Математические модели для описания волн на воде и их свойства

Сухарев, Михаил Борисович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели для описания волн на воде и их свойства

кандидата физико-математических наук: Сухарев, Михаил Борисович
город: Москва
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математические модели для описания волн на воде и их свойства»

Автореферат диссертации по теме "Математические модели для описания волн на воде и их свойства"

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

На правах рукописи

СУХАРЕВ МИХАИЛ БОРИСОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЛН НА ВОДЕ И ИХ СВОЙСТВА

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кудряшов Николай Алексеевич Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, доцент Аксёнов Александр Васильевич Доктор физико-математических наук, профессор Маймистов Андрей Иванович

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий Объединённого института ядерных исследований (ОИЯИ, Лаборатория информационных технологий)

Защита состоится « 20 апреля 2005 г. в 15 часов

на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98, 323-92-56

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан марта 2005 г.

доктор физико-математических наук, профессор

Ученый секретарь диссертационного совета

Леонов А.С.

Общая характеристика работы

Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели волн на воде, описываемые уравнениями высокого порядка. Основное внимание уделено обобщениям модели Кортевега — де Вриза, позволяющим более точно передавать физическую картину распространения волн на поверхности воды. Рассмотрены два обобщения модели Кортевега — де Вриза, а именно:

• одномерная модель пятого порядка, описывающая длинные волны на воде с учётом сил поверхностного натяжения;

• двумерная модель с переменными коэффициентами, описывающая длинные волны на поверхности жидкости (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).

Актуальность работы определяется необходимостью более точно описывать распространение длинных волн на воде и, в частности, уединённых волн (к числу которых относится и цунами). Наиболее известной математической моделью, описывающей такие нелинейные волны, является модель Кортевега — де Ври-за. Однако модель Кортевега — де Вриза не обеспечивает точности прогноза на длительных интервалах времени и не позволяет учитывать двумерный характер распространения волн на поверхности воды. Поэтому актуальным является исследование обобщений модели Кортевега — де Вриза, в которых указанные недостатки проявляются в меньшей степени.

Необходимость уточнения прогноза на больших временных интервалах приводит к задачам распространения волн на воде, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка. В свою очередь, двумерный характер волн может быть учтён только при использовании уравнений с двумя пространственными координатами. Получающиеся модели становятся сложными из-за наличия производных высокого порядка, большого числа параметров и целого ряда нелинейных слагаемых.

Основным способом решения задачи распространения волн на воде является численное моделирование. Однако реализация этого подхода для сложных моделей приводит к большим трудностям. Это связано с отсутствием универсального алгоритма дискретизации нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка и, вследствие этого, с необходимостью проверки полученных разностных схем на тестовых задачах. Проблема получения тестовых задач может быть решена либо путём проведения физического эксперимента, либо аналитически. При этом последний способ является более предпочтительным в силу своей экономичности.

В качестве тестовой задачи для разностной схемы проще и удобнее всего использовать точные решения исходной математической модели. Однако найти аналитические решения сложной математической модели трудно даже в точно решаемом случае. Процедура поиска точных решений таких моделей может быть успешно реализована только при условии автоматизации выкладок. Это может быть сделано с помощью сравнительно недавно появившихся программ аналитических вычислений ИаШетаПса или Марк. Именно такой метод исследования использовался в диссертационной работе.

При поиске решений математической модели важно знать, является ли она точно решаемой. Для выяснения этого обстоятельства обычно применяется тест на свойство Пенлеве. В случае уравнений с производными выше третьего порядка тестирование принципиально не может быть осуществлено без применения программ аналитических вычислений, поскольку требуется находить десятки или даже сотни коэффициентов рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений. Если модель проходит этот тест, то для неё можно использовать целый ряд способов построения аналитических решений.

Важнейшим из этих способов является метод обратной задачи рассеяния, основанный на использовании пар Лакса и позволяющий находить решение задачи Коши. К другим часто используемым методам нахождения точных решений относятся построение цепочек частных решений с помощью преобразований Бэк-лунда или рекуррентных формул (дискретных уравнений). Вычисление решений

на основе этих методов также требует применения программ аналитических вычислений. Таким образом, как при численном моделировании волн на воде, так и при получении точных решений математических моделей возникает необходимость использования тех или иных комплексов программ.

Целью диссертационной работы является исследование аналитических свойств и поиск точных решений дифференциальных уравнений, входящих в одномерную модель пятого порядка для описания волн на воде и в двумерную модель с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).

В диссертационной работе решались следующие задачи:

• получить точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• изучить аналитические свойства двумерной модели с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды;

• найти редукции нелинейных моделей для описания волн на воде к обыкновенным дифференциальным уравнениям и исследовать их свойства.

Все эти задачи решались с помощью комплекса программ, разработанного в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0.

Впервые получены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям меньшей размерности, в том числе и к системам линейных уравнений, решения которых известны. С помощью методов Пенлеве впервые найдены необходимые условия отсутствия подвижных критических особых точек у решений обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, т.е. показана их принадлежность к классу точно решаемых уравнений. Для этих обыкновенных дифференциальных уравнений впервые получены пары Лакса и преобразования Бэклунда, позволяющие находить точные решения. С помощью преобразований Бэклунда впервые построены точные рекуррентные соотношения для решений обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются научными публикациями в рецензируемых периодических изданиях и апробацией основных положений работы на научных конференциях. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, обосновываются строгостью исходных посылок и корректным применением математического аппарата, а также сравнительным анализом с известными результатами других авторов, близкими к тематике настоящего исследования. Достоверность результатов также подтверждена проверкой в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• на одиннадцатой международной конференции «Nonlinear evolution equations and dynamical systems», Крит, Греция, 18-28 июня 1997 года;

• на международной конференции по интегрируемым системам «Kruskal 2000», посвященной семидесятипятилетию М. Крускала, Аделаида, Австралия, 3-7 января 2000 года;

• на двадцать девятой летней школе «Актуальные проблемы механики», Санкт-Петербург, Россия, 21-30 июня 2001 года;

• на ежегодной научной сессии МИФИ в 1999, 2000, 2001, 2002 и 2004 годах.

Практическая значимость работы. Точные решения одномерной модели пятого порядка могут быть использованы в качестве теста при построении разностных схем для расчёта волн на воде. Алгоритмы поиска этих решений, реализованные в виде программ в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0, могут быть применены и при исследовании других уравнений полиномиального типа.

Пары Лакса, построенные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, могут использоваться для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Преобразования Бэклунда, найденные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, полезны при поиске точных решений. Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности дают ещё один способ получения аналитических решений.

Связь, установленная между обыкновенными дифференциальными уравнениями и нелинейными моделями для описания волн на воде, может быть использована для восстановления автомодельных решений нелинейных моделей по известным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений. Программы, применявшиеся для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве, могут быть использованы для исследования других обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального типа.

Пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, могут применяться для поиска аналитических решений. Рекуррентные соотношения для решений обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, можно использовать для нахождения точных решений. Отсутствие производных в этих соотношениях позволяет использовать их в программах аналитических вычислений любого уровня сложности. Эта особенность также полезна при численном моделировании, поскольку позволяет избежать ошибок аппроксимации при вы-

числении решений на ЭВМ.

На защиту выносятся:

• точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• пары Лакса для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния;

• преобразования Бэклунда для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, которые могут быть использованы для построения точных решений;

• результаты анализа на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании волн на воде;

• пары Лакса и преобразования Бэклунда, необходимые для поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде;

• точные рекуррентные соотношения для решений обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация содержит 147 машинописных страниц и 20 рисунков. В список литературы включено 162 наименования.

Содержание работы.

Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку цели и задач работы, основные положения, выносимые на защиту, а также содержание и методы выполнения работы.

В первой главе приводится вывод математических моделей, используемых для описания волн на воде. С привлечением математического аппарата теории возмущений дан вывод классической модели Кортевега — де Вриза. Показано, что в следующем после модели Кортевега — де Вриза нелинейном приближении возникает одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде:

(1)

Здесь и — горизонтальная скорость жидкости, измеренная на глубине в,т — безразмерный коэффициент поверхностного натяжения, а — отношение амплитуды волны к глубине невозмущённой жидкости, ¡3 — квадрат отношения глубины жидкости к длине волны. Предполагается, что и — малые параметры, имеющие один и тот же порядок малости.

