автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели и методы оптимизации структур спутниковых систем многократного обзора Земли

Введение.

Глава 1. Некоторые математические модели и алгоритмы решения задачи оптимизации баллистических структур спутниковых систем многократного обзора Земли.

1.1 .Основные предположения и обозначения.

1.1.1. Физическая модель задачи.

1.1.2. Системы навигации и покрытия.

1.2.Задачи исследования баллистических структур спутниковых систем.

1.2.1. Постановки задач.

1.2.2. Математическая модель систем общего вида.

1.2.3. Одна модификация модели систем общего вида.

1.3.Математическая модель задачи оптимизации баллистической структуры созвездия ИСЗ.

1.3.1. Области Дирихле-Вороного и принципиальный алгоритм их построения.

1.3.2. Математическая модель и ее свойства.

1.4.Решение задачи оптимизации баллистической структуры созвездия ИСЗ.

1.4.1. Формулы для производных сглаженной целевой функции модели.

1.4.2. Формулы для производных несглаженной целевой функции модели.

1.4.3. Формулы для производных ограничений модели.

1.4.4. Принципиальный алгоритм решения задачи.

1.5.Решение задачи оптимизации баллистической структуры созвездия ИСЗ на основе известной модели синтеза.

1.5.1. Формулы для производных целевой функции модели.

1.5.2. Принципиальный алгоритм решения задачи.

Выводы по главе

Глава 2. Математические модели задачи оптимального управления углами раскрыва диаграмм направленности (ДН) радиоантенн спутников созвездия многократного обзора поверхности Земли и их анализ.

2.1.Математические модели задачи.

2.2.Свойства ограничений задачи.

2.3.Принципиальный алгоритм решения задачи.

2.4.Выбор начального приближения с использованием аппарата областей Дирихле-Вороного.

2.5. У правление зонами радиообслуживания на основе аппарата областей Дирихле-Вороного.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Рабочие алгоритмы.

3.1 .Алгоритм решения задачи оптимизации баллистической структуры созвездия ИСЗ на основе метода возможных направлений.

3.2.Алгоритм построения программного управления углами раскрыва ДН бортовых антенн ИСЗ.

3.3.Алгоритм вычисления вершин областей Дирихле-Вороного порожденных на поверхности Земли спутниками созвездия.

3.4.Алгоритм вычисления радиуса зон обзора ИСЗ в заданный момент времени.

3.5.Алгоритм проецирования областей Дирихле-Вороного на плоскость.

Выводы по главе 3.

Задачи изучения структур спутниковых систем (созвездий) приема, обработки и передачи информации, - таких как известные ныне «Navstar» [31, 56, 71], ГЛОНАСС [31, 41, 46], Iridium [52, 53, 65, 68, 70, 81], GlobalStar [65], - возникли около трех десятилетий тому назад и являются предметом активного исследования по настоящее время.

По классу решаемых задач созвездия ИСЗ подразделяются на системы исследования природных ресурсов, метеосистемы, системы слежения, наблюдения, навигационные системы [31, 41, 46, 56, 71], системы связи [52, 53, 65, 68, 70, 81] и др. Нередко на практике одно созвездие решает сразу несколько задач, например, является навигационной системой и системой наблюдения одновременно. При проектировании созвездий, относящихся к любым из перечисленных категорий, как правило, ставится задача обеспечения такого состояния, при котором в каждый момент времени каждый наземный абонент может принимать информацию не менее чем с к ИСЗ системы и передавать информацию не менее чем к спутникам созвездия одновременно, где к > 1 - заданное число (см. например [25, 39, 68]).

Созвездия ИСЗ, осуществляющие прием, обработку и передачу информации для абонента, расположенного в любой точке поверхности Земли принято называть системами непрерывного кратного (кратности к) обзора Земли (СНКОЗ). При определенных условиях системы покрытия, - системы передающие информацию на Землю, - являются и системами, принимающими информацию с Земли, поэтому их также можно отнести к СНКОЗ [13].

