автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование вопросов сходимости градиентных методов для решения обратных задач

Введение

1 Одномерная обратная задача для уравнения акустики

1.1 Сведение к задаче нахождения акустической жесткости

1.2 Сведение обратной задачи к операторному уравнению

1.3 Исследование оператора Л.

1.4 Исследование обратной задачи.

1.5 Метод итераций Ландвебера

1.6 Метод наискорейшего спуска.

2 Начально-краевые задачи для двумерных уравнений эллиптического и параболического типов

2.1 Сведение начально-краевой задачи для уравнения Лапласа к обратной задаче и операторному уравнению

2.2 Исследование оператора Л для уравнения Лапласа.

2.3 Условная корректность задачи Коши для уравнения Лапласа.

2.4 Метод наискорейшего спуска для уравнения Лапласа

2.5 Сведение начально-краевой задачи для двумерного уравнения параболического типа к обратной задаче и операторному уравнению.

2.6 Исследование оператора Л для параболического уравнения

2.7 Метод наискорейшего спуска для параболического уравнения

Численное приложение для начально-краевой задачи для уравнения Лапласа

В работе рассмотрены следующие задачи: слабонекорректная одномерная обратная задача акустики(ОЗА) и сильно некорректные начально-краевые задачи для двумерного уравнения Лапласа(НКЗУЛ) и двумерного уравнения параболического типа(НКЗПУ) . Задачи записываются в операторном виде где Л соответствующий оператор, действующий из L2 в L2. Исследуются следующие градиентные методы решения задачи (0.0.1)

• метод наискорейшего спуска (МНС) - (ОЗА, НКЗУЛ, НКЗПУ)

• метод итераций Ландвебера (МИЛ) - (ОЗА)

В первой главе рассматривается обратная задача для уравнения акустики.

Постановка обратной задачи для уравнения акустики. Пусть р(z) >0 плотность акустической среды, c(z) > 0 скорость распространения акустических волн в среде, v(z,t) акустическое давление. Предположим, что до момента времени t = 0 среда находилась в покое

Л(Ф) = G,

0.0.1) v\t< о = 0.

0.0.2)

И пусть в момент времени t = 0 на границе полупространства z > 0 включен источник мгновенного типа

Vz\z=o = a5{t). (0.0.3)

Здесь 5(t) дельта-функция Дирака.

Известно, что функция v(z, t) удовлетворяет уравнению c~2{z)vu = vzz - z > 0, t > 0. (0.0.4)

Прямая задача заключается в определении акустического давления v(z, t), по известным функциям p(z) плотности среды и c(z) скорости распространения акустических волн.

Обратная задача состоит в определении коэффициентов уравнения (0.0.4) (или каких-либо их комбинаций) по измеренному на границе z = 0 акустическому давлению

М) = /(*)• (0.0.5)

Эта задача относится к задачам определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении. По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на три основные группы (С.И.Кабанихин, 1988[14]): кинематические, спектральные и динамические. В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на некоторой ее части; источники возмущений могут пробегать всю поверхность (или некоторую ее часть) либо располагаться внутри исследуемой среды.

В спектральных обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются собственные значения соответствующих дифференциальных операторов и квадраты норм соответствующих собственных функций (при этом возможны и другие варианты задания дополнительной информации).

В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило времениподобной, поверхности.

Методы исследования динамических обратных задач для гиперболических уравнений можно разделить на прямые и итерационные (S.I.Kabanikhin, A.D.Satybaev, M.A.Shishlenin, 2004 [49]).

К прямым можно отнести следующие методы: Гельфанда-Левитана, граничного управления, обращения конечно-разностных схем и линеаризации, которые позволяют определять решение в некоторых конкретных точках среды. В 1962 г. А.С.Алексеевым [1] впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн. Обнаружилась их связь с одномерными обратными спектральными задачами, рассмотренными И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном (1951), а также М.Г.Крейном (1951, 1954 и работы других лет). В работе А.С.Алексеева(1967 [2]) идея обращения разностных схем впервые сформулирована в явном виде как один из возможных численных методов решения обратных задач для дифференциальных уравнений. Было предложено заменить все соотношения в исходной дифференциальной обратной задаче на их конечно-разностные аналоги. Получившуюся при этом систему (вообще говоря, нелинейных) алгебраических уравнений очень часто оказалось возможным решать достаточно быстро и эффективно, используя вольтерровость основных уравнений акустики, электродинамики, теории упругости. Такие исследования были проведены в работах А.С.Алексеева, В.И.Добринского(1975 [4]), где установлена связь метода Кюнетца с дискретным аналогом метода Гельфанда-Левитана, С.И.Кабанихина(1988 [14]). В зависимости от расположения источников и приемников возмущений волновые процессы можно классифицировать следующим образом: внутренняя и внешняя задачи просвечивания, внутренняя и внешняя задачи локации. В работе А.С.Алексеева, В.С.Белоносова(1998 [3]) доказана полная эквивалентность этих задач. Показано, что любая из них может быть сведена к любой другой при помощи явных формул и преобразования Фурье. Поэтому результаты, полученные ранее для отдельных задач, применимы к решению остальных.

