автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели прогнозирования биржевых рисков и банкротств кредитных организаций в условиях высокой волатильности

На правах рукописи

Кириллов Кирилл Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ БИРЖЕВЫХ РИСКОВ И БАНКРОТСТВ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ 2013

Краснодар 2013

005540785

005540785

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет».

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Кармазин Владимир Николаевич

Официальные оппоненты:

Сухинов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «ЮФУ», заведующий кафедрой математического обеспечения суперкомпьютеров

Попова Елена Витальевна, кандидат физико-математических наук, доктор экономических наук, профессор, ФГБОУ «КГАУ», заведующий кафедрой информационных систем

Ведущая организация: Северо-Кавказский Федеральный университет, г. Ставрополь

Защита диссертации состоится « 26 » декабря 2013 в 16.20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, ГСП-17А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: ул. Пушкинская, 148, г. Ростов-на-Дону, 344049

Автореферат разослан « » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существует мнение, что отсутствие стабильности на мировых финансовых рынках в последнее время отчасти обусловлено провалом финансовых моделей. В частности, утверждается, что современные математические модели не смогли правильно оценить риски, связанные с большими скачками цен на финансовые инструменты. В настоящее время для моделирования колебаний биржевых котировок на российских рынках, как правило, используются временные ряды с распределениями Гаусса или Стьюдента, которые не описывают высокую вероятность больших скачков цен в предкризисные периоды. Более обоснованным является использование ассиметричных распределений с „тяжелыми хвостами". Поскольку функции плотности для этих распределений не существуют в явном виде, то для построения численных моделей прогнозирования, основанных на таких распределениях, необходимы специально адаптированные под эти модели алгоритмы численной аппроксимации. В последнее время в связи с усложнением механизмов, лежащих в основе финансовых рынков и институтов, для того, чтобы принять правильное, взвешенное решение и выработать грамотную стратегию поведения, необходимы новые математические модели, учитывающие все большее количество факторов и комплексы программ, обладающие новой модульной структурой, которая способна обеспечить эффективное создание достоверных прогнозов как для низковолатильных так и для высоковолатильных периодов.

Кредитные институты всегда отображают в своем развитии состояние всей экономики, что наглядно продемонстрировали периоды резкого падения экономики в 1998 г. и 2008 г., когда количество банкротств кредитных организаций резко возросло. Вследствие чего органы надзора стали выдвигать новые, более жесткие регламентационные требования к ведению отчётности об экономической деятельности банков. В этой связи кредитные организации в некоторых случаях прибегают к фальсификации отчётности, усложняя органам пруденциального надзора осуществление деятельности по выявлению проблемных субъектов и прогнозированию экономической ситуации в отрасли. Следовательно, можно сделать вывод о том, что «классические» показатели надёжности банка дают всё менее адекватную оценку состояния субъекта и ситуации в целом. Возникшую проблему можно решить с помощью перехода от оценки одного субъекта к оценке группы субъектов, обладающих схожими признаками. Следовательно, задача достоверной оценки и прогноза надежности кредитной организации сводится к задаче сегментации всей совокупности имеющихся банков и классификации полученных групп посредством современных математических методов классификационного анализа. Обработка больших информационных массивов, содержащих банковскую отчетность, и классификация кредитных организаций невозможны без применения новейших достижений информационных технологий, создания новых программных продуктов и быстродействующих алгоритмов.

Финансовые кризисы в первую очередь сказываются на работе банков и бирж. Процессы, происходящие в этих двух секторах, влекут за собой изменения во всех отраслях экономики. Поэтому в настоящей диссертационной работе исследуются математические модели и методы прогнозирования биржевых рисков и банкротств кредитных организаций в условиях нестабильности на финансовых рынках.

Степень разработанности темы исследования. Для прогнозирования изменения цен на акции существуют разнообразные эконометрические модели временных рядов. Это, например, модель скользящего среднего, авторегрессии, смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего. Модель условной гетероскедастичности была разработана Энгелем в 1982 г., естественным продолжением которой является модель с обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичностью, которая была

предложена Боллерслевом в 1986 г. и до сегодняшнего дня активно используется для прогнозов волатильности.

Множество проведенных исследований выявило целый ряд специфических особенностей временных рядов доходности финансовых активов и их волатильности -отсутствие автокорреляции, лептокуртозис (высокие пики и толстые хвосты распределения), кластеризация волатильности, условная гетероскедастичность и др. Все эти свойства не могут быть охвачены предположением нормального распределения. В качестве альтернативы нормальным моделям временных рядов используются модели временных рядов с распределением Стъюдента, а также а -устойчивыми распределениями. Однако некоторые свойства устойчивых распределений снижают эффективность их применения для моделирования биржевых курсов. В работах С.Т. Рачева, Ю.Ш. Кима, И. Росински, M.J1. Бианчи, Ф.И. Фабочи был разработан новый класс распределений, гораздо лучше описывающих свойства динамики цен. Эти распределения характеризуются не только тяжелыми хвостами, которые толще, чем у нормального распределения, и тоньше, чем у а-устойчивых распределений, но и имеют конечные моменты всех порядков. Разработанные распределения применялись для анализа колебаний биржевых котировок на американских рынках. В настоящей работе исследуются процессы, характеризующие российские рынки. Для построения прогностических моделей, основанных на распределениях с тяжелыми хвостами, необходимы новые быстросходящиеся методы интегрирования характеристических функций.

Важную группу методов анализа надежности банков составляют подходы, основанные на применении дискриминантного анализа — статистического метода изучения различий между двумя или более группами объектов по совокупности нескольких финансовых показателей. Исследованиям, основанным на применении дискриминантного анализа, посвящены работы Э. Альтмана, Р. Таффлера, А. Кумара, Д. Чессера, Г. Холдмэна, П. Нараянана, Марэ, Д. Паттелла М. Вольфсона, Б. Фридмэна, Д. Као, В.М. Бухштабера, И.Г. Оводова, С.Н. Шевченко. В последнее время появились модели оценки надежности банков, основанные на теории Марковских процессов (Э. Альтман, Д. Као).

Для прогнозирования банкротств кредитных организаций также применялись деревья классификации (С.М. Бриант, С.П. Куррам, Дж. Мингерс, X. Джо, И. Хан, X. Ли, М.Т. Елхади, Т. Вамос, К. Парк). В основном известны работы зарубежных авторов. В настоящей работе разработан алгоритм прогнозирования на основе статистических данных для российских банков.

Целью факторного анализа является сжатие балансовой отчетности до минимального числа независимых факторов, которые наиболее полно описывают баланс и исследование которых позволяет получить ответ на вопрос о состоянии банка. Применению факторного анализа для определения надежности кредитных организаций в условиях кризиса 1998 г. посвящена работа A.B. Буздалина, а также работы зарубежных авторов (Т. Ленсберг, А. Эйлифсен, Т.Е. МакКи). В диссертационной работе с помощью факторного анализа анализируются показатели российских банков в условиях кризиса 2008 г.

Цель диссертационной работы - разработка эффективных математических моделей, численных алгоритмов и комплекса программ для прогнозирования биржевых рисков и банкротств кредитных организаций в условиях нестабильности на финансовых рынках. В связи с поставленной целью были решены следующие задачи:

1. В области математического моделирования: разработаны математические модели прогнозирования биржевых колебаний на российских рынках на основе временных рядов и проверена их работоспособность в предкризисные периоды с помощью статистических критериев. Построена математическая модель прогнозирования финансовой устойчивости кредитной организации на основе деревьев классификации.

2. В области численных методов: разработан эффективный численный метод вычисления функций распределения и плотности для распределении с тяжелыми хвостами. Предложен алгоритм выделения статей баланса, существенно влияющих на финансовую стабильность банков.

3. Разработан программный комплекс, предназначенный для моделирования биржевых процессов и оценки достоверности полученных прогнозов.

Научная новизиа результатов, полученных в диссертационном исследовании, заключается в следующем:

В области математического моделирования:

1. Построены математические модели для прогнозирования биржевых рисков, учитывающие толстые хвосты эмпирических распределений, и проведен сравнительный анализ построенных моделей с моделями с распределениями Гаусса и Стьюдента (С.29-46), что обеспечит участников фондового рынка надежными инструментами формирования фондовых портфелей в высоковолатилыше и низковолатильные периоды.

