рассматривая динамику определяющих параметров работоспособности системы. В реальной ситуации система подвергается ряду импульсных воздействий (толчки, удары, пульсации температуры и др.) Такого рода воздействия, которые в дальнейшем будем называть ударными воздействиями, приводят к изменению показателей надежности и работоспособности изделий. Под нагрузкой понимается совокупность факторов, воздействующих на объект и обусловливающих возникновение отказов и (или) повреждений и (или) сокращение ресурса, а под несущей способностью (прочностью)- свойство объекта воспринимать нагрузки и противостоять им . Превышение величиной нагрузки порогового значения прочности приводит к отказу системы. Многократные ударные воздействия ведут к накоплению повреждений, а, следовательно, к увеличению приложенной нагрузки.

Эксплуатация изделий в условиях, описанных выше, характерна для всех отраслей промышленности, в том числе и для атомной энергетики. Если некоторые параметры характеризуют эксплуатационную готовность системы, то можно планировать мероприятия по восстановлению непосредственно ориентируясь на эти параметры. Так что проблема оценки показателей надежности и долговечности изделий, функционирующих в условиях циклических ударных нагрузок, весьма остра, а, следовательно, и актуальна.

Кроме того, в реальных условиях на функционирующие изделия действуют, как правило, несколько независимых потоков ударных воздействий. Таким образом, существует необходимость разработки математических моделей надежности изделий, подверженных деградации, и оценки показателей надежности и долговечности.

Цель работы состоит в создании математических моделей эволюции изделий, функционирующих в условиях дискретной деградации и получение соотношений для показателей долговечности.

Для достижения сформулированной цели в данной работе ставятся следующие задачи исследования : ' > Разработка математической модели эволюции определенных параметров изделий, функционирующих в условиях случайных циклических нагрузок. • Вывод соотношений для показателей надежности и долговечности изделия, прочность которого является как случайной величиной, так и детерминированной.

• Получение соотношений для показателей надежности и долговечности для различных законов распределения, как для начальной нагрузки и прочности, так и для воздействующих циклических нагрузок.

• Получение оценок и неравенств для вероятности безотказной работы, среднего времени до первого отказа и коэффициента безопасности без каких-либо предположений о законах распределения.

• Изучение асимптотических свойств процесса функционирования изделия в условиях накопления повреждений и получение соотношений, для вероятности безотказной работы изделия и коэффициента безопасности работы при числе нагружений , стремящемся к бесконечности.

• Обобщение созданной математической модели функционирования изделия для случая, когда на изделие воздействует многомерная случайная нагрузка.

Методы исследования: На научные концепции автора и на методы исследования наиболее существенное влияние оказали работы Д.Кокса, Феллер, Ф.Байхельта, П.Франкена в области теории восстановления и процессов накопления, Б.Г. Гнеденко, Ю.К. Беляева, Барлоу, Прошана, А.Д.Соловьева в области теории надежности.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в том, что:

• впервые получены неасимптотические и асимптотические оценки показателей надежности и долговечности изделий, находящихся под влиянием ударных воздействий;

• найдено нижнее значение среднего коэффициента безопасности, при котором гарантируется нахождение коэффициента безопасности в некотором интервале;

• получены оценки «хвостов» распределения нагрузки, как распределение суммы большого числа независимых слагаемых;

• получено асимптотическое распределение нагрузки, которое имеет вид распределения Бирнбаума- Саундерса и дозволяет вычислять среднее время до наступления массовых отказов;

• впервые проведено обобщение математической модели деградации изделия при воздействии многомерных случайных нагрузок. Получены асимптотические распределения накопленной нагрузки и наработки на отказ и их оценки, а также найдено соотношение для среднего времени пересечения уровня прочности.

Практическая ценность работы

• Разработана математическая модель функционирования изделия, находящегося под влиянием ударных воздействий.

• Получены соотношения для показателей надежности и изучение их взаимосвязи для

1. вероятности безотказной работы,

2. среднего времени до первого пересечения определяющим параметром уровня,

3. среднего коэффициента безопасности.

• Для различных законов распределения нагрузки и прочности с учетом функции усталости получены соотношения для показателей надежности и долговечности, пригодные для инженерного использования.

• Исследована связь между остаточным ресурсом по прочности и по времени для изделий , подверженных циклическим нагрузкам.

• Получены количественные -значения показателей надежности и долговечности трубопроводов ДУ-5001 реактора ВВЭР-1000 и экранных труб НРЧ тепловых станций.

На защиту диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук, автором выносятся:

1. математическая модель динамики определяющего параметра работоспособности изделия, подверженного циклической деградации;

2. соотношения, оценки и неравенства для показателей надежности и долговечности изделия;

3. обобщение математической модели эволюции изделия, на которое воздействует п независимых источников ударных воздействий;

4. асимптотические и неасимптотические соотношения для показателей надежности и долговечности;

5. количественные характеристики надежности и долговечности трубопроводов ДУ-500 реактора ВВЭР-1000 и экранных труб НРЧ тепловых станций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на : Научно-технической конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров.». Обнинск, Октябрь 1995, ASME-JSME 4th International Conference on Nuclear Engineering, New Orleans, Lu, USA, March 10 - 154, 1996, Jahrestagung Kerntechnik' 96, Mannheim, Germany, May, 1996, Конференции молодых ученых, г. Волжский, Апрель, 1996, Научно-технической конференции поев. ч

850- летию Москвы. «Электронные технологии в народном хозяйстве». Май, 1997, Межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика -96» Апрель, Зеленоград. 1996, ASME-JSME 5th International Conference on Nuclear Engineering, Nice. France, May, 1997, Научно-технической конференции «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий» Москва-Сочи. Сентябрь 1997.

Гпава 1 Состояние вопроса и постановка задачи 1.1 Обзор литературы

Известные события недавнего прошлого до предела обострили интерес общественности к проблемам объективной оценки и обеспечения надежности и безопасности функционирования энергетических установок. В связи с этим ужесточаются требования к адекватности и точности математических моделей для расчета показателей надежности и безопасности. Тщательность проработки вопросов надежности необходима не только при проектировании, а в такой же мере, если не большей, при изготовлении и эксплуатации сложных технических систем и в особенности таких как ЯЭУ.

Следовательно, практика создания и эксплуатации систем требует разработки методов расчета и оптимизации надежности, которые могли бы ответить на возникающие вопросы, связанные с обеспечением надежности как разрабЬтчиков, так и эксплуатационников.

Заметим, что можно говорить о надежности, поддерживать ее в процессе ее эксплуатация и не интересоваться количественными значениями ее показателей. Такой качественный подход использовался в ранних исследованиях по теории надежности. Но непрерывное повышение требований к качеству изделий привело к резкому возрастанию интереса к теоретическим проблемам, надежности, которые бы давали уже количественные методы измерения показателей надежности. Особенно проблема надежности обострилась тогда, когда начали создаваться и поступили в эксплуатацию такие системы, для обеспечения надежности которых требуются уже специальные меры. Это объясняется тем, что опасность сложных технических систем, к которым относятся и ядерные энергетические установки (ЯЭУ), заключается не столько в том, что она не будет функционировать, а, главным образом, в том, что отказ ее может привести к катастрофическим последствиям. Сложные технические системы, выполняющие ответственные функции, имеют право на существование лишь только тогда, когда они надежны, а, следовательно, безопасны.

