автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Математическое и программное обеспечение процедур гарантированного оценивания параметров в космических экспериментах

На правах рукописи

РГБ ОД -

? п сзл г

Миронов Валентин Васильевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОЦЕДУР ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В КОСМИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ

Специальность 05.13.11-«Математнческое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рязань - 2000

Работа выполнена в Рязанской государственной радиотехнической академии

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Чураков Е.П.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, старший научный сотрудни!

Белоусов Л.Ю.,

доктор технических наук, профессор Андреев В.П.

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита состоится 12 мая 2000 г. в 12 00 ч.

на заседании диссертационного совета Д 063.92.03 в Рязанской государственной радиотехнической академии

Адрес: 391000, г. Рязань, ГСП, ул. Гагарина, д. 59/1, РГРТА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

Рязанской государственной радиотехнической академии.

Автореферат разослан 12 апреля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. техн. наук

Телков И.А.

о 6 ВО* %-4/0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На современном этапе развития вычислительных комплексов, обеспечивающих полет космических аппаратов (КА) и обработку послеполетной информации, предметом интенсивных теоретических исследований и активной программной реализации является создание процедур, гарантированно обеспечивающих результат при любых сопутствующих условиях. Представленная диссертация посвящена созданию и модернизации процедур гарантированного оценивания параметров в задачах обеспечения космических экспериментов.

Традиционно в классических процедурах по оцениванию параметров погрешности измерений считаются случайными величинами с заданными вероятностными характеристиками 1_3. Однако в целом ряде прикладных задач такое допущение об ошибках измерений не соответствует реальным экспериментам и при использовании стандартного программного обеспечения приводит к неоправданному оптимизму в оценке точности проводимых расчетов.

Выход был найден математиками России и США в 60-е годы. Новизна идеи состоит в том, что считается заданным множество возможных значений ошибок исходных данных или характеристик их распределения. В этих условиях решаются задачи оценивания параметров моделей и систем и вычисления надежных значений характеристик точности. Получаемые при гарантированном оценивании заниженные (по сравнению с классическим вариантом) оценки точности в целом ряде практических задач являются предпочтительными. • •

Гарантированное оценивание как повышенное требование к надежности вычислений и программ имеет две концептуальные задачи. Пусть заданы множества {Л7 стратегий оценивания, G ошибок измерений и модели и пусть 8/ - некоторая минимизируемая скалярная характеристика точности, зависящая отХи у eG.

Прямая задача гарантированного оценивания состоит в создании методов обработки данных в ЭВМ и вычислении гарантированного значения

8/г = min max 5/.

Хе{Л'} yeG

Обратная задача гарантированного оценивания состоит в определении массива данных G (или его мощности) при заданной стратегии Хи гарантированном Elp-

Динамично развиваясь, теория процедур гарантированного оценивания имеет ряд нерешенных проблем, в частности: ■ созданные программные продукты на основе линейного программирования не свободны от зацикливания и бесполезных итераций; ■ открыты вопросы по распространению результатов на нелинейные

1 Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.:Энергоатомиздат, 1987. 256 с.

2 Корячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. М.: Энерго-тзмиздат, 1987.399 с.

3 Коричнев Л.П., Королев В.Д. Статистический контроль каналов связи. М.:Радио и связь, 1989.239 с.

параметры от вектора состояния и нелинейные модели измерений; ■ не решена з; дача об априорной оценке точности при возможных сбоях в измерениях (выхо ошибки измерения за границы заданного интервала); ■ решаемые практически вопросы при отсутствии сведений об ошибках измерений и, как следствие, необх< димости более осторожной (по сравнению с классической) стратегии обработк данных зачастую не вбирают в себя ни идей теории гарантированного оценивание ни соответствующих методов, ни тем более программных продуктов.

Цель диссертации - Разработка математического и программного обеспеч* ния процедур гарантированного оценивания параметров в космических экспер! ментах, создание программ, ориентированных на обработку данных в ЭВМ.

Задачи исследований. I. (Прямая задача.) Создание новых процедур обрабо-ки данных в ЭВМ для гарантированной оценки точности определения положеш КА вдоль его траектории в случае, когда ошибки измерений и модели ограничен известной детерминированной функцией, и расчета оптимальной линейной .т пульсной коррекции движения КА с помощью 3-х двигателей коррекции.

II. (Обратная задача.) Выявление средствами математического и программа го моделирования гарантированной мощности множества частиц и осколков ест ственной и техногенной природы при восстановлении информации об их воздейс вии на КА с помощью систем контактных датчиков (СКД) и активных датчике (САД) при заданной относительной точности отклонения систем СКД и.САД с идеальной системы контактно-активных датчиков (СКАД).

Научная новизна. • Получены обобщения теоремы о гарантированной оце! ке точности на нелинейные параметры и квазилинейные модели. • Предложен модифицированный симплекс-метод и его программная реализация для решеш задачи оценивания точности. • Получено аналитическое решение задачи оценив; ния точности, свободное от зацикливания и бесполезных итераций. • Создана пр< цедура решения задачи оптимальной линейной импульсной коррекции КА с пом< щью 3-х двигателей. • Построена процедура оценивания точности при сбоях.в и: мерениях. • Созданы математическая модель и диалоговый комплекс программ г выявлению зон гарантированного превосходства системы контактных датчике СКД над системой активных датчиков САД, устанавливаемых на борту КА. Пров! дено испытание комплекса на удобство, понижение трудоемкости загрузки начал] ных данных, надежность его эксплуатации. Разработан способ организации множ! ства т.н. мини-датчиков при описании систем датчиков на КА.

Положения, выносимые на защиту: ■ аналитическое решение задачи гара1 тированного оценивания точности, свободное от зацикливания и бесполезных ИТ! раций, и соответствующая программа; ■ модифицированная симплексная процед; ра и программный продукт гарантированного оценивания точности определена параметров; ■ процедура оценивания точности параметров при конечном чиа

возможных бесконечно больших выбросов измерений; ■ алгоритм гарантированного оценивания точности определения положения КА вдоль орбиты; ■ методика расчета оптимальной линейной импульсной коррекции движения КА; я математическая модель и испытанный на надежность комплекс программ для восстановления информации о внешнем воздействии частиц и осколков на КА с целью выявления зон гарантированного превосходства одной технической системы над другой.

Практическая ценность. -Ф- Разработанные алгоритмы позволяют увеличить априорную точность оценивания параметров по сравнению с классическими методами оценивания, а также уменьшить объем занимаемой памяти и затраты машинного времени.-^Получены конечные формулы, позволяющие вычислить гарантированную оценку точности определения положения КА вдоль его траектории и провести импульсную коррекцию движения КА с минимальными энергетическими затратами, -ф- Доказано, что система СКД превосходит систему САД на коротком времени эксплуатации при относительно небольшом числе столкновений КА с частицами; система САД эффективнее системы СКД при длительной эксплуатации, подразумевающей значительное число столкновений КА с частицами.

Реализация и внедрение. Созданные процедуры и программы являются частью научных исследований, проводимых Международной академией информатизации (Рязанское отделение) по договору МАИ 1/97 от 03.01.97 г. с Секцией прикладных проблем при Президиуме РАН. Часть работы выполнялась в соответствии с договором Министерства обороны № 33/16-82 по Решениям № 139 от 08.06.85 и № 397 от 31.10.86. Диссертация включает и вопросы НИР «Орбита», проводимой кафедрой ВМ РГРТА с Российским научно-исследовательским институтом космического приборостроения (г. Москва) по договору № 10-84 от 06.02.1984, в которой соискатель являлся ответственным исполнителем работ, а также вопросы ОКР № 33/44-90 от 20.12.90 г., проводимой отдельным конструкторским бюро «Спектр» при РГРТА (г. Рязань) и кафедрой ВМ.

Ведущей организацией является Институт космических исследований РАН.

Разработанные алгоритмы и программы внедрены в Секции прикладных проблем при Президиуме РАН, в ОКБ «Спектр» при РГРТА, в Рязанском центре научно-технической информации. Теоретические результаты диссертации внедрены в учебный процесс РГРТА.

Апробация работы Результаты диссертации обсуждались на 14 конференциях, проходивших в г. г. Москве, Воронеже, Нижнем Новгороде, Одессе, Пензе, Рязани, Севастополе, Тамбове, Черноголовке (Московская обл.). Зарегистрированные программы эксплуатируются в организациях-заказчиках более 3-х лет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, заключения, приложения, библиографического списка цитированной литературы. Полный объем диссертации - 117 е., библиографический список -78 наименований. Имеется и том приложений, содержащий листинги программ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснованы актуальность и техническая направленность решае мых в диссертации задач I, II. Задача I состоит из двух подзадач - это создани процедур гарантированного оценивания точности расчетов элементов орбит Ю (подзадача 1) и энергетических затрат на коррекцию орбиты КА (подзадача 2).

Отмечены также нерешенные вопросы теории и практики гарантированноп оценивания, сформулированы цели и определены направления поиска. Показан! научная новизна и практическая ценность диссертационной работы, а также мето ды исследования. Приведены данные о внедрении результатов в производство.

Первая глава «Методы гарантированного оценивания в задачах обеспечены вычислительных комплексов» содержит обзор публикаций по гарантированном; оцениванию. Обосновано применение методики гарантированного оценивание (МГО) для решения поставленных задач. Задачи I, II потребовали модернизацш математического аппарата. Рассмотрена исходная задача о «наихудшей корреля ции». Пусть уравнения измерений имеют вид

гк = ИкТд + рк, , (1

где ^ е Л"1 - вектор состояния некоторой системы, А^еИ"' - заданные векторы, измерения, р* - ошибки измерений. В рассматриваемых проблемах ш < N. Модел) (1) представим в матричной форме:

• - • г = Яг<7 + р, - • • • ■ (2;

в которой векторы г, р и матрица Нт имеют естественное содержание. В реальны? задачах модель (2) является, как правило, приемлемой линеаризацией некоторо{ нелинейной модели в окрестности подходящей точки <7о-

В задаче необходимо построить процедуру для оценки скалярного параметр; 1=ат ц, где аеЯт - заданный вектор. В реальных задачах интересующий параметр также зачастую нелинейно зависит от ц. Для таких ситуаций полагается, что принятая выше линеаризация правомочна. Оценка / параметра / также находится с

- N

помощью линейного несмещенного оценивателя (фильтра) Х=(хь): I = =ХТг

к=1

Для ошибки оценки 51=1-1 = (НХ-а)тд = А^р, т.к. фильтр Хнесмещен:

НХ = а. (3;

При классическом подходе, если вектор ошибок р есть центрированный вектор с матрицей ковариаций Кр = Мррг, то дисперсия ошибки оценки

Оо/ = Т>1 = М^рр7^ = ХгМ(ррг)Х = ХтКрХ. (4]

Минимум же этой дисперсии по оценивателю - вектору X при условии несмещенности (3) достигается, как известно, при А^ = ат(НКр'1 Нт)']НКР'\

Другое дело (и в этом - суть неклассического, гарантированного подхода), когда выполнены следующие «минимальные» гипотезы об ошибках измерений:

1) Мр* = 0, 2)Dpk< щ2, 3) | kv | = | Мр,р/ст,0) | <f,j, i, j, к = \,N, (5) где ць /¡j - заданные числа, происхождение которых не обсуждается, cj,=(Dp,)i/7.