Орбиты движений ИСЗ в созвездиях могут быть круговыми [39] и эллиптическими. Причем круговые орбиты имеют ряд существенных достоинств: при них заметно упрощается проблема стабилизации положения спутников относительно Земли, появляется возможность более эффективного использования спутниковых антенн, направленных на Землю, упрощается задача определения масштабов снимков, производимых со спутников (если речь идет о системе слежения), отсутствует вращение орбит ИСЗ в ее плоскости и т.д. В целом, достоинства круговых орбит становятся особенно ценными, когда требуется обслуживать всю поверхность Земли, или значительную ее часть. В связи с этим при проектировании СНКОЗ отдают предпочтение именно круговым орбитам (см. например [3, 13, 31, 38, 39]). Однако, круговые орбиты имеют и свои недостатки. Одним из таких недостатков является то, что для к -кратного покрытия Земли системами, с круговыми орбитами движений, требуется большее количество ИСЗ, чем в случае систем с эллиптическими орбитами. Из работ [12, 14, 58, 59, 60, 61] следует, что число ИСЗ в системах на круговых орбитах, покрывающих Землю к -кратно, удовлетворяет неравенству N > 2к + 3, в то время, как соответствующее число ИСЗ в системах на эллиптических орбитах, удовлетворяет неравенству N >2к + 2. Из этих же работ известны примеры, на которых данная оценка достигается при к = 2;3;4. К настоящему моменту времени не реализовано ни одной СНКОЗ на эллиптических орбитах, хотя исследования в этом направлении ведутся ( см. [25, 26, 29, 30, 40]).

Кроме формы, важным параметром орбит ИСЗ является их радиус. Следует отметить, что реализовать созвездие с различными радиусами спутниковых орбит весьма сложно, поскольку при этом возникает нелегкая проблема синхронизации движения отдельных ИСЗ. Эта проблема обусловлена тем, что на разных высотах полета действие внешних сил на спутники будет существенно различным. По указанной причине баллистические структуры реальных спутниковых систем проектируются, как правило, из условия равенства радиусов орбит всех входящих в них ИСЗ (например [13, 31, 39, 41, 54, 65, 71]).

Данная диссертация посвящена исследованию структур спутниковых созвездий кратного непрерывного обзора земной поверхности, расположенных на равновысоких круговых орбитах, при различных ограничениях на возможности приема и передачи информации как наземными абонентами, так и спутниками, входящими в созвездия. При этом под структурой системы понимается набор параметров (в том числе баллистических), однозначно определяющих ее геометрию и функционирование. Структуру, состоящую только из баллистических параметров, будем называть баллистической.

При проектировании спутниковых созвездий возникает два типа задач: анализ и синтез. Задачи анализа созвездий кратного обзора Земли заключаются в выяснении факта: обеспечивает или нет спроектированная спутниковая система обзор требуемой кратности при выбранной высоте полета ИСЗ. Задача синтеза заключается в выборе такой структуры созвездия, при которой проектируемая спутниковая система сможет решать поставленные перед ней задачи. Синтез может быть частичным, полным и оптимальным. Задачей частичного или полного синтеза является выбор части или полного набора параметров созвездия таким образом, чтобы проектируемая спутниковая система обеспечивала непрерывный обзор требуемой кратности всей поверхности Земли или определенной ее части. В задаче оптимального синтеза дополнительно требуется достижения минимума (максимума) заданной целевой функции. Кроме того можно рассматривать задачу оптимизации структуры созвездия, которая заключается в изменении заданного значения вектора параметров системы таким образом, чтобы созвездие продолжало обеспечивать покрытие Земли нужной кратности при удовлетворении заданного критерия качества.

В качестве критерия оптимальности в перечисленных задачах чаще всего выступает минимум высоты полета (радиуса орбит) ИСЗ созвездия [1, 3, 13, 37-39, 54, 77]. Уменьшение высоты полета спутников сокращает затраты на выведение спутника на орбиту, улучшает качество различения объектов на поверхности Земли, сокращает энергетические затраты спутника на обслуживание подспутниковых участков и т.п.

Задача выбора структур спутниковых систем непрерывного наблюдения Земли начала исследоваться еще в 60-х годах (см. например [55, 57, 66, 67, 69, 74-78]). Ввиду большой сложности проблемы первоначальные исследования [1, 66, 69, 78] проводились для баллистических структур со спутниками, расположенными равномерно на полярных орбитах. Далее исследовались аналогичные симметричные структуры на одинаково наклоненных орбитах [2, 51, 54, 72, 79, 80], вводились специальные X и Ь - системы [78], 8- структуры, со - модели [79, 80], системы типа розетки [51], так называемые, сетевые системы [2] и т.п. Наиболее общий и результативный подход к исследованию т.н. «кинематически правильных систем» был предложен Г.В. Можаевым [37 , 39]. Этот подход, основанный на принципах симметрии, охватывает практически все предложенные симметричные баллистические структуры и позволяет детально их исследовать.

