автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель расширяющегося жидкого слоя

Санкт-Петербургский государственный университет

на правах рукописи

ЕРМОЛАЕВА Надежда Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ ЖИДКОГО СЛОЯ

05.13,18 —математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

4851484

Диссертация выполнена па кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный доктор физико-математических наук, профессор

руководитель: Курбатова Галина Ибрагимовна (СПбГУ)

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович (СПбГУ)

доктор технических наук, профессор Емельянов Владислав Николаевич (БГТУ "Военмех" им. Д. Ф. Устинова)

Петербургский государственный университет

путей сообщения

Защита диссертации состоится " 28 " сентября 2011 года в 14 - 00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт -Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан

2011 года.

И. О. ученого секретаря доктор физико-математических наук,

диссертационого совета профессор (СПбГУ)

Д-212.232.50 и Веремей Евгений Игоревич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Увеличение темпов роста энергопотребления приводит к необходимости развития альтернативной энергетики. Все большее внимание привлекают новые возобновляемые источники энергии. Особое место среди них занимает солнечная энергия, тепловой поток которой на границе с атмосферой достигает 5,7 • 1024 Дж в год. В космосе поток весьма стабилен и встает вопрос об использовании солнечной энергии, улавливаемой с помощью космических зеркал непосредственно в космосе.

Роль космических зеркал в энергетике будущего трудно переоценить. Например, космические зеркала, выведенные на достаточно высокую орбиту, могут осветить отраженным солнечным светом районы на ночной стороне Земли. Перспективы такого использования солнечной энергии очевидны: она доступна круглосуточно, ее источник практически вечен, и кроме того, она не наносит вред окружающей среде.

Целью диссертационной работы являлось математическое моделирование процесса расширения жидкого слоя в условиях невесомости, лежащего в основе одного из методов создания космических зеркал. А также создание эффективных алгоритмов, позволяющих рассчитать этот процесс в режиме реального времени, и комплекса прикладных программ, реализующих эти алгоритмы.

Методы исследования. Методы механики сплошных сред, в частности методы гидроаэродинамики, теплофизики; аналитический и численный аппарат теории дифференциальных уравнений; методы компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель леизотермического расширения сферического слоя ньютоновской вязкой жидкости в условиях иевесомо-

2. Математическая модель изменения внутреннего радиуса сферического слоя жидкости и предложенная модифицированная явная схема численного решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего его поведение.

сти.

3. Алгоритм численного решения уравнения конвективной теплопроводности в изменяющемся слое жидкости. Дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней температуры в слое и его приближенное аналитическое решение для ряда вариантов граничных условий.

4. Комплекс программ расчета изменения радиуса слоя, а также полей скорости, давления и температуры в слое. Практические рекомендации по выбору материала жидкого слоя и условий проведения процесса расширения, полученные на основе расчетов по созданному комплексу программ.

Научная новизна. Результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы и перечисленные в п. 1-4 положений, выносимых на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретический интерес представляют: предложенный эффективный алгоритм решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения для рассматриваемого класса задач; найденное аналитическое выражение полей скорости и давления в жидком слое через поведение во времени его внутреннего радиуса; полученное асимптотическое решение сингулярно возмущенного дифференциального уравнения, моделирующего процесс расширения. Выведенное дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней температуры в слое и его приближенное аналитическое решение. Практическое значение имеют сформулированные рекомендации по выбору материала и условий проведения процесса расширения. Процесс расширения сферического слоя жидкости лежит в основе одного из методов создания космических зеркал, поэтому проведенные исследования имеют большое прикладное значение при создании новых экологически чистых технологий использования солнечной энергии.

Опубликованные работы. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, две из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов. Список работ приведен на с. 16.

Апробация результатов. Результаты исследований по теме диссертации были представлены и обсуждались на Всеросийском семинаре

по аэрогидродинамике (2008 г.), на международной конференции "Шестые Окуневские чтения", на XXXVIII, XXXIX и ХЬ международных научных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на международной научной конференции по механике "V Поляховские чтения", на семинаре "Компьютерные методы в механике сплошных сред".

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена корректным применением методов математического моделирования, методов механики сплошных сред, численных методов решения жестких и сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений. Созданный комплекс программ прошел проверку на тестовых задачах.

Работа отмечена стипендией Президента Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 101 страницу текста, 15 рисунков, 11 таблиц и список литературы, включающий 50 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение обоснована актуальность темы диссертации. Сформулирована цель работы, перечислены основные результаты, их научная новизна и практическое значение. Кратко приведено содержание глав 1 - 4. Приведены общие для всей работы обозначения.

