автореферат диссертации по технологии, машинам и оборудованию лесозаготовок, лесного хозяйства, деревопереработки и химической переработки биомассы дерева, 05.21.05, диссертация на тему:Математические модели раскроя лесоматериалов



. г »V-44 На правах рукописи

ХУХРЯНСКАЯ Елена Станиславовна

математические модели раскроя

лесоматериалов

а*

Специальность 05.21.05 - Технология к оборудование деревообрабатывающих производств, древесиноведение

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной техники Воронежской государственной лесотехнической академии

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Межов В.Е.

доктор технических наук, профессор Разиньков Е.М.

Ведущая организация:

кандидат технических наук Сушков С.И.

Воронежское

управление

лесами

Защита состоится Юдекабря 1998 г. в 10 Часов на заседании диссертационного совета Д064.06.01 при Воронежской государственной лесотехнической академии по адресу: 394613, Воронеж, ул. Тимирязева, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежской государственной лесотехнической академии.

Автореферат разослан & ноября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор уз^/к^ Курьянов В.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время наибольшую значимость приобретают рациональное использование исходного продукта, сырьевых и энергетических ресурсов, оперативное оптимальное планирование и управление производственной деятельностью на предприятиях. Важной особенностью реализации принципов оптимальности оперативной деятельности является использование численных методов для решения оптимизационных задач. В этом случае специфика экономических категорий учитывается в оптимизационных моделях через комплекс частных моделей - эффекта ¡¡поспи капитальных вложений, эксплуатации оборудования, ценообразования, спроса и предложения, управления запасами. При достаточно общем подходе к решению оптимизационных задач каждая отрасль промышленности характеризуется многообразием вариантов решения данной проблемы.

В лесопильной и деревообрабатывающей промышленности России ежегодно образуется около 45 млн. м:! древесных отходов, поэтому переход на малоотходную, ресурсосберегающую технологию раскроя пиловочника и плитных материалов, обеспечивающую максимально полное и комплексное использование сырья, является рационально необходимым, а научные исследования в этой области -весьма актуальными. При этом приходится удовлетворять потребность современной промышленности в древесном сырье при ухудшающемся качестве последнего.

Для решения данных задач в отраслях лесной и деревообрабатывающей промышленности применяются, как правило, методы линейного и динамического программирования.

Однако, не развиты общте методы построения моделей раскроя с учетом комплекса технологических особенностей оборудования и производственных процессов при постановке задачи оптимизации раскроя древесных материалов, отсутствует выход на типовые расчеты по оптимизационным моделям, не изучены методологические принципы разработки оптимизационных моделей с адаптацией к изменению учитываемых ими производственных и технологических условий, слабо исследованы частные аспекты оптимизации раскроя дефектного сырья, в частности хлыстов, содержащих центральную гниль.

С учетом вышеизложенного, тема диссертации, которая посвящена оптимизации раскроя пиловочника, плитных (листовых) материалов и оптимальной раскряжевке хлыстов, является актуальной „

Диссертация выполнена в соответствии Тематическим планом научно-исследовательских работ ВГЛТА по госбюджетной тематике (§47) 1996-2000 гг. по направлениям: "Разработка автоматизированного рабочего места для организации и выполнения работ на предприятиях лесного комплекса" и "САПР и АОС в деревообрабатывающих производствах" (номер госрегистрации 01.960.0 10816).

Целью настоящей работы является постановка и решение задач оптимального раскроя в лесопилении и мебельной промышленности по критерию минимума отходов при соблюдении условий комплектности, как задачи плотной упаковки целочисленной геометрии, и задачи оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль.

В рамках сформулированной цели решались следующие задачи: определение оптимальных поставов для данного заказа, определение оптимального распределения, ресурсов бревен для выполнения заказа; постановка и решение задачи оптимального раскроя .плитных материалов с одновременным формированием карт-раскроя при минимизации отходов; моделирование оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимизации цилиндрического объема.

При решении поставленных задач использованы методы математического анализа функций многих переменных и методы вычислительной математики: линейного целочисленного и смешанно-целочисленного программирования, решения систем нелинейных уравнений.

Научная новизна результатов исследования определяется тем, что в работе впервые:

- разработан и применен единый подход к постановке и решению задач оптимизации развального, брусоразвального, несимметричного развального поставов как задач плотной упаковки целочисленной геометрии;

- предложена модель оптимизации раскроя плитных материалов при одновременном формировании технологически допустимых карт раскроя как целочисленная задача линейного параметрического программирования;

- предложена модель оптимизации раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимизации цилиндрического объема;

- получены аппроксимационные формулы образующей хлыстов и образующей центральной гнили ольхи.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Модель плотной упаковки, построенная при едином подходе к решению проблем оптимизации раскроя пило- и плитных материалов.

2. Решение задач оптимизации раскроя пиломатериалов в лесопилении и заготовок в мебельной промышленности при минимизации отходов с соблюдением условий комплектности и учете технологической реализации.

3. Постановка и решение задачи максимизации цилиндрического объема при раскряжевке хлыстов, имеющих центральную гниль.

Научное и практическое значение работы состоит в том, что она является необходимым этапом в решении задач раскроя в подотраслях лесной и деревообрабатывающей промышленности.

Результаты___диссертации используются в учебных

спецкурсах но . подготовке специалистов по технологии деревообработки, их целесообразно применить в САПР и АСУТП лесопиления и мебельного производства, в системах автоматической раскряжевки хлыстов.

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах различного уровня, в том числе: Международных научно-технических конференциях "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройстЕ- и систем" (Пенза, 1996, 1997, 1998), Международной научно-методической конференции "Нонке информационные технологии в экологии" (Липецк, 1997).

По теме диссертации онубликовано 12 статей и тезисов докладов конференции различного уровня.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая оглавление, 20 рисунков, 6 таблиц и список цитируемой литературы из 63 источников.

СОДЕ РЖАНИЕ РАБОТЫ

Во_введении обоснованы актуальность темы диссертации,

сформулированы цель, научная новизна, практическое значение полученных результатов.

В первой главе диссертации проведен анализ современного состояния проблем раскроя в подотраслях лесной и деревообрабатывающей промышленности на основе литературных данных.

Показано, что одной из проблем в условиях острого сырьевого дефицита пило- и лесоматериалов является освоение ресурсосберегающих технологий с использованием средств вычислительной техники, обеспечивающих индивидуально-дифференцируемый подход к раскрою каждого хлыста, бревна, бруса, доски, плиты. Особое значение в этих условиях приобретает математическое моделирование оптимального раскроя, но, судя по литературным источникам, методы моделирования, учитывающие технологические особенности отраслей лесной и деревообрабатывающей промышленности, развиты не достаточно.

