автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель розничной продажи скоропортящейся продукции

На правах рукописи

Новицкая Елена Викторовна

Математическая модель розничной продажи скоропортящейся продукции

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2005

Работа выполнена в филиале Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Терпугов Александр Федорович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кошкин Геннадий Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Змеева Елена Евдокимовна

Ведущая организация

Сибирский государственный аэрокосмический университет

Защита состоится 26 мая 2005 года в 10 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 21 2.267.08 при Томском государственном университете (634050 г. Томск, пр. Ленина, 36)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенных печатью) просьба высылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета Буровой Н.Ю.

Автореферат разослан_марта 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Актуальность работы.

Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течении торговой сессии и товар будет снят с реализации или будет подлежать уценке. С другой стороны, недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, то есть к упущенной выгоде.

Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового покупателя партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы следующие вопросы:

Какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации?

По какой розничной цене должен продаваться этот товар?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от ухудшающихся качеств непроданного товара?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от количества непроданного товара, чтобы реализовать его до истечения срока его годности?

Ответам (хотя бы частичным) на эти вопросы и посвящена данная работа. Она выполнялась по предложению 000 «Анжерское молоко», которое было заинтересовано в определении объемов выпускаемой продукции с очень ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки, и в определении розничной цены реализации этой продукции. Этим фактом и определяется актуальность работы. В работе приведена справка об использовании ее результатов на этой фирме.

Наиболее близкими к тематике работы являются работы по управлению запасами и статьи по так называемой микроструктуре рынка, которая начала

интенсивно развиваться в последнее десятилетие. Реферируемая работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:

1. Учитывается специфика торговли скоропортящимися товарами и товарами, чьи потребительские свойства меняются со временем.

2. При определении оптимального объема партии товара, выставляемого на роз»ичную продажу, учитывается специфика розничной торговли.

3. Рассматриваются вопросы установления оптимальной розничной цены на говар и вопросы изменения этой цены с течением времени.

Таким образом, в данной работе как бы объединяются основные идеи теории упрашения запасами и теории микроструктуры рынка.

Цель работы. При выполнении данной работы спюилась задача найти объем партии порнщегося товара, выносимого на продажу, и его розничной цены, при которых продавец получал бы максимум прибыли в единицу времени.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей. 1еории случайных процессов и математической статистики.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

ля товаров срок годности которых ограничен одной торговой сессией:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи.

2. Верочостные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длите.чости продажи партии товара и количества проданного товара в те-чениеторговой сессии).

3. Вид оценок параметров характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результат торговой сессии.

4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии.

Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара).

3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов.

Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пу-ассоновского потока покупок.

3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отношения цена / качество.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены.

Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.

Научная новизна работы.

К новым научным результатам автор относит следующее: В трех случаях

- продажа товара, срок годности которого ограничен одной торговой сессией;

- продажа товара, который непрерывно портится с течением времени;

- продажа товара, теряющего свой товарный вид с течением времени

с критерием оптимальности в виде максимума прибыли в единицу времени получены

- формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу;

- формулы, определяющие оптимальную розничную цену или оптимальный закон изменения розничной цены с течением времени;

- формулы, определяющие вероятностные характеристики торговой сессии и количества товара, имеющегося в наличии в произвольный момент времени.

Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней поставлена и частично решена задача оптимизации розничной продажи товаров, срок реализации которых ограничен, или которые портятся с течением времени.

Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что данные в ней рекомендации помогут фирмам, производящим скоропортящиеся товары, оптимизировать их розничную продажу и увеличить свою прибыль.

Краткое изложение содержания работы

В первой главе рассматривается оптимизация продажи продукции, срок годности которой составляет одну торговую сессию. В п. 12 в предположении, что покупатели покупают товар независимо друг от друга, и объем покупки есть

случайная величина с и что поток покупок есть пуассо-

новский поток постоянной интенсивности Цс) (с - розничная цена, по которой продается товар), находится прибыль от продажи партии товара объема Q и вы-

водится общее уравнение для определения оптимального объема партии ювара. В п. 1.3 для случая, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону, уравнение для определения оптимального значения Q приводится к виду

,-1 / --\ .... И

(1.10)

Здесь d -оптовая цена, Т - длительность торговой сессии. В асимптотике Цс)Г »I решение этого уравнения получено в виде

Q = а, ■ Х(с)Т + fiPl(c)T ■ 4^1 - - J,

где Ч'О есть функция, обратная функции Лапласа Ф().

В п. 1.4 рассмотрен теперь асимптотический случай XT —> оо и произвольное распределение величины покупки. Показано, что предыдущая формула сохраняет свою силу и в этом случае.

В п. 15 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены продажи товара. Показано, что оптимальное значение с следует искать из условия

По-видимому, найти оптимальное значение с можно лишь численно при конкретизации вида

В п. 1.6 рассмотрено приближенное решение этого уравнения, когда Х(с) представимо в виде Цс) = \0Е(с). Тогда приближенное решение уравнения для с имеет вид с = с0 + Дс, где с0 находится из уравнения

Лс,) .

ПСо)

и

Тем самым определяется оптимальная розничная цена продажи партии товара. В п. 1.7 рассмотрен простейший частный случай, когда Р{с) имеет вид

где й- оптовая цена, CQ - равновесная цена и а > 0. Связь между Со и а имеет вид

и в этом случае

где

В п. 1.8 рассмотрен вопрос о плотности вероятностей длительности продажи партии товара объема Q. Точное решение задачи можно получить в случае экспоненциального распределения объема отдельной покупки. Показано, что в этом случае точное выражение для плотности вероятностей времени продажи / всей партии това£ ^

В асимптотике q = Q|a^»\ показано, что / является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией

В п. 1.9 эта же задача решена в диффузионном приближении и показано, что предыдущий результат верен и в этом случае.