В первой главе дается краткий обзор известных методов создания космических зеркал, сформулирована физическая постановка задачи. Перечислены условия (близкие к реальным), лежащие в основе предложенной упрощенной математической модели.

Приведена одномерная неизотермическая

Математическая модель процесса расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости

IA

г дг

(:г2и) = 0;

du ди д / р dt дг дг \р

и

t=0

= 0, г € [До, До];

и

r=R

= R, и\

г=Я

„ ди

Л ди

-Р + ^Тг

Д, te [ОМ

1н

r—R

= Pg- — , t€[0,tfe];

= -Рп-Ц-, t € [0, tk] ;

r=R H

Д3 - Д3 = const = K, te [0,tk};

дТ + идТ _ { 2дТ\ 2^1 /ди

dt дг pcv r2 дг \ дг J pcv \\dr

i = 0: T{r)=T0, re[R0,R0};

dT

te(0,tk}: A —

-A — dr

= (3(T

r=R

r=R

- П

a T

r=R

9 '

+ e*a T

_ rpA

J- n

r=R

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10) (H)

Здесь и = u(r, l) - радиальная составляющая вектора скорости жидкости в слое, который в любой момент времени t ограничен сферическими поверхностями с внутренним и внешним радиусами R = R(t), R = R(t) соответственно; До - начальное значение радиуса внутренней поверхности жидкого слоя; р ~ p(r. t) - давление в жидкости; р, /л, я - плотность, коэффициент динамической вязкости и коэффициент поверхностного натяжения жидкости, считающиеся неизменными;

Рд -= Pg(t),Pn - давления в газе внутри полости, ограниченной слоем жидкости, и вне соответственно; К - константа, пропорциональная объему V жидкого слоя; Î& — время окончания процесса расширения; а, (3 - коэффициенты теплообмена на внутренней и внешней поверхностях жидкого слоя соответственно; Тд,Тп - заданные температуры газа внутри полости, ограниченной слоем жидкости, и вне слоя соответственно; Т = Т(г, /,) - температура в жидком слое; а - постоянная Стефана-Больцмапа; е* - коэффициент серости материала слоя.

Во второй главе выводится дифферициалыюе уравнение, модели-руюющее изменение внутреннего радиуса R{t). Доказано следующее

Утверждение 1. ► Поведение внутреннего радиуса R(t) расширяющегося жидкого слоя, удовлетворяющего системе (1) - (11), моделируется следующим дифференциальным уравнением:

Ù2 ù hR + j^h2 (h2 - Ah + б) + — Amh (h2 - Zh + 3) =

R = R{t),

^^-(TT^f (13)

Ф = Ф(ед,рп). (и)

H = H{t) = R(t) - R(t). M

Точкой обозначено дифференцирование по времени; H(t) - толщина слоя; К - безразмерный объем слоя; Ф(i) - управляющая функция, связанная с режимом подачи газа. Дифференциальное уравнение (12) является жестким неавтономным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка. Безразмерные комплексы А т. А„, Ар характеризуют относительный вклад в динамику процесса сил вязкости, поверхностного натяжения и давления соответственно, они выражаются через параметры задачи и характерные величины rx, рх, tx.

Для уравнения (12) ставится задача Коши с начальными данными

Д(0) = Яо, Д( 0) = 0, (15)

Яо— безразмерный начальный внутренний радиус слоя.

Решаются прямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя.

Прямая задача - расчет по уравнению (12) закона поведения внутреннего радиуса К{1) при заданной управляющей функции Ф(£) (14) и выбранных параметрах задачи //,, р, х, К IIо, Рп, 1к на интервале времени [0, Ьк], 1к ~ безразмерное время окончания процесса.

Обратная задача - расчет по заданному поведению внутреннего радиуса слоя Д(£) управляющей функции Ф(£) из уравнения (12) при выбранном наборе параметров.

Решение обратной задачи позволяет найти управляющую функцию Ф(£), теоретически обеспечивающую заданное поведение радиуса слоя И(Ь). Однако оценить влияние возможных отклонений реальных режимов подачи газа от оптимального на поведение оболочки можно только из решения прямой задачи. На рис. 1 представлен один из допустимых законов поведения радиуса /?(/), а на рис. 2 приведено рассчитанное из решения обратной задачи управление Ф(£), теоретически обеспечивающее такое поведение радиуса в процессе расширения слоя.

Рис. 1: Закон изменения при Ь е [0,1] (а) и £ е [1,120] (б)

Найденный из прямой задачи закон поведения внутреннего радиуса Д^) позволяет полностью решить гидродинамическую часть задачи, а именно расчитать поля скорости и(г, /,) и давления р(г, I) в жидком слое.