В качестве основной зависимой переменной можно выбрать не скорость распространения волны а отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия. Для этого отклонения получено следующее уравнение:

(2)

Поскольку величины и связаны между собой, то распространение волн на воде в одномерном приближении может описываться как уравнением (1), так и уравнением (2).

Приведён вывод уравнения Кадомцева — Петвиашвили

(3)

обобщающего модель Кортевега — де Вриза на случай двух пространственных измерений. Показано, что решения этого уравнения связаны с решениями модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашвили 3 ч 3-1 3

г>( - ^ьххх + - -д~1ьш + -ухд~\ = 0.

4 »» 4

посредством двумерного аналога нелинейного преобразования Миуры.

Уравнения Кадомцева — Петвиашвили (3), (4) справедливы в предположении медленной зависимости параметров от координаты у. Чтобы иметь возможность описания волновых процессов с достаточно быстрой зависимостью параметров от координаты у и времени 1, в диссертационной работе получены уравнение Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

и модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

где коэффициенты а, Д 7 есть произвольные функции у и t. Эти уравнения также могут быть использованы для описания волн на воде.

Во второй главе приведено описание методов анализа дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве, которое заключается в отсутствии подвижных критических особых точек в общем решении дифференциального уравнения. Изложен метод Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на разложении решения уравнения вблизи подвижного некритического полюса в ряд Лорана. Для того, чтобы иметь возможность анализировать решения дифференциальных уравнений с подвижными некритическими существенно особыми точками, описал метод Конта — Форди — Пикеринга. Этот метод является обобщением метода Ковалевской — Пенлеве и основан на применении техники теории возмущений. Приведены обобщения методов Ковалевской — Пенлеве и Конта — Форди — Пикеринга на случай уравнений в частных производных. Рассмотрен инвариантный формализм тестирования уравнений на свойство Пенлеве, позволяющий в ряде случаев существенно упростить вычисления.

(5)

. 3 о 1 .3 3

VI + - -Ияа + -Ухд Уу - -д 1Ууу -

- ауу - ^ауь - ^0!ухух + \ctyyX - 0уг + /?„ = О,

(6)

Изложен метод усечённых разложений Вейсса — Табора — Карневейля, основанный на усечении рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений до неположительных степеней. На примере уравнения Кортевега — де Вриза показано , что для некоторых точно решаемых уравнений этот метод позволяет построить пары Лакса и преобразования Бэклунда. Метод усечённых разложений также может быть использован для поиска аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и для уравнений, не относящихся к классу точно решаемых.

В третьей главе изложены результаты исследования одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде (1), которая после замены переменных приводится к уравнению

Щ + иххххх - аииххх - 2(30 - а)ихихх - Ьчих 4- иххх = 0, аЪф 0. (7)

В начале главы приведён обзор методов, используемых для поиска аналитических решений дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено прямым методам, показано, что часть из них сводится к методу усечённых разложений. Детально рассматривается модификация метода усечённых разложений, предложенная Контом и Мюсетт в 1992 году. Фактически этот метод сводится к поиску частных решений дифференциального уравнения в виде полинома по степеням двух функций, обладающих общими полюсами первого порядка и удовлетворяющих системе двух связанных уравнений Риккати. Формально метод Конта — Мюсетт можно рассматривать, как разложение решения дифференциального уравнения по элементарным уединённым волнам (солитону и кинку).

Показано, что уравнение (7) не обладает свойством Пенлеве, т.е. не является точно решаемым. Тем не менее метод Конта — Мюсетт позволяет найти ряд решений, имеющих вид уединённых волн. Для поиска точных решений эллиптического типа использован метод Кудряшова, предложенный в 1990 году. Для нахождения точных решений уравнения (7) на основе указанных методов были разработаны программы, реализованные в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0. Основной задачей этих программ являлось получение системы нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров искомого ре-

Рис. 1: График решения (8) с а 1,6 =10, к = 2.5, Й1 = 3 .

Рис. 2: График решения (9) с Ь 90.1, к = 3 (выбран знак " + ")

шения, а затем нахождение этих параметров. Таким образом были получены два решения, выражающиеся через эллиптические функции Якоби, а также восемь решений, выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.

Перечислим полученные в диссертационной работе решения уравнения (7), имеющие физический смысл уединённых волн. Для любых а, Ь имеет место решение

и =

12 - Ь + акг кЧ + црсЬв-^^-гвЪв

12а 2 С^о + сЬб)2 где к и [¡о — произвольные постоянные,

(8)

1 = к(х- й), с =

¿(6 - 12) - а(а - 12)А:*

12а

В случае а = 10 имеется ещё одно решение 6 - 4 + 10к? к2 30 к*

60 1±хсЬв + Ь + 20*? (1 ± ксЬб)2'

где к — произвольная постоянная, ¡ь-ж2 ь(ь - 6) - 40/с4

(9)

Ч:

с= ■

ь + ж2' " 60

В случае а = —48 дополнительно найдено три решения. Первое решение:

1 116 ь у^-1 + вЬ0 ь 1+^сЬА-у/^-^ьз

4 48 + 3456 ± 144 ¡ъ + скв

144

(10)

°г

-10 -5 / -0.5 5 10

Рис. 3: График решения (10) с Ь = Рис. 4: График решения (11) с k = 100, k = 5 (выбран знак " + "). 72.01, k = 1 (для к выбран знак " + ").

где /1ц — произвольная постоянная,

,, ъ 1 /П1 иг^ч

= 72' С = 96 \ 36~) Второе решение:

1 + Ш2 420/Ь4 1

48 Ы-348к2(1 + «сЬ9)2' где к — произвольная постоянная,

(11)

Третье решение:

1158+ (16137УТ4) Ь у/1355л/144712

20-Уй

55584

ЬвесЬб + 2316 2316

Ь эесЬ2 в,

(12)

где

^ _ 20л/14 _ 223494 + (4685310825уТ4) 6 2316 ' 10727712

Эллиптическое решение уравнения (7) имеет вид периодической волны

где Лх < Лг < Лз — действительные и различные корни уравнения 4 4 4

Рис. 5: График решения (12) с Ь = -10 Рис. 6: График решения (13) с а = (выбранзнак"-"). -48,6 = -100, /= -8, Щ =0.9, Ег =

1.36, Д3 = 1.44.

Здесь / и с — произвольные постоянные, константы д и h выражаются через все остальные параметры.

В четвёртой главе исследованы аналитические свойства уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами (5) и (6). Изложены результаты анализа на свойство Пенлеве уравнения Кадомцева — Петвиашвили (3) и модифицированного уравнения (4), полученные с помощью программы аналитических вычислений Mathematica 3.0. Установлено, что решения уравнения (3) обладают подвижными полюсами второго порядка, а решения уравнения (4) — подвижными полюсами первого порядка. Показано, что решения уравнений Кадомцева — Петвиашвили (3) и (4) связаны двумя преобразованиями Миуры

(14)

Использование этих преобразований и анализ главной части разложения в обобщённый ряд Лорана решений уравнений (3) и (4) позволяют построить уравнения с переменными коэффициентами (5) и (6), которые обладают той же сингулярной структурой решений, что и уравнения с постоянными коэффициентами.

С помощью метода усечённых разложений получено простое представление иерархии псевдопотенциалов Уолквиста — Эстабрука для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и самих этих уравнений.

2 а-1 И = "х _ п® ~ "

1 2 • ~Ух ~ 2 _ 1

В случае модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашвили псевдопотенциал ф удовлетворяет системе линейных уравнений "-1

, = тфхх ~ '»'Фх, =

¡=0

дхп

(15)

вестные коэффициенты. Условие совместности (^¡^^ = для уравнений (15) приводит к системе п уравнений для определения п — 1 коэффициентов А,

да,

-2т^Р- - С+

к-1

■ - т

= (16)

дх пдхк ду дх2 дх

где к = 1,..., п — номер уравнения. Здесь использованы следующие обозначения: п!

дАп 1 „к

~дх = ~2тии

, £1=0, £к = 1 дая всех кф 1.

Коэффициенты Л, последовательно находятся из линейных уравнений (16), а уравнение с номером п даёт модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Разным п соответствуют модифицированные уравнения Кадомцева — Петвиашвили различных порядков. Так, случай п = 3 приводит к уравнению (6).

