автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационные алгоритмы анализа стохастической устойчивости колебательных систем

На правах рукописи

Губкин Андрей Анатольевич

ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1'1И ¡11111111! |||

Екатеринбург 2008

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им А М. Горького" на кафедре математической физики

Научный руководитель доктор физико-мааематических наук,

профессор Ряшко Лев Борисович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Ананьев Борис Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Коврижных Антон Юрьевич

Ведущая организация Челябинский государственный университет

Защита состоится " IС " года в на заседании диссер-

тационного совета Д 212.286.10 при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу 620083, Екатеринбург, К-83, пр Ленина, 51, комн. 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан ".

Ученый секретарь диссертационного совета /9/^

доктор физико-математических наук, профессор — В Г Пименов

Предыстория и актуальность темы

Диссертация посвящена разработке эффективных методов численного анализа устойчивости колебательных систем к случайным возмущениям Объектом исследования являются предельные циклы нелинейных стохастических систем на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода, а также тривиальные решения линейных стохастических уравнений с периодическими коэффициентами

Наличие внешних шумов, а также внутренних параметрических случайных возмущений может значительно изменить характер поведения динамической системы Первые исследования стохастических систем проводились уже в конце 19-го века В 1933-м году опубликована работа1 Пон-трягина JI С , Андронова А А , Витта А А , содержащая постановки основных задач стохастической динамики Для формального описания динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, широко используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений Основной моделью в современной теории стохастической устойчивости является система Ито

Начиная с работы2 Каца И Я и Красовского H H для исследования устойчивости стохастических систем стал применяться метод функций Ляпунова Большая часть исследований стохастических систем посвящена анализу поведения случайных траекторий в окрестности положения равновесия (Хасьминский Р 3 , Кушнер Г Дж , Левит M В , Невельсон M Б , Царьков Е Ф , Haussman U J , Kleinman D L , Wonham W M и др ) Исследование воздействия шума на предельный цикл начато Понтрягиным, Андроновым, Виттом и продолжено в большом количестве работ (Стратоно-вич Р Л , Ibrahim R А, Soong Т Т , Grigoriu M , Baras F , Mangel M , Day M и др ) Под действием шумов фазовые траектории системы покидают предельный цикл и формируют вокруг него пучок случайных траекторий — стохастический цикл Интерес представляет изучение неоднородности этого пучка различные участки предельных циклов обладают различной чувствительностью к шумам Неоднородность пучка случайных траекторий рассматривалась в работах Deissler R J, Farmer J D , Ali F , Menzmger M , Kurrer С и Schulten К

Для важного случая шумов малой интенсивности в работах Башкирце-

1 Понтрягии Л G, Андронов А А , Витт А А О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933, T3, Вып 3, с 16S

2Кац И Я, Красовский И H Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, I960, Т 24, Вып В, сс 809-823

вой И А и Ряшко J1 В с помощью аппроксимации квазипотенциала построена матричная функция стохастической чувствительности (ФСЧ), описывающая ковариацию отклонения стохастической траектории от точек детерминированной орбиты С помощью ФСЧ в работах Ряшко JI Б , Баш-кирцевой И А , Исаковой М Г, Стихина П В проанализирована чувствительность предельных циклов ряда известных нелинейных систем

В 1977-м году Мильштейном Г Н получен критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости предельных циклов автономных детерминированных систем, опирающийся на метод орбитальных функций Ляпунова В 1992-м году Мильштейн Г Н и Ряшко JI Б получили аналогичные результаты для экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов В 1996-м году Ряшко JI В с помощью систем первого приближения был получен3 спектральный критерий устойчивости цикла, сводящий задачу к нахождению спектрального радиуса некоторого положительного оператора — оператора стохастической устойчивости

В 1999-м году в работе4 Ряшко JI Б спектральный подход применен для решения задачи экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами

Предельные циклы в диссертации исследуются на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода Исследования на этих участках представляют ряд значительных вычислительных трудностей В связи с этим становится весьма актуальной задача построения численных методов, которые используют специфику строения участка перехода к хаосу для эффективного построения предельных циклов, а также позволяют ускорить существующие численные методы анализа чувствительности и повысить их точность Разработке численных методов построения циклов и анализа чувствительности посвящена первая глава диссертации

В работах Ряшко JI Б для спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости получен ряд оценок На практике оказалось, что эти оценки не всегда достаточно информативны для анализа устойчивости В связи с этим становится актуальной задача построения методов вычисления значения спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости Разработке таких методов для линейных уравнений с периодическими коэффициентами посвящена вторая глава, а для предельных циклов

3Ряшко Л Б Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений // Прикладная математика и механика, 1996, Т 60, Вып 4, сс 582-594

4 Ryashko L В Stability and stabilization of SDEs with periodic coefficients // Dynamic systems and applications, 1999, Vol 8, No 1, pp 21-33

нелинейных систем — третья глава диссертации

В качестве базовых моделей для демонстрации результатов первой и третьей глав выбраны две известные трехмерные системы нелинейных дифференциальных уравнений — система Ресслера

' XI = -(Ж2 + Ж3), < Х2 = х\ + 0 2X2, х3 = 0 2 + х3(х1 - ц)

и система Пиковского

' х\ = цх\ + х2 + 0 1£с3,

< XI = -жь

= 10Ш(100(1 + 4хз - 16ж].)) - 40(®з + хх + а:?)

Обе системы демонстрируют сценарий перехода к хаосу удвоением периода предельных циклов Результаты второй главы диссертации демонстрируются на важном для приложений уравнении Матье

у+[а + Ьд(*)]у = 0 (3)

Целью работы является разработка и теоретическое обоснование сходимости численных методов анализа стохастической устойчивости тривиальных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и предельных циклов Особый интерес вызывает исследование стохастической устойчивости предельных циклов на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода Методы исследования

Предельные циклы нелинейных систем строятся с помощью предложенной в данной работе методики Исследования устойчивости и чувствительности проводятся с помощью разработанных итерационных процессов и модификаций для существующих численных методов Научная новизна работы

1) Разработан метод отыскания интервалов структурной устойчивости на участке удвоения периода предельных циклов и перехода к хаосу Найдены интервалы структурной устойчивости в системах Пиковского и Ресслера Предложена методика построения предельных циклов высокой кратности

(1)

(2)

2) Построен численный алгоритм оценки стохастической чувствительности предельных циклов Исследована чувствительность циклов стохастической системы Пиковского на участке удвоения периода Показано, что в системах Пиковского и Ресслера чувствительность циклов при переходе к хаосу растет с одинаковой скоростью, несмотря на различную жесткость систем

3) Построен итерационный процесс, позволяющий для нелинейных стохастических систем находить критическую интенсивность шумов, разрушающих экспоненциальную устойчивость автоколебаний Доказана сходимость процесса Обнаружен эффект самоподобия графиков критической интенсивности шумов на интервалах структурной устойчивости многократных циклов Показано, что в системах Пиковского и Ресслера критическая интенсивность шумов при переходе к хаосу снижается с одинаковой скоростью

4) Продемонстрировано, что в зонах циклов большой кратности наиболее устойчивые детерминированные циклы являются одновременно и наиболее устойчивыми в среднем квадратичном, и наименее чувствительными к внешним стохастическим возмущениям, чего не наблюдается у циклов малой кратности

5) Построен итерационный процесс для анализа экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейного уравнения с периодическими коэффициентами Доказана его сходимость Найдены области устойчивости для стохастически возмущенного уравнения Матье

6) Разработан программный комплекс, в котором реализованы описанные выше численные алгоритмы