Во второй главе рассматриваются задачи оптимизации поставов а лесопильном производстве.

Рассмотрена методика решения этих задач при развальном способе распиловки, где центральной проблемой является оптимизация постава для бревна заданного диаметра при заказанной выборке из стандартной спецификации пиломатериалов по критерию минимума отходов.

Далее рассмотрено решение задачи к следующей постановке. Необходимо произвести N типоразмеров обрезных досок в заданных объемах и определит!) оптимальное распределение ресурсов бревен по диаметрам стандартной спецификации при развальном способе

распиловки. Для простоты модели принято, что длина доски равна длине бревна.

Пусть bi - ширина доски, a¡ - толщина доски ¿-го типоразмера (i-i,...,N). Предполагается, что весь ряд упорядочен по убыванию ширины &!>...>frjv> а ПРИ одинаковой ширине -

по убыванию толщины а,-.1>а,->а,-+1>.... Толщина пропила и припуск на усушку учитываются в толщине доски.

Наименьший возможный диаметр используемого бревна равен

dmin = V«IT+ bN ■ О)

В этом случае при развальном поставе возможно производство хотя бы одной сердцовой доски наименьшей ширины и толщины.

Наибольший возможный диаметр бревна определяется формулой

dmax = /(&, + (2)

Очевидно, при М возможных диаметрах бревен diüd^, dM>dmin,dí>...>dj>...>dM (/ = i,...,M). (3)

Здесь dir..,dM - стандартный ряд диаметров бревен. Таким образом, найден набор диаметров бревен, соответствующий заданной спецификации пиломатериалов.

При построении математической модели задачи оптимизации постава из всей спецификации N пиломатериалов рассматривается лишь упорядоченная выборка из n¡ досок, в которой наибольшая,

первая, такова, что

d¡ * <4>

т.е. она может быть сердцовой доской в поставе. Нумерация типоразмеров досок в j-ой выборке двойная: первый индекс соответствует номеру доски в данной выборке, второй - номеру выборки, - и может не соответствовать нумерации в полной спецификации пиломатериалов заказа.

Задача определения поставов, ориентированных на заданную выборку из спецификации пиломатериалов, относится к классу задач укладок или упаковок целочисленной геометрии. В данном случае требуется в круг диаметра d¡ (сечение бревна) уложить различные количества прямоугольников (торцов досок) с размерами аухЬц (i=l,...,My), где tij - количество типоразмеров досок в выборке, приемлемой для включения в постав для бревен данного диаметра. Все прямоугольники должны быть ориентированы одинаково по ширине или толщине — только тогда будет обеспечен развальный постав.

Пусть Xij - количество досок максимального размера в поставе. При X\j четном имеем четный постав, а при Хц нечетном - нечетный. Число досок остальных типоразмеров x¡¡ учитывается только в полупоставе, тогда при постановке задачи не нужно оговаривать условие четности.

Условия упаковки всех возможных типоразмеров досок в сечение бревна определяются системой неравенств:

к ----

*ua\i + :!:X xijaij ¿ Ж -b\-, VA := O,... „ n¡.

{=2

При формулировки оптимизационной задачи в критерия эффективности следует требовать максимума торцов всех упакованных в сечение бревна досок Я/

Система (5,)-(l>) должна быть дополнена требованием целочисленности хц, поскольку число досок в поставе всегда целые числа.

Для решения поставленной целочисленной задачи линейного программирования (3JIII) был выбран метод отсечения Гомори. К ЗЛП добавляется еще одно условие ("отсечение") такое, что все допустимые целочисленные решения удовлетворяют данной задаче, а полученное оптимальное и«Целочисленное решение - нет. Доказано, что через конечное число тагов метод приводит к новой задаче, оптимальное решение которой является одновременно оптимальным целочисленным решением исходной задачи.

Задача поиска оптимального постава решается для каждого /-го диаметра бревен из М возможных.

Решение задачи оптимизации постава с брусовкой проведено в два этапа. На первом этапе определено оптимальное размещение досок толщиной Ojj ширины Ьц (bij = b2j "...= b„¡) в брусе той же толщины, найдена максимальная площадь торцов этих досок (значение целевой функции). Решением задачи на первом этапе является число x¡¡ (i-1,...п) обрезных досок толщиной я,у (i=l,...n) одинаковой ширины. На втором этапе решается задача оптимизации всего постава (рис. 1).

Обозначим ширину полученных брусьев b¡¡, где /=1,...,т,

(ш<п), и упорядочим их толщины в порядке убывания. Введем новые булевы перемепные z¡¡, которые могут принимать два значения: 1 -если в /-ом поставе имеется брус шириной b¡¡: и 0 - если он отсутствует. Тогда

m к ____

Еь'иги + 2£хиаа idhbli'vk=: (7)

/=1 i=l

В выражении (7) переменных x¡j целью, переменные z¡¡ булевы. Последнее требование эквивалентно следующему:

m

(8)

i-1

При всех z¡j == 0 имеем развальный постав. Целевая функция будет выглядеть следующим образом:

m Я,-

S Л1гЧ + 2Е xüaiih -» max, (9)

/=i м

качестве площади

(6)

d,

функции,

где Л/ значение целевой определенное на первом этапе.

Целевая функция (9) совместно с ограничениями (7)-(8) представляет собой смешанно-целочисленную задачу лииейного программирования, решаемую методом Гомори.

Теория оптимизации несимметричных поставов развита слабо из-за сложности ее решения, поскольку несимметричные поставы увеличивают число вариантов ширины досок, а значит расширяется диапазон решений данной задачи.

В задаче оптимизации симметричных поставов учет боковых досок только через полупостав является условием

одновременно и четности боковых досок и

симметричности постава. Этим предположением обусловлена форма задания условий упаковки торцов досок в сечение бревна (5). Отмена условия четности боковых досок может привести к нарушению условия упаковки торцов досок в сечение бревна.

Для решения задачи оптимизации несимметричного постава будем учитывать отдельно количество боковых досок в левой и правой частях постава. Тогда ..., Д-'Г11 - количество боковых

досок в одной половине постава, а х22, Ху), ■■■, хп2 ~ в ДРУг°й-Целевая функция, выражающая максимум площади сечения торцов

Рис.1. Постановка задачи оптимизации постава с брусовкой.