Рис. 2: Закон изменения Ф(£) при Ь € [0,1] (а) и £ € [1,120] (б)

Доказано следующее

Утверждение 2. ► Поля скорости и(г,{) и давления р(г, £) удовлетворяющие системе (1) - (11), выражаются через внутренний радиус расширяющегося жидкого слоя по следующим формулам:

и(г,Ь) = К2 к/г2,

ге[Д,Л + Я], ¿е[<м*].

п = щг), Ф = Ф(*).

Функция Я(1) находится из решения прямой задачи. Для ее постановки требуется выбрать управляющую функцию Ф(<). Управление, приводящее к разрыву жидкого слоя, считается недопустимым. Математически ситуация разрыва слоя в данной задаче эквивалентна возникновению в жидкости отрицательного давления. В диссертации получено неравенство, выполнение которого обеспечивает положительность давления на внутренней поверхности расширяющегося слоя и является необходимым условием допустимости выбранного управления.

Утверждение 3. ► Необходимое условие допустимости выбранного управления имеет вид

Кй, ч = А +« +1 л^ _ 4Л+„) _ £ + ^ > „,

я = Д(г,Ф(0), л =

г€[Д(г),(/г + Д(г)3)1/3]. <4

Полученное неравенство позволяет оценить роль сил вязкости, поверхностного натяжения и внешнего давления в динамике расширения жидкого слоя. Проведенный анализ приводит к ряду практических рекомендации по выбору материалов и условий проведения процесса:

• из всех материалов с необходимыми реологическими свойствами предпочтительнее те, у которых минимально возможная вязкость и максимально возможный коэффициент поверхностного натяжения;

• следует обеспечить максимально допустимое противодавление Рп в газовой фазе искусственной оболочки за бортом космического летательного аппарата.

В диссертации проведен анализ дифференциального уравнения (12). Свойства уравнения зависят от значений безразмерных комплексов Ат, А3, Ар, К и от выбранной управляющей функции Ф(/.). Для большинства рассмотренных параметров задачи, представляющих практический интерес, это нелинейное неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение является жестким. Оно содержит функциональный параметр Ь,(И.(1)) (13), стоящий перед старшей производной. При £ —► ^ функциональный параметр Н{Ь) стремится к нулю, так как по мере расширения, толщина жидкого слоя #(£) быстро уменьшается, а величина внешнего радиуса ЩЬ) растет, при этом уравнение (12) становится сингулярно возмущенным. Во второй главе диссертации показано, что и в начале процесса, когда параметр /г(£) не мал, дифференциальное уравнение (12) является жестким. Проведенные рассчеты по известным численным схемам решения жестких обыкновенных дифференциальных

уравнений (методы типа предиктор-корректор, чисто неявная двухста-дийная схема, а также вещественные и комплексные схемы Розенброка, Ваннера, Новикова) позволили сделать вывод о преимуществе для рассматриваемых задач предложенной в работе модифицированной явной схемы.

Модифицированная явная схема

Уравнение (12) представляется в виде

Д + Д2/1(Д) + Д/2(Я) = /З(Я,0,

М2-/1) , АРФ

я = д(0» Ф = Ф(0. 1

/г = Л(Д) = 1 -

(1 + § )1/3

и аппроксимируется следующим разностным уравнением:

Я„+1 — 2ДП + Лп_1 + (Яп+\ — 1)2Л(Я„+1)/44-+(Лп+1 - Д„_1)г/2(Л„)/2 = т2/3(Я П >

т - шаг по времени. Это квадратное уравнение относительно Лп+1> физический смысл имеет только положительный корень, равный

Ъ (Ь2 N 1/2

Лп+1 = " + I — - С

2 \4

Ь ОЕ> I 4 I Г, /2(Дп)

6 = -2Нп-1 + + 2г ,

Л(ЯП) /1(ДП)

2 4(Д„_1 - 2ДП) /г(Яп) - г/зС-йп^п+г)

с=+ —№)--2 -1 Шо"4т

Переход к следующему временному слою осуществляется явно. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по г. Для ряда управляющих

функций известно точное решение дифференциального уравнения (12). Это позволило сравнить эффективность различных методов решения (12) и продемонстрировать преимущество предложенной модифицированной явной схемы. Она позволила рассчитать процесс расширения жидкого слоя на первом этапе. По результатам исследования численного решения жестких дифференциальных уравнений создан комплекс програм (в среде Maple). В него вошли схемы типа предиктор - корректор, чисто неявная двухстадийная схема, а также вещественные и комплексные схемы Розенброка, Ваннера, Новикова и предложенная модифицированная явная схема.