Проблема состоит в определении (вычислении) наилучшего оценивателя X и гарантированной ошибки оценки Ыг в определении 5/ = /-/ из решения минимаксной задачи

Ыг = min max {D5/ : НХ=а}. (б)

X lcv,ak

В т.н. схеме «бортика» нет даже и скудной информации (5). Здесь лишь полагают, что вектор р = (pi,..., p,v)r принадлежит параллелепипеду ошибок

n=-{psRw:-|p*l<£feÄ=ÜÖ, - • (7)

где границы Е;- заданы и достижимы. Необходимо определить наилучший оценива-тельХи гарантированную ошибку оценки 8/г из решения минимаксной задачи

6/г = min max {| / -/1 : HX=a}. (8)

X p

Заметим также, что исторически впервые задача оценивания точности в схеме «бортика» решалась в несколько иной постановке. Обозначим Ьь = hrfzk, Ht = pj/еь Пусть В - множество векторов {Ьк}, В„ - подмножество В мощности п (in <n<N), ß„ - множество подмножеств Вп. Выделим в ß„ конкретный элемент В„. Обозначим (для удобства) векторы, формирующие Вп, через b„°, а соответствующие векторы из множества {гк} через r° = {г\0,'..., г„0}. Ошибка'оценивания Aq вектора q находится по методу наименьших квадратов при фиксированном г° при минимизации по A q функционала / = ■ Определяются ошибка 5/ = а

1=1

N

множество ß= (Jß„ и ставится задача вычисления

rninmaxô/ (9)

в предположении (\/к) < 1. Одна из программ решает именно эту задачу (9).

N ЛГ

В силу (4) D5/ = D/ =YlHx,xjfc,ja,ai • Как следствие (5),(6), гарантированная i i=i

N N

точность оценивания А/г = J/ ц.ц, . Если положить в (5) (V ij) fi} = 1,

N

го гарантированную точность можно представить в виде Д/г= min(^p.,|x,|)2.

х /=1

Следовательно, задача о «наихудшей корреляции» (а по аналогии и задача в схеме «бортика») сводится к одной и той же проблеме нелинейного программирования (НП) с m условиями типа равенств (и «неудобным» для численного решения негладким функционалом): найти экстремум

где Н- матрица, составленная из столбцов Л],..., /г,v. Очевидно, Ыр = Alf. •

В последней задаче (10) без ограничения общности рассматриваемых алп ритмических и программных решений можно полагать истинным предикг (V/:)(ii=l, т.к. в противном случае достаточно умножить соответствующие выраж! ния модели (1) на нормирующий множитель l/^/jl^- Итак, задачу (10) можк (сохраняя прежние обозначения) представить в виде: найти экстремум

5/г=тт{£|х,|:ЯХ=я}, . . (Г

х t=i

который традиционно вычисляют средствами линейного программирования (ЛП) удвоением размерности задачи.

В диссертации с новых (в отличие от традиционных методов ЛП) теоретике множественных позиций решается (в алгоритмическом и программно исполнении) задача (11) (а следовательно, и задача о «наихудшей корреляции» задача в схеме «бортика») и как следствие такого подхода доказана

ТЕОРЕМА 1. Если функция/удовлетворяет условиям: 1) (V с\, с2: Cj ^ с2) пс верхностиДД^) = С\ nJ{Aq) = с2 не пересекаются, 2) (V Ci) поверхность j[Acj) - с\ выпуклая вверх (выпуклая от нуля), 3) функция/одинаково монотонна (возрастае или убывает) по каждой координате аргумента; точность Sl=J(Aq), то решение зад; чи (8) содержит по крайней мере N - т нулевых компонент.

Следствие 1. (М.Л. Лидов) В задаче о «наихудшей корреляции» и в задач схемы «бортика» для наилучшей гарантированной оценки точности в определени линейного параметра l=aT q необходимо ровно m измерений, остальные измерени не нужны: они способны лишь ухудшить прогнозируемую точность оценивания.

Следствие 2. В задаче определения Ыр (11) по крайней мере N - т компонен оптимального оценивателя равны нулю.

Следствие 3. Если 5/=|4gJ1 = 2а?,|, то решение задачи (8) содержит п

Def j

крайней мере N - т нулевых компонент.

Следствие 4. Экстремум (9) достигается на некотором Вт при соответствуя щем условии (V к = 1 ,т) \r°\ = ± 1.

Новый подход позволил получить новые свойства рассматриваемого минк максного оценивания, в том числе с учетом теоремы 1:

ТЕОРЕМА 2. Гарантированная точность 61г является монотонно возрастая щей функцией от числа измерений к при к>т.

ТЕОРЕМА 3. Если в квазилинейной модели z* = \i{hi?q) + рк, k=\,N, функци у непрерывна и монотонна на интервале наблюдений [0, 7], то гарантированна точность Ыр является монотонно возрастающей функцией от числа измерений к.

В контексте задачи (9) при использовании фильтра МНК справедлива

ТЕОРЕМА 4. Имеет место неравенство шах min Ый max min 5/.

ß* |i|=±i ß„ k|=±i

Следовательно, с учетом следствия 4 на множестве экстремальных ошибок |fjt°|=± 1 разброс величины 5/, определяемой по всей выборке, больше разброса величины 5/, определяемой по оптимальной укороченной выборке.

Создана программа, в которой МГО сравнивалась по количественным показателям с МНК. Итоги моделирования изложены в «Результатахработы».

Из полученных результатов естественным образом вытекает задача по планированию моментов наблюдений, которая может быть решена численным методом субградиента, не требующим (в силу специфики задачи) вычисления частных производных. Итог численного решения модельной задачи планирования приведен в «Результатах работы».

Любопытно, что теорема 2 оказывается справедливой и в случае мультипликативной помехи: модель измерений (в прежних обозначениях) имеет вид

= ptA/ g, vn ,

где Pk- случайная мультипликативная помеха, удовлетворяющая условиям:

1)Мр*=1, 2) (V£)( 11-pJ <£*),

где по-прежнему Ei - наперед заданные числа.

Вторая глава «Процедуры и программное обеспечение оптимального оцени-. вания параметров и коррекции движения космических аппаратов». Прежде всего излагается решение задачи (11) в виде алгоритма М_1, который в кратком изложении состоит из следующих шагов. Приведем систему линейных уравнений (11) к равносильной системе вида

и<+> = а(+)-Яи«

где и - вектор базисных переменных размерностью т, выбираемый определенным образом, а(+) - свободный член системы, и м - вектор свободных переменных, В - матрица размером mx(N-m), соответствующая вектору и

Решение, в котором по крайней мере N-m нулей, назовем допустимым. Ввиду следствия 2 решение задачи (11) - допустимое. Оптимальное решение с заданной точностью найдем , варьируя элементы вектора и н и минимизируя соответствующий функционал, двигаясь исключительно по допустимым решениям.

Доказано, что задачу (11) можно решить аналитически. При естественных обозначениях задача примет вид: найти экстремум и аргумент экстремума

E = min {ЦхЦь хеа},

где х - искомый вектор размерностью N, а - плоскость, определяемая уравнением Ux= v, U - заданная действительная матрица размером mxN, v - заданный вектор.

Определим в аффинном пространстве AN= <0; И^>многогранник S равенством IW|i=<3o, Snot=0. Пусть прямая / проходит через точку О ортогонально плоскости

а, Le/П а и 5 - центральная проекция а на ту граничную гиперплоскость S, которс принадлежит точка Z/'WnS. Прямая dтакова, что Oed, ¿18, С = ¿Па.

ТЕОРЕМА 5. Если индекс к = arg min {С, / (Q - Ц) > 0}, то для оптимальн!

¡=1.....N

го допустимого решения переменная хь=0.

На основе теоремы 5 разработаны алгоритм AM и программа нахождения р> шения задачи (11) последовательным исключением «лишних» индексов.

ТЕОРЕМА 6. Аналитическая процедура AM свободна от зацикливания и 6ei полезных, не приводящих к уменьшению целевой функции, итераций.

Теорема 6 открывает перспективы в решении актуальных вопросов теории практики гарантированного оценивания

Алгоритм AM адаптирован для технической задачи расчета оптимальной Л1 нейной импульсной коррекции движения КА (задача ОЛИК2). Пусть LeR" - нею торый вектор параметров КА, который нужно изменить путем импульсной Koppei ции траектории КА в моменты t\,..., tu. Такое изменение характеризуется корреют рующим импульсом и,- размерностью я,-. Например, если импульс и,- производится произвольном направлении, то л,- = 3, если заранее известно, что импульс прина/ лежит координатной плоскости или прямой, то и, = 2 или и,- = 1 соответствен!« Изменение L в момент t, равно Д«,-, где Л,- - матрица размером «хи,-, характеризук щая влияние импульса и рассчитываемая по известным формулам. В результате i импульсов вектор L должен измениться на заданный вектор Ь. Затраты на корреи цию в момент ^пропорциональны нормер\{и).

Ставится задача минимизации затрат на коррекцию: найти

W=mm.&k,pl(uty.YiBiut=b,ki >0}, (12

i i

где ¿, -заданные коэффициенты, норма pi(u,) = ||ы, || j определяется как сумма моду лей координат вектора. Задача (12) сводится к задаче: найти

W = тш{2>,*,:2>/4 = b,kt > 0,Xj > 0,А, е П,}, (13

i i

где Q,={Ai: Ai=Bi<Xi & /7i(a,)=l}. С помощью алгоритма AM свободное от зацикли вания аналитическое решение задачи (13) достигается за конечное число шагов.