В п. 1.10 рассмотрен вопрос об оценке величин а{КТ и а2ХТ по результатам торговых сессий. Пусть всего прошло п сессий, и п - т из них окончились распродажей всей партии товара, а в т сессиях остался нераспроданный товар, так что количество проданного в них товара составило В этом

случае количество проданного за торговую сессию товара х есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием и диспер-

сией 0{х} = а\ =а2ХТ. Пусть й = от/и и х =—^х1. Тогда, используя метод моментов, получено, что оценки интересующих нас величин имеют вид

Пусть всего было п торговых сессий, из которых т закончились досрочно в моменты времени сессиях товар остался нераспродан-

ным, то есть до полной продажи товара потребовалось бы время, больше Т. Введем безразмерные величины , так что

Тогда оценки величин имеют вид

Зная эти оценки, можно найти и оценки величин а{ХТ и а^ХТ по приведенным выше формулам.

В п. 1.11 рассмотрено управление розничной ценой товара, имеющее целью

добиться того, чтобы к концу торговой сессии весь товар был распродан. Здесь

9

возможны самые разнообразные варианты. В работе рассмотрен лишь случай, ко-ща цена с(/) товара в момент времени t определяется соотношением

Эта процедура получается из следующих естественных соображений: дробь () есть та средняя скорость с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, я,Х(с(/)) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени /. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.

В этом случае в диффузионной аппроксимации найдены вероятностные характеристики процесса (количество непроданного товара в момент времени Показано, что математическое ожштание и ттиспепсия этот ттопесса имеют вид

от)}

а плотность вероя гностей - вид

где

Это выражение позволяет найти функцию распределения и математическое ожидание длительности продажи товара

Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается. При Р&»1 приближенно

Определим величину с0 уравнением

Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью. Тогда приближенно

1 ( б

а1\'(с0){Т-1 Т)'

что и определяет розничную цену товара в каждый момент времени. В этом случае выручка от продажи товара равна

Заметим, что А.'(с0)<0 и поэтому 5 < а1С0^.(с0)Г, то есть управление ценой с целью продать весь товар до окончания торговой сессии уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цепе. Однако это уменьшение имеет порядок 1/Р0> и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.

В этом же пункте найдены функция корреляции и переходная плотность вероятностей процесса

Во второй главе рассматривается следующая ситуация: имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, фрукты, овощи и т.д.), которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.). Продавец покупает партию товара объема Q0 по оптовой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Qo и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.

В п. 2.2 эта задача решается в детерминированном приближении, в предположении, что на интервале времени испортится количество товара Д (2(1) = кО(/)Д/ + о(Д?). Тогда момент времени Т0 окончания продажи этой партии товара связан с ее объемом соотношением

Прибыль от реализации этой партии составит величину

Будем считать, что после реализации партии товара продавец тратит время на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в единицу времени составит величину

Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозначим 2 = в единицу в] Р = арЦс) •

Тогда среднюю прибыль в единицу времени Р можно представить в виде

1п(1

Щ+:)+кТь

и, при фиксированном с, задача примет вид

>(! + :)-(¿'с)-

тах.

1п(1 + г) + кГА

Оптимальное значение находится из условия которое приводит к

уравнению

В работе показано, что это уравнение имеет единственный корень. Обозначая его через (его можно найти лишь численно), можно найти и оптимальный объём партии товара:

=0РлЧс)

е к

В п.2.4 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Пусть поддерживается Тогда Р зависит от розничной цены с через со-

множитель

Л(с)1п{1 + гор,) - 1{с)с1 ■ 2ор1,

и поэтому задача нахождения оптимальной розничной цены приобретает вид

сХ(с) 1п(1+;ор1)~ Цс)<1 - :ор< => шах.

Приравнивая нулю производную от этого выражения по с, получим уравнение

ор!

т Ы1+гор1У

определяющее эту цену.

В п. 2.5 показано, что все эти результаты верны также в диффузионном приближении при больших значениях Qй. В п. 2.6 показано, что все эти результаты верны также и в случае, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону также при больших значениях Qo, а в п. 2.6 - что :е эти результаты при больших значениях Qo верны и при произвольном распредс ?нии величины покупки.

В п.2.8 рассмотрено управление розничной ценой товара. Пусть розничная цена с(/) есть функция времени 1. Тогда средняя прибыль в единицу времени будет равна

Так как Г0 и Q0 связаны однозначно, то можно искать максимум Р не по ()0 и с(т), а по Тй и с(т), то есть решать задачу Р => тах . Это приводит к уравнению

Сравнивая это уравнение с уравнением для постоянной цены мы видим, что розничная цена продажи должна возрастать со временем. Объяснить это можно следующим образом. Пусть мы купили партию товара достаточно большого объема Qo. Так как товара много, то и количество испортившегося товара в единицу времени велико, и чтобы уменьшить потери от его порчи нам выгодно распродавать его даже по несколько меньшей цене. По мере продажи товара, его количество уменьшается, уменьшаются и потери от его порчи, и выгодно несколько

увеличить розничную цену. Именно это и отражает приведенное выше уравнение.

Если считать, что зависимость с(т) найдена, то уравнение для определения оптимального значения То имеет вид

}(ф) - с1е")х(ф))с!1 =Л.(с(Г0 ))(с(Г0 )-deI<^ + ТЬ),

откуда, зная То, можно найти и объем партии (У0.

В п. 2.9 рассмотрена ситуация, когда закупка партии товара требует некоторых накладных расходов, связанных, например, с транспортными расходами и т.д. В дальнейшем будем считать, что покупка партии товара объема Q стоит нам + й денег, где й- оптовая цена товара, и О - накладные расходы. Тогда средний доход в единицу времени будет равен

Обозначим д ля крат__к£?

_ Л -к<3

г> У — > 8 ~ , ■ а{К с я,сл.

Тогда выражение для Рг ,. . 1п(1+;) - у; - г

Р = ЛСА(С)-,

1 1п(1+;)

И, при фиксированной позничной пене г зяттячя оттпеттеттения оптимального объ-

1пП + г) — уг ~ я

ема закупаемой парти Р = а,<Л(с)—--—--—=>тах.

