автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель однофазного оплавления твердых тел специальной формы

] • ^ ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕЖШЭГИЧШКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи РЕЗЦОВ Олег Петрович

МАТЕМАТИЧЕС КАЯ МОДЕЛЬ ОШОФАЗЮГО ОПЛАВЛЕНИЯ твмрдах ТЕЛ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРШ

"Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в наугаах исслэдсваниях"

"Теоретические основы теплотехники"

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Воронеж - 1954

Специальность 05.13.16 -

. 05.14.05 -

Работа выполнена в Воронежском технологическом институте

НАУЧШЛ РУКОВОДИТЕЛЬ

ОФИЩАЛЫШ ОППОНЕНТЫ!

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

- доктор физико-математических наук профессор Чернышов А.Д.

- заслуженный деятель науки и техники РФ

доктор технических на.ук профессор Фалеев В.В.

- кандидат технических наук V доцент Десятых Д.Б.

- конструкторское бюро хшаваоматики /г.Воронен/

Защита состоится

н/Зп гио/^л-

1994 г. в

¿Г

часов

на заседании специализированного совета Д 063.90,02 Воронежского технологического института по адресу: 394017 г.Воронеж, проспект Революции, 19. Воронежский технологический институт.

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке института. Автореферат разослан '«£3« 1994 г>

Учёный секретарь специализированного совета, «.т.н., доцент

Лм ■ ^^^ Самойлов В.М.

' ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБСШ

1

Актуальность теми. Современная энергетика, авиация, ракетно-космическая техника поставили проблему тепловой защиты конструкций, находящихся под воздействием сильных тенлошх потоков. Гиперэвуковое обтекание конструкции атмосферой, при котором кинетическая энергия потока переходит в тепловую, при больших скоростях потока, создаёт подвод тепла, доотаточный для полного разрушения конструкции,

Одна из систем тепловой защиты основывается на блокировании подводимого теплового потока значительным расходом тепла на фазовые превращения при разрушении материала защиты.

При разработке моделей тепловой защити и создании новых методик экспериментов вайю тать математическую модель поля температур внутри конструкции и ей выступающих частей. Одномерная математическая модель поля температур, которая обыкновенно позволяет дать только оценку толщины прогретого слоя материала конструкций или приближённые численные построения неодноморных температурных полой, не может обеспечить достаточную информацию для создания полной картины температурной нагрузки материала конструкции. Особенно необходимо иметь такую инйормащпо в угловых местах, которые принимают на себя основную часть температурного и механического воздействия потока.

Математическая модель однофазного оплавления тол, имэвдих форму полубесконечного клина или трёхгранного угла о острой или затупленной вершиной, является, очевидно, актуальной для качественного решения проблемы тепловой защиты. В данной работе на основании полученной в ней модели оплавления указанных выше тел специальной формы, представлена модель разрушэгаеЗся тепловой

защиты передней части и края поверхности крыла.

Цель работы. Целью данной работы является создание модели однофазной разрушающейся тепловой защиты передней части и края крыла, учитывающей сложную форму конструкции и позволяющей получить поле температур в твёрдой фазе материала и значения теплового потока по разрушаемой поверхности.

Для достижения поставленной цели работы решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритма построения точной математической модели однофазного оплавления плоского клина.

2. Исследование условий существования построенной двухмерной модели и ограничений её применимости.

3. Разработка алгоритма построения точной математической модели однофазного оплавления трёхгранного угла.

4. Исследование условий существования построенной трёхмерной модели и особенностей её реализации.

5. На основе полученной модели оплавления тел специальной формы представить модель однофазной тепловой защиты передней части и края крыла.

Метод исследования. При создании и исследовании математической модели процесса однофазного оплавления твёрдого тела использовались методы математической физики и методы механики сплопшых сред.

Научная новизна. Представленная в работе математическая ыодаль разрупагщейся тзпловой зашиты передней части и края поверхности крыла является новей и основывается на возможности получить точное аналитическое решение многомерной задачи об од-

нофазном оплавлении. Предлагаемая модель тепловой защита из имеет аналогов, т.к. до сего времени известны только одномерные модели или численные построения нэодномерных.