Исследования структур общего вида, без обязательного использования симметрии, оказались не столь результативными. В частности, в работах [37, 39] Можаевым Г.В. представлена при к = 1 математическая модель, позволяющая исследовать такие структуры, но она осталась без исследования. В работе [13] начато исследование модели структур общего вида при произвольном к > 1, выявлены некоторые ее свойства, позволившие производить анализ систем и построить принципиальные подходы к синтезу их баллистических структур. Принципиальные подходы, предложенные в [13], основывались на свойстве липшицевости целевой функции модели по вектору Е, баллистических параметров. В силу того, что это свойство гарантирует нахождение глобального экстремума, результатом применения указанного подхода явилась бы структура, лучшая среди всевозможных для заданного числа

ИСЗ. Однако большая размерность вектора баллистических параметров сделала такой подход трудно осуществимым на практике.

На основании проведенного обзора публикаций, посвященных данной тематике, можно утверждать о необходимости разработки эффективных подходов, позволяющих осуществлять оптимизацию баллистических структур общего вида СНКОЗ. Кроме того приходится констатировать, что ни одна из известных к настоящему моменту времени спутниковых систем глобального кратного обзора поверхности Земли ( [39, 71] и др.) не обеспечивает равномерности наблюдения, т.е. не способна осуществлять покрытия без избытка. Этот факт является причиной вынужденных энергетических затрат на борту ИСЗ. В этой связи можно утверждать о необходимости разработки методов, позволяющих компенсировать избыточность покрытия земной поверхности спутниками данных систем.

Именно этой проблематике и посвящена настоящая диссертационная работа. Ее целью являются разработка таких подходов, которые позволят оптимизировать любые баллистические структуры созвездий, предназначенных для непрерывного глобального кратного обзора Земли, а также подходов, обеспечивающих возможность компенсации избыточности покрытия Земли спутниками системы с фиксированной баллистической структурой.

Диссертация состоит из трех глав и приложения.

Выводы по главе 3. Таким образом в главе 3 предложены рабочие алгоритмы, необходимые для решения следующих задач.

1. Алгоритм изложенный в разделе 3.1 реализует решение задачи оптимизации баллистической структуры СНКОЗ на основе изложенного в разделе 1.4 принципиального алгоритма и полученных там же формул для производных целевой функции и ограничений.

2. Алгоритм изложенный в разделе 3.1 реализует принципиальный алгоритм решения задачи 2.1.4 - задачи построения оптимального программного управления углами раскрыва ДН ИСЗ СНКОЗ в векторной постанове, изложенный в разделе 2.3.

3. Алгоритм изложенный в разделе 3.3 позволяет строить на поверхности Земли области Дирихле-Вороного, порожденные ИСЗ, которые используются при решении задачи оптимизации баллистической структуры СНКОЗ, так и в задаче построения оптимального программного управления углами раскрыва ДН спутников.

4. Алгоритм изложенный в разделе 3.4 основан на утверждении леммы 1 работы [6] Галиева Ш.И. и позволяет вычислять значение целевой функции модификации (1.2.2), (1.2.3) модели систем общего вида.

5. Алгоритм изложенный в разделе 3.5 позволяет визуально строить области Э^т) Дирихле-Вороного, что существенно используется при их исследованиях.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы.

1. Сформулирована задача оптимизации баллистической структуры СНКОЗ.

2. На основе произведенных в диссертации исследований свойств целевой функции известной модели СНКОЗ общего вида предложены методики решения задачи оптимизации баллистических структур созвездий непрерывного глобального кратного обзора Земли.

3. Предложена новая модификация упомянутой выше модели, которая, сохраняя все свойства исходной модели, позволяет использовать существенно более простую вычислительную процедуру для расчета целевой функции.

4. Построена математическая модель задачи оптимизации баллистических структур созвездий ИСЗ, позволяющая в ряде случаев получить более предпочтительные структуры, чем известная модель систем общего вида; исследованы ее свойства; предложен и реализован алгоритм решения задачи с использованием данной модели.

5. Предложен ряд постановок задачи построения оптимального программного управления углами раскрыва ДН антенн ИСЗ созвездия кратного обзора Земли.