2. На основе компьютерного анализа данных российских биржевых котировок за 10 лет критериями согласия Колмогорова - Смирнова, Андерсона - Дарлинга, Кристофферсона и Берковича впервые показано, что традиционно используемые модели временных рядов с нормальным распределением и распределением Стьюдента для российского рынка применимы только в относительно стабильные периоды. Проведен численный анализ, который позволил выявить отличия между российскими биржевыми процессами и американскими и показал, что модели временных рядов с распределениями с тяжелыми хвостами дают лучшие предсказания относительно рыночного риска (С. 4854, 62-74).

3. На основе факторного анализа исследована структура балансовой отчетности выборки из 557 банков РФ накануне финансового кризиса 2008 г. и изучено влияние отдельных статей балансовой отчетности на возможное банкротство банка (С. 109-120). Разработана модель для прогнозирования банковских банкротств в условиях нестабильности на финансовых рынках на основе деревьев классификации. Показано, что построенные деревья классификации могут также служить для выделения статей, наиболее влияющих на надежность банка, и представлять собой альтернативу факторному анализу (С. 128-142).

В области численных методов:

4. Разработан численный метод прогнозирования биржевых процессов, эффективность которого обеспечена применением быстрого преобразования Фурье и построением асимптотик характеристических функций распределений с тяжелыми хвостами (С.76-89). Учет свойств подынтегральных функций позволил уменьшить количество точек дискретизации в четыре раза и тем самым увеличить скорость расчетов.

В области создания комплексов программ:

5. Разработан комплекс программ анализа финансовых процессов в высоковолатилыше и низковолатильные периоды и проведения тестов Андерсона — Дарлинга, Кристофферсона и Берковича (С.91-102), применение которого обеспечит правильный выбор моделей для формирования достоверных прогнозов в стабильные периоды и в условиях финансовой неустойчивости.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Построены численные прогностические модели биржевых процессов, основанные на применении временных рядов и распределений с тяжелыми хвостами.

2. Разработан численный метод интегрирования характеристических функций рассмотренных распределений, основанный на применении быстрого преобразования Фурье, скорость сходимости которого улучшена с помощью учета асимптотического поведения подынтегральных функций.

3. Разработан программный комплекс, позволяющий на основе многолетних наблюдений рассчитывать прогнозируемые колебания биржевых котировок с помощью

построенных математических моделей прогнозирования, а также проводить тестирование построенных моделей с помощью критериев Андерсона — Дарлинга, Кристофферсона и Берковича.

4. Выполнена новая модульная организация разработанного комплекса программ, позволяющая сочетать встроенные функции программной среды MATLAB для классических моделей прогнозирования и вновь созданные модули для разработанных моделей, основанных на распределениях с тяжелыми хвостами, которая способна обеспечить эффективное создание достоверных прогнозов как для низковолатильных, так и для высоковолатильных периодов.

5. Разработан алгоритм построения наилучшего относительно размерности и точности прогнозирования дерева, позволяющего оценить надежность выбранного банка и выделить статьи баланса, существенно влияющие на финансовую стабильность банков.

Теоретическая и практическая значимость работы. Построенные математические модели и разработанный комплекс программ направлены на то, чтобы обеспечить участников рынка более надежным математическим инструментарием для проведения эффективного финансового анализа. Показаны неэффективность традиционно используемых распределений для прогнозирования скачков биржевых котировок в высоковолатильные периоды и преимущества распределений с тяжелыми хвостами. На основе проведенных расчетов даются рекомендации по управлению фондовым портфелем в кризисные периоды. Использование разработанных моделей позволит улучшить оценки российского фондового рыночного риска во время финансовых кризисов.

Проведенный факторный анализ балансовых отчетов российских банков за 2008 г. позволил выявить статьи отчетности, имеющие наибольшую значимость для сохранения финансовой стабильности банка. С помощью процедуры ранжирования была выделена группа кредитных организаций, финансовое состояние которых перестало быть устойчивым, но они еще не были отнесены в проблемную группу. Такие банки являются наиболее интересными для органов пруденциального надзора. Разработаны практические рекомендации для прогнозирования банкротств кредитных организаций на основе деревьев классификации.

Методология и методы исследования. При решении поставленных задач в работе использованы статистические методы математического моделирования, эконометрические модели временных рядов, факторный анализ, деревья классификации. Для численных расчетов были применены метод максимального правдоподобия, быстрое преобразование Фурье, анализ асимптотических свойств подынтегральных функций, встроенные пакеты программных сред MATLAB, STATA, Deductor.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов и критериев, использованием численных методов, позволяющих оценить погрешность расчета, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей для американских рынков, а также с имеющимися эмпирическими наблюдениями.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на VII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Краснодар, 2010); на XVIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Москва, 2011); на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Казань, 2011); на IX Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2013); на Международной молодежной научно-практической конференции «Математическое моделирование в экономике, страховании и управлении рисками» (Саратов, 2013); на семинаре Института статистики и экономической математики университета города Карлсруэ (Германия, 2012) и на семинаре Франкфуртской академии менеджмента и финансов (Германия, 2013).

Выполнение диссертационной работы в течение десяти месяцев проводилось также в Институте статистки и экономической математики университета города Карлсруэ (Германия) и было поддержано стипендией президента Российской Федерации для аспирантов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 3 работы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 29 рисунков, 19 таблиц, список использованной литературы из 131 наименования. Объем диссертации 157 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор научных работ по теме диссертации, изложена структура и основные результаты работы.

Первая глава посвящена построению численных математических моделей прогнозирования биржевых рисков. Рассматриваются четыре различные модели временных рядов:

1. ARMA (1,1 )-GARCH (1.1) модель:

\У, = ОУ,-1 +Ьо, _,£•,_, + а,с, +с, (1)

1 о-,2 =ог„ +0-, <7,1^,1, +Доу_|,

где (у,),а, величина, описывающая дневное изменение цены на акцию. Она определяется следующим образом:yt = In (S,/SM), (4',),M — здесь цена акции в момент

времени t, е0 - 0 и (г,),,„ - последовательность независимых и одинаково распределенных действительных случайных величин, <г, — последовательность стандартных отклонений, а, ао, а,, Д, Ь. с - параметры модели, которые подбираются, исходя из имеющихся наблюдений за некоторый временной период.

2. Модель с постоянной волатапыгосгью рынка (CV - constant volatility model) получается из уравнений (1) для а = Ь = ах= ß, =0.

3. GARCH (1,1) модель описывается уравнениями ( 1 ) для а = Ь = 0 .

4. В рамках EWMA (exponentially weighted moving average) Модели дневная волатильность определяется соотношениями:

с,2 Я>0,у, =о-,гг, +с. (2)

Так как вероятностное распределение дневных изменений биржевых котировок в высоковолатильные периоды характеризуется высокой вероятностью наблюдать экстремальные значения, наряду с двумя традиционно использующимися видами распределений для ошибок (нормальное распределение и распределение Стьюдента) были применены модели временных рядов с распределениями с тяжёлыми хвостами, подробно рассмотренными в работах Рачева С.Т. и др. (например, Kim, Y.S., Rachev, S.T., Bianchi, M.L., Fabozzi, F.J. A new tempered stable distribution and its application to finance. Risk Assessment: Decisions in Banking and Finance // Physika Verlag, 2008, Springer. 51-84.). Эти распределения в англоязычной литературе носят названия: classical tempered stable (CTS), modified tempered stable (MTS) и rapidly decreasing tempered stable (RDTS) distributions. Они задаются их характеристическими функциями со следующими параметрами:а<= (0,2)/{l}, С.Я^.Я. >0, и meR. Случайная величина X называется:

1. CTS распределенной, если характеристическая функция X имеет вид

фх (и) = фт(и,а,С,Лг,Л_,т) = ехр (шт-шСГ(\-а) (Я""1-Л""') + + СГ(—а) ((Я„-тУ -Я" +(Л_ +ш)" -Л")),

2. МТ5 распределенной, если характеристическая функция X имеет вид фх(и) = (и\а,С,Л,,Л_,т) = ехр (шт + С(СК(и;а,Л+) +

(4)

+ С„ (и; а, Л_)) + тС(в, (и; а,Л+) + С, (и; а, Л_))),

где

где

0„(х;а,Л) = 2 2 -УяГ ((Я2 +д:2)2 -Л"),

-1

- гипсргеометрическая функция.

