автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели генерации электромагнитных полей при внутренней электронной эмиссии

РГ6 од 2 6 ЛОР Ш

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. КЕЛДЫША

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи УДК 519.6:533.9

Ольховская Ольга ГУргеновна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕНЕРАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ВНУТРЕННЕЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ

(Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА, 1993 г.

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Гасилов В.А.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Гуськов С.Ю.

кандидат физико-математических наук Васильков Г.Л.

Ведущая организация: Троицкий Институт инновационных

и термоядерных исследований (ТРИНИГИ)

Защита диссертации состоится "_"_199_г-

на заседании специализированного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ШМ им. М.В. Келдыша РАН-

Автореферат разослан "У*^ " • 199:? г-

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Свирщевский С. Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ. физика пучков заряженных частиц традиционно развивается по таким направлениям, как электронная оптика, физическая электроника, ускорители заряженных частиц. В течение последних двадцати лет в нашей стране и за рубежом проводились многочисленные исследования, посвященные основам физики наносекундных релятивистских электронных пучков (РЭП) в вакууме, газах и плазме, а также вопросам техники генерации и транспортировки пучков и ряду приложений - генерации СВЧ-волн, импульсным лазерам, источникам рентгеновского излучения, коллективному ускорению ионов. Интенсивные релятивистские пучки заряженных частиц нашли применение в физике плазмы - в связи с проблемой "зажигания" термоядерной реакции. Высокие давления и температуры, реализуемые при взаимодействии РЭП с поверхностями твердых тел, позволяют исследовать поведение вещества в экстремальных условиях, а также изучать структурные и химические превращения.

Основное внимание в названных исследованиях уделяется анализу поведения электронных пучков в собственных и внешних электромагнитных полях, а также особенностям взаимодействия высоко-энергетичных потоков электронов с разреженными, конденсированными и плазменными средами. В то же время для многих практически важных приложений большое значение имеют эффекты, обусловленные характером источника электронов и геометрией устройств, в которых происходит распространение пучка. Одним из таких приложений является защита от воздействия ионизирующих излучений на различные технические об'екгы - спутники, управляемые снаряды, контрольно-измерительную аппаратуру, работающую в жестких радиационных условиях. В этих случаях потоки электронов релятивистского диапазона энергий могут возникать вследствие взаимодействия корпуса изделия и элементов его конструкции с падающим на них ионизирущим излучением в результате фото- или комптонов-ского эффектов.

Потоки эмиттирунвдих с поверхности электронов могут быть направлены как наружу, так и внутрь корпуса и имеют ряд специфических характеристик (энергетический и угловой спектры, временную форму и длительность импульса). Распространение импульса РЭП внутри технологического оборудования сопровождается генера-

цией высокочастотного электромагнитного поля (ЗМП), что может влиять на работу электронных и кабельных систем. Поэтому представляет большой интерес исследование полей при внутренней эмиссии, вызванной ионизирующим излучением. Кроме того, эффект генерации внутреннего ЭМП ионизирующим излучением может быть положен в основу конструкции новых типов контрольно-измерительной аппаратуры. Очевидно, что при изучении данной проблемы геометрия об'екта и свойства источника становятся факторами, выходящими на первый план и определяющими новые постановки задач.

Общепринятой системой уравнений, описывающей динамику бес-столкновительных потоков электронов, является система Власова -Максвелла. Исходная система уравнений существенно нелинейна, поскольку функция распределения электронов изменяется под действием электромагнитного поля, которое, в свою очередь, определяется из уравнений Максвелла, содержащих моменты функции распределения. Кроме того, для большинства практически важных случаев характерна нестационарность электромагнитных процессов, сопровождающих эмиссию электронов. Ввиду сказанного актуальной является разработка математических моделей для численного анализа возникающих на данном направлении задач.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью данной работы является:

- разработка математических моделей генерации электромагнитных полей при внутренней эмиссии релятивистских электронов под действием ионизирующих излучений, в том числе в элементах технологического оборудования, имеющих сложную геометрическую форму;

- разработка эффективных алгоритмов решения системы уравнений Власова - Максвелла на основе проекдионно - сеточного подхода;

- создание и внедрение в практику комплекса прикладных программ для моделирования динамики релятивистских электронных потоков, движущихся как во внешних электромагнитных полях, так и в собственном поле в режиме самосогласования;

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Разработаны новые дискретные математические модели внутренней электронной эмиссии, позволяющие решать практически важные задачи анализа электромагнитных полей в технологических об'ектах сложной геометрической формы в приближении аксиальной симметрии.

