автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Математические модели и алгоритмы извлечения базисного ресурса в замкнутых термодинамических и экономических системах

На правах рукописи

АЛИМОВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ БАЗИСНОГО РЕСУРСА В ЗАМКНУТЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13 11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

¡11111111111111111!

□03 15Э084

Переславль-Залесский - 2007

Работа выполнена в Исследовательском Центре Системного Анализа Института программных систем Российской академии наук

Научный руководитель

д т н , профессор А М Цирлин

Официальные оппоненты

д т н, профессор Г С. Осипов

к т н, доцент А В Татаринов

Ведущая организация

ЗАО «Информационные технологии управления - ВНИИП»

Защита состоится ¿^/Л^рн^ 2007 г в -/Г час на заседании

диссертационного совета Д 002 084 01 в Институте программных систем РАН по адресу 152020, г Переславль-Залесский, м Ботик, ИПС РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПС РАН

Автореферат разослан « Л/ » ¿¡^¿У^&г^И'^ъ^ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кт н

С М Пономарева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение

Большое количество систем различной природы состоит из множества элементов, поведение каждого из которых невозможно контролировать Такие системы называют макросистемами Поведение макросистем определено и управление ими возможно лишь на макроуровне. Состояние таких систем характеризуют переменными, которые зависят от усредненного поведения входящих в систему элементов

Термодинамические системы, состоящие из большого числа молекул, являются макросистемами К макросистемам можно также отнести, экономические системы, состоящие из множества участников экономической деятельности (продавцы, покупатели, производители и пр), миграцию населения, потоки пассажиров, системы обмена квартирами и другие

Так как термодинамические системы являются наиболее изученными, то использование макросистемного подхода в других сферах (экономике, социологии) часто называют термодинамическим подходом. Использование такого подхода предполагает, что все характеризующие систему переменные разделяются на две категории - экстенсивные и интенсивные Экстенсивные величины (объем, масса, число микрочастиц, запасы ресурсов и пр) при объединении двух одинаковых систем удваиваются Интенсивные переменные (давление, температура, цена и пр.) остаются неизменными при таком объединении Переменные, характеризующие макросистему, связаны между собой уравнением состояния

Важнейшей особенностью макросистем является необратимость протекающих в них процессов стохастического взаимодействия Актуальность

Одной из центральных задач, характерных для макросистем, является задача о максимальном извлечении (минимальной затрате) базисного ресурса в неравновесной системе. В термодинамике таким ресурсом является работа, в

экономике - капитал Теорема о максимальной работе в термодинамике утверждает, что максимуму извлеченной работы соответствуют обратимые процессы взаимодействия рабочего тела с каждой из термодинамических подсистем Из этой теоремы следуют, в частности, такие результаты как КПД Карно для тепловой машины, обратимая работа разделения и др Введение ограничения на продолжительность процесса делает эту задачу существенно сложнее В экономике аналогом задачи о максимальной работе является задача

0 максимальном извлечении капитала

Обратная задача о минимальных затратах базисного ресурса при тех или иных условиях является основой для проектирования энергосберегающих технологий в термодинамике и планировании инвестиций в экономике. Цель и задачи работы

Целью работы является построение математических моделей термодинамических и экономических систем с использованием методов термодинамики при конечном времени, решение задач об извлечении базисного ресурса в таких системах, разработка алгоритмов и программ расчёта максимальной извлекаемой работы в термодинамических и прибыли в экономических системах

Для достижения цели в работе необходимо решить следующие задачи

1 Построить модели необратимых термодинамических и экономических систем, позволяющие формулировать и решать задачи оптимального управления

2 В рамках разработанных моделей дать постановку и решить задачи о максимальной работе (работоспособности) при ограниченной продолжительности процесса для различных конфигураций термодинамических систем Получить условие оптимальности процесса необратимого теплообмена

3 В рамках разработанных моделей дать постановку и решить задачу о переводе термодинамической системы в заданное неравновесное состояние с минимальной затратой работы

4 Разработать и программно реализовать алгоритмы расчета работоспособности термодинамических систем с резервуаром и без него

5 В рамках разработанных моделей дать постановку и решить задачи об оценке прибыльности экономических систем при ограничениях на продолжительность процесса, структуру системы, начальные данные, кинетику ресурсообмена

6 Разработать и программно реализовать алгоритм расчёта прибыльности для экономической системы, состоящей из подсистем различного типа и фирмы-посредника при заданной продолжительности ресурсообмена

7 Решить задачи классификации кинетики термодинамических и экономических систем по типу условий оптимальности

Методы исследования

В работе используются методы оптимального управления, термодинамические модели и методы термодинамики при конечном времени, методы теории макросистем Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что сформулированы и решены задачи извлечения базисного ресурса при ограниченном времени и получены предельные возможности термодинамических и экономических управляемых систем с посредником для различной их конфигурации Практическая значимость работы

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы для оценки эффективности процессов, происходящих в термодинамических и экономических макросистемах Полученные условия оптимальности позволяют организовывать процессы наиболее выгодные, с точки зрения получения и затраты базисного ресурса, и определяют те пределы, выше которых не могут быть достигнуты показатели у действующих систем.

Апробация работы

Основные результаты работы опубликованы в рецензируемых научных изданиях Результаты работы докладывались на семинарах ИЦСА ИПС РАН и международных конференциях Публикации

По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них 4 опубликовано в изданиях, рекомендуемых ВАК. Личный вклад.

Все результаты исследований, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, включает в себя 24 рисунка, 1 таблицу Библиография содержит 124 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Общий объем основного текста 127 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, его научная новизна, раскрывается цель диссертационной работы и практическая значимость

В первой главе изложены математические модели макросистем, используемые в дальнейшем для решения задач об извлечении максимальной работы в термодинамических и максимальной прибыли в экономических макросистемах Эти модели основаны на методологии термодинамики при конечном времени

Дан обзор математических моделей термодинамических и экономических систем различных конфигураций, позволяющих формулировать и решать задачи оптимального управления, возникающие в таких системах, при ограничениях различного рода

Введено понятие работоспособности термодинамической системы и прибыльности экономической системы Проведено сравнение основных характеристик термодинамических и экономических систем Показаны аналогии и различия между ними Сформулированы задачи работы, которые сводятся к ответу на следующие вопросы

1 Какую максимальную работу может извлечь тепловая машина из замкнутой неоднородной системы"7 Как зависит эта работа от теплоемкостей, коэффициентов теплообмена, начальных температур, температуры окружающей среды и продолжительности процесса?

