автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические методы анализа сложных систем физики и адаптивных процессов роста

Академия наук Украины Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи

ПЕТРИНА Екатерина Дмитриевна

УДК 519.856

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ФИЗИКИ И АДАПТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ РОСТА

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев 1992

Работа выполнена в Институте кибернетики им. В. М. Глуш-кова АН Украины.

Научный руководитель: академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор . - ЕРМОЛЬЕВ Ю. М.

Официальные оппоненты: доктор физнко-математическнх

наук, профессор НАКОНЕЧНЫЙ А. Г.,

доктор физико-математических наук, профессор ГОРБАЧУК М. Л.

Ведущая организация: Киевский университет им. Т. Г. Шевченко.

Защита состоится « ^^» ¿С/^'-^^— и часов на заседании специализированного совета Д016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан «-» - ^^"^-тода.

Ученый секретарь специализированного совета

СИНЯВСКИЙ В. Ф.

ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-Актуальность тега. В настоящее время ^ все больший интерес вызывают исследования, проводимые на стыке

различных разделов науки. К примеру, босым

многообещающим является направление на стыке стохастического программирования и современной статистической механики. 11а первый взгляд мокет показаться, что между ними нет ничего общего. Однако детальное изучение этих дисциплин убеждает в противоположном. Как в стохастическом программировании, таи и во многих областях современной статистической механики очень часто возникает необ; имость 'решать экстремальные задачи стохастической природы, смысл которых состоит в следующем. Задачи стохастического программирования возникают тогда, когда каждое действие приводит к неоднозначному исходу и с каждым

V

решением х моино связать числоеыо параметры Г (х,о>) , ... ,т,, зависящие от решения х и " состояния ¡грироды " и. В стохастическом программировании. предполагается, что ш является элементарным событием некоторого вероятностного простргпотза ( п,Л,Р ), которое может зависеть от х и называется пространством случайных параметров или пространстаем

состояний. Несмотря на огромное количество разнообразных формулировок задач стохастической оптимизации, все они в конечном счета могут быть сведены к двум более общиж Зададим вероятностное пространство ( о, И, Р ), которся даэт нам описание возможных состояний природы о вуеста с соответствующей вероятностной мерой Р. Тогда задача перспективного стохастического программирования заключается в следующем:

п

найти х <е X с к , такие, что ?1(х) = МГ1(х,«) = | Г,(Х,ш) ?(сЬ) ^ 0 для 1-1

и минимизировать

г = ?0{х) М Г0(х.ы) = | Г0(х,«) Г (¿и), (I)

п

где X - обычно замкнутое подмножество Е , а фу икни:

Г1: к"- о — й, 1=1.....и. и 10: к"» п — И = Н и {- сэ,+ м}

тшсовы, что по крайней меро для какдого л с л существуют математические ожидания, которые встречаются в (1).

В модели (1) решение х принимается без дополнительных, наблюдений за состоянием природа. Рассмотрим ситуацию, когда у нас есть возможность наблюдать за п перед выбором х. Это задача оперативного стохастического программирования. Она состоит в следующем:,, имеются вероятностное пространство ( г.,А, ? ) у. о-подцлгебра В, В £ А. Рассмотрение о-подалгвбры Б ришкчгшвдо указанию на то, какие события из всей совокупности событий /! может наблюдать принимающий решеиле в результате екслериментг. Требуется найти измеримую относительно Р функции ¿(оИХ» которая минимизирует «=. МГ°(х(ы) при ограничениях Р1(х(ы)) = МГ1(х(ы);,и)^0, 1=1,,.,и, х(о)с 11.

Основные трудности рассматриваемых задач езлзани с отсутствием полной информации о минимизируемой функции и функциях ограничений,- об их пронзьодных и с н^лздким характером этих функций.