3. РШТЗ распределенной, если характеристическая функция X имеет вид фх (и) = фюш (ща, С, Л+, Д., иг) = ехрОит +С(С(ш;а, Л+)+С(-ш,а, Л.))),

(5)

^ ^ 2 2 2Я') ') 2 ) (К 2 'г'ЗЯ2) ')

и М-вырожденная гипергеометрическая функция.

Описанию алгоритма вычисления параметров рассмотренных распределений посвящен §1.3. В связи с тем, что данные торгов на российских биржах существуют с 1997 года, проведение расчетов параметров целесообразно только для последнего из наблюдаемых обвалов рынка в 2008 г.. Параметры рассмотренных моделей рассчитывались на основе ежедневных изменений курса (которые определялись по цене закрытия) для бирж 5 & Р 500, ММВБ и РТС за 10 лет. Параметры моделей с нормальным и /-распределением оценивали с помощью встроенного пакета в среде МАТЬАВ. В остальных случаях параметры оцениваются согласно следующему алгоритму: на первом шаге вычислялись параметры аа, а1 ,Д ,а, Ь, с для моделей с нормированными остатками, распределёнными по 1 -закону с помощью метода максимального правдоподобия; на втором шаге определялся временной ряд у,, используя вычисленные параметры; далее на основе полученных значений е, подбирались параметры распределений а,Лф,Л_ для СТ8-, МТБ- и 1ШТ8-распределений на основе метода максимального правдоподобия. Так как используемые распределения задаются их характеристическими функциями, плотности распределения описываются в виде обратного преобразования Фурье этих функций. Функции распределения также требуют вычисления несобственных интегралов. Для ускорения вычислительного процесса был разработан численный алгоритм на основе быстрого преобразования Фурье и анализа асимптотического поведения подынтегральных функций. Для осуществления разработанных алгоритмов бы создан комплекс программ в среде МАТЬАВ.

На основании вычисленных параметров были рассчитаны изменение цен за день до кризиса у,. Числовые значения параметров для бирж Б & Р 500 и ММВБ содержатся в табл. 1. Для оценки достоверности вычисленных параметров модели за день до кризиса использовался критерий Колмогорова - Смирнова (КС) и в отличие от трех моделей временных рядов с распределением Стьюде1гга и нормальным распределением три модели временных рядов с тяжелыми хвостами не отвергнуты критерием КС при уровне значимости р = 0,01, кроме 1ШТ8-модели (табл. 1). Распределение ¡Ш'ГЙ имеет более тонкие хвосты распределения, чем СТ5 и МТ5 распределения.

Таблица 1

Анализ американского кризиса

Модель распреде- КС р-уровни АД а К Д.

ление статистика статистика

Э&Р 500

СУ Норм. 0,0552 0,0000 0,8744

¿((1=4,196) 0,0810 0,0000 0,1900

СТБ 0,0154 0,5873 0,0458 0,0100 1,6288 1,5046

МТБ 0,0158 0,5510 0,0489 1,0100 0,9544 0,8746

ЯОТв 0,0404 0,0005 0,2538 1,0100 0,5526 0,5525

ОАЯСН Норм. 0,0366 0,0024 101,3442

/ (<1=9,5433) 0,0461 0,0000 0,1059

СТБ 0,0254 0,0770 0,3270 0,010000 2,664644 2,137331

МТБ 0,0298 0,0231 0,7138 1,010000 2,065536 1,603247

ЫУТБ 0,0520 0,0000 0,4438 1,010000 0,831042 1,163421

А1ША- Норм. 0,0363 0,0027

ОАЯСН / ((1=9,404) 0,0498 0,0000 0,1175

СТв 0,0259 0,0685 0,3591 0,010000 2,674194 2,202865

МТБ 0,0287 0,0316 0,2836 1,010000 2,099934 1,461669

ЯОТБ 0,0491 0,0000 0,3119 1,010000 0,820097 1,125203

ММВБ

СУ Норм. 0,0627 6,64Е-09 11,0699

<((1=3,547) 0,0993 1,05Е-21 0,2444

СТБ 0,0187 0,3461 0,1502 0,932422 0,683643 0,591580

МТ8 0,0177 0,4170 0,1686 1,057976 0,796748 0,687736

1ШТ8 0,0422 2,88Е-04 0,2036 1,010000 0,390348 1,930068

вАЯСН Норм. 0,0394 8.74Е-04 2,1357

1 ((1=5,969) 0,0633 4,48Е-09 0,1708

СТБ 0,0182 0,3816 0,2091 1,392573 0,704066 0,506483

МТБ 0,0186 0,3562 2,2176 1,519248 0,855085 0,639003

ЯОТБ 0,0438 1,45Е-04 0,0000 1,666075 0,238389 0,503627

АЯМА- Норм. 0,0377 01,68Е-03 2,5547

ОАЯСН 1 ((1=5,996) 0,0629 5,61Е-09 0,1688

сге 0,0182 0,3814 0,1982 1,437472 0,649112 0,468963

МТБ 0,0186 0,3562 0,2058 1,562216 0,785398 0,596148

яотз 0,0440 1,29Е-04 0,2264 1,676049 0,2321 0,490963

Для проверки вычисленных параметров применялся также критерий Андерсона -Дарлинга (АД). По сравнению с критерием Колмогорова — Смирнова тест Андерсона -Дарлинга лучше учитывает наблюдаемые критические значения и обладает более высокой чувствительностью. Для вычисления КС-статистики использовали встроенную функцию, для поиска АД-статистик была написана и оттестирована программа в среде МАТЬАВ. АД-статистика для трех нормальных моделей временных рядов значительно выше, чем для других моделей (табл. 1). Чем выше значение статистики Андерсона - Дарлинга, тем больше отличается распределение наблюдаемой величины от выбранного распределения.

Это означает, что нормальное распределение для рассмотренных наблюдений хуже описывает тяжелые хвосты поведения эмпирического распределения временных рядов.

Наиболее часто используемой мерой оценки риска позиции или портфеля является величина Value-at-Risk (VaR) - мера риска актива с заданной доверительной вероятностью. VaR временного ряда можно определить на основе наблюдений, сделанных до момента времени t с доверительной вероятностью 1-t], как VaR, (y,ti) = -inf{x:€ ЩР,(ум й х) > ri\ где /¡(Л) — условная вероятность данного события А для наблюдений до момента t. A VaR (Average Value-at-Risk) с доверительной вероятностью l-tj определяется следующим образом: AVaRll(X)=—j^VaRt(X) de, где

VaR,(X) есть VaR от X с доверительной вероятностью 1-е.

Для ARMA-GARCH модели, описанной уравнениями (1), для любого t > 0 распределение у, непрерывно и можно определить условное A VaR от >>,+1 по данным, до момента времени t с доверительной вероятностью 1 - ц следующим образом: A VuRlJt (ytti) = -Е, [v,., | vw <-К/Д,лО>„.,)], где E, - условное математическое ожидание для наблюдений до момента времени t. Согласно уравнениям (1)

= +Ь<т,£, +er„+ ф>,„, <-VaR,n{yHl)\

Так как у,, а,, е, и <тм определяются наблюдениями до момента времени I, получим

AVaR,J1(y,^) = -{c + ay,+b<T,el +<rME,\еы\ум <-VaR,n(yM)\. Более того, легко доказать, что

-^Rln{ynl) = ay, +Ьа,£,+ (-VaR,^ (е,+1)) + с,

и, следовательно

А VuR,n (у,+1) = -(с + ay, +ba,E,) + a^AVaR^ (sl+l). Если £ltl независима от нормированных остатков до момента времени t и имеет непрерывное распределение, то

AVaR,^) = -Е[еп\ем <-VaRn(£„,)]= AVaRn(cM). Для вычисления величины AVaRi n(e,ti) применяется следующая лемма (Ю.Ким и др.).