Построены эффективные алгоритмы, реализующие неявные про-екционно-сеточные схемы для системы уравнений Власова-Максвелла на неструктурированных треугольных пространственных сетках, адаптированных к геометрии расчетной области.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданный на основе разработок диссертации комплекс прикладных программ позволяет проводить теоретические и инженерные исследования ЭМП в об'ектах сложной геометрии при прохождении через них сильноточных пучков заряженных частиц. Методики, алгоритмы и программные комплексы, предложенные в работе, могут быть использованы в прикладных исследованиях свойств заряженной плазмы; ускорителях ионов, термоядерном синтезе, генерации и транспортировке РЭП и других процессов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Международной конференции 1млс£: "Математическое моделирование и прикладная математика" (Москва, 1990 г.), конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород,1993г.), научном семинаре ТРИНИТИ (проф.Трощиев В.Е.,проф. Смирнов В.П.), совместном научном семинаре отделов N 18 и N 21 ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, совместном научном семинаре ИПМат и ИММ РАН (проф. Леванов Е.И.), научном семинаре фИАН (проф. Розанов В.Б.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах (см. список публикаций), а также в ряде научно-технических отчетов ИПМ РАН.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Текст изложен на && машинописных страницах, диссертация содержит 2 т2 рисунков. Список литературы включает 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Введение обосновывает актуальность темы диссертации и указывает ее место среди работ данного направления. Этот раздел содержит также описание физической и математической постановок задачи, анализ ее особенностей и обоснование выбора методов моделирования.

Задача моделирования эмиссии электронов внутрь технологически об'ектов обладает характерными особенностями по сравнению с традиционным для физики плазмы расчетом релятивистских электронных пучков. Прежде всего эти особенности связаны с необходимостью учете реальной геометрии об'ектов. Кроме того, при анализе воздействий ионизирующего излучения следует также принимать во внимание специфические спектральные и временные характеристики источника электронов. Важной практической составной частью исследования эффектоЕ внутренней электронной эмиссии является анализ возникающих электромагнитных полей (ЭМГО.

Наличие перечисленных выше факторов значительно усложняет реализацию обычно используемого для моделирования РЭП метода крупные частиц и его модификаций. В то же время для расчетов в областя> сложной геометрической формы широко применяются и хорошо разработаны конечно-разностные и особенно конечно-элементные методы. В диссертации предложен основанный на проекционно-сеточном методе (методе конечных элементов) подход к численному решению нестационарно! самосогласованной задачи о движении потока релятивистских электронов внутри проводящего кожуха с учетом его реальной геометрии.

В общем случае задача состоит в совместном решении многомерного кинетического уравнения для функции распределения электронов \ системы уравнений Максвелла для ЭМП. Подобные задачи в полном об'е-ме можно решить только численно, однако и при этом возникают серьезные проблемы, как связанные с ресурсами ЭВМ, так и методическогс характера. Это приводит к необходимости упрощения постановки задачи, в первую очередь за счет понижения размерности. Рассматривались осесимметричные тела вращения, которые могут успешно моделировать многие реальные об'екты. В предположении параллельности начально! скорости электронов оси симметрии задача становится аксиально симметричной, в цилиндрической системе координат в тако! постановке решение двумерной в физическом пространстве задачи - может быть практически реализовано средствами имеющейся в распо-

ряжении вычислительной техники,

- позволяет моделировать основные физические эффекты, возникающие при движении электронов в сомосогласованном ЭМП,

- дает возможность учесть геометрическую форму изделия.

Внешний кожух предполагался идеально проводящим. Влияние внутренней среды не исследовалось.