Алгоритмы итерационных методов основаны на многократном решении соответствующей прямой задачи и ей сопряженной. Основные идеи метода сопряженного оператора прямой задачи, предложенного Г.И.Марчуком(1964 [26]), изложены в работе А.С.Алексеева(1967 [2]) в специализированном для обратных сейсмических задач виде. Первые численные результаты по решению одномерной динамической обратной задачи сейсмики опубликованы в работе A.Bamberger, G.Chavent, P.Lailly(1979 [37]).

Основным результатом первой главы является оценка скорости сходимости итераций Ландвебера, которая в отличие от предшествующих работ (M.Hanke, A.Neubauer, O.Scherzer,1995 [41], S.I.Kabanikhin, R.Kowar, O.Scherzer,1998 [47], S.I.Kabanikhin, K.T.Iskakov, M.Yamamoto,2001 [45]) получена здесь "в целом"(то есть, для произвольной, но фиксированной глубины I) и без предположения о малости постоянной в основном условии сходимости (1.5.2). Данный результат стал возможен благодаря сведению исходной обратной задачи к такой системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, которую удалось исследовать в соответствующем пространстве Ь2(1) (см. Раздел 1.2).

В Разделе 1.1 обратная задача (0.0.2)—(0.0.5) сводится к следующей сг'(х)

Utt = Uxx--ГТиХ1 х>0, t> 0, (0.0.6) u\t<0 = 0, X > 0, (0.0.7) ux{+Q,t) = <y-6(t), (0.0.8) u{+0,t) = f{t), t> 0, (0.0.9) где по дополнительной информации (0.0.9) надо найти решение u(x,t) и акустическую жесткость среды а(х) > 0.

В разделе 1.2 обратная задача (0.0.6)-(0.0.9) сводится к операторному уравнению Л(Ф) = G, где Д(Ф) = Ф + #(Ф), а В нелинейный оператор вольтерровского типа. В разделе 1.3 исследованы следующие свойства операторов Л и В:

Лемма 0.0.1. Предположим, что оператор Л определен формулами (1.2.11)-(1.2.Ц) и пусть f G L2(0,2/). Тогда Л : Ь2{1) Ь2(1) и имеют место следующие оценки: в2(Ф)|||2(о,О < ■ I, где Ф, := ||Ф||(/) для Ф е Ь2(1), /3 := ||ЛЦ2(0>2().

Лемма 0.0.2. Если Ф € L2{1), f £ 1/2(0,2/), то оператор Л, определяемый (1.2.11)-(1.2.Ц), дифференцируем по Фреше и Д'(Ф)Ф = Ф + Ф)Ф для Ф Е L2 (I), где J Фз(« • №iK, t+* - о+щи - х+о] ^ о х

J ыо- we, t+® - о+Ф!Й, * - *+о] о х \f [Фз(о • Ф2(О+Ф2(О • Фз«)]

В'з(ф)ф = 2^2(Ф)Ф [/'(2®) + В4(ф)] +

Б2(ф) + -7 J X

4(Ф)Ф = J[Фз(0 • ФхК, 2® - 0 + Фз(0 • ФхК, о причем Л': £г(0 ~» £{L2(l), L2(l)).

Более того, имеют место следующие оценки, в которых Ф* = ||Ф||(0 : 1|в/(Ф)Ф||!2(д(0) < 4Ф^Ф %

1|в2'(ф)ф|1!2(о,|) <

ЦВз'(Ф)Ф|Ц(0Д < 8(/3 + + 16ф«ф2.

Лемма 0.0.3. Пусть оператор Л определяется (1.2Л1)-(1.2.Ц), f Е —* —t

1/2(0,21), тогда для любого Ф Е L2(l) оператор Л'(Ф) : Ь2{1) —> L2(l) имеет сопряженный оператор [Д'(Ф)]* : Ь2{1) —> Ь2{1), действующий на W Е Ь2{1) следующим образом: g-K I t—x

2 1 2~~

А[(ф)}*W = Wi- ^Фз(х) Hw^t + x- + J W^t-хЛ

- 2 w3 t + x l

K( Ф)] W = W2 + |ф3(х) J |ж2(0 + 2W3(0 • [/'(20 + в4(ф)«)] | de, X

I i 21-Z

Am*w = wz-l-j I J {<S>1(x,t + Z-x) + <S>1(x,t-Z + x)].W1(Z1t)dt x [ e

- Ф2(я) • - 2Ф2(я). W3(0 • [/'(ЭД + 84(Ф)(0]

- 4Ф1(ж,2£- ж)

Эа(Ф)«) + ^

WsK) > w имеют место оценки:

1Р/(ф)]*иЦг(д(1)) < + 2(«! +

В2'(Ф)]*1У|||2(0д < 1ФЖ(1 + 2Р + 2Ф%

11[В3'(Ф)]*И'111(0,1) < + 0 + Ь + ЗФ2). 4

8 л 3

В разделе 1.4 доказана теорема о корректности в окрестности точного решения:

Теорема 0.0.1 (о корректности в окрестности точного решения).

Пусть f G £2(0,2/) и для некоторых I > 0, G G Ф* Е L2{1) - решение задачи .Д(Ф) = G, где Л определяется (1.2.11), (1.2.14), тогда найдется такое 5 > 0, что для любого G5 G B(G, 5,0) существует единственное Ф5 G 1/2(1) решение Л(Ф5) = G5, непрерывно зависящее от

G5.

В разделах 1.5-1.6 доказаны теоремы сходимости исследуемых итерационных методов (МНС, МИЛ) и получены оценки скорости сходимости этих методов к точному решению.

Теорема 0.0.2 (о сходимости итераций Ландвебера). Пусть I > 0 и для G G Ь2(1) существует Ф* € решение задачи Д(Ф) = G. Тогда найдется такое 5* >0, а* > 0, что если Ф^ Е 1?(Ф*, <5*, 0), а G (0, а*), то итерации Ландвебера ф[т+11 : ф[т+1] = ф[т] '(фМ)]*[^(фИ) G] (0.0.10) сходятся к Ф* решению задачи Л(Ф) = G при т —> оо и при любых г] G (0,1/2) верна оценка ф*фМ\\2<v™6l (0.0.11) a{l-2rj)' где v* 1е (0,1). м5

Теорема 0.0.3 (о сходимости МНС). Пусть I > 0 и для G G £2(0 существует решение Ф* G -^(О задачи Л(Ф) = G. Тогда можно указать такое > 0 что, если то итерации метода наискорейшего спуска сходятся и верна оценка

ЦфН ф*||2 < Ml2v?6l (0.0.12) где ^ = 1 - шк

Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения Лапласа и уравнения параболического типа.

Постановка начально-краевой задачи для уравнения Лапласа. В области {(х, у) G R2 | х G (0,1), у G (0,1)} рассматриваем следующую систему

Аи = 0, (х,у)еП, (0.0.13) и(0,у) = <р(у), у €(0,1), (0.0.14) их{0,у) = 0, у G (0,1), (0.0.15) ж,0) = «(ж,1) = 0, х G (0,1). (0.0.16)

К этой задаче сводятся плоские задачи Коши для уравнения Лапласа, которые, как известно, имеют широкое практическое применение, например, в задаче определения потенциала электростатического поля, искусственно созданного внутри Земли.

Как известно (М.М.Лаврентьев, 1956 [18]), рассматриваемая задача некорректна по Адамару. Решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво. Если мы возьмем функции ipi(y) = a-sm(ny), <р2{у) = О, то решениями задачи (0.0.13)—(0.0.16) будут, соответственно, функции g7l£ g—пх щ(х, у) = a- sin (га/)----, и2(х, у) = 0.

Таким образом, разность <fi(y) — <Р2(у) может быть мала за счет выбора а, а разность решений щ(х,у) — и2(х,у) может неограниченно расти за счет выбора п. То есть задача (0.0.13)—(0.0.16) некорректна, а именно, неустойчива к малым изменениям данных.

Для того, чтобы постановка задачи была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений. Устойчивость плоской задачи в классе ограниченных решений впервые доказал T.Carlernan(1926 [39]). Из результатов работы T.Carleman(1926 [39]) непосредственно следуют оценки, характеризующие эту устойчивость. Оценки, характеризующие устойчивость пространственной задачи в классе ограниченных решений, впервые были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) для гармонических функций, заданных в прямом цилиндре и обращающихся в нуль на образующих. Данные Коши брались на основании цилиндра. Аналогичные оценки для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) и немного позже С.Н.Мергеляном(1956 [27]) для функций внутри сферы. Примерно в то же время Е.М.Ландис(1956 [24]) получил оценки, характеризующие устойчивость пространственной задачи для произвольного эллиптического уравнения. В работе L.E.Payne(1975 [53]) доказана условная устойчивость для произвольного эллиптического уравнения для более общей области. Позже С.П.Шишатский (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский, 1980 [21]) и А.Л.Бухгейм(1988 [8]) рассмотрели общие эллиптические уравнения в операторной форме и получили похожие оценки.

После того, как установлена корректность постановки, естественно встает вопрос о создании эффективного метода решения задачи. Под эффективным методом понимается алгоритм, дающий возможность решить следующую задачу.

В ограниченной области О, (плоской или пространственной) рассматривается следующая задача Коши для эллиптического оператора L:

Lu = 0, ^|г0 = <р, где Го часть границы Q, г/ - нормаль к Го- Требуется по известным функциям (риф определить функцию и внутри области Г2 с некоторой гарантированной точностью.

Первые результаты, относящиеся к построению эффективного алгоритма для решения задачи опубликованы одновременно в работах Carlo Pucci (1955 [54]) и М.М.Лаврентьва (1955 [17]). В работе М.М.Лаврентьева(1956 [18]) предложен ряд методов эффективного решения задачи. Первый метод для решения плоской задачи в классе ограниченных функций получен из формулы Карлемана. Второй метод предложен для решения плоской задачи в другой метрике, доказана устойчивость. Для пространственной задачи получены оценки, характеризующие ее устойчивость в классе ограниченных решений, а предложенный метод эффективного решения пространственной задачи годен и для решения плоской задачи и поэтому может быть назван третьим методом решения плоской задачи.

В работе А.К.Маловичко(1956 [25]) проанализирован ряд методов решения задачи, сведенной к интегральному уравнению первого рода: разложение в ряд, сведение к системе алгебраических уравнений, линеаризация, численное интегрирование, сеточный метод, основанный на теореме о главном значении для гармонических функций и др.

R.Lattes и J.-L.Lions(1967 [51]) предложили метод квазиобращения для решения некорректных задач. J.-L.Lions(1968 [52]) рассмотрел метод граничного управления для решения задач для эллиптического уравнения. Если целевой функционал содержит граничное значение функции, то управлением является нормальная производная и наоборот, если целевой функционал содержит нормальную производную, то управление есть значение функции на границе. В.М.Березкин(1973) и В.И.Аронов(1973) сделали обзор наиболее современных геофизических методов решения рассматриваемой задачи и предложили их модификации.

Приблизительно к 1990-му году все подходы к решению задачи Коши для уравнений эллиптического типа оказалось возможным разделить на две основные группы. Одну группу составляют методы, основанные на введении задачи в класс корректности по А.Н.Тихонову (М.М.Лаврентьев, 1962 [19]; Л.А.Чудов, 1962 [35]; П.Н.Вабищевич, 1978 [9]; М.В.Урев,1985 [33]), другую - методы, использующие универсальные регуляризующие алгоритмы, получаемые с помощью параметрического функционала Тихонова, что часто приводит к изменению оператора рассматриваемой задачи. Необходимо отметить, что наибольшее распространение и основные успехи в практическом применении получила вторая группа методов. В рамках этого подхода применяют различные варианты регуляризованных алгоритмов, использующих сведение задачи либо к решению интегральных уравнений первого рода, либо к представлению искомого поля в области рядом, либо к построению конечно-разностных регуляризованных алгоритмов (А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко и др., 1968 [32]; А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко, 1975; [31] Л.С.Франк, Л.А.Чудов,1965 [34]; А.Б.Бакушинский, 1974 [36]).

Итерационные методы в последнее время находят все более широкое применение в практике решения различных некорректно поставленных задач математической физики. Эти методы обладают рядом несомненных достоинств, к которым относятся простота вычислительных схем, их однотипность для задач с линейными и нелинейными операторами, высокая точность решения и т.п. Важным достоинством является также то, что они допускают простой учет существенных для задач ограничений на решение непосредственно в схеме итерационного алгоритма (например, ограничений на неотрицательность решений, монотонность и т.п.). В.работе В.А.Козлова, В.Г.Мазьи, А.В.Фомина(1991 [16]) предлагается метод решения рассматриваемой задачи, основанный на альтернирующей итерационной процедуре, которая представляет собой последовательное решение корректных смешанных краевых задач для исходного уравнения. Одним из преимуществ этого метода является сохранение исходного уравнения. Доказывается сходимость метода и его регуляризующие свойства, получаемые выбором соответствующих граничных условий. Для эллиптических задач и систем порядка 2т регуляризирующие свойства получены в Соболевских пространствах Нт. Основным ограничением является требование самосопряженности дифференциального оператора. Предлагаемый метод имеет общий характер и может быть распространен на широкий круг аналогичных некорректно поставленных краевых задач математической физики. В работе S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky(1995 [46]) рассмотрено эллиптическое уравнение вида V(k(x)Vu) — q(x) = f(x), х G Q С Rn и предложен оптимизационный метод решения, где для определения данных Коши использовалась альтернирующая прямая задача, что требует более сильную регулярность данных и решения. Представлены теоретические результаты сходимости и устойчивости метода. Для численных расчетов предложен метод конечных разностей, который не имеет оптимальный порядок сходимости. В работе Dinh Nho Нао, D.Lesnic(2000 [42]) предложен другой вариационный метод решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Заданные граничные условия на части границы Гх рассматриваются как управление 77 в постановке прямой задачи для определения данных Коши на части Го-Для минимизации целевого функционала используется метод сопряженных градиентов с правилом остановки, предложенным А.С.Немировским(1986 [28]), которое обеспечивает оптимальный порядок сходимости. В силу линейности уравнения Лапласа для численных расчетов используется метод конечных элементов.

Другой итерационный метод для параболических и эллиптических задач, не обязательно самосопряженных, был предложен G.Bastay, V.A.Kozlov, B.O.Turesson(2000 [38]). В этом методе решаются корректные задачи для операторов L и L*, полученные изменением граничных условий. Доказано, что если данные заданы точно, то метод сходится в L2 к решению исходной задачи. В случае неточных данных доказано, что алгоритмы регуляризуют рассматриваемую задачу. Основным ограничением является отсутствие общих точек у Го и Г \ Го, где Г - граница Q. В работе T.Johansson(2003) оператор L не обязательно самосопряженный, Го и Г \ Го имеют общие точки. Поэтому никакой из предложенных выше методов неприменим. Предложен метод, основанный на то же идее достижения регуляризирующего свойства за счет выбора подходящих граничных условий. На каждом шаге решаются смешанные задачи для L и L* с данными Дирихле на Гх = Г\Го и данными Неймана на Го- Корректность этих задач установлена в весовом ./^-пространстве. Вес имеет вид где функция г есть расстояние до граничных точек границы Го, /3 - действительное число из интервала (1/2, 3/2). Сходимость доказана тоже в вышеупомянутом пространстве.

Завершая краткий обзор предшествующих результатов, перечислим основные группы имеющихся методов решения ЗКУЛ(или НКЗУЛ):

• Метод Карлемана-Лаврентьева.

В области ПсЕ2 рассматривается следующая задача Коши для уравнения Лапласа:

Аи = О, ди ап, осп —> О,

Го п—юо м|Г1 = О, Г0 С Гь причем |HU2 < М, всюду в 0(М > 0 - некоторая заданная константа). Требуется по заданным последовательностям функций <рп и чисел ап определить и внутри области Q.

При помощи конформных отображений и решения задачи Дирихле исходная постановка задачи сводится к НКЗУЛ в прямоугольнике Q := (0,7г) х (0,1), где Г0 = {{х,у) : у = 0}, Тг = {(х,у) : х = 0}и{(х,у): х = тг}и {(х,у): у = 0}.

Метод заключается в следующем: определяются коэффициенты Фурье для функций <рп(х), то есть числа ani,., апк,. оо X/ апк sin к=1 методом последовательных приближений определяется число £ из определяются числа &пк

Q"nk — ГТТ>

1 + 2^ для построенной последовательности функций оо п(х, у) = • sh ку • sin

Jfe=l получается следующая оценка

7Г

J \и(х,у) -йп(х,у)\Чх<(2М)2У-а1-у-у2. о

• Метод квазиобращения Lattes-Lions.

В области Q с границей Го и Гх (Q находится по одну сторону от Го и Гх) рассматривается следующая задача

Lu = О,

Чг0 = где I/ - внешняя нормаль к Го.

Требуется "вычислить "функцию и, исходя из заданных функций ip и ф.

Введем обозначения(11.ЬаМе8 , J.-L.Lions, 1969): d{x, Гх) — расстояние от точки х до Гх, х G Q, £q — "малое"положительное число,

1, если d(x, Гх) > 2е0, х G П

М£о(х) = 0, если d(x, Гх) < е0, непрерывно меняется от 0 до 1 в остальной части Г2.

Метод заключается в следующем: в области Г2го = {х £ П : й(я,Гх) < £о} определяем функцию и£о как решение следующей корректной задачи

L*(M£20Lu) = о, г0 = получаем и£о = и в области

Оператор L*M^L четвертого порядка внутри области который вырождается на промежуточной границе d(x, Гх) = £о> так что, кроме условий и\г0 = (р, г0 = "0) не нужно никаких других граничных условий.

• Методы, использующие универсальные регуляризиющие алгоритмы, получаемые с помощью параметрического функционала Тихонова.

• Альтернирующий итерационный процесс Козлова-Мазьи. В области Q с границей Г = ГоиГх рассматривается следующая задача

Аи = О,

Чг0 = ди где v - единичная внешняя нормаль к Г. Требуется найти приближение и с хорошей точностью.

Метод заключается в следующем: задается приближение ф^ = и решается следующая корректная задача

Аи = О, и\г0 = <Р, gh-*»; по построенному приближению ирешается следующая корректная задача

А и = О, ди ii|ri=«(0) |Г1; по построенному приближению решается следующая корректная задача

Аи = 0, г„ = <Л ди. ди^.

Приближение € Rk{<p, кф, ф^) принадлежит пространству Я1^) и семейство операторов ф^) : Я1/2^) х (Ях/2(Г0))* ^

Я1(Г2), А; = 0,1,. регуляризует исходную задачу в пространстве

Оптимизационный метод Кабанихина-Карчевского.

В области О, С Мп с границей Г = Го U Гх (в случае п > 2 пересечение Го и Гх является гладкой самонепересекающейся кривой) рассматривается следующая задача:

Lu = /, u|r0 = у, где z/ - внешняя нормаль к Г.

Требуется найти функцию и в области Г2 по известным функциям ip и ф.

Основная идея: — рассматривается следующая прямая задача:

Lu = /, ди , ч (0-0.17) где р(х) > 0, р(х)|Го = О; требуется найти и в области О, по известной функции х на Г; вместо исходной задачи рассматривается следующая обратная к (0.0.17) задача

Lu = /, ди , , . (0-0-18) где по дополнительной информации и|г0 = Ч> (0.0.19) требуется определить функции % на и и в области Q (так как х|гх = Ф). обратная задача решается минимизацией следующего функционала

Ах] = /j[> градиентным методом. Метод заключается в следующем: задается начальное приближение хо на Г(Хо|г0 = Ф)\ пусть Хк уже известно, решается прямая (корректная) задача (0.0.17) с Хк вместо х; по найденному приближению щ решается задача

Lv = f, dv / л м где г0 = 2Иг0 - <р), fta = О, с Uk вместо и, из которой находится вычисляется градиент J'[x] = методом наискорейшего спуска или сопряженных градиентов определяется следующее приближение Хк+i со следующей оценкой

В основе всех этих методов лежит общая идея замены исходной некорректной задачи семейством корректных задач. В результате усовершенствования подходов к решению рассматриваемой задачи последняя свелась к решению некоторой обратной задачи(8.1.КаЬашкЫп, A.L.Karchevsky, 1995 [46]), что, можно сказать, естественно, так как любая некорректная задача является обратной к некоторой прямой (корректной) задаче (S.I.Kabanikhin, A.D.Satybaev, M.A.Shishlenin, 2004 [49]). А идея последовательного решения некоторой вспомогательной задачи и ей сопряженной есть ничто иное как суть градиентных методов, применяемых к решению обратных задач.

В разделе 2.1 исходная НКЗУЛ рассматривается как обратная к следующей прямой задаче

0 < Ахш} ~ J*<

С = const > 0, lim J[xk] = J* к—юо

Аи = 0, (ж, у) е

0.0.20) их(0,у) = 0, у G (0,1),

0.0.21) u{l ,y) = v(y), ye (0,1), (0.0.22) u(x, 0) = u(x, 1) = 0, a; € (0,1), (0.0.23) где по заданной функции г] надо определить функцию и.

Обратная задача состоит в следующем: по дополнительной информации и(0,у) = р(у), уе(0,1), (0.0.24) определить функцию г](у) из соотношений (0.0.20)—(0.0.23).

В операторном виде обратную задачу можно записать следующим образом

Л{Ф) = G.

В разделе 2.2 на введенном классе обобщенных решений исследуются свойства оператора Л, а именно, доказаны

Теорема 0.0.4 (о существовании обобщенного решения прямой задачи). Если 7] £ Ь2(0,1), то задача (0.0.20)-(0.0.23) имеет единственное обобщенное решение и £ и верна оценка

Nk(n) < x/2|MU2(o,i). (0.0.25)

Теорема 0.0.1. Если rj £ L2(0,1), то решение прямой задачи имеет след и(0,у) £ 1/2(0,1) и верна оценка

Ы^У)\\ь2(о,1)<Ы\ь2(о,1). (0.0.26)

В разделе 2.3 приведена доказанная М.М.Лаврентьевым(1956 [18]) теорема, характеризующая устойчивость плоской задачи Коши для уравнения Лапласа в классе ограниченных решений.

В разделе 2.4 доказана теорема сходимости МНС по функционалу

Теорема 0.0.2 (о сходимости МНС по функционалу). Пусть для G 6 -^2(0,1) существует решение Ф* £ Ь2(0,1) задачи Д(Ф) = G, тогда итерации МНС сходятся по функционалу и верна оценка у(ф["»+1]) < (3m+1J(фМ), (3=\\I- ЛЛ*\\ е (0,1).

Показано, что итерации метода наискорейшего спуска

Vm+l =Vm-0!m- J'{Vm) с остановкой по принципу невязки будут отстоять от точного решения обратной задачи не далее, чем начальное приближение.

Аналогичные результаты для параболического уравнения приведены в разделах 2.5-2.7

1. А.С.Алексеев. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. Изв. АН СССР. Сер. геофизика, 1962. No.11-12, стр. 6572.

2. А.С.Алексеев. Обратные динамические задачи сейсмики. М.: Наука, 1967, стр.9-84.

3. А.С.Алексеев, В.С.Белоносов. Спектральные мотоды в одномерных задачах теории распространения волн. Труды ИВМ и МГ. Мат. мо-дел. в геофизике, 6. Новосибирск, 1998, стр.7-39.

4. А.С.Алексеев, В.И.Добринский. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики. Математические проблемы геофизики. /АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр. Новосибирск, 1975, вып.6, ч.2, стр.7-53.

5. А.С.Алексеев, С.И.Кабанихин. Обратные задачи и новые технологии в геофизике. Труды Международной конференции " Метемати-ческие методы в геофизике". Ч.1.-Новосибирск: Изд.ИВМиМГ СО РАН, 2003.

6. О.М.Алифинов, Е.А.Артюхин, С.В.Румянцев. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

7. А.С.Благовещенский. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. Тр. Ленингр. ун-т. 1966. Вып.1, стр.68-81.

8. А.Л.Бухгейм. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

9. П.Н.Вабищевич. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа в двухсвязной области. Докл. АН СССР. 1978. Т.241. No.6, стр.12571260.

10. Ф.П. Васильев Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, стр.102.

11. В.В.Васин, А.А.Мокрушин. Итерационные процессы типа Гаусса-Ньютона для некорректных операторных уравнений. Докл. АН 2000. Т.371, No.l, стр.35-37.

12. В.К.Иванов. О линейных некорректных задачах. Докл. АН СССР, 1962, 145, No.2, стр.270-272.

13. В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

14. С.И.Кабанихин. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

15. С.И.Кабанихин. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений. Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1992.

16. В.А.Козлов, В.Г.Мазья, А.В.Фомин. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений. Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1991. Т.31, No.l, стр.64-73.

17. М.М.Лаврентьев. О задаче Коши для уравнения Лапласа. Докл. АН СССР. 1955, Т.102, No.2, стр.205-206.

18. М.М.Лаврентьев. О задаче Коши для уравнения Лапласа. Известия АН СССР, 20, 1956, стр.819-842.

19. М.М.Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

20. М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов. О трех линобратных задачах для гиперболических уравнений. Докл. АН СССР. 1966. Т. 171, No.6, стр.1279-1281.

21. М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

22. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

23. О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

24. Е.М.Ландис. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений. Докл. АН СССР. 1956. Т. 107, No.5, стр.640-643.

25. А.К.Маловичко. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к задачам гравиразведки. Недра, Москва, 1956.

26. Г.И.Марчук. О постановке некоторых обратных задач. Докл. АН СССР. 1964. Т.156, No.3, стр.503-506.

27. С.Н.Мергелян. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. Докл. АН СССР. 1956. Т. 107, No.5, стр.644-647.

28. А.С.Немировский. О регуляризирующих свойствах метода сопя-женных градиентов для решения некорректных задач.// Журн. вычисл. мат. мат. физики. 1986. Т. 26, No. 3. С. 332-347.

29. В.Г.Ромапов. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, Новосибирский государственный университет, 1973.

30. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.

31. А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации // Изв. АН СССР. Сер. физика Земли .-1975.- No.l,- С.38-48

32. А.Н. Тихонов, В.Б.Гласко, О.К.Литвиненко, В.Р.Меликов. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли.- 1968 -No.12.- С.30-48.

33. М.В. Урев. Алгоритм численного продолжения обобщенного осесим-метричного потенциала с оси симметрии. Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1985. Т.25, No.2, стр.269-282.

34. Л. С. Франк, Л. А. Чудов. Разностные методы в газовой динамике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965, стр.3-27.

35. JI. А. Чудов. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. No.4, стр.798-801.

36. A.B.Bakushinskii. Difference schemes for the solutions of incorrectly posed abstract Cauchy problems. Differ. Equations, 1974, 7, pp. 14191426.

37. A.Bamberger, G.Chavent, P.Lailly. About the stability of the inverse problem in 1-D wave equations application to the interpretation of seismic profiles. Appl. Math. Optim. 5, 1979, pp. 1-47.

38. G.Bastay, V.A.Kozlov, B.O.Turesson. Iterative methods for an inverse heat conduction problem. J. Inv. Ill-Posed Problems, 2001, Vol.9, No.4, pp.375-388.

39. T.Carleman. Les fonctions quasi analytiques. Paris, 1926.

40. L.Elden. Numerical solution of ill-posed Cauchy problems for PDE's. Minicourse on Applied Inverse Problems. Firenze, October 7-11,2002, pp.7-81.

41. M.Hanke, A.Neubauer, O.Scherzer. A convergence analysis of Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems. Numer. Math., 1995, Vol.72, pp. 21-37.

42. Dinh Nho Hao, D.Lesnic. The Cauchy problem for Laplace's equation via the conjugate gradient method. IMA J. Applied Math., 2000, 65, pp.199-217.

43. T.Johansson. An iterative procedure for solving a Cauchy problem for second order elliptic eqautions. Linkoping Studies in Science and Technology. Norrkoping 2003. Disertations No.832, pp.47-60

44. S.I.Kabanikhin, M.A.Bektemesov, D.V.Nechaev. Optimizational method for continuation of solution to two-dimensional elliptic equation. Inverse Problems in Engineering Mechanics. Vol.4. Proceedings of Int. Symp., Nagano, 2003, pp.447-456.

45. S.I.Kabanikhin, K.T.Iskakov, M.Yamamoto. H\ conditional stability with explicit Lipshitz constant for a one - dimensional inverse acoustic problem. J. Inv. Ill-Posed Problems, 2001, Vol.9, No.3, pp. 249-268.

46. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky. Optimizational method for solving the Cauchy problem for an elliptic equation. J. Inv. Ill-Posed Problems, 1995. Vol.3, No.l, pp.21-46.

47. S.I.Kabanikhin, R.Kowar, O.Scherzer On Landweber iteration for the solution of a parameter identification problem in a hyperbolic partial differential equation of second order. J. Inv. Ill-Posed Problems, 1998, Vol.6, No.5, pp.403-430.

48. S.I.Kabanikhin, R.Kowar, O.Scherzer, V. V. Vasin. Numerical comparison of iterative regularization methods for a parameter estimation in a hyperbolic PDE. J. Inv. Ill-Posed Problems, 2001, Vol.9, No.6, pp.615-626.

49. S.I.Kabanikhin, A.D.Satybaev, M.A.Shishlenin. Direct methods of solving multidimensional inverse hyperbolic problems. VSP, The Netherlands. 2004.

50. A.L.Karchevsky. Properties of the misfit functional for a nonlinear one-dimensional coefficient hyperbolic inverse problem. J. Inv. Ill-Posed Problems, 1997. Vol.5, No.2, pp.139-164.

51. R.Lattes, J.-L.Lions. Methode de quasi reversibilite et applications. Dunod, Paris, 1967.

52. J.-L. Lions. Controle optimal de systemes gouvernes par des ёquations aux derivees partielles. Dunod Gauthier-Villars, Paris, 1968.

53. L.E.Payne. Improperly posed problems in partial differential equations. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia, Pennsylvania, 1975.

54. C.Pucci. Sui problema di Cauchy поп "ben posti", Atti Accad. Naz.d. Lincei, 18, fas. 5, 1955, 473-477.

55. F.Santosa, W. W.Symes. An analysis of least-squares velocity inversion. Geophysical monograph series No.4, 1989.