Алгоритм построения точного аналитического решения краевой задачи, изложенный в работе, не встречается в публикациях других авторов и является новым. В работа представлен анализ условий существования предлагаемой модели и ограничений применимости алгоритма ей построения.

Представленная модель разрушающейся тепловой защиты позволяет анализировать в едином процессе форму разрушаемой поверхности, интенсивность я распределение подводимого теплового потока, температуру в твёрдой сМзе материала тепловой защиты.

Практическая ценность. Математическая модель однофазной разрушавшейся тепловой защиты передней части й края поверхности крыла может быть использована для разработки тепловой защиты других элементов конструкции, имеюших угловую форму. Использование полученной модели при разработке систем тепловой защити конструкций или элементов, имеющих угловую форму, при разработке методик испытаний и анализе получетшх результатов, для случая квазистационарного режима теплового нагружения, позволяет иметь общую картину моделируемого процесса, представляя связь подводимого теплового потока, формы разрушаемой поверхности и поля температур в твёрдой фазе материала.

Малое число определяющих параметров, простота реализации предлагаемой модели и возможность качественного анализа, упрощает её использование в системах автоматизированных научных исследований (АСНИ) и системах автоматизированного проектирована! (САПР) узлов я агрегатов. Представленные результаты могут быть

использованы при решении других технически* проблем, имеющих аналогичную постановку задачи, это проблемы: Фильтрации, кристаллизации, напыления, испарения. Представленный в работе алгоритм построения точного аналитического решения краевой задачи будет полезен при решении других задач математической Физики.

Материалы диссертации бнли использованы при выполнении работ по Государственной программе "Нелинейные динамические системы" в 1992 году.

Апробация тботы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред" (Воронеж, 1992)} научных конференциях Воронежского инженерно-строительного института (1976 - 1985); научных конференциях Воронежского технологического института (1990, 1991, 1993); научных семинарах Воронежского Государственного университета (1982, 1992).

■ Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять работ: две научные статьи в Академических журналах и три статьи в материалах научных конференций.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, содержание которых изложено на 135 страницах машинописного текста, а такие списка литературы из 105 наименований. Работа включает тринадцать рисунков.

С0ДЕР1АШЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность теш, отмечена новизна и практическая значимость полученных результатов.

В главе I диссертации рассматриваются системы тепловой защити, модель разрушающейся тепловой защити, приводящая проблему к формулировке задачи Стефана. Обзор литературы показывает основные направления имеющихся результатов и недостаточное освещение точных аналитических методов решения. Анализ имеющихся результатов позволил выделить следующую общую постановку задачи об однофазном квазистационарном оплавлений твёрдого тела.

Горячий поток жидкости или газа омывает поверхность гп твёрдого тела. Тепло, подводимое потоком, нагревает материал до температуры плавления и плавит поверхность тела. Расплавленная фаза уносится этим же потоком. В подвижной система координат, которая движется вместе с оплавляемой границей у вдоль оса плавления н со скоростью , задача об однофазном оплавлении твёрдого тела записывается следующим образом: ,

дх* Ду* дг* а дг

где: а - температура точек тела; _Г2 - внутренняя область тела;

- температура в удаленных от > точках; Ж - кратчаР.сее расстояние от точки внутри тела до поверхности 7 ; 0 ~ скрытая геолога фазового превращения; Ип - скорость дв.игеняя поверх-

ности 21 ) /? - нормаль к ЖГГ ; X - коэффициент теплопроводности.

£ главе 2 прадс7авлена математическая модель двухмерной задачи об оплавления полубеоконечного клина. Вводятся безразмерные переменные'.

где: С01(/*< со л в( - направляющие косинусы нормали к прямой, уравнение которой /г я& . Величина /г - расстояние от точки о координатами ¿(В до прямой Ъ - 0. Две прямые К - 0 ориентируются так, что Тс*0 располагается в области оплавляемого клина. Рассматривается задача об оплавлении плоского клина, гранями которого являются прямые /г = 0 .

Уравнение теплопроводности (I) в новых переменных будет:

dît 9tz дШг dïi dti <3)

где: HI = eeiQ,t 4 = ca 6t, В-coi i/; К - угол между нормалями к прямым

ft-o. образующим оплавляе/шй клин.

