автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование, численные методы и комплекс программ для задачи взаимодействия двух экономических агентов

005010012

ФЕДОРОВА ЕЛИЗАВЕТА АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ АГЕНТОВ

Специальность 05Л3.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 С 033 7-012

Тверь 2012

005010012

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Н. А. Семыкина Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент М. Ф. Маливинский, доктор технических наук, профессор И. П. Болодурина

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тверская государственная

сельскохозяйственная академия»

Защита диссертации состоится 2 марта 2012 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., д. 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, г.Тверь, ул.Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан « 2 » Февраля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета <-—'

доктор физико-математических наук, Г. М. Соломаха

доцент /у

Актуальность темы исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов.

Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов.

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта.

Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.

Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллмана, Л. С. Понтрягина, Л. Калмана, Н. Н. Красовского, У. Флеминга, А. Фридмана.

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. Ф. Габасов, Р. В. Гамкрелидзе,

A. Я. Дубровицкий, Ю. Г. Евтушенко, В. И. Зубов, А. Д. Иоффе, Ф. М. Кириллова,

B. Ф. Кротов, Г. Лейтман, А. А. Милютин, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев,

Н. Н. Петров, В. М. Тихомиров, Ф. Л. Черноусько, С. В. Чистяков, В. А. Якубович, Д. Эллиот.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов,

позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов, В. 3. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков, В. А. Колемаев, Г. Б. Клейнер,

В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров, И. Г. Поспелов,

Ю. Н. Черемных, А. А. Шананин, а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев, Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей, Д. Ромер, Дж. фон Нейман, Р. Солоу, Р. Харрод, К. Эрроу и другие.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов,

позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, в частности, возникновение и развитие кризисных ситуаций, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В

связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и актуальной.

Целью работы является нахождение и исследование аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, которая формализует модель взаимодействия двух экономических агентов.

Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе исследуемой модели методами математической теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления и разработке численных методов построения оптимального решения.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом динамики численности трудовых ресурсов.

2. Динамическая модель взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества.

3. Результаты исследований динамических моделей на наличие особых оптимальных режимов.

4. Результаты исследований по оценке влияния параметров динамических моделей взаимодействия двух экономических агентов на оптимальное решение.

Научная новизна:

1) новизна математической модели взаимодействия двух экономических агентов заключается в учете ограниченности роста численности трудовых ресурсов;

2) динамическая модель взаимодействия двух экономических агентов в отличие от известных моделей рассмотрена как управляемая нелинейная динамическая модель, позволяющая построить оптимальное решение при различных параметрах;

3) при исследовании динамической модели выявлены условия возникновения особых режимов оптимального управления и получено аналитическое выражение особого оптимального управления;

4) построены решения для различных функционалов, зависящих от параметров модели, и исследовано влияние этих параметров на оптимальное решение.

Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм различных сфер деятельности: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.

Разработан программный комплекс в среде Вог1апс1 йе1рЫ 7, реализующий алгоритмы численных методов построения оптимального решения для различных функционалов, производственных функций и параметров модели.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизации, на применении физически обоснованных исходных данных, на согласованности полученных результатов моделирования с соответствующими статистическими данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения обсуждались и докладывались на второй Российской школе-конференции с международными участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г. Тверь, 2010 г.); на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (г. Казань, 2011 г.); на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (г. Казань, 2011 г.), на семинарах Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук (г. Москва, 2011 г.).

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и изложена на 152 страницах. Имеется 3 приложения. В диссертации 60 рисунков, отражающих результаты моделирования. Список литературы включает 89 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается выбор темы, ее актуальность и значимость, сформирована цель и задачи исследования, теоретическая и методологическая база исследования. Приводятся основные научные и практические результаты, положения, выносимые на защиту. Дана структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе проводится сравнительный анализ методов исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений: численных методов (методы Рунге-Кутта, методы Адамса, метод Ньютона, метод коллокации, метод стрельбы, методы из математических пакетов МаЛаЬ, МаЛСа<1, Мар1е), методов теории устойчивости решений и теории оптимальных процессов (принцип максимума Л.С. Понтрягина, необходимые условия оптимальности, достаточные условия оптимальности, численные методы решения задач оптимального управления).

Во второй главе описана общая структура модели, в которой выделяются два экономических агента: банк и фирма.

Построение модели опирается на общие положения, модели и методы системного анализа экономики. Главные предположения, на которых основано математическое описание модели:

1. Производство однородного продукта осуществляет фирма, которая

функционирует ради извлечения максимальной прибыли.

2. Все произведенные продукты обращаются в товар.

5

3. Учитывается численность рабочих, которые получают доход в виде заработной платы.

4. Часть дохода фирма расходует на затраты производства и погашение кредитов, другую часть - размещается на счете в банке.

5. Банк осуществляет финансовую деятельность в виде кредитов и обслуживания текущих счетов фирмы.