2 Какую максимальную прибыль может извлечь посредническая фирма из неоднородной экономической системы"7 Как зависит эта прибыль от функций благосостояния, спроса и предложения, начальных запасов ресурсов, продолжительности процесса9

3 Как для получения максимальной работы менять температуры контакта, а для получения максимума прибыли цены закупок и продаж9

Во второй главе рассмотрены задачи извлечения максимальной работы из замкнутых тепломеханических систем при ограничениях того или иного рода

Задача извлечения работы является основной в термодинамике Количество извлекаемой работы ограничено необратимостью процессов теплообмена. По формуле Стодолы, работа А, которую можно извлечь из системы, равна А =А„ГТ0ДБ, где Аа - работа в обратимом процессе, Т0 -температура окружающей среды, а Л5 — прирост энтропии системы. Таким образом, максимуму работы соответствует минимум АБ или диссипации а=Д8/т

Класс процессов минимальной диссипации столь же важен, как и класс обратимых процессов Он сужает границы наших возможностей настолько, что иногда эти границы оказываются реализуемыми и расширить их можно лишь за счет добавочных вложений (увеличение поверхностей контакта), либо за счет уменьшения интенсивности процесса

В §2 1 дана постановка и решение задачи о минимальной диссипации процесса теплообмена при заданной продолжительности г Рассматривается система, которая состоит из источника тепла конечной емкости с температурой Г, энтропией Sp, теплоемкостью с и рабочего тела с температурой и, энтропией S,. Будем считать, что Т > и При контакте этих подсистем между ними возникает поток тепла q(T,u) Система замкнутая, процесс теплообмена происходит во времени и температура источника изменяется в соответствии с уравнением

г«»-г, (1)

dt с

Рассмотрим задачу о таком законе изменения тепла q от t, для которого прирост энтропии системы минимален

AS = )q(T, -1 jdt -» min, (2)

при заданной тепловой нагрузке

]q(T,u)dt = Q, (3)

о

при изменении температуры источника в соответствии с уравнением (1) при условии неотрицательности u(t)

Рассматриваемая задача представляет собой задачу оптимального управления Управлением считаем температуру рабочего тела и Получено условие минимальной диссипации процесса необратимого теплообмена

(я(Т,и)Х , дд _ ^ (4)

\ и ) du

где к- некоторая константа Условие минимальной диссипации определяет оптимальное управление в каждый момент времени как функцию Т Значение к находят из условия (3)

В §§ 2 2-2 3 дана общая постановка задачи о максимальной работе в замкнутой термодинамической системе, состоящей из п подсистем конечной ёмкости, резервуара и тепловой машины (рис 1) Подсистемы характеризуются

начальными температурами Т,н (1=1 п) Температура резервуара задана и неизменна Т0=1сот1 Предполагаем, что подсистемы не могут контактировать друг с другом Взаимодействие возможно лишь с тепловой машиной

Между тепловой машиной и подсистемами возникают потоки тепла д,(Т„ и,), где и, - температуры рабочего тела при контакте с /-ой подсистемой Температуры контакта и, являются управлением, их можно изменять, оптимально организовывая теплообмен Предполагается, что тепловая машина внутренне обратима, то есть потоки в ней конвективные и не влияют на производство энтропии в системе

Рис 1 Структура термодинамической системы

Формализуем задачу Критерий оптимальности

А= [£д,(Т,,и,)сИ->тах, (5)

■"„О ».."-О"

при условии неизменности энтропии рабочего тела

д^о, (6)

о 1=0 и, 1=0

и при изменении температур подсистем в соответствии с уравнениями

^ =_9,(Т>,); 7;(0) = 7;я, г = \п, (7)

где с, — теплоемкость /-ой подсистемы, АЗ, - прирост энтропии рабочего тела при контакте с /-ой подсистемой Температура резервуара задана и неизменна во времени - Т0

Задача состоит в том, чтобы найти такие изменения и„ чтобы извлечь максимальную работу, то есть максимально снизить внутреннюю энергию системы

В §2 4 рассматриваются задача (5)—(7) при неограниченной продолжительности процесса для термодинамических систем с резервуаром и без него Для случая, когда системы содержат резервуар с температурой Т0 работа в обратимом процессе равна

В §2 5 решена задача (5)—(7) при заданной продолжительности процесса теплообмена Рассматривается случай, когда тепловая машина контактирует с подсистемами и с резервуаром, и когда резервуар в системе отсутствует Постановка задачи о максимальной работе в первом случае является общей постановкой, полученные условия оптимальности справедливы и для систем без резервуара Показано, что при фиксированной продолжительности процесса, процессы взаимодействия с каждой подсистемой удовлетворяют условию минимальной диссипации (4), что определяет зависимость (¿.(ДБ) -количества теплоты, полученной тепловой машиной, от прироста энтропии рабочего тела при контакте с /-ой подсистемой, и позволяет свести решение задачи (5)-(7) к следующей задаче

(8)

Для систем без резервуара значение работы имеет вид

(9)

П

А = Хв,(А5,) тах

(Ю)

АУ,

при условии (6) Найденные значения ЛЗ', подставляем в уравнение (10) и получаем значение максимальной работы А , которую можно извлечь из системы

Для законов теплообмена вида

Ч, =<*,{Т,-и,), 1 = 0,п

(П)

эта работа равна

А* =-— + 1с,Гя

апт + Д5„ 1=1

1 - ехр

Г \\

V

с, (а, г + Д5,)

У1

(12)

где А?, находим из системы уравнений

/■ л

а т

Ч о /<

а г + ДУ,

= -Я,

о У

ехр

• таЛЭ

с. (та} + Д5)

Ч

¿ДЯ, = 0

= -А / = 1, п,

(13)

Аналогично сформулирована и решена задача для случая, когда рабочее тело тепловой машины может устанавливать различные температуры контакта с резервуаром и когда система не содержит резервуара Все полученные результаты конкретизированы для ньютоновских потоков

Максимальная работа для системы без резервуара для потоков вида (11)

равна

Ч \ У У

где к, находим из системы уравнений

1 - ехр

таг (1 — Л )

(14)

к, г,яехр-

- = Я, I = 1, п,

п та (1 - к

I—-1

га (1 -¿)

-— = О

В §2 6 решается задача оптимального управления конфигурацией температурного поля Управление полем температур осуществляется за счёт подвода (отбора) теплоты в выбранных точках Такой подвод возможен при контакте того или иного элемента температурного поля с преобразователем (тепловой или холодильной машиной) Если известны начальное и конечное распределения температур и фиксирована продолжительность процесса, то естественной представляется задача о переводе температурного поля из начального в конечное состояние с минимальной затратой (максимальным извлечением) работы Типовой задачей, относящейся к рассматриваемому классу задач, является задача «захолаживания», когда требуется за заданное время довести до заданного значения температуры холодильных камер при заданных теплоёмкостях каждой из них

Эта задача отличается от рассмотренной в предыдущих параграфах задачи извлечения работы тем, что заданы и начальные Т,н и конечные температуры подсистем Т,К Для случая, когда в системе присутствуют п подсистем, резервуар, преобразователь, а потоки теплообмена вида (11), оптимальная работа

где Т0 - температура резервуара, с, — теплоёмкости подсистем, т -продолжительность процесса, а, — коэффициенты теплообмена.

Для систем каждого вида разработаны алгоритмы расчёта максимальной работы, которые представлены в §2 7

В третьей главе рассмотрены задачи извлечения капитала в замкнутых экономических макросистемах, в рамках моделей необратимой микроэкономики, приведенных в главе 1 При этом каждый экономический агент (ЭА) характеризуется функцией благосостояния 5„ которая зависит от запаса ресурсов А/| и капитала М, ив процессе ресурсообмена не убывает. Оценка ресурса р, (минимальная стоимость, за которую ЭА согласен продать ресурс, и максимальная, за которую он согласен его купить) определена через 5 выражением

' 55,/дМ,

причем оценки базисного ресурса ро,>0 для всех ЭА, а оценки р, могут быть и отрицательными, если /-ый ресурс, например, требует утилизации или затрат на хранение

В экономике аналогом задачи об оптимальной работе является задача об извлечении базисного ресурса в системах, различные части которых обладают наличным капиталом и капиталом, овеществленным в форме того или иного ресурса В главе 1 говорилось, что базисным можно считать ресурс, который для любого из ЭА полезен, т е. оценка которого положительна Предполагают, что таким ресурсом является наличный капитал в той или иной форме Так же как в термодинамике, из экономической системы невозможно извлечь капитал без активной подсистемы Роль активной подсистемы здесь играет посредническая или производственная фирма При взаимодействии ЭА через посредника уменьшается необратимость процессов ресурсообмена, цены, устанавливаемые посредником, являются управляющими воздействиями в задачах оптимизации экономических систем