Решением уравнения (3) будет экспонента.

1t~exP-Ub+Jh), J>0. (4)

Для определения множителей ¿jJ> получается характеристическое уравнение. .

(5)

Экспонента (4) будет решением уравнения (3), если точка с координатами располагается на характеристическом аллип-

се (5). Для различения координат точек эллипса (5), они занумерованы и вычисляются из рекуррентных соотношений.

где: о^ =

С помощью формул (6) можно показать, что величины и представимы в виде линейных однородных зависимостей от Й1 и Д."

¿.-АР.-АО*, ^-АОМРп. н)

где: Рп и Оп - некоторые полином от В .

Полиномы Р„ я <?/» определяются по следующим рекуррентным формулам:

(8)

где: /2=0, Р<*{, ¿7.

Условием того, что составленное из экспонент (4) решение замкнуто, является наличие в решении экспоненты, у которой характеристические множители имеют одинаковый номер: я

Условие замыкания решения получено в полиномиальной форме для чётных и нечётных значений номера п: й - 2к и н - / .

2&-8Ш. (9)

Соответственно взятому значению и условиям (9) удовлетворяют углы ]/ между нормалями к оплавляемым поверхностям следующего вида:

т = И* 12.... (10)

Падучено, что дня клина, у которого между нормалями к оплавляемым поверхностям угол V вида (10) поле температур записывается в виде следующей функции:

У- Ь & . (Ш

где г = ехр - ¡г ).

Непосредственной подстановкой показано, что функция (II) действительно решение краевой задачи (I), рассмотрены частные случаи поведения полученного решения.

В главе 3 предотавлена математическая модель задачи об однофазном сплавлении полубеоковечного трехгранного угла. Вводятся безразмерные переменные!

Ь = (тк^цсаЦ , ¿ = 12,* .

где: ¿О^Чс, С0) $ - направляющие косинусы нормали к плос-

кости, уравнение которой Величина - расстояние от

точки с координатами А У, ?! до плоскости 0, умноженное на

%/а.

Полагаем, что в направлении О, где

оплавляется

трёхгранный угол, грани которого - плоскости .

Уравнение танлогсроводаости (I) в новых переменных имеет следующий вид:

ж дп дп ^дгж дт

(13)

, 07) Щ . /! д1/, А дУ пдУ П

где: b*co}Vti, С-coi V,i} 3= e¿>i Uts ¡ ^ - угол между нормалши к плоскостям h" 0, h = 0, i,j=i,2,i.

Решенпо уравнения (13) ищется в виде экспоненты.

^ew-fcfsJMt,), j>0, js>Ot ^0. (и)

Для определения множителей о^/,/ получим характеристическое уравнение.

(15)

Определяется понятие замыкающейся сум.ты в сеченин характеристического эллипсоида (15).

Сечение характеристического эллипсоида (15) плоскостью У —f* есть эллипс, который рассматривается как характеристический эллипс некоторой условной плоской задачи. Согласно алгоритма построения решения двухмерной задачи, описанного в главе 2, координаты точек эллипса,'расположенного в сечении /*/* используются для составления правой частя Функции (II). рассматриваемой условной задачи. Бравая часть функции (II), в этом случае, названа замыкающейся суммой в сечении характеристического эллипсоида и обозначена . Совокупность точек эллипсоида (15), располагающихся в сечении /=/й, координаты кото- • рых использованы для составления замыкающейся суммы SQ4) в этом сечении названа цепочкой точек.

Построение точного решения начинается в сечении эллипсоида (15) 0 , где строится замыкающаяся сумма S(jj') . Другие сечения эллипсоида (15) , в которых строятся замыкащийся суммы

определяются по следующей формуле:

«в)"

где: ^4 - координаты точки вллипсоида (15) в уже извест-

ном сечении У " /4 ; - координаты точки, расположен-

ной в новом сечении . .

Определено, что искомое точное решение составляется из замыкающихся сумм.

. . (IV)

где: М - количество различных сечений .