В настоящее время в связи с бурным развитием науки и техники технические системы и устройства еще более усложняются. В связи с этим возрастают требования к работоспособности этих систем. Именно поэтому проблема создания моделей вычисления и оценки показателей надежности систем представляется весьма актуальной.

Если в период создания теории надежности как самостоятельной науки она представляла собой в большой части набор эмпирических методов, • позволяющих улучшить показатели надежности системы , то к настоящему времени она оформилась как отрасль математики со своими методами, позволяющими решать чисто практические задачи. Она возникла из практики разработки и эксплуатации систем, и ее результаты неизбежно находят применение в реальных ситуациях.

При проектировании технических систем решение задачи обеспечения заданных значений показателей надежности является столь же обязательным, как и решение задачи обеспечения других конструкционных параметров. Следовательно, показатели надежности стали конструкционными параметрами. Использование аппаратурной, информационной, структурной избыточности как средства неограниченного повышения надежности явились предметом исследования Дж. фон Неймана, К. Шэннона и Э.Мура.

Так, в [1] Дж. фон Нейман предложил общий метод синтеза надежных автоматов из недостаточно надежных элементов. Задача создания надежных систем из ненадежных релейных элементов рассматривалась в [2].''Обе эти работы в значительной мере стимулировали дальнейшее развитие методов повышения надежности введением избыточности, и, в частности, с помощью резервирования. Начиная с 60-х годов, при исследовании более сложных систем резервирования, стали применяться методы теории случайных процессов, и, в частности, марковская модель "гибели", применявшаяся до этого для исследований в области биологии и ядерной физики [3]. В дальнейшем нашли использование и более сложные математические модели.

Несомненно, что знаменательным событием в теории надежности был выход в свет книги Гнеденко Б.В., Беляева Ю.К., Соловьева А.Д. [4], в которой хорошее методическое изложение подкреплялось математической строгостью. В ней последовательно изложено использование теории марковских процессов и теории восстановления при расчете надежности сложных систем. Надежность и простота математической модели, основанной на теории марковских процессов, привело к тому, что на практике ее наиболее часто используют при описании функционирования систем 4 [5,6,7,8]. Наряду с марковскими моделями нашли широкое использование модели надежности, основанные на теории восстановления полумарковских, процессов [9,10,11,12], Полумарковская модель надежности не имеет ограничения на вид функции распределения времени исправной работы изделия и позволяет учитывать предысторию в эволюции системы.

Однако для сложных, технических систем марковская модель надежности, так же как и полумарковская модель, неизбежно приводит к затруднениям при вычислении показателей надежности. Большой порядок системы дифференциальных или интегральных уравнений требует громоздкого математического аппарата исследования и становится серьезным препятствием на пути исследователей даже при использовании современной вычислительной техники. Очевидно, что упрощение этой проблемы может идти лишь путем уменьшения числа состояний, в которых может находиться техническая система. Пути уменьшения числа состояний исследовались в ряде работ [13-25].

Наряду с использованием марковских и полумарковских процессов интенсивно велись работы по разработке методов расчета надежности систем с использованием математической логики [26,27,12,28]. Математическая логика позволяет представить сложные логические зависимости между состоянием системы и ее комплектующими блоками.

При анализе сложной технической системы составляется функция алгебры логики путем анализа физических особенностей работы системы. Достоинства логико-вероятностного метода расчета надежности - отсутствие ограничения на вид функций алгебры логики для сложных систем. Но этот , метод не позволяет учитывать различные особенности эксплуатации систем как то: сложный режим обслуживания, временной резерв и другие. Таким образом, ни один из рассмотренных методов расчета надежности систем не обладаем сколько-нибудь заметным преимуществом в сравнении с другими методами. Поэтому разрабатываются методы расчета надежности, основанные на предельных теоремах теории вероятностей [18,29].

Наиболее подробно эти методы изложены в [30], где в отсутствии предположения об экспоненциальном законе распределения длительности безотказной работы элементов или длительности восстановления получены общие результаты.

На практике сложные системы зачастую эксплуатируются в условиях, когда на них воздействуют различного рода факторы, способствующие уменьшению прочности, и в конечном счете, приводящие к потере работоспособности. Это воздействия не только механической природы, а также и химические, тепловые, физико-химические. Кроме того, изделия могут подвергаться гниению, перепадам напряжения в сети и прочим разрушающим факторам. В упомянутых выше источниках задача влияния разрушающих факторов на надежность изделия не решалась. На начальном этапе эту задачу решали в основном специалисты по теории прочности, что и отражается в сохранившейся терминологии.

При проектировании технических устройств всегда стремятся обеспечить достаточный запас работоспособности изделий по отношению к различным нагрузкам, который представляет собой разность между допустимой для данных изделий прочностью и приложенной к ней нагрузкой. Запас работоспособности изделий в ряде случаев обеспечивается за счет введения резерва времени. В этом случае говорят о временной избыточности. Примером введения резерва времени может служить система, в которой при отказе ее энергоснабжения производится переключение на аварийные источники энергопитания (аккумулятор). Укажем основные источники резерва времени. Во- первых, за счет увеличения времени, выделяемого системе для выполнения ее функции (задания). Во- вторых, увеличение быстродействия, а, следовательно, и производительности устройств и систем при фиксированном запасе времени. Третьим источником временного резервирования считают функциональную инерционность систем. Примером этого может служить система аварийной защиты атомных энергетических установок.

Определение 1. Резерв времени - время, которое может быть израсходовано для восстановления технических характеристик системы с временным резервированием в процессе ее функционирования [31]. Резерв времени может быть израсходован на ремонт, обнаружение отказов, повторение работ, обесцененных отказом, ожидание загрузки в работоспособном состоянии. В качестве примера можно привести функционирование вычислительной техники. В системах, обладающих резервом времени, нарушение работоспособности не приводит к срыву выполнения задания, поскольку в течение резервного времени система может быть восстановлена. Поэтому отказом такой системы является событие, которое приводит к неспособности системы выполнять свои функции при данных условиях эксплуатации.

Таким образом, во всех системах стремятся обеспечить высокие показатели надежности и долговечности за счет введения того или иного типа резерва: времени, прочности, живучести, производительности и др. Следовательно, и математические модели функционирования столь различных систем должны быть одни и те же при условии дальнейшей их адаптации для той или иной конкретной задачи. Приведем некоторые * • литературные источники, посвященные оценке долговечности и надежности как механических систем, так и систем, содержащих электронные компоненты.

Сначала рассмотрим классические подходы к оценке надежности и долговечности изделий, подверженных механическим нагрузкам.

Определение 2. Нагрузка- совокупность факторов, воздействующих на объект и обусловливающих возникновение отказов и (или) повреждений и (или) сокращение ресурса [31].

Определение 3. Прочность (несущая способность) - свойство объекта воспринимать нагрузки и противостоять им [ 31].