Лемма 1. Пусть Y - случайная величина, описывающая дневную разницу курса акций. Предположим, что К имеет безгранично делимое и непрерывное распределение с характеристической функцией фг. Если для р>о \фу(-и + ip)\ <со для всех и eR, тогда

AVaRn(Y) = J.

mJ {j (~u + ip) )

На основе последней формулы были посчитаны посуточные значения 1 %-AVaR для нормальной ARMA-GARCH и CTS-ARMA-GARCH моделей с 14 декабря 2004 г. по 31 декабря 2008 г. На рис. 1, 2 показаны наблюдения изменений дневных курсов S & Р 500, ММВБ и вычисленные A VaR- значения. Ежедневная разница цен акций, начиная с июля 2007 г, принимает более высокие значения. Наконец, индекс резко снижается в сентябре 2008 г. Наблюдаемые на графике 1 скачки для биржи S & Р 500 можно рассматривать как сигналы раннего предупреждения предстоящего резкого спада на рынке. Амплитуда колебаний начала расти в июле 2007 г., достигнув своего максимального значения в последние месяцы 2008 г. На рис. 2 наблюдается резкий скачок амплитуд в 2006 г., он обусловлен российским кризисом межбанковского кредитования. Частота скачков амплитуд для российских бирж, а также сами амплитуды намного выше, чем для американской биржи, что возможно обусловлено меньшим торговым оборотом и зависимостью от сырьевых цен.

наблюдения

модель с нормальным распределением ■ модель с CTS распределением

Рис. 1. Значения I%-АУаК и дневные колебания курса для индекса Б&Р 500

наблюдения

— модель с нормальным распределением

— модель с CTS распределением

Рис. 2. Значения 1 %-Л VaR и дневные колебания курса для индекса ММВБ Вторая глава посвящена оценке достоверности прогнозов, полученных с помощью четырёх моделей (EWMA (Я = 0,94), нормальная-ARMA-GARCH - в дальнейшем будем называть их «нормальными» моделями, f-ARMA-GARCH и CTS-ARMA-GARCH - эти модели назовем «ненормальными»). С помощью этих моделей были вычислены параметры временных рядов с 14 декабря 2004 г. по 31 декабря 2008 г., т.е. как для низковолатильного (2005, 2006 гг.), так и для высоковолатильного (2007, 2008 гг.) периода, включающего в себя финансовый кризис в США 2008 г.. Чтобы оценить качество выбранных моделей, были посчитаны числовые значения временных рядов КС статистик и соответствующих /»-уровней значимости. Для всех трех бирж КС статистики

для CTS-ARMA-GARCH модели имеют более низкие значения, чем у /-модели. Кроме того, ^-уровни значимости CTS-ARMA-GARCH модели, как правило, больше чем 1%, в то время как (-ARMA-GARCH модель характеризуется /»-уровнем, не превышающим 1%.

Для исследования эффективности рассмотренных моделей прогнозирования применены также сравнительно недавно разработанные критерии: критерий правдоподобия Кристофферсона (CLR - ChristofFersen's Likelihood Ratio) и критерий Берковича (BLR - Berkowitz's Likelihood Ratio). Эти критерии позволяют оценивать прогнозы, сделанные относительно границ некоторого интервала, и необходимы для оценки достоверности модели временных рядов относительно прогнозирования VaR значений. Для поиска статистик Кристофферсона и Берковича были написаны и оттестированы программы в среде MATLAB и осуществлены расчеты для проведения 1-годичного, 2-х годичного и 4-х годичного тестов Кристофферсона и Берковича для рассмотренного временного периода с 14 декабря 2004 г. по 31 декабря 2008 г. Полученные значения для биржи ММВБ (BLR тест) представлены в табл. 2. Все рассмотренные модели не отвергаются на уровне значимости в 1% для всех рассматриваемых периодов тестом независимости (BLRind). Тест хвоста распределения (BLRtail) две «ненормальные» модели не отвергает на 1% уровне значимости для всех рассмотренных периодов. Две «нормальные» модели не отвергаются для 1-годичных тестов за 2005 и 2006 гг., и 2-годичного теста за 2005-2006 гг., но были отклонены для 1-годичных тестов за 2007 и 2008 гг., 2-х годичного теста за 2007-2008 гг. и 4-х годичного теста за 2005-2008 гг. на 1% уровне значимости. Такие же результаты получены для бирж РТС и S & Р 500. Четыре 1-годичных периода можно разделить на две группы: первая — 2005 и 2006 гг. и вторая - 2007 и 2008 гг. В 2005 и 2006 гг. рынок не был очень изменчивым и, как следствие, EWMA и нормальная-ARMA-GARCH модели не отвергаются. Напротив, в 2007 и 2008 гг. рынок был неустойчивым и две «нормальные» модели были отвергнуты. CTS-ARMA-GARCH модель не отвергается тестом Кристофферсона для низковолатильных периодов (2005 и 2006 гг.), а также для высоковолатильных периодов (2007 и 2008 гг.).

Цель проведенных исследований — сравнение эффективности моделей с различными видами распределений. Для всех рассмотренных периодов две «ненормальные» модели обычно имеют более высокие значения VaR. чем две «нормальные» модели. Для изучения этих различий проанализирована средняя относительная разница (ARD - the average of the relative difference) между VaR значениями для «нормальных» и «ненормальных» моделей. ARD вычисляется следующим образом:

где VaR-;r~'(y,J - значение VaR, вычисленное с помощью одной из двух «нормальных» моделей, VaR"""m°'(yl_tl) является значением VaR, основанным на одной из двух «ненормальных» моделей. С практической точки зрения, ARD значения связаны с расходами на управление рисками. Например, если менеджер использует «ненормальную» модель с ARD значением 30% по сравнению с моделью EWMA, это означает, что этому менеджеру нужно на 30% больше капитала, чем менеджеру, который использует модель EWMA. Следовательно, более низкое значение VaR экономически более эффективно. Тем не менее эти сбережения капитала в периоды стабильности на рынке могут иметь серьезные последствия при падении рынка. Таблица 3 содержит ARD значения, вычисленные на основе двух «нормальных» моделей и двух «ненормальных» моделей дм четырех периодов. Проанализировав значения таблицы, можно заметить, что ARD значения для американской биржи для всех периодов и моделей ниже, чем для российских бирж. Это говорит о том, что для обеспечения стабильности в кризисные периоды российским биржам нужны более высокие объемы капитала.

Таблица 2.

Статистики теста Берковича и р-уровни для биржи ММВБ_

Модель 1 год (255 дней)

2005 (14 Дек. 2004-15 Дек. 2005) 2006 (16 Дек. 2005-20 Дек. 2006)

BLRind р BLRtail р BLRind р BLRtail р

Е\УМА Нормальная 1 сге 0,9443 0,3312 0,7756 0,6786 0,7623 0,3826 0,9033 0,6366 1,0375 0,3084 5,0453 0,0802 1,1723 0,2789 5,0453 0,0802 3,8619 0,0494 4,5472 0,1029 3,5618 0,0591 1,5857 0,4526 4,5374 0,0332 2,1547 0,3405 5,1164 0,0237 2,3382 0,3106

Модель 1 год (255 дней)

2007 (21 Дек. 2006-27 Дек. 2007) 2008 (28 Дек. 2007-31 Дек. 2008)

BLRind р BLRtail р BLRind р BLRtail р

Е\УМА Нормальная / СТБ 4,3837 0,0363 18,6849 0,0001 4,2285 0,0398 18,3231 0,0001 4,9754 0,0257 3,1368 0,2084 5,1420 0,0234 2,0239 0,3635 0,0987 0,7535 42,0842 0,0000 0,1198 0,7292 37,8882 0,0000 0,1565 0,6924 1,9749 0,3725 0,1752 0,6755 5,5122 0,0635

Модель 2 г. (510 дней)

2005-06 (14 Дек. 2004-20 Дек. 2006) 2007-08 (21 Дек. 200-31 Дек. 2008)

BLRind р BLRtai р BLRind р BLRtail р

EWMA Нормальная 1 ста 4,5893 0,0322 4,5229 0,1042 4,2369 0,0396 3,3284 0,8486 5,4363 0,0197 5,8339 0,0541 6,0639 0,0138 3,1390 0,2082 2,0949 0,1478 65,9837 0,0000 1,8769 0,1707 48,0615 0,0000 2,6344 0,1046 0,9656 0,6171 2,8182 0,0932 3,5776 0,1672

Модель 4 г. (1020 дней)

2004-08 (14 Дек. 2004-31 Дек. 2008)

BLRind р BLRtail р

ЕШМА Нормальная 1 СТ5 4,7552 0,0292 74,0704 0,0000 4,3731 0,0365 41,4233 0,0000 6,0631 0,0138 1,4138 0,4932 6,7267 0,0095 0,5524 0,7586

Таблица 3.