В случае уравнения Кадомцева — Петвиашвили псевдопотенциал 2 удовлетворяет системе линейных уравнений

(17)

— неизвестные

где т2 = 1, /о = тп+1, Я = Р^т,х,у,^и,иХ1иу,...),= 1,...,п

коэффициенты. Условие совместности = для уравнений (17) приводит к системе п + 1 уравнений для определения П коэффициентов ^

где к = 0,1,..., п — номер уравнения. Здесь использованы обозначения

(18)

, £о = 0, £к = 1 для всех кф 0.

Коэффициенты Р, последовательно находятся из линейных уравнений (18), а уравнение с номером п даёт уравнение Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Разным п соответствуют уравнения Кадомцева — Петвиа-швили различных порядков. Так, случай п = 3 приводит к уравнению (5).

Уравнения для псевдопотенциалов (15), (17) в силу линейности представляют собой скалярные пары Лакса для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Тем самым полученные уравнения с переменными коэффициентами оказываются точно решаемыми (интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния).

В случае уравнений Кадомцева — Петвиашвили (5), (6) с переменными коэффициентами специального вида найдены нелинейные преобразования, переводящие решения уравнений с переменными коэффициентами в решения уравнений с постоянными коэффициентами.

Одновременное использование двух преобразований Миуры (14) позволяет построить преобразования Бэклунда для уравнений Кадомцева — Петвиашви-ли с переменными коэффициентами, причём способ построения преобразований Бэклунда пригоден для уравнений любых порядков. В диссертационной работе получены преобразования Бэклунда для уравнений с номерами п = 3,4,5.

Существование двух различных псевдо потенциалов (сm = 1 иm = -1) используется для точной редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам уравнений меньшей размерности, в том числе к системам линейных уравнений.

Показано, что одна из простейших редукций уравнения Кадомцева — Пет-виашвили с переменными коэффициентами приводит к первому уравнению Пе-нлеве, а редукция модифицированного уравнения — к второму уравнению Пе-нлеве. Также показано, что редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков приводят к высшим аналогам уравнений Пенлеве.

Аналитические результаты, приведённые в четвёртой главе, получены и проверены с помощью программ, написанных на языке Mathematica 3.0.

В пятой главе исследованы аналитические свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Показано, что при определённом выборе коэффициентов одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде (2) сводится к уравнению Кортевега — де Вриза пятого порядка или к уравнению Каупа — Купершмидта. Решения этих уравнений могут быть получены с помощью преобразования Ми-уры по известным решениям соответствующих модифицированных уравнений. Наряду с модифицированными уравнениями Кортевега — де Вриза и Каупа — Купершмидта приведены соответствующие им уравнения сингулярных поверхностей, которые возникают при использовании метода усечённых разложений. Показано, что эти семейства эволюционных уравнений после перехода к автомодельным переменным приводят к четырём различным семействам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первое семейство уравнений (иерархия Р1, впервые полученная Н А. Куд-ряшовым), связанное с модифицированным уравнением Кортевега — де Вриза, имеет вид

(19)

где функция Ьп(у) определяется через рекуррентное соотношение Ленарда

Полагая в (19) п = 3, находим обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка

(21)

Второе семейство уравнений (иерархия Р2), полученное из модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза, имеет вид

= п = 1,2,

Ухххх + Юуухх +5у1 + %3 ~\х = 0.

где а — постоянная, а величина Ъп определяется из соотношения (20). Пусть п = 2, тогда из (22) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка

Ухххх ~ Щ2Ухх - Щу1 + 6у5 - ху - а = 0.

(23)

Третье семейство уравнений (иерархия К1), связанное с модифицированным уравнением Каупа — Купершмидта, имеет вид

где функция определяется из рекуррентного соотношения

Ьп+2 (у) = ¿{уЩу)Ыу), Ну) = 1, Ь(у) = ухх + 4у\

а операторы и имеют вид

(24)

(25)

Полагая в (24) п = 2, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка

Ухххх + 122ГУхх + 6у1 + Цу* -1 = 0.

(26)

Четвёртое семейство уравнений (иерархия К2), полученное из модифицированных уравнений Каупа — Купершмидта, имеет вид

(^ + у)к(у*-\/]-ху-Р = 0, п = 1,2,...,

(27)

где /3 — постоянная, а величина Кц подчиняется соотношению (25). В случае п = 1 из (27) находим обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка

Ухххх + 5УхУхх - Ьу2ухх ~ Ьуу\ + УЪ - ху - /3 = 0.

(28)

Уравнения четвёртого порядка (21), (23), (26), (28) являются важными частными случаями модели (2), поскольку они принадлежат к классу точно решаемых уравнений. Для проверки точной решаемости этих четырёх уравнений к каждому из них применён метод Ковалевской — Пенлеве и метод Конта — Фор-ди — Пикеринга. Показано, что необходимые условия наличия свойства Пенлеве выполнены для всех этих уравнений. Обнаружено, что решения уравнений (21), (23), (26), (28) можно сгруппировать по семействам, обладающим различными разложениями в ряд Лорана вблизи подвижного полюса Для каждого

го семейств решений найдены индексы Фукса, соответствующие номерам произвольных коэффициентов в ряде Лорана.

Для проведения вычислений по методу Ковалевской — Пенлеве и методу Кон-та — Форди — Пикеринга были разработаны программы, реализованные в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0. Программы позволяют находить коэффициенты рядов Лорана в окрестности подвижного полюса (метод Ковалевской — Пенлеве) или в окрестности существенно особой точки (метод Конта — Форди — Пикеринга), а также генерировать необходимые условия наличия свойства Пенлеве. С незначительными изменениями эти программы могут быть использованы для анализа любых других обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального типа на свойство Пенлеве.

Для двух семейств обыкновенных дифференциальных уравнений (19) и (22) построены пары Лакса, необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Пары Лакса имеют вид

Фх = Рф, Ф\ = ОФ,

где Р и Q — квадратные матрицы 2 X 2, А — спектральный параметр. Если выбрать базис, состоящий из трёх элементарных матриц

то матрицы Р и Q для иерархии Р1 имеют вид

Р = АР0 + Рь Ро = \е, Рх = -2уЕ + ^Р,

Я = Я{п) = А"Зо + А"-1«?! +... + А«5п-1 + Яп + К,

1 1 (29)

11п = ^(х-Ьп(у))Е, <5о =

где 6П задаётся соотношением (20).

Для матриц с индексами к = 1,2,3 получены следующие выражения

Яг = ~\у*Н + \ (ухх + У2)Е-

Яг = ~\{Уххх + 6 уух)Н + (Ухххх + 6УУхх + 7у2х + 2у3) Е-^ (ухх + Зу2) Р,

причём выбор Я = Я® в (29) приводит к паре Лакса для уравнения (21). В случае иерархии Р2 матрицы Р и 2 имеют вид

Р = - ХЯо-Яъ = Я1 = -у(Е + Р). я=я(п)=Апд0++...+хЯп-1+Яп+я+\я~1,

1 (30)

Я-1 = -а(£ + Л.

Пара Лакса для уравнения (23) находится с помощью выражения (30), если положить

я = <?(4). Матрицы Як с номерами к = 2,3,4 в случае иерархии Р2 имеют следующий вид

Яг=УгН-ух{Е-Р),

Я^{~Ухх + ^){Е + Р),

Яа = (2уухх -у1- Зу") Н + {-уХ1Х + 6у2ух) (Е-Р).

Для двух семейств обыкновенных дифференциальных уравнений (22) и (27) найдены преобразования Бэклунда, позволяющие строить бесконечный набор точных решений. Способ получения преобразований Бэклунда, реализованный в диссертационной работе, основан на на одновременном использовании двух эквивалентных представлений для каждой из иерархий Р2 и К2.