Движение релятивистских электронов в самосогласованном ЭМП без учета столкновений частиц и внутренной среды об'екта описывается в приближении аксиальной симметрии кинетическим уравнением для функции распределения электронов ?,гГ) в 4-х мерном конфигурационно-импульсном пространстве:

- - •V ^ V'' - е' <Ех-- ^ • (1>

где р ■ <Рг>о,ра) - импульс электрона,

V ■ р'/у , У

е, га - заряд и масса электрона, с - скорость света. Правая часть уравнения (1) <}«<}<ь,г,р) задает источник электронов на эмиттирующей поверхности и их поглощение при падении на стенки.

Система уравнений Максвелла относительно отличных от О компонент ЭМП имеет вид:

Ж № ЛЕ

ЙЕ Ж . т

ж* • - - <2)

- ? -«4«

Плотность тока в системе (2) определяется интегрирова-

нием по импульсному пространству

Дальнейший анализ постановки базируется- на сравнении частотных характеристик основных процессов. Параметрами, определяющими тип задачи служат:

тст - время движения электронов внутри кожуха, определяется начальной энергией частиц и геометрическими размерами об'екта.

т„__ - внешняя по отношению к задаче характеристика источника электронов. Наибольший интерес представляют импульсные источники <тист~ Тст)* однако в некоторых случаях целесообразно рассмотреть стационарный источник <тист>> ТС7Л

тпп= г- - характерное время плазменных процессов (торможени ^ пл

электронов и их возвращения на эмиттирующую поверхность под дейст вием самосогласованного ЭМПУ. трудно оценить априорно, т.к. задачах данного типа исследуется процесс накопления плазмы в перво начально нейтральной среде, "пл сложным нелинейным образом зависи от интенсивности источника и начальной энергии электронов. Соотношение этих параметров определяет иерархию моделей внутренне электронной эмиссии:

I- тст» тпл. Все процессы сосредочены вблизи эмиттирующей по верхности, форма кожуха не влияет на динамику электронов, можн рассматривать эквивалентную задачу об эмиссии релятивистских элект ронов в вакуум перпендикулярно бесконечной идеально проводяще: плоскости. Эта модель одномерная в физическом пространстве, учиты вает движение электронов только в направлении эмиссии, система уравнений Максвелла сводится к обыкновенному дифференциала ному уравнению для продольной компоненты электрического поля;

ОЕ , т

ЗЕ* " " 4пЪ

и. "гст<< тпл. За время движения электронов внутри кожуха инду цированное ими ЭМП не успевает заметно повлиять на их динамику. Самосогласование практически отсутствует, электрические токи в об'ек-те определяются только параметрами источника электронов. Задача заключается в решении системы уравнений Максвелла <2> в произвольно! аксиально-симметричной области.

т. тпл. Существенную роль играют и нелинейные процессь

самосогласования, и геометрическая форма об'ектов. В некоторых задачах можно исключить радиальное движение электронов, т.е. положит! в уравнении (1) ^о и учитывать зависимость г от координата

г, как от параметра (т.н. "полуторамерная" модель). Наиболее сложе! случай, когда пренебрежение радиальным движением частиц недопустим! и возникает необходимость реализации полной двумерной модели (1-2).

Рассмотренные модели взаимосвязаны и обладают очевидной преемственностью. Представляется целесообразным использовать единый подход к численному решению задачи и обеспечить соответствующую преемственность методик и программных средств. В основу этого подход* был положен метод конечных элементов (МКЭ), как наиболее естественный и удобный для работы в произвольных областях. МКЭ эффективен I в более простых расчетных областях, т.к. позволяет с помощью стандартной процедуры строить консервативные схемы повышенного порядю

эчности на квазирегулярных сетках.

Первая глава диссертации посвящена одномерной модели (1). Опи-1но построение методом конечных элементов дискретного аналога ки-зтического уравнения в прямоугольной области фазовой плоскости s,pz): °-z-zmax, Pmin-Pz-Pmax' Разностная сетка по обеим переменам - неравномерная (со сгущением вблизи источника 2-0, p-pq). Для хранения нефизических осцилляций применялась процедура нелинейно-э консервативного сглаживания. Доказывается консервативность про-кционно-сеточной схемы в смысле сохранения числа частиц и выполне-ия проекционного аналога уравнения Пуассона - Получена

1енка скорости сходимости ось+т2)"на неравномерных сетках.

