автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Локально-аппроксимационные модели социально-экономических объектов

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДЛИ Максим Иосифович Р Г Б ОД

1 '»ФЕЗ 2303

ЛОКАЛЬНО-АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

05.13.10 — Управление в социальных и экономических системах.

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тверь 2000

Работа выполнена в Тверском государственном университете.

Научный консультант:

доктор технических наук профессор А.Н.ЧОХОНЕЛИДЗЕ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.С.БАЛАКИРЕВ доктор технических наук, профессор В.П.ДЬЯКОНОВ доктор технических наук, профессор А.В.КОСТРОВ

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН.

Защита состоится 2000 г. в -/¿^ часов на заседании

диссертационного совета Д 063.97.01 в Тверском государственном университете по адресу: 170013, Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м.н. доцент

ВА.ХИЖНЯК

и &6И.0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Широкое распространение компьютерной техники и ее бурное качественное развитие сделало возможным расширение задач математического моделирования на новые области, связанные с исследованиями социальных, социально-экономических, экологических, медицинских, биологических и т.п. систем и процессов сложной природы.

Известно два основных подхода к подобному моделированию.

Первый - аналитический подход - отражает интуитивные представления исследователей и эмпирические данные о наблюдаемых процессах, их свойствах и причинно-следственных связях. Исследуемые системы (подсистемы) отображаются при этом, как правило, с большой степенью детализации состоящими из отдельных взаимосвязанных элементов, для каждого из которых составляются частные описания, аналогичные уравнениям материального баланса. Объединение данных описаний, с учетом предполагаемых перекрестных и обратных связей, дает общую модель системы - обычно в форме совокупности нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Достоверность и адекватность полученных таким образом моделей в большинстве случаев проверить невозможно, поскольку принципиально неопределимым является ряд параметров моделей; многие процессы могут быть описаны лишь в качественной, но не в количественной форме. Аналитический подход поэтому позволяет в большинстве случаев лишь качественно объяснять наблюдаемые явления, выдвигать теории, но не позволяет получать модели, которые могут быть использованы для целей предсказания и управления.

Второй - аппроксимационный подход. В своей основе он имеет:

- задание структуры модели в какой-либо стандартной форме, например, в виде уравнения регрессии (для статических объектов), • авторегрессии -скользящего среднего (для динамических объектов и процессов) и т.п.;

- оценивание параметров модели по имеющимся экспериментальным данным с помощью тех или иных аналитико-статистических процедур.

Аппроксимационный подход позволяет получать модели, обеспечивающие приемлемый по точности краткосрочный прогноз исследуемых процессов в количественной форме, не используя при этом априорную информацию о структуре системы и взаимодействиях между ее элементами, но качество моделирования при этом существенным образом зависит от того, насколько удачно, подобрана или "угадана" аппроксимирующая формула, что весьма затруднительно для сложных многофакторных систем.

Дальнейшее развитое аппроксимационного подхода в форме моделей с изменяемой структурой позволило лишь частично улучшить его, так как реализация этого подхода (пошаговая регрессия, метод группового учета аргументов - МГУА, нейросетевой подход) при исследовании многофак-

торных социальных и экономических систем, которым присущ существенно нелинейный характер зависимости между переменными, часто приводит к значительным вычислительным проблемам и даже невозможности построения приемлемой модели.

В свете изложенного актуальной проблемой, имеющей важное социально-экономическое значение, является разработка аппроксимационных методов и математических моделей социальных и экономических объектов, позволяющих решать задачи по их прогнозу и управлению в условиях минимальной априорной информации о текущем состоянии исследуемых объектов и допускающих несложную программную реализацию на современных ПЭВМ.

Работа выполнялась в рамках Концепции программы информатизации Российской Федерации, одобренной Правительством РФ (Протокол № 11 от 21 марта 1993 г.), а также комплексных программ социально-экономического развития Смоленской области на 1997-1998 г.г., и 19992000 г.г.

Цели п задачи. Целью работы является разработка теоретических основ и методологических принципов построения локально-аппроксимационных математических моделей социально-экономических объектов для их кратко- и среднесрочного прогноза и управления.

Данная общая цель достигается решением следующих задач:

1. Разработкой формального аппарата создания и использования ло-кально-аппроксимационного метода моделирования указанных объектов. Исследованием свойств моделей, реализующих данный метод.

2. Разработкой методик локально-аппроксимационного моделирования для разных видов объектов и процессов социальной и социально-экономической природы.

3. Разработкой принципов программной реализации локально-аппроксимационных моделей и проведением соответствующих вычислительных экспериментов.

Методы исследований. В исследовании использованы методы непараметрической идентификации, теории систем, теории вероятностей, математической статистики, линейной алгебры, вычислительной математики и вычислительного эксперимента.

Основные положения, выносимые па защиту:

1. Теоретико-методологические основы построения и использования локально-аппроксимационных (программных) моделей, их структура и свойства.

2. Методы обеспечения помехоустойчивости и точности программных моделей.

3. Методики построения программных моделей для многофакторных статических объектов, динамических объектов, случайных процессов в социальных и социально-экономических системах.

4. Методы реализации программных моделей на персональных компьютерах.

Научная повизпа. К наиболее существенным научным результатам относится следующее:

1.Теоретико-методологнческие основы построения локально-аппрохсимационных, так называемых, программных моделей, основными отличиями которых от известных являются возможность моделирования (как в статике, так и в динамике) сложных объектов и процессов при минимуме априорной информации, простота программной реализации и незначительный объем хранимых экспериментальных данных.

2. Оценки показателей помехоустойчивости и точности программных моделей, а также необходимые и достаточные условия, выполнение кого-рых гарантирует заданную точность и сходимость в смысле "почти наверное".

3. Алгоритмы построения программных моделей для случаев, когда объект исследования можно рассматривать как многофакторный статический или динамический.

4. Методика создания и использования программных моделей социально-экономических объектов для решения задач прогноза, планирования и управления, на основе которых проведено исследование ряда конкретных систем. На реальных данных показано, что точность программных моделей при моделировании социально-экономических систем часто оказывается выше, чем при использовании других методов.

Совокупность полученных результатов представляет решение крупной научной проблемы математического моделирования сложных социально-экономических объектов и систем, имеющей важное значение для решения задач кратко- и среднесрочного прогноза и управления народнохозяйственными процессами.

Научная значимость работы. Разработанные в диссертации математические модели сложных объектов в форме программных моделей, принципы построения и методы их компьютерной реализации являются основой для моделирования и исследования сложных социальных и социально-экономических процессов и систем, а также для моделирования сложных объектов и систем в других предметных областях.