Для исследования механизма процессов и оценки работоспособности изделий с учетом величин нагрузок часто используют модель "слабейшего звена", где система, состоящая из блоков, узлов и комплектующих элементов, представлена в виде цепи, состоящей из неравнопрочиых по отношению к воздействующим нагрузкам звеньев. Если нагрузка в определенный момент времени превысит прочность одного (слабейшего) или нескольких звеньев, то цепь разрывается, что соответствует отказу отдельных устройств или системы в целом.

Так как законченной теории усталостного разрушения не существует, изложим некоторые имеющиеся методы оценки долговечности при случайном нагружении и положенные в их основу гипотезы суммирования повреждений. Достаточно сложным представляется вопрос о том, что принять за меру усталостного повреждения. Некоторые авторы [32,33] считают, что процесс накопления состоит из двух стадий. На первой стадии действуют процессы упрочнения наиболее слабых и наиболее напряженных зерен и последующего образования микроскопических сдвигов, предшествующих образованию прогрессирующей микроскопической трещины. После этого наступает вторая стадия, в течении которой происходит развитие и углубление трещины. Для того, чтобы мера усталостного повреждения учитывала повреждения, накапливаемые на первой ^стадии, вводят априорную меру повреждения, равную нулю для начального состояния изделия, и единице при полном разрушении. Эта мера О является неубывающей функцией времени.

В настоящее время не существует удовлетворительной физической теории, описывающей процесс накопления повреждений. Поэтому часто для оценки долговечности используют ряд феноменологических гипотез.

Гипотеза линейного суммирования повреждений была впервые высказана А. Пальмгреном [34]. Сущность гипотезы состоит в том, что повреждение, вызываемое данным циклом напряжений, предполагается не зависящим от состояния конструкции и суммируется с повреждениями, вызванными предшествующими циклами. В этом случае приращение меры повреждения при числе циклов п} с напряжением а-, где N и (<5 ¡) -число циклов до разрушения при напряжении О]. Числу циклов до разрушения соответствует мера повреждения 0^1. Поэтому, проведя элементарные рассуждения, условие разрушения записывают в следующем виде;

При этом принимается, что для неповрежденного изделия мера повреждения 1>=0, а для изделия в момент отказа О(10}= 1, V момент наступления отказа.

Условие разрушения можно записать и в другом виде, предполагая, что каждое нагружение изделия за один цикл приносит повреждение у у Суммирование всех напряжений приводит к выражению

Эта модель не вполне адекватно соответствует процессам функционирования изделий, поскольку история нагружений не учитывается гипотезой линейного суммирования повреждений. Кроме того, начальная нагрузка или уже накопленное повреждение могут оказывать влияние на скорость накопления повреждений.

Гипотеза суммирования Кортена и Долана [35,36] использует степенной закон накопления повреждений. Мера повреждения записывается следующим образом: о У

D = mr( n-n')a, m- число зародышей повреждения, являющееся функцией напряжения а, m=f((cx); г - коэффициент скорости распространения повреждения, i-=rf2(a), 11-число циклов нагружения, п' - число циклов до возникновения очагов повреждения.

Эта гипотеза рассматривает меру D как статистическое обобщение местных эффектов, возникающих при нагружениях.

Гипотеза Фрейденталя [37] также использует степенной закон накопления, но вводит дополнительный коэффициент Q, который учитывает повреждающую способность последующих циклов нагружения. Проблема, возникающая при использовании этой модели, заключается в выборе коэффициентов Q и а.

Гипотеза C.B. Серенсена и JI.А. Козлова [38] имеет приблизительно ту же степень точности, что и две предыдущие гипотезы. Рассматривает повреждения при одноступенчатом нагружении, зависящем от условий нагружения <Jk/an и Р=1\/пн. При отношении <тк/ап<1,2 полное повреждение имеет вид \ у Щ + р \ m

VcrHJ + {3 где ш- показатель степени исходной кривой усталости, а q- показатель степени расчетной кривой усталости, которые находятся по соответствующим выражениям.

Наиболее общей и часто используемой теорией среди гипотез, основанных на физико-статистическом подходе к классу задач, связанных с накоплением повреждений в изделиях, подвергающихся циклическим нагрузкам, является теория накопления усталостных повреждений В.В. Болотина [39]. Эта теория учитывает историю нагружений. Предполагается, число циклов до отказа зависит от функции напряжения о=а(п). Метод В.В. Болотина нашел широкое применение для расчета долговечности конструкций, подверженных случайным механическим воздействиям. Этот метод основан на корреляционной теории случайных процессов и удобство его использования определяется в первую очередь тем, что исходная информация о пульсациях температур может быть представлена - в виде корреляционных функций и спектральных плотностей, по которым достаточно удобно и просто можно определить соответствующие характеристики напряжений. В методике В.В. Болотина предполагаются известными кривая усталости материала и статистические нагрузки.

Поскольку физико-вероятностный подход, как правило, предполагает ' механический или температурный характер нагружений, то он удобен для решения задач, описанных в [40]. В реальных условиях на изделие воздействует некоторое множество нагружающих факторов. В силу этого часто исйользуется стохастический подход к задачам получения и оценки показателей надежности и долговечности изделий, находящихся в условиях воздействия циклических нагрузок. Заметим, что в процессе производства изделия изготавливаются с определенной точностью, которая носит стохастический характер. Аналогично можно утверждать относительно нагрузки, воздействующей на изделие, периодичности и величины повреждения, наносимого даже Однократным циклическим нагружением. Следовательно, для учета случайного характера функционирования изделия в условиях дискретной деградации должна быть использована теория случайных процессов.

Каждый функционирующий объект может быть определен определяющим параметром г\, который служит мерой качества изделия [41]. В процессе функционирования объекта этот параметр, который в общем случае может быть и векторным, случайным образом изменяется до тех пор, пока не достигнет некоторой границы, которая называется границей рабочей области. При достижении этого критического значения происходит отказ изделия. Отказы, происходящие в результате выхода определяющего параметра за границу рабочей области в условиях плавного изменения свойств объекта, называются параметрическими. Надежность в отношении параметрических отказов называется параметрической.

Для исследования надежности конкретных объектов по данным, полученным в результате эксплуатации подобных изделий или по экспериментальным данным, составляются физические модели функционирования изделий. Часто используются физические модели типа "параметр - поле допуска" и "нагрузка - прочность" [41,42]. Эти модели имеют лишь методологические отличия, поскольку, как в одном, так и в другом случае отказ происходит тогда, когда определяющий параметр достигает границы рабочей области, но в этих моделях не учитывается циклический характер роста нагрузки, или, что то же, циклическое уменьшение прочности. В работе [43] рассматривается метод прогнозирования надежности механических элементов, подвергающихся воздействию знакопеременных и знакопостоянных нагрузок. В основе метода лежит математическая модель «нагрузка-прочность» и рассмотрен частный случай, когда нагрузка и прочность имеют нормальное распределение. Окончательные результаты могут быть получены лишь численными методами.

Понятие кумулятивного повреждения вводится в [44] и определяется как необратимое накопление повреждений в течение времени жизни, которое неизбежно ведет к списанию или отказу изделия. Таким образом, кумулятивное повреждение означает необратимое накопление механических повреждений при циклических воздействиях.

