автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОЗНИЧНОЙ ПРОДАЖИ СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ

ЗЫоб

На правах рукописи

Новицкая Елена Викторовна

Математическая модель розничной продажи скоропортящейся продукции

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2005

Работа выполнена в филиале Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске,

Научный руководитель;

доктор физико-математических наук, профессор Терпугов Александр Федорович Офт шальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кошкин Геннадий Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Змеева Елена Евдокимовна

Ведущая организация

Сибирский государственный аэрокосм и чсс кий университет

Зашита состоится 26 мая 2005 года в 10 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете (634050 г. Томск, пр. Ленина, 36)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенных печатью) просьба высылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета Буровой Н.Ю.

Автореферат разослан_марта 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Актуальност ь работы.

Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течении торговой сессии и товар будет снят с реализации или будет подлежать уценке. С другой стороны, недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, то есть к упущенной выгоде.

Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового покупателя партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы следующие вопросы:

Какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации?

По какой розничной цене должен предаваться этот товар?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от ухудшающихся качеств непроданного товара?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от количества непроданного товара, чтобы реализовать его до истечения срока его годности?

Ответам <х<гся бы частичным) на эти вопросы и посвящена данная работа. Она выполнялась по предложению ООО «Анжерское молоко», которое было заинтересовано в определении объемов выпускаемой продукции с очень ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых па реализацию в торговые точки, н в определении розничной цены реализации этой продукции. Этим фактом и определяется актуальность работы. В работе приведена справка об использовании ее результатов на этой фирме.

Наиболее близкими к тематике работы являются работы по управлению запасами и статьи по так называемой микроструктуре рынка, которая начала

ЦНБ МСХА фонд научной литературы

интенсивно развиваться в последнее десятилетие. Реферируемая работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:

1, Учитывается специфика торговли скоропортящимися товарами и товарами, чьи ютрсбительские свойства меняются со временем.

2.1ри определении оптимального объема партии товара, выставляемого на розшчмую продажу, учитывается специфика розничной торговли,

;. Рассматриваются вопросы установления оптимальной розничной иены на говар и вопросы изменения этой пены с течением времени.

Таким образом, в данной работе как бы объединяются основные идеи теории управления запасами и теории микроструктуры рынка.

Цель работы. При выполнении данной работы стаилась задача найти объем паргии портнцегося товара, выносимою на продажу, и его розничной наш, при которых прктвец получал бы максимум прибыли в единицу времени.

Мето.лкгя исследования. При речении поставленных задач использовались м<гЧДЬ| теории вероятностей. 1«орНи случайных процессов и математической 'Гатистики.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие паучше результаты.

-ля товаров срок годности которых ограничен одной торговой сессией;

1. Ферулы, ¡шределяющис оптимальный объем партии товара, выносимого на иро»чсу, и оптимальную розничную цену его продажи.

2. ВерОчостные хврактеп""«ки торговой сессии (плотности вероятностей длите. ,ости пр*Даж" партии товара и количества проданного товара в течение Юговой се'СИн)-

3. Вид оцс,к пар^^Р00' характеризующих продажу товара, по наблюдениям над резулгат"* тоРговой сессии.

4, Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем пролажу всего товара в течение торговой сессии.

Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени:

]. Формулы, определяющие оптимальный объем картин товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную иену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара).

3. Формулы, определяющие оптимальный затон изменения розничной цены в зависимости от времени.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов.

Для товаров, которые теряют товарный вид стечением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении ну-ассоновского потока покупок.

3. Формулы, определяющие опта мольный объем партии при постоянстве отношения цена / качество.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене к при ступенчатом изменении цены.

Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.

Научная новизна работы.

К новым научным результатам автор относит следующее: В трех случаях

- продажа товара, срок годности которого ограничен одной торговой сессией;

- продажа товара, который непрерывно портится с течением времени;

- продажа товара, теряющего свой товарный вид с течением времени

с критерием оптимальности в виде максимума прибыли в единицу времени получены

- формулы, определяк>!цис оптимальный объем партии товара, выносимого на пролажу;

- формулы, определяющие оптимальную розничную цену или оптимальный закон изменения розничной цены с течением времени;

- формулы, определяющие вероятностные характеристики торговой сессии и количества товара, имеющегося в наличии в произвольный момент времени.

Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней поставлена и частично решена задача оптимизации розничной продажи товаров, срок реализации которых ограничен, или которые портятся с течением времени.

11рактнчсское значение работы, по мнению автора, заключается в том, что данные в ней рекомендации помогут фирмам, производящим скоропортящиеся товары, оптимизировать их розничную продажу и увеличить свою прибыль.

Краткое изложение содержания работы

В первой главе рассматривается оптимизация продажи продукции, срок |од-ности которой составляет одну торговую сессию. В п. 12 в предположении, что покупатели покупают товар независимо друг от друга, и объем покупки 4 есть случайная величина с М{%} = ак и Л/'^2) = а2 и что поток покупок есть пуассо-новскнй ноток постоянной интенсивности А.(с) (с - розничная цена, по которой продается товар), находится прибыль от продажи партии товара объема (} и вы-

водится обшее уравнение для определения оптимального объема партии товара. В п. 1.3 для случая, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону, уравнение для определения оптимального значения Q приводится к виду

Здесь <1 -оптовая цена, Т ~ длительность торговой сессии, В асимптотике Мс)Т »I решение этого уравнения получено в виде

где Ч*(*) есть функция, обратная функции Лапласа Ф(*).

В п. 1.4 рассмотрен теперь асимптотический случай ХТ да и произвольное распределение величины покупки. Показано, что предыдущая формула сохраняет свою силу н в этом случае.

В п. 1.5 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены продажи товара. Показано, что оптимальное значение с следует искать из условия

По-видимому, найти оптимальное значение с можно лишь численно при конкретизации вида уЦс).

В п. 1.6 рассмотрено приближенное ранение этого уравнения, когда А.(с) представимо в виде А,(с) = ХйГ(с). Тогда приближенное решение уравнения для с имеет вид с = с„ + Дс, где с0 находится из уравнения

(1.10)

щах.

и

-

Тем самым определяется оптимальная розничная цена продажи партии товара. В п. 1.7 рассмотрен простейший частный случай, когда F(c) имеет вид

с-с„

F(c) = l-a-

d '

где (/-оптовая цена, с0 - равновесная цена л я> 0. Связь между с0 и а имеет

вид

и в этом случае

где

Ас

pxafr

-С«

И п. 1.8 рассмотрен вопрос о плотности вероятностей длительности продажи партии товара объема Q. Точное решение задачи можно получить и случае экспоненциального распределения объема отдельной покупки. Показано, что в этом случае точное выражение для нлотности вероятностей времени продажи / всей партии товара имеет вид

В асимптотике ч = ()/а\»1 показано, что / является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием Q¡a^k ндисперсией 2 .

В н. ].9 эта же задача решена в диффузионном приближении и показано, что предыдущий результат верен н в этом случае.

В п. 1.10 рассмотрен вопрос об оценке величин и а2ХГ по результатам торговых сессий. Пусть всего прошло п сессий, и и - т из них окончились распродажей всей партии товара, а в т сессиях остался нераспроданный товар, так что количество проданного в них товара составило В этом

случае количество проданного за торговую сессию товара дг есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием = тх и диспер-

I т

сиси = с* = а2\Т. Пусть Л = т/п и х = —. Тогда, используя метод

моментов, получено, что оценки интересующих нас величин имеют вид

д-х

mx ~ а^кТ =

2 ' Т(Л)+ F(A>' *Т(А) + QFih)

Ч'(й) + /Ш

Пусть всего было п торговых сессий, из которых т закончились досрочно в моменты времени и в п~т сессиях товар остался нераспродан-

ным, то сеть до полной продажи товара потребовалось бы время, больше Г. Введем безразмерные величины \1 = т,/Т и л = а,/Г, так что

И И*

Тогда оценки величин ц и 5 имеют вид

тТ(й)+Г(А) 1-т

W(h) + F(h) V(h) + F(h) где

mJ

Зная эти оценки, можно найти и оценки величин а^КТ и а-ХТ по приведенным выше формулам.