В §3 1 вводится определение прибыльности Будем называть прибыльностью Е экономической системы максимальное количество базисного ресурса, которое может быть получено из системы в процессе ресурсообмена при тех или иных ограничениях При этом система может содержать некоторое число ЭА и не более одного рынка с постоянными ценами (экономического

резервуара) Аналогично тому, как диссипация в термодинамике уменьшает эксергию тепла, диссипация капитала, равная произведению потока на разность между ценой и оценкой, уменьшает прибыльность системы

Ограничения, наложенные на систему, уменьшают значения прибыльности К ним можно отнести продолжительность процесса, ограничения на множество конечных состояний ЭА, неотрицательность значений тех или иных переменных системы Если ограничение на продолжительность процесса отсутствует, в системе имеется один экономический резервуар и задано начальное состояние ЭА-ов, то прибыльность является аналогом эксергии, которая используется при анализе термодинамических систем

В § 3 2 дана постановка задачи о получении максимальной прибыли. Рассматриваем экономическую систему (рис 2), состоящую из и экономических агентов, каждый из которых располагает некоторым запасом ресурса И, (1=1, ,п) и базисного ресурса М, Одной из подсистем может быть рынок совершенной конкуренции, для которого оценка ресурса р_ постоянна

Предполагаем, что система замкнута, то есть может обмениваться с окружением только капиталом, но не ресурсом При контакте подсистемы с фирмой возникают потоки ресурса п и капитала п° При этом поток ресурса направлен в сторону фирмы, если цена больше оценки, а поток капитала направлен навстречу потоку ресурса

м

Сг

Рис 2 Структура экономической системы

Целью посредника является такая организация ресурсообмена, при которой фирма извлекает из системы максимальное количество капитала М Непосредственный обмен ресурсами между экономическими агентами невозможен, а фирма назначает цены покупки и продажи ресурса Потоки закупок и продаж зависят от цены с„ предложенной фирмой /-ой подсистеме, и от оценки р, подсистемой /-го ресурса, то есть

я = и, (р:, с ), и, = 0 при р1 = с<,

Л7#и(и,) = - р,), г = \,п ^^

Для рынка

п0=п0(р_,с0) (17)

Знак потока будем считать положительным, если он направлен в сторону фирмы Поток капитала

= * = <£» (18) Запасы ресурса и капитала в /-ой подсистеме изменяются как

Я =«,(/>„ О, N,(0) = N,o,

М,=-с,п,{Р„сХ М,(0) = М,о, (19)

ЫМ -—

-= -с,, / = 1, п

еШ,

Предполагаем, что оценки р,(Ы„М) монотонно уменьшаются с ростом И, при фиксированном значении М, и, как правило, растут с ростом М, при фиксированном АГ, Впрочем, оценка ресурса может быть и независимой от объема капитала ЭА

Далее исследуем, какой объём базисного ресурса может извлечь посредник за сколь угодно большое и за конечное время для случаев, когда в системе имеется рынок и когда он отсутствует

В §3 3 задача о максимальной прибыльности формулируется для систем с рынком и для систем без рынка в случае неограниченной продолжительности времени ресурсообмена Получены соотношения, позволяющие найти значения прибыльности Ет в таких системах при заданных начальных данных

Например, для экономической системы, состоящей из двух ЭА с оценками р,=у,М./М (у, - произвольные коэффициенты, 1=1,2) рынка и посредника прибыльность равна

м, „ + Р.

N..

(Г,+1)

Г,

—М ЛГГ'

(20)

экономического резервуара На рис 3 представлен график прибыльности в зависимости от оценки Е.„(р_) для заданного начального состояния системы Здесь точка А соответствует минимально возможному значению прибыльности

В §3 4 получено условие минимальной диссипации капитала, сформулирована и решена задача о получении максимальной прибыли в системе, когда задана продолжительность процесса ресурсообмена г Посредник в этом случае повышает цены закупки и понижает цены продажи по сравнению с равновесными оценками Это приведет к необратимым потерям и уменьшит величину извлеченного капитала Его максимально возможное значение Е, окажется меньше, чем Е.„ Их различие

АЕ = (Ех-Ег)> 0 (21)

характеризует необратимость ресурсообмена Рассмотрим обмен между фирмой и ЭА, в котором последний выступает как покупатель, и выясним, как следует менять цену продажи ресурса, чтобы за фиксированное время г продать количество ресурса AN с максимальной выручкой Объем капитала ЭА в конце процесса М(т) должен быть минимален Задача формулируется как

М = М{т) min (22)

при условиях

N = N(t) = N0-AN, (23)

= N(0) = N,„ (24)

dt

^L = -cn(p,c), М(0) = М0, (25)

dt

Полученное в работе условие оптимальности закупок (продаж) - условие минимальной диссипации капитала процесса ресурсообмена, имеет вид

d dN

дп/ дс

пЧР,С).

дп/др ( др/дм )

(26)

п (р,с)

В случае системы ЭА максимуму извлеченного капитала соответствует тому, что суммарный объем капитала ЭА-ов в конце процесса М(т) при заданных граничных условиях должен быть минимален

Цена закупки с и оценка ресурса р должны в любой момент времени удовлетворять условию (26). Объемы закупок AN, у каждой из п подсистем должны таковы, что

É^=5>.o=>ÉAN.=0 (27)

i-i 1=1 1=1

Для экономического резервуара оценка р_ не зависит от запасов ресурса и капитала, а значит для любых зависимостей п(с,р_ ) оптимальная цена с при закупке и продаже на таком рынке должна быть неизменна во времени Сформулируем задачу Критерий оптимальности имеет форму

при условиях

сМ

Л

г- = -п,{р„с,), N,(0) = ^ г = 1 ,п, ¡- = -с,п,{р„с,), М,ф) = М,0 , = М

(29)

(30)

и условии (27)

Например, когда оценки ресурсов для подсистем имеют вид р,=/г//У„ а потоки вида п,=а,(с,-р,) {К а, - произвольные коэффициенты) прибыльность системы равна

К (К-М10у

И 1п-

а,т

где объемы ресурса в конце процесса Л'" находят из условия

а,т

N -Ы,

а.т

- = Л

(31)

(32)

и условия (27) На рис 4 показана зависимость прибыльности от продолжительности процесса для системы из трех ЭА и фирмы-посредника при следующих начальных данных - N¡0=300, N¡0=200, N¡0=500, Ь^Ю, Ъ2=0 2, И3=0 5, а г-100, а2=200, а3=500, т=Ю00

4

Е(х)

■10

Е=6 861

Рис 4 Зависимость прибыльности от продолжительности процесса

Разработан алгоритм расчета прибыльности экономической системы, состоящей из экономических подсистем конечной или бесконечной емкости и фирмы-посредника, при заданной продолжительности процесса ресурсообмена Четвёртая глава посвящена задаче классификации кинетики термодинамических и экономических макросистем по типу оптимальных процессов Вид найденных условий оптимальности зависит от кинетики взаимодействия между подсистемами, причем каждому типу условий оптимальности соответствует целый класс кинетических зависимостей

В этой главе рассмотрена задача о нахождении кинетических зависимостей в необратимых термодинамических и экономических макросистемах, для которых условия минимальной диссипации одинаковы Данная постановка задачи является обратной по отношению к задаче оптимального управления

