автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель и программное обеспечение оптимизации структуры и функционального состояния сложных нелинейных систем

На правах рукописи

Тюрин Кирилл Вячеславович

17 та 2ооо

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ СЛОЖНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМ ФИБРИНОЛИЗА И ГЕМОКОАГУЛЯЦИИ)

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Российском государственном технологическом университете - МАТИ им. К.Э. Циолковского.

Научный руководитель -

Доктор технических наук профессор М.А. Ханин

Официальные оппоненты -

Доктор физико-математических наук профессор Л.А. Муравей

Доктор физико-математических наук Д.А. Саранча

Ведущая организация -

Гематологический научный центр РАМН

Защита диссертации состоится 28 июня 2000 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 063.56.02 в РГТУ-МАТИ им. К.Э. Циолковского (121552, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГТУ-МАТИ им. К.Э. Циолковского.

Автореферат разослан 28 мая 2000 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета № Д 063.56.02

Доктор физико-математических наук

Е.В. Метелкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

В настоящее время актуальной проблемой современной биологии и физиологии является изучение ряда сложных биологических систем, основанных на ограниченном протеолизе и играющих важную роль в нормальном функционировании организма (например, системы апоптоза, гемостаза, комплемента, разрушения экстрацеллюлярного матрикса и др.). Значительные трудности в исследовании этих систем связаны с определением биохимическими методами кинетических констант протекающих в системах реакций. Знание кинетических констант позволяет исследовать особенности динамического поведения этих систем и их регуляцию. В диссертации предлагается метод определения кинетических констант без применения биохимических методов, что является актуальной проблемой.

Цель работы.

Целью работы является создание математической модели оптимального состояния ферментативной физиологической системы, позволяющей исследовать ее структурные и функциональные особенности.

Задачи исследования.

1. Создать метод определения оптимальных концентраций проферментов

ферментативных физиологических систем.

2. Создать метод определения кинетических констант на основе известных по

данным биохимических исследований концентраций проферментов.

Научная новизна.

В работе предложен новый подход к математическому моделированию сложных физиологических систем, в котором изучаемая система рассматривается на основе принципа оптимальности. Предлагаемые математические модели дают новый результат - позволяют установить кинетические константы биохимических реакций на основе математического моделирования, т.е. без применения биохимических методов. Новым является также предложенный метод определения оптимальных концентраций проферментов.

Научно-практическое значение.

Практическое значение работы связано с тем, что предложенный метод определения кинетических констант дает возможность ускорить процесс исследования сложных физиологических систем и тем самым ускорить также отыскание подходов к нормализации патологических состояний этих систем.

Апробация диссертации.

Апробация диссертации состоялась 29 марта 2000 года на заседании кафедры «МПС, Э и Э», на котором присутствовали многие члены Диссертационного совета N9 Д 063.56.02. Материалы диссертации докладывались:

1. На XVII Международном конгрессе по тромбозу и гемостазу (г. Вашингтон,

США, 1999).

2. На конференции «Гагаринские чтения» (МАТИ, 1999).

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 2 печатные работы. 1 научная работа в настоящее время принята в печать журналом «Известия РАН». Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 108 страницах машинописного текста, включает 5 рисунков, 8 таблиц и состоит из введения и 9 глав (1 - обзор литературы, 2 - постановка задачи и темы исследования, 3, 4, 5, 6, 7 - собственных исследований, 8 - обсуждение результатов, 9 - выводы) и списка литературы, включающего 38 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена обзору научных публикаций по математическому моделированию ферментативных физиологических систем, принципу оптимальности в физиологии и динамике ферментативных физиологических систем.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена обсуждению постановки задачи и цели исследования.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена выбору критерия оптимальности функционального ферментативных физиологических систем (ФФС).

Общие принципы функционирования физиологических систем, основанных на реакциях ограниченного протеолиза, таковы:

1. В исходном состоянии, т.е. до возникновения активирующего воздействия, система состоит, главным образом, из субстратов (проферментов, прокофак-торов), которые, как правило, не обладают ферментативной активностью. Проферменты растворены в плазме крови или в других биологических средах (цитоплазма, лимфа и др.). Помимо субстратов, ФФС включают ингибиторы, которые в отличие от субстратов часто находятся в активном состоянии.

2. При возникновении активирующего воздействия субстраты последовательно («каскад ферментативных реакций») и/или частично параллельно активируются, образуя ферменты; в результате растут концентрации ферментов и наиболее интенсивно - концентрация конечного продукта.

3. Физиологическая роль системы часто обеспечивается при достижении определенной концентрации конечного продукта или при накоплении достаточного количества конечного продукта.

