автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические методы восстановления формы оптических поверхностей по интерферограммам

r^i^jl | f^l к d ■•■аао*адвй|ааоваоа*ааовов«ававвявой*а1явр*ввов|зо«в

ГЛАВА 1 . Общие сведения о математическом ашарате

ЕосстаноЕления формы оптических поверхностей по интерферограммам.

§1.1. Контроль оптических поверхностей по интерферограммам..

§ 1.2. Полиномиальная аппроксимация интерферограмм.

§ 1.3. Общая методика восстановления поверхностей по интерферограммам.

§ 1.4. Пример восстановления: интерферограмма радиального сдвига.

ГЛАВА 2« Специальные базисы для неплоских поверхностей и удаление настройки.

§ 2.1. Обработка интерферограмм от сферических зеркал вычисления в переменных на поверхности сферы).

§ 2.2. Обработка интерферограмм от сферических зеркал вычисления в переменных на плоской апертуре).

§ 2.3. Базис на части сферы с выделенными константой и сдвигами.

§ 2.4. Выделение настройки в аппроксимациях интерферограмм от сферических зеркал с центральным отверстием полиномами на сферическом кольце.

§ 2.5. Ортогональный базис на поверхности цилиндрического зеркала с прямоугольной апертурой и удаление настройки.

ГЛАВА 3. Восстановление деформаций асферических itobopxho стбй оававааааааоваааавваяааооаваааовав»»*

§ 3.1. Обработка интерферограмм, полученных с корректором, от эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения.

1. Формулы разностей хода , добавляемых смещениями эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения.

§ 3.2. Обработка интерферограмм, полученных с корректором, от эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения. 2. Проведение ближайшей номинальной поверхности среднеквадратично с весами, постоянными на апертуре или на контролируемой поверхности. Повышение точности вычисления интергралов с весом. Об одном возможном источнике ошибок аттестации..

ГЛАВА 4. Восстановление поверхностей по комбинациям интерферограмм.

§ 4.1« Алгоритм калибровки сферического зеркала по трем интерферограммам..

§ 4.2. Интерферограммы бокового сдвига.

§ 4.3. Абсолютная калибровка трех зеркал по четырем интерферограммам.

§ 4.4« Восстановление поверхности по наборам интерферограмм от ее частей.

ГЛАВА 5. Некоторые Еопросы точности восстановления формы оптических поверхностей.

§ 5.1. О точности стандартной математической модели интерферограммы от сферической поверхности.

§ 5.2. Ошибки восстановления формы поверхности, вызванные шумом в данных.

§ 5.3. Об алгоритмах усреднения интерферометрических данных.

§ 5.4. О точности метода Гартмана для сферического зеркала.

ГЛАВА 6. Программные реализации вычислительных алгоритмов.

Математические методы восстановления (определения) деформаций оптических поверхностей и волновых фронтов по интерферо-граммам с использованием вычислительной техники стали широко внедряться е практику три десятилетия назад. До того Бремени контроль поверхностей по интерферограммам проводился в основном по качественному анализу отдельных особенностей интерференционных картин, так сказать, на глаз. При этом, во-первых, замечались в основном только саше низкочастотные пространственные аберрации или отдельные локальные искажения номинальной поверхности без полного анализа Есех существенных еклэдое в деформацию, что, естественно, обеспечивало лишь относительно грубую аттестацию. Во-Еторых, невозможность без подробных вычислений проанализировать в полной мере интерференционную картину с учетом вида поверхностей и условий измерений вынуждала прибегать к специальным приемам измерения с ограниченной широтой их применения и даже не позволяла выявить Есе возможности контроля по точности и полноте аттестации. Эти несовершенства контроля особенно касались случаев контроля сложных поверхностей и аттестаций по наборам интерферограмм.