В диссертации издаются равновесние состояния бесконечных систем частиц в рамках канонического и больного канонического ансамблей. При этом равновесное состояние .б каноническом ансамбле можно рассматривать как решение оптимизационной задачи. А именно: • состояние ансамбля минимизирует функционал энтропии ( меру неопределенности мнкросостолния системы в ансамбле) при выполнении условия нормировки и при постоянном значении средней энергии.

Введем следующие обозначения. Пусть ыа - вероятность найти систему в микрссссгояшга а, а пробегает определенное счетное множество; Б - внтропия ансамбля;

к - постоянная Больцмана, ее вводят, чтооы придать штропии

определенную размерность;

<Е> - среднее значение энергии системы.

Задача состоит в том, чтеби найти мекс«ыум

Б =» -к У^ и !л и ■ ¿_. « а

(а)

при условиях ^Г^ иа= 1 ;

(а)

<Е>=)ш Е => сопаг.

¡___ а а

(а)

При этом полученное распределение вероятностей называется каноническим распределением Гиббса.

Аналогичным образом можно получить больно« каноническое распределение Гиббса, а'именно, из условия зкетромума элтрогпп'

5 = "к "К.а 1П "Н.а

СМ) (а)

при дополнительных условиях :

при постоянной средней енергии

Е > = ЕЕ^ = сопаг'

СНГ) (.ч)

где - энергия системы N частиц, которая находится в микросостоянии а;

при постоянном среднем числе частиц

< N > - Е] М "М.» С0ПЗ,";

СМ) (а) при условии нормфоьки

(Л) (а)

Из палеиаложонного видна общность постановок задач в стохг.с-тачсском программировании и равнопесной статистической мех ¿пи-ко.

Шце одной точкой соприкосновения стохастического программирования к статистической механики 'является изучение бесконечных систем частиц, т.о. систем с Лоскоиечинм числом степеней свобода, которко могут изменяться во всем щюстроясткз.

Одним из примеров бесконечной системы монет служ'ть обобцэкнал задача об урне с шарами двух цветов. Эта задача .достаточно часто применяется в экономической кибернетике, в частности к ней могут быть сведены процедуры, моделирующие процесса адаптации новых технологий. '

. Коротко опишем математическую постановку. обобщенной задачи об урне. Имеется урна бесконечной вместимости. 3 иошнт времени t-1 в урне находится п(1 ) > 1 шаров белого цвета и п(1 ) » 1 черных шаров. Задана Сорелевская функция р(.), отображающая отрезок [0,1 J в себя. В момент времени t - 1,2,3,...

" ' ." Г m(t) -,

в урну добавляются белый вар с вероятностью р -

' L n(t) + nCc) J

г m(t) -,

или черный шар с вере люстыо 1- р -:- 1, где л ( t ),

L m(t) + n(t) J

n(t) - соответственно число белых и черных шаров в урне в момент времени t. Обозначим y(t) долю белых сэров в урне б ыо-

n(t);

мент времени t ^ 1, т.е. y(t) -- . Задача состоит е

m(t) + n(t)

исследовании предельного поведения случайного вектора y(t) при t —» < . В традиционной постановке задачи об урне на основе комбинаторных методов исследуются вероятности выбора шаров каждого цвета при конечном общем числе шаров в урне. Здесь же исследуется продольное при t —♦ «> поведение долей шаров каждого цвета. При этом изучение предельного поведения процесса y(ï), t ïs 1 проводится с помощью методов, используемых при исследовании лроцесоов типа стохастической аппроксимации .

В статистической механике токе изучаются состояния бео-конечных систем частиц, которые описываются бесконечной последовательностью частичных функций распределения в термодинамическом пределе. Процедура термодинамического продельного перехода состоит в том, что вначале строятся уравнения для последовательности функций распределения, описывающей состояние конечной системы ( состоящей ' из конечного числа частиц N в конечном объеме V (л ) ), в затем число часг.;ц и объем устремляются к

N

босконочноспл при постоянной плотное::!--. Функции распре-

V(a)

Д0Л9НИЯ, определенные уравнениям, которые получаются в зультвте термодинамического предельного перехода, списывают состояние бесконечных систем.