всех досок, вписанных в сечение бревна диаметра d, примет вид

п п

дг,а,6, + xhalbi + ^ xilaibi max. (10)

i=2 i=2

Условие упаковки в сечение бревна центральных досок наибольшего размера остается прежним

■^¡tP^bJ -дг,а,>0. (И)

Необходимые, но для несимметричных поставов не достаточные, условия упаковки боковых досок аналогичны (5):

(12)

JjtP^bf - (xlfl( + £(xki + xk2)ak) >0, Vt = 2.....n,

Достаточные условия упаковки в сечение бревна боковых досок найдем из предположения, что равносторонняя трапеция, одним из оснований которой является ширина доски некоторого 1-го типоразмера, другим - ширина доски следующего за ним типоразмера, а высота соответствует толщине досок от 1-го до 1+1-го типоразмера, должна быть вписана в окружность диаметра <1 (рис.2).

Достаточные условия упаковки можно получить, используя теорему синусов для вписанного в окружность треугольника, например, ААВС:

лв

ВС

sin Z.C sin ¿A

Отсюда приходим к программирования:

sin ZB условиям

целочисленной задачи линейного

У(2 cf - Ы, - tíf] + 1[2 сР-ЬЪ - b?}2 - {bU - bjf -

{

¿-i > <'

+

4 = 2

•Ч2)

+ а.

l--(-l)'-1 , _ 1-(-I)1'

\\

М

Ь Л';,

>0, (13)

V/ = 2,..., ¡1, где :гы и - целые.

Условия (13) не могут быть приведены к условиям (5) при равенстве боковых досок в левой и правой частях постава в силу разных начальных посылок для формулировки математических моделей. ~~ При использовании модели (11)-(13)' для решения задачи оптимизации постава обеспечивается большая свобода выбора: даже при симметричном по количеству досок слева и справа оптимальном поставе он может оказаться несимметричным относительно центра бревна, что может привести к выигрышу в полезном выходе досок из пиловочника. Более того, в случае д:-)=(>, постав не обязательно будет четным, что также дает дополнительную возможность увеличения полезного выхода пиломатериалов из бревна.

Неравенства-ограничения (11 )-■ (13) и целевая функция (10) представляют собой скешанно-целочис-ленную задачу линейного программирования, решаемую методом Гомори.

Таким образом, решая три задачи оптимизации поставов при разных способах распиловки, приходим в конечном итоге к общему способу решения.

При сравнении двух способов решения задачи формирования поставов - методом последовательной упаковки и вышеизложенным методом - можно сделать вывод, что рассчитанные методом Гомори результаты, как правило, лучше на 5-10%, чем результаты, полученные методом последовательной упаковки.

При определении оптимального распределения ресурсов бревен необходимо выбрать из всех М возможных поставов оптимальные в смысле минимума отходов и определить количество бревен, распиливаемых каждым из выбранных поставов, необходимое для выполнения заказа из N спецификаций. Заданные количества

Рис. 2. Плотная упаковка при несимметричном развальном поставе.

/у

досок каждого типоразмера обозначим Я(|=1,.. .,Ю, искомые числа бревен каждого /-го диаметра Уу Тогда целевая функция задачи будет иметь вид

с1]

тс—-- (хиаиьи + 2]Гд:цацЬц)-

4 1 = 2

у}- -> тт. (14)

м

I

У=1

Тогда ограничения по комплектности можно записать в виде м

^|rijyJ>Ri, У« = 1,...,ЛГ. (15)

У=1

При решении задачи согласования заказа с наличными запасами сырья, ограничения (15) но комплектности необходимо дополнить ограничениями по ресурсам. Целевая функция (14) и ограничения (15) представляют собой стандартную задачу линейного программирования, решаемую относительно неизвестных у

Составной частью программного обеспечения, реализующего представленную выше математическую модель является подпрограмма нахождения решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори. Эта подпрограмма с небольшой модификацией оформлена нами в отдельную программу для нахождения целочисленных решений ЗЛП и используется в курсовом проектировании.

Блок-схема программы Сотогу, реализующая этот метод представлена на рис. 3. Вышеописанный алгоритм решения задачи определения по данному заказу оптимальные поставы реализован в программе ОРТ1М.

Отличающиеся геометрической постановкой, все три задачи сводятся к решению смешанно-целочисленной задачи линейного программирования. Таким образом, показана принципиальная возможность применения данного метода для решения других задач оптимизации в лесопилении.

В третьей главе показано решение задачи оптимального раскроя листовых и плитных материалов. Основным недостатком существующих программ автоматизированного составления карт раскроя плитных материалов с одновременной оптимизацией плана раскроя, является то, что решение задачи не всегда приводит к формированию карт раскроя, реализуемых технологически.

При постановке задачи предполагалось, что раскрою подлежат плиты лишь одного формата. Обобщить ее на случай использования нескольких стандартных форматов нетрудно: тогда в уравнениях появится двойное суммирование, в том числе еще по числу стандартных форматов плит, которых, кроме наиболее ходового 3500x1750, существует еще четыре: 2440x1220, 2750x1500, 3660x1830 и 5500x2440. При постановке задачи также необходимо учитывать технологические и конструктивные ограничения раскройного оборудования.

добавление условия

составлен «е ДОПОЛНИ-телыюю ограничения

| нет

'Ч

т-

v

<:<г*а{£Ц«а?>-\ /

^ввод файла! ' симплексно)'

ЧС11М]

\„тг

¿таблицы

_,2

и ложсенир о! гткмачъво г а |>еюени.н ЗЛЯ

< решение N.. нет 'сувдхт-

л

да

В]лчислеше

дробной части (В,-)

кахожде-

нне 1гадг{В,}

<

решения ЗЛП не ^цествуст

[' печать I

ВЪГХОДНОГО I

документа |

х

^ конец ^

Рис. 3. Блок-схема программы Оотогу.

Технологические ограничения можно разбить на две группы. К первой группе относятся ограничения I а геометрические размеры плит и заготовок, ко второй - ограничения, характеризующие конкретную технологию раскроя и конструкцию оборудования. Ограничения на геометрические размеры плит и заготовок могут быть достаточно легко учтены в размерах плит и заготовок на этапе формирования исходных данных для решения задачи оптимизации раскроя к, следовательно, принципиального влияния на формулировку задачи не оказывают.

Ограничения же, характеризующие технологию раскроя и конструкцию оборудования, должны быть учтены на этапе формирования карт раскроя, т.е. в модели задачи. Ояи позволят автоматически отсечь технологически неприемлемые варианты раскроя.

Рассматривая технологические схемы раскроя отметим, что в любом случае карта раскроя представляет собой набор однотипных или разнотипных полос, расположенных либо вдоль, либо поперек плиты. Не привязываясь к конкретной технологии раскроя и к используемому оборудованию, можно в обобщенном варианте постановки задачи искать оптимальное количество полос разного типа из всего возможного набора полос. Одновременно необходимо решать задачу плотной упаковки полос на плите, то есть задачу минимизации отходов при укладке вдоль или поперек плиты разнотипных полос. Опять с необходимостью приходим к решению задачи укладки, или упаковки, причем более сложной, чем изложенной ранее, поскольку укладка идет в двух направлениях: по горизонтали и по вертикали.