Теоретическая и практическая ценность работы

Ценность работы представляют новые численные методы анализа стохастической устойчивости линейных дифференциальных уравнений и предельных циклов, а также некоторые модификации, значительно ускоряющие работу уже существующих методов Для разработанных методов получены достаточные условия сходимости Проанализирована устойчивость нескольких известных динамических систем Обнаружен ряд универсальных закономерностей в динамике запаса устойчивости систем при переходе к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 34-й, 35-й, 36-й, 37-й и 38-й региональных молодежных конференциях (Екатеринбург, 2003-2007), на международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Киев, май 2005) и на международной научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения И Я Каца (Екатеринбург, 2006) Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы, содержащего 117 названий Работа занимает 118 машинописных страниц, содержит 22 рисунка и 8 таблиц Краткое содержание диссертации

Во введении описана предыстория и актуальность темы диссертации, приведено краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена разработке численных методов построения предельных циклов на участках бифуркаций удвоения периода и анализа чувствительности этих циклов к внешним случайным возмущениям

В разделе 1 1 проводится анализ детерминированной системы Пи-ковского (2), исследуется структура одного из участков перехода к хаосу удвоением периода и предлагается метод построения предельных циклов на этом участке

В параграфе 1.1 1 найдено бифуркационное значение параметра /х, при котором единственное положение равновесия системы Пиковского теряет устойчивость, и рождается устойчивый предельный цикл большого радиуса Обнаружен участок перехода к хаосу удвоением периода

В п. 1.1 2.1 исследуется геометрическая структура предельных циклов Приводится алгоритм определения кратности цикла в модели Пиковского Отмечается существенная неоднородность циклов в системе Пиковского, которая накладывает повышенные требования на разрабатываемые численные методы

В п. 1 1.2.2 решается задача построения предельного цикла в случае, когда заранее известна его кратность Привлечение к построению цикла информации о его кратности позволит избежать ряда грубых вычислительных ошибок, вероятных при использовании обычного метода сечений Методика априорного определения кратности предельного цикла на основе анализа точек бифуркаций удвоения периода приводится в п 1 1.2.3

Априорное определение кратности цикла выполняется в два этапа Первый этап — нахождение приближенных значений точек бифуркаций на рассматриваемом участке перехода к хаосу Этот подготовительный этап проводится один раз для участка перехода к хаосу Построение нескольких начальных точек бифуркаций основано на асимптотической линейности мультипликатора цикла вблизи точки бифуркации Здесь с помощью экстраполяции удается избежать трудоемкого построения предельных циклов в малой окрестности точки бифуркации Для нахождения последующих точек бифуркаций используется стабилизация разностных отношений точек бифуркаций Приводятся приближенные формулы для точек бифуркаций и точки перехода к хаосу

Точки бифуркаций задают на участке перехода к хаосу набор интервалов структурной устойчивости к ^ 1 На втором этапе для произвольного значения параметра ц = ц* с участка перехода к хаосу определяется номер к* интервала структурной устойчивости, содержащего это значение При этом кратность цикла равна 2к' Таким способом получаем возможность построения циклов на участке перехода к хаосу с помощью метода из п. 1.1.2 2 Формальное описание алгоритма построения предельного цикла приведено в п. 1.1.2.4 Эффективность метода демонстрируется на примере построения цикла системы Пиковского кратности 128

В параграфе 1.1.3 исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость предельных циклов в системе Пиковского Вводится понятие детерминированного суперцикла — самого устойчивого цикла среди циклов той же кратности

Раздел 1.2 посвящен анализу чувствительности предельных циклов к внешним случайным возмущениям на участке перехода к хаосу В параграфе 1.2.1 для стохастической системы Пиковского

' XI = /лх1 + хч + 0 1хз + е тг,

< х2 = -XI + е м>2, (4)

агз = 10Й1(100(1 + 4х3 - 16х!)) - 40(х3 + х1 + х$)+е и>3,

где ■Шгф, г = 1,2,3 — независимые винеровские процессы, а е — интенсивность возмущений, показывается, как под действием шумов формируется стохастический цикл

В параграфе 1.2.2 вводится специальная функция стохастической чувствительности (ФСЧ), разработанная Ряшко Л Б и Башкирцевой И А

Эта функция позволяет аналитически исследовать чувствительность различных частей предельного цикла к внешним возмущениям Рассматривается стохастическая система Ито

х = f(x) + scr(x)w, (5)

где w(t) — n-мерный винеровский процесс, а(х) — достаточно гладкая пхп-функция, определяющая зависимость помех от состояния системы Предполагается, что у этой системы при е = О имеется Т-периодическое решение х — £(<), фазовая траектория которого (цикл Г) является экспоненциально орбитально устойчивой ФСЧ строится с помощью введения ряда аппроксимаций для стационарной плотности распределения стохастического цикла, удовлетворяющей уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК)

Асимптотика стационарной плотности распределения р{х,е) при малых шумах в малой окрестности цикла Г записывается в форме нормального распределения с ковариационной матрицей е2Ф(у) Ковариационная матрица характеризует разброс точек пересечения случайных траекторий системы (5) с гиперплоскостью, ортогональной циклу Г в точке 7 При этом матрица <&(£(i)) = W(t) является единственным Т-периодическим решением уравнения Ляпунова Максимальное собственное значение Aj(i) матрицы W(t) является характеристикой стохастической чувствительности цикла в точке £(£) и выполняет роль скалярной функции чувствительности цикла Под чувствительностью цикла S(fi) понимается максимум функции чувствительности \i(t)

В параграфе 1 2.3 приводится метод вычисления матричной функции Wit) Скорость сходимости этого метода напрямую зависит от степени орбитальной детерминированной устойчивости предельного цикла, в связи с чем он неэффективен вблизи точек бифуркаций В областях многократных циклов эффективность метода снижается в силу больших периодов циклов Для преодоления плохой сходимости предлагается модификация метода, основанная на том наблюдении, что очень хорошее приближение для искомой функции можно получить, сделав всего несколько итераций В параграфе 1.2.4 приводятся графики функции чувствительности Ai(f) для 1- и 4-цикла

В параграфе 1.2.5 строится график функции чувствительности циклов S(fi) на участке 1\ циклов кратности 2 Отмечается, что на интервале структурной устойчивости функция S(fi) имеет локальный минимум, а на краях интервала неограниченно возрастает По аналогии с детерминиро-

ванным суперциклом стохастический цикл в точке минимума функции чувствительности называется стохастическим суперциклом Оказалось, что точки стохастического и детерминированного суперциклов малой кратности далеки друг от друга

В параграфе 1.2 6 проводятся вычисления, показывающие, что чувствительность суперциклов Б, = ттЗ(ц) системы Пиковского при переходе к хаосу возрастает, как геометрическая прогрессия со знаменателем примерно равным X = 7 (коэффициент роста чувствительности циклов при переходе к хаосу) Обнаружено, что коэффициент роста чувствительности в стохастической системе Ресслера также примерно равен 7, несмотря на то, что система Пиковского гораздо жестче системы Ресслера

Итак, применение разработанных численных методов построения циклов и быстрой оценки их чувствительности позволило проанализировать многократные циклы и выявить универсальную закономерность в скорости роста их чувствительности Появилась возможность получать оценки для чувствительности циклов большой кратности, непосредственное вычисление которой является сложной задачей

Вторая глава диссертации посвящена разработке численных методов анализа экспоненциальной стохастической устойчивости в среднем квадратичном тривиальных решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами

В разделе 2.1 описывается ряд методов анализа стохастической устойчивости линейных систем вида

р

«&(<) = А{Ь)х(И + ^ о^хАм^), (6)

г=1

где х — гс-мерный вектор, юг, г = 1, ,р — независимые винеровские процессы, А и аТ — непрерывные матричные функции размера п х п Даются определения устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения системы В дальнейшем изложении под устойчивостью системы понимается экспоненциальная устойчивость в среднем квадратичном ее тривиального решения

В параграфах 2 1 1 и 2 1 2 описаны наиболее известные методы исследования стохастической устойчивости систем' метод функций Ляпунова и метод моментов

В параграфе 2 13 описывается спектральный подход к исследованию устойчивости систем (6) с периодическими коэффициентами А и ат Этот

подход позволяет не только выяснить, устойчива ли система, но и оценить порядок ее устойчивости

Вводятся следующие множества матричных (п ^ 2) и скалярных функций Еп — пространство непрерывных Т-периодических симметричных п х n-матричных функций V(t), для которых при любом t справедливо равенство

v{t)f№) = о,

Кп = {У е Е" | V(t) неотрицательно определенная Vi 6 [О, Т]} — конус неотрицательно определенных матричных функций из £", К" — множество положительно определенных матричных функций из Кп, £ — пространство непрерывных Т-периодических функций, К — конус неотрицательных непрерывных Т-периодических функций, К\ — множество положительных непрерывных Т-периодических функций

Для системы (6) вводится положительный оператор V — оператор стохастической устойчивости, действующий в £" Формулируется спектральный критерий стохастической устойчивости системы (6), заключающийся в требовании выполнения неравенства p(V) < 1, где p(V) — спектральный радиус оператора V

В параграфе 2.1.4 линейное уравнение с периодическими коэффициентами

+(A!(i) + <n(i) wOj/"-1' + + (A„(i) + an(t) wn)y = 0, (7)

обладающее экспоненциально устойчивым тривиальным решением, рассматривается как частный случай системы (6) Показывается, что в случае уравнения спектральный радиус оператора стохастической устойчивости V равен спектральному радиусу оператора В, действующего в пространстве Е Оператор В строится по коэффициентам уравнения и имеет следующий вид

вш) = - tr(^-lbQ}( )G()), <pez (8)

Для спектрального радиуса оператора В имеют место оценки сверху и снизу Справедлива следующая теорема

Теорема 6 Пусть р — спектральный радиус оператора В, J Up, s] = ^^

<PW

Тогда для любой функции <р £ выполняется неравенство

mm J[(p, s] ^ р < max J\ip, s] [0,71 [0,71

В параграфе 2 2 1 получена формула для спектрального радиуса оператора В в случае, когда линейное уравнение (7) имеет постоянные коэффициенты

Р = = (9)

В параграфе 2 2.2 приводится итерационный процесс

ВЫ

- —

(10)

с некоторым начальным приближением уо € К \ {0}, позволяющий численно находить значения спектрального радиуса р оператора стохастической устойчивости В В параграфе 2.2.4 сформулирована теорема, дающая достаточные условия сходимости процесса (10) к собственной функции <р оператора В с собственным значением, равным спектральному радиусу р = р(В) При этом справедливо следующее равенство р = ЭЙ Основную сложность при использовании итерационного процесса (10) представляет вычисление значений обратного оператора Л"1 Для решения этой задачи используется метод установления, приведенный в параграфе 2 2.3

В параграфе 2.2 4 приводится формулировка теоремы сходимости итерационного процесса (10)

Теорема 7 (теорема сходимости). Пусть Т-периодические функции А,, <тг (1 ^ г ^ п) непрерывны, а функция а„ не равна тождественно нулю ни на каком интервале Тогда при любой начальной функции ipo € К \ {0} итерационный процесс (10) сходится к собственной функции оператора В с собственным значением, равным спектральному радиусу р = р(В)

В параграфе 2.2.5 приведены сведения из функционального анализа (в основном, из теории положительных операторов, изложенной в работах Красносельского М А5), необходимые для доказательства теоремы 7 Даны определения конусов, положительного оператора, позитивного собственного значения, «-ограниченного оператора, сильно положительного оператора Приведены теоремы о полной непрерывности операторов и о сходимости итерационных процессов с положительными операторами Теорема сходимости доказывается в параграфе 2.2.6 Доказательство состоит из трех лемм и основной части

5Красносельский М А Положительные решения операторных уравнений М Физ-матгиз, 1962 и Красносельский М А , Лифшиц Е А , Соболев А В Позитивные линейные системы метод положительных операторов М Наука, 1985

В параграфе 2.2.7 описывается простой способ повышения точности вычисления спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости при построении областей устойчивости, заключающийся в использовании в качестве начальной функции для итерационного процесса собственной функции, вычисленной в предыдущей исследованной точке области

В разделе 2.3 итерационный процесс (10) используется для построения областей устойчивости и неустойчивости для стохастического уравнения Матье

У + 1У + + г сов(£) + аи>)у = 0, (11)

коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы сходимости

Уравнение (11) имеет четыре параметра 7, ш, е,а В параграфе 2.3.1 построены области устойчивости в плоскости параметров 7 и а при ш = 2, е = 0,1,1 4 В случае е = 0 имеем уравнение с постоянными коэффициентами, и спектральный радиус р оператора В вычисляется по формуле

(9)

При построении областей устойчивости в плоскости параметров 7 и а существенную роль играет возможность свести эту двумерную задачу к построению графика скалярной функции — критической интенсивности шумов при заданном значении 7

Показывается, что добавление и последующее увеличение периодической составляющей сЛсов(<) в коэффициенте уравнения влечет сужение области устойчивости На Рис 1 показаны области устойчивости 5£ для трех рассматриваемых значений параметра £

В параграфе 2.3.2 построены области неустойчивости в плоскости параметров ш и е при 7 = 0 3, а = 0 22,0 44 На Рис 2 показано расширение области неустойчивости при увеличении интенсивности шумов а

Третья глава диссертации посвящена разработке численных методов анализа экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов нелинейных систем Основным инструментом анализа устойчивости является спектральный подход

В разделе 3 1 представлены основные теоретические результаты, приводящие к спектральному критерию устойчивости предельного цикла

В параграфе 3 11 дается определение экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном предельного цикла

У

Рис 1 Области стохастической устойчивости уравнения (11) в плоскости его параметров 03<7< 2, 0 < а 1

Рассматривается автономная система

¿х = /(ж)<й, (12)

где х — п-мерный вектор, х = £(£) — экспоненциально орбитально устойчивое Т-периодическое решение системы (12), отличное от положения равновесия, и Г — фазовая траектория этого решения (предельный цикл) Стохастическая система имеет следующий вид

тп

¿х = /(х)скЬ + ^ ат(х)й'шг{1) (13)

г= 1

Здесь шг(£]} г = 1, ,тп — независимые винеровские процессы, аг(х) — достаточно гладкие вектор-функции размерности /г Для того чтобы ж — £(£) оставалось решением системы (13), предполагается, что выполняется условие

<тнг = 0 (14)

В параграфе 3.1 2 для системы (13) приводится система первого приближения

тп

<£г = Р(к)я& + ^ (15)

Г=1

е

о1

04

06 08 1 12 14 16 18

(О

Рис 2 Область неустойчивости А уравнения (11) (а = 0) и области В и С стохастической неустойчивости в среднем квадратичном (а = 0 22 и а = 0 44) в области 0 3 ш < 2, 0 < £ < 2 при 7 = 03 Ас В С С

Здесь г — га-мерный вектор, %(£), г = 1, , т -■ п-мерные винеровские процессы с параметрами

Е = 0, Е=

Пусть у(£) — /(£(£)) Рассмотрим матрицу Ру — Е—уут/(уту) Эта матрица задает оператор проектирования на подпространство, ортогональное вектору у Введем Т-периодическую матрицу

Даются определения Р-положительной определенности матричных функций и Р-устойчивости системы первого приближения Утверждается, что предельный цикл Г системы (13) экспоненциально орбитально устойчив в среднем квадратичном тогда и только тогда, когда Р-устойчива система первого приближения (15)

В параграфе 3 1.3 для системы (15) вводится действующий в пространстве Еп положительный оператор стохастической устойчивости V

т=Рут

(16)

Утверждается, что критерием Р-устойчивости системы первого приближения является выполнение неравенства р(Р) < 1, откуда следует, что это неравенство является необходимым и достаточным условием для устойчивости цикла (спектральный критерий устойчивости)

В случае системы с одним шумом (го = 1) спектральный радиус оператора V совпадает со спектральным радиусом следующего положительного оператора В, действующего в £

ВИ() = -МЛ-М()С()) (17)

В параграфе 3 1.4 приведены оценки спектрального радиуса р(В)

Теорема 17. Пусть р = р(В) — спектральный радиус оператора В, D(t) — Т-периодическое решение уравнения

Д*[£>] = -D' + FD + DFT = -PGP Тогда имеет место следующее неравенство

mintr(Q-D) < р < maxtr(Q£>)

(О,Г] V' Г [0.Т1 v '

Методу вычисления спектрального радиуса оператора В посвящен раздел 3.2 В параграфе 3.2.1 для вычисления спектрального радиуса предлагается использовать итерационный процесс (10) из параграфа 2 2 2

- вы im

- PNli (18)

с некоторым начальным приближением щ € К \ {0}

В параграфе 3.2.2 для ускорения вычисления значений оператора стохастической устойчивости В предлагается использовать модификацию метода установления, применявшуюся в параграфе 2.2.3 для расчета стохастической функции чувствительности

В параграфе 3.2.3 формулируется и доказывается теорема, дающая достаточное условие сходимости итерационного процесса (18) Пусть Кр — {V е j V(t) — Р-положительно определенная}

Теорема 18 (теорема сходимости). Пусть Q(t) 6 Кр и для матрицы G(t) € Кп выполняется условие

P{t)G(t)?o,te[o,T),

где Р(£) — проектор, определяемый формулой (16) Тогда при любой начальной функции ¡ро 6 К \ {0} итерационный процесс (18) сходится к собственной функции оператора В, удовлетворяющей условиям

$еКи ||£|| = 1,

с собственным значением, равным спектральному радиусу р = р(В)

ВЩ = рф

В доказательстве этой теоремы использованы методы, применявшиеся при доказательстве теоремы сходимости 7

В разделе 3 3 на базе детерминированной системы Ресслера (1) строится модельный пример трехмерной стохастической системы вида (13) с одним шумом (т = 1), коэффициент диффузии а которого удовлетворяет условию (14) Вычисляются коэффициенты системы первого приближения С помощью теоремы 18 показывается сходимость итерационного процесса

Анализу устойчивости стохастической системы Ресслера посвящен раздел 3 4 Вычисляется спектральный радиус р{р) оператора стохастической устойчивости В из (17) на интервале 2-циклов а также приводятся оценки спектрального радиуса из теоремы 17 Графики спектрального радиуса (сплошная линия) и оценок (пунктирные линии) приведены на Рис 3 В данном случае график спектрального радиуса позволяет точно выделить область устойчивости системы, в то время как оценки не дают возможности воспользоваться ни достаточным, ни необходимым условиями

В разделе 3 5 для стохастической системы Ресслера вычисляется и детально анализируется критическая интенсивность шумов На Рис 4 представлен график критической интенсивности на участке 2-, 4- 8- и 16-циклов Вычисления показали, что максимальное значение е* критической интенсивности на интервале структурной устойчивости 1} быстро стремится к нулю, как геометрическая прогрессия со знаменателем примерно равным У — 2 5 (коэффициент потери устойчивости при переходе к хаосу) Такое же значение У обнаружено у стохастической системы Пиковского, что может указывать на универсальную закономерность

На участках многократных циклов обнаружен ряд закономерностей, позволяющих получать приближенные значения критической интенсивности шумов на всем участке перехода к хаосу Непосредственное вычисление критической интенсивности на участках многократных циклах представляет собой очень сложную вычислительную задачу

Рис 3 Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости (сплошная линия) и его оценки (пунктирные линии) Логарифмический масштаб Система Ресслера, участок 2-циклов

Еще одним важным наблюдением является то, что на интервалах многократных циклов точки локального максимума критической интенсивности шумов асимптотически приближаются к точкам локальных минимумов функции стохастической чувствительности и к точкам детерминированных суперциклов Этот факт говорит о том, что детерминированный суперцикл большой кратности одновременно является и наиболее устойчивым в среднем квадратичном и наименее чувствительным к внешним возмущениям, чего не наблюдалось на участках циклов малой кратности Таким образом, для нахождения стохастического суперцикла большой кратности достаточно построить детерминированный суперцикл той же кратности, что существенно проще

В заключении приведены основные результаты диссертации, вынесенные на защиту В приложении приводится описание программного комплекса, реализующего численные методы, разработанные в диссертации В разделе 4.1 описаны вычислительные возможности комплекса, а в разделе 4 2 обсуждаются детали реализации некоторых его модулей

3 32 34 3.6 38 4 42

Ц, К и П2 ч3 и6

Рис 4 График функции £*(д) в системе Ресслера на участке 2-, 4-, 8- и 16-циклов

Публикации по теме диссертации

Всего по теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 1 статья в ведущем рецензируемом научном журнале, определенном ВАК, 1 статья в зарубежном журнале, 1 статья в электронном журнале, 7 публикаций в сборниках и трудах конференций

Статья, опубликованная в ведущем рецензируемом научном журнале, определенном ВАК

[1] Губкин А А , Ряшко Л Б Анализ среднеквадратичной устойчивости предельных циклов нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика, №10, Москва, 2007, С 79-91 (0 7 п л )

Другие публикации

[2] Губкин А А , Ряшко Л В Стохастические циклы в модели Пиковско-го при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2003, С 106-110

[3] Губкин А А , Ряшко Л Б Построение предельных циклов в зоне бифуркаций удвоения периода с помощью ¿-мультипликаторов // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 35-й региональной моло-

дежной конференции, Екатеринбург, 2004, С 124-127

[4] Губкин А А , Ряшко JIБ Устойчивость стохастического уравнения Матье // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 36-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2005, С 126-130

[5] Губкин А А , Ряшко JIБ Итерационный метод анализа стохастической устойчивости линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 2005, №2, http //www neva ru/journal/

[6] Губкин A A Стохастическая устойчивость периодических систем // Dynamical system modelling and stability investigation, Kyiv, май, 2005, P 41

[7] Gubkin A A , Ryashko L В Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotmsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scicntific computations, Dynamic publishers, 2005, Vol 13, P 131-146

[8] Губкин А А Анализ стохастической устойчивости в зоне удвоения периода при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 37-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2006, С 216-220

[9] Губкин А А Численный анализ среднеквадратичной устойчивости предельных циклов нелинейных стохастических систем // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем Сборник научных трудов Материалы международной научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения И.Я Каца — Екатеринбург УрГУПС, №54(137), 2006, С 9

[10] Губкин А А Методы анализа стохастической чувствительности многократных циклов // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 38-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2007, С 145-149

Подписано в печать 05 03 2008 г Формат 60x84/16 Бумага типографская № 1 Уел печ л 1,25 Тираж 100 Заказ № 101

Размножено с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживания" 620219, г Екатеринбург, ул Первомайская, 91.

Введение

1 Предельные циклы на участке удвоения периода. Анализ стохастической чувствительности при переходе к хаосу

1.1. Анализ детерминированной системы Пиковского. Структура участка перехода к хаосу.

1.1.1. Положение равновесия.

1.1.2. Участок перехода к хаосу. Построение предельных циклов

1.1.3. Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского.

1.2. Стохастическая чувствительность предельных циклов системы Пиковского.

1.2.1. Стохастические циклы.

1.2.2. Функция стохастической чувствительности.

1.2.3. Метод установления для вычисления ФСЧ и его модификация

1.2.4. Чувствительность циклов системы Пиковского

1.2.5. Стохастические суперциклы.

1.2.6. Экспоненциальный рост стохастической чувствительности суперциклов при переходе к хаосу.

2 Стохастическая устойчивость линейного уравнения с периодическими коэффициентами

2.1. Необходимые и достаточные условия стохастической устойчивости в среднем квадратичном для линейных систем

2.1.1. Метод функций Ляпунова.

2.1.2. Метод моментов

2.1.3. Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами

2.1.4. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами

2.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для линейного уравнения.

2.2.1. Случай уравнения с постоянными коэффициентами

2.2.2. Уравнение с периодическими коэффициентами. Итерационный процесс.

2.2.3. Вычисление значений оператора стохастической устойчивости

2.2.4. Формулировка теоремы сходимости итерационного процесса

2.2.5. Необходимые сведения из функционального анализа

2.2.6. Доказательство теоремы сходимости.

2.2.7. Повышение точности вычисления спектрального радиуса

2.3. Анализ устойчивости стохастически возмущенного уравнения Матье.

2.3.1. Области устойчивости в плоскости параметров 7 и о;

2.3.2. Области неустойчивости в плоскости параметров еиш

3 Орбитальная стохастическая устойчивость предельных циклов

3.1. Экспоненциальная орбитальная устойчивость в среднем квадратичном предельных циклов.

3.1.1. Определение устойчивости. Орбитальные функции Ляпунова

3.1.2. Системы первого приближения. Р-устойчивость

3.1.3. Спектральный критерий устойчивости.

3.1.4. Оценки спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости.

3.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для предельных циклов.

3.2.1. Итерационный процесс.

3.2.2. Ускорение вычисления значений оператора стохастической устойчивости.

3.2.3. Теорема сходимости.

3.3. Стохастическая система Ресслера. Система первого приближения

3.4. Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости и его оценки для системы Ресслера.

3.5. Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера . 93 Заключение

Предыстория и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке эффективных методов численного анализа устойчивости колебательных систем к случайным возмущениям. Объектом исследования являются предельные циклы нелинейных стохастических систем на участке перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода, а также линейные стохастические уравнения с периодическими коэффициентами.

Наличие внешних шумов, а также внутренних параметрических случайных возмущений может значительно изменить характер поведения динамической системы. Первые исследования стохастических систем проводились уже в конце 19-го века: в 1899-м году в работе [70] Аррениусом С.А. получены результаты в задаче выхода траектории системы под воздействием шума из некоторой области устойчивости. В 1933-м году была опубликована работа Понтрягина J1.C., Андронова A.A., Витта A.A. [50], содержащая постановки основных задач стохастической динамики, которые привлекают внимание исследователей и в настоящее время.

Для формального описания динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, широко используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений. Основной моделью в современной теории стохастической устойчивости является система Ито [2, 3, 12, 28, 29, 35, 58]. Для моделирования случайных возмущений используется винеров-ский процесс [11,116], являющимся математической моделью броуновского движения, открытого еще в 1827-м году.

Начиная с работы Каца И.Я и Красовского H.H. [30] для исследования устойчивости стохастических систем стал применяться метод функций Ляпунова. Дальнейшее развитие эта методика получила в работах Хасьмин-ского Р.З., Гихмана И.И, Кушнера X. [16, 35, 58, 59].

Большая часть исследований стохастических систем посвящена анализу поведения случайных траекторий в окрестности положения равновесия (Хасьминский Р.З., Кушнер Г.Дж., Левит М.В., Невельсон М.Б., Царьков

Е.Ф., Haussman U.J., Klcinman D.L., Wonham W.M. и др.)- Изучение воздействия случайных возмущений на поведение систем в окрестностях предельных циклов представляет собой существенно более сложную задачу. Предельный цикл является математической моделью автоколебаний, наблюдаемых в различных системах: электронных генераторах, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследование воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным JI.C., Андроновым A.A., Виттом A.A. [50] и продолжено в большом количестве работ, посвященных флуктуациям в механических и радиофизических системах: Страто-нович Р.Л. [56], Ibrahim R.A. [91], Soong Т.Т., Grigoriu М. [112], Baras F. [71], Mangel M. [98], Day M. [76, 79] и других.

Аналитическое исследование стохастических циклов систем размерности три и выше представляет собой большую сложность. В связи с этим были разработаны методы для численного анализа стохастических систем. Основные результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах [34, 44, 94, 95] и других. Под действием шумов фазовые траектории системы покидают предельный цикл и формируют вокруг него пучок случайных траекторий — стохастический цикл. Большой интерес представляет изучение геометрических характеристик этого пучка. Его доверительные области в плоскостях, ортогональных предельному циклу, представляют собой эллипсы разных размеров и ориентаций по отношению к циклу Размер эллипса является характеристикой чувствительности соответствующей точки цикла к случайным возмущениям. Таким образом, различные участки предельных циклов обладают различной чувствительностью. Неоднородность пучка случайных траекторий рассматривалась в работах Deissler R.J, Farmer J.D. [80], Ali F., Menzinger M. [66, 67]. В работе [93] Kurrer С. и Schulten К. проводили анализ пучка, приближенно решая уравнение в частных производных Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [11, 15, 37], дающее полное описание плотности вероятности пучка. Аналитическое решение уравнения ФПК представляется возможным только в одномерном случае. Для многомерных систем (размерности 2, 3 и более) уравнение либо решается численно (что, в свою очередь, также является сложной задачей в связи с малыми коэффициентами при старших производных), либо для его решений строятся аппроксимации [27, 56, 112].

Для важного случая шумов малой интенсивности в работе Веитце-ля А.Д. и Фрейдлина М.И. [12] для аппроксимации решения уравнения ФПК используется функция Ляпунова специального вида — квазипотенциал, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности распределения пучка. Квазипотенциал был разработан в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивого аттрактора. Для анализа стохастической чувствительности предельных циклов квазипотенциал использовался в следующих работах: Naeh Т. [101], Dykman M.I. [81], Graham R., Tel Т. [85, 86, 87, 88], Smelyan-skiy V.N. [Ill], Maier R.S. [97], Милынтейн Г.Н., Ряшко Л.Б. [45], Day M.V. [77, 78, 79].

Метод квазипотенциала для анализа предельных циклов получил дальнейшее развитие в работах Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. [6, 7, 72, 75]. С помощью аппроксимации квазипотенциала авторы построили матричную функцию стохастической чувствительности (ФСЧ), определенную в точках невозмущенного цикла и описывающую ковариацию отклонения стохастической траектории от точек детерминированной орбиты. Для вычисления ФСЧ разработаны численные методы, и с их помощью в работах Ряшко Л.Б., Башкирцевой И.А., Исаковой М.Г., Стихина П.В. [7, 8, 73, 74] проанализирована чувствительность предельных циклов ряда известных моделей нелинейной динамики: двумерных систем Ван-дер-Поля и Брюс-селятора, а также трехмерных систем Лоренца, Чуа и Ресслера.

Применение метода стохастических функций Ляпунова позволило перенести основные конструкции теории детерминированной устойчивости на стохастические уравнения. В 1977-м году в работе [43] Милынтейном Г.Н. был получен критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости периодических движений автономных детерминированных систем, опирающийся на метод орбитальных функций Ляпунова. В 1992-м году Мильштейн Г.Н. и Ряшко Л.Б. получили аналогичные результаты для экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном периодических движений стохастических систем.

В 1996-м году Ряшко Л.Б. в работе [53] для исследования орбитальной устойчивости периодических решений нелинейных стохастических систем использовал системы первого приближения — линейные стохастические системы с периодическими коэффициентами. Для этих систем введено понятие Р-устойчивости, а для Р-устойчивости получено необходимое и достаточное условие, позволяющее свести вопрос об устойчивости периодического решения исходной стохастической системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Таким образом был получен спектральный критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов.

Важную самостоятельную задачу представляет собой исследование экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем. Для этих систем анализ устойчивости был сведен Хась-минским Р.З. [58] к задаче разрешимости некоторого детерминированного матричного дифференциального уравнения. В работе Царькова Е.Ф. [62] представлен аналогичный результат для случая системы с периодическими коэффициентами.

Широко известным общим методом анализа устойчивости в среднем квадратичном линейных систем является метод моментов [58]. Этот метод позволяет свести задачу исследования стохастической устойчивости к задаче асимптотической устойчивости детерминированной системы дифференциальных уравнений достаточно большой размерности. На практике эта задача может представлять значительные вычислительные трудности. Поэтому для некоторых частных случаев систем с постоянными коэффициентами рядом авторов разработаны более простые конструктивные критерии устойчивости: Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. [47], Левит М.В., Якубович В.А.-[36], Willems J.C. [117].

В 1999-м году в работе Ряшко Л.Б. [109] спектральный подход был применен для решения задачи экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами. Получен спектральный критерий, сводящий задачу исследования устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейной системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора.

Предельные циклы нелинейных систем в диссертации исследуются на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода. Исследования на этих участках связаны со значительными трудностями. Во-первых, вблизи точек бифуркаций существенно замедляется сходимость численных методов. Во-вторых, построение многократных циклов обычным методом сечений [51] неэффективно в силу их большой геометрической сложности. Витки циклов находятся близко друг к другу, из-за чего может оказаться сложной задачей отличить, например, 8-цикл от 16-цикла или 16-цикл от 32-цикла.

В связи с указанными проблемами становится актуальной задача построения численных методов, которые используют специфику строения участка перехода к хаосу для эффективного нахождения предельных циклов, а также позволяют ускорить существующие численные методы анализа чувствительности и повысить их точность. Численные методы с такими характеристиками дадут возможность не только анализировать единичные многократные циклы, но и исследовать целые интервалы структурной устойчивости, что позволит выявить ряд интересных закономерностей в поведении стохастических систем при переходе к хаосу. Разработке таких численных методов построения циклов и анализа чувствительности посвящена первая глава диссертации.

Спектральный подход, разработанный Ряшко Л.Б., сводит анализ устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем к нахождению значения спектрального радиуса некоторого положительного оператора — оператора стохастической устойчивости. В работах [53, 109] доказан ряд теорем, дающих для спектрального радиуса оценки сверху и снизу, из которых следуют простые как необходимые, так и достаточные условия устойчивости. На практике оказалось, что полученные оценки часто определяют достаточно широкий интервал, в котором лежит спектральный радиус оператора стохастической устойчивости, что не позволяет воспользоваться ни необходимыми, ии достаточными условиями сходимости. Более того, информативность оценок быстро снижается при приближении к точкам бифуркаций удвоения периода. В связи с этим становится очевидной актуальность построения методов для вычисления с необходимой точностью значения спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости, которые позволяли бы сразу отвечать на вопрос об устойчивости системы. Разработке таких численных методов для линейных уравнений с периодическими коэффициентами посвящена вторая глава, а для предельных циклов нелинейных систем — третья глава диссертации.

В качестве базовых моделей для демонстрации результатов первой и третьей глав выбраны две известные трехмерные системы нелинейных дифференциальных уравнений — система Ресслера и система Пиковского.

Система Ресслера

- м), где ¡л — параметр, была введена в работе [105] как модельный пример системы с одним нелинейным членом, которая генерирует периодические и хаотические фазовые портреты, сравнимые по сложности с портретами изi) вестной системы Лоренца, имеющей два нелинейных члена.

Система Пиковского где /х — параметр, была предложена в [102] как простая система, которая полностью воспроизводит полученные экспериментально периодические и хаотические режимы в реакции Белоусова-Жаботинского.

Химическая реакция Белоусова-Жаботинского является ключевым примером в современной теории динамического хаоса. Эта реакция проявляет богатое разнообразие поведения. При различных условиях она демонстрирует как периодические, так и хаотические режимы. Исследования реакции БЖ проводились в большом количестве работ, например: [64, 61, 68, 69, 82,

Предельные циклы соответствуют установившимся колебаниям фиксированной частоты и амплитуды (автоколебаниям). Они возникают в системах порядка 2 и выше. Системы трех уравнений проявляют гораздо большее разнообразие фазовых портретов по сравнению с системами второго порядка. В этих системах начинают наблюдаться различные сценарии перехода к хаосу [10, 37, 64]. Рассматриваемые в данной диссертационной работе трехмерные системы Ресслера и Пиковского демонстрируют сценарий перехода к хаосу путем бифуркаций удвоения периода.

Результаты второй главы диссертации демонстрируются на примере стохастически возмущенного уравнения Матье[2],[65, Глава VIII, §3]:

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводят многие задачи физики и техники (динамическая устойчивость упругих систем, параметрический резонанс в мощных линиях передач и ускорителях элементарных частиц, ряд задач небесной механики и др.). Основные результаты, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, приведены в работах: [33, 38, 39, 40, 41, 42, 63, 65, 103, 104].

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена разработке численных методов построения

83, 84, 108, ИЗ, 114, 115]. у + [а + bq(t)] у = 0.

3) предельных циклов на участке бифуркаций удвоения периода, а также последующего анализа чувствительности этих циклов к внешним случайным возмущениям.

В разделе 1.1 проводится анализ детерминированной системы Пи-ковского (2), исследуется структура одного из участков перехода к хаосу удвоением периода и предлагается метод построения предельных циклов на этом участке.

В параграфе 1.1.1 найдено бифуркационное значение параметра дг, при котором единственное положение равновесия системы Пиковского теряет устойчивость, и рождается устойчивый предельный цикл большого радиуса. Обнаружен участок перехода к хаосу удвоением периода.

В п. 1.1.2.1 исследуется- геометрическая структура предельных циклов. Приводится алгоритм определения кратности цикла. Отмечается существенная неоднородность циклов в системе Пиковского, которая накладывает повышенные требования на разрабатываемые численные методы.

В п. 1.1.2.2 решается задача построения предельного цикла в случае, когда заранее известна его кратность. Привлечение к построению цикла информации о его кратности позволит избежать ряда грубых вычислительных ошибок, вероятных при использовании обычного метода сечений. Методика априорного определения кратности предельного цикла на основе анализа точек бифуркаций удвоеиия периода приводится в п. 1.1.2.3. Априорное определение кратности цикла выполняется в два этапа. Первый этап — нахождение приближенных значений точек бифуркаций на рассматриваемом участке перехода к хаосу. Этот подготовительный этап проводится один раз для всего участка. Построение нескольких начальных точек бифуркаций основано на асимптотической линейности мультипликатора цикла вблизи точки бифуркации. Здесь с помощью экстраполяции удается избежать трудоемкого построения предельных циклов в малой окрестности точки бифуркации. Для нахождения последующих точек бифуркаций используется тот факт, что значения разностных отношений точек бифуркаций начинают стабилизироваться. Приводятся приближенные формулы для точек бифуркаций и точки перехода к хаосу.

Точки бифуркаций задают на участке перехода к хаосу набор интервалов структурной устойчивости 1к, к ^ 1- На втором этапе для произвольного значения параметра ц — ¡1* с участка перехода к хаосу определяется номер к* интервала структурной устойчивости, содержащего это значение. При этом кратность цикла равна 2к*. Таким способом получаем возможность построения циклов на участке перехода к хаосу с помощью метода из п. 1.1.2.2, Формальное описание алгоритма построения предельного цикла приведено в п. 1.1.2.4. Эффективность метода демонстрируется на примере построения цикла системы Пиковского кратности 128.

В параграфе 1.1.3 исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость предельных циклов в системе Пиковского. Вводится понятие детерминированного суперцикла — самого устойчивого цикла среди циклов той же кратности.

Заключение

В диссертации представлены результаты исследований устойчивости и чувствительности линейных и нелинейных систем стохастических дифференциальных уравнений. Ниже приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

1) Разработан метод отыскания интервалов структурной устойчивости на участке удвоения периода предельных циклов и перехода к хаосу. Найдены интервалы структурной устойчивости в системах Пиковско-го и Ресслера. Предложена методика построения предельных циклов высокой кратности.

2) Построен численный алгоритм оценки стохастической чувствительности предельных циклов. Исследована чувствительность циклов стохастической системы Пиковского на участке удвоения периода. Показано, что в системах Пиковского и Ресслера чувствительность циклов при переходе к хаосу растет с одинаковой скоростью, несмотря на различную жесткость систем.

3) Построен итерационный процесс, позволяющий для нелинейных стохастических систем находить критическую интенсивность шумов, разрушающих экспоненциальную устойчивость автоколебаний. Доказана сходимость процесса. Обнаружен эффект самоподобия графиков критической интенсивности шумов на интервалах структурной устойчивости многократных циклов. Показано, что в системах Пиковского и Ресслера критическая интенсивность шумов при переходе к хаосу снижается с одинаковой скоростью.

4) Продемонстрировано, что в зонах циклов большой кратности наиболее устойчивые детерминированные циклы являются одновременно и наиболее устойчивыми в среднем квадратичном, и наименее чувствительными к внешним стохастическим возмущениям, чего не наблюдается у циклов малой кратности.

5) Построен итерационный процесс для анализа экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Доказана его сходимость. Найдены области устойчивости для стохастически возмущенного уравнения Матье.

6) Разработан программный комплекс, в котором реализованы описанные выше численные алгоритмы. г

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

2. Афанасьев А.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М: Высшая школа, 1989.

3. Бахвалов E.G. Численные методы, T.l. М.: Наука, 1973, С. 450.

4. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998, Т.6. №5, С. 19-27.

5. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т.Н. №6, С. 32.

6. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.

7. Васин В.В., Ряшко Л.Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2003.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

9. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

10. Вентцелъ АД., Фрейдлин М.И. Малые случайные возмущений динамических систем. Успехи мат. наук. 1970, Т.25, №1.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

12. Гихмаи И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

13. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений. Сб. Предельные теоремы и статистические выводы, изд. "ФАН" Узб. ССР, Ташкент, 1966, С. 14-45.

14. Губкин A.A. Анализ стохастической устойчивости в зоне удвоения периода при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 37-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2006, С. 216.

15. Губкин A.A. Стохастическая устойчивость периодических систем // Dynamical system modelling and stability investigation, Kyiv, 2005, p.41

16. Губкин A.A. Методы анализа стохастической чувствительности многократных циклов // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 38-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2007, С. 145.

17. Губкин A.A., Ряшко JI.Б. Построение предельных циклов в зоне бифуркаций удвоения периода с помощью ¿-мультипликаторов // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 35-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2004, С. 124.

18. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Стохастические циклы в модели Пиковского при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2003, С. 106.

19. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Устойчивость стохастического уравнения Матье // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 36-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2005, С. 126.

20. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Анализ среднеквадратичной устойчивости предельных циклов нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика, №10, Москва, 2007, С. 79-91.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

22. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980.

23. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях. // Математика I. 1957, №1, С. 78.

24. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов. // Математика 3. 1959, №5, С. 131.

25. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, 1960, Т.24, Вып.5, С. 809-823.

26. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физ-матгиз, 1962.

27. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.

28. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.34 35 [36374142 4344 45

29. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб: Наука, 1999.

30. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.

31. Левит М.В., Якубович В. А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа белый шум // Прикладная математика и механика, 1972, Т.36. Вып.1. С. 142-148.

32. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

33. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.

34. Ляпунов А. М. Собрание сочинений, Т.2. 1956.

35. Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1949.

36. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

37. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения, изд. 2. М.: Наука, 1966.

38. Милъштейи Г.Н. Устойчивость и стабилизация периодических движений автономных систем // Прикладная математика и механика, 1977, Т.41. Вып.4. С. 744-749.

39. Милъштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1988.

40. Милъштейн Г.Н., Ряшко Л. Б. Первое приближение квазипотеициа-ла в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями // Прикладная математика и механика, 1995, Т.59. Вып.1. С. 51.

41. Милъштейн Т.Н., Ряшко Л.Б. Устойчивость и стабилизация орбит автономных систем при случайных возмущениях // Прикладная математика и механика, 1992. Т.56. Вып.6. С. 951-958.

42. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Об устойчивости линейной системы при случайных возмущениях ее параметров // Прикладная математика и механика, 1966, Т.ЗО, Вып.2.

43. Невельсон М.Б. Об устойчивости в целом траектории марковских процессов диффузионного типа // Дифференциальные уравнения, 1966, Т.2, Вып.8, С. 1052-1060.

44. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

45. Понтрлгин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933, Т.З, Вып.З, С. 165.

46. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1974.

47. Рытое С.М. Введение в стохастическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

48. Ряшко Л. Б. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений // Прикладная математика и механика, 1996, Т.60, Вып.4, С. 582-594.

49. Ряшко Л. Б. Стабилизация линейных стохастических систем с возмущениями, зависящими от состояния и управления // Прикладная математика и механика, 1979. Т.43. Вып.4. С. 612-620.

50. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. ИЛ, 1952.

51. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

52. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, С. 207.

53. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

54. Хасьминский Р.З. Об устойчивости траекторий марковских процессов // Прикладная математика и механика, 1962, Т.26, Вып.6, С. 1025— 1032.

55. Хибник А.И. Периодические решения системы п дифференциальных уравнений // Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, Пу-щино, 1979.

56. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.

57. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989.

58. Четаев Н.Г. Устойчивость движения, изд. 2, М.: Гостехиздат, 1955.

59. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

60. Якубович В.А., Старжипский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

61. Ali F., Menzinger М. Stirring effects and phase-dependent inhomogeneity in chemical oscillations: the Belousov-Zhabotinskiy reaction in a CSTR. // J. Phys. Chem. A. 1997, Vol.101, P. 2304.

62. Ali F., Menzinger M. On the local stability of limit cycles. // Chaos. 1999, Vol.9, P. 348.

63. Aliev R.R., Rovinsky A.B. Spiral waves in the homogeneous and inhomo-geneous Belousov-Zhabotinsky reaction // The Journal of Physical Chemistry, Vol.96, No.2, 1992, P. 792.

64. Aliev R.R., Yamaguchi TKuramoto Y. On the phase dynamics in the BZ reaction // The Journal of Physical Chemistry A, Vol.101, No.42, 1997, P. 7691.

65. Arrhenius S.A. Ueber die Reaktiongeschwindigkeit bei der inversion von Rohrzucker durch Saeuern. // Z. Phys. Chemie. 1899, Vol.4, P. 226.

66. Baras F. Stochastic Analysis of Limit Cycle Behavior. Phys Rev Lett. 1996, Vol.12, N7, P. 1398.

67. Bashkirtseva I.A., Isakova M.G., Ryashko L.B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits // Neural, Parallel and Scientific Computations, 1999, Vol.7, No.3. P. 299-310.

68. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic systems and applications, 2002, Vol.11, No.2, P. 293-309.

69. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator. // Physica A. 2000, Vol.278, P. 126.

70. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and computers in simulation Dynamic systems and applications, 2004, Vol.66, P. 55-67.

71. Day M. Cycling and skewing of exit measures for planar systems // Stoch. Stoch. Rep. 1994, Vol.48, P. 227.

72. Day M. Exit cycling for van der Pol oscillator and quasipotential calculations // J. Dynam. Differential Equations. 1996, Vol.8, P. 573-601.

73. Day M. Mathematical approaches to the problem of noise-induced exit. Stochastic Analysis, Control, Optimization and Applications. Boston: Birkhauser, 1999.

74. Day M. Regularity of boundary quasi-potentials for planar systems // Applied Mathematics and Optimization, 1994, Vol.30, P. 79.

75. Deissler R.J., Farmer J.D. Deterministic noise amplifiers. // Physica D. 1992, Vol.55, P. 155.

76. Dykman M.I. et al. Activated escape of periodically driven systems. Chaos. 2001, N11, P. 587.

77. Epstein I.R., Kustin K., de Kepper P., Orban M. Oscillating chemical reactions. Sci. Am. 1983, 248, No.3.

78. Field R.J., Noyes R.M. Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction // The Journal of Chemical Physics, 1974, Vol.60, No.5.

79. Field R.J., Koros E., Noyes R.M. J. Am. Chem. Soc. 1972, No.94, P. 864.

80. Graham R., Tel T. Existence of a potential for dissipative dynamical systems // Phys. Rev. Letters. 1984, Vol.52. N9, P. 12.

81. Graham R., Tel T. Nonequilibrium potential for coexisting attractors // Physical Review, 1986, Vol:33, P. 1322-1337.

82. Graham R., Tel T. Steady state ensemble for the complex Ginzburg-Landau equation with weak noise // Physical Review A., 1990, Vol.42, P. 4661-4677.

83. Graham R., Tel T. Weak-noise limit of Fokker-Planck models and nondif-ferentiable potentials for dissipative dynamical systems // Phys. Rev. A. 1985, Vol.31, P. 1109.

84. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scientific computations, Dynamic publishers, 2005, Vol.13, P. 131-146.

85. In-Ding Hsu Existense of periodic solutions for the Belousov-Zaikin-Zhabotinskiy Reaction be a theorem of Hopf // Journal of differential equations, 1976, Vol.20, P. 399-403.

86. Ibrahim R. A. Parametric Random Vibration. John Wiley and Sons. New York. 1985.

87. Imkeller P., Milstein G.N. Moment Lyapunov exponent for conservative systems with small periodic and random perturbations // Stochastic Dynamics, 2002, Vol.2, P. 25-48.

88. Kurrer C., Schulten K. Effect of noise and perturbations on limit cycle systems. // Physica D. 1991, Vol.50, P. 311.

89. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equaions. Berlin: Springer-Verlag. 1992.

90. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer-Verlag. 1994.

91. Ludwig D. Persistence of dynamical systems under random perturbations. 11 SIAM Rev. 1975, Vol.17, P. 605.

92. Maier R.S., Stein D.L. Oscillatory behavior of the rate of escape through an unstable limit cycle. // Phys. Rev. Lett. 1996, N24, P. 4860.

93. Mangel M. Small fluctuations in systems with multiple limit cycles. // SIAM. J. Appl.MATH. 1980, Vol.38, N1, P. 120.

94. Matkowsky B.J., Schuss Z. On the problem of exit. // Bull AMS. 1976, Vol.82, P. 321.

95. Matkowsky B.J., Schuss Z. The exit problem for randomly perturbed dynamical systems. // SIAM J.Appl. Math. 1977, Vol.33, P. 365.

96. Naeh T., Klosek M.M., Matkowsky B.J., Schuss Z. A direct approach to the exit problem // SIAM Journal Appl. Math, 1990, Vol.50, No.2, P. 595.

97. Pikovsky A.S. A dynamical model for periodic and chaotic oscillations in the Belousov-Zhabotinsky reaction // Physics letters, 1981, Vol.85A, No.l, P. 13-16.

98. Poincare H. Sur le problème des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math., 1890, Vol. 13, P. 5-270.

99. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. I—III. Paris, 1892-1899.

100. Ressler O.E. An equation for continuous chaos // Physics letters, 1976,1. Vol.75A, No.5.

101. Ressler O.E. Chaos in Zhabotinskii reaction // Nature, 1978, Vol.271, P. 89-90.

102. Haiwu Rong, Guang Meng, et al Invariant measures and Lyapunov exponents for stochastic Mathieu system // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol.30, P. 313-321.

103. Roux J.C., Rossi A., Baehelart S., Vidal C. Experimental observations of complex behaviour during a chemical reaction // Physica 2D, 1981, P. 395.

104. Ryashko L.B. Stability and stabilization of SDEs with periodic coefficients // Dynamic systems and applications, 1999, Vol.8, No.l, P. 21-33.

105. Ryashko L.B., Schurz H. Mean square stability analysis of some stochastic systems // Dynamic systems and applications, 1997, Vol.6, No.2, P. 165190.

106. Smelyanskiy V.N., Dykman M.I., Maier R.S. Topological features of large fluctuations to the interior of a limit cycles // Phisical Review E., 1997. Vol.55. No.3, P. 2369.

107. Soong T.T., Grigoriu M. Random vibration of mechanical and structural systems. RTR Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

108. Tomita K., Tsuda I. Chaos in Belousov-Zhabotinsky reaction in a flow system // Physics letters, 1979, Vol.71 A, No.5,6, P. 489-492.

109. Turner J.S., Roux J.C., McCormick W.D., Swinney H.L. Alternating periodic and chaotic regimes is a chemical reaction — experiment and theory // Physics letters, 1981, Vol.85A, No.l, P. 9-12.

110. Tyson J.J. The Belousov-Zhabotinskii reaction. Lecture notes in biomath-ematics. Springer, Berlin, 1976.

111. Wiener N. Differential space // J. Math.Phys. 1923, Vol.2, P. 131-174.

112. Willems J. C. Mean square stability criteria for linear white noise stochastic systems // Prob. Contr. Inf. Theory 1972, Vol.2, P. 199-217.