1п(1 + 2) г

Показано, что эта задача имеет смысл при выполнении условия

что дает ограничение на величину накладных расходов. Оптимальное значение I находится из уравнения

которое имеет единственный корень. В работе также показано, что этот результат остается в силе и в том случае, если новая партия товара приобретается до того, как продана предыдущая партия и ее приобретение до окончания продажи предыдущей партии нецелесообразно.

В п.2.10 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Она определяется из системы уравнений

В п. 2.11 рассмотрен случай, когда имеют место и накладные расходы и временные потери. В этом случае оптимальный объем партии товара определяется из уравнения

В третьей главе рассматривается следующая задача: пусть имеется некоторая продукция, товарные свойства которой (товарный вид, потребительские качества) непрерывно ухудшаются стечением времени. Продавец покупает партию товара объема Qo по оптовой цене D и продает ее по розничной цене c{t), которая должна меняться с течением времени, так как очевидно, что с ухудшением товарных качеств спрос на нее падает и для увеличения спроса продавец вынужден снижать цену. Ставится задача нахождения значений Qo и c{t), при которых средняя прибыль продавца будет максимальной. В главе рассмотрен случай, когда спрос на продукцию определяется отношением цена/качество, то

есть величиной л(/) = с(?)/1>(/), где функция у(/) есть некоторая величина, характеризующая товарное качество продукции в момент времени /.

В п.3.2 рассмотрено детерминированное приближение. Показано, что оптимальное значение ,5 определяется уравнением

Зная вид у(/) отсюда и определяется оптимальная розничная цена с(/) = г(/),$(у(7)). Оптимальный объем партии товара определяется выражением

Та

в котором величина То (время продажи партии) находится из уравнения

То

{[с(0 - - г0[с(г0) - 0}Х(з(Т11))=

Пусть Q(t) и Б({) есть соответственно количество проданного товара и полученный от продажи доход на момент времени /. В п. 3,3 найдены в диффузионном приближении вероятностные характеристики этих процессов, такие, как математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции. Найдены также математическое ожидание и дисперсия продолжительности продажи партии товара. В п. 3.4 эти же характеристики найдены в предположении, что поток покупок является пуассоновским потоком переменной интенсивности.

Иногда бывает разумно добиться того, чтобы интенсивность потока покупок была постоянной, так как в противном случае либо создаются очереди, что отпугивает потенциальных покупателей, либо простаивает продавец, если покупателей мало. Так как мы предположили, что интенсивность потока покупателей зависит лишь от величины то это трансформируется в условие постоянства величины В п. 3.5 рассмотрен именно этот случай и показано, что оптимальное значение , и Го определяются системой уравнений

Здесь jv(u)du = V{t). Через них находится оптимальный объем партии и вы-

ручка от продажи товара

В п. 3.6 рассмотрен случай продажи товара по постоянной цене, а в п. 3.7 -случай ступенчатого изменения цены.

Во всех этих случаях проведена конкретизация получаемого решения для

= -¡/Т.) и двух вариантов для Х(л) = Х0ехр(1-5/к) и

W-UI-O/K).

В приложен

кейии дается краткое описание программного обеспечения для расчета полученных в работе характеристик.

Публикации по работе

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Змеев О.А. Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.

2. Китаева А.В., Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 95-105.

3. Новицкая Е.В. Управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара //Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., №284. С. 64-68.

4. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи непрерывно портящейся продукции.

//Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С.69-74.

5. Новицкая ЕВ., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством // Теоретическая и прикладная информатика. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 62-76.

6. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. Томск: Изд-во Том ун-та, 2004.93с.

7. Змеев ОА, Новицкая Е.В. Определение оптимальной розничной цены продажи скоропортящейся продукции. //Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2004. С. 22-23.

8. Novitskaya Ye.V. Determination of the optimal volume of goods and a retail price of the sale of the continuously spoiling product. //Proc. of 8th Korea-Russian international symposium on science and technology. Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2004, v.3, pp. 261-262.

9. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии скоропортящейся продукции при ступенчатом изменении цены //Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004 г. Ч. 2. С. 153— 156.

10. Новицкая Е.В., Пирогов ВА Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов.// Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004г.) 4.1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 89-92

11. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения цена / качество. // Информационные технологии и математическое моделирование: III Всероссийская научно-практическая конференция. 42. - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004.С. 15

12. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии товара с ухудшающимся качеством. //Наука. Технологии. Инновации. Материалы конференции молодых ученых, 4.1. - Новосибирск, 2004 - С. 49-50

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Красноярск, 2004 г.

2. Восьмой Корейско-Русский международный симпозиум по науке и технологии (К0ЯШ-2004). Томск, 2004 г.

3. Третья Всероссийская научно-техническая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2004 г.

4 Пятая международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара, сентябрь 2004г.

5. Всероссийский симпозиум «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск АСФ КемГУ, декабрь 2004г.

6. Всероссийская научная конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации», г. Новосибирск, декабрь 2004г.

Подписано к печати «25 » марта 2005г. Формат 60x84 1/16 Тираж ЮОэкз. Заказ № 425

Кемеровский государственный университет. 650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6. Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске. Отпечатано на Участке оперативной полиграфии КемГУ в г. Анжеро-Судженске

0£ té-051 S3

11С 3

у

22 4 иЪ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА Й РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ ПРОДАЖИ СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ.

1.1. Постановка проблемы.

1.2. Нахождение средней прибыли.

1.3. Случай экспоненциально распределенных покупок.

1.4. Асимптотика при больших XT.

1.5. Определение оптимальной розничной цены.

1.6. Приближенное решение.

1.7. Частный случай.

1.8. Плотность вероятностей длительности продажи партии товара.

1.9. Диффузионная аппроксимация.

1.10. Оценка параметров.

Резюме.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА Й РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ ПРОДАЖИ НЕПРЕРЫВНО ПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ.

