Математическое моделирование и оптиимзация поведения предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы

Огурцова, Татьяна Александровна

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптиимзация поведения предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы

кандидата технических наук: Огурцова, Татьяна Александровна
город: Оренбург
год: 2013
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование и оптиимзация поведения предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование и оптиимзация поведения предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы"

На правах рукописи

ОГУРЦОВА ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ СОТОВОЙ СВЯЗИ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНТНОЙ БОРЬБЫ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

21 1!ПЯ 2013 005539280

Петрозаводск - 2013

005539280

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет».

Научный руководитель: Болодурина Ирина Павловна, доктор

технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Андреева Елена Аркадьевна, доктор физико-

математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной безопасности и математических методов управления ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Заика Юрий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией моделирования природно-' технических систем ФГБУН Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Ведущая организация: ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный

университет телекоммуникаций и информатики»

Защита состоится «25» декабря 2013 г., в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» по адресу: 185910, Республика Карелия, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан 8 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Р.В. Воронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Конкуренция является необходимым и важнейшим элементом многих процессов, происходящих в действительности. Одним из инструментов управления деятельностью конкурирующих агентов является разработка и исследование математических моделей, позволяющих учесть влияние различных факторов на динамику процессов их взаимодействий. Для моделирования конкурентного поведения реальных объектов широко применяются нелинейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, что приводит к динамическим моделям более сложной структуры. Необходимость исследования таких моделей обоснована многими прикладными задачами, решение которых методами теории оптимального управления представляется достаточно сложным. Поэтому разработка и реализация эффективных численных методов и создание на их основе программных комплексов для решения нелинейных задач динамики и управления является актуальной научной проблемой, имеющей большое теоретическое и прикладное значение.

Важно отметить, что при реализации численных методов решения задачи оптимального управления важна процедура идентификации модели, состоящая в определении параметров системы на основе набора экспериментальных данных. Особую трудность идентификации представляет определение величины запаздывания в моделях конкурентного поведения, поэтому возникает проблема идентификации запаздывания по имеющимся данным.

Телекоммуникационная отрасль относится к важнейшим секторам, которые обеспечивают функционирование и согласованную работу всех отраслей экономики. В настоящее время появление большого числа участников на телекоммуникационном рынке приводит к усилению конкуренции и, как следствие, к уменьшению числа абонентов у каждого оператора связи, в связи с чем актуальным является внедрение математических методов моделирования в практику управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы. С целью удержания и увеличения своей доли на рынке, компаниям сотовой связи необходимо изучать деятельность конкурентов, что и определяет возможность дальнейшего качественного развития операторов связи, и, соответственно, ставит перед ними задачу эффективного реагирования на изменение состояния внешней среды.

Несмотря на значительное количество работ, посвященных вопросам управления нелинейными объектами, до сих пор не исследованы задачи определения оптимального управления развитием предприятий связи для динамических моделей, имеющих запаздывание в фазовых переменных, что по большей части и определяет научную новизну работы.

Важность проблемы оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг, учитывающего фактор цены, и предопределила выбор темы, цели и задач данного диссертационного исследования.

Цель работы. Разработка, исследование и обоснование математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов с учетом запаздывания, на примере предприятий сотовой связи, а также реализация численных методов и алгоритмов для решения задачи оптимального управления поведением экономических агентов в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг связи.

Основные задачи. Для достижения цели диссертационного исследования поставлены следующие задачи:

1. Построение и обоснование динамической модели конкурентного поведения предприятий связи с учетом запаздывания.

2. Идентификация параметров управляемой и неуправляемой моделей с одновременным определением оптимальной величины запаздывания.

3. Исследование устойчивости состояний равновесия неуправляемой динамической системы, описывающей конкурентное поведение предприятий связи.

4. Постановка и численное решение задач оптимального управления поведением предприятий связи, описанных системой нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием в зависимости от целей фирмы.

5. Разработка программного комплекса, позволяющего определять параметры модели и величину запаздывания, а также реализующего численное решение задач оптимального управления поведением двух экономических агентов и проведение экспериментального исследования эффективности предложенных моделей и алгоритмов.

Методы исследования. Теоретико-методологическая база исследования изучаемой проблемы базируется на математической теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории численных методов, теории моделирования, теория матриц, теории временных рядов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель конкурентного поведения предприятий связи с учетом запаздывания.

2. Идентификация параметров динамической модели. Определение оптимальной величины запаздывания по времени.

3. Вычислительные схемы нахождения оптимальных решений, построенных на основе применения необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления поведением предприятий связи с учетом запаздывания в зависимости от поставленных целей, а также с использованием разработанного комбинированного метода.

4. Анализ и сравнение результатов численного решения задач оптимального управления поведением предприятий связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг.

Научная новизна работы.