С началом обработки интерферометрических данных на вычислительных машинах первоначальными объектами алгоритмизации стаж те методы, приемы и ситуации, которые до этого уже применялись в практическом контроле.При этом главными положительными эффектами применения математики и вычислительной техники оказались лишь уменьшение субъективного фактора в аттестации и большая полнота получаемых характеристик поверхности. Однако существенное повышение точности аттестации было достигнуто лишь для самых простых - плоских - поверхностей. Для более сложных а также для случаев аттестаций по наборам интерферограмм дело свелось к полумерам, так как в силу инерции не было проведено достаточно полного и широкого анализа всех потенциальных возможностей, которые предоставляла математика. Все эти недостатки стали особенно существенными с прогрессом в технологии, в частности, с ростом габаритов астрономических зеркал, с усложнекием их формы и ужесточением требований к точности их изготовления. Увеличение размеров и повышение точности изготовления зеркал потребовало разработки и усовершенствования также методов абсолютной калибровки эталонных зеркал, т.е. не зависимой от сравнения с другими, известными, поверхностями.

Довольно хорошо разработанными оказались лишь методики аттестации для случаев поверхностей, которые в рабочей области близки к плоским. Так, даже для простейших неплоских поверхностей - сферических - точность математического аппарата остается достаточно удовлетворяющей современным требованиям только для угловых растворов апертуры до 30-40 градусое. В этих угловых пределах приближения, используемые е стандартном алгоритме разделения вкладов в интерферограмму от собственно деформаций аттестуемой поверхности и от расположения поверхности относительно системы контроля (от так называемой настройки интерферо-граммы), близки к пределу точности самой математической модели интерферограммы. С увеличением крутизны зеркал точность приближений резко ухудшается. Насколько этот пункт не разработан, свидетельствует тот факт, что даже сам алгоритм разделения указанных вклздое не был поставлен на регулярную основу: не было принято использоеэть для разделения минимизацию функционала и, соответственно, не поднимался вопрос о форме Бесовой функции в нем. Фактически дело обстояло так, как будто обрабатываемая поверхность Есегда плоская, и весовая функция постоянна на плоской поверхности интегрирования, что приводит в первую очередь к различной оценке качества поверхности в центре и на периферии существенно неплоского зеркала. Вопрос о приближениях важен еще потому, что е обычном приближении вклады в интерферограмму от некоторых возможных деформаций неплоской поверхности не отделимы от вкладов настройки, в то время как при более точном анализе они могут быть разделены. В последнем случае такой более точный анализ позволяет одновременно ослабить требования к юстировке измерительной схемы, что существенно на практике. Конкретно методика, позволяющая проводить аттестацию с точностью порядка точности самой модели интерферограммы для зеркал с большой крутизной, разработана в диссертации для сферических, цилиндрических,эллиптических, параболиче

- б ских и гиперболических зеркал. Во всех этих случаях в математической процедуре разделения указанных Еыше вкладов в интерферо-грамму использовались функции настройки для соответствующих поверхностей в явном аналитическом виде. Применение специальных вычислительных методов и приемов позволяет решить ту же задачу разделения вкладов полностью численно на ЭВМ без предварительного нахождения аналитических выражений для настройки, лишь при условии задания формы поверхности любым способом, в том числе и численно на сетке. Это обобщает методику высокоточной аттестации и на более сложные зеркала, для которых получение функций настройки в аналитическом виде может оказаться затруднительным.