Практическая ценность работы. На основе теоретических и методологических результатов данной диссертационной работы созданы модули (процедуры) программно-информационных комплексов, интегрированных автоматизированных систем управления предприятиями, территориальными объединениями, регионами, а также модели экспертных систем прогнозирования и планирования социальных и экономических процессов и явлений. Эти модули могут использоваться при создании математических моделей сложных объектов и систем достаточно широкой физической природы (например, медицинских, физико-химических, экологических). Разработанные в диссертации конкретные компьютерные реализации про-

граммных моделей существенно расширяют возможности компьютерных методов анализа социально-экономических ситуаций районов, городов для решения задач прогнозирования, планирования и управления.

Реализация результатов работы. Полученные в работе теоретические и практические результаты использованы при проведении НИР, в частности "Разработка программной системы «Регион»", выполняемой в рамках договора между филиалом МЭИ (ТУ) в г. Смоленске и Администрацией Смоленской области; "Разработка программной системы «Энергетик»"; "Разработка программного обеспечения автоматизированной системы «Машинист»"; "Разработка модели для кошроля экологической безопасности теплоэнергетических установок средней мощности"; "Разработка программной системы исследования финансово-экономических показателей банка" и реализации программ: "Комплексная программа социально-экономического развитая Смоленской облает" на 1996-1998 г.г. и 1998-2000 г.г.; муниципальная программа "Экологическая безопасность г. Смоленска" на 1997-1998 г.г.; муниципальная целевая программа "Профилактика безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних" на 1998-2000 г.г.; комплексная программа по усилению борьбы с преступностью в Смоленской области на 1998-2000 г.г.

Методологические и теоретические результаты работы использованы в учебных курсах в Московском энергетическом институте (филиал в г. Смоленске).

Апробация работы. По основным научным и практическим результатам диссертации сделано более 30-ти докладов на международных, Всероссийских и региональных конференциях н семинарах, таких как: Всероссийская научно-техническая конференция "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях" (Москва, 1992 г.); Международный семинар Смоленского государственного педагогического института, Хагенского заочного университета и Смоленского областного центра новых информационных технологий (Смоленск, 1997); Научно-практическая конференция молодых ученых и студентов г. Смоленска (Смоленск, 1998), научно-техническая конференция "Информационная безопасность автоматизированных систем" (Воронеж, 1998), Первая международная конференция "Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях" (Минск, 1998); Международная научно-техническая конференция "Новые информационные технологии в науке и производстве" (Минск, 1998); Третья Всероссийская научно-техническая конференция "Информационные технологии и электроника" (Екатеринбург, 1998); 6-ая Международная конференция "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 1999); 1 Всероссийская научно-техническая конференция "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (Нижний Новгород, 1999); межвузовская научно-методическая конференция "Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного

транспорта" (Москва, 1999); 12 Международная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (Новгород Великий, 1999); Международная школа молодых ученых (Новгород Великий, 1999); XVI научная сессия, посвященная Дшо радио и 70-летию Тульского государственного университета (Тула, 1999); Международная электронная научно-техническая конференция "Перспективные технологии автоматизации" (Вологда, 1999); V Международная научная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения академика В.В.Кафарова (Казань, 1999); Международная научно-техническая конференция "Математические методы и компьютеры в экономике" (Пенза, 1999); 1ЛУ научная сессия, посвященная Дню радио (Москва, 1999).

Публикации. Материалы проведенных исследований отражены в 65-ти работах, в том числе в трех монографиях. В работах, написанных в соавторстве, М.И.Дли принадлежат все результаты, касающиеся теоретических и методологических концепций создания и использования программных моделей и информационных технологий их проектирования, а также результаты, относящиеся к практической реализации данных моделей.

Струсттра н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 209 наименований, 3 приложений. Общий объем диссертации 265 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, приведен обзор методов идентификации сложных объектов исследования, дана общая характеристика сформулированных и решенных в диссертации задач и полученных при этом результатов. Приведена и обоснована технология проведенных исследований и структура работы.

В первой главе "ПРЕДПОСЫЛКИ И СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНО-АППРОКСИМАЦИОННОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ" рассматриваются предпосылки, основная идея и свойства разработанного локаль-но-аппроксимационного метода моделирования, названного автором методом программных моделей.

В качестве исходной предпосылки принята простая, но фундаментальная гипотеза о монотонности пространства решений, которую можно выразить так: "Похожие входные ситуации приводят к похожим выходным реакциям системы". Для каждой новой ситуации достаточно найти в протоколе (имеющейся таблице данных) одну или несколько самых близких, похожих на нее ситуаций и принимать решения (прогнозировать выход), опираясь на эти прецеденты.

Кроме отмеченной гипотезы, в работе приняты следующие предпосылки.

1. Известна (задана) область изменения вектора входных факторов х исследуемого объекта, т.е. хе$х.

2. Все элементы х, по крайней мере, измеряемы (без ошибок) и контролируемы.

3. Известна (задана) область изменения вектора е неконтролируемых воздействий (шума).

4. £ не зависит от х.

5. Среднее значение е равно нулю.

6. Другие вероятностные характеристики е нствестны.

7. Значения е в различных опытах независимы друг от друга.

8. Математическая («истинная», глобальная, справедливая для всех хеБх) модель статического объекта задается соотношением

У=ф;)+е, (1)

а динамического -

У(0=>1

у(1),у(1),...,х(1),х(г),...

+ е(0,

но вид функции т]{•) неизвестен.

9. Отношение составляющей выхода модели, обусловленное действием входных факторов, к шумовой (случайной) компоненте намного превышает единицу.

10. Для статического объекта функция г](х) является гладкой (дифференцируемой) во всех точках области Бх, что равносильно утверждению, что область Бх может быть разбита на конечное число N3 неперекрывающихся подобластей и ^ = ^, таких, что в каждой из этих

к

подобластей систематическая составляющая модели /Дх) может быть с любой наперед заданной точностью аппроксимирована линейной формой, в частности, при скалярном у

Т1(х)*с0 + с?-х, (2)

где хт = (х1,х2,...,хя )• вектор входных факторов, с0, с,г = (с{,сг,—.с„) - коэффициенты, постоянные в пределах каждой из отмеченных подобластей.

Для динамического объекта функция т}{•) является дифференцируемой по всем аргументам.