1. Предложено использование логистической модели с запаздыванием во времени для описания конкурентного взаимодействия фирм на рынке телекоммуникационных услуг, а также общей динамики развития их абонентской базы. В отличие от известных моделей, модель конкурентного взаимодействия предприятий сотовой связи рассмотрена как управляемая нелинейная динамическая модель, позволяющая строить оптимальные решения в зависимости от различных целей фирмы.

2. Предложен алгоритм совместной идентификации параметров управляемой математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов на российском рынке, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также определения величины запаздывания.

3. Поставлена задача оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в форме системы нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, которая интерпретируется как задача определения оптимальной ценовой политики экономического агента.

4. Предложен комбинированный численный алгоритм решения задач оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, который позволяет на первом этапе определять начальное приближение управления посредством операций улучшения управления, а на втором — находить оптимальное решение поставленной задачи.

5. Созданы программные комплексы, позволяющие находить оптимальные значения параметров и величины запаздывания, а также реализующие численные решения задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов в условиях конкурентной борьбы за общие ресурсы в зависимости от приоритетов развития фирмы.

Практическая значимость работы состоит в том, что предлагаемый алгоритмический и программные комплексы могут быть использованы для повышения эффективности управления поведением предприятий связи в условиях конкуренции на рынке предоставляемых услуг с целью наращивания абонентской базы, приведения ее к плановому объему, а также увеличению прибыли за конечный период времени. Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач различных экономических агентов, функционирующих в условиях конкурентной деятельности: управления работой интернет-сайтов, регулирования рейтингов ТУ-каналов, сохранения и увеличения числа слушателей радиостанций и т.д.

Результаты работы программного комплекса «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конкурентов и выбора приоритетов развития» использованы при управлении ценовой политикой Оренбургского филиала МРФ «Волга» ОАО «Ростелеком», о чем свидетельствует акт внедрения результатов диссертации от 10 января 2013 г.

Разработанные программные комплексы «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конкурентов и выбора приоритетов развития» и «Программный комплекс решения задачи оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг» внедрены в учебный процесс для проведения практических и лабораторных занятий по дисциплинам «Математическое моделирование и идентификация систем управления», «Проектирование и управление интеллектуальных систем» по направлениям 010400 Прикладная математика и информатика и 010300 Фундаментальная информатика и информационные технологии (магистратура).

Достоверность и обоснованность положений, сформулированных в диссертационной работе, основаны на математическом обосновании полученных результатов и подтверждаются результатами численного моделирования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на V Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий», ЭКОМОД-2010 (г. Киров, июль 2010 г.); V Всероссийской научно-практической конференции «Компьютерная интеграция производства и ИПИ-технологии» (г. Оренбург, ноябрь 2011 г.); III Всероссийской научно-практической конференций «Математика. Информационные технологии. Образование» (г. Оренбург, декабрь 2011 г.); Шестой международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD'2012)» (г. Москва, октябрь 2012 г.); Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, ноябрь 2012 г.); Международном семинаре "Networking Games and Management" (г. Петрозаводск, июнь 2013 г.); 1-ой международной научной конференции «Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики» (г. Оренбург, сентябрь 2013 г.); 26® IFIP ТС7 Conference 2013 on System Modelling and Optimization (Austria, Klagenfurt, September 9-13, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 3 — в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, а также 2 зарегистрированных программных комплекса.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и 5 приложений. Общий объем диссертации - 101 страница основного текста, библиографический список -146 наименований. Работа содержит 20 рисунков и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, определена научная новизна полученных результатов и их практическая ценность. Опреде-

лена структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе представлен обзор исследований, существующих в данном направлении; освещены основные понятия, касающиеся дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории оптимального управления системами, описанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Глава содержит обзор численных методов для решения нелинейных задач оптимального управления.

Вторая глава посвящена разработке, исследованию и обоснованию математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов с учетом запаздывания (на примере предприятий сотовой связи). Проведен синтез основной структуры системы управления, учитывая ограничения и всю априорную информацию об объекте исследования. Реализованы приближенные аналитические методы исследования предложенной математической модели.

Рассмотрим п операторов сотовой связи, действующих на российском рынке. Для построения модели оптимального управления поведением предприятий сотовой связи разделим всех операторов на две неравные группы: первый экономический агент (агент ЭА,), обособив одно из ведущих предприятий рассматриваемой отрасли на рынке, и ее конкурентов — второй экономический агент (агент ЭА2), объединив остальные предприятия путем суммирования числа абонентов на рынке. Обозначим через х;(/) - число абонентов /-го экономического агента в момент времени I, х10 — число абонентов 1-го экономического агента в начальный момент времени (/ = 1,2 ).

На изменение динамики развития числа абонентов каждого оператора сотовой связи оказывают влияние множество факторов: экспоненциальный рост числа абонентов в отсутствии конкурентов, нелинейность во взаимодействии, временной лаг, определяющий разницу во времени между изменениями в рыночной ситуации и моментом принятия управленческих решений с целью реагирования на эти изменения, а также наличие конкурентов на рынке. Для описания конкурентного поведения двух экономических агентов использована логистическая модель (1) с запаздыванием во времени, позволяющая учесть все перечисленные факторы в полном объеме.