Построение моделей кумулятивных повреждений на основе теории конечных цепей Маркова было изложено в [44]. Рядом авторов [45-50] разрабатывалась модель удара, чтобы обосновать с физической точки зрения модели кумулятивных повреждений. К сожалению, методы, основанные на дискретных цепях Маркова, весьма громоздки и редко удается получать необходимые соотношения в явном виде.

В [44] отмечено, что в настоящее время поведение конструкционных материалов в эксплуатационных условиях познано не настолько хорошо, чтобы основывать модели кумулятивных повреждений (КП) на фундаментальных физических законах. Поэтому целесообразно для анализа • процессов деградации использовать теорию случайных процессов . Эти соображения легли в основу исследований по определению распределений прочности и нагрузки [51-53]. Остановимся на некоторых из них.

Распределение прочности определяют в [54] двумя способами. В предположении, что прочность элемента определяется в самой слабой точке, такое распределение определяется по минимальным значениям выборок, взятых из совокупностей с распределениями, описывающих прочность всех точек. Функция распределения в этом случае соответствует распределению экстремальных значений [54]. При втором способе делалось предположение, что слабые точки усиливаются расположенными вокруг более прочными, и, как показано, распределение прочности связывается со средними значениями выборок, взятых из совокупностей с распределениями, описывающих прочность всех точек. В этом случае функция распределения прочности есть функция нормального распределения. Например, из экспериментальных данных известно, что предел прочности на разрыв и предел усталостной прочности распределены нормально [51,52,54].

Для описания модели прочности нормальное распределение не очень удобно, поскольку имеет пределы от -со до +оо, что противоречит физическому смыслу понятия «прочность». Рядом экспериментаторов было обнаружено, что распределение прочности некоторых сплавов имеет логарифмически нормальное распределение. Некоторые авторы использовали также распределение Вей булла, наименьших значений, наибольших значений, гамма-распределение и нормальное. Выбор конкретного распределения обусловлен влиянием разнообразных факторов и требует дополнительной проверки.

В [55] отмечается, что для распределения напряжения нельзя сделать такое же обобщение, как и для прочности. Бомпас-Смит рассмотрел и привел - данные в [54] о распределениях прочности и нагрузок в различных условиях эксплуатации. Более обстоятельный обзор работ по распределениям нагрузки и прочности приведен в [44,55] .

В [56] проведено краткое описание математического моделирования динамики процессов деградации .

Процесс изменения определяющего параметра может быть линейным и нелинейным. В общем случае эволюцию параметра можно записать так где {Х( ] [>0 -действительнозначный стохастический процесс, для которого верно Р(Хо=0)=1.

Линейный характер изменения определяющего параметра подробно исследовался в [41], в предположении, что значение параметра в мщент времени I равно ж, = IV 0 + V„ где V- нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием р, и дисперсией о2. определяющего параметра случайно, а параметр изменяется в соответствии с нелинейным законом, приведен Байхельтом и Франкеным [56]. Изменение определяющего параметра описывается следующим образом

Здесь непрерывная, строго монотонная возрастающая функция I, Н(0)=0, \¥0 и V- взаимно независимые нормально распределенные величины с математическими ожиданиями р0 и р и с дисперсиями а02 и Для одностороннего допустимого интервала рассматривается следующее выражение

В [ 56] проведено моделирование изменения параметра с помощью винеровского процесса со сносом. В этом случае предполагается, что процесс дрейфа параметра описывается следующим выражением где Уг винеровский процесс со сносом. Для этого случая найдены точечные оценки максимального правдоподобия для исходного значения параметра, его математического ожидания и дисперсии.

В работе НЛ. Сальникова [57] разработаны физико-вероятностные модели и методы определения и прогнозирования работоспособности оборудования ядерной энергетической установки в условиях комплексного воздействия различных эксплуатационных факторов. Задача вероятностного

Если же {х,} =К//(/), то есть случай, когда начальное значение

IV ( =Ц^0+УН(0.

IV ( -= РГ0 + /Л - аУ, прогнозирования работоспособности оборудования ядерной энергетической установки сводится к классической задаче пересечения высокого уровня непрерывным марковским процессом. Показано, что вероятность безотказной работы находится как решение дифференциального уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова вида: а ~а{х, ) & + 2а-2 при начальном условии

0г(х,0) = I.

Там же обсуждаются методы нахождения решения этого уравнения. Использование математических моделей диффузионных процессов иллюстрируется при оценке метрологической надежности термоэлектрических преобразователей температуры. В работе [58] предлагается многомерная модель оценки параметрической надежности < оборудования ЯЭУ и на ее основе вычисляются характеристики надежности оборудования при помощи метода статистического моделирования.

Исследованию и оптимизации параметрической надежности технических систем посвящены работы Ю.В. Волкова [59-61]. В [60] показана возможность использования математических моделей исследования параметрической надежности технических систем, основанных на теории выбросов случайных процессов, теории непрерывных марковских цепей, модели марковских цепей с доходами. В [61] проведено полное статистическое описание движения режимного параметра между двумя постоянными границами с постоянной скоростью, возмущенной белым шумом, псшучены выражения для корреляционной функции и спектральной плотности режимного параметра и для вероятности первого достижения одной из границ. Проблеме создания феноменологических моделей для оценок и обеспечения надежности и безопасности реакторных установок посвящена [ 59].

В [62] получено асимптотическое выражение для распределения времени до пересечения фиксированного уровня процессом деградации изделий. Предлагаются практические рекомендации по обработке статистики и метод расчета надежности сложных систем. В работе [ 63] приводится нижняя неасимптотическая оценка для вероятности параметрического отказа высоконадежных объектов.

Разработке приближенных математических методов оценки параметрической надежности технических объектов на основе марковских моделей отказов посвящена работа Е.В. Филимонова [64]. Автором наряду с асимптотическими оценками вероятности выхода процесса за высокую границу получены также неасимптотические оценки вероятности превышения уровня марковским процессом с пуассоновской компонентой, ' описывающим скачкообразные процессы деградации.

В работе Ю.К. Беляева [65] определялась вероятность выполнения задания определенного объема за время 1 в предположении, что устройство может йметь два типа отказов. После появления отказов устройство восстанавливается, причем после устранения отказов первого типа выполнение работы продолжается, т.е. выполненная ранее работа не обесценивается; после устранения отказов второго типа выполнение задания начинается сначала. Для случая экспоненциальных распределений получен результат в виде преобразования Лапласа, а для более общего случая - в виде интегрального уравнения.

В работе Г.Н. Черкесова [66] также определялась вероятность выполнения задания определенного объема V в течении времени 1:. При этом предполагается возможность возникновения одного вйд$, отказов , после восстановления которых работа продолжается, а предыдущие результаты не обесцениваются. Для произвольных законов распределения времени между отказами и времени восстановления в работе приводятся интегральные уравнения. Для простейшего потока отказов, закона отказов Вейбулла, экспоненциального закона восстановления, закона восстановления Эрланга и постоянного времени восстановления для искомой вероятности приводятся конечные соотношения.