6. Деятельность внешней экономической среды, с которой взаимодействует рассматриваемая фирма, и торгово-посреднические структуры, обслуживающие обращение товаров не рассматриваются.

Комплексная модель деятельности и отношений двух указанных субъектов экономики формализована в виде:

К'(г) = ■-/|К(0+ Ы$)АКа{$)1?{}), Ф)=К0, (1)

<*'(0 = (П (0 - й(0М0+(1 - 0[(1 - в - Ь(фка (/)// (/)- ml.it)], йф) = 4), (2)

^'(0=г2(Ф(0+ф(0-Л(,М0. Ф)=^о. (з)

( т ( \ \

/.'(О = «1(0 1 - 7^- + у{о>Щ), 1(0)=А), (4)

ч Апах ,

где К (г) - капитал фирмы, /.(/) - численность наемных работников,

У({)= АКа ({)1?({) (А>0, а>0, />0) - производственная функция, задающая технологию производства, с?(/) - текущий банковский счет фирмы, .?(/) - величина задолженности фирмы перед банком, /л - коэффициент амортизации капитала, б(/) (0 < б(/) < 1) - функция, характеризующая инвестиционных поступлений, - ставка

банковского счета, г2({) - ставка процента на кредит, ф(/) - величина кредита, а (0<а<1) - коэффициент материальных затрат, /г(;) (0<А(г)< 1) - коэффициент погашения задолженности, п - коэффициент прироста численности наемных работников, а - ставка заработной платы, V - ставка налога на прибыль, у (со) -функция, характеризующая привлечение кадров за счет увеличения заработной платы. К0 с1й, - заданные начальные значения функций.

Построенная модель (1) - (4) отличается от известных моделей следующим:

1. Динамика трудящихся описывается логистическим уравнением Ферхюльста с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы у(а>).

2. Задолженность списывается непосредственно с банковского счета фирмы.

Данная модель дает возможность рассчитать уровень производства фирмы, а также прибыль в зависимости от капитала, числа наемных работников, ссудного процента банка и процента начисления на сбережения, а также определить тенденции развития фирмы.

Проведено исследование математической модели на устойчивость. Показано, что неуправляемая модель не является устойчивой. Данные факт подтвержден численным экспериментом.

Проверена адекватность построенной модели с использованием методов математической статистики.

В третьей главе рассмотрено взаимодействие описанных во второй главе экономических субъектов, которое происходит в процессе их экономической

6

деятельности. Каждый экономический агент преследует свою цель, которая может быть достигнута на имеющихся ресурсах системы.

Таким образом, в зависимости от интересов каждого из экономических агентов получены различные критерия качества.

Решены следующие задачи оптимального управления:

1. Задача оптимального управления деятельности фирмы.

Предполагается, что фирма так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него максимальную прибыль и сократить к концу отчетного периода задолженность перед банком до минимума:

Т

}<Га(l- к)[(1 -a- b(t))Y(t)- cob(t)]dt - s(T)-» max, (5)

о

где 6 - дисконтирующий множитель. Фирма достигает поставленной цели, управляя инвестиционными отчислениями *(() (0 < Йт;п < b(t) < 6тах < 1) и величиной погашения кредиторской задолженности h(t) (0<hmin<h(t)<hmmi<\). Функции K(t), L{t), s{t), d(t) выступают как фазовые функции с естественными для экономических величин ограничениями: 0 <K(t)<Kmax, 0 <Lm^<L(t)< 1^^, О <s{t)<K(t), d(t)> 0.

Для поставленной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями (1) -(4), (5) получены необходимые условия оптимальности.

Пусть {~K(t\d(t),s(t),L(t),b(/),Щ) - оптимальный управляемый процесс в задаче. Тогда существуют не равные одновременно нулю векторы-функции

-> R и неотрицательные регулярные меры щ, / = 1,7, сосредоточенные на соответствующих множествах 7] = {/ s [0,Т]: Kmin - К(/)= О}, Т2 ={t 6 [0,7-] Kmta=0},

T3 = {te [0, T\: -d(t) = 0}, T4 = {/ 6 [0, Г]: -s{t) = 0}, T5 = {/ e [0, T]: 5(/) - K(t) = 0},

T6 = {t e [0, T]: Lmm - L(t) = 0}, Г7 = {/ e [0, T]: l(t)-Zmax = 0} такие, что

1) векторы-функции pK^\Pd^\Ps^\pL^) являются решениями интегральных уравнений

Рк(‘)= j[(l ь(т))л аКа~х (т)Р (г ipd (г) + е~6т)+

t

т т т

+ Рк{т^И + Ь{т)АаКа~х(т)1Р(г^г+ jdjjj - |ф2 + s [0,г],

t t t

T T

Pd(‘)= Jin рик)-4*1рл{т)+ Р.А*)УТ+ \dPi,te[Q,T\ t t

T T T

Ps(‘)= fr2Ps(r)dr+ \dP4 - \dfi5,t^,T\ t t t

T

Pi(0= ^-У%-а-Ь{т^Арка^)р-\г)-со^-а + pd{r^+ t

- Рк(т)ь^)АРКа{т)^ 1{t)+pl{t

V ^max )

Т Т

* + |ф6 - |Ф7. ' е [О.^ 1

I /

с условиями на левых концах рк(0)=0, р^ (о) = 0, рх (о) = О, р/,(0) = 0.