х, (0 = *,(<)

О)

где уа к = 1,2 - коэффициент взаимного влияния /-ого и ¿-ого экономических агентов. Число абонентов /-го экономического агента на начальном интервале [-т, 0] задано функциями <?>,(/), /' = 1,2

х,(1) = <?,{'), 'є[-г, 0]. (2)

Существование нижней грани ці объема абонентской базы, которая обеспечивает нормальное функционирование предприятия, а также верхней грани ц, объема, определяемой техническими характеристиками сети, т.е. возможностью обслуживать заданное количество абонентов в единицу времени, описано неравенствами (3)

« = 1,2. (3)

В работе рассмотрен подход к проблеме одновременной идентификации величины запаздывания и коэффициентов системы, в основе которого лежит метод настройки модели на экспериментально полученные данные. Для демонстрации важности введения временного лага в работе рассмотрена процедура идентификации параметров модели без учета запаздывания.

Конкуренция между компаниями ведется за потенциального клиента, которого интересует стоимость минуты связи пользования услугами. Поэтому возникает проблема эффективного управления поведением предприятий сотовой связи, учитывая фактор цены. Для моделирования процесса управления конкурентным поведением двух экономических агентов в модель (1) введем показатель ",(')> / = 1,2, характеризующий среднюю стоимость минуты пользования услугами связи оператора в момент времени I и удовлетворяющий ограничению (4)

«<!/,(/)<;/?, /е [0, Г], (4)

где а - минимальная средняя стоимость минуты связи, при которой затраты на издержки не превысят выручку, получаемую от использования услуг связи (себестоимость минуты связи); /? — максимальная средняя стоимость минуты связи, позволяющая экономическому агенту оставаться конкурентно способным на рынке.

В качестве структуры модели выбрана динамическая модель в виде системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (5) Г*,(') = *,(<)к " ~ О - /,2*2 0 ,«, (') ~ Р,2«2('),

\хг(0 = х2 (0[ег - г21*. (/ - г) - (/ - г)]- Л,и, (0 - Ргг"г (')•' где Р:Г /,_/" = 1,2 - коэффициенты влияния средней стоимости минуты связи на прирост числа абонентов. Число абонентов /-го экономического агента на начальном интервале [-т, 0] задано функциями (2), а ограничения на фазовые переменные выбраны в виде неравенств (3).

В работе определены положения равновесия рассматриваемой системы, а также проведено исследование на устойчивость нетривиального положения равновесия.

Третья глава посвящена решению задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов с использованием принципа максимума Понтрягина для систем с постоянным запаздыванием.

В процессе взаимодействия экономических агентов перед фирмой могут быть поставлены различные цели, реализованные в соответствующих критериях качества:

1) наращивание абонентской базы предприятия за конечный период времени

г

У,(и,) = -» шах; (6)

о

2) приведение абонентской базы предприятия к заданному объему в конечный момент времени

J2(ui) = (xl(T)-M)1 -»min, (7)

где М-плановое значение абонентской базы агента ЭАь

3) увеличение прибыли предприятия за конечный период времени

т

■Л (".)=} CM (OA -> max. (8)

о

В зависимости от приоритетов развития агента ЭА] в работе решены задачи оптимального управления для каждого функционала (6) - (8).

Рассмотрим задачу, которая состоит в оптимизации ценовой политики u,(t) агента ЭЛЬ которая бы минимизировала значение функционала (6) (аналогично для (7), (8)) при динамических ограничениях (5), начальных условиях (2), фазовых ограничениях (3) и ограничениях на управление (4).

Задача относится к классу задач оптимального управления с постоянным запаздыванием. Поэтому для ее решения применен принцип максимума Понт-рягина для систем с постоянным запаздыванием в предположении, что значение стоимости минуты связи агента ЭА2 и2 фиксировано, и может быть оценено из динамики предыдущей тарифной политики.

Пусть функции ^(/) = (^,(ОЖг(0) _ сопряженные вектор-функции, определенные на отрезке /ё[0, Г], которые непрерывны и почти всюду непрерывно дифференцируемы на этом отрезке.