Кроме недостаточно полного анализа математических приближений, используемых при аттестации, в определенных случаях в комплексе математической обработки данных от комбинации интер-ферограмм оставался дефект, характерный для начального периода применения математического анализа к реальным расчетам, а именно неучет конечной точности данных и вычислений а также неучет принципиального отличия математической модели интерфе-рограммы от реальной ее первоосновы. Из-за неучета этих факторов, ео-перЕЫх, переоценивалась реальная точность известного метода калибровки зеркала по трем интерферограммам.В существовавших изложениях метода неявно предполагалась однопорядковая точность аппроксимации всех задействованных в методе величин. Однако в действительности эти величины имели разную природу и соответственно разную пространственную сложность, из-за чего для их аппроксимации требовались аппроксимирующие полиномы существенно различных порядков вплоть до таких, что аппроксимация, равная по точности аппроксимации остальных величин, на практике попросту не могла быть получена, что, разумеется, снижало реальную точность калибровки и что не было замечено. Во-вторых, в разработанном в СЖ методе еосстановления поверхности по интерферограммам от отдельных частей поверхности отсутствовало требование перекрытия снимаемых областей (а некоторыми это перекрытие даже рассматривалось как досадная помеха процедуре восстановления, что вовсе не сообразуется с общим правилом неухудшения задачи при добавлении информации). Считалось, что поверхность может быть восстановлена и без экспериментальной информации о связи частей. Совершенно очевидно, что основанием такого убеждения была возможность формально продолжить (экстраполировать) полиномиальную аппроксимацию данных, полученных е одной области, в другую область. Однако не было учтено,что поверхность реального зеркала не представляет собой аналитической функции (и тем более точно представимой довольно коротким рядом) и не обязана продолжаться по соответствующим законам. В общем не было понято, что аппроксимирующая функция е действительности лишь с тем или иным допустимым сглаживанием представляет (заменяет) данные, и если в комплексе данных нет сведений о некотором интересующем нас поведении реальной поверхности, то и по аппроксимации этих данных интересующий эффект не может быть найден. Поэтому основополагающая идея метода, предлагавшегося для контроля крупногабаритных зеркал и зеркал сложной формы, оказалась полностью и принципиально ошибочной.

Таким образом, для ситуации с математической обработкой интерферограмм с использованием вычислительной техники было характерно отсутствие единого, последовательного, систематического, полного и комплексного рассмотрения задачи аттестации широкого круга поверхностей с необходимым учетом конкретных особенностей в отдельных реальных случаях. Эта задача в определенной степени законченном виде и решена в диссертации.

Ввиду имеющегося разнобоя в подходе к построению математической модели интерферограммы в качестве вводного, первоочередного и объединяющего этапа предпосылается изложение общих методов полиномиальной аппроксимации данных применительно к случаю аппроксимации интерферометрических данных на дискретных сетках и метода разделения вкладов в интерферограммы от различных источников. В сеязи с желательностью максимальной однородности методики, удовлетворительной устойчивости получения аппроксимаций и для согласования представления результатов аттестации с принятой в оптике классификацией ошибок поверхностей наборами аберраций весь анализ в случае круговых апертур проводится с использованием базиса полиномов Цернике или им подобных, ортогональных на круге или на отсекаемой плоскостью части сферы, возможно, с центральным круговым отверстием.

В литературе отсутствует систематический анализ влияния случайного шума в данных на точность восстановления поверхностей и ЕкладоЕ отдельных аберраций. В диссертации для заполнения этого пробела приведены результаты модельных расчетов точности восстановления, которые могут быть использованы для оценок в реальных ситуациях а также при планировании экспериментов.

Несколько особняком стоит рассмотрение возможных ошибок аттестации сферических зеркал методом Гартмана в сферическом пучке. Хотя гартманограмма не является интерферограммой и ее обработка отличается от обработки интерферограммы, все же результаты, полученные при анализе обработки интерферограмм от сферических зеркал и касающиеся ограничений возможного вида деформаций сферических поверхностей, важны и при аттестации методом Гартмана.

При относительном единстве и взаимной согласованности математических методов аттестации поверхностей по интерферо-граммам различные их конкретные реализации, особенно в имеющихся изложениях, доеольно разнородны. Поэтому представляется несколько искусственным и нецелесообразным делать с самого начала обзор литературы по этим многочисленным и разнообразным вопросам в целом. Кроме того, и литературы по существу основных (и новых) исследуемых е диссертации вопросов очень немного для поверхностей с большой крутизной регулярный математический аппарат по типу имеющегося для плоских поверхностей прежде практически не разрабатывался; изучение ошибок аттестации, вызванных шумом е данных, было эпизодическим и далеким от полноты; принципиальных математических работ по абсолютной калибровке зеркал - единицы; и т.д. По этим причинам в настоящей диссертации работы других авторов по различным тематикам приводит ся по ходу дела соответственно разбираемым методам аттестации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.

ЗЖЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено систематическое и достаточно полное исследование математических аспектов восстановления низкочастотных пространственных деформаций оптических поверхностей различного вида по интерферограммам, получаемым в основных способах интерферометрического контроля. Основной задачей диссертации было расширение области применимости математического аппарата обработки интерферограмм на поверхности с большой угловой апертурой при сохранении точности восстановления, характерной для случая плоских поверхностей, и при единстве методики, использующей полиномиальные аппроксимации интерферограмм. Сопутствующей задачей была разработка алгоритмов, наиболее полно и адекватно использующих данные от наборов интерферограмм от одной или нескольких поверхностей. Третьей задачей являлось изучение влияния шума в данных на точность аттестации поверхностей в разных способах интерферометрического контроля. Решение этих трех задач практически обеспечивает базу для создания математического обеспечения интерфероме триче ского контроля сложных высокоточных оптических поверхностей и для планирования измерений.

Соответственно этим задачам в диссертации получены следующие основные результаты.

1. Для сферических, цилиндрических, параболических, гиперболических и эллиптических зеркал с большой угловой апертурой разработан в аналитическом Биде аппарат восстановления деформаций по интерферограммам, работающий с точностью, сопоставимой с точностью самой стандартной модели интерферограммы (не хуже ^0,001 длины волны). Предложена методика обработки интерферограмм от других оптических поверхностей, заданных в численном виде на сетке. Указаны случаи, когда задача разделения вкладов в интерферограмму от деформаций и от настройки не разрешима однозначным образом. В остальных случаях развитый аппарат снимает необходимость особо точной настройки измерительной схемы, поскольку параметры настройки могут быть определены и учтены при математической обработке данных.

2. Для обработки наборов интерферограмм (в том числе от сферических поверхностей с большой угловой апертурой): а) разработан математический алгоритм для метода абсолютной (без эталонов) калибровки трех плоских или сферических зеркал по четырем интерферограммам, полностью использующий все данные и работающий с точностью, близкой к точности аттестации по интерферограммам с идеальным эталоном; б) разработан математический алгоритм для метода калибровки сферического зеркала по трем интерферограммам и показано, что предполагавшаяся ранее высокая точность этого метода практически не достижима; в) сопоставлены различные способы обработки набора интерферограмм от одной поверхности. Наиболее адекватный задаче метод "объединенной интерферограммы" применим как для ослабления влияния шума в данных, так и для восстановления деформаций поверхности при недостаточно густых по отдельности сетках. Для обеспечения работоспособности этого метода в случае цилиндрических и сферических зеркал с большой угловой апертурой образо-ны базисы с выделенными функциями настройки, в том числе и для сферических зеркал с круглым центральным отверстием; г) показана ошибочность предложенного за рубежом метода восстановления поверхности по интерферограммам от не перекрывающихся ее частей.

3. На основании расчетов с модельным шумом в данных для различных сеток и степеней полиномов аппроксимации получены надежные оценки вызванных шумом ошибок восстановления поверхностей и вкладов аберраций, необходимые для реальных оценок точности аттестации и для планирования измерений.

Таким образом, создан математический аппарат, необходимый для высокоточного восстановления деформаций широкого круга оптических поверхностей по данным всех осноеных способов интер-ферометрического контроля. На его основании разработан комплекс программ обработки интерферограмм, который использовался, в частности, в ГОИ им.С.И.Вавилова при аттестации эталонных зеркал.

- 267

Основные защищаемые положения.

1. Метод математического разделения вклздое в интерферограмму от деформаций оптической поверхности и от настройки измерительной схемы.

2. Математические алгоритмы высокоточной аттестации по интерферограммам неплоских поверхностей с большой угловой апертурой.

3. Метод "обобщенной интерферограммы" аттестации неплоских поверхностей при использовании разработанных базисов с выделенными функциями настройки.

4. Оценки точности аттестации поверхностей в зависимости от шума в данных.

5. Математические алгоритмы абсолютной калибровки поверхностей по наборам интерферограмм.

6. Доказательство необоснованности методов аттестации поверхности по наборам интерферограмм от не перекрывающихся ее частей.

7. Доказательство невозможности выделения вклада настройки в интерферограмму при использовании эталона неподходящей формы.