Пусть и* - оптимальное управление, а условие, наложенное на процесс оптимального управления, может быть записано в форме связи между управляющим воздействием u(t) и переменной состояния x(t) вида

ср(х, и') = const, (33)

где скалярная функция <р непрерывна и дифференцируема по совокупности аргументов, величина константы в правой части равенства (4.1) не определена, a u(t) и x(t) - скалярные функции

Предполагаем, что индивидуальность системы характеризуется функцией п(х,и), а условия оптимальности поставленной задачи имеют форму

F(n(x,u),x,u,nx,nu) = const, (34)

где через щ, п„ обозначены частные производные п по соответствующим переменным Выясним, для каких функций п условия оптимальности (4 2) имеют вид (33)

На функцию п могут быть наложены дополнительные ограничения различного типа, например, требование вида

п(х,и) - 0 при х — и (35)

Для получения общей схемы решения поставленной задачи сформулируем следующее утверждение

Утверждение 1 Решение задачи оптимального управления удовлетворяет условию (33) тогда и только тогда, когда функция п(х,и) является решением уравнения

Действительно, из условия (33) следует, что

(foxdx = -<pudu, (37)

а из (34) вытекает, что

Fxdx - -Fudu, (38)

что приводит к равенству (36). Очевидно и обратное если при выполнении условия (34) равенство (36) не имеет места, то не выполнено и условие (33)

Левая часть равенства (36) зависит от вида функции и и ее частных производных, что позволяет получить уравнение в частных производных для функции п, общее решение которого является искомым классом зависимостей

В главе рассмотрены примеры решения обратной задачи оптимального управления для конкретных макросистем - термодинамических и экономических В термодинамических системах функция q(x,u) характеризует кинетику процесса, например, законы тепло и массопереноса, скорость химической реакции и пр, где х - интенсивные переменные (температуры, давления, концентрации) пассивной подсистемы, и- интенсивные переменные рабочего тела Условия вида (34) являются в этом случае условиями минимальной диссипации Рассмотрим процесс теплообмена Для термодинамических систем условие минимальной диссипации получено в главе 2 и имеет вид (2 4)

F = —г^-— = const, q(T,u) = О при Т = и (39)

q (Т,и) ди К J

В главе найдены законы теплообмена, для которых условие (4 7) соответствует

следующим функциям tp(T,u)

• Постоянству разности величин, обратных температурам

<р{Т, «) = — — — = const (40)

и Т

• Постоянству потока теплоты <р{Т,и) = q{T,u) - const. (41)

• Постоянству производства энтропии <р(Т,и) = [ — - — \q(T, и) = const (42)

\и Т)

Показано, например, что все законы теплообмена вида д(Г,и) = .0^— -■^В(Г)^ приводят к условиям (42) (здесь D и В -

непрерывно-дифференцируемые функции, D(0)=0)

Аналогично термодинамическим процессам в экономических системах, где реализуется обмен ресурсами, оптимальным процессам соответствует минимум торговых издержек (диссипации капитала). Для экономических систем функция п(х,и) характеризует закон ресурсообмена, а условие вида (4 2) называют условием оптимальности ресурсообмена Это условие получено в главе 3 и имеет вид

г- 1 дп , . .

F = -г---- = const, п(с, р) = 0 при с = р (43)

п\с,р) дс

С учетом требования (4.11) были найдены законы ресурсообмена, отвечающие следующим условиям оптимальности

• Постоянству оптимальной надбавки <р(с,р) = с- р = const (44)

• Постоянству оптимального потока ресурсов <р(с, р) = п(с, р) = const (45)

• Постоянству торговых издержек - ср{с,р,п{с,р)) = п{с,р)(с - р) (46) Например, все функции спроса вида п(с, р) = (с- р)/л(с - р), где ц — произвольная неотрицательная функция разности цен, приводят к условию вида(45)

В заключении приведены основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложениях даны описание и тексты программ, основанных на полученных в диссертационной работе результатах и алгоритмах

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Построены математические модели термодинамических и экономических макросистем, позволяющие формулировать и решать задачи извлечения базисного ресурса в случае, когда в системах присутствует преобразователь теплоты в работу (термодинамические системы) или посредник (экономические)

2 Решены задачи о максимальной работе (работоспособности), которую можно извлечь из термодинамической системы с тепловой машиной при ограниченной продолжительности процесса и коэффициентов теплообмена при различных конфигурациях системы Получены условия оптимальности процесса необратимого теплообмена

3. Решена задача перевода тепломеханической системы в заданное неравновесное состояние с минимальной затратой работы

4 Получено условие минимальной диссипации капитала в процессах ресурсообмена

5 Сформулированы и решены задачи об оценке прибыльности экономических систем при ограничениях различного рода, таких как продолжительность процесса, структура системы, заданные начальные состояния, кинетика ресурсообмена.

6 Для рассмотренных задач составлены алгоритмы и программы расчета предельной работоспособности и прибыльности

7 Для термодинамических систем получены выражения для кинетики теплообмена, соответствующей в процессах минимальной диссипации постоянству разности величин, обратных к температурам рабочего тела и охладителя (нагревателя), потока теплоты, производства энтропии

8 Для экономических систем получены выражения для кинетики ресурсообмена, соответствующей в оптимальных процессах постоянству надбавки, потока продаж, скорости роста торговых издержек 9. В приложении к работе приведены программы и численные расчеты работоспособности и прибыльности по представленным алгоритмам

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Tsirlin А М., Kazakov V and Kolinko N A (Alimova) Irreversibility and Limiting Possibilities of Macrocontrolled Systems I Thermodynamics. // Open Systems & Information Dynamics 8, pp 315-328,2001

2 Tsirlin A M., Kazakov V and Kolmko N.A (Alimova) Irreversibility and Limiting Possibilities of Macrocontrolled Systems II Microeconomics // Open Systems & Information Dynamics 8, pp 329-347, 2001

3. Цирлин A M, Колинько H А (Алимова) Оптимальное управление в задачах о предельных возможностях необратимых термодинамических и экономических систем // Известия РАН, Теория и системы управления, №1, стр 61-77,2003

4. Цирлин А М, Колинько Н А (Алимова) Обратная задача оптимального управления для одного класса управляемых систем Автоматика и Телемеханика, №8, с 151-159,2002

5 Tsirlin А М , Kazakov V and Alimova N A A minimal dissipation type-based classification in irreversible thermodynamics and microeconomics // J. Eur Phys 35, 565-570, 2003.

6 Цирлин A M, Алимова H А Извлечение капитала в микроэкономике (термодинамический подход), Труды международной конференции «Программные системы теория и приложения», ИПС РАН, г Переславль-Залесский, май 2004 / Под редакцией С М Абрамова В двух томах - М Физматлит, Т 2, с 445-465, 2004

7 Алимова Н А Прибыльность замкнутой микроэкономической системы // Математика, информатика теория и практика Сборник трудов,

посвященный 10-летию Университета города Переславля / Под редакцией А К Айламазяна - Переславль-Залесский Издательство «Университет города Переславля», с 45-47,2003

8 Tsirlin А М , Kazakov V , Ahremenkov A A and Alimova N A Thermodynamic constraints on temperature distribution in a stationary system with heat engine or refrigerator // J Appl Phys 39 (2006) 4269-4277

9 Алимова H A , Трушков В В Классификация кинетики макросистем по типу оптимальных процессов // ММТТ-20 Сборник трудов XX Междунар науч конф Т 2, секции 2,6 Ярославль Изд-во Яросл гос тех ун-та, с 36-40,2007

Ю.Колинько Н А. (Алимова), Цирлин А М Задача извлечения максимальной прибыли в системах ресурсообмена // Тр Междунар конф «Интеллектуальные технологии в задачах управления» Переславль-Залесский, с 172-177, 1999

11.Tsirlin А М, Kazakov V., Alimova N. A and Ahremenkov А А, Thermodynamic model of capital extraction in economic systems Interdisciplinary Description of Complex Systems 3(1), 1-16,2006

12.Tsirhn A M, Kazakov V, Alimova N A A minimal Dissipation Type-Based Classification in Irreversible Thermodynamics and Microeconomics Quantitative Finance Research Center University of Technology Sydney June 2003

В работах [1], [2] автором разработаны алгоритмы решения задач и выполнены примеры расчёта В работе [3] автором получены условия оптимальности для рассматриваемых задач и выполнены примеры В работах [4], [5], [12] автором сформулирована постановка и решены поставленные задачи для нескольких конфигураций системы В работе [9] автор сформулировал постановку задачи В работе [10] автор разработал метод решения задачи и выполнил примеры В работах [8], [11] автором разработаны алгоритмы для решения и выполнены примеры

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математические модели термодинамических и экономических макросистем и задачи исследования

1.1 Математические модели тепломеханических систем.

1.1.1 Эптроиия.

1.1.2 Параметры подсистем.

1.1.3 Термодинамические потенциалы.

1.1.4 Условия равновесия.

1.1.5 Эксергия и работоспособность.

1.1.0 Типы подсистем и их взаимодействие друг с другом.

1.1.7 Термодинамические балансы.

1.2 Математические модели экономических систем (термодинамический подход).

1.2.1 Математическое описание экономических агентов.

1.2.2 Основные типы экономических агентов.

1.2.3 Функция благосостояния.

1.2.4 Диссипация капитала.

1.2.5 Экономические балансы.

1.3 Выводы и задачи исследования.

ГЛАВА 2. Извлечение максимальной работы в замкнутых тепломеханических системах

2.1 Процессы теплообмена минимальной диссипации

2.2 Постановка задачи о получении максимальной работы в термодинамике. Работоспособность

2.3 Общая постановка задачи о максимальной работе.

2.4 Задача о максимальной работе при неограниченной продолжительности процесса (т —> оо).

2.4.1 Система с резервуаром. Индивидуальные температуры контакта с резервуаром.

2.4.2 Система без резервуара.

2.5 Задача о максимальной работе при заданной продолжительности процесса (т = const).

2.5.1 Система с резервуаром. Температура контакта с резервуаром единая для всех подсистем.

2.5.2 Система с резервуаром. Индивидуальные температуры контакта с резервуаром.

2.5.3 Системы без резервуара.

2.6 Задача оптимального управления конфигурацией температурного поля.

2.6.1 Управление подсистемами, изолированными от внешней среды

2.7 Алгоритмы расчёта работоспособности термомеханических систем различной конфигурации.

2.7.1 Системы с резервуаром. Температура контакта с резервуаром одинакова для всех подсистем.

2.7.2 Системы с резервуаром. Индивидуальные температуры контакта с резервуаром.

2.7.3 Системы без резервуара.

2.8 Выводы.

ГЛАВА 3. Извлечение капитала в замкнутых экономических системах

3.1 Прибыльность

3.2 Постановка задачи о получении максимальной прибыли в экономике. Условие минимальной диссипации

3.3 Продолжительность процесса не ограничена.

3.3.1 В системе имеется рынок совершенной конкуренции.

3.3.2 В системе отсутствует рынок совершенной конкуренции.

3.4 Продолжительность ресурсообмена ограничена.

3.4.1 Условие оптимальности закупок (продаж)

3.4.2 Извлечение максимальной прибыли в системе ЭА.

3.4.3 Алгоритм расчёта прибыльности.

3.5 Выводы.

ГЛАВА 4. Классификация кинетики макросистем по типу оптимальных процессов.

4.1 Введение.

4.2 Формулировка задачи.

4.3 Классификация задач оптимизационной термодинамики по типу условий минимальной диссипации.

4.3.1 Необратимый теплообмен.

4.3.2 Условие постоянной разности величин, обратных температурам

4.3.3 Условие постоянного потока теплоты.

4.3.4 Условие постоянного производства энтропии.

4.4 Классификация задач необратимой экономики по типу условий оптимальности

4.4.1 Условие постоянства оптимальной надбавки.

4.4.2 Условия постоянства оптимального потока ресурсов.

4.4.3 Условие постоянства торговых издержек для любого момента времени

4.5 Выводы.

Введение

Большое количество систем различной природы состоит из множества элементов, поведение которых бывает невозможно проследить и описать их состояние. Такие системы называют макросистемами. В целом поведение макросистем определено, а управление ими возможно лишь на макроуровне. Состояние таких систем характеризуется переменными, которые зависят от усреднённого поведения входящих в систему элементов.

Термодинамические системы, состоящие из большого числа молекул, являются макросистемами. Также к макросистемам можно отнести: экономические системы, состоящие из множества участников экономической деятельности (продавцы, покупатели, производители и пр.), миграция населения, потоки пассажиров, обмен квартир и другие.

Так как термодинамические системы являются наиболее изученными макросистемами, то использование макросистемпого подхода в других сферах (экономике, социологии) часто называют термодинамическим подходом. Использование такого подхода предполагает, что все характеризующие систему переменные разделяются на две категории - экстенсивные и интенсивные. Экстенсивные величины (объём, масса, число микрочастиц и пр.) при объединении двух одинаковых систем удваиваются. Интенсивные переменные (давление, температура, цена и пр.) остаются неизменными при таком объединении. Переменные, характеризующие макросистему, связаны между собой уравнением состояния.

Актуальность темы

Одной из важнейших задач, характерных для макросистем, является задача о максимальном извлечении (минимальной затрате) базисного ресурса и неравновесной системе. В термодинамике таким ресурсом является работа, в экономике - капитал. Теорема о максимальной работе в термодинамике [33] утверждает, что максимуму извлеченной работы соответствуют обратимые процессы взаимодействия рабочего тела с каждой из термодинамических подсистем. Из этой теоремы следуют, в частности, такие результаты как КПД Карно для тепловой машины, обратимая работа разделения и др. В экономике базисным ресурсом является капитал и задача о максимальном его извлечении из неравновесной системы весьма актуальна.

Обратная задача о минимальных затратах базисного ресурса при тех или иных условиях является основой для проектирования энергосберегающих технологий в термодинамике и планировании инвестиций в экономике.

Цель работы

Целью работы является построение математических моделей термодинамических и экономических систем с использованием методов термодинамики при конечном времени, решение задач об извлечении базисного ресурса в таких системах, разработка алгоритмов и программ расчёта максимальной извлекаемой работы в термодинамических и прибыли в экономических системах. Для достижения цели в работе необходимо решить следующие задачи:

1. Построить модели необратимых термодинамических и экономических систем, позволяющие формулировать и решать задачи оптимального управления.

2. В рамках разработанных моделей дать постановку и решить задачи о максимальной работе (работоспособности) при ограниченной продолжительности процесса для различных конфигураций термодинамических систем. Получить условие оптимальности процесса необратимого теплообмена.

3. Разработать и программно реализовать алгоритмы расчёта работоспособности термодинамических систем с резервуаром и без него.

4. В рамках разработанных моделей дать постановку и решить задачи об оценке прибыльности экономических систем при ограничениях на продолжительность процесса, структуру системы, начальные данные, кинетику ресурсообмена.

5. Разработать и программно реализовать алгоритм расчёта прибыльности для экономической системы, состоящей из подсистем различного типа и фирмы-посредника при заданной продолжительности ресурсообмена.

6. Решить задачи классификации кинетики термодинамических и экономических систем по типу условий оптимальности.

Методы исследования

В работе используются методы оптимального управления, термодинамические модели и методы термодинамики при конечном времени, методы теории макросистем.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что сформулированы и решены задачи извлечения базисного ресурса при ограниченном времени и получены предельные возможности термодинамических и экономических управляемых систем с посредником для различной их конфигурации.

Практическая значимость работы

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы для оценки эффективности процессов, происходящих в термодинамических и экономических макросистемах. Полученные условия оптимальности позволяют организовывать процессы наиболее выгодные, с точки зрения получения и затраты базисного ресурса, и определяют тс пределы, выше которых не могут быть достигнуты показатели у действующих систем.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них 4 опубликовано в изданиях, рекомендуемых ВАК. Результаты работы докладывались ни семинарах ИЦСА ИПС РАН и международных конференциях.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырёх глав выводов и приложений, включает в себя 23 рисунка, 1 таблицу. Библиография содержит 124 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Общий объем основного текста 127 страниц.

Содержание работы

В первой главе приводится математическое описание термодинамических и экономических макросистем, основные допущения, использованные для построения моделей. Проведено сравнение их основных характеристик этих двух видов макросистем. Показаны аналогии и различия между этими видами макросистем.

Во второй главе сформулированы и решены задачи извлечения максимальной работы из замкнутых термодинамических систем с резервуаром и без него при неограниченной продолжительности процесса и в случае, когда время процесса задано.

В третьей главе рассмотрены задачи получения прибыли в замкнутых экономических системах. Получено условие минимальной диссипации капитала в процессах ресурсообмена.

Все перечисленные задачи имеют особенности, вытекающие из приведенных выше математических моделей макросистем. При этом во многих случаях целому классу характеристик систем соответствуют одинаковые условия оптимальности перечисленных задач. Таким образом макросистемы могут быть разбиты на классы эквивалентности, отличающиеся друг от друга типом условий оптимальности в задаче о максимальном извлечении базисного ресурса. Проблема такого разбиения рассмотрена в главе 4.

В приложении рассматриваются алгоритмы расчета работоспособности для термодинамических систем различной структуры, алгоритмы расчёта прибыльности для экономических систем различной структуры. Приводятся программы расчёта значений работоспособности и прибыльности для рассматриваемых систем.

4.5 Выводы

В главе предложена последовательность решения задачи классификации кинетики одного типа управляемых макросистем по виду оптимальных процессов. С использованием полученных соотношений решены задачи классификации для термодинамических процессов и процесов ресурсообмеиа в экономике.

1. Для термодинамических систем получены выражения вида законов теплообмена, соответствующих условиям минимальной диссипации в форме требования постоянства: разности величин, обратных к температурам рабочего тела и охладителя (нагревателя); потока теплоты; производства энтропии.

2. Для экономических систем получены выражения кинетики ресурсооб-мена, при которой минимуму торговых издержек соотвтетствуют требования постоянства: надбавки, потока ресурсообмепа, скорости роста торговых издержек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построены математические модели термодинамических и экономических макросистем, позволяющие формулировать и решать задачи извлечения базисного ресурса в случае, когда в системах присутствует преобразователь теплоты в работу (термодинамические системы) или посредник (экономические).

Проведено сравнение основных характеристик термодинамических и экономических систем. Показаны аналогии и различия между ними. В рамках построенной модели решены задачи о максимальной работе (работоспособности), которую можно извлечь из термодинамической системы с тепловой машиной в случае ограниченной продолжительности процесса и коэффициентов теплообмена при различных конфигурациях системы. Получены условия оптимальности процесса необратимого теплообмена.

Решена задача перевода тепломеханической системы в заданное неравновесное состояние с минимальной затратой работы. Для случая заданной продолжительности теплообмена разработаны и программно реализованы алгоритмы расчёта максимальной работы, которую можно извлечь из замкнутых термодинамических систем следующих конфигураций: система без резервуара, система с резервуаром (общая температура контакта преобразователя и резервуара), система с резервуаром (индивидуальные температуры контакта преобразователя и резервуара).

В рамках построенной модели дана постановка и решение задачи о получении прибыльности экономических систем при различного рода ограничениях, таких как: продолжительность процесса, структура системы, заданные начальные состояния и нр.

Для экономических систем различной структуры при неограниченном времени получены соотношения, позволяющие найти численное значение прибыльности при заданных начальных данных. Получено условие минимальной диссипации капитала в процессах ре-сурсообмена.

Разработан и программно реализован алгоритм расчёта прибыльности системы, содержащей экономический резервуар, для случая ограниченной продолжительности процесса ресурсообмена. Для термодинамических систем получены выражения для кинетики теплообмена, соответствующей в процессах минимальной диссипации постоянству: разности величин, обратных к температурам рабочего тела и охладителя (нагревателя); потока теплоты; производства энтропии. Для экономических систем получены выражения для кинетики ресурсообмена соответствующей в оптимальных процессах постоянству: надбавки, потока ресурсообмена, скорости роста торговых издержек.

1. Алимова H.A., Трушков В.В Классификация кинетики макросистем по типу оптимальных процессов. ММТТ-20. сб.трудов XX Междупар. науч. конф. Т.2, секции 2,6. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. тех. ун-та, 2007. С.36-40.

2. Амелъкии С.А., Андресеп В., Саламон П., Цирлин A.M., Юмагужина В.Н. Предельные возможности тепломеханических систем. Процессы с одним источником // Изв. РАН. Энергетика. 1998. №2. С.48-58.

3. Амелъкин С.А., Андресеп В., Саламон П., Цирлин A.M., Юмагужина В.Н. Предельные возможности тепломеханических систем с несколькими источниками // Изв. РАН. Энергетика. 1999. №1. С.31-40.

4. Амелъкин С.А., Мартинаш К., Цирлин A.M. Оптимальные процессы в необратимых термодинамических и микроэкономических системах // АиТ. 2002. Ш4. С.3-25.

5. Арнольд JI.В., Михайловский Г.А., Селиверстов В.М. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Высш. шк., 1979.

6. Вродяпский В.М., Фратшке В., Михалек К. Эксергетический метод и его приложения. М.: Эпергоатомиздат, 1988.

7. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем. М: СИНТЕГ, 1999.

8. Гленсдорф П., Пригоэ/сип И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флюктуаций. М.: Мир, 1973.

9. Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.

10. Гухман A.A. Об основаниях термодинамики. М.: Эиергоатомиздат, 1986.

11. Долап Э.Д. Микроэкономика. Санкт-Петербург.: Оркестр, 1994.

12. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.

13. Карно С. Размышление о движущей силе огня и о машинах. // Второе начало термодинамики. M.; JL: Гостехиздат, 1934.

14. Колинъко H.A., Цирлии A.M. Оптимальное управление в задачах о предельных возможностях необратимых термодинамических и экономических систем // Известия Академии Наук. Теория и системы управления, 2003, №1, С.61-77.

15. Колинъко H.A. (Алимова), Цирлин A.M. Задача извлечения максимальной прибыли в системах ресурсообмена. / / Тр. Между нар. koik.). "Интеллектуальные технологии в задачах управления". Переславль-Залесский, с.172-177, 1999.