Теорема-. Пусть процесс Ш = (x(t),x(t-т),!!^)) является оптимальным в поставленной задаче (9), (2), (3), (6) ((7), (8». Тогда с необходимостью существует множитель Л0 >0 и не равные одновременно нулю функции у2(г) такие, что выполняются следующие условия:

1) оптимальное управление M,(i) во всех точках непрерывности доставляет максимум функции Понтрягина

Я, (/, ДО, Я0, Щ (0. V. С), Л,) = -Яо Fm (f, X, (0, И, (0) +

+ -МУ2 - Pn"i -Pu^ + Vitei'i-Г2ЛУ1 -Г12Х2У2-Ри",-Раиг),

где уXl) = X, (/ — г), I = 1,2 по всем а<щ (/) < уЗ, то есть

0)= max Я, (/,*(/), - г), и, (/), V, С), Л>), ' = 1.2, где

Г -х,(0, дая У,(и,);

F„(t,x,(i),u,(0) = j 0, для J2(ui)',

[-*, (/)и,0), для J ¡(и,)

2) сопряженные вектор-функции y/,(t), / = 1,2 удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

^{t)=~(f + + + rbri ('+ *)г,лО + г)-

ду I "xi

- - ¥x - Гц У i О) - Гп У 2 ('))

¿31,

«,(0=

02 (') = + г)-= 1(» + Г2ДГ, (/ + г) + (/ + г)уцдг2 (г + г) -

ду2 дх2

--Т^-Уг ('1£г - ГиУ,0)~ ГггУг(')) дх2

на отрезке /0 <1<Т-т, и члСО^чМ')-0 на отрезке Г-т</<Г;

3) условие трансверсальности у, (т) = 0 для функционалов У, (и,), У3 (и,), Г,{Т) = -2(Х1(Т)-М) для ./2(и,),и ^2(г)=0 для ./„(и,),/я = 1,2,3;

4) условия допустимости (5), (2).

Из условия максимума функции Понтрягина находим оптимальное управление

Р, р(/)>0; ( для У,(ц,);

а, р(1) < 0; где р(г) = <! -Ри¥\ ~ РиУг* дляЗг{щ)\ р(/)=0, (^дг,-р, ^-р21у/2, дляУ3(ц,).

Фазовые ограничения учтены в функционале с помощью штрафных слагаемых. Краевая задача содержит нелинейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, поэтому для ее решения проведена дискретная аппроксимация с точностью первого порядка, а также разработан численный алгоритм, основанный на полученных условиях оптимальности. Для реализации численного алгоритма определены условия стационарности функции Ла-гранжа и условия минимума функции Лагранжа по управлению, которым с необходимостью удовлетворяет оптимальный процесс.

Для решения задачи реализован метод проекции градиента по управлению:

1) выбираем шаг разбиения А1;

2) задаем начальное приближение управления — допустимый набор

к Г = к<0),..., «,,-'(0) ] где а < и/«" </?, / = 0^1;

3) строим начальную траекторию [х/]3 =[г/°(о),...,л:/*(0)] у = 1,2, используя разностные уравнения и начальные условия, аппроксимирующие уравнение движения

х,'"«» = *,*»> + - г„ЛМ0)Д/ - -

- Р,,и/(0)Д/ - рпи2(0>Д/, / = 0,<7 -1, хит = ^„о) + £2ХФ)А{ _ Гпх1и»х^)ы _ (°>д< -

-р21и;<а)А/-рг2и2тА/, / = 0,9-1,

х;т = рД/дД / = ^0, у =1,2;

4) вычисляем начальное приближение целевой функции ПО формуле

С = /„(*" .и°)= + ^¿[¿тах2 + ^¿[¿тах2 к'ИЙ;

У-1

5) вычисляем сопряженные переменные по формулам

9F'

У,' = -Я0 ^Т Д» + гГ (1 + (в, - Г„*Г - Лг*Г т - V, + у'Г'г^ГМ +

fir,

+ 2ЛД тах{й,'(л'),0>Д/ + 2ЛД тах{^'(У),0}Д/, / = <7 -1,...,0

1 + («,"Jvi"")^) + vf "Vi^i"^-Г1Г1ЛЫ + + 2ЛД max(/jj(j:'),0}di + 2ЛД max(У ),0}Д/, 1 = q-\,...fi

Ч>1 = -Л, Л ^f + 2ЯоЛ тах^'ШД* + 2Я0В, maxfo'C*« ),0}Л/, cbcf йдс,

= 2^ Л, тах^^'^Д/ч-гДоЖ, max{gJ(jc'),0}A/, где

10, для У,(и,); (*,(Г)-М)\ для./,(«,); 0, для У,(и,)

6) вычисляем производные функции Лагранжа по управлению

До)

о«,

7) задаем начальное значение шага спуска аЛ"' и организуем цикл по шагам градиентного спуска;

8) находим очередное значение управления [а]1" по итерации метода

дг / /(0) ч

градиентного спуска и,(|) =«,'(0>-ат—^гА 1 = я~ 1,-,0 и строим проекцию [цр

Зи,

на допустимое множество и' :а< «,'(1) < /?, ы'(1) = (и'*1') / = 0, ? -1;

9) вычисляем траекторию [хр = [хо(1),_.,х'(1)], соответствующую управлению, найденному на предыдущем шаге, используя разностные уравнения и начальные условия

кМ*/01.- .*/0} ; =

- РцИ,'1'Д/ - P,2«2WAi, 1 = 0,(7-1, х2<*'(" = х2'<" + *Л*>Дг - - -

- рг1и;(|)д/-р2г«2'("д/> / = 0,9-1,

= / = ^0, 7 = 1,2; 10) вычисляем очередное приближение целевой функции /./'^/^"Й ^М"1) ПО формуле

