автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития

На правах рукописи

□□31691 12

Тебуев Джамал Билялович

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТАБЛИЦ ДОЖИТИЯ

05 13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 5 МАЦ 2008

Ставрополь-2008

003169112

Работа выполнена в Карачаево-Черкесской государственной технологической академии на кафедре «Прикладная математика»

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Эдиев Далхат Мурадинович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Винтизенко Игорь Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Мезенцева Оксана Станиславовна

Ведущая организация Московский государственный университет им. М.В.

Ломоносова, г. Москва

Защита состоится «23» мая 2008 г в 14 30 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212 256 08 при Ставропольском государственном университете по адресу 355009, г Ставрополь, ул Пушкина 1,1 ауд 214.

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета

Автореферат разослан « ¡9 » апреля 2008 г I

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций -Д 212 256 08, канд физ -мат наук, доцент

Копыткова Л Б

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Одно из фундаментальных свойств народонаселения - его постоянное самовозобновление в процессе последовательной смены поколений Понимание объективного характера закономерностей воспроизводства населения и его составляющих, а также знание их тенденций позволяют демографии разрабатывать рекомендации относительно общих направлений и конкретных мероприятий социальной и демографической политики

Вопросы здоровья и продолжительности жизни были и остаются в центре общественного внимания Помимо прочего, такое внимание вызвано тем, что с продолжительностью жизни населения связываются успехи в социальном развитии, достигнутые обществом Это, а также важнейшая роль смертности в воспроизводстве населения, определяют постоянный и пристальный интерес демографии к теме моделирования смертности и продолжительности жизни

Традиционные подходы к моделированию смертности заключаются в построении таблиц дожития, которые представляют собой модель процесса вымирания когорты родившихся Таблицы дожития строятся на основе набора условных вероятностей дожития до возраста х +1, тех, кто дожил до возраста д: Эти вероятности, как правило, оцениваются на основе эмпирических данных по численности населения, подверженному риску умереть, и числам умерших в каждом возрасте. При этом традиционно модели смертности игнорируют различия между теоретической вероятностью и эмпирической частотой смертных случаев Такой подход хорошо работает только в случаях, когда рассматриваются большие совокупности людей, т к в силу закона больших чисел различия между вероятностью события и его эмпирической частотой появления во многом стираются Небольшие отклонения эмпирических частот от теоретических успешно устраняются с помощью различных методов сглаживания и усреднения

Указанный прямой подход, при котором частота события отождествляется с его вероятностью, не подходит для анализа смертности малочисленных населений (десятки тысяч человек), т к эмпирические частоты проявляют большой разброс вокруг теоретических значений Между тем, анализ смертности в малочисленных населениях является весьма важной задачей Ее актуальность определяется многими причинами, в т ч

- неоднородностью реальных населений,

- необходимостью анализа и сопоставления смертности у малочисленных народов,

- необходимостью исследования географических и социальных особенностей смертности,

- необходимостью исследования малочисленных населений в исторической демографии

Сходная ситуация наблюдается в случае анализа смертности в населениях с низкой смертностью, а также в старших возрастных группах В первом случае использование прямых методов будет неэффективным в силу небольшого числа случаев смерти Во втором случае мапа численность населения, подверженного риску умереть

В отмеченных случаях, когда традиционные прямые методы являются ^эффективными, используются различные косвенные методы, основанные на моделях ¡ависимости показателей смертности от возраста В частности, одной из наиболее часто кпользуемых моделей является реляционная модель У Брасса Она позволяет для 1сследуемого населения с помощью «стандартной» таблицы дожития и двух параметров,

которые оцениваются из исходных данных, получать искомые показатели таблицы дожития

Общим недостатком косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития является неспособность отразить особенности возрастной структуры смертности исследуемого населения, нехарактерные для используемых моделей зависимости смертности от возраста В возрастах с большим числом людей использование косвенных методов может привести к большим ошибкам, чем ошибки связанные с конечным объёмом выборки

Отмеченные проблемы моделирования смертности и оценивания показателей таблиц дожития для населения с малым числом случаев смерти во всех или некоторых возрастах, делает актуальной задачу разработки нового более гибкого подхода к построению таблиц дожития, который сочетал бы в себе преимущества как прямых, так и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития

Объектом исследования в работе является процесс смертности Предметом исследования являются методы оценивания показателей таблиц дожития

Цепью диссертационной работы является исследование существующих методов, а также разработка нового метода и пакета программ для оценивания показателей таблиц дожития в условиях малого числа случаев смерти, сочетающих достоинства прямых методов и метода У Брасса, а также разработка прикладной программы Задачи исследования можно определить следующими пунктами

1 Исследовать применимость традиционно используемых прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития при малом числе случаев смерти

2 Разработать комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, сочетающий в себе достоинства прямых методов и метода У Брасса

3 Разработать алгоритм оценивания стандартных ошибок для оценок показателей таблиц дожития

4 Разработать методику оценивания эффективности методов построения таблиц дожития

5 Создать пакет программ, позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития и стандартные отклонения полученных оценок

6 Провести сравнительный анализ традиционно используемых методов и предложенного комбинированного метода в случаях малого числа случаев смерти Методы исследования Для решения поставленных в диссертационной работе

задач использованы понятия и методы математической демографии, теории вероятностей и математической статистики, теории оптимизации, аппарата имитационного моделирования и численных методов

Диссертационная работа выполнена в соответствии с п 1 - «Разработка, исследование, обоснование адекватности и применение новых математических и численных методов моделирования объектов» и п 4 - «Разработка и применение математических и численных методов, алгоритмов и комплексов программ имитационного моделирования, обоснование их адекватности» паспорта специальности 05 13 18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Научная новизна работы состоит в следующем

1 На основе метода Чанга и метода Брасса разработан комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, позволяющий, с одной стороны, использовать в полной мере исходную информацию, с другой стороны, восполнить недостающие данные

2 Предложен алгоритм увеличения диапазона применимости логит-системы Брасса за счет подбора наиболее походящего стандарта из эмпирических таблиц дожития

3 Предложен алгоритм оценивания стандартных ошибок показателей дожития с использованием аппарата имитационного моделирования, позволяющий проводить сравнительный анализ эффективности различных методов оценивания показателей таблиц дожития

4 Разработан и зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ пакет программ «ОПТД» - Оценивание показателей таблиц дожития, позволяющий с помощью различных традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода вычислять оценки показателей таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки (Свидетельство об отраслевой регистрации разработки №9323 от 22 10 2007 Авторы Тебуев ДБ, Эдиев Д М)

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием моделей математической демографии, методов теории вероятностей и математической статистики, теории имитационного моделирования, численных методов, а также строгостью математических выкладок и непротиворечивыми результатами проведенных вычислительных экспериментов

Практическая значимость работы Предлагаемые методы могут быть полезны в областях традиционного использования таблиц дожития прогнозирование численности и структуры населения, трудовых ресурсов, моделирование и анализ системы пенсионного и социального обеспечения, актуарные расчеты и др Основные положения, выносимые на защиту

1 Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, в котором оценки возрастных вероятностей умереть вычисляются как средневзвешенные прямых и брассовских оценок вероятностей умереть

2 Расширение диапазона применимости логит-системы Брасса за счет подбора «стандартной» таблицы дожития

3 Методика оценивания стандартных ошибок показателей таблиц дожития, опирающаяся на аппарат имитационного моделирования и методы математической статистики

4 Пакет программ, позволяющий с помощью различных традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки

Апробация работы Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- III Всероссийских Межвузовских научных чтениях «Математические и статистические методы в экономике и естествознании» (РГЭА «РИНХ», Ростов-на-Дону, 2001)

- научно-практической конференции аспирантов и студентов КЧГТА «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности» (КЧГТА, Черкесск, 2002),

- научно-практической конференции аспирантов и студентов «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2004),

- международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2004),

- VIII региональной конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь СевКавГТУ, 2004),

- III школе молодых ученных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2005),

- XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год (Ставрополь, 2005),

-научно-методическом семинаре кафедры математики и кафедры прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии (Черкесск, 2007),

- расширенном научно-методическом семинаре кафедры прикладной математики и кафедры информатики Ставропольского государственного университета (Ставрополь, 2008)

По теме диссертации соискатель проходил стажировки в «Центре по изучению проблем народонаселения» экономического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2005 и 2006 гг.)

Публикации По теме диссертационной работы опубликованы 13 работ Среди них 2 ста1ьи в рекомендованных ВАК РФ периодических изданиях, 1 в тематическом сборнике статей, I в электронном журнале, допущенном ВАК РФ (письмо №01-56-05103 от 26 05 1998) дня публикации содержания диссертаций, 2 в сборниках rio итогам проведения международных научно-практических конференций и семинаров, б в сборниках по итогам проведения научно-практических конференций, 1 пакет программ, зарегистрированный в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Общий объем публикаций составляет 2,35 п л, из них автору принадлежит 1,32 п л

Реализация результатов исследования Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект №05-06-80432 «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения»

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка используемой литературы, содержащего 105 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, описана структура и дан краткий обзор работы

В главе 1 приводится обзор традиционных подходов к построению таблиц дожития Рассматриваются три прямых метода (линейный, экспоненциальный и множителей Чанга) и шесть косвенных, опирающиеся на закон Гомперца-Мейкема, модель Хелигмена-Полларда, модельные таблицы ООН, модельные таблицы Коула-Демени, модельные таблицы Ледерман, модель Брасса Для каждого метода построения таблиц дожития рассматривается его применимость для случаев малочисленного населения, и населения с низким уровнем смертности В результате было получено, что общим недостатком прямых методов является чувствительность оцениваемых показателей к небольшим изменениям возрастных чисел умерших Для косвенных методов общим недостатком является неспособность отразить особенности возрастной структуры смертности исследуемого населения, нехарактерные для используемых моделей зависимости смертности от возраста В возрастах с большим числом людей

использование косвенных методов может приводить к большим ошибкам, чем ошибки связанные с конечным объемом выборки

В результате сравнительного анализа перечисленных выше методов получено, что для анализа смертности малочисленного населения и населения с малым числом случаев смерти из прямых методов наиболее привлекательным является метод Чанга, а из косвенных - логит-система У Брасса

С учетом приведенных недостатков для моделирования смертности малочисленного населения, в главе 1 предлагается использовать комбинацию прямых и косвенных методов, чтобы с одной стороны использовать всю имеющуюся исходную информацию по смертности (метод Чанга), а с другой стороны, восполнить недостающие исходные данные за счет привлечения модели смертности У Брасса

В главе 2 приведены теоретическое обоснование комбинированного метода построения таблиц дожития, алгоритмы оценивания и уточнения весовых коэффициентов комбинированного метода, алгоритм расширения диапазона применимости модели Брасса, имитационная модель процесса вымирания, метод оценивания стандартных ошибок для показателей таблиц дожития, алгоритм сглаживания оценок показателей таблиц дожития

С целью увеличения диапазона применимости логит-системы Брасса в работе при выборе стандарта рассматривается не только «общий» стандарт, предложенный ООН, но также региональные модельные таблицы Коула-Демени Для выбора наиболее подходящего стандарта из набора таблиц дожития используется подход, при котором на первом этапе для каждой таблицы дожития из набора «потенциально стандартных» оцениваются наборы брассовских параметров (а,, Д), (< = 1 ,т), где т - количество таблиц дожития, из которых выбирается стандарт Далее, для каждой пары (а,, /},) вычисляется сумма квадратов отклонений

S, = ¿((2а, +2Д Д(/;'))-Д(/у))2 , i = (ü¡), (1)

.И

где п - количество возрастных интервалов, Л(1*') и Я(1;) - стандартные и оцененные из исходных данных по формуле Á(lx) = logit(l-lx) = 0 5 1п[(1-/*)//*] логиты В качестве стандарта выбирается таблица дожития, которая соответствует минимальной ошибке S,

Данный подход позволяет проводить сравнительный анализ применимости в качестве стандарта различных таблиц дожития, а также осуществлять обоснованный выбор стандарта при использовании логит-системы

Поскольку все показатели таблицы дожития можно выразить через возрастные вероятности умереть qx, в рамках комбинированного метода построения таблиц дожития рассматриваются оценки вероятностей умереть, являющиеся средневзвешенными оценок qdx и qhx, полученных, соответственно, прямым методом и с помощью модели смертности У Брасса с весами <ах и сах

qx=jÍ codx+qbx а>ьх, (2)

где еох + сох = 1, тх > 0, соьх > 0, * = (0, X), X - индекс старшей возрастной группы

Ключевым в комбинированном методе является обоснованный выбор весовых коэффициентов, зависящих как от конкретного исследуемого населения, так и от возраста Для решения задачи оценивания весовых коэффициентов предлагается подход, при котором в (2) необходимо использовать веса, соответствующие минимуму квадратичной ошибки qx< Для нахождения квадратичной ошибки qx необходимо

выяснить степень корреляции оценок д^ и Очевидно, что оценки, полученные прямыми методами и по модели Брасса, будут коррелированными, т к обе эти оценки проводятся на основе одной и той же выборки Однако, для нахождения оценки используются данные только по одному возрастному интервалу, а для нахождения оценки д^ используются данные по всем возрастам Из этого следует, что исходные данные по отдельному возрасту слабо влияют на оценку д^ Поэтому разумно предположить, что оценки д^ и д[ь> имеют небольшую корреляцию, и при подсчете квадратичной ошибки оценки дх ею можно пренебречь

Теорема 1 Пусть оценки дх и дх некоррелированны Тогда оптимальные, в смысле минимума квадратичной ошибки, весовые коэффициенты комбинированного метода юх и ах будут обратно пропорциональны величинам квадратичных ошибок оценок прямых

и брассовских вероятностей умереть и*2 и иъх , с одним и тем же коэффициентом пропорциональности

= (3)

их их

где к - коэффициент пропорциональности

Таким образом, задача нахождения оптимальных весовых коэффициентов сводится к задаче оценивания квадратичных ошибок для вероятностей умереть дх и дх

В главе 2 рассматривается два подхода к оцениванию квадратичных ошибок упрощенный метод и на основе имитационного моделирования с применением итерационных процедур

При упрощенном подходе, в силу того, что количества доживающих до следующего возраста подчиняются биномиальному закону, весовые коэффициенты прямых вероятностей вычисляются по следующей формуле

41 911(1 -*5>

Использование в (4) оценок брассовских вероятностей умереть связано с тем, что для малых групп людей оценки, полученные прямым методом, оказываются чрезвычайно изменчивыми, а использование брассовских оценок позволяет получать робастные оценки дисперсий

Величина квадратичной ошибки иьх брассовских вероятностей умереть дьх складывается из двух составляющих 1) ошибка, связанная с малочисленностью исследуемого населения, 2) систематическая ошибка метода Брасса (вероятности умереть, полученные с использованием какого-либо стандарта, не во всех возрастах будут хорошо аппроксимировать истинные вероятности умереть)

Пусть дх - математическое ожидание брассовских вероятностей умереть для исследуемого малочисленного населения

Теорема 2 Квадратичная ошибка их2 брассовских вероятностей умереть

складывается из дисперсии - М^дх - дх ^ , и систематической ошибки метода Брасса -

м[дьх -йх) ,те

и? =M{qbx-q$ =M{qbx-qb^ + M^qb' -qx^j , x = (0,X) (5)

Для оценивания систематических погрешностей M^qx j метода Брасса используется соотношение

А{(¿-ЯХ)2 « } * = (0JO, (6)

где qW - вероятность умереть ;-той эмпирической таблицы дожития, из набора эмпирических таблиц с похожим режимом вымирания, qbx(,) — брассовская вероятность умереть, полученная для /-той эмпирической таблицы дожития при использовании исследуемого стандарта, к - количество используемых эмпирических таблиц

В качестве набора эмпирических таблиц дожития используются таблицы из базы данных по смертности - Human Mortality Database (более 7780) Из общего набора таблиц для реализации описанного выше алгоритма выбираются таблицы с близкими показателями е0

Если для оценивания дисиерсий брассовских вероятностей умереть использовать упрощающее допущение о том, что в пределах изменения параметров а и р

ь , С1 , 1 + ехр(2а + 2/ЗЯ.) ,

зависимость а° = 1--—---может быть линеаризована и что оценки

11 1 + ехр(2а + 2ДЯ1+1) к

параметров а и р имеют равномерное распределение, то имеет место следующая

теорема

Теорема 3 Пусть оценки параметров а и р имеют равномерное распределение, и

b , lb , \ + ехп(2а + 2вЛх)

пусть зависимость =1--~ = \--—- можно линеаризовать в пределах

/»+, 1 + ехр(2а + 2рХх+х)

изменений а и р Тогда дисперсии брассовских вероятностей умереть можно вычислить по формуле

0(gW) = (A'2+A'A°+A°2), (7)

36

где A0=q(ai,p0)-q(a0,p0), A 1=q(.a1,pl)-q(a0,pi), а0, а, И Р0, Д - верхние И нижние оценки параметров а и р

Для упрощенного оценивания брассовских весовых коэффициентов окончательно получена следующая зависимость

ъ 1 ,,

со"--;-7® 1/

(А, -А,А0+А„ )+{т£(дт_д?у

Jo ,=1

Для более точного оценивания дисперсий брассовских вероятностей умереть

D{qьx) = мí^qbx-qbx j используется аппарат имитационного моделирования На основе

данных о половозрастном составе исследуемого населения и вероятностей умереть истинной (неизвестной) таблицы дожития qx, при помощи имитационной модели генерируются я новых семейств повозрастных чисел умерших, по которым, используя модель Брасса, строится новый набор из 5 таблиц дожития Тогда дисперсию брассовских вероятностей можно оценить, используя следующее выражение

^^Г-^Г0)2. ' = (9)

где с[Ьх{1) - вероятности умереть /- ой сгенерированной брассовской таблицы дожития,

qь* = - математическое ожидание брассовских вероятностей умереть

Для квадратичной ошибки брассовских вероятностей умереть, учитывая (5), (6) и (9), окончательно получается следующее выражение

1=1 V ) ,=1

Используя, что весовые коэффициенты обратно пропорциональны квадратичным ошибкам, выражение (2) приводится к виду

£ к/«*(1 -Ях) чЧ )

-Чх) К "0

где Л - старшая возрастная группа

Поскольку истинная таблица дожития не известна, в работе предлагается в ее качестве испоиьзовать таблицу дожития, полученную комбинированным методом с использованием упрощенного подхода к оцениванию весовых коэффициентов Получаемые оценки вероятностей умереть можно уточнить с помощью метода простых итераций, используя на каждом приближении в качестве истинных вероятности, полученные на предыдущем приближении

Теорема 4 Если выполняется условие -^(/и, < (к*2 + то метод простых итераций для системы уравнений (11) сходится к единственному решению при выборе начального приближения из интервала ,</*]

Большое количество вычислительных экспериментов для различных населений показало, что условие теоремы 4 всегда выполняется, а МПИ для (11) сходится быстрее, если в качестве начального приближения используются комбинированные вероятности умереть, полученные с помощью упрощенного подхода

Уточненные с помощью МПИ оценки вероятностей умереть будут являться оптимальными в смысле минимума квадратичной ошибки, но могут отличаться от своих истинных, заранее неизвестных значений

Во второй главе особое внимание уделяется оцениванию эффективности методов построения таблиц дожития, который основывается на изучении стандартных ошибок оценок показателей таблиц дожития В работе в качестве критерия эффективности метода оценивания предлагается использовать традиционный для математической статистики показатель стандартной ошибки оценивания

Оценивание стандартных ошибок показателей таблиц дожития осуществляется на основе набора таблиц дожития, полученных с помощью аппарата имитационного моделирования Имитационные процедуры позволяют выяснить доживет ли рассматриваемый член возрастной группы до следующего возраста, подвергаясь риску умереть, взятому из таблицы дожития Таким образом, на основе исходной таблицы дожития (полученной комбинированным методом) и данных о численности населения в каждой возрастной группе, с помощью имитационной модели генерируются к семейств величин йх - чисел не доживших до следующего возраста, и по ним используя

исследуемый метод построения оцениваются к таблиц дожития Далее оцениваются математическое ожидание и дисперсия любого показателя таблицы дожития вх

М(вх)=\ 2Х, ¿2(e*)=li0x,-ex)2, (12)

к ,=i 1

где 0„ - оценки любого показателя таблицы дожития, полученные с помощью имитационной модели, 9Х — соответствующий показатель исходной таблицы дожития

Таким образом, для исследуемого малочисленного населения с помощью имитационной модели можно для каждого метода построения таблиц дожития получать оценки стандартных ошибок параметров таблиц дожития

В работе рассматривается два подхода к задаче генерирования повозрастных чисел умерших Первый подход подразумевает применение имитационной процедуры для каждого человека из рассматриваемой возрастной группы Имитационная процедура позволяет выяснить, доживет ли человек до следующего возраста, подвергаясь риску умереть, взятому из таблицы дожития Второй подход опирается на метод обратной функции - генерирование случайной величины с известной функцией распределения При этом имитационная процедура используется для каждой возрастной группы только один раз Второй подход является более предпочтительным в смысле затрат машинного времени

Для сглаживания возрастных вероятностей умереть малочисленного населения и населения с малыми повозрастными числами смертей в работе предложена методика, основанная на взвешенном методе наименьших квадратов, позволяющая учитывать при сглаживании различия в стандартных ошибках оценок возрастных показателей смертности

В главе 3 для рассмотренных в диссертации традиционных методов исследования смертности населения, а также для разработанных новых методов и методик исследования смертности населения с малыми числами смертных случаев, разработаны алгоритмы их вычислительной реализации

На основе разработанных алгоритмов для апробации предложенных в работе методов исследования смертности малочисленного населения, а также для их сравнительного анализа с уже существующими подходами, разработан и зарегистрирован пакет программ «ОПТД» - Оценивание показателей таблиц дожития (Свидетельство об отраслевой регистрации разработки №9323 от 22 10 2007 Авторы Тебуев Д Б, Эдиев ДМ), который позволяет различными способами получать оценки показателей однолетних таблиц дожития, и для полученных показателей оценивать их стандартные ошибки С помощью разработанного в среде Visual Basic for Applications пакета программ «ОПТД» были получены таблицы дожития городов и районов Карачаево-Черкесии, а также населения Исландии

Применение метода Чанга для построения таблиц дожития приводит к тому, что графики функций дожития для отдельных районов КЧР получаются ступенчатыми из-за малочисленности населения отдельных районов (численность населения районов изменяется от 14 до 39 тыс, а население столицы республики составляет 116 тыс) Если же использовать модель смертности Брасса, то получаются достаточно гладкие графики функций дожития, но это сглаживание не всегда объективно отражает реальную ситуацию, т к в тех возрастах, где число случаев смерти существенно, следует больше доверять прямым методам

Рисунок 1 - Логарифмированные вероятности умереть для населения Карачаево-Черкесской республики (оба пола, 1999 г)

Рисунок 2 - Логарифмированные вероятности умереть для населения Хабезского района КЧР (оба пола, 1999 г)

На рисунках 1 и 2 показаны зависимости логарифмированных вероятностей умереть, полученных по модели Чанга - Ь^1*), по модели Брасса - 1п(<7®), и по комбинированной модели - 1п(<?£3)), для КЧР в целом и Хабезского района соответственно

Для Карачаево-Черкесии в целом вероятности умереть в средних возрастах, полученные по комбинированной модели, принимают значения близкие к среднему арифметическому значений вероятностей умереть, полученных по модели Чанга и по модели Брасса (рис. 1) В младших и старших возрастах комбинированные оценки вероятностей умереть принимают значения близкие к оценкам, полученным по модели Чанга

Для Хабезского района комбинированные вероятности по своим значениям ближе к брассовским вероятностям, т к в силу малочисленности населения Хабезского района весовые коэффициенты брассовских вероятностей во всех возрастах превышают весовые коэффициенты прямого метода (рис 2) Однако, если в средних возрастах в комбинированных вероятностях умереть чанговские составляющие имеют

незначительный вклад, то в младших и средних возрастах наблюдается более значительное влияние чанговских составляющих

На рисунке 2 помимо логарифмированных вероятностей умереть для Хабезского района, показана кривая логарифмированных возрастных вероятностей умереть для Карачаево-Черкесской республики в целом - 1п(<з^/™,)), полученная комбинированным методом Из рисунка видно, что форма кривой комбинированных вероятностей умереть для Хабезского района близка к форме аналогичной кривой для республики в целом, т е возрастная структура смертности этого района повторяет основные закономерности возрастной структуры смертности республики Подобная картина объясняется тем, что при комбинированном подходе в силу малочисленности населения Хабезского района доминирует брассовская составляющая, а при оценивании брассовских вероятностей смерти в качестве «стандарта» использовалась таблица дожития КЧР, являющаяся наиболее подходящим стандартом для Хабезского района

Для всех показателей таблиц дожития городов и районов КЧР оценены их стандартные ошибки При сравнительном анализе стандартных ошибок возрастных вероятностей умереть получено, что оценки стандартных ошибок комбинированных вероятностей умереть а(дкх) во всех возрастах меньше, чем оценки стандартных ошибок, полученных по модели Брасса а(дьх) и методу Чанга п{дсхк) (рис 3)

Рисунок 3 - Стандартные ошибки оценок возрастных вероятностей умереть для населения г Карачаевска КЧР (оба пола, 1999 г)

Таким образом, состоятельность теоретических основ комбинированного метода подтверждается результатами применения к построению таблиц дожития для городов и районов Карачаево-Черкесской республики

На рисунках 4 и 5 показаны зависимости стандартных ошибок вероятностей умереть, взятых в процентах от самих вероятностей умереть, для Карачаево-Черкесской республики в целом и для Хабезского района КЧР, полученные с помощью метода Чанга - 100%, метода Брасса - (о-^4')/^4') 100%, комбинированного метода -

) 100%

Для Карачаево-Черкесской республики в целом стандартные ошибки вероятностей умереть, взятые в процентах от величины самой вероятности умереть, полученные по комбинированному методу во всех возрастах меньше чем аналогичные величины, полученные по методу Чанга и методу Брасса (рис 4) При этом, ошибки чанговских

вероятностей умереть в некоторых возрастах достигают порядка 52%, ошибки брассовских - 90%, ошибки комбинированных вероятностей - 40%

Рисунок 4 - Стандартные ошибки оценок вероятностей умереть (в процентах от самих вероятностей умереть) для населения Карачаево-Черкесской республики в целом (оба пола, 1999 г)

Рисунок 5 - Стандартные ошибки оценок вероятностей умереть (в процентах от самих вероятностей умереть) для населения Хабезского района КЧР (оба пола, 1999 г)

Для Хабезского района КЧР стандартные ошибки комбинированных вероятностей умереть во всех возрастах также не превышают ошибки чанговских и брассовских вероятностей (рис 5) Однако, в силу того, что население района значительно меньше населения республики, стандартные ошибки вероятностей умереть будут выше, чем аналогичные показатели, полученные для республики в целом (чанговские - 160%, брассовские - 140%, комбинированные 90%)

Разработанные алгоритмы были апробированы на примере населения Исландии по данным за 26 лет с 1980 по 2005

При построении таблиц дожития с помощью логит-системы Брасса для населения Исландии использование «общего» стандарта, а также региональных модельных таблиц Коула-Демени, приводит к достаточно плохой аппроксимации исходных данных (рис 6)

Рисунок 6 - Функции дожития для населения Исландии (женское население, 1983 год) чанговская функция дожития, /<41) - брассовская функция дожития (25 уровень, «северная» группа таблиц Коула-Демени), - брассовская

функция дожития («общий» стандарт) Плохую аппроксимацию исходных данных можно объяснить тем, чго характер вымирания, наблюдаемый в течение многих лет в Исландии, значительно отличается от характера вымирания популяций, которые рассматривались при создании «общего» стандарта ООН и региональных модельных таблиц Коула-Демени Таким образом, для более «эффективного» применения логит-системы Брасса к построению таблиц дожития Исландии необходимо использовать другой стандарт (не входящей в число рассматриваемых в данной работе «стандартных» таблиц)

Рисунок 7 - Функции дожития для населения Исландии (женское население, 1983 год) - чанговская функция дожития, ¡[Ь) — брассовская функция дожития (стандарт оценен для «суммарного» населения 1980-2005) Задача получения «стандартной» таблицы метода Брасса для населения Исландии в работе решена следующим образом Для каждого возраста аккумулируются исходные данные по возрастным численностям населения и по численностям умерших в каждом возрасте. В итоге получаем «суммарное» население, численность которого примерно в 26 раз больше численности населения Исландии для любого года из рассматриваемого периода, а таблица дожития будет такая же, как для населения Исландии на любой год (при допущении, что истинная таблица дожития не менялось в течении исследуемого периода) Далее, применив прямой подход к построению таблиц дожития, получаем достаточно гладкую функцию дожития, которая в дальнейшем используется в качестве стандарта при применении логит-системы У Брасса

В результате применения логит-системы Брасса для построения таблиц дожития Исландии получилось, что в большинстве случаев при применении полученного «суммарного» стандарта, оцениваемая функция дожития лучше аппроксимирует исходные данные, чем при применении других стандартов (рис 7)

При применении комбинированного метода построения таблиц дожития для населения Исландии было получено, что комбинированные оценки вероятностей умереть всегда находятся в интервале между чанговскими и брассовскими оценками вероятностей умереть, что согласуется с теорией комбинированного метода (рис 8)

Рисунок 8 - Вероятности умереть для населения Исландии (женское население, 1982 год) 1п(9<с/,)) - чанговские логарифмированные вероятности умереть, - брассовские логарифмированные вероятности умереть, Ц?*4') -комбинированные логарифмированные вероятности умереть Для всех показателей таблиц дожития Исландии оценены их стандартные ошибки При сравнительном анализе стандарт пых ошибок возрастных вероятностей умереть было получено, что оценки стандартных ошибок комбинированных вероятностей умереть во всех возрастах меньше, чем оценки стандартных ошибок, полученных по модели Брасса а(дьх) и методу Чанга <т(?*л) (рис 5)

Рисунок 9 - Оценки стандартных ошибок вероятностей умереть для населения Исландии (женское население, 1983 год) а(цсх ) - стандартные ошибки чанговских вероятностей умереть, о-(^) - стандартные ошибки брассовских вероятностей умереть, ст(^) - стандартные ошибки комбинированных вероятностей умереть

Рисунок 10 - Средние за период 1980-2005 гг значения стандартных ошибок оценок вероятностей умереть, взятые в процентах от самих вероятностей умереть, полученных по методу Чанга - (о-(<^'Л))/^сЛ)) 100%, по методу Брасса -(ст^)/^') 100%, и по комбинированному методу - 100%

Величины стандартных ошибок вероятностей умереть, взятые в процентах по отношению к самим вероятностям умереть, для населения Исландии принимают достаточно большие значения (рис 10), сравнимые со значениями аналогичных показателей для населения отдельных районов Карачаево-Черкесской республики, хотя население Исландии примерно в три раза больше населения какого-либо района КЧР Подобная ситуация объясняется тем, что уровень смертности в Исландии достаточно низкий, и в каждом возрасте наблюдается либо малое число смертных случаев, либо вообще не наблюдается (средние возраста) Поэтому, оценки вероятностей умереть проявляют большую изменчивость

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем полученные в работе результаты

1 Исследована применимость традиционных прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития в ситуациях малого числа случаев смерти

2 Рассмотрен алгоритм выбора наиболее походящего стандарта для логит-системы Брасса

3 Разработана теоретическая основа комбинированного метода построения таблиц дожития

4 Разработан алгоритм упрощенного оценивания весовых коэффициентов комбинированного метода

5 Предложена имитационная модель, описывающая процесс вымирания в таблице дожития Рассмотрено два подхода к задаче генерирования повозрастных чисел умерших, используемых для реализации имитационной модели

6 Разработан алгоритм уточнения оценок весовых коэффициентов комбинированного метода при использовании аппарата имитационного моделирования с применением итерационных процедур

7 Рассмотрен алгоритм оценивания стандартных ошибок для любых показателей таблиц дожития, позволяющий сравнивать эффективность различных методов построения таблиц дожития

8 Разработан и зарегистрирован пакет программ «ОПТД», позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития, а также оценивать стандартные отклонения для этих показателей

9 Разработанные модели, методы, алгоритмы и ПП апробированы на примере населения Исландии и населения городов и районов Карачаево-Черкесской республики

Опираясь на полученные результаты, в работе сделаны следующие выводы

1 Применение традиционных прямых методов построения таблиц дожития для населения, в котором наблюдается малое число случаев смерти, ограниченно Предпочтительным является метод Чанга, т к он дает возможность учитывать изменение смертности в пределах отдельных возрастных интервалов В ситуациях, когда наблюдается малое число смертных случаев, обычно используются множители Чанга, полученные для другого населения с похожим режимом вымирания

2 Для анализа смертности малочисленного населения перспективно использование двухпараметрической модели У Брасса, рекомендованной ООН для косвенного демографического анализа Привлекательность модели У Брасса заключается в том, что с одной стороны, она легко может быть параметризована, с другой стороны, может достаточно точно отображать индивидуальные особенности режима вымирания исследуемого населения

3 Диапазон применимости логит-системы Брасса увеличивается, если в качестве стандартной таблицы дожития использовать не только «общий» стандарт ООН, а осуществлять подбор наиболее подходящего стандарта из эмпирических таблиц дожития

4 Предложенный в работе комбинированный метод построения таблиц дожития сочетает достоинства прямых и косвенных методов с одной стороны используется вся имеющаяся исходная информация по смертности, а с другой стороны, недостающие исходные данные восполняются за счет привлечения модели смертности У Брасса

5 При уточнении весовых коэффициентов комбинированного метода, метод простых итерации сходится быстрее, если в качестве начального приближения использовать весовые коэффициенты, оцененные с помощью упрощенного подхода

6 Оценки стандартных ошибок комбинированных вероятностей умереть во всех возрастах меньше, чем оценки стандартных ошибок брассовских и чанговских вероятностей умереть, т е комбинированный метод является более устойчивым по сравнению с методами Брасса и Чанга

7 Оценки стандартных ошибок для показателей таблиц дожития обратно пропорциональны численности исследуемого населения

Список опубликованных работ по теме диссертации Статьи в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1 Эдиев, Д М О комбинированном методе оценивания показателей таблицы дожития для малого населения [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки — 2005 - №2 С 27-31 (0,4 п л, из них соискателя 0,2 п л )

2 Эдиев, Д М О моделировании процессов дожития в условиях неполноты исходных данных и малочисленности населения [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б

18

Тебуев II Известия ТРТУ Тематический выпуск Перспективные системы и задачи управления. - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006 - №3(58) - С 296-299 (0,24 п л, из них соискателя 0,12 пл.) Статья в тематическом сборнике:

3 Тебуев, Дж Б Применение имитационного моделирования для оценки эффективности методов построения таблиц дожития [Текст] / Дж Б Тебуев, Д М Эдиев // Демографические исследования Выпуск 13 Смертность населения Тенденции, методы изучения и прогнозы - М : МАКС Пресс, 2007 - С 175-191 (0,75 п.л, из них соискателя 0,45 пл)

Статья в электронном многопредметном научном журнале:

4 Эдиев, ДМ О выборе стандартной таблицы дожития в модели Брасса при оценивании показателей дожития малочисленного населения [Электронный ресурс] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Электронный журнал "Исследовано в России", 155.-2005 г.-С. 1630-1636

http //zhurnal ареrelamru/articles/2005/155 pdf (0,25 пл, из них соискателя 0,13 п л)

Статьи в сборниках по итогам проведения международных научно-практических конференций:

5. Тебуев, Дж Б Об одном подходе к построению таблиц дожития по неполным данным [Текст] / Дж. Б Тебуев, Д М Эдиев // Сборник статей XIII Международной научно-практической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» - Пенза, 2004 - С 91-93 (0,11 п л, из них соискателя 0,08 п л)

6 Эдиев, Д М Применение имитационного моделирования для получения интервальных оценок показателей таблиц дожития [Текст] /ДМ Эдиев, Д Б Тебуев // Материалы международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы современного анализа и информатики Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» - Нальчик-Эльбрус, 2004 - С 316-317 (0,08 п л, из них соискателя 0,04 п л)

Статьи в сборниках по итогам проведения региональных научно-практических конференций:

7 Эдиев, Д М. Приложение модели Брасса к оцениванию таблиц дожития по неполным данным [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности Сборник трудов IV научно-практической конференции ч И - Черкесск РИО КЧГТА, 2002 -С 37 (0,07 п л, из них соискателя 0,04 п л)

8. Эдиев, Д М Об одном подходе к построению таблиц дожития малого населения [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Труды IV международной конференции «Новые технологии в управлении бизнесе и праве» - Невинномысск ИУБиП, 2004 - С 272-275 (0,22 п л, из них соискателя 0,11 п л)

9. Эдиев, Д М Построение интервальных оценок показателей таблиц дожития [Текст] / ДМ. Эдиев, Дж Б Тебуев // Материалы VIII региональной конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» Том первый Естественные и точные науки Технические и прикладные науки - Ставрополь СевКавГТУ, 2004 - С 212 (0,06 п л , из них соискателя 0,03 п л )

10 Эдиев, Д М Использование имитационного моделирования для получения дисперсий оценок показателей таблиц дожития [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Материалы XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год - Ставрополь. СевКавГТУ. - 2005 - С 18 (0,05 пл., из них соискателя 0,03 п л)

11 Эдиев, ДМ О комбинированном методе построения таблиц дожития малочисленного населения [Текст] /ДМ Эдиев, Дж Б Тебуев // Материалы XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год Ставрополь СевКавГТУ, 2005 С 23 (0,06 п л, из них соискателя 0,03 п л)

12 Тебуев, Д Б О приложении модели Брасса к оцениванию таблиц дожития для малочисленного населения [Текст] /ДБ Тебуев // III школа молодых ученных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» Материалы Нальчик-Эльбрус 25-29 мая 2005 - Нальчик КБНЦ РАН, 2005 -С 6263 (0,06 п л )

Пакет программ, зарегистрированный в Отраслевом фонде алгоритмов и программ:

13 Тебуев ДБ, Эдиев ДМ Оценивание показателей таблиц дожития «ОПТД» [Электронный ресурс] / Тебуев Д Б, Эдиев ДМ// Отраслевой фонд алгоритмов и программ Свидетельство об отраслевой регистрации разработки №9323 от 22 10 2007

Подписано в печать 15 04 2008 г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать офсетная. Уел печл 1,16 Заказ 0225 Тираж 100 экз

Оригинал-макет подготовлен на мчожительно-полиграфическом

Участке КЧГТА

396000, г Черкесск, ул Ставропольская, 36

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТАБЛИЦ ДОЖИТИЯ.

1.1. Прямые методы построения таблиц дожития.

1.2. Косвенные методы построения таблиц дожития.

1.2.1. Модель Гомперца-Мейкема.

1.2.2. Модель Хелигмена-Полларда.

1.2.3. Модельные таблицы ООН.

1.2.4. Региональные таблицы Коула-Демени.

1.2.5. Модельные таблицы Ледерман.

1.2.6. Логит-система Брасса.

1.2.7. Модифицированная модель Брасса.

1.3. Основные преимущества и недостатки прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития. Комбинированный подход.

1.4. Эффективность методов оценивания показателей таблиц дожитияЗО

Одно из фундаментальных свойств народонаселения — его постоянное самовозобновление в процессе последовательной смены поколений. Понимание объективного характера закономерностей воспроизводства населения и его составляющих, а также знание их тенденций позволяют демографии разрабатывать рекомендации относительно общих направлений и конкретных мероприятий социальной и демографической политики [57, 60, 76, 85, 86, 89].

Вопросы здоровья и продолжительности жизни были и остаются в центре общественного внимания [1, 27, 29]. Помимо прочего, такое внимание вызвано тем, что с продолжительностью жизни населения связываются успехи в социальном развитии, достигнутые обществом. Это, а также важнейшая роль смертности в воспроизводстве населения, определяют постоянный и пристальный интерес демографии к теме моделирования смертности и продолжительности жизни [3, 4, 12, 14, 47, 48, 74, 88, 90].

В практике при анализе смертности большое значение имеет изучение возрастных и половых особенностей смертности. Это связано как с важностью изучения этих особенностей в контексте социальной политики, так и с необходимостью подготовки сценариев развития смертности по полу и возрасту для целей демографического прогнозирования.

Традиционные подходы к моделированию смертности заключаются в построении таблиц дожития, которые представляют собой модель процесса вымирания когорты родившихся [43, 46, 49, 57, 60, 61, 67, 80, 85, 90]. Таблицы дожития строятся на основе набора условных вероятностей дожития до возраста .v + l, тех, кто дожил до возраста х. Эти вероятности, как правило, оцениваются на основе эмпирических данных по численности населения, подверженному риску умереть, и числам умерших в каждом возрасте. При этом традиционно модели смертности игнорируют различия между теоретической вероятностью и эмпирической частотой смертных случаев. Такой подход хорошо работает только в случаях, когда рассматриваются большие совокупности людей, т.к. в силу закона больших чисел различия между вероятностью события и его эмпирической частотой появления во многом стираются. Небольшие отклонения эмпирических частот от теоретических успешно устраняются с помощью различных методов сглаживания и усреднения [77, 79].

Указанный подход, при котором частота события отождествляется с его вероятностью, не подходит для анализа смертности малочисленных населений (десятки тысяч человек), т.к. эмпирические частоты проявляют большой разброс вокруг теоретических значений. Между тем, анализ смертности в малочисленных населениях является весьма важной задачей [20, 52, 53, 64, 68]. Её актуальность определяется многими причинами, в т. ч.:

1. Неоднородностью реальных населений.

2. Необходимостью анализа и сопоставления смертности у малочисленных народов.

3. Необходимостью исследования географических и социальных особенностей смертности.

4. Необходимостью исследования малочисленных населений в исторической демографии.

5. Необходимостью анализа смертности малочисленных населений России, поскольку, согласно Федерального закона от 6 октября 2003 года №131-Ф3 «Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации» полномочия органов местного самоуправления расширенны, и в условиях кризисной демографической ситуации органами исполнительной власти многих субъектов Российской Федерации принимаются программы демографического развития, для реализации и мониторинга которых требуется информация о текущей и перспективной демографической ситуации не только на региональном, но и субрегиональном уровне.

Сходная ситуация наблюдается в случае анализа смертности в населениях с низкой смертностью, а также в старших возрастных группах. В первом случае использование прямых методов будет неэффективным в силу небольшого числа случаев смерти. Во втором случае мала численность населения, подверженного риску умереть.

В отмеченных случаях, когда традиционные прямые методы являются неэффективными, используются различные косвенные методы, основанные на моделях зависимости показателей смертности от возраста. В частности, одной из наиболее часто используемых моделей является реляционная модель У.Брасса. Она позволяет для исследуемого населения с помощью «стандартной» таблицы дожития и двух параметров, которые оцениваются из исходных данных, получать искомые показатели таблицы дожития [5, 31, 34].

Общим недостатком косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития является неспособность отразить особенности возрастной структуры смертности исследуемого населения, нехарактерные для используемых моделей зависимости смертности от возраста. В возрастах с большим числом людей использование косвенных методов может привести к большим ошибкам, чем ошибки связанные с конечным объёмом выборки.

Отмеченные проблемы моделирования смертности и оценивания показателей таблиц дожития для населения с малым числом случаев смерти во всех или некоторых возрастах, делают актуальной задачу разработки нового более гибкого подхода к построению таблиц дожития, который сочетал бы в себе преимущества как прямых, так и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития [92, 97, 101, 102].

Объектом исследования в диссертационной работе является процесс смертности.

Предметом исследования являются методы оценивания показателей таблиц дожития.

Целью диссертационной работы является исследование существующих методов, а также разработка нового метода, алгоритмов и пакета программ для оценивания показателей таблиц дожития в условиях малого числа случаев смерти, сочетающих достоинства прямых методов и метода У. Брасса.

Задачи исследования можно определить следующими пунктами:

1. Исследовать применимость традиционно используемых прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития при малом числе случаев смерти.

2. Разработать комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, сочетающий в себе достоинства прямых методов и метода У. Брасса.

3. Разработать алгоритм оценивания стандартных ошибок для оценок показателей таблиц дожития.

4. Разработать методику оценивания эффективности методов построения таблиц дожития.

5. Создать пакет программ, позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.

6. Провести сравнительный анализ традиционно используемых методов и предложенного комбинированного метода в ситуациях малого числа случаев смерти.

Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы понятия и методы математической демографии, теории вероятностей и математической статистики, теории оптимизации, аппарата имитационного моделирования и численные методы.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. На основе метода Чанга и метода Брасса разработан комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, позволяющий, с одной стороны, использовать в полной мере исходную информацию, с другой стороны, восполнить недостающие данные.

2. Обоснован выбор весовых коэффициентов комбинированного метода, в котором весовые коэффициенты определяются из условия минимума квадратичных ошибок комбинированных вероятностей умереть.

3. Предложена методика увеличения диапазона применимости логит-системы Брасса, за счет подбора наиболее походящего стандарта из эмпирических таблиц дожития.

4. Предложена методика оценивания стандартных ошибок показателей дожития с использованием аппарата имитационного моделирования, позволяющая осуществлять сравнительный анализ эффективности методов оценивания показателей таблиц дожития.

5. Разработан пакет программ, позволяющий с помощью традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода вычислять оценки показателей таблиц дожития и для получаемых показателей оценивать стандартные ошибки.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечиваются использованием моделей математической демографии, методов теории вероятностей и математической статистики, теории имитационного моделирования, численных методов, а также строгостью математических выкладок и непротиворечивыми результатами проведённых вычислительных экспериментов.

Предлагаемые методы могут быть полезны в областях традиционного использования таблиц дожития: анализ смертности, прогнозирование численности и структуры населения, трудовых ресурсов, моделирование и анализ системы пенсионного и социального обеспечения, актуарные расчеты и др.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, в котором оценки возрастных вероятностей умереть вычисляются как средневзвешенные прямых и брассовских оценок возрастных вероятностей умереть.

2. Расширение диапазона применимости логит-системы Брасса за счёт подбора «стандартной» таблицы дожития.

3. Методика оценивания стандартных ошибок показателей таблиц дожития, использующая имитационные процедуры и методы математической статистики.

4. Пакет программ, позволяющий с помощью различных традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода, оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

III Всероссийских Межвузовских научных чтениях «Математические и статистические методы в экономике и естествознании» (РГЭА «РИНХ», Ростов-на-Дону, 2001) научно-практической конференции аспирантов и студентов КЧГТА «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности» (КЧГТА, Черкесск, 2002);

IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2004);

Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2004);

VIII региональной конференции «Вузовская наука - СевероКавказскому региону» (Ставрополь, СевКавГТУ, 2004);

III школе молодых учённых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2005); и

XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год (Ставрополь, 2005) научно-методическом семинаре кафедры математики и кафедры прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.

По теме диссертации соискатель проходил стажировки в «Центре по изучению проблем народонаселения» экономического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2005 и 2006 гг.)

По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ. Среди них: две статьи в рекомендованных ВАК РФ периодических изданиях, одна в тематическом сборнике статей, одна в электронном журнале, допущенном ВАК РФ (письмо №01-56-05-103 от 26.05.1998) для публикации содержания диссертаций, две в сборниках по итогам проведения международных научно-практических конференций и семинаров, 6 в сборниках по итогам проведения научно-практических конференций. Общий объём публикаций составляет 2.35 п.л., из них автору принадлежит 1.32 п.л.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект №05-0680432 «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка, содержащего 105 наименований, и пяти приложений.

3.4. Основные выводы и заключения к главе

Приведем основные результаты полученные в главе 3.

1. Для рассмотренных в работе традиционных методов исследования смертности, а также для предложенных новых методов разработаны алгоритмы их вычислительной реализации.

2. На основе этих алгоритмов разработан и зарегистрирован пакет программ ОПТД - «Оценивание показателей таблиц дожития» (свидетельство об отраслевой регистрации разработки №9323 от 22.10.2007. Авторы: Тебуев Д.Б., Эдиев Д.М.), который позволяет различными способами получать оценки показателей однолетних таблиц дожития и для полученных показателей оценивать их стандартные ошибки.

3. Пакет программ «ОПТД» был апробирован на примере населения Исландии за период с 1980 по 2005 года и населения Карачаево-Черкесской республики. Были получены таблицы дожития при использовании различных методов построения. Для оценок показателей каждой таблицы дожития были оценены стандартные ошибки.

По результатам апробации пакета программ «ОПТД» были сделаны следующие выводы:

1. Для всех районов и городов КЧР в качестве стандартной таблицы использовать стандарт ООН нецелесообразно, т.к. сумма квадратов остатков Sj при его использовании больше, чем при использовании таблиц Коула-Демени. Для нескольких районов сумма квадратов остатков оказалась минимальной при использовании в качестве стандарта таблицы дожития КЧР, построенной комбинированным методом. Для населения Исландии в большинстве случаев при применении «суммарного» стандарта оцениваемая функция дожития лучше аппроксимирует исходные данные, чем при применении других стандартов

2. Для Карачаево-Черкесии в целом вероятности умереть, полученные по комбинированной модели, принимают значения, близкие к среднему арифметическому значений вероятностей умереть, полученных по модели Чанга и по модели Брасса. Подобная ситуация наблюдается и для населения Исландии. Для районов республики комбинированные вероятности по своим значениям ближе к брассовским вероятностям. Такие различия объясняются тем, что в силу малочисленности населения районов весовые коэффициенты брассовских вероятностей значительно превышают весовые коэффициенты прямого метода.

3. Для населения Исландии и для всех городов и районов Карачаево-Черкесии оценки стандартных ошибок комбинированных вероятностей умереть во всех возрастах меньше, чем оценки стандартных ошибок вероятностей, полученных по модели Брасса и методу Чанга.

Заключение

В работе исследованы традиционные подходы, а также предложены новые модели и методы, позволяющие более эффективно решать задачи, возникающие при моделировании смертности в условиях малочисленного населения, а также в случаях небольших повозрастных чисел смертей. В работе получены следующие результаты:

1. Исследована применимость традиционных прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития в ситуациях с малым числом случаев смерти.

2. Рассмотрена методика выбора наиболее походящего стандарта для логит-системы Брасса.

3. Разработана теоретическая основа комбинированного метода построения таблиц дожития.

4. Разработана методика упрощенного оценивания весовых коэффициентов комбинированного метода.

5. Предложена имитационная модель, описывающая процесс вымирания в таблице дожития. Рассмотрены два подхода к задаче генерирования повозрастных чисел умерших, используемых для реализации имитационной модели.

6. Разработан метод уточнения оценок весовых коэффициентов комбинированного метода при использовании аппарата имитационного моделирования с применением итерационных процедур.

7. Рассмотрена методика оценивания стандартных ошибок для любых показателей таблиц дожития, позволяющая сравнивать эффективность различных методов построения таблиц дожития.

8. Разработан пакет программ «ОПТД», позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития, а также оценивать стандартные отклонения для этих показателей.

9. Разработанные модели, методы и ПП апробированы на примере населения Исландии и населения городов и районов Карачаево-Черкесской республики.

Опираясь на полученные результаты, в работе сделаны следующие выводы:

1. Применение традиционных прямых методов построения таблиц дожития для населения в котором наблюдается малое число случаев смерти ограниченно. Предпочтительным является метод множителей Чанга, т.к. он даёт возможность учитывать изменение смертности в пределах отдельных возрастных интервалов. В ситуациях, когда наблюдается малое число смертных случаев, обычно используются множители Чанга, полученные для другого населения с похожим режимом вымирания.

2. Для анализа смертности малочисленного населения перспективно использование двухпараметрической модели Брасса, рекомендованной ООН для косвенного демографического анализа. Привлекательность модели У.Брасса заключается в том, что с одной стороны, она легко может быть параметризована, с другой стороны, может удовлетворительно отображать индивидуальные особенности режима вымирания исследуемого населения.

3. Диапазон применимости логит-системы Брасса увеличивается, если в качестве стандартной таблицы дожития использовать не только «общий» стандарт ООН, а осуществлять подбор наиболее подходящего стандарта из модельных таблиц дожития Коула-Демени.

4. Предложенный в работе комбинированный метод построения таблиц дожития сочетает достоинства прямых и косвенных методов: с одной стороны используется вся имеющаяся исходная информация по смертности, а с другой стороны, недостающие исходные данные восполняются за счет привлечения модели смертности Брасса.

5. При уточнении весовых коэффициентов комбинированного метода, метод последовательных итераций сходится быстрее, если в качестве начального приближения использовать весовые коэффициенты, оцененные с помощью упрощённого подхода.

6. При генерации чисел умерших малочисленных населений (в каждом возрасте число живущих менее 500), эффективным является алгоритм, подразумевающий использование генератор случайных чисел для каждого человека из рассматриваемой группы. Для больших чисел живущих эффективным является алгоритм, опирающийся на метод обратной функции.

7. Оценки стандартных ошибок для показателей таблиц дожития обратно пропорциональны численности исследуемого населения.

1. Ahmad, О.В. The decline in child mortality: a reappraisal Текст. / О.В. Ahmad, A.D. Lopez, and M. Inoue // Bulletin of the World Health Organization. 2000, - Vol. 78.-Pp. 1175-1191.

2. Anslay J. Coale. Regional Model Life Table Stable Populations Текст. / Anslay J. Coale and Paul Demeny; Princeton, New Jersey, Princeton University. 1966.

3. Arthur, W.B. The analysis of linkages in demographic theory Текст. / W.B. Arthur II Demography. 1984.-Vol. 21.-Pp. 109-128.

4. Arthur, W.B. The ergodic theorems of demography Текст. / W.B. Arthur // A simple proof Demography. 1982. - Vol. 19. - Pp. 439-445.

5. Brass, W. Methods for estimating fertility and mortality from limited and defective data Текст. / W. Brass; University of North Carolina. — 1975.

6. Chiang, C.L. Introductions to Stochastic Processes in Biostatistics Текст. / C.L. Chiang. -N.Y.: Wiley. 1968.

7. Coale, A. Revised regional model life tables Текст. / A. Coale, G. Guo II Population Index. 1989.-Vol. 55.-№4.-Pp. 613-643.

8. Coale, J.A. Regional Model Life Tables and Stable Population. 2nd ed. Текст. I J.A. Coale, P. Demeny, B. Vaughan, New York: Academic. - 1983.

9. Ewbank, D. A reducable four-parameter life table system Текст. / D. Ewbank, J. Gomes de Leon, M. Stoto II Population Studies. —1983. — Vol. 37. — Pp. 105-127.

10. Fiechtinger, G. Stochastische Decrementmodelle der Bevolkerungsstatistik Текст. / G. Fiechtinger II Biometrische Zeitschrift. 1972. - Helf 2. — Pp. 106-125.

11. Fisher, R. A. The Genetical Theory of Normal Selection. 2nd rev. ed. Текст. / R.A. Fisher. New York: Dover Publications. - 1958. - 291 p. (1st ed.: N.Y.: Dover Publications, 1930).

12. Gompertz, B. On the nature of the function expressive of the law of human mortality Текст. / В. Gompertz II Philosophical transactions of the Royal society of London. -1925.

13. Haldane, J.B.S. A mathematical theory of natural and artificial selection Текст. / J.B.S. Haldane II Proceedings of the Cambridge philosophical society. 1927. - XXIII. - Pp. 607-615.

14. Hammersley, J.M. Monte Carlo methods Текст. / J.M. Hammersley, D.C. Handscomb. New York: John Wiley & Sons. - 1964.

15. Horvitz, D.J. Microsimulation of vital events in a large population Текст. / D.J. Horvitz et. al. II Paper presented at mitting of population association of America. Cincinnati. - 1967.

16. Human Mortality Database Электронный ресурс. / University of California, Berkeley (USA), and Max Planck Institute for Demographic Research (Germany). Available at www.mortality.org or www.humanmortality.de (data downloaded on 29.01.2007).

17. Hyrenius, H. Demographic models. Second report (DM 2) Текст. / H. Hyrenius, I. Adolffson, I. Holmberg // Goteborg, Sweden, University of Goteborg, Demographic institute reports № 4. 1966.

18. Hyrenius, H.H. Demographic models. (DM 3) Текст. / H.H. Hyrenius, I. Olmberg, M. Carlsson // Goteborg, Sweden, University of Goteborg, Demographic institute reports № 5. — 1967.

19. Julian L. Simon. The Value of Avoided Births to underdeveloped Countries Текст. / Julian L. Simon II Population Studies. 1969. - Vol.XXIII, -No.I(March). - Pp.61-68.

20. Keyfitz, N. Applied mathematical demography. 2-ed. Текст. / N. Keyfitz. -New York, etc.: Springer. 1985. - 435p.

21. Keyfitz, N. Population: facts and methods of demography Текст. / N. Keyfitz, W. Flieger. San-Francisco. - 1971.

22. Keyfitz, N. World Population: An Analysis of Vital Data Текст. / N. Keyfitz, W. Flieger. Chicago: University of Chicago Press. - 1968.

23. Ledermann, S. Nouvelles table-type de mortalite: travaux et document Текст. / S. Ledermann; Paris: Institut National d'Etudes Demographiques. — 1969.

24. Leslie, P.H. On the use of matrices in certain population mathematics Текст. / P.H. Leslie // Biometrica. 1945. - XXXIII. - pp.183-212.

25. Lopez, A. Problems in stable population theory Текст. / A. Lopez. — Princeton, N.Y. 1961.

26. Lopez, A.D. World Mortality in 2000: Life Tables for 191 Countries Текст. / A.D. Lopez, O.B. Ahmad, M. Guillot, B.D. Ferguson, J.A. Salomon, C.J.L. Murray, К Hil; Geneva: World Health Organization. 2002.

27. Make ham, W.M. On the law of mortality Текст. / W.M. Makeham // Journal of the institute of actuaries. 1860. - Vol. XIII. - Pp. 325-358.

28. Menken, J. Current status of demographic models Текст. / J. Menken II Population Bulletin of the United Nations. 1977. - Vol. 9. - Pp. 22-34.

29. Miller, M.D. Elements of Graduation. Actuarial Monograph №1 Текст. / M.D. Miller; The Actuarial Society of America and the American Institute of Actuaries. 1946.

30. Murray, C.J.L. Modified logit life table system: principles, empirical validation, and application Текст. / C.J.L. Murray, B.D. Ferguson, A.D. Lopez, M. Guillot, J.A. Salomon and O. Ahmad I I Population Studies. 2003. -Vol. 57. - № 2. - Pp. 165-182.

31. Naylor, Т.Н. Computer simulation models for designing and evaluating alternative population planning policies Текст. / Т.Н. Naylor; Proceedings of the American cybernetic society. — 1969.

32. Naylor, Т.Н. Computer simulation techniques Текст. / Т.Н. Naylor, J.L. Balintfy, D.S. Burdick, Kong Chu. New York, John Wiley & Sons. - 1966.

33. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation Текст. / Population Studies. -N.Y.: UN 1983. - 305 p.

34. Orcutt, G.H. Microanalysis of socioeconomic systems Текст. / G.H. Orcutt et. al. I IA simulation studies. New York: Harper & Row. - 1961.

35. Pollard J.H. Mathematical models for the growth of human populations Текст. / Pollard J.H. Cambridge, Univ.press. - 1973. - 186p.

36. Preston, S.H. Causes of Death: Life Tables for National Population Текст. / S.H. Preston, N. Keyfitz, R. Schoen. New York: Academic Press. — 1972.

37. Reed, L.J. A short method for constructing an abridged life table Текст. / L.J. Reed, MA. Merrell II American Journal of Hygiene. -1939. Vol. 30. -Pp. 33-62.

38. Schoen, R. Generalizing the life table model to incorporate interactions between the sexes Текст. / R. Schoen // K.C. Land and A. Rogers (EDS.). Multidimensional Mathematical Demography. New York: Academic, 1982.

39. Schoen, R. Modeling Multigroup Population Текст. / R. Schoen. — N.Y. and London: Plenum Press. — 1988.

40. Shryock, H.S. The Methods and Materials of Demography Текст. / Shryock, H.S., Siegel, J.S., and Assosiates. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. — 1973. — Vol. 1 and 2.

41. The concept of a stable population. Application to the study of countries with incomplete demographic statistics Текст. / ST/SOA/Series A/39. United Nations. New York. - 1968.

42. United Nations. Age and sex patterns of mortality Текст. / Model life tables for underdeveloped countries. New York. — 1955.

43. Zaba, В. The four-parameter ligit life table system Текст. / В. Zaba II Population Studies. 1979. - Vol. 33. - Pp. 79-100.

44. Акимов, А. В. Прогнозирование численности населения на основе глобальной модели демографического перехода Текст. / А. В. Акимов, Д. И. Клеандров II Экономика и математические методы. — 1987. — Т.23. — Вып. З.-С. 422-433.

45. Андреев, Е. М. Демографические модели воспроизводства Текст. / Е. М. Андреев, Л. Е. Дарский II Учен. зап. по статистике / АН СССР, Центральный экономико-математический институт. — 1988. — Т.52. — С. 138-170.

46. Андреев, Е. М. Современные математические методы демографии Текст. / Е. М. Андреев II Вестник Московского университета. Сер. 6. Экономика. 1987. - № 5. - С. 96-97.

47. Баркалов, Н. Б. Моделирование демографического перехода Текст. / Н. Б. Баркалов — М.: Изд-во Московского университета. — 1984. 80 с.

48. Баркалов, Н. Б. О двумерной демографической таблице Текст. / | Н. Б. Баркалов II Вестник Московского университета. Сер.6. Экономика. — 1987.-№ З.-С. 63-72.

49. Баркалов, Н. Б. Решение экономико-демографических задач на языке бейсик Текст. / Баркалов И. Б., Тихомиров А. А. М.: Изд-во МГУ. -1985.- 121 с.

50. Бегун, А. 3. Метод изучения общих закономерностей возрастной динамики смертности по причинам Текст. / А. 3. Бегун, А. Д. Лебедев,

51. B. М. Школьников II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. -1984.-Вып. 8.-С. 59-65.

52. Белявский, В. Н. Прогнозирование численности и состава населения по отдельным городам и районам республики Текст. / В. Н. Белявский, А. П. Зубавичена II Моделирование экономических систем. — 1988. — Вып. 34. —1. C. 111-120.

53. Блохинов, Ю. Б. Исследование зависимости коэффициентов уравнения Гомперца-Мейкема от некоторых внешних факторов Текст. / Ю. Б. Блохинов II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. — 1985. — Вып.2. — С. 12-16.

54. Боярский, А. Я. Воспроизводящиеся совокупности в статистике Текст. / А. Я. Боярский II Учен. зап. по статистике. — М, 1988. —Т.52. — С. 5-17.

55. Валентей, Д. И. Изучение народонаселения: вопросы методологии Текст. I Д. И. Валентей, И. В. Зверева. МГУ. - 1987. - 156 с.

56. Вандескрик, К. Демографический анализ Текст. / К. Вандескрик; [пер. с фр. Н. Калмыковой]. М.: Академический проект; Гаудеамус. - 2005. — 272 с.

57. Васин, С. А. Региональные модельные таблицы дожития Текст. I С. А. Васин II Социологические исследования. 1988. - № 4. — С. 63-70.

58. Вахитов, Ш.М. К вопросу о прогнозировании детской смертности Текст. / Ш.М. Вахитов, JJ.A. Никольская II Здравоохранение Российской Федерации. 1987. - № 3. - С. 24-25.

59. Введение в демографию Текст. / под ред. В.А. Ионцева, А.А. Саградова М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС. - 2002. -636 с.

60. Венецкш, И. Г. Математические методы в демографии Текст. / И. Г. Венецкий. М.: Статистика. - 1971. - 296 с.

61. Гаврилов, JI.A. Биология продолжительности жизни: количественные аспекты Текст. / Л.А. Гаврилов, КС. Гаврилова. — М.: Наука. 1986. -168с.

62. Горбунов, В. К. Моделирование динамики неоднородного населения Текст. / В. К. Горбунов, Т. Д. Койчуманов; АН КиргССР, Институт математики. — Фрунзе: Илим. 1989. — 94 с.

63. Грубое, В. И. Алгоритм и программа для расчета на ЭВМ некоторых демографических показателей Текст. / В. И. Грубое, В. И. Демьяненко, Н. С. Ивченко, В. 77. Минаева И Исследование операций и АСУ. 1987. -Вып.29. - С. 66-70.

64. Демографические модели Текст. / сб. ст. под. ред. и с предисл. Е. М.Андреева и А. Г. Волкова. — М.: Статистика. 1977. - 182 с.

65. Дунаев, Б. Б. Статистическая модель изменения численности популяции Текст. / Б. Б. Дунаев II Кибернетика. 1986. - № 4. - С. 97102.

66. Ермаков, С. П. Модельные таблицы воспроизводства населения и их использование в демографическом анализе Текст. / С. 77. Ермаков, О. Д. Захарова. Москва. — 1998. — 61 с.

67. Ермаков, С. 77. Современные возможности интегральной оценки медико-демографических процессов Текст. / С. 77. Ермаков. — М.: Институт Социально-политических Исследований РАН. — 1996. — 24 с.

68. Жафяров, А. Ж. Об одной нелинейной модели движения стабильного населения Текст. / А. Ж. Жафяров П Оптимизация. 1985. - Вып.36. -С. 69-86.

69. Ибраева, JI.K. Комплекс программ для решения задачи прогнозирования структуры населения Текст. / JI.K. Ибраева II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. —1988. — Вып. 14. С. 4-11.

70. Калътон, В. А. Имитационное Моделирование. Классика CS. 3-е изд. Текст. / В. Калътон, А. Лоу. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV. 2004. - 847 с.

71. Кваша, А. Я. Проблемы демографического оптимума. Курс лекций Текст. /А. Я. Кваша. -М.: Изд-во МГУ. 1974. - 104 с.

72. Комаров, Ю. М. Проблемы создания модели слежения за смертностью детей до 1 года жизни Текст. I Ю. М. Комаров II Социально-гигиенические и организационные проблемы педиатрии. — JI. — 1989. -С. 74-78.

73. Курс демографии: Учебное пособие Текст. / А.Я. Боярский, Д.И. Валентей, А.Г. Вишневский и др.; под ред. проф. А.Я. Боярского.-3-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика. - 1985. - 391 с.

74. Левит, М. Комплексный подход к обработке статистических данных о населении Текст. / М. Левит II Вестник статистики. — 1984. — № 6. — С. 58-62.

75. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс Текст. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. М.:Дело. - 1997. - 248 с.

76. Математические методы исследования народонаселения Текст. / отв. ред. Староверов О. В. И Сборник статей / АН СССР. Центральный экономико-математический институт. — М. 1991. — 176 с.

77. Медков, В.М. Демография: Учебник Текст. / В.М. Медков. М.: ИНФРА-М, 2005. - 576 с.

78. Мей, В. Упрощенный метод вычисления средней ожидаемой продолжительности жизни Текст. / В. Мей, М. Андреас II Комплексные социально-гигиенические исследования. М. - 1988. - С. 187-191.

79. Методология демографического прогноза Текст. / отв. ред. А. Г. Волков; М.: Наука. - 1988. - 223 с.

80. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень) Текст. / Центринформационно статистических услуг государственного комитета КЧР по статистике. — Черкесск. — 1999.

81. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень) Текст. / Центр информационно статистических услуг государственного комитета КЧР по статистике. Черкесск. — 2000.

82. Народонаселение. Энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. Г. Г. Меликъян. Ред. коллегия: А. Я. Кваьиа, А. А. Ткаченко, Н. Н. Шаповалова, Д. И. Шелестов. М.: Большая Российская Энциклопедия. — 1994. — 640 с.

83. Народонаселение: прошлое, настоящее, будущее Текст. / Н. В. Зверева, В. М. Медков, Д. К., Шелестов и др. М.: Мысль. - 1987. - 253 с.

84. Новое в зарубежной демографии. Демографические модели Текст. // Сборник статей под ред. и с предисл. Е.М. Андреева и А.Г. Волкова. М.: «Статистика». - 1977. - 182 с.

85. Роубичек, В. Демографические прогнозы и потенциальная демография Текст. / В. Роубичек II Демографические прогнозы. М. — 1973.

86. Система знаний о народонаселении Текст. / под ред. Д. И. Валентея. — М.: Высшая школа. 1991. - 255с.

87. Численные методы Текст. / под ред. У. Г. Пирумова. М.: Дрофа. -2003.-224 с.

88. Эдиев, Д. М. О комбинированном методе оценивания показателей таблицы дожития для малого населения Текст. / Д. М. Эдиев, Дж. Б.

89. Тебуев II Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2005.-№2.-С. 27-31.

90. Эдиев, Д. М. Об одном подходе к построению таблиц дожития малого населения Текст. / Д. М. Эдиев, Дж. Б. Тебуев II Труды IV международной конференции «Новые технологии в управлении бизнесе и праве». Невинномысск: ИУБиП. - 2004. - С. 272-275.