2) почти при всех г е [0,7] выполняется равенство

й(1-у)1(1-а-4(о>^а(ог^(о-®цо]+^(4-^(')+б(о^ам^м]+

(0 (п - Л (0№+ (! - ^)[(1 - а -Щ)лка (})Р (/)- <уГ(0]+ Л (0Ь«(0 + ф -*№(')]+

е

+Pd

+Pi(0

шал п <*f/)<*mi mmS4')S*nm

И о - 41 -а - kovik а w - (')]+

Prf w[(n - *('M0+(l - v)[(l - а - b(t))AKa (') - {(

Ps (')M(0+ф - *№(0]+pl W (0(i - -f^-)+Н®)Д0

+ Лс(0

+

Однако применение принципа максимума в таком виде затруднительно. Поэтому для решения задачи применен метод штрафных функций. В результате функционал задачи представляется в виде:

\e~a(1 - v)[(l-a-b(t))AKa(t)L/J(t)-o)L{t)\lt -s{T)-

0

T T

- jAk(m^x{Kmin-K(t\o})2dt- jBk(max{A-(/)- A'nlax,0})2dt- (6)

0 0

T T

- \ck(max{-d(t),0})2dt- jDk(max{-s(t),0})2dt -

о о

T T

- jEt(max{s(t)-K{t),0}Ydt-^(max^ - L(t),0})2dt-

0 0

T

- jG^max^O-imax.O^tft-^max,

0

где Ak,Bk,Ck,Dk,Ek,Fk,Gk (k = 1,2,3...) - штрафные коэффициенты.

Принцип максимума Понтрягина для задачи (1) - (4), (6) формулируется в следующем виде. Пусть (к((),L(t),d(/),s(t),b(i),h(t)), t s [о,г] - локально-оптимальный процесс в этой задаче, тогда

1) оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина b{f]AK«mipK(f)-(l-yipd{fbe-a}=

= max b{t)AKa(t)P(tipK{t)-{l-vipj(t) + e~a]j,

-h(tjd(tXps(t)+pd{t))= max {-h(tjd(t)(ps(t)+ pd(t))\

Лт m<h(l)<hm„

2) сопряженные функции рк (/), pd (t), ps (/), pl (t) являются решением системы уравнений

р'к (0 = -(! - vXl - а - b{t))AaKa~l {f)lp{)ipd (f)+ е~а)- рк (»)(- ц + b{t)AaKa~x (/)lP (г))-

-2Ак тах{Ктм -К(1\о} + 2Вк тах{к(/)- Ктах,0}-2Ек тах^)- ЛГ(/),0}; Ра (0 = -<\Ра (О+л('Хл/ (')+Ри (0) - 2Ск тах{- а{{), 0}; Р^)=-ПРг(д-2°к тах М01О}+2£* шах

“РлМ

2^к шах{^т;п /,(/),О)+2Ск тах{/,(/) Атах,0};

и выполняются условия трансверсальности на правом конце: рК(т)=0, (т) = 0,

Р,(Т)=~ 1, Р£(Г) = 0.

Проведено сравнение необходимых условий оптимальности для поставленных задач. После дифференцирования по I в предположении, что меры в интегральных уравнениях имеют плотность />,,; = 1,7 и сравнения дифференциальных уравнений для сопряженных переменных, получено, что соответствующие штрафные функции равны соответствующим мерам.

Для поставленной задачи из необходимых условий оптимальности определены особые оптимальные управления и условия их существования:

1) для £(/) особое оптимальное управление существует при рА-(/)>0и имеет вид

*(,)=--------------ш------------------

[(1 - ^Х! -д)А ссКа~1 И!'3 (0+е~а)- (01(1 - а)л дКа~х (<)// (<) -

" 2,(0 +

. ^(«XI-Ф^а~2ЬЫЬЩ)--а(« - 0^)1 2*(0 ’

2) для /г(с) особое оптимальное управление существует при />5 (/)+р(1 (() > 0 и равно

цл пр^(0+г2/>Л0 (1-д-Д0^(^а~Ч0^№'(0+/^а(0^~*№'(<))-рЛ0+рЛ0 (1-а-б(0)^“(0^(0-<^(0

Для задачи (1) - (4), (6) сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

Теорема 1. Пусть допустимый процесс (Дг), ?(г),у(г),Ц/),б(<)Д(/)) из множества допустимых процессов и некоторая функция ср^, К^,я,Ь), имеющая непрерывные частные производные по всем аргументам, удовлетворяют условиям:

+ |^((п - Й('М')+ 0 - ^)[(> - а - Ь(1))АК°(1)Р(0 - ш1 (/)}+

+1^('5?(0+ф - *№('))+ ^^(00 - -^р-)+гйД')|+

^(тах^Що))2 -вДшах{Г(/)-АГ^.О})2 -^(тах^^О.о})2 -

9

- Z)j(max{- i(/),0})2 - £*(max{,s(f)- ^(До))2 - F^max^;,, - L{t),Qi}f -

-Gk(m3x{L{t)~ =

= max \— +—{-fiK(t) + b{t)AKa(t)L^{f^i+

(K,d,s,LAh}BV'\dt дКК H W V/ W K’>

+gtn-A(0V«+(i-v)[(i-e-i(0)^a(/)^(0-^(0j+

+ + ф - h{t)d(t)) + ||^иЦ/)(1 - + r(«u)i(oj +

+ e~a (l - v)[(l - а - b(t))AKa (t)Lp{i) - coL{t)]-

- Ak (max{- К(t), O})2 - Bk (тах{л:(<) - Ктш, О})2 - Ck (max{- d(t\0}f -

- Dk(max{-s(t),о})2 - ^(тахНО-АГ(?),0})2 -^(тах{^п - Z^.O})2 -

-^(maxWO-Anax.O})2} при всех te [о,г].

2) ^(Г,Г(Г),?(Г)Д(Г),Г(Г))+1(Г)= min {<p{T,K,d,s,L)+s}

KeV[,deVj,

szVj'UVl

Тогда процесс (K(t),d(t),s(t),L(t),b(t),h(tty является оптимальным.

Система дифференциальных уравнений в построенной модели фирмы была сведена к дискретной с помощью метода Рунге-Кутга второго порядка. С помощью метода левых прямоугольников построена квадратурная формула для функционала задачи. В результате получена дискретная аппроксимация непрерывной задачи, для решения которой применен метод проекции градиента.

Проведено сравнение решений неуправляемой системы (1) - (4) и задачи оптимального управления (1) - (4), (6). В частности при исследовании деятельности ОАО «Старицкий сыр» при использовании статистических данных была построена производственная функция Y(t)=0,0000053А'0,292 (г)^4’34 (0 • А учет управления позволяет повысить величину функционала до 10%.

Приведены результаты исследования влияние параметров модели на оптимальное решение. Определены значения параметров, при которых возникают особые режимы оптимального управления.

2. Задача оптимального управления деятельностью банка.

Прибыль банка формируется как разность от процентов за выданный кредит г2 и процентов на вложенный капитал гх. Цель банка - максимизация дисконтированных финансовых потоков за цикл деятельности:

Т

\е~а Vi(l)s(t)- Г,{t)d{t)\it max. (7)

о

Управляющей функцией банка может служить как функция начисления процентов на невыплаченную часть долга г2(/) (0<?2 ^r2(f)<r2 <0> так и функция начисления процентов по вкладу г,(7) (0<^ <r\(t)<7[ <1).Функции K(t), s(t), d(t), L(t) выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями: Kmin<K(t)< Kmax, 0<Lmin </.(/)</таах, 0<s(t)<K(t), d(i)>0.

Для поставленной задачи оптимального управления с фазовыми

ограничениями (1) - (4), (7) сформулированы необходимые условия оптимальности.

Как и в предыдущем случае для решения задачи применен метод штрафных функций. В результате функционал задачи принимает вид:

J = 1)-п№(Ф~ j4(max{^min - K(t),0}fdt-

О о

Т Т 'Г

- J#* (max{/^(/) - ^max, О})2 Л - JQ (max{- О})2 Л - jD* (тах{- 5(г), О})2 Л -

О 0 0

- |4(тахИ0-K(t\0}fdt- jfk(max{Z,min -L(t),0})2Л-

J ° (8)

- jGf-(max{/.(/)- /^пах,0})2Л -> max 0

где Ak,Bk,Ck,Dk,Ek,Fk,Gk (k = 1,2,3...) - штрафные коэффициенты.

Сформулирован принцип максимума Понтрягина для задачи (1)—(4), (8). Аналогично предыдущей задаче, проведено сравнение необходимых условий оптимальности.

Для поставленной задачи из необходимых условий оптимальности определены особые оптимальные управления и условия их существования:

1) для /](() особое оптимальное управление существует при pj(t)+pr(t)>0n равно

о (1 -vXl~~Ь)АКа~1 j3K{t)T'{l)ipj(<)-е~*),

(l - v)a>L'(fjpd (0- g~a) d(l)e~a (s2+<5h-h r2 (t)h)+ hr2 (t)J(l)ps (/)

Zr] (/)

2(1 - v)[(l - g - b)AKa (l)P (t) - coL(t)]h(t)(pd (Q + p, (Q)+ 8Г* 1 \(!) ’

г^)=-[Р^)-е-а\,Щ+(\-у)\\-а-ь)АКа{()Р{})-шщ\+щ\,(р11({)+р31!))+а;-а\

2) для r2(t) сделать вывод о существовании особого режима оптимального

управления из необходимых условий оптимальности нельзя.