Основную идею предлагаемого метода удобно пояснить на примере простейшего случая - одномерного статического объекта. "Истинная",

глобальная зависимость между хи;» неизвестна, и непосредственное восстановление ее не является в данном случае задачей построения модели.

Построение модели проводится в два этапа в условиях активного или пассивного эксперимента. Предположим, для определенности, что имеет место пассивный эксперимент, когда значения входа х1 только фиксируются, но не определяются исследователем.

На первом этапе (этапе начального, предварительного) эксперимента производится измерение и ввод в память компьютера (в базу данных модели) N пар значений входных и выходных данных х, и >',(см. рис. 1).

Рис.1. Пояснение идеи метода

На втором этапе эксперимента, объем которого может быть заранее не определен, для каждой вновь вводимой величины х ищется в базе данных несколько М ближайших значений ("ближайших узлов"), по которым строится локальная аппроксимирующая зависимость простого вида, например, линейная или квадратичная (в простейшем случае - для линейной модели минимальное значение Л/ равно двум). По данной аппроксимации

Л

определяется выход модели (у на рис. 1), который сравнивается с соответ-

Л

ствующим измеренным значением у. Если модуль разности Ау=\у-у\ оказывается меньше некоторой априори заданной величины >0 (определяющей точность модели), то опыт считается "удачным", и точка (х,у) отбрасывается. В противном случае можно либо увеличить степень аппроксимирующего полинома и повторить проверку неравенства

Ау = \у-у\><1. (3)

либо фазу признать опыт "неудачным", и предъявленную точку добавить в базу данных. Если точка х совпадает с какой-либо из имеющихся х„ указанная аппроксимация (и проверка неравенства (3)) не производится, а в базе данных модели сразу производится модификация заменой у, на (У+У,)! 2-

Второй этап идентификации заканчивается, например, в случае, если Ы0 подряд предъявленных экспериментальных пар (значение А'0 оговаривается заранее) приводят к удачным опытам.

Описанная процедура схематически представлена на рис.2, при этом блок "Набор решающих правил" на этапе построения модели осуществляет поиск точек, ближайших к вновь предъявленной, например, в смысле евклидова расстояния, производит локальную аппроксимацию с

л

вычислением у, анализирует результаты ("удачный - неудачный" опыт) и определяет, нужно ли включать (в случае неудачного опыта) точку в базу данных или просто соответствующим образом (при х=х) ее модифицировать.

Рис.2. Иллюстрация процедуры построения модели

При использовании модели для целей прогноза предполагается, что

А

база данных модели полностью сформирована, и значение у рассчитыва-

ется по введенному л: с использованием метода "М ближайших узлов" и выбранной аппроксимационной формуле.

Очевидно, представленная модификация локально - аппроксимацион-ного подхода к моделированию отличается от известных прежде всего тем, что информацию о свойствах объекта идентификации несут не какие-либо фиксированные аналитические зависимости и не весь объем экспериментальных данных, а только конечный набор экспериментальных значений. Для отличия такого подхода от известных автором предложен термин "программная модель".

Определение 1. Под программной моделью понимается модель локально - аппроксимационного типа, реализуемая с помощью метода "М ближайших узлов" и числовой базы данных, хранящей информацию о ряде экспериментальных значений сигналов объекта исследования.

Термин "программный" здесь подчеркивает то обстоятельство, что модель не отображается аналитическим описанием с постоянными параметрами и может быть представлена только в форме алгоритма и реализующей его программы.

Достоинства предложенного метода моделирования:

1) минимальный объем априорной информации об объекте идентификации;

2) возможность оценивать состояние как линейных, так и сложных нелинейных объектов;

3) простота алгоритма вычислений.

Основные свойства программных моделей удобно вначале рассмотреть на примере статического объекта.

Пусть вход и выход такого объекта связаны некоторой причинно-следственной связью, так что между любой парой точек л:,, у, существует взаимно-обратное соответствие. Данное предположение означает, что у и х связаны некоторой истинной глобальной нелинейной зависимостью

не содержащей шумовой компоненты.

Если в качестве локальной аппроксимирующей модели используется линейная модель вида

и количество М ближайших узлов выбрано равным минимально возможному (в данном случае Л/=2), то

у = у(х) = т\(х), хеБ,

Л Л АЛ

у =)'(х) = со+ а х

(4)

где x^i, х, - два ближайших к точке х узла (см. рис.1), Ах,=х(-

При допущении, что глобальная функция т](х) при xeSit по крайней мерс, дважды дифференцируема и имеет непрерывную и 01раниченную вторую

л

производную, погрешность модели Ay(tj(x)~ \у(х)~у(х)\(0 на любом /-м интервале разбиения определяется формулой

\Ау(1/х\^-шх^'(хкАх}, /=i,2.....N, (6)

где, в данном случае, хе[х,^,х,]

Оптимальное в условиях активного эксперимента (при возможности его проведения) размещение точек х„ минимизирующее погрешность (6), определяется следующим образом. Пусть Sx представляет собой отрезок [0,1], количество интервалов Axt задано и равно N, хо - 0, jtv = 1, а также \r\"(xj\<0fxj на [0,1], где функция Ф(х) непрерывна; пусть в качестве д:,

взяты значения непрерывной дифференцируемой функции со, удов-

летворяющей условиям «(о) = 0, <и(\)=\. При этом задача оптимизации размещения узлов ^,£[0,1] при заданном N сводится к задаче нахождения некоторой оптимальной функции ©(£), решение которой формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Оптимальная функция а>(£) является решением дифференциального уравнения

0((D)-(v>'(y)1=D = const (7)

с граничными условиями ео(0)=0, со(1)=1.

Следствие 1. Если функция ц(х) имеет вид квадратичного полинома, т.е. т/х) = а0 + а,* + а2х2, то оптимальное расположение точек х, образует

на [0,1] регулярную решетку, иначе Ах, = — = const.

N

Данное следствие можно использовать для организации начального плана эксперимента, если из априорной информации можно предположить близость в каком-то смысле т)(х) к указанному полиному.

Приведенное относилось к ситуациям, не учитывающим случайной помехи (шума наблюдений). С ее учетом, в предположении «истинности» глобальной модели (1) и при se(-sm,em) общая погрешность программной модели складывается из систематической составляющей, определяе-

мой формулой (6), и случайной составляющей, не превышающей величины

Предельные свойства программной модели устанавливаются следующими теоремами, относящимися к пассивному обучающему эксперименту, когда точки х1 случайным образом «разбрасываются» в Б, независимо одна от друг ой, и для случая без шума наблюдений (е = 0).