8. Создание математической базы для математического обеспечения высокоточной аттестации оптических поверхностей основных видов по интерферограммам. # #

Я благодарен кандидату физико-математических наук В.Н.Шаронову, совместно с которым мы написали ряд работ по обработке интерферограмм, за длительное конструктивное сотрудничество. Я благодарен доктору технических наук И.И.Духопелу за предложение некоторых исходных задач, многочисленные обсуждения и чрезвычайную благожелательность. Благодарю Е.Б.ЛанееЕа за полезные советы и дискуссии по методологическим и некоторым конкретным вопросам математической обработки экспериментов. Благодарю также профессора Е.П.Жидкова за полезные рекомендации, внимание и поддержку.

Я признателен сотрудникам подразделения "8-й блок" Вычислительного центра РУДН, особенно А.Г.Мирошникову, за создание благоприятных условий для работы и помощь в общении с вычислительной техникой.

1. Д.Малакары. - Мл Машиностроение, 1985. с.336-338.

2. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Гостехтеориздат, 1958„ 728 с.

3. Дитчборн Р. Физическая оптика. М.: Наука, 1965. 632 с.

4. Коломийцов Ю.В. Интерферометры. Л.: Машиностроение, 1976.

5. Parks R. Removal of test optics errors // SPIE*, 1978= Vol. 153. P. 56-63.

6. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1970.

7. Nyssonen D., Jerke J.M. Lens testing with a simple wawefront shearing interferometer // Appl. Opt., 1973. Vol. 12. Jfc 9. P. 2061-2070.

8. Kintner E.C. Some comments on the use of the Z em ike polinomials in optics // Optics Communications, 1976, V. 18, J* 3, p. 235-237.

9. Kintner E.C., Sillitto R.M. A new analitic method for computing the optical transfer function // Optica Acta, 1976, v. 23, Jfc 8, p. 607-619.

10. Sillitto. R.M. Diffraction of uniform and Gaussian beams: an application of Zernike polinomials // Optik, 1977, v. 48, 271-283.

11. Button D., Come jo A., Latta M. A semiautomatic method for interpreting shearing interferograms // Appl. Opt., 1968. Vol. 7. J* 1. P. 125-131.

12. SPIE Proc. Soc. Photo-Optical Instrum. Eng.

13. Гак M.А., Устинов С. И. Прогнозирование полихроматических характеристик качества изображения на основе измерения зрачковой функции // ОМП**, 1990. £2. С. 29-32.

14. Ган М.А., Устинов С.И., Котое В.В., Сергеев П.А., Цвике-вич И.Н. Обработка 1Штерферограмм на ЭВМ и определение функции рассеяния точки и оптической передаточной функции при контроле и доводке оптических систем /У ОМП, 1978, No 9, с. 25-28.

15. Malacara D. Mathematical interpretation of radial shearing interferometers // Applied Optics, 1974, v. 13, p.1781.

16. Малакара Д. Интерферометры радиального, поворотного и реверсивного сдвига // Оптический производственный контроль / Под ред. Д.Малакары. М.: Машиностроение, 1985, с. 119.

17. Hariharan P., Oreb В.Р., Zhou Wanzhi. Measurement of asphiric surfaces using a microcomputer-controlled digital radial-shear interferometer // Optica Acta, 1984, v. 31, No 9, p. 989-999.

18. Zernike P. // Physica, 1934. * 1. P. 689.

19. Ni^boer B.R.A. The diffraction theory of aberrations // Physica (Utrecht), 1943. Vol. 10. P. 679-692.

20. Бездидько С.H. Применение полиномов Цернике в оптике // ОМП, 1974, J6 9. С. 58-62»

21. Plight A.M. The calculation of the wavefront aberration polinomial // Optica Acta, 1980, v.27, Jfi 6, p. 717-721.

22. Barakat R. Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalisations of Zernike polinomials // J. Opt. Soc. Am., 1980, Y. 70, JÊ 6, p. 739-742.

23. Wang J.Y., Silva D.E. Wave-front interpretation with Zernike polinomials // Appl. Opt., 1980. Vol. 19. P. 1510.

24. Nijboer B.R.A. The diffraction theory of aberrations // Physica (Utrecht), 1947. Vol. 13. P. 605-620.

25. ОМП "Оптико-механическая промышленность".

26. Бездидько С.Н. Расчет коэффициента Штреля и нахождение плоскости наилучшей установки в случае полихроматического света // ОМП, 1975. J6 9. С. 20-22.

27. Noll R. Zernike pollnomlals and atmospheric turbulence //J. Opt. Soc. Am., 1976, V. 66, № 3, p. 207-211,

28. Tango W.J. The circle pollnomlals of Zernike and their application In optics // Appl. Phys., 1977, v. 13, & 4, p. 327-332.

29. Kim C.-J., Shannon R.R. Catalog of Zernike pollnomlals // Appl. Opt. and Opt. Eng., 1987. Vol. X. P.193-222.

30. Kintner E.G. A reccurence relation for calculating the Zernike pollnomlals // Optica Acta, 1976, v. 23, J6 6, p. 499-500.

31. Kintner E.C. On the mathematical properties of the

32. Zernike pollnomlals // Optica Acta, 1976, v. 23, J6 8, p. 679-680.

33. Prata A.-Jr, Rusch W.V.T. Algorithm for computation of Zernike pollnomlals expansion coefficients // Appl. Opt., 1989, Y. 28, J* 4, p.749-758.

34. Бездидько С.Н. Определение коэффициентов разложения волновой аберрации по полиномам Цернике // ОМП, 1975, 7. С. 75-76.

35. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1966.

36. Berggren R. Analysis of interferograms // Opt. Spectra, 1970, v. 4, p. 22.

37. Kim C.-J. Polynomial fit of interferograms // Appl. Opt., 1982, V. 21, J6 24, p. 4521-4525.

38. Herrmann J. Least-squares wave front errors of minimum norm // J. Opt. Soc. Am., 1980. Vol. 70. * 1. P. 28-35.

39. Губин В.Б., Микулич А.В., ШароноЕ В.Н. Об алгоритме восстановления оптических поверхностей и определения вкладов аберраций // Методы контроля формы оптическихповерхностей / Сб. тезисов докладов всесоюзного семинара. Л.: ГОИ, 1989, с. 31 - 33.

40. Southwell W.H. Wave-front estimation from waye-front slope measurements // J. Opt. Soc. Am., 1980. Vol. 70. * 8. P. 998-1006.

41. Ган M.A., Котов В.В., Устиное С.И. Анализ деформаций волновых фронтов реальных оптических систем // ОМП, 1984, No 5, с. 17-20.

42. Е393 Ган М.А., Ильин В.В., Котов В.В., Первеев А.Ф. Ионная зональная ретушь эффективное средство улучшения качества оптических систем // Тез. докл. II Всесоюзн. конф. "Оптика лазеров". - Л.: ГОИ, 1979. С. 373.

43. Богатырева И.И., Ган М.А. Расчет влияния зональных ошибок на качество изображения оптических систем // ОМП, 1980. * 11. С. 19-21.

44. Зверев В.А., Агурок И.П., Родионов С.А., Сокольский

45. М.Н. Автоматизация обработки интерферограмм при контроле оптических систем // ОМП, 1978, No 9, с. 7-10.

46. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Алгоритм обработки интерферограмм радиального сдвига // ОМП*, 1989, J6 б, с. 4-6.

47. Jensen S.C., Chow W.W., Lawrence G.N. Subaperture testing approaches: a comparison // Appl. Opt., 1984. Vol. 23. Jfe 5. P. 740-745.

48. Negro J.E. et al. LBET III Pinal Technical Report,

49. Charles Stare Draper Laboratory CSDL-R-1580, ARPA 3679 (Aug. 1982).

50. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Полиномы Цернике на частисферы, отсекаемой плоскостью / II Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование". Волгоград, 11-14 сентября 1989 г. Тезисы докладов. -М.: Изд-ео УДН, 1990, с. 29.

51. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Определение ошибок сферических поверхностей при интерферометрии со сферическим пучком- 272// ОМП, 1990, Jfc 8, с. 32-35»

52. Губ1Ш В.Б. 0 выделении эффектов положения номинальной поверхности из аппроксимации интерферограммы от сферического зеркала // Деп. ВИНИТИ, £ 2609-В91. 21 с.