В 1946 году К. Н. Боголюбов и Б. И. Хацот обосновали термодинамический предел для равновесных корреляционных футопия при малых плотностях и отталкивпыщем потенциале. Подробное' изложение и развитие дтих результатов было позднее представлено в работах Н. Н. Боголюбова и др. (1969 г.).

Изучение слоеных систем, состоящих из бесконечного числа взаимодействующих частиц4, ооставляет существенную часть исследований не только в статистической механике, но и в теории стохастических уравнений' 3 книге А.Й.Скорохода "Стохастические уравнения для сложнмХ систем" (1983) рассматриваются системы, оодержащие случайно взаимодействующие частицы, и исследуется их поБодениа при неограниченном возрастании числа частиц. Существенным отличием этих систем от систем, рассматриваемых. в статистической механике, является именно случайность взаимодействия, тогда как в статистической механике случайность входит только через начальное состояние. При изучении плохпих систем методами теории вероятностей возникая1 распределения, которые являются аналогами частичных функций раепродолчгкя и статистической механике, и для них также можно выписать цопоч-' ку уравнений, аналогичную цепочке Н. Н. Боглюбовз, которая описывает равновесные и неравновесные состояния в статистической мэханико. Таким образом, можно утверждать, что задачи описания состояния бесконечных систем весьма актуальны в различных разделах науки и решаются методами статистической механики.

В диссертационп'*! работе исследуются -проблемы, свнззинис-с математическим обоснованием термодинамического предельного перехода ■ для бесконечных сложных систем с потенциалами сио-циального вида. Вообще говоря, это системы с одинаковой потенциальной энергией на одну частицу. Такие системы физически рзализуемы, а с математической точки зрения они интересны тем,-что в термодинамическом пределе их описание упрощается. А именно, их равновесные состояния описываются функциями распределения, котог.че равны произведении одкочастичных функций распределения, а одиочостичные функции распределения, п _сео» счв-

рйць, удовлетворяют нелинейным уравнениям типа Власова. Такое упрощенное описание сложных систем характерно и для систем со случайным взаимодействием, рассмотренных в упомянутой выше книге А. В. Скорохода.

Еозвратимся к урновой модели адаптивных процессов роста. Она предполагает, что в каждый момент времени с определенной вероятностью появится шар одного или другого сорта, и состояние такой системы слшсыЕается числами m(t) и n(t).?tot процесс получения состояния очень напоминает процедуру рождения и уничтожения Частиц в квантовой теории. 'Гак, в квантовой теории имеются операторы рождения и уничтожения -частиц, позволяющие в математических терминах описать процесс рождения новой чаотгц-л и уничтожения имеющейся'. Известны тшске операторы числа частиц. Ими можно определить число частиц в определенном состоянии. Взаимодействие между частицами, обусловливающее изменение к/. состояния во времони , описывается ' • в ква н tolûïï тс-орин соответствующим оператором - гамильтонианом. Все вто дает возможность описать адаптивный процесс роста, моделируемый схемой урн, как квантовую систему с частицами двух сортов, сопоставить ей определенный гамильтониан, а изменение состояния описать аналогом уравнения Шредингера. В диссертации урновая модель описана в терминах квантовой теории поля.

Приведенные выше примеры в достаточной степени выпунле демонстрируют общность постановок задач стохастическо( оптимизации и статистической механики и аффективностс применения методов современной математической физики для ю решения.

Цель работы. I) Исследование моделей бесконечных равно-весных~сп№Ж~частиц в рамках канонического ансамбля с взаимодействием специального вида и обоскоиЕшш вывода уравнени] Власова; 2) анализ структуры спектра оператора Майера-Монтрол ла; 3) описание адаптивных процессов роста, моделируемых схе ыами урн,, методами квантовой теории.

Методы исследований основываются на подходе Н.Н.Боголюбова je обЬс}юш7ш^1пром5дуры термодинамического предельного перехода, па примоивнки методов стахасг ¡чоского прогреыыироьания.