Семейство уравнений Р2, помимо выражения (22), также может быть представлено в виде

(31)

(¿х ~ 2у] ^ + у2)-ху-а = О,

где определяется следующим рекуррентным соотношением:

причём для всех п имеет место ¿"(у) = —Ьп{—у). С помощью выражений (22) и (31) для иерархии Р2 можно получить преобразования Бэклунда

Для уравнения четвёртого порядка (23) преобразования Бэклунда принимают следующий вид

Здесь у[х, а) = у есть решение уравнения (23) с параметром а, а у[х, 1 — а) и у(х, — 1—а) — решения уравнения (23) с параметром 1 - а и — 1 — соответственно. Семейство уравнений К2, кроме выражения (27), может быть записано в виде

^ - дп (-2ух - 2у2) + 2ху + 2/3 = 0,

где определяется из рекуррентного соотношения

На основе выражений (27) и (34) были получены преобразования Бэклунда для иерархии К2:

2/3-2

у(х,2-/3)=у(х,0)-

К (ух -1у2) ~ х'

2/3 + 1

В случае уравнения четвёртого порядка (28) преобразования Бэклунда имеют

вид

г/(х,2-/з) = 3/(1,(3)-

2/3-2

г/т - УУхх + Зу£ - 4у2ух + у* - х' 2/3 + 1

(35)

(36)

у(х,-1 -/3) = + + 2у2ух _ ^ + х

Здесь у(х,р) = у есть решение уравнения (28) с параметр^ма у{х,2 — /3) и — решения уравнения (28) с параметром и соответственно.

Преобразования Бэклунда (32)—(33) и (35)—(36) позволили найти некоторые частные решения уравнений (23) и (28). В диссертационной работе приведены рациональные решения уравнений (23) и (28) для целых значений параметров а и а также решения этих уравнений, выражающиеся через первый трансцендент Пенлеве (в случае полуцелых и

Преобразования Бэклунда (32)-(33) и (35)—(36) были использованы для получения дискретных уравнений Пенлеве. Дискретные уравнения Пенлеве являются рекуррентными соотношениями, связывающими решения дифференциальных уравнений Пенлеве при различных значениях параметров, входящих в эти дифференциальные уравнения. Дискретные уравнения Пенлеве не содержат производных, т.е. являются алгебраическими уравнениями. Это дало возможность непосредственно использовать их для вычисления решений на ЭВМ. Кроме того, полученные в диссертационной работе рекуррентные соотношения являются точными, что позволяет избежать ошибок аппроксимации при численном счёте.

Для решений дифференциального уравнения (23) в диссертационной работе получена следующая рекуррентная формула (дискретное уравнение)

Здесь Уп — у{х,ОСп), а„+1 =ап + 1, ап = а = П + к — 1/2, где к — произвольная постоянная, п — целое число. Это уравнение имеет место при всех п и к, для которых справедливо неравенство (п+к-2)(п+к-1)(п+к)(п+к+1)(п+к+2) ф 0.

Полученное рекуррентное соотношение может быть явно разрешено относительно 2/п+З или уп-2| что даёт возможность единственным образом находить решения уравнения (23).

Для решений дифференциального уравнения (28) в диссертационной работе найдена рекуррентная формула, представляющая собой систему двух уравнений

2 4 1 ( \ 1 N

Уп \Уп-1 - Уп~

+ 8___8_& + 2_= 0

9 (уп-\ - г„_2)(уп-1 - )(Уп - «п-0 9 (уп - гп-х)(уп - гп){уп+1 - г„) '

+ \<»н + *)«-+ + ¡{уп_,п_1)ыI~

_1 2/?„ - 5 / 1 + _Ц + 9 {уп - А1-1)2 \3M-i" А.-1 Уп - г„у

, 1 2Д. + 7 / 1 | 1 9 (з/п+1 - ¿п)2 \Уп " хп у„+1 - гп+1

Здесь Эти уравнения имеют

место при всех р, кроме /3 = -7/2,-2,-1/2,1,5/2,4. Полученные уравнения могут быть явно разрешены относительно или что позволяет

единственным образом находить решения дифференциального уравнения (28).

Аналитические результаты, приведённые в пятой главе, получены и проверены с помощью программ, написанных на языке Mathematica 3.0.

В приложение вынесены результаты, относящиеся к уравнениям Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков. Выписаны сами эти уравнения, соответствующие им псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука (скалярные пары Лакса) и преобразования Бэклунда. Также представлены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков к системам двумерных уравнений.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• с помощью программ, реализованных в среде аналитических вычислений МасИешаПса 3.0, найдены точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• построена иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами;

• для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков найдены пары Лакса, позволяющие находить решение задачи Коши;

• для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков найдены преобразования Бэклунда, необходимые для получения цепочек частных решений;

• для переменных коэффициентов специального вида найдено нелинейное преобразование переменных, связывающее решения уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и решения уравнений Кадомцева — Петвиашвили с постоянными коэффициентами;

• построены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности. В частности, для переменных коэффициентов специального вида найдены редукции к линейным уравнениям, решения которых известны, а также к высшим аналогам уравнений Пенлеве;

• показано, что решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, не имеют критических подвижных особых точек, т.е. эти уравнения относятся к классу точно решаемых;

• для проверки обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве разработан комплекс программ, реализованный в среде аналитических вычислений Mathematica 3.0;

• найдены пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, используемых для описания волн на воде, что позволяет находить их точные решения;

• найдены рекуррентные соотношения для решений обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Kudryashov NA., Suharev M.B. Backlund transformations for some nonlinear equations // Препринт МИФИ 011-95. 1995.

2. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hierarchies and constraints to some equations // Препринт МИФИ 017-96. 1996.

3. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painleve hierarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.

4. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Аналитические решения двумерного уравнения Курамото — Сивашинского // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 178-179.

5. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Применение теста Пенлеве для одного уравнения четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 180-181.

6. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения одного неинтегрируемого нелинейного уравнения пятого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2000. Т. 7. С. 94-95.

7. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Свойство Пенлеве для одного из уравнений четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2001. Т. 7. С. 62-63.

8. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884-894.

9. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод полюсных особенностей для поиска точных решений нелинейных уравнений в частных производных // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2002. Т. 7. С. 105-106.

10. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal. 2002. V. 44. P. 149-160.

11. Kudryashov N.A., Soukharev M.B., Siroklin S.A. Exact solutions of the fifth-order nonlinear water-wave equation // Актуальные проблемы механики, труды XXIX летней школы / ред. Д.А. Индейцев. Санкт-Петербург. 2002. С. 406-416.

12. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод эллиптических пробных функций // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2004. Т. 7. С. 120-121.

¿УГ/2 - 05. /3

Подписано в печать 14.03.2005 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 70 экз. Заказ № 1403051

Оттиражировано на ризографе в «ИП Гурбанов Сергей Талыбович» Св. о регистрации № 304770000207759 от 09 июня 2004 года

ИНН 770170462581 . 0-

•

1 Ш-"<

ш •. I

2 2 МАР 2005'

чл\у

1142

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Сухарев, Михаил Борисович

Введение

1 Математические модели, используемые для описания волн на воде

1.1 Модель Кортевега — де Вриза для описания волн на воде.

1.2 Одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде

1.3 Двумерная модель для описания волн на поверхности воды

1.4 Уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

1.5 Результаты первой главы.

2 Методы Пенлеве для исследования нелинейных уравнений

2.1 Тест Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с положительными индексами.

2.2 Метод Конта — Форди — Пикеринга для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с отрицательными индексами

2.3 Метод усечённых разложений для анализа нелинейных уравнений

2.4 Инвариантный Пенлеве-анализ.

2.5 Результаты второй главы.

3 Точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде 56 3.1 Методы поиска частных решений для нелинейных дифференциальных уравнений.

3.2 Модифицированный метод усечённых разложений для поиска частных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

3.3 Решения одномерной модели пятого порядка в виде уединённых волн

3.4 Решения одномерной модели пятого порядка в виде кноидальных волн.

3.5 Результаты третьей главы.

4 Аналитические свойства уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

4.1 Анализ уравнений Кадомцева — Петвиашвили на свойство Пенлеве

4.1.1 Уравнение Кадомцева — Петвиашвили.

4.1.2 Модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили

4.2 Вывод иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

4.2.1 Иерархия модифицированных уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.2.2 Иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.3 Преобразования Бэклунда и пары Лакса для уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.3.1 Преобразования Бэклунда.

4.3.2 Пары Лакса

4.4 Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам двумерных уравнений

4.5 Связь уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и уравнений Пенлеве.

4.6 Результаты четвёртой главы.