Пусть из плит с заданным продольным А и поперечным В размерами необходимо выкроить п различных типоразмеров заготовок размером а,хЬ,- (1=1 ,...,п). Всего возможно сформировать при этом п продольных полос шириной а\,...,апи п продольных полос шириной Ь\,...,Ьп, а так же 2п поперечных полос соответствующей ширины. Компоненты вектора отходов р и числа деталей к для полос всех типов определяются следующим образом.

Например, для продольных полос шириной я,-:

кг = 7Г ' = 1 = 1,...,я. (16)

(а]

Для продольных полос шириной 6,:

кп+г = — » рп+; = (А~ 1 = 1,...,П. (17)

к]

и т.д. В (16)-(17) квадратная скобка обозначает целую часть числа. Именно на этапе формирования возможных типов полос должны быть учтены ограничения, регламентирующие расположение заготовок на формате с учетом направления волокон на облицовке и т.п.

Обозначим необходимое число заготовок каждого 1-го типоразмера через г,-, необходимое для изготовления этих заготовок число полос шириной с, при продольном раскрое, выпиливаемых по /-ому варианту раскроя (/=1 ,...,п), через хц, соответственно: через хп+1,) ' число полос шириной Ь{ при продольном раскрое, и

Хз„+{п+] - число полос шириной 0{ и Ь} при поперечном раскрое. Тогда суммарное количество отходов по всем полосам составит: п п

31<х) = x x (РЙ Ц + Рп»*п+и + г1сл

1=1/=! ио;

+ Р2п+гх2п + {,п+] + Рзп+1*3п+«,п + / )•

Условия комплектности заготовок имеют вид:

п

x (кIх+ к„ + + п+ гх2и +1,я+/ + кзп-*гх3п+г,п+}) ~ Г' - ® ' У=1

1=1,...,П. (19)

Запишем условия упаковки полос и суммарное количество отходов плит при данных условиях комплектности. Обозначим через у,у число полос ¿-ой ширины при продольном раскрое для /-го варианта раскроя (1"=я; на одном формате, уп+^ ~

число полос 71+1-ой ширикы при продольном раскрое для ;-го варианта раскроя. Число плит, раскраиваемых по /-ому варианту при продольном раскрое обозначим через 2у. Соответственно для поперечной схемы раскроя: у2п+,>+у, |Гзп-н>+/ и 2п+у Условия упаковки будут иметь вид: п п

В - £ ЩУЦ - 2 М„+1- у > 0, / = 1,..., п, (20)

1=1 1=1

и л

А - Е я.'У2П + ,>-/ - Е „+,>+/ 5 > := (2,)

1=1 ¿=1

Но поскольку справедливы соотношении

Х>) ... . Xn*i,j

У ij - гУя + i.j -

¿у Лу

г2я + |Г,и+У _ 3in i,ч+j

(22)

f2ii-n',n+j ~ ~ > Узн + i.n+.i "

то условия упаковки можно переписать в виде: п и

Bzi - е aixÜ - е у о, / == 1,..., я (23)

1=1 1=1

и п

- е «.-Т2Я+/,П+/ - е хз»+.\.,+/ > 0, / = 1,..., п. (24)

Ограничения (23) (24) менее жесткие, чем (20)-(21), т.к. предполагают плотную упаковку полос по суммарной ширине всех Zy плит в /-ом варианте продельного раскроя или плотную упаковку полос по суммарной длине всех z„+y плит в n+j-ом варианте поперечного раскроя. При этом ограничения по упаковке на одну плиту (20)-(21) могут быть нарушены. Но при одновременном учете соотношений (22) и требовании целочислиппости всех компонент векторов х, у z условия (23)-(24) экиивалгнтны (20)-(21).

Суммарное количество отходов плит составит

Я! Г« я

$2(х, z) - ЛВ}2 z, ~ A Y X (ß'ixH + bix«+i,0 +

/-1 i-iM (25)

II п п

+ ЛВ'У, г„+/ - £ (e,-*2lMifll+/ + 6,-ж3п+1>+,).

j-i 1=1 j=i

Таким образом, получена в общем случае нелинейная задача целочисленного программирования с линейной целевой функцией

.SV-) ' S2(x,z)~> min (26)

и ограничениями (19), (22)-(24). Естественными являются и требования неотрицательности компонент векторов х, у, z.

Без учета нелинейных форм (22) задача становится задачей линейного программирования. Такая задача имеет место, как следует из пояснений к условиям (23)-(24), при возможности сращивания отходов плит и может быть использована при решении задачи раскроя рулонных материалов.

Задачу минимизации линейной формы (26) с ограничениями (19),(22)-(24) можно рассматривать как многопараметричсскую задачу целочисленного линейного программирования с параметрами -вектором у. Полученная нелинейная задача также может быть решена за конечное число шагов при использовании небольшой модификации алгоритма Гомори. Отмечена возможность обобщения формулировки этой задачи на случай нескольких стандартных форматов плит, а также непрямоугольной формы заготовок.

В четвертой главе отмечается, что более 50% древесного сырья мягких лиственных пород имеют центральную гниль, поэтому оптимизация раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимума выхода цилиндрического объема сортиментов является в настоящее время весьма актуальной.

Рассмотрим функцию /Хх)= 0.25лх12{х) (рис.4), которая представляет собой площадь сечения хлыста на расстоянии х от его вершины, где с/ = (1{х) - зависимость диаметра (I от расстояния х вдоль оси хлыста. Предположим, что хлыст имеет центральную гниль, образующая Л= 1г(х) которой известна. Обозначим 0(дг)=О.25л/|2(л*) -функцию, представляющую собой площадь сечения области гнили на расстоянии х от вершинного среза. Для решения задачи максимизации выхода цилиндрического объема деловой древесины тг сортиментов, получаемых из хлыста с центральной гнилью, необходимо будет выбрать расположение я-1 узлов так, чтобы обеспечить максимум площади фигуры, образованной ступенчатыми функциями под кривой ((х) и над кривой д(х).

Площадь такой фигуры представляет собой функцию п-1 переменных ..., хп.у, непрерывную на интервале {а,Ь\,

принимающую минимальные значения при ...= Хп.\ ~ а и

=.*■„_! = Ь и имеющую максимум при а < д*1 <...< хп.\ < Ь. Условием максимума площади

С(х) = £ (Ж; - )[/<*,•_,) - д(Х;)] (27)

ступенчатой фигуры является равенство нулю частных производных

дх

= 0, V I = 1.....п-1 (28)

при граничных условиях

= я, ) = На), х„ = Ь, о(х„) = д(Ь). (29)

Из (28) получим

дС(х)

дх

- (.г, -Х;^)д (Х;) + [д(хм) -0 (*,■)] = 0.