2.1. Постановка проблемы.

2.2. Нахождение прибыли (детерминированный случай).

2.3. Критерий оптимальности и нахождение оптимального объёма партии товара.

2.4. Нахождение оптимальной розничной цены.

2.5. Диффузионное приближение.

2.6. Экспоненциально распределенные покупки.

2.7. Произвольное распределение величины покупки.

2.8. Управление розничной ценой товара.

2.9. Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов. ш 2.10. Определение оптимальной розничной цены.

2.11. Общий случай.

Резюме.

ГЛАВА З.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА Й РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ ПРОДАЖИ ПРОДУКЦИИ С НЕПРЕРЫВНО УХУДШАЮЩИМСЯ КАЧЕСТВОМ.

3.1. Постановка проблемы.

3.2. Нахождение и оптимизация прибыли (детерминированный случай).

3.3. Характеристики торговой сессии (диффузионное приближение).

3.4. Характеристики торговой сессии (пуассоновский поток).

3.5. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения ^ цена / качество.

3.6. Продажа по постоянной цене.

3.7. Ступенчатое изменение цены.

Резюме.

Актуальность работы.

Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течении торговой сессии и товар будет снят с реализации или будет подлежать уценке. С другой стороны, недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, то есть к упущенной выгоде.

Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового продавца партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы на следующие вопросы:

Какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации?

По какой розничной цене должен продаваться этот товар?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от ухудшающихся качеств непроданного товара?

Как должна меняться розничная цена в зависимости от количества непроданного товара, чтобы реализовать его до истечения срока его годности?

Ответам (хотя бы частичным) на эти вопросы и посвящена данная работа. Она выполнялась по предложению ООО «Анжерское молоко», которое было заинтересовано в определении объемов выпускаемой продукции с очень ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки, и в определении розничной цены реализации этой продукции. Этим фактом и определяется актуальность работы. Состояние проблемы

Непосредственно работ, посвященных предложенной задаче, найти не удалось. Наиболее близкими к тематике работы являются работы по управлению запасами и статьи по так называемой микроструктуре рынка, которая начала интенсивно развиваться в последнее десятилетие.

Теория управления запасами [4, 5, 9, 11, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 38, 40] является в настоящее время очень подробно разработанным разделом экономико-математических моделей. В ней разработаны подходы к оптимизации работы складов, которые являются атрибутом очень большого числа экономических объектов. Исследованы самые разнообразные модели, отличающиеся по виду запасов, структуре системы хранения, способу контроля уровня запасов, структуре запасов. Разнообразны также и математические модели управления запасами: статические и динамические, детерминированные и стохастические, стационарные и нестационарные, замкнутые и разомкнутые по спросу, со случайными поставками и временем поставок и т.д.

Однако в данных работах основным является учет потерь на хранение запасов на складах, а также потери от переполнения и опустошения склада. К процессу торговли это не имеет непосредственного отношения, так как в торговле совершенно другие критерии оптимальности - получение максимальной выгоды в единицу времени, возможность регулировать спрос, изменяя розничную цену, ограничения на время продажи партии товара (скоропортящиеся товары должны быть проданы в строго определенный промежуток времени), ухудшение потребительских свойств товара с течением времени и т.д.

Основная идея работ по микроструктуре рынка [41-56] состоит в следующем. Имеется классическая теория ценообразования, которая излагается во всех учебниках по микроэкономике и которая построена на основании соотношений спрос—цена и производство—цена. Эти зависимости определяют так называемую равновесную цену, то есть ту цену, по которой продается товар в состоянии равновесия рынка.

Однако этой равновесной цены еще надо достичь. Поэтому имеется целый ряд моделей [1, 2, 10, 14, 19] (паутинообразная модель, модель с прогнозированием цены, модель с учетом складов), в которых описывается процесс достижения равновесной цены. Однако эти модели не имеют практического применения.

Однако процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, имеет очень существенное значение для фондовых рынков, для которых характерно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как

- стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя — купить нужный ему актив;

- наличие активных и неактивных участников рынка;

- различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности, наличие инсайдерской информации;

- возможность обучения участников торгов в процессе функционирования фондового рынка.

По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также «микроструктура» рынка.

Таким образом, данная работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:

1. Учитывается специфика торговли скоропортящимися товарами. Используется другой критерий оптимальности - требуется взять такую партию товара, чтобы максимизировать прибыль от ее продажи.

2. При определении оптимального объема партии товара, выставляемого на розничную продажу, учитывается специфика розничной торговли -случайность объема покупки и процесса покупок, так же их зависимость от качества товара и розничной цены.

3. Рассматриваются вопросы установления оптимальной розничной цены на товар и вопросы изменения этой цены с течением времени.

Таким образом, в данной работе как бы объединяются основные идеи теории управления запасами и теории микроструктуры рынка.

Цель работы. При выполнении данной работы ставилась задача найти объем партии портящегося товара, выносимого на продажу, и его розничной цены, при которых продавец получал бы максимум прибыли в единицу времени.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные результаты.

Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи.

2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии).

3. Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии.

4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии.

Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара).

3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов.

Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пу-ассоновского потока покупок.

3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отношения цена / качество.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены.

Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.

Научная новизна работы.

К новым научным результатам относится следующее: В трех случаях

- продажа товара, срок годности которого ограничен одной торговой сессией;

- продажа товара, который непрерывно портится с течением времени;

- продажа товара, теряющего свой товарный вид с течением времени с критерием оптимальности в виде максимума прибыли в единицу времени получены

- формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу;

- формулы, определяющие оптимальную розничную цену или оптимальный закон изменения розничной цены с течением времени;

- формулы, определяющие вероятностные характеристики торговой сессии и количества товара, имеющегося в наличии в произвольный момент времени.

Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней поставлена и частично решена задача оптимизации розничной продажи товаров, срок реализации которых ограничен, или которые портятся с течением времени.