Теорема 2. Если случайная величина дг определена на отрезке [0,1] и характеризуется плотностью распределения вероятностей/(х)>0, функция у(х) = т](х) при хе[0,1] дважды дифференцируема и имеет непрерывную и ограниченную 2-ю производную т]"(х), а локальная модель определяется соотношением (5), то

Пт Я,

я*РУ(х)-ук(х) кгы

«I =1, (8)

где ук(х) - протоз программной модели при базе данных модели из к пар точек вида < у, >, при любом <3>0.

Сформулированная теорема доказывает сходимость программной модели к «истинной» глобальной в смысле «почти наверное».

Теорема 3. Пусть ц - вероятность того, что для "обученной" программной модели погрешность превышает заданную, т.е. для прогноза

Л

у по предъявленному х будет выполняться неравенство (3). Тогда каковы бы ни были /¿>0 и ¿>0 и при выполнении условий теоремы 2, вероятность Рг(д<ц) больше, чем 1-<5, если Л'о удовлетворяет неравенству

1п(1-11)

где Л'о - количество подряд следующих «удачных» опытов при обучении модели (количество подряд следующих невыполнений неравенства (3)), К -число коррекций базы данных модели на этапе ее обучения, иначе говоря, разность размеров (числа строк) конечной и начальной базы данных.

Приведенные положения имеют методический характер, и их идеи использованы в последующих главах диссертации.

Во второй главе "ЛОКАЛЬНО - АППРОКСИМАЦИОННЫЕ (ПРОГРАММНЫЕ) МОДЕЛИ МНОГОФАКТОРНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ" задача моделирования исследуется в предположении, что исследуемый социальный (или экономический) объект может рассматриваться как многофакторный статический объект, имеющий п

входов (иначе,векторный входх = ,^.....х„,)Т), один выходу и «истинное»

глобальное описание (I), где т](х) - функция неизвестного вида, е -аддитивная случайная помеха (отражающая действие неучитываемых факторов) с нулевым средним значением и произвольным (неизвестным) распределением на (-ет, гт ).

Предположим, что на объекте может быть реализован эксперимент, заключающийся в регистрации Л^, пар значений <х„у1>, )=1,2,...,Л'> при этом величины (векторы) х, измеряются без ошибок; значение N3 при необходимости допускает модификацию.

Базовый алгоритм программной модели может быть теперь описан следующим образом.

1. Осуществляется нормировка значений входных факторов

Хп — X.

т!я ]

^тах } /

, ¿ = 1,2.....Nэ. у = 1,2.....п.

(10)

где Хц - значение у-го фактора в Лм опыте, х^, х^ - наблюдаемые в опытах минимальное и максимальное значения ./-го фактора.

Нормировка путем (10) приводит область факторного пространства к единичному гиперкубу, т.е. 0 < хе„ < I; в дальнейшем все факторы предполагаются нормированными, с опущенным, для простоты записей, индексом V.

2. Из N > п+1 (N<N3) произвольных значений < х> у,> составляется начальная база модели, отображаемая матрицей со строками вида

<х1.У1>=<хп,х12,...,х1,,у1>.

3. Для каждой новой экспериментальной точки <х, у> вначале, в соответствии с (10), производится нормировка элементов х и (для нормированных значений) формируется вектор расстояний, например, евклидовых или Хэмминга

Л =

>.-4 Iх«-*!

К-4

(П)

Если точка х совпадает с какой-либо х, из имеющихся в базе данных,

У- +■ У

то матрица ¿7 модифицируется заменой у, на ^^—}и осуществляется переход к началу п.З с вводом новой экспериментальной точки. 4. Создается матрица

Л. хГ и «2

Л

^ хы

5. Осутсстляется сортировка строк данной матрицы /3 таким образом, чтобы элементы 1-го столбца располагались в порядке возрастания

УУ=10П (П).

6. М первых (верхних) строк матрицы IV используются для формирования матрицы Р и вектора у:

'1 'У(ч'

! ХЬ - У = у< V

1 хт У(М)_

(13)

7. Рассчитывается ожидаемый результат модели с использованием локальной линейной регрессии вида

>> = со+ с[-х=[\,хт ]-с,

(14)

АЛЛ

где сг =(с0,с[)=(с0,с\,сг.....с,) - веюгор коэффициентов, определяемый по

методу наименьших квадратов

или

с = (¥т •Р)-у-Гт-у, у = {\,хт1-(Рг -РГ' Рт У

(15)

(16)

(матрица Рн вектор.)' определены (13)).

8. Проверяется неравенство (3).

При выполнении неравенства база данных модели пополняется путем расширения матрицы и (добавлением строки <хт,у>). В противном случае матрица I) остается без изменений.

9. Проверяется правило останова. В данном варианте алгоритма построение модели считается законченным, если, в соответствии с п.З,

"псребраны" все экспериментальных точек (без учета значений начальной базы данных).

Если не все экспериментальные точки использованы, то переход к п.З; в противном случае - останов.

В процессе реализации алгоритма параметры М и (1 считаются априори заданными.

При использовании модели заданными считаются матрица II (на этапе использования модели она не изменяется) и отмеченные параметры Л/ и <1\

расчет у производится в соответствии с п.п. 3-7 приведенного алгоритма.

Как видно из описания (базового) алгоритма для построения программной модели многофакторного статического объекта, данный алгоритм практически соответствует рассмотренному для одномерного случая. Такое же сходство (или подобие) справедливо и для свойств моделей.

В работе исследованы точностные характеристики локально-аппроксимационной модели данного типа, предложены рекомендации по выбору параметров алгоритма с/, Л/, А'о, по формированию плана обучающего эксперимента, доказаны многомерные аналоги сформулированных теорем 1-3, а также рассмотрены следующие модификации приведенного (базового) алгоритма.

1. Алгоритм с модифицированным правилом останова.

Если объем экспериментальных данных достаточно велик, то можно не просматривать их все, а завершить процедуру построения модели (формирования базы данных модели) в соответствии с теоремой 3, т.е. прекращать процесс обучения, если после очередного "неудачного" опыта произойдут подряд А'о "удачных", при этом Nо определяется формулой (9).

2. Алгоритм с упрощенным расчетом прогноза.

Если число входных факторов п велико (п>10), процедура обращения матрицы в (15), (16) может привести к весьма неточным результатам. Аль-

л

тернативой является расчет прогнозируемого значения у по формуле

л | и

У-^У,,,. о 7)

где у0) - значения выхода объекта из базы данных модели, соответствующие М ближайшим узлам.