разработакнш: ¡0. М. Ермольавкм, а теске функционального анализа и теории вероятностей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новики и оп^Зликованы в работах автора. Они состоят в следующем.

1. В рамках канонического ансамбля исследованы равновесные состояния бесконечных систем классической статистической механики с взаимодействиями двух специальных видов. Для потенциальной энергии взаимодействия первого вида частичные функции распределения в термодинамическом пределе постоянны. 'Для второго вида предельная многочастичная функция распределения представляется в виде пусизвэдения одиочастичных функций распределения, удсзлетБоряших уравнении Власова. Тем самым показано, что известные уравнения Власова справедливы для систем, у которых потенциальная анергия взаимодействия, приходящаяся на частицу, остается постоянной, независимо от числа частиц и системе.

2. Исследован спектр оператора Майеро-Монтролла. Доказало, что для системы, частиц с твердыми сердцевинами, взвимодеЯстау-юа'дх черэз финитный непрерывный потенциал, оператор Мсйорв-Монгролла является вполне непрерывным в Олпхобом пространстве последовательностей ограниченных функций и ого спектр содержит ■ конечное или счетное множество точек.

3. Проведен анализ адаптивных процессов роста, моделируемых схемами урн, методами квантоЕой теории.

'Геоготическая и практическая ценность . Работа яьляо'гсл частг,ю~шйр0!<0й nrcFpw7ÑñT~H5ymiJX исслёдовашгй, шдуцихся в Институте кибернетики им. В. М.Глуакопа АН Украины но теме "Разработка матемзгичесчят. методов принятая росший в слсзтых системах, фунюцюч!фуг-Л1х п условиях риска и неопределенности". Результаты и методы диссертационной работ могут найти прют-кония в различных областях науки.

Апробация работы. Основные результата работы докладывались но £ÜV Мождународном симпозиум» по мзгвмитическоЯ фикике (Польша, г.Торунь, 1991 г.); на III Международной научной школе " Эволюционные стохастические системы: теория и применение в физике и биологии'Ч Крым, Кацивели, TS92 г.); на 7-й Всесо'сз-

кой школе-семинаре молодых ученых "Пройдена гш^ризтики" (г. Киев, 1990 г.); на семинарах "Математические метода исследования операций" научного совета АН Украины по проблеме "Киборнетика"( 1988-1991 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем' работы- 110 стрзниц.

Список литературы включает 100 наименований. *

' СОДЕРЖАНИЕ- РАБОТЫ ' -

Во введении дана краткая характеристика предмета нсследо-ванияТ" по казана актуальность темы диссертации, а тоже сформулированы-основние результаты.

В первой главе исследуются те математические проблем, которые "^ознйкаютТфй обосновании власовакого продола для равновесного состояния в большом каноническом ансамбле. Математически задача сводится к доказательству существования продела решений уравнений для нормированных функций распределения при стремлении параметра е, входящего в потенциал взаимодействия, к нулю. При этом оказывается, что последовательность операторов, определяющих уравнения, но стремится к оператору, определяющему предельное уравнение. Однако детальное изучение структуры уравнений позволяет доказать, что само решение стремится к решению предельного уравнения.

• Предельное уравнение для функций распределения обладает таким решением, что все функции распределения выражаются через произведение одночастичной функции распределения, которая удовлетворяет нелинейному уравнению Еласоза.

ЕперЕые аналогичные результаты были получены Клейном и Гривом (1972). Поэтому представляет HHiepxc на новизна результатов первой главы, а иные методы нх получаю:«.

Во второй главе в рамках канонического ансамбля обосковы-вается термодинамический предельный пароход для равновесного состояния бесконечной системы с вза::моде»"от«ием специального вида.

В § 2.1 рассматривается равковеглгю состзшшз системы N

частац в области л с с потенциальной энергией взаимодействия, имеющей вид

UA(q,,...,qN) = ~ Ф^-Чр.

