автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах

На правах рукописи КАЗАКОВ АЛЕКСЕЙ ОЛЕГОВИЧ

КОМПЬЮТЕРНЫЙ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И СТОХАСТИЧНОСТИ В НЕГОЛОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

п 3 ДПР 2014

Нижний Новгород — 2014 год

005546659

005546659

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, зав. лаб. «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения» Борисов А. В. доктор физико-математических наук, профессор Маркеев А. П. (ИПМ РАН), доктор физико-математических наук, доцент Цыганов A.B. (СПбГУ) Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова

Защита диссертации состоится 25 апреля 2014 г. в 15 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212.130.09 в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ «МИФИ».

Автореферат разослан 24 марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н., профессор _ А. С. Леонов

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Развитие современной теории динамических систем тесно связано со всевозрастающей ролью компьютерных методов исследований. Первыми достижениями на этом пути были открытие аттрактора Лоренца, исследования Фейгенбаума, связанные с универсальностью перехода к хаосу путем каскада бифуркаций удвоения периода, создание фрактальной геометрии и фрактальной динамики Мандельбротом. Все эти классические результаты тесно связаны с аналитическими исследованиями восходящими к Пуанкаре, Биркгофу и др. С другой стороны, они указывают ряд новых свойств, которые не были замечены ранее при аналитических исследованиях. В настоящее время диапазон задач и методов исследования в теории динамических систем чрезвычайно широк, начиная с качественного анализа интегрируемых систем и до исследования сложных неинтегрируемых систем, в которых мы сталкиваемся с таким понятием как хаос и требующих применения компьютерных методов анализа.

Традиционно динамические системы разделяют на консервативные и диссипативные. В физике термин консервативные означает обеспечивающие сохранение энергии, что, в частности, относится к системам классической механики, для описания которых применяется формализм Гамильтона [1,2]. Для гамильтоновых систем имеет место теорема Лиувилля о сохранении меры (фазового объема).

При наличии трения приходим к диссипативным системам, где механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается, переходя в тепло. В диссипативных системах фазовый объем уменьшается по ходу эволюции во времени, по крайней мере, в среднем, и облако изображающих точек оседает в итоге на некоторое подмножество в фазовом пространстве, которое называется аттрактором. Для систем, в которых обеспечивается компенсация потерь энергии внешними источниками (открытые системы), в качестве аттракторов наряду с состояниями равновесия (неподвижными точками) могут встречаться также предельные циклы, отвечающие автоколебаниям, и странные аттракторы, соответствующие хаотической динамике.

В системах с инвариантной мерой, обладающих свойством сохранения фазового объема (когда аттракторов не бывает), облако изображающих то-

чек можно представлять как состоящее из несжимаемой жидкости. В дисси-пативном случае его надо представлять себе, как сжимаемую субстанцию, наподобие пара, имеющего возможность конденсироваться с существенным уменьшением занимаемого объема при оседании на аттрактор.

В механике, помимо систем, описываемых в рамках гамильтонова формализма, выделяют еще особый класс систем с неголономными связями, или, более коротко неголономные системы (термин введен Генрихом Герцем в XIX веке) [3,4]. Сюда относятся многие задачи, имеющие большое практическое значение, например, в механике передвижных и летательных аппаратов, робототехнике. История изучения этих систем богата драматическими моментами, в том числе ошибками, которые совершались видными исследователями, и лишь затем исправлялись в ходе более аккуратного анализа. Иерархия типов поведения неголономных систем [5] включает разнообразные ситуации от простых (интегрируемых) до сложных (не интегрируемых), что связано с количеством присущих задаче инвариантов и симметрий.

В данной диссертации с помощью совместного использования компьютерных и аналитических методов мы пытаемся подойти к проблеме интегрируемости, неинтегрируемости и перехода к хаосу, а также его классификации в некоторых неголономных динамических системах. Вообще говоря, в динамических системах существуют различные пути перехода к хаосу. Эти пути, как правило, связаны с различными явлениями типа бифуркаций и обуславливают ряд новых эффектов, возникающих в динамических системах.

Сравнительно недавно выяснилось, что хаос, возникающий в неголономных динамических системах может качественно различаться. Так помимо консервативного хаоса в некоторых неголономных системах были обнаружены странные аттракторы [6-10], а так же другой, малоизученный тип динамического хаоса — так называемая смешанная динамика. Совершено замечательным фактом является обнаружение в неголономной модели кельтского камня странного аттрактора лоренцевского типа [10,11]. По сути эта модель (насколько нам известно) является первой моделью из приложений, в который обнаружен этот хорошо изученный феномен хаотической динамики.

На сегодняшний день для проведения аналитических и численных исследований динамических систем применяют как правило несколько наи-

более известных программных средств — Maple, Mathematica, MathLab. Однако, вычислительная среда, создаваемая этими пакетами, не смотря на ее универсальность, направлена преимущественно на проведение аналитических вычислений. Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений с одновременным выводом нескольких потоков информации уже является для этих программных средств невыполнимой. Поэтому для проведения численных расчетов, как правило, используют собственные разработки ориентированные на конкретную исследуемую задачу. Такой подход более эффективен для решения описанной выше задачи, однако имеет существенный недостаток. Практически для каждой новой задачи приходится создавать отдельный программный продукт. Таким образом, актуальной становится проблема создания программного комплекса, который с одной стороны позволит интегрировать неголономные системы дифференциальных уравнений с одновременным многосторонним анализом фазового потока в режиме «онлайн», а с другой стороны максимально упростит и уни-версализует ввод новых задач. В настоящее время в ижевском институте компьютерных исследований ведется разработка программного комплекса «Компьютерная динамика». На момент начала исследований и работ над диссертацией в рамках этого комплекса уже была реализована часть функциональности, позволяющая исследовать многие динамические системы. В рамках диссертационной работы эта функциональность была существенно расширена, и в данной момент, используя возможности программного комплекса, можно комплексно исследовать большинство неголономных динамических систем.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование некоторых неголономных динамических систем с помощью сочетания аналитических и численных методов. Численные (компьютерные) методы исследования должны быть реализованы в рамках программного комплекса. Помимо функциональности, позволяющей численно исследовать неголономные динамические системы, в этом комплексе должна быть заложена возможность визуализации движения в таких системах, облегчающая осмысление и интерпретацию получаемых результатов.

Методы исследования

Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем, а так же теории бифуркаций. При решении дифференциальных уравнений, описывающих динамику неголономных систем применялся метод численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка. Программирование комплекса осуществлялось на языке С++ в среде MS Visual Studio 2008. Для создания пользовательских интерфесов использовалась кроссплатформенная библиотека Qt v.3.3.7. Для работы с трехмерной графикой и визуализации движения использовались библиотеки OpenGL и OpenCV. Многие алгебраические преобразования, в том числе вывод уравнений, описывающих динамику, построение бифуркационных диаграмм, анализ устойчивости состояний равновесия в системах выполнялись с помощью пакета программ Maple v. 14.

Научная новизна и основные результаты

Разработанный программный комплекс «Компьютерная динамика» представляет широкий спектр различных инструментов для исследования неголономных динамических систем и не имеет аналогов. Результаты, полученные, с помощью этого комплекса, являются уникальными и нигде ранее не фигурировали.