Представлены условия существования точного решения -трехмерной задачи в виде (17). Все величины ЙУ/Ь,С,]) определяющие найденное решение должны удовлетворять условиям существования соответствующих плоских задач и одновременно обеспечивать существование ашшпооида (15) в невырожденном виде.

Как частный случай наложен алгоритм построения точного ра- * шения задачи об оплавлении трёхгранника с двумя одинаковыми углами, когда грани одинаково наклонены к оси оплавления: /¡^А. Предлагаемый алгоритм использует симметрию характеристического эллипсоида. Если в уравнении эллипсоида (15) С-В , то эллипс, расположенный в сечении ^ позволяет вычислять все необходимые значения сечений У'-/* и составить функцию (I?) для дашо-го случая.

В главе 4 полненная модель однофазного оплавления клина и трёхгранника реализуется как модель однофазной разрушающейся тепловой защиты передней части и края поверхности крыла (рис.1). Получена Функция двухмерной оплавляемой поверхности, форма которой определяется значением пара1»1етра I (рис.2).

Рис.1. Передняя часть и край поверхности крала разрушаемого тепловым потоком

Рис.2. Двухмерные оплавляемые поверхности

Анализ Функции поля температур (II) позволяет использовать функцию (18) для приближённого описания температуры в точках ограниченного тела в случае, если поперечный размер этого тела удовлетворяет следующему условию:

Ь^М&'е' из)

где: с - точность вычислений.

Если температура плавления материала твёрдой (Тазы , то температура в точках тела, ограниченного двухмерной поверхностью (18), вычисляется по следующей формуле:

Я* Ж - № - ил- №, гМ. (20)

Определив направление вектора нормали к поверхности 3-1 из (18), вычисляются вначения теплового потока из (I) в точках указанной поверхности.

(21)

Функция трёхмерной оплавляемой поверхности, форма которой определяется значением параметра I , получена в следующем вида:

Мл -1. т

где: - функция двухмерной поверхности (18), записанная

в сечении характеристического эллипсоида (15).

Температура в точках тела крыла вычисляется по следующей формуле:

^г-т-т-тш!. ^

Далее в главе подробно излагаются алгоритмы построения

двухмерной и трехмерной моделей тепловой защити крыла, представлены блок-охемы указанных алгоритмов.

Алгоритм построения модели однофазной разрушащейоя тепловой защиты передней части и края поверхности крыла предполагает только, что контур передней части поперечного сечения крыла и поверхность края крыла заданы координатами точек и имеют форму близкую к кривым (18) и поверхностям (22).

Модель представлена в виде комплекса ФОРТРАН-прогргмм и предполагает возможность изменения условий теплового нагружения и материала тепловой защиты.

Моделируемое изменение теплового потока вдоль поверхности одной из изотерм (22) трёхгранного угла, составленного из прямых двугранных углов, сравнивается в работе с данными эксперимента об изменении теплового потока но поверхности сферы (из книги Полежаева Ю.В., Юровича &.В. Тепловая защита, 1976). В той части поверхностей, которые можно полагать совпадающими, значения сравниваемых тепловых потеков не отличаются более, чем на 12 %. Результаты сравнения показаны на рис.3.

3 - по сфере .

10

Я

о

ж

Рис.3. Изменение теплового потока по части поверхности изотермы, совпадающей с поверхностью сфера

N

Если модель используется при проектировании крыла, то по условию теплового нагружения и материалу тепловой защиты может быть получена требуемая форма разрушаемой поверхности. Если при проектировании, граница непрогретой зоны может быть задана координатами точек, то представленная модель позволяет восстановить необходимую форму внешней разрушаемой поверхности крыла.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫЗОЛЫ

Представленная в работе модель однофазной разрушающейся тепловой защиты передней части крыла, основывается на возможности получить точное аналитическое решение задачи об оплавлении полубесконечных тел. Алгоритм получения точного решения задачи об однофазном квазистационарном оплавлении трёхгранника и клина подробно излагается и исследуется в работе.

Анализ полученной модели оплавления позволяет считать, что по более заострённым оплавляемым Поверхностям, в глубину материала тепловой защиты подводится меньший тепловой поток, а температура в глубине материала, в указанном случае, ниже.