1

где — 0(q,-q,) - потенциальная энергия взаимодействия 1-й и N 3

3-й частиц, а точка q1€ [Rv, v =» 1,.. ,3 задает положение 1-й частицы. Предполагается, что потенциал <3)(q) является непрерывной функцией,'- сосредоточенной на компакте.

В рамках канонического ансамбля равновесное состояние системы N частиц в области л при обратной температур« р описывается последовательностью функций распределения в конфигурационном пространстве

(N) (Н) (N) (N)

7 -с? (q.).....Г <(q>_).....? ((q) ),0,...},

V V,1 V.s V.N

где

tq)3-<q1.....qa).

<Н) N! , p .

У ((q)„)= - Q (N,Y) dq ...dq exp i-pU ((q) )}, 1<a<N,

v,о 8 (N-з)! J s

aN-s

PtN)((q)H) - HIQ-1(N,V)exp{-pUA((q)N)>, Y.N

Q(N,V)= J exp{-pUA((q)H)} dq ...dq,,,

л •

при условии, что все пере-лтые q1,...,qg принадлежат области (Ю

л и F ((q) ) =' 0, если хотя бы одна переменная q , V. о 3

1=1,...з, расположена вне области л.

•Аналогичным образом вводится еще одна последовательность

(н-1) Q(N-I.V)

функций распределения Р .Введем величины a,(V)= N- .

' v ^ Q(N,V)

(N) (N-l)

Последовательности P и P удовлетворяют определенным v v

соотношениям Кирквуда-Зальцбурга. Если предположить, что в определенном смысле существуют пределы

(N~l) 1

Ilm F <(q))-F ((q).,u),

N — ® V.s в

lim F(h)((q)s) = F ((q).u),

N — (o V.a 3

а (у) = Hm а^ (V), а (v) - lim

rj — со x n —' со "

и совершить формально термодинамический предельный переход в этих соотношениях, то получим

F1 ((q) ,и) - a1(u)F1+1(q_,....q ,u). .. (2)

3 £1-1

1 1

При этом следует положить f0 ^ = ... = Г0 = ,.. » 1. Еслк

предположить, что F = F, а (v) «= а(и), то (2) переходит в уравнение Кирквуда-Зальцбурга

F (iq)3,v) = a(u)F (q.....qs.«)- <3>

s s-1

В § 2.2 строятся решения соотношений и уравнений (3) Кирквуда-Зальцбурга. Для этого вводится банахово пространство

элементами которого являются последовательности ограниченных функций

Г = { ri(q1),...,f3((q)s),...}

с конечной нормой

L'fü = sup Г3 вир | rj(q) ) I.

Я *.....Ч

где t-положительная постоянная.

Решэкио уравнения (3) можно выписить явно : 1

F ((q) .и) =---- , s > 1 .

s V

Таким образом, функции F ((q)ß,w),s 1, являются постоягашми. В § 2.2 покпззно, каким образом соотношения для последа-

вательности функций распределения переходят в уравнения

Кирквуда-Зальцбурга (3).

Теорема 1. Для любого фиксированного 1 и г > —

Ш-1)

где ф = вир 1ф(а) | .последовательность х ( Ртг • - 0

ч € К

при N —» оэ по норме пространства Е^-

При этом - оператор, действующий на Г с Е£ по формуле

(х(ЮГ)а((Ч)а) = га((Ч)в). а х(ГО((Ч)3) -

характеристическая фушсция области л - шара радиуса й.

В § 2.4 доказывается, что при £ > — е^ Рх= 7, а. (и)--

V

=а(и), т.е. доказывается единственность функций распре делеш:я.

В 5 2.5 в рамках канонического ансамбля рассматривается состояние еще одной системы N частиц, взаимодействующих через парный потенциал; кроме того, на каждую частицу действует внешнее поле с потенциалом и (4), поэтому потенциальная энергия системы N частиц

N N

и^,...^) - — У"1 ч^) + ^ и(ч±).