В ходе работы над диссертацией в рамках программного комплекса разработан следующий набор инструментов:

• построение двухмерного отображения Пуанкаре для заданных линий;

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для заданных линий;

• вычисления спектра ляпуновских показателей для потока;

• построения карт динамических режимов;

• универсальный трехмерный визуализатор.

Кроме того, в ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов:

1) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

2) Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл.

3) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры.

4) Выдвинута гипотеза о том, что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой, хоть и конформно-гамильтоновой.

5) Показано, что динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

6) В системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, обнаружены квази аттракторы со слабой диссипацией. Подробно описан сценарий возникновения одного из таких аттракторов, исследованы его характеристики и свойства.

7) Помимо странных аттракторов в последней системе обнаружен другой интересный малоизученный тип динамического хаоса — смешанная динамика.

8) В неголономной модели кельтского камня обнаружены и исследованы несколько типов странных аттракторов, в том числе спиральный аттрактор Шильникова, аттрактор лоренцевского типа и аттрактор Фей-генбаума.

9) Проведена визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов. Продемонстрирован эффект реверса и многократного реверса. Продемонстрировано поведение камня и его точки контакта при движение по предельным циклам, а также на некоторых странных аттракторах.

10) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей

динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтониза-ции рассматриваемой системы монодромия не дает.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1) Дополнительная функциональность, реализованная в рамках программного комплекса «Компьютерная динамика», позволяющая более глубоко и комплексно исследовать неголономные динамические системы.

2) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

3) Новый интеграл в системе, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае.

4) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае..

5) Система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов является неинтегрируемой.

6) Динамики в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

7) Странные аттракторы в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

8) Смешанная динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

9) Новые странные аттракторы в неголономной модели кельтского камня

10) Визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов.

11) Исследования топологической монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости.

Аргументированность, обоснованность и достоверность диссертации

Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов, полученных при работе с разработанным комплексом программ, подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах. Разработанный программный комплекс был опробован на многих задачах неголономной механики, среди которых отдельно можно выделить задачу о движении кельтского камня. Полученные для этой задачи результаты проверялись в работе [8]. Кроме того, при численных исследованиях всех задач проверялось выполнение законов сохранения энергии, а также других интегралов движения.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанный программный комплекс является универсальным исследовательским средством для изучения неголономных динамических систем. Применение данного комплекса в научно-исследовательских коллективах позволит существенно упростить и ускорить анализ исследуемых динамических систем. Комплекс может быть использован в различных конструкторских бюро для проектирования и исследования различных неголо-гомных систем.

Еще одним из направлений применения созданного программного комплекса является использование его в учебном процессе ВУЗов для организации практических занятий в курсах неголономной механики. Для этого автором диссертации было написано и опубликовано учебно-методическое пособие «Неголономные динамические систем» [12].

Полученные в ходе апробации комплекса научные результаты носят как теоретический, так и практический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях.

Апробация результатов

Основные результаты работы обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Научного исследовательского института прикладной математики и кибернетики ННГУ, на кафедре численного

и функционального анализа ННГУ, а так же в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН. Кроме того результаты исследований, изложенные в диссертации докладывались на российских и международных конференциях:

• Всероссийская конференция «Нелинейный анализ, управление и робототехника», 20-25 декабря 2011, Ижевск, РФ

• IUTAM Symposium "From Mechanical to Biological Systems — an Integrated Approach", 05-10 июня 2012, Ижевск, РФ

• IX Всероссийская научная конференция им. Ю.И.Неймарка «Нелинейные колебания механических систем», 24-29 сентября 2012, Нижний Новгород, РФ

• Fourth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems" - GDIS 2013, 10-14 июня 2013, Ижевск, РФ

• International conference "Dynamics, Bifixrcations, and Strange Attractors" dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov, 01-05 июля 2013, Нижний Новгород, РФ

Публикации

Результаты диссертации отражены в 14 научных публикациях, 8 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Список приведен в конце автореферата.

Личный вклад

Постановки задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами работ. Автором разработаны математические модели, проведено программирование всех задач и выполнены все численные эксперименты.

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 144 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (77 наименований).

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена исследованию малоизученного типа движения — качения без проскальзывания и верчения, описываемого неголоном-ными системами. В первой ее части исследуются вопросы интегрируемости качения эллипсоида и шара по плоскости и сфере в отсутствии поля тяжести. Во второй части рассматривается качение неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения под действием поля тяжести. Показано, что динамика такой неголономной системы существенным образом зависит от типа обратимости. При некоторых значениях параметров в системе могут существовать странные аттракторы, а также другой тип динамического хаоса - смешанная динамика.

Во второй главе рассматривается неголономная модель кельтского камня на плоскости. С помощью универсального трехмерного визуализато-ра демонстрируются такие феномены, свойственные настоящим кельтским камням, как реверс и многократный реверс. В неголономной модели кельтского камня обнаружено несколько типов странных аттракторов. В данной главе приводится карта динамических режимов с указанием на ней положения обнаруженных аттракторов. Приводятся их свойства, а также демонстрируется движения камня на описанных аттракторах.

Третья глава посвящена вопросам топологической монодромии в неголономной системе, описывающей качение эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по «абсолютно гладкой» плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.

В четвертой главе описан интерфейс, возможности и функциональность разрабатываемого комплекса. Подробно описаны инструменты, используемые для исследования неголономных систем.

Содержание главы 1

Глава 1 посвящена исследованию малоизученного типа движения — качения без проскальзывания и верчения (rubber-rolling), описываемого него-лономными системами и состоит из четырех параграфов. В § 1.1 приводится постановка задачи, уравнения движения и интегралы. Исследования задачи

из главы 1 основывается на анализе отображения Пуанкаре. В § 1.2 описан алгоритм конструирования этого отображения.

Основная содержательная часть главы начинается с параграфа 1.3, в котором исследуется динамика систем, описывающих качение без проскальзывания и верчения (гаЬЬег-гоШгщ) эллипсоида и шара по плоской и сферической поверхностям. Показано, что в зависимости от геометрии поверхности тела и его распределения масс возникает различные типы динамического поведения. Найдены новые интегрируемые случаи и случаи существования инвариантной меры.

Все результаты, полученные в рамках исследований в §1.3, оформлены в виде нескольких гипотез и теорем. Ниже приводится краткая формулировка полученных результатов.

• Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

• Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл.

• Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры.

• Выдвинута гипотеза что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой.

В §1.4 рассматривается качение неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения. Показано, что на динамическое поведение неуравновешенного шара существенное влияние оказывает тип обра-тимостей. В зависимости от типа обратимостей в системе обнаружены два различных типа динамического хаоса: странные аттракторы и смешанная динамика. Подробно описан сценарий возникновения странного аттрактора, а также приведены его основные свойства. Приведен ряд критериев, по которым, с помощью численных экспериментов, можно отличить смешанную динамику от других типов динамического хаоса.