Для задачи (1) - (4), (8) сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

Теорема 2. Пусть допустимый процесс (Z(f),d(f),s(/),r(/),rj(r),P2(0) из множества допустимых процессов и некоторая функция <p(t,K,d,s,L), имеющая непрерывные частные производные по всем аргументам, удовлетворяют условиям:

1) ^+||(-^)+^(0^w)+f^(/M0+o-M(0)+

+ е а[г2(ф(0-п(«V(*)]-Ак(шах{-К(/),о})2-Вк(шах{л:(<)-Ктзх,■о})2--С*(тах{-^(<),0})2 -О*(шах{-?(/),О})2 - £*(тах^(г)-^(/),о})2 -^(тах^,, -Що})2 -

-Ск(тах{1(1)-Ь,тх,0})2 = тах , !/,\^- + ~(-^К(()+ЬАКа (1)^(1))+

(К,^з,[.,г,,г2)еУ' [ от дК

+|^((п (О - йМО+0 -1,)[0 - я - ь)Ака (0^(0 - «!(/)])+~~{г2 (ОКО+ф - МО)+

+1? + + е_Й ^ (ОКО-П ('М01- Л (тах{- лг(/), О})2 -

-В*(™х{АГ(0-Ктах,О})2 -С*(тах{-44о})2 -0*(тах{-40,0})2 -

-£*(тах{*(0- АГ(/),0})2 -/^(тах{£т;п -£(0,О})2-вк(тах{£,(/)-£тах,0})2} при всех Г6[о,Т\.

2) <р(т,К(т),Л(т),1(т),Цт))= Ш1П <р(т,к,с1,!!,ь)

^МУ[

Тогда процесс (к (/),<?(/), 1(1), Т({)^ (/),г2 (0) является оптимальным.

Система дифференциальных уравнений в построенной модели фирмы сведена к дискретной с помощью метода Рунге-Кутта второго порядка. С помощью метода левых прямоугольников построена квадратурная формула для функционала задачи. В результате построена дискретная аппроксимация непрерывной задачи, для решения которой был применен метод проекции градиента.

Исследовано влияние параметров задачи на оптимальное решение. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления.

3. Математическая модель оптимизации с учетов двух критериев

качества.

Рассмотрена многокритериальная математическая модель принятия оптимального решения, учитывающая интересы каждого из экономических агентов. Для этого используется линейная свертка критериев с весовыми неотрицательными коэффициентами № и Л'й , равные в сумме 1.

№

В результате получена общая задача взаимодействия фирмы и банка:

\е~а {\-у\\-а-Ь{1))АКа ((Щ) ,(Г)1 + *В /^ЬОМО-пОМО^-

^0 ) о

- {[4 (тах{^шт - К(0, о})2 + вк (тах{АГ(()

^тах’

0

- |С*(тах{-^(0,О})2Л- |[Д(.(тах{- .4(1),О})2 + ^(тах^)-АГ(/),О})2]л

о о

_ \\^к(та.х{^пт — ^(0>О}) +О^(шах{/.(0—Апах>0}) ]л->тах о

Г(0= -М‘)+Ь{1)АКа(()^{1), К(0) = К0,

40 = М)- Ч0М0 + (1 - 0[(1 - а - Ь{1))АКа (0£/»(*)- со1{0], 40) = «/„,

12

*'(0=^(*М0+ ф(0- Ч'М'Х Ко)=«о»

£'(/) = пЩ)

1 _/•(')

^тах У

*тт ^Ь{1)<Ьтш, Итт </1(/)<Атах, п <г,(')^П> ^2 ^^(О^^-где Ак,Вк,Ск,йк,Ек,Рк (к = 1,2,3,...) - штрафные коэффициенты.

Для поставленной задачи оптимального управления получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Задача сведена к дискретной, при этом использовались метод Рунге-Кутта второго порядка и метод прямоугольников. Дискретная задача оптимального управления решалась методом проекции градиента.

Исследовано влияние весовых коэффициентов задачи на оптимальное решение. Решена задача оптимального управления, в которой весовые коэффициенты выступают в качестве управляющих параметров. Получена зависимость величины функционала от значений коэффициентов.

Заключение. В диссертации решена поставленная научная задача, для достижения которой выполнено:

1. Построена математическая модель взаимодействия двух экономических агентов, с помощью нелинейной системы дифференциальных уравнений.

2. Неуправляемая модель исследована на адекватность и наличие положения устойчивого равновесия.