5 Аналитические свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде

5.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения, возникающие при описании волн на воде.

5.1.1 Связь одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде с точно решаемыми моделями.

5.1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза.

5.1.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Kayna — Купер-шмидта.

5.2 Анализ на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде

5.2.1 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.^.

5.2.2 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Kayna — Ку-першмидта.

5.3 Пары Лакса для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с модифицированным уравнением Кортевега — де Вриза

5.4 Преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании волн на воде.

5.4.1 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза.

5.4.2 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Kayna — Купершмидта.

5.5 Частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, возникающих при описании волн на воде

5.6 Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде

5.6.1 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.

5.6.2 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Kayna — Купершмидта.

5.7 Результаты пятой главы

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Сухарев, Михаил Борисович

Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели высокого порядка, используемые для описания нелинейных волн на воде. Основное внимание уделено обобщениям модели Кортевега — де Вриза, позволяющим более точно передавать физическую картину распространения волн на поверхности воды. Рассмотрены два обобщения модели Кортевега — де Вриза, а именно:

Актуальность работы определяется непрерывно возрастающей ролью нелинейных математических моделей, которые используются для описания различных по своей природе физических явлений. На протяжении последних десятилетий нелинейные модели постепенно вытесняют линейные, преобладавшие в естествознании ещё полвека назад. Основным недостатком линейных моделей является то, что они могут давать, как правило, лишь общее представление о физических процессах. Между тем стремительно растёт число задач, для которых такого представления явно недостаточно. Более того, постоянно расширяется перечень физических явлений, которые вообще не могут быть поняты в рамках линейных теорий.

Опыт показал, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Проблемы взаимодействия волн большой амплитуды, возникающие в физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков и в некоторых других разделах физики, имеют с формальной точки зрения много общего как между собой, так и с классической задачей о нелинейных волнах на поверхности тяжёлой жидкости. Наиболее известной математической моделью, описывающей такие нелинейные волны, является модель Кортевега — де Вриза, полученная в 1895 году. Эта модель хорошо согласуется с многочисленными экспериментальными данными, поэтому она широко используется в настоящее время.

Стремление как можно более точно передать физическую природу исследуемого объекта неизбежно приводит к усложнению математической модели и входящих в неё уравнений. Если ещё несколько десятилетий назад при моделировании волновых процессов в основном использовались эволюционные уравнения третьего порядка с одной пространственной переменной, то сейчас внимание исследователей привлекают уравнения пятого и более высоких порядков, уравнения и системы уравнений с несколькими пространственными переменными.

В этом отношении модель Кортевега — де Вриза не является исключением. Одно из обобщений этой модели применительно к описанию волн на воде было получено П. Олвером в 1984 году. Сохранив одномерную структуру модели, он предложил учитывать слагаемые более высокого порядка малости. Это привело к усложнению уравнений, описывающих отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия и скорость распространения волнового возмущения. При таком подходе появилась возможность учитывать глубину, на которой измерена горизонтальная скорость жидкости, что в рамках модели влечёт за собой появление различных уединённых волн на разных глубинах. Однако сложность модели Олвера привела к тому, что до недавнего времени она оставалась неизученной. Тем не менее в контексте задачи о распространении волн на воде подход, позволяющий учитывать слагаемые более высокого порядка малости по сравнению с традиционными моделями, представляет несомненный интерес.

Другое, намного более известное обобщение модели Кортевега — де Вриза было получено Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили в 1970 году при изучении вопроса об устойчивости уединённых волн по отношению к слабым поперечным возмущениям. Эта модель в силу наличия двух пространственных переменных более адекватно описывает распространение волн на поверхности воды. В то же время при её выводе используются слагаемые того же порядка малости, что и в случае модели Кортевега — де Вриза, так что усложнение модели происходит лишь за счёт введения дополнительной переменной. По этой причине модель Кадомцева — Петвиашвили часто называют двумерной моделью Кортевега — де Вриза, а область её применения почти так же широка, как и у классической модели Кортевега — де Вриза.

Несмотря на большое число работ, посвящённых модели Кадомцева — Петвиашвили, её обобщению — модели Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами до настоящего времени не уделено достаточного внимания. Однако при моделировании реальной физической картины волн на воде не всегда можно считать постоянными такие характеристики, как глубину жидкости и давление воздуха у поверхности раздела сред. Если же предполагать эти величины изменяющимися по некоторому закону, то учёт соответствующих зависимостей приведёт к уравнениям с переменными коэффициентами. В связи с этим исследование модели Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами представляет собой достаточно важную задачу, имеющую непосредственное физическое приложение.

Общеизвестно, что математические модели необходимы для достоверного предсказания поведения исследуемого объекта и для удешевления физического эксперимента, а иногда — и полной замены физического эксперимента численным. В настоящее время моделирование сколько-нибудь сложных явлений и проведение численных экспериментов немыслимо без использования ЭВМ. Поэтому неудивительно, что прогресс нелинейной науки во многом зависит от развития вычислительной техники и численных алгоритмов. Однако дифференциальные уравнения, входящие в математическую модель, и разностные схемы, применяемые для расчётов на ЭВМ, имеют принципиально разную структуру и обладают различными свойствами. В силу этих различий и отсутствия универсального способа дискретизации дифференциальных уравнений построить корректный численный алгоритм по имеющейся математической модели очень трудно. В этом случае знание свойств исходной модели (например, наличие законов сохранения) может существенно облегчить задачу построения разностной схемы.

Будучи построенной, любая разностная схема нуждается в проверке. В том случае, когда моделируется хорошо изученное явление, результаты расчётов можно сравнить с экспериментальными данными и на этом основании вынести заключение о применимости разностной схемы. Однако при отсутствии экспериментальных данных, что нередко случается при попытке моделирования сложных процессов или совершенно новых явлений, такая проверка невозможна. Единственный выход в этой ситуации заключается в использовании аналитических решений математической модели для тестирования разностной схемы. Таким образом, даже в компьютерную эпоху исследование аналитических свойств дифференциальных уравнений и поиск их точных решений остаются задачей первостепенной важности.

В диссертационной работе решались следующие задачи:

• получить точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

Научная новизна работы. Впервые получен полный перечень точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Предложен новый способ построения иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, сохраняющий сингулярную структуру решений двумерной модели для описания волн на поверхности воды. Для уравнений этой иерархии впервые найдены псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука, пары Лакса и преобразования Бэклунда. Для двумерной модели с переменными коэффициентами специального вида найдено нелинейное преобразование переменных, приводящее к уравнениям с постоянными коэффициентами. Впервые получены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям меньшей размерности, в том числе и к системам линейных уравнений. С помощью методов Пенлеве впервые найдены необходимые условия отсутствия подвижных критических особых точек у решений обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Для этих обыкновенных дифференциальных уравнений впервые получены пары Лакса и преобразования Бэклунда. С помощью преобразований Бэклунда впервые построены точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде.

• на одиннадцатой международной конференции «Nonlinear evolution equations and dynamical systems», Крит, Греция, 18-28 июня 1997 года;

• на международной конференции по интегрируемым системам «Кгизка1 2000», посвящённой семидесятипятилетию М. Крускала, Аделаида, Австралия, 3-7 января 2000 года;

• на двадцать девятой летней школе «Актуальные проблемы механики», Санкт-Петербург, Россия, 21-30 июня 2001 года;

• на ежегодной научной сессии МИФИ в 1999, 2000, 2001, 2002 и 2004 годах.

Практическая значимость работы. Точные решения одномерной модели пятого порядка могут быть использованы в качестве теста при построении разностных схем для расчёта волн на воде. Пары Лакса, построенные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, могут использоваться для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Преобразования Бэклунда, найденные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, полезны при поиске точных решений. Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности дают ещё один способ получения аналитических решений.

Связь, установленная между обыкновенными дифференциальными уравнениями и нелинейными моделями для описания волн на воде, может быть использована для восстановления решений нелинейных моделей по известным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений. Программы, применявшиеся для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенле-ве, могут быть использованы для исследования других обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального типа. Пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, могут применяться для поиска аналитических решений. Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, позволят избежать ошибок аппроксимации при вычислении решений на ЭВМ.