(3 п. 1.11 рассмотрено управление розничной ценой товара, имеющее целью добиться того, чтобы к концу торговой сессии весь товар был распродан, Здесь

возможны самыс разнообразные варианты. В работе рассмотрен лишь случай, когда цена с(/) товара в момент времени / определяется соотношением

Эга процедура получается нз следующих естественных соображений: дробь £?(')/(7"—/) есть та средняя скорость с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, а,Х(с(()) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени /. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу,

В чтом случае в диффузионной аппроксимации найдены вероятностные характеристики процесса 0(0 (количество непроданное товара в момент времени г). Показано, что математическое ожидание и дисперсия этхтго процесса им йот вид

а плотность вероятностей — вид

= 8(0 + ре ,

где (3 = 2а^1а2.

Эго выражение позволяет найти функцию распределения и математическое ожидание длительности продажи товара т

р(х <о=/\<о - ехр^- ^ра ).

М{т> = /(I-= ек>- '¡е-**''Охj.

Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается. При Р£?о »1 приближенно

"И'-рГ-Ш-

Определим величину с„ уравнением

Булем называть се «стационарной пеной», так как ома соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью. Тогда приближенно

что к определяет розничную цену тоиара в каждый момент времени. П этом случае выручка ог продажи товара равна

Заметим, что Х'(с0)<О и поэтому ^ <д1с0Х(с„)Г, то есть управление ценой с пенью продать весь товар до окончания торговой сессии уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цепе. Однако это уменьшение имеет порядок 1/РЙ, и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.

В этом же пункте найдены функция корреляции и переходная плотность вероятностей процесса 0(1),

Во второй главе рассматривается следующая ситуация: имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, фрукты, овощи и т.д.). которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.). Продавец покупает партию товара объема О^а по оптовой цепе <3 и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q<, и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.

В п. 2.2 эта задача решается в детерминированном приближении, в предположении, что на интервале времени испортится количсстьо товара — + о(Д/). Тогда момент времени Г0 окончания продажи этой

партии товара связал с ее объемом {^соотношением

Прибыль от реализации этой партии составит величину П = о^Цс)^ - - 0О.

Будем считать, что после реализации партии товара продавец тратит время Ть на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в единицу времени составит величину

М<0

P-ojcMO—^т ч-------■

Inl ; + +кГ

t "iMc)J *

Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозначим z = кби/^Цс). Тогда среднюю прибыль в единицу времени Р можно представить в виде

1п(1 + :>+кГ(, и. при фиксированном с, задача примет вид

{{:) = ——------=> max.

Оптимальное значение z находится из условия /'(z) = 0, которое приводит к уравнению

1 + ; с С

D работе показано, что это уравнение имеет единственный корень. Обозначая его через zop, (его можно найти лишь численно), можно найти и оптимальный объём партии товара:

п - :°р>а1к(с)

и*- к ■

В п.2.4 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Пусть поддерживается ; = . Тогда Р зависит от розничной цепы с через сомножитель

сХ(с) ln(l +zap!)~ X(c)d ■ zop,, и поэтому задача нахождения оптимальной розничной цены приобретает вил

Л(с)1п(1 + - Цс)^ • => тах. Приравнивая нулю производную от этого выражения по с, получим уравнение

Х\с) )п(1 + г„р,)

определяющее эту цену,

В п, 2.5 показано, что все эти результаты верны также в диффузионном приближении при больших значениях ()в- В п. 2.6 показано, что все эти результаты верны также и в случае, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону также при больших значениях {?„, а в п. 2.6 — что все эти результаты при больших значениях Оп верны и при произвольном распределении величины покупки.

В п.2.8 рассмотрено управление розничной ценой товара. Пусть розничная цена с(/) есть функция времени /, Тогда средняя прибыль в единицу времени будет равна

?„ К

|с{т)Х(с(т))Л - d ^Uc(TL))eKXdj

р = Л $--- ...—--о-,

1 Jo + П

Так как Т0 и Q0 связаны однозначно, то можно искать максимум Р не по Q¡¡ и с(т), а по Г0 и с(т), то есть решать задачу Р ;=> шах . Это приводит к уравнению

\\с(х))

Сравнивая это уравнение с уравнением дтя постоянной иены мы видим, что розничная цена продажи должна возрастать со временем. Объяснить это можно следующим образом. Пусть мы купили партию товара достаточно большого объема Qo. Так как товара много, то и количество испортившееся товара в единицу времени велико, и чтобы уменьшить потери от его порчи нам выгодно распродавать его даже по несколько меньшей иене. По мерс продажи товара, его количество уменьшается, уменьшаются и потери от его порчк, и выгодно несколько

увеличить розничную иену. Именно это и отражает приведенное выше уравнение.

Если считать, что зависимость найдена, то уравнение для определения оптимального значения Т0 имеет вид т

}(с(т) - Ж") Мс(т)) А =Х(с(Г&»{е<Г0> - Ж** + Т„), о

откуда, зная , можно найти и объем партии ,

В п. 2,9 рассмотрена ситуация, когда закупка партии товара требует некоторых накладных расходов, связанных, например, с транспортными расходами и тл. В дальнейшем будем считать, что покупка партии товара объема О стоит нам Ц-О + О денег, где (1 - оптовая цена товара, и С~ накладные расходы. Тогда средний доход в единицу времени будет равен

а кд кС с я(сХ

Р =

Обозначим для краткости

_ кд _ ""в,**

Тогда выражение для Р примет вид

- > ї » £ -' . ■

а. с а [С а.

и, при фиксированной розничной цене с задача определения оптимального объема закупаемой партии примет вид

Р = а,Л(с)—■^—~—-—шах. 1 Іп(! + г) і

Показано, что эта задача имеет смысл при выполнении условия

в.сЦс)|

что дает ограничение на величину накладных расходов. Оптимальное значение ; находится из уравнения

которое имеет единственный корень. В работе также показано, что этот результат остается а силе и в том случае, если новая партия товара приобретается до того, как продана предыдущая партия н ее приобретение до окончания продажи предыдущей партии нецелесообразно.

В гт.2.10 рассмотрен вопрос об определении оптимально» розничной цепы. Она определяется из системы уравнений

</-в,Мс)1п(1+ =) =---,

с + ~— =-.

г/(£7) 1п(1 + ;>

В п. 2,11 рассмотрен случай, когда имеют место и накладные расходы и временные потерн. В этом случае оптимальный объем партии товара определяется из уравнения .

Ок <1 кв

где : = ~тт", ? = -, £ =——■ й1Х(с) с а^екке)

В третьей главе рассматривается следующая задача: пусть имеется некоторая продукция, товарные свойства которой (товарный вид, потребительские качества) непрерывно ухудшаются стечением времени. Продавец покупает партию товара объема ¡2« по оптовой цене О и продаст ее по розничной пенс с(г), которая должна меняться с течением времени, так как очевидно, что с ухудшением товарных качеств спрос на нее падает н для увеличения спроса продавец вынужден снижать цену. Ставится задача нахождения значений <2« и с(г), при которых средняя прибыль продавца будет максимальной, В главе рассмотрен случай, когда спрос на продукцию определяется отношением цена/качество, то

есть величиной i(/) = c(OMO, где функция v(/) есть некоторая величина, характеризующая товарное качество продукции в момент времени t.

В п.3.2 рассмотрено детерминированное приближение. Показано, что оптимальное значение s определяется уравнением

. I Ц') - О Ш v '

Зная вид v(i) отсюда и определяется оптимальная розничная цена с(() = v(i)s(v(/)). Оптимальный объем партии товара определяется выражением

п

в котором величина Та (время продажи партии) находится из уравнения - ¿>]М*(0)<Л - Гй[с(Г0)- П}ХЩП)) = -.

о

Пусть О(0 и SU) есть соответственно количество проданного товара и полученный от продажи доход на момент времени (. В н. 3.3 найдены в диффузионном приближении вероятностные характеристики этих процессов, такие, как математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции. Найдены также математическое ожидание и дисперсия продолжительности продажи партии товара, В п. 3.4 эти же характеристики найдены в предположении, что поток покупок является пуассоноаским потоком переменной интенсивности.

Иногда бывает разумно добиться того, чтобы интенсивность потока покупок была постоянной, так как в противном случае либо создаются очереди, что отпугивает потенциальных покупателей, либо простаивает продавец, если покупателей мало. Так как мы предположили, что интенсивность потока покупателей зависит лишь от величины j = c(OMO» то это трансформируется в условие постоянства величины s. В п. 3.5 рассмотрен именно этот случай и показано, что оптимальное значение s и Г0 определяются системой уравнений

V(J) Р(Г.)

r

Здесь = . Через них находится оптимальный объем партии » вы*

о

ручка от продажи товара

о

В п, 3.6 рассмотрен случай продажи товара по постоянной иене, а в п. 3.7 — случай ступенчатого изменения цены.

Во всех этих случаях проведена конкретизация получаемого решения для v(/) = vü{l - i/П) и двух вариантов для k(s); X.(j) = X.„cxp(1-j/k} и ХС-О^оО-^/к).

В приложении дается краткое описание программного обеспечения для расчета полученных в работе характеристик.

Публикации но работе

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Змеев O.A. Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.

2. Китаева A.B., Новицкая Eü_, Терпугов А.Ф. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных системах. Выи. б. Томск: Изд-воТом. ун-та, 2004. С. 95-105.

3. Новицкая Е.В. Управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара /ЛЗесткик Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 64-68.

4. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной иены продажи непрерывно портящейся продукции.

//Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 69-74.

5. Новицкая E.D., Терпугов Л.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством // Теоретическая и прикладная информатика. Выл. I. Томск: Иэд-во Том. ун-та, 2004. С. 62-76.

6. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. Томск: Изд-во Том ун-та, 2004.93с.

7. Змеев О.А., Новицкая Б.В. Определение оптимальной розничной цень) продажи скоропортящейся продукции. //Третья Всероссийская ФAM'2004 конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2004, С. 22-23,

8. Novitskaya Ye.V, Determination of the optimal volume of goods and a retail price of the sale of the continuously spoiling product //Proc, of S'11 Korea-Russian international symposium on sciencc and technology. Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2004, v.3, pp. 261-262.

9. Новицкая E.B. Определение оптимального объема партии скоропортящейся продукции при ступенчатом изменении цены //Материалы Ш Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004 г. Ч. 2. С. 153156.

10. Новицкая Е.В., Пирогов В.А Определение оптимального объема парши товара с учетом накладных расходов.// Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004г.) Ч. I. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 89-92

11. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения цена / качество. // Информационные технологии и математическое моделирование: II! Всероссийская научно-практическая конференция. 4.2. -Томск: Изд-во Том . Ун-та, 2004.С. 15

12. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии товара с ухудшающимся качеством. //Наука. Технологии. Инновации. Материалы конференции молодых ученых, 4.1. - Новосибирск, 2004 - С. 49-50

Апробации работы

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Красноярск, 2004 г,

2. Восьмой Корейско-Русский международный симпозиум по науке и технологии (КОКи5-2СЮ4). Томск, 2004 г.

3. Третья Всероссийская научно-техническая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2004 г.

4. Пятая международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара, сентябрь 2004г.

5. Всероссийский симпозиум «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск АСФ КемГУ, декабрь 2004г.

6. Всероссийская научная конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации», г. Новосибирск, декабрь 2(ХМг.

Подписано к печати «#£/""» марта 2005г. Формат 60x84 1/16 Тираж 100зкз. Заказ № ^¿Г-

Кемеровский государственный университет. 650043, г. Кемерово, ул. Красная, б. Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске. Отпечатано на Участке оперативной полиграфии КемГУ в г. Анжеро-Судженске

«2- 5 5 49