16. Корн Г., Кори Т. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1973.

17. Кротов В. Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

18. Кузнецов А.Г., Руденко A.B., Цирлин A.M. Оптимальное управление в термодинамических системах с конечной емкостью источников // АиТ. 1985. №6. С.56-62.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.

20. Линецкий С.В., Цирлин A.M. Оценка термодинамического совершенства и оптимизация теплообменников // Теплоэнергетика. 1988. №10. С. 87-91

21. Майков Г.П., Цирлии A.M. Условия оптимальности при различных формах записи процесса управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №5. С.63-71.

22. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин A.M. Математические методы термодинамики при конечном времени. М.: Химия, 2000.

23. Миронова В.А., Цирлин A.M. Предельные возможности и оптимальная организация регенеративного теплообмена // Теплоэнергетика. 1987. №2. С.32-36.

24. Орлов В.А., Руденко A.B. Оптимальное управление в задачах о предельных возможностях необратимых термодинамических процессов: (Обзор) // АиТ. 1985. №5. С.7-41.

25. Орлов В.А., Розопоэр Л. И. Оценки эффективности управляемых термодинамических процессов на основе уравнений баланса энергии вещества и энтропии //X Всесоюз. совещ. по пробл. управления. М.: Наука, 1986.

26. Петров A.A. Математическая модель рыночного равновесия. М.: Наука, 1966.

27. Петров A.A. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996.

28. Пиидайк P.C., Рубинфельд Д.Л. Микроэкономика. М.: Дело, 2000.

29. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

30. Попков К).С. Теория макросистем, равновесные модели. М.:УРСС, 1999.

31. Поспелов И.Г. Динамическое описание коллективного поведения на рынке // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Ред. A.A. Самарский и др. М.: Наука, 1989.

32. Пригоэ/син И., Дефей Р. Химическая термодинамика. М.: Наука, 1966.

33. Розопоэр Л.П., Малишевский A.B. Модель хаотического обмена ресурсами и аналогии между термодинамикой и экономикой // Всесоюз. совет,, по пробл. управления: Реф. докл. М., 1971. С.207-209.

34. Розоноэр Л.И., Цирлин A.M. Оптимальное управление термодинамическими системами // АиТ. 1983. М. С.70-79; №2. С.88-101; №3. С.50-64.

35. Розоноэр Л.И., Руденко A.B., Цирлин A.M. Использование методов оптимизации для оценки предельных возможностей абсорбционно-десорбционпых циклов // Тсорет. основы хим. технологии. 1984. .№3. С.362-370.

36. Руденко A.B., Орлов В.Н. Предельные возможности необратимых термодинамических процессов: Обзор // Теплоэнергетика. 1984. №9. С.68-70.

37. Самуэлъсои П.А. Экономика. М.: Прогресс, 1964.

38. Хейвуд Р. Термодинамика равновесных процессов. М.: Мир, 1983.

39. Цирлин A.M. Оптимальные процессы в необратимой термодинамике и Экономикс. М.: Физматлит, 2002.

40. Цирлин A.M. Условия оптимальности усредненных задач с нестационарными параметрами // Докл. РАН. 2000. №2. С. 177-179.

41. Цирлин A.M. Оптимальные процессы и управление в необратимой микроэкономике // АиТ. 2001. №5.

42. Цирлин A.M. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энергоатом издат, 1985.

43. Цирлин A.M. Оптимальное управление процессами необратимого тепло- и массопереноса // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. №2. С.81-86.

44. Цирлин A.M. Условия оптимальности решения усредненных задач математического программирования // Докл. АН СССР. 1992. Т.323, JVH.

45. Цирлин A.M. Термодинамика экономических систем // Тр. ИПС РАН. 1994. Т.1. С.64-78.

46. Цирлин A.M. Оптимальное управление обменом ресурсами в экономических системах // АиТ. 1995. №3. С.116-126.

47. Цирлин A.M. Методы усредненной оптимизации и их приложения. М.: Физматлит, 1997.

48. Цирлин A.M., Миронова В.А., Амелькин С.А. Процессы минимальной диссипации // Теорет. основы хим. технологии. 1997. Т.31, №6. С.649 658.

49. Цирлин A.M. Второй закон термодинамики и предельные возможности тепловых машин // Журн. техн. физики. 1999. Т.69, №1. С.140-142.

50. Цирлин A.M. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и микроэкономических систем. Наука, М., 2003.

51. Цирлин A.M. Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах. М.: Наука, 2006.

52. Цирлин A.M., Беляева H.A. Предельные возможности процессов теплообмена // Теплоэнергетика. 1998. №9. С.53-55.

53. Цирлин A.M., Колииько H.A.(Алимова) Обратная задача оптимального управления для одного класса управляемых систем. Автоматика и Телемеханика, №8, с. 151-159, 2002.

54. Шамбодалъ П. Развитие и приложение понятия энтропии. М.: Наука, 1967.

55. Amelkin S.A., Tsiriin A.M. Optimal choice of prices and flows in a complex open industrial system // Open Syst. and Inform. Dyn. 2001. Vol.8. P.169-181.

56. Andresen В., Salarnon P., Berry R.S. Thermodynamics in finite time: Extremals for imperfect heat engines //J. Chem. Phys. 1977. Vol.66, N4. P.1571-1577.

57. Andresen B. Finite-time thermodynamics. Copenhagen, 1983.

58. Andresen В., Salamon P., Berry R.S. Thermodynamics in finite time // Phys. Today. 1984. N62.

59. Andresen В., Gordon J.M. Optimal heating and cooling strategies for heat exchanges design // J.Appl. Phys. 1992. N1. P.71-78.

60. Ayres R.U., Nair I. Thermodynamics and economics // Phys. Today. 1984. Vol.3. P.313-325.

61. Ayres R.U., Martinas К. A. A Computable Economic Progress Function. Working paper (WP-90-18), HAS A Laxenburg: Austria, April 1990.

62. Ayres R.U., Mariinas K. A. Non-equilibrium evolutionary economic theory // Economics and thermodynamics: New perspectives on economic analysis. Boston: Kluwer, 1994. P.73-98.

63. Ayres R.U., Martinas К. Waste potential entropy: The ultimate ecotoxic? // Econ. Appl. 1995. T.48, N2. P.95-120.

64. Bejan A. Heat transfer. N.Y.: Wiley, 1993.

65. Bejan A. Theory of heat transfer — irreversible power plants. II. The optimal allocation of heat exchange equipment // Intetn. J. Heat and Mass Transfer. 1995. Vol.38, N3.

66. Bejan A. Entropy generation minimization: The new thermodynamics of finite size devices and finite time process // J. Appl. Phys. 1996. Vol.79. P.1191-1218.

67. Berry R.S., Heal G., Salamon P. On a relation between economic and thermodynamic optima // Resources and Energy. 1978. N1. P.125-137.

68. Berry R.S., Andresen B. Thermodynamic constraints in economic analisis // Self-organization and dissipative structures: Applications in the physical and social sciences / Ed. by W.C. Schieve and P.M. Allen. Austin (Tex.): Univ. of Texas press, 1982.

69. Berry R.S., Kasakov V.A., Sieniutycz S., Szwast Z., Tsirlin A.M. Thermodynamic optimization of finite-time processes. Chichester: Wiley, 1999.

70. Brody A. The use of thermodynamic models in economics // Economics and thermodynamics: New perspectives on economic analysis. Boston: Kluwer, 1994.