На защиту выносятся:

• точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде;

• точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена выводу математических моделей, которые будут детально рассмотрены в последующих главах. С привлечением математического аппарата теории возмущений дан вывод классической модели Кортевега — де Вриза для описания волн на воде. Показано, что одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде возникает в следующем после модели Кортевега — де Вриза нелинейном приближении. Приводится вывод уравнения Кадомцева — Петвиашвили, обобщающего модель Кортевега — де Вриза на случай двух пространственных измерений. Показано, что решения этого уравнения связаны с решениями модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашвили посредством двумерного аналога нелинейного преобразования Миуры. Также приведён вывод уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами при условии, что известна сингулярная структура решений соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами.

Вторая глава посвящена описанию методов анализа дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве, которое заключается в отсутствии подвижных критических особых точек в общем решении дифференциального уравнения. Изложен метод Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на разложении решения уравнения вблизи подвижного некритического полюса в ряд Лорана. Для того, чтобы иметь возможность анализировать решения дифференциальных уравнений с подвижными некритическими существенно особыми точками, излагается метод Конта — Фор-ди — Пикеринга. Этот метод является обобщением метода Ковалевской — Пенлеве и основан на применении техники теории возмущений. Приведены обобщения методов Ковалевской — Пенлеве и Конта — Форди — Пикеринга на случай уравнений в частных производных. Рассмотрен инвариантный формализм тестирования уравнений на свойство Пенлеве, позволяющий в ряде случаев существенно упростить вычисления.

Изложен метод усечённых разложений Вейсса — Табора — Карневейля, основанный на усечении рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений до неположительных степеней. На примере уравнения Кортевега — де Вриза показано, что для некоторых точно решаемых уравнений этот метод позволяет построить пары Лакса и преобразования Бэклунда. Метод усечённых разложений также может быть использован для поиска аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и для уравнений, не относящихся к классу точно решаемых.

Третья глава посвящена исследованию одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. В начале главы приведён обзор методов, используемых для поиска аналитических решений дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено прямым методам, показано, что часть из них сводится к методу усечённых разложений. Детально рассматривается модификация метода усечённых разложений, предложенная Контом и Мюсетт в 1992 году. Фактически этот метод сводится к поиску частных решений дифференциального уравнения в виде полинома по степеням двух функций, обладающих общими полюсами первого порядка и удовлетворяющих системе двух связанных уравнений Риккати. Формально метод Конта — Мюсетт можно рассматривать, как разложение решения дифференциального уравнения по элементарным уединённым волнам (солитону и кинку).

Остальная часть третьей главы посвящена точным решениям одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Показано, что рассматриваемое уравнение не обладает свойством Пенлеве, т.е. не является точно решаемым. Тем не менее метод Конта — Мюсетт позволяет найти ряд решений, имеющих вид уединённых волн. Для поиска точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде, выражающихся через эллиптические функции, использован метод Кудряшова, предложенный в 1990 году. С помощью этого метода найдены периодические решения исследуемой модели, имеющие вид кно-идальных волн.

Четвёртая глава посвящена исследованию аналитических свойств уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Представлен анализ на свойство Пенлеве уравнения Кадомцева — Петвиашвили и связанного с ним модифицированного уравнения, необходимый для выявления сингулярной структуры их решений. На основе полученной информации строится иерархия псевдопотенциалов Уолквиста — Эстабрука, условие совместности которых приводит к иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Уравнения для псевдопотенциалов в силу линейности представляют собой скалярные пары Лакса для исследуемых уравнений. Тем самым уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами оказываются точно решаемыми (интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния), как и уравнения с постоянными коэффициентами. Для переменных коэффициентов специального вида найдено нелинейное преобразование, переводящее решения уравнений с переменными коэффициентами в решения уравнений с постоянными коэффициентами.

Существование двух различных псевдопотенциалов используется для редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам уравнений меньшей размерности. Показано, что одна из простейших редукций уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами приводит к первому уравнению Пенлеве, а редукция модифицированного уравнения — к второму уравнению Пенлеве. Также показано, что редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков приводят к высшим аналогам уравнений Пенлеве.

Пятая глава посвящена исследованию аналитических свойств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Показано, что при определённом выборе коэффициентов одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде сводится к уравнению Кортевега — де Вриза пятого порядка или к уравнению Kayna — Купершмид-та. Решения упомянутых уравнений могут быть получены с помощью преобразования Миуры по известным решениям соответствующих модифицированных уравнений. Наряду с модифицированными уравнениями Кортевега — де Вриза и Kayna — Купершмидта приведены соответствующие им уравнения сингулярных поверхностей, которые возникают при использовании метода усечённых разложений. Показано, что эти семейства эволюционных уравнений после перехода к автомодельным переменным приводят к четырём различным семействам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приведены результаты анализа на свойство Пенлеве рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с использованием метода Конта — Форди — Пикеринга. Для двух семейств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, построены пары Лакса (необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния). Для двух семейств рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений найдены преобразования Бэклунда, позволяющие строить бесконечный набор точных решений; приведены некоторые точные решения, полученные этим способом. На основе найденных преобразований Бэклунда для двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка построены их точные разностные аналоги.

В прилоо/сение вынесены результаты, относящиеся к уравнениям Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков. Выписаны сами эти уравнения, соответствующие им псевдопотенциалы Уолквиста — Эс-табрука и преобразования Бэклунда. Также представлены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков к системам двумерных уравнений.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях:

1. Kudryashov N.A., Suharev M.В. Bâcklund transformations for some nonlinear équations // Препринт МИФИ 011-95. 1995.

2. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hiérarchies and constraints to some équations // Препринт МИФИ 017-96. 1996.

3. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painlevé hiérarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.

4. Кудряшов H.A., Сухарев M.Б. Аналитические решения двумерного уравнения Курамото — Сивашинского // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 178-179.

7. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Свойство Пенлеве для одного из уравнений четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов.

2001. Т. 7. С. 62-63.

10. Kudryashov N.A., Soukharev М.В. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal.

2002. V. 44. P. 149-160.

Заключение диссертация на тему "Математические модели для описания волн на воде и их свойства"

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• найдены точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• построена иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами;

• для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков найдены псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука, пары Лакса и преобразования Бэклунда;

• построены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности. В частности, для переменных коэффициентов специального вида найдены редукции к линейным уравнениям и высшим аналогам уравнений Пе-нлеве;

• показано, что решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, не имеют критических подвижных особых точек;

• найдены пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, используемых для описания волн на воде;

• найдены рекуррентные формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде.

Библиография Сухарев, Михаил Борисович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Stokes G.G. On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine. Series 3. 1848. V. 33. P. 349-356.

2. Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860. Bd. 8. S. 43-65.

3. Russell J.S. Report on waves // Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science. York. September 1844. London. 1845. Plates XLVII-LVII. P. 311-390.

4. Boussinesq J. Théorie de l'intumescence liquide appeleé onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. 1871. V. 72. P. 755-759.

5. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) On waves // Philosophical Magazine. Series 5.1876. V. 1. P. 257-279.

6. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Philosophical Magazine. Series 5. 1895. V. 39. P. 422-443.

7. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Physical Review Letters. 1965. V. 15. P. 240-243.

8. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, New York, 1974. = Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Москва, Мир. 1977. 622 с.

9. Lamb G.L., Jr. Elements of soliton theory. John Wiley & Sons, New York, 1980. = Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Могилев, Бибфизмат. 1997. 294 с.

10. Benjamin Т.В. The solitary wave with surface tension // Quarterly of Applied Mathematics. 1982. V. 40. P. 231-234.

11. Bona J.L., Smith R. A model for the two-way propagation of water waves in a channel // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1976. V. 79. P. 167-182.

12. Olver P.L. Hamilton and non-Hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. 1984. Springer-Verlag, New York. No. 195. P. 273-290.

13. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51. С. 1557.

14. Карпман В.И. О структуре течения при двумерном обтекании тонкого тела в диспергирующей среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1967. Т. 52. С. 1657.

15. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 192. Вып. 4. С. 753-756.

16. Dorfman I. Ya., Nijhoff F. W. On a (2+l)-dimensional version of the Krichever-Novikov equation // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 107-112.

17. Konopelchenko B.G. On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Gelfand-Dikij spectral problems // Physics Letters A. 1982. V. 92. P. 323-327.

