автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Исследование входных характеристик магнитострикционных преобразователей и разработка методов их анализа для целей моделирования

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ г С ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ )

" " о„

На правах рукописи

БАО ФАН

ИССЛЕДОВАНИЕ ВХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИАГЖГОСТРИКИЮННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИХ АНАЛИЗА ДЛЯ ЦЕЛЕЙ" МОДЕЛИРОВАНИЯ

Специальность 05-09-05 Теоретическая электротехника

Автореферат

■на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА 1994г.

Работа вьполнена на кафедре " Теоретические основы электротехники " Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

Защита состоится _ в аудитории N

- кандидат технических наук, доцент И.И.Баранов.

- доктор технических ялув профессор К.Ф.Зимин

- кандидат технических'наук, А.Я.Ратраченко

- НИИ Чермет

1994 Г

на заседании специализированного Совета К - 053.lG.ld Московского энергетического института.

Отзьшы просим направлять по адресу» 105833. ГСф Москва, Е-250. Красноказарменная ул., д.14. Ученый совет МЭИ. С диссертацией мозно ознакомиться в библиотеке МЭИ-Автореферат разослан " // " 1994г-

Ученый секреталь специализированного Совета к.т.н.. доцент

Е.А.Бородкин

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

В настоящее время Бнишние исследователей вновь привлекает вопросы применения новых мэгнитострикционных материалов з качестве сердечников преобразователей для возбуждения механических колебания больной интенсивности в области азуковых и ультраэзуковьм частот. Ло последнего времени в качестве элементов сонаров для генерации звука в морской воде использовались пьезокерамичоские преобразователи. Учитывая, что условия распространения звука с понихением частоты улучшается, наметилась тенденция сникения рабочей частоты преобразователей и главным препятствием на пути использования •пьезокерамических устройств стали их размеры.

Были сделаны попытки применения изгибных колебаний для снижения рабочей частоты, однако технические вопросы, такие как старение не были решены. Тем не менее для очень низких частот преобразователи все еще были слишком массивны-

Другое направление исследований оставалось в рамках принятой концепции проектирования акустических излучателей и сосредоточило усилия на поиске новых материалов- которые удовлетворяли бы поставленной цели- Решение легало на пути применения в качестве . сердечников преобразователей редкоземельных металлических соединений, таких как соединение' тербий-диспрозий-железо, известное в научной литературе как терфенол-Д- Это соединение обладает вьсокой мзгнитострикцией. низким модулем Юнга и хорошим иагнито-механическим коэффициентом связи. Применение этого материала вместо 'пьезокерзмкки ухе привело к значительному снижению рабочей частоты, компактности

• устройства при мощности порядка 1.6 кВт.

Поэтому вопросы моделирования магнитострккиионных

• преобразователей с целью конструирования бопее совершенных устройств, не утратили свей актуальности-

Цель диссертационной работы-

Целы» диссертационной работы является изучение динамических -характеристик магнитострикционньи преобразователей и разработка методики определения параметров эквивалентной электрической : схемы замещения, учитывающей зависимость элементов от частоты.

При этом сформулированы и решены следующие задачи'

аЭ Рассчитаны собственные частоты и собственные моды

колебаний сердечника прямоугольного сечения конечньк размеров-

б) Разработана методика моделирования катушки с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний СззтсрмоаегнньЯ сердечник ) .

гО Разработана методика моделирования электромагнитньх процессов в преобразователе, обусловленных упругими колебаниями при отсутствии возбуждающих токов в катушке- ' ■

г) Разработана математическая модель работы нагнитострнкиионного преобразователя•

Методы исследования В работе ' использовались методы математического и физического моделирования магнитострикционньк проебразователей и протекающих в них процессов. Теоретическое исследование и расчеты выполнялись методами теории электромагнитного поля, теории упругости и электрических иепей.

Правильность теоретических положений подтверждалось' моделированием и расчетами на ЭВМ.

Научная новизна. В диссертации осуществлено комплексное решение взямосвязанных задач определения частотно-зависимых параметров эквивалентной схемы замещения магнитострикционного преобразователя при наличии электрических и механических потерь в сердечнике. При этом получены новые научные результаты' ■ ' 1. Задача расчета магнитоупругих колебаний твердого тела на основе принятых допущений сведена к трем задачам; задаче расчета упругих колебаний без учета влияния мэгнитного поля, определения динамических параметров катушки с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний и нахождения элементов схемы замещения. моделирующих процессы, обусловленные упругими деформациями при разомкнутой обмотке возбуждения.

2- Разработана методика определения параметров схемы замещения заторможенного преобразователя при отсутствии механических колебаний во всем рассматриваемом частотном диапазоне в т.ч. и в облати частот, гдо возбуждаются резонансные механические колебания сердечника.

3. Предложен способ представления упругих смолений прямоугольного стержня конечных размеров в виде трехмерного ортогонального ряда Фурье, что позволило формализовать процесс получения решения. обойти вопрос удачного вьбора последовательности пробных функций, используемых в решении, и получить кваэидиагональкую матрицу в проблеме собственных чисел

С резонансных частот. соответствующих собственным мод!м колебаний)-

4- Разработана матоди.ча расчета по экспериментально снятой круговой диаграмме входного сопротивления преобрэзоавателя параметров схемы замещения, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями.

5.Предложено сердечник преобразователя сложной ¿ср*ы моделировать с помощью набора однородных прямоугольных стершей, на которыэ сердечник может бьггь разложен. Даны рекомендации по расчету эквивалентной массы и гибкости в любой обяэсти поверхности стержня, позволяющие составить его м>югополюснув эквивалентную схему и. используя теорию. многополюсников, получить эквивалентную схему преобразователя в целом.

Практическая ценность.

Разработанньв методики моделирования магнитострикционных преобразователей является основой методического обеспечения при проектировании акустических излучателей. В частности, на основе этих методик по экспериментально снятым входньм характеристикам преобразователя могут бьггь рассчитаны параметры эквивалентной схемы замещения таких механических звеньев, как концентраторы, согласующие .переходы. металлообра,батыьасщ!й инструмент, закрепленной на преобразователе, например, при ультразвуковой штамповке, резке, сверлении и т.д.. а -также параметры акустической среды, в которую излучается энергия. . Основные положения, выносимы?? на защиту = . 1- Методика разложения связанной задачи расчета магнитоупругих колебаний твердого тела на частные задачи- расчета упругих колебаний стержней прямоугольного сечения конечных размеров! : г > определения динамических параметров заторможенного преобразователя!

1 . - нахождения параметров схемы замещения, моделиругадч

.......наводимую в обмотке возбуждения э.д-с- магнитит

полем, : сопроваждащим упругие деформации пр:; разомкнутой обмотке возбуждения.

2- Методика : определения параметров схемы замещения заторможенного,преобразователя во всем рассматриваемом диапазоне частот.- включая область частот, где существуют резонансные механические колебания сердечника.