Для проверки качества решения уравнения Власова был воспроиз-еден ряд характерных задач физики плазмы - ленгмюровские колеба-ия, затухание Ландау, двухпучковая неустойчивость. Результаты рас-етов удовлетворительно совпадают с теоретическими и численными ре-ультатами других авторов. Эксперименты с одномерной моделью позво-или исследовать и протестировать выбранную методику, в том числе роверить ряд аналитических оценок. Предложенная методика реализо-ана в программном комплексе СТЕНА для ПЭВМ типа юн-рс/ат-296,звб. роведена серия расчетов с целью определения зависимости параметров лектронного газа от характеристик источника. Одномерный расчет дат возможность при заданных параметрах источника оценить "пл и^я а основании их анализа сделать вывод о целесообразности перехода к олее сложным моделям.

Вторая глава рассматривает вопросы применения проекционных ме-'одов для анализа конвекции-диффузии в геометрически сложных рас-[етных областях, где построение сетки регулярной структуры зачастую [ибо затруднительно, либо нецелесообразно. Задачи такого типа воз-[икают при решении кинетического уравнения в двумерной области фи-(ического пространства.

В настоящей работе удовлетворительные по точности и физически шекватные результаты получены на неструктурированных сетках, кото->ые для достаточно сложной области можно строить автоматически. Для наполнения расчетов диссертации использовались сетки, построенные фепроцессором программного комплекса asta Icm. Гасилов В.А., Евсе-® Г.А., Карташова Е.Л. и др. Вопросы описания и дискретизации геометрических об'ектов сложной формы в программных комплексах.-Препр. ИТМат. АН СССР, n Ю2, 1990 г.з. Препроцессор asta позволяет пост-эоить адаптированную к границе расчетной области сетку, связность

вершин (узлов) которой определяется по ходу построения. Информг о структуре сетки (описание связности, граничных узлов и ребе: т.д.) накапливается препроцессором в специальных файлах и мо быть использована для решения разнообразных задач, не входящих посредственно в предметную область комплекса asta.

Базовая проекционно-сеточная схема для решения в произволе двумерной области осх,у) модельного линейного уравнения вида

ж + 3+ Зу^ ■ <3>

строится по стандартной процедуре метода Бубнова-Галеркина с пользованием системы кусочно-линейных базисных функций (í-i+n - узлы сетки). Приближенное решение уравнения (3) отыски ется среди функций вида - s a^ct.)? "<х,у), zí<t) опре

ляется из системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

где Ç ■ C"»v), » JJlfrtx.y)- y<x,y)Mxdy.

D

Для ее решения применялась двухслойная по времени схема

п+1 п

M -—" z « L Co-z +С1-с»)-z"), 0<о<1 • (4)

Построенная проекционно-сеточная схема обладает первым порядком ' чности по ь и т (при <*=§ - вторым порядком по т), однако Henocpej твенное ее применение к уравнению <з> дает решение неудовлетво] тельного качества. Базовая схема с хорошей точностью воспроизво) переносимый профиль, но за фронтом появляются значительные нефи: ческие осцилляции (амплитудой до 2О« Ю. Возникает проблема моди<| кации проекционно-сеточной схемы (4) так, чтобы не допустить nos лешя осциллирующих решений и по возможности избежать неточное té связанных с использованием диссипативных добавок.