л*..,) л*->

Для решения системы (30) предла1ается алгоритм двойного итерационного процесса. С другой стороны, система (30) представляет собой систему п-\ нелинейных уравнений относительно Х{ (г=1,...?1-1). Каждое из уравнений представляет собой непрерывно дифференцируемую действительную функцию переменных Х{.1, Х{, Решение данной системы можно найти методом Ньютона.

Итогом решения задачи максимизации выхода цилиндрического объема сортиментов при раскряжевке древесного хлыста при наличии центральной гнили являются длины сортиментов, обеспечивающие максимум объема деловой древесины, заключенной в кольцевом цилиндре.

Блок-схема данного алгоритма двойного итерационного процесса представлена на рис.5.

., Важным моментом в программной реализации вышеупомянутого алгоритма является определение математической модели хлыста и гнили. Установлено, что образующая древесного ствола может быть функционально описана зависимостью диаметра (1 от относительного расстояния х — 1/Н, отсчитываемого от комля вдоль оси хлыста

п

(1(х) ,где - срединный диаметр, щ, О'=0,1,...,п)

/=»

постоянные коэффициенты, характеризующие породу дерева. Тогда для определения диаметра в любой точке необходимо знать с/о.5 и длину ствола II.

В диссертации рассчитаны на примере 100 хлыстов и представлены в таблице 1 коэффициенты полиномов различной степени для ольхи, поскольку данных об образующей древесных стволов данной породы в литературных источниках не имеется.

Рис. 4. Модель раскряжевки при наличии центральной гнили.

Таблица 1.

Степень п «0 а1 «2 <*3 «4 <*5 Коэффициент корреляции 1J

2 1.75279 -2.10451 1.02947 0.950

3 1.84562 -3.57952 4.89750 -2.57869 0.964

4 1.90497 -5.64020 15.20094 -19.0642 8.24275 0.974

5 1.93278 -7.81969 33.15737 -69.6511 66.1667 -23.1696 0.979

^ Начало ^

1 Васи исходных

* от.

исход \лашь1х

Расчет кооффиииеи тов функций (<х)11ф)

^ конец ^

Рис.5. Блок-схема программы двойного итерационного алгоритма.

В результате проведенных нами расчетов методом наименьших квадратов установлена зависимость между высотой гнили hr и диаметром центральной гнили (¿Vo в комле хлыста. Размеры диаметра гнили в комле изменялись от 7.1 см до 24.5 см. Коэффициенты полиномов различной степени, отражающих устойчивую зависимость между прикомлевым диаметром drо центральной гнили и высотой ее распространения отражены в табл. 2.

Отметим, что с возрастанием степени аппроксимирующего полинома выше второго порядка коэффициент корреляции растет незначительно, поэтому можно с достоверностью считать, что зависимость высоты центральной гнили от ее диаметра в комлевом срезе носит параболический характер. При автоматизированной раскряжевке

хлыстов отрезок [0, h] в абсолютных единицах - область определения функции площади поперечного сечения гнили д(х).

Нами также получена зависимость приведенного диаметра центральной гнили от относительного расстояния вдоль оси гнили (хлыста). Такая зависимость наиболее устойчива. Для вычисления диаметра гнили в любой точке отрезка [0, h] необходимо знать диаметр гнили в комле и длину хлыста.

В работе проведено моделирование раскряжевки на 3, 4, 5 сортиментов по критерию максимума цилиндрического объема на примере 100 хлыстов ольх и двумя численными методами: методом двойной итерации и методом Ньютона

решения системы нелинейных уравнений:. Образующая хлыстов аппроксимировалась полиномом четвертого или пятого порядка, гниль - второго или третьего. При сравнении результатов раскряжевки одних и тех же хлыстов без гнили и при ге наличии отмечено, что относительные длины сортиментов изменяются. Так, например, при раскряжевке на четыре сортимента относительная длина последнего, вершинного сортимента всегда возрастала. Относительная длина первого от комля, сортимента, как правило, уменьшалась. Длины срединных сортиментов также изменялись: длина второго чаще всего уменьшалась, третьего - увеличивалась.

Учитывая, что гниль распространяется не по всей длине хлыста, считаем закономерным изменение длин отмлевых сортиментов в меньшую сторону, поскольку максимум плодади поперечного сечения гнили приходится на комлевой срез. Увеличение вершинных ■ сортиментов можно объяснить тем, что при наличии гнили относительный вклад в цилиндрический объем выше, чем в хлыстах с

ее отсутствием.

Яш

Таблица 2. гнили от «/гп

Степень полинома п п0 И1 «2 «3 «4 Я5 Коэффициент корреляции Ц

2 4.12860 0.07285 0.01(375 0.984

3 9.8(5458 -1.221)08 0.10625 -0.00191 0.986

4 15.6117 -2.98197 0.29518 -0.01045 О.0С014 0.987

5 -8.80802 6.25131 -1.03252 0.08055 -0.00285 0.00004 0.987

Таблица 3.

Коэффициенты полиномов образующей гнили с/(х)/е/(0)

Степень полинома тг Д'О ах «2 «3 "4 «5 Коэффициент корреляции Т]

1 0.70732 -0.56622 0.743

2 0.904(16 -1.26614 0.37196 0.962

3 0.95747 -1.76495 1.05479 -0.17174 0.971

4 1.00219 -2.99322 .5.02048 -3.83211 0.80671 0.985

5 1.00575 -3.39674 7.42959 -8.44505 4.0(5878 -0.6-173 0.985

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Создан комплекс программ, реализующий разработанные в диссертации алгоритмы, который может быть применен в САПР и АСУ деревообрабатывающего комплекса. В ходе выполнения проведенных исследований были сделаны следующие основные выводы:

1. Поставлена и решена задача оптимизации развального постава по критерию минимума отходов, ориентированного на выполнение заказа, как целочисленная задача линейного программирования. Показано, что применение данной методики

можно реализовать для оптимизации поставов пиловочника с брусовкой. Применение данных расчетов позволяет сократить перепроизводство готовой продукции.

* 2. Поставлена и решена задача оптимизации несимметричных поставов. Несимметричные развальные поставы, с точки зрения теории оптимизации, снимают многие ограничения к дальнейшему увеличению полезного выхода пиломатериалов, а следовательно и ресурсосбережению.