В работе [66] подчеркивается, что, поскольку 1>у, имеет место временная избыточность, приводящая к существенному выигрышу в надежности по сравнению с тем случаем, когда на выполнение задания отводится время

Отметим, что все соотношения, полученные при исследовании влияния резерва времени на надежность систем, достаточно громоздки, поэтому, как нам кажется, для инженерной практики необходимо иметь • методы построения асимптотических соотношений и оценок. В [30] приводятся асимптотические соотношения для вероятности выполнения задания.

Как указывалось выше, резерв времени может быть израсходован на проведение всех видов технического обслуживания, то есть каждая контрольная профилактика уменьшает резерв времени на некоторую случайную величину 0. Если же рассматривать эволюцию процесса функционирования изделия в условиях дискретной деградации, то оказывается, что каждое ударное воздействие уменьшает прочность изделия или увеличивает нагрузку на ' некоторую случайную величину 0. Следовательно, при кажущемся различии этих процессов, математической моделью надежности может служить случайный процесс накопления.

Таким образом, математической моделью исследования эволюции определяющего параметра работоспособности изделия является мш:ематическая теория восстановления. Теория восстановления возникла из рассмотрения самовосстанавливающихся совокупностей и из подхода к Ъ^жяертатю роста популяций. В.Феллер [80,81] сформулировал и впервые цршенш общие методы теории восстановления.

Определения 4, Под процессом восстановления понимают последовательность неотрицательных, взаимно независимых случайных величин {х„, п=1,2,.}, которые для п>2 одинаково распределены. Был исследован как дискретный процесс восстановления, так и непрерывный. Для непрерывного процесса восстановления получены интегральные уравнения как для функции, так и для плотности восстановления, которые имеют вид t

U{t) = G{t) + \U{t - x)dF{x)F о

Феллер показал, что решение этого уравнения имеет вид оо

CW-ÏQe*' к-О где Sk- корни уравнения F (s) = 1, F(s) - преобразование Лапласа функции F(t). Этот ряд абсолютно сходится при t>0. необходимым и достаточным условием этого является представление

00 k=0Х Sk

00 и сходимость ряда \Çk j. В этом случае г -Illkll где g(t)=G'(t).

Указанные работы .послужили толчком, к интенсивной разработке методов теории восстановления. Одним из первых общих результатов, относящихся к свойствам функции восстановления H(t), является так называемая элементарная теорема восстановления:

Hit) 1

-— при t-»00, t а оо где а = jxc/FCx')о .

Если F(x) нерешетчатое распределение, то имеет место теорема Блекуэлла:

H{i + h) - Hit) —, при t-»oo. а

Пусть распределение F(x) имеет конечный второй момент о а 2сг

Этот результат называется теоремой Смита.

Для любой неотрицательной функции Q(t) при t->oo справедлива следующая предел м гая теорема: t j са

J0(7 ~ u)dH{u) - ]Qix)dx. о а о

Следует еще указать на центральную предельную теорему при условии а2<оо.

Для более подробного изучения математической теории восстановления можно рекомендовать [10].

Как обобщение процессов ' восстановления следует рассматривать альтернирующий процесс восстановления, регенерирующий процесс и процесс накопления.

Определение 5. Если {Хп, п>1} и {Yn, п>1}- две последовательности независимых, одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, то последовательность {Хп Yn, п>1} называется альтернирующим случайным процессом.

Альтернирующий случайный процесс можно представить как функционирование элемента с конечным временем замен.

Определение 6. Случайный процесс, обладающий моментами восстановления называется регенерирующим случайным процессом. Моменты регенерации разбивают фазовый процесс на отрезки, которые называются циклами регенерации. Здесь представляет интерес уже поведение системы.

Определение 7. Пусть (Z(t)}- регенерирующий процесс, a g -действительная функция. Тогда процесс {Ct, t>0}, определенный с помощью (Z(t), t>G} и функции g( ), называется стохастическим процессом восстановления.

Однако сложность вычисления H(t) ограничивает возможность активно использовать методы теории восстановления.

Дальнейшее развитие теории восстановления прежде всего было направлено на получение оценок для функции восстановления. Так, наиболее простая оценка имеет вид

FAt)

1 t-F{t)

Эта оценка не требует никаких ограничений на вид функций Fj(t) и F(t). Рядом авторов получены оценки H(t) для различных классов распределений. Приведем некоторые из них.

Отметим, что можно записать ряд оценок для среднего времени первого пересечения уровня х, используя оценки для функции восстановления Н(х), приведенные в [56]. мв мв С(х) - вк (X) С(х) - 0К (х) где о о —ш]-------=----,Ь] = зир--—--, 9?- множество всех хещ О(х) О(х) х>0, для которых 0(х)<1. О}>(х)=- \С(1)сН. Таким образом, функция

МВ ^

Ся(х) однозначно выражается через функцию распределения С»(х) и наоборот. Очевидно, что Ор.(х) принадлежит классу НСЛИ (НСХИ) тогда и только тогда, когда Оп(х) > С(х) и 0(х) есть НСЛИ (НСХИ)- распределение.

НСЛИ (НСХИ)- новое в среднем лучше (хуже) использованного.

2. ад^^-с^х)^-^--!, мв мв поскольку в(х>"°я<х> > (х) >

1-0(х)

Ах Если обозначить через V ц(х) = —■ — - интенсивность отказов

Он(х) функции распределения Оя(х), то

Сг(х) <Э(х) X ук(х)

00

О х

Тогда из предыдущих оценок можно получить следующую г 11 х 11 „ 1 + —-— < //(х) ^ ——— 1 + ——вир

МВ МВ МО МВ у(х) поскольку т/ g(t)Sinf gR(x) и вир g(t)>sup gR(x), хсЯ /с<Л хсЧЙ tëЯ где \>(х) = -^х сЮ(х ) с1х 'С(х) х

4. Выражение //2 (л) - ——имеет место только тогда, когда Г(х)=Ск(х).

МВ

Очевидно, что если О(х) есть функция распределения из класса НСЛИ (НСХИ), то

Н2 (х) < -—-. мв

Подставляя это неравенство в уравнение восстановления, получаем более точные оценки 1

Я2(х) < О(х) 4 -—- [(х.ОсЮ(П мв С(х) + С(х) - С,(х) = С(х) + т~ - С1{ (х) /

МВ мв ■[ мв

Тогда имеем

Н2(х)< +С?(х)-СЛ(х),

• (2) МВ причем Ср(х)<е для всех х>0.

5. Для случая, когда О(х) из класса ВФИ-распределения (ВФ.И- возрастающая функция интенсивности)

Х 1 ^ тт / ч

---1<Я2(х)ьху х

С(()Ж \Сг{{)Ж о • о

Но в то же время проводились исследования , направленные на практическое применение теории восстановления и порожденных процессами восстановления случайных процессов. Имеется довольно обширная литература, однако мы остановимся на rex источниках, которые имеют непосредственное отношение к данному исследованию. Так, [9,82,83] теория восстановления используется для анализа систем массового обслуживания, Методы теории восстановления нашли наиболее широкое применение в теории надежности, так как процесс функционирования восстанавливаемых систем с достаточной степенью точности соответствует математическим конструкциям теории восстановления. Здесь можно указать на великолепные книги по этим вопросам, на которых обучалось не одно поколение специалистов в теории надежности [4, 67, 12, 56, 84].