3. Алгоритм с использованием взвешенного расстояния.

Иногда бывает целесообразно на этапе 3 алгоритма построения модели использовать взвешенное расстояние между векторами вида

где 0 < »V, < I, /' = I,« - некоторые весовые коэффициенты, удовлетворяющие условию нормировки

2>, = 1. (19)

Вводя вектор и>г = можно полагать, что объем базы

данных модели является функцией данного вектора, т.е. М-М(п). Тогда оптимальные значения коэффициентов к-, можно найти, многократно повторяя процедуру построения программной модели и используя известные поисковые процедуры.

4. Алгоритм с локальной моделью в виде обобщенной полиномиальной ре!"рессин.

5. Построение программной модели в случае векторного выхода объекта.

В диссертации показано сходство и отличие предложенного подхода к идентификации от ряда известных: регрессионного, «М ближайших узлов», нейросстевого, восстановления пробелов в таблицах данных, и его преимущества.

На модельных примерах показана работоспособность и эффективность данного подхода.

Третья глава диссертации "ПРОГРАММНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ" посвящена описанию н исследованию программных моделей применительно к динамическим объектам.

Предполагается, что «истинная» глобальная связь между входным и(1) и выходным у(1) сигналами объекта отражается нелинейным дифференциальным уравнением

= .....иО).ф),...), (20)

вид которого и порядок неизвестны.

В работе показано, что при задании малого шага дискретизации А/ и переходе к дискретному времени в большинстве случаев для описания нелинейного динамического объекта может быть использована линейная ло-кально-аппроксимационная модель в виде разностного уравнения, порядка не выше второго, например, вида

Л Л Ал л

Ум = со «,_, + С) и, + с2 >•,_, + сз у,, (21)

где у! = у(г,)= уО■ Л1), и, = и(г,)= и(1■ М),

при этом построение программной модели осуществляется по следующему алгоритму:

1. Производится начальный ("изучающий") эксперимент, в ходе которого формируется матрица [/(база данных модели), содержащая N строк (4 5 М < N ) вида <ии. и, у,.„ у, у,+,>.

2. Для каждой вновь вводимой экспериментальной точки < ин,и> ))./■ Уг -')*'> формируется вектор расстояний, аналог ично описанному для многофакторной статической модели.

3. Из матрицы и отбирается Л/ строк, наиболее близких в смысле выбранного расстояния к строке <иИ, и, уИ. у>. Формируется матрица Г с М строками вида <м,.Л и? уИ, у> и вектор у с Л/ элементами < _>-,+/ > (строки матрицы /•" и элементы вектора у образованы из элементов М отобранных ближайших строк матрицы Ц).

4. По соотношениям (15), (21) рассчитывается прогнозируемое знаЛ

чение

Л

5. Проверяется неравенство |>'„, ->'ы | > где, как и раньше, й - заданная погрешность модели.

При выполнении неравенства база данных модели пополняется путем добавления к матрице и строки иу У).,, уг >';+/>. В противном случае матрица V не изменяется.

6. Проверяется выполнение правила останова (в соответствии с теоремой 3). В случае его невыполнения - переход к п.2 процедуры. При выполнении - переход к следующему пункту.

7. Конец процедуры.

Результатом процесса построения (обучения) является сформированная матрица V (база данных модели).

В режиме использования программной модели обработка данных произродится в соответствии с пунктами 2-4 описанного алгоритма.

В работе показана возможность использования данной модели для решения задачи восстановления входного сигнала нелинейного динамического объекта по известному выходному (обратной задачи динамики).

Показано, что рассмотренная локально-аппроксимационная модель позволяет делать прогноз выхода только на один такт вперед, поскольку предполагает известными для целей прогноза реальные значения выхода объекта в предыдущие моменты времени.

В диссертации предложена программная модель динамического объекта, позволяющая прогнозировать его выход только по значениям входного сигнала. При этом предполагается, что исследуемый непрерывный стационарный и нелинейный динамический объект может быть представлен состоящим из последовательно соединенных линейного динамического звена (ЛДЗ) и статического нелинейного элемента (НЭ). Предполагается также, что ЛДЗ характеризуется импульсной переходной характеристикой к(1), а НЭ - гладкой (дифференцируемой) функцией у (г), где 2(1) - выходной сигнал ЛДЗ.

В работе используются аппроксимациоинос представление п'(1) (с применением функций Лагерра) и локальная линеаризация .характеристики НЭ, что в конечном счете приводит к локально-аппроксиманиошюй модели

Л=с0+с[ -х,., (22)

где с] =(с^,сг.....сп), х^ = (х, ,х21.....хп ), п - количество базисных функций Лагерра, используемых для аппроксимации назначения х, рассчитываются по рекуррентной формуле

*,= / + Л-Л/ +

Л2-г

+й-МД х0 =0, (23)

где

-а 0 0 •■ ■ 0 "

-2а -а 0 •• • 0

-2а -2а -а • 0 . ьт =

-2а -2а -2а • - а

... 1). (24)

а - параметр функций Лагерра.

Процедура построения обобщенной локально-аппроксимационной модели заключается в следующем:

1. Производится начальный эксперимент, в ходе которого фиксируются N пар значений (и>у).

По формуле (23) рассчитываются значения х,; формируется начальная база модели в виде матрицы I/ со строками <хI,)',>.

2. Для каждой вновь вводимой экспериментальной точки (ик,ук) рассчитывается хк и формируется вектор расстояний (как это описано выше).

3. Из матрицы I/ отбирается М строк, наиболее близких в смысле выбранного расстояния к строке <х^>. Формируется матрица /"и вектор У-

4. По соотношению

Л^Ф7^)"'.^ (25)

рассчитывается прогнозируемое значение выхода объекта.

5. Проверяется неравенство >Л, при выполнении которого матрица V пополняется строкой <х1,ук>\ в противном случае матрица I/ не изменяется.

6. Проверяется принятое правило останова. При его невыполнении -переход к п.2 процедуры. При выполнении - переход к следующему пункту.

7. Конец процедуры.

Задаваемая исходная информация: параметры М, п, а\ рекомендации по их выбору в диссертации рассмотрены.

В работе проведено исследование точности обобщенной локально-аппроксимацпоиной модели. Показано, что при определенных условиях применение правила остановки процесса обучения модели в соответствии с теоремой 3 позволяет гарантировать точность модели в вероятностном смысле.