3- Способ разложения упругих смешений прямоугольного стертая конечных размеров, поэволяший формализовать процесс построения решения и обойти проблему удачного выбора составляадих последовательности пробных функций, используемых при построении решения, и получить кзазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел С резонансных частот 34. Методика расчета по экспериментально снятой круговой диаграмме входного сопротивления преобразователя параметров -схемы замещения, моделирувдкх электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями.

5. Методика построения многополюсной эквивалентной схемы стержня и на ее основе эквивалентной схемы преобразователя в целом, учитывающей трехмерньй характер распределения деформаций в сердечнике преобразователя.

Реализация результатов работы. /

Основные теоретические положения и разработанные методики расчета, представленные в диссертации, получены в ходе научных исследований, проводимых на кафедре Тесретическйх основ электротехники МЭИ по разработке магнитострикционных преобразователей, используемых в качестве исполнительных органов в технологических процессах обработки металлов ультразвуком.

Публикация. Нет . Г

Объем работы-

Диссертационная работа изложена на 121 страницах основного

текста, содержит 25 рисунков. ;_§_таблиц, состоит из

введения, четьрех глав. списка литературы, из 85 наименования, приложения на _9_страницах-.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во взедении представлена актуальность проблемы исследования магнитострикционных преобразователей, кратко освещено состояние работы в этой области и сформулированы основнье садами диссертационной работы.

В первой главе рассмотрены уравнения электромагнитного поля и уравнения движения, описывающие • динамическое поведение магнитострикционных тел в области звуковых и ультразвуковых частот, а также уравнения связи, содержащие как магнитньв. так и

упругие члены. Уравнения дополнены соответствующими граничными условиями. Аналитическое решение уравнений, содержащих частные производные второго порядка, даже для тел, гредставлящих правильны? геометрические формы, не представляется возможным.

При построении модели работы магнитострикиионного преобразователя приняты допущения, что магнитоугругий гистезис отсутствует, поликристаллический материал сердечника изотропен по упругим и анизотропен по мзгнитоупругим свойствам, а скорость распространения электромагнитных волн значительно превосходит скорость распространения упругих колебаний, что позволяет считать, что структура упругих деформаций определяется геометрией сердечника, механическими свойствами его материала и в первом приближении ке зависит от возбуждающего магнитного поля-

Таким образом, с учетом принятых допущений в рамках линейной теории обиая задача расчета магнитоупругих колебаний разделена на три самостоятельные задачи«

Первая из них предполагает расчет собственных мод колебаний. сердечника конечных размеров при отсутствии механических напряжений на граничных поверхностях и представляет гобой динамическую задачу теории упругости-

Вторая связана с расчетом магнитных характеристик сердечника, представлявшего собой динамическую индуктивность пр;1' отсутствии в сердечнике упругих деформаций -

Третья задача связана с определением динамических параметров сердечника преобразователя, обусловленных колебаниями вектора намагниченности, вызванными упругими деформациями в сердечнике при отсутствии возбуждающих токов в обмотке.

' Проведенный анализ показал, что для моделирования работы магнитострикциоиного преобразователя удобно использовать систему .электромеханических аналогий по подвижности, при которой скорость эквивалентна электрическому напряжению- Это приводит к тому, что дифференциальные уравнения имеют один и тот же вид. ; механические поперечные переменные С скорость ) соответствуют электрическим поперечньм переменным С напряжению ), сквозные продольные механические Ссила) - сквозным электрическим Стоку), . топологии схем одинаковы, а магнитострикционный эйокт моделируется идеальным трансформатором вместо необратимого , гиратора при другой системе аналогий- Соответствующая

электромеханическая схема замещения в виде четьрехполюсникз приведена на рис. 1'

I

Ц Ц

Т>=1

Л.1

й! °и

Рис 1. Электромеханическая схема замещения магнитострикционого преобразователя с сосредоточенными параметрами.

Данная модель позволяет учитывать влияние различных Факторов на эффективность работы преобразователей. * ■

Эквивалентная электрическая схема замещения получается из электромеханической переносом идеального трансформатора вправо<рис.2»- Соотношения между электрическими и механическими величинами задаются формулами:

С = т/* ; Ь = 1?/ Км = й = т?' 0„

(1)

во

Рис.2. Электрическая схема замещения

магнитострикционного преобразователя.

Чисто электрическая схема замещения получается при переносе акустической нагрузки влево за трансформатор.которьй затем может

бьггь отброшен-

Также показаны трудности, встречавшиеся при определении параметров преобразователей по экспериментально снятым кривым, и проанализированы причины их появления.

Во второй глаге рассмотрены вопросы, связанные с возбуждением магнитного поля в- сердечнике преобразователя при отсутствии упругих колебаний в нем. При описании магнитного состояния сердечника следует различать магнитную проницаемость для постоянной составляющей поля подмагничивания и магнитную проницаемость для переменной составляющей при несимметричном частном цикле перемагничивания. под которой понимается среднее значение, определяемое как отношение средней ■ индуктивности по сечение сердечника к напряженности поля на поверхности ферромагнетика, умноженной на Дц. и вьражается таким образом:

Л Да = Э / СдД^ 5 . С2)

Прямая черта означает среднее значение. Т.к. среднее значение индукции не совпадает по фазе с напряженностью поля из поверхности, то средняя проницаемость является комплексной величиной, мнимая часть которой соответствует процессам, связанным с рассеянием энергии. ,

По экспериментально измеренным вещественной и мнимой составляющим входного сопротивления заторможенного преобразователя рассчитаны зависимости вещественной и мнимой составляющих средней магнитной проницаемости от частоты-

Для моделирования режима заторможенного сердечника, при котором магнитоупругими колебаниями можно пренебречь, измерения /входного сопротивления проводились в области нижних и верних частот, существенно отличавшихся от частоты механического ^резонанса, когда магнитоупругая связь практически отсутствует.

По рассчитанным зависимостям составляющих магнитной ■ проницаемости от частоты в двух диапазонах частот восстановлены значения магнитных проницаемостей и входного сопротивления во всем рассматриваемом частотном диапазоне,включая диапазон „существования упругих колебаний, что позволило получить параметры схемы замещения заторможенного преобразователя. Зависимость составляющих магнитной проницаемости от частоты во

всем рассматриваемом частотном диапазоне показана на рис.3.

Третья глава посвяшдца вопросам исследования собственных упругих колебания прямоугольных пластин и стержней прямоугольного сечения коночных размеров, "очное решение задачи известно только в ограниченном числе случаев. Однако имеются приближенные решения, при получения которых следует отметить три основных подхода. Первьй заключается в том. что к решениям, являющимся точньми для некоторых граничных поверхностей, добавляются решения, которые, кроме того, удовлетворяют условиям, накладывает* на напряжения на дополнительных поверхностях. При втором подходе точные решения используется при тех размерах и частотах, когда необходимы? добавочные условия удовлетворяется автоматически либо точно, либо приближенно. Третий подход предполагает разложение всех смещений в соответствующие ряда и подбор коэффициентов ряда, когда граничные условия удовлетворяются приближенно-

5 качестве приближенного подхода решения задачи расчета собственных колебаний стержней и пластин рассмотрен вариационный принцип, который позволяет свести искомую задачу к задаче отыскания собственных значений и собственных функций-. В случае консервативной системы в качестве функции Лагранжа берется кинетический потенциал Т - V и для упругой среды .функция

Лагранжа принимает вид :

^ •■ СЗ)

где первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию, второе - потенциальную. Интегрирование проводится по всему обьему образца V, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.