+ ¿тах^/ИМ to + Bt£ ¿тах^/ИМ

At;

11) проверяем условие монотонности: если /(1) < /(0), то идем к 13), иначе идем к 12);

12) делим шаг спуска пополам а(0) = , идем к 8);

13) проверяем, достигнута ли заданная точность вычислений в методе проекций градиента: если [/„(0)-/я,(1)|<^, и тах[л(''0) < г*, / = 1,2, то идем к

15), иначе-к 14);

14) полагаем /„<0) = /„(", [щ Г = [и, [*,}0) = [х1 = 1,2, идем к 5);

15) принимаем за решение исходной задачи /„с", [и,]"', [ху}",У = 1,2.

Предложенный алгоритм решения нелинейной задачи сходится к управлениям, удовлетворяющим необходимым условиям оптимальности, поэтому для избежания попадания функционала в локальный экстремум при выборе начального приближения управления применим результаты, полученные методом линеаризации нелинейной системы (5).

В главе реализован метод линеаризации системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Проведен поиск оптимальных решений задач оптимального управления для каждого функционала качества (6) — (8) посредством операций улучшения управления методом Шатровского для исходной задачи (2), (3), (4), (5).

Метод Шатровского основан на итерационной процедуре, в ходе которой при заданном в виде функции времени начальном приближении управления, на каждом шаге решается линейная задача, аппроксимирующая исходную задачу (9)-(11).

¿1(0 = -п Л('-г)-ЛАС- о]- РиЩ(.')-РпиЛ0

■ *2(0 = - /2лС - г) - ГгЛС - о]- <0 - Р2АО (9)

¿з(') = + В, ¿тах2^ (/,*(/)),о},

/7, <*,.(/) / = 1,2, (10)

7.(»|) = *з(П + Ф«(П->тт. (11)

В ходе итерационной процедуры произведено приближение функции управления ы,(*) к оптимальному управлению и, (г). Достаточное количество итераций определяется неравенством (12), где и* (/) — функция управления, найденная на к-ом шаге, х - точность минимизации функционала

Л(«|м)~ 7. («.*)**• ('2)

Поставлена задача определения таких вариаций vl(t) и у* (0, соответствующих управлению м,(0 и траектории х,^), которые уменьшили бы значение функционала (11).

После аппроксимации дифференциальных уравнений (9) задача улучшения управления и*(0 сводится к задаче поиска такой вариации которая минимизировала бы приращение функционала (13)

) = л(Г)_->тт на решениях линейной системы (14)

У? =У[ + (аиУ\+аг.Уг + апУ'> + ■ y'l'^y'i + (аиУ1 + апУг + аггУ', + dnv')At,

у'ъ' =у'з +а„у[)Ы.

Для решения задачи (13) - (14) предложен алгоритм, учитывающий структуры матриц Ам =(о,у) и Dul = {dn). Найденное таким образом допустимое управление выбрано начальным приближением в методе проекции градиента.

Четвертая глава посвящена описанию разработанного программного комплекса в среде Borland Delphi 7.0, реализующего численное решение задач оптимального управления поведением предприятий связи в условиях конкуренции за потребителей услуг. По имеющимся данным абонентской базы, динамики предыдущей тарифной политики и тенденций развития рынка созданный программный комплекс позволяет находить оптимальные значения параметров и величины запаздывания, а также оптимальные управленческие сценарии для предприятий, предоставляющих услуги связи в зависимости от приоритетов развития. Программный комплекс состоит из четырех модулей: Ml - модуль главного окна программы, М2 — модуль идентификации параметров модели, МЗ — модуль метода проекции градиента при произвольном выборе начального приближения управления, М4 — модуль метода проекции градиента при выборе начального приближения управления на основе метода Шатровского.

С целью исследования эффективности предложенных моделей и алгоритмов проведены вычислительные эксперименты для основных операторов связи, существующих на российском рынке.

Для идентификации модели использованы данные абонентской базы и данные тарифной политики операторов сотовой связи за период 2004-2010 годы, которые ежеквартально публикуются в финансовой отчетности (Приложение 1). На основе алгоритмов, описанных в главе 2, получены оптимальные коэффициенты модели и значение величины запаздывания.

Сделан вывод о том, что динамика развития абонентской базы двух конкурирующих агентов описывается управляемой системой дифференциальных уравнений (15) с запаздыванием равным двум кварталам, i, (г) = х, (0 • [0,294 - 0,0048 •*,(/- 2) - 0,00089 ■ х2 (I - 2)\-1,681 • и, (/) + 2,672 - «2 (t), хг (0 = (/) • [0,193 + 0,0043 • лг, (/ - 2) - 0,0034 ■ *2 (f - 2)] + 0,105 • и, (/) - 0,424 • и2 (t). ( '

В основу алгоритма градиентного метода положены необходимые условия оптимальности. Связи, наложенные на систему управления, учитываются введением множителей Лагранжа. При постепенном уменьшении в связях, а также в зависимости от выбора начального приближения управления, такой алгоритм может привести к точке локального минимума. Поэтому для улучшения управления применен метод Шатровского, в результате реализации которого получается управление, достаточно близкое к оптимальному (соответствующие

(14)

алгоритмы для введенных функционалов качества описаны в главе 3). Именно это управление и выбрано в качестве начального приближения в методе проекции градиента. Предложенный алгоритм численного решения задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов назван комбинированным методом.

