автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование некоторых задач с колебательными и автоколебательными процессами

Введение

Глава 1.Автоколебания при обработке металлов резанием

§1.Постановка задачи.

§2.Формулировка основных результатов

§3.Анализ линеаризованной системы

§4. Анализ нелинейной задачи.

§5. Выводы.

Глава 2. О колебаниях балки со слабой нелинейностью.

§1.Постановка задачи.

§2.Основные результаты.

Глава 3. Один алгоритм отыскания периодического решения для уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами.

§1.Постановка задачи.

§2.Алгоритм построения периодического решения.

§3. Результаты численного счета.

Актуальность темы. В диссертации изучаются различные математические модели реальных колебательных систем. Как научное направление теория колебаний сформировалась достаточно давно из естественных потребностей практической деятельности и играет большую роль при конструировании различных машин и механизмов.

Глава 1 посвящена изучению колебаний резца при обработке металлов в рамках модели, предложенной в 60-х годах академиком Эльясбергом М.Е, в которой показывается, что на резец при обработке металлов воздействуют запаздывающие силы. Причина запаздывания вызвана двумя факторами. Во-первых, перед передней кромкой резца образуется микротрешина размером от нескольких десятых миллиметра до величин порядка миллиметра, в зависимости от свойств металла. Это обстоятельство приводит к тому, что ранее срезанной стружке требуется пройти некоторый путь /i, чтобы достигнуть поверхности резца. Этот фактор влечет за собой то, что сила, действующая в направлении нормали, отстает от толщины срезаемого слоя, которая, в свою очередь, пропорциональна толщине стружки. Кроме того, стружка, двигаясь вдоль резца, испытывает вторичную пластическую деформацию, сглаживаясь и уплотняясь при прохождении некоторого начального участка с?2 поверхности резца. Поэтому, сила трения стружки о резец достигает своего статического значения после прохождения некоторого начального участка d2. В следствие этого, лента стружки и, связанная с ней сила воздействия на резец, помимо того, что должна пройти расстояние Zi, запаздывает в направлении касательной силы еще и на величину где v-скорость резания, а коэффициент усадки стружки. Все эти факты проверены многочисленными динамометрическими измерениями, скоростной киносъемкой и т.д. В результате этих допущений, получаем систему с переменным запаздыванием, еще и зависящем от искомых координат х и у; mxAx"(t) + bxAx(t)' + cxAx(t) = AQ, myAy"(t) + byAy'{t) + cyAy{t) = AP.

Здесь полагается

АР = klVAx(t - --^-), v + у V + x' + y'

AQ = k2vAx(t--тЦ"),

V + у' где mx, my, c^, bx , by - соответственно обозначены приведенные массы, жесткости и коэффициенты демпфирования контуров х и у, Ах и Ау - малые отклонения резца от положения равновесия, АР и AQ- отклонения сил Р и Q от их статических значений, v-скорость резания. Очевидно, что изменение сил Р и Q связаны с изменением Ах и А у. Более подробно эта модель обсуждается в §1 главы 1.

Естественно, численное изучение такой системы стандартными методами типа методов Рунге-Кутта невозможно. Для изучения характера колебаний использовался одночастотный метод, развитый в 70-е годы Ю.С. Колесовым [18]-[22], с помощью которого удалось найти, в зависимости от скорости резания и коэффициентов системы, зоны спокойного резания, т.е. тот интервал скоростей резания, при которых нулевое положение равновесия устойчиво, определить интервал скоростей, при которых нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, а также получить приближенные формулы для расчета колебаний в зоне неустойчивости нулевого положения равновесия.

В главе 1 также доказана возможность возникновения так называемого "жесткого"режима возбуждения автоколебаний, когда наряду с пока еще устойчивым нулевым положением равновесия, в системе резец-обрабатываемая деталь рождается устойчивый предельный цикл с относительно большой амплитудой. Следует отметить, что возможность возникновения "жесткого" режима возбуждения была показана в работах нижегородских математиков [11], правда в рамках другой математической модели. Собственно термин "жесткий" режим возбуждения давно появился в технической литературе ( см. например [9]), когда при обработке металлов при спокойном резании, без видимых причин, возникают автоколебания с значительной амплитудой, что обычно приводит к аварийным ситуациям.

Таким образом, это явление получило теоретическое объяснение в рамках исследуемой модели. Получены формулы для приближенного вычисления частоты и амплитуды этих колебаний.