АЛО значения

Индекс «Нормальная» модель «Ненормальная» модель 2005 2006 2007 2008

8&Р 500 ЕШМА t 0,3555 0,3199 0,2679 0,2358

CTS 0,2349 0,2133 0,1620 0,1549

ММВБ Е\УМА t 0,4619 0,3994 0,5318 0,4040

CTS 0,2664 0,2052 0,3325 0,2223

РТС Е\УМА t 0,4192 0,4037 0,5333 0,4593

CTS 0,2376 0,2009 0,3167 0,2538

Б&Р 500 норм. t 0,1719 0,1782 0,2152 0,2452

CTS 0,0708 0,0831 0,1070 0,1646

ММВБ норм. t 0,3577 0,3442 0,3489 0,3469

CTS 0,1757 0,1583 0,1733 0,1724

РТС норм. t 0,3085 0,3438 0,3433 0,3892

CTS 0,1413 0,1497 0,1535 0,1940

Третья глава посвящена разработке эффективного численного алгоритма для вычисления функций распределения и плотности для распределений с тяжелыми хвостами, которые задаются их характеристическими функциями. Известно, что если характеристическая функция случайной величины фх- (ч) абсолютно интегрируема на вещественной оси, то плотность распределения находится как обратное преобразование Фурье характеристической функции

Для повышения эффективности вычисления описанного интеграла применялся численный алгоритм, основанный на применении быстрого преобразования Фурье (БПФ) — алгоритма БПФ, задаваемого уравнением

в котором Xj, j = l...n — компоненты вектора X еЛ", а ук, к = 1...» — компоненты

вектора УеЛ". Чтобы уменьшить ошибку аппроксимации, был применен метод Симпсона для вычисления интеграла.

Функция распределения Fx(x) = Р(Х<х) безгранично делимой и устойчивой случайной величины X может быть задана в виде следующего интеграла:

(Л).. c'r Rc Г--"' Фх<-" + 'Р) iuI Где p>Q и фх(и) характеристическая функция

г л- H P-i» J

случайной величины X, для которой выполняется неравенство |^(#)|<оодля всех комплексных значений, для которых Im(5) = р. Поскольку интеграл для вычисления функции распределения сходится медленнее, чем интеграл Фурье, были исследованы свойства подынтегральной функции и установлено, что она принимает довольно высокие значения в начале координат и затем резко убывает. Были получены асимптотические выражения для характеристических функций CTS (3), MTS (4) и RDTS (5) распределений: фх(и+1р) = ф,(.1р) + ф'х0р)-и + О((и)2) = ф, +ф2-н + 0((и)2) при и-»0. Искомый интеграл вычислялся следующим образом:

V» =г- +V-» +")du

о P-W i P~iu о P-i» о Р-'и

Третий интеграл в сумме для х ФО вьфажается в явном виде с помощью интегро-

экспоненциальной функции £,(;) = ji—л = r(0,z)> гДе Г(0>-) - неполная Гамма-функция,

i 1

следующим образом:

i P-i"

(-ф,хе"гЕ, (x(ui - p))+i Д (xe~"" + x'pe~vEi (x(ui - p)) / x)

i

Для х = 0 в третьем интеграле отсутствует экспоненциальная функция:

шф2 +-(/$ +ф,р)1п{и2 + р2) + (ф, -1^2р)агс1ап| р—ш I 2

Первый и второй интегралы вычислялись с помощью описанного алгоритма БПФ.

В § 3.3 исследуется вопрос оптимального выбора значений параметров численного интегрирования с помощью БПФ, а также обсуждается погрешность разработанного численного алгоритма, которая складывается из погрешностей дискретизации и интерполяции функций плотности и распределения. Показано, что учет асимптотического поведения характеристической функции позволяет уменьшить количество точек

дискретизации в 4 раза и таким образом увеличить скорость вычислений. При этом погрешность аппроксимации функции распределения уменьшилась на два порядка.

В § 3.4 описан созданный комплекс программ, предназначенный для численной реализации прогностических моделей временных рядов с различными видами распределений. Программный комплекс был написан на языке МАТЬЛВ. Он позволяет на основе наблюдений биржевых котировок рассчитывать прогнозируемые колебания цен на акции на основе построенных математических моделей прогнозирования, а также проводить тестирование построенных моделей с помощью критериев Колмогорова -Смирнова, Андерсона — Дарлинга, Кристофферсона и Берковича. Программный комплекс может быть использован для расчета прогнозируемых биржевых колебаний как в низковолатильные, так и в высоковолатильные периоды. Программный комплекс включает следующие блоки:

— управляющий блок (содержит программный цикл по индексу временного ряда);

— блок ввода входных данных для расчета прогнозов (задаются исследуемый биржевой индекс и массив, содержащий ежедневные наблюдения изменений цен на акции);

— блок формирования эконометрической модели временного ряда — СУ, ОАЯСН(1,1), АЯМА-ОАЯСН (1,1) или ЕХУМА (задаются спецификации и параметры выбранной модели и вычисляются коэффициенты модели на основе имеющихся наблюдений биржевых курсов);

— блок расчета параметров распределения.

Если применяются временные ряды с нормальным распределением или распределением Стьюдент-а, то параметры модели определяются с помощью метода максимального правдоподобия на основе имеющихся значений выборки. Для СТ5, МТБ и [ШТБ распределений применялся алгоритм, описанный в §1.3 и разработанный численный метод интегрирования характеристических функций, а также интерполяция функций плотности и распределения кубическими сплайнами;

— блок расчета меры риска и усредненной меры риска;

— блок вычисления функций плотности и распределения;

— блок расчета значения статистики Колмогорова — Смирнова и /»-уровня значимости;

— блок расчета значения статистики Андерсона — Дарлинга и р-уровня значимости;

— блок сохранения рассчитанных значений в массив;

— блок расчета значений статистик Кристофферсона и р-уровней значимости;

— блок расчета значений статистик Берковича и р-уровней значимости;

— блок расчета ЛЛО-значений.

Описаны алгоритм и модульная организация разработанного комплекса программ, сочетающая встроенные функции программной среды МАТЬАВ для классических моделей прогнозирования и вновь созданные модули для разработанных моделей, основанных на распределениях с тяжелыми хвостами. Приведены результаты численных экспериментов по прогнозированию биржевых колебаний и рисков, а также по тестированию созданных математических моделей.

В четвертой главе для выбора математических моделей и численных инструментов анализа состояния кредитных организаций в условиях финансовой неустойчивости был проведен факторный анализ показателей группы российских банков, состоящей из 814 действующих организаций и 107 организаций, лицензия которых была отозвана после 2008 г. Каждый субъект характеризуется более чем 90 показателями, состоящими из статей бухгалтерского баланса, отчётов о прибыли и убытках, отчётов о достаточности капитала на покрытие ссуд и прочих активов, а также из различных нормативов экономической деятельности. Из анализируемой выборки были отсечены банки, сумма активов и пассивов которых превышает 1000 млн или меньше 50 млн дол.

США. В ходе отсечения в выборке осталось 557 банков, из которых у 48 была отозвана лицензия после кризиса 2008 г.

Для уменьшения количества показателей, характеризующих экономическую деятельность кредитной организации, был применен факторный анализ. Было показано, что прологарифмированные данные распределены нормально, что является необходимым условием для проведения факторного анализа. Были также удалены экономические показатели с высокой попарной корреляцией, а также нормативные характеристики, так как их информационная составляющая и так будет отражаться в полученных факторах при совпадающих исходных статьях баланса и отчётов. В результате вместо 90 показателей каждая кредитная организация будет характеризоваться 24 статьями бухгалтерской отчетности.