Общее понятие процесса накопления было дано Смитом [68-71]. Показано, что процесс накопления порождается процессом восстановления. Поэтому методы исследования процессов накопления аналогичны тем, которые используются в теории восстановления. Там же приводятся асимптотические исследования случайного процесса накопления. Нетрудно убедиться, что процесс накопления может быть построен на траектории регенерирующего случайного процесса. Это обстоятельство используется, когда исследуется экономическая эффективность технических систем [71, 30]. При4решении задач определения сроков технического обслуживания систем использовались случайные процессы накопления, однако на этом не заострялось внимание.

В [30, 85] процесс накопления используется для анализа надежности изделий, на которые воздействуют ударные нагрузки, только в асимптотической постановке, для чего использовалась центральная предельная теорема для процессов восстановления.

В [67] рассматривается модель ударных воздействий, приводящих к двумерным распределениям. Рассматривается двумерное экспоненциальное распределение наработки на отказ для случая, когда ударное воздействие не обязательно приводит к отказу, а также двумерное пуассоновское распределение и двумерное с маргинальным гамма-распределением. И даже в случае независимости источников ударных воздействии конечные соотношения весьма сложны. «Ударная» модель надежности, приводящая к двумерному распределению времен жизни, приводится в [78 ].

Применительно к теории надежности процесс накопления рассмотрен в [55], где вводятся понятия "независимых" и "фиксированных" случайных процессов, которые не общеприняты в теории вероятностных процессов. Рассматривая различные комбинации детерминированных и. независимых случайных процессов вычисляется вероятность безотказной работы изделий в предположении, что моменты времени приложения ударных нагрузок удовлетворяют закону Пуассона. Кроме того, в [78 ] введено понятие коэффициента безопасности. Результаты носят узкий характер.

Ф.Байхельт и П.Франкеи [56] используют процессы накопления для • изучения дискретного процесса деградации. Там же введено понятие кумулятивного процесса, частным случаем которого является процесс накопления, исследуются асимптотические свойства кумулятивных процессов.

Под несомненным влиянием классической работы [10] и в ее продолжение выполнены исследования применительно к надежности изделия в условиях циклической деградации [73-77]. Так, в работе [73] рассматривался процесс функционирования изделия, находящегося под влиянием ударных нагрузок в предположении, что последовательность ударных воздействий является Пуассоновским процессом и что нагрузка и прочность' являются случайными величинами. Показа ¡ ели надежности определялись путем решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Найдена взаимосвязь между вероятностью безотказной работы изделия, средней наработкой на отказ и средним ресурсом, а также рассмотрены частные случаи. Вероятностная модель, основанная на теории случайных процессов накопления, послужила базисом для исследований [74], результатом которых являются выражения для показателей надежности изделия, полученные в явном виде. Получено соотношение для такого важного показателя, как время первого пересечения уровня х. Полученные выражения отражают динамическую связь между нагрузкой и прочностью.

В работе [77] получены соотношения для вероятности безотказной работы изделия, среднего коэффициента безопасности изделия и средней наработки на отказ изделия без каких - либо предположений о виде законов распределения. Поскольку в общем случае вычисление указанных показателей сопряжено со значительными аналитическими трудностями, в данной работе основное внимание уделено получению оценок и неравенств. Полученные оценки и неравенства легко могут быть использованы в • инженерной практике. Проведено исследование такой важной динамической характеристики надежности, как средний коэффициент безопасности изделия, который является функцией среднего числа циклов приложенной нагрузки, * и показывает, во сколько раз средняя прочность превосходит среднюю нагрузку в каждый момент времени.

1.2. Постановка задачи

Из приведенного выше обзора научных работ, не претендующего на полноту, следует, что к настоящему времени математические методы анализа систем, функционирующих"в условиях деградации, все еще находятся в стадии, разработки. Выше было показано сходство, с математической точки зрения, систем, обладающих резервом времени, который расходуется на контрольно- профилактические мероприятия, и изделий, функционирующих в условиях дискретной деградации. К задачам такого типа относятся задачи обеспечения живучести объекта, т.к. необходимыми условиями живучести является наличие структурной, функциональной, временной и других видов избыточности. В процессе функционирования таких систем запас живучести уменьшается. Следовательно, должна быть разработана математическая модель, которую можно было бы использовать для решения указанных выше задач. По нашему мнению, наиболее удобной, то есть позволяющей наиболее просто получать необходимые соотношения, является модель, основанная на теории случайных процессов накопления.

Остановимся на употреблении понятий "нагрузка" и "прочность". Во многих случаях под этими понятиями подразумевают свойства системы, подвергаемой механическим нагрузкам. Однако, в нашем случае зги термины мы будем употреблять в более широком смысле применительно к самым разнообразным ситуациям, выходящим за рамки традиционных • механических систем или строительных конструкций. "Нагрузкой" будем называть любой фактор, способствующий возникновению отказа, тогда как "прочностью" назовем любой фактор, препятствующий его возникновению. Под нагрузкой можно понимать определяющий параметр, характеризующий работоспособность, и в зависимости от типа объекта ими могут быть: колебания напряжения в сети, пульсации температуры, давления, радиационного излучения* вибрация и др. В дальнейшем мы будем употреблять это понятие не уточняя его физический смысл. Прочность изделия можно определить как максимальную нагрузку, влекущую за собой отказ изделия при определенных условиях эксплуатации.

Остановимся сразу на постановке задачи нахождения показателей надежности и долговечности, используя математическую модель эволюции изделия, основанную на теории накопления. Рассмотрим изделие, на которое воздействуют пульсации напряжения. Пусть пульсации возникают в моменты времени 12.Обозначим через через т/ = Мм. Случайные величины т/

1=1,2. распределены с одной и той же функцией распределения Р(1)= Р(т;< I) Тогда {%1 , I > 1 } есть процесс восстановления. Процесс восстановления порождает случайный процесс накопления, связанный со случайными величинами ©¡. ©•, - величина износа изделия, приносимая 1-м воздействием. Таким образом, процесс образованный значениями ©; (]>]) называют процессом накопления (см. рис. 1.1.).

Введем в рассмотрение две случайные величины Ц и 2Х. Случайная величина определяется следующим соотношением

N¡(1)

NI (I) - 1,2.

1~0, кло^о означающим, что величины 0; суммируются до некоторого момента времени 1:, Ь, - накопленная нагрузка изделия к моменту времени 1. Вторая случайная величина Ъх вводится аналогично

N,0х)

М2(х) = 1,2. \ ¡Ч;(Х) = 0

2Х - случайная наработка при заданной допустимой нагрузке х. Уже упоминалось, что моменты Т| образуют процесс восстановления, аналогичное следует утверждать относительно величин ©¡. Тог да N^1) и N2(1) есть случайные числа соответствующих циклов восстановлений, которые позволяют ввести функции восстановления с помощью следующих уравнений. t

Я, (/) = F{t) + J//t (t - v)dF{y), о r

H2 (x) = G(x) + f //2 (x - F), о где Hi(t)=MNi(t), a )42(x)=IV1 N2(x).