Одним из способов построения проекционных схем для уравнеь конвекции-диффузии, дающих решения, свободные от нефизиче« осцилляций, является применение модифицированных пробных функг f>j *• В данной работе построены модифицированные функции

гладкости для произвольного треугольного элемента. Вводится доС вочная функция вида r^ » ¿v?*. в элементе \ с вершинами (1,2,: площадью s1 функция обладает следующими свойства!

fj= О на гранях элемента; Çj >0 внутри элемента; К1 достигает i кального максимума в центре тяжести элемента (при ?1=f2=í3=

Я^лхау = Коэффициент ^ определяется направлением скорости

1

■ечения Я по отношению к узлу 1, £ а = о, чем обеспечивается ди-

■ергентность построенных выражений. Предложенная модификация проб-юй функции приводит к появлению в схеме <4> дополнительного диффу-1ионного члена и позволяет построить на регулярных сетках полный шалог разностной схемы с производной "вверх по потоку". Введение юбавочных функций рассмотренного вида приводит к результатам, :ходным с получаемыми при счете по схемам первого порядка аппрокси-яации - решение монотонно, но профиль сильно деформирован (растянут i направлении движения).

В случае двумерного переноса с постоянной скоростью добавочная зиффузия имеет вид, полностью совпадающий с выражением для искус-:твенной вязкости тензорного типа, полученным из анализа дифферен-шального приближения схемы (4): ? Численные эксперимен-

ты показали, что искусственную "тензорную"' вязкость можно успешно применять при сглаживании решений как линейных, так и нелинейных ¿»равнений и систем. Однако в ряде случаев (например, нелинейный характер течения, сильные разрывы) эффективное устранение нефизичных эсцилляций требует коррекции коэффициента и в соответствии с поведением решения в окрестности сеточного шаблона. Ориентиром в этом направлении может служить подход, используемый в различных модификациях метода коррекции потоков.

В этих методах решение находится одновременно по двум схемам -высокого и низкого (первого) порядка точности, и строится их комбинация. Такая методика, существенно повышая качество решения, требует весьма большого об'ема вычислений, особенно на неструктурированных сетках, для которых шаблоны проекционных уравнений как правило переменны по пространству. В диссертаций обсуждается несколько более экономичный вариант коррекции потоков, позволяющий получать хорошие по точности результаты при расчетах на персональных ЭВМ. В нем проводится анализ суммарного потока в узел Исправленное решение имеет порядок точности не ниже первого.

Все схемы коррекции потоков по существу сводятся к добавлению к схеме первого порядка точности специальным образом ограниченного антидиффузионного потока, что, в свою очередь, равносильно введению в схему высокого порядка диффузионного члена. Наиболее подходящей для конечно-элементной реализации формой такой дополнительной диффузии является искусственная вязкость тензорного типа. В настоящей

работе предлагается процедура выбора коэффициента искусствен? вязкости, обладающего корректирующими свойствами. Построенный алгоритм основан на двух предпосылках--

1. При выполнении условия Куранта т < —- решение уравнения г.

реноса на <п+1)-м слое по времени в i-м узле не должно выходить границы значений функции f с "-го временного слоя в пределах сето ного шаблона . Поэтому при определении допустимых значений можно ограничиться анализом решения на нижнем слое.

2. Монотонная схема, близкая по свойствам схеме первого поряд точности (схеме с направленными разностями) может быть построе введением в базовую схему (Л) тензорной вязкости с коэффициент! /j=h (ь - высота треугольника).

Проекционная схема для уравнения (3) с корректирующей искусс венственной вязкостью будет иметь вид:

n+1 п п+1 п

м ■ т - <ь + лоЛ) i—(5)

где л - оператор искусственной вязкости тензорного типа ,

- корректирующий коэффициент. Алгоритм выбора коэффициента и заключается в следующем--

1. Для элемента Д вычислим поток в узел i-

F- T-L-r", где F - <F-i>leA.

2. Определим в соответствии с предположением 1 допустимые значен!

г1"**« Г*1**- min

1еЛ 1еД

3. Найдем допустимые максимальный и минимальный потоки из элеменп А В узел 1 - <Р1тах/^п>1бД:

F*"®*- Mif"1**-?") > О, F*"1". М<гт1п-Гп) < о.

4. Сравнивая поток высокого порядка точности ^ с допустимым, опре делим коэффициенты для

л „min - _ ^ .max

о, если - Fi - Fi

°Г

_ , „min

если < Fj

если Fj > Fj

3. Выберем корректирующий коэффициент с в элементе Д: о - тах-сс >.