Третья глава «Гарантированные вычислительные процедуры оценивания i прикладных задачах». В качестве побочного продукта рассматриваемой методик! решена задача (активно разрабатывавшаяся на кафедре ВМ РГРТА) по оценю спектральных параметров материалов, доставляемых с борта КА. При послойно.\ спектральном анализе поверхностей производятся последовательное разделенш

1 Белоусов Л.Ю. К вопросу о задаче оценивания с учетом влияния немоделируемых уско рений//Космич. исследов. 1994.Т.32. № 6. С.66-76.

2 Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гаранта рующего оценивания (обзор) //Космич. исследов. 1991. Т.29. № 5. С.659-684.

поверхности на «непересекающиеся» слои и исследование спектра на каждом слое. В работе приводятся алгоритмы гарантированной оценки концентрации компонентов в слоях на различной глубине.

Последовательность спектров при послойном анализе представляется в виде 1

'г _ _

где [¿1, - интервал регистрации спектров, / - номер слоя, считая "от края", м',(/) -спектр /-го слоя, К((, т)- аппаратная функции, у- номер исследуемой компоненты, $,{/)- спектр у'-й компоненты, а;Г коэффициент удельного веса (концентрация) _/'-й компоненты в /-м слое, с,(г)- суммарный шум при снятии спектра с /-го слоя. На шумы в силу специфики задачи наложены неклассические ограничения:

|(7,<01<ст,*(0> (15)

где сг,*(/) - известные функции. Ставится задача: оценить элементы матрицы с помощью заданной библиотеки эталонных спектров (существование которой в работе не обсуждается). На равномерной дискретной сетке задача (14), (15) равносильна задаче оценивания элементов А с гарантированной точностью по модели

т N _ _

= |сг;, |<ст/,*, /=1,л, /=1,Л/. (16)

Задача (16) алгоритмически решена средствами гл. 1,-2. Предложена также новая, основанная на гарантированном подходе методика выбора эффективных параметров в реальных задачах спектрального анализа в ситуации, когда число параметров превышает число экспериментальных точек, и изменить это количественное соотношение принципиально невозможно.

Математическая модель изучаемого физического эксперимента приближенно имеет линейный вид

я

= = С7)

М

где е, - экспериментальные значения, о,у - известные коэффициенты, /}■ - оцениваемые параметры. О точности приближения в (16) ничего не известно. По условию

р«д. (18)

Представим модель (17) в традиционной матричной форме

е=Аг, (19)

где векторы е, г и матрица А имеют естественное содержание. Требуется по измерениям е оценить вектор г. В силу (18) уравнение (19) имеет континуум решений. Эта «некорректность» преодолевается на основе гарантированного подхода:

1 Разработка и исследование методов цифровой обработки изображений по данным спек-

трометрических экспериментов: Отчет по НИР/Рук. Е.П. Чураков;РГРТА,1991. Инв. № 8792817.

найден вектор г, на котором достигается

тт{]г|1:^г = е}.

Проблема сбоев. В гл. 1 рассмотрена проблема сбоев измерений в гарантированном оценивании, которые могут составлять (по оценкам В.Н. Почукаева) до 50% всей выборки измерений. Исследования в этом направлении находятся сегодня в начальной стадии. В случае неоднократного сбоя (ошибка измерений не ограничена) множество, которому принадлежит вектор ошибок измерений р=(рь ..., рЛ,)г, вместо параллелепипеда (7) принадлежит неограниченной, негладкой, невыпуклой области

Р = {'}Р(к),Р(к) = {р еКМ-|ру| < гJJ = Ш ^ к).

к=1

Будучи формализованной, проблема сбоев имеет вид

Ыг = тахтт(^5; |: НХ = а & X = о!, (20)

х х [/=1 ] где вектор Х= (хц,..., Хц)т содержит 5 (0 < .у < И-т) неизвестных координат. На каждом шаге процедуры АМ отбрасывается одна из переменных, не участвующая в записи оптимального решения. Следовательно, за И-т шагов можно упорядочить переменные дгх, Хц следующим образом:

' {у\,Уъ-,Ут} <ZX<Z2<... (21)

.".где переменная, отбрасываемая на 1-м шаге процедуры, - переменная,

отбрасываемая на 2-м шаге и т.д., 2\ - переменная, отбрасываемая на (Ы-т)-м шаге процедуры, переменные у\, )>2,—, ут образуют оптимальное решение задачи (11). Оптимальное решение задачи (20) находится среди переменных уи уг,..., ут, 22,..., С учетом теоремы 1 и (21) имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 7. Если 5 > т, то оптимальное решение образуют переменные

если 0 < 5 < т, то оптимальное решение образуют переменные 22,..., и некоторые т-з переменных изУ\,Уг,..., ут.

Четвертая глава «Математическое и программное обеспечение гарантированного оцениванш параметров в космических экспериментах». С новых модельных и алгоритмических позиций гарантирующего подхода решена задача оценки влияния ошибок модели и измерений движения КА на точность определения положения КА вдоль его оскулирующей орбиты (устоявшийся термин). Изучаются случаи влияния погрешности с нулевым и неизвестным математическим ожиданием. В качестве оцениваемого параметра используются как ошибка определения положения КА вдоль орбиты внутри мерного интервала, так и ошибка прогноза.

В теории движения КА вводятся т.н. оскулирующая орбита и система оскули-рующих элементов орбиты е(и), ю(и), /(и), П(и), 1(и), Р(и), где аргумент и обозначает угловое расстояние от рассматриваемой точки до узла соответствующей оскули-

рующей орбиты, е - эксцентриситет орбиты, со - аргумент перицентра, i - наклонение орбиты, Q - долгота восходящего узла, t - время нахождения КА на орбите, отсчитываемое от to, соответствующего начальному щ, Р - мгновенный дракониче-ский период. Размерности: [и] = обороты, [/] = мин, [Р] = мин/об. Движение КА вдоль оскулирующей орбиты описывается интегральным соотношением1:

х

t = t0+P0x + ¡(x - y)F(y)dy, о

где F(y) - некоторая реальная возмущающая функция, обусловленная многими природными и техническими факторами, х=и-щ, ¡о=1{щ), Ро = f(w0), 0 < у < х, а размерность [F(y)] = мин/об2. В качестве измерительной информации для определения положения спутника на орбите используется измерение моментов времени T¡ прохождения спутника через заданные точки орбиты с координатами x¡. Измеренное значение T¡ можно записать как

T^t0 + PoX¡ + J(x,. -y)F{y)dy + о

где - ошибка измерения, подчиненная условию

1Ы <т,.

т, - заданные числа. Заметим, что измерения находятся в рамках модели (1), здесь <7= (t0, Р0). Функцию F(y) представим в виде F(y) = FA/y) + ri(y), где F,KI - модельная зависимость действующих на КА сил, a ri(y) - ошибка этой модели. Вид ошибки г)(у) существенно зависит от конкретных решаемых задач. Однако во многих практических исследованиях можно считать, что г|(у) есть случайная величина, относительно которой известно лишь, что

I Л(у) - г| | < р, (22)

где г| - математическое ожидание г|(у) , а р - некоторая заданная константа. Относительно г| в работе изучаются две ситуации: 1) г| известно, 2) г| неизвестно.

В обоих случаях в качестве изначального алгоритма оценивания по традиции рассматривается МНК с диагональной весовой матрицей W = diag [W], ...,w„], (V/) w¡> 0 (измерения не равноточные, в отличие от 1 ). Элементы w¡ определяются в процессе решения задачи. Оценка параметра t представляется в виде

X

t(x) = t0+P0x+l(x-y) FM(y) dy. о

1 Назиров P.P. Влияние ошибок модели движения на точность определения положения

ИСЗ вдоль его орбиты. М.:Изд. ИКИ АН СССР,1983.

Ошибка в определении времени представляется в виде 5!(х)=((х)- Г(х) =5(х,^)+ +8(х,г|), где Ь(х£) - ошибка от измерений, 5(х,г|) - ошибка принятой модели.

В итоге получены конечные формулы априорной оценки точности в определении положения КА. Ввиду громоздкости приведем здесь один из результатов. Доказано, что при т)=0 гарантированная точность оценивания времени при jeJ, ге/

где X) (хг) - наименьшее (соответственно - наибольшее) значение среди {х;}; функция Сг(х,у) =(х-у)5&^(х), если ,уе[0, х], С(х,у) = 0, если _уеШ[0, х]; и>,- = г,+Рх,/2; знак £(-) (£(+Э) означает суммирование по индексам, соответствующим отрицательным (соответственно - положительным) значениям Ху. Нахождение индексов т.н. нормальных мест измерений = / осуществлено в работе на основе предложенного аналитического метода.

В главе 4 решена также прикладная задача II по созданию математической модели и комплекса программ для восстановления информации о внешнем воздействии космических частиц и осколков, случайно поступающих на КА или летательный аппарат (ЛА). Моделируется работа двух реальных систем СКД (система контактных датчиков) и САД (система активных датчиков), лишь частично покрывающих поверхность КА («10 - 25 %), и одной идеальной (не имеющей реального воплощения) системы СКАД (система контактных активных датчиков) по регистрации и оцениванию внешнего воздействия частиц на КА или ЛА и выявлению зон гарантированного (устойчивого) превосходства (в рамках заданного обобщающего критерия) одной реальной системы над другой. Система СКАД имеет все достоинства систем СКД и САД и лишена их недостатков. Можно считать, что системы СКД и САД являются реальными «оценками» системы СКАД.

Пусть V, г) - некоторый скалярный параметр, по которому производится сравнение систем (критерий эффективности), _/=!,£ (при моделировании полагалось к - 6), /=1, если исследуется система СКД, 1=2, если исследуется система САД, 1=3, если исследуется система СКАД, V и г - некоторые специфические параметры. В статистическом эксперименте при фиксированном V и заданном д для фиксированной системы по всем г = 1, ..., <7 для каждого 7-го критерия найдены оценки математического ожидания М/, и дисперсии случайной величины X] (ст^=0/у1/2). Определим точности отклонений систем СКД и САД от СКАД:

I I

■)G{xj,y)dy +

-)С(х,. ,у) - С(х,у) йу + \\С{х,уЩ,

||СКД - СКАДЦ = С, = (£ауР1у)/ к; ¡САД - СКАД|| = С2 = (£а¡Ру) / к, з 1

где И] - заданные весовые коэффициенты, Ру- = ^(Е^ - Я3у)2 + - сг3; )2, ¿=1, 2.

Обобщающим критерием для сравнения реальных систем служит т.н. относительная точность «оценивания» - величина С = Сч I С\ - эффективность системы СКД по отношению к системе САД. С помощью комплекса программ ЭТСНК величина С рассчитывается для различного числа К поступающих на КА и ЛА точек (С является функцией от К). По неравенству ттС< 1 гарантированно (по множеству экспериментов) восстанавливается мощность (число элементов) подмножества К программному комплексу были предъявлены специальные требования по надежности, удобству общения, структурному программированию и др.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы из работы и указаны возможные направления дальнейших исследований

Приложение содержит акты о внедрении результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Созданы процедуры и программы, позволяющие в линеаризованных моделях при оценивании параметров от вектора состояния из всего множества N измерений с аддитивными ошибками, принадлежащими заданному интервалу, конструктивно выбрать ровно т (размерность вектора состояния, обычно N>>111) измерений с целью достижения вычисленной гарантированной точности оценивания. Остальные измерения не нужны: в рамках гарантированного оценивания они способны лишь ухудшить точность оценивания из-за присутствия неизвестных «плохих» корреляций ошибок измерений. ■ Моделирование подтвердило теоретические исследования: алгоритм МГО точнее, чем классический МНК, оценивает параметры во всех 25 моделях из 25 данных в среднем на 24 %. ■ На основе новых идей получено обобщение теоремы о гарантированном оценивании. Результат распространен на некоторые нелинейные параметры и квазилинейные модели. Указана методика планирования наилучших моментов измерений. Эффективность планирования зависит от величины шага дискретизации предполагаемых моментов измерений. В рассмотренном примере за счет оптимизации моментов измерений точность оценивания улучшена на 28 %. Идея гарантированной точности оценивания распространена на случай мультипликативных помех.

2.И Предложена симплексная численная процедура М_1 вычисления гарантированной оценки точности (направленный перебор случаев). В тестовом примере программная реализация процедуры превосходит по быстродействию симплекс-метод линейного программирования примерно в 10 раз за счет оригинального выбора начального решения.

ЗИ Получено и программно реализовано аналитическое решение задачи о га рантированной точности оценивания, свободное от зацикливания и бесполезны; итераций, в отличие от традиционно используемых процедур линейного програм мирования (Алгоритм АМ). В тестовом примере (предложенном Б.Ц. Бахшияном аналитическое решение превосходит процедуры ЛП по объему оперативной памя ти (в отношении 8/10) и времени счета (в отношении 30/1).

■ На основе алгоритма АМ предложена методика расчета оптимальной () смысле минимума энергетических затрат) линейной импульсной коррекции движе ния КА с помощью 3-х корректирующих двигателей. Методика адаптирована дщ реализации на ЭВМ. ...

4.И Решена задача о гарантированном оценивании параметров при неограни ченных сбоях в измерениях

5.И Получены конечные формулы, позволяющие вычислить гарантированнук оценку точности определения положения КА вдоль его траектории (в рассмотрен ной задаче - оценка точности в определении 2-х оскулирующих параметров орбить КА из 6-и) в различных предположениях об ошибках измерений. Предпоженна; процедура может быть реализована для гарантированной оценки 4-х других эле ментов оскулирующей орбиты КА.

6.Ш Созданы математическая модель и диалоговый комплекс программ дл: решения обратной задачи гарантированного оценивания - восстановления инфор мации о внешнем воздействии космических частиц и осколков на космический шн летательный аппарат. Программный комплекс занимает 66,745 Кбайт памяти и со держит 1544 оператора. ■ Применена идея «минидатчиков» для моделирование физической гибкости систем регистрации и моделирования столкновения частиц ( КА или ЛА. Проведено испытание программного продукта на удобство эксплуата ции, надежность ввода информации, не требующей от пользователя специальны: знаний, тестирование программы на устойчивость результатов, отображение пока зателей на экране дисплея в графическом и табличном режимах. ■ В рамках гаран тированного оценивания доказано, что система контактных датчиков СКД регист рации и оценивания внешнего воздействия на КА эффективнее аналогичной по на значению системы активных датчиков САД при относительно небольшом числе (о-5 до 25) возможных столкновений КА с частицами в 2.01 раза или на 101 %, пр! числе столкновений от 5 до 50 - в 1.35 раза или на 35 %. Следовательно, систем; СКД может заменить в ряде случаев (невысокая плотность мусора или осколков 1 пространстве, короткое время пребывания КА на орбите или ЛА в полете) приме няющуюся доныне систему САД. При этом система СКД дешевле системы СА/ примерно в 3 раза. ■ Доказано, что система САД эффективнее системы СКД пр> длительной эксплуатации КА на орбите, подразумевающей значительное числ< столкновений КА с частицами. При числе столкновений от 30 до 50 система САД эффективнее системы СКД в 1.63 раза или на 63 %.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Соискатель имеет более 60 научных работ в различных областях «чистой» и прикладной математики. Основные результаты данной диссертации опубликованы в 30 научных трудах (из которых 4 написаны в соавторстве).

Основные публикации:

1. Миронов В.В. Обработка последовательностей спектров с гарантированной точностью при произвольной корреляции шумов //Известия СО РАН. Автометрия. 1993. № 1. С. 110-116.

2. Миронов В.В. Сравнение систем регистрации космического мусора //Космич. ис-след.1996. Т.34. № 4. С.414-419.

3. Чураков Е.П., Миронов В.В. Вычисление фундаментальной матрицы системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами //Известия вузов. Математика. 1987. Деп. № 2257 В-87. (Вклад диссертанта: разработка идеи, доказательство теорем.)

4. Миронов В.В. Теорема Лидова в контексте многоцелевого априорного оценивания //Матем. методы в задачах моделирования, управления и обработки данных: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань, 1992. С.50-57.

5. Mironov V.V. A Comparison of Systems for Recording Space Debris //Cosmic Research. 1996. V.34. № 4. P.382-386.

6. Миронов В.В. Проблема гарантированности и стабильности результатов в теории информации //Межд. конф. «100-летие начала использования электромагнитных волн для передачи сообщений и зарождения радиотехники»: Тез. докл. М., 1995. 4.II. С.171-172.

7. Миронов В.В. Оценка параметров траектории космического аппарата и сравнение систем регистрации космического мусора //Межд. научно-техн. конф. «К.Э.Циолковский - 140 лет

. со дня рождения. Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика»: Тез. докл. Рязань, 1997. С.58-60.

8. Миронов В.В. Алгоритмическое обеспечение классической задачи двух тел /Деп. ВИНИТИ АН СССР, 1986. №1015 В-86.

9. Миронов В.В. Гарантированная оценка параметров систем по методу наименьших квадратов //Матем. методы в задачах управления и обработки данных: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань, 1990. С.63-67.

10. Поскрякова Т.А., Миронов В.В. Планирование эксперимента по оценке параметров методом наименьших квадратов //Матем. методы в задачах управления и обработки данных: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань, 1990. С.90-93. (Вклад диссертанта: разработка идеи, доказательство теорем, построение примеров.)

11. Миронов В.В. Оценка надежности радиоэлектронных систем по данным выборочного контроля //Всес. научно-техн. конф. «Методы и средства оценки повышения надежности приборов, устройств и систем»: Тез. докл. Пенза, 1992. С.47.

12. Миронов В.В. Повышение точности МНК за счет учета характеристик помех измерений // II всес. конф. «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования»: Тез. докл. Тамбов, 1991. С. 154-155.

13. Миронов В.В. Оптимальная фильтрация при произвольных шумах //Всес. конф. «Статистический синтез и анализ информационных систем»: Тез. докл. Севастополь, 1991. С.40.

14. Миронов В.В., Крыгина С.С. Гарантированная обработка сигналов при произвольном шуме //Всес. конф. «Статистический синтез и анализ информационных систем»: Тез. докл. Севастополь, 1991. С.41. (Вклад диссертанта: разработка идеи, доказательство теорем, построение примеров, создание программ.) »

15. Миронов В.В. Оптимальное оценивание параметров систем по измерениям многомерных сигналов //Всес. научно-техн. конф. «Методы обработки многомерных сигналов в измерительных системах»: Тез. докл. Одесса, 1991. С.5.

16. Миронов В.В. Аналитический и градиентный методы решения прямой задачи гарантирующего оценивания //Всерос. конф. «Методы и средства измерений физических величин»: Тез. докл. Нижн. Новгород, 1996. С.85.

17. Миронов В.В. Многоцелевая априорная оценка точности при спектральном анализе поверхностей // III семинар по спектроскопии в Черноголовке: Тез. докл. М., 1992. С.51.

18. Миронов В.В. Выбор эффективных параметров градуировочной кривой при эмиссионном спектральном анализе свинцовистых латуней //Всерос. симпоз. по эмиссионной электронике: Матер, симпоз. Рязань, 1996.С.41-43.

19. Миронов В.В. Нелинейное оценивание и фильтрация с гарантированной точностью //Научно-техн. конф. «Повышение эффективности и помехоустойчивости ТВ-систем»: Тез. докл. Севастополь, 1993. С.57-58.

20. Миронов В.В. Гибкая математическая модель систем датчиков космического аппарата для орбитального контроля космического мусора //Научно-техн. конф. «Методы и средства измерений физических величин»: Тез. докл. Нижн. Новгород, 1996. С.84.

21. Миронов В.В. Оценка точности совместного определения параметров движения искусственного спутника Земли //Математические методы в научных исследованиях: Сб. науч. тр. Рязань, 1998. С.51-57.

22. Миронов В.В. Оценка точности определения параметров движения искусственного спутника Земли // II межд. научно-техн. конф. «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика»: Тез. докл. Рязань, 1998. С.115-117.

23. Миронов В.В,, Чураков Е.П. Гарантированная обработка дискретных измерений при слабом контроле помех //Вестник РГРТА.1999. Вып. 6 (в печати).

24. Миронов В.В. Гарантирующее оценивание параметров: Учеб. пособие /Рязань, РГРТА, 2000. 36 с.

25. Миронов В.В. Задача оценивания с учетом немоделируемых возмущений //Симпоз. «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках»: Тез. докл. Воронеж, 2000. С. 150.

26. Миронов В.В. Прямой без зацикливания симплекс-метод решения задачи гарантирующего оценивания параметров (Программа SIMPLEX) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ 2000. Инв. № 50200000019.

27. Миронов В.В. Модифицированный симплекс-метод решения задачи гарантирующего оценивания параметров (Программа PR_GIP) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000020.

28. Миронов В.В. Оценивание плотности космического мусора с помощью систем реги-страций методом прямоугольных вкладов (Программа MPV) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000021.

29. Миронов В.В. Аналитическое решение задачи гарантирующего оценивания параметров линейных моделей (Программа MVEKTOR) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ 2000. Инв. № 50200000024.

30. Миронов В.В. Сравнение систем регистрации и оценивания внешнего воздействия частиц и осколков на космические и летательные аппараты (Программа DTK_M5) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ 2000. Инв. № 50200000025.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МЕТОДЫ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Введение.

1.1. Методы гарантированного оценивания параметров (обзор).

1.2. Обобщение результатов на нелинейные параметры.

1.3. Методика планирования моментов наблюдений.

1.4. Случай мультипликативных помех.

1.5. Результаты моделирования.

2.1. Процедура вычисления гарантированной точности средствами линейной алгебры.48

2.2. Алгоритм аналитического решения задачи о гарантированной точности.51

2.3. Задача оптимальной линейной импульсной коррекции движения космического аппарата.58

2.4. Результаты моделирования.61

Заключение.62

Глава 3. ГАРАНТИРОВАННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНИВАНИЯ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Введение.63

3.1. Процедура гарантированной обработки последовательностей спектров.63

3.2. Построение уравнения регрессии в задачах спектрального анализа.68

3.3. Процедура гарантированного многоцелевого оценивания выхода проектируемых систем.71

3.4. Проблема сбоев измерений при гарантированном оценивании.73

Заключение.76

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ

В КОСМИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ

Введение.77

4.1. Задача о влиянии ошибок модели на точность определения положения ИСЗ вдоль его траектории.77

4.2. Влияние погрешности правой части уравнения движения ИСЗ с нулевым математическим ожиданием.81

4.3.Влияние ошибки модели возмущений с нулевым математическим ожиданием.84

4.4. Влияние погрешности правой части уравнения движения при неизвестном математическом ожидании.86

4.5. Влияние ошибок измерений.89

4.6. Задача обработки данных в системах регистрации и оценивания воздействия космических частиц на КА.90

4.7. Формализация задачи и ее решение.94

4.8. Программный комплекс БТСНК и результаты моделирования.98

Заключение.102

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.103

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.110

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. На современном этапе развития вычислительных комплексов, обеспечивающих полет космических аппаратов и обработку послеполетной информации, предметом интенсивных теоретических исследований и активной программной реализации является создание процедур, гарантированно обеспечивающих результат при любых сопутствующих условиях. В силу этой тенденции «гарантированности» происходит модернизация математического и программного обеспечения бортовых ЭВМ и наземных вычислительных комплексов. Представленная диссертация посвящена созданию и модернизации процедур и программ гарантированного (в другой терминологии - гарантирующего) оценивания параметров в задачах обеспечения космических экспериментов.

Традиционно в классических процедурах по оцениванию параметров моделей погрешности измерений считаются случайными величинами с заданными вероятностными характеристиками. Это - наиболее проработанное направление прикладной математики. Однако в целом ряде прикладных задач такое допущение об ошибках не соответствует реальным экспериментам и при использовании стандартного программного обеспечения приводит к неоправданному оптимизму в оценке точности проводимых расчетов.

Выход из этой парадоксальной ситуации был найден математиками России и США в 60-е годы (M.J1. Лидов, H.H. Красовский, П.Е.Эльясберг, Л.Ю. Белоусов, Хьюбер П.Д., Хэмпел Ф.Р.). Новизна идеи состоит в том, что считается заданным множество возможных значений ошибок исходных данных или характеристик их распределения. В этих условиях решаются задачи оценивания параметров моделей и систем и вычисления надежных значений характеристик точности. Получаемые при гарантированном оценивании менее оптимистические (по сравнению с классическим вариантом) оценки точности в целом ряде задач являются предпочтительными [1 - 3].

Теория гарантированного оценивания разделяется на несколько направлений со своими (порой весьма консервативными) традициями. Представленная диссертационная работа развивает традиции московской школы, ныне здравствующими представителями которой являются Л.Ю. Белоусов, Б.Ц. Бахшиян, P.P. Назиров, А.И. Матасов, В.Н. Соловьев и др.

Гарантированное оценивание как повышенное требование к надежности расчетов имеет две ярко выраженные концептуальные задачи.

Пусть заданы множества: {X} - возможных стратегий оценивания и G -возможных значений ошибок исходных данных или характеристик их распределения; yeG, где у - совокупность ошибок измерений и модели. Пусть 8/ - некоторая скалярная характеристика, зависящая от X и у и используемая при оценке точности определения некоторого параметра /.

Прямая задача гарантированного оценивания состоит в определении стратегии оценивания X и вычислении гарантированного значения

Ыг = min шах 8/

Г} yeG для минимизируемой характеристики 8/.

Обратная задача гарантированного оценивания состоит в определении множества G (или, по крайней мере, его мощности) при заданной стратегии X и гарантированном значении Ыр.

Динамично развиваясь, теория гарантированного оценивания имеет целый ряд нерешенных вопросов. Остановимся лишь на нескольких: созданные программные продукты на основе линейного программирования не свободны от зацикливания и бесполезных (не приводящих к уменьшению целевой функции) итераций - тех проблем, которые наиболее характерны (как доказали Л.Ю. Белоусов и Б.Ц. Бахшиян) для рассматриваемых задач гарантированного оценивания; потребности практики диктуют распространение результатов гарантированного оценивания на нелинейные параметры и нелинейные модели; остается актуальной задача об априорной оценке точности при возможных сбоях в измерениях (выход ошибки измерения за границы заданного интервала), доля которых в космических экспериментах доходит (по оценкам В.Н. Почукаева) до 50 %; решаемые практические вопросы при отсутствии сведений об ошибках измерений и, как следствие, необходимости более осторожной (по сравнению с классической) стратегии оценивания зачастую не вбирают в себя ни идей, ни методов теории гарантированного оценивания, ни тем более соответствующих программных продуктов.

Целью диссертации является разработка и исследование математического и программного обеспечения процедур гарантированного оценивания параметров в космических экспериментах, создание программ, ориентированных на обработку данных в ЭВМ.

Две технические задачи, объединенные идеологией гарантированного оценивания, решены в представленной диссертации:

I. (Прямая задача.) Создание новых процедур обработки данных в ЭВМ для гарантированной оценки точности определения положения КА вдоль его траектории в случае, когда ошибки измерений и модели ограничены известной детерминированной функцией, и расчета оптимальной линейной импульсной коррекции движения КА с помощью 3-х двигателей коррекции.

II. (Обратная задача.) Выявление средствами математического и программного моделирования гарантированной мощности множества частиц и осколков естественной и техногенной природы при восстановлении информации об их воздействии на КА с помощью систем контактных датчиков (СКД) и активных датчиков (САД) при заданной гарантированной относительной точности отклонения от идеальной системы контактно-активных датчиков (СКАД) со стороны систем СКД и САД (оценок системы СКАД).

Цели исследований достигаются решением следующих подзадач.

Математическое обеспечение исследований 1. Создание численной процедуры для решения задачи оценивания точности в определении параметров линейных моделей. Аналитическое решение задачи оценивания точности, свободное от зацикливания и бесполезных итераций. Обобщение теоремы об оценке точности на нелинейные параметры и модели при неклассических ограничениях на аддитивные ошибки измерений. Создание и тестирование процедуры планирования моментов измерений с целью увеличения точности оценивания. Распространение идеи гарантированного оценивания точности на модели с мультипликативными помехами (глава 1).

2. Статистическое сравнение на основе созданных программных средств точности оценивания параметров одним из вариантов предложенной методики и классическим методом наименьших квадратов (МНК) (глава 1).

Алгоритмическое и программное обеспечение исследований

3. Создание модернизированной процедуры решения задачи оптимальной линейной импульсной коррекции движения КА (глава 2).

4. Адаптация новой процедуры оценивания параметров к задачам спектрального анализа образцов, доставляемых с борта КА (глава 3).

5. Разработка процедуры оценивания точности определения параметров при сбоях в измерениях (глава 3).

6. Модернизация на основе новых результатов процедуры оценивания точности определения положения КА вдоль его траектории (глава 4).

7. Разработка математической модели, построение комплекса программ и компьютерный анализ работы систем регистраций и оценивания внешнего воздействия частиц и осколков естественной и техногенной природы на КА (глава 4). Цель - выявление гарантированной мощности множества частиц и осколков с помощью систем СКД и САД при заданной относительной точности отклонения систем СКД и САД от идеальной системы СКАД.

Прокомментируем структуру и техническую сторону решаемых задач.

Задача I состоит из двух идейно связанных подзадач: 6 и 3. Задача II -это подзадача 7. Решение остальных подзадач носит вспомогательный или побочный характер, представляющий, тем не менее, практический интерес.

В подзадаче 6 (рис. 1) изучается влияние ошибок модели и ошибок измерений на точность определения положения ИСЗ вдоль его траектории. При построении математической модели движения центра масс ИСЗ он, в соответствии с известными теоремами механики, рассматривается как материальная точка, на которую действуют все приложенные к аппарату внешние силы. Таким образом, он представляет собой голономную систему, состоящую из одной свободной точки с тремя степенями свободы. Движение такой системы характеризуется шестью фазовыми координатами. В качестве последних могут быть использованы три координаты центра масс ИСЗ и три составляющие его вектора скорости. Часто они заменяются некоторыми функциями этих величин, которые называются элементами орбиты. Для построения последних подбирается приближенное поле сил, называемое нормальным, которое мало отличается от реального и позволяет получить в конечной форме все шесть первых интегралов движения центра масс ИСЗ. В реальных условиях они медленно меняются с течением времени. В этой связи встает важная и ответственная задача оценки точности определения параметров ИСЗ на основе измерений различных параметров движения ИСЗ. К последним относятся расстояния от ИСЗ до измерительных пунктов, производные от дальности по времени, различные углы, производные от углов по времени, косинусы углов, производные от косинусов углов по времени и др. Все эти величины измеряются различными радиотехническими и оптическими приборами.

Рис. 1

Отличие проведенного в диссертации исследования от широко распространенных в космической практике состоит в том, что это исследование проводится на основе гарантированного подхода к оценке точности, т.е. предполагается, что ошибки ограничены по модулю некоторой известной функцией. В работе построены процедуры вычисления гарантированной точности при оценивании времени нахождении ИСЗ на орбите (считая от времени прохождения некоторой точки орбиты, например, ближайшего восходящего узла) и мгновенного драконического периода (как раз тех параметров оскулирующей орбиты, которые характеризуют движение ИСЗ вдоль орбиты). Под гарантированной характеристикой понимается максимальное по модулю отклонение оценки от истинного значения по всем возможным ошибкам измерений и модели.

В подзадаче 3 (рис. 2) изучается изменение орбиты ИСЗ путем импульсной коррекции (в системе координат, привязанной к ИСЗ) с помощью 3-х бортовых двигателей. При включении корректирующих двигателей ИСЗ определяющими оказываются реактивные силы, создаваемые этими двигателями. При этом характер движения ИСЗ может полностью измениться. Обычно (но не всегда) такое управление полетом носит кратковременный импульсный характер, т.е. двигатели включаются на несколько секунд или минут, в течение которых они сообщают ИСЗ необходимые корректирующие импульсы. В результате коррекции происходит изменение некоторых фазовых координат в определенные моменты времени. Суть в том, что в результате всех импульсов вектор параметров орбиты должен измениться на заданный вектор. С каждым предполагаемым импульсом связаны определенные энергетические затраты. Из множества предполагаемых импульсов предстоит выбрать такие, при которых цель коррекции будет достигнута с наименьшими энергетическими затратами.

Рис. 2

В подзадаче 7 (рис. 3) изучаются располагаемые на поверхности космических или летательных аппаратов (ЛА) системы регистрации и оценивания внешнего воздействия частиц естественной и техногенной природы на КА или JIA. Эти системы состоят из прямоугольных датчиков регистрации, соединенных жгутами линий связи, которые тянутся в головную часть КА к системам обработки измерительной информации. Для разных систем датчики имеют разную техническую «начинку» и потому отличаются по принципам функционирования. Провести длительное разностороннее сравнение систем в реальном космическом полете - чрезвычайно дорого. В этой связи в диссертации проведено компьютерное моделирование работы систем. В основу моделирования работы двух реальных систем СКД (система контактных датчиков) и САД (система активных датчиков) и их сравнения с идеальной, не имеющей реального воплощения системой СКАД (система контактных активных датчиков), но имеющей все достоинства систем СКД и САД и свободной от их недостатков, заложено соотношение данных (размеры и количество датчиков, способы разлета частиц и т.д.), отражающее реальные эксперименты. Системы СКД и САД сравниваются по их отношению к системе СКАД по шести числовым характеристикам (критериям эффективности), сводимым с известными весами к единому критерию. По проведенным вычислительным экспериментам определяются статистические математические ожидания и дисперсии числовых характеристик, по которым и производится сравнение. Можно считать, что системы СКД и САД являются реальными оценками идеальной системы СКАД. Определим нормы отклонений (точности оценивания) систем СКД и САД от СКАД:

СКД - СКАД|| = Ci ,||САД - СХАДЦ = С2.

Обобщающим критерием для сравнения реальных систем служит т.н. относительная точность «оценивания» - величина С = C%IC\ - эффективность системы СКД по отношению к системе САД. С помощью разработанного комплекса программ DTCHK величина С рассчитывается для различного числа К поступающих на КА точек (С является функцией от К). По неравенству min С < 1 гарантированно (по множеству экспериментов) восстанавливало ется мощность (число элементов) подмножества К°сzK.

Рис. 3

К комплексу программ ЭТСНК были предъявлены специальные требования по надежности, удобству общения, наглядности результатов, структурному программированию и пр.

Таким образом, все рассматриваемые задачи относятся к направлению гарантированного оценивания параметров и, следовательно, диссертация имеет целостный характер.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

• Получены обобщения теоремы о гарантированной оценке точности на нелинейные параметры от вектора состояния и квазилинейные модели.

• Предложены модифицированный симплекс-метод и его программная реализация для решения задачи оценивания точности.

• Получено аналитическое решение задачи оценивания точности, свободное от зацикливания и бесполезных итераций.

• Создана процедура решения задачи оптимальной линейной импульсной коррекции КА за конечное число шагов с помощью 3-х бортовых двигателей.

• Построена процедура оценивания точности при сбоях в измерениях.

• Созданы математическая модель и диалоговый комплекс программ по выявлению зон гарантированного превосходства системы контактных датчиков СКД над системой активных датчиков САД, а также САД над СКД. Проведено испытание комплекса на удобство ввода-вывода данных, понижение трудоемкости загрузки начальных данных, надежность его эксплуатации. Разработан программный способ организации множества т.н. мини-датчиков при описании физической «гибкости» системы датчиков регистрации на КА.

Результаты (продукты), выносимые на защиту. Математическое и программное обеспечение теоретических исследований: аналитическое решение задачи гарантированного оценивания точности, свободное от зацикливания и бесполезных итераций, и соответствующий программный продукт; модифицированная симплекс-процедура и программный продукт гарантированного оценивания точности определения параметров; процедура оценивания точности параметров при конечном числе возможных бесконечно больших выбросов измерений.

Алгоритмическое и программное обеспечение практических вопросов: методика оптимальной линейной импульсной коррекции траектории космического аппарата с помощью 3-х бортовых двигателей коррекции; алгоритм оценивания точности определения положения КА вдоль его оскулирующей орбиты; математическая модель и испытанный комплекс программ для восстановления информации о внешнем воздействии частиц и осколков на КА и JIA с целью выявления зон гарантированного превосходства одной технической системы над другой (СКД и САД).

Практическая ценность диссертации состоит в том, что она создает основу для эффективного алгоритмического и программного решения ряда практических задач. у" Разработанные в диссертации алгоритмы позволяют увеличить точность, надежность и быстродействие априорного оценивания параметров по сравнению с известными методами оценивания.

Получены конечные формулы, позволяющие вычислить гарантированную оценку точности определения положения КА вдоль его траектории и провести линейную импульсную коррекцию движения КА с минимальными энергетическими затратами.

-ф- Доказано, что система СКД превосходит систему САД на коротком времени эксплуатации при относительно небольшом числе столкновений КА или ЛА с частицами; система САД, напротив, эффективнее СКД при длительной эксплуатации на орбите, подразумевающей значительное число столкновений КА или ЛА с частицами.

Реализация и внедрение. Предложенные в диссертационной работе процедуры и созданные на их основе программные продукты являются составной частью научных исследований, проводимых Международной академией информатизации (Рязанское отделение) по договору МАИ 1/97 от 03.01.97 с Секцией прикладных проблем (СПП) при Президиуме Российской академии наук. Часть работы выполнялась в соответствии с договором Министерства обороны № 33/16-82 по Решениям № 139 от 08.06.85 и № 397 от 31.10.86. Диссертация включает также вопросы, проработанные в рамках ОКР № 33/44-90 от 20.12.90, проводимой ОКБ "Спектр" (г. Рязань), и НИР "Орбита", проводимой кафедрой ВМ РГРТА с РНИИ КП (г. Москва) по договору № 10-84 от 06.02.1984, в которой соискатель являлся ответственным исполнителем работ.

Ведущей организацией работы выступил Институт космических исследований Российской академии наук. Отзыв ведущей организации приведен в Приложении к диссертации.

Разработанные алгоритмы и программы внедрены

• в Секции прикладных проблем при Президиуме РАН,

• в Отдельном конструкторском бюро «Спектр» при РГРТА,

• в Рязанском центре научно-технической информации,

• в РГРТА в учебный процесс.

Конкретные результаты внедрения сформулированы и представлены в актах о внедрении, которые приведены в приложении.

Методы исследований. В диссертационной работе использованы аналитические методы решения задач из различных разделов современной математики. В случаях, когда получение аналитического решения оказывалось затруднительным или невозможным (в особенности это относится к обратной задаче II), были задействованы численно-аналитические и численные методы решения задач. Разработка математической модели в задаче II осуществлена посредством формализации принципов функционирования соответствующей аппаратуры. Программирование осуществлялось на ЭВМ серии ЕС и персональных ЭВМ серии ЮМ PC с использованием языков программирования FORTRAN IV, TURBO PASCAL и DELPHI 4.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на 14 международных, всесоюзных, всероссийских конференциях, семинарах, симпозиумах, проходивших в г. г. Москве, Воронеже, Нижнем Новгороде, Одессе, Пензе, Рязани, Севастополе, Тамбове, Черноголовке (Московская обл.). Зарегистрированные в Национальном фонде РФ программные продукты эксплуатируются в организациях-заказчиках более 3-х лет.

Публикации. Соискатель имеет более 60 научных публикаций в области как «чистой», так и прикладной математики. В диссертацию составной частью вошли материалы 30 публикаций: 4 статьи в центральных журналах, 1 статья депонирована в ВИНИТИ АН СССР, 1 статья в научно-техническом журнале, 4 статьи в межвузовских сборниках научных трудов, 3 публикации в сборниках трудов международных конференций, 11 публикаций в сборниках тезисов докладов научно-технических конференций, семинаров, симпозиу

16 мов, 5 зарегистрированных в Национальном библиотечно-информационном фонде РФ программных продуктов, 1 учебное пособие.

Полный перечень опубликованных работ приведен в библиографическом списке.

Достоверность результатов диссертации подтверждена:

• практикой;

• корректным использованием математического аппарата. Проведено квалифицированное рецензирование опубликованных работ;

• апробацией разработанных методик в программах;

• сравнением с альтернативными методиками, воплощенными в программы;

• результатами эксплуатации внедренных в науку и промышленность разработок.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, заключения, библиографического списка цитированной литературы, приложения. Полный объем диссертации - 117 е., библиографический список - 78 наименований. Имеется также том приложений, содержащий листинги программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1 .■ Созданы процедуры и программы, позволяющие в линейных и линеаризуемых моделях при оценивании параметров из всего множества N измерений с аддитивными ошибками, принадлежащими заданному интервалу, конструктивно выбрать ровно т (размерность вектора оцениваемых параметров, обычно в реальных экспериментах Ы»т) измерений с целью достижения вычисленной гарантированной точности оценивания. Остальные измерения не нужны: в рамках гарантированного оценивания параметров они способны лишь ухудшить точность оценивания из-за присутствия континуума неизвестных «плохих» корреляций ошибок измерений.

Моделирование подтвердило теоретические исследования: алгоритм МГО точнее, чем классический МНК, оценивает параметры во всех 25 моделях из 25 данных в среднем на 24 %.

На основе новых идей получены новое доказательство теоремы о гарантированном оценивании и различные ее обобщения. Результат распространен на некоторые нелинейные параметры и квазилинейные модели. Указана методика планирования наилучших моментов измерений. Эффективность планирования зависит от величины шага дискретизации предполагаемых моментов измерений. В рассмотренном примере за счет оптимизации моментов измерений точность оценивания улучшена на 28 %. Идея гарантированного оценивания распространена на случай мультипликативных помех.

Важно отметить, что все задачи рассматривались в дискретной постановке. Решение Л.Ю. Белоусовым основной задачи гарантированного (или говорят - гарантирующего) оценивания в непрерывной постановке открывает, в контексте диссертации, интересные перспективы в решении актуальных космических задач.

2.Ш Предложена симплексная численная процедура М1 вычисления гарантированной оценки точности (направленный перебор случаев). В тестовом примере программная реализация процедуры за счет выбора начального решения по быстродействию превосходит симплекс-метод линейного программирования примерно в 10 раз.

3 ■ Получено и программно реализовано аналитическое решение задачи о гарантированной точности оценивания, свободное от зацикливания и бесполезных итераций, в отличие от традиционно используемых процедур линейного программирования (алгоритм АМ). В тестовом примере аналитическое решение превосходит процедуры ЛП по объему оперативной памяти (в отношении 8/10) и времени счета (в отношении 30/1). На основе алгоритма АМ предложена численно-аналитическая методика расчета оптимальной коррекции движения КА. Методика адаптирована для реализации на ЭВМ.

4.И Предложенная методика гарантированного оценивания применена для решения задачи послойного спектрального анализа поверхностей образцов, доставленных с борта КА. Предложена методика построения уравнения регрессии в принципиально неполных моделях измерений.

5.И Решена задача о гарантированном оценивании параметров при неограниченных сбоях в измерениях

6.Ш Получены конечные формулы, позволяющие вычислить гарантированную оценку точности определения положения КА вдоль его траектории (в рассмотренной задаче - оценка точности в определении 2-х оскулирующих параметров орбиты из 6-и) в различных предположениях об ошибках измерений. Предложенная процедура может быть реализована для гарантированной оценки 4-х других элементов орбиты КА.

7.Л Создана математическая модель и диалоговый комплекс программ для решения обратной задачи гарантированного оценивания - восстановления информации о внешнем воздействии космических частиц и осколков на космический или летательный аппарат. Программный комплекс занимает 66,745 Кбайт памяти и содержит 1544 оператора.

Применена идея мини-датчиков для моделирования гибкости систем регистрации и моделирования столкновения частиц с КА. Проведено испытание программного продукта на удобство эксплуатации, надежность ввода информации, не требующей от пользователя специальных знаний, тестирование программы на устойчивость результатов, отображение показателей на экране дисплея в графическом и табличном режиме.

Доказано, что система контактных датчиков СКД регистрации и оценивания внешнего воздействия на КА эффективнее аналогичной по назначению системы активных датчиков САД при относительно небольшом числе (от 5 до 25) возможных столкновений КА с частицами в 2.01 раза или на 101%, при числе столкновений от 5 до 50 - в 1.35 раза или на 35 %. Следовательно, система СКД может заменить в ряде случаев (невысокая плотность мусора в пространстве, короткое время пребывания КА на орбите) применяющуюся доныне систему САД. При этом система СКД дешевле системы САД примерно в 3 раза.

Доказано, что система САД эффективнее системы СКД при длительной эксплуатации КА, подразумевающей значительное число столкновений КА с частицами. При числе столкновений от 30 до 50 САД эффективнее СКД в 1.63 раза или на 63 %. Систему САД целесообразно использовать при решении одной из актуальных практических проблем - создание адаптивных систем для исследования потоков космического мусора диаметром 0,1 - 1 см в околоземном пространстве.

По результатам работы издано адаптированное для студенческой аудитории пособие «Гарантирующее оценивание параметров» [73].

109 По результатам проведенной работы в Национальном библиотечно-информационном фонде РФ (г. Москва, ВНТИЦ) зарегистрировано 5 программных продуктов [74-78].

Таким образом, все планировавшиеся задачи решены и диссертация имеет целостный, завершенный характер.

В процессе работы автор неоднократно беседовал с крупными математиками, стоявшими у истоков гарантирующего оценивания, M.JI. Лидовым, П.Е. Эльясбергом, их коллегами и учениками. В свое время это предопределило круг интересов автора и методы исследований.

Большую помощь и поддержку в работе автору оказали доктор технических наук, профессор, зам. директора ИКИ РАН P.P. Назиров, доктор физико-математических наук, с.н.с. ИКИ РАН Б.Ц. Бахшиян, доктор физико-математических наук, с.н.с. ИОС РАН A.B. Логинов, доктор технических наук, профессор РГРТА В.П. Корячко.

Автор считает своим долгом выразить всем им самую глубокую благодарность.

Особую благодарность автор выражает своему научному руководителю заслуженному деятелю науки и техники РФ, доктору технических наук, профессору Е.П. Чуракову.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью диссертации является создание процедур и программ для исследования связи между используемыми в процессе решения рассматриваемых космических задач допущениями о характере погрешностей исходных данных и получаемыми результатами. Диссертация вобрала в себя новые подходы, методы, алгоритмы и программы гарантированного решения задач по обеспечению вычислительных комплексов или систем обработки информации и управления, применяющихся в космических экспериментах. Несомненное преимущество в этих исследованиях отдано вопросам гарантированного (в другой терминологии - гарантирующего) оценивания в традициях московской школы. В работе большое внимание уделялось технической стороне дела, программно-алгоритмической завершенности теоретических разработок и их непосредственному использованию в практических, в частности космических, экспериментах.

Подводя итоги исследования, можно сказать, что на практике рассматриваются следующие виды предположений об ошибках измерений и модели.

1. Классическая постановка задачи. В этом случае известны вероятностные характеристики ошибок измерений. В наиболее полном и распространенном виде - это знание закона распределения вероятностей указанных ошибок, приводящее к методу максимального правдоподобия. В сокращенном виде - это знание математического ожидания и ковариационной матрицы ошибок (последней - с точностью до некоторого множителя), необходимое при использовании метода наименьших квадратов и других, сводящихся к этому методу, алгоритмов фильтрации.

В действительности указанные предположения всегда в той или иной степени не выполняются. Несмотря на это, базирующиеся на них алгоритмы фильтрации с успехом применяются в подавляющем большинстве случаев. Это объясняется теоретически еще не исследованной, но подтвержденной многолетним опытом своеобразной устойчивостью классических оценок, в первую очередь - оценок, получаемых по методу наименьших квадратов, благодаря которой даже заметные отклонения от принятых допущений обычно мало отражаются на получаемых оценках. Заметим, что могут быть подобраны противоречащие сделанному утверждению примеры, но при решении большинства прикладных задач оно, как правило, является справедливым.

Однако в тех случаях, когда возникает необходимость в определении точности получаемых результатов, теоретические расчеты, основанные на классических допущениях, могут привести к грубым ошибкам. Получаемые с их помощью значения характеристик точности статистических оценок часто оказываются излишне оптимистическими. Это обстоятельство особенно сильно сказывается при большом числе используемых измерений, когда даже сравнительно небольшие не учитываемые корреляционные зависимости между ошибками исходных данных сильно отражаются на точности получаемых результатов. В итоге найденное из теоретических соображений свойство состоятельности классических оценок на практике не имеет места. В частности, в некоторых случаях добавление новых измерений может привести к ухудшению точности конечных результатов.

2.Неклассическая постановка задачи. В этом случае вероятностные характеристики ошибок исходных данных полагаются неизвестными, а задаются лишь множества, которым принадлежат эти ошибки или их характеристики. В тексте описаны существующие методы решения задач выбора оптимальной стратегии определения параметров состояния реальных систем при некоторых допущениях указанного типа (метод минимакса), а также оценки точности получаемых результатов. При этом заведомо обеспечивается то, что фактическая точность решения задачи оказывается всегда не хуже расчетной. Однако получаемые в результате границы возможных значений ошибок определения величин оцениваемых параметров являются обычно излишне расширенными. Кроме того, при этом плохо используются информационные возможности имеющегося или возможного массива измерений, что неблагоприятно отражается на точности конечных результатов. В связи с этим целесообразно продолжить поиски эффективных методов определения параметров состояния и оценки их точности при более гибких допущениях. В частности, желательно учесть зависимость предельных значений модуля коэффициента корреляции между двумя измерениями от промежутка времени, разделяющего эти измерения.

3. Комбинированный способ. При этом подходе суммарные ошибки исходных данных разбиваются на отдельные составляющие, каждая из которых удовлетворяет различным условиям, принадлежащим к указанным выше типам. По-видимому, таким путем можно добиться наилучшего приближения к реальным условиям и получить гарантированную, но не слишком ухудшенную оценку точности решения рассматриваемой задачи.

Из всего изложенного следует, что при планировании эксперимента, имеющего целью определение параметров состояния некоторой реальной системы, необходимо в первую очередь определить соответствующую решаемой задаче систему допущений о характере ошибок исходных данных и выбрать на основе этих допущений оптимальную стратегию проведения и обработки измерений. По окончании обработки полученных экспериментальных данных следует провести апостериорную проверку правильности принятых допущений.

Проведенные в диссертационной работе исследования, относящиеся исключительно ко второму неклассическому направлению гарантированного оценивания, позволили получить следующие основные результаты.

1. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов/ЯСосмич. исслед.1964.Т.2. № 5.С.713-715.

2. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем//Прикл. матем. и мех. 1964. Т.28. № 1.

3. Huber P.J. Robust estimation of a location parameter//An. Math. Statist. 1964.V.35.№ 6.P.1753-1766.

4. Бажинов И.К., Гаврилов В.П., Ястребов В.Д. и др. Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса «Салют-6»-«Союз»-«Прогресс». М.: Наука ,1985.376 с.

5. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор)//Космич. исслед.1991.Т.29. №5. С.659-684.

6. Huber P.J. Robust Statistics. N.Y.:J.Wiley and Sons, 1981. (Русск. перев.: Хьюбер П.Дж. Робастность в статистике. М.:Мир, 1984).

7. Миронов В.В. Теорема Лидова в контексте многоцелевого априорного оценивания //Математические методы в задачах моделирования, управления и обработки данных: Межвуз.сб. Рязань.:РГРТА, 1992. С.50-57.