В дальнейшем для простоты будем обозначать Ni(t)=Nh N;.(x)=Nx, е4 з ©2

1 ©о А t2

Рис 1.1. Процесс накопления нагрузки.

В данном описании процесса накопления повреждений предполагается, что на изделие воздействуют возмущения только одного типа. Нетрудно убедиться, что можно обобщить на многомерный случай.

Таким образом, предметом данной диссертационной работы является исследование процесса эволюции изделий, функционирующих в условиях дискретной деградации. При исследовании должны быть решены следующие задачи: Обосновать и разработать математическую модель динамики определяющего параметра работоспособности изделий, (функционирующих в условиях случайных циклических нагрузок, причем изделие характеризуется некоторой прочностью и начальной нагрузкой.

• Вывести соотношения для показателей надежности и долговечности изделия, прочность которого является как случайной величиной, так и детерминированной, а также и нестационарным случайным процессом.

• Получить инженерные соотношения для показателей надежности и долговечности для различных законов распределения как для начальной нагрузки* приложенной к изделию, так и для прочности его с заданным законом распределения и распределения воздействующей циклической нагрузки.

• Получить оценки и неравенства для вероятное™ безотказной работы, среднего времени до первого пересечения определяющим параметром уровня и среднего коэффициента безопасности без каких-либо предположений о законах распределения.

• Изучить асимптотические свойства процесса функционирования изделия в условиях накопления повреждений и получить соотношения для вероятности безотказной работы изделия и среднего коэффициента безопасности работы при числе нагружений, стремящемся к бесконечности.

• Обобщить математическую модель функционирования изделия для случая, когда на изделие воздействует многомерная случайная нагрузка и получить асимптотические соотношения для показателей надежности.

В результате должны быть получены соотношения для показателей надежности и долговечности ,' либо их оценки в виде, пригодном для инженерного использования.

Гпава 2. Математическая модель надежности и исследование показателей безотказности и долговечности изделия при фиксированном значении прочности.

Выводы

В результате выполненной работы :

• Обоснован выбор математической модели динамики определяющего параметра работоспособность изделия, функционирующего в условиях случайных циклических нагрузок, основанной на теории случайных процессов накопления.

• Получены как асимптотические, так и неасимптотические соотношения для математического ожидания и дисперсии действующей на изделие нагрузки с учетом начальной нагрузки и без нее.

• На траекториях случайного процесса накопления определены показатели надежности и долговечности изделия. Выведены соотношения для показателей надежности и долговечности изделия, прочность которого является как случайной величиной, гак и детерминированной, а также с учетом функции усталости.

• Получены инженерные соотношения для показателей надежности и долговечности для различных законов распределения начальной нагрузки приложенной к изделию и прочности его с заданным законом распределения воздействующих циклических нагрузок.

• Получены оценки и неравенства для вероятности безотказной работы, среднего времени до первого пересечения определяющим параметром уровня прочности и среднего коэффициента безопасности по запасу прочности без каких-либо предположений о законах распределения. Показано, что средний коэффициент безопасности может быть использован для экспресс-оценки вероятности безотказной работы изделия. Получена верхняя оценка вероятности безотказной работы, при условии, что

177 накопленная нагрузка имеет ВСФИ- распределение.

Изучены асимптотические свойства процесса функционирования изделия в условиях накопления повреждений и получены соотношения для вероятности безотказной работы изделия, средних коэффициентов безопасности по запасу прочности и наработке и среднего времени до массовых отказов изделий при числе нагружений , стремящемся к бесконечности. Обобщена математическая модель динамики определяющего параметра работоспособность изделия для случая воздействия многомерной случайной нагрузки. Показано, что процесс восстановления, порожденный многомерной случайной нагрузкой является суперпозицией одномерных независимых процессов восстановления.

• Получены распределение накопленной нагрузки и .наработки при воздействии п- мерной ударной нагрузки. Получены оценки и неравенства для показателей надежности и долговечности. Предложен метод вычисления средней наработки до пересечения уровня прочности.

9 Используя полученные результаты выполнен анализ надежности трубопровода ДУ-500 реактора ВВЭр-440, интегральных схем, экранных труб НРЧ электрических станций. Получены количественные значения показателей надежности и долговечности.

1. Von Newmann J. Probabilistic logics and synthesis of reliable organisms from unreliable components. Ann. of Mathem. studies, N34, Princeton Univer. Press. 1956.

2. Мур Э. Ф., Шэннон К. Э. Надежные системы из ненадежных реле. / Пер. с англ., //В сб. "Кибернетический сборник". М.: Ил. 1960.

3. Bharucha-Read А.Т. Elements of the theory of Marcov processes and their applications. Mc Craw Hill Co. 1960.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука. 1965.

5. Райкин А.А. Вероятностные модели функционирования резервированных устройств. М. : Наука. 1971.

6. Половко A.M. Основы теории надежности. -М: Наука. 1964.

7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания,- М.: Наука. 1971.

8. Ю.Д.Кокс, В. Смит. Теория восстановления.■• М. "Советское Радио", 1.967,-,298 с.11 .Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания.~ М.: Радио и связь: 1981.

9. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем : Пер. с нем.-М : Мир. 1979.

10. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем,- Киев: Наукова думка. 1978.

11. Королюк B.C., Турбин А.Ф. анализ асимптотических укрупняемых сложных систем. Математизация знаний и научно-технический прогресс. -Киев: Наукова думка. 1975.

12. Коваленко Й.Н. Исследования по анализу надежности сложных систем -Киев : Наукова думка. 197 5.

13. Турбин А.Ф., Полищук Л.И. Об одном случае сходимости полумарковского процесса, зависящего от малого параметра, к нестандартной цепи Маркова с непрерывным временем.// Теория случайных процессов. Киев: Наукова думка. 1974. №2, с. 107-113.

14. Коваленко И.Н. Предельные теоремы теории надежности.// Кибернетика. 1977. №6, с. 106-116.

15. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова.- М.: Наука. 1970.

16. Кистаури Э.И. Об укрупнении состояний непрерывных цепей Маркова.// Сообщения АН ГССР. 1976, №2.

17. Малашинин И.И., Перегуда А.И. Об алгоритме максимального укрупнения состояния однородного иарковского процесса. М.: 1983.-23 е.- (препринт1. ИАЭ-3844.16).

18. Гурвиц Л.Н., Захарин А.Н. Теоретические и прикладные аспекты укрупнения марковских цепей. Киев. 1984- 34 с. - (препринт /АН УССР, Ин-г кибернетики: 84-63).

19. Перегуда А.И. об одном алгоритме расчета надежности сложных технических систем.// Тезисы доклада на НТС / Вопросы обеспечения надежности сложных технических систем на этапах разработки, производства и эксплуатации (ДСП) М.: Изд-во МД НТП. 1981.

20. Рябинин И.А., Черкесов Т.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. -М.: Радио и Связь. 1981.- 263с.

21. Рябинин И. А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. -Л.: Судостроение. 1971.

22. Рябинин И.А.„ Киреев Ю.Н. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования. -Л.: Судостроение. 1974.

23. Соловьев А.Д. Математические методы анализа восстанавливаемых систем. -М.: Знание. 1982.