1 еД

6. Коэффициент искусственной вязкости в элементе а скоррек

тированные потоки рсогг ш р +

Порядок аппроксимации схемы (3) не ниже первого, поскольк

О - с - 1 и О - — ь, Построенная процедура консервативна, так как корректирующий коэффициент выбирается для элемента в целом, и, следовательно, оператор тензорной вязкости записывается в дивергентном виде. Предложенный алгоритм экономичен, что особенно важно при реализации конечно-элементных схем на персональных ЭВМ. Он естественным образом об'единяется со стандартной процедурой поэлементной "сборки" системы проекционных уравнений и практически не требует дополнительной памяти для хранения вспомогательных данных.

Разработанный алгоритм применялся также для решения нелинейных уравнений и систем. В качестве примера тестовой нелинейной задачи приведены результаты расчета движения плоской изотермической ударной волны (постановка задачи и параметры расчета взяты из сСамарс-кий A.A., Попов Ю.П. - Численные методы решения задач газовой динамики. - М: Наука, 1980Т), Численное решение имеет малый уровень не-физичных осцилляций (не более 1-2Р при достаточно резко выраженном фронте ударной волны.

Построенный алгоритм использовался при реализации схемы расщепления для кинетического уравнения (1) на этапе расчета движения электронов в плоскости (r,z).

Третья глава включает описание методики, основанной на принципе расщепления по физическим процессам, для решения задачи в двумерной постановке.

Решение кинетического уравнения в двумерном физическом пространстве, также как и системы электродинамических уравнений выполнялось на неструктурированных треугольных сетках, адаптированных к границе расчетной области, которые обсуждались во второй главе. Это позволило избежать переинтерполяции сеточных функций и связанной с ней потери точности. В импульсном пространстве была введена прямоугольная квазиравномерная сетка. Схема расщепления для кинетического уравнения (1) включает-

1) перенос функции распределения в плоскости <r,z) с фиксированной скоростью v-cvr,vz),

2) перенос в импульсном пространстве (в свою очередь может 5ыть расщеплен на два локально-одномерных этапа).

Разностные операторы, соответствующие этапам 1 и 2 неотрицательны,

so не обладают свойством коммутативности. В этом случае для постро-

2

эния абсолютно устойчивой схемы расщепления точности ост ) необходимо использовать метод двуциклического многокомпонентного расщеп-пения, обеспечивающий симметризацию расчетов в пределах каждого

временного шага. В диссертации рассматривается вариант такой схемь проводится оценка ресурсов ЭВМ. необходимых для ее реапизаци! Предложена более экономичная схема расщепления точности ост), npi менявшаяся в практических расчетах на персональных ЭВМ. Схема абс< лютно устойчива и обладает свойством суммарной аппроксимации.

Численное решение системы уравнений Максвелла (2) в произвол! ной аксиально-симметричной области D<r,z> осуществляется посредст вом проекционной схемы, которая строится методом Бубнова-Галерки! с линейными базисными функциями аналогично схеме описанной во втс рой главе. Показано, что для такой схемы выполняется закон сохраш

wn+1-wn

ния энергии в форме: ---+ <P-J> - о,

где V « z vk wk, vk= + <Er)k + - дискретнь

k

аналог энергии электромагнитного поля,

<e.j> = z vk-( z k<Jz)k + rk¿ rkar>k>

k

- дискретный аналог работы сторонних токов, v.= J J í.rdrdz - приузловой об'ем,

D

(Hp)k, (Ep)k, (Ez)k, (J2)k. (JA - узловые значения сеточнь аналогов соответствующих компонент поля и электрического тока. Построена аппроксимация граничного условия Ет»о, согласованная приведенными балансными соотношениями.

С помощью алгебраических преобразований построенную систеь можно свести к системе уравнений относительно компонент сеточно! вектора <<Hp)jc> с положительно определенным самосопряженным опер« тором на верхнем слое, имеющим смысл дискретного аналога операто1 <rot rot. н>. в практических расчетах на персональных ЭВМ можно б< существенной потери качества пользоваться более простой схемой, о< нованной на непосредственной дискретизации волнового уравнения о' носительно Решение этой системы осуществлялось методом верхн* релаксации. Для проверки методики использовались аналитические те< ты и сравнение с расчетом в цилиндрической области по схег "крест".

Двумерная самосогласованная модель для расчета токов и элек' ромагнитных полей внутри полого идеально проводящего кожуха реаш зована В программном комплексе EMIS «Electro - Magnetic Impuli

Simulation),

Заключение содержит основные выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Разработаны математические модели для анализа процесса зерации электромагнитного поля вследствие электронной эмиссии утри технических устройств под действием потоков ионизирующих из-чений. Рассмотрены одномерные и двумерные по пространству поставки задач. Модели основаны на проекционно-сеточных схемах для стемы уравнений Власова-Максвелла. При построении проекционных ем в физическом пространстве использованы неструктурированные еугольные сетки, что позволяет -проводить быструю, эффективную аптацию моделей к сложной геометрии расчетной области в практи-ских задачах.

2. Проведен анализ свойств одномерной проекционно-сеточной емы, аппроксимирующей систему уравнений Власова-Максвелла для пока релятивистских электронов в самосогласованном электрическом ле. Показана консервативность схемы, получена оценка скорости юдимости о<ь+т з на неравномерных сетках.

3. Построена проекционная схема повышенной точности расчета 1нвективных потоков на неструктурированных треугольных сетках, оработан эффективный алгоритм монотонизации схемы, не нарушающий ! дивергентности и не требующий покоординатного расщепления.

4. Предложена схема расщепления точности ось+т2> для совместно решения в режиме самосогласования кинетического уравнения для тнкции распределения электронов и системы уравнений Максвелла для ЛП в приближении аксиальной симметрии. Построен вариант консерва-1вной проекционно-сеточной схемы для решения системы уравнений аксвелла в аксиально-симметричной области с границей сложной формы 1 неструктурированных треугольных сетках.

3. Вычислительные алгоритмы реализованы в прикладных програм-ных комплексах для ПЭВМ типа 1вм-рс с развитым интерфейсом пользо-ателя, удобным для проведения инженерных расчетов и наглядного редставления их результатов.

6. Проведен ряд расчетов модельных и производственных задач, оказавших работоспособность и эффективность созданных алгоритмов и рограммных средств.

- Ib -

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работал:

1. Гасилов В.А., Захаров C.B., Крюкова Т.В,, Марков М.Б. Ольховская О.Г., Турчанинов В.И, Об одной модели для численног исследования эмиссии электронов с плоской поверхности. Пре принт N ist. - и,- ИН-т прикл матем. АН СССР, 1990.'28 с,

2. Гасилов В.А., Захаров C.B., Марков М.Б., Ольховская О,Г Численное моделирование эмиссии электронов с плоской поверхно ста. - в сб.: "Математическое моделирование и прикладная мате матика"/ Тезисы докладов международной конференции imacs Москва, 1990, стр.49-50.

3. Qasllov V.A.,Zakharov S.V.,Markov M.B.,01khovskaya 0.< Numerical solution of the problem of the electron emission froi plane surface. - In: Proc. of the Int. IMACS Conf. "Matematlci Modelling and Applied Mathematics", Moscow, 1990. - Amsterdam Elsevier Scl. Publishers, 1992.

4. Ольховская О.Г. Исследование свойств проекционно-сеточ ной схемы для расчета динамики электронов в самосогласованно! электрическом поле. Препринт n за,- м.: ИПМ им. М,В.Келдыша РАН 1992. 20 с.

5. Гасилов В.А., Ольховская О.Г. Проекционные схемы расчет! конвективных потоков на неструктурированных сетках.- Преприн' N 67. - М: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1992. 27 с.

6. Березин A.B., Коротков C.B., Марков М.Б., Маслов А.К. Ольховская О.Г. Самосогласованная численная модель динамики аксиально - симметричного пучка релятивистских электронов в идеально проводящей цилиндрической полости. Препринт n 94. - м. ИПМ им. М.В.Келдыша РАН» 1992. 21 с.