3. Построены управляемые модели, которые исследованы с помощью теории оптимального управления и методов оптимизации. Установлено, что решение системы существенно зависит от параметров модели, выбранного критерия качества и управляющих функций.

4. Однокритериальные задачи оптимального управления решены как задачи оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями. Для каждой из задач сформулированы необходимые условия оптимальности. Проведен анализ полученных результатов.

5. Для однокритериальных задач оптимального управления с помощью необходимых условий определены особые оптимальные управления и условия их существования. Наличие особых режимов подтверждено численными экспериментами.

6. Для однокритериальных задач оптимального управления сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

7. Исследовано влияние параметров (постоянных материальных затрат, амортизации капитала, ставки заработной платы, времени процесса, инвестирования, списания задолженности) на оптимальное решение с экономической интерпретацией для однокритериальных задач оптимального управления.

8. Для многокритериальной задачи оптимального управления получены необходимые и достаточные условия оптимальности

9. Для многокритериальной задачи исследовано влияние весовых коэффициентов на ее оптимальное решение.

Основные результаты диссертации опубликованы

I. В изданиях, рекомендованных ВАК:

В научных журналах

1. Федорова Е. А. Анализ основных производственных факторов аграрнопромышленного комплекса Тверского региона. // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. - 2011, №9(33), 11 стр. Режим доступа: http://www.uecs.ru/otraslevaya-ekonomika/item/649-2011-09-28-07-57-34.

2. Федорова Е. А. Многокритериальная модель экономического роста. // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. - 2011, № 9 (33), 15 стр. Режим доступа: Ьйр://хп-^1аое4Ь.хп-р1а!/тагке1т£/йет/659-2011-09-29-07-15-35.

3. Федорова Е. А. Математическая модель оптимизации с учетом нескольких критериев качества.// Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. -Т.З, №4. - С. 489-502.

В трудах международных конференций

4. Федорова Е. А. Проблема выбора экономико-математической модели аграрного комплекса Тверского региона. // Устойчивое развитие социально-экономических систем: вопросы теории и практики. 1-я Международная научно-практическая конференция. Казань, 17-18 февраля 2011. - С. 246 - 250.

II. В прочих печатных изданиях:

5. Сальникова Е. А., Семыкина Н. А. Трехсекторная модель экономики Тверского региона. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009. - С. 75-81.

6. Федорова Е. А. Моделирование экономических процессов сельскохозяйственной отрасли Тверского региона. // Проблемы анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов. Материалы докладов 2 Всеросийской научно-практической конференции. Казань, 21-22 апреля 2011 - Казань: Издательство КГФЭИ, 2011. - С. 325 - 329.

7. Федорова Е. А. Прогнозирование экономического развития Тверского региона. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. -С. 98- 105.

8. Федорова Е. А. Тенденции развития экономики Тверского региона в секторе

сельского хозяйства. // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с

международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь, 8-12 декабря 2010 - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. - С. 299-304.

9. Федорова Е. А., Семыкина Н. А. Оптимизационная задача взаимодействия экономических агентов. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2011.-С. 48 - 55.

Подписано в печать 01.02.2012. Формат 70х 80/16. Уел. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ №12-007.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета в «Артифакт», рекламно-полиграфическая фирма

420111, г. Казань, ул. Миславского, 9/303

61 12-1/487

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

/О

ФЕДОРОВА ЕЛИЗАВЕТА АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ АГЕНТОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент Семыкина Н.А.

ТВЕРЬ 2011

Содержание

Введение..............................................................................................................3

Глава I. Методы исследования динамических моделей...............................16

§ 1. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Виды и методы

решений...................................................................................................................16

§2. Устойчивость решений....................................................................................20

§3. Оптимальные процессы...................................................................................23

Глава II. Математическая модель деятельности фирмы..............................35

§1. Математическая модель фирмы. Постановка задачи...................................35

§2. Неуправляемая модель фирмы.......................................................................41

Глава III. Оптимизационные модели..............................................................51

§ 1. Задача оптимального управления деятельности фирмы..............................51

3.1.1. Необходимые условия оптимальности. Особое оптимальное управление. .52

3.1.2. Достаточные условия оптимальности..............................................................64

3.1.3. Дискретная аппроксимация...............................................................................72

3.1.4. Результаты численных экспериментов............................................................80

§2. Задача оптимального управления деятельности банка................................94

3.2.1. Необходимые условия оптимальности. Особое оптимальное управление. .96

3.2.2. Достаточные условия оптимальности............................................................107

3.2.3. Дискретная аппроксимация.............................................................................114

3.2.4. Результаты численных экспериментов..........................................................121

§3. Задача оптимального управления с учетом двух критериев качества.....126

3.3.1. Необходимые условия оптимальности...........................................................127

3.3.2. Достаточные условия оптимальности............................................................128

3.3.3. Дискретная аппроксимация.............................................................................130

3.3.4. Результаты численных экспериментов..........................................................137

Заключение......................................................................................................143

Список литературы.................................... .....................................................145

Приложение 1..................................................................................................153

Приложение 2..................................................................................................169

Приложение 3..................................................................................................185

Введение.

Актуальность темы исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов. Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов [2, 17, 19, 20, 29, 34, 52, 65, 67, 71,72, 73].

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.

Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллман [9], Л. С. Понтрягина [61], Р. Калман [24, 41], Н. Н. Красовского [46], У. Флеминг, А. Фридман.

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. В. Гамкрелидзе [25, 39], Ю. Г. Евтушенко [32], Г. Лейтман, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ф. Л. Черноусько [87], В. А. Якубович, Д. Эллиот.

Фундаментальное развитие теория оптимального управления получила в работах В. И. Благодатских, Р. Ф. Габасова [21, 22, 23], А. Я. Дубровицкого [30], В. И. Зубова [35], А. Д. Иоффе [39], Ф. М. Кирилловой [23],

В. Ф. Кротова [47], А. А. Милютина [58], Н. Н. Петрова, Г. К. Пожарицкого, В. М. Тихомирова, С. В. Чистякова.

В данной работе принцип максимума используется при решении задачи, имеющей экономическое содержание. Основу модели составляют нелинейные дифференциальные уравнения.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов [6], В. 3. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков [33], В. А. Колемаев [45], Г. Б. Клейнер, В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров [63], И. Г. Поспелов [66], Ю. Н. Черемных [33], А. А. Шананин [62], а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев [38], Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей [38], Д. Ромер, Дж. фон Нейман [45], Р. Солоу [38], Р. Харрод, К. Эрроу и другие.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и своевременной.

Целью работы является исследование и построение аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального

управления с фазовыми ограничениями, которая формализует экономическую модель.

Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе построенной модели методами математических теорий дифференциальных уравнений и оптимального управления, применяются численные методы построения оптимального решения.

Объект исследования - многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Предмет исследования - поведение объекта в зависимости от параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение.

Положения, выносимые на защиту.

1. построение математической модели взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров;

2. исследование неуправляемой модели на устойчивость;

3. разработка управляемой модели динамики взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества;

4. применение необходимых и достаточных условий для построения оптимального решения;

5. исследование модели на наличие особых оптимальных режимов;

6. построение алгоритмов численных методов решения;

7. определение влияния параметров модели на оптимальное решение.

Научная новизна. В диссертационной работе построена математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы и метода списания задолженности с банковского счета, которая формализована как многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Построены численные решения задач оптимального управления. Исследовано

влияние параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления. Найдено оптимальное распределение весовых коэффициентов.

Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.

Ориентация на стандартную региональную статистику позволяет использовать сделанные разработки для многих фирм.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.

При разработке программного комплекса, проведении вычислительных экспериментов использовался программный продукт: Borland Delphi 6.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизации; на применении физически обоснованных исходных данных, на сравнении результатов со статистическими данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2008-2011 гг.); на второй Российской школы-конференции с международными участием для молодых

ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверской государственный университет, 8-12 декабря 2010г.); на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 17-18 февраля 2011г., г. Казань); на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (Министерство образования и науки РФ, Казанский государственный финансово-экономический институт, 21-22 апреля 2011г., г. Казань); результаты исследований, вошедших в диссертацию, докладывались на семинарах Вычислительного центра им. A.A. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2010 - 2011 гг.).

Публикации автора по теме диссертации. Основное содержание работы отражено в 9 научных публикациях, включая: 3 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России [76, 77, 79], 3 в сборниках научных трудов [68, 81, 83], 1 статья в материалах Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых [82], 1 статья в материалах международной научно-практической конференции [80], 1 статья в материалах Всероссийской научно-практической конференции [78].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы.

Во введении обосновывается выбор темы, ее актуальность и значимость, сформирована цель и задачи исследования, теоретическая и методологическая база исследования. Приводятся основные научные и практические результаты, положения, выносимые на защиту. Дана структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе даются основные сведения касающиеся методов исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений: численные

методы (методы Рунге-Кутта, методы Адамса, метод Ньютона, метод коллокации, метод стрельбы, с помощью математических пакетов MatLab, MathCad, Maple), теория устойчивости решений, теория оптимальных процессов (принцип максимума JI.C. Понтрягина, необходимые условия оптимальности, достаточные условия оптимальности).

Во второй главе описана общая структура модели, в которой выделяются два экономических агента: банк и фирма.

При построении модели я опиралась на общие положения, модели и методы системного анализа экономики, разработанные коллективом авторов ВЦ РАН им. А. А. Дородницына.

Главные предположения, на которых основано математическое описание модели:

1. Производство осуществляет фирма, которая функционирует ради извлечения максимальной прибыли, выпускающая однородный продукт.