В случае когда центр масс шара смещен вдоль всех трех главных осей инерции, система, описывающая качение шара, обратима по отношению к единственной инволюции. В этом случае в системе обнаружены странные аттракторы. На рисунке 1 представлено отображение Пуанкаре для одного из обнаруженных аттракторов. Ниже приведены два ненулевых ляпунов-

ь/О

10.50-I -0.5 1 0 0.5-Л- 7Г 1.5-7Г 27Г

Рис. 1. Хаотическое множество: слева — странный аттрактор, справа — его симметричный аналог — репеллер. Траектории с репеллера достаточно быстро сваливаются на аттрактор.

ских показателя на аттракторе исследуемой системы, а также их сумма с учетом погрешностей счета:

= 0.083368 ± 0.000422, Л2 = -0.084553 ± 0.000423, (1)

Лх + Л2 = -0.001184 ± 0.000011.

Положительный показатель Ляпунова подтверждает хаотическую природу исследуемого множества. Отрицательная сумма свидетельствует о сжатии объемов, характерном для настоящих аттракторов.

Размерность аттрактора по формуле Каплана-Йорке [8,15]:

В = 1 + ~ 1.986. (2)

|А2|

близка к двум, в связи с чем аттрактор занимает соизмеримую с пространством отображения область.

Согласно приведенным свойствам обнаруженное хаотическое множество нельзя отнести ни к одному из известных типов странных аттракторов

Л/С

(таких как лоренцевского типа, типа Эно или др.). Более того нам удалось обнаружить внутри этого хаотического множества периодические устойчивые режимы периодов 5 и 32 с очень малыми областями притяжения. Перечисленные свойства позволяют классифицировать обнаруженное хаотическое множество как квази аттрактор со слабой диссипацией.

В случае неполного смещения центра масс (когда хотя бы одна из компонент смещения равняется нулю) в исследуемой системе существует дополнительная инволюция. В этом случае обнаружен еще один интересный тип хаоса — так называемая, смешанная динамика.

Некоторые вопросы сосуществования орбит различных типов (хаотических, эллиптических и асимптотических) для достаточно общего класса обратимых систем рассматриваются в [16,17] (где также введено понятие смешанной динамики). В данной работе мы рассматриваем глобальные аспекты такого смешанного поведения для обратимых двумерных отображений, не сохраняющих инвариантную меру.

Под смешанной динамикой для двумерных обратимых отображений без меры мы понимаем хаотическое неблуждающее множество обладающее следующими свойствами:

• оно плотно накрыто симметрийной сетью инволюции (сетью всевозможных образов линии неподвижных точек этой инволюции).

• В симметрийной сети существуют ячейки, содержащие асимптотические (устойчивые и неустойчивые) периодические траектории фокусного типа.

Таким образом, смешанная динамика для двухмерных отображений содержит хаотические орбиты; симметричные орбиты (эллиптические и седло-вые с единичной седловой величиной), расположенные в узлах симметрийной сети; асимптотически устойчивые и неустойчивые орбиты (фокусы), расположенные в некоторых ячейках симметрийной сети.

Данное определение позволяет сформулировать естественный критерий, позволяющий численно отличить смешанную динамику от квази га-мильтоновой. Для этого необходимо построить достаточно густую симмет-рийную сеть и попытаться обнаружить в ячейках этой сети ассимптотиче-ские орбиты (устойчивые или неустойчивые фокусы).

На рисунке 2а серым цветом изображено хаотическое множество построенное при определенных значениях параметров. В некоторых достаточно мелких «окнах» этого множества удалось обнаружить устойчивые

I -,-,---

1.49347тг 1.49818тг 1.5029тг

(е)

Рис. 2. Отображения Пуанкаре, а) Хаотическое множество накрытое симметрийной сетью Ь) Симметрийная сеть состоящая из 12 итераций в прямом времени (синим цветом) и 12 итераций в обратном времени (коричневым цветом). Частота точек на каждой из итераций задается шагом 0.001. с) Увеличенная область рисунков (а) и (Ь), внутри которой хаотические орбиты (темно-серым) сосуществуют с эллиптическими (серым), асимптотически устойчивыми (голубым) и асимптотически неустойчивыми (розовым) орбитами, <1) Увеличенная область устойчивого фокуса периода 19 (в центре рисунка) и периода 133 (вокруг фокуса периода 19). е) Увеличенная область неустойчивого фокуса периода 19 (в центре рисунка) и периода 133 (вокруг фокуса периода 19).

и неустойчивые фокусы, изображенные в голубым розовом цветах, достаточно высоких периодов. Синие и коричневые линии на рис. 2Ь образуют симметрийную сеть, причем синим цветом изображены 12 итераций линии неподвижных точек а\ : ~ = 0 в прямом времени, а коричневым — в

Сх

обратном. Рисунок 2с содержит увеличенную область выделенную на ри-

сунках (а) и (Ь) На рисунках 2(<1) и (е) изображены фрагменты отображения, содержащие устойчивые (неустойчивые) фокусы периодов 19 и 133.

Всю область отображения Пуанкаре из рисунков 2(а) и (Ь) условно можно разделить на 4 области. В первой и третьей областях, содержащих неустойчивые фокусы внизу и устойчивые вверху динамика строго дисси-пативная. В них траектории с неустойчивых нижних фокусов сваливаются на верхние устойчивые. Более того, эти две области являются инвариантными в описанном выше смысле (траектории их не покидают и не попадают на них извне). Во второй и четвертой областях динамическое поведение гораздо интереснее. В них хаотические орбиты сосуществуют с эллиптическими и асимптотическими (устойчивыми и неустойчивыми фокусами высоких периодов), что подтверждает смешанную природу хаоса в указанных областях.

Содержание главы 2

В главе 2 рассматривается неголономная модель движения кельтского камня на шероховатой плоскости. Известно, что движение кельтского камня на плоскости по-прежнему считается одним из самых сложных и малоизученных типов движения твердого тела. Более того, это один из немногих таких видов движения, в которых возможна хаотическая динамика. В данной главе мы попытались с помощью численного анализа неголономной модели проиллюстрировать некоторые динамические феномены, характерные для кельтского камня такие как явление реверса и многократного реверса. Кроме того в этой главе рассмотрено несколько странных аттракторов (в том числе аттрактор Фейгенбаума и лоренцевского типа), для которых представлены фазовые портреты, показатели Ляпунова, а также приведена визуализация движения, включая отрисовку поведения точки контакта.

Глава 2 состоит из шести параграфов. В §2.1 содержится краткий обзор известных результатов по динамике кельтского камня, а так же объясняются причины возникновения явления реверса, наблюдаемого в «настоящих» кельтских камнях. В §2.2 приведена постановка задачи, уравнения движения, а также указаны параметры кельтских камней, исследуемых в рамках диссертации. В §2.3 описывается процедура построения отображения Пуанкаре для численного анализа задачи о движении кельтского камня по плоскости. Для построения отображения Пуанкаре используются переменные Андуайе-Депри. Параграфы 2.4 и 2.5 содержат основные результаты,

в них приведен анализ и визуализация регулярных и хаотических типов движения.

В §2.4 рассмотрена модель кельтского камня при параметрах, взятых из работы А.В.Борисова и И.С.Мамаева [6]. Исследуется, а так же визуализируется явление реверса, связанное с изменением направления вращения кельтского камня. Известно, что при уменьшении уровня энергии ниже критического значения состояния равновесия камня, с которыми ассоциируются устойчивое и неустойчивое вращения претерпевают бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате чего устойчивым режимом в рассматриваемой модели кельтского камня становится предельный цикл — цикл Кара-петяна. В диссертации показано, что этому циклу соответствуют вращения кельтского камня с небольшой прецессией. На рис. 3 представлены результаты численных расчетов для режима движения, отвечающего циклу Кара-петяна — графики зависимости от времени компоненты угловой скорости (о»з) и диаграмма, иллюстрирующая движение кельтского камня и его точки контакта на плоскости. Хотя скорости и наклон камня на цикле Карапетяна изменяются во времени строго периодически, траектория движения точки контакта, вообще говоря, оказывается незамкнутой, заполняя кольцевую полосу конечной ширины.

Рис. 3. Зависимость компоненты угловой скорости шз от времени (а), и траектория движения точки контакта тела и плоскости (Ь) на цикле Карапетяна при Е = 1200. Остальные параметры заданы согласно работе [6].

В §2.5 рассматривается модель камня из работы С.П. Кузнецова с соавторами [8]. Показано, что при указанных параметрах в неголономной модели кельтского камня могут существовать странные аттракторы различных типов. Среди обнаруженных странных аттракторов особое внимание уде-

А Л А А V V V

(а)

(Ь)

ляется аттрактору типа Фейгенбаума, спиральному аттрактору Шильникова и лоренцевскому аттрактору. Для них проведен анализ спектра ляпунов-ских показателей, а также приведена визуализация движения с отрисовкой точки контакта, оставляемой камнем на плоскости. На рис. 4а изображен аттрактор типа Лоренца в отображении Пуанкаре для неголономнонй модели кельтского камня. Параметры задачи выбраны, как указано в работе [11], и отвечают точке В на рис. 4. Визуально обнаруженный аттрактор лорен-цевского типа сильно напоминает «настоящий» аттрактор Лоренца для потоковой системы (см. рис. 4Ь). Реальные движения кельтского камня на обнаруженном аттракторе изображены на рис. 4с, на котором также изображена траектория точки контакта камня на плоскости.

(с)

Рис. 4. Портрет аттрактора типа Лоренца в сечении Пуанкаре в переменных Анду-айе-Депри (а), Фазовый портрет аттрактора Лоренца из модельной потоковой системы (Ь) и след, оставляемый на плоскости точкой контакта (с) при движении на аттракторе. Е = 752, 5 = 0.458. Остальные параметры заданы согласно работе [8].

В конце параграфа 2.5 мы возвращаемся к модели кельтского камня с параметрами, взятыми из работы [6]. В этой модели удалось обнаружить спиральный аттрактор Шильникова, при движении по этому аттрактору кельтский камень совершает многократный реверс. Приводятся ляпу-новские показатели и размерность этого странного аттрактора по формуле Каплпна-Йорке.

В §2.6 приводятся заключение по выполненной в главе работе, а также оговаривается применимость неголономной модели для исследования феноменов кельтского камня.

Содержание главы 3

Четвертая глава посвящена вопросам топологической монодромии в неголономной системе, описывающей качение эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. В ней доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по «абсолютно гладкой» плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтониза-ции рассматриваемой системы монодромия не дает.

Четвертая глава состоит из пяти параграфов. В §3.1 описывается постановка задачи, приводится краткое содержание главы, а также поясняется влияние топологической монодромии на возможность гамильтонизации системы.

В §3.2 приводится определение монодромии и подробно поясняется как она связана с проблемой гамильтонизации. Приведем определение монодромии. Рассмотрим интегрируемую динамическую систему, фазовое пространство которой расслоено на двумерные инвариантные многообразия (торы). Особые слои мы игнорируем (выбрасываем). Выберем какой-либо конкретный тор То и некоторую его деформацию Т4, £ 6 [0,1], такую, что Т\ = То. Другими словами, мы рассматриваем замкнутый путь в пространстве параметров (то есть значений первых интегралов), задающий такую деформацию, после завершения которой тор возвращается в исходное положение.

Далее мы фиксируем пару базисных циклов Ао, Но на исходном торе Т0 и в процессе деформации непрерывным образом меняем их, получая в итоге семейство циклов А(, щ, при каждом фиксированном £ € [0,1] образующих базис на торе Тг. Когда деформация завершится, на торе Т\ = То мы получим некоторую пару базисных циклов Ах, дх. Ясно, что если деформация происходила внутри малой окрестности тора Т0, то полученные циклы будут гомологичны исходным циклам Хо,цо, то есть Ао и Х\ могут быть непрерывно продеформированы друг в друга внутри тора То (аналогично для цо и Однако если семейство торов Т4 уходило «далеко» от начального тора То, то может случиться так, что новые циклы Ах, /¿х бу-

дут совсем другими, существенно отличающимися от Они, однако,

по-прежнему будут образовывать базис и поэтому с точностью до гомото-пии будут связаны с исходными некоторой целочисленной унимодулярной матрицей:

Эта матрица и называется матрицей монодромии, отвечающей рассмотренной деформации. Если она не является единичной, то говорят о нетривиальной монодромии.

Мы рассматриваем пятимерное пространство М.ь, на котором задана динамическая система с тремя интегралами Н,Р\,Р2- Поэтому в нашем случае, выбор двумерного тора То эквивалентен выбору неособой (то есть лежащей вне XI) точки а € Ф(Л^). Сам тор Го — это прообраз точки а. Деформация тора задается выбором в образе интегрального отображения некоторой замкнутой кривой 7(£), которая не пересекает бифуркационную диаграмму.

Кривая 7 задает деформацию тора (то есть мы полагаем Ф-1(7^)) = = Тг) и тем самым монодромию.

Если кривую 7 в образе отображения момента непрерывно деформировать (так, чтобы деформация не задевала бифуркационной диаграммы), то монодромия меняться не будет. В частности, нетривиальная монодромия будет возникать только для нестягиваемых кривых 7. Такие нестягиваемые кривые существуют отнюдь не всегда, но довольно часто: например, когда бифуркационная диаграмма помимо некоторых гладких кривых содержит изолированные особые точки. В этом случае в качестве нестягиваемой кривой можно взять маленькую окружность вокруг такой точки.

Бифуркационная диаграмма в задаче качение эллипсоида вращения по шероховатой (как и по гладкой) плоскости содержит две изолированные особые точки. При обходе каждой из этих точек в определенном направление мы имеем нетривиальную монодромию, описываемую матрицей

Известно, что в гамильтоновом случае, при качение осесимметричного эллипсоида по гладкой плоскости матрица монодромии, возникающая при

обходе сразу двух особенностей имеет вид:

Про гамильтоновость аналогичной системы на шероховатой плоскости (качение без проскальзывания) ничего не известно, поэтому априори, согласно общей теореме о негамильтоновой монодромии [21], возможны два варианта:

Если реализуется второй из них1, то гамильтонизация этой неголономной системы заведомо невозможна. Ниже описывается какой же из этих случаев реализуется в действительности.

В §3.2.1 описывается процедура вычисления монодромии для рассматриваемой задачи.

В параграфе 3.3 рассматривается задача о качение осесимметричного эллипсоида по гладкой плоскости. В §3.3.1 приводятся уравнения движения и первые интегралы. Уравнения движения задаются на многообразии М5 и обладают тремя первыми интегралами Н = /¿, = рф, = Рф-энергии, площадей и Лагранжа. В §3.3.2 приводится трехмерная бифуркационная диаграмма в пространстве (рф,Рф,Ь) и описывается алгоритм ее построения. Пункт 3.3.2 содержит исследования монодромии для эллипсоида на гладкой плоскости, с помощью изложенного в §3.2.1 метода. Здесь показано что тип монодромии принципиально зависит от способа обхода фокусных особенностей на бифуркационной диаграмме. Рассмотрено два типа обхода. При фиксации интеграла рф и обходе особенностей по контуру в плоскости (рф, Н) мы получим матрицу монодромии вида (^ \), то есть такую, какой она и должна быть в гамильтоновом случае. При аналогичном обходе того же самого слоя в плоскости (рф, /г) образ этого базисного цикла оборотов не совершает, а матрица монодромии оказывается тривиальной, то есть (о ?), чего в гамильтоновом случае быть не должно. Никакого при-товоречия здесь, разумеется, нет. Утверждение о том, что в гамильтоновом случае матрица монодромии должна иметь вид (о ?) относится к гамильто-новым системам, заданным на четырехмерных симплектических многообразиях, то есть обход вокруг особого слоя должен осуществляться на сгш-

'Именно это утверждается в [21].

либо

(3)

плектическом уровне. В рассматриваемом нами случае таким уровнем, то есть симплектическим слоем пуассоновой структуры, будет уровень рф = = 0. Уровень р,Р никакой симплектической структуры не несет, и поэтому по отношению к нему ни о какой гамильтоновой монодромии говорить не приходится.

В параграфе 3.4 рассматривается задача о качение осесимметричного эллипсоида по шероховатой плоскости. Структура этого параграфа полностью повторяет структуру §3.3. В §3.4.1 приведены уравнения движения осесимметричного эллипсоида по шероховатой плоскости, задаваемые на многообразии М5. Уравнения движения обладают тремя первыми интегралами Я = Н, = С1,Г2 = с2: энергии и двумя дополнительными, аналогами интеграла площадей и интеграла Лагранжа. В отличии от качения эллипсоида по гладкой плоскости интегралы и F2 не выражаются через алгебраические функции, и, поэтому, вычисляются с помощью численной процедуры. В §3.4.2 приведена бифуркационная диаграмма в пространстве (сх, с2, Ь). Отметим, что бифуркационная диаграмма соответствующая качению осесимметричного эллипсоида по шероховатой плоскости качественно совпадает с бифуркационной диаграммой, соответствующей качению этого эллипсоида по гладкой плоскости. §3.4.3 содержит исследования монодромии. Оказывается, что при обходе двух особенностей результирующая матрица монодромии зависит от способа их обхода. Так при обходе двух особенностей в плоскости (с2, К) (при фиксированном с±) матрица монодромии имеет вид (о ? )• При обходе особенностей в плоскости (сь К) мы имеем тривиальную монодромию, задаваемую матрицей (о?)- Проведенные эксперименты позволяют сделать предположение о конформной гамильто-новости задачи о качении осесимметричного эллипсоида по шероховатой плоскости безо всяких особенностей пуассоновой структуры.

Параграф 3.5 содержит результаты проведенного анализа и выводы. Основной результат может быть сформулирована в виде следующей гипотезы.

Гипотеза 1. Неголономная интегрируемая система, описывающая качение эллипсоида вращения по шероховатой плоскости, по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по «абсолютно гладкой» плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтониза-ции рассматриваемой системы монодромия не дает.

Более того в работе приведен механизм, позволяющей с помощью исследования монодромии слоения системы разделить интегралы на функции Казимира и «настоящие» первые интегралы, что существенно упрощает построение пуассоновой структуры.

Содержание главы 4

В главе 4 описан интерфейс, возможности и функциональность разработанного программного комплекса. Подробно описаны инструменты, используемые для исследования неголономных систем. Глава состоит из четырех параграфов. В §4.1 приводится описание интерфейса программного комплекса. В §4.2 описываются методы численного интегрирования, реализованные в комплексе. На данный момент в комплексе реализовано три метода численного интегрирования: метод Рунге-Кутты, метод Мерсона и метод Эверхарта. В §4.3 описан инструментарий, реализованный в рамках программного комплекса. Кратко опишем инструменты, реализованные в рамках диссертации.

Ляпуновские показатели для потока. Описываемый инструмент позволяет вычислять спектр ляпуновских показателей для заданной, исследуемой траектории потока, описывающего динамику исследуемой системы. В качестве исходной траектории выбирается любая траектория построенная с помощью инструмента «Отображения Пуанкаре». Для вычисления заданного количества п (параметр Number of lyapunov exponents) ляпуновских показателей используется обобщенный алгоритм Бенетина (см. [13]). Совместно с заданной траекторией системы производиться интегрирование п вспомогательных траекторий, каждая из которых возмущена на заданную величину (параметр Initial perturbation), вдоль ортогональных направлений. Обобщенный алгоритм Бенетина основан на анализе роста (убывания) заданных возмущений вдоль исследуемой траектории. Через равные (заданные параметром One iteration time) промежутки времени производится ортогонализация полученных возмущенных векторов по Грамму-Шмидту. Вектора, полученные после ортогонализации, вносят вклад в рассчитываемые ляпуновские показатели, после чего нормируются на значение Initial perturbation. При расчете ляпуновских показателей возмущенные траектории не должны выходить из некоторой небольшой окрестности основной. Для предотвращения сильного разбегания возмущенных траекторий процедура ортогонализации и перенормировки может применяться до истечения

One iteration time при увеличении максимального возмущения до величины, задаваемой параметром Maximal perturbation. В процессе вычисления ляпуновских показателей их текущие значения выводятся в менеджер инструментов, а их зависимость от времени интегрирования исследуемой траектории выводится в виде графика.

Отображение Пуанкаре для заданных линий. Данный инструмент позволяет строить отображение Пуанкаре для заданных линий. Задание линии осуществляется в параметрическом виде:

Y = /(«),«€ [а, 6],

где t используется для параметризации линии в заданном диапазоне. Размерность вектора Y и функции fit) определяется размерностью пространства отображения Пуанкаре и может равняться двум либо трем. Количество итераций и направление итерирования заданной линии определяется с помощью параметров first iteration number и last iteration number. Количество итераций равняется величине разницы last iteration number — first iteration number, а направление итерирования (прямое или обратное) определяется знаком указанной разницы. Густота точек на линии задается с помощью параметра Step between points in the line. В общем случае длина линии экспоненциально увеличивается от итерации к итерации. А значит уже после нескольких итераций образ линии может оказаться слишком «разреженным» и будет восприниматься как набор точек, а не как линия. В некоторых случаях это допустимо и не приводит к проблемам. Однако для некоторых задач требуется построить именно образ-линию. Для таких задач был разработан адаптивный алгоритм заполнения разреженных фрагментов линий. Для соседних точек, расстояние между которыми при итери-ровнии линии становиться больше значения параметра Step between points in the line, вызывается процедура, добавляющая точку посередине между начальными прообразами этих точек. Далее добавленная точка итерируется заданное количество раз (до попадания на рассматриваемый образ линии), после чего проверяется расстояние между разреженными точками и образом добавленной точки. Процесс рекурсивно повторяется до тех пор, пока не будет обеспечена достаточная (определяемая параметром Step between points in the line) плотность точек на линии.

При разработке данного инструмента использовались методы параллельного программирования для систем с общей памятью. Таким образом,

работа инструменты осуществляется в многопоточном режиме, а каждый из вычислительных потоков строит отображение Пуанкаре для своего фрагмента линии. После отработки своего фрагмента, освободившийся поток помещается в очередь свободных потоков, в которой ему назначается новый фрагмент линии.

Построение карт динамических режимов. Один из основных инструментов. Позволяет на плоскости двух заданных параметров системы X axis variable и Y axis variable графически, с помощью разных цветов, изобразить тип динамического поведения для отображении Пуанкаре. Различным цветам соответствуют различные режимы. Опишем алгоритм работы инструмента. Область двух выбранных параметров разбивается на равномерную двумерную сетку (с шагами Step along X axis по оси абсцисс и Step alongXaxis (double) по оси ординат). Из каждого узла сетки строится заданное (параметром Number of iterations before points period estimation) количество итераций отображения Пуанкаре. После чего для узла сетки (конфигурации параметров системы) определяется тип динамического режима. Если за конечное, не превышающее значения параметра Maximal points period, точка возвращается в свою окрестность с точностью, задаваемой параметром Locality size, тогда динамический режим считается периодический, а его период определяется минимальным количеством итераций возврата образа точки в ее окрестность. В противном случае режим классифицируется как квазипериодический либо хаотический.

Отдельно стоит обратить внимание на выбор начальных условий при определения типа динамического режима. В случае выбора значения None для параметра Type of the initial condition inheritance начальные условия выбираются одинаковыми для всех конфигураций параметров и задаются параметрами Map initial coordinate X, Y, Z. В этом случае принято говорить, что сканирование области выбранных параметров осуществляется без наследования. Такой способ задания начальных условий является самым простым для реализации, но обеспечивает очень медленную скорость сходимости. Вдобавок при таком типе сканирования могут возникнуть проблемы при анализе мультистабильных систем, связанные попаданием на разные листы для близких конфигураций параметров. Для увеличения скорости сходимости, а так же для борьбы с перескоками с листа на лист (для мультистабильных систем) необходимо использовать наследование начальных условий при сканирование области параметров. Под наследованием здесь

понимается использование в качестве начальных условий для текущей конфигурации параметров координаты траектории, полученный от предыдущей конфигурации. Пользователю предоставляется возможность выбрать один из четырех типов наследования (снизу вверх, сверху вниз, слева направо и справа налево). Для мультистабильных систем последовательное использование каждого типа наследования может давать различные результаты, сопоставляя которые можно восстановить общую картину динамики в системе.

При разработке данного инструмента использовались методы параллельного программирования для систем с общей памятью. Таким образом, работа инструменты осуществляется в многопоточном режиме, а каждый из вычислительных потоков строит фиксированный фрагмент — линию карты динамических режимов. После отработки своего фрагмента, освободившийся поток помещается в очередь свободных потоков, в которой ему назначается новый фрагмент (линия).

В § 1.4 приведено описаний фильтров. Фильтры отвечают за вывод дополнительной графической информации, получаемой в процессе интегрирования систем. В рамках диссертации реализован фильтр Универсальный трехмерный визуализатор, используемый для визуализации движения объектов описываемых динамической системой. В конкретных задачах он может быть наполнен различными объектами (эллипсоид, плоскость, параболоид, точка, линия и т. д.). При этом параметры этих объектов связываются с функциями фазовых переменных системы. Трехмерный визуализатор позволяет графически отображать динамику выбранных объектов системы, в том числе траектории, образуемые при движении объектов. Например, для задачи качения эллипсоида по плоскости объектами являются эллипсоид, плоскость, траектория оставляемая эллипсоидом на плоскости (след эллипсоида) и траектория оставляемая точкой контакта с плоскостью на эллипсоиде (след плоскости). Пользователь может выбрать какие из объектов системы он хочет видеть, может задать цвета объектов, наложить на них текстуры или сетку, задать степень прозрачности. Кроме того визуализатор позволяет сохранять отображаемую информацию как в виде снимков сцены, так и всю динамику системы в виде файла с видео.

Публикации автора по теме диссертации

1) A.C. Гонченко, C.B. Гонченко, А.О. Казаков. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, с.507-518

2) A.B. Болсинов, A.A. Килин, А.О. Казаков. Топологическая монодро-мия в неголономных системах // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.203-227

3) И.А. Бизяев, А.О. Казаков. Интегрируемость и стохастичность некоторых задач неголономной механики // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.257-265

4) А.О. Казаков. Феномены хаотической динамики в задаче о качении рок-н-роллера без верчения // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.309-325

5) A.C. Гонченко, А.О. Казаков Секреты динамики кельтского камня // Научное обозрение, 2013, т.12, №2, с.14-17.

6) А.О. Казаков. Strange Attractors and Mixed Dynamics in the Unbalanced Rubber Ball on a Plane Problem // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol.18, no.5, pp.508-520.

7) A.C. Гонченко, C.B. Гонченко, А.О. Казаков. Richness of Chaotic Dynamics in the Nonholonomic Model of Celtic Stone // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol.18, no.5, pp.521-538.

8) А. Казаков, H. Кулагин, JI. Лерман. Dynamical Features in a Slow-fast Piecewise Linear Hamiltonian System // Math. Model. Nat. Phenom., 2013, vol.8, no.5, pp.32^9.

9) A.A. Килин, А.О. Казаков. Неголономные динамические системы. Учебно-методическое пособие // Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. с.35.

10) A.C. Гонченко, А.О. Казаков. О регулярной и хаотической динамике кельтского камня // Труды IX Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», 24-29 сентября 2012 г., Нижний Новгород, РФ.

11) А.О. Казаков. Визуализация движения тел в задачах негологомной динамики // Всероссийская конференция «Нелинейный анализ, управление и робототехника», 20-25 сентября 2011 г., Ижевск, РФ.

12) А.В. Борисов, А.О. Казаков. Strange attractors in the rubber rock-n-roller on a plane problem // Proceedings of the IUTAM Symposium "From Mechanical to Biological Systems — an Integrated Approach", 05-10 June 2012, Izhevsk, Russia.

13) A.B. Борисов, А.О. Казаков. Strange attractors and mixed chaotic dynamics in the rubber rock'n'roller on a plane problem // Proceedings of the Fourth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS", 10-14 June 2013, Izhevsk, Russia.

14) A.B. Борисов, A.O. Казаков. Chaotic phenomena in the rubber rock'n'roller on a plane problem // Proceedings of the International conference "Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors" dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov, 01-05 July 2013, Nizhny Novgorod, Russia.

Литература

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля.// М.: Наука, 1973. - Т. 2.

[2] Арнольд, В.И. Математические методы классической механики // М.: Наука, 1989.

[3] Неголономные динамические системы: Интегрируемость, хаос, странные аттракторы: Сб. ст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 328 с.

[4] Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем // М.: Наука, 1967.

[5] Borisov, А. V. and Mamaev, I.S., Rolling of a Rigid Body on a Plane and Sphere: Hierarchy of Dynamics, Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 177-200.

[6] Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // УФН, 2003, т. 173, №4, с.407-418.

[7] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Новые эффекты в динамике кельтских камней // Докл. РАН, 2006, т. 408, №2, с. 192-195.

[8] Кузнецов С. П., Жалнин А. Ю., Сатаев И. Р., Седова Ю. В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №4, с. 735762.

[9] Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некотрых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, с. 507-518.

[10] Gonchenko, A. S., Gonchenko, S.V., and Kazakov, А. О., Richness of Chaotic Dynamics in the Nonholonomic Model of Celtic Stone, Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 5, pp. 521-538.

[11] Гонченко A.C., Гонченко C.B. О существовании аттракторов лоренце-всеого типа в неголономной моделе «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 9, № 1, с. 77-89.

[12] Килин А.А., Казаков А.О. Неголономные динамические системы. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. с.25.

[13] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them: P. 1,2 // Meccanica, 1980, vol. 15, pp. 9-30.

[14] Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А. Иерархия динамики при качении твердого тела без проскальзывания и верчения по плоскости и сфере // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 141-202.

[15] Кузнецов С.П. Динамический хаос// (М.: Физматлит, 2006)

[16] Lamb, J. S.W. and Stenkin, O.V., Newhouse Regions for Reversible Systems with Infinitely Many Stable, Unstable and Elliptic Periodic Orbits, Nonlinearity, 2004, vol. 17, no. 4, pp. 1217-1244.

[17] Delshams, A., Gonchenko, S.V., Gonchenko, A. S., Lázaro, J. Т., and Sten'kin, O., Abundance of Attracting, Repelling and Elliptic Periodic Orbits in Two-Dimensional Reversible Maps, Nonlinearity, 2013, vol.26, no. 1, pp. 1-33.

[18] Pikovsky A., Topaj D. Reversibility vs. synchronization in oscillator latties // Phys. D, 2002, vol. 170, pp. 118-130.

[19] Chavoya-Aceves O., Piña E. Symmetry lines of the dynamics of a heavy rigid body with a fixed point // II Nuovo Cimento В, 1989, vol. 103, no. 4, pp. 369-387.

[20] Борисов А. В., Мамаев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №3, с. 223-280.

[21] Cushman R., Duistermaat J.J. Non-Hamiltonian monodromy // J. Differential Equations, 2001, vol. 172, no. 1, pp. 42-58.

Подписано в печать 22.03.2014. Формат 60 х 84 1/i6. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,75. Бумага офсетная № 1. Тираж 100 экз. Заказ № 14-17. AHO «Ижевский институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Кооперативная, 5.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского" Кафедра численного и функционального анализа

04201457242

На правах рукописи

КАЗАКОВ АЛЕКСЕЙ ОЛЕГОВИЧ

Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор А.В. Борисов

Нижний Новгород — 2014

Содержание

Введение....................................................................5

Глава 1. Программный комплекс......................................16

1.1. Описание интерфейса программного комплекса..................16

1.1.1. Менеджер запущенных инструментов......................16

1.2. Методы интегрирования ............................................19

1.2.1. Метод Рунге-Кутта ..........................................20

1.2.2. Метод Мерсона ..............................................20

1.2.3. Метод Эверхарта..............................................21

1.3. Инструменты..........................................................21

1.3.1. Отображение Пуанкаре......................................23

1.3.2. Спектр Фурье................................................26

1.3.3. Ляпуновские показатели для потока........................28

1.3.4. Поиск неподвижных и периодических точек отображения 30

1.3.5. Продолжение неподвижных и периодических точек по параметру......................................................33

1.3.6. Построение сепаратрис седловых точек....................34

1.3.7. Дерево бифуркаций удвоения периода ....................36

1.3.8. Построение поверхности £ = |Мар(х) — х\................37

1.3.9. Области возможного движения (ОВД)......................38

1.3.10. Отображение Пуанкаре для заданных линий..............39

1.3.11. Построение карт динамических режимов..................41

1.4. Фильтры и дополнительные окна..................................44

1.4.1. Построение двумерных графиков..........................45

1.4.2. Построение трехмерных графиков..........................47

1.4.3. Визуализация движения мультипликаторов неподвижной точки......................................................48

1.4.4. Визуализация движения апексов............................48

1.4.5. Универсальный трехмерный визуализатор................50

Глава 2. Неголономные системы описывающие качение без проскальзывания и верчения.......................53

2.1. Постановка задачи. Уравнения движения и интегралы............54

2.2. Отображения Пуанкаре..............................................56

2.3. Интегрируемость и стохастичность некоторых систем, описывающих качение без верчения и проскальзывания................58

2.3.1. Качение эллипсоида по плоскости..........................58

2.3.2. Качение эллипсоида по сфере..............................61

2.3.3. Качение шара по сфере......................................63

2.4. Феномены хаотической динамики в задаче о качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения

под действий поля тяжести..........................................64

2.4.1. Уравнения движения ........................................65

2.4.2. Обратимости в системе......................................66

2.4.3. Странные аттракторы........................................70

2.4.4. Смешанная динамика........................................81

Глава 3. Неголономная модель кельтского камня кельтского камня 87

3.1. Введение..............................................................87

3.2. Уравнения движения и интегралы..................................89

3.3. Построение отображения Пуанкаре................................91

3.4. Феномены регулярной динамики: реверс, периодические движения ..................................................................92

3.5. Феномены хаотической динамики..................................95

3.6. Выводы................................................................102

Глава 4. Топологическая монодромня в неголономных системах . . 104

4.1. Введение..............................................................104

4.2. Топологическая монодромия в интегрируемых системах .... 107 4.2.1. Как мы собираемся монодромию вычислять? ............112

4.3. Качение осесимметричного эллипсоида по гладкой плоскости . 116

4.3.1. Уравнения движения и первые интегралы ................116

4.3.2. Бифуркационный анализ....................................118

4.3.3. Анализ монодромии..........................................122

4.4. Качение осесимметричного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости......................................................127

4.4.1. Уравнения движения и первые интегралы ................127

4.4.2. Бифуркационный анализ....................................130

4.4.3. Анализ монодромии..........................................132

4.5. Результаты проведенного анализа и выводы......................134

Заключение.................................136

Литература.................................138

Введение

Актуальность темы исследований.

Развитие современной теории динамических систем тесно связано со всевозрастающей ролью компьютерных методов исследований. Первыми достижениями на этом пути были открытие аттрактора Лоренца, исследования Фей-генбаума, связанные с универсальностью перехода к хаосу путем каскада бифуркаций удвоения периода, создание фрактальной геометрии и фрактальной динамики Мандельбротом. Все эти классические результаты тесно связаны с аналитическими исследованиями восходящими к Пуанкаре, Биргофу и др. С другой стороны, они указывают ряд новых свойств, которые не были замечены ранее при аналитических исследованиях. В настоящее время диапазон задач и методов исследования в теории динамических систем чрезвычайно широк, начиная с качественного анализа интегрируемых систем и до исследования сложных неинтегрируемых систем, в которых мы сталкиваемся с таким понятием как хаос и требующих применения компьютерных методов анализа.

Традиционно различают динамические системы разделяют на консервативные и диссипативные. В физике термин консервативные означает обеспечивающие сохранение энергии, что, в частности, относится к системам классической механики, для описания которых применяется формализм Гамильтона [1,2]. Для гамильтоновых систем имеет место теорема Лиувилля о сохранении меры (фазового объема).

При наличии трения приходим к диссипативным системам, где механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается, переходя в тепло. В диссипативных системах фазовый объем уменьшается по ходу эволюции во времени, по крайней мере, в среднем, и облако изображающих точек оседает в итоге на некоторое подмножество в фазовом пространстве, которое называ-

ется аттрактором. Для систем, в которых обеспечивается компенсация потерь энергии внешними источниками (открытые системы), в качестве аттракторов наряду с состояниями равновесия (неподвижными точками) могут встречаться

у

также предельные циклы, отвечающие автоколебаниям, и странные аттракторы, соответствующие хаотической динамике.

В системах с инвариантной мерой, обладающих свойством сохранения фазового объема (когда аттракторов не бывает), облако изображающих точек можно мыслить как состоящее из несжимаемой жидкости. В диссипативном случае его надо представлять себе, как сжимаемую субстанцию, наподобие пара, имеющего возможность конденсироваться с существенным уменьшением занимаемого объема при оседании на аттрактор.

В механике, помимо систем, описываемых в рамках гамильтонова формализма, выделяют еще особый класс систем с неголономными связями, или, более коротко неголономных систем (термин введен Генрихом Герцем в XIX веке) [3,4]. Сюда относятся многие задачи, имеющие большое практическое значение, например, в механике передвижных и летательных аппаратов, робототехнике. История изучения этих систем богата драматическими моментами, в том числе ошибками, которые совершались видными исследователями, и лишь затем исправлялись в ходе более аккуратного анализа. Иерархия типов поведения неголономных систем [5] включает разнообразные ситуации от простых (интегрируемых) до сложных (не интегрируемых), что связано с количеством присущих задаче инвариантов и симметрий.

В данной диссертации с помощью совместного использования компьютерных и аналитических методов мы пытаемся подойти к проблеме интегрируемости, неинтегрируемости и перехода к хаосу, а также его классификации в неголономных динамических системах. Вообще говоря, в динамических системах существуют различные пути перехода к хаосу. Эти пути, как правило, связаны с различными явлениями типа бифуркаций и обуславливают ряд новых эффектов, возникающих в динамических системах.

Сравнительно недавно выяснилось, что хаос, возникающий в неголоном-

ных динамических системах может качественно различаться. Так помимо консервативного хаоса в некоторых неголономных системах были обнаружены странные аттракторы [6-10], а так же другой, малоизученный тип динамического хаоса - так называемая смешанная динамика. Совершено замечательным фактом является обнаружение в неголономной модели кельтского камня странного аттрактора лоренцевского типа [10,11]. По сути эта модель (насколько нам известно) является первой моделью из приложений, в который обнаружен этот хорошо изученный феномен хаотической динамики.

На сегодняшний день для проведения аналитических и численных исследований динамических систем применяют как правило несколько наиболее известных программных средств — Maple, Mathematica, MathLab. Однако, вычислительная среда, создаваемая этими пакетами, не смотря на ее универсальность, направлена преимущественно на проведение аналитических вычислений. Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений с одновременным выводом нескольких потоков информации уже является для этих программных средств невыполнимой. Поэтому для проведения численных расчетов, как правило, используют собственные разработки ориентированные на конкретную исследуемую задачу. Такой подход более эффективен для решения описанной выше задачи, однако имеет существенный недостаток. Практически для каждой новой задачи приходится создавать отдельный программный продукт. Таким образом, актуальной становится проблема создания программного комплекса, который с одной стороны позволит интегрировать неголономные системы дифференциальных уравнений с одновременным многосторонним анализом фазового потока в режиме "онлайн", а с другой стороны максимально упростит и универсализует ввод новых задач. В настоящее время в ижевском институте компьютерных исследований ведется разработка программного комплекса "Компьютерная динамика". На момент начала исследований и работ над диссертацией в рамках этого комплекса уже была реализована часть функциональности, позволяющая исследовать многие неголономные системы. В рамках диссертационной работы эта функциональ-

ность была существенно расширена, и в данной момент, используя возможности программного комплекса, можно комплексно исследовать большинство неголономных динамических систем.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка программного комплекса для исследования неголономных динамических систем. Помимо функциональности, позволяющей численно исследовать подобные системы в нем должны быть реализованы возможности визуализации динамики в таких системах, облегчающие осмысление и интерпретацию получаемых результатов.

Методы исследования

Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем, а так же теории бифуркаций. При решении дифференциальных уравнений, описывающих динамику неголономных систем применялся метод численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка. Программирование комплекса осуществлялось на языке С++ в среде MS Visual Studio 2008. Для создания пользовательских интерфесов использовалась кроссплатформенная библиотека Qt v.3.3.7. Для работы с трехмерной графикой и визуализации движения использовались библиотеки OpenGL и OpenCV. Многие алгебраические преобразования, в том числе вывод уравнений, описывающих динамику, построение бифуркационных диаграмм, анализ устойчивости состояний равновесия в системах выполнялись с помощью пакета программ Maple v. 14.

Научная новизна и основные результаты.

Разработанный программный комплекс "Компьютерная динамика" представляет широкий спектр различных инструментов для исследования неголономных динамических систем и не имеет аналогов. Результаты, полученные, с помощью этого комплекса, являются уникальными и нигде ранее не фигурировали.

В ходе работы над диссертацией в рамках программного комплекса разработан следующий набор инструментов:

• построение двухмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• вычисления спектра ляпуновских показателей для потока

• построения карт динамических режимов

• универсальный трехмерный визуализатор

Кроме того, в ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов:

1) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.12), обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

2) Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.15), обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл (2.16).

3) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах (2.17), обеспечивающих существование инвариантной меры.

4) Выдвинута гипотеза о том, что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой, хоть и конформно-гамильтоновой.

5) Показано, что динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

6) В системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, обнаружены квази аттракторы со слабой диссипацией. Подробно описан сценарий возникновения одного из таких аттракторов, исследованы его характеристики и свойства.

7) Помимо странных аттракторов в последней системе обнаружен другой интересный малоизученный тип динамического хаоса — смешанная динамика.

8) В неголономной модели кельтского камня обнаружены и исследованы несколько типов странных аттракторов, в том числе спиральный аттрактор Шильникова, аттрактор лоренцевского типа и аттрактор Фейгенбаума.

9) Проведена визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов. Продемонстрирован эффект реверса и многократного реверса. Продемонстрировано поведение камня и его точки контакта при движение по предельным циклам, а также на некоторых странных аттракторах.

10) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.

Результаты выносимые на защиту.

1) Дополнительная функциональность, реализованная в рамках программного комплекса "Компьютерная динамика", позволяющая более глубоко и комплексно исследовать неголономные динамические системы.

2) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры в общем случае.

3) Новый интеграл в системе, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры в частном случае.

4) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры.

5) Система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов является неинтегрируемой.

6) Динамики в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

7) Странные аттракторы в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

8) Смешанная динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

9) Новые странные аттракторы в неголономной модели кельтс