Основная задача факторного анализа — переход от большого числа

взаимосвязанных переменных у,,У,.....I', к относительно небольшому числу «скрьггых»

определяющих факторов /•; ,/•',,..., 1-'г (р < т). Каждая переменная является линейной комбинацией этих факторов и характеристического фактора:

У, =а^[+... + а/гРр+е1 у = 1,...,т . (6)

В уравнении (6) коэффициенты, или весы }, называются нагрузками первоначальных переменных на факторы, т.е. оявляется нагрузкой у'-й переменной на к-й фактор. Переменная е) — характерный фактор, который описывает оставшуюся дляу-й переменной характеризующую вариацию. Для нахождения факторных нагрузок и самих общих факторов в настоящей работе применялся метод главных компонент, реализованный с помощью программного пакета БТАТА. В табл. 4 приведены первые пять собственных значений, соответствующих факторам, доля каждого фактора в общей дисперсии и доля накопленной дисперсии.

Таблица 4.

№ Фактора Собственное значение Доля в общей дисперсии Доля накопленной дисперсии

1 9,95646 0,5052 0,5052

2 2,16928 0,1101 0,6152

3 1,57192 0,0798 0,6950

4 1,17469 0,0596 0,7546

5 1,03421 0,0525 0,8071

Для исследования структуры взаимосвязей рассмотренной выборки банков согласно критерию «каменистой осыпи» в дальнейшем учитывали три фактора, описывающие почти 70% информации - первый фактор объясняет - 50,5% общей дисперсии, второй фактор - 11% и третий - 8%.

Для интерпретации факторов необходимо получить понятную матрицу факторных нагрузок. С этой целью производились повороты осей с помощью метода варимакс. Была составлена таблица с весами факторов, по которым можно определить, какие изначальные показатели в наибольшей степени влияли на каждый из факторов. Проведенные расчеты показали, что на первый фактор большего всего влияют следующие статьи: «сумма активов и пассивов», «собственный капитал» и «вклады физических лиц». Очевидно, что все эти показатели в наибольшей степени характеризуют величину банка. На второй фактор наибольшее влияние оказывают «средства кредитных организаций» и «средства в Центральном банке», данную зависимость можно обобщить как степень взаимосвязанности с иными кредитными учреждениями. И, наконец, на третий фактор влияют статьи отчётности: «чистые доходы (расходы)», «неиспользованная прибыль за отчетный период» и «чистый комиссионный доход», что говорит о том, что третий фактор характеризует эффективность экономической деятельности субъекта. Подытожив

сказанное, можно говорить о том, что надёжность банка в большей степени характеризуется его объёмами капитала и эффективностью экономической деятельности. Так как было установлено, что для исследования структуры взаимосвязей рассмотренной выборки банков достаточно трёх факторов, каждому из банков можно сопоставить точку в трёхмерном пространстве, координатами которой являются факторные нагрузки. Была построена трёхмерная диаграмма на начало 2008 г., анализируя которую, можно провести анализ финансовой устойчивости каждого банка, исследуя его окружение.

Пятая глава посвящена оценке финансового состояния банков с помощью деревьев классификации. Для проведения анализа была применена аналитическая платформа ОейисЮг. Были построены деревья, использующие в качестве атрибутов факторы и статьи балансовой отчетности. Обсуждаются преимущества и недостатки рассмотренных типов деревьев, излагаются особенности построения деревьев для исследуемой выборки банков, формирования обучающей и тестирующей выборок, выбора критериев отсечения ветвей.

Для построения дерева решений по статьям балансовой отчетности в качестве атрибутов использовали 24 статьи бухгалтерского баланса, которые в наименьшей степени коррелируют между собой. Разбиение на обучающую и тестирующую выборки проводилось так, чтобы количество обанкротившихся банков в тестирующей выборке было сравнимо с количеством действующих. Обучающая выборка построенного дерева использует 529 наблюдений, из которых 489 принадлежат к классу «действующие». Дерево состоит из 11 ветвей, и 12 листьев или правил логического вывода.

Таблица 5.

__Уровни значимость атрибутов _

Атрибут Наименование Значимость, %

Статья 1 «Сумма активов и пассивов» 45,926

Статья 12 «Средства кредитных организаций» 17,142

Статья 3 «Чистые доходы (расходы)» 9,687

Статья 7 «Прочие обязательства» 9,420

Статья 2 «Собственный капитал» 6,224

Статья 18 «Чистый комиссионный доход» 5,172

Таблица 6.

Таблица сопряженности_

Обучающая выборка Классифицировано

Фактически Банкрот Действующие Итого

Банкрот 33 7 40

Действующие 9 480 489

Итого 42 487 529

Тестирующая выборка Классифицировано

Фактически Банкрот Действующие Итого

Банкрот 6 2 8

Действующие 2 18 20

Итого 8 20 28

Вся выборка Классифицировано

Фактически Банкрот Действующие Итого

Банкрот 39 9 48

Действующие 11 498 509

Итого 50 507 557

В табл. 5 приведены уровни значимости каждой статьи на правила классификации. Как и стоило ожидать, это статьи, в наибольшей степени влиявшие на каждый фактор, а именно: «Сумма активов и пассивов» (статья 1), «Средства кредитных организаций» (статья 12), «Чистые доходы (расходы)» (статья 3), «Прочие обязательства» (статья 7), «Собственный капитал» (статья 2) и «Чистый комиссионный доход» (статья 18). Статьи 20 и 19 в меньшей степени влияли на факторы, их уровни значимости меньше 5%.

Для того чтобы оценить точность построенного дерева, была выполнена таблица сопряженности (табл. 6). Она содержит данные о качестве классификации с помощью построенного дерева по двум выборкам, обучающей и тестирующей, а также по всей совокупности объектов. На пересечении строки «банкрот» и столбца «действующие» указано количество ошибок классификации 1-го рода. Соответственно на пересечении строки «действующие» и столбца «банкрот» указано количество ошибок классификации 2-го рода. По результатам классификации тестирующей выборки построенные правила логического вывода верно классифицируют 96,98%, 85,71% и 96,41% объектов для обучающей, тестирующей и совокупной выборки соответственно.

В заключении приведены основные результаты работы.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации

При решении поставленных в диссертационной работе задач получены новые теоретические и прикладные результаты.

В области математического моделирования получены следующие новые результаты:

1. Построены математические прогностические модели, ориентированные на повышение надежности формирования фондовых портфелей в условиях случайной смены стабильных и кризисных периодов, которые прошли верификацию применительно к финансовой системе РФ на основе открытых данных с помощью критериев Колмогорова -Смирнова, Андерсона - Дарлинга, Кристофферсона и Берковича для низковолатильных и высоковолатильных периодов и на их основе даны рекомендации по выбору моделей в стабильные периоды и в условиях финансовой неустойчивости.

2. С учетом различных моделей временных рядов, основанных на 10-летней базе ежедневных наблюдений российских и американских биржевых котировок, показаны преимущества моделей временных рядов с распределениями с тяжелыми хвостами для прогнозирования скачков биржевых котировок в кризисные периоды по сравнению с распределениями Гаусса и Стьюдента и выявлены отличия биржевых процессов на российском и американском рынках.

3. Предложена модель для прогнозирования банкротств кредитных организаций в условиях нестабильности на финансовых рынках на основе деревьев классификации. Выявлены преимущества и недостатки рассмотренных типов деревьев, разработаны практические рекомендации по формированию обучающей и тестирующей выборок, выбора критериев отсечения ветвей. С помощью факторного анализа изучено влияние отдельных статей балансовой отчетности на возможное банкротство банка. Показано, что построенные деревья классификации могут также служить для выделения статей, наиболее влияющих на надежность банка.

В области численных методов новыми научными результатами являются:

4. Построение асимптотических выражений для характеристических функций рассмотренных распределений с тяжелыми хвостами и разработка численного метода для вычисления функций распределения, основанного на применении быстрого преобразования Фурье и учете асимптотических свойств подынтегральных функций. Полученные явные выражения для интегралов от асимптотик характеристических функций позволили уменьшить количество точек дискретизации в четыре раза и тем самым увеличить скорость вычислений, а также уменьшить погрешность аппроксимации функций распределения на два порядка.

В области создания комплексов программ к основным результатам можно отнести:

5. Разработанный комплекс программ для прогнозирования биржевых процессов на основе моделей временных рядов с различными видами распределений и проведения бэктестов и новую модульную архитектуру разработанного комплекса, позволяющую сочетать встроенные функции программной среды MATLAB для классических моделей прогнозирования и созданные модули для разработанных моделей, которая способна обеспечить эффективное создание достоверных прогнозов в стабильные периоды и в условиях финансовой неустойчивости.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве: [1] -

соавтору принадлежит постановка задачи, а полученные результаты принадлежат соискателю, [3] - соавтору принадлежит обсуждение моделей, [5], [6] - соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение моделей, а полученные результаты принадлежат соискателю.