2. Все произведенные продукты обращаются в товар.

3. Продукты продаются и покупаются по единой цене.

4. Учитывается численность рабочих, которые получают доход в виде заработной платы и тут же целиком расходуют его на потребление. Фирма получает доход в виде прибыли. Часть дохода она сберегает и обращает в капитал, остальную часть расходует на затраты производства и погашение кредитов.

5. Банк осуществляет финансовую деятельность в виде кредитов и текущих счетов фирмы.

6. Деятельность внешней экономической среды, с которой взаимодействует рассматриваемая фирма, и торгово-посреднические структуры, обслуживающие обращение товаров не рассматриваются.

Комплексная модель деятельности и отношений двух субъектов экономики имеет вид:

К'it) = u(t)K(t) + b(t)AKa (t)LP (t), K(O) =K0,

d'(t) = (rx (i) - h(t))d{t) + (l - v(i))[(l - ait) - b{t))AKa (t)^ (i) - oj{t)L{t)\ d(O) = dQ, s'(t) = r2(t)s(t) + Ф(/)- h{t)d(t\ 5(0) = ,

L\t) = n(t)L{t){ 1 - + Mt))L{t\ 1(0) = Z0,

^max

где K{t) - капитал фирмы, Lit) - численность наемных работников,

Y{t) = АКа it)l/it) - производственная функция, задающая технологию производства, d(t) - текущий банковский счет фирмы, s(t) - задолженность фирмы перед банком, ju{t) амортизация капитала, bit) (0 < bit) < 1 ) -коэффициент инвестиционных поступлений, г, (/) - ставка банковского счета, г2 (/) - ставка процента на кредит, - кредит, a(t) ( 0 < a(t) < 1 ) -

коэффициент постоянных материальных затрат, h(t) (0 < h(t)<l) -коэффициент погашения задолженности, n(t) - коэффициент прироста наемных работников, û)(t) - ставка заработной платы, vit) - ставка налога на прибыль.

Построенная модель отличается от модели ВЦ РАН следующим:

1. динамика трудящихся описывается логистическим уравнением Ферхюльста с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы

гШ)

2. задолженность списывается с банковского счета фирмы.

3. модель в работе была рассмотрена как оптимизационная.

Построенная модель дает возможность рассчитать уровень производства фирмы, прибыль, в зависимости от капитала, числа наемных работников, ссудных процентов банка и процента начисления на сбережения; определить тенденции развития фирмы.

Математическая модель была исследована на устойчивость. Для этого

была найдена стационарная точка {K,dгде

к =

м

ЪА

Г у\Р К П)

шах

а-1

Г ;Л V п;

^тах '

(1-у)

(1 -а- Ьу-ЦА I

М

«-1 1+Г

V п

Р_

1 -а

I

П)

'шах

И-Гл

Н{\ -у)

5 -

(1 -а-ЬуЦА

ГА

кЪ)

а

Г у\ V п)

1 -а

^тах 60

1 + ^ \ь

П

тах

- Ф(Н - ГХ)

¡(А-г,)

Выписан якобиан линеаризованной системы, составлено характеристическое уравнение, найдены его корни. Выяснено, что неуправляемая модель не является устойчивой. Данные факт подтвержден численным экспериментом.

Подобное состояние системы выражается в таких экономических явлениях, как дефицит бюджета, инфляции, обесценение капитала, убыточность, увеличение безработицы, тяжесть налогового бремени и государственного долга.

В третьей главе рассмотрено взаимодеиствие, описанных во второй главе экономических субъектов, которое происходит в процессе их экономической деятельности. Каждый экономический агент преследует свою выгоду, которая может быть получена на имеющихся ресурсах системы.

Таким образом, в зависимости от критерия качества поставленная модель может отражать интересы каждого из экономических агентов.

В работе решены следующие задачи оптимального управления: 1. Задача оптимального управления деятельности фирмы.

Производственные отношения выражаются в предположении, что фирма так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него максимальную

прибыль и сократить к концу отчетного периода задолженность перед банком

до минимума:

т

\e~5t (1 - v)[(l -a- b(t))Y(t) - coL(t)]dt - s(t) max. о

Фирма достигает поставленной цели, управляя инвестиционными отчислениями b{t) ( 0 < 6min < b{t) < bmax < 1 ) и величиной погашения

кредиторской задолженности h(t) (0 < hmin < h(t) < hmax < 1). Переменные: K(t),L(t), s(t),d{t) выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями: 0 < K(t) < Kmax, 0 < Lmin < L{t) < Lmax, 0 <s(t)<K(t), d{t)> 0. Переменные v(t), a(t), ju(t), rx{t), r2(t), co(t), n(t) - экзогенные на временном промежутке Т.

Задача оптимального управления деятельности фирмы рассмотрена как задача оптимального управления с фазовыми ограничениями, как задача оптимального управлени