Отметим, что эффект запаздывения считается одной из наиболее вероятных причин возникновения вибраций при обработке металлов, и отмечается в ряде последующих монографий, например [9].

Глава 2 посвящена применению метода усреднения к задаче о колебаниях балки со слабой нелинейностью. Этот метод применяется для вычисления средних значений функций, входящих в структуру дифференциальных уравнений, описывающих периодические, почти периодические, и, вообще говоря, колебательные процессы. Операция усреднения может рассматривается как некоторых сглаживающий оператор. Методы усреднения впервые появились в небесной механике при изучении движения планет. Стандартной, в смысле Н.Н. Боголюбова является система dx , = £Л{х, t, г), где х,Х-векторы t-время, £ > 0 малый параметр. Вместо этой системы рассматривается более простая усредненная система первого приближения = еХ ой, где

X0(x)=limo yjx(x,s,0)ds. о

Принципиальный вопрос, который возникает при замене исходной системы на усредненную, состоит в том, чтобы построить оценки норм на возможно большом (порядка интервале x(t,e) — x(t, если ж (О, £) = Х'(0, £).

Теоретической основой метода усреднения являются две основные теоремы Н.Н. Боголюбова [6] о близости точного и приближенного решения, полученного по методу усреднения, соответственно на конечном и бесконечном промежутках времени. Первоначально, теоремы Н.Н. Боголюбова были установлены для систем обыкновенных уравнений. Позднее аналоги этих теорем появились для различных классов уравнений с частными производными, уравнений с запаздыванием, интегро-дифференциальных уравнений и др. Это сделано в основном трудами Митропольского и его учеников[38]. В частности, в работах[38]-[40],[47] метод усреднения был распространен на смешанную задачу для гиперболических уравнений; этот метод изучался также в работах [53],[55],[14]. В работе [14] был получен аналог первой основной теоремы Н.Н. Боголюбова. Аналог второй основной теоремы Н.Н, Боголюбова применительно к смешанной задаче для гиперболического уравнения был получен в [15] П.П.Забрейко. С использованием результата [15] доказана теорема о существовании обобщенного почти периодического решения для уравнения колебания балки со слабой нелинейностью. Более точно, речь идет о следующем. Пусть задано уравнение д2и дАи , „ , дх4 = XiUiUxi их2 5 ut) с граничными условиями, соответствующими балке с шарнирно закрепленными концами: u{t, 0) = u(t,n) = 0, u"(t, 0) =u"(*,7r) =0.

Правая часть уравнения предполагается определенной при оо < t < оо

О < X < 7Г, оо < и < оо, -оо < < оо,

ОО < £2 < ОО,

ОО < 1] < ОО,

2тг— периодической по t и представимой в виде: f(t,x,u,£ 1,^2,V) = fo(t,x) + a(t,x,u,£)+ +b(t, x, u, £1)6 + c(t, x, u, f i)f2 + ж, u, где a(t,x,u,£),b(tix,u,£),c(t,x,u,£),d(t,x,u,£)— непрерывно дифференцируемые по u и £ функции.

Пусть ao(t,x) = a(t,x,0,0),bo(t,x) = b(t,x,0,0),co(t,x) = c(t,x, 0,0), d0(t, x, 0,0)// = щ £i)rj и функции a0(t,x),c Q(t,x),dQ(t,x) не зависят от x и bo(t,x) = 0. Пусть далее ao(t) = ao + («n cos nt + an sinni), n= 1 oo

Co (0 = Co + X! (Cn COS nt + 4 sin nt), n=l oo d0 (t) — d0 + X (^n cos nt + dn sin n£), n=l oo oo jTn cos mt + f n m sin mt)) sin nt n= 1 772— 1 n,«2 = fn,n* = 0(n = 1,2.) и либо do ф 0 и при n=l,2.

- c2„*- - 4,=)2 + - 82». + <ад2 # - c,f + 4} либо do = 0, cq ^ 0 и при n=l,2.

Г - - 4.02 + - + <Ы2 < - c„)2 + djj]

Теорема 1. Пусть fny = /„,„2 = 0(n = 1,2.) и либо do Ф 0 и при n=l,2.

- c2„= - d2n,f + - -c2„5 + J*,)' / - c„)2 + n n n либо do = 0, cq ф О и при п=1,2.