В третьей главе приводится ассимптотическое решение уравнения динамики сферического слоя в области, где его толщина мала. Найдено приближенное дифференциальное уравнение

+ - дз— + Щ2 +-дз-. (16)

аппроксимирующее уравнение (12) с точностью до £i(t) ,,, <5 Rl .К . ,

Доказано следующее

Утверждение 4. ► Асимптотическое решение приближенного сингулярно-возмущенного уравнения (16) на интервале [t*,tfc] при начальных данных

R(U) — R*, R(i*) = R*

имеет вид

R{t)=bQ{t) + tC1+ô{Ci + bl{t)), R{t) = bo(t) + C1+Sb1(t), 2 A

<18>

bi(t) = Rl (b0(t)2b0(t) + 3Amb0(t) - As) / (GAsb0(t)2), (19)

Ci =R* -boiQ-ôhiU),

C2 = (R* - b0(t.) - UCi) /6 - bt{U). <

Формулы (17) - (20) представляют собой приближенное асимптотическое решение прямой задачи (12), (15) на интервале времени Момент перехода £* к асимптотическому решению равен

Моменты времени £* при заданной точности £*, определены условиями

R(t*), R(t*) - рассчитываются из решения задачи на первом этапе.

Таким образом, задача Коши (12), (15) решена на всем интервале времени, т.е. весь процесс расширения жидкого сферического слоя можно полностью рассчитать с помощью созданного комплекса программ.

В четвертой главе исследуются тепловые процессы в расширяющемся жидком сферическом слое. В рассматриваемом диапазоне температур и давлений плотность и вязкость жидкости можно с достаточной точностью считать постоянными, это позволяет расщепить общую систему уравнений модели (1)—(11) и решить гидродинамическую и тепловую части отдельно. Найденное из решения гидродинамической задачи поле скорости u(r,t) в жидком слое дает возможность оценить дисси-пативное слагаемое в тепловом уравнении (8) и доказать следующее

Утверждение 5. ► Диссипативпым механизмом

U = max(ta,t*).

R{ta) =Ra =

в уравнении баланса тепла (8)

T = T(r,t), u = u(r,t) в исследуемых задачах можно пренебречь.M

С учетом этого утверждения модель тепловых процессов в сферическом слое ньютоновской вязкой жидкости в безразмерной форме можно представить в виде

дь

г2 дг

(21)

и = Я2 К/г2,

¿=0: Т(г) = 1, г е [До, До],

(22)

(23)

- Г*) + 7 ( Т4 - (Т*)4

г=п

(24)

Т = Т(г, ¿), и = и(г, г), я = д(г).

Т*,Т* - безразмерные температура газа внутри и вне слоя жидкости соответственно. Безразмерные комплексы гл а, Ь, 7 выражаются через параметры задачи и характерные величины гх. Тх.

Аналитический подход к решению нелинейной начально-краевой задачи (21)-(24) конвективной теплопроводности в движущейся и изменяющейся по сложному закону области мало перспективен. Использовался численный подход. Для приложений представляет интерес оценка общих теплопотерь в процессе расширения слоя. Анализ гидродинамической части задачи позволяет утверждать, что для всех допустимых режимов характерно наличие двух этапов процесса расширения: сравнительно короткого первого этапа [0, £*], на котором слой нельзя считать тонким, и второго этапа (£*, длящегося в несколько раз дольше первого, на котором слой с достаточной точностью можно считать тонким. Это позволяет разделить решение тепловой задачи, как и гидродинамической, на две части. На интервале I; <Е [0, ¿*] получено численное решение тепловой задачи. Был предложен явный двухстадийный метод решения на подвижной сетке. Расчет перехода от п-го слоя по времени к (п + 1)-му осуществляется в два этапа. На первом этапе рассчитываются новая конфигурация оболочки и изменение в ней температуры,

соответствующее только конвективному перенос}' тепла с известной скоростью и ( г, t). На втором этапе - найденный профиль температуры интерполируется на новую равномерную сетку в изменившейся области, и решается уравнение теплопроводности без конвективного слагаемого с граничными условиями (23),( 24).