Таким образом, для функционирования ФФС необходимо непрерывно поддерживать определенные концентрации субстратов во всем объеме биологической среды, в которой должна функционировать эта система. Поскольку время жизни субстратов в биологических средах ограничено (порядка 5-30 часов), клетки соответствующих физиологических органов (чаще всего печени) непрерывно секретируют субстраты, восполняя их убыль.

Естественно предположить, что оптимальная структурно-функциональная организация ФФС должна удовлетворять требованию минимальных «затрат», связанных с сохранением в биологических средах концентраций субстратов, обеспечивающих функционирование системы; при этом должны решаться физиологические задачи системы.

Все субстраты в рассматриваемых физиологических системах являются белковыми соединениями. Биологическая «ценность» белка определяется его аминокислотным составом. Таким образом, ценность белкового соединения Эк, сек-ретируемого в единицу времени, можно представить в виде:

2>Ак 'к

где П|к - число аминокислот ¡-го типа, входящих в состав молекулы к-го белкового соединения;

од - «ценность» аминокислоты ¡-го типа;

Тк - среднее время жизни рассматриваемого субстрата в биологической среде;

вк - «ценность» к-го белка;

Ык - число различных аминокислот, составляющих молекулу к-го белка. Целевую функцию (1) можно представить в более простом приближенном виде:

З-Х^-щЩ (2)

к=1 Тк

где Цк - молекулярный вес к-го субстрата.

Таким образом, ФФС оптимальна, если «ценность» проферментов, входящих в ее состав и секретируемых в единицу времени, минимальна.

В ГЛАВЕ ЧЕТЫРЕ рассматривается метод определения оптимальных концентраций проферментов.

Динамика ферментативной физиологической системы в рамках модели с сосредоточенными параметрами описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

г1г

^ = (3)

где с - вектор, компонентами которого являются концентрации проферментов или прокофакторов и активированных соединений - ферментов, и кофакторов;

к - вектор, компонентами которого являются кинетические константы (константы скоростей ферментативных реакций, скоростей образования комплексов, константы Михаэлиса);

Р - параметр, характеризующий интенсивность внешнего активирующего воздействия. Чаще всего эта величина имеет смысл концентрации некоторого белкового соединения, инициирующего первую ферментативную реакцию системы. Обычно активирующее соединение секретируют клетки.

Решение системы уравнений (3) при соответствующих начальных условиях определяет зависимость от времени всех концентраций ферментов, проферментов, кофакторов, ингибиторов, комплексов фермент-кофактор и конечного продукта. Начальное условие можно сформулировать, если известны концентрации проферментов, а также ферментов и других динамических переменных в фоновом состоянии.

Условие нормального функционирования ФФС, т.е. решение соответствующей физиологической задачи, часто может быть сформулировано в виде требования достижения заданной концентрации конечного продукта через определенный промежуток времени Т после начала активации системы:

где А - известная константа;

С). - концентрация конечного продукта.

Таким образом, оптимальные концентрации проферментов должны доставлять минимум целевой функции (2) с. ограничением, которое определяется условием (4). В такой формулировке мы приходим к нелинейной задаче на поиск условного экстремума. Функция, определяющая ограничение, представляет собой результат интегрирования системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы. Т.о. рассматриваемая задача формулируется следующим образом:

где с - вектор концентраций проферментов размерности п (л - количество оптимизируемых параметров);

^с) - критерий оптимальности (целевая функция) (2); д(с)-А - ограничение (А - значение результирующего параметра). Для решения задачи типа (5) применим классический метод множителей Ла-гранжа. В рассматриваемом случае функция Лагранжа имеет вид:

01.0) = А при 1 = Т

(4)

((с) ->гтп, д(с)-А = 0

(5)

ЦсД) = Кс) + Я[д(с)-А]

(6)

где к - множитель Лагранжа.

Уравнения, решения которых определяют оптимальную величину вектора Сопт, получим, продифференцировав функцию Лагранжа (6) по всем перемен-

ным (в том числе и по X) и приравняв полученные производные нулю. В результате получаем систему, состоящую из п+1 уравнений, следующего вида:

дс-, д(с)

А = О

(7)

где ¡=1,..,п, п - количество оптимизируемых параметров.

Решая систему (7), можно найти точки экстремума функции Лагранжа (6). Целевая функция (2) линейна, поэтому система (7) примет вид:

о

' Зс, д(с)-А = 0

(8)

А

где а. = ^г

Линеаризируем систему (8) путем разложения в ряд по концентрациям субстратов в окрестности некоторой точки со=(сю.....Спо). При разложении" в ряд

ограничимся только линейными членами. В результате такой линеаризации система (8) примет следующий вид:

вИ-адМ». АС|]) = 0 (9)

9(Со) + 1^1с=с0 Дс,-А = 0

¡=1 ОС\

где п - количество субстратов (оптимизируемых параметров);

Др - приращение ¡-го субстрата. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений субстратов и величины, обратной множителю Лагранжа (1/Х.). Переходя к компонентам вектора с, представим матрицу коэффициентов и столбец свободных членов системы (9) в виде:

э2д а2д д2в «и эд

дс? дс-,Эсп дс^

52д г2д а2д а.2 эд

дс22 дс2

з2д э2д г2д ап 5д

дс^дс2 5сп2 Эсп

зд ад йд А-д

дС^ дс2 Эсп 0

Для решения линейной системы (9) используется метод Гаусса. Решение исходной нелинейной системы (7) можно найти методом последовательных приближений.