Автор выражает признательность руководителю диссертационной работы доценту В.Н. Кармазину, а также профессору С.Т. Рачеву, доктору Ю.Ш. Киму и профессору A.A. Халафяну за внимание к работе и ценные замечания.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Кармазин, В.Н. Прогнозирование финансовых кризисов с помощью временных рядов / В.Н. Кармазин, К.В. Кириллов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2013 №2. С. 39-51.

2. Кириллов, К.В. Моделирование биржевых колебаний в низковолатильные и высоковолатильные периоды / К.В. Кириллов // Вестник ДГТУ. 2013. С. 21-28.

3. Кириллов, К.В. Прогнозирование надежности банков с помощью деревьев классификации / К.В. Кириллов, A.A. Халафян // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2013. №3. С. 61-66.

Работы в реферируемых журналах и сборниках трудов

4. Кириллов, К.В. Анализ финансового состояния предприятия на основе самоорганизующихся карт / К.В. Кириллов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды VII Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар, 2010. Т.2.

5. Кириллов, К.В Прогнозирование финансовой устойчивости предприятия на основе самоорганизующихся карт / К.В. Кириллов, В.Н. Кармазин // Математика. Компьютер. Образование: XVIII Междунар. конф. М., 2011.

6. Кириллов, К.В Прогнозирование финансовой устойчивости предприятия с помощью смещапных коэффициентов на основе самоорганизующихся карт / К.В. Кириллов, В.Н. Кармазин // XII Всерос. симпозиум по прикладной и промышленной математике. Казань, 2011.

7. Кириллов, К.В. Проверка моделей прогнозирования колебаний биржевых котировок с помощью теста Берковича / К.В. Кириллов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды IX Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2013. С. 169-171.

8. Кириллов, К.В. Анализ деятельности банка с помощью факторного анализа / К.В. Кириллов И Математическое моделирование в экономике, страховании и управлении рисками: Междунар. молодежная науч.-практ. конф. Саратов, 2013. С. 83-87.

Соискатель ,Кириллов К.В.

Кириллов Кирилл Валерьевич

Математические модели прогнозирования биржевых рисков и банкротств кредитных организаций в условиях высокой волатильности

Автореферат

Подписано в печать 11.2013. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Уч. - изд. л. 2,0 Тираж 100 экз. Заказ № 145 г.Краснодар, ул.Старокубанская д. 121, пом.1

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Кубанский государственный университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ БИРЖЕВЫХ РИСКОВ И БАНКРОТСТВ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В УСЛОВИЯХ

ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

04201455781

На правах рукописи

Кириллов Кирилл Валерьевич

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: канд.физ.-мат.наук, доцент

Кармазин Владимир Николаевич

Краснодар 2013

Содержание

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ..............................................................20

ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ БИРЖЕВЫХ РИСКОВ...............................................20

1.1 Вероятностные распределения с тяжёлыми хвостами..................................20

1.2 Временные ряды................................................................................................29

1.3 Вычисление параметров моделей прогнозирования.....................................31

1.4 Прогнозирование финансовых кризисов с помощью рассмотренных моделей...................................................................................................................39

1.5 Квантильные характеристики риска................................................................40

1.6 Заключение к первой главе...............................................................................47

ГЛАВА 2. ПРОВЕРКА МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ....................................48

С ПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ И ОЦЕНКА ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ......................................................................................................48

2.1 Проверка исследуемых моделей с помощью критерия

Колмогорова - Смирнова......................................................................................48

2.2 Критерии Кристофферсона и Берковича........................................................55

2.3 Применение тестов Кристофферсона и Берковича........................................62

2.4 Сравнительный анализ полученных моделей................................................72

2.5 Заключение ко второй главе.............................................................................75

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ БИРЖЕВЫХ КОТИРОВОК.................................................................................................................76

3.1 Применение быстрого преобразования Фурье для вычисления функций распределения, плотностей и квантильных мер риска......................................76

3.2 Учет асимптотических свойств характеристических функций для вычисления функций распределения..................................................................80

3.3 Выбор параметров для проведения численных экспериментов...................88

3.4 Описание комплекса программ........................................................................91

3.5 Заключение к третьей главе............................................................................102

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ БАНКОВ С ПОМОЩЬЮ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА........................................................................................104

4.1 Теоретические основы факторного анализа.................................................104

4.2 Анализ баланса банка и выделение основных факторов............................109

4.3 Интерпретация выделенных факторов и оценка надежности банков........116

4.4. Заключение к четвертой главе........................................;.............................120

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДЕРЕВЬЕВ КЛАССИФИКАЦИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИНАНСОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ..........................................................................................................122

5.1 Деревья классификация..................................................................................122

5.2 Построение деревьев классификации по выделенным факторам..............128

5.3 Построение деревьев классификации по статям бухгалтерской отчетности............................................................................................................136

5.4 Заключение к пятой главе...............................................................................142

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................143

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................145

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Существует мнение, что отсутствие стабильности на мировых финансовых рынках в последнее время отчасти обусловлено провалом финансовых моделей. В частности, утверждается, что современные математические модели не смогли правильно оценить риски, связанные с большими скачками цен на финансовые инструменты. В настоящее время для моделирования колебаний биржевых котировок на российских рынках, как правило, используются временные ряды с распределениями Гаусса или Стьюдента, которые не описывают высокую вероятность больших скачков цен в предкризисные периоды. Более обоснованным является использование ассиметричных распределений с тяжелыми хвостами. Поскольку функции плотности для этих распределений не существуют в явном виде, то для построения численных моделей прогнозирования, основанных на таких распределениях, необходимы специально адаптированные под эти модели алгоритмы численной аппроксимации. В последнее время в связи с усложнением механизмов, лежащих в основе финансовых рынков и институтов, для того, чтобы принять правильное, взвешенное решение и выработать грамотную стратегию поведения, необходимы новые математические модели, учитывающие все большее количество факторов и комплексы программ, обладающие новой модульной структурой, которая способна обеспечить эффективное создание достоверных прогнозов как для низковолатильных так и для высоковолатильных периодов.

Кредитные институты всегда отображают в своём развитии состояние всей экономики, что наглядно продемонстрировали периоды резкого падения

I

экономики в 1998 г. и 2008 г., когда количество банкротств кредитных

I

организаций резко возросло. Вследствие чего органы надзора стали выдвигать новые, более жесткие регламентационные требования к ведению отчётности об экономической деятельности банков. В этой связи кредитные организации в

некоторых случаях прибегают к фальсификации отчётности, усложняя органам пруденциального надзора осуществление деятельности по выявлению проблемных субъектов и прогнозированию экономической ситуации в отрасли. Следовательно, можно сделать вывод о том, что «классические» показатели надёжности банка дают всё менее адекватную оценку состояния субъекта и ситуации в целом. Возникшую проблему можно решить с помощью перехода от оценки одного субъекта к оценке группы субъектов, обладающих схожими признаками. Следовательно, задача достоверной оценки и прогноза надежности кредитной организации сводится к задаче сегментации всей совокупности имеющихся банков и классификации полученных групп посредством современных математических методов классификационного анализа. Обработка больших информационных массивов, содержащих банковскую отчетность, и классификация кредитных организаций невозможны без применения новейших достижений информационных технологий, создания новых программных продуктов и быстродействующих алгоритмов.

Финансовые кризисы в первую очередь сказываются на работе банков и бирж. Процессы, происходящие в этих двух секторах, влекут за собой изменения во всех отраслях экономики. Поэтому в настоящей диссертационной работе исследуются математические модели и методы прогнозирования биржевьгх

I

рисков и банкротств кредитных организаций в условиях нестабильности на финансовых рынках.

Степень разработанности темы исследования. Наибольший интерес для исследования биржевых рынков представляет изучение изменчивости рыночного процесса. Ключевым параметром, который численно ее характеризует, является волатильность. Авторегрессионные гетероскедастичные модели определения волатильности (ARCH, GARCH и др.) позволяют учесть эффект кластеров на рынке, когда торговля достаточно хорошо может быть разделена на периоды низкой и высокой волатильности. В модели авторегрессионной условной гетероскедастичности ARCH [80] каждому дню присваивается свой вес, убывающий по мере удаления от текущего. Модель GARCH [65] вовлекает; в

6 ! вычисления значения волатильностей, вычисленных на предыдущих шагах. Поскольку рынок обладает памятью, необходимо эту память учитывать. Для практических исследований нередко применяется модель Дж. П. Моргана (1996) экспоненциально взвешенного скользящего среднего EWMA (exponentially weighted moving average). Преимущество EWMA модели заключается в том, что для ее реализации не обязательно хранить большое количество данных. В любой момент времени достаточно помнить только текущую оценку дисперсии и самое последнее измеренное значение рыночного показателя. Измерив новое значение рыночного показателя, можно вычислить новое суточное относительное

I

изменение и получить новую оценку дисперсии. При этом вклад доходности каждого периода экспоненциально убывает по мере его удаления в прошлое. !

Для того чтобы понять, какую же из существующих моделей выбрать в качестве основы при моделировании биржевых колебаний, нужно проанализировать свойства соответствующих временных рядов. Множество проведенных исследований выявило целый ряд специфических особенностей временных рядов доходности финансовых активов и их волатильности -отсутствие автокорреляции, лептокуртозис (высокие пики и толстые хвосты распределения), кластеризация волатильности, условная гетероскедастичность, эффект «рычага» и др. Более подробный обзор этих особенностей можно найти в [81]. Дальнейшее развитие этих моделей пошло в двух направлениях. Некоторые исследователи сделали акцент на отслеживании резких скачков доходности! с помощью модели пуассоновских скачков [13]. Другой подход заключается! в попытке заменить нормальное распределение асимметричным распределением с более тяжелыми хвостами. Ранее уже упоминалось, что финансовые ряды обычно характеризуются большой величиной куртозиса. Модель GARCH частично учитывает это, поскольку в ней безусловное распределение имеет тяжелые хвосты. Это является результатом стохастического характера условной дисперсии. Однако, как правило, этот эффект не полностью улавливается моделью GARCH, что проявляется в том, что нормированные остатки модели все еще характеризуются большой величиной куртозиса. Таким образом, не

выполняется одно из предположений модели GARCH о том, что нормированные остатки нормально распределены. Альтернативой в этом случае может служить явное предположение об ином виде распределения.

Часто выбирают распределение Стъюдента, поскольку это распределение при малых степенях свободы имеет большой куртозис. Распределение временных рядов нередко является смещенным вправо. Для учета этой особенности следует использовать асимметричные распределения с тяжелыми хвостами. Тяжелые хвосты описывают высокую вероятность больших скачков цен и поэтому модели с таким распределением имеют явные преимущества перед классическими моделями (с нормальным распределением и распределением Стьюдента) в условиях нестабильности финансовых рынков.

Так широко используются модели временных рядов с устойчивыми распределениями. Однако некоторые свойства устойчивых распределений снижают эффективность их применения для моделирования биржевых курсов. Основная проблема заключается в том, что дисперсия устойчивого ненормального распределения не имеет конечного предела. Функция плотности устойчивого распределения с показателем а ведет себя как \х\'а~] и,

следовательно, все моменты Е\х\р с р>а не существуют. Второй недостаток

устойчивых распределений связан с тем, что явный вид функций плотности известен лишь в немногих случаях. Наконец, эмпирические данные наблюдаемых изменений цен акций хотя и не описываются нормальным распределением и лучше моделируются с помощью а -устойчивых распределений, все же не совсем точно описываются этими распределениями. Хвосты распределения доходности активов тяжелее, чем у нормального распределения, но тоньше, чем у а -устойчивых распределений.

В связи с этим был разработан новый класс распределений, гораздо лучше описывающих свойства динамики цен. В диссертационной работе для моделирования применялись распределения, которые в англоязычной литературе носят названия: classical tempered stable (CTS), modified tempered stable (MTS) и

rapidly decreasing tempered stable (RDTS) distributions [64, 98]. Эти распределения не только характеризуются тяжелыми хвостами, которые толще чем у нормального распределения, и тоньше, чем у а - устойчивых распределений, но и имеют конечные моменты всех порядков. Разработанные распределения применялись для анализа колебаний биржевых котировок на американских рынках. В настоящей работе исследуются процессы, характеризующие российские рынки. Для построения прогностических моделей, основанных на распределениях с тяжелыми хвостами, необходимы новые быстросходящиеся методы интегрирования характеристических функций.

Для анализа надежности банков, как в России, так и за рубежом, часто используется рейтинговая оценка деятельности кредитных организаций. Процесс составления рейтингов сводится к следующему: на основании банковских балансов производится расчет определенных коэффициентов, отражающих, по мнению аналитиков, различные аспекты надежности кредитной организации; затем каждому из коэффициентов присваивается определенный вес и путем суммирования определяется некий генеральный коэффициент. Ранжирование по данному коэффициенту эксперты и называют рейтингом надежности (к примеру, по методике Кромонова [36]). Для регулирования деятельности банков в США применяется методика CAMEL. Данному направлению анализа банков посвящены работы отечественных авторов: И.Т. Фаррахова, И.Д. Мамонова, В.В. Новикова.

В условиях финансовой нестабильности весьма важной становится не только проблема определения рейтинга банков в классическом понимании (т. е. ранжирование их по определенному признаку), но и поиск той границы, за пределами которой у банка в принципе могут возникнуть проблемы финансового характера. Для банков, приблизившихся к этой границе, можно провести более углубленный и детальный анализ финансового состояния. Задача сводится, следовательно, к поиску такого набора показателей, который, будучи по

характера. Для банков, приблизившихся к этой границе, можно провести более углубленный и детальный анализ финансового состояния. Задача сводится, следовательно, к поиску такого набора показателей, который, будучи по возможности минимальным, с наибольшей степенью надежности информировал бы об общем положении кредитной организации.

Практически все методики рейтинговой оценки результатов деятельности банка имеют целью свести многочисленные банковские показатели к единому обобщенному числовому выражению. При всем разнообразии таких показателей они по сути не выходят за рамки определенного стандартного набора. Разница

I

лишь в широте охвата, степени разукрупнения первичных агрегированных показателей на отдельные составляющие и присвоении тех или иных весовых коэффициентов. Вместе с тем в арсенале экономико-математических методов анализа существует прием, который в достаточно полной мере отвечает поставленным задачам. Это факторный анализ. Суть его заключается в том, что сначала объективным, независящим от воли и умонастроения человека путем определяется набор факторов, которые содержат существенную информацию относительно исследуемого объекта. На втором этапе с помощью этих факторов, которые в принципе могут быть «свернуты» до единого числового показателя, определяется граница, пересечение которой свидетельствует о потенциальных проблемах у банка. Применению факторного анализа для определения надежности кредитных организаций в условиях кризиса 1998 г. посвящена работа A.B. Буздалина [11], а также работа зарубежных авторов [100]. В диссертационной работе с помощью факторного анализа анализируются показатели российских банков в условиях кризиса 2008 г.

Важную группу методов анализа надежности банков составляют подходы, основанные на применении дискриминантного анализа - статистического метода изучения различий между двумя или более группами объектов по совокупности нескольких финансовых показателей. Объекты (в данном случае банки) разбиваются на несколько попарно непересекающихся групп на основании ряда

показателей, характеризующих надежность и успешность их работы. Аргенти [58] первым отметил важность качественных показателей в вопросе о банкротстве корпораций и выделил двенадцать переменных, из которых восемь являются причинными факторами, а остальные четыре - симптомами банкротства. Наиболее важные причинные факторы - плохое управление и некачественная система информации, тогда как ухудшение финансовых показателей и подтасовка отчетности - симптомы ухудшения положения. Разработке различных алгоритмов применения дискриминантного анализа для исследования финансового состояния кредитных организаций посвящены работы Э. Альтмана, Р. Таффлера, А. Кумара, Д. Чессера, Г. Холдмэна, П. Нараяна, Марэ, Д. Паттелла М. Вольфсона, Б. Фридмэна, Д. Као, В.М. Бухштабера, И.Г. Оводова, С.Н. Шевченко, Т. Шумвейя, A.A. Пересецкого, A.M. Карминского. В последнее время появились модели