На интервале (i*, £/,.] найдено приближенное уравнение, моделирующее поведение средней температуры TJJ). а именно доказано следующее

Утверждение 6. ►Динамика средней по слою температуры Tc(t) в интервале [t*,tk] моделируется обыкновенным дифференциальным уравнением следующего вида:

ф = m8(0 (т4(р +Tc(t)rni(t) + Tc(tfm2(t) + Tc{t)Am3{t)) с( j m5(i) + rc(f)3m6(i) + Tc(tfm7(t)

+Tc(t)mg(t) + m10(t). (25)

Функции nii(t) (г = 1,..., 10) являются аналитическими зависимостями от R(t), R(t) и параметров задачи К, а, Ь, и, 7, T*, T*. M

Для уравнения (25) ставится задача Коши с начальными данными

TC{U) = Тн. (26)

В момент времени t* значение средней температуры Тд (26) рассчитывается в соответствии с определением Tc(t)

R(t)

Tc(t) = ~ I T{r, t)r2dr, К = R(tf - R(t)3 R(t)

по массиву T"+1, найденному из численного решения уравнения (12) на первом этапе при t — t„.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (25) имеет достаточно громоздкий вид, его решение найдено численно методом Рунге-Кутта. Таким образом на интервале (/*. /;,-] найдено решение задачи о поведении во времени средней по слою температуры Tc(t). В конце четвертой главы приведено аналитическое решение ряда упрощенных вариантов математической модели тепловых процессов.

В заключении сформулированы выводы по результатам исследований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ермолаева Н. Н. Об одном методе численного решения уравнения динамики сферического слоя жидкости //Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов/ под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. - СПб., 2007. - С. 162-165.

2.Ермолаева Н. Н. Расчет полей скорости и давления в слое ньютоновской вязкой жидкости//Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов/ под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. - СПб., 2008 - С. 122-127.

3. Ермолаева Н. Н. Наилучшая схема для одной жесткой неавтономной системы //Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов/ под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. - СПб., 2009 - С. 166-172.

4. Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Анализ режимов расширения сферических оболочек в космосе//Труды Междунар. конференции "Шестые Окуневские чтения"23-27 июня 2008 г., Санкт-Петербург/ под ред. Г. Т. Алдошина [и др.]. - СПб., 2008. - Т. 1. - С. 135-141.

5. Ермолаева H.H., Курбатова Г.И. Решение задач раздувания сферической оболочки// Всероссийский семинар по аэрогидродинамике: Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 5-7 февраля 2008 г.,- СПб., 2008. - 144 с.

6. Ермолаева H.H., Курбатова Г.И.О тепловых процессах в расширяющемся слое// Тезисы докладов V международной конференции по механике "Поляховские чтения"3-6 февраля 2009 г. Санкт-Петербург. -2009. - С. 152.

7- Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Динамика сферического слоя жидкости в условиях невесомости//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. - 2009. - Вып. 3. - С. 29-38.

8. Ермолаева H.H., Курбатова Г.И. Тепловые процессы в расширяющемся жидком сферическом слое//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. - 2010. - Вып. 3. - С. 30-38.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ Л» 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 27.06.11 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. неч. л. 1. Тираж 80 экз., Заказ №1098. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

1. Актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Положения, выносимые на защиту.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Структура и объем работы.

Обозначения.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ.

1.1. Физическая модель одного из вариантов создания космического зеркала за бортом космической станции

1.2. Математическая модель процесса расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости

Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

2.1 Вывод дифференциального уравнения, описывающего закон изменения внутреннего радиуса Д(£).

2.2. Прямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя

2.3. Расчет полей скорости и давления в жидком слое

2.4. Анализ дифференциального уравнения, описывающего закон изменения Д(£)

2.5. Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение прямой задачи в начале процесса расширения жидкого сферического слоя

2.5.1. Двухстадийная А-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.2. Двухстадийная £1-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.3. Двухстадийная 7Л-усгойчивая схема Розенброка.

2.5.4. Двухстадийная А-устойчивая схема Розенброка.

2.5.5. Одностадийная Ш-устойчивая схема Розенброка

2.5.6. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Розенброка-Ваннера

2.5.7. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Розенброка

2.5.8. Комплексная одностадийная £2-устойчивая схема Новикова

2.5.9. Неявная двухстадийная схема

2.5.10. А-устойчивая схема типа предиктор - корректор

2.6. Модифицированная явная схема

2.7. Выводы из проведенных расчетов прямой задачи в начале процесса

Глава 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ.

3.1. Решение прямой задачи на конечной стадии процесса расширения

3.2. Выбор момента перехода к асимптотическому решению

3.3. Полный расчет обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего закон изменения Д(£)

Глава 4. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСШИРЯЮЩЕМСЯ СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ.

4.1. Математическая модель остывания сферического слоя жидкости

4.2. Численное решение тепловой задачи в эйлеровых координатах для подвижной изменяющейся сетки.

4.3. Решение тепловой задачи на интервале (¿*,£&]. Уравнение, моделирующее поведение средней по слою температуры.