24. Вопросы математической теории надежности. /Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляер и др.: под редакцией Б.В. Гнеденко М.: Радио и Связь. 1983.

25. Иванова B.C. , Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. М., "Металлургия". 1975.34,Palmgren А. Die Lebensdauer von Kugellagern.-"Z. Vereines Deutsch. ingr.", 1924, Bd 68, N14.

26. Corten H., Dolan Т. Cumulative fatigue damage. inA Proc. intern. Conf. On Faticue of metals. London, 1956, pp. 213-228.

27. Strating I. Fatigue and stochastic loadings. Pergamon Press Delft, 1973, p. 347.

28. Freudenthal A.M. New aspects of fatigue and fracture mechanics. «Engineering Fracture Mechanic», 1974, v. 6,N 4, p. 775.

29. Серенсен C.B., Шнейдерович P.M., Когаев В.Г1. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. Справочное пособие. Изд.З-е. М.: Машиностроение, 1975

30. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат. 1965.

31. Москаленко В.Н. Харионовский В.В. Прочность элементов теплообменных устройств в условиях случайных пульсаций температур. -М.: Атомиздат, 1979,- 168 с.

32. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем.// М., "Энергия", 1977.42.0стрейковский В.А. Многофакторные испытания на надежность. М.: Энергия. 1978.

33. Kececioglu D.,Lammare G. Prediction of the reliability of mechanical components subjected to combined alternating and mean strsses with non-constant stress ratio. «Microelectronics and Reliability», 1980, 20,No l-2, pp. 4554.

34. Дж.Богданофф, Ф. Козин. Вероятностные модели накопления повреждений: Пер. с англ.-М.: Мир, 1989. -344 с.

35. Tiedge, J. Kumulative stichastische Prozesse zur Modellierung von Verschleibprozessen. Die Technik 33, 1978, 616-619.

36. Aerospace Structural Metals Handbook, Syracuse University Press, 1963.

37. American Society for metals, Metals Handbook, Properties, and Selection, v.l,8th ed. 1969

38. American Society for Testing Materials, Symposium on Statistical Aspects of Fatigue, ASTM Special Technical Publication No 121, June 19, 1951.

39. American Society for Testing Materials, Symposium on Fatigue with Emphasis on Statistical Approach II, ASTM Special Technical Publication No 137, June 24, 1952.

40. Haugen E.B., Probabilistic Mechanical Design, The University of Arizona, Tuscon, Arizona, 1974.

41. Mischke C., A Method of Relating Factor of Safety and Reliability. Journal of Engineering for Industry, Transactions of ASME, pp 537-542 (August 1970).

42. Bompas-Smith J.H. Mechanical Survival: The use of Reliability Data, Ed. R.H.W.Brook, New York, McGraw-Hill, 1973.

43. Капур К., Ламбертсон JI. Надежность и проектирование систем. М.: Мир . 1980.

44. Ф.Байхельт, П. Франкен. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер. с нем- М. "Радио и связь", 1988. 392 с.

45. Сальников Н.Л. Разработка методов теории вероятностного .прогнозирования работоспособности оборудования ЯЭУ. Автореф. дисс. на соиск. д.т.н. М.: 1995.

46. Козин 'И.О., Сальников Н.Л. Оценка параметрической надежности оборудования ЯЭУ методами многомерных диффузионных процессов. / ВАНТ, серия «Физика и техника ядерных реакторов». 1985, вып. 10, 1-92,с. 74-76.

47. Ю.В. Волков, О.П. Лукша, Г.А. Реймаров. Исследование и оптимизация параметрической надежности технических систем. М.: ЦНИИатоминформ, 1983.

48. Ю.В.'Волков, В.К. Назаров. Вероятностные характеристики реакторного режимного параметра, представленного одномерным диффузионым процессом с постоянным коэффициентом сноса. ФЭИ-1134. Обнинск: ФЭИ, 1982, -12с.

49. Ю.В. Волков. Теоретико- расчетные модели для оценок и обеспечения надежности и безопасности реакторных установок. Обнинск, Ядерная энергетика. №6, 1995.

50. E.B. Филимонов. Автор, дисс. на соиск. к. ф.-м. н. «Асимптотические и неасимптотические методы расчета параметрической надежности объектов». Обнинск 1995.

51. Беляев Ю.К. Производительность при наличии двух типов отказов. Сб. «Кибернетику на службу коммунизму», т.2. «Энергия», 1964.

52. Smith W.L. Regenerative stochastic processes. Proc. Roy. Soc., A, 232, pp. 613.

53. Smith W.L. Extensions of renewal theorem. Proc. Camb. Phi!. Soc. , 51, pp. 629-638.

54. Smith W.L. On renewal theory, counter problems and quasi-Poison processes. Proc. Camb. Phil. Soc,, 53, pp. 175-193.

55. Smith W.L. On the cumulants of renewal processes. Statistical Laboratory, University of California ONR6 technical report.

56. А.И. Перегуда Автор, дисеер. на соиек. уч. степ, д.т.н. "Аналитические методы управления надежностью автоматизированного технологического комплекса "Объект защиты система безопасности"" С-П. 1993 г.

57. A.I. Pereguda, I.A. Soborova. Evaluation of Reliability Indices considering Impact Loads./ ASME-.ISME 4th International Conference on Nuclear Engineering./ New Orleans, Louisiana, March 10- S 4,1996

58. A.I. Pereguda, I.A. Soborova. Consideration of Shock Effects in Problems of product Reliability ./Annual Meeting on Nuclear Technology '96. /Mannheim, May 21-23 1996.

59. И.А.Соборова . Оценка показателей надежности изделий электроники с учетом ударных воздействий циклических нагрузок. Тезисы докладов межвузовской научно-технической конференции "Микроэлектроника и информатика". МИЭТ, апрель 1996.

60. A.I.Pereguda, I.A.Soborova. Some Reliability Indices for products under Impact

61. Loads. ICONE5 (CD-rom publication,) ICONE5 2518.

62. А.И. Перегуда, И.А. Соборова. Оценка показателей надежности изделий, функционирующих в условиях ударных нагрузок./ Ядерная Энергетика, №3, Обнинск, 1997.

63. Д.Р. Кокс, Д. Оукс. Анализ данных типа времени жизни. -М.: Финансы истатистика, 1988.-191 с.

64. Хард и Г., Литхвуд Д., Полиа Г. Неравенства.: М.: ИЛ. 1948.

65. Feller W., Fluctuation Theory of Reccurent Events. Trans.Am., Math. Soc., vol 67, pp. 98-119, 1949.

66. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложение, т. 1, 2-из. М.: Мир. 1964 г.

67. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука. 1976.

68. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение. 1979.

69. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Сов., радио. 3.969.

70. Барзилович EH., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.: Сов. радио. 1971.

71. Аитонов A.B., Острейковский В.А. Оценивание характеристик надежности элементов и систем ЯЭУ комбинированными методами. М.: Энергоатомиздат., 1993.

72. Миронов Н.В. Метод прогнозирования надежности изделий микроэлектроники на основе моделей нелинейного изменения параметров, сб. Вопросы кибернетики. Надежность испытания и эксплуатация высокопроизводительных ЭВМ. М.: 1991. сс 32-38.