Реализация численного решения задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов, описанных системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (15) методом проекции градиента при выборе начального приближения управления на основе метода Шатровского представлена на рисунках 1—3.

А) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы конкурирующих экономических агентов с целью наращивания объема абонентской базы агента ЭА] приведены на рисунке 1. Значение целевого функционала составляет 142,35.

Дмкэмнкя «им«

I лбон.ктскойблэ

врв И* Г «» ^

Рисунок 1 - Оптимальное решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала Jx (и,) Б) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы конкурирующих экономических агентов с целью приведения абонентской базы агента ЭА! к плановому значению приведены на рисунке 2. Значение целевого функционала составляет 0,158.

ЦВ10»ЭЛ ПОЛИТИК! А «ту*

Динамика изменения абонентской базы двух экономических агентов

С.Д1

ар«*«, «вар талы

врем*, кварталы

Рисунок 2 - Оптимальное решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J2(ul) В) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы конкурирующих экономических агентов с целью увеличения прибыли агента ЭА1 приведены на рисунке 3. Значение целевого функционала составляет 9,31.

Динамика изменения абонентской баш дау* акономнтескик агентов

Ценовая политика двух экономических агентов

ад ^зг-

-й--—---

3 -, 1 -1 » 5 6 - 3 9 ера «П. (Барплы

Рисунок 3 - Оптимальное решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала У, (м,)

Анализ решений задачи оптимального управления методом проекции градиента и комбинированным методом подтверждает эффективность предложенного комбинированного метода.

В приложении 1 указаны данные абонентской базы и данные тарифной политики операторов сотовой связи, которые ежеквартально публикуются в финансовой отчетности.

В приложении 2 представлены оптимальные коэффициенты неуправляемой и управляемой модели, рассчитанные по МНК при произвольном запаздывании, а также соответствующие значения функционала качества, который является усредненным квадратом ошибки прогноза на 1 год.

Приложение 3 - Свидетельство о регистрации программного комплекса «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конкурентов и выбора приоритетов развития».

Приложение 4 - Свидетельство о регистрации «Программного комплекса решения задачи оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг».

Приложение 5 - Акт о внедрении результатов диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена математическая модель конкурентного поведения двух экономических агентов (на примере предприятий сотовой связи) в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени, описывающая динамику изменения абонентской базы предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за общие ресурсы. В качестве управляющего воздействия использован показатель, характеризующий среднюю стоимость минуты пользования услугами связи.

2. В работе реализованы алгоритмы совместной идентификации параметров и величины запаздывания управляемой математической модели конкурент-

15

ного поведения двух экономических агентов, в основе которых лежит метод настройки модели на экспериментально полученные данные. По имеющимся данным абонентской базы и ценовой политики двух экономических агентов определены коэффициенты модели, а также временной лаг, величина которого составила 2 квартала, что соответствует времени принятия управленческих решений, способных изменить конкурентную ситуацию на рынке. Рассогласование между экспериментальными и модельными данными составляет 6,5%.

3.В результате исследования устойчивости нетривиального положения равновесия неуправляемой системы, описывающей динамику развития абонентской базы двух экономических агентов, установлено, что система является неустойчивой, что говорит о необходимости управления деятельностью экономических агентов.

4. Для исходной динамической модели динамики изменения абонентской базы двух экономических агентов, разработана задача управления конкурентным поведением двух экономических агентов. Сформулированы математические критерии качества модели, соответствующие целям управления предприятий связи. Решены задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов с постоянным запаздыванием, сложность которых не позволяет получать аналитические решения. Получены условия оптимальности для решения задач управления динамикой изменения абонентской базы предприятий связи, представленных системой нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием в фазовых переменных. Разработан, на основе полученных условий оптимальности, численный алгоритм решения поставленных задач оптимального управления с постоянным запаздыванием.

5. Разработан комбинированный численный алгоритм решения задач оптимального управления поведением двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, который позволяет на первом этапе определять начальное приближение управления посредством операций улучшения управления (методом Ша-тровского), а на втором — находить оптимальное решение поставленной задачи методом проекции градиента.

6. Созданы программные комплексы, реализующие численное решение задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг связи. Анализ результатов решения показал, что введение управления в математическую модель поведения двух экономических агентов увеличивает прирост числа абонентов ЭА1 на 379 тыс. чел. за 10 кварталов, что свидетельствует об эффективности разработанной стратегии управления.