Практическое значение работы заключается в том, что данные в ней рекомендации помогут фирмам, производящим скоропортящиеся товары, оптимизировать их розничную продажу и увеличить свою прибыль.

Краткое изложение содержания работы

В первой главе рассматривается оптимизация продажи продукции, срок годности которой составляет одну торговую сессию. В п. 1.2 в предположении, что покупатели покупают товар независимо друг от друга, и объем покупки £ есть случайная величина с M{Q = а{ и М{} = а2 и что поток покупок есть пу-ассоновский поток постоянной интенсивности Х(с) (с - розничная цена, по которой продается товар), находится прибыль от продажи партии товара объема Q и выводится общее уравнение для определения оптимального объема партии товара. В п. 1.3 для случая, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону, уравнение для определения оптимального значения Q приводится к виду

Здесь d -оптовая цена, Т — длительность торговой сессии. В асимптотике \{с)Т »1 решение этого уравнения получено в виде где есть функция, обратная функции Лапласа Ф(-).

В п. 1.4 рассмотрен теперь асимптотический случай XT —> со и произвольное распределение величины покупки. Показано, что предыдущая формула сохраняет свою силу и в этом случае.

В п. 1.5 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены продажи товара. Показано, что оптимальное значение с следует искать из условия f /„i^vr f 1 / d\\ a,X(c)T

1--V с J a2X{c)T 2n exp f 1 ' V 1

V с J max с

По-видимому, найти оптимальное значение с можно лишь численно при конкретизации вида Х(с).

В п. 1.6 рассмотрено приближенное решение этого уравнения, когда Х{с) представимо в виде А-(с) = A-0F(c). Тогда приближенное решение уравнения для с имеет вид с = с0 + Ас, где с0 находится из уравнения

F(Co)

Сп+

F'(c0) d,

Лс = а-.

2nafX0T F"(c0)(c0-d) + 2F'(c0) х л/^6) c0F\cQ) ехр V f 1 Г v ^

1-— . со J pnF(cQ)-4> 1

О у

Тем самым определяется оптимальная розничная цена продажи партии товара. В п. 1.7 рассмотрен простейший частный случай, когда F(c) имеет вид d где d - оптовая цена, с0 — стационарная цена и а > 0. Связь между с0 и а имеет вид

J А О cQ = d 1 + -V а) и в этом случае

A c = ~d —Ц-G{d)

V2KafX0T где

G{a)-.

2a

1 -a

-exp U.J 1 л 2

1 + a V2tia

J)

1 + a W

1 +a

В п. 1.8 рассмотрен вопрос о плотности вероятностей длительности продажи партии товара объема Q. Точное решение задачи можно получить в случае экспоненциального распределения объема отдельной покупки. Показано, что в этом случае точное выражение для плотности вероятностей времени продажи t всей партии товара имеет вид Л pit) = Хе

Xt-Q/щ h

XtQ а

1 у

В асимптотике q = Q/a1»\ показано, что t является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием Qfa{k и дисперсией 2Q/.

В п. 1.9 эта же задача решена в диффузионном приближении и показано, что предыдущий результат верен и в этом случае.

В п. 1.10 рассмотрен вопрос об оценке величин ахХТ и а2ХТ по результатам торговых сессий. Пусть всего прошло п сессий, и п~т из них окончились распродажей всей партии товара, а в т сессиях остался нераспроданный товар, так что количество проданного в них товара составило Xj,x2,x3,.,.x:OT. В этом случае количество проданного за торговую сессию товара х есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием М{х} - тх = а{кТ и диспер

1 m сией D{x} = c^ =а2ХТ. Пусть h~m]n и х =—У'х,-. Тогда, используя метод m моментов, получено, что оценки интересующих нас величин имеют вид

Q-x зх = а2ХТ = тх -а{КТ

4>{h) + F(hy xVjfy + QFjh) ¥(/?) +F(/i)

Пусть всего было п торговых сессий, из которых т закончились досрочно в моменты времени tx,t2-,t2,.,tm, и в п-т сессиях товар остался нераспроданным, то есть до полной продажи товара потребовалось бы время, больше Г. Введем безразмерные величины ц = mt/T и s = сt/T, так что

Q Q2s2 а{кТ = — , а2ХТ = . Ц fT

Тогда оценки величин ци^ имеют вид тхР(/г) + F(h) 1-х

4(h) + F(h) ' Vify + Fih)' где

1 ^ > U mT ы

Зная эти оценки, можно найти и оценки величин а{кТ и а2ХТ по приведенным выше формулам.

В п. 1.11 рассмотрено управление розничной ценой товара, имеющее целью добиться того, чтобы к концу торговой сессии весь товар был распродан. Здесь возможны самые разнообразные варианты. В работе рассмотрен лишь случай, когда цена c{t) товара в момент времени t определяется соотношением

Эта процедура получается из следующих естественных соображений: дробь Q{t)/(T-t) есть та средняя скорость, с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, aiX(c(t)) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени L Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.

В этом случае в диффузионной аппроксимации найдены вероятностные характеристики процесса Q(t) (количество непроданного товара в момент времени t). Показано, что математическое ожидание и дисперсия этого процесса имеют вид t

6(0 = 0)1-- > D{Q(t)} =

V T J a a2Qo * а плотность вероятностей - вид p(Q,,) = e г где |3 = 2<я, / я 2 •

Это выражение позволяет найти функцию распределения и математическое ожидание длительности продажи товара т

P(T</) = FT(0 = exp

Г-/

Р£о

М{т} = J(1 - Fx(t))dt = 71-ерс?» Je" Pa/jcdt

О V 0 ,

Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается. При Р<20 »1 приближенно

М{х) = Т 1 1 j лл о

Р0о \№о

Определим величину с0 уравнением a{k(cQ) =

Si т

Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью. Тогда приближенно c(t) = c0+1 q а что и определяет розничную цену товара в каждый момент времени. В этом случае выручка от продажи товара равна

S « ахсйХ(со)Т

1 +

X(cQ) 1 cQX'(c0) Р0О

Заметим, что А/(с0)<0 и поэтому S < а,с0Я-(с0)Г, то есть управление ценой с целью продать весь товар до окончания торговой сессии уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1/РQ0 и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.