Изменение интенсивности подводимого теплового потока для квазистационарнсго режима теплового нагружения, приведёт к изменению скорости разрушения поверхности и не повлияет на её форму.

Основные результаты работы и, полученные выводы, следующие: ■

I. Предложен новый простой алгоритм построения точной ма-тегатвческоМ модели однофазного оплавления полубесконечного клина, который позволяет получить поле температур в твёрдой фазе разрушаемого тела.

2. Исследованы условия существования построенной двухмерной математической модели и определены угли раствора оплавляемого клина, для которых эта модель существует.' Иоследовано вырождение модели, связанное о критической ориентацией оси оплавления, указаны критические направления оси оплавления.

3. Основываясь на алгоритме построения двухмерной модели, предложен алгоритм построения точной математической модели однофазного оплавления трехгранника, образованного тремя одинаковыми двугранными углами и трёхгранника, у которого, составляющие его двугранные утлы разные.

4. Исследованы условия существования построенной трёхмерной математической модели оплавления трёхгранного угла, представлены условия, которые долмш быть выполнены для того, чтобы трёхмерная модель могла быть построена.

5. Предложенный алгоритм построения точных натвматчеотх моделей однофазного оплавления полубескоцечкых тел может быть легко развит для построения точных математических моделей оплавления тел более сложной формы яли использован для приближённых вычислений.

6. Построена модель однофазной разрушавшейся тепловой защиты передней части и края поверхности крыла, позволяющая по форме заданной разрушаемой поверхности определять поле температур в глубине материала и тепловой поток в точках разрушаемой поверхности.

7. Предложенная модель тепловой защиты, рэалкзоЕанн-ая в виде программы на языке Фортран, предполагает не только рячпс-ление значений теуператути или теплового потока, но и возможность подбора оптимального варианта форт передней части крыл^,

ч

материала тепловой защиты или интенсивности тепловой нагрузки.

8. Алгоритм построения модели тепловой защиты поверхности крыла прост для численной реализации, имеет малое число определяющих параметров, что облегчает использование модели в методиках расчётов тепловой защиты элементов или конструкций, имеющих угловую форму и включение её в действующие САПР и АСНИ.

9. Представленная модель разрушающейся тепловой защиты передней части крыла позволяет качественно анализировать связь интенсивности тепловой нагрузки, формы разрушаемой поверхности, поля температур в твёрдой фазе. Возможность качественного анализа, всеобъемлющая картина моделируемого процесса разрушения материала тепловой защиты, точность и простота вычислений являются достоинствами предложенной модели. .

10. Алгоритм построения точного аналитического решения многомерной задачи об однофазном оплавлении будет полезен при решении других задач, имеющих аналогичную математическую формулировку и может быть развит как метод решения уравнений математической физики.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Чернышов А.Д., Резцов О.П. Точные решения однофазных задач об оплавлении клиновидных тел // Инженерно-физический журнал, 1987. - Т. 52, !!> 6. - С. 995 - 999.

2. Резцов О.П., Чернышов А.Д..Точные решения однофазной задачи об оплавлении трёхгранного угла // Ишконерно-сТ-изический журнал, 1992. - Т. 63, КЗ. - С. 360 - 374.

3. Чернншов А.Д., Резцов О.П. Особенности применения метода суперпозиций в задачах об оплавлении клиновидных тел.// Тез. докл. Республиканской конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред". - Воронеж, 1992. - С. 162.

4. Резцов О.П. Одно свойство условия замыкания решения в задаче об однофазном оплавлении клина // Тез.докл. ХХХП научной внутривузовской конференции Воронежского технологического института. - Воронеж, 1993. - Т. 2. - С. 42.

5. Резцов О.П., Чернышов А.Д. Исследование корней' характеристического эллипса в задачах об оплавлении клиновидных тел // Информационные технологии п системы: Материалы научной конференции: в 4 ч. / Воронежский технологический институт. Воронеж,

1994. - ч.З. - С. 16 - 18.

Подписано в печать 17.05.94 г. Формат 60 х 90 1/6 Бумага писчая, п.л. 1,0. Тираж 100. Заказ 4 &9

394017, Воронеж, пр. Революции, 19. УОЯ ВТИ