Предложенные программные комплексы целесообразно использовать для определения оптимальных параметров модели, а также для нахождения оптимальных решений поставленной задачи при поступлении новой информации об абонентской базе и ценовой политике экономических агентов, что позволяет предприятиям своевременно реагировать на изменения рынка.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Научные публикации в ведущих рецензируемых журналах ВАК

1. Огурцова Т.А. Оптимальное управление и моделирование инновационного развития телекоммуникационной отрасли / М.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Журнал «Вестник Оренбургского государственного университета» -№9, 2010. С. 16-22.

2. Огурцова Т.А. Управление ценой на предоставляемые услуги предприятий телекоммуникационной отрасли / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Научно - технический журнал «Проблемы управления» - № 3, 2011. С. 30 - 35.

3. Огурцова Т.А. К вопросу об устойчивости математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов / Болодурина И.П., Огурцова Т.А. // Научный журнал «Вестник Самарского государственного технического университета». Серия «Технические науки». 2013, № 3 (39). С. 212 - 216.

Другие материалы по теме диссертационной работы

4. Огурцова Т.А. Оптимальное управление поведением предприятий сотовой связи с учетом запаздывания / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // V Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий», ЭКОМОД - 2010, г.Киров, 5-11 июля / Сборник тезисов. - Киров, изд-во ВятГУ, 2010. - С. 44.

5. Огурцова Т.А. Моделирование процессов управления предприятий сотовой связи / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез. науч.- практ. конф. (Пермь, 12-15 октября 2010 г.) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. Гос. ун-т. - Пермь, 2010. - С. 50.

6. Огурцова Т.А. Оптимальное управление ценовой политикой предприятий телекоммуникационной отрасли в условиях конкурентной борьбы / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Математические методы управления: сб. науч. тр. - Тверь: Твер. гос. Ун-т, 2010. - С. 41 - 46.

7. Огурцова Т.А. Влияние запаздывания в модели конкуренции предприятий телекоммуникационной отрасли / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции. - М.: Янус - К, 2011. - С. 122 - 123.

8. Огурцова Т.А. Математическая модель конкурентного поведения предприятий телекоммуникационной отрасли на российском рынке / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Компьютерная интеграция производства и ИПИ-технологии / Сборник материалов V Всероссийской научно-практической конференции. - Оренбург: ИП Осиночкин Я.В., 2011. - С. 154 - 157.

9. Огурцова Т.А. Идентификации параметров математической модели конкурентного поведения предприятий телекоммуникационной отрасли // III Всероссийская научно-практическая конференция МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. ОБРАЗОВАНИЕ 2011. [электронный ресурс].

10. Огурцова Т.А. Моделирование и управление ценовой политикой предприятий сотовой связи / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // «Управление раз-

витием крупномасштабных систем (МЬ50'2012)». Шестая международная конференция, 1-3 окт. 2012г., Москва [Текст]. - Материалы: в 2 т. / общ. ред.: С.Н. Васильев, А.Д. Цвиркун. - М.: ИПУ РАН, 2012. - С. 149 - 151.

11. Огурцова Т.А. Построение модели управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы на основе идентификации параметров / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // V Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий», ЭКОМОД - 2012, г. Киров, 2-8 июля 2012 / Сборник тезисов. - Киров, изд-во ВятГУ, 2012. - С. 20.

12. Огурцова Т.А. Математическое моделирование ценовой политики предприятий сотовой связи / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции, Воронеж, 26 - 28 ноября 2012 г.: в 2ч. Ч. 1. - Воронеж: издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - С. 44 - 47.

13. Огурцова Т.А. Сравнительный анализ решений задачи оптимального управления конкурентным поведением предприятий сотовой связи / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова, Е.П. Маас // Научный журнал «Вестник ЮжноУральского государственного университета». Серия «Вычислительная математика и информатика». Т. 2. № 2 , 2013. С. 118-125.

14. Огурцова Т.А. Математическое моделирование и управление ценовой политикой предприятий связи в условиях конкурентной борьбы / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Международный научно-технический журнал «Информационные технологии моделирования и управления» - № 2(80), 2013. С. 186 -192.

15. Огурцова Т.А. Задача оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // «Сетевые игры». Расширенные тезисы докладов Международного семинара, 23 - 25 июня 2013 г., Петрозаводск, Россия. Петрозаводск: Карельский научный центр РАН. 2013. - С. 20 - 25.

16. Огурцова Т.А. Моделирование и управление поведением предприятий сотовой связи / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов (5 - 9 июля 2013 года). - Суздаль, 2013. - С. 48 - 50.

17. Огурцова Т.А. Построение математической модели конкурентного поведения экономических агентов на основе идентификации параметров / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова // Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики: материалы 1-ой Международной конференции. Том I (26-28 сентября 2013 года). - Оренбург: ООО ИПК «Университет», 2013. - С. 241 - 247.

Зарегистрированные программы

18. Огурцова Т.А. Программный комплекс «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конку-

рентов и выбора приоритетов развития» / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова, Е.П. Маас. М.: ВНТИЦ, 2013. № 50201350252.

19. Огурцова Т.А. Программный комплекс решения задачи оптимального управления поведением предприятий сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг / И.П. Болодурина, Т.А. Огурцова, Е.П. Маас. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616238 от 2.07.2013.

Подписано в печать 06.11.2013 г. Формат 60x84Vis, бумага офсетная, гарнитура «Тайме». Усл. печ. листов 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 240.

Участок оперативной полиграфии ОГУ 460018, г. Оренбург, пр-т Победы 13, Оренбургский государственный университет

Текст работы Огурцова, Татьяна Александровна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ СОТОВОЙ СВЯЗИ В УСЛОВИЯХ

КОНКУРЕНТНОЙ БОРЬБЫ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

04201450935

На правах рукописи

ОГУРЦОВА ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Болодурина И.П.

ОРЕНБУРГ 2013

Содержание

ВВЕДЕНИЕ................................................................................ 4

ГЛАВА 1. О применении математических инструментов в задачах управления динамическими системами............................................. 14

1.1 Краткий обзор работ, посвященных исследованию рынка сотовой связи........................................................................................ 14

1.2 Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом........................................................... 16

1.3 Принцип максимума Понтрягина для систем с постоянным запаздыванием............................................................................ 19

1.4 Численные методы для решения нелинейных задач оптимального

управления................................................................................. 23

ГЛАВА 2. Математическая модель конкурентного поведения экономических агентов.................................................................. 29

2.1. Построение математической модели конкурентного поведения экономических агентов................................................................. 29

2.2. Идентификация параметров модели конкурентного поведения двух экономических агентов................................................................. 34

2.3. Исследование устойчивости неуправляемой модели....................... 40

ГЛАВА 3. Решение задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов с учетом запаздывания............ 45

3.1 Постановка задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов с учетом запаздывания............ 45

3.2 Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов...................................................................................... 48

3.3 Численное решение задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов методом проекции градиента..... 55

3.4 Решение задачи оптимального управления конкурентным поведением

двух экономических агентов комбинированным методом...................... 66

ГЛАВА 4. Численная реализация решения задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов........................... 77

4.1 Описание структуры программных комплексов.............................. 77

4.2 Идентификация параметров модели конкурентного

взаимодействия экономических агентов............................................ 84

4.3 Реализация численных методов и алгоритмов решения задачи оптимального управления конкурентным поведением экономических

агентов...................................................................................... 87

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................ 99

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................... 102

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Данные абонентской базы и тарифной политики

операторов сотовой связи по России................................................. 117

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Оптимальные коэффициенты модели при

произвольном запаздывании........................................................... 118

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Свидетельство о регистрации программного комплекса «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конкурентов и выбора приоритетов

развития»................................................................................... 120

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Свидетельство о регистрации программного комплекса решения задачи оптимального управления поведением предприятий

сотовой связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг..... 122

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Акт о внедрении результатов диссертационного исследования.............................................................................. 123

Введение

Актуальность темы исследования. Конкуренция является необходимым и важнейшим элементом многих процессов, происходящих в действительности. Одним из инструментов управления деятельностью конкурирующих агентов является разработка и исследование математических моделей, позволяющих учесть влияние различных факторов на динамику процессов их взаимодействий. Для моделирования конкурентного поведения реальных объектов широко применяются нелинейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, что приводит к динамическим моделям более сложной структуры. Необходимость исследования таких моделей обоснована многими прикладными задачами, решение которых методами теории оптимального управления представляется достаточно сложным. Поэтому разработка и реализация эффективных численных методов и создание на их основе программных комплексов для решения нелинейных задач динамики и управления является актуальной научной проблемой, имеющей большое теоретическое и прикладное значение.

Важно отметить, что при реализации численных методов решения задачи оптимального управления важна процедура идентификации модели, состоящая в определении параметров системы на основе набора экспериментальных данных. Особую трудность идентификации представляет определение величины запаздывания в моделях конкурентного поведения, поэтому возникает проблема идентификации запаздывания по имеющимся данным.

Телекоммуникационная отрасль относится к важнейшим секторам, которые обеспечивают функционирование и согласованную работу всех отраслей экономики. В настоящее время появление большого числа участников на телекоммуникационном рынке приводит к усилению конкуренции и, как следствие, к уменьшению числа абонентов у каждого оператора связи, в связи с чем актуальным является внедрение математических методов моделирования в практику управления поведением предприятий сотовой связи в условиях

конкурентной борьбы. С целью удержания и увеличения своей доли на рынке, компаниям сотовой связи необходимо изучать деятельность конкурентов, что и определяет возможность дальнейшего качественного развития операторов связи, и, соответственно, ставит перед ними задачу эффективного реагирования на изменение состояния внешней среды.