6. Построены математические модели указанной выше задачи, исследованы их свойства.

7. На основе одной из предложенных в диссертации математических моделей предложен и реализован алгоритм решения задачи построения оптимального программного управления углами раскрыва ДН антенн ИСЗ.

8. Исследованы области Дирихле-Вороного, порожденные спутниками созвездия на поверхности Земли. На основе использования аппарата областей Дирихле-Вороного предложен и реализован алгоритм выбора начального приближения в задаче построения оптимального управления углами раскрыва ДН ИСЗ, а также предложен способ выбора оптимального управления раскрывом антенн для случая произвольной конфигурации зон обзора ИСЗ.

1. Аллок Шоун. Оптимальные сети полярных спутников для непрерывного обзора Земли // Ракетная техника и космонавтика, 1963, № 1,с. 85-89.

2. Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М. : Машиностроение, 1975, 232 с.

3. Бартенев В.А., Михнов А.Н., Никитенко А.Н. Оптимальные системы непрерывного однократного обзора Земли при заданном наклонении орбит ИСЗ // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1983,1984 г.г. М.: Наука, 1985. с. 64.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач М. : Наука, 1980, -520 с.

5. Галиев Ш.И. Динамические оценки числа спутников для многократного обзора Земли // Космические исследования . 1996. т. 34. № 5. с. 500-505.

6. Галиев Ш.И. Многократные упаковки и покрытия сферы // Сибирский матем. журнал. 1989. т. 30, № 3, с. 202-203.

7. Галиев Ш.И. Многократные упаковки и покрытия сферы в Е" II Дискретная математика 1996, т 8., № 3. с. 148-160.

8. Галиев Ш.И. Направления убывания для минимаксиминных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994, т.34, № 3, с. 323-343.

9. Галиев Ш.И. Нахождение приближенных решений минимаксных задач // Ж.В.М. и М.Ф. 1997. Т. 37. № 12. 1439-1448.-11610. Галиев Ш.И. Численные алгоритмы оптимальных покрытий // Ж.В.М. и М.Ф. 1995. 35. № 5. С. 609-617.

10. Галиев Ш.И., Заботин В.И. Модели спутниковых систем глобальной связи и методы анализа и синтеза их структур // Исслед. Земли из космоса. 1993. № 5. с. 66-75.

11. Галиев Ш.И., Заботин В.И. К задаче многократного обзора земной поверхности минимальным числом спутников. Труды XIV Научных чтений по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королева, Москва, 30 января-2 февраля, 1990 г. ИИЕТ АН СССР.

12. Галиев Ш.И., Заботин В.И. О непрерывном обзоре поверхности Земли // Исследование Земли из космоса, 1983, № 1, с. 117-120.

13. Галиев Ш.И., Заботин В.И. Системы из минимального числа спутников для многократного обзора Земли // Исслед. Земли из космоса. 1990. № 5. с. 102-108.

14. Галиев Ш.И., Заботин В.И., Кузьмин A.B. Методы решения задачи оптимального управления некоторыми параметрами спутниковых созвездий кратного покрытия Земли // Известия вузов. Авиационная техника, 1999 г., № 4 (принята к печати).

15. Галиев Ш.И., Кузьмин A.B. Оптимизация баллистических параметров спутников систем многократного наблюдения Земли. Тезисы докладов Третьего Всероссийского Ахметгалеевского

16. Семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Казань: 1997, с. 11.

17. Галиев Ш.И., Кузьмин A.B. Использование обобщенных областей Дирихле-Вороного для оптимизации спутниковых систем. Тезисы докладов VII Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань: 1997, с. 7.

18. Галиев Ш.И., Кузьмин A.B. Математические модели синтеза систем непрерывного обзора Земли. Труды Международной научно-технической конференции «Спутниковые системы связи и навигации», Красноярск: 1997, т. 1, с. 28-33.

19. Галиев Ш.И., Кузьмин A.B. Некоторые свойства математических моделей структур спутниковых систем многократного наблюдения Земли // Изв.вузов, Авиационная техника, 1997, №4, с.25-30.

20. Галиев Ш.И., Кузьмин A.B. Применение областей Дирихле-Вороного к задаче минимизации энергетических затрат спутниковыхсистем обзора Земли // Космические исследования 1999 г., т. 37. № 3 (принята к печати).

21. Данилин Ю.М., Пиявский С.А., Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума. Тр. семинара «Теория оптимальных решений», Вып. 2, Киев 1967, с. 25-27.

22. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 4 (№ 22).

23. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс М. : Наука, 1972, 368 с.

24. Заботин В.И. Задача кратного обзора Земли спутниковыми системами глобальной связи на эллиптических орбитах // Космич. Исследования 1997, т. 35, № 4, с. 445-448.

25. Заботин В.И. Модели спутниковых систем глобальной связи на эллиптических орбитах // Исследования Земли из космоса, 1994, № 5, с. 70-76.

26. Заботин В.И. Об одном подходе к получению условий слейтеровского минимума. Тезисы докладов межреспубликанской школы-семинара «Математическое и программное обеспечение многокритериальной оптимизации и их применение». Ереван, 1988. с. 101-102.

27. Заботин В.И., Косолапов A.B. Анализ модели спутниковой системы глобальной связи. // Авиационная техника 1997, № 4, с. 3641.

28. Иванцевич И.В., Мурашкина И.Г. Исследование геометрических характеристик объединенного созвездия навигационных систем «Глонасс» и GPS // Радионавигация и время. 1993. № 1-2. с. 60-65.

29. Заботин В.И., Полонский Ю.А. Предвыпуклые множества, отображения и их приложения к экстремальным задачам. // Кибернетика. Киев. 1981. № I.e. 71-74.

30. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. «Теория экстремальных задач», М: Наука, 1974, 280 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа М. Наука. 1989. 623 с.

32. Механика космического полета, под ред. Мишина В.П., М: Машиностроение, 1989, 407 с.

33. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И., Методы невыпуклой оптимизации. М. Наука, 1987, 280 с.

34. Можаев Г.В. Задача о непрерывном обзоре Земли и кинематически правильные спутниковые системы I, II. //

35. Космические исследования 1972, т. 10, № 6, с. 833-840; 1973 т. 11, № 1, с. 59-69.

36. Можаев Г.В. К проблеме оптимизации орбит спутниковых систем, предназначенных для непрерывного обзора поверхности Земли // Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Москва. 25 января-1 февраля, 1968. М. Наука. 1968. С. 125.

37. Можаев Г.В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем . М. : Машиностроение, 1989, -304 с.

38. Мосин Е. Байбаков С., Карасев А., Тригонометрия в эфире: спутниковые системы глобального позиционирования // PC WEEK/RE №18, 12 мая, 1998 г. 32-33.

39. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции // Ж.В.М. и М.Ф. 1972, т. 12, №4, с. 888-896.

40. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. -М.: «Наука», 1982.

41. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход, М.: Мир, 1974, 376 с.

42. Соболь И.М. О поиске экстремальных значений функций от нескольких переменных, удовлетворяющей общему условию Липшица // Ж.В.М. и М.Ф., 1988, т. 28, № 4, с. 483-491.

43. Спутники «Космос-2323, -2324, 2325» завершают систему Глонасс // Новости космонавтики. 1995. № 25. с. 30-31. Фреза Б. Системы низкоорбитальных спутников // Сети и системы связи. 1996. № I.e. 82-83.

44. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах, М. Наука, 1978, 240 с.

45. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: «Мир», 1970.

46. Шварц Л. Анализ т. I, М. : Мир, 1972, -824 с.

47. Эрроу К., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М. Ил. 1962.

48. Ballard А.Н. Rosette constellations of Earth satellites // IEEE Trans. Aerospace and Electron. Syst. 1980, v. 16, No. 5, p.656-673.

49. Bertiger B.R., Swan P.A., Leopold RJ. Iridium is in the works // Aerosp. Amer 1991. V. 29. № 2. P. 40-42.

50. Iridium team shapes up // Space 1991. V. 7. № 5. P. 25-26.

51. Beste D.C. Design of satellite constellation for optimal continuous coverage // IEEE Trans. Aerospace and Electron. Syst. 1978, v. 14, № 3, p.466-473.

52. Billik B.H., Roth H.L. On the logical establishment of global surveillance and communication nets // journal of Astronautical Sciences. 1965. V. 12. №3. P. 88-89.

53. Brady W.F., Jorgensen P.S. Worldwide coverage of the phase II Navstar satellite constellation //Navigation, 1981. v.28. № 3. p. 167-177.

54. Dlagish D.I., Jeffers A.K., Some orbits for communication-satellite systems affording multiple access // Proc. IEEE. 1965. V. 112. №1. p. 21-30.