М 3 = 1< ^ 1 = 1

При этом предполагается, что потенциал ф непрерывен и сосредоточен на компакте, а потенциал внешнего поля и(ч) непрерывен, неотрицателен и такой, что

| е"Ри(ч)(1Ч = 7(р) < ».

Состояние такой системы можно описать последовательностью функций распределения Р(М).

Для изучения предала последовательности Р1"* при N —• со используются определенные соотношения Кирквуда-Зальцбурга. Совершая формально продельный переход в этих соотношениях и пред полагая, что Рх=?,а =а, получим уравнения Кирквуда-Зальцбурга:

У (Ч,.....Чь) = а ех'р{ -ра(я )}[ Г (яч ) +

в Ь в-1

А, к

1с=1 1"1

а - 1,2,..., Р0 - 1. (4)

В § 2.6 доказывается существование решений уравнений (4) во внешнем поло.

Как и с § 2.2, решенио уравнения (4) будем искать в аналогичном банаховом пространстве Е{- Систему уравнений (4) можно записать в операторной форме в следующем виде:

Г = сКР + аР°, (5)

где оператор К определен согласно (4).

Теорема 2. Уравнение (5) обладает единственным рогением в

1 КО) е г

Е, ({ = — ) при--< 1, где 1(0) » |рф(у)|с3у,

1(0) 7<р)- 1(0)

00

и это реизнке представимо рядом Р = ^ (аК)п а Р°, сходящиеся

п=б

по норме пространства Е{.

В § 2.7 устанавливается, в каком смысле существу»: пределы

(Л) (N-1)

иш Рз ((ч)а). *„ та)

N —' оо N —» оо

и каким образом соотношения для. последовательностей Р(Ы) и рси-и ШрОХОЛЯТ в уравнения (5).

Теорема 3. Для любого фиксированного 1, { - 1/1(0)

1(0) е ■

и при условии, что - < 1, последовательность

т(р)-КО)

(N-1)

(Ру - - Т1-) — 0 при N —- оо по норме пространства Е^-Ыожно доказать, что уравнения (4) обладают решениями вида

.....Чв) - ^(Ч,)?^^)-.-?,^). (6)

а одпочпстичная функция р ^) удовлетворяет уравнению Власова

2,^,) -- а ехрС-ри^)} [1+ ехрС-Грф^-у^ (у)с!у}]. (7)

Действительно, если подставить I1 (Ч1 > ■ - - >Ч3) вида (6) в ¿равнения (-1), то после очевидных элементарных выкладок получим уравнение (7). Из доказанной выше единственности

1 1(0) е

решений урошений (4) при { - - и -< 1 следует,

1(0) 7(р)-1(0)

что уразнонля (-1) обладают единственным решением вида (6), где

(Ч,) удовлетворяет уравнению Власова (7).

В тротье-1 главе исследуются спектральные свойства

оператора Майера-Моктроллз.

В § 3.1 приведен вывод уравнения Майера-Монтролла.

В рамках большого канонического ансамбля, когда в конечной

области л о определенной вероятностью может находиться любое

число частиц N и фиксировано лишь среднее число частиц <М>,

равновесное состояние системы описыяается последовате..^костью

функций распределения в конфигурационном пространство

?у - {ру<1(я1).....гТ1в((ч)3;....},

где

а> 28+п п= О

лп

. ехр { - рил((Ч)в+п) ), 00 . ¿п-

з (2.рР7) = | С - рил((ц)п) } .

п=0 П' .п л

Предполагается, что частицы имеют твердые сердцевины, т.е.

ф(ц) = <ю при < а, а > О, где а- диаметр частицы-шара, и потенциал имеет коночный радиус действия И, т.е. ©(г})=0 при |Я|>Н, И>0. Последовательности Ру

удозлотворшг уравнениям

»

Гу.вЧ.....= zS еХР H®<VV [ 1 +

со '

1 к + J "1

к=г1 к

л

II — I ау, ■ • 'Ч П;,,,.....Чв, <у3) s-v.к(у,> • ■ .Ук)] .»1,

где

г в

* ' - 1

.....^Е

})= exp j-р ^ ®(qi~yd)

которое называются уравнениями Майера-Монтролла.