- С2„з - 4,02 + - hn' + d^-f < - С„)2 + rfgl nz пг nz

Тогда существуют такие положительные и ао> что рассматриваемая граничная задача при

О < |И| < имеет в шаре \\u\\w < а единственное 2тг— периодическое решение u£(t,x), причем ||we(i, ж)|| —> 0 при е —0.

В главе 3, с использованием метода припасовывания, построен алгоритм отыскания 2п—периодческого решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с периодической внешней силой, коэффициенты которого кусочно-постоянны и меняются в зависимости от того, где находится точка х. Эта задача родилась в результате сотрудничества с профессором Ярославского технического университета

Поповым Г.Н. и связана с исследованием теоретических моделей для ударных и виброударных машин и механизмов. Следует отметить, что до настоящего времени не делались попытки создать проблемно-ориентированную систему программ, пригодную для расчета на ЭВМ широкого класса этих устройств. В большинстве случаев математические модели применяемых в строительстве машин и механизмов ударного и виброударного действия можно представить в виде динамической системы с переключениями. К такой системе будем относить модели, описываемые системой п обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых меняются при переходе точки в фазовом пространстве из одной области в другую. Фазовое пространство разбито на к областей поверхностями переключения т.е.

X' = f(X,t)J(X,t) - fj(X,t), при X G Qj

В [30] разработан численный алгоритм, основанный на методе Рунге-Кутта отыскания периодических решений такого рода задач, где перебором начальных условий ищется устойчивый предельный цикл с периодом внешней силы. При этом, особое внимание уделялось возможно более точному определению момента переключения. К недостаткам метода следует отнести следующие, по нашему мнению существенные обстоятельства. Во-первых, заранее не ясно, является ли искомый предельный цикл устойчивым. Во-вторых, слепой перебор начальных условий не может дать гарантию отыскания нужного предельного цикла.

В главе 3 описан другой алгоритм, основанный на отыскании параметров предельного цикла, как решение некоторой алгебраической системы нелинейных уравнений и предложен итерационный метод решения этой системы, причем в качестве нулевого приближения берутся значения периодического решения в одной из областей. На основе предложенного алгоритма составлена программа, которая за несколько итераций находит параметры искомого цикла, если такой существует.

Естественно, не следует ожидать появления алгоритма или основанной на нем программы для ЭВМ, охватывающий все возможные ситуации, встречающиеся при расчете такого рода колебаний. Остановимся на математической модели колебаний маятника с кусочно- постоянными коэффициентами. Эта модель может быть использована для расчета движения вибрационных механизмов, а также для описания движения разного рода пружин, мембран, уплотнителей, колеблющихся на линии раздела двух сред под действием периодической внешней силы. Однако изложенный в главе 3 алгоритм может быть использован для любых уравнений и систем, для которых в каждой из областей известно общее решение.Технически это ведет лишь к усложнению системы.увеличению ее порядка и более громоздким вычислениям.

Цель работы. В главе 1 целью работы является исследование математической модели приведенной в [51]-[52] методами теории бифуркаций, в частности одночастотным методом предложенным Ю.С. Колесовым.

В главе 2 целью является доказательство методами теории усреднения существования обобщенного 2тг—периодического решения задачи о колебаниях балки с шарнирно закрепленными концами со слабой нелинейностью в правой части.

Глава 3 посвящена построению алгоритма нахождения периодического решения уравнения второго порядка с периодической внешней силой, коэффициенты которого кусочно-постоянны и зависят от области, в которой находится фазовая точка. Предложенный алгоритм включает в себя как теоретическую часть, использующую метод припасовывання, так и численный алгоритм решения полученной системы уравнений, пригодный для программирования.

Методика исследования. В работе используются методы теории бифуркаций [2]- [3], в частности метод развитый в [19]-[21], методы, связанные с применением метода усреднения, развитые в [13]-[15 ], метод припасовывання, численные методы решения нелинейных систем, в частности один из вариантов метода скорейшего спуска [27], разработанный для решения задач, рассматриваемых в главе 3.

Научная новизна. Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Полностью исследована математическая модель автоколебаний при обработке металлов резанием, предложенная в [51]-[52]. Сложность задачи состояла в том, что исследовалась система с переменным запаздыванием, зависящим еще и от положения точки в фазовой плоскости. Основная сложность заключается в том, что такие задачи невозможно исследовать стандартными численными методами. Установлены, в зависимости от скорости резания, зоны устойчивости нулевого положения равновесия; в зонах потери устойчивости нулевого решения приближенно вычислены амплитуда и частота колебаний, что может быть использовано в инженерных расчетах. При определенных соотношениях между параматрами системы обнаружен эффект возникновения "жесткого"режима" возбуждения автоколебаний, который характеризуется тем, что вблизи границ зоны устойчивости нулевого решения в системе рождается устойчивый предельный цикл с большой амплитудой, что приводит обычно к аварийным ситуациям. Для таких режимов также приводятся приближенные формулы для расчета амплитуды и частоты колебаний.

2.С использованием метода усреднения и результатов [14]-[15] доказана теорема о существовании 27г—периодического обобщенного решения задачи о малых колебаниях балки с шарнирно закрепленными концами и "слабой" нелинейностью в правой части. Как известно, при выводе уравнения колебаний балки приходится делать ряд допущений, например, о линейности закона Гука, неизменности длины стержня при малых деформациях и т.и, которые при больших деформациях следует учитывать. В этом случае уравнение колебаний балки с учетом внешних нелинейных сил в обшем случае может имет вид, приведеный в главе 2. *

3. Предложен алгоритм отыскания периодического решения уравнений и систем с периодом внешней силы. Эта задача актуальна при расчете колебаний виброударных машин, механизмов и различных деталей, работающих на линии раздела двух сред. Использован метод препасовывания, для построения системы уравнений, описываюших параметры решения, приведен и опробован численный алгоритм решения таких систем.

Теоретическая ценность. Глава 1 и глава 2 носят теоретический характер. Результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с расчетами автоколебаний при обработке металлов резанием и в вопросах, связанных с проблемой существования обо-щенных решений в краевых задачах для уравнения поперечных колебаний балки. Глава 3 носит прикладной характер. Результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с расчетом вынужденных колебаний на линии раздела двух сред.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Ярославского гос. университета (руководитель-проф. Ю.С.Колесов), кафедры математического анализа (глава 2), которой в это время руководил профессор Забрейко П.П. и кафедры математического моделирования (руководитель - профессор Кащенко С.А.). Результаты также докладывались на Всеросийской конферении "Общие проблемы управления и их приложения.("ОПУ-2000") г.Тамбов

2000 г. и на юбилейной конференции посвященной 30-летию Яро славского гос.университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [28 ]-[35]. Следует отметить, что за пределами диссертации осталось ряд работ автора, по численному исследованию разного рода экологических и научно-технических задач.

Структура диссертации. Диссертация содержит 90 страниц, состоит из введения, трех глав,разбитых на 10 параграфов, заключе

Заключение.

Обсудим перспективы применения полученных в диссертации результатов. Анализ, проведенный математической модели автоколебаний при обработке металлов, предложенный в [51]-[52] позволил найти, в зависимости от параметров, зоны спокойного резания, приближенно вычислить амплитуду и частоту колебаний в случае, когда нулевое положение равновесия теряет устойчивость. В рамках этой модели показана возможность возникновения "жесткого" режима возбуждения автоколебаний, когда вблизи границ спокойного резания может возникнуть устойчивый предельный цикл, для которого также вычислены приближенные формулы для расчета амплитуды и частоты. Из этих формул видно, что амплитуда колебаний при "жестком" режиме значительно больше, чем амплитуда колебаний при выходе из зоны спокойного резания. Именно это обстоятельство чревато аварийными ситуациями, поломкой инструмента и т.д. Таким образом, результаты, полученные в главе 1, не только объясняют эффект жесткого возбуждения, но и дают методику расчета зон спокойного резания, а также амплитуд и частот колебаний, что может быть использовано в практике инженерных расчетов.

Что касается результатов главы 2, то полученная теорема позволяет сделать вывод о существовании обобщенного 27Г—периодического решения в задаче о колебаниях балки с шарнирно опертыми концами для более широкого класса задач, включающих в себя нелинейную составляющую, как связанную с учетом нелинейностей при выводе уравнения колебаний балки, так с учетом нелинейного внешнего воздействия. Дальнейшее продвижение в этом направлении, желательно, по мнению автора в получении аналогичных результатов для несамосопряженных задач.

Применение результатов главы 3 очевидно. Работа носит чисто прикладной характер. Методика, развитая в этой главе, позволяет отыскивать колебания с периодом внешней силы в принципе для любых уравнений и систем с кусочно постоянными коэффициентами на линии раздела сред в случае, когда в каждой области возможно найти общее решение. Усложнение задачи для нескольких сред и большего числа переключений ведет лишь к усложнению системы, увеличению ее размерности и более громоздким формулам.

Прилагаемый список литературы не претендует на полноту. В основном он содержит лишь те работы, результаты которых используются в диссертации, а также ряд работ обзорного характера. Результаты диссертации опубликованы в [28 ]-[35 ].

1.А., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра.// Уч. зап. Горьк. ун-та. 1939. вып.6. - с. 3-21.

2. Арнольд В.И., Айфрамович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций. В кн. "Современные проблемы математики". Фундаментальные направления. Т.5. М.: Изд-во ВИНИТИ. 1986. с. 5-218.

3. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Гостехиздат, 1949.- 189 с.

4. Боголюбов Н.Н.,Крылов Н.М. Новые методы нелинейной механики.: ОНТИ.: 1934. 247 с.

5. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, изд 4. М.: Наука, 1974. -503 с.

6. Боголюбов Н.Н., О некоторых статистических методах в математической физике. К.: Из-во АН УССР 1945. - 89 с.

7. Брушлинская Н.Н., Качественное интегрирование одной системы п дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл.// ДАН СССР 1961.Т 139, N 1. - с.9-12.

8. Ван-дер-Поль Б.,Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935. - 189 с.

9. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука. 1994. 400 с.

10. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.// УМН. 1962. - T.17.N6. - с. 3-126.

11. Городецкий Ю.И., Продиус В.Я. О жестком режиме возбуждения вибраций при резании металлов.// Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика. Горький. 1973. - Вып.1. -с. 21-49.

12. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск. Изд-во Красноярского ун-та. 1995. 430 с.

13. Забрейко П.П., Колесов Ю.С., Красносельский М.А. Неявные функции и применение метода усреднения Н.Н. Боголюбова-Н.М. Крылова.// ДАН СССР. 1969. Т.184 N.3. с. 526-529.

14. Забрейко П.П., Фетисов Ю.И. О методе малого параметра для гиперболических уравнений.//Дифференциальные уравнения. -1972. Т.8, N 5. 1972 с. 823-834.

15. Забрейко П.П. Фетисов Ю.И., Об одном применении метода усреднения Боголюбова- Крылова к гиперболическим уравнениям./ / Вестник Ярославского университета. Ярославль: Из-во Яросл.госуд. ун-та,1974. Вып.7. - с. 150-155.

16. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1978. 281 с.

17. Закржевский М.В. Колебания существенно-нелинейных механических систем. Рига. Зинанте, 1990. - 189 с.

18. Колесов Ю.С. Расчет автоколебаний нелинейных дифференциальных уравнений с последействием, ответвляющихся от нулевого состояния равновесия.// Вестник.Яросл.ун-та.Ярославль.Яр.гос.ун-т. 1972. - Вып.2. - с. 42-50.

19. Колесов Ю.С. Гармонические автоколебания дифференциальных уравнений n-го порядка с последействием.// Вестник Яросл.ун-та. 1974. - В.7. - с. 3-88.

20. Колесов Ю.С. Амплитудный метод в теории нелинейных колебаний.// Исследования по устойчивости и теории колебаний.-Ярославль: 1978. с. 96-130.

21. Колесов Ю.С.,Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас,1979. 146 с.

22. Колесов Ю.С. О некоторых задачах теории колебаний.// Исследования по устойчивости и теории колебаний.Ярославль. Яр.гос.ун-т. 1983 г. 176 с.

23. Колесов Ю.С, Швитра Д.И, Математическое моделирование процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя./ / Литовский мат. сборник. 1975. XV.N 5. - с. 46-68.

24. Крюков. Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем.-М.: Машиностроение, 1994. 216 с.

25. Клушин М.И., Резание металлов.М.: Машиностроение. 1988 -402 с.

26. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат,1959 - 165 с.

27. Мадорский Б.И. Быстросходящиеся итерационные процессы для решения нелинейных уравнений. // Изв. АН БССР, Сер. физ.мат. наук. 1988. Т.20 N.3. - с. 203-204.

28. Матвеев В.Н. Автоколебания при обработке металлов резанием.// Вест. Тамбовского ун-та, серия: естест. и тех. науки. -2000 Т.5 вып. 4. с. 478-480.