4.4. Приближенное аналитическое решение ряда вариантов математической модели тепловых процессов

Увеличивающиеся темпы роста энергопотребления приводят к необходимости развития альтернативной энергетики. В этой связи все большее внимание привлекают новые возобновляемые источники энергии

1]. Особое место среди них занимает солнечная энергия, тепловой поток которой на границе с атмосферой достигает 5,7- 1024 Дж в год. Мировое потребление энергии, по некоторым оценкам [2] составляет

0,01 процента от потока солнечной энергии, которую Земля получает от Солнца. Однако на поверхности Земли из-за поглощения атмосферой поток солнечной радиации ослаблен и зависит от облачности, времени суток и года. Поэтому крупномасштабное применение солнечной энергии на Земле затруднено. В космосе же, этот поток весьма стабилен, и встает вопрос об использовании солнечной энергии, улавливаемой с помощью космических зеркал непосредственно в космосе (работы B.C. Авдуевского, С.Д. Гришина, JI.B. Лескова [3], [4]; Р.Б. Ахмедова [5]; Г.П. Щелкунова [6]; В.А. Грилихеса [7]; М. Нагатомо, С. Сасаки, И. Наруо, В.А. Ванке [8]; П.Г. Полетавкина [9] и другие работы).

Роль космических зеркал в энергетике космоса трудно переоценить

2]. Например, космические зеркала, выведенные на достаточно высокую орбиту могут осветить отраженным солнечным светом большие районы на ночной стороне Земли. Так можно создать уличное ночное освещение в крупных городах, на которое сейчас расходуется огромное количество электроэнергии [10, И]. Освещение, создаваемое спутниками - зеркалами, может быть полезно и в сельском хозяйстве, а также б при проведении спасательных и строительных работ.

Например, в проектах БОЕ МАЭА [12 - 14] космические зеркала предполагается использовать как составную часть космической электростанции. Эти зеркала будут фокусировать солнечные лучи на группах фо-тогальванических элементов (солнечных батареях) [15]. Энергия, преобразованная в высокочастотное радиоизлучение, будет направляться на приемную станцию, расположенную на Земле. ,

Отраженный луч может быть направлен почти в любую точку полушария, поэтому применение космических зеркал может также улучшить работу и земных солнечных электростанций, освещая их по ночам. В этом случае появляется возможность отказаться от строительства дорогостоящих теплоаккумуляторов, запасающих энергию на ночь.

Космические зеркала могут использоваться при проведении различных работ в космосе, например, для плавки и резки металлов.

Одним из серьезных аргументов в пользу увеличения использования солнечной энергии является сохранение экологического равновесия на планете. "Если бы все человечество потребляло на душу населения столько энергии, сколько расходуется в развитых странах, то планета оказалась бы вблизи порога, за которым начнутся необратимые воздействия на климат планеты ("тепловое загрязнение Земли")" [3]. Положение становится еще более серьезным, если учесть продолжающееся увеличение населения Земли и высокие темпы роста энергопотребления. В развивающихся странах дело обстоит еще хуже, а именно в качестве источников энергии там используются дрова и древесный уголь, и в некоторых районах вырубка лесов для этих целей уже превысила их самовоспроизведение.

Поэтому большие надежды сегодня возлагают на альтернативные и возобновляемые источники энергии [16]. Перспективы очевидны: такая энергия доступна круглосуточно, ее источник практически вечен, и кроме того, она не наносит вред окружающей среде.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы являлось математическое моделирование процесса расширения жидкого слоя в условиях невесомости, создание эффективных алгоритмов, позволяющих рассчитать этот процесс в режиме реального времени, и создание комплекса прикладных программ, реализующих эти алгоритмы.

Построение и исследование математической модели расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости было начато еще в 90-х годах в Санкт-Петербургском Государственном университете под руководством Б.В. Филиппова совместно с сотрудниками Государственного Оптического института им. С.И. Вавилова. Далее, в 1998 году, работа над этой темой была продолжена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики -процессов управления СПбГУ [17]. Настоящая работа продолжает эти исследования.

1. Математическая модель неизотермического расширения слоя ньютоновской вязкой жидкости в условиях невесомости.

2. Математическая модель изменения внутреннего радиуса сферического слоя жидкости и предложенная модифицированная явная схема численного решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего его поведение.

3. Алгоритм численного решения уравнения конвективной теплопроводности в изменяющемся слое жидкости. Дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней температуры в слое и его приближенное аналитическое решение для ряда вариантов граничных условий.