В этом же пункте найдены функция корреляции и переходная плотность вероятностей процесса Q{t).

Во второй главе рассматривается следующая ситуация: имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, фрукты, овощи и т.д.), которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.). Продавец покупает партию товара объема Qq по оптовой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q0 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.

В п. 2.2 эта задача решается в детерминированном приближении, в предположении, что на интервале времени испортится количество товара

Тогда момент времени Г0 окончания продажи этой партии товара связан с ее объемом Q0 соотношением

Mc)s '

Прибыль от реализации этой партии составит величину ГТ = axcX{c)TQ - d ■ Q0.

Т0=- In к

1 + V

Будем считать, что после реализации партии товара продавец тратит время Ть на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в единицу времени составит величину г> „ \

In

1 + J&JL ax\(c) V

Р = axck(c) f ч

Qo* d Q0k с a{k{c)

In

1 +

V aMc) у кТь

Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозначим z = KQQ/a{k{c). Тогда среднюю прибыль в единицу времени Р можно представить в виде ln(l + z)-(djc)-z

Р = ахсХ{с) ■ ln(l + z) + к Ть 14 и, при фиксированном с, задача примет вид f( ч ln(l + z)-{dfc)-z f(z) = ~--—-max .

1п(1 + г) + кГ6

Оптимальное значение z находится из условия f\z) = 0, которое приводит у уравнению

K.Th+(d/c)z d. . . d т b v ' J---ln(l + z)--к71 =0.

1 + z с с

В работе показано, что это уравнение имеет единственный корень. Обозначая его через zopt (его можно найти лишь численно), можно найти и оптимальный объём партии товара: п - z°p<a^c) izopt ~~ и к

В п.2.4 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Пусть поддерживается z = zopt. Тогда Р зависит от розничной цены с через сомножитель сЦс) ln(l + zopt) - X(c)d • zopt, и поэтому задача нахождения оптимальной розничной цены приобретает вид ln(l + z t) - \{c)d • z t => шах. с

Приравнивая нулю производную от этого выражения по с, получим уравнение j zopt

V{c) In {\ + zoptY определяющее эту цену.

В п. 2.5 показано, что все эти результаты верны также в диффузионном приближении при больших значениях Q0. В п. 2.6 показано, что все эти результаты верны также и в случае, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону также при больших значениях Q0, а в п. 2.6 - что все эти результаты при больших значениях Q0 верны и при произвольном распределении величины покупки.

В п.2.8 рассмотрено управление розничной ценой товара. Пусть розничная цена c(t) есть функция времени t. Тогда средняя прибыль в единицу времени будет равна

Го ф)Цс(т)Ут - d ]X{c{x))eKXdx ? = - 0

То + П

Так как Г0 и Q0 связаны однозначно, то можно искать максимум Р не по Q0 и с(т), а по Т0 и с(х), то есть решать задачу Р => шах . Это приводит к уравнению

М£(Т» ад

Сравнивая это уравнение с уравнением для постоянной цены мы видим, что розничная цена продажи должна возрастать со временем. Объяснить это можно следующим образом. Пусть мы купили партию товара достаточно большого объема Q0. Так как товара много, то и количество испортившегося товара в единицу времени велико, и чтобы уменьшить потери от его порчи нам выгодно распродавать его даже по несколько меньшей цене. По мере продажи товара, его количество уменьшается, уменьшаются и потери от его порчи, и выгодно несколько увеличить розничную цену. Именно это и отражает приведенное выше уравнение.

Если считать, что зависимость с(т) найдена, то уравнение для определения оптимального значения Г0 имеет вид ф) - deKX)x{c{x))dx =X(c{TQ)){c{TQ) - deKT° \т0 +Th), (38) о откуда, зная Т0 можно найти и объем партии Q0.

В п. 2.9 рассмотрена ситуация, когда закупка партии товара требует некоторых накладных расходов, связанных, например, с транспортными расходами и т.д. В дальнейшем будем считать, что покупка партии товара объема Q стоит нам d-Q + G денег, где d- оптовая цена товара, и G - накладные расходы.

Тогда средний доход в единицу времени будет равен

Р = ахск(с)

J{ | kQЛ d кQ кG ^ а(к J с а{к ахск

Обозначим для краткости кб а,Х

In d

1 +

Kg ахХ j z —

8 = к G щсХ

Тогда выражение для Р примет вид

Р =

1п(1 + z) - yz - g ln(l + z) и, при фиксированной розничной цене с задача определения оптимального объема закупаемой партии примет вид ч 1п(1 + z) — yz — g

Р = ахсХ(с)—1--—--— =>шах.

1 ln(l + z)

Показано, что эта задача имеет смысл при выполнении условия d q < ЩсЦс) к

In dj

-1 + что дает ограничение на величину накладных расходов. Оптимальное значение z находится из уравнения l + z)ln(l + z)-z = g/y, которое имеет единственный корень. В работе также показано, что этот результат остается в силе и в том случае, если новая партия товара приобретается до того, как продана предыдущая партия и ее приобретение до окончания продажи предыдущей партии нецелесообразно.

В п.2.10 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Она определяется из системы уравнений d • a{K{c)z + kG d ■ я1А,(с)1п(1 + z) =

X(c) d-z ° A/(c)~ln(l + z)'

1 + z

В п. 2.11 рассмотрен случай, когда имеют место и накладные расходы и временные потери. В этом случае оптимальный объем партии товара определяется из уравнения l + z)ln(l + z) = (y-K7i) + K7i

У g,

Ок d к G где z= , у = —, g~ ахХ(с) с а{сХ{с)

В третьей главе рассматривается следующая задача: пусть имеется некоторая продукция, товарные свойства которой (товарный вид, потребительские качества) непрерывно ухудшаются стечением времени. Продавец покупает партию товара объема Qo по оптовой цене D и продает ее по розничной цене c(t), которая должна меняться с течением времени, так как очевидно, что с ухудшением товарных качеств спрос на нее падает и для увеличения спроса продавец вынужден снижать цену. Ставится задача нахождения значений Q0 и c(t), при которых средняя прибыль продавца будет максимальной. В главе рассмотрен случай, когда спрос на продукцию определяется отношением цена/качество, то есть величиной s(t) = c(t)/v(t), где функция v(t) есть некоторая величина, характеризующая товарное качество продукции в момент времени t.