55. Draim J.E. Three and four-satellite continuous coverage constellations // AIAA, 1984, № 1996, p. 1-9.

56. Draim J.E. Continuous global N-tuple coverage with (2N+2) satellites // AAS/AIAA Astrodynamics specialist conference, Vermont, August 7-10, 1989, p. 1-16.

57. Draim J.E. A six-satellites continuous global double coverage constellation // AAS/AIAA Astrodynamics specialist Conference Kalispell, Montana, August 10-13, 1987, p. 1-11.

58. Emara Hosam E., Leondes Cornelius T. Minimum number of satellites for three-dimensional continuous worldwide coverage // IEEE. Trans. Aerospace and Electron. Syst. 1977. v. 13. № 2. p. 108-111.

59. Fejes Toth G. Multiple packing and covering of the plane with circles//Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1979, v. 27, No. 1-2, p. 135140.

60. Fejes Toth G. Multiple packing and covering of the spheres // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1979, v. 34, No. 1-2, p. 165-176.

61. Galiev S.I., Comargo M.E., Kuzmin A.V., Muller I. Modelos Matematicos para Otimizacao de Estrutura dos Sistemas de Satelites. 5 Encontro Regional de Matematica Aplicada e Computacional anais, Santa Maria: 1998, p. 52.

62. Globalstar launches Iridium challenge // Flight Int. 1991. V. 140. № 4294. P. 27.

63. Gobetz F.W. Satellite network for global coverage // J. Astron. Sci. 1961 v. 8, No. 4, p. 114-126.

64. Gundel B.H. Satellite coverages // Astronautical Science Review. 1960. № 4. P. 19-23.

65. Henley M., Huynh C., Atlas capabilities for non-geosynchronous orbits // AIAA, Pap. 1992, №1879, 9p.

66. Luders R.D. Satellite network for continuous zonal coverage // ARS Journal, 1961, v. 31, No. 2, p. 179-184.

67. Parker T. Iridium turns to gold ? // Space 1991, V. 7. № 5, p. 2526.

68. Richards G. Navstar a complete global navigation system // Space fight. A publication of the British Interplanetary Society. 1980. v. 22. № l.p. 2-6.

69. Rider L. Optimized polar orbit constellations for reundant Earth coverage // J. of Astonantical Sci. 1985 v. 33 №. 2 p. 147-161.

70. Rohdin A. Telecommunication satellite systems // Tele. 1965. V. 7. №2. P. 182-189.

71. Sinden F.W., Mammel W.L. Geometric aspects of satellite communication // IRE Transactions on space electronics and telemetry. September-December 1960. V.6. P. 146-158.

72. Ullock M.H., Shoen A.H. Optimum polar satellite networks for continuous Earth coverage. // AJAA journal. 1963. № 1. P. 69-72.

73. Vargo L.G. Orbital patterns for satellite systems // J. Astron. Sci. 1960 v. 7, No. 4, p. 78-86.

74. Walker J.G. Some circular orbit patterns providing continuous whole Earth coverage // J. British Interplan. Soc. 1971, No. 24, p. 369384.

75. Walker J.G. Satellite constallations // J. British Interplan. Soc. 1984, v. 37, No. 12, p. 559-571.

76. Zangereux P. Radiotéléphonie mondiale per Iridium: Motorola propose un resean de 77 satellites pour 12 milliards // Air et cosmos. 1990. v. 28 № 1292. p.44-45.

77. Галиев Ш.И. Нахождение приближенного решения максимина со связанными переменными и кратного максимина // Ж.В.М. и М.Ф. 1986. Т. 26. № ю. 1455-1467.- 125

78. Тот А.Ф. Расположения на плоскости и в пространстве М. Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. 363 с.

79. Галиев Ш.И. Направления убывания для минимаксных задач // Ж.В.М. и М.Ф. 1993. Т. 33. № 1. 22-34.

80. Заботин В.И. Методы оптимизации технических и экономических систем. Теоретические основы. Учебное пособие. Казань, КАИ, 1982, 47 с.

81. Фреза Б. Системы низкоорбитальных спутников // Сети и системы связи. 1996. № 1. с. 82-83.

82. Кузьмин A.B. Задача управления углами раскрыва диаграмм направленности антенн ИСЗ созвездий кратного обзора Земли. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения», Москва, 1999, т. 2 с. 739.- 126