Представим решение в виде комбинации пробных функций,, которые в общем случае не ортогональны в области интегрирования-Полагаем, как и в работах [76, 77], что каждая компонента смещений раскладывается в тригонометрический ряд, с периодом членов ряда, связанным с размерами рассматриваемой структуры:

- 5*аСк,

(El)

Sk - > aCk.m) S^ . <4<

mil

где аСк.т) - произвольные амплитуды. являющиеся

(Ш)

взриациоиными параметрами, ^ - трехмерны? комг.онеты,

(ИГ

удовлетворяющие либо нулевому Б,, на в - поверхности образца. ¿Б"»

либо нулевомуна е<оба типа могут быть необходимы для

бьстрой сходимости вьмисления», а гк -число компонентов, используемых в разложения

Подставим С4) в СЗ), получим

1 -Г IX («о üc СП)

J = —pt/ JaCk.m) sk 2 aCk.n) Sic dv "

2 V m=l n-1

1 г Li 6S[m> De 3S<n) J ^aCl.ffl) -O- Cj kl ^aCk.n^dv

■ ,<ä V 111=1. J n=l 1

(5)

Требование, чтобы ¿^.р) = 0 = Р = 1-2.....гь-

приводит уравнение С5) к стационарному значению, и результаты к следующей системе г2+ г3 однородных уравнений для гг+ г2+ гэ переменных-

я г1 -..•....

2 I а(1.п)[ РО.п.Ь.р) - и?Н(1.п,Ь.р)] = 0 .

h =1,2,3 ; р = 1.2.....rh . С6)

в этом уравнении

г as'P' эз5п>

. PC i.n.n.p) H ChiJ1^i-dv СЮ; C7)

HCl.n.h.p)> ¡p s^p'sl"' ahl dv . CS)

где символ * обозначает отсутствие суммирования по h, а 6hi~ дельта символ Кронекера.

- 12- ■■■■'.

Система уравнений (Ш представляет собой общую задачу нахождения собственных значений с резонасньк частот 3 и собственньк векторов (нормальных мод колебаний), которая может бьггь решена методами линейной алгебры. Однако следует отметить, что точность определения резонансных частбт вьше. чем точность определения величин смещений.

В задаче колебаний тонкой пряммоугольной пластины, ограниченой поверхностями хг=. ± тг х2= ± тг, выбраны пробные функции в виде:

SkCn.nO =Sin [aCn,k)xk ]• Cos [pCm.JDXj ] (J * k) , (9)

aCn.kO = -§£- . pCm.j) = -§f- ' . (10)

k J

со следусшим набором мод колебаний; • ,

n = 1.3.3,7.9; m = 0 ;

n = 1.3; ш = 1,3.5 • СП)

Результаты расчета по уравнениям С6)+ С8) при условии СП) показаны на рис.4, на нем также показаны экспериментальные данные.полученные Медиком [80]. Видно, что первые четыре ветви дают хорсшое совпадение расчетных и экипериментальных данных.

Одйако степень совпадения результатов зависит от того, насколько удачно выбраны пробные функции; которые по своим свойствам должны наиболее полно приближаться к точному решению. Простое увеличение числа членов ряда не всегда приводит к увеличению точночсти расчета. Кроме того, получаггаеся матрицы плотно заполнены, несимметричны и имеют высокий порядок. Поэтому предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального тригонометрического ряда Фурье, обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с лсбьм конечным тригонометрическим рядом по синусам и косинусам. Ортогональность членов ряда. позволяет сформировать

квазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел и формализовать процесс выбора последовательности пробных функций.

В случае, когда изотропное тело ограничено поверхностями Osxsa, Osysb. 0*2^1, система уравнений, определяющая собственные частоты и собственные моды-колебаний, может быть представлена в компактной форме! . -

Jkam2+n2C |)Vc f)a- ff®jx(mnp)Kka-la)mnC^|)УСялр)+

- 13 -

♦(k2-ia)mpC-уШгалр) = 0 . С12)

(ka-i2)qrC |)XCqrs)*[q2+k2r2C -§)2*S2C -f)2- Cp]ttqrs)+

+Cka-l2)rsC-§)C-f)ZCqrs) = О . C13)

Cka-l2)lwC -|э XC t v w) +C k2- i2) v v( |)C -f)YCtvv) +

♦ [tWc |)a+k2wz( -fo2- tfjzctvv) = 0 . C14)

где введены следующие обозначения1

П = из / у2я - относительная частота! и - круговая частота! v2 = ■/ (s/p - скорость поперечных волн в бесконечно протеженном изотропном упругом теле;

к2 = СА+2Д) ✓ Ц ; кг-1 = СЛ+Д) / ц ; к2-3 = CA-ji) / ц :

1г= 3 для DjCirnp) и AjCqrs) и ia= 1 для остальных коэффициентов.

Коэффициенты, входящие в уравнения С123+ С14) выбирается в соответствии с таблицей:

X Ai Bi Ci Dt Ei Fi Gi Hi

Y -D2 Са Вг Аг -Н2 G2 Fz ~Ez

Z -Ga -Ня Еэ Fa Сз Da -A3 -Вз

и являются амплитудами при соответствующих слагаемых ортогонального терхмерного ряда Фурье. Индексы 1. 2. 3 указывает на соответствующие координатные оси х. у, г-

Проведены расчеты нижней ветви частотного спектра, показавшие удовлетворительное совпадение с экспериментальным данными. Получены кногополюснье эквявалентныэ схемы колеблющегося стержня, позволяющие моделировать работу сердечника преобразователя сложной формы, которая может быть составлена из однородных стержней. Даны рекомендации по расчету эквивалентной массы и гибкости в любой области стержня на его поверхности с учетом составляющих смещения по всем координатным осям.

В четвертой главе рассматриваются вопросы расчета элементов эквивалентной электрической схемы преобразователя-, обусловленных

г; Н.. • у прутами колебаниями сердечника при отсутствии токов, в возбуждавшей обмотке. Предложенный во второй главе подход аппроксимации входного сопротивления заторможенного преобразователя позволил рассчитать значения составлявших этого сопротивления и построить круговую диаграмму, точки пересесения которой с осями координат однозначно определяет координаты центра круговой диаграммы, величину фазового угла коэффициента трансформации идеального электромеханического трансформатора в схеме замещения и величину электрического сопротивления, эквивалентного механическим потерям. Полученная круговая диаграмма представлена на рис.5.

Предложена процедура поворота ' системы координат, позволившая симметрировать графики зависимости активного и реактивного сопротивлений от частоты, моделируших упругие колебания, и получить точки их пересечения, соответствующие так назызаекьм квадрантным частотам, по которым легко определяются все оставшиеся элементы схемы замещения, соответствующие механическим колебаниям, -а также их резонасная частота и механическая добротность.

Пдлучены варажения коэффициента полезного действия при двух режимах возбуждения: от реальных источника напряжения С рис-б 3 и источника тока С рис.10 )•

Коэффициент полезного действия преобразователя определен в следующем видеСпри питании преобразователя от источника

4=.— =-г-=- .. С153

,. Р - А2с ♦ А3

где лг= + кга>

V 20мкмаскэа * *гак0Л<а* V "

" ^ма5!1* (Кэа+ кгаЗС1+ кха>] = = (Кэа * кга> сомКма+ Оа1* •

напряжения с внутренним сопротивлением к„Э

ма

= га/ I* ; Кэа= г

кга= V га

и приняты следующие обозначения:

в = и / Ыр: относительная расстройка. 1/ Ю. О = сл СВ ; механическая добротность.

м р

0а= га / = акустическая добротность.

С16Э

"о

2вх(ма)

Ф 3 О

-I.

«V

5 О

' преобразователь

Рис 6- Питание преобразователя от источника напряжения с внутренним сопротивлением !?„.

Найдена частота, при которой максимальное значение.

КПД

принимает

(Л =(Л /-

мах р^с

2(Кэа^Кга) СОмКма+0а32

кга+кэЛкмас,¥ма+сУ"с 1 'V Ка+кга)С1+кма>+1]

Максимальнее значение КПД на данной частоте равно:

Чгах =

2Аг

4АД - Аз С2Дг -1)

С17)

С18)

На рис-7 представлены графики, показывающие зависимость КПД С при условии 0а= 0.1. о = о и 1?0= 0 Ом) от акустического сопротивления га- Из рис 7 ясно, что когда га.= 90 Ом, КГЦ

а

■■'•г 16 - •

достигает максимального значения- На рис-8 представлена зависимость КПД с>т значения на рис-9 - зависимость КПД от й-Полученные форель; позволяют анализировать зависимость КПД от величины сопротивлений схемы замещения. Для повышения КПД необходимо принимать меры по снижению потерь на вихревье токи и механическую вязкость- Это достигается применением в кзчестве материала сердечника таких материалов как алфер.

Что же касается влияния внутреннего сопротивления источника напряжения на КПД. то его присутствие приводит к увеличению т-к. и (?0 соединены последовательно, и снижению КПД-При питании преобразователя от источника тока с внутренним сопротивлением й0 С рис. 10).

_ •*н ,

?> ф °вх| преобразователь А||> |

- Рис.10 Питание преобразователя от источника тока с внутренним сопротивлением !?0-

коэффициент полезного действия преобразователя может быть представлен в виде:' ■■■'■'•','

т) = Кгас 0 / Г

где Г*. [кэа0+с1+кма)£г][скга+кэа)0+с1+кмз)е2], О = £1ГКма)»в».[кмаОмСе»-1)-Оа]а ■ ^

С19)

(20) (21)

0Э= «рЬ^ - электрическая добротность.

Если источник тока идеальный • ■ то й0 - стремится к бесконечности. Кга также стремится к бесконечности- В этом

Pue. Зависимость Д, И ^ ОТ ЧАСТОТЫ, н » окспернментсльни? значения t —t значения аллроксииации.

Рис. 5. Круговая диаграмма входного сопротивления, обу сложенного механическими колебаниями.

Y

от отношена* длани к ыирюю. X - отношение длины прямоугольной пластины

к ее «ирине, У - нормироьаннза частота резонанса, о - экспериментальные результаты в

работе 180). --теоретически*? результаты при с - 0.32-

30-r

« 20

203 К.Си

Рис. 7 Зависимость Ш от мустичесхо» ма/руяхи га, opa итак» от идеаляого «стотнжм иапржжекм.

И 40-

40 «О

Rd.Om

100

150

200

2Ь0 R(Om)

300

350

Рис. В. Злвксиюсть КПД от сопротивления Р.

i

i

50 1ÓO iáo "200 п,0и

Рис. и- Зависимость КПД от акустической нагрузки га (при питании от навального источника тока ).

Рис. 8. Зависимость КПД от сопротивления R^.

-19 -

случае въражение С19) упрощается*

П.„ = --—-г- С 22)

™ Кдао +С1+КцдЗе2..

На рис. И для тех же параметров схемы замещения, что и в случае питания от идеального источника напряжения, представлена зависимость КПД от акустической нагрузки га> Очевидно, она имеет ту хе форму, что и на рис.7.

В приложении приведена программа по расчету собственных чисел . собственных векторов и по расчету касательных напряжений ка поверхности пластины.

ЗАКЛШЕНИЕ

Результатом представленной работы является разработка математической модели работы магнитострикционного преобразователя, позволившая в рамках линейной теории разложить общую задачу расчета магнитоупругих колебаний преобразователя на три частные самостоятельнье задачи= задачу расчета собственных частот и_собственных мод колебаний сердечника прямоугольного сечения конечных размеров, задачу ■ моделирования катушки с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний с заторможенньЯ сердечник Э и задачу моделирования электромагнитных процессов в преобразователе, обусловленных упругими колебаниями при отсутствии возбуждающих токов в катушке. На базе разработанной модели рассчитаны значения элементов эквивалентной электрической схемы замещения и показаны возможности использования многополюсных моделей стержневых систем для моделирования сердечников сложной геометрической формы.

Для достижения поставленной в диссертационной работе цели были сформулированы и решены следующие задачи^

1-Обоснован выбор принятых допущений, позволивший разложить слоаную . задачу математической физики на три частные самостоятельные задачи.

2-Предложен способ математического описания результатов 'расчета магнитных проницаемсстей, позволивший восстановить

значения входного сопротивления, соответствующие заторможенному преобразователю во всем рассматриваемом ■ диапазоне частот,

- го-

^(Алсчая область упругих колебаний, и получить значения элементов схемы замещения заторможенного преобразователя, когда механические колебания отсутствуют.

3-В соответствии с подходом, предложенным в работах [76.77). получено на основе вариационного принципа приближенное решение задачи колебаний тонкой прямоугольной пластины в виде сложного ряда типа Фурье, показавшее, что сходимость решения . зависит от того, насколько удачно выбраны составляющие ряда.

4.Предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального ряда Фурье. обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым конечны« тригонометрическим рядом по синусам и косинусам. Ортогональность членов ряда позволяет при применении вариационного приципа получить квазидиагональнув матрицу в проблеме собственных чисел и обойти вопрос удачного вьбора последовательности пробных функций.' сделав процесс вьбора формальньм-

3.Получены многополюсиьв эквивалентные схемы замещения : колеблющегося стержня прямоугольного селения конечных размеров, позволяющие моделировать работу магнитострикционного сердечника сложной формы, которая может быть представлена; в виде любой . комбинации однородных прямоугольных стержней- Даны рекомендации по расчету эквиваленных масс и гибкостей в любой области поверхности стержня-

6-Представлена методика расчета параметров схемы замещения преобразователя, моделирующих электромагнитные •. процессы, обусловленные упругими деформациями по .экспериментально снятой круговой диаграмме входного сопротивления -. ' '

7-Получены вьражения коэффициента полезного действия преобразователя при питании от реальных источников напряжения и

■ тока, приведены формулы по расчету частот,. при которых КПД максимален, и вцэажения максимального КПД на этих частотах. .

; - • - • -

П< >.ШИСЯИО К 1Н'Ч:И м - Л"» '' /л л ' . .. > 'А '' У. /I ■' 'V '*;

' 1К" г /¿5 ' ■ Здк. %

Тн|К>грфич ЛГ*»П, Кр л^х^^а^оиная^^З, - -"у- ч

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ РАБОТЫ МАГНИТОСТРИКЦИОННОГО

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

1.1- Основные уравнения, описывающие поведение магнитострикционного тела в области звуковых и ультразвуковых частот.

1.2- Линеаризованная модель магнитоупругих колебаний магнитострикционного тела.

1.3. Система электромеханических аналогий. Эквивалентная электрическая схема преобразователя.

1.4. Входное сопротивление магнитострикционного преобразователя.

1.3. Схема измерения экспериментальных характеристик магнитострикционного преобразователя.

Выводы.

ГЛАВА 2. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ' ПОЛЕ СЕРДЕЧНИКА ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

2.1 Комплексная магнитная проницаемость. Динамическое входное сопротивление катушки с ферромагнитным сердечником.

2.2. Комплексная магнитная проницаемость при релаксационном характере изменения намагниченности.

Выводы.

ГЛАВА 3. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

СТЕРЖНЕЙ.

3.1- Состояние проблемы

3.2- Вариационный прицип решения задачи расчета собственных колебаний упругих тел конечных размеров.

3.3. Ортогональная система пробных функций.

3-4. Эквивалентная масса стержня прмоугольного сечения.

Выводы.

ГЛАВА 4. ВХОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ТОКОВ В

ВОЗБУЖДАЮЩЕЙ ОБМОТКЕ.

4-1. Входное сопротивление преобразователя, связанное с упругими колебаниями.

4-2- Коэффициент полезного действия преобразователя.

Выводы.

В настоящее время внимание исследователей вновь привлекают вопросы применения новых магнитострикционных материалов в качестве сердечников преобразователей для возбуждения механических колебаний большой интенсивности в области звуковых и ультразвуковых частот. До последнего времени в качестве элементов сонаров для генерации звука в морской воде использовались пьезокерамические преобразователи. Учитывая, что условия распространения звука с понижением частоты улучшаются, наметилась тенденция снижения рабочей частоты преобразователей и главным препятствием на пути использования пьезокерамических устройств стали их размеры.

Были сделаны попытки применения изгибных колебаний для снижения рабочей частоты, однако технические вопросы, такие как старение не были решены- Тем не менее для очень низких частот преобразователи все еще были слишком массивны.

Другое направление исследований оставалось в рамках принятой концепции проектирования акустических излучателей и сосредоточило усилия на поиске новых материалов, которые удовлетворяли бы поставленной цели- Решение лежало на пути применения в качестве сердечников преобразователей редкоземельных металлических соединений, таких как соединение тербий-диспрозий-железо, известное в научной литературе как терфенол-Д. Это соединение обладает высокой магнитострикцией, низким модулем ЮНга и хорошим магнито-механическим коэффициентом связи. Применение этого материала вместо пьезокерамики уже привело к значительному снижению рабочей частоты, компактности устройства при мощности порядка 1,6 кВт.

Поэтому вопросы моделирования магнитострикционных преобразователей с целью конструирования более современных устройств, не утратили своей актуальности.

Целью диссертационной работы является изучение динамических характеристик магнитострикционных преобразователей и разработка методики определения параметров эквивалентной электрической схемы замещения, учитывающей зависимость значений элементов от частоты.

В первой главе рассмотрены уравнения электромагнитного поля и уравнения движения, описывающие динамическое поведение магнитострикционных тел в области звуковых и ультразвуковых частот, а также уравнения связи, содержащие как магнитные, так и упругие члены. Уравнения дополнены соответствующими граничными условиями. Аналитическое решение уравнений, содержащих частные производные второго порядка, даже для тел, представляющих правильные геометрические формы, не представляется возможным.

При построении модели работы магнитострикционного преобразователя приняты допущения, что магнитоупругий гистерезис отсутствует, поликристаллический материал сердечника изотропен по упругим и анизотропен по магнитоупругим свойствам, а скорость распространения электромагнитных волн значительно превосходит скорость распространения упругих колебаний, что позволяет считать, что структура упругих деформаций определяется геометрией сердечника, механическими свойствами его материала и в первом приближении не зависит от возбуждающего магнитного поля

Таким образом, с учетом принятых допущений в рамках линейной теории общая задача расчета магнитоупругих колебаний разделена на три самостоятельные задачи=

Первая из них предполагает расчет собственных мод колебаний сердечника конечных размеров при отсутствии механических напряжений на граничных поверхностях и представляет собой динамическую задачу теории упругости»

Вторая связана с расчетом магнитных характеристик сердечника, представляющим собой динамическую индуктивность при отсутствии в сердечнике упругих деформаций

Третья задача связана с определением динамических параметров сердечника преобразователя, обусловленных колебаниями вектора намагниченности, вызванными упругими деформациями в сердечнике при отсутствии возбуждающих токов в обмотке

Проведенный анализ показал, что для моделирования работы магнитострикционного преобразователя удобно использовать систему электромеханических анологий по подвижности, при которой скорость эквивалентна электрическому напряжению. Это приводит к тому, что дифференциальные уравнения имеют один и тот же вид, механические поперечные переменные С скорость 3 соответствуют электрическим поперечным переменным С напряжению сквозные продольные механические Ссила) - сквозным электрическим Стоку), топологии схем одинаковы, а магнитострикционный эффект моделируется идеальным трансформатором вместо необратимого гиратора при другой системе аналогий

Показаны трудности, встречающиеся при определении параметров преобразователей по экспериментально снятым кривым, и проанализированы причины их появления.

Во второй главе рассмотрены вопросы, связанные с возбуждением магнитного поля в сердечнике преобразователя при отсутствии упругих колебаний в нем- При описании магнитного состояния сердечника следует различать магнитную проницаемость для постоянной составляющей поля подмагничивания и магнитную проницаемость для переменной составляющей при несимметричном частном цикле перемагничивания, под которой понимается среднее значение, определяемое как отношение средней индукции по сечению сердечника к напряженности поля на поверхности ферромагнетика, умноженной на Т.к. среднее значение индукции не совпадает по фазе с напряженностью поля на поверхности, то средняя проницаемость является комплексной величиной, мнимая часть которой соответствует процессам, связанным с рассеянием энергии.

По вещественной и мнимой экспериментально измеренным составляющим входного сопротивления заторможенного преобразователя рассчитаны зависимости вещественной и мнимой составляющих средней магнитной проницаемости от частоты

Для моделирования режима заторможенного сердечника, при котором магнитоупругими колебаниями можно пренебречь, измерения входного сопротивления проводились в области нижних и верних частот, существенно отличающихся от частоты механического резонанса, когда магнитоупругая связь практически отсутствует

По рассчитанным зависимостям составляющих магнитной проницаемости от частоты в двух диапазонах частот восстановлены значения магнитных проницаемостей и входного сопротивления во всем рассматриваемом частотном диапазоне, что позволило получить параметры схемы замещения заторможенного преобразователя

Третья глава посвящена вопросам исследования свободных упругих колебаний прямоугольных пластин и стержней конечных размеров. Точное решение задачи известно только в ограниченном числе случаев. Однако имеются приближенные решения, при получении которых следует отметить три основных подхода- Первый заключается в том, что к решениям, являющимся точными для некоторых граничных поверхностей, добавляются решения, которые, кроме того, удовлетворяют условиям, накладываемым на напряжения на дополнительных поверхностях. При втором подходом точные решения используются при тех размерах и частотах, когда необходимые добавочные условия удовлетворяются автоматически либо точно, либо приближенно. Третий подход предполагает разложение всех смещений в соответствующие ряды и подбор коэффициентов ряда, когда граничные условия удовлетворяются приближенно.

В качестве приближенного подхода решения задачи расчета собственных колебаний стержней и пластин рассмотрен вариационный метод, который позволяет свести искомую задачу к задаче отыскания собственных значений и собственных функций. Рассмотрен известный подход представления решения в виде комбинации пробных функций, которые в общем случае не являются ортогональными и образуют некоторый сложный ряд типа Фурье, период членов которого связан с размерами рассматриваемой структуры, и либо компоненты ряда, либо их производные удовлетворяют нулевому значению на граничной поверхности. Условие стационарности Лагранжиана приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ряда, которые решаются стандартными методами линейной алгебры. Для выбранного набора мод колебаний тонкой прямоугольной пластины рассчитаны первые четыре ветви частотного спектора. Один из недостатков такого подхода заключается в том, что сходимость процесса зависит от того, насколько удачно выбраны пробные функции, которые по своим свойствам должны наиболее точно приближаться к точному решению. Кроме того, если нормальные напряжения удовлетворяют условиям на свободных граничных поверхностях, то касательные напряжения не всюду равны нулю. При таком подходе простое увеличение числа членов ряда не всегда приводит к улушению точности расчета, а неортогональность пробных функций приводит к несимметричным, сильно заполнении матрицам и соответствующим вычислительным трудностям при увеличении порядка получающейся системы алгебраических уравнений.

Предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального тригонометрического ряда Фурье, обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым конечным тригонометрическим рядом по синусам и косинусам-Ортогональность членов ряда позволяет сформировать квазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел и формализовать процесс выбора последовательности пробных функций-Проведен расчет нижней ветви спектра частот, показавший удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными-Получены многополюсные эквивалентные схемы колеблющегося стержня, позволяющие моделировать работу сердечника преобразователя сложной формы

В четвертой главе рассматриваются вопросы расчета элементов эквивалентной электрической схемы преобразователя, обусловленных упругими колебаниями сердечника при отсутствии токов в возбуждающей обмотке- Предложенный во второй главе подход аппроксимации входного сопротивления заторможенного преобразователя позволил рассчитать значения составляющих этого сопротивления и построить круговую диаграмму, точки пересесения которой с осями координат однозначно определяют координаты центра круговой диаграммы, величину фазового угла коэффициента трансформации идеального электромеханического трансформатора в схеме замещения и величину электрического сопротивления, эквивалентного механическим потерям.

Предложена процедура поворота системы координат, позволившая симметрировать графики зависимости активного и реактивного сопротивлений от частоты, моделирующих упругие колебания, и получить точки их пересечения, соответствующие так называемым квадрантным частотам, по которым легко определяются все оставшиеся элементы схемы замещения, соответствующие механическим колебаниям, а также резонасная частота и механическая добротность.

Получены варажения коэффициента полезного действия при двух режимах возбуждения« от реальных источника напряжения и источника тока. Даны выражения для определения частот, при которых КПД максимален, и само значение максимального КПД. Для некоторых числовых значений рассчитаны и построены графики зависимости КПД преобразователя при его работе на акустическую нагрузку■

Основным итогом диссертационной работы является создание математической модели работы магнитострикционного преобразователя, позволившей сложную задачу математической физики представить в виде совокупности трех более простых задач, а именно, задачи расчета собственных мод колебаний сердечника заданных геометрических размеров, задачи определения параметров катушки возбуждения с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний и , наконец, расчета параметров схемы замещения, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями, при отсутствии токов в воздуждающей катушке.

При этом сформулированы и решены следующие задачи: на основе вариационного приципа рассчитаны нижние ветви

- и частотного спектра колебаний стержня прямоугольного сечения конечных размеров, предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального тригонометрического ряда Фурье, позволивший обойти проблему удачного выбора пробных функций и сделать процесс выбора формализованным; предложен способ математического описания результатов расчета магнитных проницаемостей, позволивший восстановить значения входного сопротивления заторможенного преобразователя в всем рассматриваемом частотном диапазоне, включая область упругих колебаний, по экспериментально снятым характеристикам, измеренным в частотных диапазонах, лежащих вдали от резонансной частоты, когда магнитоупругим влиянием можно пренебречь; предложена методика расчета параметров схемы замещения преобразователя, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями; получены выражения коэффициента полезного действия преобразователя с акустической нагрузкой при питании от реальных источника напряжения и тока, даны значения частот, при которых КПД максимален и его выражение на этих частотах; получены многополюсные эквивалентные схемы замещения колеблющегося стержня прямоугольного сечения конечных размеров, позволяющие моделировать работу магнитострикционного сердечника сложной формы, которая может бьггь представлена в виде любой комбинации однородных прямоугольных стержней- Даны рекомендации по расчету эквивалентных масс и гибкостей в любой области поверхности стержня.

Результаты работы использованы при проектировании магнитострикционных преобразователей, предназначенных для работы в качестве исполнительных устройств при ультразвуковой обработке режущей кромки медицинского инструмента. 4 1 А. «

- 13

Результаты работы были использованы при проектировании магнитострикционных преобразователей, предназначенных для работы в качестве исполнительных устройств при ультразвуковой обработке режущей кромки медицинского инструмента.

- 110 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом представленной диссертации является разработка математической модели работы магнитострикционного преобразователя, позволившая в рамках линейной теории разложить общую задачу расчета магнитоупругих колебаний преобразователя на три самостоятельные задачи: задачу расчета собственных частот и собственных мод колебаний сердечника прямоугольного сечения конечных размеров, задачу моделирования катушки с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний С заторможенный сердечник ) и задачу моделирования электромагнитных процессов в преобразователе, обусловленных упругими колебаниями при отсутствии возбуждающих токов в катушке. На базе разработанной модели рассчитаны значения элементов эквивалентной электрической схемы замещения и показаны возможности использования многополюсных моделей стержневых систем для моделирования сердечников сложной геометрической формы.

Для достижения поставленной в диссертационной работе цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1.Обоснован выбор принятых допущений, позволивший разложить сложную задачу расчета магнитоупругих колебаний твердого тела на три самостоятельные задачи- задачу расчета упругих колебаний без учета влияния магнитного поля;

- задачу расчета динамических параметров катушки с ферромагнитным сердечником;

- и задачу расчета параметров элекстрической схемы замещения преобразователя, моделирующих процессы, обусловленные упругими колебаниями при разомкнутой

- Ill -обмотке возбуждения .

2.Предложен способ математического описания результатов расчета магнитных проницаемостей, позволивший восстановить значения входного сопротивления, соответствующие заторможенному преобразователю во всем рассматриваемом диапазоне частот, включая область упругих колебаний, и получить значения элементов схемы замещения заторможенного преобразователя, когда механические колебания отсутствуют.

3-В соответствии с подходом, предложенным в работах [76,77], получено на основе вариационного принципа приближенное решение задачи колебаний тонкой прямоугольной пластины в виде сложного ряда типа Фурье, показавшее, что сходимость решения зависит от того, насколько удачно выбраны составляющие ряда.

4.Предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального ряда Фурье, обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым конечным тригонометрическим рядом по синусам и косинусам. Ортогональность членов ряда позволяет при применении вариационного принципа получить квазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел и обойти вопрос удачного выбора последовательности пробных функций, сделав процесс выбора формальным

5.Получены многополюсные эквивалентные схемы замещения колеблющегося стержня прямоугольного сечения конечных размеров, позволяющие моделировать работу магнитострикционного сердечника сложной формы, которая может быть представлена в виде любой комбинации однородных прямоугольных стержней. Даны рекомендации по расчету эквивалентных масс и гибкостей в любой области поверхности стержня■

- 112

6.Представлена методика расчета по экспериментально снятой круговой диаграмме входного сопротивления параметров схемы замещения преобразователя, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями.

7.Получены выражения коэффициента полезного действия преобразователя при питании от реальных источников напряжения и тока, приведены формулы по расчету частот, при которых КПД максимален, и выражения максимального КПД на этих частотах.

1.Бозорт Р-М. Ферромагнетизм: Пер. с англ. / Под ред. Е-И-Кондорского и Б.Г.Лившица. М-: Изд. иностр. лит., 1956.

2. Voigt W. Lehzbuch der kristallphysik. Leipzig, 1910.

3. Физическая акустика5 Пер. с англ. / Под ред. У-Мэзона. М-5 Мир, 1966. Т.1, Ч-А 5 Методы и приборы ультразвуковых исследований.

4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров' Пер. с фран. / Под ред. К-С-Шифрина. М-! Наука, 1964.

5. Trent Н.М. Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped physical systems // J. Acoust. Soc. Am. 1955. Vol.27, N3. P.500-527.

6. Trent H. M. On the construction of schematic diagrams for mechanical systems // J. Acoust. Soc. Am. 1958. Vol.30, N8. P.795-800.

7. Woollett R.S. Effective coupling factor of single-degree-of-freedom transducers // J. Acoust. Soc. Am. 1966. Vol.40, N5. P. 1112-1123."

8. Katz H.W. Solid state magnetic and dielectric divices. N.Y., John Wiley, 1959.

9. Skudrzyk E.J. Vibrations of a system with a finite or an infinite number of resonances // J. Acoust. Soc. Am. 1958. Vol.30, N12. P. 1140-1152.

10. Johnson R.A. Electrical circuit models of disk-wire mechanical filters // IEEE Trans. SU-15, 1968. N1. P.4-50.

11. KonnoM., Oyama S., Tomikawa Y. Equivalent electrical networks for transversely vibrating bars and their applications // IEEE Trans. SU-26, 1979. N3. P.191-201.- 114

12. Konno M., Nakamura H. Equivalent electrical network for the transversely vibrating uniform bar // J. Acoust. Soc. Am. 1965. Vol.38, N4. P.614-622.

13. Ленк А. Электромеханические системы* Системы с сосредоточенными параметрами* Пер. с нем./ Под ред. Н-В-Петькина. М-* Мир, 1978.

14. Ленк А- Электромеханические системы* Системы с распределенными параметрами* Пер. с нем. М.*Энергоиздат, 1982

15. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г- Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в пьезопреобразователях. // Физическая акустика / Под ред. У.Мазона. М.* Мир, 1966. Т.1, Ч.А, С.204-326.

16. Mason W. P. Electromechanical transducers and wave filters.- 2-nd ed.,New Jersey, 1948

17. Эквивалентная электрическая схема двухобмоточного магнитострикционного преобразователя крутильных колебаний./ И.И.Баранов, В.Н.Замятин, А.Т.Кобяк и др.// Тр. Моек- Энергетич-ин-та. 1979, Вып.437. С.63-66.

18. Баранов И.И., Костенко В-0-, Бурцева Т.В. Машинный метод определения параметров эквивалентной схемы магнитострикционных преобразователей.// Тр. Моск. Энергетич. ин-та. 1980. Вып.481. С.132-135.

19. Баранов И.И., Нуркатов А.А. Магнитострикционный излучатель акустической мощности на радиальных колебаний-//- 115

20. Тезисы докладов научной-технической конференции МЭИ " Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании ". 10-12 дек. 1990.

21. Баранов И. И -, Нуркотов А•А. Магнитострикционный вибропреобразователь электромагнитной энергии-// 6th International symposium on theoretical electrical engineering ISTET-91. Cottbus Institute of Techology,Germany. May 22-24, 1991.

22. Харекивич A ■ A ■ Теория преобразователей. M -JI - = Госэнергоиздат, 1948

23. Wilson 0.В. An introduction to the theory and design of sonar transducers. Los Altos , Peninsula Pub. Co., 1989.

24. Meeks S.W., Timme R.W. Acoustic resonance of a rare earth iron magnetostrictive rod in the presence of large eddy currents.// IEEE Trans., SU-27, 1980. N2. P.60-65.

25. Claeyssen F., Boucher D., Faure S. Improvement of a magnetostrictive length-expander transducer by use of a grain-oriented material.// J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol.85, Sup.1., LL5, S90.

26. Claeyssen F., Boucher D., Faure S. Comparative study of piezomagnetic constants.// 2nd Int. Conf. giant magnetostrictive alloys. Oct. 1988.

27. Decarpigny J.N., Debus J.C., Boucher D. In-air analysis of piezoelectric Tonpilz transducers in a wide frequency band using a mixed finite element-plane wave method.// J. Acoust. Soc. Am. 1985. Vol.78. N5. P. 1499-1507.

28. Analysis of magnetostrictive transducers by the ATILA finite element code / F.Claeyssen, D.Boucher, K.Anifrani et al //J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol.85, Sup. 1., LL4, S90.- 116

29. Modelization de transducteurs magnetostrictifs a l'aide du code elements finis ATILA / R. Bossut, J. N. Decarpigny, F.Claeyssen et al Proc. 1st French Conf. on Acoustics. J. Phys.C Paris },FASC.2,1,C2-617-621, 1990.

30. Baranov I.I. The calculation of coupled magnetic and elastic fields in magnetostrictive transducers // Abstracts of Int. Conf. on electromagnetic field: Problems and applications. ICEF-92, HangZhou, China, Oct.14-16, 1992.

31. Основы теории цепей:Учебник для вузов.- 3-е изд.«перераб./ Г-В-Зевеке, П-А-Ионкин, А-В.Нетушил и др. М- •• Энергоатомиздат, 1989

32. Нейман Л-Р., Демирчян К-С- Теоретические основы электротехники^ Учебник для вузов.- 3-е изд.,перераб. и доп. Л. ■■ Энергоиздат, 1981. Т-1.

33. Поливанов Л.М. Ферромагнетики:Основы теории технического применения. М.-Л.= Госэнергоиздат, 1937•

34. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники5 Электрические цепи:Учебник для вузов. 8-е изд., перераб- и доп. М.:Высш. щк., 1984.

35. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей:Линейные цепи:Учебник для вузов. 3-е изд. перераб. и доп. М-: Высш. шк., 1990.

36. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела: Пер- с англ. / Под ред. А.А. Гусева. М.: Наука, 1978.- 117 38■Ферромагнетизм:Сборник статей-/ Под ред. К.П-Белова и Ю-Д> Третьякова. М-: Издат. моек- ун-та., 1975.

37. Акулов Н-С- Ферромагнетизм. М.-Л-:Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1939.

38. Вонсовский С-В-,Шур Я-С. Ферромагнетизм. М.-Л.= Гостехиздат, 1948.

39. Вонсовский С.В- Современное учение о магнетизме. М.-Л.= Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1952.

40. Дорфман Я-Г- Магнитные свойства и строение вещества. М.: Гостехиздат, 1955.

41. Форсайт Дж-, Малькольм М-, Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер- с англ-/ Под ред. Х-Д-Икрамова-М-: Мир, 1980

42. Гантмахер Ф-Р- Теория матриц -М-: Наука, 196647. Сигорский В-П- Математический аппарат инженера. Киев: Технгка, 1977

43. Rayleigh L- On the free vibrations of an infinite piate of homogeneous isotropic elastic matter // Proc. London Math. Soc. 1889. Vol.20, P.225-234.

44. Lamb H. On waves in an elastic plate //Proc. Roy. Soc. СLondon), Series A, 1917. Vol.93, P.114-128.

45. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // J. Appl.- 118

46. Mech., Trans. ASME, 1951. N18, P.31-38.

47. Mindlin R.D., Forray M. Thickness-shear and flexural vibrations of contoured crystal plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1954. N25, P.12-20.

48. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural vibrations of a circular disk // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1954. N25, P.1329-1332.

49. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural vibrations of rectangular crystal plate // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1955. N26, P.1435-1442.

50. Mindlin R. D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural vibrations of rectangular plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1956. N23, P.430-436.

51. Mindlin R.D., Kane T.R. High-frequency extensional vibrations of plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1956. N23, P.277-283.

52. Mindlin R.D., Medick M. A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1959. N26, P. 561-569.

53. Mindlin R.D., Mcniven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P. 145-151.

54. Mindlin R.D., Fox E.A. Vibrations and wavws in elastic bars of rectangular cross section // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P. 152-158.

55. Mindlin R.D., Pao Y.H. Dispersion of flexural waves in elastic circular cylinder // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P.513-520.

56. Mindlin R.D., Gazis D.C. Extensional vibrations and- 119 waves in a circular disk and a semi-infinite plate // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P.541-545.

57. Mindiin R.D., Опое M., Mcniven H.D. Dispersion of axiallу symmetric waves in elastic rods // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1962. N29, P.729-734.

58. Timoshenko S. P. On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section // Philosophical magazine, 1922. Ser.6, Vol.43, P.125-131.

59. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates:low and high mode dispersion // J. Acous. Soc. Am. 1957. Vol.29, P.37-42.

60. Chao С.C. , Pao Y.H. On the flexural motion of plates at the cut-off frequency // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1964. N31, P.22-24.

61. Leissa A. W. The free vibration of rectangular plates // Journal of sound and vibration, 1973. Vol.31, N3, P.257-293.

62. Bhat R.B. Natural frequencies of rectangular plates using characteristic orthogonal polinomials in Rayleigh-Ritz method // Journal of sound and vibration, 1985. Vol.102, N4, P. 493-499.- 120

63. Nisse E.P.E. Variational method for electroelastic vibration analysis // IEEE Trans. 1967. Vol.SU-14, N4, P. 153-160.

64. On the normal modes of free vibration of inhomogeneous and anisotropic elastic objects / W.M.Visscher, A.Migliori, T.M.Bell, R.A.Reinert //J. Acous. Soc. Am. 1991. Vol.90, N4, Pt.l, P. 2154-2162.

65. Морс Ф-М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: Пер. с англ./ Под ред. С.П.Аллилуева и др. М- = Изд. иностр. лит., 1958.- 1960. Т-1.

66. Михлин С-Г. Вариационные методы в математической физике-М.* Наука, 1970

67. Курант Р., Гильберт Д- Методы математической физики:Пер. с нем-/ Под ред. Любина 3-Г- и др. М.-Л-* Гос. издат-техн.-теорет- лит-, 1951- Т-1 2

68. Nisse Е. P. Е. Coupled-mode approach to elastic -vibration analysis // J. Acous. Soc. Am. 1966. Vol.40, N3, P.1045-1050.

69. Nisse E.P.E. Variational method for electroelastic vibration analysis // IEEE Trans., 1967. Vol.SU-14, N4, P.153-160.1984.ikfcAfcfcl, 138 8.

70. SO.Medick M. A., Pao Y.H. Extensional vibrations of thin rectangular plates // J. Acous. Soc. Am., 1965. Vol.37, N1, P.59-65.81,Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.- Л.: Физматгиз, 1949- 121

71. Михлин С.Г. Об устойчивости некоторых вычислительных процессов.// ДАН СССР, 1964. Т.157, N2, С.271-274.

72. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов, м.: Наука, 1966

73. Михлин С.Г- Вариационные методы в математической физике. М-= Наука, 1970.

74. Sugawaras S., Konno М., Watanabe Т. The equivalent mechanical network of a bar in flexual derived from Timoshenko's beam theory // Trans. IECE, 1978. 61-A, N9, P.903-909.t