В четвертой главе "ЛОКАЛЬНО-АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ" рассмотрена и исследована задача построения программных моделей в ситуациях, когда исследуемое социальное явление отображается как некоторый случайный процесс, удовлетворяющий нелинейному стохастическому уравнению (глобальная модель)

х,+1 = у{х1.х1_и...) + Е,. (26)

где х, - наблюдаемые без дополнительной погрешности значения процесса в дискретные моменты времени Г, е, - значения процесса типа дискретного белого шума, г\(-) - функция, вообще говоря, неизвестного вида.

Предполагается, что математическое ожидание и дисперсия процесса х, существуют, конечны и постоянны, а также, что х\(-) является однозначной функцией всех своих аргументов. Данные предположения, определяют весь объем необходимой априорной информации.

Идея предложенного алгоритма экстраполяции базируется на вышс-рассмотрснных процедурах построения и использования программных моделей, в частности, локальном описании типа линейной модели авторегрессии порядка п, т.е.

АЛЛ Л

Х(+1 —соХ/+ С1 лт(_| +... + Ся х,_„. (27)

Л Л

Оценки коэффициентов сон- сп данной (локальной) модели находятся с использованием «М ближайших узлов» так же, как и для динамического объекта; процедуры обучения и использования модели, по сути, аналогичны рассмотренным для динамического объекта.

Использованне программных моделей расширено на задачи прогнозирования выхода нестационарных объектов, а также временных рядов, полученных в результате нерегулярной дискретизации случайных процессов.

Погрешность указанных моделей обеспечивается на заданном уровне при выполнении условий теоремы 3.

Пятая глава "ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЛОКАЛЬНО-АППРОКСИМАЦИОННОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ" посвящена вопросам вычислительной реализации предложенных моделей и проведенным вычислительным экспериментам. Разработанные программные средства составляют две группы: универсальные, реализующие указанный подход без привязки к решению какой-либо конкретной практической задачи, и специализированные, предназначенные для решения именно конкретных задач.

Используемые вычислительные средства - персональные компьютеры (ПК) класса Pentium, операционная среда - Windows 95/98, системы программирования - MathCAD 7.0 PRO, MathCAD 8.0 PRO, MathCAD 2000 PRO и DELPHI 5.

К универсальным программным средства относятся программы ModelS, ModelD и ModelP, реализованные в рамках системы MathCAD и позволяющие проводить имитационное моделирование процедуры обучения и использования программных моделей, соответственно, для многофакторных статических объектов, динамических объектов и случайных процессов, а также программа ProMOD, реализованная на языке DELPHI 5 и представляющая собой универсальную систему для построения и использования моделей объектов всех указанных типов.

К специализированным программам относятся программная модель рыночного сегмента и программная модель человека-оператора, реализованные на языке DELPHI 5.

В диссертации приведены описания указанных программ, на конкретных примерах показана возможность использования локалыю-аппроксимационного подхода для моделирования социально-экономических объектов и процессов, а также их конкурентоспособность по отношению к широко применяемым в настоящее время методам нейро-сетевого и аналитического моделирования.

Определены возможности использования и место разработанных программных моделей в системах поддержки принятия управленческих решений. Показана возможность использования метода программных моделей для идентификации человека-оператора в человеко-машинных автоматизированных системах управления.

В шестой главе диссертации "ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ" рассмотрены объекты и системы из социальной, социально-экономической и социально-технической областей,

при моделировании и исследовании которых применены методы идентификации, разработанные в диссертационной работе.

Так, построенные программные модели используются в системе поддержки принятия управленческих решений Администрацией Смоленской области и позволяют, в частности, получать приемлемые по точности прогнозы обьемов промышленного производства, уровня безработицы, энергопотребления области, а также ряда социальных показателей (подростковая преступность, алкоголизм). На основе разработанных методов была построена модель региона, результаты исследования которой применяются при решении задач планирования и управления.

Предложенные локально-аппрокснмационныс модели используются также:

- в системе контроля экологической безопасности теплоэнергетических установок, в частности, для прогнозирования объемов выбросов отравляющих веществ в процессе деятельности электроэнергетических и тепловых станций;

- в деятельности Смоленского филиала КБ "Промстройбанк" (для прогноза изменения уровня процентной ставки и стоимости акций);

- в составе алгоритмического и программного обеспечения автоматизированной системы тестирования водителей транспортных средств "Машинист", что позволяет получить интегрированную оценку поведения тестируемого и сократить время на проведение подобного тестирования.

Внедрение указанных разработок подтверждено соответствующими документами. Ряд разработок используется в учебном процессе ВУЗа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Выполненный комплекс теоретических и экспериментальных исследований предложенного метода локальной аппроксимации (метода программных моделей) для построения математических моделей сложных объектов составляет специальный раздел моделирования, идеологически и терминологически являющийся расширением теории непараметрической идентификации.

В результате проведенной работы осуществлено комплексное решение научной проблемы создания методов идентификации сложных социальных, технико-экологических и социально-экономических объектов в условиях минимальной априорной информации и выработки рекомендаций по их практическому использованию.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Рассмотрены особенности задач обработки данных при исследовании сложных систем, сформулированы предпосылки локально-

аппрокснмационного метода моделирования, отражающие требуемый уровень априорной информации об объекте исследования.

2. Разработаны теоретико-методологические основы построения ло-кально-аппроксимационных (программных) моделей, основу которых составляют матрица данных обучающего эксперимента, содержащая только характерные, опорные точки, набор логических правил и аппроксимирующее выражение в виде линейной регрессии.

3. Исследованы оценки показателей помехоустойчивости и точности программных моделей, а также необходимые и достаточные условия, выполнение которых гарантирует заданную точность и сходимость в смысле "почти наверное".

4. Предложен!,! и проанализированы алгоритмы построения программных моделей для многофакторных статических объектов, динамических объектов и стохастических процессов. Разработаны методики их применения.

5. Разработан комплекс программ как универсальных, так и специализированных, реализующих предложенный подход к моделированию. Работоспособность программ проверена на модельных примерах и на реальных статистических данных.

6. С помощью разработанных теоретических методов и программных средств проведено исследование ряда прикладных задач в социальной и социально-экономической сферах! Результаты анализа использованы для улучшения управления социальными и социально-экономическими объектами и системами.

Совокупность теоретических и практических результатов диссертационной работы создает объективные предпосылки для широкого и эффективного применения разработанных алгоритмов построения моделей, использующих преимущества предложенного метода, что имеет важное народно-хозяйственное значение.

Результат!»! диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Круг Г.К., Дли М.И. Использование случайной дискретизации сигналов в задаче фильтрации// "Планирование; и автоматизация эксперимента в научных исследованиях": Тез. докл. 10-й науч.-техн. конф . М. 1992. С.23-24.

2. Дли М.И., Круглое В.В. Обобщенная интерполяционная формула/ Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 05.04.97, № 1347-В97.

3. Дли М.И. Программные модели для динамических объектов / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 25.10.97, № 3119-В97.

4. Дли М.И. Оценка погрешности линейной интерполяции при случайном выборе узлов интерполирования / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 05.04.97, № 1349-В97.

5. Дли М.И. Интерполяционная формула Лагран5>;а для функции нескольких переменных / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. и ВИНИТИ, 05.04.97, № 1350-В97.

6. Дли М.И.,Круглое В.В. Математические модели человека-оператора / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 05.04.97, № 1351-В97.

7. Дли М.И. Сущность и перспективы развитая методов идентификации / Моск. энерг. нн-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 05.04.97, № 1339-В97.

8. Дли М.И. Некоторое сравнение методов непараметрическон идентификации и локальной интерполяции / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 25.10.97, № 312I-B97.

9. Дли М.И., Круглое В.В. Применение экспертных систем для построения моделей сложных объектов// Избранные вопросы высшей математики и информатики: Материалы межд. семинара Смоленского государственного педагогического ин-ra, Хагенского заочн. ун-та и Смоленского областного центра новых информационных технологий. Смоленск: СГПУ. 1997. С.44-46.

10. Дли М.И. Применение метода локальной интерполяции для прогнозирования значений стационарного случайного процесса / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 25.10.97, № 3122-В97.

11. Дли М.И. Об одном алгоритме моделирования нестационарных стохастических объектов / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск. 1997. Деп. в ВИНИТИ, 25.10.97, № 3118-В97.

12. Дли М.И. Программные модели сложных объектов (препринт). Смоленск: Моск. энерг.ин-т (фил-ji в г. Смоленске). 1998.

13. Дли М.И. Сравнительный анализ подходов к построению математических моделей рыночных объектов / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г.Смоленске). Смоленск, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 28.03.98, № 875-В98.

14. Дли М.И. Использование информации баз данных для прогнозирования отклика многофакторного объекта// Информационная безопас-

. ность автоматизированных систем: Материалы докл. науч.-техн. конф. Воронеж: Истоки. 1998. С.98-102.

15. Дли М.И., Круглов В.В. Построение и применение информационных моделей сложных объектов, основанных на методе локальной аппроксимации// Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях: Материалы 1-й междун. конф. Том 1. Минск: Ин-т технической кибернетики HAH Беларуси. 1998. С.62-65.

16. Дли М.И. О формальном подходе к построению интерполяциошюго многочлена// Вестник МЭИ. 1998. №4. С.10-12.

17. Дли М.И., Щербаков С.А. Об одном алгоритме моделирования многофакторных объектов с неизвестной структурой// Современные пробле-

мы совершенствования работы железнодорожного транспорта: Меж-вуз. сб. науч. трудов. 4.1. М.: РГОТУПС. 1998. С.10-14.

18. Дли М.И. Активная идентификация объекта методом ступенчатой аппроксимации // Новые информационные технологии в пауке и производстве: Материалы междун. науч.-техн. конф. Минск: Бел. гос. ун-т информатики и радиоэлектроники. 1998. С.217-219.

19. Дли М.И., Круглое В.В. Применение метода локальной аппроксимации для идентификации сущесгвенпо нелинейных объектов управления// Инф. бюллетень №1 Смол, регион, отделения Академии военных наук. Смоленск, 1998. С.74-81.

20. Круглое В.В., Дли М.И., Осокин М.В. Методы идентификации существенно нелинейных динамических объектов (обзор) / Моск. энерг. нн-т (фил-л в г.Смолснске). Смоленск, 1998. Деп. в ВИНИТИ, 16.11.98, № 3726-В98.

21. Дли М.И. Алгоритм экстраполяции случайного процесса с применением метода локальной аппроксимации // Программные продукты и системы. 1999. № 1. С.41-44.

22. Дли М.И. Непарамстрическая модель рыночного объекта// Математика, компьютер, образование: Тез. докл. 6-й междунар. конф. Пущино. 1999. С.36.

23. Дли М.И. Модели сложных объектов как экспертные системы // Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстае: Тез. докл. 1-й Всероссийской науч.-техн. конф. 4.11. Нижний Новгород. 1999. С.12-13.

24. Дли М.И., Щербаков С.А. Программная модель человека-оператора // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. межвуз. науч.-мет. конф. М. 1999. С.25-26.

25. Дли М.И., Круглов В.В., Игнатьев И.В. Точность локально-аппроксимацнопных (программных) моделей // Программные продукты и системы. 1999. №2. С.46-47,

26. Дли М.И. Непараметрические модели рыночных объектов// Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 12: Сб. трудов Международ. науч. конф. В 5-ти т. Т.З. Великий Новгород: Новгород, гос. ун-т. 1999. С.48-50.

27. Дли М.И. Активный эксперимент при построении программных моделей// Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 12: Сб. трудов Междунар. науч. конф. В 5-ти т. Т.4. Великий Новгород: Новгород, гос. ун-т. 1999. С.64-66.

28. Круглов В.В., Дли М.И. Идентификация динамических систем. Смоленск: Моск. энерг. ин-т (фил-л в г. Смоленске). 1998.

29. Дли М.И., Круглов В.В., Окунев Б.В. Математические модели социальных систем / Моск. энерг. ин-т (фил-л в г. Смоленске). Смоленск, 1999. Деп. в ВИНИТИ, 24.03.99, № 887-В99.

30. Дли М.И., Окуиев Б.В., Игнатьев И.В. Применение метода локальной аппроксимации при анализе данных с пропусками // Методы и средства измерении физических величин: Тез. докл. IV Всероссийской науч,-техн. конф. Нижний Новгород: НГТУ. 1999. С.32-33.

31. Дли М.И. Мсгод локальной аппроксимации в задаче идентификации нелинейных динамических радиотехнических объектов // Материалы докл. ЫУ науч. сессии, посвященной Дню радио. М.: Российское пауч-ио-техннческос общество радиотехники, электроники и связи им. Л.С.Попова. 1999. С.105-106.

32. Дли М.И. Непараметрическая модель социально-экономического процесса // Профаммные продукты и системы. 1999. № 2. С.10-12.