71. Bryant J. A. Thermodynamic approach to economics // Energy Economics. 1982. Vol.4. P.36-50.

72. Curzon F.L., Ahlburn B. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output // Amer. J. Phys. 1975. Vol.43. P.22-24.

73. De. Vos A. Endoreversible economics // Energy Convcrs. Manag. 1997. Vol.38, N.4. P.311-317.

74. Georgescu-Roegen N. The entropy law and the economic process. Cambridge: Harvard Univ. press, 1971.

75. Landsberg P.T., Left H.S. Thermodynamic cycles with nearly universal maximum-work efficiencies //J. Phys. A. Vol.22.

76. Leff H.S. Thermal efficiency at maximum work output: New results for old heat engines // Amer. J. Phys. 1987. Vol.55. P.602-610.

77. Lichnerowicz M. Un modele dechange économique: Economie et thermodynamique // Ann. Inst. Henri Poincare. 1970. N2.

78. Lichnerowicz M., Lichnerowicz A. Economie et thermodynamique: Un modele dechange économique // Econ. et Soc. 1971. Vol.5.

79. Lukacs J. Once more about economic entropy // Acta oecoriomica. 1989. Vol.41, N1/2. P.181-192.

80. Martinas K. Irreversible Microeconomics // Intern. Onsager-workshop. Leiden, 2000. P. 147-152.

81. Martinas K. About irreversibility in microeconomics. Budapest, 1989. (Res. Rep. Dep. of Low Temp. Phys. Roland Eotvos Univ.; AHFT-89-1.

82. Martinas K. Irreversible microeconomics // Complex systems in natural and economic sciences. Matrafured, 1995.

83. Mironova V., Tsiriin A., Kazakov V., Berry R.S. Finite-time thermodynamics: Exergy and optimization of tirrie-constrained processes 11 J. Appl. Phys. 1994. Vol 76. P.629.

84. Mirowski P. More heat than light: Economics as social physics, Physics as nature's economics: Historical perspectives on modern economics. Cambridge: Cambridge Univ. press, 1989.

85. Mozurkewicz M., Berry R.S. Optimization of a heat engine based on a dissipative system // J.Appl. Phys. 1983. Vol.54, N7. P.3651-3661.

86. Novikov I.I. The efficiency of atomic power stations // Atom. Energy. 1957. Vol.3, N11, P.409.

87. Novikov I.I. // J. Nucl. Energy. 1958. N7. P.125.

88. Ondrechen M.J., Berry R.S., Andresen B. Thermodynamics in finite time: A chemically driven engine // J. Chem. Phys. 1980. Vol.72, N9. P.5118-5124.

89. Ondrechen M.J., Andresen B., Mozurkewich M., Berry R.S. Maximum work from a finite reservoir by sequential Carnot cycles // Amer. J. Phys. 1981. Vol.49. P.681.

90. Orlov V.N. Analytical solutions in optimal control of cyclic heat transfer processes // Systems Sci. 1989. Vol.15, N1.

91. Orlov V.N., Berry R.S. Power output from an irreversible heat engine with a nonuniform working fluid // Phys. Rev. A. 1990. N12. P.7230.

92. Pathria R.K., Nulton J.D., Salamon P. Carnot-like processes in finite time. II. Applications to model cycles.

93. Proops J.L.R. Organization and dissipation in economic systems // Social and Biol. Struct. 1983. Vol.6. P.353-366.

94. Rubin M.H. Optimal configuration of a class of irreversible heat engines. I, II // Phys. Rev. A. 1970. Vol.19, N3. P.1272.

95. Salamon P., Hoffman K.H., Schubert S., Berry R.S., Andresen B. What conditions make minimum entropy production equivalent to maximum power production? //J. Non-Equilibrium. Thermodyn. 2001. Vol.26.

96. Salamon P., Nulton J.D., Siragusa G., Andresen T.R., Limon A. Principles of control thermodynamics // Energy. 2001. Vol.26.

97. Salamon P., Nitzan A., Andresen B., Berry R.S. Minimum entropy production and the optimization of heat engines // Phys. Rev. A. 1980. Vol.21. P.2115-2129.

98. Salamon P., Nitzan A. Finite time optimizations of a Newton's law Carnot cycle 11 J. Chem. Phys. 1981. Vol.74, N6. P.3546-3560.

99. Salamon P., Band Y.B., Kafri 0. Maximum power from a cycling working fluid // J. Appl. Phys. 1982. Vol.53, N1.

100. Salam,on P. Physics versus engineering of finite-time thermodynamic models and optimizations // Thermodynamic optimization of complex energy systems. Dordrecht: Kluwer, 1999. P.421-424.

101. Sam,uelson P. A. Maximum principle in analytical economics // Amer. Econ. Rev. 1972. Vol.2. P.249 262.

102. Samuelson P.A. Extension of the Le Chatelier principle // Econometrica. 1960. Vol.28, N2.

103. Sieniutycz S., Salamon P. Finite-time thermodynamics and thermoeconomics.: Taylor and Francis, 1990.

104. Sieniutycz S., Berry R.S. Thermal mass and thermasl intceria in fluids — a comparison of hypoheses // Open System and Inform. Dynarn. 1977. Vol.4, N1.

105. Spirke W., Ries H. Optimal finite-fime endoreversible processes // Phys. Rev. E. 1995. Vol.52, N4. P.3455-3459.

106. Tatarinow A.W., Tsirlin A.M. Dynamics of heat transfer . // Thermal Eng. 1993. Vol.2. P.38-41.

107. Tolman R.C., Fine P.C. On the irreversible production of entropy // Rev. Modern Phys. 1948. Vol.20, N1. P.51-77.

108. Tsirlin A.M., Kazakov V. Maximal work problem in finite-time thermodynamics // Phys. Rev. E. 2000. N1.

109. Tsirlin A.M., Am,elkin S.A. Dissipation and conditions of equilibrium for an open microeconoinic system // Open System and Inform. Dynam. 2001. N8. P.157-1G8.

110. Tsirlin A.M., Kazakov V., Kolinko N.A. Irreversibility and limiting possibilities of macrocontrolled systems: I. Thermodynamics // Ibid. 2001. P.315-328.

111. Tsirlin A.M., Kazakov V.A., Berry R.S. Finite-time thermodynamics: Limiting performance of rectification and minimal entropy production in mass transfer //J. Phys.Chem. 1994. Vol.98. P.3330-3336.

112. Tsirlin A. M., Kazakov V, Alimova N. A. and Ahremenkov A.A. Thermodynamic model of capital extraction in economic systems. Interdisciplinary Description of Complex Systems 3(1), 1-16, 2006.

113. Tsirlin A. M., Kazakov V, Ahremenkov A.A and Alimova N. A. Thermodynamic constraints on temperature distribution in a stationary system with heat engine or refrigerator. // J. Appl. Phys . 39 (2006) 42694277

114. Tsirlin A.M., Mironova VA., Amelkin S.A., Kazakov V.A. Finite-time thermodynamics: Conditions of minimal dissipation for thermodynamic process with given rate // Phys. Rev. E. 1998. Vol.58, N1.

115. Tsiriin A.M., Sofiev M.A., Kazakov V Finite-time thermodynamics. Active potentiostatting // J. Phys. D: 1998. Vol.31. P.2264-2268.

116. Ville J. The existence conditions of a total utility function // Rev. Econ. Stud. 1951. Vol.19. P.123 128.

117. Von Neumann J.A. Model of general economic equilibrium // Ibid. 1945. Vol.3. P. 1-9.