53. Губин В.Б. Базис на части сферы с выделенными константой и сдвигами // Деп. ВИНИТИ, £ 2241-В90. 7 с.

54. Губин В.Б. Базис для обработки интерферограмм от сферических зеркал // ОЖ***, 1992, J 7, с. 47-50.

55. Mahajan V. Zernike annular polinomials for imaging systems with annular pupils // J. Opt. Soc. Am., 1981, y. 71, * 1, p. 75-85.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. M.: "Наука", 1968, 720 с.

57. Губин В.Б. Учет факторов настройки при обработке интерферограмм от сферических зеркал с центральным отверстием // ОЖ, 1993, J6 6, с. 46-47.

58. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. Гл. IX, пар. 4, п 320. М.: "Наука", 1966, 800 с.

59. Губин В.В., Шаронов В.Н. Алгоритм обработки интерферограмм цилиндрических зеркал /У ОМП, 1991, £ 3, с.11-12.

60. Губин В.Б., Шаронов В.Н. О выделении параметров ближайшей поверхности в аппроксимациях интерферограмм от цилиндрических зеркал // Деп. ВИНИТИ, £ 2465-В90. 12с.

61. Губин В.Б. О вычитании эффектов положения номинальной поверхности из интерферограммы от асферического зеркала // Деп. ВИНИТИ, £ 3598-В90. 21 с.

62. Губин В.Б. Лекции по математическим методам восстановления формы оптических поверхностей по интерферограммам. М.: Изд. Росс, ун-та дружбы народов, 1995, 247 с.

63. Jensen А.Е. // J. Opt. Soc. Am., 1973, v. 63, p. 1313.

64. Truax B.E. Absolute lnterferometric testing of spherical surfaces // SPIE, 1988, v. 966, p. 130-137.

65. Губин В.Б. Об алгоритме калибровки сферического зеркала по трем интерферограммам // Деп. ВИНИТИ, J6 3597-В90. 10 с.

66. Губин В.Б. Алгоритм аттестации сферического зеркала по трем интерферограммам // ОЖ, 1992, J6 4, с. 16-18.

67. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука, 1970.

68. Schuls G. // Optica Acta, 1967, v. 14, p. 375.

69. Primak W. The determination of the absolute contours of optical flats // Appl. Opt., 1967. Vol. 6. P. 1917.

70. Shuls G., Schwider J., Hiller C., Kicker B. Establishing an optical ilatness standard // Appl. Opt. 1971. Vol. 10.1. P Q9QOQl1. X ш w' о

71. Schulz G., Schwider J. Interferometric testing of smooth surfaces // Progress in optics, ed. E.Wolf, North-Holland 1976. Vol. 13. ch. IV. P. 95-167.

72. Pritz B.S. Absolute calibration of an optical flat // Opt. Eng., 1984, Y. 23, * 4, p. 379-383.

73. Мерти M.B.P.K. Метод абсолютного контроля плоскостей // Оптический производственный контроль / Под ред. Д.Малакары. М.: Машиностроение, 1985. с.37-38.

74. Grzanna J., Schulz G. Absolute testing of flatnessstandards at square-grid points // Optics Communications, 1990, y. 77, J* 2,3; p. 107-112.

75. Scwider J. Advanced evaluation techniques in interferons try // Progress in Optics, ed. E.Wolf, North-Holland, 1990. Vol. 28. P. 273-359.

76. Shulz G., Grzanna J. Absolute flatness testing by therotation method with optimal measuring-error compensation // Appl.Opt. 1992. Vol. 31. P. 3767-3780.

77. Grzanna J. Absolute testing of optical flats at points on a square grid: error propagation // Appl. Opt. 1994. Vol. 33. P. 6654-6661.

78. ШароноЕ B.H. Математические методы восстановления формы поверхности по данным интерферометрических измерений. -Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: Ун-т дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1991 г.

79. Губин В.В., Шаронов В.Н. О методах абсолютной калибровки оптических поверхностей / Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование". Волгоград, 12-18 сентября 1988 г. Тезисы докладов. -М.: Изд-во УДН, t -/«—f S г Wo 25-26.

80. С793 Губин В.Б., Шаронов В.Н. Алгоритм восстановления формы оптических поверхностей по результатам экспериментальных данных // ОМП, 1990, Я 3, с. 19-21.

81. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Абсолютная калибровка сферических поверхностей // ОМП, 1990, J6 9, с. 41-42.

82. Rlmmer М.Р., King С.М., Fox D.G. Computer program for the analysis of Interferometrlc test data // Appl. Opt., 1972. Vol. 11. Jfc 12. P. 2790-2796.

83. Kim C.-J., Wyant J.C. Subaperture test of a large flat or a fast aspherlc surface // J. Opt. Soc. Am., 1981. Vol. 71. P. 1587.

84. Thunen J.G., Kwon O.Y. Full aperture testing with subaperture test optics // SPIE. Eng. 1982, y. 351, No 1, pp. 19-27.

85. Stuhlinger T.W. The testing of large telescope systems using multiple subapertures // SPIE, 1984, y. 440, p. 91-98.

86. Lawrence G.N., Chow W.W. Influence of higher order noise in wavefront reconstruction // SPIE, 1986. Vol. 440. P. 106-108.

87. Otsubo M., Okada K., Tsujiuchi J. Measurement of large plane surface shapes by connecting small-aperture inter-ferograms // Optical Engineering, 1994, v. 33, J6 2, p. 608-613.

88. Chow W., Lawrence G. Method for subaperture testing interferogram reduction // Optics Letters, 1983, v. 8, 9, p. 468-470.

89. Negro J.E. Subaperture optical system testing // Appl. Opt., 1984. Vol. 23. » 12. P. 1921-1930.

90. Day R.D., Beery Th.A. Sphericity measurements of full spheres using subaperture optical testing techniques // SPIE, 1986, Y. 661, p. 334-341.

91. Губин B.B. Физические модели и реальность. Алматы: МГП "Демеу" при издательстве "Рауан" министерства печати и массовой информации Республики Казахстан. - 1993 . 231 с.

92. В.А.Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984, 384 с.

93. Белов Ю.А., Касьянюк B.C. Математические модели и вычислительный эксперимент в задачах восстановления функций-сигналов по конечному множеству данных // ЖВМ, 1986. Т. 26. * 11. С. 1605-1616.

94. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. С. 714.

95. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Алгоритм восстановления деформаций поверхности шара по интерферограммам ее частей // Деп. ВИНИТИ, £ 3596-В90, 8 с.

96. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Восстановление деформаций поверхности шара по интерферограммам ее частей // ОЖ, 1992, J6 9, с. 71-72.

97. Губин В.Б. Влияние децентровок сферических зеркал на точность стандартной модели интерферограммы // ОЖ, 1992, £ 10, с. 32-35.

98. Агурок И.П. Исследование доверительных интервалов средней квадратичной деформации волнового фронта и ЧКХ цри контроле оптических систем // ОМП, 1990, No 2, с. 32-36.

99. Ган М.А., Устинов С.И., Котов В.В., Иванова A.B. Исследование точности восстановления волнового фронта при обработке интерферограмм // ОМП, 1990, No 8, с. 17-20.

100. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. М-: Мир, 1964.

101. Войцехович В.В., Губин В.В., Микулич A.B. Оценка параметров адаптивных астрономических систем на осноЕе экспериментальных данных // Оптика атмосферы, 1988, т. 1, Н> 5, с. 66-70.

102. Губин В.Б. О точности метода Гартмана при контроле сферического зеркала // ОЖ, 1992, J& 7, с. 73-74.

103. Е1103 Снежко Л.И. О точности метода Гартмана при исследовании волновых фронтов // ОМП, 1980, I 9, с. 1-3.

104. С1123 Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982. 270 с.1133 Ган М.А., Устинов С.И., Долгих С.Г., Котов В.В.

105. Нач. лаборатори Ведущий научн.с

106. Воронин Ю.М./ ^хопел 1.Й./1998 г.

107. У Утверждаю: Jsv Директор ВНИИМС, к.т.н., с.н.с., ^Щ/а.И. Асташенков1. АКТ О ВНЕДРЕНИИ

108. Начальник отдела измерений геометрических величин к.т.н., с.н.с.1. В.Г. Лысенко