18. Kudryashov N.A., Soukharev M.В. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hiérarchies and constraints to some équations // Препринт МИФИ 017-96. 1996.

19. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Москва, Наука. 1990. 240 с.

20. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, Гостехиздат. 1941. 398 с.

21. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Москва, Гостехиздат. 1953. 287 с.

22. Kowalevski S. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1889. V. 12. P. 177-232.

23. Kowalevski S. Sur une propriété du système d'équations différentielles qui définit la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 81-93.

24. Painlevé P. Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme // Bulletin de la Société Mathématique de France. 1900. V. 28. P. 201-261.

25. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme // Acta Mathematica. 1902. V. 25. P. 1-85.

26. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. 1906. V. 143. P. 1111-1117.

27. Gambier B. Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes // Acta Mathematica. 1910. V. 33. P. 1-55.

28. Ince E.L. Ordinary Differential Equations. London, New York. Longmans, Green and Co. 1926. = Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, ОНТИ НКТП Украины. 1939. 717 с.

29. Conte R. The Painleve Approach to Nonlinear Ordinary Differential Equations // The Painleve Property. One Century Later / Ed. R.Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999.

30. Громак В.И., Лукашевич Я.А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск, Университетское. 1990. 160 с.

31. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 715-721.

32. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. II // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 1006-1015.

33. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 522-526.

34. Fordy A.P., Pickering A. Analysing negative resonances in the Painleve test // Physics Letters A. 1991. V. 160. P. 347-354.

35. Conte R., Fordy A.P., Pickering A. A perturbative Painlev<5 approach to nonlinear differential equations // Physica D. 1993. V. 69. P. 33-58.

36. Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II. Backlund transformation, Lax pairs, and the Schwarzian derivative // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 1405-1413.

37. Estevez P.G., Gordoa P.R., Martinez Alonso L., Medina Reus E. Modified singular manifold expansion: application to the Boussinesq and Mikhailov — Shabat systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 1915-1925.

38. Gordoa P.R., Estévez P. G. Double singular manifold method for MKdV equation // Теоретическая и математическая физика. 1994. T. 99. Вып. 3. С. 370-376.

39. Musette M., Conte R. The two singular manifold method: I. Modified Korteveg-de Vries and the sine-Gordon equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1994. V. 27. P. 3895-3913.

40. Conte R., Musette M., Pickering A. The two-singular manifold method: II. Classical Boussinesq system // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1995. V. 28. P. 179-187.

41. Pickering A. The singular manifold method revisited // Journal of Mathematical Physics. 1996. V. 37. P. 1894-1927.

42. Conte R. Invariant Painlevé analysis of partial differential equations // Physics Letters A. 1989. V. 140. P. 383-390.

43. Conte R. Unification of PDE and ODE versions of Painlevé analysis into a single invariant version // Painlevé Transcendents / Eds. D. Levi and P. Winternitz. Plenum Press, New York. 1992. P. 125-144.

44. Conte R. Singularities of differential equations and integrability // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschlé. Editions Frontières, Gif-sur-Yvette. 1994.

45. Pickering A. A new truncation in the Painlevé analysis // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 4395-4405.

46. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteveg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. V 19. P 10951097.

47. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1968. V. 21. P. 467-490.

48. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61. С. 118-134

49. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1973. Т. 64. С. 1627-1639.

50. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249-315.

51. Захаров B.E., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43-53.

52. Flaschka Н., Newell А.С. Integrable Systems of Nonlinear Evolution Equations 11 Dynamical Systems, Theory and Application / Ed. J. Moser. Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 1975. V. 38. P. 355-440.

53. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. SIAM, Philadelphia. 1981. = Абловиц М.Д., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Москва, Мир. 1988. 480 с.

54. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия академии наук СССР. Серия математическая. 1951. Т. 15. №4. С. 309-360.

55. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазе рассеянных волн // Доклады академии наук СССР. 1955. Т. 104. С. 695-698.

56. Hirota R. Exact solution of the Korteveg — de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physal Review Letters. 1971. V. 27. P. 1192-1194.

57. Hirota R. Direct Methods of Finding Exact Solutions of Nonlinear Evolution Equations // Bäcklund Transformations / Ed. R.M. Miura. Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin. 1976. V. 515. P. 40-68.

58. Bäcklund A.V. Einiges über Curven und Flächentrasformationen // Lund Universitets Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga ämnen. 1875. V. 10.

59. Bäcklund A. V. Om Ytor med konstant negativ Krökning // Lund Universitetes Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga ämnen. 1883. V. 19.

60. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Bäcklund transformation for solutions of the Korteweg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1973. V. 31. P. 1386-1390.

61. Wadati M., Sanuki H., Konno K. Relationships among inverse method, Bäcklund transformation and an infinite number of conservation laws // Progress of Theoretical Physics. 1975. V. 53. P. 419-436.

62. Lamb G.L., Jr. Bäcklund transformations for certain nonlinear evolution equations // Journal of Mathematical Physics. 1974. V. 15. P. 2157-2165.

63. Airault H., Mckean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg — de Vries equation and a related many-body problem // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1977. V. 30. P. 94-148.

64. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg — de Vries equation // Communications in Mathematical Physics. 1978. V. 61. P. 1-30.

65. Kudryashov N.A. Method for deriving rational solutions of some nonlinear evolution equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1997. V. 30. P. 5445-5453.

66. Kudryashov N.A., Pickering A. Rational solutions for Schwarzian integrable hierarchies // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 9505-9518.

67. Bluman G. W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. Springer, Berlin. 1974.

68. Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential equations // Physics Letters A. 1986. V. 114. P. 107-112.

69. Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // Journal of Mathematical Physics. 1989. V. 30. P. 2201-2213.

70. Clarkson P.A. New similarity reductions and Painleve analysis for the symmetric regularised long wave and modified Benjamin — Bona — Mahoney equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 3821-3848.

71. Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed // Bulletin of Mathematical Biology. 1979. V. 41. P. 835-840.

72. Lambert F., Musette M. Solitary waves, padeons and solitons // Pade approximation and its applications / Ed. H. Werner and H.J. Biinger. Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Springer. 1984. V. 1071. P. 198-212.

73. Hereman W., Korpel A., Banerjee P.P. A general physical approach to solitary wave construction from linear solutions // Wave Motion. 1985. V. 7. P.283-290.

74. Hereman W., Takaoka M. Solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct method and MACSYMA // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1990. V. 23. P. 4805-4822.

75. Lan H., Wang К. Exact soliton solutions in ice-like structures // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 61-64.

76. Conte R., Musette M. A simple method to obtain first integrals of dynamical systems // Solitons and chaos (Research reports in physics — nonlinear dynamics) / Ed. I.A. Antoniou, F.J. Lambert. Berlin, Springer. 1991. P. 125-128.

77. Wang X. Y. Exact and explicit solitary wave solutions for the generalised Fisher equation // Physics Letters A. 1988. V. 131. P. 277-279.

78. Conte R., Musette M. Link between solitary waves and projective Riccati equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 5609-5623.

79. Землянухин A.M. Точное солитоноподобное решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. Вып. 2-3. С. 29-32.

80. Jeffrey А., Хи S. Travelling wave solutions to certain non-linear evolution equations // International Journal of Nonlinear Mechanics. 1989. V. 24. P. 425-429.

81. Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equation with exact solutions // Physics Letters A. 1991. V. 155. P. 269-275.

82. Porubov A. V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. L797-L800.

83. Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. С. 450-453.

84. Conte R., Musette M. Painlevd analysis and Backlund transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 169-177.

85. Nozaki K. Hirota's method and the singular manifold expansion // Journal of the Physical Society of Japan. 1987. V. 56. No. 9. P. 3052-3054.

86. Cariello F., Tabor M. Painleve expansions for nonintegrable evolution equations // Physica D. 1989. V. 39. P. 77-94.

87. Choudhury S.R. Painleve analysis and special solutions of two families of reaction-diffusion equations // Physics Letters A. 1991. V. 159. P. 311-317.

88. Кудряшов Н.А. Преобразования Бэклунда для уравнения в частных производных четвёртого порядка с нелинейностью Бюргерса-КдФ // Доклады академии наук СССР. 1988. Т. 300. С. 342-345.

89. Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. С. 465-470.

90. Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения N-ro порядка с нелинейностью Бюргерса-Кортевега-де Фриза // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 6. С. 57-65.

91. Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 9. С. 151-158.

92. Кудряшов Н.А. Метод разложений Пенлеве для неинтегрируемых нелинейных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. С. 102-116.

93. Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94. Вып. 2. С. 296-306.

94. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Уединенные волны в диссипативно-дисперсионных системах с неустойчивостью // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 2. С. 99-104.

95. Бопдаренко А.Г., Кудряшов Н.А. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа при учете фазового перехода // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 3. С. 114-119.

96. Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Physics Letters A. 1990. V. 147. P. 287-291.

97. Kudryashov N.A., Zargaryan E.D. Solitary waves in active-dissipative dispersive media // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1996. V. 29. P. 8067-8077.

98. Otwinowski M., Paul. R., Laidlaw W.G. Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature // Physics Letters A. 1988. V. 128. P. 483-487.

99. Гудков В.В. Решения типа бегущей волны для двухкомпонентных систем реакции-диффузии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. Вып. 4. С. 615-623.

100. Lu Н., Wang М. Exact soliton solutions of some nonlinear physical models // Physics Letters A. 1999. V. 255. P. 249-252.

101. Dai X., Dai J. Some solitary wave solutions for families of generalized higher order KdV equations 11 Physics Letters A. 1989. V. 142. P. 367-370.

102. Huang G., Luo S., Dai X. Exact and explicit solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 373-374.

103. Lan H., Wang K. Exact solutions for some nonlinear equations // Physics Letters A. 1989. V. 137. P. 369-372.

104. Кудряшов H.А., Сухарев M.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884-894.

105. Кричевер И.М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи математических наук. 1980. Т. 35. Вып. 6. С. 47-68.

106. Miura R.M. Korteweg — de Vries equation and generalizations, I. A remarkable explicit nonlinear transformation // Journal of Mathematical Physics. 1968. V. 9. P. 1202-1204.

107. Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear partial differential equations // Physics Letters A. 1993. V. 182. P. 356-362.

108. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. I // Journal of Mathematical Physics. 1975. V. 16. P. 1-7.

109. Estabrook F.B., Wahlquist H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. II // Journal of Mathematical Physics. 1976. V. 17. P. 1293-1297.

110. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Inverse spectral transform for the modified Kadomtsev — Petviashvili equation // Studies in Applied Mathematics. 1992. V. 86. P. 219-268.

111. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques due calcul infinitésimal. Paris, Gauthier-Villars. 1894.

112. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons // Springer series in nonlinear dynamics. Berlin, Springer. 1991.

113. Lamb G.L., Jr. Propagation of ultrashort optical pulses // Physics Letters A. 1967. V. 25. P. 181-182.

114. Hirota R. Direct methods in soliton theory // Solitons: topics in current physics / Eds. Bullough, R.K., Caudrey, P.J. Berlin, Springer-Verlag. 1980. V. 17. P. 157-176.

115. Matsuno Y. Bilinear transformation method. New York, Academic Press. 1984.

116. Kudryashov N.A., Suharev M.B. Bâcklund transformations for some nonlinear equations // Препринт МИФИ 011-95. 1995.

117. Cheng Y., Li Y.-S. The constraints of the Kadomtsev — Petviashvili equation and its special solutions // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 22-26.

118. Cheng Y, Li Y.-S. Constraints of the 2 + 1 dimensional integrable soliton systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 419-431.

119. Chen H.H., Lee Y.C., Liu C.S. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Physica Scripta. 1979. V. 20. P. 490-492.

120. Kundu A. Landau — Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrodinger-type equations / / Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 3433-3438.

121. Musette M. Nonlinear partial differential equations // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschlé. Éditions Frontières, Gif-sur-Yvette. 1994.

122. Kudryashov N.A. The first and second Painlevé equations of higher order and some relations between them // Physics Letters A. 1997. V. 224. P. 353-360.

123. Chazy J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes // Acta Mathematica. 1911. V. 34. P. 317-385.

124. Bureau F.J. Équations différentielles du second ordre en Y et du second degré en Y dont l'intégrale générale est à points critiques fixes // Annali di Matematica pura ed applicata. 1972. V. 91. P. 163-281.

125. Cosgrove C.M., Scoufis G. Painlevé classification of a class of differential equations of the second order and second degree // Studies in Applied Mathematics. 1993. V. 88. P. 25-87.

126. Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points // Annali di Matematica pura ed applicata. 1964. V. 66. P. 1-116.

127. Кудряшов H.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва, МИФИ. 2002. 304 с.

128. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание, исправленное и дополненное. Москва — Ижевск, Институт компьютерных исследований. 2003. 360 с.

129. Kudryashov N.A., Soukharev M.В. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painlevé hierarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.

130. Kudryashov N.A. On new transcendents defined by nonlinear ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. L129-L137.

131. Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1999. V. 32. P. 999-1013.

132. Kudryashov N.A. Two hierarchies of ordinary differential equations and their properties // Physics Letters A. 1999. V. 252. P. 173-179.

133. Кудряшов H.A. Нелинейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с решениями в виде трансцендент // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. №1. С. 72-87.

134. Kudryashov N.A. Double Bácklund transformations and special integrals for the KII hierarchy // Physics Letters A. 2000. V. 273. P. 194-202.

135. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal. 2002.V. 44. P. 149-160.

136. Kudryashov N.A. One generalization of the second Painlevé hierarchy // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 93-99.

137. Kudryashov N.A. Fourth-order analogies to the Painlevé equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 4617-4632.

138. Кудряшов H.A. О четвертой иерархии Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. №1. С. 101-109.

139. Kudryashov N.A. Amalgamations of the Painlevé equations // Journal of Mathematical Physics. 2003. V. 44. P. 6160-6178.

140. Weiss J. On classes of integrable systems and the Painlevé property // Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 13-24.

141. Airault H. Rational solutions of Painlevé equations // Studies in Applied Mathematics. 1979. V. 61. P. 31-53.

142. Hone A.N.W. Non-autonomous Hénon — Heiles systems // Physica D. 1998. V. 118. P. 1-16.

143. Grammaticos В., Nijhoff F. W., Ramani A. Discrete Painlevé equations // The Painlevé property. One century later / Ed. R. Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999. P. 413-516.

144. Magnus A.P. Painlevé-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1995. V. 57. P. 215-237.

145. Gross D.J., Migdal A.A. Nonperturbative two-dimensional quantum gravity // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 127-130.

146. Gross D.J., Migdal A.A. A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity // Nuclear Physics B. 1990. V. 340. P. 333-365.

147. Nijhoff F. W., Papageorgiou V.G. Similarity reductions of integrable lattices and discrete analogues of the Painlevé II equation // Physics Letters A. 1991. V. 153. P. 337-344.

148. Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson C.J. Integrable mappings and soliton equations // Physics Letters A. 1988. V. 126. P. 419-421.

149. Brézin E., Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed strings // Physics Letters B. 1990. V. 236. P. 144-150.

150. Periwal V., Shevitz D. Unitary-matrix models as exactly solvable string theories // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 1326-1329.

151. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Москва, Наука. 1978. 320 с.

152. Fokas A.S., Grammaticos В., Ramani A. From continuous to discrete Painlevé equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. V. 180. P. 342-360.

153. Grammaticos В., Ramani A. Prom continuous Painlevé IV to the asymmetric discrete Painlevé I // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 5787-5798.

154. Nijhoff F.W., Satsuma J., Kajiwara K., Grammaticos В., Ramani A. A study of the alternate discrete Painleve II equation // Inverse Problems. 1996. V. 12. P. 697-716.

155. Grammaticos В., Ramani A. Discrete Painleve equations: derivation and properties 11 Application of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations / Ed. P.A. Clarkson. NATO ASI Series C. Dordrecht, Kluwer. 1993. V. 413. P. 299-313.

156. Громак В.И., Цегелъник В.В. О свойствах преобразований Бэклунда уравнений Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №8. С. 1018-1023.

157. Цегелъник В.В. Аналитические свойства решений одного нелинейного уравнения Р-типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №10. С. 1434-1435.

158. Кларксон П.А., Менсфилд Э.Л., Вебстер Х.Н. О соотношении между дискретными и непрерывными уравнениями Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. №1. С. 5-23.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00