8. Миронов В.В. Оценка надежности радиоэлектронных систем по данным выборочного контроля: Тез. докл. ВНТК «Методы и средства оценки повышения надежности приборов, устройств и систем».Пенза,1992.С.47.

9. Миронов В.В. Гарантированная оценка параметров систем по методу наименьших квадратов //Матем. методы в задачах управления и обработки данных: Межвуз. сб.Рязань.:РРТИ,1990.С.63-67.

10. Миронов В.В., Поскрякова Т.А. Планирование эксперимента по оценке параметров методом наименьших квадратов //Матем. методы в задачах управления и обработки данных: Межвуз.сб. Рязань.: РРТИ, 1990.С.90-93.

11. Миронов В.В. Оптимальная фильтрация при произвольных шумах: Тезисы докладов всесоюзной конференции «Статистический синтез и анализ информационных систем».Севастополь,1991 .С.40.

12. Миронов В.В., Крыгина С.С. Гарантированная обработка сигналов при произвольном шуме :Тезисы докладов всесоюзной конференции «Статистический синтез и анализ информационных систем». Севастополь, 1991.-С.41.

13. Миронов В.В. Оптимальное оценивание параметров систем по измерениям многомерных сигналов : Тезисы докладов ВНТК «Методы обработки многомерных сигналов в измерительных системах». Одесса, 1991.С.5.

14. Миронов В.В. Оценка точности совместного определения параметров движения искусственного спутника Земли //Математические методы в научных исследованиях: Сб. трудов: Рязань. :РГРТА, 1998.

15. Красовский H.H. Теория управления движением. М. : Наука,1968.

16. Куржанский А.Б. Управление и наблюдения в условиях неопределенности. М.:Наука,1977.

17. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

18. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.:Наука,1976.

19. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.:Наука,1980.

20. Матасов А.И., Мартиросян С.Р. Минимаксные алгоритмы позиционной коррекции инерциальных навигационных систем//Механика твердого те-ла.1988.№ 2.С.14.

21. Бахшиян Б.Ц. Гарантированные характеристики точности линейного оценивания, их свойства и применение: Препринт № 1332.М.: ИКИ АН СССР, 1987.

22. Астровский А.И. Априорный способ построения гарантирующих операций в задачах оценивания начального состояния//Докл. АН БССР. Т.31. № 9. С.795.

23. Elyasberg P.E., Sukhanov A.A., Morley Т.,НесЫег F. Orbit determination for comet Hally by means of optimally selected observation//ESA J. № 8. P. 19.

24. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию.М.:Наука,1983.

25. Лидов М.Л. Минимаксная задача оценивания параметров траектории в непрерывной постановке//Космич. исслед.1984.Т.22.№ 4.

26. Лидов М.Л. О длительности сеансов измерений при слабом влиянии белого шума//Космич. исслед.1988.Т.26. № 2. С.179.

27. Иргер Д.С. Об оптимальной фильтрации по минимаксному критерию //Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1966. № 5. С. 137.

28. Матасов А.И. О гарантированном оценивании параметров при сбое в измерениях//Космич. исследов.1991. Т.29. № 3.

29. Архангельский В.А., Белоусов Л.Ю. Минимаксная оценка точности определения орбиты космического аппарата при учете немоделируемых ус-корений//Космич. исслед.1979.Т. 17. № 3. С. 342.

30. Лидов М.Л. Игровая задача оценивания с немоделируемыми ускорениями и алгоритм ее решения//Космич. исслед.1986. Т. 24. № 2. С. 246.

31. Матасов А.И. О необходимых и достаточных условиях оптимальности в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями//Космич. исслед. 1989. Т. 27. № 5.

32. Лидов М.Л. Алгоритм оценивания параметров движения в задаче с немоделируемыми ускорениями//Докл. АН СССР. 1988. Т.300. № 1.

33. Лидов М.Л., Бакума Л.Н. Определение оптимальной программы измерений с ограничениями на ошибки оценки трех параметров движения суточного спутника/ТКосмич. исслед. 1986. Т. 24. № 4.С.483.

34. Войсковский М.И., Меринов И.Е. Симплексный алгоритм минимаксной задачи оценивания: Препринт № 1697. М.:ИКИ АН СССР, 1990.

35. Лидов М.Л., Бакума Л.Н. Применение алгоритма оптимальной коррекции для решения задачи оценивания с немоделируемыми ускорениями //Космич. исслед. 1988. Т. 26. № 3. С.339.

36. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применениям. :Прогресс, 1966.

37. Лидов М.Л. Математическая аналогия между некоторыми оптимальными задачами коррекции траектории и выбора состава измерений и алгоритмы их решения/УКосмич. исслед. 1971. Т.9. № 5. С.687.

38. Белоусов Л.Ю. К вопросу о задаче оценивания с учетом влияния не-моделируемых ускорений//Космич. исслед. 1994.Т.32. № 6. С.66-1 в.

39. Бахшиян Б.Ц., Войсковский М.И., Пак Ч.В. Об оптимальной линейной идеальной коррекции при ограничениях на корректирующие импульсы //Космич. исслед. 1997.Т.35.№4.С.387-395.

40. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений.М.:ФМ,1962.

41. Белоусов Л.Ю. Сравнение несмещенного линейного оценивания и оценивания по методу наименьших квадратов в рамках модели ошибок с произвольной корреляцией//Космич. исслед.1994.Т.32.Вып. З.С.17-20.

42. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К.: Вища школа, 1983.

43. Миронов В.В. Аналитический и градиентный методы решения прямой задачи гарантирующего оценивания : Тезисы докладов «Методы и средства измерений физических величин».Нижн. Новгород, 1996. С.85.

44. Белоусов Л.Ю. Определение оптимальных моментов измере-ний//Космич. исслед.1969. Т.7. № 1.

45. Белоусов Л.Ю. Чебышевское приближение как решение задачи многоцелевого планирования при произвольно коррелированных ошибках измерений//Космич. исследов.1982.Т.20.№6.С.808-820.

46. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

47. Миронов В.В. Алгоритмическое обеспечение классической задачи двух тел//Деп. ВИНИТИ АН СССР. 1986. № 1015 В 86.

48. Бахшиян Б.Ц. Симплексный алгоритм решения оптимальной задачи гарантирующего оценивания с немоделируемыми возмущениями//Космич. исслед. 1988. Т. 26. № 1. С. 127.

49. Разработка и исследование методов цифровой обработки изображений по данным спектрометрических экспериментов /Отчет по НИР. Инв. № 8792817,1991.

50. Миронов В.В. Обработка последовательностей спектров с гарантированной точностью при произвольной корреляции шумов//Известия СО РАН. Автометрия. 1993 .№ 1.С.110-116.

51. Миронов В.В. Многоцелевая априорная оценка точности при спектральном анализе поверхностей: Тезисы докладов III семинара по спектроскопии в Черноголовке.МД992.С.51.

52. Миронов В.В. Выбор эффективных параметров градуировочной кривой при эмиссионном спектральном анализе свинцовистых латуней /Материалы Всероссийского симпозиума по эмиссионной электронике. Рязань, 1996.С.41-43.

53. Van het Hof G.J., Uyling P.H.M., Raassen A.J.J.//J.Phys.B.1991.V.24. №6 .P.1161-1171.

54. Логинов A.B. Формализованный подход к выбору уравнений регрессии //Оптика и спектр. 1992.Т.73.№ 4.С.649-660.

55. Миронов В.В. Нелинейное оценивание и фильтрация с гарантированной точностью: Тезисы докладов семинара «Повышение эффективности и помехоустойчивости ТВ-систем».Севастополь, 1993. С.57-58.

56. Чураков Е.П. Итеративные алгоритмы оценивания параметров случайных процессов (полей)//Автометрия. 1975. № 4.

57. Spase Debris. A Report of ESA.Paris,1988.№ SP1109.

58. Пудовкин О.Л., Пряхина Е.Б. Распределение техногенных тел в околоземном пространстве и оценка их воздействия на космические аппараты //Космич. исследов.1994.Т.32.Вып. 4,5. С.76.

59. Mironov V.V. A Comparison of Systems for Recording Space Debris // Cosm. Res.V.34.№ 4.P.382-386.

60. Миронов В.В. Гибкая математическая модель систем датчиков космического аппарата для орбитального контроля космического мусора: Тезисыдокладов «Методы и средства измерений физических величин».Нижн. Новгород,! 996. С. 84.

61. Миронов В.В. Сравнение систем регистрации космического мусора //Космич. исслед.1996.Т.34.№ 4.С.414-419.

62. Чураков Е.П., Миронов В.В. Вычисление фундаментальной матрицы системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффици-ентами//Известия вузов.Математика. 1987. Деп. ВИНИТИ АН СССР. N2257 В-87.

63. Миронов В.В. Оценка точности определения параметров движения искусственного спутника Земли // II межд. научно-техн. конф. «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика»: Тез. докл. /Рязань, 1998. С.115-117.

64. Миронов В.В., Чураков Е.П. Гарантированная обработка дискретных измерений при слабом контроле помех //Вестник РГРТА.1999. Вып. 6 (находится в печати).

65. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли.М. .Наука, 1965.

66. Назиров P.P. Влияние ошибок модели движения на точность определения положения ИСЗ вдоль его орбиты. М. :Изд. ИКИ АН СССР, 1983.

67. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М: Мир, 1984,Т.1,2.

68. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978.248 с.

69. Миронов В.В. Задача оценивания с учетом немоделируемых возмущений //Симпоз. «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках»: Тез. докл. Воронеж, 2000. С. 150.

70. Миронов В.В. Гарантирующее оценивание параметров: Учеб. пособие /Рязань, 2000. 36 С.117

71. Миронов В.В. Прямой без зацикливания симплекс-метод решения задачи гарантирующего оценивания параметров (Программа SIMPLEX) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000019.

72. Миронов В.В. Модифицированный симплекс-метод решения задачи гарантирующего оценивания параметров (Программа PR GIP) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000020.

73. Миронов В.В. Оценивание плотности космического мусора с помощью систем регистраций методом прямоугольных вкладов (Программа MPV) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000021.

74. Миронов В.В. Аналитическое решение задачи гарантирующего оценивания параметров линейных моделей (Программа MVEKTOR) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000024.

75. Миронов В.В. Сравнение систем регистрации и оценивания внешнего воздействия частиц и осколков на космические и летательные аппараты (Программа DTK M5) /Нац. биб.-информ. фонд РФ. М: ВНТИЦ, 2000. Инв. № 50200000025.