4. Комплекс программ расчета изменения радиуса слоя, а также полей скорости, давления и температуры в слое. Практические рекомендации по выбору материала жидкого слоя и условий проведения процессса расширения, полученные на основе расчетов по созданному комплексу программ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы и перечисленные в п. 1-4 положений, выносимых на защиту, являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Предложен эффективный алгоритм решения жесткого неавтономного нелинейного дифференциального уравнения; найдено аналитическое выражение полей скорости и давления в жидком слое через его внутренний радиус; получено асимптотическое решение сингулярно возмущенного дифференциального уравнения, моделирующего процесс расширения, и приближенное аналитическое решение диффернциалыюго уравнения, моделирующего поведение средней по слою температуры.

На основе проведенных исследований сформулированы практические рекомендации по выбору материала и условий проведения процесса расширения.

Процесс расширения сферического слоя жидкости лежит в основе одного из методов создания космических зеркал, поэтому проводимые исследования имеют большое прикладное значение при создании новых экологически чистых технологий использования солнечной энергии.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содер

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках принятых допущений создана математическая модель сферически симметричного расширения слоя жидкости в условиях невесомости. Предложен алгоритм решения системы уравнений модели на всем интервале процесса расширения. Создан комплекс программ, позволивший расчитать поведение внутреннего радиуса, полей скорости, давления и температуры жидкого расширяющегося слоя.

Анализ гидродинамической части задачи позволил сделать важные для практики выводы по выбору допустимых материалов жидкого слоя и условий проведения процесса расширения. В работе исследованы тепловые процессы в расширяющемся жидком сферическом слое. Решение тепловой задачи разделено на две части. Для первой части предложен алгоритм численного решения тепловой задачи в подвижной и изменяющейся области. Для второй части найдено обыкновенное дифференциальное уравнение, моделирующее поведение средней (по слою) температуры. Приведено аналитическое решение этого уравнения для одного из вариантов граничных условий, представляющего практический интерес.

1. Бушуев В.В., Троицкий A.A. Энергетика 2050. - М.: ИАЦ Энергия,2007. 72 с.

2. Лесков Л. В., Банке В. А., Лукьянов A.B. Космические энергосистемы.- М.: Машиностроение, 1990. 144 с.

3. Лесков Л.В., Авдуевский B.C. и др. Энергетика и космос. //Ж. "Земля и Вселенная". 1981, - №6. - С. 2 - 7.

4. Лесков Л.В., Гришин С.Д. Перспективы космической индустриибудущего. Сб. " К. Э. Циолковский и научное прогнозирование. ТрудыI

5. XII-XIII чтений К.Э. Циолковского". М., 1982. - С. 64 - 70.

6. Ахмедов Р.Б. и др. Солнечные электрические станции // Итоги науки и техники: серия "Гелиотехника". Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1986. -146 с.

7. Щелкунов Г.П. Солнечная энергетика, глобальные проекты Электроника: НТВ, 2002, №6. С. 36-39.

8. Грилихес В.А. Солнечные космические энергостанции. Л.: Наука, 1986. - 182 с.

9. Нагатомо М., Сасаки С., Наруо Й., Банке В.А. Работы Института космических исследований Японии области космической энергетики. -Успехи физических наук, Июнь 1994, т. 164. №6. С. 631 641.

10. Полетавкин П.Г. Космическая энергетика. М.: Наука, 1981. 152с.

11. Семенов В.Ф., Сизенцов Г.А., Сотников Б.И., Сытин О.Г. Система орбитального освещения приполярных городов.// Известия РАН. Серия: Энергетика. 2006 г. №1. С. 21-30.

12. Коротеев A.C., Семенов В.Ф., Акимов В.H., Кувшинова Е.Ю.,

13. Оглоблина И. С. Космическая система энергосбережения Земли: эффективность, проблемы создания и применения. Известия РАН. Серия: Энергетика. 2009 г. №4. С. 3-20.

14. Glaser P.E. Power from the Sun:its future. Science. 1968, vol. 168, Nov., p. 857 - 886.

15. Satellite Power System (SPS) Concept Development end Evalution Program Plan< July 1977 August 1980 / Doe/ ЕТо034.^е6гшггг/1978.

16. Банке В.A., Jlecoma C.K., Банников A.B., Саввин В.Л. СКЭК просится на орбиту Энергия: экономика, техника, экология (1), 9(1986).

17. Банке В.А., Лопухин В.М., Саввин В.Л. Проблемы солнечных космических электростанций УФН, 1977, т. 123, вып. 4. С. 633-655.

18. Коротеев A.C., Семенов В.Ф., Семенов Ю.П., Сизенцов Г.А., Синявский В.В., Сотников Б.И. Космическая техника и космонавтика в решении экологических проблем мировой энергетики XXI ве-ка"Известия РАН, серия: Энергетика. №1 2006 г. С. 142-155.