3. Показана универсальность метода отсечения Гомори для оптимизации развальных, брусоразвальных, несимметричных развальных поставов. Отличающиеся геометрической постановкой, все три задачи сводятся к решению смешанно-целочисленной задачи линейного программирования. Таким образом, показана принципиальная возможность применения данного метода для решения других задач оптимизации в лесопилении.

4. Метод полного перебора вариантов на ЭВМ менее эффективен, чем предложенный в работе, поскольку при расширении номенклатуры выпускаемых досок возрастает число выполняемых операций.

5. Сформулирована задача оптимального раскроя плитных (листовых) материалов с одновременным формированием карт раскроя при учете технологической реализации и обеспечении комплектности заказа. Показано, что данная задача может быть решена как целочисленная задача линейного программирования методом Гомори.

6. Решение задачи оптимального раскроя плит позволяет решить одновременно задачу поиска количества наилучших, пригодных технологически карт без предварительного составления всех возможных, что является для любого предприятия сложной и трудоемкой задачей.

7. Предложен алгоритм раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимума цилиндрического объема.

8. Получены формулы для образующей хлыстов ольхи, которые могут быть в дальнейшем использованы в практике таксации их объемов и при раскряжевке хлыстов.

9. Получены корреляционные соотношения между диаметром гнили в комлевом срезе и высотой ее распространения вдоль оси, а также формулы зависимости диаметра гнили от расстояния, отсчитываемого от комлевого среза. Показано, что для аппроксимации зависимости высоты центральной гнили от ее диаметра в комлевом срезе достаточно полинома второй степени, поскольку при применении полиномов степени, выше третьей существенно не изменяется коэффициент корреляции. Зависимость диаметра гнили от расстояния вдоль оси достоверно описывается полиномом четвертой степени.

10. При моделировании раскряжевки хлыстов с центральной гнилыо на примере ольхи показано, что учет центральной гнили позволяет повысить выход цилиндрического объема на 10-12%.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лимонов Е.А., Федоров Д.II., Хухрянская Е.С. Математическая модель задачи оптимального формирования карт раскроя плитных материалов//Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем: Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: ПГТУ, 1996. - С. 139-140.

2. Лимонов Е.А., Федоров Д.П., Хухэяиская Е.С. К вопросу оптимизации раскроя пиловочных бревен развальными поставами// Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Сб. науч. тр. - Воронеж: ВГЛТА, 1996. - С.44-47.

3.Болдырев В.С, Лимонов Е.А., Хухрянская Е.С. Алгоритм максимизации выхода цилиндрического объема сортиментов при раскряжевке хлыстов, имеющих центральную гниль// Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Сб. науч. тр. -Воронеж: ВГЛТА, 1997. - С. 143-147.

4. Оптимальный раскрой пиломатериалов на заготовки в мебельном производстве/Федоров Д.П., Лимонов Е.А., Хухрянская Е.С., Еременко Ю.В.//Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Сб. науч. тр. - Воронеж: ВГЛТА, 1997. - С. 270-273.

5. Лимонов Е.А., Межов В.Е., Хухрянская Е.С. Оптимизация раскроя пиловочника развальными поставами по критерию минимума отходов//Аюуальные проблемы анализа н обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем: Сб. докл. науч. конф. - Пенза: Изд-во ПГТУ, 1997. - С. 150.

6. Болдырев В.С, Лимоков Е.А., Хухрянская Е.С. Алгоритм раскряжевки хлыстон, пмсюших центральную гниль по критерию максимизации выхода цилиндрического объема сортиментов// Новые информационные технологии в экологии: Тез. докл. междунар. науч.-метод. конф. - Липецк: Изд-во ЛЭГИ, 1997. - С. 68-69.

7. Лимонов Е.А., Межов В.Е., Хухрянская Е.С. Алгоритм оптимизации раскроя пиловочника по критерию минимума отходов// Новые информационные технологии в экологии: Тез. докл. междунар. науч,-метод. - Липецк: Изд-во ЛЭГИ, 1997. - С. 69-70.

8. Оптимальный раскрой пиломатериалов в мебельном производстве /Федоров Д.II., Еременко Ю.В., Литвинов АЛО., Хухрянская Е.С.// Новые информационные технологи ! в экологии: Тез. докл. междунар. науч.-метод. - Липецк: Изд-во ЛЭГИ.1997. - С.70-71.

9. Хухрянская Е.С. Алгоритм решения задачи оптимизации раскроя пиловочника развальными поставами// Межьуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУД997. - С. 186-191.

10. Оптимизация раскроя и размерных показателей пиловочника/Гарин В.А., Лимонов Е.А., Федоров Д.П., Хухрянская Е.С. // Деревообрабат. пром-сть. -1998. №1. - С. 11-14.

11. Болдырев B.C., Лимонов Е.А., Хухрянская Е.С. К вопросу оптимизации раскряжевки древесных, хлыстов мягких лиственных пород//Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем: Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: ПГТУ, 1998. - С. 163.

12.Болдырев B.C., Лимонов Е.А., Хухрянская Е.С. Решение задачи оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, на примере ольхи//Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Сб. науч. тр. - Воронеж: ВГЛТА, 1998. - С. 185-188.

Хухрянская Елена Станиславовна

Математические модели раскроя лесоматериалов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических штук

Подписано к печати 5.11.98 Заказ № &<&-.

тираж 100 экз. Объем 1 усл. п.л.

УОП ВГЛТА 394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8.

х-

# /V

( ^ к/1У

У

С-«'

ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ

На правах рукописи

\\

ХУХРЯНСКАЯ Елена Станиславовна

\\

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСКРОЯ ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ

Специальность 05.21.05 - Технология и оборудование деревообрабатывающих производств, древесиноведение

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор В.Е. Межов

Воронеж - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОПТИМИ ЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В ЛЕСНОЙ И ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 8

1.1. Развитие теории оптимальных поставов 8

1.2. Развитие теории оптимизации раскроя листовых и плитных материалов 16

1.3. Теория оптимальной раскряжевки хлыстов 20

1.4. Выводы к главе 1 25 ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОСТАВОВ В

ЛЕСОПИЛЬНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ 27

2.1. Общая постановка задач оптимизации 27

2.2. Математическая модель задачи оптимизации размерных характеристик пиловочника развальным способом 29

2.2.1. Нахождение распределения бревен по диаметрам 30

2.2.2. Определение постава для каждого диаметра бревна из найденного распределения 31

2.2.3. Метод отсечения Гомори 34

2.2.4. Случай вырождения опорного решения 38

2.3. Оптимизация поставов с брусовкой 43

2.4. Определение оптимального распределения ресурсов бревен 46

2.5. Решение задачи формирования поставов и анализ решения 47

2.6. Реализация алгоритма решения задачи оптимизации раскроя пиловочных бревен 51

2.7. Оптимизация несимметричных поставов в

лесопилении 55

2.8. Выводы к главе 2 60

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ ЛИСТОВЫХ И ПЛИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ 62

3.1. Постановка классической задачи оптимального раскроя 62

3.2. Характеристика технологических ограничений при формировании карт раскроя 64

3.3. Математическая модель задачи формирования карт раскроя плитных материалов 66

3.4. Решение задачи оптимального раскроя 74

3.5. Выводы к главе 3 77 ГЛАВА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРЯЖЕВКИ ХЛЫСТОВ, ИМЕЮЩИХ ЦЕНТРАЛЬНУЮ ГНИЛЬ 78

4.1. Математическая постановка задачи 78

4.2. Алгоритм вычислительного процесса оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль 84

4.3. Определение функций образующей хлыста ольхи 86

4.4. Определение функций образующей и высоты центральной гнили ольхи 87

4.5. Моделирование раскряжевки 90

4.6. Выводы к главе 4 93 Заключение. Основные результаты и 94 выводы

Литература 96

Приложения 103

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время наибольшую значимость приобретают рациональное использование исходного продукта, сырьевых и энергетических ресурсов, оперативное оптимальное планирование и управление производственной деятельностью на предприятиях. Важной особенностью реализации принципов оптимальности оперативной деятельности является использование численных методов для решения оптимизационных задач. В этом случае специфика экономических категорий учитывается в оптимизационных моделях через комплекс частных моделей -эффективности капитальных вложений, эксплуатации оборудования, ценообразования, спроса и предложения, управления запасами. При достаточно общем подходе к решению оптимизационных задач каждая отрасль промышленности характеризуется многообразием вариантов решения данной проблемы.

В лесопильной и деревообрабатывающей промышленности России ежегодно образуется около 45 млн. м3 древесных отходов, поэтому переход на малоотходную, ресурсосберегающую технологию раскроя пиловочника и плитных материалов, обеспечивающую максимально полное и комплексное использование сырья, является рационально необходимым, а научные исследования в этой области - весьма актуальными. При этом приходится удовлетворять потребность современной промышленности в древесном сырье при ухудшающемся качестве последнего.

Для решения данных задач в отраслях лесной и деревообрабатывающей промышленности применяются, как правило, методы линейного и динамического программирования.

Однако, не развиты общие методы построения моделей раскроя с учетом комплекса технологических особенностей

оборудования и производственных процессов при постановке задачи оптимизации раскроя древесных материалов, отсутствует выход на типовые расчеты по оптимизационным моделям, не изучены методологические принципы разработки оптимизационных моделей с адаптацией к изменению учитываемых ими производственных и технологических условий [1], слабо исследованы частные аспекты оптимизации раскроя дефектного сырья, в частности хлыстов, содержащих центральную гниль.

С учетом вышеизложенного, тема диссертации, которая посвящена оптимизации раскроя пиловочника, плитных (листовых) материалов и оптимальной раскряжевке хлыстов, является актуальной.

Диссертация выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ ВГЛТА по госбюджетной тематике (§47) 1996-2000 гг. по направлениям: "Разработка автоматизированного рабочего места для организации и выполнения работ на предприятиях лесного комплекса" и "САПР и АОС в деревообрабатывающих производствах" (номер госрегистрации 01.960.0 10816).

Целью настоящей работы является постановка и решение задач оптимального раскроя в лесопилении и мебельной промышленности по критерию минимума отходов при соблюдении условий комплектности, как задачи плотной упаковки целочисленной геометрии, и задачи оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль.

В рамках сформулированной цели решались следующие задачи : определение оптимальных поставов для данного заказа, определение оптимального распределения ресурсов бревен для выполнения заказа; постановка и решение задачи оптимального раскроя плитных материалов с одновременным формированием карт раскроя при минимизации отходов; моделирование оптимальной раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимизации цилиндрического объема.

При решении поставленных задач использованы методы математического анализа функций многих переменных и методы вычислительной математики: линейного целочисленного и смешанно-целочисленного программирования, решения систем нелинейных уравнений.

Научная новизна результатов исследования определяется тем, что в работе впервые:

- разработан и применен единый подход к постановке и решению задач оптимизации развального, брусоразвального, несимметричного развального поставов как задач плотной упаковки целочисленной геометрии;

- предложена модель оптимизации раскроя плитных материалов при одновременном формировании технологически допустимых карт раскроя как целочисленная задача линейного параметрического программирования;

- предложена модель оптимизации раскряжевки хлыстов, имеющих центральную гниль, по критерию максимизации цилиндрического объема;

- получены аппроксимационные формулы образующей хлыстов и образующей центральной гнили ольхи.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Модель плотной упаковки, построенная при едином подходе к решению проблем оптимизации раскроя пило- и плитных материалов.

2. Решение задач оптимизации раскроя пиломатериалов в лесопилении и заготовок в мебельной промышленности при минимизации отходов с соблюдением условий комплектности и учете технологической реализации.

3. Постановка и решение задачи максимизации цилиндрического объема при раскряжевке хлыстов, имеющих центральную гниль.

Научное и практическое значение работы состоит в том, что она является необходимым этапом в решении задач раскроя в подотраслях лесной и деревообрабатывающей промышленности.

Результаты диссертации внедрены в учебный процесс и используются в учебных спецкурсах по подготовке специалистов по технологии деревообработки, их целесообразно применить в САПР и АСУТП лесопиления и мебельного производства, в системах автоматической раскряжевки хлыстов.

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах различного уровня, в том числе:

•Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем" (Пенза-1996);

•Международной научно-технической конференции

"Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем" (Пенза-1997);

•Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем" (Пенза-1998);

•Международной научно-методической конференции " Новые информационные технологии в экологии " (Липецк, 1997).

По теме диссертации опубликовано 12 статей и тезисов докладов конференций различного уровня.

Личный вклад автора в работы, опубликованные в соавторстве, состоит в моделировании, создании программного обеспечения и написании статей и тезисов.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая оглавление, 20 рисунков, 6 таблиц и список цитируемой литературы из 63 источников.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В ЛЕСНОЙ И ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

1Л. Развитие теории оптимальных поставов Важным направлением современного лесопиления явился переход к высоким технологиям, под которыми понимается оптимизация раскроя при индивидуальном подходе к обработке каждого хлыста, бревна, доски. В экономическом плане повышение выхода пилопродукции при ее выработке из тех же объемов сырья на 2-8% равнозначно увеличению производительности труда примерно в два раза [2].

Теория раскроя пиловочного сырья ставит основной целью увеличение выхода пилопродукции, т.е. рациональное использование природных ресурсов древесины.