В § 3.2 вводится оператор Майера-Монтролла. Для этого вьодктся то а,о банахово пространство . элементами которого являются последовательности ограниченных функций, симметричных относительно перестановки аргументов и исчезающих на запрещэн-н(,-х конфигурациях. Оператор Уайера-Монтролла на последовательностях пространства Е, определяется сл'"!дуей формулой:

^ 3

|(Kf)o(q3)| - z3 exp {~р Y2 *

r 1=i<J

О 1 k

" III? i.^i-^ .....v(V

Kj=ri4i.....4sJ J '

S >- 1 .

Дока:-ано, что при |г,| < С-1 (e)exp{-2pBsQ + рВ + 1) норма К в Ее меньше единицы. Глава завершается доказательством компакт-кости оператора К в Е,> откуда следует, что оператор К имеет счетный спектр.

Четвертая глава посвящена исследованию адаптивных процессов роста, модол^ьм^х схемами урн, методами квантовой теории.

В § п. 1 дано краткое описание традиционных методов гсслодоепния обобщенной калачи об урне.

Б а 4.2 данная задача сформулирована в терминах квантовой теории. Для ьтого вводится сложный математический аппарат квантовой теории, а именно операторы рождения и уничтожения '.•остин« пространство Фока, в котором дийстг-утт операторы рс*:~

долнл к уничтожения частиц, вакуум, операторы числа частиц, гг.!,м-,5льтонигв1 и т.д. С его помощью адаптивные процессы роста списаны кя'с чвантоЕая система с частицами двух сортов, сопоставлен оЛ определенный гамильтониан, а изменение состояния описано аналогом уравнения Шредингера.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАВОТЫ

1. 3 ра?.жах канонического ансамбля при исследовании равновесного состояния бесконечной системы частиц с взаимодойст-диом споцлалмюго вида

¿скяаано существование единственного решения уравнения Кирквуд::-3° пьцбургп;

- матоматич?ски обоснован термодинамический продельный пер.ход, т.е. доказано, что последовательность частичных функций распределения Рк стремится к решению уравнения Кирквуд.:-3алы1бурга в банаховом пространстве Е^;

- доказано, что предельная частичная функция распределения представляется в виде произведения одночастачных фушепий распределения, которые удовлетворяют нелинейному уравнению Зласова.

2. Доказано, что оператор Майера-Монтролла компактен в банаховом пространстве последовательностей ограниченных функций и его спектр содержит конечное или счетное множество точек.

3. Методами квантовой теории исследовано асимптотическое поведение адаптивных процессов роста, моделируемых схемами урн.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах

1. Петрина Е. Д. Термодинамический предел для равновесного состояния бесконечных классических систем с взаимодействием специального вида - Киев, 1989.- 27 е.- ( Препр./АН Украины. Ин-т кибернетики им. В. М.Глушкова; 8Э-13).

2. Петрина Е. Д. Спектральные свойства оператора Майора-Монтролла // Математические методы анализа и оптимизации сложных систем, функционирующих в условиях неопределенности. - Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР. 1989. -

С. 27-34.

3. Петрина Е. Д. 00 о,дном методе определения термодинамического продольного перехода // Математические метода принл-тг.ч рзшоний в условиях неопределенности. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1990. - С. 28 - 33 .

4. Потрина Е. Д. Термодинамический предел для равновесного состояния бесконечных классических систем с взаимодействием специального вида // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 310, Л2С>. -

С. 328-333.

5. Потрина Е. Д. Адаптивные процессы роста, моделирус-мыв схемами урн в терминах квантовой теории поля // М&тоды и программные средства оптимизации, моделирования и создания вычислительных систем. - Киов: Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УОСР, 1990. - С. 7 - 12 .

6. Потрина Е. Д. Спектральные свойства оператора Майера-Монтроллэ // Докл. АН Украины. - 1991.- Ю .- С. 105-103.