19. Баранов А.Б., Курбатова Г.И. Динамика сферического слоя жидкости в условиях невесомости // Физическая механика. 1998. Вып. 7.- С. 113-125.

20. Сайт Консорциума "Космическая Регата"Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.src.space.ru, свободный. Загл. с экрана.

21. Лукьянов A.B. Пленочные отражатели в космосе. М.: МГУ. 1977.- 70 с. '

22. Лесков Л.В., Гришин С.Д. Индустриализация космоса, проблемы и перспективы. М., наука. 1987. - 352 с.

23. Петровский Г. Т., Воронов Г.Д. Оптическая технология в космосе.

24. Ленинград, Машиностроение, Ленинградское отделение. 1984. - 158 с.

25. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. Москва: Мир. -1975. 934 с.

26. Спэрроу Э. М., Сэсс Р. Д. Теплообмен излучением. Л.: Энергия.- 1971. 294 с.

27. Ермолаева H. Н.Расчет полей скорости и давления в слое ньютоновской вязкой жидкости//Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов.- СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та. 2008. - С. 122-127.

28. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ. 1994. - 528 с.

29. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. - 656с.

30. Калиткин H.H. Численные методы решения жестких систем// Матем. моделирование. 1995. Т.7. №5. - С. 8 - 11.

31. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods //BIT. 1963. N 3. - P. 27-43.

32. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. 1979. - 209 с.

33. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально алгебраические задачи. М.: Мир. - 1999. - 685 с.

34. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. 1997. - 197 с.

35. Алъшин А.Б., Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Корягина А.Б. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально алгебраических систем.// Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 46:8 (2006), 1392-1414.

36. Федоренко Р.П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование// Вычисл. процессы и системы. М.: Наука. 1991. Вып.8. - С. 328-380.

37. Скворцов Л.М. Простые явные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2008, т. 9, №2, - с. 154-162.

38. Gear C.W., Kevrekidis I.G. Projective methods for stiff differential equations: problem with gaps in their eigenvalue spectrum // SIAM J. Sci. Comput. 2003. V. 24. №4. P. 1091-1106.

39. Калиткин H.H., Панченко С.Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование. 1999. Т. 11, т. - С. 52-81.

40. Ермолаева H. H., Курбатова Г. И. Математическая модель расширяющегося жидкого слоя//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып.3. С. 29-38.

41. Курбатова Г. И. О методах решения одной жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления.2008. Вып. 4. - С. 27-38.

42. Ермолаева H. Н. Наилучшая схема для одной жесткой неавтономной системы //Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та, 2009. - С. 166-172.

43. Баранов А.Б., Курбатова Г.И. Численное решение уравнения динамики сферического слоя вязкой жидкости // Физическая механика. 1998. Вып. 7. - С. 105-113.

44. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск. 1988. - 219 с.

45. Панчеиков А.Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики. Новосибирск. 1982. - 231 с.

46. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержаиемалые параметры при производных// Матем. сборник. 1952. Вып. 31, №3. - С. 575-586.

47. Васильева А.Б.Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1963. -Т. 3, т. С. 611-642.

48. Старков В. Н. Управление процессом остывания сферического слоя вязкой жидкости// Математические методы теории управления. Деп. ВИНИТИ №8070 от 18.12.84. Л., 1984. С. 120 128.

49. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа. 1985. - 480 с.

50. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит. 2001. - 576 с.1. Digits:=30;к:= 84.380625125;

51. Ass:=2*kapas*txA2/(rro*rxA3); # безразмерный комплекс

52. App :=davlenx*txA2/(rro*rxA2) ; # безразмерный комплексmju:=1000; # коэффициент динамич. вязкости

53. Amm:=4*mju*tx/ (rro*rxA2) ; # безразмерный комплекс

54. Рп:=0.147; ‘ # противодавлениеmml:=rrkk-l ;mm2:=evalf(3/Tkon);vc:=2.147;внутренний радиус оболочки

55. Обратная задача для метода предиктор-корректор (давление обеспечивающее, заданное изменение радиуса):1. P:=proc(tl)1. Phi:=phi(R(tl)) :evalf(((1-Phi)*ddR(tl)+(l

56. Phi)A2*dR(tl)A2*(3+2*Phi+PhiA2)/(2*R(tl))+&nm*(1

57. Phi) *dR(tl) * (PhiA2+Phi+l) / (R(tl) A2)+Ass* (1+Phi) / (R(tl) A2)) *R(tl) / App+Pn) : ’end proc: