автореферат диссертации по энергетике, 05.14.04, диссертация на тему:Исследование тепломассообменных процессов при обжатии слитка с жидкой сердцевиной и разработка методики расчета

На правах рукописи

КАШИНЦЕВА Ольга Альбертовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ОБЖАТИИ СЛИТКА С ЖИДКОЙ СЕРДЦЕВИНОЙ И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

Специальность 05.14.04 - Промышленная теплоэнергетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Череповец-2005

Работа выполнена в Череповецком государственном университете

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Телин Николай Владимирович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Осипов Юрий Романович

кандидат технических наук, доцент Запатрина Наталья Владимировна

Ведущее предприятие

ОАО «Северсталь», г. Череповец

Защита диссертации состоится «16» декабря 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 212.297.01 в Череповецком государственном университете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Череповецкого государственного университета по адресу: 162600, г. Череповец Вологодской обл., пр. Луначарского, 5.

Автореферат разослан «15» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Никонова Е.Л.

12.М7Ц

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Непрерывная разливка стали является одним из наиболее прогрессивных технологических процессов, получивших в последние годы широкое распространение. К основным преимуществам непрерывной разливки относятся повышение качества и увеличение выхода годного металла, рост производительности труда, уменьшение капитальных затрат. Высокие требования, предъявляемые современной техникой к качеству и количеству стальных изделий, вызывают необходимость создания эффективных технологий кристаллизации сплавов.

Известно, что основное влияние на качество непрерывного слитка оказывают различные трещины и дефекты усадочного происхождения. Методы внешнего воздействия, такие как механическое перемешивание, регулирование интенсивностью охлаждения, холодильники и другие, не дают положительного результата для подавления процесса формирования ликвации и пористости в осевой зоне слитка. В связи с этим в последнее время широкое распространение получила новая технология «мягкого» обжатия непрерывного слитка с жидкой сердцевиной. Она позволяет в значительной степени снизить количество осевых дефектов и, тем самым, улучшить качество готового продукта.

С внедрением в производственную практику этой перспективной технологии возникает необходимость в углубленном исследовании тепловых процессов формирования непрерывнолитых заготовок. Для практического применения обжатия осевой части слитка надо знать место, величину и скорость обжатия, которые определяются тепловым состоянием слитка: взаимосвязью между важнейшими параметрами процесса затвердевания - глубиной жидкой фазы, шириной двухфазной зоны, распространением фронта и скоростью кристаллизации.

Следует отметить, что экспериментальное изучение процессов тепло-и массопереноса в их связи с технологией сопряжено с большими трудностями, поэтому основными остаются теоретические исследования, в частности, метод математического моделирования. Следовательно, возникает потребность в совершенствовании имеющихся и разработке новых моделей затвердевания непрерывного слитка, реализующихся с помощью численных и аналитических методов.

Цель работы.

Разработка инженерной методики расчета обжатия и фильтрации расплава в двухфазной зоне на основе исследования формирования слитка стали с жидкой сердцевиной.

РОС. НАЦИОНАЛЫ," у

национал?.

БИБ.ПИПТЕУ»

Задачи работы.

В ходе выполнения работы были поставлены следующие задачи:

1. Разработка модели затвердевания непрерывного слитка, позволяющей определять динамику двухфазной зоны.

2. Разработка модели обжатия двухфазной зоны непрерывного слитка, позволяющей определять влияние скорости обжатия на распределение температуры.

3. Разработка инженерной методики расчета «мягкого» обжатия непрерывного слитка с жидкой сердцевиной, учитывающей технологию разливки.

Научная новизна.

1. Разработана обобщенная схема формирования слитка при «мягком» обжатии, позволяющая учитывать динамику ширины двухфазной зоны и скорость обжатия.

2. Разработана математическая модель теплового состояния слитка, позволяющая находить распределение температуры по сечению непрерывного слитка в ЗВО, место обжатия, ширину двухфазной зоны, скорости движения изотерм ликвидуса и солидуса. Результаты моделирования позволяют определить фильтрацию расплава в этой зоне и найти величину обжатия при применении данной технологии.

3. Разработана математическая модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии, позволяющая получить распределение температуры по ширине двухфазной зоны в момент обжатия при различных скоростях обжатия. Результаты моделирования применяются для анализа влияния скорости обжатия на формирование слитка при применении данной технологии.

4. Получено аналитическое выражение для определения распределения температуры по ширине двухфазной зоны, учитывающее динамику скорости обжатия. Данное соотношение может быть применено при разработке методики определения величины обжатия двухфазной зоны слитка, необходимого для компенсации усадки металла при переходе его из жидкого состояния в твердое.

Практическая ценность работы.

1. На основе численного решения задачи получены аппроксимационные выражения, позволяющие определять ширину двухфазной зоны, скорость ее продвижения, распределение температуры по сечению слитка в момент обжатия.

2. Получены аналитические выражения, для определения распределения температуры в осевой части слитка, позволяющие оценивать влияние скорости обжатия на распределение температуры.

3. Предложена инженерная методика расчета величины обжатия, учитывающая интенсивность охлаждения поверхности слитка и скорость обжатия.

4. Предложена инженерная методика расчета фильтрации расплава в двухфазной зоне слитка, позволяющая определять критическую величину скорости перемещения двухфазной зоны.

Апробаиия работы, публикации.

Основные разделы работ были доложены и обсуждены на четвертой Международной научно-технической конференции, посвященной 120-летию академика И.П.Бардина «Прогрессивные процессы и оборудование металлургического производства» (Череповец, ОАО «Северсталь», 2003 г.); на четвертой Международной научно-технической конференции «Инфотех» (Череповец, 2004 г.); на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Молодые исследователи - регионам» (Вологда, 2005 г.); на тридцать третьей военно-научной конференции молодых специалистов (Череповец, ЧВИИРЭ, 2005 г.); на пятнадцатой Всероссийской научно-технической конференции (Computer-Based Conferences) «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2005 г.); на шестой Межрегиональной конференции молодых ученых (Череповец, 2005 г.); на шестой Международной научно-технической конференции «Прогрессивные процессы и оборудование металлургического производства» (Череповец, ОАО «Северсталь», 2005 г.).

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ в сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 158 страницах машинописного текста и содержит 40 рисунков, 9 таблиц, список литературы, состоящий из 125 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертации, определены цели и задачи исследования, описаны избранные методы исследования, сформулирована научная новизна и прикладная значимость полученных результатов, приведена характеристика структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных научных работ по теме диссертации, сформулированы основные задачи исследования.

Анализ литературы показал, что:

1 Учет процессов тепло-и массопереноса в их связи с технологией является основным звеном, определяющим все дальнейшие стороны интенсификации технологических процессов непрерывной разливки стали. При изучении тепловой работы МНЛЗ и процесса кристаллизации непрерывного слитка необходимо определять взаимосвязь между глубиной жидкой фазы, шириной двухфазной зоны, распространением фронта и скоростью кристаллизации.

2. Процесс затвердевания слитка описывается при помощи трех математических моделей: неравновесной, стефановской и квазиравновесной. Неравновесная модель, учитывающая дендритный рост кристаллов в переохлажденном расплаве, практически не используется, так как в настоящее время не существует общепринятой теории неравновесных явлений роста кристаллов. Стефановская модель довольно просто описывает процесс затвердевания слитка, но не предполагает существования в нем двухфазной зоны, что затрудняет ее применение для сталей с широким диапазоном кристаллизации. В существующих решениях задачи Стефана коэффициенты, учитывающие физические свойства, как правило, постоянные величины, хотя в реальных условиях они являются функциями времени.

Из рассмотрения квазиравновесной модели устраняется переохлаждение расплава. Существуют две модификации данной модели. Одна из них, основанная на концепции устойчивости двухфазной зоны слитка, пренебрегает диффузией примеси в твердой фазе. Во второй используется предположение о выделении теплоты фазового перехода внутри интервала кристаллизации, ограниченного изотермами ликвидуса и солидуса, соответствующими исходному содержанию растворимой примеси в расплаве. Эта модель достаточно реально описывает процесс затвердевания слитков. С появлением нового технологического приема -«мягкого» обжатия, она требует существенного усовершенствования.

3. Практическая задача определения динамики затвердевания расплава может быть решена современными средствами математического моделирования на основе численных и аналитических методов. Имеется немного аналитических решений для плоского слоя и для областей с движущейся границей. С появлением технологии «мягкого» обжатия решение этих задач представляет особый интерес.

4. Наиболее перспективным для получения качественного металла среди различных способов внешних воздействий на формирующийся слиток является технология «мягкого» обжатия. К настоящему времени сформулированы общие требования к процессу «мягкого» обжатия сляба на МНЛЗ, дана характеристика основных параметров данного процесса (величины, места и скорости обжатия), позволяющих получить эффект от обжатия осевой части слитка. Показано, что для практической реализации этой технологии необходимо знать тепловое состояние слитка, ширину

двухфазной зоны. Известные инженерные методы определения теплового состояния слитка в ЗВО не позволяют рассчитывать параметры обжатия, поэтому требуется создание новой методики.

5. Для получения положительного эффекта от «мягкого» обжатия необходимо контролировать влияние фильтрующих свойств двухфазной зоны слитка на процесс восполнения усадки. Знание характеристик двухфазной зоны (ее ширины, длительности пребывания затвердевающего расплава в двухфазном состоянии и т.д.) позволяет осуществить количественный анализ условий образования усадочных дефектов и принять необходимые меры по их устранению. Это требует появления строгой расчетной инженерной методики фильтрации расплава в двухфазной зоне.

Во второй главе сформулирована обобщенная схема расчета «мягкого» обжатия, состоящая из двух моделей: модели теплового состояния слитка и модели теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии (рис.1).

Рис. 1. Обобщенная схема расчета «мягкого» обжатия

Первая модель - модель теплового состояния слитка, предназначена для определения распределения температуры по сечению слитка до момента смыкания изотерм ликвидуса и солидуса; определения расположения изотерм и скорости их движения; ширины двухфазной зоны; скорости движения условной границы раздела твердой и жидкой фаз. С помощью результатов, полученных при реализации модели, можно произвести анализ фильтрации расплава в двухфазной зоне и посчитать величину обжатия. Модель разработана во второй главе.

Вторая модель - модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии, предназначена для определения распределения температуры в двухфазной зоне слитка при обжатии. С помощью результатов, полученных при реализации модели, можно произвести анализ влияния скорости обжатия на формирование слитка. Модель разработана в третьей главе.

В данной главе разработана модель теплового состояния слитка. Рассматривалось формирование непрерывнолитого слитка неограниченной длины толщиной 2h в зоне вторичного охлаждения MHJ13 на выходе из кристаллизатора. Реализация модели основана на решении задачи Стефана для поперечного прямоугольного сечения слитка.

Математическая формулировка задачи теплопроводности записывается в виде системы, включающей: уравнения теплопроводности:

= 4<x<h, (1)

от дх ох

= Г>0, -t<x<4, (2)

от дх ах

начальное условие:

i . [Cx + D, х<хх

Ц=С*+°< hU=\. х>х \ (3)

(/с х-хь

граничные условия:

- на поверхности слитка:

h\x=±h = tn = const, (4)

- на границе фазового перехода:

t\\x=±e= h\x=±t ='з = const , (5)

4(0——|í=±Í -^(О—^—\x-±s = ^(0— , (6)

где х = ^(т) - подвижная граница раздела фаз; с - удельная массовая теплоемкость, р - плотность, X - коэффициент теплопроводности, t0 = const; C,D - постоянные величины, A(t) - теплота фазового перехода:

Л(/)= р{1)1, I- теплота кристаллизации. Индекс 1 соответствует твердой фазе, 2 - жидкой.

Данная краевая задача (1)—(6) решалась методом сглаживания. Этот метод позволил перейти от Стефановской модели к квазиравновесной. При переходе к приближенной модели применялась экономичная разностная схема сквозного счета. Она характеризуется тем, что граница раздела фаз явно не выделяется, и используется однородная разностная неявная схема. Основную роль при этом играет принцип «размазывания» коэффициентов с(0, А(*), р(0 уравнений теплопроводности по температуре.

Разработанная модель после тестирования и проверки адекватности использована для моделирования затвердевания непрерывного слябового слитка толщины 250 мм, отливаемого на МНЛЗ из среднеуглеродистой стали. В ходе моделирования выполнены три варианта расчета: температура поверхности слитка принималась равной 900, 950, 1000°С. Моделирование проводилось с учетом и без учета конвективных процессов в жидком ядре.

В результате реализации модели получено распределение температуры по сечению слитка при различных температурах поверхности до момента смыкания изотерм ликвидуса и солидуса (рис.2), найдены скорости движения данных изотерм (рис.3) и условной границы раздела фаз, зависимости ширины двухфазной зоны (рис. 4) и толщины нарастания корочки от времени.

х, м

Рис. 2. Зависимость температуры слитка от расстояния от поверхности; 1- г = 0 мин, 2- т = 8 мин,3- г = 17 мин; г„ = 950°С; без учета конвекции

Установлено, что с возрастанием времени происходит выравнивание температуры по сечению слитка. С увеличением температуры поверхности с 900 до 1000°С увеличивается время затвердевания и растет ширина двухфазной зоны. Скорость затвердевания до момента смыкания изотерм монотонно понижается, а затем резко возрастает, достигая своего максимального значения (рис. 3). Скорость условной границы раздела фаз в течение первых 10 минут монотонно снижается, а затем практически остается постоянной: около 0,0035 м/мин до момента смыкания изотерм.

(МП

т,

м/мин

11034 111)11 II1112 О «16

"о 2 5 5 7 5 10 12 5 15 17 5 20 22 5 25

х

т, МИН

Рис. 3. Зависимость скорости затвердевания от времени; /„=950°С; без учета конвекции

Расчеты показали, что учет конвективных процессов не оказывает большого влияния на процесс затвердевания слитка в условиях ЗВО: незначительно уменьшилось время затвердевания, и также незначительно увеличилась ширина двухфазной зоны.

На основе полученных графических зависимостей при температуре поверхности слитка 950°С с помощью аппроксимирующего многочлена Лагранжа ¿„(г) л-ой степени получены аналитические выражения для нахождения условной границы раздела фаз:

¿(г) = 1,041 • 10'9г7- 7,659- ЮЧ6 + 2,235- 10"6 т'-З,292- Ю'Ч4 + + 2,633 10"4 !3- 1,265• 10"V + 7,707-10"3 г + 2,3• 10"2

и скорости ее движения; уравнения и скорости движения изотерм, например, уравнение линии солидуса:

лгс (т) = -3,468'Ю"10т7 + 3,12810'8'т6- 1,0515* 1 О^г5 + 1,б79-10"5т4 -- 1,284 10'4 т3 + 2,85 МО"4-^ + 4,827'10"3'г + 2,2"10"2 .

Аналитическое выражение для нахождения половины ширины г двухфазной зоны при температуре поверхности слитка 950°С (рис.4) имеет вид:

г = х(т) = £7(г) = 1,771-10'Ч7- 1,054" Ю^т6 + 2,502'10"5!5-З^'Ю"4/ +

+ 1,926-10'3 г3 - 6,409' 10-3-!2 + 1,115-1О-2 т + 10-3.

(7)

х.м 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 О

--- -1--- —1_ _ т _ = :

--- !_ , _. -ч Ь -! - ;

г, — II > # Ц ^ |—11—' ---- Г "Г" 1

10

12

14

16

Г, мин

Рис.4. Зависимость ширины двухфазной зоны от времени; Г„=950°С; без учета конвекции

Полученные результаты используются при расчете величины обжатия слитка и расчете фильтрации расплава в двухфазной зоне.

В третьей главе приведена модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии. Модель используется для нахождения распределения температуры в части слитка §<х<И (2И - ширина двухфазной зоны) при его обжатии. В основу данной модели положено уравнение теплопроводности в области с подвижной границей. Тогда математическая постановка задачи имеет вид:

= г>0, 0 <х< И , (8)

дт дх

начальное условие:

К*,г\=й=/{х) = Сх+В, (9)

граничные условия:

- в центре слитка температура равна температуре ликвидуса:

0='л. (10)

- на подвижной границе задано условие тепловой изоляции:

д«х,т)

дт

= (11)

х=х (г)

где а - коэффициент температуропроводности; С,В - постоянные величины; У(т) - скорость деформации слитка, которая находится по формуле: У(х)=А\ зт(а\-сот). с! 2 ¿у

Здесь: А\= ^ , - диаметр обжимающих роликов, со - угловая

скорость, - угол контакта ролика со слитком, г- время контакта.

Моделирование выполнено для непрерывнолитого слитка среднеуглеродистой стали, для которого наибольшая ширина двухфазной зоны равна 0,04185 м.

Для решения краевой задачи (8) - (11) используется численный метод конечных разностей с использованием явной схемы аппроксимации. В результате реализации модели получены распределения температуры по ширине двухфазной зоны в различные моменты обжатия слитка при различных скоростях обжатия: при ^1= 0,1; 0,01; 0,001 м/с (рис.5).

х, м

Рис. 5. Распределение температуры по ширине двухфазной зоны при обжатии; 1- т = 0с; 2-т = 5,8; 3 -т = 16,7 с; А 1=0,001м/с

Это позволило оценить влияние скорости обжатия на распределение температуры в осевой части слитка. Также найдено изменение толщины двухфазной зоны при обжатии.

Для получения аналитического выражения распределения температуры по ширине двухфазной зоны при обжатии с постоянной скоростью изменили математическую формулировку задачи. Пусть трансляционное перемещение со скоростью V совершает выбранная система координат. Тогда математическая формулировка задачи запишется в виде квазилинейного уравнения теплопроводности:

51(х, г) д\х,т) &(х,т) ах

г > О, 0<х< И ,

дт " дх2 начального условия:

/(х, г)|г=0 = /О), где /(х)=Сх+В,

граничных условий:

- на левом конце задано условие симметрии: д^х, т)

дх

= 0,

(12)

(13)

(14)

х=0

- на правом конце температура равна температуре солидуса:

'(*>г>и ='с- (15>

Краевая задача (12) - (15) решается методом операционного исчисления. Предполагается, что начальные и граничные условия задачи таковы, что существуют изображения Лапласа по т функции ¡(х,т) и всех ее производных, входящих в уравнение.

и(х,р) = т)с1т .

Обратный переход от решения обыкновенного дифференциального уравнения по независимой переменной х для функции Щх,р) к решению исходной задачи производится с помощью таблиц изображений или формулы обращения Меллина.

В результате получены зависимости температуры от времени обжатия для постоянных скоростей обжатия.

При У= 0 м/с:

1(х, т)= -0,0166^+0,0044+ 1429,99ег/с

+ 1429,99ег/с

/ -225д: + 4,7Г

Гт

4~г

—1429,99ег/с

^ггздг+илз4

Гт

I

1

- 1429,99ег/с

' -225* + 14,13Л

Гт

-0,000037

+ 0,000037

2 А-ехр V* (

2ёехр

( 50625л2Л

- 450* ■ ег/с

225*

V >/г у

/ (225*+ 9,42)2 Л

Г

-(450* + 18,84)ег/с

' 225*+ 9,42^

Г

+ 0,00003

(-225* +9,42)2

-(-450* + 18,84)ег/с

-225л:+ 9,42

Г

(16)

При У= 0,000016 м/с: 1(х,т)~- 0,01647* -5,1559е~1,625*

ехр

Г (9,43+ 450,697*)2 ^

4 т

(9,43 + 450,697х)ег/с

^4,715 + 225,35*^

Гт

+ 1429,99ег/с

( 4,715 + 225,35*^

Г

+ 1429,99е~1625х ег/с

4,16-225,38*

Гт

+ 5,1559е_1'625*

£

ехр

' (28,29-450,697*)2 ^ 4т

-(28,29- 450,697х)ег/с

''ИД 45-225,349* 4

Г

- 1429,99е'1625х ег/с

14,145-225,349* Гт

(17)

Тестирование выражений (16) и (17) проводилось с помощью численного метода конечных разностей с использованием неявной схемы аппроксимации. Результаты, полученные при реализации модели, могут быть использованы при расчете концентрации примеси в осевой части слитка и величины обжатия, а также для детального анализа влияния скорости обжатия на величину обжатия.

В четвертой главе предложена инженерная методика расчета фильтрации расплава в двухфазной зоне. На основе полученных от

реализации моделей результатов проводится качественная оценка влияния фильтрующих свойств двухфазной зоны на процесс восполнения усадки, которая является одной из причин возникновения дефектов в слитке. Режим фильтрации характеризуется длиной фильтрующего участка Д/, перепадом давлений жидкости (фильтрата) Ар на этой длине и коэффициентом проницаемости кп дендритной сетки. Условие восполнения усадки в результате подпитки жидкой фазой имеет вид:

У<У*р, (18)

т.е. для заполнения жидким металлом усадочных пор в двухфазной зоне средняя скорость перемещения двухфазной зоны V не должна превышать некоторой критической величины Укр, которая находится из равенства:

• (19)

ау ■ /л- А1- Ду/

Здесь // - коэффициент динамической вязкости, ау- коэффициент объемной усадки при затвердевании, у/- доля твердой фазы, Ау/- участок двухфазной зоны, где подпитка усадочных пор встречает сопротивление дендритной сетки и протекает в режиме фильтрации.

Для нахождения скоростей V и ^ был разработан алгоритм, согласно которому, основными входящими параметрами расчета являются теплофизические параметры стали и геометрические размеры заготовки. Практическая реализация алгоритма предполагает определение распределения температуры до момента смыкания изотерм ликвидуса и солидуса с целью получения значения ширины двухфазной зоны, на основе которого рассчитываются, с одной стороны, средняя скорость движения зоны, с другой стороны - величина доли твердой фазы, из которой находится протяженность фильтрующего участка и коэффициент объемной усадки.

Разработанная инженерная методика применялась для расчета фильтрации расплава среднеуглеродистой стали. Рассматривался слиток сечением 250x1100 х 1800 мм. Средняя скорость перемещения двухфазной зоны, ее ширина, коэффициент объемной усадки находились с помощью результатов, полученных при реализации математической модели теплового состояния слитка. Значения кп , // , Ар брались, исходя из теплофизических характеристик стали.

При следующих исходных данных: к„ = 10'8 см2; ц = 7- 10"2 г/ (см • с); Ар =7,5ат, Д/ = 2,15см, Ац/ = 0,5, ау= 0,03, величина критической скорости равна 195 мм/мин, что в несколько раз меньше принятых в настоящее время скоростей непрерывного литья. Из (19) видно, что с увеличением длины фильтрующего участка Д/ значение критической скорости будет уменьшаться, и вероятность образования усадочных пустот в слитке возрастет.

Для получения положительного эффекта от «мягкого» обжатия необходимо знать величину обжатия. Для ее нахождения разработана инженерная методика расчета. Формула для расчета полной величины обжатия (9(г), обеспечивающая подавление пористости в осевой части слитка имеет вид:

0(г) = «*„•( (20)

п + 1

где ау- коэффициент объемной усадки, г - ширина двухфазной зоны, п -показатель параболы в распределении Вейника.

Для нахождения значения 0(г) разработан алгоритм, согласно которому, основными входящими параметрами расчета являются теплофизические параметры стали и геометрические размеры заготовки. Практическая реализация алгоритма предполагает определение температурного поля в двухфазной зоне слитка, на основе которого находим ширину двухфазной зоны и коэффициент объемной усадки. Также с помощью распределения температуры путем сравнения значений полученной и аппроксимированной функции температуры двухфазной зоны и функции Вейника получаем значение показателя п.

С учетом соотношения (20) была найдена величина обжатия слитка среднеуглеродистой стали сечением 250x1100x1800 мм. Температурное поле в двухфазной зоне слитка получили при реализации математической модели теплового состояния слитка, ширину двухфазной зоны вычислили по формуле (7). В результате: п = 2,65; ау = 0,03; 2 = 0,043 м. Величина обжатия в этом случае равна 0,9 мм (для одной стороны слитка), что соответствует экспериментальным данным.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Разработана обобщенная схема обжатия слитка с жидкой сердцевиной, состоящая из двух базовых моделей: модели теплового состояния слитка и модели теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии.

2. Разработана математическая модель теплового состояния слитка. В результате реализации модели получены: распределения температуры по сечению слитка до момента смыкания изотерм ликвидуса и солидуса; динамика ширины двухфазной зоны; уравнение и скорость движения условной границы раздела твердой и жидкой фаз, уравнения и скорости движения изотерм ликвидуса и солидуса до момента затвердевания.

3. Разработана модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии, учитывающая скорость обжатия слитка. В результате реализации данной модели получены численные решения для

определения распределения температуры в двухфазной зоне при различных переменных скоростях обжатия, аналитические решения расчета температуры для постоянной скорости обжатия.

4. Разработаны инженерная методика расчета величины обжатия непрерывновытягиваемого слитка стали и методика расчета фильтрации расплава, учитывающие технологию разливки.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1.Кашинцева, O.A. Температурное поле слитка металла в процессе затвердевания при граничных условиях первого рода / O.A. Кашинцева // Прогрессивные процессы и оборудование металлургического производства: Материалы 4-ой Международной конференции, посвященной 120-летию академика И.П. Бардина-Череповец: ЧГУ.-2003.-с. 108-109.

2.Телин, Н.В. Математическое моделирование температурного поля слитка металла в процессе затвердевания / Н.В. Телин, O.A. Кашинцева // Инфотех: Материалы 4-ой Международной научно-технической конференции.- Череповец: ЧГУ - 2004- с. 174.

3.Кашинцева, O.A. Расчет температурного поля в осевой части слитка / O.A. Кашинцева // Сборник трудов молодых ученых: Материалы 6-ой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов.-Череповец: ЧГУ,-2005.-с. 118-119.

4. Кашинцева, O.A. Тепловое состояние осевой части слитка при «мягком» обжатии / O.A. Кашинцева // Молодые исследователи - регионам: Материалы Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов. В 2-х т.- Вологда: ВоГТУ- 2005 - Т. 1.- с.78-79.

5. Кашинцева, O.A. Моделирование температурного поля в слитке металла с применением обжатия / O.A. Кашинцева // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Материалы 15-ой научно-технической конференции (Computer-Based Conferences).-Н.Новгород: Межрегиональное Верхнее-Волжское отделение Академии технологических наук Российской Федерации (МВВО АТН РФ).- 2005-с.13.

6. Кашинцева, O.A. Расчет границы затвердевания непрерывного слитка / O.A. Кашинцева // Материалы 33-ей военно-научной конференции молодых специалистов,-Череповец: ЧВИИРЭ,-2005.-с.7.

7. Кашинцева, O.A. Определение температуры в двухфазной зоне слитка при «мягком» обжатии / O.A. Кашинцева // Материалы 33-ей военно-научной конференции молодых специалистов- Череповец: ЧВИИРЭ.-2005.-С.6.

Лицензия А № 001633 от 2 февраля 2004 г.

Подписано к печати 14.11.05 г. Тир. 100. Усл. печ. л. 1. Формат 60х84'/|б. Зак. .

ГОУ ВПО Череповецкий государственный университет 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5.

I

)

! i

i

г

?

№24369

РЫБ Русский фонд

2006-4 29295

Введение.

Глава 1. Современное состояние моделирования тепломассообмена при обжатии металла.

1.1. Теплофизические процессы при непрерывной разливке стали.

1.2. Математические модели процесса непрерывной разливки.

1.2.1. Основные виды применяемых математических моделей.

1.2.2. Методы расчета процесса затвердевания слитка.

1.3. Моделирование теплового состояния слитка.

1.3.1. Методы решения задачи Стефана.

1.3.2. Математические модели процесса затвердевания слитков.

1.3.3. Влияние внешних воздействий на кристаллизующийся металл.

1.4. Инженерные расчеты теплофизических процессов при непрерывной разливке.

1.4.1. Инженерный метод расчета затвердевания слитка.

1.4.2. Инженерный метод расчета глубины жидкой фазы.

1.5. Выводы по главе. Постановка задачи.

Глава 2. Математическая модель процесса непрерывной разливки.

2.1. Обобщенная схема обжатия слитка с жидкой сердцевиной.

2.2. Математическая модель теплового состояния слитка.

2.3. Результаты численного решения.

2.3.1. Распределение температуры по сечению слитка.

2.3.2. Динамика движения границы раздела фаз.

2.4. Моделирование состояния двухфазной зоны.

2.4.1. Скорости движения изотерм ликвидуса и солидуса.

2.4.2. Динамика ширины двухфазной зоны.

2.5. Результаты численного решения с учетом конвективных процессов

2.6. Тестирование модели и проверка на адекватность.

2.7. Выводы по главе.

Глава 3. Моделирование температурного поля в слитке с применением обжатия.

3.1.Модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при мягком» обжатии.

3.2. Результаты численного решения.

3.3. Приближенный аналитический метод.

3.3. Выводы по главе.

Глава 4. Инженерный метод расчета обжатия слитка с жидкой сердцевиной.

4.1. Фильтрация расплава в двухфазной зоне слитка.

4.2. Методика расчета величины обжатия слитка.

4.3. Выводы по главе.

Непрерывное литье стали является одним из наиболее прогрессивных технологических процессов, получивших в последние годы широкое распространение во всех развитых промышленных странах мира.

К основным преимуществам непрерывного литья следует отнести повышение качества и увеличение выхода годного металла, рост производительности труда, уменьшение капитальных затрат. Это создает предпосылки для развития способа непрерывной разливки и, как следствие, возникает необходимость рассмотрения и углубленного изучения теплофизических вопросов формирования слитка.

Экспериментальное изучение процесса затвердевания непрерывного слитка сопряжено с большими трудностями, несмотря на то, что в последнее время разрабатывается большое количество современного оборудования. В этих условиях значительную роль играют теоретические исследования. Основополагающими являются работы Г.П. Иванцова, А.И. Вейника, A.A. Скворцова, А.Д. Акименко, В.А. Ефимова, Ю.А. Самойловича, Б.Т. Борисова, Д.П. Евтеева.

Одной из главных теоретических и практических задач непрерывной разливки стали является совершенствование технологического процесса с целью получения более качественного продукта. Высокие требования, предъявляемые современной техникой к качеству стальных изделий, вызывают необходимость создания эффективных технологий кристаллизации сплавов.

Отличительными особенностями формирования непрерывного слитка, которые определяют его строение, являются большие скорости кристаллизации и малая продолжительность полного затвердевания. Вследствие этого, зональная ликвация в слитке значительно меньше, чем в обычном; но в осевой части слитка появляются ликвационные и усадочные дефекты, отрицательно действующие на качество получаемой заготовки. Известные методы внешнего воздействия, такие как холодильники, регулирование интенсивностью охлаждения, механическое перемешивание и др., не дают положительного результата для достижения поставленной цели - подавления процесса формирования ликвации и пористости в осевой зоне слитка.

В связи с этим в последнее время широкое распространение получила новая технология «мягкого» обжатия непрерывного слитка в неполностью затвердевшем состоянии, внедрение которой на МНЛЗ позволяет в значительной степени снизить количество осевых дефектов и, тем самым, улучшить качество готового продукта. К настоящему времени проведено достаточно большое количество исследований процесса «мягкого» обжатия: получено теоретическое обоснование режимов обжатий, созданы математические модели затвердевания непрерывных слитков, разработаны инженерные методы определения основных параметров обжатия. Тем не менее, многие аспекты данной технологии изучены недостаточно, например, место проведения обжатия и его величина, скорость обжатия заготовки, которые определяются тепловым состоянием слитка: взаимосвязью между глубиной жидкой фазы, шириной двухфазной зоны, распространением фронта и скоростью кристаллизации.

Известные задачи определения динамики затвердевания расплавов при обжатии в основном решены современными средствами математического моделирования на основе численных методов с достаточной для практических целей достоверностью. Для более детального изучения процессов, протекающих в затвердевающем слитке при обжатии, необходимы аналитические решения. Но круг краевых задач теплопроводности в области с подвижной границей, для которых они существуют, довольно ограничен [28].

Указанные выше недостатки сдерживают применение технологии «мягкого» обжатия в практике непрерывной разливки стали на МНЛЗ.

В настоящей диссертации излагаются результаты разработки и совершенствования обобщенной схемы расчета «мягкого» обжатия, предназначенной для нахождения температурных полей непрерывного слитка в

ЗВО, ширины двухфазной зоны с целью определения фильтрации расплава в этой зоне и нахождения величины обжатия при применении данной технологии. Получены численные и аналитические решения задачи распределения температуры по ширине двухфазной области при различных скоростях обжатия слитка.

Данная диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приведен обзор литературы, содержащий современные научные представления о предмете исследования: изложены различные модели и методы решения задач затвердевания слитка; рассмотрены влияния на кристаллизующийся слиток внешних воздействий; приведены существующие инженерные методики расчета температуры, твердой корочки. Во второй главе разработана обобщенная схема обжатия слитка с жидкой сердцевиной, приведено описание модели теплового состояния слитка металла и результаты ее реализации. В третьей главе рассмотрена модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии, результаты ее применения. Изложены аналитические решения задачи нахождения температуры в данной зоне. Четвертая глава посвящена разработке инженерной методики расчета обжатия слитка, которая позволяет подавлять пористость в его осевой части и учитывать технологию разливки; а также разработке методики расчета фильтрации расплава в двухфазной области.

Настоящая работа содержит 158 страниц печатного текста, включая 42 рисунка, 9 таблиц и список литературы, состоящий из 125 наименований.

Изложенные в диссертации материалы являются результатом обучения автора в заочной аспирантуре Череповецкого государственного университета в период 2001-2005гг. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ в научных сборниках.

Автор пользуется случаем выразить благодарность к.т.н., доценту Н.В. Телину за научное руководство и помощь в написании диссертации, а также к.ф.-м.н., доценту В.П. Егорову; к.т.н., доценту Д.И. Габелая, сотрудникам кафедр математики и промышленной теплоэнергетики ЧТУ.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПРИ ОБЖАТИИ МЕТАЛЛА

4.3. Выводы по главе

Разработана инженерная методика расчета фильтрации расплава и инженерная методика расчета величины обжатия непрерывнолитого слитка стали.

Расчетом установлено, что для компенсации усадки в слитке среднеуглеродистой стали сечением 250x1100 мм с жидкой сердцевиной требуется, чтобы средняя скорость перемещения двухфазной зоны не превышала некоторую критическую величину Укр = 195 мм/мин.

Полная величина обжатия составила 1,8 мм.

145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом данной диссертации является разработка обобщенной схемы расчета обжатия слитка с жидкой сердцевиной, включающая в себя модель теплового состояния слитка и модель теплового состояния двухфазной зоны слитка при «мягком» обжатии.

В результате разработки и реализации модели теплового состояния слитка получены распределения температуры по сечению слитка до момента смыкания изотерм ликвидуса при различных температурах поверхности слитка с учетом конвекции и без учета; динамика ширины двухфазной зоны при различных температурах поверхности с учетом конвекции и без учета; уравнения и скорости движения изотерм ликвидуса и солидуса; уравнение и скорость движения границы раздела твердой и жидкой фаз.

В результате разработки и реализации модели теплового состояния двухфазной зоны слитка при обжатии получены распределения температуры в двухфазной зоне при различных скоростях обжатия; аналитические решения расчета температуры в двухфазной зоне для постоянной скорости обжатия.

Разработаны инженерная методика расчета фильтрации расплава и инженерная методика расчета величины обжатия непрерывного слитка стали, учитывающие технологию разливки.

146

1. Емельянов, В.А. Тепловая работа машин непрерывного литья заготовок. Учебное пособие для вузов / В.А. Емельянов. - М.: Металлургия, 1988. — 142 с.

2. Цаплин, А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья / А.И.Цаплин-Екатеринбург.: Изд-во УрО РАН, 1995. 238 с.

3. Иванцов, Г.П. Теплотехника слитка и печей / Г.П. Иванцов. — М.: Металлургиздат, 1953. №2. - 60 с.

4. Вейник, А.И. Теория особых видов литья / А.И. Вейник. М.: Машгиз, 1958.-300с.

5. Скворцов, A.A. Теплопередача и затвердевание стали в установках непрерывной разливки / A.A. Скворцов, А.Д. Акименко.-М.: Металлургия, 1966.-190 с.

6. Рутес, B.C. Непрерывная разливка стали в сортовые заготовки. / В.С.Рутес, Н.Е. Гуглин, Д.П. Евтеев и др. М.: Металлургия, 1967 - 144 с.

7. Рутес, B.C. Теория непрерывной разливки стали (технологические основы). / B.C. Рутес, В.И. Аскольдов, Д.П. Евтеев и др. М.: Металлургия, 1971. -296 с.

8. Ефимов, В.А. Исследование процессов гидродинамики и массопереноса при формировании стальных слитков / В.А. Ефимов // Проблемы стального слитка. М.: Металлургия - 1974. - С. 17-33.

9. Повх, И.Л. Исследование тепловой гравитационной конвекции и ее влияние на процессы тепломассопереноса в затвердевающем расплаве / И.Л. Повх, П.Ф. Завгородний, Ф.В. Недопекин // Теплофизика высоких температур. 1978. - Т.16.- №6. - С. 1250-1257.

10. Полежаев, В.И. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В.И. Полежаев,

11. A.B. Бунэ, H.A. Верезуб и др. М.: Наука, 1987. - 271 с.

12. Цой, П. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами и зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры / П. Цой, Сандерленд // Теплопередача. М.: Мир.- 1974. - №2. - С. 110-114.

13. Завгородний, П.Ф. Численное исследование термоконцентрационной конвекции в жидком ядре кристаллизующегося бинарного расплава / П.Ф. Завгородний//Инж.-физ. журн- 1978-Т.35.-№1.-С. 155-162.

14. Недопекин, Ф.В. Конечно-разностное решение сопряженной задачи тепломассопереноса, естественной конвекции и затвердевания / Ф.В. Недопекин, С.С. Петренко // Инж.-физ. журн 1984. - Т.47- №2. - С. 286293.

15. Недопекин, Ф.В. Математическое моделирование процессов в слитке непрерывной разливки / Ф.В. Недопекин, B.C. Бородин // Известия АН СССР. Металлы. 1985. -№1.-С. 64-69.

16. Бойченко, М.С. Непрерывная разливка стали / М.С. Бойченко, B.C. Рутес,

17. B.В. Фульмахт. М.: Металлургиздат, 1961. - 252 с.

18. Сладкошеев, В.Т. Непрерывная разливка стали на радиальных установках / В.Т. Сладкошеев, Р.В. Потанин, О.Н. Суладзе, B.C. Рутес. М.: Металлургия, 1974. - 286с.

19. Журавлев, В.А. Теплофизика формирования непрерывного слитка / В.А. Журавлев, Е.М. Китаев. М.: Металлургия, 1974. - 215 с.

20. Самойлович, Ю.А. Тепловые процессы при непрерывном литье стали / Ю.А. Самойлович, С.А. Крулевецкий, В.А. Горяинов, З.К. Кабаков и др-М.: Металлургия, 1982. 152 с.

21. Самойлович, Ю.А. Формирование слитка / Ю.А. Самойлович. М.: Металлургия, 1977. - 160 с.

22. Самойлович, Ю.А. Горение, теплообмен и нагрев металла / Ю.А. Самойлович, З.К. Кабаков // Сб. науч. тр. ВНИИМТ М.: Металлургия. -1973. -№ 24. - С. 100-113.

23. Борисов, В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка / В.Т. Борисов. М.: Металлургия, 1987. -224 с.

24. Борисов, В.Т. Теория двухфазной зоны сплавов и ее применение к задачам непрерывного слитка / В.Т. Борисов, И.Н. Голиков, А.И. Манохин, P.A. Уразаев // Непрерывная разливка стали. М.: Металлургия. - 1974. -№2. -С. 5-28.

25. Баландин, Г.Ф. Формирование кристаллического строения отливок. Изд. 2-е./ Г.Ф. Баландин. М.: Машиностроение, 1973. - 287 с.

26. Любов, Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах / Б.Я. Любов. М.: Наука, 1975.-256 с.

27. Скворцов, A.A. Влияние внешних воздействий на процесс формирования слитков и заготовок / A.A. Скворцов, А.Д. Акименко. М.: Металлургия, 1972.-275 с.

28. Щербаков, Л.М. К решению задач затвердевания слитка методом моделирования на электропроводной бумаге. / Л.М. Щербаков, В.П. Рожков, О.И. Королев, О.В. Мартынов // Непрерывная разливка стали. -М.: Металлургия- 1970-с.83.

29. Лыков, A.B. Теория теплопроводности / A.B. Лыков. М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.

30. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учебное пособие -2-е изд., доп. / Э.М. Карташов. М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

31. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач уравнения теплопроводности в области с движущимися границами / Э.М. Карташов, Б.Я. Любов // Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт».- 1974-№6,- С. 83-111.

32. Карташов, Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач уравнения теплопроводности в нецилиндрических областях / Э.М. Карташов, В.М. Нечаев // Прикл. матем. и мех. (ZAMM, ГДР).- 1978-№58.-С. 199-208.

33. Квальвассер, В.И. Метод нахождения функции Грина краевых задач уравнения теплопроводности для отрезка прямой с равномерно движущимися границами / В.И. Квальвассер, Я.Ф. Рутнер // Докл. АН СССР.- 1964. -Т. 156. -№6- С. 1273-1276.

34. Мартынов, Г.А. О распространении тепла в двухфазной среде при заданном законе движения границ фаз / Г.А. Мартынов // Журн. техн. физики.- 1955.-Т.25 №10.-С. 1754-1767.

35. Антимиров, М.В. Решение тепловых задач при движении границы по закону ßV7 / M.B. Антимиров, З.И. Геллер // Инж.-физ. журн. 1964-Т.7.- №9.-С. 57-63.

36. Карташов, Э.М. Метод решения обобщенных тепловых задач в области с границей, движущейся по параболическому закону / Э.М. Карташов, Б.Я. Любов // Журн. техн. физики. 1971. -Т.61. -№1. - С. 3-16.

37. Любов, Б.Я. Метод решения краевых задач диффузии для области с границей, движущейся по произвольному закону / Б.Я. Любов, Э.М. Карташов // Изв. вузов, серия «Физика». 1970. - №12. - С. 97-101.

38. Карташов, Э.М. Об одной задаче диффузии в области с подвижной границей / Э.М. Карташов // Теплофизика высоких температур- 1967-№2.-С. 308-316.

39. Дорошенко, А.П. Асимптотическое решение первой краевой задачи с подвижной границей / А.П. Дорошенко // Изв. АН Казах. ССр, серия «Физ.-матем.» 1970.- №5. - С. 76-78.

40. Коздоба, JI.A. Методы решения обратных задач теплопереноса / J1.A. Коздоба, П.Г.Круковский. -Киев, 1982.

41. Самарский, A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский. -М.: Наука, 1971.-616 с.

42. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977- 735 с.

43. Гринберг, Г.А. О решении обобщенной задачи Стефана о промерзании жидкости, а также родственных задач теплопроводности, диффузии и других / Г.А. Гринберг // Журн. техн. физики. 1967. - Т.37 - №9. - С. 1598-1606.

44. Гринберг, Г.А. О движении поверхности раздела фаз в задачах стефановского типа / Г.А. Гринберг, О.М. Чекмарева // Журн. техн. физики. 1970.- Т.60.- №10. - С. 2025-2031.

45. Любов, Б.Я. Теплопроводность тела при переменном коэффициенте теплообмена / Б.Я. Любов, Н.И. Яловой // Инж.-физ. журн. 1969 - Т.17-№4.-С. 679-687.

46. Соломатов, В.В. Температурное поле неограниченной пластины при переменных значениях коэффициента теплообмена внешней среды /В.В. Соломатов, В.И. Гончаров // Инж.-физ. журн. 1968 - Т. 14 - №4. - С. 743745.

47. Вазов, В. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных / В.Вазов, Дж. Форсайт. М.: Издательство иностранной литературы, 1963.- 488 с.

48. Рябенький, B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие: Для вузов / B.C. Рябенький. М.: Физматлит, 1994. - 336 с.

49. Лейбензон, JI.C. Собрание трудов / JI.C. Лейбензон. М.: Изд-во АН СССР.- 1955.-Т.4.-398 с.

50. Вейник, А.И. Теория затвердевания отливки / А.И. Вейник. М.: Машгиз, 1960.-435 с.

51. Коздоба, Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л.А. Коздоба. -М.: Наука, 1975. 228с.

52. Любов, Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений / Б.К. Любов. -М.: Наука, 1966.-256 с.

53. Любов, Б.Я. Вычисление скорости затвердевания металлического слитка / Б.Я. Любов // Докл. АН СССР. 1949. -Т.68. -№5. - С. 847-850.

54. Рубинштейн, Л.И. Проблема Стефана / Л.И. Рубинштейн. Рига.: Зинатне, 1967.- 137 с.

55. Меламед, В.Г. О решении задачи Стефана сведением к системе обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Г. Меламед // Докл. АН СССР.-1957.-Т. 116.

56. Медведский, Р.И. Метод решения внутренней двухфазной задачи Стефана с нелинейным граничным условием / Р.И. Медведский, Ю.А. Сигунов // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т.28 - №2. - С. 94-100.

57. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979.-273 с.

58. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. М.: Мир, 1968.-605 с.

59. Каменомостская, C.JI. О задаче Стефана / C.JI. Каменомостская // Матем. сб. 1961. -Т.53(95). - №4. - С. 489-514.

60. Олейник, O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана / O.A. Олейник // Докл. АН СССР. 1960. -Т.135.- №5. - С. 1054-1057.

61. Самарский, A.A. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / A.A. Самарский, Б.Д. Моисеенко // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1964. - Т.5. - №5. - С. 816-827.

62. Самарский, A.A. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках / A.A. Самарский // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1963.- Т.З.- №3. - С. 481 -486.

63. Самарский, A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерных параболических уравнений в произвольной области / A.A. Самарский // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1963. - Т.З. - №3. - С. 431-466.

64. Будак, Б.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б.М. Будак, E.H. Соловьева, А.Б. Успенский // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1964 - Т.5.-№5. - С. 828-840.

65. Чекмарева, О.М. О перемещении фронта кристаллизации в затвердевающем слитке при различных температурных условиях на его поверхности / О.М. Чекмарева // Журн. техн. физики. 1970. - Т.60. - №10. -С. 2032-2034.

66. Чекмарева, О.М. О применении интеграла Коши для исследования задач Стефановского типа / О.М. Чекмарева // Вопросы мат. физики 1976 - С. 17-21.

67. Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей // Сб. научн. тр. Под ред. Данилюк И.А. Киев.: Наук, думка. - 136 с.

68. Ладыженская, O.A. Краевая задача для линейных и квазилинейных параболических уравнений / O.A. Ладыженская, Н.И. Уральцева // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 139.-№5. - С. 514-517.

69. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, Н.И. Уральцева М.: Наука, 1967.-320 с.

70. Цыбин, А.И. К решению задачи Стефана / А.И. Цыбин // Журн. техн. физики. 1974. - Т.64. - С. 346-353.

71. Шестаков, Н.И. Тепловые процессы при непрерывной разливке стали / Н.И. Шестаков. М.: Черметинформация, 1992. - 268 с.

72. Галкин, М.Н. Определение коэффициентов теплоотдачи по толщине металла, намороженного на плоскую стенку / М.Н. Галкин, B.C. Петровский, А.Н. Бойко // Инж.-физ. журн.- 1986. -Т.50.- №4.- С. 676-677.

73. Летавин, М.И. О корректности постановки одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана / М.И. Летавин // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т.27 - №8. - С. 1395-1402.

74. Бочвар, A.A. Металловедение / A.A. Бочвар- М.: Металлургия, 1986. 755 с.

75. Китаев, Е.И. Затвердевание стальных слитков / Е.И. Китаев. М.: Металлургия, 1982 - 168 с.

76. Вейник, А.И. Тепловые основы теории литья / А.И. Вейник. М.: Машгиз, 1953.-384 с.

77. Иванцов, Г.П. Нагрев металла / Г.П. Иванцов. М.: Металлургиздат, 1948.-310 с.

78. Иванцов, Г.П. Теплотехника слитка и печей / Г.П. Иванцов, К.И. Афанасьева, Г.С. Селькин // ЦНИИЧМ. Сб№2 (5). М.: Металлургиздат. -1953.-С. 7-59.

79. Хворинов, Н.И. Кристаллизация и неоднородность стали / Н.И. Хворинов. -М.: Машгиз, 1958. 392 с.

80. Рожков, В.П. Решение задач затвердевания слитка при помощи электроинтегратора ЭЗЗ-2 / В.П. Рожков, JI.M. Щербаков, О.В. Мартынов // Непрерывная разливка стали. М.: Металлургия. - 1970. - С. 80.

81. Журавлев, В.А. К теории формирования непрерывного слитка / В.А. Журавлев // Непрерывная разливка стали. М.: Металлургия. - 1974. -№ 2. -С. 29-44.

82. Китаев, Е.М. Затвердевание стальных слитков / Е.М. Китаев. М.: Металлургия, 1982 - 167 с.

83. Исследование формирования стальных слитков и теплопередачи при затвердевании // Сб.№23, Горьковский политехнический институт им.А.А. Жданова. — Горький.: книжное издательство. -1973. — 72с.

84. Борисов, В.Т. Теория двухфазной зоны и ее применение к задачам непрерывного слитка / В.Т. Борисов, И.Н. Голиков, А.И. Манохин, P.A. Уразаев // Непрерывная разливка стали. М.: Металлургия. - 1973- №2-С. 5-28.

85. Самойлович, Ю.А. Гидродинамические явления в незатвердевшей части (жидком ядре) слитка / Ю.А. Самойлович // Известия АН СССР. Металлы — 1969.-№2.-С. 84.

86. Самойлович, Ю.А. Математическое моделирование тепловых и гидродинамических явлений процесса затвердевания непрерывного слитка

87. Ю.А. Самойлович, А.Н. Ясницкий // Известия АН УССР: Металлы. -1982.-№2.-С. 62-68.

88. Мирсалимов, В.М. Напряженное состояние и качество непрерывного слитка / В.М. Мирсалимов, В.А. Емельянов. М.: Металлургия, 1990 - 151 с.

89. Михеев, М.А. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. М.: Энергия, 1973.-320 с.

90. Минашин, В.Р. Теплофизика ядерных реакторов с жидкометаллическим охлаждением / В.Р. Минашин, A.A. Шолохов, Ю.И. Грибанов. -М.: Атомиздат, 1971.- 310 с.

91. Буланов, JI.B. Математическая модель и расчет параметров мягкого обжатия непрерывнолитых заготовок / J1.B. Буланов, H.A. Юровский, Т.Г. Химич и др. // Металлургическая и горнорудная промышленность 2003-№8.- С. 124-131.

92. Манохин, А.И. Исследование образования и развития осевых трещин в непрерывнолитых стальных слитках / А.И. Манохин, P.A. Уразаев, В.И. Хохлов, А.Г. Кужельный // Непрерывная разливка стали- М.: Металлургия,- 1973.-№1.-С. 111-115.

93. Евтеев, Д.П. Непрерывное литье стали / Д.П. Евтеев, И.Н. Колыбалов М.: Металлургия, 1984 - 257 с.

94. Манохин, А.И. Расчет количества и размера порошкообразных частиц, вводимых в кристаллизующийся слиток / А.И. Манохин, В.Т. Борисов, В.А. Петровский, В.Н. Шоршин ЦНИИЧМ // Непрерывная разливка стали М.: Металлургия. - 1974- №2. - С. 60-66.

95. Кашинцева, O.A. Расчет границы затвердевания непрерывного слитка / O.A. Кашинцева // Материалы 33-ей военно-научной конференции молодых специалистов-Череповец: ЧВИИРЭ.-2005 -С. 7.

96. Манохин, А.И. Применение ультразвука при непрерывной разливке стали / А.И .Манохин, P.A. Уразаев, В.Е. Гращенков, В.П. Перминов, О.В. Абрамов, JI.K. Васин // Непрерывная разливка стали М.: Металлургия-1973 (МЧМ СССР).-№1.- С. 52-55.

97. Акименко, А. Д. Электромагнитное перемешивание и непрерывная разливка / А.Д. Акименко. М.: Металлургия, 1971- 151 с.

98. Кашинцева, O.A. Тепловое состояние осевой части слитка при «мягком» обжатии / O.A. Кашинцева // Молодые исследователи регионам: Материалы Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов. В 2-х т.- Вологда: ВоГТУ.- 2005.-Т.1.- С.78-79.

99. Кашинцева, O.A. Определение температуры в двухфазной зоне слитка при «мягком» обжатии / O.A. Кашинцева // Материалы 33-ей военно-научной конференции молодых специалистов Череповец: ЧВИИРЭ -2005 - С.6.

100. Марков, Б.Л. Физическое моделирование в металлургии / Б.Л. Марков,

101. A.A. Кирсанов. М.: Металлургия, 1984 - 119 с.

102. Оно, А. Затвердевание металлов / А. Оно. М.: Металлургия, 1980. - 152с.

103. Телин, Н.В. Математическое моделирование температурного поля слитка металла в процессе затвердевания / Н.В. Телин, O.A. Кашинцева // Инфотех: Материалы 4-ой Международной научно-технической конференции-Череповец: ЧТУ-2004-С. 174.

104. B.Я. Имгрунт и др. // Сталь. 2002.-№3.-С. 57-59.

105. Логинов, Ю.Н. Горячая осадка заготовок в присутствии жидкой фазы // Ю.Н. Логинов, М.А. Уймин // Черные металлы. -2001 -№1.-С. 1818-21.

106. Do Thong P., Jolivet J.M., Lopes С., Gratoios I. Термомеханическое моделирование процесса формирования непрерывнолитых заготовок. Применение управления качеством структуры при слабых обжатиях // Revue de Metallurgie. 1995.-№4.-Р. 527-534, XI-XIII.

107. О.Буланов, Л.В. Технология мягкого обжатия непрерывнолитых заготовок в проектных разработках ООО «Уралмаш-металлургическое оборудование» / Л.В.Буланов, Н.А.Юровский и др. //Сталь-2004.-№ 8.-С.295-299.

108. Ш.Лебедев В.И., Евтеев Д.П., Шабалов И.П., Деев А.И. Способ обжатия непрерывнолитых плоских слитков в твердожидком состоянии.: Пат. 1677927 Россия. МКИ6. В22 Д 11/00 // ЦНИИ Чер. металлургии,-№4806998/02; Заявл. 30.01.90; Опубл. 27.07.95; Бюл.21.

109. Harstek. Construction of a New Vertical Caster at Dillinaer Huttenwerke / J. Klingbeil, W. Schmitz, A. Weyer, R. Hartmann // MPT Internetional-1988.-P. 112-122.

110. Jauhola, M., Haapala M. The Latest Results of Dynamic Soft Reduction Slab CC- Machine / M. Jauhola, M. Haapala. Steelmaking Conferenctt Proceeding.-2002.-P. 201-206.

111. Деформация неполностью закристаллизовавшегося непрерывного слитка при его мягком обжатии // Новости ON. Металлургии за рубежом-1997-№4.-С. 83-85.

112. Либерман, А. Л. Динамический режим обжатия слитка на МНЛЗ криволинейного типа / А.Л. Либерман // Металлург 2002.-№1- С.43.

113. Самойлович, Ю.А. Процессы нагрева, плавления и охлаждения металла, теплотехника плавильных агрегатов / Ю.А.Самойлович // Сб. ВНИИМТ. -М.: Металлургия-1970. №21- С. 34-38.

114. Акименко, А.Д. Моделирование формирования стальных слитков и исследование теплоотдачи при их затвердевании / А.Д. Акименко, Скворцов A.A., Сидоров С.П. Горький, Книжное издательство.-1970.-С. 5-13.

115. Акименко, А.Д. Проблемы стального слитка / А.Д. Акименко, Скворцов A.A., Сидоров С.П.-М.: Металлургия, 1974 С. 120-123.

116. Кашинцева, O.A. Расчет температурного поля в осевой части / O.A. Кашинцева // Сборник трудов молодых ученых: Материалы 6-ой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Череповец: ЧТУ.- 2005.- С.118-119.

117. Телин, Н.В. Тепло и массообмен при обжатии сляба с жидкой фазой./ Н.В. Телин. - Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. - 2004 - 130 с.

118. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов-М.: Наука, 1967.-304 с.

119. Диткин, В.А. Справочник по операционному исчислению / В.А. Диткин, А.П. Прудников-М.: Высшая школа, 1965.-468 с.

120. Арсов, Я.Б. Стальные заготовки /Я.Б. Арсов. М.: Машиностроение, 1977176 с.