С начала промышленного лесопиления бревна раскраивали в основном на лесопильных рамах по групповому способу, т.е. группой пил, устанавливаемых в соответствии со схемой раскроя. Постав пил должен обеспечить получение пиломатериалов определенных размеров и качества, поэтому схемы раскроя бревен, показывающие порядок и место пропилов, толщину, ширину и длину получаемых досок, были также названы поставами. Постав является основным технологическим документом, от которого зависит рациональность раскроя пиловочного сырья.

Началом теории раскроя пиловочного сырья считаются работы Х.Л. Фельдмана, который в 1932 году разработал системы максимальных поставов [3]. Как для всякой задачи на экстремум, решение сводится к тому, чтобы выразить искомую величину (сумму объемов всех досок) в виде функции и находить те значения переменных, при которых производная обращается в нуль. Отсюда определяются максимальные площади поперечных сечений

обрезных досок (прямоугольников), которые можно вписать в круг вершинного торца бревна (рис. 1.1). Очевидно, максимальную площадь будет иметь квадрат со стороной 0.707«/, где й - диаметр вершинного торца бревна. Наибольшая же площадь прямоугольников, вписанных в сегменты, будет при их толщине, равной 0.1б/, и ширине 0.421с?. Постав же на первом проходе, охватывающий 0.907*/, был назван брусовым.

В результате решения впервые были поставлены следующие вопросы: о необходимости подсортировки бревен с учетом размеров вершинных диаметров и сбега; о необходимости рационального использования не только основной, но и сбеговой части бревен; о необходимости укорочения боковых досок; о возможности сравнения

различных способов распиловки с помощью математических выкладок.

Дальнейшее развитие теории раскроя пиловочных бревен на пиломатериалы было осуществлено профессором Д.Ф.Шапиро. Он разработал аналитический метод определения оптимальной толщины обрезных пиломатериалов при раскрое бревен на 1, 2 и т.д. пары досок и составил номограмму максимальных поставов Фельдмана-Шапиро. Припуски на усушку и пропилы включались в размер толщины досок. Увязка этих номограмм со спецификационными размерами досок была затруднена, и они не получили практического применения. Поэтому появилось понятие "относительно максимальные поставы", под которыми понимали поставы с некоторыми отклонениями от абсолютно максимального выхода пиломатериалов в меньшую сторону, так как рекомендуемые толщины досок в долях диаметра торца бревна редко совпадают со спецификационными толщинами пиломатериалов с учетом пропилов и припусков на усушку [4].

а)

—-------

1 ~ >

——' 1/ЗЯ ^

н -

б)

Рис. 1.1. Схемы к расчету максимальных поставов:

а- при продольном раскрое бревен;б- при определении выгодных размеров боковых досок; / - длина боковой доски; Н - высота параболы.

и

Дальнейшее уточнение и дополнение теории раскроя осуществили: проф. Песоцкий А.Н., выявивший влияние эллиптичности и кривизны бревен, неточности подбора их в постав, смещения центра бревна относительно постава, сортности, размеров бревен и других факторов на объемный выход пиломатериалов [5]. Он также рассмотрел технико-экономический анализ различных вариантов баланса древесины на разные виды продукции с учетом условий производства, потребления, транспорта, сырьевых ресурсов и определил три основных условия рационального раскроя древесины в лесопилении: максимальный количественный, качественный и спецификационный выход пилопродукции [6].

Наиболее полные исследования и обобщения теории максимальных поставов были проведены проф. H.A. Батиным [7], разработавшим графики проектирования поставов, дающих максимальный объемный выход пиломатериалов. Графики и данные H.A. Батина представляют значительный интерес в области максимальных и оптимальных поставов, несмотря на переход к проектированию и расчету поставов по специальным технологическим программам на ЭВМ. Они позволяют спроектировать лучшие неполные поставы, т.е. поставы, включающие только толщину досок, для различного количества пар досок в поставе в зависимости от спецификационных требований.

Следует отметить теоретические работы Залегаллера В.А., разработавшего график усредненной высоты пропилов для брусовке разной толщины бруса, профессора Аксенова П.П., показавшего важность учета качества распиливаемого бревна и др.

Отсутствие до недавнего времени ЭВМ и специальных технологических программ по расчету поставов, их проектированию, планированию раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы привели к тому, что теория раскроя в практике лесопиления широкого использования не получила. Использование

разработанных ранее графоаналитических методов в основном сводится к следующим рекомендациям [8]:

• рекомендуется распиловка пиловочника с брусовкой; это обеспечивает меньшее варьирование ширины досок, лучшее использование качественных зон бревен и некоторое увеличение объемного выхода пиломатериалов;

• при распиловке с брусовкой наиболее целесообразной высотой бруса является его величина равная 0.7*/ ± 0.1 */;

• почти всегда рекомендуется метод последовательной оптимизации: для первого прохода составляют основной постав из пифагорической зоны для бруса толщиной 0.6*/ -ь 0.8*/ и для второго прохода постав на развал этого бруса. Между тем метод полного перебора вариантов на ЭВМ показывает, что оптимальная толщина бруса в зависимости от размерной спецификации пиломатериалов может колебаться от 0.5</ до 0.9*/;

• рекомендуются симметричные поставы. Несимметричные поставы увеличивают число вариантов ширины досок, создают эксцентричную нагрузку на пильные рамки лесопильных рам;

• в центральной части постава рекомендуется устанавливать толстые доски, по краям постава толщина досок уменьшается;

• разница в толщине досок в поставе не должна быть менее 3 * 5 мм;

• как правило, рекомендуется сортировка пиловочных бревен по четным или группам четных диаметров без учета границ эффективности действия того или иного постава, особенностей формы бревен и др.

Важным направлением современного лесопиления является переход к высоким технологиям, под которыми понимается оптимизация раскроя при индивидуальном подходе к обработке каждого хлыста, бревна, бруса, доски. Такие технологии невозможны без компьютерной поддержки. При отсутствии ЭВМ и

специального программного обеспечения для расчетов обычно использовалась имеющаяся на предприятии информация по прошлым годам о рациональной для той или иной ситуации неполных поставах. Расчет их проводился по табличному, графическому или аналитическому методам. Большой вклад теорию и организацию лесопиления внес проф. Калитеевский P.E. Им показано, что при проектировании и расчете поставов на ЭВМ можно с необходимостью учитывать влияние допустимости небольшого обзола на расчетную длину боковых обрезных досок (а следовательно, и объемный выход пиломатериалов), иметь блок автоматической оптимизации длины боковых досок, учитывать кривизну и эллиптичность бревен и прочее или не предусма