33. Дли М.И. Об одном алгоритме экстраполяции случайного процесса // Тез. докл. XVI науч. сессии, посвященной Дню радио и 70-летию Тульского Государственного ун-та. Тула. 1999. С.21-22.

34. Дли М.И., Игнатьев И.В. Об одном подходе к прогнозированию рыночной конъюнктуры // Тез. докл. V Междунар. науч. конф., посвященной 85-летию со дня рождения академика В.В.Кафарова. Казань. 1999. С.83.

35. Дли М.И. Локально-аппроксимационные модели сложных объектов. М.: Фнзматлит(МАИК "Наука/Интерпериодика"). 1999.

36. Дли М.И., Игнатьев И.В. Локально - параметрические методы в задачах прогнозирования экономических показателей // Математические методы и компьютеры в экономике: Сб. материалов II Международ, науч.-техн. конф. Пенза. 1999. С. 118-120.

37. Дли М.И. Локально-аппроксимационные модели динамических.объектов // Программные продукты и системы. 1999. № 3. С.18-21.

38. Математическое моделирование сложных физико-химических процессов/ А.Н. Чохонелидзе, М.И. Дли, Е.А. Бсрзин, М.М. Орлов. Тверь: ТвГТУ, 1999.

39. Дли М.И., Круглов В.В., Осокин М.В. Локально-аппроксимационные модели социально-экономических систем и процессов. М.: Наука. Физматлит. 2000.

Формат бумаги б0х84'/|6 Тираж - 60 экз. Заказ 12 Печ. листов -1.0 Смоленская городская типография, 214000, ул. Маршала Жукова, 16

-74

Ошибка модели

Порядковый номер опыта, /

Рис. 1.8. Изменение ошибки модели в процессе обучения (к примеру 1.2)

Результаты эксперимента показали следующее:

1) оптимальное значение параметра локальности 6 в условиях примера достаточно велико, 3 , > 105;

2) средний объем требуемой обучающей выборки Л^500-ь600 опытов (при одинаковой точности).

Сравнение предложенного и приведенного непараметрического подхода по требуемой величине //явно говорит в пользу первого.

Остановимся теперь на определении правила останова (см. параграф 1.2) изложенной процедуры идентификации, т.е. на обосновании выбора числа N0 следующих подряд удачных опытов

-83-

6. М первых (верхних) строк матрицы IV используются для формирования матрицы Т*1 и вектора у:

Мх(п+1)~

т х(\) ' У(1)"

1 т х(2) У(2)

> У =

1 хт _У(М)_

(2.5)

7. Рассчитывается прогноз модели с использованием локальной линейной регрессии вида

У = С0+ с[- х=[\,хт ] с,

(2.6)

где ст =(с0 ,с[ )-(с0,с\,сг,...,сп) - вектор коэффициентов, определяемый

АЛЛ Л

по методу наименьших квадратов

с = (рт -т^;-'-рт у

или

у=[1,хт]-(Гт-ГГ1-Гт-у

(матрица ^ и вектор у определены (2.5)). 8. Проверяется неравенство

Л

У-У

> г/.

(2.7)

(2.8)

(2.9)

При выполнении неравенства база данных модели пополняется путем расширения матрицы V (добавлением строки <хг,у>). В противном случае матрица и остается без изменений.

9. Проверяется правило останова. В данном варианте алгоритма построение модели считается законченным, если в соответствии с п.З,

-193-

воря, расстояние, которое необходимо отследить оператору за один такт тестирования, равно величине Я*, однако учитывая обычно выполняемое соотношение г «Я, можно считать, что Я* ® Я.

2

1

Рис.5.5. Иллюстрация к построению модели человека-оператора

Таблица 5.4 содержит основные результаты тестирования человека, не имеющего навыков выполнения подобных заданий, при этом первая колонка содержит величину задаваемой погрешности модели (в процентах от максимального значения г), вторая - интервалы времени, отводимые программой для отслеживания новой точки, третья и четвертая -соответственно количество точек, необходимое для построения модели (включая отброшенные точки), и число строк в итоговой базе данных.

-194-

Таблица 5.4

Результаты моделирования реакции человека-оператора

Точность Время Количество точек, Количество

модели такта, использованных строк

d,% сек. для в итоговой

построения модели базе данных

5 5 126 49

3 5 151 83

2 5 283 175

5 3 128 56

3 3 182 104

2 3 288 166

Данные были получены в результате проведенного пассивного эксперимента, в ходе которого значения входных воздействий распределялись в интервале [-1,1] (с учетом нормировки) по равномерному случайному закону, число ближайших узлов М=6, локальное описание имело вид квадратичного многочлена (п=2). Процедура определения евклидовых расстояний между векторами осуществлялась при помощи автоматического подбора весовых коэффициентов для значений входных факторов. Модель считается построенной, если число отбрасываемых подряд точек 7Уо=44+^ (К - число сделанных коррекций базы данных). В ходе эксперимента были предприняты меры, направленные на обеспечение неизменности основных внешних факторов, оказывающих существенное влияние на оператора (освещенность помещения, уровень шума и т.д.). Следует отметить, что описанные режимы могут быть объединены, однако появление векторного выхода и связанные с этим особенности основного алгоритма (см. параграф 2.3), приводит к определенному увеличению времени эксперимента и объема итоговой базы данных.

ИНТОПЭНЕРГО РОССИИ ДЕПАРТАМЕНТ

/дарственного энергетического адзора и энергосбережения Региональное Управление ВЗАПГОСЭНЕРГОНАДЗОР правление Государственного энергетического надзора по Смоленской области •ЛЕНСКГОСЭНЕРГОНАДЗОР

Утверждаю

9, г. Смоленск, ул. Тенишевой, 33 Тел.: (081-2) 55-61-53 Факс: (081-2) 59-86-59

№

от

АКТ о внедрении

Мы, нижеподписавшиеся начальник отдела Фролович В.А. и главный специалист Селиванов С.Д. составили настоящий акт о том, что программа " Энергетик", разработанная сотрудниками кафедры управления и информатики Смоленского филиала Московского энергетического института доцентом Дли М.И. и ассистентом Игнатьевым М.В., реализованная при помощи программной системы РРЮМСЮ1, используется Управлением "Смоленскэнергонадзор" для прогнозирования уровня энергопотребления Смоленской области и ее районов.

Положенные в основу системы Р(ЗОМОО 1 непараметрические методы иммитационного моделирования, позволяют обеспечить среднестатистическую точность расчета в пределах 2 -3 % и значительно упростить производимые расчеты энергопотребления.

Начальник отдела

Гпавный специалист