ПЯТАЯ ГЛАВА посвящена определению оптимальных концентраций проферментов системы фибринолиза, схема которой представлена на рис. 1.

Рассмотрим математическую модель с сосредоточенными параметрами; диффузионный транспорт проферментов и ферментов в рамках таких моделей не учитывается. Целесообразно выделить два частных случая. В первом из них диффузия, являющаяся медленным процессом по сравнению с ферментативными реакциями, не успевает заметно повлиять на концентрации соединений, участвующих в процессе. Тогда актива-Рд-► Р ция проферментов приводит к их ло-

кальной убыли, а диффузионным переносом активированных факторов можно пренебречь. В этой ситуации в системе динамических уравнений должны быть учтены не только процессы активации Рис. 1. Схема системы фибринолиза. проферментов, но и их убыль.

В другом случае сравнительно малых концентраций ферментов (по сравнению с концентрациями соответствующих проферментов) можно пренебречь убылью проферментов и не включать в модель уравнения, отражающие этот процесс.

Аюивация системы происходит за счет секреции клетками проурокиназы. С учетом убыли плазминогена и проурокиназы математическая модель может быть представлена следующими уравнениями:

и

и

Ф1_ МРЦЦ] НГ11,

¿1Р]_ МШГРд] , Ми][Рд} Л Кт2 + [Рд] Кт3 + [Рд]

Ф) _ МРР]

сИ Кт, +[11]

Я[Рд] ^ МЩРд] к3[и][Рд] сК Кт2+[Рд] Кт3 +• [Рд]

-Н2[Р]

(11)

Для системы фибринолиза целевая функция (2) принимает вид:

5Ар9[Рд1о | //ц[и]0 (12)

ТРд Т,

где црд ци - молекулярные веса плазминогена и проурокиназы соответственно; [Рд]о и [и]о - концентрации плазминогена и проурокиназы в биологической среде;

Тр9 и Ти - время жизни плазминогена и проурокиназы соответственно.

Урокиназа Плазмин Ппазминоген Проурокиназа

О.ОО 0.25 0.50 0.7$. 1.00 - 1,2S 1,50 1.7« 2,00 2,25 2,50 : ' '. Вр«МЯ, МИН. . ;

Рис. 2. Динамика системы фибринолиза.

■ Обращаясь к рис.2, можно установить ограничение для фИб|>инолитической системы, активируемой проурокиназой. Как видно из рис.2, концентрация плаз-мина достигает максимума ([Р]=0.65 мкМ) через 1.3 мин после начала активации системы, инициируемого локальной секрецией.проурокйназьи Учитывая эти результаты представляется целесообразным выбрать в качестве ограничения условие достижения концентрации плазмина, равной 0.65 мкМ через 1.3 мин. Предлагаемое ограничение реализуется путем решенйя системы уравнений (11).

На рис.3 представлена зависимость целевой функции (12) от концентрации субстратов в среде. В таблице 1 представлены значения концентраций субстратов, полученные с помощью критерия оптимальности и в результате биохимических исследований. Из таблицы 1 видно, что оптимальные концентрации субстратов отличаются от наблюдаемых в плазме крови менее чем на 10%. Это соответствие результатов моделирования и наблюдаемых величин можно считать хорошим. На лучшее соответствие было трудно рассчитывать, учитывая погрешности как в измерениях кинетических констант, так и в параметрах, входящих в целевую функцию. Рис.3 иллюстрирует плавную зависимость целевой функции от концентраций проферментов вблизи минимума.

Рис. 3. Зависимость критерия оптимальности от концентраций про-урокиназы и плазминогена.

Концентрация профермента, мкМ Плазминоген (Рд) Проурокиназа (U)

По данным биохимических исследований 1,4 1

По результатам расчетов 1,35 ; 1,08

Таблица 1. Значения концентраций субстратов, полученные с помощью моделирования и в результате биохимических исследований.

TF

VII

[TFVIIJ—-—► fTFVIIa]

VII-

■ Vila

Ха Va-

\ / [XaVa]

Па ТИ РСа «-г- PC [ТМ2а]-

Рис. 4. Схема внешнего пути системы гемостаза.

-нкТР_7[ТР]^М] _ кТр7а_дт-зРТ\/11а][АТЗ] -

ШЕСТАЯ ГЛАВА посвящена оптимизации концентраций проферментов внешнего пути гемокоагупяцш на основе принципа оптимальности, изложенного в главе 3.

Схеме внешнего пути, представленной на рис.4, соответствует следующая система дифференциальных уравнений, описывающая динамику этой системы:

д к,,.,,ж 7[шщ а! кт7а_10а+[У11]

с![У11а] ^ к7а_10а[У11][Ха] <« кт7а_10а+[У11]

с![ТРУ11] _ кТР7а10артУЧ][Ха] Л ктТР7_1оа + ПТУ11]

с![ТРУ11а] кТР7а10а[ТРУ11][Ха] «Я ктТР7_юа+(ТРУ111

-кхаТРР^т^иаП-РУНаЦХаТРРЦ (Щ^ к10а 7а[Х][У11а] к10а_ТР7а[Х][ТРУ11а] Л кт10а_7а + [Х] кт10а_ТР7 + РЧ с![Ха] _ к10а7а[Х][ТРУ11] [ к10а_ТР7а[Х][ТРУ11а1 кт10а_7а + [X] кт10аТ(:7 + [X]

-кР[Ха][Уа] - к10а_АТз1Ха]|АТЗ] -к гушгтрри о. кР_РСа[ХаУа]рСа]

- кюа_ТРР|[Ха][ТРР1]+-—- .у., ,

ктр_рса +[ХаУа]

сЦУ] _ к5а_2а[У][Иа] к5а10а[У][Ха] Л кт5а2а+[У) кт5а10а+[У] с![Уа] к5а2а[У][На] к5а10а[\^[Ха]

«й кт5а 2а+[У] кт5а 10а+М

+ кР АТз1ХаУа][АТЗ]-

„ гх/а1гуа1 к5а РСа[Уа][РСа] ~ кр[Уа][Ха] - ^ ^ ^ (13)

^-крРСаНУаЬкр ^(ХаУаКАТЗЬ^^! сН - ктр_рса +[ХаУа]

б[П] _ к2з Р01][ХаУа] к2а10а[11][Ха] Л кт2а_р + [ХаУа] кт2а_10а + р|]

с1[Па] к2а р[П][ХаУа] к2а10а[11][Ха]

= Г-. IV„км + Т.-Гпп"~К2а дгз1||аЛА| ^

Л кт2а Р + [ХаУа] кт2а 10а+ПЧ

d[PC] _ kpCa_2a[PC][lla]

-kpca PCi[PCa][PCI]

dt kmPCa_2a+[PC] d[PCa] _ kpca_2aCPC][lla]

dt kmpCa2a + [PC]

d[TM2a] . ... ___„ dt к2а_тм1"а][ТМ1

В математической модели (13) рассматриваются следующие основные процессы, связанные с функционированием внешнего пути:

1. Каскад ферментативных реакций в плазме крови.

2. Конкуренция ферментов за субстрат (в случаях, когда один фермент способен активировать несколько различных субстратов).

3. Действие кофактора Va и его активация тромбином.

4. Действие ингибитора - активированного протеина С (РСа) и активация PC тромбином.

5. Действие антитромбина III.

6. Образование комплекса кофактора Va и фактора Ха (протромбиназы).

7. Активация тромбина фактором Ха и протромбиназой.

8. Активация факторах комплексомTFVIIa.

9. Активация фактором Ха фактора VII.

Для определения оптимальных с точки зрения критерия (2) концентраций субстратов, внешнего пути системы г^Мокоагуляции необходимо ввести ограничение. Исходя из анализа динамики внешнего пути, можно сделать: вывод, что система выполняет свою физиологическую роль, вырабатывая максимум результирующего фактора - тромбина. Скорость работы внешнего пути зависит от интенсивности инициирующего воздействия, т.е. от начальной концентрации тканевого фактора. .Концентрации: субстратов, удовлетворяющие критерию оптимальности, представлены в таблице; 2. В этой же таблице представлены концентрации субстратов, полученные биохимическими методами.

Ограничение Концентрация субстрата, нМ

TF, нМ Время, мин. На, нМ VII X V II

По результатам биохимических исследований 10 136 30 1388

500 0,68 792,7 18,7 95,8 22,6 1259

750 0,63 901,1 18,1 94,8 25 1331

1000 0,6 960,3 17,6 93,9 26,4 1360

1250 0,58 995,9 17,2 93,1 27,4 1374

1500 0,56 1018,8 17,3 93,6 28,3 1369

Таблица 2. Значения концентраций проферментов, полученные с помощью моделирования и в результате биохимических исследований.

Как видно из данных, представленных в таблице 2, наблюдается удовлетворительное соответствие оптимальных концентраций проферментов и результатов биохимических исследований. Имеющиеся расхождения можно объяснить значительными погрешностями, возникающими при определении кинетических констант биохимических реакций. Разброс величин констант, полученных различными авторами, достигает двух-трехкратного. Поскольку в динамической модели используются эмпирические величины кинетических констант, такой разброс не может не отразиться на результатах. Однако, соотношения оптимальных величин концентраций различных проферментов хорошо соответствует наблюдаемому.

В СЕДЬМОЙ ГЛАВЕ рассматривается математическая модель определения кинетических констант сложных физиологических систем. В целевую функцию и, соответственно, в динамические уравнения, описывающие поведение системы, входят кинетические параметры. В частном случае ферментативных физиологических систем такими параметрами являются:

1) кинетические константы, к которым относятся константы каталитической скорости процессов (КеаО, константы Михаэлиса (Кт), константы скорости биохимических реакций второго порядка (К) - образования различных комплексов, в том числе и комплексов фермент-ингибитор;

2) концентрации проферментов, прокофакторов и ингибиторов.

Как известно, установление численных значений кинетических констант с помощью биохимических методов является чрезвычайно трудной задачей. Поэтому во многих случаях численные значения кинетических констант, входящих в математическую модель, не удается найти путем изучения опубликованных в литературе данных биохимических исследований. В связи с этим теоретическая методика определения кинетических констант существенно расширяет возможности математического моделирования сложных систем даже в тех случаях, когда численные значения кинетических констант определены только для некоторых из них.

Предположим, что концентрации проферментов определены с помощью биохимических методов. Это условие, как правило, выполняется для большинства известных ФФС. В этом случае оказывается возможным решение следующей задачи: определить величины кинетических констант так, чтобы этим константам соответствовали оптимальные концентрации проферментов, совпадающие с соответствующими величинами, измеренными с помощью биохимических методов.

Итак, предположим, что в системе (8) оптимальные концентрации проферментов Сот известны. Систему (8) мы можем линеаризовать относительно кинетических констант. При этом выберем число определяемых кинетических констант равным числу проферментов. В линеаризованном виде система (8) примет следующий вид (¡-е и последнее уравнения):

(7С1 с=с„„.

¿=1 ^¡йк, с=сопт

С=С0ПГ ¡=1 с=с0„

Дк) ~А = 0

где п - количество искомых кинетических констант, равное числу субстратов (оптимизируемых проферментов); к - вектор искомых кинетических констант; ко - точка, в окрестности которой проведена линеаризация; Дк( - приращения кинетических констант. В результате получаем систему линейных уравнений относительно приращений кинетических констант и величины, обратной коэффициенту Лагранжа (1 /к). Переходя к компонентам вектора к, представим матрицу коэффициентов и столбец свободных членов системы (14) в виде:

г2д а2д а2д СИ ад

дс-|3к1 дС)(кп дсл

а2д а2д а2д И2 ад

<Эс2Экп дс2

а2д а2д э2д (Хп ад

3сп3к, Эсп6к2 Эсп9кп асп

89 ад ад А-д

ак. Экп 0

(15)

Если бы точка ко соответствовала решению задачи, то система (14) имела бы решение Дк,=0. В действительности мы не можем угадать правильные значения кинетических констант, поэтому для решения задачи воспользуемся итерационным методом. Найдя Ак| в первом приближении, мы пересматриваем ко согласно формуле:

к0м=к01+Дк( (16)

где к0| - вектор кинетических констант на итерации ¡+1; к0. - вектор кинетических констант на итерации ¡; Дк, - вектор приращений, вычисленный на итерации ¡.

Далее задача решается вновь до достижения заданного порога точности.В таблицах 3 и 4 представлены результаты поиска кинетических констант для системы фибринолиза и наиболее значимых кинетических констант внешнего пути гемокоагуляции.

Значение кинетической константы, мин"1 к, кг к3

Данные биохимических исследований 102 1,2 60

Результаты моделирования 108,3 1,23 -

- 1,26 59,8

116,6 - 60,3

Таблица 3. Кинетические константы системы фибринолиза, полученные по данным биохимических исследований и по результатам моделирования.

TF, нМ ki0a_TF7a, МИН"1 кга_р, (нМ*мин)"1 к5а_2а, МИН"1

500 160 1123 30,4

750 132 1318 27,6

1000 121 1451 26,8

1250 114 1543 26,3

1500 112 1589 27,5

Данные биохимических исследований 103 1700 27

Таблица 4. Кинетические константы внешнего пути системы гемокоагуляции, полученные по результатам моделирования.

Как видно из приведенных в таблицах 3 и 4 результатов, наблюдается удовлетворительное соответствие значений кинетических констант, полученных в результате моделирования, с экспериментальными данными.

ВЫВОДЫ.

1. Предложен критерий оптимальности структурно-функциональной организации сложных нелинейных физиологических систем, основанных на ограниченном протеолизе. Критерий определяется условием минимального потребления белков (проферментов) системой.

2. Разработан метод определения оптимальных структурных и функциональных параметров сложных нелинейных физиологических систем, осно-

ванных на ограниченном протеолизе.

3. Метод применен для исследования оптимальных концентраций проферментов системы фибринолиза, активируемой проурокиназой, и внешнего пути системы гемокоагуляции.

4. Определены на основе математической модели величины кинетических констант систем фибринолиза и внешнего пути системы гемокоагуляции.

5. Во всех рассмотренных случаях обнаружено удовлетворительное соответствие теоретических результатов и данных биохимических исследований.

6. Материалы диссертации свидетельствуют об адекватности критерия оптимальности ферментативных физиологических систем, формулируемого в виде условия минимального потребления белков (проферментов) системой.

7. Предложенный метод может быть применен для теоретического определения величин кинетических констант, если известны концентрации проферментов.

8. Если известны кинетические константы, предложенный метод позволяет определить концентрации проферментов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. К. Tyurin, М. Khanin Fibrinolysis: an Optimization Approach. Thrombosis and Haemostasis, 1999, suppi., p. 786.

2. M.A. Ханин, K.B. Тюрин. Оптимальность системы фибринолиза (математическая модель). Сборник трудов РГТУ - МАТИ им. К.Э. Циолковского. 1999.

3. К.В. Тюрин, М.А. Ханин. Оптимальность ферментативных физиологических систем. Известия РАН, 2000 (принято в печать).

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1. Принцип оптимальности.

1.2. Особенности ФФС.

1.3. Динамические модели ФФС.

Глава 2. Постановка задачи и цели исследования.

Глава 3. Критерий оптимальности функционального состояния сложных систем.

Глава 4. Метод определения оптимальных концентраций проферментов.

Глава 5. Оптимизация концентраций проферментов системы фибринолиза..

5.1. Структура системы фибринолиза.

5.2. Математическая модель динамики системы фибринолиза (ФС).

5.3. Оптимальные концентрации проферментов системы фибринолиза.

5.4. Чувствительность критерия оптимальности к вариации кинетических констант.

Глава 6. Оптимизация концентраций проферментов внешнего пути системы гемокоагуляции.

6.1. Введение.

6.2. Структура внешнего пути системы гемокоагуляции.

6.3. Математическая модель динамики внешнего пути.

6.4. Кинетика ферментативных реакций и конкуренция субстратов за фермент.

6.5. Результаты моделирования: оптимальные концентрации проферментов.

Глава 7. Математическая модель: определение кинетических параметров сложной системы.

7.1. Введение.

7.2. Метод определения кинетических констант.

7.3. Определение кинетических констант системы фибринолиза.

7.4. Результаты определение кинетических констант внешнего пути системы гемокоагуляции.

Глава 8. Обсуждение результатов.

Глава 9. Выводы.

Принцип оптимальности в биологии получил существенное развитие в начале XX века. Первым объектом применения принципа оптимальности явились физиологические системы, в которых большую роль играют физические процессы. Например, гемодинамика и диффузия в системе кровообращения, газодинамика и диффузия в системе внешнего дыхания. В отмеченных случаях применение принципа оптимальности оказалось успешным; оптимальные параметры находятся в хорошем соответствии с величинами, определенными биохимическими и физиологическими методами. Важнейшим вопросом в применении принципа оптимальности является установление критерия оптимальности или целевой функции. Чаще всего применялись принцип минимальных затрат энергии, а также критерий Фишера. В дальнейшем был развит общий критерий оптимальности физиологических систем, из которого выводятся его частные варианты.

В предлагаемой работе с позиций принципа оптимальности исследуются ферментативные физиологические системы (ФФС). Под этим термином мы будем понимать физиологические системы, в функционировании которых определяющую роль играют ферментативные реакции (реакции ограниченного протеолиза). ФФС, как правило, обладает следующими основными особенностями:

• сложность системы, обусловленная, в частности, большим числом динамических переменных; динамическими переменными являются концентрации проферментов, ферментов, ингибиторов, различных комплексов и других высокомолекулярных соединений, входящих в ФФС;

• нелинейное взаимодействие элементов и подсистем ФФС;

• наличие нелинейных положительных и отрицательных обратных связей;

• часто наблюдается недостаток информации о численных значениях параметров системы (концентрации проферментов и ингибиторов, значения кинетических констант).

Все эти вместе взятые особенности существенно затрудняют математическое моделирование ФФС. В то же время следует заметить, что основные закономерности динамического поведения ФФС очень трудно или практически невозможно исследовать без привлечения методов математического моделирования.

Рассмотренная ситуация делает целесообразным поиск методов математического моделирования, направленных на определение или, точнее, оценку численных значений параметров ФФС. В предлагаемой работе за основу принят принцип оптимальности, который позволяет формализовать интуитивно воспринимаемое понятие целесообразности структурно-функциональной организации ФФС, которое отмечал еще Аристотель в своем «Трактате о жизни животных».

Формулируя в первую очередь принцип оптимальности, мы должны в то же время формализовать выполнение ФФС ее физиологической роли или, иными словами, сформулировать ограничение. Ограничения существенно различаются как по форме, так и по содержанию, отражая разнообразие физиологических функций ФФС.

Особого рассмотрения требует целевая функция для ФФС (глава 3). Анализ функционирования таких систем свидетельствует о том, что при условии выполнения своей физиологической роли оптимальна та физиологическая система, которая расходует меньше белков. Это представляется естественным, учитывая дефицит белков (в особенности незаменимых) в процессе эволюции.

В предлагаемой диссертации в первую очередь рассматривается достаточно простая система - система фибринолиза, активируемая проурокиназой. Данная ФФС довольно хорошо изучена, и ее параметры определены. Привлекательность этой системы заключается в возможности верификации оптимизационной модели. В главе 5 диссертации излагается оптимизационная математическая модель этой системы. Определены оптимальные величины концентраций двух основных проферментов исследованной системы -проурокиназы и плазминогена.

В главе 4 предлагается метод поиска экстремума (минимума) целевой функции с ограничением, выражающим способность системы выполнять свою основную физиологическую функцию. В работе полагается, что система фибринолиза выполняет свою функцию, если она создает в определенный момент времени заданную концентрацию плазмина (фермента, разрушающего фибрин). Сравнение оптимальных концентраций проферментов и данных биохимических исследований свидетельствует об их хорошем соответствии. При этом отклонение не превышает нескольких процентов. Здесь предложен метод, обеспечивающий решение задачи при наличии произвольного числа динамических переменных.

В главе 6 рассмотрена существенно более сложная система -система гемокоагуляции. Точнее, речь идет об одной из ее подсистем - внешнем пути. Внешний путь включает каскад ферментативных реакций, создающий эффект усиления, а также одну положительную и одну отрицательную обратные связи. Рассматриваются четыре динамических переменных.

Результаты исследования, приведенные в главе 6, показывают, что оптимальные концентрации субстратов (факторы II, V, VII, X) находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными. Однако, здесь отклонение теоретических величин от экспериментальных больше, чем в случае фибринолитической системы (глава 5). Это объясняется, по-видимому, значительно большим разбросом величин кинетических констант, определяемых биохимическими и физиологическими методами.

В главе 7 излагается метод определения кинетических констант ФФС. Как известно, весьма часто встречаются ФФС, для которых установлены концентрации проферментов, но практически совершенно не исследованы кинетические константы. К такому типу ФФС относится, например, система комплемента. Если полагать, что наблюдаемые концентрации проферментов являются оптимальными, то можно найти по крайней мере некоторые кинетические константы из условия совпадения оптимальных и экспериментально определенных концентраций проферментов. В главе 7 предложен метод решения задачи, основанный на линеаризации системы дифференциальных уравнений, применении итераций и использовании метода Лагранжа для задачи условной оптимизации. Заметим, что ситуация, рассматриваемая в главе 7, часто возникает при изучении сравнительно недавно открытых физиологических систем (например, апоптоз).

Предлагаемые методы позволят расширить область применения математического моделирования и вычислительной техники в исследовании физиологических процессов и систем.

1. Hess W.R. Das Prinzip des Kleinsten Kraftverbranches in Dieuste hamodynamischer Forschung//Arch. Physiol. 1914. S. 1-62.

2. Rohrer F. Der Stromungs Wilderstand in den Mensehlicken Atenvegen // Pflng. Arch. Ges. Physiol. 1915. В. 162. S. 225-229.

3. Cohn D. Optimal systems I: The vascular system // Bull. Math. Biophys. 1954. V. 16. P. 59-74.

4. Cohn D. Optimal systems // Bull. Math. Biophys. 1955. V. 17. P. 219-227.

5. Otis A.B., Fehn W.O., Rahn H. Mechanism of breathing in man // J. Appl. Physicol. 1950. V. 2. P. 392-607.

6. Rosen R. Optimality Principles in Biology // London: Butterworths. 1967.

7. Rashevsky N. The principle of adequate design // J. Found, of Math. Biol. 1973. V. 3. P. 143-175.

8. Zamir M. Optimal principles in arterial branching // J. Theor. Biol. 1976. V. 62. P. 227-251.Черноусько Ф.А. Оптимальные ветвящиеся структуры в биомеханике // Механика композиционных материалов. 1977. Т. 16. С. 308-313.

9. Khanin M., Buharov I. Optimal Structure of the Microcirculatory Bed //J. Theor. Biol. 1994. V. 169. P. 267-273.

10. Hamalainen R.P. Optimization concepts in model of physiological systems. Progress in Cybernetics and System Research // Washington D.C.: Wiley. 1978. V. 3. P. 539-553.

11. Ханин M., Дорфман Л., Бухаров И., Левадный В. Экстремальные принципы в биологии и физиологии // М.: Наука. 1978. С. 256.

12. Khanin М., Buharov I. Mathematical Model of the Exercise Functional State of the Oxygen Transport System // J. Theor. Biol. 1989. V. 137. P. 191-201.

13. Khanin M., Buharov I. Mathematical Model of the Functional State of the Oxygen Transport System // Bull. Math. Biol. 1980. V. 42. P. 627-645.

14. Khanin M., Buharov I. Mathematical Model of the Pathological Functional State of the Oxygen Transport System // J. Theor. Biol. 1984. V. 46. P. 115-125.

15. Murray C.D. The physiological principle of minimum work // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1926. V. 12. P. 207-214.

16. Ханин M. О количественном критерии отбора // Вопросы кибернетики. 1975. Вып. 12. С. 30-35.

17. Khanin М.А., Semenov V.V. A mathematical model of the kinetics of blood coagulation // J. Theor. Biol. 1989. V. 136. P. 127-135.

18. Ханин M.A. Нелинейная динамика системы гемостаза // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. № 3-4. С. 6576.

19. Барынин Ю.А., Старков И.А., Ханин М.А. Математические модели в физиологии гемостаза // Известия РАН. 1998. № 4.

20. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации // М.: Издательство МАИ, 1998.

21. Пирумов У.Г. Численные методы // М.: Издательство МАИ, 1998.

22. Collen D., Zamarron С., Lijnen H.R. and Hoylaerts М. Activation of Plasminogen by Pro-urokinase II // Kinetics J. of Biol. Chem. 1986. V. 261. №3. P. 1259-1266.

23. Liniger W., Ruegsegger P. A Mathematical Model of Fibrinolysis // Mathematical Biosciences. 1967. V. 1. P. 263-285.

24. Bostrom S., Bjorkquist P. Determination of the Kinetic Constants for the Iteraction of Factor Vll/Vlla and Tissue Factor (TF) Using Two Different Methods//Thromb. Haemostas., v. 73, n. 6, p. 1234, 1995.

25. Lawson JH., Butenas S., Ribarik N., Mann KG. Complex-dependent Inhibition of Factor Vila by Antithrombin III and Heparin //JBC, v. 268, no. 2, pp. 767-770, 1993.

26. Jesty J., Wun T-C, Lorenz A. Kinetics of the Inhibition of Factor Xa and the Tissue Factor Factor Vila Complex by the Tissue Factor Pathway Inhibitor in the Presence and Absence of Heparin // Biochemistry, v. 33, no. 42, pp. 12686-12694, 1994.

27. Bom VJJ., Bertina RM. The Contribution of Ca2+, Phospholipids and Tissue Factor Apoprotein to the Activation of Human Blood Coagulation Factor X by Activated Factor VII // Biochem. J., v. 265, no. 2, pp. 327-336, 1990.

28. Komiyama Y., Pedersen A.H., Kisiel W. Proteolytic Activation of Human Factors IX and X by Recombinant Human Factor Vila: Effects of Calcium, Phospholipids and Tissue Factor // Biochemistry, v. 29, no. 40, pp. 9418-9425, 1990.

29. Willems G.M., Lindhout T, Hermens W.T., Hemker H.C. Simulation Model for Thrombin Generation in Plasma // Haemostasis, v. 21, pp. 197-207, 1991.

30. Jordan R.E., Oosta G.M., Gardner W.T., Rosenberg R.D. The Kinetics of Hemostatic Enzyme-antithrombin Interactions in the Presence of Low Molecular Weight Heparin // JBC, v. 255, no. 21, pp. 10081-10090, 1980.

31. Monkovic D.D., Tracy P.B. Activation of Human Factor V by Factor Xa and Thrombin // Biochemistry, v. 29, no. 55, pp. 1118-1128, 1990.

32. Krishnaswami S., Church W.R., Nesheim M.E., Mann K.G. Activation of Human Prothrombin by Human Prothrombinase. Influence of Factor Va on the Reaction Mechanism // JBC, 262, 3291-9, 1987.

33. Warn-Cramer B.J., Bajaj S.P. Intrinsic Versus Extrinsic Coagulation. Kinetic Consideration // Biochem.J., v. 22, no. 3, pp. 757-762, 1986.

34. Tracy P.B., Eida L.L., Mann K.G. Huma Prothrombinase Complex Assembly and Function on Isolated Peripherial Blood Cell Population // JBC, v. 260, pp. 2119-24, 1985.