В п.3.2 рассмотрено детерминированное приближение. Показано, что оптимальное значение s определяется уравнением

X(s) D X (s) v

Зная вид v(t) отсюда и определяется оптимальная розничная цена c(t) = v(f)s(v(/)). Оптимальный объем партии товара определяется выражением

Го

Q0=a] jl(s(t))dt, о в котором величина Т0 (время продажи партии) находится из уравнения

То j[c(0 - D}X{s{t))dt - Г0[с(Г0) - Я]ВДГ0)) = -. а{

Пусть Q{t) и S(t) есть соответственно количество проданного товара и полученный от продажи доход на момент времени t. В п. 3.3 найдены в диффузионном приближении вероятностные характеристики этих процессов, такие, как математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции. Найдены также математическое ожидание и дисперсия продолжительности продажи партии товара. В п. 3.4 эти же характеристики найдены в предположении, что поток покупок является пуассоновским потоком переменной интенсивности.

Иногда бывает разумно добиться того, чтобы интенсивность потока покупок была постоянной, так как в противном случае либо создаются очереди, что отпугивает потенциальных покупателей, либо простаивает продавец, если покупателей мало. Так как мы предположили, что интенсивность потока покупателей зависит лишь от величины 5 = c(t)/v(t), то это трансформируется в условие постоянства величины s. В п. 3.5 рассмотрен именно этот случай и показано, что оптимальное значение s иТ0 определяются системой уравнений v(T0)T0-V(T0) + —= 0, a^A^s)

-'(.v) V(T„) t

Здесь jv(u)du = V{t). Через них находится оптимальный объем партии и выо ручка от продажи товара та

Q0 = a{k(s)TQ, S(T0) = a{sX(s) ^v(t)dt. о

В п. 3.6 рассмотрен случай продажи товара по постоянной цене, а в п. 3.7 -случай ступенчатого изменения цены.

Во всех этих случаях проведена конкретизация получаемого решения для v(t) = vQ(l-t/T*) и двух вариантов для Ця): Ця) = Х0 exp(l - s/к) и A,(s) = A,0(1-.S/K:).

В приложении дается краткое описание программного обеспечения для расчета некоторых характеристик полученных в работе.

Публикации по работе

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Змеев О.А. Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.

2. Китаева А.В., Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 95-105.

3. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи непрерывно портящейся продукции. //Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 69-74.

4. Новицкая Е.В. Управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара //Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 64-68.

5. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством // Теоретическая и прикладная информатика. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 62-76.

6. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. Томск: Изд-во Том ун-та, 2004. 93с.

7. Змеев О.А., Новицкая Е.В. Определение оптимальной розничной цены продажи скоропортящейся продукции. //Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2004. С. 22-23.

8. Novitskaya Ye.V. Determination of the optimal volume of goods and a retail price tv» of the sale of the continuously spoiling product. //Proc. of 8 Korea-Russian international symposium on science and technology. Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2004, v.3, pp. 261-262.

9. Новицкая E.B., Змеев О.А. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством.

Актуальные проблемы современной науки: сб.статей 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Ч.31 :Экономика (от JI до Я)/ Науч. ред Е.А. Безгласная, А.С. Трунин- Самара: изд-во СамГТУ, 2004. С. 39-41

10. Новицкая Е.В., Пирогов В.А Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов.// Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004г.) 4.1. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 89-92

11. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения цена / качество.// Информационные технологии и математическое моделирование: III Всероссийской научно-практической конференции. 4.2. —Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004. С. 15

12. Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии товара с ухудшающимся качеством. //Наука. Технологии. Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях. 4.1. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. С. 49-50.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Красноярск, февраль 2004г.

2. Межрегиональная научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи» г. Анжеро-Судженск АСФКемГУ, Апрель 2004г

3. Восьмой Корейско-Русский международный симпозиум по науке и технологии

KORUS-2004). Томск, июнь 2004 г.

4. Всероссийский симпозиум «ИТ и математическое моделирование» г. Анжеро

Судженск АСФКемГУ, декабрь 2004

5. Всероссийская научная конференция молодых ученых. «Наука. Технологии.

Инновации.» г.Новосибирск, декабрь 2004г.

6. Международная конференция молодых ученых и студентов. «Актуальные проблемы современной науки» г.Самара, декабрь 2004г.

ВЫХОД 1

Рис. 2. Окно динамики расчета.

Реализация

После задания параметров, необходимых для расчета показателей, программа реализует расчет величины М{£,2} = а2, по формуле а2 = а\ + D

Затем находится корень уравнения ф(4у) = 1--. с

Для функции использована следующая аппроксимация: берется аргумент*. По аргументу вычисляются величины z(x) и t(x): z(x) = yj- 2 ln(l - x) t(x) = 1-----1 z(x)~ 0.17741

Затем вычисляется = z(x)(1.2336 t(x) + 0.0917 t\x) - 0.2712 /3(x))

Оптимальный объем партии товара рассчитывается как d\ 1 - —

V с)

Q = a{ -Цс)Т + ^а2-Цс)Т - У И ожидаемая прибыль

S = c a{k(c)T 1 - — V с

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем еще раз сводку основных научных результатов, полученных в работе. Итак, в работе найдены:

Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи.

2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии).

3. Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии.

4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии.

Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара).

3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов.

Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени:

1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени.

2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пуассоновского потока покупок.