29. Матвеев В.Н. Исследование колебаний резца при обработке металлов резанием в рамках одной математической модели.// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. Яр.гос. ун-т. 1979. с. 40-62.

30. Попов Г.Н., Матвеев В.Н. Разработка обобщенной математической модели машин и механизмов ударного и виброударного действия.// Повышение эффективности рабочих процессов в строительстве.Ярославль. Яр. политех, ин-т 1988. с. 64-80.

31. Матвеев В.Н. Периодические решения для одного класса нелинейных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.// Сб. тезисов юбилейной науч. конференции, посвященной 30-летию Яросл ун-та. Ярославль: 2000. - с. 12-14.

32. Матвеев В.Н. О колебаниях балки со слабой нелинейностью.// Качественные и приближенные методы решения операторных уравнений. Ярославль:Яр. гос. ун-т. 1976. Вып.1. - с. 126-133.

33. Матвеев В.Н. Расчет колебаний для уравнений 2-го порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. //Ярославль.,2001. -10.с. Деп в ВИНИТИ 13.0401 N875-B2001.

34. Матвеев В.Н, Прудниченко А.С, Спокойнов А.Н, Чикина А.Н. Автоколебательные резонансы в одной системе с распределенными параметрами.// Ярославль, 1998. 15 с. Деп в ВИНИТИ N 1823-В98-СБ.

35. Матвеев В.Н.,Прудниченко А.С., Спокойнов А.Н.,Тарасова. О Параметрических колебаниях в одной распределенной системе в случае резонанса 1:1.// Ярославль, 1998. 8 с. Деп в ВИНИТИ N 1822-В98-СЮ.

36. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений.// Журнал эксп. и теорет. физики. 1934,4,2. - с. 117-129.

37. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д.,Полное собрание трудов, т 2. М.: Из-во АН СССР. 1947. - 374 с.

38. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка 1971. - 455 с

39. Митропольский Ю.А., Моисеенков Б.И. Исследование нестационарных колебаний в системах с распределенными параметрами; асимптотические методы.- К.: Наукова думка 1962. 242 с.

40. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка. 1966. - 363 с.

41. Митропольский Ю.А., Хома Г.П.,Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. К.: Наукова думка. 1983. 216 с.

42. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физики.- М.-Л: Гостехиздат, 1950. 428 с.

43. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Наука.1995. 339 с.

44. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

45. Неймарк Ю. И. О некоторых случаях зависимости периодических решений от параметров.// ДАН СССР. 1959. - Т. 129, N4. - с. 736-739.

46. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. //Изв. АН СССР, сер матем., 1969. - Т 33 N6 - с. 69 -86.

47. Сирченко З.Ф. Применение метода усреднения к решению уравнений в частных производных.// УМЖ. 1962. - Т. 14 N 2 - с. 78-93.

48. Стрыгин В.В. Бифуркация автоколебаний в системе функциональных уравнений.// Тр. матем. фак. ВГУ. Воронеж.: 1971. -вып.4. с. 173-182.

49. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием.// Диф.ур. 1965. - Т.1. - с. 102-116.

50. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. М.: Радио и связь. 1999. 496 с.

51. Эльясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов.// Известия АН СССР,ОТН. 1958. - N9. - с.84-96.

52. Эльясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов.// Станки и инструмент. 1962. - N 10 - с.121-128.

53. Юдович В.И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потери устойчивости стационарного режима.// ПММ.- 1972. Т.36 в.З. - с. 450-469.

54. Fatou P., Sur le mouvement d'un point material dans un champ de gravital on fixe.// Acta astron.-1931. a.2 -p. 101-129.

55. Fatou P., Sur le mouvement d'un systeme soumis a des forces a coupte periode. Bull.// Soc. math. France.- 1928. 56,1-2.- p. 98139.

56. Raets Y.S, New A.,Theory of the cause of transition in fluid flow.// Normair Report.-1959.-nor 59-386.

57. O.M. Phillips, Jn the dyhamics of unstady gravity waves of finite amplitude.Part 1. the elementary interactions, J Fluid.math.//-1960. -9.- N 2.

58. E.Hopf.Abzweigungliner periodischen Losing von lener station-aren Losing,Berich.Sachs. Acad. Wiss.//Leipzig,Math.Phys.-1942.-KL.94:19.п