3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отношения цена / качество.

4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены.

Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.

РОССИЯ

ООО „АНЖЕРСКОЕ МОЛОКО

652470 г. Анжеро-Судженск, ул. Магистральная, I. Тел. (384-53) 2-42-85 . Р/с 40702810626120100441 ОСБ 2356 Сибирского СБ РФ г. Новосибирска БИК 04500641 ИНН 4201010479

Об использовании результатов диссертационной работы Е.В. Hobiil; «Математическая модель и оптимизация розничной прод скоропортящегося товара»

Настоящий акт подтверждает, что в рамках работ по исследован;• рееинженирингу бизнес-процессов ООО «Анжерское молг использовались математическая модель и программа оптимиза розничной продажи скоропортящегося товара, предложенные в диссерт" Е.В. Новицкой.

Использование результатов данной работы позволило на 2004г оце:

1. оптимальный объем производства;

2. оптимальную розничную цену;

3. максимальный объем прибыли от реализации. Предложенные в работе решения благотворно повлияли на показ ат; экономической эффективности деятельности предприятия (прибыльност рентабельность, срок окупаемости приобретенного оборудования)

АКТ

Резинкин А.Ю лспо, з.

1. Аллен P. Математическая экономия. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963 г. 667с.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1979.293с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. T.l. М.: Наука, 1969.343 с.

4. Букан Дж., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. М. Наука, 1967.

5. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1973.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.

7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.1. М.: «Наука», 1987. 336 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

9. Громенко В.М. Применение методов теории управления запасами в экономических задачах. М.: Московский институт управления, 1981

10. Данилов Н.Н. Курс математической экономики. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2002. 444 с.

11. Домбровский В.В., Чаусова Е:В. Математическая модель управления запасами при случайном спросе и ненадежных поставщиках // Вестник Томского государственного университета. 200. №271. С. 141-146.

12. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральное преобразование и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

13. Идрисов Ф.Ф. Рандомизированные временные ряды. Томск: Изд-во ТГПУ, 2004. 325 с.

14. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. 606с.

15. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук, думка. 1983. 368с.

16. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640с.

17. Крамер А.И., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987.313с.

18. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

19. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Сов. радио, 1972. -464с.

20. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972. 375 с.

21. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

22. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Методы и модели управления запасами. М.: Наука, 1991.

23. Микитьянц С.Р., Голдобина Н.Н. Применение математических методов в управлении запасами. Л.: ЛФЭИ, 1982.

24. Первозванская Т.Н., Первозванский А.А. Элементы теории управления запасами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

25. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988. 174с.

26. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. М. Знание, 1987.

27. Рубальский Г.Б. Управление запасами при случайном спросе. М.: Сов. Радио, 1977.

28. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.

29. Сакович В.А. Модели управления запасами. Минск: Наука и техника, 1986.

30. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1957. 812 с.

31. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами /Под редакцией М. Абрамовица, И. Стиган и др. М.: Наука, 1979. 830 с.

32. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 1. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. 832 с.

33. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 2. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. 992 с.

34. Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000.179 с.

35. Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Томск: Изд-во ТГПУ, 1999 г. 117 с.

36. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: изд-во ТГУ, 1974.

37. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. 136с.

38. Хейдли Дж., Уайтин Г. Анализ систем управления запасами. М.: Наука, 1969.

39. Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974. 472с.

40. Хэнесменн Ф. Применение математических методов в управлении производственными запасами. М.: Прогресс, 1966.

41. Amihud Y., Mendelson Н., Lauterbach В. Market Microstructure and Securities Values: Evidence from the Tel-Aviv Stock Exchange. Journal of Financial Economics, 1997, v.45, p. 365-390.

42. Barclay M., Christie W., Harris J., Kandel E., Schultz P. The Effects of Market Reform on the Trading Costs and Depths of Nasdaq Stocks, Journal of Finance, 1999, v. 54, p. 1-34.

43. Biais B. Price formation and equilibrium liquidity in fragmented and centralized markets, Journal of finance, 1993, v. 48, p. 157-184.

44. Biais В., Foucault Т., Salanie F. Floors, Dealer Markets and Limit Order Markets. Journal of Financial Markets, 1998, №1, p.253-284.

45. Easley D., Kiefer N., O'Hara M. One Day in the Life of a Very Common Stock. Review of Financial Studies, 1997, №10, p. 805-835.

46. Hasbrouck J. Trades, Quotes, Inventories, and Information. Journal of Financial Economics, 1988, v. 22, p. 229-252. *

47. Huang R., Stoll H. Market Microstructure and Stock Return Predictions. Reviewof Financial Studies, 1994, №7, p. 179-213.

48. Keim D., Madhavan A. Anatomy of the Trading Process: Empirical Evidence on the Motivation for and Execution of Institutional Equity Trades. Journal of Financial Economics, 1995, v. 37,p. 371-398.

49. Madhavan A., Sofianos G. An Empirical Analysis of NYSE Specialist Trading. Journal of Financial Economics, 1998, v.48, p. 189-210.

50. O'Hara M. Market Microstructure Theory. Blackwell Publisher Inc., 2002. 290 pp.

51. Parlour C. Price Dynamics in Limit Order Markets. Review of Economic Studies, 1998, v. 11, p. 789-816.

52. Routledge B. Adaptive Learning in Financial Markets. Review of Financial Studies, 1999, №12, p. 1165-1202.

53. Seppi D. Liquidity Provision with Limit Orders and a Strategic Specialist. Review of Financial Studies, 1997, №10, p. 103-150.

54. Vayanos D. Strategic Trading and Welfare in a Dynamic Market. Review of Economic Studies, 1999, v. 66, p.219-254.

55. Vayanos D. Transaction Costs and Asset Prices: A Dynamic Equilibrium Model. Review of Financial Studies, 1998, №11, p. 1-58.

56. Wang J. A Model of Competitive Stock Trading Volume. Journal of Political Economy, 1994, v. 102, p. 127-168.